Karekök tanımı nedir? Aritmetik karekök nedir

Öğrenciler her zaman şunu sorar: “Matematik sınavında neden hesap makinesi kullanamıyorum? Hesap makinesi olmadan bir sayının karekökü nasıl çıkarılır? Bu soruyu cevaplamaya çalışalım.

Hesap makinesinin yardımı olmadan bir sayının karekökü nasıl çıkarılır?

Aksiyon karekök kare alma eyleminin tersi.

√81= 9 9 2 =81

Pozitif bir sayının karekökünü alıp sonucun karesini alırsanız aynı sayıyı elde edersiniz.

Doğal sayıların tam kareleri olan küçük sayılardan, örneğin 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, karekökler sözlü olarak çıkarılabilir. Genellikle okulda yirmiye kadar doğal sayıların karelerinden oluşan bir tablo öğretilir. Bu tabloyu bilerek 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 sayılarından karekökleri çıkarmak kolaydır. 400'den büyük sayılardan bazı ipuçlarını kullanarak seçim yöntemini kullanarak bunları çıkarabilirsiniz. Bu yönteme bir örnekle bakmaya çalışalım.

Örnek: 676 sayısının kökünü çıkarın.

20 2 = 400 ve 30 2 = 900 olduğunu fark ettik, yani 20< √676 < 900.

Doğal sayıların tam kareleri 0 ile biter; 1; 4; 5; 6; 9.
6 sayısı 4 2 ve 6 2 ile verilmektedir.
Bu, kök 676'dan alınırsa ya 24 ya da 26 olacağı anlamına gelir.

Kontrol etmeye devam ediyor: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Cevap: √676 = 26 .

Daha örnek: √6889 .

80 2 = 6400 ve 90 2 = 8100 olduğuna göre 80< √6889 < 90.
9 sayısı 3 2 ve 7 2 ile verildiğinde √6889 ya 83 ya da 87'ye eşit olur.

Kontrol edelim: 83 2 = 6889.

Cevap: √6889 = 83 .

Seçim yöntemini kullanarak çözmekte zorlanıyorsanız radikal ifadeyi çarpanlara ayırabilirsiniz.

Örneğin, √893025'i bul.

893025 sayısını çarpanlarına ayıralım, unutmayın bunu altıncı sınıfta yapmıştınız.

Şunu elde ederiz: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Daha örnek: √20736. 20736 sayısını çarpanlarına ayıralım:

√20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 elde ederiz.

Elbette çarpanlara ayırma, bölünebilme işaretleri bilgisini ve çarpanlara ayırma becerisini gerektirir.

Ve nihayet, var karekök çıkarma kuralı. Örneklerle bu kuralı tanıyalım.

√279841'i hesapla.

Çok basamaklı bir tam sayının kökünü çıkarmak için, onu sağdan sola 2 basamak içeren yüzlere böleriz (en soldaki kenar bir basamak içerebilir). Şöyle yazıyoruz: 27'98'41

Kökün (5) ilk rakamını elde etmek için soldaki ilk yüzde bulunan en büyük tam karenin (27) karekökünü alıyoruz.
Daha sonra kökün ilk rakamının karesi (25) ilk yüzden çıkarılır ve sonraki yüz (98) farka eklenir (çıkarılır).
Ortaya çıkan 298 sayısının soluna, kökün (10) çift hanesini yazın, önceden elde edilen sayının (29/2 ≈ 2) onluk sayısını ona bölün, bölümü test edin (102 ∙2 = 204) 298'den fazla olmamalı) ve kökün ilk rakamından sonra (2) yazılmalıdır.
Daha sonra elde edilen bölüm 204, 298'den çıkarılır ve bir sonraki kenar (41), farka (94) eklenir.
Ortaya çıkan 9441 sayısının soluna kök rakamlarının çift çarpımını (52 ∙2 = 104) yazın, 9441 sayısının onluk sayısını (944/104 ≈ 9) bu çarpıma bölün, bölümün (1049 ∙9 = 9441) 9441 olması ve bunu kökün ikinci rakamından sonra (9) yazmanız gerekir.

