Piramitte yüksekliğin tabanı nasıl bulunur? Düzenli bir piramidin temel özellikleri

Video eğitimi 2: Piramit sorunu. Piramidin hacmi

Video eğitimi 3: Piramit sorunu. Doğru piramit

Ders: Piramit, tabanı, yan kaburga, yükseklik, yan yüzey; üçgen piramit; düzenli piramit

Piramit- Bu hacimsel gövde tabanında bir çokgen bulunan ve tüm yüzleri üçgenlerden oluşan.

Piramidin özel bir durumu, tabanında daire bulunan bir konidir.

Piramidin ana unsurlarına bakalım:

Özlem- bu, piramidin üstünü yan yüzün alt kenarının ortasına bağlayan bir segmenttir. Başka bir deyişle bu, piramidin kenarının yüksekliğidir.

Şekilde ADS, ABS, BCS, CDS üçgenlerini görebilirsiniz. İsimlere yakından bakarsanız her üçgenin bir tane olduğunu görebilirsiniz. ortak mektup– S. Yani bu her şeyin olduğu anlamına geliyor yan yüzler(üçgenler) piramidin tepesi adı verilen bir noktada birleşir.

Tepe noktasını tabanın köşegenlerinin kesişme noktasına (üçgenler durumunda - yüksekliklerin kesişme noktasında) bağlayan OS segmentine denir. piramit yüksekliği.

Çapraz bölüm, piramidin tepesinden ve tabanın köşegenlerinden birinden geçen bir düzlemdir.

Piramidin yan yüzeyi üçgenlerden oluştuğu için yan yüzeyin toplam alanını bulmak için her bir yüzün alanını bulup toplamak gerekir. Yüzlerin sayısı ve şekli, tabanda bulunan çokgenin kenarlarının şekline ve boyutuna bağlıdır.

Piramitte tepe noktasına ait olmayan tek düzleme ne ad verilir? temel piramitler.

Şekilde tabanın bir paralelkenar olduğunu görüyoruz, ancak herhangi bir çokgen de olabilir.

Özellikler:

Kenarları aynı uzunlukta olan piramidin ilk durumunu düşünün:

• Böyle bir piramidin tabanının etrafına bir daire çizilebilir. Böyle bir piramidin tepesini yansıtırsanız, izdüşümü dairenin merkezinde yer alacaktır.
• Piramidin tabanındaki açılar her yüzde aynıdır.
• Aynı zamanda yeterli koşul Piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabildiği ve tüm kenarların farklı uzunluklarda olduğunu varsayabileceğimiz gerçeğine ek olarak, taban ile yüzlerin her kenarı arasındaki açıların aynı olduğunu da düşünebiliriz.

Yan yüzleri ile taban arasındaki açıların eşit olduğu bir piramit ile karşılaşırsanız, aşağıdaki özellikler doğrudur:

• Piramidin tabanı etrafında, tepe noktası tam olarak merkeze yansıtılan bir daireyi tanımlayabileceksiniz.
• Yüksekliğin her bir yan kenarını tabana çizerseniz, bunlar eşit uzunlukta olacaktır.
• Böyle bir piramidin yan yüzey alanını bulmak için tabanın çevresini bulup yüksekliğin uzunluğunun yarısıyla çarpmak yeterlidir.
• S bp = 0,5P oc H.
• Piramit türleri.
• Piramidin tabanında hangi poligonun bulunduğuna bağlı olarak bunlar üçgen, dörtgen vb. olabilir. Piramidin tabanı yatıyorsa düzenli çokgen(İle eşit taraflar), o zaman böyle bir piramit düzenli olarak adlandırılacaktır.

Düzenli üçgen piramit

Geometrik problemlerde sıklıkla görülen üç boyutlu bir şekil piramittir. Bu sınıftaki şekillerin en basiti üçgendir. Bu yazıda detaylı olarak analiz edeceğiz temel formüller ve doğrunun özellikleri

Şekil hakkında geometrik fikirler

Özelliklere geçmeden önce düzenli piramitüçgen, nasıl bir figürden bahsettiğimize daha yakından bakalım.

