MANTIKLI BAĞLANTILAR - semboller mantıksal diller, eğitim için kullanılan karmaşık ifadeler(formüller) temel olanlardan. Bu sembollere karşılık gelen bağlaçlara mantıksal bağlaçlar da denir. Doğal lisan. Tipik olarak, bağlaç ("ve" bağlacı, sembolik gösterimler: &, ∧ ve çarpma işareti biçiminde bir nokta, bunlar genellikle atlanır, A ve B bağlacı AB olarak yazılır), ayırma gibi mantıksal bağlaçlar kullanılır. ("∨" olarak gösterilen gevşek bağlaç "veya"), ima ("eğer..., o halde", "⊃" işaretiyle ve çeşitli oklarla gösterilir), olumsuzluk ("bu doğru değil.. .”, ile gösterilir: , ~ veya olumsuzlanan ifadenin üzerinde bir çubuk) . Yukarıdakilerden olumsuzluk tekli bir bağlaçtır. Diğerleri çifttir (ikili). Prensipte mantıksal bağlaçlar istenildiği kadar yerel olabilir ancak pratikte ikili bağlaçlardan fazlası çok nadir kullanılır. Klasik mantıkta (Mantık, Önermeler Mantığı), çok yerli herhangi bir mantıksal bağlaç, listelenenler aracılığıyla ifade edilebilir. Koşullu ayırma adı verilen, A, B ve C gibi üç ifadeyi birbirine bağlayan ve "B durumunda A ve B durumunda C" anlamına gelen üçlü bir mantıksal bağlacın kullanılmasıyla bazı pratik anlamlar verilir. B olmayan durum"veya resmi olarak: (B⊃A)&(B⊃C) (Sidorenko E.A. Koşullu ayrımlı önermeler hesabı. - Kitapta: Yöntemler mantıksal analiz. M., 1977).

Klasik mantık, mantıksal bağlayıcıları kapsamsal olarak (bağladıkları ifadelerin temel anlamlarını göz ardı ederek), bağladıkları ifadelerin doğruluk değerleri tarafından belirlenen doğruluk fonksiyonları olarak kabul eder. Bu mantıktaki iki doğruluk değeri (1 (doğru) ve 0 (yanlış) göz önüne alındığında, A ve B ifadeleri dört olası sıralı doğruluk değeri kümesine sahip olabilir:<1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Önermesel doğruluk işlevi, listelenen her kümeye doğruluk değerlerinden birini - 1 veya 0 atar. Toplamda bu tür 16 işlev vardır. Bağlaç, yalnızca A ve B'nin her ikisinin de doğru olması durumunda A&B ifadesine 1 değerini atar. , yani her ikisi de 1 değerine sahiptir, aksi halde A&B'nin değeri 0'dır. Aksine, Α ∨ B ayrımı yalnızca bir durumda, hem A hem de B yanlış olduğunda yanlıştır. A ⊃ B çıkarımı yalnızca öncül olması durumunda yanlıştır. A doğrudur ve öncülü yanlıştır (sonuç) B. Diğer durumlarda, A ⊃ B, 1 değerini alır. Dört tekli fonksiyondan yalnızca olumsuzlama ilgi çekicidir ve ifadenin anlamını tam tersi yönde değiştirir: A, doğru, A yanlıştır ve bunun tersi de geçerlidir. Diğer tüm tekli ve ikili klasik fonksiyonlar, sunulanlar cinsinden ifade edilebilir. Karşılık gelen anlambilimde benimsenen mantıksal bağlaçlar sistemi diğerlerini tanımlamamıza izin verdiğinde buna işlevsel olarak tamamlanmış denir. Klasik mantıktaki tam sistemler, özellikle bağlaç ve olumsuzlamayı içerir; ayırma ve olumsuzlama; ima ve olumsuzlama. Bağlaç ve ayrıklık, de Morgan yasaları olarak adlandırılan (A&B)≡(A∨B) ve (A∨B)≡(A&B) eşdeğerlikleri nedeniyle birbirleri aracılığıyla tanımlanabilir ve ayrıca: (Α⊃Β)≡(Α∨) B), (A&B)≡(A⊃B), (Α∨B)≡((A⊃B)⊃A). A ≡ B formundaki herhangi bir eşdeğerlik, yalnızca (A⊃B)&(B⊃A) bağlacı genel olarak geçerliyse (her zaman doğru) geçerlidir.

Sırasıyla (A∨B) ve (A&B) olarak tanımlanan antidisjunction ve anticonjunction fonksiyonlarının her biri ayrı ayrı işlevsel olarak eksiksiz bir bağlaç sistemini temsil eder. Bu son durum C. Pierce tarafından zaten biliniyordu (1880'de yaşamı boyunca yayınlanmamış çalışma) ve H.M Sheffer tarafından yeniden keşfedildi. Schaeffer, 1913'te tek mantıksal bağlayıcı olarak antidisjunction'ı kullanarak şunu inşa etti: tam hesaplama ifadeler. Antidisjunction A∣B ile gösterilir ve Schaeffer asalı olarak adlandırılır. bu ifade, "A değil ve B değil" olarak. J. G. P. Nicod anti-bağlaç için aynı gösterimi kullandı ("A ve B'nin her ikisi de olduğu doğru değil") ve yalnızca bu bağlacı kullanarak 1917'de bir (yalnızca!) aksiyom ve bir çıkarım kuralıyla tam bir önermeler hesabı formüle etti. . Bu nedenle, Schaeffer'in vuruşu aslında dikey çizginin kendisidir ve farklı yazarlara göre bu, hem ayrılmama hem de birleşmeme karşıtlığı anlamına gelebilir.

