Vektör sisteminin doğrusal olarak bağımsız olduğunu kanıtlayın. Doğrusal bağımlı ve doğrusal bağımsız vektörler

Vektör sistemi denir doğrusal bağımlı, aralarından en az birinin sıfırdan farklı olduğu sayılar varsa, eşitlik https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Eğer bu eşitlik yalnızca tümünün olması durumunda sağlanırsa, o zaman vektörler sistemine denir. Doğrusal bağımsız.

Teorem. Vektör sistemi olacak doğrusal bağımlı ancak ve ancak vektörlerinden en az birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması durumunda.

Örnek 1. Polinom polinomların doğrusal bir kombinasyonudur https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height=24">. Polinomlar doğrusal olarak bağımsız bir sistem oluşturur, çünkü polinom https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Örnek 2. Matris sistemi, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width = "51" height = "48 src = "> doğrusal olarak bağımsızdır, çünkü doğrusal bir kombinasyon şuna eşittir: sıfır matris yalnızca https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text durumunda /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> doğrusal bağımlı.

Çözüm.

Bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonunu yapalım https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" yükseklik = "22">.

Aynı isimli koordinatların eşitlenmesi eşit vektörler, https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69"> alıyoruz

Sonunda elde ettik

Ve

Sistemin benzersiz bir önemsiz çözümü vardır, dolayısıyla bu vektörlerin doğrusal birleşimi yalnızca tüm katsayıların sıfıra eşit olması durumunda sıfıra eşittir. Bu yüzden bu sistem vektörler doğrusal olarak bağımsızdır.

Örnek 4. Vektörler doğrusal olarak bağımsızdır. Vektör sistemleri nasıl olacak?

A).;

B).?

Çözüm.

A). Doğrusal bir kombinasyon yapalım ve bunu sıfıra eşitleyelim

Doğrusal uzayda vektörlerle yapılan işlemlerin özelliklerini kullanarak son eşitliği formda yeniden yazıyoruz.

Vektörler doğrusal olarak bağımsız olduğundan, at katsayıları sıfıra eşit olmalıdır, yani.gif" width="12" height="23 src=">

Ortaya çıkan denklem sisteminin benzersiz bir önemsiz çözümü vardır .

Eşitlikten bu yana (*) yalnızca https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – doğrusal olarak bağımsız olduğunda yürütülür;

B). Eşitlik yapalım https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Benzer akıl yürütmeyi uygulayarak şunu elde ederiz:

Denklem sistemini Gauss yöntemiyle çözerek şunu elde ederiz:

veya

Sonuncu sistem var sonsuz kümeçözümler https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width = "149" height = "24 src = ">. Böylece, eşitliğin sıfırdan farklı bir katsayılar kümesi vardır. tutar (**) . Bu nedenle vektör sistemi – doğrusal bağımlı.

Örnek 5 Bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımsızdır ve bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Eşitlik içinde (***) . Gerçekten de, sistem doğrusal olarak bağımlı olacaktır.

ilişkiden (***) alıyoruz veya Haydi belirtelim .

Aldık

Şunun için görevler: bağımsız karar(seyircilerin içinde)

1. Sıfır vektör içeren bir sistem doğrusal olarak bağımlıdır.

2. Bir vektörden oluşan sistem A, doğrusal olarak bağımlıdır ancak ve ancak şu durumda, a=0.

3. İki vektörden oluşan bir sistem, yalnızca vektörler orantılıysa (yani bunlardan biri diğerinden bir sayıyla çarpılarak elde edilirse) doğrusal olarak bağımlıdır.

4. Eğer k doğrusal ise bağımlı sistem bir vektör eklediğinizde doğrusal bağımlı bir sistem elde edersiniz.

5. Doğrusal olarak bağımsız bir sistemden bir vektör çıkarılırsa, ortaya çıkan vektör sistemi doğrusal olarak bağımsız olur.