√279841 = 529 cevabını aldık.

Benzer şekilde çıkartın ondalık kesirlerin kökleri. Virgül yüzler arasında olacak şekilde yalnızca radikal sayı yüzlere bölünmelidir.

Örnek. √0,00956484 değerini bulun.

Bir ondalık kesrin tek sayıda ondalık basamağı varsa, bundan karekök alınamayacağını unutmayın.

Artık kökü çıkarmanın üç yolunu gördünüz. Size en uygun olanı seçin ve pratik yapın. Sorunları çözmeyi öğrenmek için onları çözmeniz gerekir. Sorularınız varsa derslerime kaydolun.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Pozitif bir sayının negatif olmayan kareköküne denir aritmetik karekök ve kök işareti kullanılarak gösterilir.

Karmaşık sayılar

Karmaşık sayılar alanında her zaman yalnızca işaretleri farklı olan (sıfırın karekökü hariç) iki çözüm vardır. Kökü karmaşık sayı sıklıkla şu şekilde gösterilir, ancak bu tanımlamanın dikkatli kullanılması gerekir. Yaygın hata:

Karmaşık bir sayının karekökünü çıkarmak için, karmaşık bir sayının üstel yazma biçimini kullanmak uygundur: eğer

modülün kökü şu anlamda anlaşılmaktadır: aritmetik değer ve k, k=0 ve k=1 değerlerini alabilir, dolayısıyla cevap iki farklı sonuçla sonuçlanır.

genellemeler

Karekökler, diğer nesneler için form denklemlerinin çözümleri olarak sunulur: matrisler, işlevler, operatörler vb. Oldukça keyfi çarpımsal işlemler, örneğin süperpozisyon gibi bir işlem olarak kullanılabilir.

Bilgisayar biliminde karekök

Birçok işlev düzeyinde programlama dilinde (LaTeX gibi biçimlendirme dillerinin yanı sıra), karekök işlevi şu şekilde yazılır: kare(İngilizce'den karekök"karekök").

Karekök bulma algoritmaları

Karekök bulma veya hesaplama verilen numara isminde ekstraksiyon(kare) kök.

Taylor serisi açılımı

Aritmetik karekök

Sayıların kareleri için aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

Yani bir sayının karekökünün tam kısmını ondan her şeyi çıkararak bulabilirsiniz. tek sayılar kalan, çıkarılacak bir sonraki sayıdan küçük veya sıfıra eşit olana kadar ve gerçekleştirilen eylemlerin sayısı sayılarak. Örneğin şöyle:

3 adım tamamlanır, 9'un karekökü 3 olur.

Bu yöntemin dezavantajı, çıkarılan kök bir tamsayı değilse, o zaman yalnızca tamamının bulunabilmesi, ancak daha kesin olarak bulunamamasıdır. Aynı zamanda bu yöntem, basit problemleri çözebilen çocuklar için de oldukça erişilebilirdir. matematik problemleri, karekök çıkarma gerektirir.

Kaba tahmin

Birçok hesaplama algoritması karekökler olumludan gerçek sayı S bir miktar başlangıç ​​değeri gerektirir. Eğer başlangıç ​​değeri kökün gerçek değerinden çok uzakta hesaplamalar yavaşlar. Bu nedenle, çok kesin olmayan ancak hesaplanması kolay olan kaba bir tahminde bulunmak faydalıdır. Eğer S≥ 1, izin ver D rakam sayısı olacak S solunda ondalık nokta. Eğer S < 1, пусть D virgülün sağında eksi işaretiyle alınan ardışık sıfırların sayısı olacaktır. O zaman kaba tahmin şuna benzer:

Eğer D garip, D = 2N+1, sonra kullan Eğer D eşit, D = 2N+2, sonra kullan

İki ve altı kullanılıyor çünkü Ve

İkili sistemde çalışırken (bilgisayarların içinde olduğu gibi), farklı bir değerlendirme kullanılmalıdır (burada D ikili basamakların sayısıdır).