Mantıksal bağlaçların genişletilebilirliği onlara benzersizlik kazandırır, mantıksal hesap oluşturma problemini basitleştirir ve ikincisi için tutarlılık, karar verilebilirlik ve tamlık gibi meta-teorik sorunların çözülmesini mümkün kılar (bkz. Metaloji). Bununla birlikte, bazı durumlarda bağlaçların doğruluk-işlevsel yorumu, bunların doğal dilde anlaşılmasıyla önemli bir farklılığa yol açmaktadır. Bu nedenle, imanın belirtilen doğruluk yorumu, A ve B ifadeleri arasında olsa bile (ve buna göre onların hakkında oldukları olaylar) bizi "Eğer A ise, o zaman B" formunun doğru cümleleri olarak tanımaya zorlar. Hakkında konuşuyoruz) yok gerçek bağlantı. A'nın yanlış olması veya B'nin doğru olması yeterlidir. Bu nedenle, iki cümleden: "Eğer A ise, o zaman B" ve "Eğer B ise, o halde A" en azından birinin doğru olarak kabul edilmesi gerekir; bu da koşullu bağlacın olağan kullanımına pek uymaz. Anlamı bu durumdaözel olarak "maddi" olarak adlandırılır ve bu nedenle onu, doğru bir koşullu ifadenin öncülü ve sonucu arasında gerçek bir bağlantı olduğunu varsayan koşullu bağlaçtan ayırır. Aynı zamanda, maddi çıkarım birçok bağlamda, örneğin matematiksel bağlamlarda, unutulmadığı takdirde mükemmel bir şekilde kullanılabilir. spesifik özellikler. Ancak bazı durumlarda, koşullu bağlacın maddi bir ima olarak yorumlanmasına izin vermeyen şey bağlamdır, bu da ifadelerin birbiriyle bağlantılı olduğunu düşündürür. Bu tür bağlamları analiz etmek için, klasik olmayan özel mantıklar, örneğin ilgili mantıklar (bkz. İlgili mantık) oluşturmak gerekir. maddi çıkarım(veya bununla birlikte) kasıtlı olarak (tözel olarak) anlaşılan ve doğruluğu işlevsel olarak doğrulanamayan başka çıkarımlar da ortaya çıkar. Diğer mantıksal bağlaçlar da yoğun bir şekilde yorumlanabilir.

E.A. Sidorenko

Yeni felsefi ansiklopedi. Dört cilt halinde. / Felsefe Enstitüsü RAS. Bilimsel ed. tavsiye: V.S. Stepin, A.A. Guseinov, G.Yu. Semigin. M., Mysl, 2010, cilt.II, E – M, s. 439-440.

Edebiyat:

Kilise A. Matematiksel mantığa giriş, cilt 1. M., 1960;

Curry H. Matematiksel mantığın temelleri. M., 1969.

Tanım. Altında ifade Hakkında doğru ya da yanlış olduğunu söylemenin anlamlı olduğu dilsel bir cümleyi anlamak gelenekseldir. şu an zaman.

İfadeler çoğunlukla küçük olarak tanımlanır Latin harfleriyle a, b, c, x1, x2,…

Önerme mantığında kişi içerikle değil, önermelerin doğruluğu veya yanlışlığıyla ilgilenir. Doğruluk değerleri - doğru ve yanlış - sırasıyla I ve L ile gösterilecektir. Bir demet (ben, L) doğruluk değerleri kümesi denir.

Tanım. Açıklama denir basit(temel), eğer bir tür bölünmez bütün olarak kabul edilirse (bir kümenin elemanına benzer). Zor(bileşik), mantıksal bağlaçlar kullanan basit ifadelerden oluşan bir ifadedir.

Doğal dilde, basit cümlelerden karmaşık cümleler oluşturmada bağlaçların rolü aşağıdakiler tarafından oynanır: gramer araçları: bağlaçlar “ve”, “veya”, “değil”; "eğer ... o zaman", "ya ... veya", "eğer ve ancak eğer" vb. kelimeler. Önermeler mantığında, karmaşık ifadeleri oluşturmak için kullanılan mantıksal bağlaçlar tam olarak tanımlanmalıdır. Doğruluk değerlerinin geçerli olduğu ifadelerdeki mantıksal bağlaçları (işlemleri) ele alalım. bileşik ifadeler anlamlarıyla değil, yalnızca kurucu ifadelerin doğruluk değerleriyle belirlenir.

Aşağıda “hakikat”in anlamını şu sözlerle ilişkilendireceğiz: 1 ve "yalan söylemek" - 0 . Her mantıksal işlem aşağıdakilerle ilişkilidir: doğruluk tablosu. Doğruluk tablosu, temel ifadelerin değerlerine bağlı olarak ifadelerin doğruluk değerlerini ifade eder. Gelecekte, içinde yer alan temel ifadelerin değerleri göz önüne alındığında, karmaşık ifadelerin doğruluk değerlerini oluşturmak için doğruluk tablosunu kullanacağım.

Sonra - "Stepan'ın dans etmeyi sevdiği doğru değil."

Tanım. Bağlaç iki ifade yeni bir ifadedir ve bu yalnızca her iki orijinal ifadenin de doğru olması durumunda doğrudur (Tablo 4).

GRAFİKLER. GRAFİKLER ÜZERİNDEKİ İŞLEMLER.

MATRİSLER VE ONLAR ÜZERİNDEKİ EYLEMLER.

Matrisler (ve buna göre matematik bölümü- Matris cebiri) sahip olmak önemli uygulamalı matematikte, kişinin önemli bir kısmını yazmasına izin verdikleri için Matematiksel modeller nesneler ve süreçler. "Matris" terimi 1850'de ortaya çıktı. Matrislerden ilk kez bahsedildi Antik Çin Daha sonra Arap matematikçiler tarafından.

Matris A=Bir milyon m*n sırası çağrılır dikdörtgen masa m - satır ve n - sütun içeren sayılar.

Matris öğeleri aij, bunun için i=j'ye köşegen denir ve form ana diyagonal.

İçin Kare matris(m=n) ana köşegen a 11, a 22,..., a nn elemanlarından oluşur.

Matris eşitliği.

A=B, eğer matris sipariş verirse A Ve B aynıdır ve a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Matrisler üzerindeki eylemler.

