Hangi denkleme en basit üstel denklem denir. Üstel güç denklemlerini, algoritmalarını ve örneklerini çözme

Başvuru

Öğrenciler ve okul çocukları için çalışılan materyali pekiştirmek için sitede her türlü denklemi çevrimiçi çözme.. Denklemleri çevrimiçi çözme. Denklemler çevrimiçi. Cebirsel, parametrik, transandantal, fonksiyonel, diferansiyel ve diğer türde denklemler vardır. Bazı denklem sınıflarının analitik çözümleri vardır ve bunlar yalnızca vermekle kalmazlar. kesin değer root, ancak çözümü parametreler içerebilecek bir formül biçiminde yazmanıza izin verir. Analitik İfadeler sadece kökleri hesaplamaya değil, aynı zamanda parametre değerlerine bağlı olarak bunların varlığını ve miktarını da analiz etmeye izin verir ki bu genellikle daha da önemlidir. pratik uygulama, Nasıl belirli değerler kökler. Denklemleri çevrimiçi çözme. Çevrimiçi denklemler. Bir denklemi çözmek, bu eşitliğin sağlandığı argümanların bu tür değerlerini bulma görevidir. Açık olası değerler argümanlar öne sürülebilir ek koşullar(tam sayı, gerçek vb.). Denklemleri çevrimiçi çözme. Çevrimiçi denklemler. Denklemi çevrimiçi olarak anında ve yüksek doğrulukla çözebilirsiniz. Belirtilen işlevlere (bazen "değişkenler" olarak da adlandırılır) ilişkin argümanlara, bir denklem durumunda "bilinmeyenler" adı verilir. Bu eşitliğin sağlandığı bilinmeyenlerin değerlerine bu denklemin çözümleri veya kökleri denir. Tatmin ettikleri kökler hakkında söylüyorlar bu denklem. Bir denklemi çevrimiçi çözmek, tüm çözümlerinin (köklerinin) kümesini bulmak veya köklerin olmadığını kanıtlamak anlamına gelir. Denklemleri çevrimiçi çözme. Çevrimiçi denklemler. Kök kümeleri çakışan denklemlere eşdeğer veya eşit denir. Kökleri olmayan denklemler de eşdeğer kabul edilir. Denklemlerin eşdeğerliği simetri özelliğine sahiptir: eğer bir denklem diğerine eşdeğerse, ikinci denklem birinciye eşdeğerdir. Denklemlerin eşdeğerliği geçişlilik özelliğine sahiptir: eğer bir denklem diğerine eşdeğerse ve ikincisi üçüncüye eşdeğerse, o zaman ilk denklem üçüncüye eşdeğerdir. Denklemlerin eşdeğerlik özelliği, bunları çözme yöntemlerinin dayandığı onlarla dönüşümler yapmamızı sağlar. Denklemleri çevrimiçi çözme. Çevrimiçi denklemler. Site, denklemi çevrimiçi çözmenize izin verecektir. Analitik çözümleri bilinen denklemler dördüncü dereceden yüksek olmayan cebirsel denklemleri içerir: doğrusal denklem, ikinci dereceden denklem, kübik denklem ve dördüncü dereceden bir denklem. Cebirsel denklemler daha yüksek dereceler genel durum analitik çözüm Bazıları daha düşük dereceli denklemlere indirgenebilse de yoktur. Aşkın fonksiyonları içeren denklemlere aşkın denir. Bunların arasında analitik çözümler bazıları için bilinmektedir. trigonometrik denklemler, sıfırlardan beri trigonometrik fonksiyonlar iyi biliniyor. Genel durumda analitik bir çözüm bulunamadığında sayısal yöntemler kullanılır. Sayısal yöntemler kesin bir çözüm vermeyin, yalnızca kökün bulunduğu aralığı önceden belirlenmiş bir aralıkla daraltmanıza izin verin değeri belirle. Online denklem çözümü.. Online denklem.. Online denklem yerine aynı ifadenin nasıl oluştuğunu hayal edeceğiz doğrusal bağımlılık ve yalnızca düz bir teğet boyunca değil, aynı zamanda grafiğin tam dönüm noktasında. Bu yöntem konunun incelenmesinde her zaman vazgeçilmezdir. Denklemlerin çözümünün nihai değere şu şekilde yaklaşması sıklıkla olur: sonsuz sayılar ve vektör kayıtları. İlk verileri kontrol etmek gereklidir ve görevin özü budur. Aksi takdirde yerel durum formüle dönüştürüldü. Düz bir çizgi boyunca ters çevirme Verilen fonksiyon Denklem hesaplayıcısının uygulamada çok fazla gecikme olmadan hesaplayacağı ofset, alan ayrıcalığıyla sağlanacaktır. Öğrencilerin bilimsel ortamda başarılarını konuşacağız. Ancak yukarıdakilerin hepsinde olduğu gibi, bulma sürecinde bize yardımcı olacaktır ve denklemi tamamen çözdüğünüzde ortaya çıkan cevabı düz çizgi parçasının uçlarında saklayın. Uzayda çizgiler bir noktada kesişir ve bu noktaya doğruların kesiştiği nokta denir. Satırdaki aralık daha önce belirtildiği gibi gösterilir. Matematik çalışmaları için en yüksek yazı yayınlanacaktır. Bağımsız değişken değerini parametrik olarak atayın verilen yüzey ve denklemin çevrimiçi çözülmesi, işleve verimli erişimin ilkelerini özetleyebilecektir. Möbius şeridi veya diğer adıyla sonsuzluk, sekiz rakamına benziyor. Bu iki taraflı değil, tek taraflı bir yüzeydir. Herkesin genel olarak bildiği prensibe göre, objektif olarak kabul edeceğiz doğrusal denklemler olduğu gibi ve çalışma alanında temel atama için. Sırayla verilen argümanların yalnızca iki değeri vektörün yönünü ortaya çıkarabilir. Çevrimiçi denklemlere yönelik başka bir çözümün, onu çözmekten çok daha fazlası olduğunu varsaymak, sonuç olarak değişmezin tam teşekküllü bir versiyonunu elde etmek anlamına gelir. Olmadan entegre yaklaşımÖğrencilerin bu materyali öğrenmesi zordur. Daha önce olduğu gibi, her özel durum için kullanışlı ve akıllı çevrimiçi denklem hesaplayıcımız zor zamanlarda herkese yardımcı olacaktır, çünkü yalnızca giriş parametrelerini belirtmeniz yeterlidir ve sistemin kendisi cevabı hesaplayacaktır. Veri girmeye başlamadan önce, çok fazla zorluk yaşamadan yapılabilecek bir giriş aracına ihtiyacımız olacak. Her cevap tahmininin sayısı, sonuçlarımıza ikinci dereceden bir denklem kazandıracaktır, ancak bunu yapmak o kadar kolay değildir çünkü tersini kanıtlamak kolaydır. Teori, özellikleri nedeniyle desteklenmiyor pratik bilgi. Cevabın yayınlanması aşamasında kesir hesaplayıcısını görmek matematikte kolay bir iş değildir, çünkü bir sayıyı bir kümeye yazma alternatifi fonksiyonun büyümesini artırmaya yardımcı olur. Ancak öğrencilere ders vermekten bahsetmemek yanlış olur, dolayısıyla her birimiz yapılması gerekeni söyleyeceğiz. Daha önce bulunan kübik denklem haklı olarak tanım alanına ait olacak ve uzayı içerecektir. sayısal değerler ve sembolik değişkenler. Teoremi öğrenen veya ezberleyen öğrencilerimiz ancak en iyi taraf ve onlar adına mutlu olacağız. Çoklu alan kesişmelerinden farklı olarak çevrimiçi denklemlerimiz, iki ve üç sayısal birleştirilmiş çizginin çarpılmasıyla elde edilen bir hareket düzlemiyle tanımlanır. Matematikte bir küme benzersiz olarak tanımlanmamıştır. Öğrencilere göre en iyi çözüm ifadenin tam olarak kaydedilmesidir. söylendiği gibi bilimsel dil sembolik ifadelerin soyutlanması duruma girmez, ancak denklemlerin çözülmesi her durumda kesin bir sonuç verir. bilinen vakalar. Öğretmenin dersinin süresi bu teklifin ihtiyaçlarına bağlıdır. Analiz birçok alanda tüm hesaplama tekniklerinin gerekliliğini gösterdi ve denklem hesaplayıcının bir öğrencinin yetenekli ellerinde vazgeçilmez bir araç olduğu kesinlikle açıktır. Matematik çalışmalarına sadık bir yaklaşım, farklı yönlerden görüşlerin önemini belirler. Temel teoremlerden birini belirlemek ve denklemi, hangi cevaba bağlı olarak, uygulanmasına daha fazla ihtiyaç duyulacak şekilde çözmek istiyorsunuz. Bu alandaki analizler ivme kazanıyor. En baştan başlayalım ve formülü türetelim. Fonksiyonun artış seviyesini aştıktan sonra, bükülme noktasındaki teğet boyunca uzanan çizgi, denklemi çevrimiçi çözmenin, fonksiyonun argümanından aynı grafiği oluşturmanın ana yönlerinden biri olacağı gerçeğine kesinlikle yol açacaktır. Amatör bir yaklaşımın uygulanma hakkı vardır. bu durumÖğrencilerin çıkarımlarıyla