Sayının belirlenmesi e. Diğer sözlüklerde "e numarasının" ne olduğunu görün

“E” sayısı herkesin duyduğu en önemli matematik sabitlerinden biridir. okul dersleri matematik. Konsept yayınlandı popüler sunum bir hümanist tarafından hümanistler için yazılmıştır; erişilebilir dil Euler sayısının neden ve neden var olduğunu anlatacak.

Paramızın ve Euler sayısının ortak noktası nedir?

Numara iken π (pi) çok kesin bir şey var geometrik anlamı ve eski matematikçiler tarafından kullanılmıştı, o zaman sayı e(Euler sayısı) bilimde hak ettiği yerini nispeten yakın zamanda aldı ve kökleri doğrudan finansal konulara uzanıyor.

Paranın icadından bu yana çok az zaman geçti ve insanlar paranın belirli bir faiz oranıyla borç alınabileceğini veya ödünç alınabileceğini fark etti. Doğal olarak, "eski" işadamları tanıdık "yüzde" kavramını kullanmıyorlardı, ancak belirli bir süre boyunca miktardaki belirli bir gösterge kadar artış onlara tanıdık geliyordu.

Fotoğrafta: Leonhard Euler'in (1707-1783) resmini taşıyan 10 frank değerinde bir banknot.

Yıllık %20 örneğine girmeyeceğiz çünkü oradan Euler sayısına ulaşmak çok uzun sürüyor. Bu sabitin anlamının en yaygın ve net açıklamasını kullanalım ve bunun için biraz hayal etmemiz ve bazı bankaların bize yıllık% 100 mevduat yatırmamızı teklif ettiğini hayal etmemiz gerekecek.

Düşünce-finansal deney

Bu düşünce deneyi için istediğiniz miktarı alabilirsiniz ve sonuç her zaman aynı olacaktır ancak 1'den başlayarak doğrudan sayının ilk yaklaşık değerine gelebiliriz. e. Dolayısıyla diyelim ki bankaya 1 dolar yatırdık, senelik %100 faizle yıl sonunda 2 dolarımız olacak.

Ancak bu yalnızca faizin yılda bir kez aktifleştirilmesi (eklenmesi) durumunda geçerlidir. Ya yılda iki kez kapitalize ederlerse? Yani her altı ayda bir %50 tahakkuk edecek ve ikinci %50 artık başlangıç ​​tutarından değil, ilk %50 oranında artırılan tutardan tahakkuk ettirilecektir. Bu bizim için daha karlı olur mu?

Sayının geometrik anlamını gösteren görsel infografik π .

Elbette olacak. Yılda iki kez aktifleştirmeyle, altı ay sonra hesabımızda 1,50 dolar olacak. Yıl sonuna kadar 1,50$'ın %50'si daha eklenecek, yani toplam tutar 2,25 dolar olacak. Her ay büyük harf kullanımı yapılırsa ne olacak?

Her ay bize %100/12 (yani yaklaşık %8,(3)) oranında kredi verilecek ve bu daha da karlı olacak - yıl sonunda 2,61$'ımız olacak. Genel formül Yıl başına isteğe bağlı sayıda büyük harf kullanımı (n) için toplam tutarı hesaplamak şöyle görünür:

Toplam tutar = 1(1+1/n) n

n = 365 değeriyle (yani faizimiz her gün aktifleştirilirse) şu formülü elde ederiz: 1(1+1/365) 365 = 2,71 dolar. Ders kitaplarından ve referans kitaplarından e'nin yaklaşık olarak 2,71828'e eşit olduğunu biliyoruz, yani muhteşem katkımızın günlük kapitalizasyonu göz önüne alındığında, zaten şu sonuca ulaştık: yaklaşık değer e, bu zaten birçok hesaplama için yeterlidir.

N'nin büyümesi sonsuza kadar devam edebilir ve değeri ne kadar büyük olursa, Euler sayısını bir nedenden dolayı ihtiyacımız olan ondalık basamağa kadar o kadar doğru hesaplayabiliriz.

Bu kural elbette sadece maddi çıkarlarımızla sınırlı değil. Matematiksel sabitler "uzman" olmaktan uzaktır; uygulama alanı ne olursa olsun eşit derecede iyi çalışırlar. Bu nedenle derinlere inerseniz hayatın hemen her alanında bunlara rastlayabilirsiniz.

E sayısının tüm değişikliklerin ölçüsü gibi bir şey olduğu ve "doğal dil" olduğu ortaya çıktı. matematiksel analiz" Sonuçta "matan" farklılaşma ve entegrasyon kavramlarına sıkı sıkıya bağlıdır ve bu işlemlerin her ikisi de sayılarla mükemmel bir şekilde karakterize edilen sonsuz küçük değişikliklerle ilgilidir. e .

Euler sayısının benzersiz özellikleri

Bir sayıyı hesaplamak için formüllerden birinin yapısının açıklamasının en anlaşılır örneğini göz önünde bulundurarak e, doğrudan bununla ilgili birkaç soruya daha kısaca bakalım. Ve bunlardan biri: Euler sayısını bu kadar benzersiz kılan ne?

Teorik olarak, kesinlikle herhangi bir matematiksel sabit benzersizdir ve her birinin kendi geçmişi vardır, ancak gördüğünüz gibi, matematiksel analizin doğal dili olma iddiası oldukça ağır bir iddiadır.

Euler fonksiyonu için ϕ(n)'nin ilk bin değeri.

Ancak sayı e bunun nedenleri var. y = e x fonksiyonunu çizerken, netleşir inanılmaz gerçek: sadece y x'e eşit değildir, eğrinin eğimi ve eğrinin altındaki alan da aynı göstergeye eşittir. Yani, belirli bir y değerinden eksi sonsuza kadar olan eğrinin altındaki alan.

Başka hiçbir sayı bununla övünemez. Biz hümanistler (veya sadece matematikçiler DEĞİLDİR) için böyle bir ifade çok az şey ifade eder, ancak matematikçiler bunun çok önemli olduğunu iddia ederler. Neden önemlidir? Bu konuyu başka bir zaman anlamaya çalışacağız.

Euler Numarasının önkoşulu olarak logaritma

Belki birisi okuldan Euler sayısının aynı zamanda doğal logaritmanın da tabanı olduğunu hatırlamıştır. Bu, tüm değişikliklerin bir ölçüsü olarak doğasıyla tutarlıdır. Yine de Euler'in bununla ne ilgisi var? Adil olmak gerekirse, e'ye bazen Napier sayısı da denildiğine dikkat edilmelidir, ancak Euler olmasaydı hikaye eksik olurdu ve logaritmalardan söz edilmezdi.

Logaritmanın 17. yüzyılda İskoç matematikçi John Napier tarafından icadı, logaritmaların icadıdır. büyük olaylar matematik tarihi. 1914 yılında gerçekleşen bu olayın yıldönümü kutlamalarında Lord Moulton bundan şu şekilde söz etti:

"Logaritmanın icadı şunun içindi: bilim dünyası maviden gelen bir cıvata gibi. Daha önce hiçbir çalışma bu keşfe yol açmadı, bu keşfi öngörmedi ya da vaat etmedi. Tek başına durur, başka zihinlerin çalışmalarından hiçbir şey ödünç almadan ve matematiksel düşüncenin o zamanlar bilinen yönlerini takip etmeden insan düşüncesinden aniden çıkar."

Pierre-Simon Laplace, ünlü Fransız matematikçi ve gökbilimci bu keşfin önemini daha da dramatik bir şekilde ifade etti: "Logaritmanın icadı, zahmetli çalışma saatlerini azaltarak gökbilimcinin ömrünü iki katına çıkardı." Laplace'ı bu kadar etkileyen şey neydi? Bunun nedeni ise çok basit; logaritmalar bilim adamlarının genellikle hantal hesaplamalar için harcadıkları zamanı önemli ölçüde azaltmalarına olanak tanıdı.

