Rasyonel bir fonksiyon, payı ve paydası polinomlar veya polinomların çarpımı olan formun bir kesridir.

Örnek 1. Adım 2.

.

Belirsiz katsayıları, bu bireysel kesirde olmayan, ancak diğer sonuçta ortaya çıkan kesirlerde bulunan polinomlarla çarpıyoruz:

Parantezleri açıyoruz ve orijinal integrandın payını elde edilen ifadeye eşitliyoruz:

Eşitliğin her iki tarafında da x'in aynı kuvvetlerine sahip terimler arıyoruz ve onlardan bir denklem sistemi oluşturuyoruz:

.

Tüm X'leri iptal ediyoruz ve alıyoruz eşdeğer sistem denklemler:

.

Böylece, integralin toplamdaki son genişlemesi basit kesirler:

.

Örnek 2. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin, paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

.

Şimdi belirsiz katsayıları aramaya başlıyoruz. Bunu yapmak için, fonksiyon ifadesindeki orijinal kesrin payını, kesirlerin toplamını ortak bir paydaya indirgedikten sonra elde edilen ifadenin payına eşitliyoruz:

Şimdi bir denklem sistemi oluşturup çözmeniz gerekiyor. Bunu yapmak için, değişkenin katsayılarını, fonksiyonun orijinal ifadesinin payındaki karşılık gelen dereceye ve önceki adımda elde edilen ifadedeki benzer katsayılara eşitliyoruz:

Ortaya çıkan sistemi çözüyoruz:

Yani buradan

.

Örnek 3. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin, paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

Belirsiz katsayıları aramaya başlıyoruz. Bunu yapmak için, fonksiyon ifadesindeki orijinal kesrin payını, kesirlerin toplamını ortak bir paydaya indirgedikten sonra elde edilen ifadenin payına eşitliyoruz:

Önceki örneklerde olduğu gibi bir denklem sistemi oluşturuyoruz:

X'leri azaltırız ve eşdeğer bir denklem sistemi elde ederiz:

Sistemi çözersek şunu elde ederiz aşağıdaki değerler belirsiz katsayılar:

İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:

.

Örnek 4. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin, paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

.

Önceki örneklerden, orijinal kesrin payını, kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasından ve bu toplamın ortak bir paydaya getirilmesinden sonra elde edilen paydaki ifadeye nasıl eşitleneceğini zaten biliyoruz. Bu nedenle, sadece kontrol amacıyla, ortaya çıkan denklem sistemini sunuyoruz:

Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:

Örnek 5. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin, paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

.

Bu toplamı bağımsız olarak ortak bir paydaya indirgeyerek bu ifadenin payını orijinal kesrin payına eşitliyoruz. Sonuç şu olmalı sonraki sistem denklemler:

Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

.

İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:

.

Örnek 6. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin, paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

Bu miktarla önceki örneklerde olduğu gibi aynı işlemleri gerçekleştiriyoruz. Sonuç aşağıdaki denklem sistemi olmalıdır:

Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

.

İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:

.

Örnek 7. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin, paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

.

Ortaya çıkan miktarla yapılan belirli işlemlerden sonra aşağıdaki denklem sistemi elde edilmelidir:

Sistemi çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

İntegralin basit kesirlerin toplamına son ayrıştırılmasını elde ederiz:

.

Örnek 8. Adım 2. 1. adımda, orijinal kesirin, paylarında belirlenmemiş katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına aşağıdaki ayrıştırmasını elde ettik:

.

Bir denklem sistemi elde etmek için halihazırda otomatikliğe getirilmiş eylemlerde bazı değişiklikler yapalım. Bazı durumlarda gereksiz hesaplamalardan kaçınmaya yardımcı olan yapay bir teknik vardır. Kesirlerin toplamını ortak bir paydaya getirerek elde ediyoruz ve bu ifadenin payını orijinal kesrin payına eşitleyerek elde ediyoruz.

BAŞKORTO STAN CUMHURİYETİ BİLİM VE EĞİTİM BAKANLIĞI

SAOU DPT Başkurt Mimarlık ve İnşaat Mühendisliği Koleji

Khaliullin Askhat Adelzyanovich,

Bashkirsky'de matematik öğretmeni

Mimarlık ve İnşaat Mühendisliği Fakültesi

UFA

2014

Giriş __________________________________________________3

Bölüm BEN. Teorik yönler yöntemi kullanarak belirsiz katsayılar ______________________________________________4

Bölüm II. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak polinomlarla ilgili problemlere çözüm arar___________________________________7

2.1.Bir polinomun çarpanlara ayrılması_____________________ 7

2.2. Parametrelerle ilgili sorunlar_________________________________ 10

2.3. Denklemleri çözme__________________________________________14

2.4. Fonksiyonel denklemler______________________________19

Sonuç____________________________________________________23

Kullanılan literatür listesi__________________________________________24

Başvuru ________________________________________________25

Giriiş.

bu iş belirsiz katsayılar yönteminin okul matematik dersine dahil edilmesinin teorik ve pratik yönlerine ayrılmıştır. Bu konunun alaka düzeyi aşağıdaki koşullarla belirlenir.

Hiç kimse bir bilim olarak matematiğin tek bir yerde durmadığını, sürekli geliştiğini, yeni sorunların ortaya çıktığını tartışmayacaktır. artan karmaşıklık Bu görevler genellikle araştırmayla ilgili olduğundan çoğu zaman bazı zorluklara neden olur. Bu tür görevler son yıllar okulda, ilçede ve cumhuriyetçilerde teklif edildi matematik olimpiyatları, ayrıca şuralarda da mevcuttur: Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri. Bu nedenle gerekliydi özel yöntem Bu, en azından bazılarının en hızlı, verimli ve uygun maliyetli bir şekilde çözülmesine olanak tanıyacaktır. Bu çalışma, genel eğitim dersinde yer alan sorulardan en ileri kısımlarına kadar matematiğin çok çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılan belirsiz katsayılar yönteminin içeriğini net bir şekilde sunmaktadır. Özellikle parametrelerle, kesirli rasyonel ve fonksiyonel denklemlerle ilgili problemlerin çözümünde belirsiz katsayılar yönteminin uygulamaları özellikle ilginç ve etkilidir; matematiğe ilgi duyan herkesin kolaylıkla ilgisini çekebilirler. ana amaçÖnerilen çalışmanın ve problemlerin seçiminin amacı, kısa ve yenilikçi çözümler bulma yeteneğini geliştirmek ve geliştirmek için yeterli fırsat sağlamaktır.

Bu çalışma iki bölümden oluşmaktadır. İlki, kullanımın teorik yönlerini tartışıyor

belirsiz katsayılar yöntemi ve ikinci olarak bu tür kullanımın pratik ve metodolojik yönleri.

Eserin ekinde şartlar yer almaktadır. özel görevlerİçin bağımsız karar.