Geometrik karekök

Kökü manuel olarak çıkarmak için uzun bölmeye benzer bir gösterim kullanılır. Kökünü aradığımız sayı yazılır. Sağında yavaş yavaş istenilen kökün numaralarını elde edeceğiz. c sayısının kökünü alalım ondalık basamaklar. Başlamak için, zihinsel olarak veya işaretlerle, N sayısını virgülün solunda ve sağında iki basamaklı gruplara böleriz. Gerekirse gruplar sıfırlarla doldurulur; tamsayı kısmı solda, kesirli kısım ise sağda doldurulur. Yani 31234.567, 03 12 34 olarak temsil edilebilir. 56 70. Bölmeden farklı olarak yıkım 2 haneli gruplar halinde yapılır.

Algoritmanın görsel açıklaması:

Kare kare arsa Arsa 81 dm²'dir. Onun tarafını bul. Diyelim ki karenin kenar uzunluğu X desimetre. Daha sonra arsanın alanı X² desimetre kare. Koşula göre bu alan 81 dm²'ye eşit olduğundan, o zaman X² = 81. Karenin kenar uzunluğu - pozitif sayı. Karesi 81 olan pozitif sayı 9 sayısıdır. Problemi çözerken karesi 81 olan x sayısını bulmak yani denklemi çözmek gerekiyordu. X² = 81. Bu denklemin iki kökü vardır: X 1 = 9 ve X 2 = - 9, çünkü 9² = 81 ve (- 9)² = 81. Hem 9 hem de - 9 sayılarına 81'in karekökleri denir.

Kareköklerden birinin X= 9 pozitif bir sayıdır. 81'in aritmetik karekökü olarak adlandırılır ve √81 ile gösterilir, yani √81 = 9.

Bir sayının aritmetik karekökü A karesi eşit olan negatif olmayan bir sayıdır A.

Örneğin 6 ve -6 sayıları 36 sayısının karekökleridir. Ancak 6, negatif olmayan bir sayı olduğundan ve 6² = 36 olduğundan 6 sayısı 36'nın aritmetik kareköküdür. -6 sayısı bir sayı değildir. aritmetik kök.

Bir sayının aritmetik karekökü A aşağıdaki gibi gösterilir: √ A.

İşarete aritmetik karekök işareti denir; A- radikal bir ifade olarak adlandırıldı. İfade √ A Okumak şöyle: bir sayının aritmetik karekökü A.Örneğin √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Bunun açıkça görüldüğü durumlarda hakkında konuşuyoruz aritmetik kök hakkında kısaca şunu söylüyorlar: “karekök A«.

Bir sayının karekökünü bulma işlemine karekök alma denir. Bu eylem kare almanın tersidir.

Herhangi bir sayının karesini alabilirsiniz, ancak herhangi bir sayıdan karekök çıkaramazsınız. Örneğin - 4 sayısının karekökünü çıkarmak imkansızdır. Eğer böyle bir kök varsa, o zaman bunu harfle belirtin X Solda negatif olmayan bir sayı ve sağda negatif bir sayı olduğundan yanlış eşitlik x² = - 4'ü elde ederiz.

İfade √ A sadece ne zaman anlamlı olur a ≥ 0. Karekök tanımı kısaca şu şekilde yazılabilir: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Eşitlik (√ A)² = A için geçerli a ≥ 0. Böylece, karekökün elde edilmesini sağlamak için negatif olmayan sayı A eşittir B, yani √ olması gerçeğinde A =B, aşağıdaki iki koşulun karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmeniz gerekir: b ≥ 0, B² = A.

Bir kesrin karekökü

Hesaplayalım. √25 = 5, √36 = 6 olduğuna dikkat edelim ve eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

Çünkü ve o zaman eşitlik doğrudur. Bu yüzden, .

Teorem: Eğer A≥ 0 ve B> 0, yani kesrin kökü köke eşit payın paydanın köküne bölünmesiyle bulunur. Bunu kanıtlamak gerekir: ve .