Var olduğunu varsayalım keyfi üçgen V üç boyutlu uzay. Bu uzayda üçgenin düzleminde olmayan herhangi bir noktayı seçip üçgenin üç köşesine bağlayalım. Üçgen bir piramidimiz var.

Tamamı üçgen olan 4 kenardan oluşur. Üç yüzün buluştuğu noktalara köşe denir. Şekilde ayrıca dört tane var. İki yüzün kesişim çizgileri kenarlardır. Söz konusu piramidin 6 kenarı vardır. Aşağıdaki şekil bu şeklin bir örneğini göstermektedir.

Şekil dört kenardan oluştuğu için tetrahedron olarak da adlandırılır.

Doğru piramit

Yukarıda üçgen tabanlı keyfi bir şekil düşündük. Şimdi diyelim ki elimizde dikey bölüm piramidin tepesinden tabanına kadar. Bu bölüme yükseklik denir. Açıkçası şekil için 4 farklı yükseklik çizebilirsiniz. Yükseklik kesişirse geometrik merkezüçgen taban, o zaman böyle bir piramit düz olarak adlandırılır.

Tabanı eşkenar üçgen olan düz piramit düzenli olarak adlandırılır. Ona göre şeklin yan yüzeyini oluşturan üç üçgenin tümü ikizkenardır ve birbirine eşittir. Düzenli bir piramidin özel bir durumu, dört kenarın da eşkenar özdeş üçgenler olduğu durumdur.

Düzenli bir üçgen piramidin özelliklerini ele alalım ve parametrelerini hesaplamak için karşılık gelen formülleri verelim.

Taban tarafı, yükseklik, yan kenar ve özdeyiş

Listelenen parametrelerden herhangi ikisi, diğer iki özelliği benzersiz şekilde belirler. Bu miktarları ilişkilendiren formülleri sunalım.

Düzenli üçgen piramidin tabanının bir tarafının a olduğunu varsayalım. Yan kenarının uzunluğu b'dir. Düzenli bir üçgen piramidin yüksekliği ve onun özeti ne olacaktır?

h yüksekliği için şu ifadeyi elde ederiz:

Bu formül, yan kenarın, yüksekliğin ve taban yüksekliğinin 2/3'ünün eşit olduğu Pisagor teoreminden gelir.

Bir piramidin özeti herhangi bir şeyin yüksekliğidir yan üçgen. a-b kısa metninin uzunluğu şuna eşittir:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

Bu formüllerden, üçgen düzenli bir piramidin tabanının kenarı ve yan kenarının uzunluğu ne olursa olsun, özdeyişin her zaman olacağı açıktır. daha fazla yükseklik piramitler.

Sunulan iki formül, söz konusu şeklin dört doğrusal özelliğinin tümünü içerir. Dolayısıyla bilinen iki tanesini vererek geri kalanını yazılı eşitlik sistemini çözerek bulabilirsiniz.

Şekil hacmi

Kesinlikle herhangi bir piramit için (eğimli olan dahil), sınırlı alan hacminin değeri, şeklin yüksekliğini ve tabanının alanını bilerek belirlenebilir. İlgili formülşu forma sahiptir:

Bu ifadeyi söz konusu şekle uygulayarak şunu elde ederiz: aşağıdaki formül:

Düzenli üçgen piramidin yüksekliği h ve taban tarafı a'dır.

Tüm kenarları birbirine eşit olan ve eşkenar üçgenleri temsil eden bir tetrahedronun hacmi için bir formül elde etmek zor değildir. Bu durumda şeklin hacmi aşağıdaki formülle belirlenir:

Yani, a tarafının uzunluğu tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir.

Yüzey alanı

Düzenli bir üçgen piramidin özelliklerini dikkate almaya devam edelim. Toplam alan Bir şeklin tüm yüzlerinin toplamına yüzey alanı denir. İkincisi, karşılık gelen gelişme dikkate alınarak rahatlıkla incelenebilir. Aşağıdaki şekil düzenli bir üçgen piramidin gelişiminin nasıl göründüğünü göstermektedir.

