Matrix'e Göre Tanım Belirli sayıda satır ve sütun içeren sayılar tablosuna denir
Matrisin elemanları a ij formundaki sayılardır; burada i satır numarasıdır j sütun numarasıdır
Örnek 1 i = 2 j = 3
Tanım: bir=
Matris türleri:
1. Satır sayısı sütun sayısına eşit değilse matris denir dikdörtgen:
2. Satır sayısı sütun sayısına eşitse matris denir kare:
Satır veya sütun sayısı kare matris onu aradım sırayla. Örnekte n = 2
N mertebesinde bir kare matris düşünün:
a 11, a 22......., a nn elemanlarını içeren köşegen denir ana , ve a 12, a 2 n -1, …….a n 1 – elemanlarını içeren köşegen – ek.
Yalnızca ana köşegenindeki elemanları sıfırdan farklı olan matrislere ne ad verilir? diyagonal:
Örnek 4 
n=3
3. Bir köşegen matrisin elemanları 1'e eşitse, matris denir Bekar ve E harfiyle gösterilir:
Örnek 6 
n=3
4. Tüm elemanları sıfıra eşit olan bir matrise denir hükümsüz matris ve O harfi ile gösterilir
Örnek 7 
5. Üçgen N'inci dereceden bir matris, ana köşegenin altında bulunan tüm elemanları sıfıra eşit olan bir kare matristir:
Örnek 8 
n=3
Matrisler üzerindeki eylemler:
A ve B matrisinin toplamı, elemanları A ve B matrislerinin karşılık gelen elemanlarının toplamına eşit olan bir C matrisidir.
Yalnızca matrisler aynı numara satırlar ve sütunlar.
A matrisi ile k sayısının çarpımı her elemanı ka ij'ye eşit olan böyle bir matris kA denir
Örnek10 
Bir matrisin bir sayıyla çarpılması, matrisin tüm elemanlarının o sayıyla çarpılmasına indirgenir.
Matrislerin çarpımı Bir matrisi bir matrisle çarpmak için, ilk matrisin ilk satırını seçip ikinci matrisin ilk sütununun karşılık gelen elemanlarıyla çarpmanız ve sonucu eklemeniz gerekir. Bu sonucu sonuç matrisinin 1. satırı ve 10. sütununa yerleştirin. Aynı işlemleri diğer tüm öğelerle gerçekleştiriyoruz: 1. satırdan ikinci sütuna, 3. satıra vb., ardından aşağıdaki satırlarla.
Örnek 11 
A matrisinin B matrisiyle çarpılması ancak birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin sütun sayısına eşit olması durumunda mümkündür.
- iş mevcut;
- çalışma mevcut değil
Örnekler 12 
matris II'deki son satırı çarpacak hiçbir şey yok, yani. eser mevcut değil
Matris Transpozu Satır elemanlarını sütun elemanlarıyla değiştirme işlemine denir:
Örnek13 
Bir güce yükselterek bir matrisin kendisiyle sıralı çarpımı denir.
Matris öğelerinin yalnızca sayılardan ibaret olamayacağını unutmayın. Kitaplığınızdaki kitapları anlattığınızı hayal edelim. Rafınızın düzenli olmasına ve tüm kitapların kesin olarak tanımlanmış yerlerde olmasına izin verin. Kitaplığınızın açıklamasını (raflara ve raftaki kitapların sırasına göre) içerecek tablo aynı zamanda bir matris olacaktır. Ancak böyle bir matris sayısal olmayacaktır. Başka bir örnek. Sayılar yerine, bazı bağımlılıklarla birleştirilen farklı işlevler vardır. Ortaya çıkan tabloya aynı zamanda matris adı verilecektir. Başka bir deyişle, Matrix herhangi bir şeydir dikdörtgen masa, oluşan homojen unsurlar. Burada ve daha sonra sayılardan oluşan matrisler hakkında konuşacağız.