√'den beri A≥0 ve √ B> 0 ise .

Bir kesri bir kuvvete yükseltmenin özelliği ve karekök tanımı üzerine teorem kanıtlanmıştır. Birkaç örneğe bakalım.

Kanıtlanmış teoremi kullanarak hesaplayın .

İkinci örnek: Bunu kanıtlayın , Eğer A ≤ 0, B < 0. .

Başka bir örnek: Hesaplayın.

.

Karekök Dönüşümü

Çarpanın kök işaretinin altından kaldırılması. İfade verilsin. Eğer A≥ 0 ve B≥ 0 ise çarpım kök teoremini kullanarak şunu yazabiliriz:

Bu dönüşüme çarpanın kök işaretinden çıkarılması denir. Bir örneğe bakalım;

Hesapla X= 2. Doğrudan ikame X Radikal ifadede = 2 şuna yol açar karmaşık hesaplamalar. İlk önce faktörleri kök işaretinin altından kaldırırsanız, bu hesaplamalar basitleştirilebilir: . Şimdi x = 2'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz:.

Dolayısıyla, kök işaretinin altındaki faktör kaldırıldığında, radikal ifade, bir veya daha fazla faktörün negatif olmayan sayıların kareleri olduğu bir ürün biçiminde temsil edilir. Daha sonra çarpım kökü teoremini uygulayın ve her faktörün kökünü alın. Bir örnek düşünelim: A = √8 + √18 - 4√2 ifadesini kök işaretinin altındaki ilk iki terimdeki çarpanları çıkararak basitleştirirsek: elde ederiz. Eşitliğin altını çiziyoruz yalnızca şu durumlarda geçerlidir A≥ 0 ve B≥ 0. eğer A < 0, то .

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Tarafımızdan toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bunu çözmenin zamanı geldi kök çıkarma yöntemleri. Köklerin özelliklerine, özellikle de negatif olmayan herhangi bir b sayısı için geçerli olan eşitliğe dayanırlar.

Aşağıda kökleri tek tek çıkarmanın ana yöntemlerine bakacağız.

En basit durumla başlayalım; kareler tablosu, küpler tablosu vb. kullanarak doğal sayılardan kök çıkarmak.

Eğer kareler, küpler vb. tablolar Elinizde yoksa, radikal sayıyı asal çarpanlara ayırmayı içeren kökü çıkarma yöntemini kullanmak mantıklıdır.

Tek üslü kökler için nelerin mümkün olduğunu özellikle belirtmekte yarar var.

Son olarak kök değerin rakamlarını sıralı olarak bulmamızı sağlayan bir yöntem düşünelim.

Hadi başlayalım.

Karelerden oluşan bir tablo, küplerden oluşan bir tablo vb. kullanmak.

En çok basit vakalar kareler, küpler vb. tabloları kökleri çıkarmanıza olanak tanır. Bu tablolar nelerdir?

0'dan 99'a kadar (aşağıda gösterilmektedir) tam sayıların kareleri tablosu iki bölgeden oluşur. Tablonun ilk bölgesi gri bir arka plan üzerinde bulunur; belirli bir satırı ve belirli bir sütunu seçerek 0'dan 99'a kadar bir sayı oluşturmanıza olanak tanır. Örneğin 8 onluk bir satır ve 3 birimlik bir sütun seçelim, bununla 83 sayısını sabitledik. İkinci bölge tablonun geri kalanını kaplar. Her hücre, belirli bir satır ile belirli bir sütunun kesişiminde bulunur ve 0'dan 99'a kadar karşılık gelen sayının karesini içerir. Seçtiğimiz 8 onluk sıra ile 3. sütunun kesişiminde 83 sayısının karesi olan 6,889 numaralı hücre bulunmaktadır.

Küp tabloları, 0'dan 99'a kadar sayıların dördüncü kuvvetleri tabloları vb. kareler tablosuna benzer, yalnızca ikinci bölgede küpler, dördüncü güçler vb. içerirler. karşılık gelen sayılar.