Genel olarak logaritma hesaplamaları basitleştirdi; onları karmaşıklık ölçeğinde bir seviye aşağıya taşıdı. Basitçe söylemek gerekirse çarpma ve bölme yerine toplama ve çıkarma işlemleri yapmamız gerekiyordu. Ve bu çok daha etkilidir.

e- doğal logaritmanın tabanı

Napier'in logaritma alanında öncü, onların mucidi olduğunu kabul edelim. En azından bulgularını önce o yayınladı. Bu durumda şu soru ortaya çıkıyor: Euler'in değeri nedir?

Çok basit; ona Napier'in ideolojik varisi ve İskoç bilim adamının hayatı boyunca yaptığı çalışmaları logaritmik (mantıksal olarak okuyun) sonucuna getiren adam denilebilir. İlginç, bu mümkün mü?

Doğal logaritma kullanılarak oluşturulmuş çok önemli bazı grafikler.

Daha spesifik olarak Euler, artık sayı olarak bilinen doğal logaritmanın tabanını türetmiştir. e veya Euler numarası. Ayrıca bilim tarihine adını, her yeri "ziyaret etmeyi" başaran Vasya'nın hayal bile edemeyeceği kadar çok kez yazdı.

Ne yazık ki logaritmalarla çalışmanın belirli ilkeleri ayrı bir büyük makalenin konusudur. Şimdilik şunu söylemek yeterli olacaktır: Kelimenin tam anlamıyla hayatlarının yıllarını derlemeye adayan bir dizi kendini adamış bilim insanının çalışmaları sayesinde. logaritmik tablolar Hesap makinelerini kimsenin duymadığı o günlerde bilimin ilerlemesi büyük ölçüde hızlandı.

Fotoğrafta: John Napier - İskoç matematikçi, logaritmanın mucidi (1550-1617.)

Komik, ancak bu ilerleme sonuçta bu tabloların eskimesine yol açtı ve bunun nedeni tam da bu tür hesaplamaları yapma görevini tamamen üstlenen el hesap makinelerinin ortaya çıkmasıydı.

Şunu da duymuş olabilirsiniz: slayt kuralları? Bir zamanlar mühendisler veya matematikçiler onlarsız yapamazlardı, ama şimdi neredeyse bir usturlap gibi; ilginç bir araç, ancak günlük uygulamalardan çok bilim tarihi açısından.

Logaritmanın tabanı olmak neden bu kadar önemli?

Logaritmanın tabanının herhangi bir sayı (örneğin, 2 veya 10) olabileceği, ancak tam olarak Euler sayısının benzersiz özelliklerinden dolayı tabana göre logaritmanın olabileceği ortaya çıktı. e doğal denir. Adeta gerçekliğin yapısına inşa edilmiştir - ondan kaçış yoktur ve buna gerek de yoktur, çünkü çeşitli alanlarda çalışan bilim adamlarının hayatını büyük ölçüde kolaylaştırır.

Pavel Berdov'un web sitesinden logaritmanın doğası hakkında anlaşılır bir açıklama yapalım. Tabana göre logaritma A tartışmadan X x sayısını elde etmek için a sayısının yükseltilmesi gereken kuvvettir. Grafiksel olarak bu şu şekilde gösterilir:

log a x = b, burada a tabandır, x argümandır, b logaritmanın eşit olduğu şeydir.

Örneğin, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2 3 = 8 olduğundan 8'in 2 tabanındaki logaritması 3'tür).

Yukarıda logaritmanın tabanının görselinde 2 sayısını gördük ancak matematikçiler bu rol için en yetenekli aktörün Euler sayısı olduğunu söylüyor. Hadi onların sözüne güvenelim... Sonra da kendi gözümüzle görmek için kontrol edelim.

Sonuçlar

Muhtemelen içeride olması kötüdür yüksek öğrenim bu kadar güçlü bir şekilde ayrılmış olması doğaldır ve beşeri bilimler. Bazen bu çok fazla "çarpıklığa" yol açar ve örneğin fizik ve matematik konusunda bilgili bir kişiyle diğer konular hakkında konuşmanın kesinlikle ilgi çekici olmadığı ortaya çıkar.

Ve tam tersi, birinci sınıf bir edebiyat uzmanı olabilirsiniz, ancak aynı zamanda aynı fizik ve matematik söz konusu olduğunda tamamen çaresiz kalabilirsiniz. Ancak tüm bilimler kendi yollarıyla ilginçtir.

Doğaçlama "Ben bir hümanistim ama tedavi görüyorum" programı çerçevesinde kendi sınırlamalarımızı aşmaya çalışarak, pek aşina olmayan bir bilimsel alandan yeni bir şey öğrenmenize ve en önemlisi anlamanıza yardımcı olduğumuzu umuyoruz.

Euler sayısı hakkında daha fazla bilgi edinmek isteyenlere, dilerlerse matematikten uzak bir kişinin bile anlayabileceği birkaç kaynak önerebiliriz: Eli Maor'un “e: tek bir sayının tarihi” (“e: hikaye Bir sayının geçmişi"), Euler sayısının arka planını ve geçmişini ayrıntılı ve açık bir şekilde açıklamaktadır.

Ayrıca bu makalenin altındaki “Önerilenler” bölümünde YouTube kanallarının adlarını ve Euler sayısını uzman olmayanların bile anlayabileceği şekilde net bir şekilde açıklamaya çalışan profesyonel matematikçiler tarafından çekilen videoların Rusça altyazılarını bulabilirsiniz.

SAYI e. Matematikte sıklıkla bulunan ve yaklaşık olarak 2,718'e eşit bir sayı. doğa bilimleri. Örneğin çöküş sırasında radyoaktif madde zaman geçtikten sonra T maddenin orijinal miktarının bir kısmı eşit kalır e-kt, Nerede k– belirli bir maddenin bozunma hızını karakterize eden bir sayı. Karşılıklı 1/k Belirli bir maddenin atomunun ortalama ömrü denir, çünkü ortalama olarak bir atom bozunmadan önce 1/1 süre boyunca varlığını sürdürür. k. Değer 0,693/ k radyoaktif bir maddenin yarı ömrü denir, yani bir maddenin orijinal miktarının yarısının parçalandığı süre; 0,693 sayısı yaklaşık olarak log'a eşittir e 2, yani 2 sayısının tabana göre logaritması e. Aynı şekilde eğer bakteriler besin ortamı sayılarıyla orantılı bir oranda çoğalırlar şimdiki an, sonra bir süre sonra T başlangıç ​​miktarı bakteri N dönüşür Ne kt. zayıflama elektrik akımı BEN seri bağlantılı basit bir devrede direnç R ve endüktans L kanuna göre olur ben = ben 0 e-kt, Nerede k = R/L, BEN 0 – o andaki mevcut güç T= 0. Benzer formüller viskoz bir sıvıdaki gerilim gevşemesini ve sönümü tanımlar manyetik alan. 1 numara/ k genellikle dinlenme zamanı denir. İstatistiklerde bu değer e-kt zaman içinde olasılığı olarak ortaya çıkar T ortalama sıklıkta rastgele meydana gelen hiçbir olay yoktu k Birim zaman başına olaylar. Eğer S- yatırılan para miktarı R ayrı aralıklarla tahakkuk etmek yerine sürekli tahakkuk eden faiz, o zaman zamana göre T başlangıç ​​tutarı artacak Se tr/100.

Sayının “her yerde bulunmasının” nedeni eüstel fonksiyon veya logaritma içeren matematiksel analiz formüllerinin logaritmalar tabana alınırsa daha basit yazılmasında yatmaktadır. e 10 veya başka bir taban değil. Örneğin log 10'un türevi X eşittir (1/ X)günlük 10 e, log'un türevi ise eski basitçe 1/'e eşittir X. Benzer şekilde 2'nin türevi X 2'ye eşittir X kayıt e 2, oysa türevi eski basitçe eşittir eski. Bu şu anlama gelir: sayı e temel olarak tanımlanabilir B, burada fonksiyonun grafiği y = kayıt bxşu noktada var X= 1 teğet s eğim, 1'e eşit veya eğrinin y = bx içinde var X= 0 eğimi 1'e eşit olan teğet. Tabana göre logaritmalar e“doğal” olarak adlandırılır ve ln olarak adlandırılır. X. Bazen bunlara “Nepier” de denir ki bu yanlıştır çünkü aslında J. Napier (1550–1617) farklı bir tabana sahip logaritmaları icat etmiştir: sayının Nepier logaritması X 10 7 log 1/'e eşittir e (X/10 7) .

Çeşitli derece kombinasyonları e matematikte o kadar sık ​​karşılaşılıyor ki özel isimler. Bunlar örneğin hiperbolik fonksiyonlardır.

Bir fonksiyonun grafiği sen= kanal X katener hattı denir; Bu, uçlardan sarkan, ağır, uzamayan bir ipliğin veya zincirin şeklidir. Euler formülleri

Nerede Ben 2 = –1, bağlama numarası e trigonometri ile. Özel durum x = pünlü ilişkiye yol açıyor e ip+ 1 = 0, matematikteki en ünlü 5 sayıyı birbirine bağlar.

Üs , veya olarak gösterilir.

e numarası

Üslü derecenin temeli e numarası. Bu irrasyonel sayı. Yaklaşık olarak eşittir
e ≈ 2,718281828459045...

E sayısı dizinin limiti aracılığıyla belirlenir. Bu sözde ikinci harika sınır:
.

e sayısı aynı zamanda bir seri olarak da gösterilebilir:
.

Üstel grafik

Üstel grafik, y = e x .

Grafik üssü gösterir e bir dereceye kadar X.
sen (x) = ex
Grafik, üssün monoton olarak arttığını göstermektedir.

Formüller

Temel formüller tabanı e olan üstel fonksiyonla aynıdır.

;
;
;

Üstel bir fonksiyonun a'dan üstel bir dereceye kadar rastgele bir derece tabanıyla ifadesi:
.

Özel değerler

izin ver (x) = ex.
.

Daha sonra

Üs Özellikleri e > 1 .

Üs, kuvvet tabanına sahip bir üstel fonksiyonun özelliklerine sahiptir

Etki alanı, değerler kümesi (x) = ex y üssü
tüm x'ler için tanımlıdır.
- ∞ < x + ∞ .
Tanım alanı:
0 < y < + ∞ .

Aşırılıklar, artan, azalan

Üstel monoton olarak artan bir fonksiyon olduğundan ekstremum değeri yoktur. Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır.

Ters fonksiyon

Üssün tersi doğal logaritmadır.
;
.

Üssün türevi

Türev e bir dereceye kadar X eşit e bir dereceye kadar X :
.
N'inci dereceden türev:
.
Formüllerin türetilmesi > > >

İntegral

Karmaşık sayılar

Şununla yapılan işlemler: karmaşık sayılar kullanılarak gerçekleştirilen Euler formülleri:
,
sanal birim nerede:
.

Hiperbolik fonksiyonlar aracılığıyla ifadeler

; ;
.

Trigonometrik fonksiyonları kullanan ifadeler

; ;
;
.

Kuvvet serisi genişletmesi

Kullanılan literatür:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

PERVUSHKİN BORIS NIKOLAEVICH

Özel eğitim kurumu "St. Petersburg Okulu "Tete-a-Tete"

Matematik Öğretmeni En yüksek kategori

e numarası

Numara ilk kez ortaya çıktımatematikönemsiz bir şey gibi. Bu 1618'de oldu. Napier'in logaritmalarla ilgili çalışmasının ekinde bir doğal logaritma tablosu verildi. farklı sayılar. Ancak o dönemde logaritma kavramında taban diye bir şey bulunmadığından kimse bunların tabana göre logaritma olduğunu anlamamıştı. Bu artık logaritma dediğimiz şeydir; gerekli sayıyı elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken kuvvettir. Bu konuya daha sonra tekrar döneceğiz. Ekteki tablo büyük olasılıkla Augthred tarafından yapılmıştır, ancak yazarının kimliği belirlenmemiştir. Birkaç yıl sonra, 1624'te, matematik literatüründe yeniden ortaya çıkıyor, ama yine örtülü bir şekilde. Bu yıl Briggs sayısal bir yaklaşım verdi ondalık logaritma, ancak eserinde sayının kendisinden bahsedilmiyor.

Sayının bir sonraki görünümü yine şüphelidir. 1647'de Saint-Vincent hiperbol sektörünün alanını hesapladı. Logaritmalarla bağlantıyı anlayıp anlamadığı yalnızca tahmin edilebilir, ancak anlasa bile sayının kendisine ulaşması pek olası değildir. Huygens eşkenar hiperbol ile logaritma arasındaki bağlantıyı ancak 1661 yılında anladı. Bir eşkenar hiperbolün 1 ila 1 aralığındaki eşkenar hiperbolünün grafiğinin altındaki alanın 1'e eşit olduğunu kanıtladı. Bu özellik doğal logaritmanın temelini oluşturur, ancak bu o zamanın matematikçileri tarafından anlaşılmamıştır, ancak yavaş yavaş bu anlayışa yaklaşıyoruz.

Huygens bir sonraki adımı 1661'de attı. Logaritmik (bizim terminolojimizde buna üstel diyeceğiz) adını verdiği bir eğri tanımladı. Bu bir tür eğrisidir. Ve yine Huygens'in 17 ondalık basamağa kadar doğru bulduğu ondalık logaritma ortaya çıkıyor. Bununla birlikte, bir tür sabit olarak Huygens'ten ortaya çıktı ve bir sayının logaritmasıyla ilişkili değildi (bu nedenle yine yaklaştılar, ancak sayının kendisi tanınmadan kaldı).

İÇİNDE daha fazla çalışma logaritmalar için yine sayı açıkça görünmüyor. Ancak logaritma çalışmaları devam etmektedir. 1668'de Nicolaus Mercator bir çalışma yayınladı.Logaritmoteknik, bir seri genişletmeyi içerir. Bu çalışmada Mercator ilk olarak “ doğal logaritma” taban logaritması için. Sayı açıkça bir daha görünmüyor, ancak kenarda bir yerde anlaşılması zor kalıyor.

Sayının ilk kez logaritmalarla bağlantılı olarak değil, sonsuz çarpımlarla bağlantılı olarak açık biçimde ortaya çıkması şaşırtıcıdır. 1683'te Jacob Bernoulli bulmaya çalıştı

Bu limitin 2 ile 3 arasında olduğunu kanıtlamak için binom teoremini kullanıyor, bunu da ilk yaklaşımı olarak düşünebiliriz. Her ne kadar bunu 'nin tanımı olarak alsak da, ilk kez bir sayının limit olarak tanımlanması bu şekildedir. Elbette Bernoulli kendi çalışmasıyla logaritma çalışması arasındaki bağlantıyı anlamadı.

Çalışmalarının başında logaritmaların üslü sayılarla hiçbir şekilde bağlantılı olmadığı daha önce belirtilmişti. Elbette denklemden bunu buluyoruz ama bu çok daha sonraki bir algılama biçimi. Burada aslında logaritma ile bir fonksiyonu kastediyoruz, halbuki ilk başta logaritma yalnızca hesaplamalara yardımcı olan bir sayı olarak kabul ediliyordu. Belki de bunu ilk fark eden Jacob Bernoulli oldu. logaritmik fonksiyon ters üsteldir. Öte yandan logaritmaları ve kuvvetleri birbirine bağlayan ilk kişi James Gregory olabilir. 1684'te logaritmalar ve kuvvetler arasındaki bağlantıyı kesinlikle fark etti, ancak ilk o olmayabilir.

Sayının bugünkü haliyle 1690'da ortaya çıktığını biliyoruz. Leibniz, Huygens'e yazdığı bir mektupta bu ismi kullanmıştı. Sonunda bir isim ortaya çıktı (modern olanla örtüşmese de) ve bu isim tanındı.

1697 yılında Johann Bernoulli üstel fonksiyonu incelemeye başladı ve yayımladı.Principia calculi exponentialum seu percurrentium. Bu çalışmada çeşitli üstel serilerin toplamları hesaplanmış ve bunların terim terim entegrasyonu ile bazı sonuçlar elde edilmiştir.

Euler pek çok şeyi tanıttı matematiksel gösterim, Ne
unvanın da kendisine ait olması şaşırtıcı değildir. İsminin ilk harfi olduğu için bu harfi kullandığını söylemek saçma görünüyor. Bunun nedeni muhtemelen "üstel" kelimesinden alınması değil, sadece "a"dan sonraki sesli harf olması ve Euler'in çalışmalarında "a" notasyonunu zaten kullanmış olmasıdır. Nedeni ne olursa olsun, bu notasyon ilk kez 1731 yılında Euler'in Goldbach'a yazdığı bir mektupta ortaya çıktı. Daha fazla araştırma yaparken birçok keşif yaptı, ancak bu 1748'e kadar olmadı.Analysin infinitorum'a girişile ilgili tüm fikirlerin tam gerekçesini verdi. Bunu gösterdi

Euler ayrıca bir sayının ilk 18 ondalık basamağını da buldu:

ancak bunları nasıl elde ettiğini açıklamadan. Görünüşe göre bu değeri kendisi hesaplamış. Aslında serinin (1) yaklaşık 20 terimini alırsak Euler'in elde ettiği doğruluğu elde ederiz. Diğerleri arasında ilginç sonuçlarçalışması sinüs ve kosinüs fonksiyonları ile kompleks arasındaki bağlantıyı gösteriyor üstel fonksiyon Euler bunu Moivre formülünden türetmiştir.

Hatta Euler'in bir sayının sürekli kesirlere ayrıştırılmasını bulması ve bu ayrıştırmaya örnekler vermesi ilginçtir. Özellikle aldığı

Euler bu kesirlerin aynı şekilde devam ettiğine dair bir kanıt sunmadı ancak böyle bir kanıt varsa bunun irrasyonelliğin ispatlanacağını biliyordu. Nitekim , için devam eden kesir, verilen örnekteki gibi 6,10,14,18,22,26 (her seferinde 4 ekliyoruz) ile devam etseydi, o zaman hiçbir zaman kesintiye uğramazdı ve (ve dolayısıyla) ) rasyonel olamaz. Bu açıkça mantıksızlığı kanıtlamaya yönelik ilk girişimdir.

Oldukça hesaplayan ilk kişi büyük sayı Sayının ondalık basamağı 1854'te Shanks'tı. Glaisher, Shanks'ın hesapladığı ilk 137 basamağın doğru olduğunu gösterdi ancak daha sonra bir hata buldu. Shanks bunu düzeltti ve 205 ondalık basamak elde edildi. Gerçekte, ihtiyacınız olan şey
Sayının 200 doğru basamağını elde etmek için 120 genişletme terimi (1).

1864'te Benjamin Peirce, üzerinde şu yazıların yazılı olduğu bir tahtanın yanında duruyordu:

Derslerinde öğrencilerine şöyle diyebilir: "Beyler, bunun ne anlama geldiğine dair en ufak bir fikrimiz yok ama çok önemli bir anlama geldiğine emin olabiliriz."

Çoğu kişi Euler'in sayının mantıksızlığını kanıtladığına inanıyor. Ancak bu, 1873 yılında Hermite tarafından yapılmıştır. Sayının cebirsel olup olmadığı sorusu hala cevapsızdır. En son sonuç bu yönde sayılardan en az birinin aşkın olmasıdır.

Daha sonra aşağıdakileri hesapladık ondalık sayılar sayılar. 1884'te Boorman 346 rakamı hesapladı; bunların ilk 187'si Shanks'ın rakamlarıyla çakışıyordu, ancak sonrakiler farklıydı. 1887'de Adams ondalık logaritmanın 272 basamağını hesapladı.

Herkes sayının geometrik anlamını biliyor π birim çapa sahip bir dairenin uzunluğu:

Ama burada başka bir önemli sabitin anlamı da var: e, çabuk unutulma eğilimindedir. Yani sizi bilmem ama her seferinde 2,7182818284590'a eşit olan bu sayının neden bu kadar dikkat çekici olduğunu hatırlamak benim için bir çaba gerektiriyor... (Fakat ben değeri hafızadan yazdım). Ben de hafızamdan başka hiçbir şeyin kaçmaması için bir not yazmaya karar verdim.

Sayı e tanım gereği - bir fonksiyonun limiti sen = (1 + 1 / X) X en X → ∞:

Bu tanım ne yazık ki net değildir. Bu sınırın neden dikkate değer olduğu açık değildir (“ikinci dikkat çekici” olarak adlandırılmasına rağmen). Bir düşünün, bazı beceriksiz fonksiyonları alıp limiti hesapladılar. Farklı bir işlevin farklı bir işlevi olacaktır.

Ama sayı e bazı nedenlerden dolayı çoğu durumda ortaya çıkıyor farklı durumlar matematikte.

Benim için ana anlam sayılar e bir başkasının davranışında çok daha fazla ortaya çıkar ilginç fonksiyon, sen = k X. Bu işlevin benzersiz bir özelliği vardır: k = e grafiksel olarak şu şekilde gösterilebilir:

0 noktasında fonksiyon değeri alır e 0 = 1. Bir noktaya teğet çizerseniz X= 0 ise, x eksenine 1 teğetlik bir açıyla geçecektir (içinde sarı üçgen davranış karşı taraf 1'in komşu 1'e oranı 1'e eşittir). 1. noktada fonksiyon değeri alır e 1 = e. Bir noktaya teğet çizerseniz X= 1 ise teğet bir açıyla geçecektir e(V yeşil üçgen karşı taraf oranı e komşu 1 eşittir e). 2. noktada değer e Fonksiyonun 2'si yine kendisine teğetin eğim açısının teğetiyle çakışıyor. Bu nedenle, aynı zamanda teğetlerin kendisi de x eksenini tam olarak -1, 0, 1, 2 vb. noktalarda keser.

Tüm işlevler arasında sen = k X(örneğin 2 X , 10 X , π X vb.), fonksiyon e X- o kadar güzelliğe sahip olan tek şey, her bir noktasındaki eğim açısının teğeti, fonksiyonun değeri ile çakışıyor. Bu, tanım gereği, bu fonksiyonun her noktadaki değerinin bu noktadaki türevinin değeriyle çakıştığı anlamına gelir: ( e X)´ = e X. Bazı nedenlerden dolayı sayı e= 2,7182818284590...'e yükseltilmelidir farklı dereceler böyle bir resim elde etmek için.

Bana göre anlamı budur.

Sayılar π Ve e En sevdiğim formül olan Euler'in formülü, en önemli 5 sabiti (sıfır, bir, bir) birleştiren formüle dahil edilmiştir. hayali birim Ben ve aslında sayılar π Ve e:

e iπ + 1 = 0

Neden 2,7182818284590... sayısı karmaşık derece 3,1415926535...Ben aniden eksi bire eşit mi oldu? Bu sorunun cevabı bu notun kapsamı dışındadır ve trigonometri, limitler ve serilerle ilgili bazı temel bilgileri gerektirecek kısa bir kitabın içeriğini oluşturabilir.

Bu formülün güzelliğine her zaman hayran kalmışımdır. Belki matematikte daha fazlası vardır şaşırtıcı gerçekler, ancak benim seviyem için (Fizik ve Matematik Lisesi'nden C ve kapsamlı analizüniversitede) bu en önemli mucizedir.