Slepnev Pavel

7. sınıf cebir dersinde Telyakovsky'nin editörlüğünü yaptığı ders kitabı istatistikten materyaller sunuyor: "Aritmetik Ortalama, Aralık ve Mod." Öğrenci, çalışmasında sınıf arkadaşlarının önerdiği bu konuyu ele almak için örnekler sunuyor.

İndirmek:

Ön izleme:

MU Eğitim Bakanlığı MO "Tarbagatai bölgesi"

MBOU "Zavodskaya OOSH"

"Aritmetik ortalama, aralık ve mod"

Tamamlayan: Slepnev Pavel, 7. sınıf öğrencisi

Bilim danışmanı:

Ulakhanova Marina Rodionovna,

matematik öğretmeni

yıl2012

Giriş Sayfası 3

Ana bölüm Sayfa 4-9

Konunun teorisi s. 4-6

Mini projeler s. 7-9

Sonuç Sayfa 9

Referanslar Sayfa 10

giriiş

Alaka düzeyi

Şöyle akademik yılİki konuyu incelemeye başladık: cebir ve geometri. Cebir çalışırken bazı şeyler bana 5. ve 6. sınıf derslerinden tanıdık geliyor, bazılarını daha derinlemesine ve derinlemesine çalışıyoruz, birçok yeni şey öğreniyoruz. Cebir çalışırken benim için yeni olan bazı istatistiksel özelliklerle tanışmaktır: aralık ve mod. Aritmetik ortalamayla daha önce karşılaştık. İlginç olan ise bu özelliklerin sadece matematik derslerinde değil aynı zamanda hayatta, pratikte (üretimde, eğitimde) kullanılmasıdır. tarım, sporda vb.).

Sorunun formülasyonu

Derste bu noktaya yönelik problem çözerken, problemleri kendimiz yaratma ve onlara sunum hazırlama, yani bir nevi kendi problem kitabımızı oluşturmaya başlama fikri ortaya çıktı. Herkes kendi mini projesi üzerinde çalışıyormuş gibi herkes bir problem buluyor, bunun sunumunu yapıyor ve sınıfta her şeyi birlikte çözüp tartışıyoruz. Hatalar yapılırsa düzeltiriz. Ve sonunda gerçekleştirin kamu savunması bu mini projeler.

Çalışmamın amacı: istatistik çalışmak.

Hedefler: bilgisayar sunumları şeklinde bir istatistik problem kitabı geliştirmeye başlamak.

Araştırma konusu: istatistik.

Çalışmanın amacı: istatistiksel özellikler ( ortalama, kapsam, moda).

Araştırma Yöntemleri:

1. Bu konuyla ilgili literatürün incelenmesi.
2. Veri analizi.
3. İnternet kaynaklarının kullanımı.
4. Power Point'i kullanma.
5. Bu konuyla ilgili toplanan materyallerin özetlenmesi.

Ana bölüm.

Sorunun teorisi

“İstatistiksel özellikler” bölümünü incelerken şu kavramlarla tanıştık: aritmetik ortalama, aralık, mod. Bu özellikler istatistikte kullanılır. Bu bilim sayıları inceliyor ayrı gruplarÜlke ve bölgelerin nüfusu, çeşitli türdeki ürünlerin üretimi ve tüketimi, mal ve yolcu taşımacılığı çeşitli türler Ulaşım, Doğal Kaynaklar ve benzeri.

Ilf ve Petrov, ünlü romanları “On İki Sandalye”de “İstatistik her şeyi bilir” diyor ve şöyle devam ediyor: “Cumhuriyetin ortalama bir vatandaşının yılda ne kadar yemek yediği biliniyor... Kaç avcı, balerin, kaç kişi olduğu biliniyor. Ülkede makineler, bisikletler, anıtlar, deniz fenerleri ve dikiş makineleri... Ne kadar şevk, tutku ve düşünce dolu hayat istatistik tablolarından bize bakıyor!..” Bu ironik açıklama, konuyla ilgili oldukça doğru bir fikir veriyor. ​istatistik (Latince durum - devletten) - yaşamdaki çok çeşitli kitlesel olaylara ilişkin niceliksel verileri inceleyen, işleyen ve analiz eden bilim.

Ekonomik istatistikler fiyatlardaki, malların arz ve talebindeki değişiklikleri inceler, üretim ve tüketimin büyümesini ve düşüşünü tahmin eder.

Tıbbi istatistikler, çeşitli ilaçların ve tedavi yöntemlerinin etkinliğini, yaşa, cinsiyete, kalıtıma, yaşam koşullarına bağlı olarak belirli bir hastalığın olasılığını inceler, Kötü alışkanlıklar, salgın hastalıkların yayılmasını öngörüyor.

Demografik istatistikler doğum oranını, nüfus büyüklüğünü ve kompozisyonunu (yaş, ulusal, profesyonel) inceler.

Ayrıca mali, vergisel, biyolojik ve meteorolojik istatistikler de vardır.

İÇİNDE okul kursu cebir kavram ve yöntemlerine bakıyoruz tanımlayıcı istatistikler Bilginin birincil işlenmesi ve en gösterge niteliğindeki hesaplamalarla ilgilenen sayısal özellikler. İngiliz istatistikçi R. Fisher'a göre: "İstatistik, gözlemlerden elde edilen verileri azaltma ve analiz etme bilimi olarak tanımlanabilir." Örnekte elde edilen sayısal verilerin tamamı (şartlı olarak), bazıları derslerde zaten ele aldığımız birkaç sayısal parametre ile değiştirilebilir - aritmetik ortalama, aralık, mod. sonuçlar istatistiksel araştırma pratik ve bilimsel çıkarımlar için yaygın olarak kullanılmaktadır, dolayısıyla bu istatistiksel özelliklerin belirlenebilmesi önemlidir.

İstatistiksel özellikler bugünlerde her yerde bulunuyor. Örneğin nüfus sayımı. Bu sayım sayesinde devlet konut, okul, hastane inşaatı için ne kadar paraya ihtiyaç duyulduğunu, kaç kişinin konuta ihtiyacı olduğunu, ailede kaç çocuk bulunduğunu, işsiz sayısını, maaş düzeylerini vb. bilecek. Bu nüfus sayımının sonuçları bir öncekiyle karşılaştırılacak, ülkenin bu süre içinde iyileşip iyileşmediği veya durumun kötüleştiği görülecek, verileri diğer ülkelerdeki sonuçlarla karşılaştırmak mümkün olacak. Endüstride büyük önem modası var. Örneğin çok talep gören bir ürün her zaman satılacak ve fabrikaların çok parası olacaktır. Ve bunun gibi pek çok örnek var.