Yerine parantez matrisleri yazmak için kullanılır köşeli parantezler veya düz çift dikey çizgiler
 |
(2.1*) |
Tanım 2. Eğer ifadede(1) m = n, sonra konuşurlar kare matris, farzedelim , o zaman ah dikdörtgen.
M ve n değerlerine bağlı olarak bazı özel türler matrisler:
En önemli karakteristik kare matris o belirleyici veya belirleyici matris elemanlarından oluşan ve gösterilir
Açıkçası DE =1; .
Tanım 3. Eğer , daha sonra matris A isminde dejenere olmayan veya özel değil.
Tanım 4. Eğer detA = 0, daha sonra matris A isminde dejenere veya özel.
Tanım 5. İki matris A Ve B denir eşit ve yaz bir = B eğer varsa aynı boyutlar ve bunlara karşılık gelen elemanlar eşittir, yani..
Örneğin matrisler ve eşittir çünkü boyutları eşittir ve bir matrisin her elemanı diğer matrisin karşılık gelen elemanına eşittir. Ancak her iki matrisin determinantları eşit ve matrislerin boyutları aynı olmasına rağmen aynı yerlerde bulunan tüm elemanlar eşit olmasa da matrislere eşit denemez. Matrisler farklıdır çünkü farklı boyut. İlk matris 2x3 boyutunda, ikincisi ise 3x2 boyutundadır. Eleman sayısı aynı olmasına rağmen - 6 ve elemanların kendisi de aynı 1, 2, 3, 4, 5, 6, ancak her matriste farklı yerlerdeler. Ancak Tanım 5'e göre matrisler eşittir.
Tanım 6. Belirli sayıda matris sütununu düzeltirseniz A ve aynı sayıda satır varsa, belirtilen sütun ve satırların kesişimindeki öğeler bir kare matris oluşturur N- determinantı olan isminde küçük k- inci dereceli matris A.
Örnek. Matrisin ikinci dereceden üç minörünü yazın
Matris
boyut, satırlar ve sütunlar içeren bir sayı tablosudur. Sayılara bu matrisin elemanları denir; burada satır numarası, kesişimindeki sütun numarasıdır. bu eleman. Satır ve sütunlardan oluşan bir matris şu şekildedir: 
.
Matris türleri:
1) – kare ve arıyorlar matris sırası ;
2) köşegen olmayan tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir kare matris
– diyagonal ;
3) tüm köşegen elemanların eşit olduğu çapraz bir matris
birim – Bekar ve ile gösterilir;
4) – dikdörtgen ;
5) ne zaman – satır matrisi (satır vektörü);
6) ne zaman – matris sütunu (vektör sütunu);
7) hepsi için – sıfır matris.
Ana sayısal karakteristik bir kare matrisin determinantıdır. . dereceden bir matrise karşılık gelen determinant da th. derecedendir.
1. dereceden bir matrisin determinantı numarayı aradı.
2. Dereceden Bir Matrisin Determinantı
aranan numara 
. (1.1)
3. Dereceden Bir Matrisin Determinantı
aranan numara 
. (1.2)
Daha ileri sunum için gerekli tanımları sunalım.
Küçük M ben eleman A ben matrisler N- A derecesine matrisin determinantı denir ( n-1)- A matrisinden silinerek elde edilen sıra Ben-inci satır ve J sütun.
Cebirsel tamamlayıcı A ben eleman A ben matrisler N- A mertebesinden olan, bu elemanın işaretiyle alınan küçüğüdür.
Tüm mertebelerin determinantlarında bulunan determinantların temel özelliklerini formüle edelim ve hesaplamalarını basitleştirelim.
1. Bir matrisin yeri değiştirildiğinde determinantı değişmez.
2. Bir matrisin iki satırı (sütunları) yeniden düzenlenirken determinantı işaret değiştirir.
3. İki orantılı (eşit) satırı (sütun) olan bir determinant sıfıra eşittir.