Şeklin h yüksekliğini ve a tabanının kenarını bildiğimizi varsayalım. Daha sonra tabanının alanı şuna eşit olacaktır:

Her okul çocuğu, bir üçgenin alanını nasıl bulacağını hatırlarsa ve yüksekliği de hesaba katarsa ​​bu ifadeyi elde edebilir. eşkenar üçgen aynı zamanda bir açıortay ve bir medyandır.

Üç özdeş tarafından oluşturulan yan yüzeyin alanı ikizkenar üçgenler, şu:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Bu eşitlik, piramidin özdeyişinin tabanın yüksekliği ve uzunluğu cinsinden ifadesinden kaynaklanmaktadır.

Şeklin toplam yüzey alanı:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Dört kenarının da aynı eşkenar üçgen olduğu bir tetrahedron için S alanının şuna eşit olacağına dikkat edin:

Düzenli kesik üçgen piramidin özellikleri

Ele alınan üçgen piramidin bir düzlemi varsa, tabana paralel, üst kısmı kesin, ardından kalan alt kısma kesik piramit adı verilecektir.

Üçgen taban durumunda, açıklanan bölümleme yönteminin sonucu, yine eşkenar olan ancak tabanın kenarından daha kısa bir kenar uzunluğuna sahip olan yeni bir üçgendir. Aşağıda kesik üçgen bir piramit gösterilmektedir.

Bu rakamın zaten iki ile sınırlı olduğunu görüyoruz. üçgen tabanlar ve üç ikizkenar yamuk.

Ortaya çıkan şeklin yüksekliğinin h'ye eşit olduğunu, alt ve üst tabanların kenar uzunluklarının sırasıyla a 1 ve a 2 olduğunu ve apothemin (yamuğun yüksekliği) a b'ye eşit olduğunu varsayalım. Daha sonra kesik piramidin yüzey alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Burada ilk terim yan yüzeyin alanı, ikinci terim ise üçgen tabanların alanıdır.

Şeklin hacmi şu şekilde hesaplanır:

V = √3/12*sa*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

İçin kesin tanım Kesik bir piramidin özelliklerini öğrenmek için, verilen formüllerle gösterilen üç parametresini bilmeniz gerekir.

Üçgen piramit, tabanında bir üçgen bulunan bir piramittir. Bu piramidin yüksekliği, piramidin tepesinden tabanına indirilen diktir.

Bir piramidin yüksekliğini bulma

Bir piramidin yüksekliğini nasıl bulabilirim? Çok basit! Herhangi bir üçgen piramidin yüksekliğini bulmak için hacim formülünü kullanabilirsiniz: V = (1/3)Sh, burada S tabanın alanıdır, V piramidin hacmidir, h yüksekliğidir. Bu formülden yükseklik formülünü türetin: Üçgen bir piramidin yüksekliğini bulmak için piramidin hacmini 3 ile çarpmanız ve ardından elde edilen değeri tabanın alanına bölmeniz gerekir: h: h = (3V)/S. Üçgen piramidin tabanı bir üçgen olduğundan üçgenin alanını hesaplamak için formülü kullanabilirsiniz. Eğer biliyorsak: S üçgeninin alanı ve z tarafı, o zaman alan formülüne göre S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, burada h piramidin yüksekliğidir, γ üçgenin kenarıdır; üçgenin kenarları ile iki tarafın kendisi arasındaki açı, ardından aşağıdaki formülü kullanarak: S = (1/2)γφsinQ, burada γ, φ üçgenin kenarlarıdır, üçgenin alanını buluruz. Q açısının sinüsünün değerine internette bulunan sinüs tablosundan bakılması gerekir. Daha sonra alan değerini yükseklik formülünde yerine koyarız: h = (2S)/γ. Görev üçgen piramidin yüksekliğinin hesaplanmasını gerektiriyorsa, piramidin hacmi zaten bilinmektedir.