İstatistiksel çalışmaların sonuçları pratik ve bilimsel sonuçlar için yaygın olarak kullanılmaktadır.

Tanım 1. Bir sayı dizisinin aritmetik ortalaması, bu sayıların toplamının terim sayısına bölünmesiyle elde edilen bölümdür.

Örnek: İş yükünü incelerken 12 7. sınıf öğrencisinden oluşan bir grup belirlendi. Belirli bir günde tamamlama için harcanan süreyi (dakika cinsinden) not etmeleri istendi. Ev ödevi cebirde. Aşağıdaki verileri aldık:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Bu veri serisiyle öğrencilerin cebir ödevlerine ortalama kaç dakika harcadıklarını belirleyebilirsiniz. Bunu yapmak için belirtilen 12 sayıyı eklemeniz ve elde edilen toplamı bölmeniz gerekir.

12'de: ==27.

Ortaya çıkan 27 sayısına, söz konusu sayı serisinin aritmetik ortalaması denir.

Aritmetik ortalama önemli karakteristik sayıların sayısı, ancak bazen diğerlerini de dikkate almak yararlı olabilir ortalama.

Tanım 2. Bir sayı dizisinin modu, şu şekilde meydana gelen bir sayıdır: Bu diziler diğerlerinden daha sık.

Örnek: Öğrencilerin cebir ödevi için harcadıkları zamana ilişkin bilgileri analiz ederken, yalnızca elde edilen veri serisinin aritmetik ortalaması ve aralığıyla değil, aynı zamanda diğer göstergelerle de ilgilenebiliriz. Örneğin, seçilmiş bir öğrenci grubu için zaman tüketiminin ne kadar tipik olduğunu bilmek ilginçtir; veri serisinde en sık görülen sayı. Örneğimizde bu sayının 25 olduğunu görmek kolaydır. 25 sayısının ele alınan serinin modu olduğunu söylüyorlar.

Bir sayı dizisinin birden fazla modu olabilir veya hiç modu olmayabilir. Örneğin, 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 54, 52, 47, 52 sayı dizisinde, her biri üç kez geçtiği için 47 ve 52 sayıları iki kiptir. seriler ve diğer sayılar – üç kereden az.

69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72 sayı serilerinde mod bulunmamaktadır.

Bir veri serisinin modu genellikle bazı tipik göstergelerin tanımlanması istendiğinde bulunur. Mod istatistikte yaygın olarak kullanılan bir göstergedir. En iyilerinden biri Sık kullanılan moda talebin incelenmesidir. Örneğin, tereyağının hangi ağırlıkta paketleneceğine, hangi katların açılacağına vs. karar verirken ilk olarak talep incelenir ve moda belirlenir; bu en yaygın sıralamadır.

Ancak aritmetik ortalamayı veya modu bulmak her zaman istatistiksel verilere dayanarak güvenilir sonuçlara varılmasına izin vermez. bir dizi veriye sahipsek, bunlara dayanarak geçerli sonuçlar ve güvenilir tahminler yapabilmek için ortalama değerlerin yanı sıra, kullanılan verilerin birbirinden ne kadar farklı olduğunu da belirtmeliyiz. Biri istatistiksel göstergeler Verilerin farkı veya yayılması aralıktır.

Tanım 3. Bir sayı dizisinin aralığı, bu sayıların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki farktır.

Örnek: Yukarıdaki örnekte öğrencilerin cebir ödevine ortalama 27 dakika harcadıklarını gördük. Ancak veri serisinin analizi, bazı öğrencilerin harcadığı zamanın 27 dakikadan önemli ölçüde farklı olduğunu göstermektedir. aritmetik ortalamadan. En yüksek tüketim 37 dakika, en düşük tüketim ise 18 dakikadır. En büyük ve en büyük arasındaki fark en az masraf süre 19 dakikadır. Bu durumda başka bir istatistiksel özellik dikkate alınır - kapsam. Bir serideki verilerin yayılmasının ne kadar büyük olduğunu belirlemek istendiğinde bir serinin aralığı bulunur.

Mini projeler

Şimdi çalışmamızın sonuçlarını sunmak istiyorum: istatistik problem kitabı oluşturmaya yönelik mini projeler.

Super-auto showroom'da satış departmanının baş müdürü olarak çalışıyorum. Salonumuz dört tekerlekten çekiş oyununa katılmak için arabalar sağladı. Geçen yıl sergide ve satışta arabalarımız başarılıydı! Satış sonuçları aşağıdaki gibidir:

Satış departmanının serginin sonuçlarını özetlemesi gerekiyor:

1. Günde ortalama kaç araba satıldı?
2. Fuar ve satış döneminde araç sayısındaki dağılım nasıl?
3. Günde en çok kaç araba satıldı?

Cevap: Günde ortalama 150 araba satıldı, satılan araba sayısı aralığı 150 idi, çoğu zaman günde 100 araba satıldı.

Ben, Anastasia Volochkova, Buz ve Ateş yarışmasının finali için jüriye davet edildim. Yarışma St. Petersburg şehrinde gerçekleşti. En güçlü patencilerden üç çift finale çıktı: 1 çift. Batueva Alina ve Khlebodarov Kirill, 2. çift. Selyanskaya Yulia ve Kushnarev Pavel, 3 çift. Zaigraeva Anastasia ve Afanasyev Dmitry. Jüri: Anastasia Volochkova, Elena Malysheva, Alexey Dalmatov. Jüri şu puanları verdi:

Her bir çift için tahmin serisindeki aritmetik ortalamayı, aralığı ve modu bulun.

Cevap:

Bu yıl bir balo salonu dans yarışması için St. Petersburg'u ziyaret ettim. Yarışmaya üç güzel çift katıldı: Elena Sushentsova ve Kirill Khlebodarov, Alina Batueva ve Pavel Slepnev, Victoria Dzhaniashvili ve Valery Tkachev.

Çiftler performanslarından dolayı aşağıdaki puanları aldı:

Bulmak Ortalama puanı, kapsam ve moda.

Cevap:

Moda giyim ve aksesuar mağazası “Fashion”un müdürüyüm. Mağaza iyi kar ediyor. Geçen yılın satış rakamları:

İlk 2-3 ayda kâr aylık 2 milyona ulaştı. Daha sonra kâr 4 milyona çıktı. En başarılı aylar şunlardı: Aralık ve Mayıs. Mayıs ayında çoğunlukla balolar için, Aralık ayında ise Yeni Yıl kutlamaları için elbiseler satın aldık.

Baş muhasebecime soru: Bu yılki çalışmalarımızın sonuçları nelerdir?

Cevap:

“Turbo” akort atölyesi düzenledik. Çalışmamızın ilk haftasında, ilk gün - 120.000 $, ikinci gün - 350.000 $, üçüncü gün - 99.000 $, dördüncü gün - 120.000 $ kazandık. Günlük ortalama gelirimizin ne kadar olduğunu, en yüksek ve en düşük kazanç arasındaki farkın ne kadar olduğunu ve en sık hangi tutarın tekrarlandığını hesaplayın.

Cevap: aritmetik ortalama – 172.250 ABD Doları, aralık – 251.000 ABD Doları, mod – 120.000 ABD Doları.

Çözüm

Sonuç olarak bu konuyu sevdiğimi söylemek istiyorum. İstatistiksel özellikler çok kullanışlıdır ve her yerde kullanılabilir. Genel olarak karşılaştırırlar, ilerleme için çabalarlar ve insanların görüşlerini öğrenmeye yardımcı olurlar. Bu konu üzerinde çalışırken istatistik bilimiyle tanıştım, bu bilimin uygulanabileceği bazı kavramları (aritmetik ortalama, aralık ve mod) öğrendim ve bilgisayar bilimi alanındaki bilgilerimi genişlettim. Bu kavramlara hakim olmak için örnek olarak sorunlarımızın başkalarına faydalı olacağını düşünüyorum! Bu bilimle tanışmaya ve kendi sorunlarımızı yaratmaya devam edeceğiz!

Böylece matematik, bilgisayar bilimi ve istatistik dünyasına yolculuğum sona erdi. Ama sanırım bu son değil. Hala bilmek istediğim çok şey var! Galileo Galilei'nin dediği gibi: "Doğa, yasalarını matematik diliyle formüle eder." Ve bu dile hakim olmak istiyorum!

Kaynakça

1. Bunimovich E.A., Bulychev V.A. « Matematik dersinde olasılık ve istatistik ortaokul", M.: Pedagoji Üniversitesi“1 Eylül”, 2005
2. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. “Cebir, 7. sınıf”, M: “Prosveshcheniye”, 2009
3. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. « Cebir. İstatistiğin unsurları ve olasılık teorisi”, 7 – 9. Sınıflar. – M.: Eğitim, 2005.

Gözden geçirmek

Öğrencinin araştırma konusu istatistiktir.

Çalışmanın amacı istatistiksel özelliklerdir (aritmetik ortalama, aralık, mod).

Konunun teorisine aşina olmak için öğrenci çalıştı. bilimsel kaynaklar, İnternet kaynakları.

Seçilen konu matematik, bilgisayar bilimi ve istatistiğe ilgi duyan öğrenciler için uygundur. Yaşına uygun yeterli materyal analiz edildi, veriler seçildi ve genelleştirildi. Öğrencinin BİT konusunda yeterli bilgisi vardır.

Gereksinimlere uygun olarak çalışma tamamlanır.

Çalışmanın sonunda bir sonuç çıkarılıyor ve pratik bir ürün sunuluyor: istatistik problemlerinin sunumu. Bir insanın matematiğe bu kadar tutkulu olmasına sevindim.

Bilimsel danışman: Ulakhanova MR,

matematik öğretmeni

Konuyla ilgili problemlerin çözümü: “İstatistiksel özellikler. Aritmetik ortalama, aralık, mod ve medyan

Cebir-

7. sınıf

Tarihi bilgi

• Aritmetik ortalama, aralık ve mod istatistikte kullanılır - doğada ve toplumda meydana gelen çeşitli kitlesel olaylar hakkında niceliksel verilerin elde edilmesi, işlenmesi ve analiz edilmesiyle ilgilenen bir bilim.
• "İstatistik" kelimesi buradan gelir. Latince kelime durum, "durum, durum" anlamına gelir. İstatistikler, ülkenin ve bölgelerinin bireysel nüfus gruplarının büyüklüğünü, üretim ve tüketimini inceler
• çeşitli ürün türleri, malların ve yolcuların çeşitli ulaşım modlarıyla taşınması, doğal kaynaklar vb.
• İstatistiksel çalışmaların sonuçları pratik ve bilimsel sonuçlar için yaygın olarak kullanılmaktadır.

Ortalama– tüm sayıların toplamını terim sayısına bölme bölümü

• Kapsam– bu serinin en büyük ve en küçük sayısı arasındaki fark
• Moda bir sayı kümesinde en sık görülen sayıdır
• Medyan– terim sayısı tek olan sıralı bir sayı dizisinin ortasında yazılan sayı, çift terim sayısı içeren sıralı bir sayı dizisinin medyanı ise ortada yazılan iki sayının aritmetik ortalamasıdır. Rastgele bir sayı serisinin medyanı, karşılık gelen sıralı serinin medyanıdır.

• Ortalama ,

• kapsam ve moda
• istatistikte - bilimde kullanılır,
• almakla meşgul olan,

işleme ve analiz

çeşitli konularda niceliksel veriler

• meydana gelen kitlesel olaylar

doğada ve

• Toplum.

Görev No.1

• Sayı dizisi:
• 18 ; 13; 20; 40; 35.
• Bu serinin aritmetik ortalamasını bulun:

• Çözüm:
• (18+13+20+40+35):5=25,5
• Cevap: 25,5 – aritmetik ortalama

Sorun No. 2

• Sayı dizisi:
• 35;16;28;5;79;54.

• Serinin aralığını bulun:

• Çözüm:

• En büyük sayı 79'dur
• En küçük sayı 5'tir.
• Satır aralığı: 79 – 5 = 74.
• Cevap: 74

Sorun No. 3

• Sayı dizisi:
• 23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 2535;16;28;5;79;54.

• Serinin aralığını bulun:

• Çözüm:
• En büyük zaman tüketimi 37 dakikadır,
• ve en küçüğü 18 dakikadır.
• Serinin aralığını bulalım:
• 37 – 18 = 19 (dk)

Sorun No. 4

• Sayı dizisi:
• 65; 12; 48; 36; 7; 12
• Serinin modunu bulun:

• Çözüm:

• Bu serinin modası: 12.
• Cevap: 12

Sorun No. 5

• Bir sayı dizisinin birden fazla modu olabilir,
• ya da belki değil.

• Sıra: 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 47, 52
• iki mod - 47 ve 52.

• 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 numaralı satırın modası yoktur.

Sorun No. 5

• Sayı dizisi:
• 28; 17; 51; 13; 39
• Bu serinin medyanını bulun:

• Çözüm:

• İlk önce sayıları artan sıraya koyun:
• 13; 17; 28; 39; 51.
• Medyan – 28.
• Cevap: 28

Sorun No. 6

Kuruluş, ay içinde alınan mektupların günlük kayıtlarını tuttu.

Sonuç olarak aşağıdaki veri dizisini aldık:

39, 42, 40, 0, 56, 36, 24, 21, 35, 0, 58, 31, 49, 38, 24, 35, 0, 52, 40, 42, 40,

39, 54, 0, 64, 44, 50, 37, 32, 38.

Elde edilen veri serisinin aritmetik ortalamasını bulun,

Bu göstergelerin pratik anlamı nedir?

Sorun No. 7

Mahalle mağazalarında bir paket Nezhenka tereyağının maliyeti (ruble cinsinden) kaydedildi: 26, 32, 31, 33, 24, 27, 37.

Bu sayı kümesinin aritmetik ortalaması medyandan ne kadar farklıdır?

Çözüm.

Bu sayı kümesini artan düzende sıralayalım:

24, 26, 27, 31, 32, 33, 37.

Serinin eleman sayısı tek olduğundan medyan;

ortadaki değer sayı serisi yani M = 31.

Bu sayı kümesinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım - m.

m= 24+ 26+ 27+ 31+ 32+ 33+ 37 = 210 ═ 30

M – m = 31 – 30 = 1

Yaratıcı

Ortalama aritmetik serisi sayılar – Bu sayıların toplamının terim sayısına bölünmesiyle elde edilir.

Aritmetik ortalamaya bir sayı serisinin ortalama değeri denir.

Örnek: Ortalamayı bulun aritmetik sayılar 2, 6, 9, 15.

Çözüm. Dört sayımız var. Bu, toplamlarının 4'e bölünmesi gerektiği anlamına gelir. Bu, bu sayıların aritmetik ortalaması olacaktır:
(2 + 6 + 9 + 15) : 4 = 8.

Ortalama Geometrik seriler sayılar- bu kök n'inci derece bu sayıların çarpımından.

Örnek: Ortalamayı bulun geometrik sayılar 2, 4, 8.

Çözüm. Üç sayımız var. Bu, çarpımlarının üçüncü kökünü bulmamız gerektiği anlamına gelir. Bu, bu sayıların geometrik ortalaması olacaktır:

3 √ 2 4 8 = 3 √64 = 4

Kapsam Sayı dizisi, bu sayıların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki farktır.

Örnek: 2, 5, 8, 12, 33 sayı aralığını bulun.

Çözüm: Buradaki en büyük sayı 33, en küçük sayı 2'dir. Yani aralık 31'dir:

Moda sayı dizisi, belirli bir dizide diğerlerinden daha sık görünen sayıdır.

Örnek: 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11, 22, 8 sayı serisinin modunu bulun.

Çözüm: 7 sayısı bu sayı dizisinde en sık (3 kez) karşımıza çıkıyor. Belirli bir sayı serisinin modudur.

Medyan.

Sıralı bir sayı dizisinde:

Tek sayıdaki sayıların medyanı ortada yazılan sayıdır.

Örnek: 2, 5, 9, 15, 21 sayı dizisinde ortanca, ortada yer alan 9 sayısıdır.

Çift sayıdaki sayıların medyanı ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasıdır.

Örnek: 4, 5, 7, 11, 13, 19 sayılarının ortancasını bulun.

Çözüm: Çift sayıda sayı var (6). Bu nedenle ortada yazılı bir değil iki sayıyı arıyoruz. Bunlar 7 ve 11 sayılarıdır. Bu sayıların aritmetik ortalamasını bulun:

(7 + 11) : 2 = 9.

9 sayısı bu sayı serisinin medyanıdır.

Sırasız bir sayı dizisinde:

Rastgele bir sayı serisinin medyanı karşılık gelen sıralı serinin medyanı denir.

Örnek 1: Rasgele bir 5, 1, 3, 25, 19, 17, 21 sayı serisinin medyanını bulun.

Çözüm: Sayıları artan sıraya göre sıralıyoruz:

1, 3, 5, 17 , 19, 21, 25.

Ortada 17 sayısı var. Bu sayı serisinin ortancasıdır.

Örnek 2: Şunu ekleyelim: keyfi satır Serinin çift olması için bir sayı daha sayarız ve medyanı buluruz:

5, 1, 3, 25, 19, 17, 21, 19.

Çözüm: Tekrar sıralı bir seri oluşturuyoruz:

1, 3, 5, 17 , 19 , 19, 21, 25.

17 ve 19 sayıları ortadaydı. Ortalama değerlerini bulun:

(17 + 19) : 2 = 18.

18 sayısı bu sayı serisinin medyanıdır.

İlk seviye

İstatistik. Temel kavramlar ve tanımlar (2019)

Harika filmde Lyudmila Prokofievna Kalugina (veya kısaca “Mymra”) İş yerinde aşk macerası“Novoseltseva şunu öğretti: “İstatistik bir bilimdir, yaklaşıklığa tolerans göstermez.” Sıkı patron Kalugina'nın sıcak eline düşmemek için (ve aynı zamanda Birleşik Devlet Sınavı ve Devlet Sınavı'ndaki görevleri istatistik unsurlarıyla kolayca çözmek için), yararlı olabilecek bazı istatistik kavramlarını anlamaya çalışacağız. sadece içinde değil dikenli yol Birleşik Devlet Sınavı sınavını kazanmak, aynı zamanda basitçe Gündelik Yaşam.

Peki İstatistik nedir ve neden gereklidir? İstatistik kelimesi Latince “durum ve durum” anlamına gelen “status” kelimesinden gelmektedir. İstatistik kütlenin niceliksel yönünün incelenmesiyle ilgilenir sosyal fenomen ve sayısal biçimdeki süreçler, özel kalıpları tanımlar. Günümüzde istatistikler hemen hemen her alanda kullanılmaktadır. kamusal yaşam moda, yemek pişirme, bahçecilikten astronomi, ekonomi ve tıbba kadar uzanan bir yelpazede.

İstatistikle tanışırken öncelikle veri analizinde kullanılan temel istatistiksel özellikleri incelemek gerekir. Peki, bununla başlayalım!

İstatistiksel özellikler

Ana sayfaya istatistiksel özellikler veri örnekleri (bu nasıl bir “örnekleme”!? Paniğe kapılmayın, her şey kontrol altında, her şey kontrol altında) bilinmeyen kelime sırf gözdağı vermek için, aslında "örnek" kelimesi sadece üzerinde çalışacağınız veriler anlamına gelir) şunları içerir:

1. örnek boyut,
2. örnek aralığı,
3. ortalama,
4. moda,
5. medyan,
6. sıklık,
7. göreceli frekans.

Dur dur dur! Kaç tane yeni kelime! Her şeyi sırayla konuşalım.

Hacim ve Kapsam

Örneğin aşağıdaki tablo milli futbol takımı oyuncularının boylarını göstermektedir:

Bu seçim öğelerle temsil edilir. Yani örneklem büyüklüğü eşittir.

Sunulan örneğin aralığı cm'dir.

Ortalama

Çok temiz değil? Haydi bizimkine bakalım örnek.

Oyuncuların ortalama boyunu belirleyin.

Peki, başlayalım mı? Bunu zaten anladık; .

Her şeyi anında güvenli bir şekilde formülümüze koyabiliriz:

Yani bir milli takım oyuncusunun ortalama boyu cm'dir.

Veya bunun gibi örnek:

Bir hafta boyunca 9. sınıf öğrencilerine nasıl yapacaklarına karar vermeleri istendi. daha fazla örnek Sorun kitabından. Öğrencilerin haftalık çözdüğü örnek sayıları aşağıda verilmiştir:

Çözülen ortalama problem sayısını bulun.

Dolayısıyla tabloda öğrencilere ilişkin veriler sunulmaktadır. Böylece, . İlk önce miktarı bulalım ( Toplam) yirmi öğrenci tarafından çözülen tüm problemlerin sayısı:

Artık aşağıdakileri bilerek, çözülen problemlerin aritmetik ortalamasını güvenle hesaplamaya başlayabiliriz:

Böylece ortalama olarak 9. sınıf öğrencileri her problemi çözmüş oldu.

İşte pekiştirmek için başka bir örnek.

Örnek.

Piyasada domatesler satıcılar tarafından satılıyor ve kg başına fiyatlar şu şekilde dağıtılıyor (ruble cinsinden): . Piyasada bir kilogram domatesin ortalama fiyatı nedir?

Çözüm.

Peki, içinde ne var bu örnekte eşittir? Doğru: Yedi satıcı yedi fiyat sunuyor, bu da şu anlama geliyor! . Tüm bileşenleri sıraladık, artık ortalama fiyatı hesaplamaya başlayabiliriz:

Peki anladın mı? O zaman matematiği kendin yap ortalama aşağıdaki örneklerde:

Yanıtlar: .

Mod ve medyan

Milli futbol takımıyla olan örneğimize tekrar bakalım:

Bu örnekteki mod nedir? Bu örnekteki en yaygın sayı nedir? Doğru, bu bir sayıdır, çünkü iki oyuncunun boyu cm'dir; kalan oyuncuların büyümesi tekrarlanmıyor. Burada her şey açık ve anlaşılır olmalı, kelime de tanıdık gelmeli değil mi?

Hadi medyana geçelim, bunu geometri dersinizden bilmeniz gerekir. Ama bunu geometride hatırlatmak benim için zor değil medyan(Latince'den “orta” olarak çevrilmiştir) - üçgenin tepe noktasını orta ile birleştiren üçgenin içindeki bir bölüm ters taraf. Anahtar kelime ORTA. Bu tanımı biliyorsanız, istatistikte medyanın ne olduğunu hatırlamanız kolay olacaktır.

Peki, futbolcu örneğimize geri dönelim mi?

Medyan tanımında fark ettiniz mi? önemli nokta henüz burada tanışmadığımız? Tabii “bu seri sipariş edilirse”! İşleri yoluna koyalım mı? Sayı dizisinde sıralama olması için futbolcuların boy değerlerini hem azalan hem de artan düzende düzenleyebilirsiniz. Bu seriyi büyükten küçüğe (küçükten büyüğe) sıralamak benim için daha uygun. İşte elde ettiklerim:

Peki seriler sıralandı, medyanın belirlenmesinde başka hangi önemli nokta var? Doğru, örneklemde çift ve tek sayıda üye var. Çift ve tek miktarlar için tanımların bile farklı olduğunu fark ettiniz mi? Evet haklısın, fark etmemek elde değil. Ve eğer öyleyse, o zaman örneklemimizde çift sayıda oyuncu mu yoksa tek sayıda oyuncu mu olduğuna karar vermemiz gerekiyor. Bu doğru; tek sayıda oyuncu var! Artık örneğimize, örnekteki tek sayıda üye için medyanın daha az karmaşık bir tanımını uygulayabiliriz. Sıralı serimizde ortadaki sayıyı arıyoruz:

Elimizde sayılar var, yani kenarlarda beş sayı kaldı ve örneğimizde boy cm ortanca olacak. O kadar da zor değil, değil mi?

Şimdi hafta boyunca örnek çözen 9. sınıf çaresiz çocuklarımızla bir örneğe bakalım:

Bu seride mod ve medyan aramaya hazır mısınız?

Başlangıç ​​olarak bu sayı dizisini sıralayalım (en küçük sayıdan en büyüğe doğru sıralayın). Sonuç şöyle bir seri:

Artık bu örnekteki modayı güvenle belirleyebiliriz. Hangi sayı diğerlerinden daha sık görülür? Bu doğru! Böylece, moda bu örnekte eşittir.

Modu bulduk, artık medyanı bulmaya başlayabiliriz. Ama önce bana cevap verin: Söz konusu örneklem büyüklüğü nedir? Saydın mı? Doğru, örneklem büyüklüğü eşit. A'dır çift ​​sayı. Böylece, medyan tanımını, elemanları çift sayıda olan bir sayı dizisi için uyguluyoruz. Yani sıralı serimizde bulmamız gerekiyor ortalama ortada yazılı iki sayı. Ortadaki hangi iki sayı var? Bu doğru ve!

Böylece bu serinin medyanı şu şekilde olacaktır: ortalama sayılar ve:

- medyan ele alınan örnek.

Frekans ve bağıl frekans

Yani sıklık belirli bir değerin bir örnekte ne sıklıkta tekrarlanacağını belirler.

Futbolcularla olan örneğimize bakalım. Önümüzde bu sıralı seri var:

Sıklık herhangi bir parametre değerinin tekrar sayısıdır. Bizim durumumuzda şöyle değerlendirilebilir. Kaç oyuncu uzun boylu? Doğru, bir oyuncu. Dolayısıyla örneklemimizde boyu uzun olan bir oyuncuyla karşılaşma sıklığımız eşittir. Kaç oyuncu uzun boylu? Evet, yine bir oyuncu. Örneklemimizde boyu uzun olan bir oyuncuyla karşılaşma sıklığı eşittir. Bu soruları sorup cevaplayarak şöyle bir tablo oluşturabilirsiniz:

Her şey oldukça basit. Frekansların toplamının örnekteki öğe sayısına (örnek boyutu) eşit olması gerektiğini unutmayın. Yani örneğimizde:

Konusuna geçelim aşağıdaki karakteristik- göreceli frekans.

Futbolcularla ilgili örneğimize tekrar dönelim. Her bir değerin frekanslarını hesapladık; ayrıca serideki toplam veri miktarını da biliyoruz. Her büyüme değeri için bağıl sıklığı hesaplıyoruz ve şu tabloyu elde ediyoruz:

Şimdi 9. sınıf öğrencilerinin problem çözdüğü bir örnek için frekans ve göreceli frekans tablolarını kendiniz oluşturun.

Verilerin grafiksel gösterimi

Çoğu zaman, açıklık sağlamak amacıyla, veriler tablolar/grafikler biçiminde sunulur. Başlıcalarına bakalım:

1. grafik çubuğu,
2. yuvarlak diyagram,
3. grafik çubuğu,
4. çokgen

Sütun grafiği

Sütun grafikleri, verilerin zaman içindeki değişimlerinin dinamiklerini veya istatistiksel bir çalışma sonucunda elde edilen verilerin dağılımını göstermek istendiğinde kullanılır.

Örneğin, bir sınıftaki yazılı sınavın notlarına ilişkin aşağıdaki verilere sahibiz:

Böyle bir değerlendirme alan kişi sayısı elimizdeki kadardır sıklık. Bunu bilerek şöyle bir tablo yapabiliriz:

Artık aşağıdaki gibi bir göstergeye dayalı görsel çubuk grafikler oluşturabiliriz: sıklık(Açık yatay eksen yansıtılan tahminler dikey eksen Uygun notları alan öğrenci sayısını bir kenara bıraktık):

Veya bağıl frekansa dayalı olarak karşılık gelen bir çubuk grafik oluşturabiliriz:

Birleşik Devlet Sınavından B3 görev türüne bir örnek düşünelim.

Örnek.

Diyagram, 2011 yılı için dünya çapındaki ülkelerdeki petrol üretiminin dağılımını (ton cinsinden) göstermektedir. Ülkeler arasında petrol üretiminde ilk sırada yer aldı. Suudi Arabistan, yedinci sıra - Birleşik Birleşik Arap Emirlikleri. ABD hangi sırada yer aldı?

Cevap:üçüncü.

Yuvarlak diyagram

İncelenen numunenin parçaları arasındaki ilişkiyi görsel olarak tasvir etmek için, kullanılması uygundur. pasta grafikler.

Sınıftaki not dağılımının göreceli frekanslarını içeren tablomuzu kullanarak, daireyi göreceli frekanslarla orantılı sektörlere bölerek bir pasta grafik oluşturabiliriz.

Pasta grafiği, nüfusun yalnızca az sayıda kısmı için netliğini ve anlamlılığını korur. Bizim durumumuzda bu tür dört parça vardır (olası tahminlere göre), bu nedenle bu tür bir diyagramın kullanımı oldukça etkilidir.

Devlet Sınav Müfettişliği'nden görev 18 türünün bir örneğine bakalım.

Örnek.

Diyagram deniz tatili sırasında aile harcamalarının dağılımını göstermektedir. Ailenin en çok neye harcadığını belirleyin?

Cevap: konaklama.

Çokgen

İstatistiksel verilerde zaman içinde meydana gelen değişikliklerin dinamikleri genellikle bir çokgen kullanılarak gösterilmektedir. Bir çokgen oluşturmak için işaretleyin koordinat uçağı Apsisleri zaman içindeki anlar olan noktalar ve koordinatları karşılık gelen istatistiksel verilerdir. Bu noktaların ardı ardına segmentlerle birleştirilmesiyle çokgen adı verilen kesikli bir çizgi elde edilir.

Burada örneğin Moskova'daki ortalama aylık hava sıcaklıkları veriliyor.

Verilen verileri daha görsel hale getirelim - bir çokgen oluşturacağız.

Yatay eksen ayları, dikey eksen ise sıcaklığı gösterir. İlgili noktaları oluşturup birleştiriyoruz. İşte olanlar:

Katılıyorum, hemen netleşti!

İstatistiksel bir çalışma sonucunda elde edilen verilerin dağılımını görsel olarak tasvir etmek için çokgen de kullanılır.

Örneğimize dayanarak puanların dağılımını içeren oluşturulmuş çokgen:

Hadi düşünelim tipik görev Birleşik Devlet Sınavından B3.

Örnek.

Şekilde kalın noktalar, yılın ağustos ayından ağustos ayına kadar tüm iş günlerinde borsa kapanışındaki alüminyum fiyatını göstermektedir. Ayın tarihleri ​​yatay olarak gösterilir ve bir ton alüminyumun ABD doları cinsinden fiyatı dikey olarak gösterilir. Açıklık sağlamak için, şekildeki kalın noktalar bir çizgiyle birbirine bağlanmıştır. Şekilden, işlem kapanışında alüminyum fiyatının hangi tarihte söz konusu dönem için en düşük olduğunu belirleyin.

Cevap: .

grafik çubuğu

Aralık veri serileri bir histogram kullanılarak gösterilir. Histogram kapalı dikdörtgenlerden oluşan basamaklı bir şekildir. Her dikdörtgenin tabanı aralığın uzunluğuna, yüksekliği ise frekansa veya bağıl frekansa eşittir. Böylece, bir histogramda, normal bir çubuk grafiğin aksine, dikdörtgenin tabanları keyfi olarak seçilmez, aralığın uzunluğuna göre kesin olarak belirlenir.

Örneğin milli takıma çağrılan oyuncuların gelişimine ilişkin şu verilere sahibiz:

Yani bize verildi sıklık(karşılık gelen yüksekliğe sahip oyuncu sayısı). Göreli frekansı hesaplayarak tabloyu tamamlayabiliriz:

Artık histogramlar oluşturabiliriz. Öncelikle frekansa göre oluşturalım. İşte olanlar:

Ve şimdi, göreceli frekans verilerine dayanarak:

Örnek.

sergiye yenilikçi teknolojiler Firma temsilcileri geldi. Grafikte bu şirketlerin çalışan sayısına göre dağılımı gösterilmektedir. Yatay çizgi şirketteki çalışan sayısını, dikey çizgi ise çalışan şirket sayısını gösterir. verilen numaraçalışanlar.

Toplam çalışan sayısı birden fazla olan şirketlerin oranı yüzde kaçtır?

Cevap: .

Kısa özet

Örnek boyut- numunedeki elementlerin sayısı.

Örnek aralığı- maksimum ve arasındaki fark minimum değerlerörnek unsurlar.

Bir sayı dizisinin aritmetik ortalaması bu sayıların toplamının sayılarına (örneklem büyüklüğüne) bölünmesinin bölümüdür.

Sayı serisinin modu- belirli bir seride en sık bulunan sayı.

Medyantek sayıda terim içeren sıralı sayı dizileri- ortada olacak sayı.

Çift sayıda terim içeren sıralı bir sayı serisinin medyanı- Ortada yazılı iki sayının aritmetik ortalaması.

Sıklık- numunedeki belirli bir parametre değerinin tekrarlanma sayısı.

Bağıl frekans

Açıklık sağlamak amacıyla, verileri uygun çizelgeler/grafikler biçiminde sunmak uygundur.

• İSTATİSTİĞİN UNSURLARI. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA.

İstatistiksel örnekleme - araştırma için toplam nesne sayısından seçilen belirli sayıda nesne.

Örnek büyüklüğü, örnekte yer alan öğelerin sayısıdır.

Örnek aralığı, örnek elemanların maksimum ve minimum değerleri arasındaki farktır.

Veya örnek aralığı

Ortalama Bir sayı dizisinin değeri, bu sayıların toplamının sayılarına bölünmesinin bölümüdür

Bir sayı dizisinin modu, belirli bir dizide en sık görülen sayıdır.

Terim sayısı çift olan bir sayı dizisinin medyanı, bu seri sıralı ise, ortada yazılı olan iki sayının aritmetik ortalamasıdır.

Frekans, tekrar sayısını, bir olayın belirli bir süre içinde kaç kez meydana geldiğini ve kendini gösterdiğini temsil eder. belirli mülk nesne veya gözlemlenen parametre bu değere ulaştı.

Göreceli frekans frekansın serideki toplam veri sayısına oranıdır.

Amaçlar: Bir dizi sayının aritmetik ortalamasını ve medyanını, aralığını ve modunu bulmak için kavramlar, algoritmalar vermek, bu konunun pratik insan aktivitesinde önemini göstermek; bu görevleri yerine getirmek için pratik beceriler kazanmak; Yeni standartların gerektirdiği matematik eğitimi düzeyinin arttırılması.

• öğrencileri “Olayların olasılığının belirlenmesi, bir dizi sayının aritmetik ortalaması ve medyanı” konusunda bir bilgi sistemi ile donatmak;
• değişen karmaşıklıktaki çeşitli problemleri çözerken bu bilgiyi uygulama becerilerini geliştirmek;
• öğrencileri Devlet Sınav Testini geçmeye hazırlamak;
• bağımsız çalışma becerilerini geliştirmek.

Dersler sırasında

1. Teorik kısım.

1). Olayların olasılığını bulma.

Günlük yaşamda, pratik ve bilimsel faaliyetlerde sıklıkla belirli olaylar gözlemlenir ve belirli deneyler yapılır.

Gözlem veya deney sürecinde kişi bazı şeylerle karşılaşır. rastgele olaylar yani gerçekleşebilecek veya olmayabilecek bu tür olaylar. Örneğin, yazı tura atarken tura veya yazı gelmek, bir hedefi vurmak veya bir şutu kaçırmak, bir rakiple karşılaşmada bir spor takımını kazanmak, kaybetmek veya berabere kalmak - bunların hepsi rastgele olaylardır.

Desenler rastgele olaylar matematiğin özel bir dalını inceliyor olasılık teorisi. Olasılık teorisi yöntemleri birçok bilgi alanında kullanılmaktadır.

Olasılık teorisinin kökeni şu soruya bir cevap arayışında ortaya çıktı: Aynı koşullar altında rastgele sonuçlarla meydana gelen geniş bir test dizisinde şu veya bu olay ne sıklıkla meydana geliyor?

Bizi ilgilendiren bir olayın olasılığını değerlendirmek için çok sayıda deney veya gözlem yapmak gerekir ve ancak bundan sonra bu olayın olasılığı belirlenebilir.

Örneğin zar atmak. Bir zar atıldığında zarın üst yüzünde 1'den 6'ya kadar her sayının çıkma şansı aynıdır. 6 tane var diyorlar eşit derecede olası sonuçlar zar atma deneyimi: 1,2,3,4,5 ve 6 puan atın.

Bu deneydeki sonuçların, eğer bu sonuçların şansı eşitse, eşit derecede mümkün olduğu kabul edilir.

Bir olayın meydana geldiği sonuçlara, o olay için olumlu sonuçlar denir.

Tanım: A olayının olumlu sonuçlarının N (A) sayısının, bu olayın eşit derecede olası tüm sonuçlarının N sayısına oranına A olayının olasılığı denir.

Bir olayın olasılığını bulma şeması.

Belirli bir test sırasında rastgele bir A olayının olasılığını bulmak için şunları yapmalısınız:

• Belirli bir testin tüm eşit olası sonuçlarının N sayısını bulun;
• A olayının gerçekleştiği olumlu deneme sonuçlarının N(A) sayısını bulun;
• N(A)/N oranını bulun; bu A olayının olasılığıdır

Örneğin: 1 . Bir kutuda 10 kırmızı, 7 sarı ve 3 mavi top bulunmaktadır. Rastgele alınan bir topun sarı olma olasılığı nedir?

Çözüm. Eşit derecede olası sonuçlar - (10+7+3)=20

Olumlu sonuçlar-7

2. Kutuda 5 adet siyah top bulunmaktadır. Kutudan rastgele siyah bir top çekilme ihtimalinin 0,15'ten fazla olmaması için bu kutuya en az kaç beyaz top konulmalıdır?

Çözüm: X beyaz toplar olsun.

2) Bir sayı dizisinin aritmetik ortalamasını ve medyanını belirleme ve bulma.

Tanım: Birkaç sayının aritmetik ortalaması, bu sayıların toplamının sayılarına oranına eşit bir sayıdır.

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 sayılarından oluşan bir kümenin aritmetik ortalaması genellikle x olarak gösterilir.

Örneğin beş sayının aritmetik ortalaması şu şekilde yazılacaktır:

X = (x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5)/5

Örnek: Öğrencinin son dönemde aldığı matematik notunun ortalamasını bulun: 3,4,4,5,3,2,4,3.

Çözüm: (3+4+4+5+3+2+4+3)/8=3,5

Tanım: Medyan, bir sayı kümesini eşit sayıların iki parçasına bölen bir sayıdır, böylece bu sayının bir tarafında tüm değerler medyandan daha büyük, diğer tarafında daha küçüktür. "Ortanca" yerine "orta" diyebilirsiniz.

Bir dizi sayının medyanını bulma şeması:

Bir sayı kümesinin medyanını bulmak için:

• bir sayı kümesi düzenleyin (artan sırada yazın);
• bir veya iki sayı kalana kadar belirli bir sayı kümesinin "en büyük" ve "en küçük" sayılarının aynı anda üzerini çizin;
• bir sayı kalırsa, o zaman medyandır (tek sayılar kümesi için);
• eğer iki sayı kaldıysa, medyan kalan iki sayının aritmetik ortalaması olacaktır (çift sayılar kümesi için).

Medyan genellikle M harfiyle gösterilir.

Örnek: bir sayı kümesinin medyanını bulun: 9,3,1,5,7.

Çözüm: sayıları artan sırada yazın: 1,3,5,7,9.

1 ve 9, 3 ve 7'nin üzerini çizin. Geriye kalan 5 sayısı ortancadır. M=5

Örnek: 2,3,3,5,7,10 sayılarından oluşan bir kümenin medyanını bulun.

Çözüm: 2 ve 10, 3 ve 7'nin üzerini çizin. M'yi bulmak için ihtiyacınız olan: (3+5)/2= 4. M=4

Kapsam ve modun belirlenmesi ve bulunması.

Tanım: Bir sayı dizisinin aralığı, bu sayıların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki farktır.

Bir serideki verilerin yayılmasının ne kadar büyük olduğunu belirlemek istendiğinde bir serinin aralığı bulunur.

Tanım: Bir sayı dizisinin modu, belirli bir dizide diğerlerinden daha sık görülen sayıdır.

Bir sayı dizisinin birden fazla modu olabilir veya hiç modu olmayabilir.

Örnek: Bir beden eğitimi dersinde 14 okul çocuğu yüksek atlama yapıyordu ve öğretmen onların sonuçlarını kaydediyordu. Sonuç olarak aşağıdaki veri dizisi oluştu (cm cinsinden):

125, 110, 130, 125, 120, 130, 140, 125, 110, 130, 120, 125, 120, 125.

Medyanı, aralığı ve ölçüm modunu bulun.

Çözüm: Tüm ölçüm seçeneklerini, aynı sonuçların gruplarını boşluklarla ayırarak artan sırada yazın:

110, 110, 120, 120, 120, 125, 125, 125, 125, 125, 130, 130, 130, 140.

Ölçüm aralığı 140-110=30'dur.

125-bir araya geldi en büyük sayı kez, yani 5 kez; bir ölçüm modudur.

2. Pratik kısım.

1). Şunun için görevler: bağımsız karar Olasılık teorisi üzerine.

1. Her 100 ampulden ortalama 4 tanesi arızalıdır. Rastgele alınan bir ampulün çalışma olasılığı nedir? Cevap: 0,96.

2. Ortalama olarak 400 CD başına 8 hatalı CD vardır. Rastgele alınan bir CD'nin iyi olma olasılığı nedir? Cevap: 0,98.

3. 50 üzerinden 17 puan renklidir Mavi renk ve geri kalan noktalardan 13'ü turuncu renktedir. Rastgele seçilen bir noktanın renklenme olasılığı nedir? Cevap: 0.6.

4. “Matematik” sözcüğünden rastgele bir harf seçiliyor. Seçilen harfin bu kelimede yalnızca bir kez geçme olasılığı nedir? Cevap: 0.3.

5. “Sertifika” sözcüğünden rastgele bir harf seçilir. Seçilen harfin "a" harfi olma olasılığı nedir? Cevap: 0,2

6. 30 dokuzuncu sınıf öğrencisinden 4'ü fizik, 12'si sosyal bilgiler, 8'i yabancı dil ve geri kalanı da edebiyat sınavını seçti. Seçilen öğrencinin edebiyat sınavına girme olasılığı nedir? Cevap: 0.2.

7. Ölçek matematikte 15 problemden oluşur: 4 problem geometride, 2 problem olasılık teorisinde, geri kalanı cebirde. Öğrenci bir problemde hata yaptı. Bir öğrencinin bir cebir probleminde hata yapma olasılığı nedir? Cevap: 0,6.

8. 2007-2009'da üretilen 1000 arabadan 150'sinin fren sistemi arızalıdır. Arızalı bir araba satın alma olasılığı nedir? Cevap: 0,15.

9. Ritmik jimnastik yarışmasına Rusya'dan 3 jimnastikçi, Ukrayna'dan 3 jimnastikçi ve Belarus'tan 4 jimnastikçi katılacaktır. Performans sırası kura ile belirlenecektir. Rusya'dan bir jimnastikçinin birinci olma olasılığını bulun. Cevap 0.3

10. Ritmik jimnastik şampiyonasında 18 jimnastikçi yarışıyor; bunların arasında 3'ü Rusya'dan, 2'si Çin'den jimnastikçi var. Performans sırası kura çekilerek belirlenir. Rusya'dan ya da Çin'den bir jimnastikçinin sonuncu yarışmaya katılma olasılığını bulunuz? Cevap: 5/18.

11. 12 erkek ve 8 kızdan oluşan bir sınıftan 1 görevli kura ile seçilir. Erkek olma ihtimali nedir? Cevap: 0,6.

12. 2 madeni para aynı anda atılıyor. 2 tura gelme olasılığı nedir? Cevap 0,25'tir.

2)Bir sayı kümesinin aritmetik ortalamasını, ortancasını, aralığını ve modunu bulma problemleri.

Frezeleme ekipleri bir parçayı işlemek için harcadı farklı zaman(min. olarak), bir veri serisi olarak sunulur: 40; 37; 35; 36; 32; 42; 32; 38; 32. Bu kümenin medyanı aritmetik ortalamadan ne kadar farklıdır? Cevap: 0.

Bahçeye yüksekliği santimetre cinsinden 168, 13, 156, 165, 144 olan 5 adet elma ağacı fidanı dikildi. Bu sayı grubunun aritmetik ortalaması ortancasından ne kadar farklı? Cevap: 3, 8

Bahçede yetişen 6 adet armut ağacı hasat vermiş olup, bu ağaçların her birinin kütlesi (kg olarak) şu şekildedir: 29, 35, 26, 28, 32, 36. Bu sayı kümesinin aritmetik ortalaması ne kadardır? sayılar medyandan farklı mı? Cevap: 0,5

Kasiyerin birkaç mağaza müşterisinin her birine hizmet verdiği süre aşağıdaki veri dizisini oluşturdu: 2 dakika. 42 saniye, 3 dk. 2 saniye, 3 dakika 7 saniye, 2 dk. 54 saniye, 2 dk. 48 saniye Bu veri serisinin ortalamasını ve medyanını bulun. Cevap: 2 dk. 55 saniye, 2 dk. 54 saniye

Taksi hizmetine gelen yedi çağrı arasındaki süre şu veri serisini oluşturdu: 34 saniye, 45 saniye, 1 dakika. 16 sn., 38 sn., 43 sn., 52 sn. Bu veri serisinin ortalamasını ve medyanını bulun. Cevap: 48 saniye, 44 saniye.

Edebiyat : Mordkovich, A.G., I. M. Smirnova. için öğretici Eğitim Kurumları(temel düzey) - M.: Mnemosyne, 2009. - 164 s.