6. Eğer sistem S doğrusal olarak bağımsızdır, ancak bir vektör eklenirken doğrusal olarak bağımlı hale gelir B, sonra vektör B sistem vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir S.

C).İkinci dereceden matrisler uzayında matris sistemi.

10. Vektörler sistemi olsun A,B,C Vektör Uzayı Doğrusal bağımsız. Aşağıdaki vektör sistemlerinin doğrusal bağımsızlığını kanıtlayın:

A).a+b, b, c.

B).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– Rasgele sayı

C).a+b, a+c, b+c.

11. İzin vermek A,B,C– bir üçgenin oluşturulabileceği düzlem üzerinde üç vektör. Bu vektörler doğrusal olarak bağımlı olacak mı?

12. İki vektör verilmiştir a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). İki tane daha al dört boyutlu vektör a3 vea4 böylece sistem a1,a2,a3,a4 doğrusal olarak bağımsızdı .

İzin vermek L- keyfi doğrusal uzay,A Ben Î L,- elemanları (vektörler).

Tanım 3.3.1.İfade , Nerede , - keyfi gerçek sayılar, doğrusal kombinasyon olarak adlandırılır vektörler bir 1, bir 2,…, bir N.

Eğer vektör R = sonra şunu söylüyorlar R vektörlere ayrıştırılmış bir 1, bir 2,…, bir N.

Tanım 3.3.2. Vektörlerin doğrusal birleşimine denir önemsiz değil, sayılar arasında sıfır olmayan en az bir tane varsa. Aksi takdirde doğrusal kombinasyon denir önemsiz.

Tanım 3.3.3 . Vektörler a 1 , a 2 ,…, a N bunların önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu varsa, doğrusal olarak bağımlı olarak adlandırılırlar;

= 0 .

Tanım 3.3.4. Vektörler a 1 ,a 2 ,…, a N eşitlik varsa doğrusal bağımsız olarak adlandırılır = 0 yalnızca tüm sayıların olması durumunda mümkündür ben 1, ben 2,…, ben n aynı anda sıfıra eşittir.

Eşitlik olduğundan sıfırdan farklı herhangi bir a 1 elemanının doğrusal olarak bağımsız bir sistem olarak kabul edilebileceğini unutmayın. ben bir 1 = 0 ancak şu durumda mümkün ben= 0.

Teorem 3.3.1. Gerekli ve yeterli koşul doğrusal bağımlılık a 1, a 2,…, a N bu unsurlardan en az birinin geri kalanına ayrıştırılması olasılığıdır.

Kanıt. Gereklilik. Elemanlar a 1 , a 2 ,…, a olsun N doğrusal bağımlı. Bu demektir = 0 ve sayılardan en az biri ben 1, ben 2,…, ben n sıfırdan farklı. Kesinlik için izin ver ben 1 ¹ 0. Sonra

yani a 1 öğesi a 2, a 3,…, a öğelerine ayrıştırılır N.

Yeterlilik. a 1 öğesinin a 2 , a 3 , …, a öğelerine ayrıştırılmasına izin verin N, yani a 1 = . Daha sonra = 0 dolayısıyla a 1 , a 2 ,…, a vektörlerinin önemsiz olmayan bir doğrusal birleşimi vardır. N, eşittir 0 yani doğrusal bağımlıdırlar .

Teorem 3.3.2. a 1 , a 2 ,…, a öğelerinden en az biri ise N sıfır ise bu vektörler doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt . İzin vermek A N= 0 , o zaman = 0 bu, bu elemanların doğrusal bağımlılığı anlamına gelir.

Teorem 3.3.3. Eğer n vektör arasında herhangi bir p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Kanıt. Kesinlik için a 1 , a 2 ,…, a elemanlarını kabul edelim. P doğrusal bağımlı. Bu, önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonun olduğu anlamına gelir: = 0 . Öğeyi her iki parçasına da eklersek belirtilen eşitlik korunacaktır. Daha sonra + = 0 ve sayılardan en az biri ben 1, ben 2,…, lp sıfırdan farklı. Bu nedenle, a 1 , a 2 ,…, a vektörleri N doğrusal olarak bağımlıdır.