Bölüm BEN . Kullanımın teorik yönleri belirsiz katsayılar yöntemi

“İnsan... usta olmak için doğmuştur,

hükümdar, doğanın kralı, ama bilgelik,

yönetmesi gereken şey ona verilmedi

doğumdan itibaren: öğrenerek edinilir"

N.I. Lobaçevski

Var olmak çeşitli yollar problem çözme yöntemleri ve yöntemleri, ancak en uygun, en etkili, orijinal, zarif ve aynı zamanda herkes için çok basit ve anlaşılır olanlardan biri belirsiz katsayılar yöntemidir. Belirsiz katsayılar yöntemi, matematikte formu önceden bilinen ifadelerin katsayılarını bulmak için kullanılan bir yöntemdir.

Belirsiz katsayılar yönteminin çeşitli problem türlerinin çözümünde uygulanmasını düşünmeden önce, bir dizi teorik bilgi sunacağız.

Verilsinler

A N (X) = A 0 X N + A 1 X n-1 + A 2 X n-2 + ··· + A n-1 X + A N

B M (X ) = B 0 X M + B 1 X M -1 + B 2 X M -2 + ··· + B m-1 X + B M ,

polinomlar göreceli X her ihtimale karşı.

Teorem. Bire bağlı iki polinom ve aynı argüman aynı şekilde eşittir ancak ve ancak şu durumdaN = M ve karşılık gelen katsayılar eşittirA 0 = B 0 , A 1 = B 1 , A 2 = B 2 ,··· , A N -1 = B M -1 , A N = B M Ve T. D.

Açıkçası, eşit polinomlar tüm değerleri alır X aynı değerler. Tersine, eğer iki polinomun değerleri tüm değerler için eşitse X, sonra polinomlar yani katsayıları eşittir eşit derece X eşleştir.

Bu nedenle belirsiz katsayılar yöntemini problemlerin çözümünde uygulama fikri şu şekildedir.

Bazı dönüşümler sonucunda ifadenin elde edildiğini bilelim. belirli tip ve yalnızca bu ifadedeki katsayılar bilinmemektedir. Daha sonra bu katsayılar harflerle gösterilir ve bilinmeyenler olarak kabul edilir. Daha sonra bu bilinmeyenleri belirlemek için bir denklem sistemi oluşturulur.

Örneğin polinomlar söz konusu olduğunda bu denklemler, katsayıların aynı kuvvetler için eşit olması koşulundan yapılır. X iki eşit polinom için.

Yukarıda söylenenleri aşağıda göstereceğiz spesifik örnekler ve en basitinden başlayalım.

Yani, örneğin teorik değerlendirmelere dayanarak, kesir

toplam olarak temsil edilebilir

, Nerede A , B Ve C - katsayılar belirlenecektir. Bunları bulmak için ikinci ifadeyi birinciye eşitleriz:

=

ve kendimizi paydadan kurtarıp solda aynı kuvvetlere sahip terimleri toplamak X, şunu elde ederiz:

(A + B + C )X 2 + ( B - C )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Son eşitliğin tüm değerler için doğru olması gerektiğinden X, o zaman aynı derecelerdeki katsayılarX sağ ve sol aynı olmalıdır. Böylece üç bilinmeyen katsayıyı belirlemek için üç denklem elde edilir:

a+b+c = 2

B - C = - 5

A= 1, dolayısıyla A = 1 , B = - 2 , C = 3

Buradan,

=
,

Bu eşitliğin geçerliliğinin doğrudan doğrulanması kolaydır.

Ayrıca bir kesri temsil etmeniz gerektiğini varsayalım.

gibi A + B
+ C
+ D
, Nerede A , B , C Ve D- Bilinmeyen rasyonel katsayılar. İkinci ifadeyi birinciye eşitliyoruz:

A + B
+ C
+ D
=
veya, paydadan kurtulmak, mümkünse rasyonel faktörleri köklerin işaretleri altından çıkarmak ve getirmek benzer üyeler sol tarafta şunu elde ederiz:

(A- 2 B + 3 C ) + (- a+b +3 D )
+ (a+c - 2 D )
+

+ (M.Ö + D )
= 1 +
-
.

Ancak böyle bir eşitlik ancak her iki parçanın rasyonel terimlerinin ve aynı radikallerin katsayılarının eşit olması durumunda mümkündür. Böylece bilinmeyen katsayıları bulmak için dört denklem elde edilir A , B , C Ve D :

A- 2b+ 3C = 1

- a+b +3 D = 1

a+c - 2 D = - 1

B - C + D= 0, dolayısıyla A = 0 ; B = - ; C = 0 ; D= yani
= -
+
.

Bölüm II. Polinomlarla ilgili problemlere çözüm arar belirlenmemiş katsayılar yöntemi.

“Hiçbir şey bir konunun ustalaşmasına ondan daha iyi katkıda bulunamaz.

onunla ne tür bir eylem farklı durumlar »

Akademisyen B.V. Gnedenko

2. 1. Bir polinomun çarpanlara ayrılması.

Polinomları çarpanlarına ayırma yöntemleri:

1) ortak çarpanı parantezlerin dışına yerleştirmek; 2) gruplandırma yöntemi; 3) uygulama temel formüllerçarpma işlemi; 4) yardımcı terimlerin tanıtılması; 5) belirli bir polinomun belirli formüller kullanılarak ön dönüşümü; 6) belirli bir polinomun köklerini bularak genişletme; 7) parametre girme yöntemi; 8)belirsiz katsayılar yöntemi.

Problem 1. Polinomu gerçek faktörlere ayırın X 4 + X 2 + 1 .

Çözüm. Bu polinomun serbest teriminin bölenleri arasında kök yoktur. Polinomun köklerini diğer temel araçları kullanarak bulamayız. Dolayısıyla öncelikle bu polinomun kökleri bulunarak gerekli açılımın yapılması mümkün değildir. Geriye ya yardımcı terimlerin tanıtılmasıyla ya da belirlenemeyen katsayılar yöntemiyle soruna bir çözüm aranmaya devam edilmektedir. Açıkça görülüyor ki X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Ortaya çıkan ikinci dereceden üç terimlilerin kökleri yoktur ve bu nedenle gerçek doğrusal faktörlere ayrıştırılamazlar.

Açıklanan yöntem teknik olarak basit ancak yapaylığından dolayı zordur. Aslında gerekli yardımcı terimleri bulmak çok zordur. Bu ayrıştırmayı bulmamıza yalnızca bir tahmin yardımcı oldu. Ancak

fazlası var güvenilir yöntemler bu tür sorunlara çözümler.

Şu şekilde davranılabilir: Verilen polinomun çarpıma ayrıştığını varsayalım.

(X 2 + A X + B )(X 2 + C X + D )

tamsayı katsayılı iki kare trinomial.

Böylece buna sahip olacağız

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + A X + B )(X 2 + C X + D )

Katsayıları belirlemek için kalırA , B , C Ve D .

Son eşitliğin sağ tarafındaki polinomları çarparak şunu elde ederiz:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (B + A C + D ) X 2 + (reklam + M.Ö ) x + BD .

Ama buna ihtiyacımız olduğundan sağ kısım bu eşitlik sol taraftaki aynı polinoma dönüştü, yerine getirilmesini istiyoruz aşağıdaki koşullar:

a + c = 0

B + A C + D = 1

reklam + M.Ö = 0

BD = 1 .