Kareler, küpler, dördüncü kuvvetler vb. tabloları. karekökleri çıkarmanıza izin verir, küp kökleri, dördüncü kökler vb. buna göre bu tablolardaki sayılardan. Kök çıkarırken kullanım prensibini açıklayalım.

Diyelim ki a sayısı n'inci kuvvetler tablosunda yer alırken, a sayısının n'inci kökünü çıkarmamız gerekiyor. Bu tabloyu kullanarak a=b n olacak şekilde b sayısını buluruz. Daha sonra dolayısıyla b sayısı n'inci derecenin istenen kökü olacaktır.

Örnek olarak, 19.683'ün küp kökünü çıkarmak için küp tablosunun nasıl kullanılacağını gösterelim. Küpler tablosunda 19.683 sayısını buluyoruz, ondan bu sayının 27 sayısının küpü olduğunu buluyoruz, dolayısıyla, .

N'inci kuvvet tablolarının kökleri çıkarmak için çok uygun olduğu açıktır. Ancak çoğu zaman el altında olmazlar ve bunları derlemek biraz zaman alır. Ayrıca, karşılık gelen tablolarda yer almayan sayıların köklerini çıkarmak çoğu zaman gereklidir. Bu durumlarda diğer kök çıkarma yöntemlerine başvurmanız gerekir.

Radikal bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma

Yeterli uygun bir şekilde Doğal bir sayıdan kök çıkarmayı mümkün kılan (tabii ki kök çıkarılırsa), radikal sayının asal faktörlere ayrıştırılmasıdır. Onun mesele şu ki: bundan sonra bunu istenen üsle bir kuvvet olarak temsil etmek oldukça kolaydır, bu da kökün değerini elde etmenizi sağlar. Bu noktaya açıklık getirelim.

Bir a doğal sayısının n'inci kökü alınsın ve değeri b'ye eşit olsun. Bu durumda a=bn eşitliği doğrudur. Herhangi biri gibi b numarası doğal sayı tüm asal çarpanlarının p 1 , p 2 , …, p m çarpımı olarak p 1 · p 2 · … · p m biçiminde temsil edilebilir ve bu durumda a radikal sayısı (p 1 · p 2) olarak temsil edilir. · … · pm) n. Bir sayının asal çarpanlara ayrıştırılması benzersiz olduğundan, a radikal sayısının asal çarpanlara ayrıştırılması (p 1 ·p 2 ·…·p m) n biçiminde olacaktır, bu da kök değerinin hesaplanmasını mümkün kılar gibi.

Bir a radikal sayısının asal çarpanlarına ayrıştırılması (p 1 ·p 2 ·…·p m) n biçiminde temsil edilemiyorsa, bu durumda böyle bir a sayısının n'inci kökü tamamen çıkarılmaz.

Örnekleri çözerken bunu çözelim.

Örnek.

144'ün karekökünü alın.

Çözüm.

Önceki paragrafta verilen kareler tablosuna bakarsanız 144 = 12 2 olduğunu açıkça görebilirsiniz, buradan 144'ün karekökünün 12 olduğu açıktır.

Ancak bu noktanın ışığında 144 radikal sayısını asal çarpanlara ayrıştırarak kökün nasıl çıkarılacağıyla ilgileniyoruz. Bu çözüme bakalım.

Haydi ayrıştıralım 144'ün asal çarpanları:

Yani 144=2·2·2·2·3·3. Ortaya çıkan ayrıştırmaya dayanarak aşağıdaki dönüşümler gerçekleştirilebilir: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Buradan, .

Derecenin özellikleri ve köklerin özellikleri kullanılarak çözüm biraz farklı şekilde formüle edilebilir: .

Cevap:

Materyali pekiştirmek için iki örneğin daha çözümlerini düşünün.

Örnek.

Kökün değerini hesaplayın.

Çözüm.

243 radikal sayısının asal çarpanlarına ayrılması 243=3 5 şeklindedir. Böylece, .

Cevap:

Örnek.

Kök değeri bir tamsayı mı?