Sonuç 3.3.1. Eğer n eleman doğrusal olarak bağımsızsa, o zaman bunlardan herhangi bir k tanesi doğrusal olarak bağımsızdır (k< n).

Teorem 3.3.4. Eğer vektörler bir 1, bir 2,…, bir N- 1 doğrusal olarak bağımsızdır ve elemanlar bir 1, bir 2,…, bir N- 1 A n doğrusal olarak bağımlıdır, o zaman vektör A n vektörlere genişletilebilir bir 1, bir 2,…, bir N- 1 .

Kanıt. a 1 koşuluna göre, a 2 ,…,A N- 1 A N doğrusal olarak bağımlıysa, bunların önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu vardır = 0 , ve (aksi takdirde a 1 , a 2 ,…, a vektörleri doğrusal olarak bağımlı hale gelecektir N- 1). Ama sonra vektör

,

Q.E.D.

Tanım. Vektörlerin doğrusal kombinasyonu a 1 , ..., katsayıları x 1 , ..., x n olan bir n'ye vektör denir

x 1 a 1 + ... + x n a n .

önemsiz, eğer tüm x 1 , ..., x n katsayıları sıfıra eşitse.

Tanım. x 1 a 1 + ... + x n an n doğrusal kombinasyonuna denir önemsiz değil, x 1, ..., x n katsayılarından en az biri sıfıra eşit değilse.

Doğrusal bağımsız, eğer bu vektörlerin sıfır vektörüne eşit önemsiz olmayan bir kombinasyonu yoksa.

Yani, a 1, ..., a n vektörleri eğer x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 ise ancak ve ancak x 1 = 0, ..., x n = 0 ise doğrusal olarak bağımsızdır.

Tanım. a 1, ..., a n vektörlerine denir doğrusal bağımlı, eğer bu vektörlerin sıfır vektörüne eşit önemsiz olmayan bir kombinasyonu varsa.

Doğrusal bağımlı vektörlerin özellikleri:

2 ve 3 boyutlu vektörler için.

İki doğrusal bağımlı vektörler- doğrusal. (Doğrusal vektörler doğrusal olarak bağımlıdır.)

3 boyutlu vektörler için.

Doğrusal olarak bağımlı üç vektör aynı düzlemdedir. (Üç eş düzlemli vektörler- doğrusal olarak bağımlı.)

• N boyutlu vektörler için.

  n + 1 vektör her zaman doğrusal olarak bağımlıdır.

Vektörlerin doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığı ile ilgili problem örnekleri:

Örnek 1. a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız olup olmadığını kontrol edin .

Çözüm:

Vektörlerin boyutu vektör sayısından az olduğundan vektörler doğrusal olarak bağımlı olacaktır.

Örnek 2. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız olup olmadığını kontrol edin.

Çözüm:

ikinciyi birinci satırdan çıkarın; üçüncü satıra ikinci satırı ekleyin:

Bu çözüm, sistemin birçok çözümü olduğunu, yani a, b, c vektörlerinin doğrusal kombinasyonunun eşit olacağı şekilde x 1, x 2, x 3 sayılarının değerlerinin sıfır olmayan bir kombinasyonunun olduğunu gösterir. sıfır vektör, Örneğin:

bir + b + c = 0

bu, a, b, c vektörlerinin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir.

Cevap: a, b, c vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.

Örnek 3. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız olup olmadığını kontrol edin.

Çözüm: Bu vektörlerin doğrusal birleşiminin sıfır vektörüne eşit olacağı katsayıların değerlerini bulalım.

Bu vektör denklemi bir sistem olarak yazılabilir doğrusal denklemler

Bu sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözelim

birincisini ikinci satırdan çıkarın; birincisini üçüncü satırdan çıkarın:

ikinciyi birinci satırdan çıkarın; üçüncü satıra bir saniye ekleyin.