Sonuç, dört bilinmeyenli dört denklemden oluşan bir sistemdirA , B , C Ve D . Bu sistemden katsayıları bulmak kolaydırA = 1 , B = 1 , C = -1 Ve D = 1.

Artık sorun tamamen çözüldü. Aldık:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Problem 2. Polinomu gerçek faktörlere ayırın X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Çözüm. Bu polinomu formda temsil edelim

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + A )(X 2 + bx + C) , Nerede A , B Ve İle - katsayılar henüz belirlenmedi. İki polinom ancak ve ancak aynı güçlerin katsayıları olması durumunda eşit olduğundanX eşittir, o zaman katsayılar sırasıyla eşitlenirX 2 , X ve ücretsiz şartlarla sistemi alıyoruz üç denklemüç bilinmeyenli:

a+b= - 6

ab+c = 14

AC = - 15 .

3 sayısının (serbest terimin böleni) kök olduğunu hesaba katarsak, bu sistemin çözümü büyük ölçüde basitleşecektir. verilen denklem, ve bu nedenleA = - 3 ,

B = - 3 Ve İle = 5 .

Daha sonra X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 X + 5).

Uygulanan belirsiz katsayılar yöntemi, yukarıdaki yardımcı terimlerin tanıtılması yöntemiyle karşılaştırıldığında, yapay hiçbir şey içermez, ancak birçok şeyin kullanılmasını gerektirir. teorik hükümler ve oldukça büyük hesaplamalar eşlik ediyor. Polinomlar için daha fazlası yüksek derece Bu belirlenmemiş katsayılar yöntemi, hantal denklem sistemlerine yol açar.

2.2.Görevler ve parametrelerle.

Son yıllarda Birleşik Devlet Sınavının versiyonları parametreli görevler sundu. Çözümleri çoğu zaman bazı zorluklara neden olur. Parametrelerle ilgili problemleri diğer yöntemlerle birlikte çözerken, belirsiz katsayılar yöntemini oldukça etkili bir şekilde kullanabilirsiniz. Kesinlikle Bu methodçözümlerini büyük ölçüde basitleştirmenize ve hızlı bir şekilde yanıt almanıza olanak tanır.

Görev 3. Parametrenin hangi değerlerinde olduğunu belirleyin A denklem 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 0'ın tam olarak iki kökü vardır.

Çözüm. 1 yol. Türev kullanma.

Bu denklemi iki fonksiyon şeklinde temsil edelim

2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – A .

F (X) = 2x3 – 3 X 2 – 36 X– 3 ve φ( X ) = – A .

Fonksiyonu keşfedelimF (X) = 2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3 türevini kullanarak grafiğini şematik olarak oluşturun (Şekil 1.).

F( – X )F (X ) , F (– X ) – F (X ). Fonksiyon ne çift ne de tektir.

3. Hadi bulalım kritik noktalar fonksiyon, artan ve azalan aralıkları, ekstrema. F / (X ) = 6 X 2 – 6 X – 36. D (F / ) = R bu nedenle denklemi çözerek fonksiyonun tüm kritik noktalarını bulacağız F / (X ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 teoremine göre, teoremin tersi Vieta.

F / (X ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ maksimum - dk. +

2 3 X

F / (X) > 0 hepsi için X< – 2 ve X > 3 ve fonksiyon noktalarda süreklidirx =– 2 ve X = 3 olduğundan her aralıkta artar (- ; -2] ve [3; ).

F / (X ) < 0 - 2'de < X< 3, dolayısıyla [- 2 aralığında azalır; 3 ].

X = - 2. maksimum nokta, çünkü bu noktada türevin işareti değişir"+"dan "-"ye.

F (– 2) = 2· (– 8) – 3·4 – 36·(– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 minimum puan, çünkü bu noktada türevin işareti değişir"-" ila "+".

F (3) = 2·27 – 3·9 – 36·3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84 .

φ( fonksiyonunun grafiğiX ) = – A x eksenine paralel ve koordinatları (0) olan noktadan geçen düz bir çizgidir.; – A ). Grafiklerde iki tane var ortak noktalar-de -A= 41, yani bir =– 41 ve – A= – 84, yani A = 84 .

en

41φ( X)

2 3 X

3 F ( X ) = 2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3

Yöntem 2. Belirsiz katsayılar yöntemi.

Problemin koşullarına göre bu denklemin yalnızca iki kökü olması gerektiğine göre eşitlik açıktır:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = (x + B ) 2 (2 X + C ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 2 X 3 + (4 B + C ) X 2 + (2 B 2 + +2 M.Ö ) X + B 2 C ,

Şimdi katsayıları aynı derecelere eşitliyoruz X bir denklem sistemi elde ederiz

4 b + c = - 3

2B 2 + 2BC = - 36

B 2 C = A – 3 .

Bulduğumuz sistemin ilk iki denklemindenB 2 + B – 6 = 0, dolayısıyla B 1 = - 3 veya B 2 = 2 . İlgili değerlerİle 1 ve İle 2 sistemin ilk denkleminden bulmak kolaydır:İle 1 = 9 veya İle 2 = - 11 . Son olarak parametrenin istenilen değeri sistemin son denkleminden belirlenebilir:

A = B 2 C + 3 , A 1 = - 41 veya A 2 = 84.

Cevap: Bu denklemin tam olarak iki farklı değeri vardır.

kök salmak A= - 41 ve A= 84 .

Sorun 4.Bul en yüksek değer parametreA , bunun için denklemX 3 + 5 X 2 + Ah + B = 0

Tamsayı katsayılı sayıların biri –2’ye eşit olmak üzere üç farklı kökü vardır.

Çözüm. 1 yol. Değiştirme X= - 2V Sol Taraf denklemler, şunu elde ederiz

8 + 20 – 2 A + B= 0, bunun anlamı B = 2 A – 12 .

2 sayısı bir kök olduğundan onu çıkarabiliriz. ortak çarpan X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Ah + B = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Ah + (2 A – 12) =

= X 2 (X + 2) + 3 X (X + 2) – 6 X + Ah + (2 A – 12) =

= X 2 (X + 2) + 3 X (X + 2) + (A – 6)(X +2) - 2(A – 6)+ (2 A - 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 X + (A – 6) ) .

Koşula göre denklemin iki kökü daha vardır. Bu, ikinci faktörün diskriminantının pozitif olduğu anlamına gelir.

D =3 2 - 4 (A – 6) = 33 – 4 A > 0, yani A < 8,25 .

Cevap şu olacak gibi görünüyor bir = 8. Ancak 8 sayısını yerine koyarken orijinal denklemşunu elde ederiz:

X 3 + 5 X 2 + Ah + B = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 X + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

yani denklemin yalnızca iki farklı kökü vardır. Ama ne zaman bir = 7 aslında üç farklı kök üretiyor.

Yöntem 2. Belirsiz katsayılar yöntemi.

Denklem ise X 3 + 5 X 2 + Ah + B = 0'ın bir kökü var X = - 2 ise sayıları her zaman alabilirsinizC Ve D böylece herkesin önündeX eşitlik doğruydu

X 3 + 5 X 2 + Ah + B = (X + 2)(X 2 + İle X + D ).