1. Matris ekleme - eleman bazında işlem

2. Matrislerin çıkarılması - eleman bazında işlem

3. Bir matris ile bir sayının çarpımı eleman bazında bir işlemdir

4. Çarpma A*B kurala göre matrisler satırdan sütuna(A matrisinin sütun sayısı B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır)

§ 4. Mantıksal bağlaçların (mantıksal sabitler) doğal dilde ifadesi

Düşünürken, yalnızca basit değil, aynı zamanda mantıksal bağlaçlar (veya işlemler) yoluyla basit olanlardan oluşan karmaşık yargılarla da çalışırız - bunlara mantıksal sabitler veya mantıksal sabitler olarak da adlandırılan bağlaç, ayrılma, ima, eşdeğerlik, olumsuzlama. Listelenen mantıksal bağlaçların doğal (Rusça) dilde nasıl ifade edildiğini analiz edelim.

Bağlaç (“l” işareti) “ve”, “a”, “ama”, “evet”, “gerçi”, “hangi”, “ama”, “ancak”, “sadece değil” bağlaçlarıyla ifade edilir. .., aynı zamanda ", vb. Önerme mantığında, "l" işareti basit ifadeleri birbirine bağlayarak onlardan karmaşık olanları oluşturur. Doğal dilde, "ve" bağlacı ve diğer bağlaç sözcükleri isimlere, fiillere, zarflara, sıfatlara ve konuşmanın diğer bölümlerine katılabilir. Örneğin, “Dedenin sepetinde boletus ve boletus vardı” (ab), “Masanın üzerinde ilginç ve güzel tasarlanmış bir kitap yatıyor.” Son ifade, bir bağlaçla birbirine bağlanan iki basit ifadeye bölünemez: " İlginç kitap masanın üzerinde yatıyor” ve “Masanın üzerinde güzelce dekore edilmiş bir kitap yatıyor” - öyle görünüyor ki masada bir değil iki kitap var.

Önermeler mantığında (ab)(ba) bağlacının değişme kanunu geçerlidir. Zaman faktörü işlediğinden doğal Rus dilinde böyle bir yasa yoktur. Zamandaki sıra dikkate alındığında "ve" bağlacının kullanımı değişmeli değildir. Dolayısıyla örneğin şu iki ifade eşdeğer olmayacaktır: 1) “Buharlı lokomotifi bağladılar, tren hareket etmeye başladı.” ve 2) “Tren hareket etmeye başladı, buharlı lokomotifi bağladılar.”

Doğal dilde bağlaçlar yalnızca kelimelerle değil aynı zamanda noktalama işaretleriyle de ifade edilebilir: virgül, noktalı virgül, kısa çizgi. Örneğin, "Şimşek çaktı, gök gürültüsü gürledi ve yağmur yağmaya başladı."

S. Kleene “Matematiksel Mantık” adlı kitabında bağlaçları doğal dil kullanarak ifade etmeyi anlatıyor. "Akıl Yürütme Analizi" bölümünde, "L" veya "&" simgeleriyle değiştirilebilen doğal dil ifadelerinin (kapsamlı olmayan) bir listesini sağlar. Formül A^B doğal dilde şu şekilde ifade edilebilir:

"Sadece A, ama aynı zamanda İÇİNDE. Nasıl A, yani ve İÇİNDE.

İÇİNDE, L olmasına rağmen A birlikte İÇİNDE.

İÇİNDE, aksine A.A, sırasında İÇİNDE" 7 .

Tüm bu yapıların örneklerini bulmayı okuyucuya bırakıyoruz.

Doğal (Rusça) dilde, ayrım (ab ve ab ile gösterilir) bağlaçlarla ifade edilir: “veya”, “ya”, “ya... veya” vb. Örneğin, “Akşam ben sinemaya ya da kütüphaneye gideceğim"; “Bu hayvan ya omurgalıya ya da omurgasıza aittir”; "Rapor ya L. N. Tolstoy'un eserleri üzerine ya da F. M. Dostoyevski'nin eserleri üzerine olacak."

Her iki ayırma türü için de değişme yasası geçerlidir: (ab(ba) ve (ab)(ba). Doğal dilde bu eşdeğerlik korunur. Örneğin “ Tereyağı ya da ekmek alacağım” cümlesi “Ekmek ya da tereyağı alacağım” yargısına eşdeğerdir. S. Kleene ima (AB) ve eşdeğerliğin ( ()) doğal dilde nasıl ifade edilebileceğini göstermektedir. A~B).

(Harflerle A Ve İÇİNDE değişken ifadeleri belirtilmiştir.)

Çeşitli ifade yollarını gösteren mantıksal diyagramlar ve bunlara karşılık gelen örnekler sunuyoruz. çıkarımlar A -> B(Nerede A- öncül, İÇİNDE- sonuç olarak).

1. A ise B demektir.

Eğer Tedarikçiler parçaları zamanında teslim edecek, O tesis üretim planını yerine getirecek.

2. A ise B demektir.

yakında ise uygulanan kuvvetler kaldırılır, O sıkıştırılmış yay orijinal şekline geri döner.

3. A, B meydana geldiğinde.

Ne zaman kötü hava geliyor meydana gelmekİnsanlarda kardiyovasküler hastalıkların görülme sıklığında artış.

4. B için A yeterlidir.

İçin gazların genişlemesi için yeterli onları ısıtın.

5. A, B'yi gerektirir.

İçin yeryüzünde barışı korumak gerekli Barış mücadelesinde tüm devletlerin çabalarını birleştirin.

6. A, yalnızca B ise.

Bu dersin öğrencileri temizlik gününe gelmediler. Keşke hastaydılar.

7. B. eğer A.

BEN Yürüyüşe çıkmana izin vereceğim Eğer tüm ödevlerini tamamlayacaksın.

Mantıksal diyagramları ve çeşitli ifade yollarına karşılık gelen örnekleri sunuyoruz. denklik.

1. A, ancak ve ancak B ise.

Ivanov deneylerini son teslim tarihine kadar bitirmeyecek, ancak ve ancak personel ona yardım etmeyecek.

2. A ise B olur ve bunun tersi de geçerlidir.

EğerÖğrenci tüm sınavları ve uygulamaları mükemmel notlarla geçti, O onurlu bir diploma alır, ve tam tersi.

3. B ise A, A ise B.

Bir dairenin içine bir çokgen yazılmıştır, Eğer köşeleri çemberin üzerindedir, Veçokgenin köşeleri çemberin üzerindedir, Eğer bu çokgen bir dairenin içine yazılmıştır.

4. A için B gerekli ve yeterlidir.

İçin Bir sayının 3'e kalansız bölünebilmesi için; gerekli ve yeterli, Bu sayının rakamlarının toplamı 3'e kalansız bölünebilir.

5. A, B'ye eşdeğerdir(Bazen).

Düzgün çokgenin alanının yarı çevre ile apotem çarpımına eşit olması, eş değer Düzenli bir çokgenin alanının çevresi ile apothemin yarısı çarpımına eşit olduğu.

6. Ve o zaman ve ancak V.

Şirket, malları satın alma teklifini kabul edecek o zaman ve yalnızca ne zaman Bu ürünün fiyatında %15 indirim yapılacaktır.

Yukarıdaki diyagramlardan ve spesifik, çeşitli içeriğe sahip karşılık gelen ifadelerden, doğal dilde (özellikle Rusça'da) ima, eşdeğerlik ve diğer mantıksal bağlaçları (mantıksal terimler) ifade etme araçlarının ne kadar çok yönlü olduğu açıkça ortaya çıkmaktadır. Bu diğer doğal diller için de söylenebilir9.

(ab) anlamı, doğal dildeki "eğer... o halde" bağlacı ile anlam bakımından tam olarak örtüşmez, çünkü yargılar arasında anlamlı bir bağlantı olmayabilir. A Ve B. Önermeler mantığında yasa şu formüldür: (ab)(ab).

Ancak doğal dilde işler farklıdır. Bazen “eğer öyleyse” bağlacı bir imayı değil, bir bağlacı ifade eder. Örneğin, "Dün hava bulutluydu, bugün güneş parlıyor." Bu karmaşık yargı ab formülüyle ifade edilir. Mantıksal bağlaçlara ek olarak genel niceleyici ve varlık niceleyicisi mantıkta genel ve özel yargıları ifade etmek için kullanılır. Genel niceleyici VP() ile gösterim genellikle şu şekilde okunur: “Tüm X(bazı nesne etki alanlarından) özelliğe sahiptir R" ve varlık niceleyicisi Z'yi içeren kayıt xP(X) şöyle okur: “Öyle şeyler var ki X(bu bölgede) özelliği olan R".Örneğin 3x(x>100) ifadesi şöyle okunur: “Öyle şeyler var ki X, 100"den fazla olanlar, burada X sayılar kastedilmektedir. Genelliğin niceleyicisi “hepsi”, “herkes”, “her biri”, “hiçbiri” vb. kelimelerle ifade edilir. Varoluşun niceleyicisi şu kelimelerle ifade edilir: “bazıları”, “var”, “çoğunluk”, “azınlık”, “sadece bir kısmı”, “bazen”, “o”, “hepsi değil”, “çok”, “çok”, “az”, “çok”, “neredeyse hepsi” vb.

S. Kleene, sıradan dildeki ifadeleri tablo şeklindeki önerme bağlaçlarını kullanarak çevirdiğimizde, bazı anlam tonlarını kaybettiğimizi, ancak tam olarak 10 tane kazandığımızı yazıyor.

Matematiksel ve diğer akıl yürütme uygulamalarında “gerekli koşul” ve “gerekli koşul” kavramları vardır. yeterli koşul" Koşul denir gerekli, sonuçtan (sonuçtan) kaynaklanıyorsa. Bir koşuldan bir sonuç (sonuç) çıkıyorsa, bu koşula yeterli denir. Yani bir ->B değişken A temelidir. Buna öncül denir. Değişken B- sonuç (sonuç). Buna sonuç denir.

Matematik derslerinde öğrencilere, aşağıdaki cümlelerin her birinde elipslerin "gerekli" veya "yeterli" veya "gerekli ve yeterli" sözcükleriyle değiştirilmesini gerektiren 1-4 tipi problemler sunulur:

1. İki tam sayının toplamının çift sayı olabilmesi için... yani her terim çift sayı olsun.

2. Bir sayının 15'e tam bölünebilmesi için... yani 5'e tam bölünebilmesi.

3. İşin yapılabilmesi için (X- 3) (X+2) (X- 5) 0'a eşitti, ... yani X= 3.

4. Bir dörtgenin dikdörtgen olabilmesi için... tüm açılarının 11'e eşit olması gerekir.

Alışılmışın temel bağlaçlarını ve bağlaçlarını kullanarak orijinal cümlelerden yeni cümleler oluşturmanın temel kurallarını formüle edelim. konuşulan dil. Bazen Rusçada kurulan aynı cümleye farklı anlamlar yüklediğimiz için Rus dilinin kuralları tek başına yeterli değildir. Örneğin, iki cümleyi formüle ettiğimiz "Eğer öyleyse" ifadesinin sırasını düşünün:

• 1) "Misha sınavı başarıyla geçerse diskoya gidecek."
• 2) "Misha sınavı başarıyla geçemezse diskoya gitmeyecektir."

Soru: Bu cümleler aynı şeyi mi söylüyor yoksa cümlelerden birinin doğru diğerinin yanlış olması gibi bir durum var mı? Başka bir deyişle, soru bu cümlelerin eşdeğer olup olmadığıdır.

Bu tür cümleleri oluşturmanın kurallarını açıkça belirleyene kadar soruyu açık bir şekilde cevaplamak imkansızdır. Bir yandan, ilk cümleyi formüle ederken çoğunlukla ikinci cümleyi kastediyoruz. Ancak gelin bu önerilere farklı bir açıdan bakalım.

Öncelikle cümle şemalarını yazalım. Bunu yapmak için “Misha sınavı başarıyla geçecek” cümlesini harfle belirtiyoruz. A ve “Misha diskoya gidecek” cümlesi - mektupla birlikte İÇİNDE. O halde bu öneriler şematik olarak aşağıdaki gibi yazılabilir:

ben) "Eğer A, O İÇİNDE", 2) “Değilse A, o zaman hayır İÇİNDE".

Şimdi yerine koyalım A Ve İÇİNDE diğer tahminler. Yerine A hadi şunu alalım: "Masa meşeden yapılmıştır" yerine İÇİNDE"Masa ahşaptır." Sonra başka bir çift cümleyle karşılaşıyoruz:

• 1) “Masa meşe ise ahşaptır”
• 2) “Masa meşe değilse ahşap değildir.”

Bu cümleler ilk ikisiyle aynı şemalara göre kurulduğundan, ilk cümle çiftinin denkliği ikinci cümle çiftinin denkliği anlamına gelmelidir. Ancak sıradan konuşmadaki ilk cümle açıkça doğru ifade, meşe bir ağaç olduğundan ve masa başka bir ağaçtan, örneğin çamdan yapılabileceğinden ikinci cümle genellikle yanlıştır.

Böylece, Genel dava“Eğer” ilkesine göre kurulan cümleler A, O İÇİNDE" Ve değilse A, o zaman hayır İÇİNDE" mantıksal olarak aynı kabul edilemez.

Bu nedenle, cümle oluşumundaki belirsizliği ortadan kaldırmak için, orijinal cümlelerin doğruluğuna veya yanlışlığına bağlı olarak ortaya çıkan cümlenin doğruluğunu veya yanlışlığını belirlememize izin veren açık kurallara ihtiyacımız var. A Ve İÇİNDE.

"Ve", "veya" bağlaçlarının yanı sıra "eğer, o zaman", "o zaman ve ancak o zaman", "bu doğru değil" şemalarına da açık bir mantıksal anlam verelim.

Harfler olsun A ve B keyfi cümleleri temsil eder. Basit durumlarla başlayalım.

1. Olumsuzluk işareti~| (-i) veya. İfade ~li(-L, A) okur: "A değil" veya "A olduğu doğru değil."

Cümle anlamları ~Bir teklifin açık olduğu bir tabloyla tanımlayın ~l orijinal cümlenin tam olarak ne zaman doğru olduğu A YANLIŞ:

Yapısı basit olan cümleler kurarken “değil” edatı bazen cümlenin “içine taşınabilir”. Örneğin bir cümle

“V6 sayısının tam sayı olduğu doğru değildir” şu şekilde formüle edilebilir: “l/6 sayısı tam sayı değildir.” Ayrıca “Düz olduğu doğru değil” cümlesi A Ve B kesişen" formülü: "Doğrudan A Ve B Sormayacağız."

Çoğu zaman, bazı özelliklere sahip olmayan bir nesneye "değil" parçacığı içeren bir terim denir. Örneğin çift olmayan bir tam sayıya tek sayı denir. Dolayısıyla “Tam sayı tektir” de, “Tam sayı çift değildir” demek de aynı derecede doğrudur. Ancak sayının tam sayı olması şartı olmadan farklı anlamlara sahip cümlelerimiz olur. Örneğin “0,2 sayısı çift değildir” cümlesi doğru ancak “0,2 sayısı tektir” cümlesi yanlıştır.

"İfadesini düşünün" Tek işlev" İşte elimizde bağımsız terim ve "tek" kelimesi ayrı ayrı yazılamaz ve telaffuz edilemez, yani "Fonksiyon tektir" cümlesi "Fonksiyon çifttir" cümlesinin olumsuzu değildir. Aslında her iki cümlenin de yanlış olduğu bir fonksiyon örneği vardır. Örneğin, fonksiyon )t=x+ ne çift ne de tektir (bunu açıklamaya çalışın).

2. Bağlaç işareti l. İfade LlW okur: "A ve B". Bazen bağlaç & ile gösterilir.

Cümle anlamları AlV onu oluşturan tekliflere bağlı olarak A ve B tablo tarafından tanımlanır:

Yani teklif AlV yalnızca bir durumda doğrudur, her iki cümle de A Ve İÇİNDE Doğrudur. Diğer durumlarda bu cümle yanlıştır. Bir teklif formüle ederken AlV"Ve" bağlacı yerine, her bir cümleyi aynı anda yerine getirmekle aynı mantıksal anlama sahip olan diğer bağlaçları kullanabilirsiniz: "a", "ama".

Örnek 1.3.1. Cümle "Sayı" 111 2'ye bölünmez ancak 3'e bölünebilir" - sembolik olarak 1 yazabilirsiniz AlV, Nerede A= "111 2'ye bölünebilir", B = " 111 3'e bölünebilir."

3. Ayrılık işareti v. İfade AvB okur: "A veya b."

Cümle anlamları AvB tablo tarafından tanımlanır:

Tablodan teklifin olduğu açıkça görülüyor. "A veya İÇİNDE" cümlelerden en az birinin geçerli olduğu durumlarda doğrudur A veya İÇİNDE doğru ve her iki cümlenin de olması durumunda A Ve İÇİNDE yanlış, cümle AvB yanlış değer alır.

Bazen cümlelerin içeriğinden A Ve İÇİNDE bundan, cümlelerin aynı anda doğru olamayacağı sonucu çıkar. Bu durumda cümle “veya” bağlacı kullanılarak kurulur. Örneğin “Bir sayı ya pozitiftir ya da negatiftir” cümlesi aynı zamanda şu şekildedir: "A veya İÇİNDE", ama aynı zamanda öyle bir iması da var ki hem olumlu hem de negatif sayı olamaz.

Görünüşe göre yukarıda formüle edilen kurallar herhangi bir soruyu gündeme getirmiyor. Paragrafın başında tartışılan şemaya geçelim: “Eğer A, O İÇİNDE".

4. İma işareti-İfade A->B okur: “Eğer A ise B demektir.” Bazen bu bağlacı belirtmek için başka bir ok simgesi => ve z> işareti kullanılır. “Eğer” ifadesiyle birlikte A, O İÇİNDE" buna benzer diğerleri şunları kullanır: "B ne zaman A», “A yalnızca B olduğunda.”

Cümle anlamlarının tanımını motive ediyoruz A->B. Burada ortaya çıkan temel zorluk, L-»# cümlesine şu durumlar için bir anlam atamaktır: A YANLIŞ. Değerleri akıllıca belirlemek için yukarıdakileri hatırlayın doğru cümle: “Masa meşe ise ahşaptır.” Burada A= “Meşe masa”, B ="Tahta masa." Masa çamdan olsun. Daha sonra A YANLIŞ, İÇİNDE doğru. Masa demir olsun. Daha sonra A yanlış ve İÇİNDE YANLIŞ. Her iki durumda da teklif A yanlıştır ve ortaya çıkan cümle “Eğer A, O İÇİNDE" doğru. Üstelik bu durumların her ikisi de gerçekten mümkün. Elbette elimizde olması mümkün meşe masa, Daha sonra Ah B aynı zamanda doğrudur. İşte doğru bir cümle örneği A->B, Ne zaman A=u>B=l, bulunmuyor.

Böylece, durumlarda A=u, B=i, veya A=l y B=i, veya A=l, v=l, doğru bir cümle belirlemeli Ve yalnızca bir durum, ne zaman

Hangi A=u, V-l, teklif anlamına gelir A->B YANLIŞ.

Yani matematiksel mantıkta T cümlesinin değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Devamında, “Eğer A, O İÇİNDE" bu şekilde anlaşılacaktır. İşte bir öneri A isminde parsele göre, veya durum, A Sonuç olarak.

Örnek 13.2. Ebeveynler oğulları Petya'ya söz verdi: Üniversiteden başarıyla mezun olursa ona bir araba alacaklar. Oğlunun üniversiteden mezun olmadığı biliniyor ancak ailesi yine de ona bir araba aldı. Ebeveynlerin söylediklerinin yalan olduğunu söylemek mümkün mü?

Soruyu cevaplamak için önerileri göz önünde bulundurun: A= “Oğlum üniversiteden mezun oluyor”, B ="Ona bir araba alıyorlar." burada A=l, B=i. Ebeveynlerin sözü şuna benziyor A^>B. Tanım gereği bu bir tekliftir verilen değerler A Ve İÇİNDE doğru (tablonun üçüncü satırı). Dolayısıyla mantıksal açıdan bakıldığında ebeveynlerin sözleri doğrudur. Ancak oğulları üniversiteden mezun olduysa ve ona araba almadılarsa, bu durumda (ve başka hiçbir durumda) söz yerine getirilmeyecekti.

Şimdi "eğer, o zaman" sözcükleri söylendiğinde sıklıkla kastedilen başka bir mantıksal bağlaca bakalım. Örneğin, örnek 1.3.2'deki koşullarda ebeveynler, oğulları Petya'nın üniversiteden mezun olmaması durumunda ona araba almayacaklarını varsaydılarsa, şunu söylemek doğru olacaktır: “Araba ancak ve ancak şu şekilde satın alınacaktır: Petya enstitüden mezun olursa."

5. Denklik işareti veya. İfade Ve şöyle yazıyor: "Ve ancak ve ancak B varsa." Diğer formülasyonlar da mümkündür: “Ve ancak ve ancak B», “A tam olarak ne zaman B” ve benzeri.

Cümle anlamları AB tablo tarafından verilmektedir:

Aşağıdaki durumlarda A Ve İÇİNDE kabul etmek aynı değerler, teklif AB doğrudur, aksi takdirde cümle yanlıştır.

Bu ifadeyi görmek kolaydır. "A o zaman ve yalnızca ne zaman İÇİNDE" iki cümleden oluşur: "A Sonra ne zaman İÇİNDE" Ve "A Yalnızca İÇİNDE".İlk cümle yazıldı B->A, ve ikinci A^>B. Bu iki cümle iki durumda aynı anda doğrudur: A=u, B=u, Ve A=l, B=l.

Böylece beş işaret tanımladık: l (bağlaç), v (ayrılma), -> (gösterme), (eşdeğerlik), 1 (olumsuzlama), bunlara denir

mantıksal ekiciler. Bu işaretler bu cümlelerden izin verir A Ve İÇİNDE yeni teklifler alın. Bu durumda yeni cümlenin anlamı (doğru ya da yanlış) tamamen cümlelerin anlamlarına göre belirlenir. A Ve İÇİNDE. Orijinal cümlelerden yeni bir cümle elde etme kuralına denir mantıksal işlem. Böylece mantıksal bağlaçların her biri şunu belirler: mantıksal işlem, karşılık gelen paketle aynı ada sahiptir.

Dikkate alınan işlemler hem ifadeler hem de yüklemler için kullanılabilir. Örneğin, iki tekli yüklemi birleştirerek " Sayı, daha fazla 3" ve "Sayı X Negatif" bir ayırma işaretiyle, tek basamaklı bir yüklem elde ederiz: "Sayı X 3'ten fazla veya negatif." Tek şey, iki yüklemi mantıksal bir bağlaçla bağlamak için bazılarının gerekli olmasıdır. Genel alan D değişkenler yerine bu yüklemlerin yerine geçebilecek geçerli nesneler.

Adı verilen iki mantıksal bağlayıcıyı daha tanımlayalım. kwaitora.mi, bu da tekli yüklemlerden ifadeler elde etmemizi sağlar. "Nicelik belirteci" terimi tercüme edilmiştir Latin dili"ne kadar" anlamına gelir. Bu nedenle bu işaretler, önermeyi kaç nesnenin karşıladığı sorusunu yanıtlamak için kullanılır. Ve- tümü veya en az biri.

Rastgele bir yüklemi alalım ve değerinin bağlı olduğu bir değişken seçelim. onu belirtelim Ah).

6. Genel niceleyici V. Bu işaret elde edilen ingilizce kelime BİR ve şu kelimelerin kısaltmasıdır: “ağırlık”, “her”, “herhangi biri”, “herhangi biri”.

Vj&4(y) ifadesi yüklemin olduğu anlamına gelir Ah) tüm geçerli nesneler için yürütülür X.Şöyle yazıyor: "Tüm X ve X'ten itibaren."

7. Varoluşsal niceleyici 3. Bu işaret İngilizce kelimeden gelir Var olmak“var”, “olacak”, “en az bir tane”, “bazıları” kelimelerinin kısaltmasıdır.

3x4(*) ifadesi yüklemin olduğu anlamına gelir Ah) geçerli nesnelerden en az biri için yürütülür.v. Şöyle yazıyor: "X var ve x'ten geliyor."