Düzenli üçgen piramit

Düzenli bir üçgen piramidin, yani tüm yüzleri eşkenar üçgen olan ve γ kenarının boyutunu bilen bir piramidin yüksekliğini bulun. Bu durumda piramidin kenarları eşkenar üçgenlerin kenarlarıdır. Düzenli bir üçgen piramidin yüksekliği şöyle olacaktır: h = γ√(2/3), burada γ eşkenar üçgenin kenarıdır, h piramidin yüksekliğidir. Tabanın alanı (S) bilinmiyorsa ve polihedronun yalnızca kenarının uzunluğu (γ) ve hacmi (V) verilmişse, önceki adımdaki formüldeki gerekli değişken değiştirilmelidir. kenarın uzunluğu cinsinden ifade edilen eşdeğeri ile. Bir üçgenin alanı (normal), bu üçgenin kenar uzunluğunun karesinin 3'ün karekökü ile çarpımının 1/4'üne eşittir. Bu formülü, önceki bölümde tabanın alanı yerine koyarız. formülü kullanarak aşağıdaki formülü elde ederiz: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Bir tetrahedronun hacmi kenarının uzunluğuyla ifade edilebilir, ardından şeklin yüksekliğini hesaplamak için kullanılan formülden tüm değişkenleri kaldırabilir ve yalnızca tarafı bırakabilirsiniz. üçgen yüz rakamlar. Böyle bir piramidin hacmi, yüzünün küp uzunluğunun çarpımından 12'ye 2'nin kareköküne bölünerek hesaplanabilir.

Bu ifadeyi önceki formülde değiştirerek aşağıdaki hesaplama formülünü elde ederiz: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Ayrıca doğru üçgen prizma bir kürenin içine yazılabilir ve yalnızca kürenin yarıçapı (R) bilinerek tetrahedronun yüksekliği bulunabilir. Tetrahedron kenarının uzunluğu: γ = 4R/√6. Önceki formülde γ değişkenini bu ifadeyle değiştirirsek şu formülü elde ederiz: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Aynı formül, bir tetrahedronda yazılı bir dairenin yarıçapı (R) bilinerek de elde edilebilir. Bu durumda üçgenin kenarının uzunluğu arasındaki 12 orana eşit olacaktır. karekök 6 ve yarıçap. Bu ifadeyi önceki formülde yerine koyarsak: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R elde ederiz.

Düzenli bir dörtgen piramidin yüksekliği nasıl bulunur?

Bir piramidin yüksekliğinin uzunluğunun nasıl bulunacağı sorusunu cevaplamak için normal piramidin ne olduğunu bilmeniz gerekir. Dörtgen piramit, tabanında bir dörtgen bulunan bir piramittir. Sorunun koşullarında elimizde: hacim (V) ve piramidin tabanının alanı (S), o zaman polihedronun (h) yüksekliğini hesaplamak için formül aşağıdaki gibi olacaktır - hacmi çarparak bölün S alanına göre 3: h = (3V)/S. Belirli bir hacim (V) ve kenar uzunluğu γ olan bir piramidin kare tabanı verildiğinde, önceki formüldeki alanı (S) kenar uzunluğunun karesi ile değiştirin: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Düzenli bir piramidin yüksekliği h = SO, tabanın yakınında çevrelenen dairenin merkezinden tam olarak geçer. Bu piramidin tabanı kare olduğundan O noktası AD ve BC köşegenlerinin kesişme noktasıdır. Elimizde: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Sırada biz varız dik üçgen SOC'yi buluyoruz (Pisagor teoremini kullanarak): SO = √(SC 2 -OC 2). Artık normal bir piramidin yüksekliğini nasıl bulacağınızı biliyorsunuz.

Öğrenciler geometri çalışmadan çok önce piramit kavramıyla karşılaşırlar. Arıza, dünyanın ünlü büyük Mısır harikalarında yatıyor. Bu nedenle, bu harika çokyüzlüyü incelemeye başladığınızda çoğu öğrenci bunu zaten açıkça hayal ediyor. Yukarıda belirtilen tüm cazibe merkezleri doğru şekle sahiptir. Ne oldu düzenli piramit ve hangi özelliklere sahip olduğu daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

Tanım

Piramidin pek çok tanımı vardır. Antik çağlardan beri çok popüler olmuştur.