Sayıları bulmak içinC Ve D Sağ taraftaki parantezleri açalım, benzer terimleri ekleyelim ve elde edelim

X 3 + 5 X 2 + Ah + B = X 3 + (2 + İle ) X 2 +(2 + D ) X + 2 D

Katsayıların karşılık gelen güçlere eşitlenmesi X bir sistemimiz var

2 + İle = 5

2 İle + D = A

2 D = B , Neresi c = 3 .

Buradan, X 2 + 3 X + D = 0 , D = 9 – 4 D > 0 veya

D < 2.25 yani D (- ; 2 ].

Sorun koşulları değer tarafından karşılanır D = 1. Parametrenin istenen son değeriA = 7.

CEVAP: ne zaman bir = 7 Bu denklemin üç farklı kökü vardır.

2.3. Denklem çözme.

“Unutmayın ki, küçük sorunları çözerek

kendinizi büyük ve zorlu mücadeleye hazırlayın

yeni görevler.”

Akademisyen S.L.

Bazı denklemleri çözerken beceriklilik ve zeka gösterebilir ve göstermelisiniz ve özel teknikler kullanmalısınız. Çeşitli dönüşüm tekniklerine hakim olmak ve mantıksal akıl yürütme becerisi matematikte büyük önem taşımaktadır. Bu püf noktalarından biri, iyi seçilmiş bir ifadeyi veya sayıyı toplamak ve çıkarmaktır. Belirtilen gerçeğin kendisi elbette herkes tarafından iyi bilinmektedir - asıl zorluk, belirli bir konfigürasyonda, uygulanmasının uygun ve uygun olduğu denklem dönüşümlerini görmektir.

Basit bir cebirsel denklem kullanarak bir örnek verelim standart dışı teknik Denklem çözme.

Problem 5. Denklemi çözün

=
.

Çözüm. Bu denklemin her iki tarafını da 5 ile çarpıp aşağıdaki gibi yeniden yazalım.

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 veya
= 0

Ortaya çıkan denklemleri belirlenmemiş katsayılar yöntemini kullanarak çözelim

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ah + B )(X 2 + cx + D ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (B + A C + D ) X 2 + (reklam + M.Ö ) x+ + BD

Katsayıların eşitlenmesi X 3 , X 2 , X ve ücretsiz şartlarla sistemi alıyoruz

a + c = -1

B + A C + D = 0

reklam + M.Ö = -7

BD = -3, bulduğumuz yerden:A = -2 ; B = - 1 ;

İle = 1 ; D = 3 .

Bu yüzden X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 veya X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
kök yok.

Benzer şekilde bizde de var

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

Neresi X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Cevap: X 1,2 =

Problem 6. Denklemi çözün

= 10.

Çözüm. Bu denklemi çözmek için sayıları seçmeniz gerekirA Ve B böylece her iki kesrin payları aynı olur. Bu nedenle, sistemimiz var:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Yani görev sayıları bulmakA Ve B , eşitliğin geçerli olduğu yer

(bir + 6) X 2 + ah – 5 = X 2 + (5 + 2 B ) X + B

Şimdi polinomların eşitliği teoremine göre bu eşitliğin sağ tarafının sol taraftaki polinoma dönüşmesi gerekmektedir.

Başka bir deyişle ilişkilerin tatmin edilmesi gerekiyor.

bir + 6 = 1

A = 5 + 2 B

– 5 = B değerleri nereden bulacağızA = - 5 ;

B = - 5 .

Bu değerlerdeA Ve B eşitlik A + B = - 10 da adildir.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 veya X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Cevap: X 1,2 =
, X 3,4 =

Problem 7. Denklemi çözün

= 4

Çözüm. Bu denklem öncekilerden daha karmaşıktır ve bu nedenle onu şu şekilde gruplandıracağız: X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

İki polinomun eşitliği koşulundan

Ah 2 + (bir + 6) X + 12 = X 2 + (B + 11) X – 3 B ,

bilinmeyen katsayılar için bir denklem sistemi elde edip çözüyoruzA Ve B :

A = 1

bir + 6 = B + 11

12 = – 3 B , Neresi bir = 1 , B = - 4 .

Polinomlar - 3 – 6X + cx 2 + 8 cx Ve X 2 + 21 + 12 D – dx yalnızca aynı durumda birbirine eşit olduğunda

İle = 1

8 İle - 6 = - D

3 = 21 + 12 D , İle = 1 , D = - 2 .

Değerlerlebir = 1 , B = - 4 , İle = 1 , D = - 2

eşitlik
= - 4 doğrudur.

Sonuç olarak bu denklem aşağıdaki formu alır:

= 0 veya
= 0 veya
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Ele alınan örneklerden belirsiz katsayılar yönteminin ustaca kullanımının nasıl olduğu açıktır.

oldukça karmaşık, alışılmadık bir denklemin çözümünü basitleştirmeye yardımcı olur.

2.4. Fonksiyonel denklemler.

« En yüksek randevu matematik... oluşur

içindeki gizli sırayı bulmaktır

etrafımızı saran kaos"

N. Viner

Fonksiyonel denklemler çok genel sınıf gerekli fonksiyonun belirli bir fonksiyon olduğu denklemler. Fonksiyonel denklem altında dar anlamda kelimeler aranan fonksiyonların ilişkili olduğu denklemleri anlar bilinen işlevler karmaşık bir fonksiyon oluşturma işlemini kullanarak bir veya daha fazla değişken. Fonksiyonel bir denklem aynı zamanda belirli bir fonksiyon sınıfını karakterize eden bir özelliğin ifadesi olarak da düşünülebilir.

[örneğin, fonksiyonel denklem F ( X ) = F (- X ) çift fonksiyonlar sınıfını, fonksiyonel denklemi karakterize ederF (X + 1) = F (X ) – periyodu 1 vb. olan fonksiyon sınıfı.].

En basit fonksiyonel denklemlerden biri denklemdir.F (X + sen ) = F (X ) + F (sen ). Bu fonksiyonel denklemin sürekli çözümleri şu şekildedir:

F (X ) = CX . Ancak sınıfta süreksiz fonksiyonlar bu fonksiyonel denklemin başka çözümleri de var. Ele alınan fonksiyonel denklemle ilişkili olarak

F (X + sen ) = F (X ) · F (sen ), F (X sen ) = F (X ) + F (sen ), F (X sen ) = F (X )· F (sen ),

sırasıyla forma sahip olan sürekli çözümler

e cx , İLEiçindeX , X α (X > 0).

Yani bunlar fonksiyonel denklemlerüstel, logaritmik ve kuvvet fonksiyonlarını belirlemek için kullanılabilir.

En yaygın aranan dış fonksiyonların olduğu karmaşık fonksiyonlarda elde edilen denklemler. Teorik ve pratik uygulamalar

tam da bu denklemleri harekete geçirdi seçkin matematikçiler onların çalışmalarına.

Örneğin, en hizalama

F 2 (X) = F (X - sen)· F (X + sen)

N.I. Lobaçevskigeometrimde paralellik açısını belirlerken kullanılır.

Son yıllarda matematik olimpiyatlarında fonksiyonel denklemlerin çözümüne ilişkin problemler sıklıkla sunulmaktadır. Çözümleri matematik programının kapsamı dışında bilgi gerektirmez orta okul. Ancak fonksiyonel denklemlerin çözümü çoğu zaman bazı zorluklara neden olur.

Fonksiyonel denklemlere çözüm bulmanın yollarından biri belirsiz katsayılar yöntemidir. Ne zaman kullanılabilir dış görünüş denklemler belirlenebilir Genel formİstenilen işlevi seçin. Bu, her şeyden önce, denklem çözümlerinin tamsayılar veya kesirler arasında aranması gereken durumlar için geçerlidir. rasyonel fonksiyonlar.

Aşağıdaki problemleri çözerek bu tekniğin özünü özetleyelim.

Görev 8. İşlevF (X ) tüm gerçek x'ler için tanımlanır ve tümü için sağlanırX R durum

3 F(X) - 2 F(1- X) = X 2 .

BulmakF (X ).

Çözüm. Çünkü bu denklemin sol tarafında bağımsız değişken x ve fonksiyonun değerleri üzerindeF yalnızca idam edilir doğrusal işlemler ve denklemin sağ tarafı ikinci dereceden fonksiyon, o zaman istenen fonksiyonun da ikinci dereceden olduğunu varsaymak doğaldır:

F (X) = balta 2 + bx + C , NeredeA, B, C – Belirlenecek katsayılar, yani belirsiz katsayılar.

Fonksiyonu denklemde yerine koyarsak özdeşliğe ulaşırız:

3(balta 2 + bx+ c) – 2(A(1 – X) 2 + B(1 – X) + C) = X 2 .

balta 2 + (5 B + 4 A) X + (C – 2 A – 2 B) = X 2 .

İki polinom eşitse aynı olacaktır

değişkenin aynı güçleri için katsayılar:

A = 1

5B + 4A = 0

C– 2 A – 2 B = 0.

Bu sistemden katsayıları buluyoruz

A = 1 , B = - , C = , Ayrıcatatmin edereşitlik

3 F (X ) - 2 F (1- X ) = X 2 hepsinden oluşan bir sette gerçek sayılar. Aynı zamanda böyle bir şey varX 0 Görev 9. İşlevy =F(X) her x için tanımlıdır, süreklidir ve koşulu karşılarF (F (X)) – F(X) = 1 + 2 X . Böyle iki işlevi bulun.

Çözüm. İstenilen işlev üzerinde iki eylem gerçekleştirilir: karmaşık bir işlev oluşturma işlemi ve

çıkarma. Denklemin sağ tarafının doğrusal bir fonksiyon olduğu dikkate alındığında istenilen fonksiyonun da doğrusal olduğunu varsaymak doğaldır:F(X) = ah +B , NeredeA VeB – belirsiz katsayılar. Bu işlevi yerine koymakF (F ( (X ) = - X - 1 ;

F 2 (X ) = 2 X+ , bunlar fonksiyonel denklemin çözümleridirF (F (X)) – F(X) = 1 + 2 X .

Çözüm.

Sonuç olarak, bu çalışmanın orijinal ve orijinal eserin daha fazla araştırılmasına kesinlikle katkıda bulunacağını belirtmek gerekir. etkili yöntemçeşitli çözümler matematik problemleri, bunlar görevler artan zorluk ve matematik alanındaki okul dersi hakkında derin bir bilgi ve yüksek bir mantıksal kültür gerektirir. Matematik bilgilerini bağımsız olarak derinleştirmek isteyen herkes bu çalışmada yansıma ve düşünme için materyal de bulacaktır. ilginç görevlerÇözümü fayda ve memnuniyet getirecek.

Mevcut çalışma kapsamında Okul müfredatı ve etkili algılama için erişilebilir bir biçimde, matematikte okul dersinin derinleştirilmesine yardımcı olan belirsiz katsayılar yöntemi sunulmaktadır.

Elbette belirsiz katsayılar yönteminin tüm olasılıkları tek bir çalışmada ortaya konamaz. Aslında yöntem hala daha fazla çalışma ve araştırma gerektiriyor.

Kullanılmış literatürün listesi.

Glazer G.I..Okulda matematik tarihi.-M.: Eğitim, 1983.

Gomonov S.A. Fonksiyonel denklemler okul kursu matematik // Okulda matematik. – 2000. –№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.H.. Matematik üzerine bir el kitabı - M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Keyfi derecelerin cebirsel denklemleri - M .: Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M.. Fonksiyonel denklemlere temel giriş. – St.Petersburg. : Lan, 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. Matematiksel terimlerin açıklayıcı sözlüğü.-M .: Eğitim, 1971

Modenov V.P.. Matematik üzerine bir el kitabı. Bölüm 1.-M.: Moskova Devlet Üniversitesi, 1977.

Modenov V.P.. Parametrelerle ilgili sorunlar - M .: Sınav, 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I.. Cebir ve temel fonksiyonların analizi - M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Okulda daha kolay çözebilirsin // Matematik. – 2003 . - №8 .

Khaliullin.

4. Polinom 2'yi genişletinX 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X Tamsayı katsayılı çarpanlar için +3.

5. Hangi değerde A X 3 + 6X 2 + Ah+ 12 kişi başına X+ 4 ?

6. Parametrenin hangi değerindeA denklemX 3 +5 X 2 + + Ah + B = 0'ın tamsayı katsayılı iki farklı kökü vardır, bunlardan biri 1'dir ?

7. Polinomun kökleri arasında X 4 + X 3 – 18X 2 + Ah + B tam sayı katsayıları ile üç eşit tam sayı vardır. Değeri bulun B .

8. Parametrenin en büyük tamsayı değerini bulun A, denklemin olduğu yer X 3 – 8X 2 + ah +B = 0 tamsayı katsayılı bir sayının biri 2'ye eşit olmak üzere üç farklı kökü vardır.

9. Hangi değerlerde A Ve B Bölme işlemi kalansız yapılır X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Ah + B Açık X 2 – 3X + 2 ?

10. Faktör polinomları:

A)X 4 + 2 X 2 – X + 2 V)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 D)X 4 + 12X – 5

B)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Denklemleri çözün:

A)
= 2 = 2 F (1 – X ) = X 2 .

Bulmak F (X) .

13. İşlev en= F (X) herkesin önünde X Tanımlanmış, sürekli ve koşulu karşılayan F ( F (X)) = F (X) + X. Böyle iki işlevi bulun.

Yöntem, herhangi bir sayıda değişkenin mantıksal cebir fonksiyonlarını en aza indirmek için uygulanabilir.

Üç değişkenli durumu ele alalım. DNF'deki bir Boole işlevi, DNF'ye dahil edilebilecek her türlü bağlaçlı terim biçiminde temsil edilebilir:

burada kО(0,1) katsayılardır. Yöntem, ortaya çıkan DNF'nin minimum olacağı şekilde katsayıların seçilmesinden oluşur.

Şimdi değişkenlerin tüm olası değerlerini 000'den 111'e ayarlarsak, katsayıları belirlemek için 2 n (2 3 =8) denklem elde ederiz. k:

Fonksiyonun sıfır değerini aldığı kümeleri göz önünde bulundurarak 0'a eşit olan katsayıları belirleyin ve sağ tarafı 1 içeren denklemlerden bunları silin. Her denklemde kalan katsayılardan bir katsayı bire eşitlenir ve bu da şunu belirler: en düşük derecenin birleşimi. Kalan katsayılar 0'a eşittir. Yani birim katsayılar k Uygun minimum formu belirleyin.

Örnek. Belirli bir işlevi simge durumuna küçültün

değerler biliniyorsa:
;
;
;
;
;
;
;
.

Çözüm.

Sıfır katsayıların üzerini çizdikten sonra şunu elde ederiz:

=1;

=1;

=1;

=1.

Katsayıyı birliğe eşitleyelim , en düşük sıranın birleşimine karşılık gelir ve son dört denklemi 1'e çevirir ve ilk denklemde katsayıyı 1'e eşitlemeniz önerilir. . Kalan katsayılar 0'a ayarlanmıştır.

Cevap: simge durumuna küçültülmüş işlevin türü.

Değişken sayısının az olduğu ve 5-6'yı geçmediği durumlarda belirsiz katsayılar yönteminin etkili olduğunu belirtmek gerekir.

Çok boyutlu küp

Bir fonksiyonun çok boyutlu küp biçimindeki grafiksel gösterimini düşünelim. Her zirve N boyutlu küp, birimin bileşenine karşılık gelecek şekilde yerleştirilebilir.

İşaretli köşelerin alt kümesi bir eşlemedir N bir Boole fonksiyonunun boyutlu küpü N SDNF'deki değişkenler.

İşlevi görüntülemek için N Herhangi bir DNF'de sunulan değişkenler için, mini terimleri ve unsurları arasında bir yazışma kurulması gerekir. N boyutlu küp.

(n-1) inci derecenin mini terimi
iki mini terimin yapıştırılması sonucu düşünülebilir N-inci sıra, yani

=

Açık N boyutlu küp, bu yalnızca koordinat değerlerinde farklılık gösteren iki köşenin değiştirilmesine karşılık gelir X Ben, bu köşeleri bir kenarla birleştirir (bir kenarın kendisine gelen köşeleri kapsadığı söylenir).

Böylece mini terimler ( N-1). sıra, n boyutlu bir küpün kenarlarına karşılık gelir.

Benzer şekilde, minitermlerin yazışmaları ( N-2). sıra yüzler N her biri dört köşeyi (ve dört kenarı) kaplayan boyutlu küp.

Elementler N ile karakterize edilen boyutlu küp Sölçümler denir S-küpler.

Yani köşeler 0 küp, kenarlar 1 küp, yüzler 2 küp vb.

Özetlemek gerekirse miniterm ( n-S) işlev için DNF'deki sıralama N görüntülenen değişkenler S-küp, her biri S-cube, yalnızca köşelerine bağlı olan daha düşük boyuttaki tüm küpleri kapsar.

Örnek. İncirde. haritalama verildiğinde

İşte mini terimler
Ve
1 küplere karşılık gelir ( S=3-2=1) ve mini terim X 3 2 küp olarak görüntülenir ( S=3-1=2).

Yani herhangi bir DNF şu şekilde eşlenir: N toplam boyutlu küp S- kurucu birimlere (0-küp) karşılık gelen tüm köşeleri kapsayan küpler.

Bileşenler. Değişkenler için X 1 ,X 2 ,…X N ifade
birimin bileşeni denir ve
- sıfırın bileşeni ( ikisinden biri anlamına gelir , veya ).

Birin (sıfır) bu bileşeni, yalnızca karşılık gelen bir değişken değerleri kümesiyle bire (sıfır) dönüşür; bu, tüm değişkenlerin bire (sıfır) eşit alınması ve bunların olumsuzluklarının sıfıra (bir) eşit olması durumunda elde edilir.

Örneğin: kurucu birim
(1011) kümesine karşılık gelir ve bileşen sıfırdır
- (1001)'i ayarlayın.

SD(K)NF bir (sıfır) bileşenlerinin ayrıklığı (bağlamı) olduğundan, temsil ettiği Boole fonksiyonunun olduğu ileri sürülebilir. F(X 1 , X 2 ,…, X N) yalnızca değişken değer kümeleri için bire (sıfır) döner X 1 , X 2 ,…, X N, bu kopyalara karşılık gelir. Diğer setlerde bu fonksiyon 0'a (bir) dönüşür.

Dayandığı zıt ifade de doğrudur herhangi birini temsil etmenin yolu Tablo tarafından belirtilen Boolean işlevi.

Bunu yapmak için, fonksiyonun bire (sıfır) eşit bir değer aldığı değişkenlerin değer kümelerine karşılık gelen bir (sıfır) bileşenlerinin ayrımlarını (bağlaçlarını) yazmak gerekir.

Örneğin bir tablo tarafından verilen bir fonksiyon

karşılık

Ortaya çıkan ifadeler mantık cebirinin özelliklerine göre başka bir forma dönüştürülebilir.

Tersi ifade de doğrudur: eğer bir koleksiyon S-küpler, fonksiyonun birim değerlerine karşılık gelen tüm köşelerin kümesini, ardından bunlara karşılık gelen ayrılığı kapsar S-minitermlerin küpleri bu fonksiyonun DNF'deki ifadesidir.

Böyle bir koleksiyon diyorlar S-cubes (veya bunlara karşılık gelen mini terimler) fonksiyonun bir kaplamasını oluşturur. Minimal bir forma duyulan arzu, sezgisel olarak böyle bir kaplama arayışı olarak anlaşılmaktadır. S-daha az küp olacak ve boyutları S- Daha. Asgari şekle karşılık gelen teminata asgari teminat denir.

Örneğin, fonksiyon için en=
kaplama minimum olmayan bir şekle karşılık gelir:

pirinç a) en=,

pirinç üzerine bir kaplama b) en=
, pirinç c) en=
en az.

Pirinç. İşlev kapsamı en=:

a) minimum olmayan; b), c) minimum.

Bir işlevin görüntülenmesi N-açıkça ve basit bir şekilde ölçüldü N3. Dört değişkenin fonksiyonunu ve ifadeye karşılık gelen minimum kapsamını gösteren, Şekil 2'de gösterildiği gibi dört boyutlu bir küp gösterilebilir. en=

Bu yöntemi kullanırken N>4 o kadar karmaşık oluşumlar gerektirir ki tüm avantajlarını kaybeder.

Entegrasyon kesirli rasyonel fonksiyon.
Belirsiz katsayı yöntemi

Kesirlerin integralini almaya devam ediyoruz. Derste bazı kesir türlerinin integrallerine zaten bakmıştık ve bu ders bir anlamda devamı sayılabilir. Materyali başarılı bir şekilde anlamak için temel entegrasyon becerileri gereklidir, bu nedenle integralleri çalışmaya yeni başladıysanız, yani yeni başlıyorsanız, o zaman makaleyle başlamanız gerekir. Belirsiz integral. Çözüm örnekleri.