Tarafımızca tanıtılan doğrusal işlemler vektörlerin üzerinde derlemeyi mümkün kılmak çeşitli ifadelerİçin Vektör nicelikleri ve bu işlemler için ayarlanan özellikleri kullanarak bunları dönüştürün.

Belirli bir a 1, ..., a n vektör kümesine dayanarak, formun bir ifadesini oluşturabilirsiniz.

burada a 1, ... ve n keyfi gerçek sayılardır. Bu ifade denir vektörlerin doğrusal kombinasyonu a 1, ..., a n. α i, i = 1, n sayıları temsil eder doğrusal kombinasyon katsayıları. Bir vektör kümesine de denir vektör sistemi.

Tanıtılan vektörlerin doğrusal birleşimi kavramıyla bağlantılı olarak, belirli bir a 1, ..., a n vektör sisteminin doğrusal bir birleşimi olarak yazılabilen bir vektörler kümesini tanımlama sorunu ortaya çıkar. Ek olarak, bir vektörün doğrusal kombinasyon biçiminde temsil edildiği koşullar ve böyle bir temsilin benzersizliği hakkında doğal sorular vardır.

Tanım 2.1. a 1, ... ve n vektörlerine denir doğrusal bağımlı, eğer α 1 , ... , α n katsayıları kümesi varsa, öyle ki

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2,2)

ve bu katsayılardan en az biri sıfır değildir. Belirtilen katsayılar kümesi mevcut değilse, vektörlere çağrılır. Doğrusal bağımsız.

Eğer α 1 = ... = α n = 0 ise, o zaman açıkça α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 olur. Bunu aklımızda tutarak şunu söyleyebiliriz: a 1, ..., ve vektörleri Eşitlik (2.2)'den tüm α 1 , ... , α n katsayılarının sıfıra eşit olduğu sonucu çıkarsa n doğrusal olarak bağımsızdır.

Aşağıdaki teorem, yeni kavrama neden "bağımlılık" (veya "bağımsızlık") terimi denildiğini açıklar ve doğrusal bağımlılık için basit bir kriter sağlar.

Teorem 2.1. a 1, ... ve n, n > 1 vektörlerinin doğrusal bağımlı olabilmesi için, bunlardan birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

◄ Gereklilik. a 1, ... ve n vektörlerinin doğrusal olarak bağımlı olduğunu varsayalım. Doğrusal bağımlılığın Tanım 2.1'ine göre, soldaki eşitlikte (2.2) sıfır olmayan en az bir katsayı vardır, örneğin α 1. İlk terimi eşitliğin sol tarafında bırakarak geri kalanını Sağ Taraf, her zamanki gibi işaretlerini değiştiriyorlar. Ortaya çıkan eşitliği α 1'e bölerek şunu elde ederiz:

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

onlar. a 1 vektörünün geri kalan a 2, ..., a n vektörlerinin doğrusal birleşimi olarak temsili.

Yeterlilik. Örneğin, ilk a 1 vektörünün geri kalan vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebildiğini varsayalım: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Tüm terimleri sağ taraftan sola aktararak 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0 elde ederiz, yani. a 1, ..., a n vektörlerinin α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n katsayılarına sahip doğrusal bir kombinasyonu, eşittir sıfır vektör. Bu doğrusal kombinasyonda tüm katsayılar sıfır değildir. Tanım 2.1'e göre a 1, ... ve n vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.

Doğrusal bağımlılığın tanımı ve kriteri, iki veya daha fazla vektörün varlığını ima edecek şekilde formüle edilmiştir. Ancak bir vektörün doğrusal bağımlılığından da bahsedebiliriz. Bu ihtimali gerçekleştirmek için “vektörler doğrusal olarak bağımlıdır” yerine “vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıdır” demek gerekir. "Bir vektörden oluşan bir sistem doğrusal olarak bağımlıdır" ifadesinin bu tek vektörün sıfır olduğu anlamına geldiğini görmek kolaydır (doğrusal bir kombinasyonda yalnızca bir katsayı vardır ve sıfıra eşit olmamalıdır).