Örnek 1.3.3. Değişkene izin ver Xüniversite öğrencisini ifade eder. Teklifi değerlendirelim Ah)= “Öğrenci l: arabası var.” Daha sonra VxA(x) tüm üniversite öğrencilerinin bir arabası olduğu anlamına gelir. Bu yanlış bir ifadedir. Teklif EhA(x) bazı öğrencilerin arabası olduğu anlamına gelir ki bu doğru bir ifadedir.

Böylece başlangıçta değeri dg değişkeninin değerine bağlı olan bir yüklemimiz vardı. İşlemler yapıldıktan sonra değerleri artık değişkene bağlı olmayan ifadeler elde edildi. X.

Bir formül olsun L(x), serbest bir değişken içeren X. Daha sonra formülün ifade edildiği ifade Ah) aynı şekilde doğrudur, kısaca Vj&4(jc) şeklinde yazabiliriz.

Niceleyicileri kullanarak cümle elde etme işlemine denir nicelik.İfadeleri kullanırken UhA(x) ve 3 xA(x)şunu da söyle: “X değişkenine bir niceleyici eklendi” veya “X değişkeni bir niceleyici ile bağlantılıdır.”

Nicelik belirteci işlemlerinin yalnızca tek basamaklı yüklemlere uygulanamayacağını unutmayın. İki basamaklı bir yüklem verilirse A(hu), daha sonra l değişkenini (bir niceleyici) bağlayabilir ve bir cümle oluşturabilirsiniz /xA(xy), gerçeği sadece tek bir değişkene bağlı olacak sen, ve tek yer yüklemimiz olacak. Bu girişte değişken X isminde bir niceleyiciyle ilişkili ve değişken y - ücretsiz. Genel durumda, /7 basamaklı yüklemin değişkenlerinden herhangi birine bir nicelik belirteci işlemi uygulayarak, bir (n-1) basamaklı yüklem elde ederiz.

Niceleyiciler herhangi bir sayıda değişkeni bağlamak için kullanılabilir. Eğer iki basamaklı bir yüklemimiz varsa A(hu), o zaman resmi olarak 8 ifade alabilirsiniz.

her değişkeni bir niceleyiciyle bağlamak: Vjc fyA(xy), VyVxA(xy), Vx3уА(xy), 3yVxA(xy), 3xVyA(xy), /уЭхА(xy), ЗхЗуА(ху), ЗуЗхА(ху). Bazı cümleler aynı anlama sahiptir; örneğin birinci ve ikinci (yüklem) A* ve y) değerlerinin yanı sıra yedinci ve sekizinci değerler için de doğru olmalıdır. Geriye kalan ifadeler genellikle farklı doğrulukta ifadeler vermektedir.

Örnek 1.3.4. Sınıfta sadece iki erkek çocuk olsun - Petya ve Kolya. İçin bağımsız kararüç problem verildi, bunları 1, 2, 3 sayılarıyla gösterelim. Petya 1 ve 2 numaralı problemleri, Kolya ise 3 numaralı problemleri çözdü. Yüklemi tanıtalım A(hu), bu da demek oluyor ki oğlan * sorunu çözdü sen. Buradaki değişken Xçocuğun adını ve değişkeni belirtir en- görev numarası. Aşağıdaki ifadeleri göz önünde bulundurun.

Vx3yA(xy)= “Her çocuk en az bir problem çözdü” - doğru ifade Petya iki sorunu çözdüğü için Kolya en az bir sorunu çözdü.

• 3_yVx4(.*,y) = “Sınıftaki tüm erkeklerin çözdüğü bir problem var” - yanlış, çünkü böyle bir problem yok (1. ve 2. problemleri sadece Petya çözdü, 3. problemi ise sadece Kolya çözdü).
• 3xVyA(x,y) = “En az bir çocuk tüm sorunları çözdü” ifadesi yanlış bir ifadedir.

V_yEx,4(;c,y) = “Her problem en az bir öğrenci tarafından çözüldü” - doğru, yani 1 numaralı problem Petya tarafından, 2 numaralı problem de Petya tarafından ve 3 numaralı problem Kolya tarafından çözüldü.

Ele alınan örnekten şu sonuca varabiliriz: niceleyicilerin yazılma sırası cümlenin mantıksal anlamını etkiler. Bu nedenle, cümlenin açık formülasyonu, genellik ve varoluş niceleyicilerinin ortaya çıktığı sırayı açıkça varsaymalıdır.

Egzersiz yapmak.Örnek 1.3.4'teki ifadelerin anlamlarını Petya'nın 2 ve 3 numaralı problemleri çözdüğünü varsayarak kendi başınıza analiz edin.

Genel olarak yüklemden Ah) iki ifade alabilirsiniz - /xA(x) ve 3x4(x). Ancak çok sık yazılan formül Ah) yazıldığında veya formüle edildiğinde genel niceleyici belirtilmemesine rağmen, tam olarak Vx4(.x) ifadesi olarak anlaşılmaktadır. Örneğin d- 2 >0 yazarak herhangi bir sayının karesi anlamına gelir. gerçek Numara negatif olmayan. Tam girişİfade şu şekildedir: Ulg(dg?0). Kayıt (4x + 6y):2, Nerede*, y- tamsayılar, belirtilen toplamın her zaman 2'ye, yani çift sayıya bölünebileceğini varsayar. Bunu vurgulamak için V*Vy((4.x + 6jy):2) yazmalıyız.

Son iki paragrafta tanımlanmıştır matematiksel işaretler ve mantıksal bağlaçların işaretleri matematik dilinin alfabesini oluşturur.

Karmaşık bir önerme, mantıksal bağlaçlar içeren ve birkaç basit önermeden oluşan bir önermedir.

Aşağıda basit yargıları kesin yargılar olarak ele alacağız. bölünmez atomlar birleşiminden ortaya çıkan unsurlar olarak karmaşık yapılar. Basit önermeleri ayrı Latin harfleriyle göstereceğiz: a, b, c, d, ... Bu tür harflerin her biri belirli bir basit önermeyi temsil eder. Bunu nerede görebilirsin? Komplekse biraz ara vermek iç yapı Basit bir yargının niceliği ve niteliği bakımından, bir öznesi ve bir yüklemi olduğunu unutarak, bir yargının yalnızca tek bir özelliğini, doğru ya da yanlış olabileceğini elimizde tutarız. Burada diğer her şey bizi ilgilendirmiyor. Ve "a" harfinin bir kavramı, bir sayıyı, bir işlevi değil, bir önermeyi temsil ettiğini söylediğimizde yalnızca tek bir şeyi kastediyoruz: "a" harfinin doğruyu veya yanlışı temsil ettiğini. Eğer "a" ile "Kangurular Avustralya'da yaşar" önermesini kastediyorsak, gerçeği kastediyoruz; “a” derken “Kangurular Sibirya'da yaşar” önermesini kastediyorsak, yalanı kastediyoruz. Böylece "a", "b", "c" vb. Harflerimiz ortaya çıkar. – bunlar doğru veya yanlış ile değiştirilebilen değişkenlerdir.

Mantıksal bağlaçlar, ana doğal dilimizdeki bağlaçların biçimsel analoglarıdır. Nasıl karmaşık cümleler"ancak", "çünkü", "veya" vb. bağlaçların yardımıyla basit yargılardan oluşturulur ve mantıksal bağlaçların yardımıyla basit yargılardan karmaşık yargılar oluşturulur. Burada düşünce ile dil arasında çok daha büyük bir bağlantı olduğunu hissediyoruz, dolayısıyla bundan sonra saf düşünceyi ifade eden "yargı" sözcüğü yerine çoğunlukla düşünceyi kendi içinde ifade eden "ifade" sözcüğünü kullanacağız. dilsel ifade. Öyleyse en sık kullanılan mantıksal bağlaçları tanıyalım.

Olumsuzluk. Doğal dilde “Bu doğru değil…” ifadesine karşılık gelir. Olumsuzluk genellikle bir önermeyi temsil eden harfin önüne yerleştirilen "¬" işaretiyle gösterilir: "¬a", "a olduğu doğru değil" anlamına gelir. Örnek: “Dünyanın küre olduğu doğru değil.”

İnce bir duruma dikkat etmelisiniz. Yukarıda basit olumsuz yargılardan bahsetmiştik. Bunları olumsuzlayıcı karmaşık yargılardan nasıl ayırt edebiliriz? Mantık iki tür olumsuzlamayı birbirinden ayırır: iç ve dış. Olumsuzluk, "dir" bağlacından önce gelen basit bir önermenin içindeyse, o zaman bu durumda basit bir olumsuz önermeyle karşı karşıyayız, örneğin: "Dünya küre değildir." Eğer inkar edilirse dışarıdanÖrneğin, “Dünyanın bir top olduğu doğru değil” gibi bir yargıya iliştirilmişse, böyle bir olumsuzlama, basit bir yargıyı karmaşık bir yargıya dönüştüren mantıksal bir bağlaç olarak kabul edilir.

Bağlaç. Doğal dilde bu bağlaç “ve”, “a”, “ama”, “ancak” vb. bağlaçlara karşılık gelir. Çoğu zaman bir bağlaç “&” sembolüyle gösterilir. Artık bu simge genellikle çeşitli şirket ve işletmelerin adlarında bulunuyor. Böyle bir bağlayıcıya sahip bir önermeye bağlaç veya basitçe bağlaç denir ve şuna benzer:

a&b. Örnek: "Büyükbabanın sepetinde boletus ve boletus vardı." Bu karmaşık yargı iki basit önermenin birleşiminden oluşuyor: "Dedemin sepetinde çörek mantarları vardı" ve "Dedemin sepetinde çörek mantarları vardı."

Ayrılık. Doğal dilde bu bağlaç “veya” bağlacına karşılık gelir. Genellikle "v" ile gösterilir. Böyle bir bağlayıcıya sahip bir yargıya ayırıcı veya basitçe ayırma denir ve şuna benzer: a v b.

Doğal dilde “veya” bağlacı iki anlamda kullanılır. Farklı anlamlar: gevşek “veya” – ayrılığın üyeleri birbirlerini dışlamadığında, yani. aynı anda doğru olabilir ve katı bir "veya" olabilir (genellikle bir çift bağlaç "ya... veya..." ile değiştirilir) - ayrılığın üyeleri birbirini dışladığında. Buna göre iki tür ayrım ayırt edilir - katı ve katı olmayan.

İma. Doğal dilde “eğer… o zaman” bağlacına karşılık gelir. “->” işaretiyle gösterilir. Böyle bir bağlayıcıya sahip bir önermeye ima edici veya basitçe ima denir ve şu şekilde görünür: a -> b. Örnek: “Eğer bir iletken geçerse elektrik sonra iletken ısınır." Anlamın ilk üyesine öncül veya temel denir; ikincisi bir sonuç veya sonuçtur. Günlük dilde, "eğer... o zaman" bağlacı genellikle fenomenlerin neden-sonuç ilişkisini ifade eden cümleleri birbirine bağlar; ilk cümle nedeni, ikincisi ise sonucu belirtir. Dolayısıyla imanın üyelerinin isimleri.

Yukarıdaki gösterimleri kullanarak doğal dildeki ifadeleri sembolik formda temsil etmek, bunların resmileştirilmesi anlamına gelir ve çoğu durumda bunun faydalı olduğu ortaya çıkar.

4) Sıcak okyanusta güzel bir ada yatıyordu. Ve her şey yoluna girecekti ama yabancılar bu adaya yerleşmeyi alışkanlık haline getirdiler. Dünyanın her yerinden gelip geliyorlar ve yerli halk sıkıştırılmaya başlandı. Yabancıların istilasını önlemek amacıyla adanın hükümdarı bir ferman çıkarmıştır: “Mübarek adaya yerleşmek isteyen her ziyaretçinin bir takım hükümler vermesi gerekmektedir. Karar doğru çıkarsa yabancı vurulmalı; Eğer kararın yanlış olduğu ortaya çıkarsa asılmalıdır.” Eğer korkuyorsan sus ve arkana dön!

Soru şu: Hayatta kalmak ve hala adaya yerleşmek için nasıl bir karar verilmesi gerekiyor?