Garip bir şekilde, artık integralleri bulmakla değil, sistemleri çözmekle meşgul olacağız. doğrusal denklemler. Bu konuda acilen Derse katılmanızı tavsiye ederim. Yani yerine koyma yöntemleri (“okul” yöntemi ve sistem denklemlerinin dönem dönem eklenmesi (çıkarılması) yöntemi) konusunda bilgili olmanız gerekir.

Kesirli rasyonel fonksiyon nedir? Basit kelimelerle Kesirli-rasyonel bir fonksiyon, payı ve paydası polinomlar veya polinomların çarpımlarını içeren bir kesirdir. Üstelik kesirler makalede tartışılanlardan daha karmaşıktır. Bazı Kesirlerin İntegrali.

Uygun Kesirli-Rasyonel Fonksiyonun İntegrasyonu

Hemen bir örnek ve standart algoritma Kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralinin çözümleri.

örnek 1

Aşama 1. Kesirli rasyonel bir fonksiyonun integralini çözerken HER ZAMAN yaptığımız ilk şey şunu bulmaktır: sonraki soru: kesir doğru mu? Bu adım sözlü olarak yapılır ve şimdi nasıl olduğunu açıklayacağım:

İlk önce paya bakıyoruz ve öğreniyoruz son derece polinom:

Payın baş kuvveti ikidir.

Şimdi paydaya bakıyoruz ve öğreniyoruz son derece payda. Bunun bariz yolu parantezleri açmak ve getirmektir. benzer terimler, ancak bunu daha kolay yapabilirsiniz her biri parantez içindeki en yüksek dereceyi bulun

ve zihinsel olarak çarpın: - böylece paydanın en yüksek derecesi üçe eşittir. Parantezleri gerçekten açarsak üçten büyük bir derece alamayacağımız çok açık.

Çözüm: Payın ana derecesi KESİNLİKLE paydanın en büyük kuvvetinden küçüktür, bu da kesrin uygun olduğu anlamına gelir.

Eğer içindeyse bu örnekte pay polinomu 3, 4, 5 vb. içeriyordu. derece, o zaman kesir olur yanlış.

Şimdi yalnızca doğru kesirli rasyonel fonksiyonları ele alacağız. Payın derecesinin paydanın derecesinden büyük veya eşit olması durumu ders sonunda tartışılacaktır.

Adım 2. Paydayı çarpanlarına ayıralım. Paydamıza bakalım:

Genel olarak konuşursak, bu zaten faktörlerin bir ürünüdür, ancak yine de kendimize şunu soruyoruz: Başka bir şeyi genişletmek mümkün mü? İşkencenin nesnesi şüphesiz kare üçlü olacaktır. Haydi karar verelim ikinci dereceden denklem:

diskriminant Sıfırın üstünde Bu, trinomialin gerçekten çarpanlara ayrılabileceği anlamına gelir:

Genel kural: Payda çarpanlarına alınabilecek HER ŞEY - çarpanlara ayırıyoruz

Bir çözüm formüle etmeye başlayalım:

Aşama 3. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak integrali basit (temel) kesirlerin toplamına genişletiyoruz. Şimdi daha net olacak.

İntegral fonksiyonumuza bakalım:

Ve biliyorsunuz, bir şekilde sezgisel bir düşünce ortaya çıkıyor: bizim sahip olmamız güzel olurdu. büyük kesir birkaç küçük şeye dönüşüyor. Örneğin şöyle:

Soru ortaya çıkıyor, bunu yapmak mümkün mü? Rahat bir nefes alalım, ilgili teorem matematiksel analiz iddia ediyor - MÜMKÜN. Böyle bir ayrışma mevcuttur ve benzersizdir.

Sadece bir yakalama var, ihtimaller Hoşçakal Bilmiyoruz, dolayısıyla adı belirsiz katsayılar yöntemi.

Tahmin ettiğiniz gibi sonraki vücut hareketleri de bu şekilde, kıkırdamayın! sadece onları TANIMAYA, neye eşit olduklarını bulmaya yönelik olacaktır.

Dikkatli olun, detaylı olarak sadece bir kez anlatacağım!

O halde dans etmeye başlayalım:

Sol tarafta ifadeyi ortak bir paydaya indirgedik:

Artık paydalardan güvenli bir şekilde kurtulabiliriz (aynı oldukları için):

Sol tarafta parantezleri açıyoruz ancak bilinmeyen katsayılara şimdilik dokunmuyoruz:

Aynı zamanda polinomları çarpma konusundaki okul kuralını da tekrarlıyoruz. Öğretmenken bu kuralı ciddi bir ifadeyle telaffuz etmeyi öğrendim: Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğer polinomun her terimiyle çarpmanız gerekir..

Bakış açısından net açıklama Katsayıları parantez içine almak daha iyidir (her ne kadar kişisel olarak bunu zamandan tasarruf etmek için asla yapmamsa da):

Bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz.
Öncelikle son derecelere bakıyoruz:

Ve karşılık gelen katsayıları sistemin ilk denklemine yazıyoruz:

Şu noktayı iyi hatırlayın. Sağ tarafta hiç s olmasaydı ne olurdu? Diyelim ki herhangi bir kare olmadan gösteriş yapar mı? Bu durumda sistemin denkleminde sağa sıfır koymak gerekir: . Neden sıfır? Ancak sağ tarafta aynı kareyi her zaman sıfırla atayabileceğiniz için: Sağ tarafta hiçbir değişken yoksa ve/veya Ücretsiz Üye sonra sistemin karşılık gelen denklemlerinin sağ taraflarına sıfır koyarız.

Karşılık gelen katsayıları sistemin ikinci denklemine yazıyoruz:

Ve son olarak maden suyuna ücretsiz üye seçiyoruz.

Eh,...bir şekilde şaka yapıyordum. Şaka bir yana, matematik ciddi bir bilimdir. Enstitü grubumuzda yardımcı doçent, terimleri sayı doğrusuna dağıtıp en büyüklerini seçeceğini söylediğinde kimse gülmedi. Hadi ciddileşelim. Gerçi... kim bu dersin sonunu görecek kadar yaşarsa yine de sessizce gülümseyecektir.

Sistem hazır:

Sistemi çözüyoruz:

(1) Birinci denklemi sistemin 2. ve 3. denklemlerinde ifade edip yerine koyuyoruz. Aslında başka bir denklemden (veya başka bir harften) ifade etmek mümkündü, ancak bu durumda 1. denklemden tam olarak ifade etmek avantajlıdır, çünkü orada en küçük ihtimaller.

(2) 2. ve 3. denklemlerde benzer terimleri veriyoruz.

(3) 2. ve 3. denklemleri terim terim toplayarak eşitliği elde ederiz ve bundan şu sonuç çıkar:

(4) Bunu bulduğumuz yerden ikinci (veya üçüncü) denklemi yerine koyarız

(5) İlk denklemde ve yerine koyarak .

Sistemi çözme yöntemleriyle ilgili zorluk yaşıyorsanız bunları sınıfta uygulayın. Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür?

Sistemi çözdükten sonra bulunan değerleri kontrol etmek - değiştirmek her zaman faydalıdır Her sistemin denklemi, sonuç olarak her şeyin “yakınlaşması” gerekir.