Örneğin Öklid onu, birden başlayarak belirli bir noktada birleşen düzlemlerden oluşan bedensel bir figür olarak tanımladı.

Heron daha kesin bir formülasyon sağladı. Bu rakamın bu olduğunu vurguladı bir tabanı ve içinde uçakları var üçgenler şeklinde, bir noktada birleşiyor.

Modern yoruma göre piramit, belirli bir k-gon ve k'den oluşan uzaysal bir çokyüzlü olarak temsil edilir. düz rakamlar üçgen şekli, ortak bir noktası var.

Daha ayrıntılı olarak bakalım, hangi unsurlardan oluşur:

• K-gon, şeklin temeli olarak kabul edilir;
• Yan kısmın kenarları olarak 3gen şekiller çıkıntı yapar;
• yan elemanların çıktığı üst kısma tepe adı verilir;
• bir köşeyi bağlayan tüm bölümlere kenarlar denir;
• Düz bir çizgi, şeklin tepe noktasından düzlemine 90 derecelik bir açıyla indirilirse, o zaman bunun içine alınmış kısmı iç alan- piramidin yüksekliği;
• herhangi bir yanal elemanda, çokyüzlümüzün kenarına apothem adı verilen bir dik çizilebilir.

Kenar sayısı 2*k formülü kullanılarak hesaplanır; burada k, k-gonunun kenar sayısıdır. Piramit gibi bir çokyüzlünün kaç yüzü olduğu k+1 ifadesi kullanılarak belirlenebilir.

Önemli! Piramit doğru biçim taban düzlemi eşit kenarları olan bir k-gon olan stereometrik şekil olarak adlandırılır.

Temel özellikler

Doğru piramit sahip olmak birçok özellik, bunlar ona özgüdür. Bunları listeleyelim:

1. Temel, doğru şeklin bir figürüdür.
2. Piramidin yan elemanları sınırlayan kenarları eşit sayısal değerlere sahiptir.
3. Yan elemanlar ikizkenar üçgenlerdir.
4. Şeklin yüksekliğinin tabanı çokgenin merkezine düşerken, aynı zamanda yazılı ve çevrelenenin de merkezi noktasıdır.
5. Tüm yan kaburgalar taban düzlemine aynı açıda eğimlidir.
6. Tüm yan yüzeyler tabana göre aynı eğim açısına sahiptir.

Herkese teşekkürler listelenen özellikler, eleman hesaplamaları yapmak çok daha kolaydır. Yukarıdaki özelliklere dayanarak şunlara dikkat ediyoruz: iki işaret:

1. Çokgenin bir daireye sığması durumunda, yan yüzlerin tabanı olacaktır. eşit açılar.
2. Bir çokgenin etrafındaki bir daireyi tarif ederken, piramidin tepe noktasından çıkan tüm kenarları eşit uzunluk ve tabanla eşit açılardadır.

Temel bir karedir

Düzenli dörtgen piramit - tabanı kare olan çokyüzlü.

Görünüşte ikizkenar olan dört yan yüzü vardır.

Bir kare bir düzlem üzerinde tasvir edilmiştir, ancak normal bir dörtgenin tüm özelliklerine dayanmaktadır.

Örneğin, bir karenin kenarını köşegeniyle ilişkilendirmek gerekiyorsa, aşağıdaki formülü kullanın: köşegen, karenin kenarının çarpımına ve ikinin kareköküne eşittir.

Düzenli bir üçgene dayanmaktadır

Düzenli üçgen piramit, tabanı düzenli 3-gon olan bir çokyüzlüdür.

Eğer taban dik üçgen ve yan kenarlar tabanın kenarlarına eşittir, o zaman böyle bir şekil tetrahedron denir.

