Гармоник осцилляторын хөдөлгөөний тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. §15

Хоёр атомт молекул дахь атомуудын чичиргээний хөдөлгөөний хамгийн энгийн загвар нь хоёр масстай систем байж болно. Т/ ба w?, уян харимхай булгаар холбогдсон. Массын төвтэй харьцуулахад хоёр атомын чичиргээг нэг эквивалентийн чичиргээгээр сольж болно.

анхныхтай харьцуулахад масс тэг цэг R = 0, хаана

Р- масс хоорондын зай, R e- тэнцвэрийн цэгийн байрлал.

Сонгодог үүднээс авч үзвэл пүршийг хамгийн тохиромжтой гэж үздэг - уян харимхай хүч F нь хэв гажилттай шууд пропорциональ - тэнцвэрийн хазайлттай шууд пропорциональ байна. x = R-R e,Хукийн хуулийн дагуу:

Хаана руу- уян хатан байдлын тогтмол. Тиймээс хүч нь тэнцвэрийн байрлал руу буцахад чиглэгддэг.

Хук ба Ньютоны хуулиудыг хамтад нь ашиглах (F-ta),бичиж болно:

(заавал). Ийм тэгшитгэлийн шийдэл нь мэдэгдэж байна

гармоник функцийг гүйцэтгэдэг

Хаана хо- далайц, ба

Багассан массыг ашиглах /лбид авах:

Системийн боломжит энергийн хэмжүүр Важилд үйлчилдэг

IN квант механикгармоник осцилляторын энгийн загварт зориулсан хэлбэлзлийн хөдөлгөөний шинжилгээ нь нэлээд төвөгтэй байдаг. Энэ нь Шредингерийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд суурилдаг

(ж/- чичиргээний долгионы функц, Э - нийт эрчим хүчбөөмс) бөгөөд бидний танилцуулах хүрээнээс гадуур байна.

Квант осцилляторын хувьд энэ нь зөвхөн боломжтой юм салангид цувралтомъёоны дагуу энерги E ба давтамжийн утгууд E=hv.Үүнээс гадна осцилляторын энергийн хамгийн бага утга нь тэг биш юм. Энэ хэмжээг гэж нэрлэдэг тэг энерги, энэ нь осцилляторын хамгийн бага энергийн түвшинд тохирч, -тэй тэнцүү байна, түүний оршин тогтнолыг Хайзенбергийн тодорхойгүй байдлын хамаарал дээр үндэслэн тайлбарлаж болно.

Тиймээс, дагуу квант механикгармоник осцилляторын энергийг квантчилсан:

Хаана v- хэлбэлзэлтэй квант тоо, y=0, 1, 2, 3,.... утгыг авч болно.

Осциллятор квантуудтай харилцан үйлчлэх үед цахилгаан соронзон цацраггурван хүчин зүйлийг харгалзан үзэх шаардлагатай: 1) түвшний популяци (өгөгдсөн үед молекулыг олох магадлал). эрчим хүчний түвшин); 2) давтамжийн дүрэм (Бор), үүний дагуу квант энерги нь аливаа хоёр түвшний энергийн зөрүүтэй тохирч байх ёстой;

3) квант шилжилтийг сонгох дүрэм: шилжилтийн магадлал, i.e. шингээлтийн спектрийн шугамын эрчмийг хэмжигдэхүүнээр тодорхойлно шилжилтийн диполь момент (харна уу онолын танилцуулга). Хамгийн энгийн гармоник осцилляторын хувьд долгионы функцийг харгалзан сонгох дүрмийг олж авна. Шилжилт нь зэргэлдээх түвшний хооронд л тохиолдож болно ("нэг алхам"): чичиргээний квант тоо нэгээр өөрчлөгдөнө гэж заасан. Av= 1. Зэргэлдээх түвшний хоорондох зай ижил тул гармоник осцилляторын шингээлтийн спектр нь давтамжтай зөвхөн нэг шугамыг агуулна.

Учир нь, өрөөний температурт Больцманы хуваарилалтын дагуу ба түүнээс дээш бага температурхамгийн бага чичиргээний түвшин хүн амтай, дараа нь хамгийн эрчимтэй шилжилт нь маш байна бага түвшин(d=0) бөгөөд энэ шугамын давтамж нь дээд түвшнээс зэргэлдээх, өндөр түвшинд шилжих сул шилжилтийн давтамжтай давхцдаг.

Гармоник осцилляторын долгионы функцүүдийн графикууд өөр өөр утгатайэрчим хүчийг Зураг 2.3-т үзүүлэв. Эдгээр нь гармоник осцилляторын Шредингерийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг төлөөлдөг

Хаана Н, -хэвийн болгох хүчин зүйл, H 0- Эрмит олон гишүүнт, x = R-R e- тэнцвэрийн байрлалаас хазайх.

Чичиргээний шилжилтийн шилжилтийн диполь момент, R0(эсвэл М„)тэнцүү:

Хаана жу - диполь моментмолекулууд; эргэлзээ

эхний болон эцсийн төлөвийн хатуу долгионы функцууд. Томъёоноос харахад шилжилтийг зөвшөөрсөн нь тодорхой байна.

хэрэв тэнцвэрийн цэг дээр - молекулын диполь момент

тэнцвэрийн цэгийн байрлалын ойролцоо өөрчлөлт, (муруй ju=f(R)энэ үед дээд хязгаарыг давдаггүй). Интеграл (томъёоны хоёр дахь хүчин зүйл) нь тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй. Хэрэв зэргэлдээх түвшний хооронд шилжилт хийвэл энэ нөхцөл хангагдсан болохыг харуулж болно нэмэлт дүрэмсонголт Ai = 1.

Хоёр атомт молекулын хувьд чичиргээний спектрийг зөвхөн гетеронуклеар молекулын хувьд ажиглаж болно; чичиргээний үед диполь момент байдаггүй. CO2-ийн чичиргээний спектр нь чичиргээг (эсрэг тэгш хэмтэй суналт ба гулзайлт) харуулдаг бөгөөд энэ үед диполь момент өөрчлөгддөг боловч өөрчлөгдөөгүй тэгш хэмтэй чичиргээнүүд гарч ирдэггүй.

Гармоник осциллятор

Гармоник осциллятор(сонгодог механикт) - тэнцвэрт байдлаас нүүлгэн шилжүүлэх үед сэргээх хүчийг мэдэрдэг систем Ф, шилжилт хөдөлгөөнтэй пропорциональ x(Хүүкийн хуулийн дагуу):

Хаана к- системийн хөшүүн байдлын коэффициент.

Хэрэв Фсистемд үйлчилж байгаа цорын ганц хүч бол системийг дуудна энгийнэсвэл консерватив гармоник осциллятор. Ийм системийн чөлөөт хэлбэлзэл нь тэнцвэрийн байрлалыг тойрсон үе үе хөдөлгөөнийг илэрхийлдэг (гармоник хэлбэлзэл). Давтамж ба далайц нь тогтмол бөгөөд давтамж нь далайцаас хамаардаггүй.

Гармоник осцилляторын механик жишээ бол математик дүүжин (бага хазайлттай), мушгирах дүүжин, акустик систем юм. Гармоник осцилляторын бусад аналогуудын дотроос цахилгааныг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. гармоник осциллятор(LC хэлхээг үзнэ үү).

Чөлөөт чичиргээ

Консерватив гармоник осциллятор

Консерватив гармоник осцилляторын загвар болгон бид массын ачааллыг авдаг м, хөшүүн чанараар пүршийг бэхэлсэн к .

Болъё x- тэнцвэрийн байрлалтай харьцуулахад ачааллын шилжилт хөдөлгөөн. Дараа нь Хукийн хуулийн дагуу нөхөн сэргээх хүч үүн дээр ажиллах болно.

Дараа нь нийт эрчим хүчтогтмол утгатай байна

Энгийн гармоник хөдөлгөөн - энэ бол энгийн хүний ​​хөдөлгөөн юм гармоник осциллятор, албадан эсвэл чийгшүүлээгүй үечилсэн хөдөлгөөн. Энгийн гармоник хөдөлгөөнд байгаа бие нь үнэмлэхүй утгаараа шилжилттэй шууд пропорциональ хувьсах хүчинд өртдөг. xтэнцвэрийн байрлалаас гарах ба эсрэг чиглэлд чиглэнэ.

Энэ хөдөлгөөн нь үе үе байдаг: бие нь синусоид хуулийн дагуу тэнцвэрийн байрлалыг тойрон хэлбэлздэг. Дараагийн хэлбэлзэл бүр нь өмнөхтэй ижил байх ба хэлбэлзлийн үе, давтамж, далайц тогтмол хэвээр байна. Хэрэв бид тэнцвэрийн байрлал нь координаттай цэг дээр байна гэж үзвэл, тэгтэй тэнцүү, дараа нь офсет xямар ч үед тэнцвэрийн байрлалаас биеийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Хаана А- хэлбэлзлийн далайц, е- давтамж, φ - эхний үе шат.

Хөдөлгөөний давтамжийг тодорхойлно онцлог шинж чанаруудсистем (жишээлбэл, хөдөлж буй биеийн масс), харин далайц ба эхний үе шатыг эхний нөхцлөөр тодорхойлдог - хэлбэлзэл эхлэх үеийн биеийн шилжилт ба хурд. Системийн кинетик ба боломжит энерги нь эдгээр шинж чанар, нөхцлөөс хамаарна.

Энгийн гармоник хөдөлгөөн байж болно математик загварууд янз бүрийн төрөлпүршний хэлбэлзэл зэрэг хөдөлгөөнүүд. Энгийн гармоник хөдөлгөөн гэж үзэж болох бусад тохиолдлууд бол дүүжингийн хөдөлгөөн ба молекулуудын чичиргээ юм.

Энгийн гармоник хөдөлгөөн нь илүү төвөгтэй хөдөлгөөнийг шинжлэх зарим аргуудын үндэс суурь болдог. Эдгээр аргуудын нэг нь Фурье хувиргалт дээр суурилсан арга бөгөөд түүний мөн чанар нь илүү ихийг өргөжүүлэхэд хүргэдэг. нарийн төвөгтэй төрөлэнгийн гармоник хөдөлгөөнүүдийн цуваа болгон хөдөлгөөнүүд.

Энгийн гармоник хөдөлгөөн тохиолддог аливаа систем нь хоёр үндсэн шинж чанартай байдаг.

1. Систем тэнцвэрт байдлаас гарах үед системийг тэнцвэрт байдалд буцаах хандлагатай сэргээх хүч байх ёстой.
2. Сэргээх хүч нь шилжилт хөдөлгөөнтэй яг эсвэл ойролцоогоор пропорциональ байх ёстой.

Ачааллын булгийн систем нь эдгээр хоёр нөхцлийг хангадаг.

Нүүлгэн шилжүүлсэн ачаалал нь нөхөн сэргээх хүчинд өртсөний дараа хурдасч, анхны байрлал руугаа буцах хандлагатай байдаг. эхлэх цэг, өөрөөр хэлбэл тэнцвэрийн байрлал руу. Ачаалал тэнцвэрийн байрлалд ойртох тусам сэргээх хүч буурч, тэг болох хандлагатай байдаг. Гэсэн хэдий ч нөхцөл байдалд x = 0 ачаалал нь нөхөн сэргээх хүчний үйл ажиллагааны улмаас олж авсан тодорхой хэмжээний хөдөлгөөнтэй (импульс). Тиймээс ачаалал нь тэнцвэрийн байрлалаас давж, хавар дахин хэв гажиж эхэлдэг (гэхдээ аль хэдийн орсон байна эсрэг чиглэл). Сэргээх хүч нь хурд нь тэг болох хүртэл удаашрах хандлагатай байх болно; ба хүч дахин ачааллыг тэнцвэрт байдалд нь буцаахыг хичээх болно.

Системд эрчим хүчний алдагдал байхгүй л бол ачаалал нь дээр дурдсанчлан хэлбэлзэх болно; ийм хөдөлгөөнийг үе үе гэж нэрлэдэг.

Цаашдын дүн шинжилгээ нь ачаалал-пүршний системийн хувьд хөдөлгөөн нь энгийн гармоник болохыг харуулах болно.

Энгийн гармоник хөдөлгөөний динамик

Ньютоны 2-р хуулийг харгалзан нэг хэмжээст орон зай дахь чичиргээний хувьд ( F= м  d² x/г т² ) ба Хукийн хууль ( Ф = −kx, дээр дурдсанчлан) бид хоёр дахь дарааллын шугаман дифференциал тэгшитгэлтэй байна:

Энэ дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь синусоид; нэг шийдэл нь:

Хаана А, ω ба φ нь тогтмол хэмжигдэхүүн бөгөөд тэнцвэрийн байрлалыг анхны байрлалаар авна. Эдгээр тогтмолууд тус бүр нь чухал зүйлийг илэрхийлдэг физик өмчхөдөлгөөнүүд: Ань далайц, ω = 2π е- дугуй давтамж, φ - эхний үе шат.

Бүх нийтийн дугуй хөдөлгөөн

Энгийн гармоник хөдөлгөөнийг зарим тохиолдолд бүх нийтийн дугуй хөдөлгөөний нэг хэмжээст проекц гэж үзэж болно. Хэрэв объект радиустай тойргийн дагуу ω тогтмол өнцгийн хурдтай хөдөлж байвал r, төв нь онгоцны гарал үүсэл юм x−y, дараа нь тус бүрийн дагуу ийм хөдөлгөөн координатын тэнхлэгүүддалайцтай энгийн гармоник юм rба дугуй давтамж ω.

Энгийн савлуур шиг жин

Жижиг өнцгөөр хөдөлгөөн хийх энгийн дүүжинэнгийн гармониктай ойролцоо байна. Урт саваагаар бэхлэгдсэн ийм савлуурын хэлбэлзлийн хугацаа ℓ хурдатгалтай чөлөөт уналт gтомъёогоор өгөгдөнө

Энэ нь хэлбэлзлийн хугацаа нь дүүжингийн далайц ба массаас хамаардаггүй, харин таталцлын хурдатгалаас хамаардаг болохыг харуулж байна. g, тиймээс, ижил урттай савлуур саран дээр илүү удаан эргэлдэх болно, учир нь тэнд таталцал сул, бага үнэ цэнэчөлөөт уналтын хурдатгал.

Өнцгийн хурдатгалын илэрхийлэл нь координатын синустай пропорциональ байдаг тул энэ ойролцоо тооцоолол нь зөвхөн жижиг хазайлтын өнцгийн хувьд зөв юм.

тэр юу хийдэг вэ өнцгийн хурдатгалθ өнцөгтэй шууд пропорциональ бөгөөд энэ нь энгийн гармоник хөдөлгөөний тодорхойлолтыг хангадаг.

Норгосны гармоник осциллятор

Үүнтэй ижил загварыг үндэслэн бид наалдамхай үрэлтийн хүчийг нэмнэ. Наалдамхай үрэлтийн хүч нь орчинтой харьцуулахад ачааллын хөдөлгөөний хурдны эсрэг чиглэсэн бөгөөд энэ хурдтай пропорциональ байна. Дараа нь бүрэн хүч чадал, ачаалал дээр ажиллаж байгаа нь дараах байдлаар бичигдсэн байна.

Үүнтэй төстэй үйлдлүүдийг хийснээр бид олж авдаг дифференциал тэгшитгэл, чийгшүүлсэн осцилляторыг тайлбарлавал:

Энд тэмдэглэгээг танилцуулж байна: . Коэффицентийг сулралтын тогтмол гэж нэрлэдэг. Энэ нь бас давтамжийн хэмжээстэй.

Шийдэл нь гурван тохиолдолд хуваагдана.

Критик уналт нь осциллятор нь хамгийн хурдан тэнцвэрийн байрлал руу чиглэдэг нь маш чухал юм. Хэрэв үрэлт нь эгзэгтэй хэмжээнээс бага байвал тэнцвэрийн байрлалд илүү хурдан хүрэх боловч инерцийн улмаас түүнийг "хэт давж" хэлбэлзэх болно. Хэрэв үрэлт нь эгзэгтэй хэмжээнээс их байвал осциллятор нь тэнцвэрийн байрлал руу экспоненциал хандлагатай байх болно, гэхдээ илүү удаан байх тусам үрэлт их байх болно.

Тиймээс залгах индикаторуудад (жишээлбэл, амметрээр) ихэвчлэн уншилтыг аль болох хурдан уншихын тулд эгзэгтэй уналтыг нэвтрүүлэхийг хичээдэг.

Осцилляторын уналт нь ихэвчлэн чанарын хүчин зүйл гэж нэрлэгддэг хэмжээсгүй параметрээр тодорхойлогддог. Чанарын хүчин зүйлийг ихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг. Тодорхойлолтоор чанарын хүчин зүйл нь дараахь байдалтай тэнцүү байна.

Чанарын хүчин зүйл өндөр байх тусам осцилляторын хэлбэлзэл удааширна.

Критик уналттай осциллятор нь чанарын коэффициент 0.5 байна. Үүний дагуу чанарын хүчин зүйл нь осцилляторын үйл ажиллагааг харуулдаг. Хэрэв чанарын хүчин зүйл 0.5-аас их байвал осцилляторын чөлөөт хөдөлгөөн нь хэлбэлзлийг илэрхийлнэ; Цаг хугацаа өнгөрөхөд энэ нь тэнцвэрийн байрлалыг хязгааргүй олон удаа давах болно. Чанарын коэффициент 0.5-аас бага буюу тэнцүү байх нь осцилляторын осцилляторгүй хөдөлгөөнтэй тохирч байна; В чөлөөт хөдөлгөөнЭнэ нь тэнцвэрийн байрлалыг хамгийн ихдээ нэг удаа гатлах болно.

Чанарын хүчин зүйлийг заримдаа осцилляторын ашгийн коэффициент гэж нэрлэдэг, учир нь өдөөх зарим аргуудын хувьд өдөөх давтамж нь резонансын давтамжтай давхцах үед хэлбэлзлийн далайц нь бага давтамжтайгаар өдөөгдсөнөөс ойролцоогоор дахин их байдаг.

Мөн чанарын хүчин зүйл нь хэлбэлзлийн далайц нь хүчин зүйлээр буурч, үржүүлсэн хэлбэлзлийн мөчлөгийн тоотой ойролцоогоор тэнцүү байна.

Хөдөлгөөний хэлбэлзлийн хувьд сааруулагч нь дараахь параметрүүдээр тодорхойлогддог.

• Амьдралын хугацаачичиргээ (өөрөөр хэлбэл задрах хугацаа, адилхан амрах цаг) τ - хэлбэлзлийн далайц буурах хугацаа днэг удаа.

Албадан чичиргээ

Осцилляторын хэлбэлзлийг гадны нэмэлт нөлөөлөл үзүүлэх үед албадан гэж нэрлэдэг. Энэ нөлөөг үүсгэж болно янз бүрийн аргаарболон өөр янз бүрийн хууль. Жишээлбэл, хүчний өдөөлт нь тодорхой хуулийн дагуу зөвхөн цаг хугацаанаас хамаарах хүчний ачаалалд үзүүлэх нөлөө юм. Кинематик өдөөлт гэдэг нь хаврын бэхэлгээний цэгийн дагуух хөдөлгөөнөөр осцилляторт үзүүлэх нөлөө юм өгсөн хууль. Мөн үрэлтийн нөлөөгөөр, жишээлбэл, ачааны үрэлтийг мэдэрч буй орчин нь өгөгдсөн хуулийн дагуу хөдөлдөг.

Лекц 1

ДЭЛГЭРЭЛТ. ДОЛГОО. ОПТИК

Хэлбэлзлийг судалсан анхны эрдэмтэд бол Галилео Галилей, Кристиан Гюйгенс нар юм. Галилео хэлбэлзлийн үеийн далайцаас бие даасан байдлыг тогтоожээ. Гюйгенс дүүжин цагийг зохион бүтээжээ.

Тэнцвэрийн байрлалаасаа бага зэрэг эвдэрсэн үед тогтвортой хэлбэлзэл үзүүлдэг аливаа системийг гармоник осциллятор гэж нэрлэдэг. IN сонгодог физикИйм системүүд нь хазайлтын жижиг өнцгийн доторх математик дүүжин, хэлбэлзлийн далайц багатай ачаалал, цахилгаан хэлхээ, бүрдэнэ шугаман элементүүдбагтаамж ба индукц.

(1.1.1)

Хаана X А

Материалын хэлбэлзлийн цэгийн хурд

А

.

Хэрэв үе үе давтагдах процессыг (1.1.1)-тэй давхцахгүй тэгшитгэлээр тайлбарлавал үүнийг ангармоник гэж нэрлэдэг. Ангармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг системийг ангармоник осциллятор гэж нэрлэдэг.

1.1.2 . Нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий системийн чөлөөт чичиргээ. Нарийн төвөгтэй хэлбэрмэдүүлэг гармоник чичиргээ

Байгальд систем тэнцвэрийн байрлалынхаа ойролцоо жижиг хэлбэлзэл маш түгээмэл байдаг. Хэрэв тэнцвэрийн байрлалаас хасагдсан системийг өөртөө үлдээвэл, өөрөөр хэлбэл түүнд ямар ч гадны хүч үйлчлэхгүй бол ийм систем чөлөөтэй ажиллах болно. уналтгүй хэлбэлзэл. Нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий системийг авч үзье.

q

,

Хаана

, (1.1.4)

Илэрхийлэл (1.1.5) нь чөлөөт гармоник хэлбэлзлийн тэгшитгэл (1.1.3)-тай давхцаж байна.

,

, Хаана A=Xe-iα

1.1.3 . Жишээ хэлбэлзлийн хөдөлгөөнүүдянз бүрийн физик шинж чанар

Гармоник осциллятор. Пүрш, физик, математикийн дүүжин

Гармоник осциллятор(140.6) хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлсон хэлбэлзэлтэй систем гэж нэрлэдэг;

Гармоник осцилляторын хэлбэлзэл нь чухал жишээүечилсэн хөдөлгөөн ба сонгодог болон олон тооны асуудалд яг эсвэл ойролцоо загвар болдог квант физик. Гармоник осцилляторын жишээ бол пүрш, физик, математикийн дүүжин, хэлбэлзлийн хэлхээ(хэлхээний элементүүдийг шугаман гэж үзэж болох маш бага гүйдэл ба хүчдэлийн хувьд).

1. Пүршний дүүжин- массын ачаалал юм Т, туйлын уян пүрш дээр түдгэлзүүлж, үйл ажиллагааны дор гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг уян хатан хүч Ф = - кх,Хаана к-хаврын хөшүүн байдал. Савлуурын хөдөлгөөний тэгшитгэл

(142.1) ба (140.1) илэрхийллээс харахад пүрш дүүжин нь хуулийн дагуу гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг. x=A s-тэй (w 0 т + j) мөчлөгийн давтамжтай

Томъёо (142.3) хүчинтэй байна уян чичиргээХукийн хуулийг хангасан хязгаарт ((21.3)-ыг үзнэ үү), өөрөөр хэлбэл пүршний масс нь биеийн масстай харьцуулахад бага байх үед. Боломжит энерги хаврын дүүжин, (141.5) ба (142.2)-ын дагуу тэнцүү байна

2. Физик дүүжин- таталцлын нөлөөгөөр хөдөлгөөнгүй биеийн эргэн тойронд хэлбэлздэг хатуу бие хэвтээ тэнхлэг, цэгээр дамжин өнгөрөх ТУХАЙ, массын төвтэй давхцахгүй ХАМТбиетүүд (Зураг 201).

Хэрэв дүүжин тэнцвэрийн байрлалаас тодорхой өнцгөөр хазайсан бол а,дараа нь хатуу биеийн эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн тэгшитгэлийн дагуу (18.3) момент Мсэргээх хүчийг гэж бичиж болно

Хаана Ж-дүүжлүүрийн инерцийн момент дүүжлүүрийн цэгээр дамжин өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад Өө би -түүний болон дүүжингийн массын төв хоорондын зай, F t = – mg sin a » - мг a. -сэргээх хүч (хасах тэмдэг нь чиглэлүүдтэй холбоотой ФтТэгээд аүргэлж эсрэг; нүгэл а » адүүжингийн жижиг хэлбэлзэлтэй тохирч, i.e. тэнцвэрийн байрлалаас дүүжингийн жижиг хазайлт). (142.4) тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно

(142.1)-тэй ижил, шийдэл нь (140.1) мэдэгдэж байна:

(142.6) илэрхийллээс харахад жижиг хэлбэлзлийн хувьд физик дүүжин нь мөчлөгийн давтамж w 0 ((142.5)) ба үетэй гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг.

Хаана L=J/(мл) - багассан урт физик дүүжин.

Цэг ТУХАЙ'шулуун шугамын үргэлжлэл дээр үйлдлийн систем,цэгээс хол ТУХАЙөгөгдсөн уртын зайд дүүжин дүүжлүүр Л,дуудсан дүүжин төвфизик дүүжин (Зураг 201). Штайнерын теоремыг (16.1) хэрэглэснээр бид олж авна

өөрөөр хэлбэл ОО'үргэлж илүү OS.Түдгэлзүүлэх цэг ТУХАЙдүүжин ба дүүжин төв ТУХАЙ'байна солих шинж чанар:хэрэв түдгэлзүүлэх цэгийг дүүжин төв рүү шилжүүлсэн бол өмнөх цэг ТУХАЙтүдгэлзүүлэх

савлуурын шинэ төв болох ба физик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа өөрчлөгдөхгүй.

3. Математикийн дүүжин- Энэ идеал болгосонмасстай материаллаг цэгээс бүрдэх систем Т,сунадаггүй жингүй утас дээр дүүжлэгдэж, хүндийн хүчний нөлөөн дор хэлбэлздэг. Сайн ойролцоо математикийн дүүжиннимгэн урт утас дээр дүүжлэгдсэн жижиг хүнд бөмбөг юм. Математик дүүжингийн инерцийн момент

Хаана л- дүүжингийн урт.

Математикийн савлуурыг дараах байдлаар илэрхийлж болно онцгой тохиолдолфизик дүүжин,Түүний бүх масс нь массын төв болох нэг цэг дээр төвлөрсөн гэж үзвэл (142.8) илэрхийлэлийг (1417) томъёонд орлуулснаар бид математик дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн үеийн илэрхийлэлийг олж авна.

(142.7) ба (142.9) томъёог харьцуулж үзвэл урт нь багассан бол бид харж байна. Лфизик дүүжин нь урттай тэнцүү байна лматематик дүүжин, тэгвэл эдгээр дүүжингийн хэлбэлзлийн үеүүд ижил байна. Тиймээс, физик дүүжингийн уртыг багасгасан- энэ бол ийм математик дүүжингийн урт бөгөөд түүний хэлбэлзлийн хугацаа нь өгөгдсөн физик дүүжингийн хэлбэлзлийн үетэй давхцдаг.

Хамгийн тохиромжтой гармоник осциллятор. Осцилляторын хамгийн тохиромжтой тэгшитгэл ба түүний шийдэл. Хэлбэлзлийн далайц, давтамж, үе шат

ДЭЛГЭРЭЛТ

ГАРМОНИК чичиргээ

Хамгийн тохиромжтой гармоник осциллятор. Осцилляторын хамгийн тохиромжтой тэгшитгэл ба түүний шийдэл. Хэлбэлзлийн далайц, давтамж, үе шат

Хэлбэлзэл нь байгаль, технологийн хамгийн түгээмэл процессуудын нэг юм. Хэлбэлзэл нь цаг хугацааны явцад давтагдах үйл явц юм. эргэлз өндөр барилгуудболон салхины нөлөөгөөр өндөр хүчдэлийн утаснууд, дугуйны цагны савлуур, машин жолоодох үед пүршний дээр, голын усны түвшин, жилийн турш температур хүний ​​биеөвчний үед. Дуу нь агаарын даралтын хэлбэлзэл, радио долгион юм үе үе өөрчлөлтүүдцахилгаан хүчдэл ба соронзон орон, гэрэл мөн цахилгаан соронзон чичиргээ. Газар хөдлөлт - хөрсний чичиргээ, уналт, урсац - сарны таталцлаас үүдэлтэй тэнгис, далай тэнгисийн түвшний өөрчлөлт гэх мэт.

Хэлбэлзэл нь механик, цахилгаан соронзон, химийн, термодинамик гэх мэт байж болно. Ийм олон янз байдлыг үл харгалзан бүх хэлбэлзэл нь ижил дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлогддог.

Гармоник осцилляторыг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэлт нь эвдрэлийн хүчинтэй шууд пропорциональ байвал шугаман гэж үзэж болно. Гармоник осцилляторын хэлбэлзлийн давтамж нь далайцаас хамаардаггүй. Осцилляторын хувьд суперпозицийн зарчим хангагдсан байдаг - хэрвээ хэд хэдэн саад учруулж буй хүч үйлчилдэг бол тэдгээрийн нийт үйл ажиллагааны үр нөлөөг эдгээрээс үр нөлөөг нэмсний үр дүнд олж авах боломжтой. идэвхтэй хүчнүүдтусад нь.

Гармоник чичиргээг тэгшитгэлээр тодорхойлно (Зураг 1.1.1)

(1.1.1)

Хаана X- хэлбэлзэх хэмжигдэхүүнийг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх; А- хэлбэлзлийн далайц, утгатай тэнцүү байнахамгийн их шилжилт, - цаг хугацааны агшин дахь шилжилтийг тодорхойлох хэлбэлзлийн үе шат, - цаг хугацааны анхны агшин дахь шилжилтийн хэмжээг тодорхойлох эхний үе шат, - хэлбэлзлийн мөчлөгийн давтамж.

Нэг бүтэн хэлбэлзлийн хугацааг үе гэнэ, , энд тухайн хугацаанд гүйцэтгэсэн хэлбэлзлийн тоо.

Хэлбэлзлийн давтамж нь нэгж хугацаанд гүйцэтгэх хэлбэлзлийн тоог тодорхойлдог бөгөөд энэ нь мөчлөгийн давтамжтай холбоотой байдаг , дараа нь үе.

Тиймээс гармоник осцилляторын хурд, хурдатгал нь мөн үүнээс хамаарч өөр өөр байдаг гармоник хуульдалайцтай ба тус тус. Энэ тохиолдолд хурд нь үе шат дахь шилжилтээс, хурдатгалаас (Зураг 1.1.2) түрүүлж байна.

Гармоник осцилляторын хөдөлгөөний тэгшитгэл (1.1.1) ба (1.1.2)-ын харьцуулалтаас үзэхэд , эсвэл

Энэхүү хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг гармоник осцилляторын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Үүний шийдэл нь хоёр тогтмолыг агуулна Аболон , энэ нь даалгавараар тодорхойлогддог анхны нөхцөл

.

Тогтвортой тэнцвэрбайгаа системийн байрлалтай тохирч байна боломжит энергихамгийн бага ( q- системийн ерөнхий координат). Системийн тэнцвэрийн байрлалаас хазайх нь системийг буцаах хандлагатай хүч үүсэхэд хүргэдэг. Тэнцвэрийн байрлалд харгалзах ерөнхий координатын утгыг , дараа нь тэнцвэрийн байрлалаас хазайлтаар тэмдэглэнэ.

Бид боломжит энергийг тоолох болно хамгийн бага утга. Үүссэн функцийг хүлээн авч Маклаурин цуврал болгон өргөжүүлье, өргөтгөлийн эхний гишүүнийг үлдээе, бидэнд: o

,

Хаана . Дараа нь танилцуулсан тэмдэглэгээг харгалзан:

, (1.1.4)

Системд үйлчлэх хүчний илэрхийлэл (1.1.4)-ийг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Ньютоны хоёр дахь хуулийн дагуу системийн хөдөлгөөний тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

мөн хоёртой бие даасан шийдлүүд: ба , тийм ерөнхий шийдэл:

,

(1.1.6) томъёоноос зөвхөн давтамжийг тодорхойлно өөрийн өмчмеханик систем бөгөөд хөдөлгөөний далайц ба анхны нөхцлөөс хамаардаггүй.

Хэлбэлзэх системийн координатуудын цаг хугацааны хамаарлыг бодит хэсгийн хэлбэрээр тодорхойлж болно. нарийн төвөгтэй илэрхийлэл , Хаана A=Xe-iα– цогц далайц, түүний модуль нь ердийн далайцтай давхцаж, аргумент нь эхний үе шаттай давхцдаг.

Химичийн гарын авлага 21

Хими ба химийн технологи

Хөдөлгөөний гармоник хууль

Эргэлтийн хөдөлгөөнийг хэлбэлзлийн хөдөлгөөнд хувиргадаг механик (гол төлөв хазгай ба камерын механизм). Хөдөлгөөнт холбоосын хөдөлгөөний хууль нь гармониктай ойролцоо байж болно. Эдгээр өдөөгчийг зарим төрлийн дэлгэц, чичиргээт центрифуг, өт холигч зэрэгт ашигладаг.

IN сонгодог механикцэгийн системийн хөдөлгөөний хуулийг олохын тулд (цаг хугацааны функцээр qi-г координат) Ньютоны тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай. Дурын сонгосон координатын системийн хувьд потенциалтай (VII, 7) эдгээр тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь q (t) -ийн гармоник хэлбэрт хүргэдэггүй. Гэсэн хэдий ч q, - координатуудын шугаман хослолын тусламжтайгаар тус бүр нь тодорхой давтамжтай гармоник хуулийн дагуу өөрчлөгддөг шинэ координатуудыг байгуулах боломжтой гэдгийг харуулахад хялбар байдаг (в. Ийм координатууд

Үнэн хэрэгтээ холбоогоор холбогдсон хоёр атомын чичиргээ нь пүршээр бэхлэгдсэн хос бөмбөрцгийн чичиргээтэй төстэй юм. Жижиг шилжилтийн хувьд сэргээх хүч нь шилжилт хөдөлгөөнтэй пропорциональ байдаг бөгөөд хэрэв ийм системийг хөдөлгөөнд оруулбал хэлбэлзлийг энгийн гармоник хөдөлгөөний хуулиар тодорхойлно.

Поршений гармоник хөдөлгөөн хийхгүй, цус харвалт бүрийн төгсгөлд зогссон тохиолдолд сэргээгчийг ажиллуулах хамгийн сайн нөхцөл бий болно. Гэсэн хэдий ч энгийн байдлаас шалтгаалан поршений хөдөлгөөний гармоник хуулийг ашигласнаар нэлээд өндөр үр ашгийг олж авах боломжтой.

Эргэлзэх үед ажлын орчиндамжуулах хоолой эсвэл бусад даралтын сувагт урсгалын хөндлөн огтлол дээрх урсгалын хурдны хуваарилалт нь орчны тогтвортой хөдөлгөөний үед энэ хуваарилалтыг тодорхойлсон хуулиас ялгаатай. Ийнхүү дугуй цилиндр хоолойд шингэний ламинар урсгал хэлбэлзэх үед хурдны параболик хуваарилалт алдагддаг бөгөөд энэ нь гидравликээс мэдэгдэж байгаагаар хоолой дахь шингэний ламинар тогтвортой хөдөлгөөний онцлог шинж юм. At гармоник өөрчлөлтхоолойн дагуух даралтын градиент, хурдны хуваарилалтыг (9.42) томъёог ашиглан олж болно. Үүнийг хийхийн тулд (s) оронд та даралтын градиентийн өөрчлөлтийн гармоник хуулийн Лаплас дүрсийг томъёонд орлуулж, дараа нь гүйцэтгэнэ. урвуу хувиргалт. Энэ аргаар олж авсан функц (t, r) нь ажилд өгөгдсөн.

Аж үйлдвэрийн машинуудын загварт поршений тасалдалтай хөдөлгөөнтэй циклийг хэрэгжүүлэх шаардлагагүй гэдэг нь тодорхой байна. Поршений хөдөлгөөний аливаа хууль, тухайлбал гармоникийн хувьд (тахир хөтөчийн хувьд) хамгийн тохиромжтой Стирлинг машины термодинамик үр ашиг нь нэгдмэл байдалтай тэнцүү байна.

Эдгээр суурилуулалтанд хялбаршуулсан, гармониктай ойролцоо, саваа хөдөлгөөний хуулийг баталсан - шахуургын машины дөрвөн баарны холбоосыг бүлүүрт механизмаар сольсон. Энэхүү таамаглалыг нийтээр хүлээн зөвшөөрдөг бөгөөд туршилтаас харахад туршилтын нөхцөлийг бүрэн зөвтгөдөг.

Дотоод байдал хоёр атомт молекултөлөвийг нь зааж өгсөн бол тодорхойлно электрон бүрхүүл, түүнчлэн бүхэлдээ молекулын эргэлтийн хөдөлгөөн ба цөмийн чичиргээний хөдөлгөөний шинж чанарууд. Эргэлтийн болон чичиргээ нь молекулын электрон төлөвөөс хамааралгүй байх эхний ойролцоо гэж үздэг. Хоёр атомт молекулын эргэлт ба чичиргээний хөдөлгөөнийг тайлбарлах хамгийн энгийн загвар бол хатуу эргүүлэгч - гармоник осцилляторын загвар бөгөөд үүний дагуу молекулын хатуу эргүүлэгчийн эргэлт, гармоник хуулийн дагуу цөмийн чичиргээг бие даан авч үздэг. Сонгодог тайлбарЭнэ загварын хувьд бүлгийг үзнэ үү. IV., 5. Хоёр атомт молекулын энергийн илэрхийллийг квант механикийн томьёо (VII.19), (VII.20) болон (UP.22) ашиглан ижил ойролцоо утгаар бичье.

Чичиргээний далайцын өөрчлөлт, түүнчлэн чичиргээний гармоникаас цочролын горимд шилжих нь солигддог эксцентрик суурилуулах замаар хийгддэг бөгөөд тэдгээрийн профилийг ажлын ширээ ба блок бүхий түлхэгчийн хөдөлгөөний хуулиар тодорхойлдог. үүн дээр суурилуулсан коаксиаль цилиндрүүд.

Хэрэв молекулуудын энерги нь орон зайн координат () эсвэл момент (/ z) -ийн хувьд квадрат хэлбэртэй тодорхой тооны гишүүний нийлбэрээр илэрхийлэгддэг бол тархалтын хэлбэрийг е хэсэгт тэмдэглэв. Хууль нь кинетикийн илэрхийлэлд яг хэдэн нэр томьёо, боломжит энергийн илэрхийлэлд хэр их нэр томъёо багтсанаас хамаарахгүй. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид авч үзвэл хуулийн гарал үүслийг хялбаршуулсан болно ижил тооболомжит кинетик энергийг илэрхийлдэг нэр томъёо. Физикийн хувьд энэ нь молекулуудын нийт хөдөлгөөнийг бие даасан 5 гармоник осцилляторын тоогоор илэрхийлдэг гэсэн таамаглалтай тохирч байна. Энэ тохиолдолд молекулын энергийг дараах байдлаар бичиж болно.

бүхий спектрометрт тогтмол хурдатгал харьцангуй хурдЭх үүсвэр ба шингээгчийн хөдөлгөөн нь шугаман эсвэл гармоник хуулийн дагуу үе үе өөрчлөгддөг бөгөөд энэ нь өгөгдсөн хурдны интервалд судалж буй спектрийг бүртгэх боломжийг олгодог. Ихэвчлэн ийм спектрометрт санах ойн сувгууд хурдны циклтэй синхрон нээгдэх үед цаг хугацааны горимд ажилладаг олон сувгийн анализаторын санах ойд мэдээлэл бүртгэгддэг.

Илэрхийллийн нэг квант хуулиудЭнэ нь гүйцэтгэж буй биеийн энергийн түвшний салангид байдал юм үе үе хөдөлгөөн. Жишээ болгон осцилляторын гармоник хэлбэлзлийг авч үзье. Сонгодог гармоник осцилляторын энерги тасралтгүй өөрчлөгдөж болно. Энэ энерги нь yA 2 ( хамгийн өндөр үнэ цэнэболомжит энерги x = A). Уян хатан тогтмол

Албадан чичиргээ. Ингээд авч үзье уртааш чичиргээхөдөлгөгч хүчний үйлчлэлийн дор нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий шугаман уян систем хэрэв), гармоник хуулийн дагуу өөрчлөгддөг. Эхлээд бид уян хатан бус эсэргүүцлийн хүч байхгүй гэсэн таамаглалыг хүлээн зөвшөөрдөг. Энэ тохиолдолд хөдөлгөөний тэгшитгэл (Зураг 3.7, а) нь tx = -Py + P (/) хэлбэртэй байна, орлуулалтын дараа P = cx, dm = нийгмийн болон P (/) = Po sin (oi) -ийг өгдөг.

Хэрэв бид харьцаж байсан бол сонгодог систем, тэгвэл, тодорхой анхны нөхцөлд, зарчмын хувьд ердийн координатуудын зөвхөн нэг нь өөрчлөгдөх хөдөлгөөнийг өдөөх боломжтой байсан бол энэ хэвийн координат өөрчлөгдөхөд бүх холболтын урт, холбоосын өнцөг гэх мэт өөрчлөлтүүд гарч ирнэ. Энэ координаттай пропорциональ коэффициентүүд ажиглагдах болно Хэрэв хэвийн координатууд гармоник хуулийн дагуу өөрчлөгдвөл бүх зүйл геометрийн параметрүүдмолекулууд нь мөн гармоник хуулийн дагуу өөрчлөгдөх ба бүх геометрийн параметрүүд нь ижил фазын тэнцвэрийн утгуудаар дамжих болно. Усны төрлийн XY2 молекулын ердийн чичиргээний жишээг Зураг 8 2-т үзүүлэв.

Хэрэв бодисын электронууд тэнцвэрийн байрлалаасаа бага зэрэг шилжсэн бол тэдгээр нь шилжилт хөдөлгөөнтэй пропорциональ гэж тооцогдох нөхөн сэргээх үйл ажиллагааны нөлөөнд автдаг. Энэ тохиолдолд электронуудын хөдөлгөөн нь энгийн гармоник хэлбэлзэл болж хувирдаг. Ийм хэд хэдэн цахилгаан осциллятор агуулсан системээр гэрлийг нэвтрүүлэх нь нэмэлт төхөөрөмж гарч ирэхтэй тэнцүү юм. цахилгаан хүч, Максвеллийн онолын дагуу гэрлийн цахилгаан соронзон хэлбэлзлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэг болж хувирдаг. Гэрэл өнгөрөх үед цахилгаан орон нь харгалзах давтамжтайгаар өөрчлөгдөж, энерги хадгалагдах хуулийн дагуу хэлбэлзэгч электроны хөдөлгөөнд нөлөөлдөг. Хурд (тиймээс кинетик энерги) бодис дахь гэрлийн тархалт нь вакуумтай харьцуулахад бага байдаг тул гэрэлтэй харилцан үйлчлэх электронуудын кинетик энерги нэмэгддэг. Тиймээс гэрэл нь молекул дахь электронуудын хөдөлгөөнийг өөрчлөх хандлагатай бөгөөд электроныг анхны байрлалд нь байлгах хүчний эсрэг чиглэлд үйлчилдэг.

Энэ хэмжилтийн сонголтыг хоолойн дээжийн мушгирах чичиргээний үед ч хийж болно, хэрэв гадна цилиндрийг хөдөлгөөнгүй суурилуулсан бол дотоод цилиндрийг мушгиа дээр суурилуулж, түүн дээр ажиллах эргүүлэх хүчийг гармоник хуулийн дагуу тохируулна. Хэрэв бид одоо цилиндрийн эргэлт ба эргэлтийн өнцгийн хоорондох фазын зөрүү, түүнчлэн мушгирах өнцгийн далайцыг хэмжвэл O-ийг тодорхойлох тооцооны схемийг дээр дурдсан томьёо болгон бууруулна (VI. 15). ба (VI. 16). Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид эргэлтийн моментийн цилиндрийн өнцгийн хурдны харьцааг хэмжвэл энэ нь тохирч байна. тухай асуудал, бсистемийн эсэргүүцлийг тодорхойлох.

Дүгнэж хэлэхэд, бид бүрэн, бие махбодийн хувьд үндэслэлтэй гэдгийг тэмдэглэж байна тоон тодорхойлолтШингэний динамик, бүх авч үзсэн загварууд нь усан дахь тархалт ба хэлбэлзлийг тайлбарлах анхны ойролцоо тооцоолол юм, учир нь тэдгээрийг бүтээхэд хэд хэдэн хялбаршуулсан аргыг ашигласан. Зөвхөн удаан хугацааны суурин амьдралын хязгаарт (энэ нь бага температурт тохиолдож болно) эсвэл ионуудын гидрацийн бүрхүүл дэх усны молекулуудын хүчтэй цахилгаан наалдацтай үед гармоник ба энгийн загварүсрэх тархалт [тэгшитгэл (4-5) хүснэгт. 4] хууль ёсны байна. At өндөр температурмөн усны молекулуудын хоорондын холбоо ионоор суларсан уусмалд чичиргээ нь огцом ангармони болж, сулрах, тархах хөдөлгөөнөөр удааширдаг. Энэ тохиолдолд шингэний үйлдэл нь системийн үйл ажиллагаатай илүү нийцдэг чөлөөт тоосонцор[Тэгшитгэл(37)]. Диффуз ба хэлбэлзлийн хөдөлгөөний хооронд ямар ч хамаарал байхгүй гэсэн таамаглал нь мөн маргаантай асуудал. Саяхан Раман нар.