Doğrusal bağımlılık kavramının basit bir anlamı vardır. geometrik yorumlama. Aşağıdaki üç ifade bu yorumu açıklamaktadır.

Teorem 2.2.İki vektör ancak ve ancak şu durumda doğrusal olarak bağımlıdır: doğrusal.

◄ Eğer a ve b vektörleri doğrusal olarak bağımlıysa, bunlardan biri, örneğin a, diğeri aracılığıyla ifade edilir; a = λb, bazı λ gerçek sayıları için. Tanım 1.7'ye göre İşler sayı başına vektörler, a ve b vektörleri doğrusaldır.

Şimdi a ve b vektörleri eşdoğrusal olsun. Her ikisi de sıfır ise, bunların herhangi bir doğrusal kombinasyonu sıfır vektörüne eşit olduğundan, bunların doğrusal olarak bağımlı oldukları açıktır. Bu vektörlerden birinin, örneğin b vektörünün 0'a eşit olmamasına izin verin. Vektör uzunluklarının oranını λ ile gösterelim: λ = |a|/|b|. Doğrusal vektörler şunlar olabilir: tek yönlü veya zıt yönlü. İÇİNDE ikinci durumλ'nın işaretini değiştirelim. Daha sonra Tanım 1.7'yi kontrol ederek a = λb olduğuna ikna olduk. Teorem 2.1'e göre a ve b vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.

Açıklama 2.1.İki vektör durumunda, doğrusal bağımlılık kriteri dikkate alınarak kanıtlanmış teorem şu şekilde yeniden formüle edilebilir: iki vektör, ancak ve ancak bunlardan birinin diğerinin bir sayı ile çarpımı olarak temsil edilmesi durumunda eşdoğrusaldır. Bu, iki vektörün doğrusallığı için uygun bir kriterdir.

Teorem 2.3.Üç vektör ancak ve ancak aşağıdaki durumlarda doğrusal olarak bağımlıdır: aynı düzlemde.

◄ Eğer üç vektör a, b, c doğrusal olarak bağımlıysa, o zaman Teorem 2.1'e göre bunlardan biri, örneğin a, diğerlerinin doğrusal bir birleşimidir: a = βb + γс. b ve c vektörlerinin kökenlerini A noktasında birleştirelim. O zaman βb, γс vektörleri A noktasında ve boyunca ortak bir kökene sahip olacaktır. paralelkenar kuralına göre bunların toplamı onlar. a vektörü, A kökenli bir vektör olacaktır ve son bileşen vektörleri üzerine kurulu bir paralelkenarın tepe noktasıdır. Böylece tüm vektörler aynı düzlemde, yani aynı düzlemde yer alır.

a, b, c vektörleri eş düzlemli olsun. Bu vektörlerden biri sıfırsa, bu açıkça diğerlerinin doğrusal bir birleşimi olacaktır. Doğrusal kombinasyonun tüm katsayılarını almak yeterlidir sıfıra eşit. Bu nedenle üç vektörün de sıfır olmadığını varsayabiliriz. Uyumlu başladı bu vektörler ortak nokta O. Uçları sırasıyla A, B, C noktaları olsun (Şekil 2.1). C noktasından O, A ve O, B nokta çiftlerinden geçen çizgilere paralel çizgiler çizeriz. Kesişme noktalarını A" ve B" olarak belirleyerek bir OA"CB" paralelkenarı elde ederiz, dolayısıyla OC" = OA" + OB". OA" vektörü ve sıfır olmayan vektör a = OA eşdoğrusaldır ve bu nedenle bunlardan ilki, ikincinin şu şekilde çarpılmasıyla elde edilebilir: gerçek Numaraα:OA" = αOA. Benzer şekilde, OB" = βOB, β ∈ R. Sonuç olarak, OC" = α OA + βOB elde ederiz, yani c vektörü, a ve b vektörlerinin doğrusal bir birleşimidir. Teorem 2.1'e göre a , b , c vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.