Bir tetrahedronun tüm yüzleri eşkenar 3-gondur. İÇİNDE bu durumda Hesaplama yaparken bazı noktaları bilmeniz ve bunlarla zaman kaybetmemeniz gerekir:

• kaburgaların herhangi bir tabana eğim açısı 60 derecedir;
• tüm iç yüzlerin boyutu da 60 derecedir;
• herhangi bir yüz temel görevi görebilir;
• Şeklin içine çizilenler eşit elemanlardır.

Bir çok yüzlünün bölümleri

Herhangi bir çokyüzlüde vardır çeşitli bölüm türleri düz. Çoğunlukla okul kursu geometriler ikiyle çalışır:

• eksenel;
• temele paraleldir.

Bir çok yüzlünün tepe noktasından, yan kenarlardan ve eksenden geçen bir düzlemle kesişmesiyle eksenel bir kesit elde edilir. Bu durumda eksen tepe noktasından çizilen yüksekliktir. Kesme düzlemi tüm yüzlerin kesişme çizgileriyle sınırlanır ve bu da bir üçgen oluşturur.

Dikkat! Düzenli bir piramitte eksenel kesit bir ikizkenar üçgendir.

Kesme düzlemi tabana paralel uzanıyorsa sonuç ikinci seçenektir. Bu durumda tabana benzer bir kesit şeklimiz var.

Örneğin, tabanda bir kare varsa, tabana paralel olan bölüm de yalnızca daha küçük boyutlarda bir kare olacaktır.

Bu durumdaki problemleri çözerken şekillerin benzerlik işaretlerini ve özelliklerini kullanırlar, Thales teoremine dayanarak. Öncelikle benzerlik katsayısının belirlenmesi gerekmektedir.

Düzlem tabana paralel çizilir ve kesilirse üst kısımçokyüzlü, daha sonra alt kısımda düzenli bir kesik piramit elde edilir. O halde kesik bir çokyüzlünün tabanlarına şöyle denir: benzer çokgenler. Bu durumda yan yüzler ikizkenar yamuklardır. Eksenel bölüm de ikizkenardır.

Kesik bir çokyüzlünün yüksekliğini belirlemek için yüksekliğin çizilmesi gerekir. eksenel bölüm yani yamuk şeklinde.

Yüzey alanları

Temel geometrik problemler okul geometri dersinde çözülmesi gereken problemler Piramidin yüzey alanını ve hacmini bulma.

İki tür yüzey alanı değeri vardır:

• yan elemanların alanı;
• tüm yüzeyin alanı.

Adından da neyden bahsettiğimiz anlaşılıyor. Yan yüzey yalnızca yan elemanları içerir. Bundan, onu bulmak için yan düzlemlerin alanlarını, yani ikizkenar 3-gon alanlarını toplamanız gerektiği sonucu çıkıyor. Yan elemanların alanı için formülü türetmeye çalışalım:

1. Bir ikizkenar 3-gon'un alanı Str=1/2(aL)'ye eşittir, burada a tabanın kenarıdır, L ise apothemdir.
2. Yan düzlemlerin sayısı tabandaki k-gon tipine bağlıdır. Örneğin, doğru dörtgen piramit dört yanal düzlemi vardır. Bu nedenle eklemek gerekir dört alan rakamlar Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. İfade bu şekilde basitleştirilmiştir çünkü değer 4a = Rosn'dir, burada Rosn tabanın çevresidir. Ve 1/2*Rosn ifadesi onun yarı çevresidir.
3. Böylece, düzenli bir piramidin yan elemanlarının alanının, tabanın yarı çevresinin ve özünün çarpımına eşit olduğu sonucuna varıyoruz: Sside = Rosn * L.

Kare tam yüzey piramit yan düzlemlerin ve tabanın alanlarının toplamından oluşur: Sp.p = Sside + Sbas.

Tabanın alanına gelince, burada çokgenin türüne göre formül kullanılıyor.

Düzenli bir piramidin hacmi taban düzleminin alanı ile yüksekliğin çarpımının üçe bölünmesine eşittir: V=1/3*Sbas*H, burada H çokyüzlünün yüksekliğidir.

Geometride düzenli piramit nedir

Düzenli bir dörtgen piramidin özellikleri