Дараагийн хэсэгт. 11.3 эгнээ задлах болно энгийн жишээнүүд, хувь хүний ​​задарсан эрх чөлөөний зэрэглэлийн дулааны багтаамжид үзүүлэх хувь нэмрийг тооцоолох боломжийг олгодог. Энэ тохиолдолд хоёр боломжит бөөмсөөс бүрдэх системд илүү анхаарал хандуулах болно эрчим хүчний төлөвүүд, ба гармоник осциллятор, учир нь тэдгээрийн жишээг ашиглан молекулын хөдөлгөөн ба системийн дулааны багтаамжийн хамаарлыг харьцангуй энгийн бөгөөд нэгэн зэрэг бүрэн шинжлэх боломжтой. Илүү ихийг нарийн төвөгтэй системүүддээр үндэслэн дундаж температурт дулааны багтаамжийг тооцоолоход хялбар байдаг сонгодог хууль жигд хуваарилалтэрх чөлөөний зэрэглэлээр.

Квант механик дахь бичил хэсгүүдийн хөдөлгөөний хуулиуд нь сонгодог хуулиас эрс ялгаатай. Нэг талаас, тэдгээр нь (жишээлбэл, мөргөлдөх үед) хуваагдашгүй цэнэг, масстай бөөмс шиг, нөгөө талаас тодорхой давтамжтай (долгионы урттай) долгион шиг ажилладаг бөгөөд тодорхой шинж чанартай байдаг. долгионы функца1з - үл хөдлөх хөрөнгө, otral Хөдөлгөөний эвслийн хууль гэсэн нэр томьёо дурдсан хуудсыг үзнэ үү Новоалексеевка дахь нотариатууд Новоалексеевка дахь Нотариат хэсэгт үнэгүй зар. Одоогоор зарлал байхгүй байна, хамгийн түрүүнд байгаарай!

ДЭЛГЭРЭЛТ. ДОЛГОО. ОПТИК

ДЭЛГЭРЭЛТ

Лекц 1

ГАРМОНИК чичиргээ

Хамгийн тохиромжтой гармоник осциллятор. Осцилляторын хамгийн тохиромжтой тэгшитгэл ба түүний шийдэл. Хэлбэлзлийн далайц, давтамж, үе шат

Хэлбэлзэл нь байгаль, технологийн хамгийн түгээмэл процессуудын нэг юм. Хэлбэлзэл нь цаг хугацааны явцад давтагдах үйл явц юм. Өндөр барилгууд, өндөр хүчдэлийн утаснууд салхины нөлөөгөөр хэлбэлзэж, шарагчтай цагны савлуур, машин жолоодох үед рашаан дээр байгаа машин, жилийн турш голын түвшин, өвчин эмгэгийн үед хүний ​​биеийн температур. Дуу нь агаарын даралтын хэлбэлзэл, радио долгион нь цахилгаан ба соронзон орны хүч чадлын үечилсэн өөрчлөлт, гэрэл нь цахилгаан соронзон хэлбэлзэл юм. Газар хөдлөлт - хөрсний чичиргээ, уналт, урсац - сарны таталцлаас үүдэлтэй тэнгис, далай тэнгисийн түвшний өөрчлөлт гэх мэт.

Хэлбэлзэл нь механик, цахилгаан соронзон, химийн, термодинамик гэх мэт байж болно. Ийм олон янз байдлыг үл харгалзан бүх хэлбэлзэл нь ижил дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлогддог.

Хэлбэлзлийг судалсан анхны эрдэмтэд бол Галилео Галилей, Кристиан Гюйгенс нар юм. Галилео хэлбэлзлийн үеийн далайцаас бие даасан байдлыг тогтоожээ. Гюйгенс дүүжин цагийг зохион бүтээжээ.

Тэнцвэрийн байрлалаасаа бага зэрэг эвдэрсэн үед тогтвортой хэлбэлзэл үзүүлдэг аливаа системийг гармоник осциллятор гэж нэрлэдэг. Сонгодог физикийн хувьд ийм системүүд нь хазайлтын жижиг өнцгийн доторх математик дүүжин, хэлбэлзлийн далайц багатай ачаалал, багтаамж ба индукцийн шугаман элементүүдээс бүрдэх цахилгаан хэлхээ юм.

Гармоник осцилляторыг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэлт нь эвдрэлийн хүчинтэй шууд пропорциональ байвал шугаман гэж үзэж болно. Гармоник осцилляторын хэлбэлзлийн давтамж нь далайцаас хамаардаггүй. Осцилляторын хувьд суперпозицийн зарчим хангагдсан байдаг - хэрвээ хэд хэдэн түгшүүртэй хүч үйлчилдэг бол тэдгээрийн нийт үйл ажиллагааны үр нөлөөг бие даасан хүчний нөлөөг нэмсний үр дүнд олж авах боломжтой.

Гармоник чичиргээг тэгшитгэлээр тодорхойлно (Зураг 1.1.1)

(1.1.1)

Хаана X- хэлбэлзэх хэмжигдэхүүнийг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх; А– хамгийн их шилжилтийн утгатай тэнцүү хэлбэлзлийн далайц, - цаг хугацааны агшин дахь шилжилтийг тодорхойлдог хэлбэлзлийн үе шат, - цаг хугацааны эхний мөч дэх шилжилтийн утгыг тодорхойлох эхний үе шат; - хэлбэлзлийн мөчлөгийн давтамж.

Нэг бүтэн хэлбэлзлийн хугацааг үе гэнэ, , энд тухайн хугацаанд гүйцэтгэсэн хэлбэлзлийн тоо.

Хэлбэлзлийн давтамж нь нэгж хугацаанд гүйцэтгэх хэлбэлзлийн тоог тодорхойлдог бөгөөд энэ нь мөчлөгийн давтамжтай холбоотой байдаг , дараа нь үе.

Материалын хэлбэлзлийн цэгийн хурд

хурдатгал

Тиймээс гармоник осцилляторын хурд ба хурдатгал нь далайцтай гармоник хуулийн дагуу өөрчлөгддөг. Энэ тохиолдолд хурд нь нүүлгэн шилжүүлэлтээс үе шаттайгаар, хурдатгал нь (Зураг 1.1.2).

Гармоник осцилляторын хөдөлгөөний тэгшитгэл (1.1.1) ба (1.1.2)-ын харьцуулалтаас үзэхэд , эсвэл

Энэхүү хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг гармоник осцилляторын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Үүний шийдэл нь хоёр тогтмолыг агуулна Аба , анхны нөхцөлийг тогтоох замаар тодорхойлно

.

Хэрэв үе үе давтагдах процессыг (1.1.1)-тэй давхцахгүй тэгшитгэлээр тайлбарлавал үүнийг ангармоник гэж нэрлэдэг. Ангармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг системийг ангармоник осциллятор гэж нэрлэдэг.

1.1.2 . Нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий системийн чөлөөт чичиргээ. Гармоник чичиргээг илэрхийлэх цогц хэлбэр

Байгальд систем тэнцвэрийн байрлалынхаа ойролцоо жижиг хэлбэлзэл маш түгээмэл байдаг. Хэрэв тэнцвэрийн байрлалаас хасагдсан системийг өөртөө үлдээвэл, өөрөөр хэлбэл түүнд ямар ч гадны хүч үйлчлэхгүй бол ийм систем нь чөлөөтэй, уналтгүй хэлбэлзэл хийх болно. Нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий системийг авч үзье.

Тогтвортой тэнцвэрт байдал нь системийн боломжит энерги нь хамгийн бага ( q- системийн ерөнхий координат). Системийн тэнцвэрийн байрлалаас хазайх нь системийг буцаах хандлагатай хүч үүсэхэд хүргэдэг. Тэнцвэрийн байрлалд харгалзах ерөнхий координатын утгыг , дараа нь тэнцвэрийн байрлалаас хазайлтаар тэмдэглэнэ.

Бид боломжит энергийг хамгийн бага утгаас тоолох болно. Үүссэн функцийг хүлээн авч Маклаурин цуврал болгон өргөжүүлье, өргөтгөлийн эхний гишүүнийг үлдээе, бидэнд: o

,

Хаана . Дараа нь танилцуулсан тэмдэглэгээг харгалзан:

, (1.1.4)

Системд үйлчлэх хүчний илэрхийлэл (1.1.4)-ийг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Ньютоны хоёр дахь хуулийн дагуу системийн хөдөлгөөний тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Илэрхийлэл (1.1.5) нь чөлөөт гармоник хэлбэлзлийн тэгшитгэл (1.1.3)-тай давхцаж байна.

гэсэн хоёр бие даасан шийдэлтэй: ба , тэгэхээр ерөнхий шийдэл нь:

,

Томъёо (1.1.6)-аас үзэхэд давтамж нь зөвхөн механик системийн дотоод шинж чанараар тодорхойлогддог бөгөөд далайц болон хөдөлгөөний анхны нөхцлөөс хамаардаггүй.

Хэлбэлзэх системийн координатын хугацаанаас хамаарах хамаарлыг цогц илэрхийллийн бодит хэсгийн хэлбэрээр тодорхойлж болно. , Хаана A=Xe-iα– цогц далайц, түүний модуль нь ердийн далайцтай давхцаж, аргумент нь эхний үе шаттай давхцдаг.

1.1.3 . Төрөл бүрийн физик шинж чанартай хэлбэлзлийн хөдөлгөөний жишээ

Пүршний ачааны хэлбэлзэл

Пүршний уян хатан чанараас хэтрээгүй тохиолдолд пүршний ачааллын хэлбэлзлийг авч үзье. Ийм ачаалал нь тэнцвэрийн байрлалтай харьцуулахад гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэх болно гэдгийг харуулъя (Зураг 1.1.3). Үнэн хэрэгтээ, Хукийн хуулийн дагуу шахсан эсвэл сунгасан пүрш нь гармоник хүчийг үүсгэдэг.

Хаана - хаврын хөшүүн байдлын коэффициент, - тэнцвэрийн байрлалын координат; X– цаг хугацааны агшин дахь ачааллын координат (материалын цэг), – тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх.

Координатын гарал үүслийг системийн тэнцвэрт байрлалд байрлуулъя. Энэ тохиолдолд.

Хэрвээ булаг нь тодорхой хэмжээгээр сунасан бол X, дараа нь тухайн агшинд суллана т=0 бол Ньютоны 2-р хуулийн дагуу ачааны хөдөлгөөний тэгшитгэл хэлбэр болно -kx=ma, эсвэл , Мөн

(1.1.6)

Энэ тэгшитгэл нь гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг системийн хөдөлгөөний тэгшитгэлтэй (1.1.3) давхцаж байгаа бөгөөд бид түүний шийдлийг дараах хэлбэрээр хайх болно;

. (1.1.7)

(1.1.6)-д (1.17) орлуулбал бид: өөрөөр хэлбэл (1.1.7) илэрхийлэл нь (1.1.6) тэгшитгэлийн шийдэл юм

Хэрэв эхний мөчид ачааны байрлал дур зоргоороо байсан бол хөдөлгөөний тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

.

Гармоник хэлбэлзэлтэй ачааллын энерги байхгүй үед хэрхэн өөрчлөгдөхийг авч үзье гадаад хүч(Зураг 1.14). Хэрэв яг одоо т=0 ачааны шилжилтийг хэлнэ x=A, дараа нь түүний нийт энерги нь хэв гажилттай булгийн боломжит энергитэй тэнцүү байх болно, кинетик энерги нь тэг болно (цэг 1).

Ачаалал дээр хүч үйлчилдэг F= -kx, тэнцвэрийн байрлал руу буцаах хандлагатай байдаг тул ачаалал нь хурдатгалын дагуу хөдөлж, хурдаа нэмэгдүүлж, улмаар кинетик энергийг нэмэгдүүлдэг. Энэ хүч нь ачааны шилжилтийг бууруулдаг X,ачааллын боломжит энерги буурч, кинетик энерги болж хувирдаг. Ачаалал-пүршний систем хаалттай тул түүний нийт энерги хадгалагдана, өөрөөр хэлбэл:

. (1.1.8)

Цагийн агшинд ачаалал тэнцвэрийн байрлалд (цэг 2), потенциал энерги нь тэг, кинетик энерги нь хамгийн их байна. Хамгийн дээд хурдэнерги хадгалагдах хуулиас ачааллыг олно (1.1.8):

Кинетик энергийн нөөцөөс шалтгаалан ачаалал нь уян хатан хүчний эсрэг ажилладаг – ба тэнцвэрийн байрлал дамждаг. Кинетик энерги аажмаар потенциал энерги болж хувирдаг. Ачаалал хамгийн их сөрөг шилжилттэй үед - А,кинетик энерги Wk=0, уян харимхай хүчний үйлчлэлээр ачаалал зогсч, тэнцвэрийн байрлал руу шилжиж эхэлнэ. F= -kx. Цаашдын хөдөлгөөн ижил төстэй байдлаар явагддаг.

Савлуурууд

Савлуур гэж бид хэлж байна хатуу, таталцлын нөлөөгөөр эргэн тойронд хэлбэлздэг тогтмол цэгэсвэл тэнхлэгүүд. Физик болон математикийн дүүжин байдаг.

Математикийн дүүжин гэдэг нь нэг материаллаг цэг дээр массыг түдгэлзүүлсэн, жингүй, сунадаггүй утаснаас бүрдэх идеалжуулсан систем юм.

Жишээлбэл, математикийн дүүжин бол урт нимгэн утас дээрх бөмбөг юм.

Дүүжингийн тэнцвэрийн байрлалаас хазайх нь өнцгөөр тодорхойлогддог φ , босоо шугамтай утас үүсгэдэг (Зураг 1.15). Савлуур тэнцвэрийн байрлалаас хазайхад гадны хүчний момент (таталцал) үүсдэг. , Хаана м- жин, - дүүжин урт

Энэ мөч нь савлуурыг тэнцвэрийн байрлал руу буцаах хандлагатай байдаг (багас уян харимхай хүчтэй төстэй) ба шилжилтийн эсрэг чиглэсэн байдаг. φ , тэгэхээр томъёонд хасах тэмдэг байна.

Савлуурын эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Iε=,

.

Тиймээс бид жижиг хэлбэлзлийн тохиолдлыг авч үзэх болно нүгэл φ ≈φ, тэмдэглэх,

бидэнд байна: , эсвэл , эцэст нь

Энэ бол гармоник чичиргээний тэгшитгэл, түүний шийдэл юм.

.

Математик дүүжингийн хэлбэлзлийн давтамж нь зөвхөн түүний урт ба таталцлын хурдатгалаар тодорхойлогддог бөгөөд дүүжингийн массаас хамаардаггүй. Хугацаа нь:

Хэрэв хэлбэлздэг биеийг төсөөлөхийн аргагүй бол материаллаг цэг, дараа нь савлуурыг физик гэж нэрлэдэг (Зураг 1.1.6). Бид түүний хөдөлгөөний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

.

Бага зэрэг хэлбэлзэлтэй тохиолдолд , эсвэл =0, хаана . Энэ бол гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг биеийн хөдөлгөөний тэгшитгэл юм. Физик дүүжингийн хэлбэлзлийн давтамж нь түүний масс, урт, түдгэлзүүлэх цэгээр дамжин өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн моментоос хамаарна.

гэж тэмдэглэе. Хэмжээ физик дүүжингийн багассан урт гэж нэрлэдэг. Энэ нь хэлбэлзлийн хугацаа нь өгөгдсөн физик дүүжингийн үетэй давхцаж байгаа математик дүүжингийн урт юм. Эргэлтийн тэнхлэгээс багассан уртын зайд байрлах дүүжлүүрийн цэгийг массын төвтэй холбосон шулуун шугам дээрх цэгийг физик савлуурын дүүжин төв гэж нэрлэдэг ( ТУХАЙ'). Хэрэв дүүжин дүүжингийн төвд дүүжлэгдсэн бол багассан урт ба хэлбэлзлийн хугацаа нь цэгийнхтэй ижил байх болно. ТУХАЙ. Тиймээс түдгэлзүүлэх цэг ба дүүжин төв нь харилцан үйлчлэх шинж чанартай байдаг: түдгэлзүүлэх цэгийг дүүжин төв рүү шилжүүлэх үед өмнөх дүүжин цэг нь шинэ дүүжин төв болдог.

Харгалзан үзэж буй физиктэй ижил хугацаанд эргэлддэг математикийн дүүжлүүрийг энэ физик дүүжинтэй изохрон гэж нэрлэдэг.

1.1.4. хэлбэлзлийн нэмэлт (цохилт, Lissajous тоо). Хэлбэлзэл нэмэх векторын тайлбар

Ижил чиглэлтэй хэлбэлзлийг нэмэх аргыг ашиглан хийж болно вектор диаграммууд. Аливаа гармоник хэлбэлзлийг вектор хэлбэрээр дараах байдлаар илэрхийлж болно. Тэнхлэгээ сонгоцгооё Xцэг дээр эхлэх цэгтэй ТУХАЙ(Зураг 1.1.7)

Нэг цэгээс ТУХАЙөнцөг үүсгэдэг векторыг байгуулъя тэнхлэгтэй X. Энэ векторыг эргүүлнэ өнцгийн хурд. Векторын тэнхлэг дээрх проекц Xтэнцүү байна:

өөрөөр хэлбэл далайцтай гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг А.

Нэг чиглэлтэй, ижил мөчлөгтэй жижиг хоёр гармоник хэлбэлзлийг авч үзье. вектороор өгөгдсөнМөн . Тэнхлэгийн зөрүү Xтэнцүү байна:

үүссэн вектор нь проекцтэй бөгөөд косинусын теоремын дагуу үүссэн хэлбэлзлийг илэрхийлнэ (Зураг 1.1.8).

Харилцан перпендикуляр хэлбэлзлийн нэмэлтийг хийцгээе. Материаллаг цэг нь хоёр зүйлийг харилцан хийцгээе перпендикуляр чичиргээдавтамж:

.

Материаллаг цэг нь өөрөө тодорхой муруй шугамын дагуу хөдөлнө.

Хөдөлгөөний тэгшитгэлээс дараах байдалтай байна. ,

. (1.1.9)

(1.1.9) тэгшитгэлээс бид эллипсийн тэгшитгэлийг авч болно (Зураг 1.1.9):

Энэ тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлуудыг авч үзье.

1. Хэлбэлзлийн фазын зөрүү α= 0. Үүний зэрэгцээ тэдгээр. эсвэл Энэ нь шулуун шугамын тэгшитгэл бөгөөд үүссэн хэлбэлзэл нь далайцтай энэ шулуун шугамын дагуу явагдана (Зураг 1.1.10).a.

түүний хурдатгал нь цаг хугацааны хувьд шилжилтийн хоёр дахь деривативтай тэнцүү байна Ньютоны хоёр дахь хуулийн дагуу хэлбэлзэх цэг дээр үйлчлэх хүч нь тэнцүү байна

Өөрөөр хэлбэл хүч нь шилжилт хөдөлгөөнтэй пропорциональ байна Xтэнцвэрийн байрлал руу шилжих хөдөлгөөний эсрэг чиглэнэ. Энэ хүчийг сэргээх хүч гэж нэрлэдэг. Пүршний ачааллын хувьд нөхөн сэргээх хүч нь математик дүүжингийн хувьд таталцлын хүчний бүрэлдэхүүн хэсэг юм.

Байгаль дахь нөхөн сэргээх хүч нь Hooke-ийн хуульд захирагддаг F= -kx,Хаана

- сэргээх хүчний коэффициент. Дараа нь хэлбэлзлийн цэгийн потенциал энерги нь дараахтай тэнцүү байна.

(интеграцийн тогтмолыг тэгтэй тэнцүү сонгосон тул хэзээ X).

АНГАРМОНИК ОСЦИЛЛАТОР

Энгийн зүйлийг авч үзье физик систем– Хукийн хүчний нөлөөгөөр хэвтээ гадаргуу дээр үрэлтгүйгээр хэлбэлзэх чадвартай материаллаг цэг (2-р зургийг үз).

Хэрэв ачааны шилжилт бага (хэв гажилтгүй пүршний уртаас хамаагүй бага), пүршний хөшүүн чанар нь k-тэй тэнцүү бол ачаалалд үйлчлэх цорын ганц хүч нь Hooke хүч юм. Дараа нь тэгшитгэл

ачааны хөдөлгөөн (Ньютоны хоёрдугаар хууль) хэлбэртэй байна

Нөхцөлүүдийг тэгш байдлын зүүн талд шилжүүлж, материаллаг цэгийн массад хуваах (бид булгийн массыг m-тэй харьцуулахад үл тоомсорлодог) бид хөдөлгөөний тэгшитгэлийг олж авна.

(*) ,

,

,

хэлбэлзлийн үе.

Дараа нь функцийг авна

Үүнийг цаг хугацааны хувьд ялгаж үзвэл, нэгдүгээрт, ачааны хөдөлгөөний хурд нь тэнцүү байна гэдэгт бид итгэлтэй байна.

хоёрдугаарт, олон удаа ялгасны дараа

,

өөрөөр хэлбэл X(t) нь пүршний ачааллын тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Хөдөлгөөний тэгшитгэлтэй (*) ийм системийг ерөнхийдөө механик, цахилгаан болон бусад аливаа системийг гармоник осциллятор гэж нэрлэдэг. X(t) төрлийн функцийг гармоник осцилляторын хөдөлгөөний хууль, хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.
гэж нэрлэдэг далайц,мөчлөгийнэсвэл байгалийн давтамж,эхний үе шат. Байгалийн давтамжийг осцилляторын параметрүүдээр, далайц ба эхний үе шатыг эхний нөхцлөөр тодорхойлно.

Х(t) хөдөлгөөний хууль нь чөлөөт хэлбэлзлийг илэрхийлдэг. Ийм хэлбэлзлийг уналтгүй дүүжин (математик эсвэл физик), хамгийн тохиромжтой хэлбэлзлийн хэлхээний гүйдэл ба хүчдэл болон бусад зарим системээр гүйцэтгэдэг.

Гармоник хэлбэлзэл нь нэг болон өөр чиглэлд хоёуланд нь нэмэгдэж болно. Нэмэлтийн үр дүн нь гармоник хэлбэлзэл юм, жишээлбэл,

.

Энэ бол чичиргээний суперпозиция (суперпозиция) зарчим юм.

Математикчид ийм төрлийн цувааны онолыг боловсруулсан бөгөөд үүнийг Фурье цуврал гэж нэрлэдэг. Мөн Фурье интеграл (давтамжууд тасралтгүй өөрчлөгдөж болно), тэр ч байтугай нарийн төвөгтэй давтамжтай ажилладаг Лаплас интеграл зэрэг хэд хэдэн ерөнхий дүгнэлтүүд байдаг.

§15. Норгосон осциллятор. Албадан чичиргээ.

Бодит механик системүүдүргэлж бага зэрэг үрэлттэй байдаг. Хамгийн энгийн тохиолдол бол шингэн эсвэл наалдамхай үрэлт юм. Энэ бол үрэлт бөгөөд түүний хэмжээ нь системийн хөдөлгөөний хурдтай пропорциональ (мөн хөдөлгөөний чиглэлийн эсрэг чиглэсэн байдаг). Хэрэв хөдөлгөөн нь X тэнхлэгийн дагуу явагддаг бол хөдөлгөөний тэгшитгэлийг (жишээлбэл, пүршний жингийн хувьд) хэлбэрээр бичиж болно.

,

Хаана – наалдамхай үрэлтийн коэффициент.

Энэ хөдөлгөөний тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлж болно

.

Энд
- сулралтын коэффициент; – энэ нь осцилляторын байгалийн давтамж хэвээр байна (үүнийг гармоник гэж нэрлэхээ больсон; энэ нь наалдамхай үрэлттэй чийгшүүлсэн осциллятор юм).

Математикчид ийм дифференциал тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Үүний шийдэл нь функц гэдгийг харуулсан

Сүүлийн томьёо нь дараах тэмдэглэгээг ашигладаг. – эхний далайц, сул уналттай хэлбэлзлийн давтамж
,
. Нэмж дурдахад сулралтыг тодорхойлдог бусад параметрүүдийг ихэвчлэн ашигладаг: логарифмын унтрах бууралт
, системийн амрах хугацаа
, системийн чанарын хүчин зүйл
, энд тоологч нь системд хуримтлагдсан энерги, хуваагч нь Т хугацааны энергийн алдагдал юм.

Хүчтэй суларсан тохиолдолд
уусмал нь апериод хэлбэртэй байдаг.

Осциллятор дээр үрэлтийн хүчнээс гадна гадны хүч үйлчилдэг тохиолдол ихэвчлэн байдаг. Дараа нь хөдөлгөөний тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулав

,

баруун талд байгаа илэрхийллийг ихэвчлэн бууруулсан хүч, илэрхийлэл өөрөө гэж нэрлэдэг
албадлагын хүч гэж нэрлэдэг. Дурын хөдөлгөгч хүчний хувьд тэгшитгэлийн шийдлийг олох боломжгүй юм. Энэ төрлийн гармоник хөдөлгөгч хүчийг ихэвчлэн авч үздэг
. Дараа нь уусмал нь (**) төрлийн чийгшүүлсэн хэсгийг төлөөлдөг бөгөөд энэ нь их хугацаанд тэг болох хандлагатай, тогтвортой (албадан) хэлбэлзэл юм.

Албадан хэлбэлзлийн далайц

,

албадан хэлбэлзлийн үе шат

.

Байгалийн давтамж нь хөдөлгөгч хүчний давтамж руу ойртох тусам албадан хэлбэлзлийн далайц нэмэгдэж байгааг анхаарна уу. Энэ үзэгдлийг гэж нэрлэдэг резонанс. Хэрэв сааруулагч их байвал резонансын өсөлт тийм ч их биш юм. Энэ резонансын "уйтгар" гэж нэрлэдэг. Бага унтарсан үед "хурц" резонансын далайц нэлээд нэмэгдэж болно. Хэрэв систем нь хамгийн тохиромжтой бөгөөд үрэлт байхгүй бол албадан хэлбэлзлийн далайц хязгааргүй нэмэгддэг.

Мөн хөдөлгөгч хүчний давтамж дээр гэдгийг анхаарна уу

Хөдөлгүүрийн хүчний далайцын хамгийн их утга нь тэнцүү байна

.