Teorem 2.4. Herhangi dört vektör doğrusal olarak bağımlıdır.

◄ İspatı Teorem 2.3'teki şemaya göre gerçekleştiriyoruz. Rastgele dört a, b, c ve d vektörünü düşünün. Dört vektörden biri sıfırsa veya aralarında iki eşdoğrusal vektör varsa veya dört vektörden üçü aynı düzlemdeyse, bu dört vektör doğrusal olarak bağımlıdır. Örneğin, a ve b vektörleri eşdoğrusal ise, sıfır olmayan katsayılarla bunların doğrusal kombinasyonunu αa + βb = 0 yapabilir ve ardından katsayı olarak sıfırları alarak geri kalan iki vektörü bu kombinasyona ekleyebiliriz. Sıfır olmayan katsayıların bulunduğu, 0'a eşit dört vektörün doğrusal bir kombinasyonunu elde ederiz.

Böylece, seçilen dört vektör arasında hiçbir vektörün sıfır olmadığını, hiçbir ikisinin eşdoğrusal olmadığını ve hiçbir üçünün eşdüzlemsel olmadığını varsayabiliriz. Bunları şu şekilde seçelim ortak başlangıç O noktası. O zaman a, b, c, d vektörlerinin uçları bazı A, B, C, D noktaları olacaktır (Şekil 2.2). D noktasından üç düzlem çiziyoruz, düzlemlere paralel OBC, OCA, OAB ve A", B", C" bu düzlemlerin sırasıyla OA, OB, OS düz çizgileriyle kesişme noktaları olsun. Paralel yüzlü OA"C"B"C"B"DA'yı elde ederiz. "ve a, b, c vektörleri O tepe noktasından çıkan kenarlarında bulunur. OC"DC" dörtgeni bir paralelkenar olduğundan, OD = OC" + OC" . Buna karşılık, OC" segmenti bir köşegendir. paralelkenar OA"C"B", yani OC" = OA" + OB" ve OD = OA" + OB" + OC" olur.

OA ≠ 0 ve OA", OB ≠ 0 ve OB", OC ≠ 0 ve OC" vektör çiftlerinin eşdoğrusal olduğunu ve bu nedenle α, β, γ katsayılarını şu şekilde seçmek mümkündür: OA" = αOA, OB" = βOB ve OC" = γOC. Sonunda OD = αOA + βOB + γOC elde ederiz. Sonuç olarak, OD vektörü diğer üç vektör aracılığıyla ifade edilir ve Teorem 2.1'e göre dört vektörün tümü doğrusal olarak bağımlıdır.

Görev 1. Vektör sisteminin doğrusal bağımsız olup olmadığını öğrenin. Vektör sistemi, sütunları vektörlerin koordinatlarından oluşan sistemin matrisi tarafından belirlenecektir.

.

Çözüm. Doğrusal kombinasyona izin verin sıfıra eşittir. Bu eşitliği koordinatlarla yazarsak şunu elde ederiz: aşağıdaki sistem denklemler:

.

Böyle bir denklem sistemine üçgen denir. Onun tek karar . Bu nedenle vektörler Doğrusal bağımsız.

Görev 2. Vektör sisteminin doğrusal bağımsız olup olmadığını öğrenin.

.

Çözüm. Vektörler doğrusal olarak bağımsızdır (bkz. problem 1). Vektörün, vektörlerin doğrusal birleşimi olduğunu kanıtlayalım. . Vektör genişleme katsayıları denklem sisteminden belirlenir

.

Bu sistemin üçgen gibi benzersiz bir çözümü var.

Bu nedenle vektör sistemi doğrusal bağımlı.

Yorum. Problem 1'deki ile aynı tipteki matrislere denir. üçgensel ve problem 2'de – kademeli üçgen . Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı sorunu, bu vektörlerin koordinatlarından oluşan matris adım üçgen ise kolayca çözülür. Eğer matris yoksa özel Tip, ardından kullanarak temel dize dönüşümleri Sütunlar arasındaki doğrusal ilişkiler korunarak basamaklı üçgen forma indirgenebilir.