Çözüm.

Bu soruyu cevaplamak için radikal sayıyı asal çarpanlarına ayıralım ve bir tam sayının küpü olarak temsil edilip edilemeyeceğini görelim.

Elimizde 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 var. Ortaya çıkan genişleme bir tam sayının küpü olarak temsil edilmez, çünkü derece asal faktör 7 üçün katı değildir. Bu nedenle 285,768'in küp kökü tamamen çıkarılamıyor.

Cevap:

HAYIR.

Kesirli sayılardan köklerin çıkarılması

Kökün nasıl çıkarılacağını bulmanın zamanı geldi kesirli sayı. Kesirli radikal sayı p/q şeklinde yazılsın. Bir bölümün kökünün özelliğine göre aşağıdaki eşitlik doğrudur. Bu eşitlikten şu sonuç çıkıyor bir kesrin kökünü çıkarma kuralı: Bir kesrin kökü, payın kökünün bölümünün paydanın köküne bölünmesine eşittir.

Bir kesirden kök çıkarma örneğine bakalım.

Örnek.

Karekökü nedir ortak kesir 25/169 .

Çözüm.

Kareler tablosunu kullanarak orijinal kesrin payının karekökünün 5'e ve paydanın karekökünün 13'e eşit olduğunu buluyoruz. Daha sonra . Bu, 25/169 ortak fraksiyonunun kökünün çıkarılmasını tamamlar.

Cevap:

Ondalık kesirin veya karışık sayının kökü, radikal sayıların sıradan kesirlerle değiştirilmesinden sonra çıkarılır.

Örnek.

474.552 ondalık kesirinin küp kökünü alın.

Çözüm.

Orijinalini hayal edelim ondalık ortak kesir olarak: 474,552=474552/1000. Daha sonra . Ortaya çıkan fraksiyonun pay ve paydasındaki küp köklerini çıkarmak için kalır. Çünkü 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 ve 1 000 = 10 3, o zaman Ve . Geriye kalan tek şey hesaplamaları tamamlamak .

Cevap:

.

Negatif bir sayının kökünü almak

Negatif sayılardan köklerin çıkarılması üzerinde ayrı ayrı durmakta fayda var. Kökleri incelerken, kök üssü tek sayı olduğunda kök işaretinin altında negatif bir sayı olabileceğini söylemiştik. Bu girdilere şu anlamı verdik: negatif bir −a sayısı ve 2 n−1 kökünün tek üssü için, . Bu eşitlik şunu verir köklendirme kuralı tek derece negatif sayılardan: Negatif bir sayının kökünü çıkarmak için, karşıt pozitif sayının kökünü almanız ve sonucun önüne eksi işareti koymanız gerekir.

Örnek çözüme bakalım.

Örnek.

Kökün değerini bulun.

Çözüm.

Kök işaretinin altında pozitif bir sayı olacak şekilde orijinal ifadeyi dönüştürelim: . Şimdi karışık sayı sıradan bir kesirle değiştirin: . Sıradan bir kesrin kökünü çıkarmak için kuralı uyguluyoruz: . Ortaya çıkan fraksiyonun pay ve paydasındaki kökleri hesaplamak kalır: .

Hadi verelim kısa notçözümler: .

Cevap:

.

Kök değerinin bit bazında belirlenmesi

İÇİNDE genel durum kökün altında, yukarıda tartışılan teknikler kullanılarak herhangi bir sayının n'inci kuvveti olarak temsil edilemeyen bir sayı vardır. Ama aynı zamanda anlamını da bilmek gerekiyor. verilen kök en azından belli bir işarete kadar. Bu durumda kökü çıkarmak için sırayla elde etmenizi sağlayan bir algoritma kullanabilirsiniz. yeterli miktar gerekli sayının rakamlarının değerleri.

İlk adımda bu algoritmanın kök değerinin en anlamlı bitinin ne olduğunu bulmanız gerekir. Bunu yapmak için, 0, 10, 100, ... sayıları, radikal sayıyı aşan bir sayı elde edilene kadar sırayla n kuvvetine yükseltilir. Daha sonra önceki aşamada n üssüne çıkardığımız sayı, karşılık gelen en anlamlı rakamı gösterecektir.

Örneğin, beşin karekökünü çıkarırken algoritmanın bu adımını göz önünde bulundurun. 0, 10, 100, ... sayılarını alın ve 5'ten büyük bir sayı elde edene kadar bunların karesini alın. 0 2 =0 var<5 , 10 2 =100>5, yani en anlamlı rakam birler basamağı olacaktır. Bu bitin değeri ve daha düşük olanlar kök çıkarma algoritmasının sonraki adımlarında bulunacaktır.

Algoritmanın aşağıdaki tüm adımları, en yüksek olandan başlayıp en düşük olanlara doğru ilerleyerek, istenen kök değerinin sonraki bitlerinin değerlerini bularak kökün değerini sırayla netleştirmeyi amaçlamaktadır. Örneğin, ilk adımda kökün değeri 2, ikinci adımda 2,2, üçüncü adımda 2,23 ve bu şekilde 2,236067977 olur. Bitlerin değerlerinin nasıl bulunduğunu anlatalım.

Rakamlar aranarak bulunur olası değerler 0, 1, 2, …, 9. Bu durumda karşılık gelen sayıların n'inci kuvvetleri paralel olarak hesaplanır ve radikal sayı. Herhangi bir aşamada derecenin değeri radikal sayıyı aşarsa, önceki değere karşılık gelen rakamın değeri bulunmuş sayılır ve bu gerçekleşmezse kök çıkarma algoritmasının bir sonraki adımına geçiş yapılır; o zaman bu rakamın değeri 9'dur.

Bu noktaları aynı beşin karekökünü çıkarma örneğini kullanarak açıklayalım.

Öncelikle birler basamağının değerini buluyoruz. 5 radikal sayısından daha büyük bir değer elde edene kadar sırasıyla 0 2, 1 2, ..., 9 2'yi hesaplayarak 0, 1, 2, ..., 9 değerlerini üzerinden geçeceğiz. Tüm bu hesaplamaları bir tablo şeklinde sunmak uygundur:

Yani birler basamağının değeri 2'dir (2 2 olduğundan<5 , а 2 3 >5). Onuncu basamağın değerini bulmaya geçelim. Bu durumda, elde edilen değerleri 5 radikal sayısıyla karşılaştırarak 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 sayılarının karesini alacağız:

2.2 2'den beri<5 , а 2,3 2 >5 ise onuncu basamağın değeri 2'dir. Yüzüncü basamağın değerini bulmaya devam edebilirsiniz:

Böylece bulundu sonraki değer Beşin kökü 2,23'e eşittir. Ve böylece değerleri bulmaya devam edebilirsiniz: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Malzemeyi pekiştirmek için, dikkate alınan algoritmayı kullanarak kökün çıkarılmasını yüzlerce doğrulukla analiz edeceğiz.

İlk önce en anlamlı rakamı belirliyoruz. Bunu yapmak için 0, 10, 100 vb. sayıların küpünü alırız. 2.151.186'dan büyük bir sayı elde edene kadar. 0 3 =0 var<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, yani en anlamlı rakam onlar basamağıdır.

Değerini belirleyelim.

10 3'ten beri<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186 ise onlar basamağının değeri 1 olur. Birimlere geçelim.

Yani birler basamağının değeri 2'dir. Onuncu maddelere geçelim.

12,9 3 bile 2 151,186 radikal sayısından küçük olduğundan onuncu basamağın değeri 9'dur. Geriye algoritmanın son adımını gerçekleştirmek kalıyor; bize kökün değerini gerekli doğrulukla verecek.

Bu aşamada kökün değeri yüzde birlere kadar doğru bulunur: .

Bu yazının sonunda kök çıkarmanın başka birçok yolu olduğunu söylemek isterim. Ancak çoğu görev için yukarıda incelediklerimiz yeterlidir.

Referanslar.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).