4. Toplam çarpan Determinantın herhangi bir satırının (sütununun) elemanları, determinantın işaretinden çıkarılabilir.
5. Bir determinantın herhangi bir satırının (sütununun) elemanları iki terimin toplamını temsil ediyorsa, bu durumda determinant, karşılık gelen iki determinantın toplamına ayrıştırılabilir.
6. Daha önce herhangi bir sayı ile çarpılmış olan diğer satırın (sütununun) karşılık gelen elemanları, herhangi bir satırın (sütunların) elemanlarına eklenirse determinant değişmeyecektir.
7. Matris belirleyicisi toplamına eşit herhangi bir satırının (sütununun) elemanlarının çarpımları cebirsel eklemeler bu unsurlar.
Hadi açıklayalım bu mülk 3. dereceden determinant örneğini kullanarak. İÇİNDE bu durumdaözellik 7 şu anlama gelir – determinantın 1. sıranın elemanlarına ayrıştırılması. Ayrıştırma için, satırın (sütun) seçildiğine dikkat edin. sıfır elementçünkü genişlemede bunlara karşılık gelen terimler ortadan kalkar.
Özellik 7, Laplace tarafından formüle edilen determinant bir ayrıştırma teoremidir.
8. Bir determinantın herhangi bir satırının (sütununun) elemanlarının, diğer satırının (sütununun) karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımlarının toplamı sıfıra eşittir.
Son özelliğe genellikle determinantın sözde ayrıştırılması adı verilir.
Kendi kendine test soruları.
1. Matris neye denir?
2. Hangi matrise kare denir? Onun emri ne anlama geliyor?
3. Hangi matrise köşegen, özdeşlik denir?
4. Hangi matrise satır matrisi ve sütun matrisi denir?
5. Bir kare matrisin temel sayısal özelliği nedir?
6. 1., 2. ve 3. derecenin determinantı hangi sayıya denir?
7. Bir matris elemanının küçük ve cebirsel tümleyenine ne denir?
8. Belirleyicilerin temel özellikleri nelerdir?
9. Herhangi bir mertebenin determinantı hangi özelliği kullanarak hesaplanabilir?
Matrisler üzerindeki eylemler(şema 2)
Bir dizi matris üzerinde bir dizi işlem tanımlanmıştır; başlıcaları şunlardır:
1) aktarma – matris satırlarının sütunlarla ve sütunların satırlarla değiştirilmesi;
2) bir matrisin bir sayıyla çarpılması eleman eleman yapılır, yani 
, Nerede ,
;
3) yalnızca aynı boyuttaki matrisler için tanımlanan matris toplama;
4) yalnızca eşleşen matrisler için tanımlanan iki matrisin çarpımı.
İki matrisin toplamı (farkı) her bir elemanı matris komutlarının karşılık gelen elemanlarının toplamına (farkına) eşit olan böyle bir sonuçta ortaya çıkan matris denir.
İki matris denir üzerinde anlaşmaya varıldı
İlkinin sütun sayısı diğerinin satır sayısına eşitse. Eşleşen iki matrisin çarpımı
ve ortaya çıkan böyle bir matris denir 
, Ne , (1.4)
Nerede , . Bundan, matrisin inci satırının ve inci sütununun elemanının, matrisin inci satırındaki elemanların ve matrisin inci sütununun elemanlarının ikili çarpımlarının toplamına eşit olduğu sonucu çıkar.
Matrislerin çarpımı değişmeli değildir, yani A . B B . A. Bunun bir istisnası, örneğin kare matrisler ile A biriminin çarpımıdır. . E = E . A.
Örnek 1.1. Aşağıdaki durumlarda A ve B matrislerini çarpın:
.
Çözüm. Matrisler tutarlı olduğundan (matris sütunlarının sayısı matris satırlarının sayısına eşittir), formül (1.4)'ü kullanacağız:
Kendi kendine test soruları.
1. Matrisler üzerinde hangi eylemler gerçekleştirilir?
2. İki matrisin toplamına (farkına) ne denir?
3. İki matrisin çarpımına ne denir?