Temel dönüşümlerçizgiler Matrisler (EPS) Bir matris üzerinde aşağıdaki işlemlere denir:

1) dizelerin yeniden düzenlenmesi;

2) bir dizgiyi sıfır olmayan bir sayıyla çarpmak;

3) bir dizeye rastgele bir sayıyla çarpılarak başka bir dize eklemek.

Görev 3. Maksimumu doğrusal olarak bulun bağımsız alt sistem ve vektör sisteminin rütbesini hesaplayın

.

Çözüm. Sistemin matrisini EPS kullanarak basamaklı üçgen forma indirgeyelim. Prosedürü açıklamak için dönüştürülecek matrisin numarasının bulunduğu satırı sembolüyle belirtiyoruz. Oktan sonraki sütun, yeni matrisin satırlarını elde etmek için dönüştürülmekte olan matrisin satırları üzerindeki eylemleri gösterir.

.

Açıkçası, ortaya çıkan matrisin ilk iki sütunu doğrusal olarak bağımsızdır, üçüncü sütun bunların doğrusal birleşimidir ve dördüncüsü ilk ikisine bağlı değildir. Vektörler temel denir. Sistemin maksimum doğrusal olarak bağımsız bir alt sistemini oluştururlar. ve sistemin rütbesi üçtür.

Temel, koordinatlar

Görev 4. Kümedeki bu temelde vektörlerin tabanını ve koordinatlarını bulun geometrik vektörler koordinatları koşulu karşılayan .

Çözüm. Küme orijinden geçen bir düzlemdir. Bir düzlemdeki keyfi bir temel, doğrusal olmayan iki vektörden oluşur. Seçilen bazdaki vektörlerin koordinatları, karşılık gelen doğrusal denklem sisteminin çözülmesiyle belirlenir.

Koordinatları kullanarak temeli bulabileceğinizde bu sorunu çözmenin başka bir yolu var.

Koordinatlar uzaylar düzlemdeki koordinatlar değildir, çünkü bunlar ilişkiyle ilişkilidir yani bağımsız değillerdir. Bağımsız değişkenler (serbest olarak adlandırılırlar) düzlemdeki bir vektörü benzersiz bir şekilde tanımlarlar ve bu nedenle de koordinatlar olarak seçilebilirler. Daha sonra temel serbest değişken kümelerinin içinde yer alan ve bunlara karşılık gelen vektörlerden oluşur Ve , yani .

Görev 5. Tek koordinatları birbirine eşit olan uzaydaki tüm vektörler kümesinde bu tabandaki vektörlerin tabanını ve koordinatlarını bulun.

Çözüm. Şu şekilde seçelim önceki görev, uzaydaki koordinatlar.

Çünkü , ardından serbest değişkenler vektörü benzersiz bir şekilde belirler ve bu nedenle koordinatlardır. Karşılık gelen taban vektörlerden oluşur.

Görev 6. Formun tüm matrisleri kümesinde bu temelde vektörlerin temelini ve koordinatlarını bulun , Nerede – keyfi sayılar.

Çözüm. Her matris aşağıdaki biçimde benzersiz bir şekilde temsil edilebilir:

Bu ilişki vektörün tabana göre açılımıdır.
koordinatlarla .

Görev 7. Boyut ve temeli bulun doğrusal kabuk vektör sistemleri

.

Çözüm. EPS'yi kullanarak matrisi sistem vektörlerinin koordinatlarından adım üçgen formuna dönüştürüyoruz.

.

Sütunlar son matrisler doğrusal olarak bağımsızdır ve sütunlar bunlar aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir. Bu nedenle vektörler bir temel oluşturmak , Ve .

Yorum. Temel belirsiz bir şekilde seçilmiştir. Örneğin, vektörler aynı zamanda bir temel oluşturur .