Neredeyse. Katsayılar bulundu ve:

Bitmiş iş şuna benzemelidir:

Gördüğünüz gibi, görevin asıl zorluğu bir doğrusal denklem sistemi oluşturmak (doğru!) ve çözmek (doğru!) oldu. Ve son aşamada her şey o kadar da zor değil: doğrusallığın özelliklerini kullanıyoruz belirsiz integral ve entegre edin. Lütfen üç integralin her birinin altında "serbest" ifadesinin bulunduğunu unutmayın. karmaşık fonksiyon, sınıfa entegrasyonunun özelliklerinden bahsettim Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Kontrol edin: Cevabı farklılaştırın:

Orijinal integral fonksiyonu elde edilmiştir, yani integral doğru bulunmuştur.
Doğrulama sırasında ifadeyi ortak bir paydaya indirgemek zorunda kaldık ve bu tesadüfi değil. Belirsiz katsayılar yöntemi ve bir ifadeyi ortak bir paydaya indirgemek karşılıklı olarak ters eylemlerdir.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun.

İlk örnekteki kesir konusuna dönelim: . Paydadaki tüm faktörlerin FARKLI olduğunu fark etmek kolaydır. Örneğin aşağıdaki kesir verilirse ne yapılacağı sorusu ortaya çıkıyor: ? Burada paydada derecelerimiz var, ya da matematiksel olarak, katlar. Ek olarak, çarpanlara ayrılamayan ikinci dereceden bir trinomiyal vardır (denklemin diskriminantının doğrulandığını doğrulamak kolaydır) negatif olduğundan üçlü çarpanlara ayrılamaz). Ne yapalım? Temel kesirlerin toplamına genişleme şuna benzer: üstte bilinmeyen katsayılar mı yoksa başka bir şey mi var?

Örnek 3

Bir işlev tanıtın

Aşama 1. Uygun bir kesirimiz olup olmadığını kontrol ediyoruz
Ana pay: 2
En yüksek payda derecesi: 8
Bu, kesirin doğru olduğu anlamına gelir.

Adım 2. Paydada bir şeyi çarpanlara ayırmak mümkün mü? Tabii ki hayır, her şey zaten planlanmış durumda. Kare üç terimli yukarıda belirtilen sebeplerden dolayı bir esere dönüşmemektedir. Kapüşon. Az iş.

Aşama 3. Temel kesirlerin toplamı olarak kesirli-rasyonel bir fonksiyon hayal edelim.
Bu durumda genişleme aşağıdaki forma sahiptir:

Paydamıza bakalım:
Kesirli-rasyonel bir fonksiyonu temel kesirlerin toplamına ayrıştırırken, üç temel nokta ayırt edilebilir:

1) Paydanın birinci kuvveti “yalnız” bir faktör içeriyorsa (bizim durumumuzda), o zaman en üste belirsiz bir katsayı koyarız (bizim durumumuzda). 1 ve 2 numaralı örnekler yalnızca bu tür "yalnız" faktörlerden oluşuyordu.

2) Payda varsa çokluçarpanı kullanıyorsanız, bunu şu şekilde ayrıştırmanız gerekir:
- yani, birinci dereceden n'inci dereceye kadar “X”in tüm derecelerinden sırayla geçin. Örneğimizde iki çoklu faktör var: ve, verdiğim açılıma tekrar bakın ve bunların tam olarak bu kurala göre genişletildiğinden emin olun.

3) Payda ikinci dereceden ayrıştırılamaz bir polinom içeriyorsa (bizim durumumuzda), payda ayrıştırırken yazmanız gerekir doğrusal fonksiyon belirsiz katsayılarla (bizim durumumuzda belirsiz katsayılarla ve ).

Aslında 4. bir vaka daha var ama pratikte son derece nadir olduğu için bu konuda sessiz kalacağım.

Örnek 4

Bir işlev tanıtın katsayıları bilinmeyen temel kesirlerin toplamı olarak.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Tam çözüm ve dersin sonunda cevap.
Algoritmayı kesinlikle takip edin!

Kesirli-rasyonel bir fonksiyonu toplama dönüştürmek için gereken ilkeleri anlarsanız, söz konusu türdeki hemen hemen her tür integrali kavrayabilirsiniz.

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Aşama 1. Açıkçası kesir doğrudur:

Adım 2. Paydada bir şeyi çarpanlara ayırmak mümkün mü? Olabilmek. İşte küplerin toplamı . Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak paydayı çarpanlara ayırın

Aşama 3. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak integrali temel kesirlerin toplamına genişletiyoruz:

Lütfen polinomun çarpanlara ayrılamayacağını unutmayın (ayırt edicinin negatif olduğunu kontrol edin), bu nedenle en üste yalnızca bir harf değil, bilinmeyen katsayılara sahip doğrusal bir fonksiyon koyarız.

Kesri ortak bir paydaya getiriyoruz:

Sistemi oluşturup çözelim:

(1) Birinci denklemden ifade edip sistemin ikinci denklemine yerleştiriyoruz (bu en rasyonel yoldur).

(2) Benzer terimleri ikinci denklemde de sunuyoruz.

(3) Sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerini terim terim topluyoruz.

Sistem basit olduğundan diğer tüm hesaplamalar prensip olarak sözlüdür.

(1) Kesirlerin toplamını bulunan katsayılara göre yazıyoruz.

(2) Belirsiz integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz. İkinci integralde ne oldu? Dersin son paragrafında bu yönteme aşina olabilirsiniz. Bazı Kesirlerin İntegrali.

(3) Bir kez daha doğrusallığın özelliklerini kullanıyoruz. Üçüncü integralde yalnızlaşmaya başlıyoruz mükemmel kare(Dersin sondan bir önceki paragrafı Bazı Kesirlerin İntegrali).

(4) İkinci integrali alıyoruz, üçüncüde tam kareyi seçiyoruz.

(5) Üçüncü integrali alın. Hazır.

Bu hizmet, formun kesirlerini ayrıştırmak için tasarlanmıştır:

Basit kesirlerin toplamı için. Bu hizmet integrallerin çözümünde faydalı olacaktır. Örneğe bakın.

Talimatlar. Kesrin payını ve paydasını girin. Çöz düğmesine tıklayın.

Bir işleve girme kuralları

Bir işleve girme kuralları

Belirsiz katsayılar yöntemi için algoritma

1. Paydayı çarpanlara ayırma.
2. Bir kesrin, katsayıları belirlenemeyen basit kesirlerin toplamı olarak ayrıştırılması.
3. Payın x'in aynı kuvvetleriyle gruplanması.
4. Bilinmeyen olarak belirlenmemiş katsayılara sahip bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin elde edilmesi.
5. SLAE Çözme: Cramer yöntemi, Gauss yöntemi, ters matris yöntemi veya bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi.

Örnek. En basit olanlara ayrıştırma yöntemini kullanıyoruz. Fonksiyonu en basit terimlerine ayıralım:


Payları eşitleyelim ve katsayıların aynı güçlerde olduğunu dikkate alalım. X, solda ve sağda duranlar eşleşmelidir
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A -2B + C + 4D = 0
Çözdüğümüzde şunları buluyoruz:
A = 1/16 ;B = - 1/9 ;C = - 5/12 ;D = 7/144 ;