çelişmez. Analizi ortaya koyan alt görev arka plana alınır. matematiksel koşullar nesnenin mevcut tanım alanındaki doğrusal denklemler olarak. Diklik yönündeki dengeleme karşılıklı olarak yalnızlığın avantajını azaltır mutlak değer. Çevrimiçi denklem çözme modulo, parantezleri önce artı işaretiyle, sonra eksi işaretiyle açarsanız aynı sayıda çözümü verir. Bu durumda iki kat daha fazla çözüm olacak ve sonuç daha doğru olacaktır. İstikrarlı ve doğru bir çevrimiçi denklem hesaplayıcı, öğretmen tarafından belirlenen görevde amaçlanan hedefe ulaşma başarısıdır. Büyük bilim adamlarının görüşlerindeki önemli farklılıklar nedeniyle doğru yöntemin seçilmesi mümkün görünmektedir. Ortaya çıkan ikinci dereceden denklem, parabol adı verilen çizgilerin eğrisini tanımlar ve işaret, onun dışbükeyliğini belirleyecektir. kare sistem koordinatlar Denklemden, Vieta teoremine göre hem diskriminantı hem de kökleri elde ediyoruz. İlk adım, ifadeyi uygun veya yanlış kesir olarak temsil etmek ve bir kesir hesaplayıcı kullanmaktır. Buna bağlı olarak ilerideki hesaplamalarımızın planı oluşacaktır. Teorik bir yaklaşımla matematik her aşamada faydalı olacaktır. Sonucu kesinlikle kübik denklem olarak sunacağız çünkü üniversitedeki bir öğrencinin işini kolaylaştırmak için köklerini bu ifadede saklayacağız. Yüzeysel analize uygun olan her yöntem iyidir. Ekstra aritmetik işlemler hesaplama hatalarına yol açmayacaktır. Cevabı belirli bir doğrulukla belirler. Denklemlerin çözümünü kullanarak şunu kabul edelim - belirli bir fonksiyonun bağımsız değişkenini bulmak, özellikle sonsuzdaki paralel çizgilerin çalışıldığı dönemde o kadar kolay değildir. İstisna göz önüne alındığında ihtiyaç çok açıktır. Polarite farkı açıktır. Öğretmenimiz, enstitülerdeki öğretmenlik tecrübesinden, çevrimiçi denklemlerin tam matematiksel anlamda çalışıldığı ana dersi öğrendi. Burada teorinin uygulanmasında daha yüksek çabalardan ve özel becerilerden bahsediyorduk. Sonuçlarımızın lehine, kimse bir prizmadan bakmamalı. Yakın zamana kadar buna inanılıyordu kapalı küme olduğu gibi alan üzerinde hızla artar ve denklemlerin çözümünün araştırılması gerekir. İlk aşamada her şeyi dikkate almadık olası seçenekler ancak bu yaklaşım her zamankinden daha haklı. Gereksiz eylemler parantezlerle, çıplak gözle gözden kaçırılamayacak olan ordinat ve apsis eksenleri boyunca bazı ilerlemeleri doğrular. Fonksiyonda kapsamlı bir oransal artış anlamında bir bükülme noktası vardır. Nasıl olduğunu bir kez daha kanıtlayacağız gerekli koşul vektörün bir veya daha fazla azalan konumunun tüm azalma aralığı boyunca uygulanacaktır. Koşullarda kapalı alan betiğimizin ilk bloğundan bir değişken seçeceğiz. Üç vektör esas alınarak oluşturulan bir sistem, ana kuvvet momentinin yokluğundan sorumludur. Bununla birlikte, denklem hesaplayıcısı oluşturulan denklemin hem yüzeyin üstünde hem de paralel çizgiler boyunca tüm terimlerinin bulunmasına yardımcı oldu. Etrafında başlangıç noktası Belli bir çevreyi tanımlayalım. Böylece, kesit çizgileri boyunca yukarı doğru hareket etmeye başlayacağız ve teğet, daireyi tüm uzunluğu boyunca tanımlayacak ve sonuçta kıvrım adı verilen bir eğri elde edilecektir. Bu arada bu eğrinin biraz tarihçesinden bahsedelim. Gerçek şu ki, tarihsel olarak matematikte, bugünkü gibi saf anlayışıyla matematik kavramının kendisi yoktu. Daha önce tüm bilim adamları tek bir şey yapardı ortak neden yani bilim. Daha sonra, birkaç yüzyıl sonra, bilim dünyası Muazzam miktarda bilgiyle dolu olan insanlık hala birçok disiplini tanımladı. Hala değişmeden kalıyorlar. Ancak yine de her yıl dünyanın dört bir yanındaki bilim insanları bilimin sınırsız olduğunu kanıtlamaya çalışıyor ve bu alanda bilginiz olmadığı sürece denklemi çözemezsiniz. doğa bilimleri. Nihayetinde buna bir son vermek mümkün olmayabilir. Bunu düşünmek dışarıdaki havayı ısıtmak kadar anlamsız. Argümanın değeri pozitifse, değerin modülünü keskin bir şekilde artan yönde belirleyeceği aralığı bulalım. Reaksiyon en az üç çözüm bulmanıza yardımcı olacaktır ancak bunları kontrol etmeniz gerekecektir. Web sitemizin benzersiz hizmetini kullanarak denklemi çevrimiçi olarak çözmemiz gerektiği gerçeğiyle başlayalım. Her iki parçayı da tanıtalım verilen denklem, “ÇÖZ” butonuna tıklayın ve sadece birkaç saniye içinde kesin cevabı alın. İÇİNDE özel durumlar Matematik üzerine bir kitap alalım ve cevabımızı tekrar kontrol edelim, yani sadece cevaba bakalım ve her şey netleşecek. Yapay yedekli bir paralel boru için aynı proje uçacak. Onunla birlikte bir paralelkenar var paralel kenarlar, ve aşağıdan yukarıya içi boş alan birikim sürecinin mekansal ilişkisini incelemek için Denklemler 2'de birçok ilke ve yaklaşımı açıklıyor. doğal görünüm. Belirsiz doğrusal denklemler, istenen değişkenin ortak değerlerimize bağımlılığını gösterir. şu anda zaman kararı ve bir şekilde türetmeniz ve getirmeniz gerekiyor uygunsuz kesirönemsiz olmayan bir vakaya. Düz çizgi üzerinde on nokta işaretleyin ve her bir noktadan, verilen yönde, dışbükey noktası yukarı bakacak şekilde bir eğri çizin. Denklem hesaplayıcımız çok fazla zorluk yaşamadan ifadeyi öyle bir biçimde sunacaktır ki, kuralların geçerliliğinin kontrolü kaydın başında bile açıkça görülecektir. Formülde aksi belirtilmedikçe, matematikçiler için özel kararlılık temsilleri sistemi ilk sırada gelir. Buna, plastik cisimler sisteminin izomorfik durumu konusunda ayrıntılı bir rapor sunarak yanıt vereceğiz ve denklemleri çevrimiçi çözerek, bu sistemdeki her maddi noktanın hareketini açıklayacağız. Derinlemesine araştırma düzeyinde, en azından uzayın alt katmanının ters çevrilmesi konusunu ayrıntılı olarak açıklığa kavuşturmak gerekli olacaktır. Fonksiyonun süreksizlik bölümünde artan sırada uygulayacağız genel yöntem Bu arada mükemmel bir araştırmacı, hemşehrimiz ve aşağıda uçağın davranışından bahsedeceğiz. yürürlükte güçlü özellikler analitik olarak verilen fonksiyon nedeniyle, çevrimiçi denklem hesaplayıcıyı yalnızca türetilmiş yetki sınırları dahilinde amaçlanan amacı için kullanırız. Daha fazla akıl yürüterek, incelememizi denklemin homojenliğine, yani sağ tarafının sıfıra eşit olmasına odaklayacağız. Matematikteki kararımızın doğru olduğundan bir kez daha emin olalım. Önemsiz bir çözüm elde etmekten kaçınmak için, bazı ayarlamalar yapalım başlangıç koşulları Sistemin koşullu kararlılığı sorunu üzerine. İyi bilinen formülü kullanarak iki girişi yazdığımız ve bulduğumuz ikinci dereceden bir denklem oluşturalım. negatif kökler. Bir kök, ikinci ve üçüncü köklerden beş birim büyükse, bu durumda değişiklik yapılarak ana argüman böylece alt görevin başlangıç koşullarını bozuyoruz. Doğası gereği, matematikte olağandışı bir şey her zaman en yakın yüzlüğe kadar anlatılabilir. pozitif sayı. Kesir hesaplayıcı, sunucu yükünün en iyi anında benzer kaynaklardaki analoglarından birkaç kat daha üstündür. Ordinat ekseni boyunca büyüyen hız vektörünün yüzeyinde birbirine zıt yönlerde bükülmüş yedi çizgi çiziyoruz. Atanan fonksiyon argümanının karşılaştırılabilirliği, kurtarma bakiyesi sayacının okumalarının ilerisindedir. Matematikte bu fenomeni, hayali katsayılara sahip kübik bir denklemle ve aynı zamanda azalan çizgilerin iki kutuplu ilerlemesiyle temsil edebiliriz. Kritik noktalar sıcaklık farklılıkları birçok yönden bir kompleksin ayrışma sürecini tanımlar kesirli fonksiyonçarpanlara göre. Size bir denklemi çözmeniz söyleniyorsa hemen çözmek için acele etmeyin, mutlaka önce eylem planının tamamını değerlendirin, ancak ondan sonra doğru yaklaşımı seçin. Faydaları mutlaka olacaktır. İşin kolaylığı ortadadır, aynı durum matematikte de geçerlidir. Denklemi çevrimiçi çözün. Tüm çevrimiçi denklemler belirli tip sayıların veya parametrelerin kaydı ve tanımlanacak bir değişken. Bu değişkeni hesaplayın, yani kimliğin tutulacağı bir dizi değerin belirli değerlerini veya aralıklarını bulun. Başlangıç ve son koşullar doğrudan bağlıdır. İÇİNDE genel çözüm Denklemler genellikle belirli bir problem ifadesi için tüm çözüm ailelerini elde edeceğimiz bazı değişkenleri ve sabitleri içerir. Genel olarak bu, kenarı 100 santimetreye eşit olan uzamsal bir küpün işlevselliğini arttırmak için harcanan çabaları haklı çıkarır. Bir cevap oluşturmanın herhangi bir aşamasında bir teoremi veya lemmayı uygulayabilirsiniz. Site, herhangi bir ürün toplama aralığında en küçük değeri göstermek gerekirse, kademeli olarak bir denklem hesaplayıcısı üretir. Vakaların yarısında böyle bir topun içi boştur, daha büyük ölçüde bir ara cevap belirleme gerekliliklerini karşılar. En azından azalan vektör temsili yönündeki ordinat ekseninde, bu oran şüphesiz önceki ifadeden daha optimal olacaktır. O saatte doğrusal fonksiyonlar tam dolu nokta analizi esasen tüm çalışmalarımızı bir araya getireceğiz karmaşık sayılar ve iki kutuplu düzlemsel uzaylar. Ortaya çıkan ifadeye bir değişken koyarak denklemi adım adım çözecek ve en detaylı cevabı yüksek doğrulukla vereceksiniz. Bir öğrencinin matematikteki eylemlerini bir kez daha kontrol etmesi iyi bir davranış olacaktır. Kesir oranındaki oran, herkes için sonucun bütünlüğünü kaydetti önemli alanlar aktiviteler sıfır vektör. Tamamlanan eylemlerin sonunda önemsizlik doğrulanır. Basit bir görevle, öğrenciler denklemi çevrimiçi olarak mümkün olan en kısa sürede çözerlerse zorluk yaşamayabilirler, ancak tüm farklı kuralları da unutmayın. Bir dizi alt küme, yakınsak gösterim bölgesinde kesişir. İÇİNDE farklı durumlarÜrün hatalı bir şekilde çarpanlara ayrılmamıştır. Üniversitelerdeki ve teknik kolejlerdeki öğrenciler için önemli bölümler için matematiksel tekniklerin temellerine ayrılan ilk bölümümüzde denklemi çevrimiçi çözmenize yardımcı olacaksınız. Yanıt örnekleri bizi birkaç gün bekletmeyecek çünkü vektör analizi ile etkileşimin en iyi şekilde gerçekleştiği süreç tutarlı bulguçözümler geçen yüzyılın başında patentlendi. Çevredeki ekiple ilişki kurma çabalarının boşuna olmadığı ortaya çıktı; ilk önce açıkça başka bir şeye ihtiyaç vardı. Birkaç nesil sonra, dünyanın her yerindeki bilim insanları, insanları matematiğin bilimlerin kraliçesi olduğuna inandırdılar. İster sol cevap ister sağ olsun, yine de kapsamlı terimler üç satır halinde yazılmalıdır, çünkü bizim durumumuzda kesinlikle sadece matris özelliklerinin vektör analizinden bahsedeceğiz. Doğrusal olmayan ve doğrusal denklemler ile birlikte iki ikinci dereceden denklemler, kitabımızda özel bir yer aldı en iyi uygulamalar herkesin uzayındaki hareketin yörüngesini hesaplamak maddi noktalar kapalı sistem. Fikrinizi hayata geçirmemize yardımcı olun doğrusal analiz nokta çarpım ardışık üç vektör. Her üretimin sonunda, gerçekleştirilen katmanlara optimize edilmiş sayısal istisnalar uygulanarak görev kolaylaştırılır. sayı boşlukları. Farklı bir karar, bulunan cevapla çelişmeyecektir. serbest biçim bir daire içinde üçgen. İki vektör arasındaki açı gerekli marj yüzdesini içerir ve denklemleri çevrimiçi çözmek genellikle belirli bir açıyı ortaya çıkarır. ortak kök Başlangıç koşullarının aksine denklemler. İstisna, bir fonksiyonun tanımlanması alanında olumlu bir çözüm bulmanın kaçınılmaz sürecinin tamamında katalizör rolü oynar. Bilgisayar kullanamazsınız denilmiyorsa online denklem hesaplayıcı tam ihtiyacınıza göre. zor görevler. Sadece girmeniz yeterli doğru format koşullu verileriniz ve sunucumuz mümkün olan en kısa sürede eksiksiz bir sonuç yanıtı sağlayacaktır. Üstel bir fonksiyon doğrusal olandan çok daha hızlı artar. Talmudlar buna tanıklık ediyor kütüphane edebiyatı. Hesaplamayı gerçekleştirecek genel anlamdaüç karmaşık katsayılı belirli bir ikinci dereceden denklemin yapacağı gibi. Yarım düzlemin üst kısmındaki parabol, noktanın eksenleri boyunca doğrusal paralel hareketi karakterize eder. Burada vücudun çalışma alanındaki potansiyel farkından bahsetmeye değer. Optimumun altında bir sonuç karşılığında, kesir hesaplayıcımız, sunucu tarafındaki işlevsel programların incelenmesinde matematiksel derecelendirmede haklı olarak ilk sırayı alır. Bu hizmetin kullanım kolaylığı milyonlarca İnternet kullanıcısı tarafından takdir edilecektir. Nasıl kullanılacağını bilmiyorsanız size yardımcı olmaktan memnuniyet duyarız. Ayrıca, köklerini hızlı bir şekilde bulmanın ve bir düzlemde fonksiyonun grafiğini oluşturmanın gerekli olduğu durumlarda, bir dizi ilkokul problemindeki kübik denklemi özellikle not etmek ve vurgulamak istiyoruz. Daha yüksek derecelerüreme zor olanlardan biridir matematik problemleri Enstitüde ve çalışması için tahsis edilmiş yeterli miktar saat. Tüm doğrusal denklemler gibi bizimki de birçok nesnel kurala göre bir istisna değildir. farklı noktalar Başlangıç koşullarını belirlemek basit ve yeterli olacaktır. Artış aralığı fonksiyonun dışbükeylik aralığına denk gelir. Denklemleri çevrimiçi çözme. Teori çalışması, ana disiplinin çalışmasına ilişkin çok sayıda bölümden alınan çevrimiçi denklemlere dayanmaktadır. Belirsiz problemlerde bu yaklaşımın kullanılması durumunda, denklemlerin çözümünü önceden belirlenmiş bir biçimde sunmak ve sadece sonuç çıkarmak değil, aynı zamanda böyle olumlu bir çözümün sonucunu da tahmin etmek çok basittir. Öğrenmek konu alanı hizmet bize en çok yardımcı olacaktır en iyi gelenekler Matematik tam olarak Doğu'da alışılageldiği gibi. İÇİNDE en iyi anlar zaman aralığı, benzer görevlerin çarpımı ortak çarpan on kez. Denklem hesaplayıcıda birden fazla değişkenin çarpımlarının çokluğu, kütle veya vücut ağırlığı gibi niceliksel değişkenlerden ziyade nitelikle çarpmaya başladı. Dengesizlik durumlarını önlemek için malzeme sistemi dejenere olmayanların önemsiz yakınsamasına dayanan üç boyutlu bir dönüştürücünün türetilmesi matematiksel matrisler. Görevi tamamlayın ve denklemi çözün. verilen koordinatlar, çünkü çıktı önceden bilinmediği için, uzaysal zaman sonrası zamana dahil olan tüm değişkenler gibi. Açık kısa vadeli genel çarpanı sınırların ötesine itin parantez ve en büyüğüne böl ortak bölen her iki parçayı da önceden Ortaya çıkan kapsanan sayı alt kümesinin altından, kısa bir süre içinde arka arkaya otuz üç noktayı ayrıntılı bir şekilde çıkarın. O kadar ki mümkün olan en iyi şekilde Bir denklemi çevrimiçi olarak çözmek her öğrenci için mümkündür. İleriye baktığımızda, gelecekte onsuz yaşamanın zor olacağı önemli ama önemli bir şey söyleyelim. Geçen yüzyılda büyük bilim adamı matematik teorisinde bir takım kalıpları fark etti. Uygulamada sonuç, olayların pek de beklenen izlenimi değildi. Bununla birlikte, prensip olarak, çevrimiçi denklemlerin bu çözümü, anlayışın ve algının geliştirilmesine yardımcı olur bütünsel yaklaşımöğrenilenlerin incelenmesi ve pratik olarak pekiştirilmesi teorik materyalöğrenciler arasında. Bunu çalışma süreniz boyunca yapmak çok daha kolaydır.

Final sınavına hazırlık aşamasında lise öğrencilerinin “Üstel Denklemler” konusundaki bilgilerini geliştirmeleri gerekmektedir. Geçmiş yılların deneyimi, bu tür görevlerin okul çocukları için bazı zorluklara neden olduğunu göstermektedir. Bu nedenle lise öğrencilerinin, hazırlık düzeyleri ne olursa olsun, teoriye iyice hakim olmaları, formülleri hatırlamaları ve bu tür denklemleri çözme ilkesini anlamaları gerekir. Bu tür görevlerle başa çıkmayı öğrenen mezunlar, aşağıdakilere güvenebileceklerdir: yüksek puanlar matematikte Birleşik Devlet Sınavını geçerken.

Shkolkovo ile sınav testine hazır olun!

Pek çok öğrenci, kapsadıkları materyalleri incelerken denklemleri çözmek için gereken formülleri bulma sorunuyla karşı karşıya kalıyor. Okul ders kitabı her zaman elinizin altında değildir ve seçim gerekli bilgilerİnternetteki konuyla ilgili bilgi edinmek uzun zaman alıyor.

Shkolkovo eğitim portalı öğrencileri bilgi tabanımızı kullanmaya davet ediyor. Tamamen uyguluyoruz yeni yöntem son teste hazırlık. Web sitemizde çalışarak bilgi eksikliklerini tespit edebilecek ve en çok zorluğa neden olan görevlere dikkat edebileceksiniz.

Shkolkovo öğretmenleri gerekli her şeyi topladı, sistemleştirdi ve sundu başarılı tamamlama Birleşik Devlet Sınavı materyali en basit ve en erişilebilir biçimde.

Temel tanımlar ve formüller “Teorik Arka Plan” bölümünde sunulmaktadır.

Materyali daha iyi anlamak için ödevleri tamamlayarak pratik yapmanızı öneririz. Hesaplama algoritmasını anlamak için bu sayfada sunulan çözümlerle birlikte üstel denklem örneklerini dikkatlice inceleyin. Bundan sonra “Dizinler” bölümündeki görevleri gerçekleştirmeye devam edin. En kolay görevlerle başlayabilir veya doğrudan birkaç bilinmeyenli karmaşık üstel denklemleri çözmeye geçebilirsiniz. Web sitemizdeki egzersiz veritabanı sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.

Sizi zora sokan göstergeli örnekleri “Favoriler”e ekleyebilirsiniz. Bu şekilde onları hızlı bir şekilde bulabilir ve çözümü öğretmeninizle tartışabilirsiniz.

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek için her gün Shkolkovo portalında çalışın!

Üstel denklemler, bilinmeyenin üssün içinde yer aldığı denklemlerdir. En basit üstel denklem şu şekildedir: a x = a b, burada a> 0, a 1, x bilinmiyor.

Üstel denklemlerin dönüştürüldüğü kuvvetlerin temel özellikleri: a>0, b>0.

Üstel denklemleri çözerken aynı zamanda aşağıdaki özellikler üstel fonksiyon: y = a x , a > 0, a1:

Bir sayıyı kuvvet olarak temsil etmek için temel ifadeyi kullanın. logaritmik özdeşlik: b = , a > 0, a1, b > 0.

"Üstel Denklemler" konulu problemler ve testler

Üstel denklemler
Dersler: 4 Ödevler: 21 Testler: 1
Üstel denklemler - Matematikte Birleşik Devlet Sınavının gözden geçirilmesi için önemli konular
Görevler: 14
Üstel ve logaritmik denklem sistemleri - Gösterici ve logaritmik fonksiyonlar 11. sınıf
Dersler: 1 Ödevler: 15 Testler: 1
§2.1. Üstel denklemleri çözme
Dersler: 1 Görevler: 27
§7 Üstel ve logaritmik denklemler ve eşitsizlikler - Bölüm 5. Üstel ve logaritmik fonksiyonlar, 10. sınıf
Dersler: 1 Görevler: 17

Üstel denklemleri başarıyla çözmek için kuvvetlerin temel özelliklerini, üstel fonksiyonun özelliklerini ve temel logaritmik özdeşliği bilmeniz gerekir.

Üstel denklemleri çözerken iki ana yöntem kullanılır:

a f(x) = a g(x) denkleminden f(x) = g(x) denklemine geçiş;
yeni hatların devreye alınması.

Örnekler.

1. Denklemler en basitine indirgenmiştir. Denklemin her iki tarafının aynı tabana sahip bir kuvvete indirgenmesiyle çözülürler.

3x = 9x – 2 .

Çözüm:

3 x = (3 2) x – 2;
3 x = 3 2x – 4;
x = 2x –4;
x = 4.

Cevap: 4.

2. Parantezlerin ortak çarpanı çıkarılarak çözülen denklemler.

Çözüm:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Cevap: 3.

3. Değişken değişikliği kullanılarak çözülen denklemler.

Çözüm:

2 2x + 2x – 12 = 0
2 x = y'yi gösteriyoruz.
y 2 + y – 12 = 0
y1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Denklemin çözümü yoktur çünkü 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3; x = log 2 3.

Cevap: günlük 2 3.

4. Tabanları birbirine indirgenemeyen iki farklı kuvvet içeren denklemler.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Cevap: 2.

5. ax ve bx'e göre homojen olan denklemler.

Genel görünüm: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Çözüm:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
(3/2) x = y'yi gösterelim.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y1 = 2; y2 = ½.

Cevap: log 3/2 2; - log 3/2 2.

1°. Üstel denklemlerÜslü değişken içeren denklemlere denir.

Üstel denklemlerin çözümü kuvvetlerin özelliğine dayanır: aynı tabana sahip iki kuvvet ancak ve ancak üslerinin eşit olması durumunda eşittir.

2°. Üstel denklemleri çözmek için temel yöntemler:

1) en basit denklemin bir çözümü vardır;

2) tabana göre logaritmik formda bir denklem A biçimlendirmek için azaltın;

3) formdaki bir denklem denkleme eşdeğerdir;

4) formun denklemi denklemine eşdeğerdir.

5) formdaki bir denklem, bir denklemin değiştirilmesi yoluyla indirgenir ve daha sonra bir dizi basit üstel denklem çözülür;

6) karşılıklı denklem karşılıklılar yerine koyma yoluyla bir denkleme indirgerler ve ardından bir dizi denklemi çözerler;

7) göre homojen denklemler a g(x) Ve bg(x) buna göre tür yerine koyma yoluyla bir denkleme indirgerler ve ardından bir dizi denklemi çözerler.

Üstel denklemlerin sınıflandırılması.

1. Bir tabana giderek çözülen denklemler.

Örnek 18. Denklemi çözün .

Çözüm: Tüm kuvvet tabanlarının 5: sayısının kuvvetleri olduğu gerçeğinden yararlanalım.

2. Bir üsse geçilerek çözülen denklemler.

Bu denklemler orijinal denklemin forma dönüştürülmesiyle çözülür. Orantı özelliği kullanılarak en basit haline indirgenmiştir.

Örnek 19. Denklemi çözün:

3. Parantezlerin ortak çarpanı çıkarılarak çözülen denklemler.

Bir denklemde her bir üs diğerinden belirli bir sayı kadar farklıysa, denklemler c üssünün parantez dışına alınmasıyla çözülür. en düşük oran.

Örnek 20. Denklemi çözün.

Çözüm: Denklemin sol tarafındaki parantez içindeki üssün en küçük olduğu dereceyi alalım:

Örnek 21. Denklemi çözün

Çözüm: Denklemin sol tarafında 4 tabanındaki kuvvetleri içeren terimleri, sağ tarafında 3 tabanındaki kuvvetleri içeren terimleri ayrı ayrı gruplayalım, ardından en küçük üslü kuvvetleri parantezlerin dışına koyalım:

4. İkinci dereceden (veya kübik) denklemlere indirgenen denklemler.

Aşağıdaki denklemler yeni bir y değişkeni için ikinci dereceden bir denkleme indirgenir:

a) bu durumda oyuncu değişikliğinin türü;

b) oyuncu değişikliğinin türü ve.

Örnek 22. Denklemi çözün .

Çözüm: Değişken değişikliği yapalım ve ikinci dereceden denklemi çözelim:

Cevap: 0; 1.

5. Üstel fonksiyonlara göre homojen olan denklemler.

Formun bir denklemi homojen denklem bilinmeyenlere göre ikinci derece bir x Ve bx. Bu tür denklemler, önce her iki tarafı da bölerek ve ardından bunları ikinci dereceden denklemlere koyarak indirgenir.

Örnek 23. Denklemi çözün.

Çözüm: Denklemin her iki tarafını da şuna bölün:

Koyarak kökleri olan ikinci dereceden bir denklem elde ederiz.

Şimdi sorun bir dizi denklemin çözümüne geliyor . İlk denklemden bunu buluyoruz. İkinci denklemin kökleri yoktur, çünkü herhangi bir değer için X.

Cevap: -1/2.

6. Üstel fonksiyonlara göre rasyonel denklemler.

Örnek 24. Denklemi çözün.

Çözüm: Kesrin payını ve paydasını aşağıdaki sayıya bölün: 3x ve iki yerine bir üstel fonksiyon elde ediyoruz:

7. Formun denklemleri .

Bir küme ile bu tür denklemler kabul edilebilir değerler(ODZ), koşula göre belirlenen, denklemin her iki tarafının logaritması alınarak eşdeğer bir denkleme indirgenir, bu da iki denklemden oluşan bir diziye eşdeğerdir.

Örnek 25. Denklemi çözün: .

Didaktik materyal.

Denklemleri çözün:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Denklemin köklerinin çarpımını bulun .

27. Denklemin köklerinin toplamını bulun .

İfadenin anlamını bulun:

28. , nerede x 0– denklemin kökü;

29. , nerede x 0 – bütün kök denklemler .

Denklemi çözün:

31. ; 32. .

Cevaplar: 1.0; 2.-2/9; 3.1/36; 4.0, 0.5; 5.0; 6.0; 7.-2; 8.2; 9.1, 3; 10.8; 11.5; 12.1; 13.¼; 14.2; 15. -2, -1; 16.-2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1, 0; 21.-2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24.-1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

8 numaralı konu.

Üstel eşitsizlikler.

1°. Üssü değişken içeren eşitsizliğe denir üstel eşitsizlik.

2°. Çözüm üstel eşitsizlikler dayalı tür aşağıdaki ifadeler:

eğer ise eşitsizlik şuna eşittir;

eğer ise eşitsizlik eşittir.

Üstel eşitsizlikleri çözerken, üstel denklemleri çözerken kullandığınız tekniklerin aynısını kullanın.

Örnek 26. Eşitsizliği çözün (tek bir üsse taşınma yöntemi).

Çözüm: O zamandan beri , o zaman bu eşitsizlikşu şekilde yazılabilir: . O zamandan beri, bu eşitsizlik eşitsizliğe eşdeğerdir .

Son eşitsizliği çözerek şunu elde ederiz:

Örnek 27. Eşitsizliği çözün: ( ortak çarpanı parantezlerden çıkararak).

Çözüm: Eşitsizliğin sol tarafındaki, sağ tarafındaki parantezleri çıkarıp eşitsizliğin her iki tarafını da (-2)'ye bölerek eşitsizliğin işaretini ters yönde değiştirelim:

O zamandan beri göstergelerin eşitsizliğine geçildiğinde eşitsizliğin işareti yine tersine değişiyor. Anlıyoruz. Dolayısıyla bu eşitsizliğin tüm çözümlerinin kümesi aralıktır.

Örnek 28. Eşitsizliği çözün ( yeni bir değişken ekleyerek).

Çözüm: Let . O zaman bu eşitsizlik şu şekli alacaktır: veya , bunun çözümü aralıktır.

Buradan. Fonksiyon arttığına göre .

Didaktik materyal.

Eşitsizliğin çözüm kümesini listeleyin:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Hangi değerlerde X Fonksiyon grafiğindeki noktalar düz çizginin altında mı bulunuyor?

7. Hangi değerlerde X Fonksiyonun grafiğindeki noktalar en az düz çizgi kadar alçakta mı bulunuyor?

Eşitsizliği çözün:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Eşitsizliğin en büyük tamsayı çözümünü belirtin .

14. Eşitsizliğin en büyük tam sayı ile en küçük tam sayı çözümlerinin çarpımını bulun .

Eşitsizliği çözün:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Fonksiyonun etki alanını bulun:

27. ; 28. .

29. Her fonksiyonun değerinin 3'ten büyük olduğu argüman değerleri kümesini bulun:

Ve .

Cevaplar: 11.3; 12.3; 13.-3; 14.1; 15.(0;0,5); 16. ; 17.(-1;0)U(3;4); 18. [-2; 2]; 19.(0; +∞); 20.(0;1); 21.(3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23.(0;1); 24.(-1;1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28.

Bazıları size daha karmaşık görünebilir, bazıları ise tam tersine çok basittir. Ancak hepsinin önemli bir ortak özelliği var: Gösterimleri $f\left(x \right)=((a)^(x))$ üstel fonksiyonunu içeriyor. O halde tanımı tanıtalım:

Üstel bir denklem, üstel bir fonksiyon içeren herhangi bir denklemdir; $((a)^(x))$ biçimindeki ifade. Belirtilen fonksiyona ek olarak, bu tür denklemler diğer cebirsel yapıları (polinomlar, kökler, trigonometri, logaritmalar vb.) içerebilir.

Tamam o zaman. Tanımı çözdük. Şimdi soru şu: Bütün bu saçmalıkları nasıl çözeceğiz? Cevap hem basit hem de karmaşık.

İyi haberle başlayalım: Birçok öğrenciye ders verme deneyimime dayanarak, çoğunun üstel denklemleri aynı logaritmalardan ve hatta trigonometriden çok daha kolay bulduğunu söyleyebilirim.

Ancak kötü haber de var: Bazen her türlü ders kitabı ve sınav için problem derleyenler "ilham"a kapılırlar ve uyuşturucuyla iltihaplanan beyinleri o kadar acımasız denklemler üretmeye başlar ki, bunları çözmek sadece öğrenciler için değil, hatta birçok öğretmen için bile sorunlu hale gelir. bu tür sorunlara takılıp kalın.

Ancak üzücü şeylerden bahsetmeyelim. Ve hikayenin en başında verilen üç denkleme dönelim. Her birini çözmeye çalışalım.

İlk denklem: $((2)^(x))=4$. Peki 4 sayısını elde etmek için 2 sayısını hangi kuvvete yükseltmelisiniz? Muhtemelen ikincisi? Sonuçta, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - ve doğru sayısal eşitliği elde ettik, yani. gerçekten $x=2$. Teşekkürler Kaptan, ama bu denklem o kadar basitti ki kedim bile çözebilirdi :)

Aşağıdaki denkleme bakalım:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ama burada durum biraz daha karmaşık. Birçok öğrenci $((5)^(2))=25$ çarpım tablosunun olduğunu biliyor. Bazıları ayrıca $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$'ın aslında negatif kuvvetlerin tanımı olduğundan şüpheleniyor ($((a)^(-n))= \ formülüne benzer) frac(1)(((a)^(n))))$).

Son olarak, yalnızca seçilmiş birkaç kişi bu gerçeklerin birleştirilebileceğini ve aşağıdaki sonucu verebileceğini fark ediyor:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Böylece bizim orijinal denklem aşağıdaki gibi yeniden yazılacaktır:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ancak bu zaten tamamen çözülebilir! Denklemin solunda üstel fonksiyon var, denklemin sağında üstel fonksiyon var, bunların dışında başka hiçbir şey yok. Bu nedenle, üsleri "bir kenara atabiliriz" ve göstergeleri aptalca eşitleyebiliriz:

Her öğrencinin birkaç satırda çözebileceği en basit doğrusal denklemi elde ettik. Tamam, dört satır halinde:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Son dört satırda ne olduğunu anlamadıysanız mutlaka “doğrusal denklemler” konusuna dönüp konuyu tekrar edin. Çünkü bu konuyu net bir şekilde anlamadan üstel denklemlerle uğraşmak için henüz çok erken.

\[((9)^(x))=-3\]

Peki bunu nasıl çözebiliriz? İlk düşünce: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, dolayısıyla orijinal denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[((\sol(((3)^(2)) \sağ))^(x))=-3\]

Daha sonra bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken üslerin çarpıldığını hatırlıyoruz:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Ve böyle bir karar için dürüstçe hak edilmiş iki tane alacağız. Çünkü bir Pokemon soğukkanlılığıyla üçün önündeki eksi işaretini bu üçün kuvvetine gönderdik. Ama bunu yapamazsın. İşte nedeni. Şuna bir göz at farklı derecelerüçüz:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2))))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Bu tableti derlerken hiçbir şeyi çarpıtmadım: Pozitif kuvvetlere, negatif kuvvetlere ve hatta kesirli olanlara baktım... peki, burada en az bir negatif sayı nerede? O gitti! Ve olamaz, çünkü üstel fonksiyon $y=((a)^(x))$, öncelikle her zaman yalnızca pozitif değerler alır (bir ne kadar çarpılırsa veya ikiye bölünürse bölünsün, yine de bir olacaktır) pozitif sayı) ve ikincisi, böyle bir fonksiyonun tabanı - $a$ sayısı - tanımı gereği pozitif bir sayıdır!

Peki $((9)^(x))=-3$ denklemi nasıl çözülür? Ama mümkün değil; kök yok. Ve bu anlamda üstel denklemler ikinci dereceden denklemlere çok benzer; kökleri de olmayabilir. Ancak ikinci dereceden denklemlerde kök sayısı diskriminant tarafından belirlenirse (pozitif diskriminant - 2 kök, negatif - kök yok), o zaman üstel denklemlerde her şey eşit işaretin sağındaki şeye bağlıdır.

Böylece, temel sonucu formüle edelim: $((a)^(x))=b$ formundaki en basit üstel denklemin kökü ancak ve ancak $b>0$ olduğunda olur. Bu basit gerçeği bilerek, size önerilen denklemin köklerinin olup olmadığını kolayca belirleyebilirsiniz. Onlar. Bunu çözmeye değer mi yoksa hemen köklerin olmadığını yazmaya değer mi?

Bu bilgi, daha fazla karar vermemiz gerektiğinde bize birçok kez yardımcı olacaktır. karmaşık görevler. Şimdilik bu kadar şarkı sözü yeter; üstel denklemleri çözmek için temel algoritmayı incelemenin zamanı geldi.

Üstel Denklemler Nasıl Çözülür?

Öyleyse problemi formüle edelim. Üstel denklemi çözmek gerekir:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Daha önce kullandığımız “saf” algoritmaya göre, $b$ sayısını $a$ sayısının kuvveti olarak temsil etmek gerekir:

Ek olarak, $x$ değişkeni yerine herhangi bir ifade varsa, halihazırda çözülebilen yeni bir denklem elde ederiz. Örneğin:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\bit(hizala)\]

Ve işin tuhafı, bu plan vakaların yaklaşık %90'ında işe yarıyor. Peki geri kalan %10 ne olacak? Geriye kalan %10 ise biraz "şizofrenik" üstel denklemlerdir:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Peki, 3'ü elde etmek için 2'yi hangi kuvvete yükseltmeniz gerekiyor? Birinci? Ama hayır: $((2)^(1))=2$ yeterli değil. Saniye? İkisi de yok: $((2)^(2))=4$ çok fazla. O zaman hangisi?

Bilgili öğrenciler muhtemelen zaten tahmin etmişlerdir: Bu gibi durumlarda, "güzel" bir şekilde çözmenin mümkün olmadığı durumlarda, "ağır top" - logaritma - devreye girer. Logaritma kullanarak herhangi bir pozitif sayının herhangi bir pozitif sayının (biri hariç) kuvveti olarak temsil edilebileceğini hatırlatmama izin verin:

Bu formülü hatırladın mı? Öğrencilerime logaritmalardan bahsettiğimde her zaman uyarıyorum: bu formül (aynı zamanda ana logaritmik özdeşliktir veya dilerseniz logaritmanın tanımıdır) çok uzun süre aklınızdan çıkmayacak ve çoğu zaman "ortaya çıkacaktır". beklenmedik yerler. Peki, o ortaya çıktı. Denklemimize ve bu formüle bakalım:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

$a=3$'ın sağdaki orijinal sayımız olduğunu ve $b=2$'ın, ulaşmak istediğimiz üstel fonksiyonun temeli olduğunu varsayarsak sağ taraf, sonra aşağıdakileri elde ederiz:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\bit(hizala)\]

Biraz garip bir yanıt aldık: $x=((\log )_(2))3$. Başka bir görevde, çoğu kişi böyle bir cevap konusunda şüpheye düşer ve çözümlerini tekrar kontrol etmeye başlar: Ya bir yerde bir hata ortaya çıkarsa? Sizi memnun etmek için acele ediyorum: burada bir hata yok ve üstel denklemlerin köklerindeki logaritmalar oldukça tipik durum. O yüzden alışın :)

Şimdi kalan iki denklemi benzetme yoluyla çözelim:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\bit(hizala)\]

İşte bu! Bu arada, son cevap farklı şekilde yazılabilir:

Logaritma argümanına bir faktör ekledik. Ancak hiç kimse bizi bu faktörü tabana eklemekten alıkoyamıyor:

Üstelik her üç seçenek de doğru; çok basit farklı şekiller aynı numaranın kayıtları. Bu çözümde hangisini seçip yazacağınıza karar vermek size kalmıştır.

Böylece, $((a)^(x))=b$ formundaki herhangi bir üstel denklemi çözmeyi öğrendik; burada $a$ ve $b$ sayıları kesinlikle pozitiftir. Fakat sert gerçeklik dünyamız öyle ki basit görevlerçok çok nadir karşılaşacaksınız. Çoğu zaman şöyle bir şeyle karşılaşacaksınız:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\bit(hizala)\]

Peki bunu nasıl çözebiliriz? Bu hiç çözülebilir mi? Eğer öyleyse, nasıl?

Panik yapma. Tüm bu denklemler hızlı ve kolay bir şekilde şuna indirgenebilir: basit formüller bunu zaten düşündük. Cebir kursundan birkaç püf noktasını hatırlamanız yeterli. Ve elbette derecelerle çalışmanın kuralları yoktur. Şimdi size tüm bunları anlatacağım. :)

Üstel Denklemleri Dönüştürme

Hatırlanması gereken ilk şey: herhangi bir üstel denklem, ne kadar karmaşık olursa olsun, şu ya da bu şekilde en basit denklemlere - daha önce ele aldığımız ve nasıl çözeceğimizi bildiğimiz denklemlere - indirgenmelidir. Başka bir deyişle, herhangi bir üstel denklemi çözme şeması şuna benzer:

Orijinal denklemi yazın. Örneğin: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Garip şeyler yap. Ya da "denklemi dönüştürme" denen saçmalık;
Çıktıda, $((4)^(x))=4$ veya buna benzer başka bir biçimin en basit ifadelerini alın. Dahası, bir başlangıç denklemi aynı anda bu tür birkaç ifadeyi verebilir.

İlk noktada her şey açık; kedim bile denklemi bir kağıda yazabilir. Üçüncü nokta da az çok açık görünüyor; yukarıda buna benzer bir sürü denklemi zaten çözdük.

Peki ya ikinci nokta? Ne tür dönüşümler? Neyi neye dönüştürmek? Peki nasıl?

Peki, öğrenelim. Öncelikle şunu belirtmek isterim. Tüm üstel denklemler iki türe ayrılır:

Denklem aynı tabana sahip üstel fonksiyonlardan oluşur. Örnek: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Formül farklı tabanlara sahip üstel fonksiyonlar içerir. Örnekler: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ve $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

İlk türdeki denklemlerle başlayalım - çözülmesi en kolay olanlardır. Ve bunları çözerken, istikrarlı ifadelerin vurgulanması gibi bir teknik bize yardımcı olacaktır.

Kararlı bir ifadeyi izole etme

Bu denkleme tekrar bakalım:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ne görüyoruz? Dördü farklı derecelere yükseltilir. Ama tüm bu dereceler - basit toplamlar$x$ değişkenini diğer sayılarla birlikte kullanın. Bu nedenle derecelerle çalışmanın kurallarını hatırlamak gerekir:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x))):((a)^(y))=\frac(((a)^(x))))(((a )^(y))). \\\bit(hizala)\]

Basitçe söylemek gerekirse, toplama kuvvetlerin çarpımına, çıkarma işlemi de kolaylıkla bölme işlemine dönüştürülebilir. Bu formülleri denklemimizin derecelerine uygulamaya çalışalım:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1))))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\son(hizala)\]

Bu gerçeği dikkate alarak orijinal denklemi yeniden yazalım ve ardından tüm terimleri sol tarafta toplayalım:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\bit(hizala)\]

İlk dört terim $((4)^(x))$ öğesini içerir - hadi bunu parantezden çıkaralım:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\bit(hizala)\]

Denklemin her iki tarafını da $-\frac(11)(4)$ kesrine bölmek kalıyor; esas olarak ters çevrilmiş kesirle çarpın - $-\frac(4)(11)$. Şunu elde ederiz:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\bit(hizala)\]

İşte bu! Orijinal denklemi en basit haline indirgedik ve nihai cevaba ulaştık.

Aynı zamanda, çözme sürecinde $((4)^(x))$ ortak faktörünü keşfettik (ve hatta parantezden çıkardık) - bu kararlı bir ifadedir. Yeni bir değişken olarak belirlenebilir veya basitçe dikkatlice ifade edip cevaba ulaşabilirsiniz. Her durumda çözümün temel prensibi şudur:

Orijinal denklemde, tüm üstel fonksiyonlardan kolayca ayırt edilebilen bir değişken içeren kararlı bir ifade bulun.

İyi haber şu ki, hemen hemen her üstel denklem böylesine kararlı bir ifadeyi izole etmenize olanak sağlıyor.

Ama bir de kötü haber var: benzer ifadeler oldukça yanıltıcı olabilir ve tanımlanması oldukça zor olabilir. O halde bir soruna daha bakalım:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Belki şimdi birisinin bir sorusu vardır: “Paşa, kafan mı karıştı? Burada farklı tabanlar var – 5 ve 0,2.” Ama gücü 0,2 tabanına dönüştürmeyi deneyelim. Örneğin ondalık kesri normal kesir haline getirerek kurtulalım:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \sağ))^(-\left(x+1 \sağ))))=((\left(\frac(1)(5) \sağ))^(-\left(x+1 \sağ)) )\]

Gördüğünüz gibi paydada da olsa 5 sayısı hala görünüyordu. Aynı zamanda gösterge negatif olarak yeniden yazıldı. Şimdi bunlardan birini hatırlayalım en önemli kurallar derecelerle çalışın:

\[(((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Burada elbette biraz yalan söylüyordum. Çünkü kurtulmanın formülünü tam olarak anlamak olumsuz göstergelerşu şekilde yazılmalıydı:

\[(((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ sağ))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Öte yandan hiçbir şey bizi sadece kesirlerle çalışmaktan alıkoyamadı:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))=((\left(((5)^(-1)) \ sağ))^(-\left(x+1 \sağ))))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Ancak bu durumda bir gücü başka bir güce yükseltebilmeniz gerekiyor (hatırlatayım: bu durumda göstergeler birbirine eklenir). Ancak kesirleri "tersine çevirmem" gerekmedi - belki bu bazıları için daha kolay olacaktır :)

Her durumda, orijinal üstel denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\bit(hizala)\]

Böylece orijinal denklemin daha önce düşünülenden daha basit bir şekilde çözülebileceği ortaya çıktı: burada kararlı bir ifade seçmenize bile gerek yok - her şey kendi kendine indirgenmiştir. Geriye sadece şunu hatırlamak kalıyor: $1=((5)^(0))$, buradan şunu alıyoruz:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\bit(hizala)\]

Çözüm bu! Son cevabı aldık: $x=-2$. Aynı zamanda bizim için tüm hesaplamaları büyük ölçüde basitleştiren bir tekniğe dikkat çekmek isterim:

Üstel denklemlerde, kurtulduğunuzdan emin olun. ondalık sayılar, bunları normal olanlara dönüştürün. Bu, aynı derece tabanlarını görmenize ve çözümü büyük ölçüde basitleştirmenize olanak tanır.

Şimdi daha fazlasına geçelim karmaşık denklemler Dereceler kullanılarak birbirine hiçbir şekilde indirgenemeyen farklı bazların bulunduğu.

Degrees Özelliğini Kullanma

Size özellikle sert iki denklemimiz daha olduğunu hatırlatmama izin verin:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\bit(hizala)\]

Burada asıl zorluk neye ve neye dayanılarak verileceğinin net olmamasıdır. Nerede ifadeleri ayarla? Aynı gerekçeler nerede? Bunların hiçbiri yok.

Ama farklı bir yoldan gitmeyi deneyelim. hazır yoksa aynı gerekçeler mevcut üsleri çarpanlara ayırarak bulmayı deneyebilirsiniz.

İlk denklemle başlayalım:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x))). \\\bit(hizala)\]

Ancak tam tersini de yapabilirsiniz - 7 ve 3 sayılarından 21 sayısını yapın. Her iki derecenin göstergeleri aynı olduğundan bunu solda yapmak özellikle kolaydır:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\bit(hizala)\]

İşte bu! Üssü çarpımın dışına çıkardınız ve hemen birkaç satırda çözülebilecek güzel bir denklem elde ettiniz.

Şimdi ikinci denkleme bakalım. Burada her şey çok daha karmaşık:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

İÇİNDE bu durumda kesirlerin indirgenemez olduğu ortaya çıktı, ancak bir şey azaltılabiliyorsa, onu azalttığınızdan emin olun. Çoğu zaman olacak ilginç nedenler zaten çalışabileceğiniz bir şey.

Ne yazık ki bizim için özel bir şey ortaya çıkmadı. Ancak çarpımda soldaki üslerin zıt olduğunu görüyoruz:

Size şunu hatırlatmama izin verin: göstergedeki eksi işaretinden kurtulmak için kesri "çevirmeniz" yeterlidir. Peki, orijinal denklemi yeniden yazalım:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\bit(hizala)\]

İkinci satırda basitçe gerçekleştirdik genel gösterge$((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) kuralına göre parantez dışındaki çarpımdan $ ve ikincisinde 100 sayısını bir kesirle çarptık.

Şimdi soldaki (tabandaki) ve sağdaki sayıların bir şekilde benzer olduğuna dikkat edin. Nasıl? Evet, çok açık: bunlar aynı sayıdaki kuvvetler! Sahibiz:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \sağ))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \sağ))^(2))). \\\bit(hizala)\]

Böylece denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\sağ))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \sağ))^(3\left(x-1 \sağ))))=((\left(\frac(10)(3) \sağ))^(3x-3))\]

Bu durumda, sağ tarafta aynı tabana sahip bir derece de alabilirsiniz; bunun için kesri basitçe "ters çevirmeniz" yeterlidir:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Denklemimiz sonunda şu şekli alacaktır:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\bit(hizala)\]

Çözüm bu. Ana fikri şu gerçeğine dayanıyor: farklı gerekçelerle Kandırarak ya da sahtekarlıkla bu temelleri aynı şeye indirgemeye çalışıyoruz. Bize bu konuda yardımcı oluyorlar temel dönüşümler Derecelerle çalışmak için denklemler ve kurallar.

Peki hangi kurallar ve ne zaman kullanılmalı? Bir denklemde her iki tarafı da bir şeye bölmeniz gerektiğini, diğerinde ise üstel fonksiyonun tabanını çarpanlara ayırmanız gerektiğini nasıl anlıyorsunuz?

Bu sorunun cevabı tecrübeyle gelecektir. İlk önce basit denklemler üzerinde elinizi deneyin ve ardından sorunları yavaş yavaş karmaşıklaştırın; çok geçmeden becerileriniz aynı Birleşik Devlet Sınavından veya herhangi bir bağımsız/test çalışmasından herhangi bir üstel denklemi çözmek için yeterli olacaktır.

Bu zor görevde size yardımcı olmak için, web sitemden kendi başınıza çözebileceğiniz bir dizi denklem indirmenizi öneririm. Tüm denklemlerin cevapları vardır, böylece her zaman kendinizi test edebilirsiniz.