İkinci dereceden doğrusal sistemleri çözmek için Cramer'in yöntemi cebirsel denklemler (şema 3)
Gerekli bazı tanımları verelim.
Sistem doğrusal denklemler isminde heterojen , serbest koşullarından en az biri sıfırdan farklıysa ve homojen , eğer tüm serbest terimleri sıfıra eşitse.
Bir denklem sistemini çözme bir sistemdeki değişkenlerin yerine geçtiğinde denklemlerin her birini bir kimliğe dönüştüren sıralı bir sayı kümesidir.
Denklem sisteminin adı eklem yeri En az bir çözümü varsa ve ortak olmayan , eğer hiçbir çözümü yoksa.
Eş zamanlı denklem sistemine denir kesin eğer varsa tek çözüm, Ve belirsiz birden fazla çözümü varsa.
Homojen olmayan bir durumu ele alalım kare sistem aşağıdaki genel forma sahip doğrusal cebirsel denklemler:
. (1.5) Sistemin ana matrisi
doğrusal cebirsel denklemler bilinmeyenlerle ilişkili katsayılardan oluşan bir matristir: 
.
Sistemin ana matrisinin determinantına denir ana belirleyici ve belirlenir.
Yardımcı determinant, ana determinanttan, inci sütunun serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirilmesiyle elde edilir.
Teorem 1.1 (Cramer teoremi).İkinci dereceden doğrusal cebirsel denklem sisteminin ana belirleyicisi sıfır değilse, sistemin aşağıdaki formüllerle hesaplanan benzersiz bir çözümü vardır:
Ana determinant ise, sistemin ya sonsuz sayıda çözümü vardır (tüm sıfır yardımcı determinantlar için) ya da hiç çözümü yoktur (yardımcı determinantlardan en az biri sıfırdan farklıysa)
Yukarıdaki tanımların ışığında, Cramer teoremi farklı şekilde formüle edilebilir: Bir doğrusal cebirsel denklemler sisteminin ana determinantı sıfırdan farklıysa, sistem ortak olarak tanımlanır ve aynı zamanda ; Eğer ana determinant sıfır ise, sistem ya ortak olarak belirsizdir (tümü için) ya da tutarsızdır (eğer bunlardan en az biri sıfırdan farklıysa).
Bundan sonra ortaya çıkan çözüm kontrol edilmelidir.
Örnek 1.2. Sistemi Cramer yöntemini kullanarak çözün 
Çözüm. Sistemin temel belirleyicisi olduğundan
sıfırdan farklı ise sistemin tek bir çözümü vardır. Yardımcı determinantları hesaplayalım
Cramer'in formüllerini (1.6) kullanalım: 
, ,
Kendi kendine test soruları.
1. Denklem sistemini çözmeye ne denir?
2. Hangi denklem sistemine uyumlu veya uyumsuz denir?
3. Hangi denklem sistemine belirli veya belirsiz denir?
4. Denklem sisteminin hangi matrisine ana matris denir?
5. Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin yardımcı determinantları nasıl hesaplanır?
6. Cramer'in doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözme yönteminin özü nedir?
7. Ana determinantı sıfır olan bir doğrusal cebirsel denklem sistemi nasıl olabilir?
Yöntemi kullanarak ikinci dereceden doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözme ters matris (şema 4)
Determinantı sıfır olmayan bir matrise denir dejenere olmayan ; bir belirleyiciye sahip olmak sıfıra eşit – dejenere .
Matrise ters denir Belirli bir kare matris için, matrisi hem sağda hem de solda tersiyle çarptığınızda birim matris elde edilirse, yani. (1.7)
Bu durumda matrislerin çarpımının değişmeli olduğunu unutmayın.
Teorem 1.2. Gerekli ve yeterli koşul belirli bir kare matris için ters bir matrisin varlığı, verilen matrisin sıfır olmayan determinantıdır
Test sırasında sistemin ana matrisinin tekil olduğu ortaya çıkarsa, bunun tersi yoktur ve söz konusu yöntem uygulanamaz.
Ana matris tekil değilse, yani determinant 0 ise, aşağıdaki algoritma kullanılarak bunun için ters matris bulunabilir.
1. Tüm matris elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını hesaplayın.
2. Bulunan cebirsel toplamaları transpoze edilmiş matrise yazın.
3. Aşağıdaki formülü kullanarak ters bir matris oluşturun: 
(1.8)
4. Formül (1.7)'ye göre bulunan A-1 matrisinin doğruluğunu kontrol edin. Bu kontrolün sistem çözümünün son kontrolüne dahil edilebileceğini unutmayın.
Lineer cebirsel denklem sistemi (1.5) bir matris denklemi olarak temsil edilebilir: burada sistemin ana matrisi, bilinmeyenler sütunu ve serbest terimler sütunudur. Soldaki bu denklemi ters matrisle çarparsak şunu elde ederiz:
Ters matrisin tanımı gereği denklem şu şekli alır: 
veya . (1.9)
Bu nedenle, ikinci dereceden bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmek için, soldaki serbest terimler sütununu sistemin ana matrisinin tersi matris ile çarpmanız gerekir. Bundan sonra ortaya çıkan çözümü kontrol etmelisiniz.
Örnek 1.3. Sistemi ters matris yöntemini kullanarak çözün
Çözüm. Sistemin ana belirleyicisini hesaplayalım
. Sonuç olarak matris tekil değildir ve ters matrisi mevcuttur.
Ana matrisin tüm elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını bulalım:
Matrise aktarılan cebirsel toplamaları yazalım
. Sisteme bir çözüm bulmak için (1.8) ve (1.9) formüllerini kullanalım.
Kendi kendine test soruları.
1. Hangi matrise tekil, dejenere olmayan denir?
2. Hangi matrise belirli bir matrisin tersi denir? Varlığının koşulu nedir?
3. Verilen bir matrisin ters matrisini bulma algoritması nedir?
4. Hangisi matris denklemi doğrusal cebirsel denklemler sistemi eşdeğer midir?
5. Sistemin ana matrisi için ters matrisi kullanarak bir doğrusal cebirsel denklem sistemini nasıl çözebilirim?
Homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemlerinin incelenmesi(şema 5)
Herhangi bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin incelenmesi, genişletilmiş matrisinin Gauss yöntemiyle dönüştürülmesiyle başlar. Sistemin ana matrisinin boyutu eşit olsun.
Matris genişletilmiş denir sistemin matrisi , bilinmeyenlerin katsayılarıyla birlikte bir serbest terimler sütunu içeriyorsa. Bu nedenle boyut .
Gauss yöntemi dayanmaktadır temel dönüşümler şunları içerir:
– matris satırlarının yeniden düzenlenmesi;
– matrisin satırlarının direksiyon simidinden farklı bir sayı ile çarpılması;
– matris satırlarının eleman bazında eklenmesi;
– sıfır satırının silinmesi;
– matris aktarımı (bu durumda dönüşümler sütun bazında gerçekleştirilir).
Temel dönüşümler orijinal sistemi ona eşdeğer bir sisteme yönlendirir. Sistemler eşdeğer denir , aynı çözüm kümesine sahiplerse.
Matris sıralaması isminde en yüksek derece sıfır olmayan küçükleri. Temel dönüşümler matrisin sıralamasını değiştirmez.
Çözümlerin kullanılabilirliği sorulduğunda homojen sistem doğrusal denklemler aşağıdaki teorem ile cevaplanır.
Teorem 1.3 (Kronecker-Capelli teoremi). Homojen olmayan bir doğrusal cebirsel denklem sistemi, ancak ve ancak sistemin genişletilmiş matrisinin sıralamasının ana matrisinin sıralamasına eşit olması durumunda tutarlıdır; 
Gauss yöntemi sonrasında matriste kalan satır sayısını (buna göre sistemde kalan denklem sayısı) ile gösterelim. Bunlar çizgiler matrisler denir temel .
Eğer , o zaman sistemin benzersiz bir çözümü vardır (müştereken tanımlanır), matrisi temel dönüşümlerle üçgen forma indirgenir. Böyle bir sistem Cramer yöntemi, ters matris veya evrensel Gauss yöntemi kullanılarak çözülebilir.
Eğer (sistemdeki değişkenlerin sayısı denklemlerden büyükse), matris temel dönüşümlerle indirgenir. kademeli görünüm. Böyle bir sistemin birçok çözümü vardır ve hepsi birden belirsizdir. Bu durumda sisteme çözüm bulmak için bir takım işlemlerin yapılması gerekmektedir.
1. Bilinmeyenler sistemini denklemlerin sol tarafında bırakın ( temel değişkenler ), bilinmeyenlerin geri kalanı sağ tarafa taşınır ( serbest değişkenler ). Değişkenleri temel ve temel olarak ayırdıktan sonra ücretsiz sistemşu şekli alır:
. (1.10)
2. Temel değişkenlerin katsayılarından bir minör ( temel yan dal ), sıfırdan farklı olmalıdır.
3. Sistemin (1.10) temel küçük değeri sıfıra eşitse, temel değişkenlerden birini serbest olanla değiştirin; Ortaya çıkan temel minörün sıfırdan farklı olup olmadığını kontrol edin.
4. Cramer yönteminin formüllerini (1.6) uygulamak, denklemlerin sağ taraflarını saymak ücretsiz üyeler, temel değişkenlerin ifadesini serbest değişkenler aracılığıyla bulun. genel görünüm. Ortaya çıkan sıralı sistem değişkenleri kümesi, genel karar .
5. Serbest değişkenleri (1.10)'da keyfi değerler vererek, temel değişkenlerin karşılık gelen değerlerini hesaplayın. Tüm değişkenlerin sonuçta ortaya çıkan sıralı değer kümesine denir özel çözüm serbest değişkenlerin verilen değerlerine karşılık gelen sistemler. Sistemin sonsuz sayıda özel çözümü vardır.
6. Al temel çözüm sistem – serbest değişkenlerin sıfır değerleri için elde edilen özel bir çözüm.
Sistemin (1.10) değişkenlerinin temel setlerinin sayısının, elemanların eleman kombinasyonlarının sayısına eşit olduğuna dikkat edin. Her temel değişken kümesinin kendine ait temel çözümü olduğundan sistemin de temel çözümleri vardır.
Homojen bir denklem sistemi her zaman tutarlıdır, çünkü en az bir sıfır (önemsiz) çözüme sahiptir. Değişkenli homojen bir doğrusal denklem sisteminin sıfırdan farklı çözümlere sahip olabilmesi için ana determinantının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir. Bu, ana matrisinin rütbesinin olduğu anlamına gelir daha az sayı bilinmiyor Bu durumda, genel ve özel çözümler için homojen bir denklem sisteminin incelenmesi, homojen olmayan bir sistemin çalışmasına benzer şekilde gerçekleştirilir. Homojen bir denklem sisteminin çözümleri önemli özellik: eğer iki tanesi biliniyorsa çeşitli çözümler homojen bir doğrusal denklem sistemi varsa, bunların doğrusal birleşimi de bu sistemin bir çözümüdür. Aşağıdaki teoremin geçerliliğini doğrulamak kolaydır.
Teorem 1.4. Homojen olmayan bir denklem sisteminin genel çözümü, karşılık gelen homojen sistemin genel çözümünün ve homojen olmayan denklem sisteminin bazı özel çözümlerinin toplamıdır.
Örnek 1.4.
Verilen sistemi inceleyin ve belirli bir çözüm bulun:
Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazıp ona uygulayalım. temel dönüşümler:
. O zamandan beri ve , Teorem 1.3'e göre (Kronecker-Capelli) verilen sistem doğrusal cebirsel denklemler tutarlıdır. Değişken sayısı, yani sistemin belirsiz olduğu anlamına gelir. Sistem değişkenlerinin temel setlerinin sayısı eşittir
. Sonuç olarak, 6 değişken kümesi temel olabilir: . Bunlardan birini ele alalım. Daha sonra Gauss yöntemi sonucunda elde edilen sistem şu şekilde yeniden yazılabilir:
. Ana belirleyici 
. Cramer'in yöntemini kullanarak sisteme genel bir çözüm arıyoruz. Yardımcı elemeler
Formül (1.6)'ya göre elimizde
. Bu ifade temel değişkenlerden serbest olanlara kadar sistemin genel çözümünü temsil eder:
Şu tarihte: belirli değerler serbest değişkenler, genel çözümden sistemin özel bir çözümünü elde ederiz. Örneğin, özel bir çözüm 
serbest değişkenlerin değerlerine karşılık gelir 
. Sistemin temel çözümünü elde ettiğimizde 
Kendi kendine test soruları.
1. Hangi denklem sistemine homojen veya homojen olmayan denir?
2. Hangi matrise genişletilmiş denir?
3. Matrislerin temel elemanter dönüşümlerini listeleyin. Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin hangi yöntemi bu dönüşümlere dayanmaktadır?
4. Bir matrisin rütbesi nedir? Bunu nasıl hesaplayabilirsiniz?
5. Kronecker-Capelli teoremi ne diyor?
6. Bir lineer cebirsel denklem sistemi, Gauss yöntemiyle çözümü sonucunda hangi forma indirgenebilir? Bu ne anlama gelir?
7. Matrisin hangi satırlarına temel denir?
8. Ne sistem değişkenleri temel denir, hangileri ücretsizdir?
9. Homojen olmayan bir sistemin hangi çözümüne özel denir?
10.Hangi çözümlerine temel denir? Homojen olmayan bir doğrusal denklem sisteminin kaç temel çözümü vardır?
11.Homojen olmayan bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin hangi çözümüne genel denir? Hakkında bir teorem formüle edin genel karar homojen olmayan denklem sistemi.
12. Homojen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözümlerinin temel özellikleri nelerdir?
Bu tür matrisler üzerinde çeşitli işlemler gerçekleştirilir: birbirleriyle çarpılırlar, determinantları bulurlar vb. Matris - özel durum dizi: Eğer bir dizi herhangi bir sayıda boyuta sahip olabiliyorsa, yalnızca iki boyutlu bir diziye matris denir.
Programlamada matrise iki boyutlu dizi de denir. Programdaki dizilerden herhangi birinin sanki tek bir değişkenmiş gibi bir adı vardır. Dizi hücrelerinden hangisinin kastedildiğini açıklığa kavuşturmak için programda bahsedilirken değişkenle birlikte içindeki hücrenin numarası kullanılır. Bir programdaki hem iki boyutlu bir matris hem de n boyutlu bir dizi, yalnızca sayısal değil, aynı zamanda sembolik, dize, Boolean ve diğer bilgileri de içerebilir, ancak dizinin tamamında her zaman aynı olur.
Matrisler belirlendi büyük harflerle A:MxN, burada A matrisin adıdır, M matristeki satır sayısıdır ve N sütun sayısıdır. Öğeler – karşılık gelen küçük harfler a (m, n) satır ve sütunundaki sayılarını gösteren endeksler.
En yaygın matrisler dikdörtgen şeklindedir, ancak uzak geçmişte matematikçiler üçgen matrisleri de düşünüyorlardı. Bir matrisin satır ve sütun sayıları aynı ise buna kare denir. Bu durumda M=N zaten matris sırasının ismine sahiptir. Tek satırı olan bir matrise satır denir. Yalnızca bir sütunu olan bir matrise sütunlu matris denir. Köşegen matris, yalnızca köşegen boyunca yer alan elemanların sıfır olmadığı bir kare matristir. Tüm elemanları bire eşitse matrise özdeşlik, tüm elemanları sıfıra eşitse buna sıfır denir.
Bir matristeki satır ve sütunların yerini değiştirirseniz, matris yer değiştirmiş hale gelir. Tüm elementlerin yerini kompleks konjugatlar alırsa kompleks konjugat haline gelir. Ayrıca matris elemanlarına uygulanan koşullar tarafından belirlenen başka matris türleri de vardır. Ancak bu koşulların çoğu yalnızca kare olanlar için geçerlidir.
Konuyla ilgili video
Matris büyük Latin harfleriyle gösterilir ( A, İÇİNDE, İLE,...).
Tanım 1. Dikdörtgen masa görünümü,
oluşan Mçizgiler ve N sütunlar denir matris.
Matris elemanı, i – satır numarası, j – sütun numarası.
Matris türleri:
ana köşegendeki elemanlar:
trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .
§2. 2., 3. ve n. Derecenin Determinantları
İki kare matris verilsin:
Tanım 1. İkinci dereceden matrisin determinantı A 1
∆ ile gösterilen ve şuna eşit bir sayıdır: 
, Nerede
Örnek. 2. dereceden determinantı hesaplayın:
Tanım 2. Bir kare matrisin 3. dereceden determinantı A 2 formun bir numarası denir:
Bu, determinantı hesaplamanın bir yoludur.
Örnek. Hesaplamak
Tanım 3. Bir determinant n satır ve n sütundan oluşuyorsa buna n'inci dereceden determinant denir.
Belirleyicilerin özellikleri:
Determinant, yer değiştirme sırasında değişmez (yani, sıra korunurken içindeki satırlar ve sütunlar değiştirilirse).
Determinanttaki herhangi iki satırın veya iki sütunun yerini değiştirirseniz, determinant yalnızca işaretini değiştirir.
Herhangi bir satırın (sütun) ortak çarpanı, determinantın işaretinin ötesine alınabilir.
Bir determinantın herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanları sıfıra eşitse, o zaman determinant sıfıra eşittir.
Herhangi iki satırın elemanları eşit veya orantılı ise determinant sıfırdır.
Başka bir satırın (sütun) karşılık gelen elemanları, bir satırın (sütun) elemanlarına aynı sayı ile çarpılarak eklenirse determinant değişmeyecektir.
Örnek.
Tanım 4. Belirli bir determinanttan bir sütun ve bir satırın üstü çizilerek elde edilen determinant denir küçük karşılık gelen öğe. M ij öğesi a ij .
Tanım 5. Cebirsel tamamlayıcı a ij elemanına ifade denir
§3. Matrisler üzerindeki eylemler
Doğrusal işlemler
1) Matrisleri eklerken aynı isimli elemanları toplanır.
Matrisler çıkarılırken aynı isimli elemanları çıkarılır.
Bir matrisi bir sayıyla çarparken, matrisin her elemanı bu sayıyla çarpılır:
3.2.Matris çarpımı.
İş matrisler A matrise İÇİNDE elemanları matrisin i'inci satırındaki elemanların çarpımlarının toplamına eşit olan yeni bir matris var A matrisin j'inci sütununun karşılık gelen elemanlarına İÇİNDE. Matris çarpımı A matrise İÇİNDE yalnızca matris sütunlarının sayısı varsa bulunabilir A matrisin satır sayısına eşit İÇİNDE. Aksi takdirde iş imkansızdır.
Yorum:
(değişme özelliğine uymaz)
§ 4. Ters matris
Ters matris yalnızca kare matris için mevcuttur ve matrisin tekil olmaması gerekir.
Tanım 1. Matris A isminde dejenere olmayan, eğer bu matrisin determinantı sıfıra eşit değilse
Tanım 2. A-1 denir ters matris belirli bir tekil olmayan kare matris için A, eğer bu matris hem sağda hem de solda verilenle çarpıldığında kimlik matrisi elde edilir.
Ters matrisi hesaplamak için algoritma
1 yollu (cebirsel eklemeler kullanılarak)
Örnek 1:
