Fourier integrali olarak temsil edin. Fourier integrali

FOURIER INTEGRAL

Süreklilik analogu Fourier serisi. Sonlu bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyon için gerçek eksen, önemli Fourier serisi temsiline sahiptir. f(x) fonksiyonu için . tüm eksende verildiğinde, f'nin Fourier açılımı da benzer bir rol oynar:

Nerede

Genişletme (1), yazılı integrallerin varlığını sağlayan varsayımlar altında biçimsel olarak oluşturulabilir. Örneğin düzgün sonlu bir f(x) fonksiyonu için doğrudur . Mevcut harika işaretler, eşitliğin (1) şu ya da bu şekilde sağlanması. (2)'nin (1)'e değiştirilmesi sözde olanı verir. integral formülü Fourier

kesimin gerekçesi bahsedilen özelliklere yol açmaktadır. Bu durumda f(x)'i basit bir Fourier integraliyle temsil etmek büyük fayda sağlar.

dış integrali (0, N) aralığı üzerinden yazıp integralleri değiştirirsek (3)'ten elde edilir. İÇİNDE uygulamalı Bilimler temsil (1) genellikle harmonik bir genişleme olarak yorumlanır: eğer

o zaman (1) şu formu alır:

ve dolayısıyla f, frekansları sürekli olarak gerçek yarı ekseni ve D genliğini dolduran harmoniklerin bir üst üste binmesi olarak temsil edilir ve başlangıç aşaması bağlıdır
Çoğu durumda (özellikle karmaşık değerli fonksiyonlar f için), genişletmenin (1) üstel biçimde temsil edilmesi daha uygundur:

Nerede

Fonksiyon çağrılır Fourier dönüşümü işlevler F(uygulamalı bilimlerde İLE(ben) isminde F(x)'in toplanabilir olması şartıyla: fonksiyon sınırlıdır, eksen üzerinde ve

Fonksiyon toplanamaz ve integral (4) mevcut olmayabilir. Ancak eşitlik (4), integrallerin toplamı yöntemlerini kullanırsak makul bir yoruma izin verir [bu durumda sadece noktasal yakınsaklığı değil, aynı zamanda ortalama yakınsamayı da dikkate alabiliriz]. Örneğin, kesik f ve'nin aritmetik ortalamaları. Toplanabilir fonksiyon f(x), f(x)'e yakınsar ve ortalama olarak f(x) fonksiyonu üzerinde ek kısıtlamaların olması durumunda, daha spesifik ifadeler elde edilir. Örneğin, yakın çevrede sınırlı bir varyasyona sahipseniz X,

sağdaki integralin temel değer (6) anlamında anlaşıldığı, her sonlu aralıkta parçalı düzgün olan mutlak integrallenebilir bir f(x) fonksiyonu için doğrudur. F. ve. ayrıca f fonksiyonunun yerel toplanabilirliği varsayımı altında ve örneğin Let'te f'nin davranışına kısıtlamalar getiren belirli gereksinimler altında incelenir, o zaman

Limitin düzen anlamında yakınsama anlamında anlaşıldığı yer [ancak (7)'deki limit aynı zamanda hemen hemen her yerde yakınsaklık anlamında da mevcuttur]. Basit biçim bu sonucu p = 2'de elde eder (bkz. Plancherel teoremi).
Benzer şekilde, birden fazla işlev şu durumlarda oluşturulur: Hakkında konuşuyoruz tanımlanan fonksiyonun genişletilmesi hakkında n boyutlu uzay. F. kavramı ve. aynı zamanda genel işlevler için de geçerlidir.

Aydınlatılmış.: Titchmarsh E., Fourier integralleri teorisine giriş, çev. English, M.-L., 1948; Bochner S., Fourier integralleri üzerine dersler, çev. İngilizce'den, M., 1962; 3igmund A., Trigonometrik seriler, çev. İngilizceden, cilt 2, M., 1965.
P. I. Lizorkin.

Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

"FOURIER INTEGRAL" in diğer sözlüklerde ne olduğuna bakın:

Fourier integrali, Fourier integrali (ancak: Fourier integrali) ... Yazım sözlüğü-referans kitabı

- (Fourier integrali) tüm x ekseni üzerinde veya yarı eksenlerde belirtilen f(x) fonksiyonunun, fl'nin tüm yarı ekseni l'yi dolduran frekanslarla harmoniklerin üst üste bindirilmesine ayrıştırılması; -periyodik. uyumlu çalışır frekansları sürekli bir değerler dizisi oluşturan bileşenler... Büyük Ansiklopedik Politeknik Sözlüğü

Sorun çözme yöntemi matematiksel fizik değişkenlerin ayrılmasına dayalıdır. J. Fourier tarafından ısı iletimi teorisindeki problemlerin çözümü için önerilmiş ve 1828'de M. V. Ostrogradsky (Bkz. Ostrogradsky) tarafından tam genel olarak formüle edilmiştir. Çözüm... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

İntegral dönüşümlerden biri, doğrusal operatör Elemanları gerçek değişkenlerin f(x) fonksiyonları olan, uzayda etki eden F. F tanımının minimum tanım kümesi, sonsuz şekilde türevlenebilen bir dizi olarak kabul edilir... ... Matematik Ansiklopedisi

Bessel fonksiyonları için Fourier integralinin bir analoğu olan ve Formül (*) formundaki Hankel integrali, (0, l) aralığı için Fourier Bessel serisinden G. Hankel'deki (N. Hankel) limite geçerek elde edilebilir. , 1875) şu teoremi oluşturdu: eğer f(x) fonksiyonu parçalı ise... ... Matematik Ansiklopedisi

Riemann integralinin bir genellemesi olan Kurzweil Henstock integrali, türevinden türevlenebilir bir fonksiyonu yeniden oluşturma problemini tamamen çözmenize olanak tanır. Ne Riemann integrali (uygunsuz olan dahil) ne de Lebesgue integrali... ... Vikipedi

Fourier integrali- - [L.G. Bilgi teknolojisi üzerine İngilizce-Rusça sözlük. M.: Devlet Teşebbüsü TsNIIS, 2003.] Konular Bilişim teknolojisi genel olarak TR Fourier integrali… Teknik Çevirmen Kılavuzu

N gerçek değişkenli fonksiyonlar uzayında etkili olan integral dönüşümü: Rn uzayının tamamında toplanabilen Φ L1(Rn) fonksiyonları için, integral (*) belirli bir fonksiyonu doğru şekilde belirler F (x) = y(x) Fonksiyonun Fourier görüntüsü J. Tersi... ... Fiziksel ansiklopedi

Kitabın

Eğlenceli matematik. Fourier analizi. Manga, Şibuya Mikio. Rika, Fumika ve Erina adlı kızlar bir rock grubu kurmuşlardır ve festivalde sahne almak isterler ancak vokalist bulamazlar. Bir de Fumika'nın sorun yaşadığı matematik testi var. Zeki kız...

Bunlar zaten oldukça sıkıcı. Ve teorinin stratejik rezervlerinden yeni konserve ürünleri çıkarma zamanının geldiğini hissediyorum. Fonksiyonu başka bir şekilde bir seriye genişletmek mümkün müdür? Örneğin, bir düz çizgi parçasını sinüs ve kosinüs cinsinden ifade edebilir misiniz? İnanılmaz görünüyor, ancak bu kadar uzak görünen işlevler
"yeniden birleşme". Teorik ve pratikteki bilinen derecelere ek olarak, bir fonksiyonu bir seriye genişletmeye yönelik başka yaklaşımlar da vardır.

Açık bu ders buluşacağız trigonometrik seri Fourier'de yakınsaklık ve toplam konusuna değineceğiz ve elbette Fourier serisindeki fonksiyonların açılımının sayısız örneğini analiz edeceğiz. Makaleyi içtenlikle “Aptallar için Fourier Serisi” olarak adlandırmak istedim, ancak bu samimiyetsiz olurdu çünkü problemleri çözmek, diğer matematiksel analiz dalları hakkında bilgi ve biraz pratik deneyim gerektirecektir. Dolayısıyla giriş kısmı astronot eğitimine benzeyecek =)

Öncelikle sayfa materyallerinin incelenmesine mükemmel biçimde yaklaşmalısınız. Uykulu, dinlenmiş ve ayık. Olmadan güçlü duygular kırık bir hamsterin pençesi hakkında ve takıntılı düşünceler hayatın zorlukları hakkında akvaryum balıkları. Ancak Fourier serisini anlamak zor değil pratik görevler sadece ihtiyaç duyuyorlar artan konsantrasyon dikkat - ideal olarak kendinizi dış uyaranlardan tamamen ayırmalısınız. Çözümü kontrol etmenin ve cevaplamanın kolay bir yolu olmadığı için durum daha da kötüleşiyor. Bu nedenle sağlığınız ortalamanın altındaysa daha basit bir şey yapmak daha iyidir. Bu doğru mu.

İkincisi, uzaya uçmadan önce gösterge panelini incelemeniz gerekiyor uzay gemisi. Makinede tıklanması gereken fonksiyonların değerleriyle başlayalım:

Herhangi doğal değer :

1). Aslında sinüzoid, x eksenini her bir "pi" boyunca "diker":
. Ne zaman negatif değerler argümanı, sonuç elbette aynı olacaktır: .

2). Ancak bunu herkes bilmiyordu. Kosinüs "pi" bir "yanıp sönen" değere eşdeğerdir:

Olumsuz bir argüman meseleyi değiştirmez: .

Belki bu yeterlidir.

Ve üçüncü olarak, sevgili kozmonot birlikleri, şunları yapabilmelisiniz... birleştirmek.
Özellikle güvenle fonksiyonu diferansiyel işareti altına alın, parça parça entegre etmek ve barış içinde ol Newton-Leibniz formülü. Önemli uçuş öncesi egzersizlere başlayalım. Daha sonra ağırlıksızlıkta ezilmemek için kategorik olarak atlamanızı önermiyorum:

örnek 1

Belirli integralleri hesaplayın

doğal değerleri nereden alır?

Çözüm: “x” değişkeni üzerinden entegrasyon yapılır ve bu aşamada ayrık değişken “en” sabit kabul edilir. Tüm integrallerde fonksiyonu diferansiyel işaretinin altına koyun:

Hedeflenmesi iyi olacak çözümün kısa versiyonu şöyle görünür:

Hadi alışalım:

Geriye kalan dört puan size aittir. Göreve dikkatli yaklaşmaya çalışın ve integralleri kısa bir şekilde yazın. Dersin sonunda örnek çözümler.

KALİTE egzersizlerini yaptıktan sonra uzay kıyafetlerini giyiyoruz
ve başlamaya hazırlanıyoruz!

Bir fonksiyonun aralıkta Fourier serisine genişletilmesi

Bazı fonksiyonları düşünelim azimli en azından bir süreliğine (ve muhtemelen daha uzun bir süre için). Eğer bu fonksiyon aralıkta integrallenebilirse trigonometrik fonksiyona genişletilebilir. Fourier serisi:
, sözde olanlar nerede Fourier katsayıları.

Bu durumda numara aranır ayrışma dönemi ve sayı ayrışmanın yarı ömrü.

Açıkça görülüyor ki Genel dava Fourier serisi sinüs ve kosinüslerden oluşur:

Aslında detaylı olarak yazalım:

Serinin sıfır terimi genellikle şeklinde yazılır.

Fourier katsayıları kullanılarak hesaplanır aşağıdaki formüller:

Konuyu incelemeye başlayanlar için yeni terimlerin hala belirsiz olduğunu çok iyi anlıyorum: ayrışma dönemi, yarım döngü, Fourier katsayıları vs. Panik yapmayın, dışarı çıkmadan önceki heyecanla kıyaslanamaz bu boş alan. Bazı hayati soruları sormanın mantıklı olduğu, uygulamadan önce aşağıdaki örnekte her şeyi çözelim: pratik konular:

Aşağıdaki görevlerde ne yapmanız gerekiyor?

Fonksiyonu Fourier serisine genişletin. Ek olarak, bir fonksiyonun grafiğini, bir serinin toplamının grafiğini, kısmi miktar ve sofistike profesörlük fantezileri söz konusu olduğunda başka bir şey yapın.

Bir fonksiyon Fourier serisine nasıl genişletilir?

Esasen, bulmanız gerekiyor Fourier katsayıları yani üç tane oluştur ve hesapla kesin integral.

Lütfen Fourier serisinin genel formunu ve üç çalışma formülünü not defterinize kopyalayın. Bazı site ziyaretçilerinin çocukluk hayalleri olan astronot olma hayalini gözlerimin önünde gerçekleştirmelerine çok sevindim =)

Örnek 2

Fonksiyonu aralıktaki Fourier serisine genişletin. Bir serinin toplamı ve kısmi toplamın grafiğini oluşturun.

Çözüm: Görevin ilk kısmı fonksiyonu Fourier serisine genişletmektir.

Başlangıç standarttır, şunu yazdığınızdan emin olun:

Bu problemde genişleme periyodu yarım periyottur.

Fonksiyonu aralıkta bir Fourier serisine genişletelim:

Kullanma karşılık gelen formüller, bulalım Fourier katsayıları. Şimdi üçünü oluşturup hesaplamamız gerekiyor kesin integral. Kolaylık sağlamak için noktaları numaralandıracağım:

1) İlk integral en basitidir ancak aynı zamanda gözbebeklerini de gerektirir:

2) İkinci formülü kullanın:

Bu integral iyi bilinmektedir ve onu parça parça alıyor:

Bulunduğunda kullanılır bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına alma yöntemi.

Söz konusu görevde hemen kullanmak daha uygundur Belirli bir integralde parçalara göre entegrasyon formülü :

Birkaç teknik not. Formülü uyguladıktan sonra öncelikle ifadenin tamamı büyük parantez içine alınmalıdırÇünkü orijinal integralden önce bir sabit vardır. Onu kaybetmeyelim! Parantezler herhangi bir aşamada genişletilebilir; bunu son çare olarak yaptım. İlk "parça"da Yer değiştirmede çok dikkatli davranıyoruz, gördüğünüz gibi sabit kullanılmıyor, integralin sınırları çarpıma aktarılıyor. Bu hareket köşeli parantez içinde vurgulanmıştır. Formülün ikinci “parçasının” integralini eğitim görevinden biliyorsunuz;-)

Ve en önemlisi - maksimum konsantrasyon!

3) Üçüncü Fourier katsayısını arıyoruz:

Önceki integralin bir akrabası elde edilir; bu aynı zamanda parça parça bütünleşir:

Bu örnek biraz daha karmaşık, sonraki adımlar hakkında adım adım yorum yapacağım:

(1) İfade tamamen büyük parantez içine alınmıştır. Sıkıcı görünmek istemedim, sabitleri çok sık kaybediyorlar.

(2)V bu durumda Hemen o büyük parantezleri açtım. Özel dikkat Kendimizi ilk "parçaya" adadık: sürekli kenarda sigara içiyor ve ürüne entegrasyon sınırlarının ( ve ) değiştirilmesine katılmıyor. Kaydın karmaşıklığı nedeniyle, bu eylemin köşeli parantezlerle vurgulanması bir kez daha tavsiye edilir. İkinci "parça" ile her şey daha basit: burada kesir büyük parantezlerin açılmasından sonra ortaya çıktı ve sabit - tanıdık integralin entegrasyonunun bir sonucu olarak ;-)

(3) Köşeli parantezlerde dönüşümler gerçekleştiriyoruz ve sağ integralde entegrasyon sınırlarının yerine koyuyoruz.

(4) "Yanıp sönen ışığı" çıkarın köşeli parantez: , ardından iç parantezleri açıyoruz: .

(5) Parantez içindeki 1 ve –1’i iptal edip son sadeleştirmeleri yapıyoruz.

Son olarak, üç Fourier katsayısının tümü bulunur:

Bunları formülde yerine koyalım :

Aynı zamanda ikiye bölmeyi de unutmayın. Son adımda “en”e bağlı olmayan sabit (“eksi iki”) toplamın dışına alınır.

Böylece fonksiyonun aralıkta Fourier serisine genişletilmesini elde ettik:

Fourier serisinin yakınsaklığı konusunu inceleyelim. Teoriyi özellikle açıklayacağım Dirichlet teoremi, kelimenin tam anlamıyla "parmaklarda", bu nedenle katı formülasyonlara ihtiyacınız varsa, lütfen ders kitabına bakın. matematiksel analiz (örneğin Bohan'ın 2. cildi ya da Fichtenholtz'un 3. cildi ama daha zordur).

Problemin ikinci kısmı bir grafik, bir seri toplamı grafiği ve kısmi toplam grafiği çizmeyi gerektirir.

Fonksiyonun grafiği olağandır uçakta düz çizgi, siyah noktalı bir çizgiyle çizilmiştir:

Serinin toplamını bulalım. Bildiğiniz gibi, fonksiyonel seri işlevlere yakınlaşır. Bizim durumumuzda oluşturulan Fourier serisi herhangi bir "x" değeri için kırmızıyla gösterilen fonksiyona yakınlaşacaktır. Bu işlev dayanır 1. tür yırtılmalar noktalarda, ancak aynı zamanda bu noktalarda da tanımlanmıştır (çizimde kırmızı noktalar)

Böylece: . Orijinal işlevden gözle görülür derecede farklı olduğunu görmek kolaydır, bu nedenle girişte Eşittir işareti yerine yaklaşık işareti kullanılır.

Bir serinin toplamını oluşturmaya uygun bir algoritmayı inceleyelim.

Merkezi aralıkta, Fourier serisi fonksiyonun kendisine yakınsar (merkezdeki kırmızı bölüm, doğrusal fonksiyonun siyah noktalı çizgisiyle çakışır).

Şimdi ele alınan trigonometrik genişlemenin doğasından biraz bahsedelim. Fourier serisi yalnızca periyodik fonksiyonlar (sabit, sinüsler ve kosinüsler) dahil edilmiştir, dolayısıyla serinin toplamı aynı zamanda temsil eder periyodik fonksiyon .

Bu bizim açımızdan ne anlama geliyor? spesifik örnek? Bu da serinin toplamı anlamına geliyor –kesinlikle periyodik ve aralığın kırmızı kısmı solda ve sağda sonsuza kadar tekrarlanmalıdır.

Sanırım artık “çözünme dönemi” deyiminin anlamı netleşti. Basitçe söylemek gerekirse, durum her seferinde tekrar tekrar tekrarlanır.

Uygulamada genellikle çizimde yapıldığı gibi üç ayrışma periyodunu tasvir etmek yeterlidir. Ayrıca komşu dönemlerin "kütükleri" - böylece grafiğin devam ettiği açıktır.

Özel ilgi Sunmak 1. tür süreksizlik noktaları. Bu gibi noktalarda Fourier serisi, süreksizliğin "sıçramasının" tam ortasında bulunan (çizimdeki kırmızı noktalar) izole edilmiş değerlere yakınsar. Bu noktaların ordinatını nasıl öğrenebilirim? Öncelikle “en üst katın” koordinatını bulalım: bunun için en sağdaki fonksiyonun değerini hesaplıyoruz. merkezi dönem ayrışma: . “Alt katın” koordinatını hesaplamanın en kolay yolu aynı periyodun en soldaki değerini almaktır: . Ortalamanın ordinatı ortalamadır aritmetik toplam"üst ve alt": . Hoş bir gerçek şu ki, bir çizim oluştururken ortanın doğru mu yoksa yanlış mı hesaplandığını hemen göreceksiniz.

Serinin kısmi bir toplamını oluşturalım ve aynı zamanda "yakınsaklık" teriminin anlamını tekrarlayalım. Sebep aynı zamanda dersten de bilinmektedir. bir sayı serisinin toplamı. Zenginliğimizi ayrıntılı olarak anlatalım:

Kısmi bir toplam oluşturmak için serinin sıfır + iki terimini daha yazmanız gerekir. Yani,

Çizimde fonksiyonun grafiği gösterilmektedir yeşil ve görebileceğiniz gibi, miktarın tamamını oldukça sıkı bir şekilde "sarıyor". Serinin beş teriminin kısmi toplamını düşünürsek, bu fonksiyonun grafiği kırmızı çizgilere daha da yakın bir şekilde yaklaşacaktır; eğer yüz terim varsa, o zaman "yeşil yılan" aslında kırmızı bölümlerle tamamen birleşecektir, vesaire. Böylece Fourier serisi toplamına yakınsar.

Herhangi bir kısmi tutarın olduğunu belirtmek ilginçtir. sürekli fonksiyon ancak serinin toplam toplamı hala süreksizdir.

Pratikte kısmi toplam grafiği oluşturmak o kadar da nadir değildir. Nasıl yapılır? Bizim durumumuzda segment üzerindeki fonksiyonu dikkate almak, segmentin uçlarındaki ve ara noktalardaki değerlerini hesaplamak gerekir (ne kadar çok noktayı dikkate alırsanız grafik o kadar doğru olur). Daha sonra çizim üzerinde bu noktaları işaretlemeli ve periyot üzerinde dikkatlice bir grafik çizmeli ve ardından onu bitişik aralıklara "çoğaltmalısınız". Başka nasıl? Sonuçta, yaklaşıklık aynı zamanda periyodik bir fonksiyondur... ...bazı açılardan grafiği bana tıbbi bir cihazın ekranındaki eşit kalp ritmini hatırlatıyor.

İnşaatı yapmak elbette pek uygun değil, çünkü son derece dikkatli olmanız ve yarım milimetreden az olmayan bir doğruluğu korumanız gerekiyor. Ancak çizim konusunda rahat olmayan okuyucuları memnun edeceğim - "gerçek" bir problemde çizim yapmak her zaman gerekli değildir; vakaların yaklaşık% 50'sinde fonksiyonun Fourier serisine genişletilmesi gerekir ve hepsi bu. .

Çizimi tamamladıktan sonra görevi tamamlıyoruz:

Cevap:

Birçok görevde işlev zarar görür 1. tür yırtılma tam ayrışma döneminde:

Örnek 3

Aralıkta verilen fonksiyonu Fourier serisine genişletin. Fonksiyonun ve serinin toplam toplamının grafiğini çizin.

Önerilen fonksiyon parçalı olarak belirtilmiştir (ve yalnızca segmentte olduğunu unutmayın) ve dayanır 1. tür yırtılma noktada . Fourier katsayılarını hesaplamak mümkün mü? Sorun değil. Fonksiyonun hem sol hem de sağ tarafları kendi aralıklarında integrallenebilir olduğundan, üç formülün her birindeki integraller iki integralin toplamı olarak temsil edilmelidir. Örneğin sıfır katsayı için bunun nasıl yapıldığını görelim:

İkinci integral şu şekilde ortaya çıktı: sıfıra eşit bu da işi azalttı, ancak durum her zaman böyle değildir.

Diğer iki Fourier katsayısı da benzer şekilde açıklanmaktadır.

Bir serinin toplamı nasıl gösterilir? Sol aralıkta düz bir çizgi parçası çiziyoruz ve aralıkta düz bir çizgi parçası çiziyoruz (eksenin bölümünü kalın ve kalın harflerle vurguluyoruz). Yani genişleme aralığında serinin toplamı üç “kötü” nokta dışında her yerde fonksiyonla çakışmaktadır. Fonksiyonun süreksizlik noktasında Fourier serisi, süreksizliğin "sıçramasının" tam ortasında yer alan izole bir değere yakınlaşacaktır. Bunu sözlü olarak görmek zor değil: sol taraf sınırı: , sağ taraf sınırı: ve açıkçası orta noktanın ordinatı 0,5'tir.

Toplamın periyodikliği nedeniyle, resmin komşu dönemlere “çoğaltılması” gerekir, özellikle aynı şeyin aralıklarda ve . Aynı zamanda Fourier serisi bazı noktalarda medyan değerlere yakınlaşacaktır.

Aslında burada yeni bir şey yok.

Bu görevle kendiniz başa çıkmaya çalışın. Yaklaşık örnek Dersin sonunda son tasarım ve çizim.

Bir fonksiyonun keyfi bir periyotta Fourier serisine genişletilmesi

Keyfi bir ayrıştırma dönemi için, burada "el" herhangi pozitif sayı Fourier serisi ve Fourier katsayılarının formülleri, sinüs ve kosinüs için biraz karmaşık bir argümanla farklılık gösterir:

Eğer öyleyse, başladığımız aralık formüllerini elde ederiz.

Sorunu çözmeye yönelik algoritma ve ilkeler tamamen korunur, ancak hesaplamaların teknik karmaşıklığı artar:

Örnek 4

Fonksiyonu Fourier serisine genişletin ve toplamı çizin.

Çözüm: aslında Örnek No. 3'ün bir analogu 1. tür yırtılma noktada . Bu problemde genişleme periyodu yarım periyottur. Fonksiyon yalnızca yarım aralıkta tanımlanır, ancak bu durumu değiştirmez; fonksiyonun her iki parçasının da integrallenebilir olması önemlidir.

Fonksiyonu Fourier serisine genişletelim:

Fonksiyon orijinde süreksiz olduğundan, her Fourier katsayısı açıkça iki integralin toplamı olarak yazılmalıdır:

1) İlk integrali mümkün olduğunca ayrıntılı olarak yazacağım:

2) Ay'ın yüzeyine dikkatlice bakıyoruz:

İkinci integral parça parça al:

Bakılacak şey yakın ilgi, çözümün devamını yıldız işaretiyle açtıktan sonra?

Öncelikle ilk integrali kaybetmeyiz , hemen yürüteceğimiz yer diferansiyel işaretine abone olmak. İkinci olarak, büyük parantezlerin önündeki talihsiz sabiti unutmayın ve işaretlere aldanmayın formülü kullanırken . Büyük braketlerin bir sonraki adımda hemen açılması daha da uygundur.

Gerisi bir teknik meselesidir; zorluklar yalnızca integrallerin çözümündeki yetersiz deneyimden kaynaklanabilir.

Evet, ünlü meslektaşların boşuna değil Fransız matematikçi Fourier öfkeliydi; işlevleri düzenlemeye nasıl cesaret ederdi? trigonometrik seri?! =) Bu arada, muhtemelen herkes söz konusu görevin pratik anlamı ile ilgileniyor. Fourier'in kendisi üzerinde çalıştı matematiksel model termal iletkenlik ve daha sonra onun adını taşıyan seri, çevredeki dünyada görünen ve görünmeyen birçok periyodik süreci incelemek için kullanılmaya başlandı. Şimdi bu arada ikinci örneğin grafiğini kalbin periyodik ritmiyle karşılaştırmamın tesadüf olmadığını düşünürken yakaladım kendimi. İlgilenenler yakından tanıyabilir pratik uygulama Fourier dönüşümüüçüncü taraf kaynaklarda. ...Gerçi yapmamak daha iyi - İlk Aşk olarak hatırlanacak =)

3) Defalarca bahsedilenler dikkate alındığında zayıf bağlantılar, üçüncü katsayıya bakalım:

Parçalara göre integral alalım:

Bulunan Fourier katsayılarını formülde yerine koyalım sıfır katsayısını ikiye bölmeyi unutmadan:

Serinin toplamını çizelim. İşlemi kısaca tekrarlayalım: Bir aralık üzerinde düz bir çizgi ve bir aralık üzerinde düz bir çizgi çiziyoruz. Eğer “x” değeri sıfır ise, boşluğun “atlama”sının ortasına bir nokta koyarız ve grafiği bitişik dönemler için “çoğaltırız”:

Dönemlerin "kavşaklarında" toplam, aynı zamanda aralığın "sıçramasının" orta noktalarına da eşit olacaktır.

Hazır. Fonksiyonun kendisinin yalnızca yarım aralıkta tanımlanan koşula göre olduğunu ve açıkça aralıklardaki serilerin toplamı ile çakıştığını hatırlatmama izin verin.

Cevap:

Bazen bölümlü işlevi ayrışma döneminde gerçekleşir ve süreklidir. En basit örnek: . Çözüm (bkz. Bohan cilt 2)önceki iki örnektekiyle aynı: buna rağmen fonksiyonun sürekliliği noktasında her Fourier katsayısı iki integralin toplamı olarak ifade edilir.

Ayrıştırma aralığında 1. tür süreksizlik noktaları ve/veya grafiğin daha fazla "birleşim" noktası olabilir (iki, üç ve genellikle herhangi biri) son miktar). Bir fonksiyon her bir parça üzerinde integrallenebilirse, o zaman Fourier serisinde de genişletilebilir. Ama nereden pratik tecrübe Böyle bir zulmü hatırlamıyorum. Bununla birlikte, az önce ele alınanlardan daha zor görevler vardır ve makalenin sonunda herkes için artan karmaşıklığa sahip Fourier serisine bağlantılar bulunmaktadır.

Bu arada rahatlayalım, sandalyelerimize yaslanıp sonsuz olanı düşünelim. yıldızlı genişlikler:

Örnek 5

Fonksiyonu aralıkta bir Fourier serisine genişletin ve serinin toplamını çizin.

Bu problemde fonksiyon sürekliçözümü basitleştiren genişleme yarı aralığında. Her şey Örnek No. 2'ye çok benzer. Uzay gemisinden kaçış yok - karar vermeniz gerekecek =) Dersin sonunda yaklaşık bir tasarım örneği, bir program eklenmiştir.

Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı

Çift ve tek işlevlerle, sorunu çözme süreci gözle görülür şekilde basitleştirilmiştir. Ve bu yüzden. Bir fonksiyonun periyodu "iki pi" olan Fourier serisindeki açılımına dönelim ve keyfi nokta “iki el” .

Fonksiyonumuzun eşit olduğunu varsayalım. Gördüğünüz gibi serinin genel terimi çift kosinüsleri ve tek sinüsleri içeriyor. Ve eğer bir ÇİFT fonksiyonunu genişletiyorsak, o zaman neden tek sinüslere ihtiyacımız var?! Gereksiz katsayıyı sıfırlayalım: .

Böylece, Fourier serisinde eşit bir fonksiyon yalnızca kosinüs cinsinden genişletilebilir:

Çünkü çift fonksiyonların integralleri sıfıra göre simetrik olan bir entegrasyon bölümü boyunca iki katına çıkarılabilir, ardından geri kalan Fourier katsayıları basitleştirilir.

Boşluk için:

İsteğe bağlı bir aralık için:

Matematiksel analizle ilgili hemen hemen her ders kitabında bulunabilecek ders kitabı örnekleri, çift fonksiyonların açılımlarını içerir. . Ayrıca kişisel pratiğimde birkaç kez karşılaştım:

Örnek 6

Fonksiyon verilmiştir. Gerekli:

1) fonksiyonu, keyfi bir pozitif sayı olan nokta ile bir Fourier serisine genişletin;

2) aralığın açılımını yazın, bir fonksiyon oluşturun ve serinin toplam toplamının grafiğini çizin.

Çözüm: İlk paragrafta sorunun çözülmesi önerildi Genel görünüm ve çok kullanışlı! İhtiyaç duyulursa değerinizi değiştirin.

1) Bu problemde genişleme periyodu yarım periyottur. Sırasında daha fazla eylemlerözellikle entegrasyon sırasında "el" bir sabit olarak kabul edilir

Fonksiyon çifttir, yani Fourier serisine yalnızca kosinüs cinsinden genişletilebilir: .

Formülleri kullanarak Fourier katsayılarını arıyoruz . Koşulsuz avantajlarına dikkat edin. İlk olarak entegrasyon genişlemenin pozitif segmenti üzerinden gerçekleştirilir, bu da modülden güvenli bir şekilde kurtulduğumuz anlamına gelir , iki parçanın yalnızca “X”i dikkate alınarak. İkincisi, entegrasyon gözle görülür şekilde basitleştirildi.

İki:

Parçalara göre integral alalım:

Böylece:
, “en”e bağlı olmayan sabit ise toplamın dışına alınır.

Cevap:

2) Bu amaçla aralığın açılımını yazalım. Genel formül yerine geçmek istenen değer yarım döngü:

Matematiksel fizikteki problemleri incelemek için güçlü araçlardan biri integral dönüşüm yöntemidir. f(x) fonksiyonu sonlu ya da sonsuz (a, 6) aralığında verilsin. Bir f(x) fonksiyonunun integral dönüşümü, K(x, w)'nin dönüşümün çekirdeği adı verilen belirli bir dönüşüm için sabitlenmiş bir fonksiyon olduğu bir fonksiyondur (integralin (*) kendi içinde veya kendi içinde var olduğu varsayılır) uygunsuz anlam). §1. Fourier integrali [-f, I] aralığında bir Fourier serisine genişleme koşullarını karşılayan herhangi bir f(x) fonksiyonu, bu aralıkta a* ve serinin 6" katsayıları ile temsil edilebilir. 1) Euler-Fourier formülleri ile belirlenir: FOURIER TRANSFORM Fourier İntegrali Karmaşık biçim integral Fourier dönüşümü Kosinüs ve sinüs dönüşümü Genlik ve faz spektrumlarıÖzellikler Uygulamalar Eşitliğin (1) sağ tarafındaki seriler farklı biçimde yazılabilir. Bu amaçla, formül (2)'den a" ve op katsayılarının değerlerini gireceğiz, cos ^ x ve sin x integrallerinin işaretlerini dahil edeceğiz (ki bu mümkündür, çünkü entegrasyon değişkeni m) O)'dur ve farkın kosinüsü için formülü kullanın. Eğer /(g) fonksiyonu başlangıçta aralıkta tanımlandıysa sayı ekseni[-1,1] bölümünden daha büyükse (örneğin, tüm eksende), bu durumda genişletme (3), bu fonksiyonun değerlerini yalnızca [-1,1] bölümünde yeniden üretecek ve tüm boyunca devam edecektir. 21 periyodu olan periyodik bir fonksiyon olarak sayısal eksen (Şekil 1). Bu nedenle, eğer f(x) fonksiyonu (genel olarak konuşursak, periyodik olmayan) sayı doğrusunun tamamında tanımlanmışsa, formül (3)'te I +oo'daki limite gidilmeye çalışılabilir. Bu durumda aşağıdaki koşulların yerine getirilmesini gerektirmesi doğaldır: 1. f(x), Fourier serisindeki ayrıştırılabilirlik koşullarını herhangi bir zamanda karşılar. son bölüm eksen Ox\ 2. f(x) fonksiyonu tüm sayı ekseninde mutlak olarak integrallenebilir. Koşul 2 sağlandığında, eşitliğin (3) sağ tarafındaki ilk terim I -* +oo olarak sıfıra yönelir. Aslında (3)'ün sağ tarafındaki toplamın I +oo'daki limitte neye dönüştüğünü tespit etmeye çalışalım. O zaman (3)'ün sağ tarafındaki toplamın Nedeniyle formunu aldığını varsayalım. mutlak yakınsamaİntegral için bu toplam, £ değişkeninin bir fonksiyonu için (0, +oo) değişim aralığı için oluşturulan integral toplamına benzeyen ifadeden çok az farklıdır. Bu nedenle, toplam (5) için şunu beklemek doğaldır. Öte yandan sabit) için formül (3)'ten eşitliği de elde ettiğimiz sonucu çıkar. Formül (7)'nin geçerliliği için yeterli koşul aşağıdaki teorem ile ifade edilir. Teorem 1. Eğer f(x) fonksiyonu tüm gerçel doğru üzerinde mutlak integrallenebilirse ve türeviyle birlikte, son sayı Herhangi bir [a, 6] aralığında birinci tür süreksizlik noktaları varsa eşitlik sağlanır. Ayrıca, birinci tür fonksiyon /(x)'in süreksizlik noktası olan herhangi bir xq noktasında integralin değeri sağlanır. (7)'nin sağ tarafı Formül (7)'ye eşittir, Fourier integral formülü ile adlandırılır ve sağ tarafındaki integral Fourier integralidir. Farkın kosinüsü için formülü kullanırsak, formül (7) şu şekilde yazılabilir: a(ξ), b(ζ) fonksiyonları, 2m periyodik bir fonksiyonun karşılık gelen Fourier katsayıları an ve bn'nin analoglarıdır , ancak ikincisi şunun için tanımlanmıştır: ayrık değerler n, a(0> ANCAK) için tanımlanırken sürekli değerler£ G (-oo, +oo). Fourier integralinin karmaşık formu /(x)'in tüm Ox ekseni üzerinde mutlak olarak integrallenebilir olduğunu varsayarak, integrali düşünün. Bu integral, Ama sonra'nın sürekli ve açıkçası tek bir fonksiyonunu temsil ettiği için düzgün bir şekilde yakınsar. integral eşit işlev Bu nedenle Fourier integral formülü şu şekilde yazılabilir: Eşitliği şu şekilde çarpın: hayali birim i ve eşitliğe (10) ekleyin. Euler formülüne göre, buradan şunu elde ederiz: Bu, Fourier integralinin karmaşık biçimidir. Burada £ üzerinden dış entegrasyon Cauchy temel değeri anlamında anlaşılmaktadır: §2. Fourier dönüşümü. Kosinüs ve sinüs Fourier dönüşümleri f(x) fonksiyonunun Ox ekseninin herhangi bir sonlu parçası üzerinde parçalı düzgün ve tüm eksen üzerinde mutlak olarak integrallenebilir olmasına izin verin. Tanım. Euler formülü sayesinde elde edeceğimiz fonksiyona /(r) fonksiyonunun (spektral fonksiyon) Fourier dönüşümü denir. Bu, f(r) fonksiyonunun (-oo,+oo) aralığında çekirdek ile integral dönüşümüdür. Fourier integral formülünü kullanarak elde ederiz. ters dönüşüm F(ξ)'dan f(x)'e geçişi sağlayan Fourier. Bazen doğrudan dönüşüm Fourier dönüşümü şu şekilde tanımlanır: Daha sonra ters Fourier dönüşümü aşağıdaki formülle belirlenir. /(x) fonksiyonunun Fourier dönüşümü de şu şekilde tanımlanır: FOURIER DÖNÜŞÜMÜ Fourier integrali İntegralin karmaşık formu Fourier dönüşümü Kosinüs ve sinüs dönüşümleri Genlik ve faz spektrumu Özellikler Uygulamalar Sonra sırasıyla, Bu konumda ^ faktörü oldukça keyfidir: ya formül (1")'e ya da formül (2")'ye dahil edilebilir. Örnek 1. -4 fonksiyonunun Fourier dönüşümünü bulun. Bu eşitlik, integral işareti altında £'a göre farklılaşmaya izin verir (türev alma işleminden sonra elde edilen integral, ( herhangi bir sonlu parçaya ait olduğunda düzgün bir şekilde yakınsar): Parçalara göre integral alırsak, şunu elde ederiz: İntegral dışı terim yok olur ve buradan şunu elde ederiz (C, integralin sabitidir). (4)'te £ = 0 olarak ayarlandığında, C = F(0)'ı buluruz. Özellikle, Örnek 2'yi (kopropilen yoluyla kodlayıcının boşaltılması) elde ettiğimiz bilinmektedir. Fonksiyon 4'ü ele alalım. F(ξ) fonksiyonunun spektrumu için Buradan elde ederiz (Şekil 2). f(x) fonksiyonunun tüm sayısal eksende mutlak integrallenebilirliği koşulu çok katıdır. Örneğin aşağıdakileri hariç tutar temel işlevler, as) = cos x, f(x) = e1, bunun için Fourier dönüşümü (burada ele alınan klasik formda) mevcut değildir. Yalnızca |x| olarak hızla sıfıra yaklaşan işlevler Fourier dönüşümüne sahiptir. --+ +oo (örnek 1 ve 2'deki gibi). 2.1. Kosinüs ve sinüs Fourier dönüşümleri Kosinüs ve fark formülünü kullanarak Fourier integral formülünü aşağıdaki biçimde yeniden yazarız: f(x) bir çift fonksiyon olsun. O zaman eşitlik (5) elde edilir. Tek f(x) durumunda benzer şekilde şunu elde ederiz: Eğer f(x) sadece (0, -foo) üzerinde verilirse, formül (6) f(x)'i tamamına genişletir. Öküz ekseni eşit bir şekilde ve formül (7) tektir. (7) Tanım. Fonksiyona f(x)'in Fourier kosinüs dönüşümü denir. (6)'dan, çift fonksiyon için f(x) sonucu çıkar. Bu, f(x)'in Fc(£) için bir kosinüs dönüşümü olduğu anlamına gelir. Başka bir deyişle, / ve Fc fonksiyonları karşılıklı kosinüs dönüşümleridir. Tanım. Fonksiyona f(x)'in sinüs Fourier dönüşümü denir. (7)'den şunu elde ederiz: Tek işlev f(x) yani f ve F'ler karşılıklı sinüs dönüşümleridir. Örnek 3 (dikdörtgen darbe). f(t) aşağıdaki gibi tanımlanan bir çift fonksiyon olsun: (Şekil 3). Elde edilen sonucu integrali hesaplamak için kullanalım. Formül (9) sayesinde Şekil 3 0 0 t = 0 noktasında f(t) fonksiyonu süreklidir ve birliğe eşittir. Dolayısıyla (12")'den 2.2 elde ederiz. Fourier integralinin genlik ve faz spektrumları 2m periyotlu periyodik fonksiyon /(x)'i bir Fourier serisine genişletelim. Bu eşitlik şu şekilde yazılabilir: n frekanslı salınımın genliği, fazdır. Bu yolda, (-oo, +oo)'da verilen periyodik olmayan bir f(x) fonksiyonunun genlik ve faz spektrumu kavramlarına geliyoruz. ), belirli koşullar altında, bu fonksiyonu tüm frekanslara genişleten bir Fourier integrali ile temsil etmenin mümkün olduğu ortaya çıkar (sürekli bir frekans spektrumu üzerinde genişleme). Spektral fonksiyon, veya spektral yoğunluk Fourier integralinin ifadesine ifade denir (f fonksiyonunun doğrudan Fourier dönüşümüne genlik spektrumu denir ve Ф«) = -аggSfc fonksiyonuna f(« fonksiyonunun faz spektrumu denir). Genlik spektrumu A(ξ), frekansın ζ f(x) fonksiyonuna katkısının bir ölçüsü olarak hizmet eder. Örnek 4. Fonksiyon 4'ün genlik ve faz spektrumlarını bulun Spektral fonksiyonu bulun Buradan Bu fonksiyonların grafikleri Şekil 2'de gösterilmektedir. 4. §3. Fourier dönüşümünün özellikleri 1. Doğrusallık. Eğer ve G(0) sırasıyla f(x) ve d(x) fonksiyonlarının Fourier dönüşümleri ise, o zaman herhangi bir a ve p sabiti için a f(x) + p d(x) fonksiyonunun Fourier dönüşümü şu şekilde olacaktır: Fonksiyon a İntegralin doğrusallık özelliğini kullanarak, Fourier dönüşümü doğrusal bir operatördür. Bunu şöyle yazacağız: Eğer F(ξ), mutlak olarak integrallenebilir bir f(x) fonksiyonunun Fourier dönüşümüdür. sayısal eksenin tamamında F(()) sınırlıysa, f(x) fonksiyonu tüm eksende mutlak olarak integrallenebilir olsun - f(x) fonksiyonunun Fourier dönüşümü. Fourier dönüşümünün tanımı, Problemi f(z) fonksiyonunun Fourier dönüşümü F(0> h - olsun) olsun. gerçek Numara. 3. Fourier dönüşümü ve farklılaşma süreçlerini gösterin. Mutlak integrallenebilir bir f(x) fonksiyonunun, aynı zamanda tüm Ox ekseni üzerinde mutlak integrallenebilir olan bir f"(x) türevine sahip olduğunu varsayalım, böylece f(x), |x| -» +oo olarak sıfıra yönelir. f" dikkate alındığında (X) pürüzsüz fonksiyon, parçalara göre integral alarak yazıyoruz, integral dışı terimin yok olmasını sağlayacağız (çünkü ve şunu elde ederiz: Böylece, f(x) fonksiyonunun farklılaşması, Fourier görüntüsünün ^Π/] If faktörü ile çarpımına karşılık gelir. f(x) fonksiyonunun m mertebesine kadar düzgün, mutlak olarak tanımlanabilir türevleri vardır ve bunların tümü, f(x) fonksiyonunun kendisi gibi, sıfıra eğilimlidir; daha sonra, gereken sayıda kısımlar halinde integral alarak Fourier dönüşümünü elde ederiz. tam olarak çok faydalıdır çünkü farklılaşma işlemini bir değerle çarpma işlemiyle değiştirir ve böylece belirli türdeki diferansiyel denklemlerin integrali alma problemini basitleştirir, çünkü mutlak olarak integrallenebilir bir f^k\x) fonksiyonunun Fourier dönüşümü öyledir. sınırlı işlev(özellik 2)'den, sonra ilişki (2)'den aşağıdaki tahmini elde ederiz: FOURIER TRANSFORM Fourier integrali İntegralin karmaşık formu Fourier dönüşümü Kosinüs ve sinüs dönüşümleri Genlik ve faz spektrumları Özellikler Uygulamalar Bu tahminden şu sonuç çıkar: daha daha fazla işlev f(x)'in mutlak integrallenebilir türevleri varsa, Fourier dönüşümü o kadar hızlı sıfıra yönelir. Yorum. Bu durum oldukça doğaldır, çünkü alışılagelmiş Fourier integralleri teorisi, şu veya bu anlamda bir başlangıcı ve bitişi olan, ancak yaklaşık olarak aynı yoğunlukta süresiz olarak devam etmeyen süreçlerle ilgilidir. 4. f(x) fonksiyonunun |z| olarak azalma hızı arasındaki ilişki -» -f oo ve Fourm dönüşümünün düzgünlüğü. Sadece f(x)'in değil, aynı zamanda onun xf(x) çarpımının da tüm Ox ekseni üzerinde mutlak integrallenebilir bir fonksiyon olduğunu varsayalım. O zaman Fourier dönüşümü) türevlenebilir bir fonksiyon olacaktır. Aslında, integralin £ parametresine göre biçimsel farklılaşması, parametreye göre mutlak ve düzgün yakınsak olan bir integrale yol açar. Dolayısıyla türev mümkündür ve böylece, f(x) ile çarpma işlemi mümkündür. x argümanı Fourier dönüşümünden sonra t işlemine gider. Eğer f(x) fonksiyonuyla birlikte fonksiyonlar Ox ekseninin tamamında tamamen integrallenebilirse, türev alma işlemine devam edilebilir. Fonksiyonun m mertebesine kadar türevleri olduğunu elde ederiz ve böylece f(x) fonksiyonu ne kadar hızlı azalırsa, Teorem 2 (tatbikat hakkında) daha düzgün hale gelir. Sırasıyla f,(x) ve f2(x) fonksiyonlarının Fourier dönüşümleri olsun. O zaman nerede çift katlı integral kesinlikle sağ tarafta birleşir. -x koyalım. O zaman, ya da integralin sırasını değiştirerek, Fonksiyona fonksiyonların evrişimi denir ve sembolüyle gösterilir. Formül (1) artık aşağıdaki gibi yazılabilir: Bu, fonksiyonların evrişiminin Fourier dönüşümünün f olduğunu gösterir. \(x) ve f2(x), y/2x'in evrilebilir fonksiyonların Fourier dönüşümlerinin çarpımına eşittir. Kurulumu kolay aşağıdaki özellikler evrişim: 1) doğrusallık: 2) değişmelilik: §4. Fourier dönüşümünün uygulamaları 1. P(^) doğrusal olsun diferansiyel operatörü ms sipariş et sabit katsayılar, y(x) fonksiyonunun türevlerinin Fourier dönüşümü formülünü kullanarak şunu buluruz: "P'nin yukarıda tanıtılan diferansiyel operatör olduğu diferansiyel denklemi düşünün. Arzu edilen y(x) çözümünün Fourier y dönüşümüne sahip olduğunu varsayalım. (O. ve f(x) fonksiyonu /(£) dönüşümüne sahiptir. Fourier dönüşümünü denklem (1)'e uygulayarak, diferansiyel yerine elde ederiz cebirsel denklem sembolün ters Fourier dönüşümünü gösterdiği yere göre resmi olarak eksen üzerinde. Bu yöntemin uygulanabilirliğinin ana sınırlaması aşağıdaki gerçeklerden kaynaklanmaktadır. Sıradan çözüm diferansiyel denklem sabit katsayılı, eL*, eaz cos fix formundaki fonksiyonları içerir, her günah piksel. -oo ekseninde kesinlikle integrallenemezler< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о serbest titreşimlerİlk sapma verildiğinde sonsuz homojen bir dizinin<р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

I. Fourier dönüşümleri.

Tanım 1.İşlev

İsminde Fourier dönüşümü işlevler

Buradaki integral temel değer anlamında anlaşılmaktadır.

ve var olduğuna inanılıyor.

If, ℝ üzerinde kesinlikle integrallenebilir bir fonksiyondur, o zaman, çünkü 'da, böyle herhangi bir fonksiyon için Fourier dönüşümü (1) anlamlıdır ve integral (1), tüm ℝ düz çizgisi boyunca mutlak ve düzgün bir şekilde yakınsar.

Tanım 2. Eğer – Fonksiyonun Fourier dönüşümü
, o zaman karşılaştırılabilir integral

Asıl manasıyla anlaşıldığında buna denir. Fonksiyonun Fourier integrali .

Örnek 1. Bir fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulun

Verilen fonksiyon kesinlikle integrallenebilir, aslında,

Tanım 3. Temel değer anlamında anlaşılan integraller

Buna göre adlandırıldı kosinüs- Ve fonksiyonun sinüs-Fourier dönüşümleri .

İnanmak , , bize zaten kısmen aşina olan ilişkiyi Fourier serisinden elde ederiz.

(3), (4) bağıntılarından da görülebileceği gibi,

Formüller (5), (6), yalnızca argümanın negatif olmayan değerleri için biliniyorsa, Fourier dönüşümlerinin tüm satırda tamamen tanımlandığını gösterir.

Örnek 2. Fonksiyonların kosinüs ve sinüs Fourier dönüşümlerini bulun

Örnek 1'de gösterildiği gibi, verilen fonksiyon üzerinde kesinlikle integrallenebilir.

Formül (3)'ü kullanarak kosinüs Fourier dönüşümünü bulalım:

Benzer şekilde fonksiyonun sinüs - Fourier dönüşümünü bulmak da zor değil F(X) formül (4)'e göre:

Örnek 1 ve 2'yi kullanarak, doğrudan ikame yoluyla şunu doğrulamak kolaydır: F(X) ilişki (5) sağlanır.

Fonksiyon gerçek değerliyse, bu durumda formül (5), (6)'dan şu şekilde çıkar:

Çünkü bu durumda ve (3), (4) tanımlarından da anlaşılacağı üzere R üzerinde gerçel fonksiyonlardır. Ancak eşitlik (7) sağlandı aynı zamanda doğrudan Fourier dönüşümünün tanımından (1) elde edilir; bu, birleşme işaretinin integral işaretinin altına getirilebileceği dikkate alınır. En son gözlem, herhangi bir fonksiyon için eşitliğin olduğu sonucuna varmamızı sağlar.

Ayrıca if'in gerçek ve eşit bir fonksiyon olduğunu belirtmekte fayda var; , O

if gerçek ve tek bir fonksiyondur, yani. , O

Ve eğer bu tamamen hayali bir fonksiyonsa, yani. . , O

Gerçek değerli bir fonksiyon ise Fourier integralinin şu şekilde de yazılabileceğine dikkat edin:

Nerede

Örnek 3.
(sayılıyor )

Dirichlet integralinin değerini bildiğimiz için

Örnekte ele alınan fonksiyon mutlak olarak integrallenebilir değildir ve Fourier dönüşümünde süreksizlikler vardır. Aşağıdakiler mutlak integrallenebilir fonksiyonların Fourier dönüşümünün hiçbir süreksizliği olmadığını göstermektedir:

Lemma 1. Eğer fonksiyon yerel olarak entegre edilebilir ve kesinlikle entegre edilebilir , O

A) Fourier dönüşümü herhangi bir değer için tanımlanmış

şunu da hatırlayalım eğer– açık bir kümede tanımlanan gerçek veya karmaşık değerli bir fonksiyon, o zaman fonksiyon isminde yerel olarak entegre edilebilir, varsa nokta fonksiyonun integrallenebildiği bir komşuluğu vardır. Özellikle, eğer , fonksiyonun yerel integrallenebilirliği koşulu açıkça şu gerçeğine eşdeğerdir: herhangi bir bölüm için.

Örnek 4. Fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulalım :

Son integralin parametreye göre türevini alıp parçalara göre integral alarak şunu buluruz:

veya

Araç, Euler-Poisson integralini kullanarak aşağıdaki ilişkiden bulduğumuz bir sabit nerede

Bunu bulduk ve aynı zamanda şunu da gösterdik ve .

Tanım 4.İşlev diyorlar Noktanın delinmiş bir komşuluğunda tanımlanan , şu durumda Dini koşullarını karşılar:

a) bir noktada her iki tek taraflı limit de mevcuttur

b) her iki integral

Kesinlikle katılıyorlar.

İntegralin mutlak yakınsaklığı integralin en azından bir değer için mutlak yakınsaklığı anlamına gelir.

Bir fonksiyonun Fourier integrali ile temsil edilebilmesi için yeterli koşullar.

Teorem 1.Kesinlikle entegre edilebilirse ve yerel olarak parçalı olarak sürekli fonksiyon noktada tatmin ediyor Dini koşulları, o zaman Fourier integrali bu noktada birleşir ve şu değere ulaşır:

bu noktadaki fonksiyon değerlerinin sol ve sağ limitlerinin toplamının yarısına eşittir.

Sonuç 1.Eğer fonksiyon sürekli, her noktada var sonlu tek taraflı türevler ve mutlak olarak integrallenebilir , sonra o beliriyor Fourier integrali ile

Nerede Bir fonksiyonun Fourier dönüşümü .

Bir fonksiyonun Fourier integrali ile temsili şu şekilde yeniden yazılabilir:

Yorum. Teorem 1 ve Sonuç 1'de formüle edilen fonksiyona ilişkin koşullar yeterlidir ancak böyle bir temsilin olasılığı için gerekli değildir.

Örnek 5. Aşağıdaki durumlarda fonksiyonu Fourier integrali olarak temsil edin:

Bu fonksiyon , , , noktaları dışında ℝ üzerinde tek ve süreklidir.

Fonksiyonun tek ve gerçek olması nedeniyle elimizde:

ve (5) ve (10) eşitliklerinden şu sonuç çıkar:

Fonksiyonun süreklilik noktalarında elimizde:

Ancak fonksiyon tuhaftır, dolayısıyla

Çünkü integral temel değer anlamında hesaplanır.

Fonksiyon eşit olduğundan

Eğer , . Eşitliğin sağlanması gerektiğinde

Buradan bulduğumuzu varsayarsak

için son ifadeyi koyarsak, o zaman

Burada bulacağımızı varsayarsak

Gerçel değerli bir fonksiyon gerçek doğrunun herhangi bir bölümünde parçalı olarak sürekli ise, kesinlikle integrallenebilirse ve her noktada sonlu tek taraflı türevlere sahipse, süreklilik noktalarında fonksiyon bir Fourier integrali olarak temsil edilir.

fonksiyonun süreksizlik noktalarında eşitliğin sol tarafı (1) ile değiştirilmelidir.

Sürekli, mutlak olarak integrallenebilir bir fonksiyonun her noktada sonlu tek taraflı türevleri varsa, o zaman bu fonksiyonun çift olması durumunda eşitlik doğrudur

ve tek fonksiyon olması durumunda eşitlik

Örnek 5'. Aşağıdaki durumlarda fonksiyonu Fourier integrali olarak temsil edin:

Sürekli bir çift fonksiyon olduğundan, (13.2), (13.2') formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:

Temel değer anlamında anlaşılan integrali sembolle gösterelim.

Sonuç 2.Herhangi bir işlev için , Sonuç 1'in koşullarını karşılayan tüm dönüşümler mevcuttur , , , ve eşitlikler gerçekleşir

Bu ilişkiler akılda tutularak, dönüşüme (14) sıklıkla denir. ters Fourier dönüşümü ve bunun yerine yazıyorlar ve eşitliklerin kendileri (15) çağrılıyor Fourier dönüşümünü tersine çevirme formülü.

Örnek 6. Bırak olsun

şunu unutmayın: , ardından herhangi bir işlev için

Şimdi fonksiyonu ele alalım. Daha sonra

Eğer fonksiyonun tek devamı olan bir fonksiyon alırsak , tüm sayısal eksende, o zaman

Teorem 1'i kullanarak şunu elde ederiz:

Buradaki tüm integraller temel değer anlamında anlaşılmaktadır,

Son iki integralin gerçek ve sanal kısımlarını ayırarak Laplace integrallerini buluruz.

Tanım . İşlev

biz buna normalleştirilmiş Fourier dönüşümü diyeceğiz.

Tanım . Fonksiyonun normalleştirilmiş Fourier dönüşümü ise, karşılaştırılabilir integral

Fonksiyona normalleştirilmiş Fourier integrali adını vereceğiz.

Normalleştirilmiş Fourier dönüşümünü (16) ele alacağız.

Kolaylık sağlamak için aşağıdaki gösterimi sunuyoruz:

(onlar. ).

Önceki gösterimle karşılaştırıldığında bu sadece bir yeniden normalleştirmedir: Bu, özellikle ilişkilerin (15) şu sonuca varmamıza izin verdiği anlamına gelir:

veya daha kısa gösterimle,

Tanım 5. Operatöre normalleştirilmiş Fourier dönüşümü adını vereceğiz ve operatöre de ters normalleştirilmiş Fourier dönüşümü adını vereceğiz.

Lemma 1'de mutlak olarak integrallenebilir herhangi bir fonksiyonun Fourier dönüşümünün sonsuzda sıfıra yöneldiği belirtildi. Sonraki iki ifade, Fourier katsayıları gibi Fourier dönüşümünün de alındığı fonksiyon ne kadar düzgünse (ilk ifadede) daha hızlı sıfırlanma eğiliminde olduğunu belirtir; İlgili bir gerçek, Fourier dönüşümünün alındığı fonksiyon ne kadar hızlı sıfıra yaklaşırsa, Fourier dönüşümünün de o kadar düzgün olacağıdır (ikinci ifade).

Açıklama 1(bir fonksiyonun düzgünlüğü ile Fourier dönüşümünün azalma hızı arasındaki bağlantı üzerine). Eğer ve tüm işlevler kesinlikle entegre edilebilir , O:

A) herhangi

Açıklama 2(bir fonksiyonun azalma hızı ile Fourier dönüşümünün düzgünlüğü arasındaki bağlantı hakkında). Yerel olarak entegre edilebilir bir fonksiyon ise : fonksiyon öyledir kesinlikle entegre edilebilir A , O:

A) Bir fonksiyonun Fourier dönüşümü sınıfa ait

B) eşitsizlik var

Fourier dönüşümünün temel donanım özelliklerini sunalım.

Lema 2. Fonksiyonlar için bir Fourier dönüşümü (sırasıyla bir ters Fourier dönüşümü) olsun, o zaman ve sayıları ne olursa olsun, fonksiyon için bir Fourier dönüşümü (sırasıyla bir ters Fourier dönüşümü) vardır , Ve

(sırasıyla ).

Bu özelliğe Fourier dönüşümünün doğrusallığı denir (sırasıyla ters Fourier dönüşümü).

Sonuçlar. .

Lema 3. Fourier dönüşümü, ters dönüşüm gibi, tüm eksen üzerinde mutlak olarak integrallenebilen ve her noktada tek taraflı türevlere sahip olan bir dizi sürekli fonksiyon üzerinde bire bir dönüşümdür.

Bu, if ve are belirtilen türden iki fonksiyon ve if (sırasıyla, eğer ), ardından tüm eksen üzerinde.

Lemma 1'in ifadesinden aşağıdaki lemmayı elde edebiliriz.

Lemma 4. Mutlak integrallenebilir fonksiyonların dizisi ise ve kesinlikle entegre edilebilir fonksiyon öyledir ki

daha sonra dizi, fonksiyona tüm eksen üzerinde düzgün bir şekilde yakınsar.

Şimdi iki fonksiyonun evrişimlerinin Fourier dönüşümünü inceleyelim. Kolaylık sağlamak için, ek bir faktör ekleyerek evrişimin tanımını değiştirelim.

Teorem 2. Fonksiyonların sınırlı, sürekli ve gerçek eksende mutlak integrallenebilir olmasına izin verin, o zaman

onlar. iki fonksiyonun evrişiminin Fourier dönüşümü, bu fonksiyonların Fourier dönüşümlerinin çarpımına eşittir.

Aşağıda verilen problemlerin çözümünde yararlı olan, normalleştirilmiş Fourier dönüşümünün özelliklerinin 1 numaralı özet tablosunu derleyelim.

Tablo No.1

İşlev	Normalleştirilmiş Fourier dönüşümü

1-4 ve 6 özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:

Örnek 7. Bir fonksiyonun normalleştirilmiş Fourier dönüşümünü bulun

Örnek 4'te gösterildi ki

Çünkü eğer

Bu nedenle, özellik 3'e göre elimizde:

Benzer şekilde, normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümü için 2 numaralı tabloyu oluşturabilirsiniz:

Tablo No.2

İşlev	Normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümü

Daha önce olduğu gibi, 1-4 ve 6 özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:

Örnek 8. Bir fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun

Örnek 6'dan aşağıdaki gibi

Sahip olduğumuzda:

Fonksiyonu şu şekilde temsil etmek

özellik 6'yı şu durumlarda kullanın:

Hesaplama ve grafik çalışmalarına yönelik görev seçenekleri

1. Fonksiyonun sinüs – Fourier dönüşümünü bulun

2. Fonksiyonun sinüs – Fourier dönüşümünü bulun

3. Fonksiyonun kosinüs – Fourier dönüşümünü bulun

4. Fonksiyonun kosinüs – Fourier dönüşümünü bulun

5. Fonksiyonun sinüs – Fourier dönüşümünü bulun

6. Fonksiyonun kosinüs - Fourier dönüşümünü bulun

7. Fonksiyonun sinüs - Fourier dönüşümünü bulun

8. Bir fonksiyonun kosinüs – Fourier dönüşümünü bulun

9. Bir fonksiyonun kosinüs – Fourier dönüşümünü bulun

10. Fonksiyonun sinüs – Fourier dönüşümünü bulun

11. Fonksiyonun sinüs – Fourier dönüşümünü bulun

12. Bir fonksiyonun sinüs dönüşümünü bulun

13. Bir fonksiyonun sinüs dönüşümünü bulun

14. Kosinüsü bulun - bir fonksiyonu dönüştürme

15. Kosinüsü bulun - bir fonksiyonu dönüştürme

16. Aşağıdaki durumda fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulun:

17. Aşağıdaki durumda fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulun:

18. Aşağıdaki durumda fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulun:

19. Aşağıdaki durumda fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulun:

20. Aşağıdaki durumda fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulun:

21. Aşağıdaki durumda fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulun:

22. Fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun

formül kullanarak

24. Fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun

formül kullanarak

26. Fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun

formül kullanarak

28. Fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun

formül kullanarak

30. Fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun

formül kullanarak

23. Fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun

formül kullanarak

25. Fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun

formül kullanarak

27. Fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun

formül kullanarak

29. Fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun

formül kullanarak

31. Fonksiyonun normalleştirilmiş ters Fourier dönüşümünü bulun

formül kullanarak

32. Bir fonksiyonu Fourier integraliyle temsil edin

33. Bir fonksiyonu Fourier integraliyle temsil edin

34. Bir fonksiyonu Fourier integraliyle temsil edin

35. Bir fonksiyonu Fourier integraliyle temsil edin

36. Bir fonksiyonu Fourier integraliyle temsil edin

37. Bir fonksiyonu Fourier integraliyle temsil edin

38. Bir fonksiyonu Fourier integraliyle temsil edin

39. Bir fonksiyonu Fourier integraliyle temsil edin

40. Bir fonksiyonu Fourier integraliyle temsil edin

41. Bir fonksiyonu Fourier integraliyle temsil edin

42. Bir fonksiyonu Fourier integraliyle temsil edin

43. Aşağıdaki durumlarda fonksiyonu bir Fourier integrali olarak temsil edin ve onu aralığa garip bir şekilde genişletin:

44. Aşağıdaki durumlarda fonksiyonu bir Fourier integrali olarak temsil edin ve onu aralığa garip bir şekilde genişletin: