Pisagor Teoremi yalnızca dik üçgenler için geçerli olduğundan, size verilen üçgenin dik üçgen olduğundan emin olun. Dik üçgenlerde üç açıdan biri her zaman 90 derecedir.

Dik üçgendeki dik açı, eğik açıları temsil eden eğri sembolü yerine kare sembolüyle gösterilir.

Üçgenin kenarlarını etiketleyin. Bacakları “a” ve “b” (bacaklar dik açıyla kesişen kenarlardır) ve hipotenüsü “c” (hipotenüs en fazla olan) olarak etiketleyin. büyük taraf sağ üçgen, karşıt dik açı).

Üçgenin hangi tarafını bulmak istediğinizi belirleyin. Pisagor teoremi bir dik üçgenin herhangi bir kenarını bulmanızı sağlar (eğer diğer iki kenar biliniyorsa). Hangi tarafı (a, b, c) bulmanız gerektiğini belirleyin.

Örneğin, 5'e eşit bir hipotenüs verildiğinde ve 3'e eşit bir kenar verildiğinde. Bu durumda ikinci ayağı bulmak gerekir. Bu örneğe daha sonra tekrar döneceğiz.
Diğer iki kenar bilinmiyorsa Pisagor teoremini uygulayabilmek için bilinmeyen kenarlardan birinin uzunluğunu bulmanız gerekir. Bunu yapmak için temel kullanın trigonometrik fonksiyonlar(eğer eğik açılardan birinin değeri verilmişse).

Size verilen değerleri (veya bulduğunuz değerleri) a 2 + b 2 = c 2 formülüne yazın. A ve b'nin bacaklar olduğunu ve c'nin hipotenüs olduğunu unutmayın.

Örneğimizde şunu yazın: 3² + b² = 5².

Bilinen her tarafın karesini alın. Veya güçleri bırakın; sayıların karesini daha sonra alabilirsiniz.

Örneğimizde şunu yazın: 9 + b² = 25.

Bilinmeyen tarafı denklemin bir tarafına ayırın. Bunu yapmak için hareket edin bilinen değerler denklemin diğer tarafına. Hipotenüsü bulursanız, Pisagor teoreminde zaten denklemin bir tarafında izole edilmiştir (bu nedenle hiçbir şey yapmanıza gerek yoktur).

Örneğimizde 9'u şuraya taşıyın: Sağ Taraf bilinmeyen b²'yi izole etmek için denklemler. B² = 16 elde edersiniz.

Kaldırmak Kare kök Denklemin bir tarafında bilinmeyen (kare), diğer tarafta ise bilinmeyen (kare) alındıktan sonra denklemin her iki tarafından da Ücretsiz Üye(sayı).

Örneğimizde b² = 16. Denklemin her iki tarafının karekökünü alın ve b = 4 elde edin. Böylece ikinci bacak 4 olur.

Pisagor teoremini kullanın Gündelik Yaşam kullanılabilecek olduğundan çok sayıda pratik durumlar. Bunu yapmak için, günlük yaşamda dik üçgenleri tanımayı öğrenin - iki nesnenin (veya çizginin) dik açıyla kesiştiği ve üçüncü bir nesnenin (veya çizginin) ilk iki nesnenin (veya çizginin) üst kısımlarını (çapraz olarak) bağladığı herhangi bir durumda. çizgileri), bilinmeyen tarafı bulmak için Pisagor teoremini kullanabilirsiniz (eğer diğer iki taraf biliniyorsa).

Örnek: Bir binaya yaslanan bir merdiven verilmiştir. Merdivenlerin alt kısmı duvar tabanından 5 metre uzaktadır. Üst kısmı Merdivenler yerden 20 metre yükseklikte (duvarın yukarısında) bulunmaktadır. Merdivenlerin uzunluğu ne kadar?
- “Duvarın tabanından 5 metre uzakta” demek a = 5; "Yerden 20 metre yüksekte", b = 20 anlamına gelir (yani, binanın duvarı ile Dünya yüzeyi dik açılarda kesiştiği için size bir dik üçgenin iki ayağı verilir). Merdivenin uzunluğu bilinmeyen hipotenüsün uzunluğudur.
  - a² + b² = c²
  - (5)² + (20)² = c²
  - 25 + 400 = c²
  - 425 = c²
  - c = √425
  - c = 20,6. Böylece merdivenlerin yaklaşık uzunluğu 20,6 metre oluyor.

Karekökleri ve bunların nasıl çözüleceğini ilk kez ne zaman öğrenmeye başladınız? irrasyonel denklemler(kök işareti altında bir bilinmeyen içeren eşitlikler), muhtemelen onlar hakkında ilk fikri edinmişsinizdir pratik kullanım. Pisagor teoremini kullanarak problemleri çözmek için sayıların karekökünü alma yeteneği de gereklidir. Bu teorem herhangi bir dik üçgenin kenarlarının uzunluklarını ilişkilendirir.

Bir dik üçgenin bacaklarının uzunlukları (dik açıda buluşan iki kenar) ve harfleriyle belirtilsin ve hipotenüsün uzunluğu (dik açının karşısında bulunan üçgenin en uzun kenarı) şu şekilde belirtilecektir: mektup. Daha sonra karşılık gelen uzunluklar aşağıdaki ilişkiyle ilişkilendirilir:

Bu denklem, diğer iki kenarının uzunluğu bilindiğinde bir dik üçgenin bir kenarının uzunluğunu bulmanızı sağlar. Ayrıca tüm uzunlukların uzunluğu şartıyla söz konusu üçgenin dik açılı olup olmadığını belirlemenizi sağlar. üç tarafönceden biliniyor.

Pisagor teoremini kullanarak problemleri çözme

Malzemeyi pekiştirmek için aşağıdaki problemleri Pisagor teoremini kullanarak çözeceğiz.

Yani verilen:

Bacaklardan birinin uzunluğu 48, hipotenüs 80'dir.
Bacağın uzunluğu 84, hipotenüs 91'dir.

Gelelim çözüme:

a) Verileri yukarıdaki denklemde yerine koyarsak aşağıdaki sonuçlar elde edilir:

48 2 + B 2 = 80 2

2304 + B 2 = 6400

B 2 = 4096

B= 64 veya B = -64

Üçgenin bir kenarının uzunluğu ifade edilemediği için negatif sayı ikinci seçenek otomatik olarak atılır.

İlk resmin cevabı: B = 64.

b) İkinci üçgenin bacağının uzunluğu da aynı şekilde bulunur:

84 2 + B 2 = 91 2

7056 + B 2 = 8281

B 2 = 1225

B= 35 veya B = -35

Önceki durumda olduğu gibi, olumsuz karar atılan.

İkinci resmin cevabı: B = 35

Bize şunlar veriliyor:

Üçgenin küçük kenarlarının uzunlukları sırasıyla 45 ve 55, büyük kenarlarının uzunlukları ise 75'tir.
Üçgenin küçük kenarlarının uzunlukları sırasıyla 28 ve 45, büyük kenarlarının uzunlukları ise 53'tür.

Sorunu çözelim:

a) Kısa kenarların uzunluklarının kareleri toplamının eşit olup olmadığını kontrol etmek gerekir. verilen üçgen büyük uzunluğun karesi:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Bu nedenle ilk üçgen dik üçgen değildir.

b) Aynı işlem şu şekilde yapılır:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Bu nedenle ikinci üçgen bir dik üçgendir.

Öncelikle (-2, -3) ve (5, -2) koordinatlarına sahip noktalardan oluşan en büyük parçanın uzunluğunu bulalım. Bunun için kullanıyoruz bilinen formül noktalar arasındaki mesafeyi bulmak için dikdörtgen sistem koordinatlar:

Benzer şekilde, koordinatları (-2, -3) ve (2, 1) olan noktalar arasında kalan parçanın uzunluğunu buluruz:

Son olarak (2, 1) ve (5, -2) koordinatlarına sahip noktalar arasındaki parçanın uzunluğunu belirliyoruz:

Eşitlik geçerli olduğundan:

o zaman karşılık gelen üçgen dik açılıdır.

Böylece sorunun cevabını formüle edebiliriz: çünkü en kısa uzunluğa sahip kenarların karelerinin toplamı, uzun olan kenarın karesine eşittir. en uzun uzunluk, noktalar bir dik üçgenin köşeleridir.

Taban (kesinlikle yatay olarak yerleştirilmiş), pervaz (kesinlikle dikey olarak yerleştirilmiş) ve kablo (çapraz olarak gerilmiş) sırasıyla bir dik üçgen oluşturur, kablonun uzunluğunu bulmak için Pisagor teoremi kullanılabilir:

Böylece kablonun uzunluğu yaklaşık 3,6 metre olacaktır.

Verilen: R noktasından P noktasına (üçgenin kenarı) kadar olan mesafe 24, R noktasından Q noktasına (hipotenüs) kadar olan mesafe 26'dır.

O halde Vita'nın sorunu çözmesine yardım edelim. Şekilde gösterilen üçgenin kenarlarının bir dik üçgen oluşturduğu varsayıldığından, üçüncü kenarın uzunluğunu bulmak için Pisagor teoremini kullanabilirsiniz:

Yani göletin genişliği 10 metredir.

Sergey Valerievich

Ortalama seviye

Sağ üçgen. Tam Resimli Kılavuz (2019)

SAĞ ÜÇGEN. İLK SEVİYE.

Sorunlarda, dik açı hiç gerekli değildir - sol alt, bu nedenle bu formdaki dik üçgeni tanımayı öğrenmeniz gerekir,

ve bunda

ve bunda

Dik üçgenin iyi yanı nedir? Şey... her şeyden önce, özel şeyler var güzel isimler onun tarafları için.

Çizime dikkat!

Unutmayın ve karıştırmayın: iki bacak var ve sadece bir hipotenüs var(bir ve tek, benzersiz ve en uzun)!

İsimleri tartıştık, şimdi en önemli şey: Pisagor Teoremi.

Pisagor teoremi.

Bu teorem dik üçgenle ilgili birçok problemin çözümünün anahtarıdır. Pisagor bunu tamamen kanıtladı çok eski zamanlardan beri ve o zamandan beri onu tanıyanlara pek çok fayda sağladı. Ve bunun en iyi yanı basit olmasıdır.

Bu yüzden, Pisagor teoremi:

Şakayı hatırlıyor musunuz: "Pisagor pantolonu her tarafta eşittir!"?

Hadi aynılarını çizelim Pisagor pantolonu ve onlara bakalım.

Bir çeşit şorta benzemiyor mu? Peki hangi taraflarda ve nerede eşitler? Şaka neden ve nereden geldi? Ve bu şaka tam olarak Pisagor teoremiyle veya daha kesin olarak Pisagor'un teoremini formüle etme şekliyle bağlantılıdır. Ve bunu şu şekilde formüle etti:

"Toplam karelerin alanları bacaklar üzerine inşa edilmiş, eşittir kare alan, hipotenüs üzerine inşa edilmiştir."

Gerçekten biraz farklı mı geliyor kulağa? Ve böylece Pisagor teoreminin ifadesini çizdiğinde ortaya çıkan resim tam olarak bu oldu.

Bu resimde küçük karelerin alanlarının toplamı büyük karenin alanına eşittir. Ve çocukların bacakların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu daha iyi hatırlaması için, esprili biri Pisagor pantolonuyla ilgili bu şakayı ortaya attı.

Neden şimdi Pisagor teoremini formüle ediyoruz?

Pisagor acı çekip karelerden mi bahsetti?

Görüyorsunuz, eski zamanlarda cebir diye bir şey yoktu! Herhangi bir işaret vs. yoktu. Hiçbir yazıt yoktu. Zavallı eski öğrencilerin her şeyi kelimelerle hatırlamasının ne kadar korkunç olduğunu hayal edebiliyor musunuz??! Ve sahip olduğumuz için mutlu olabiliriz basit ifadeler Pisagor teoremi. Daha iyi hatırlamak için bir kez daha tekrarlayalım:

Artık kolay olmalı:

Hipotenüsün karesi toplamına eşit bacak kareleri.

İşte burada ana teorem Dik üçgen hakkında tartışıldı. Bunun nasıl kanıtlandığıyla ilgileniyorsanız, aşağıdaki teori seviyelerini okuyun ve şimdi devam edelim... karanlık orman... trigonometri! Korkunç kelimeler sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant.

Bir dik üçgende sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant.

Aslında her şey o kadar da korkutucu değil. Elbette yazıda sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın “gerçek” tanımına da bakmak gerekir. Ama gerçekten istemiyorum, değil mi? Sevinebiliriz: Bir dik üçgenle ilgili problemleri çözmek için aşağıdaki basit şeyleri doldurmanız yeterlidir:

Neden her şey hemen köşede? Köşe nerede? Bunu anlayabilmek için 1'den 4'e kadar olan ifadelerin kelimelerle nasıl yazıldığını bilmeniz gerekir. Bakın, anlayın ve hatırlayın!

1.
Aslında kulağa şöyle geliyor:

Peki ya açı? Köşenin karşısında bir bacak var mı, yani karşıt (bir açı için) bacak var mı? Elbette var! Bu bir bacak!

Peki ya açı? Dikkatli bak. Hangi bacak köşeye bitişik? Tabii ki bacak. Bu, bacağın bitişik olduğu açı için ve

Şimdi dikkat edin! Bakın elimizde ne var:

Ne kadar havalı olduğunu görün:

Şimdi teğet ve kotanjanta geçelim.

Şimdi bunu kelimelerle nasıl yazabilirim? Açıya göre bacak nedir? Elbette karşısında - köşenin karşısında "yalan söylüyor". Peki ya bacak? Köşeye bitişik. Peki elimizde ne var?

Pay ve paydanın nasıl yer değiştirdiğini gördünüz mü?

Ve şimdi yine köşeleri değiştirdik ve bir takas yaptık:

Özet

Öğrendiğimiz her şeyi kısaca yazalım.

Pisagor teoremi:

Dik üçgenlerle ilgili ana teorem Pisagor teoremidir.

Pisagor teoremi

Bu arada, bacakların ve hipotenüsün ne olduğunu iyi hatırlıyor musun? Çok iyi değilse resme bakın - bilginizi tazeleyin

Pisagor teoremini zaten birçok kez kullanmış olmanız oldukça muhtemeldir, ancak böyle bir teoremin neden doğru olduğunu hiç merak ettiniz mi? Bunu nasıl kanıtlayabilirim? Antik Yunanlılar gibi yapalım. Kenarı olan bir kare çizelim.

Kenarlarını ne kadar akıllıca uzunluk parçalarına ayırdığımızı görün ve!

Şimdi işaretli noktaları birleştirelim

Ancak burada başka bir şeye dikkat çektik, ancak siz çizime bakıp bunun neden böyle olduğunu düşünüyorsunuz.

Büyük karenin alanı nedir? Sağ, . Daha küçük bir alana ne dersiniz? Kesinlikle, . Dört köşenin toplam alanı kalır. Bunları ikişer ikişer alıp hipotenüsleriyle birbirlerine yasladığımızı hayal edin. Ne oldu? İki dikdörtgen. Bu, "kesiklerin" alanının eşit olduğu anlamına gelir.

Şimdi hepsini bir araya getirelim.

Hadi dönüştürelim:

Böylece Pisagor'u ziyaret ettik; onun teoremini eski bir yöntemle kanıtladık.

Dik üçgen ve trigonometri

Bir dik üçgen için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

Dar açının sinüsü orana eşit ters taraf hipotenüse

Dar bir açının kosinüsü, komşu kenarın hipotenüse oranına eşittir.

Bir dar açının tanjantı karşı kenarın komşu kenara oranına eşittir.

Bir dar açının kotanjantı, komşu kenarın karşı kenara oranına eşittir.

Ve bir kez daha tüm bunlar bir tablet biçiminde:

Çok rahat!

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

I. İki tarafta

II. Bacak ve hipotenüse göre

III. Hipotenüs ve dar açıya göre

IV. Bacak boyunca ve dar açı

Dikkat! Burada bacakların “uygun” olması çok önemlidir. Örneğin, eğer şu şekilde giderse:

O halde ÜÇGENLER EŞİT DEĞİLDİR aynı dar açıya sahip olmalarına rağmen.

Gerekiyor her iki üçgende de bacak bitişikti veya her ikisinde de zıttı.

Dik üçgenlerin eşitlik işaretlerinin, üçgenlerin eşitlik işaretlerinden ne kadar farklı olduğunu fark ettiniz mi? Konuya bakın ve “sıradan” üçgenlerin eşitliği için elemanlarından üçünün eşit olması gerektiğine dikkat edin: iki kenar ve aralarındaki açı, iki açı ve aralarındaki kenar veya üç kenar. Ancak dik üçgenlerin eşitliği için yalnızca karşılık gelen iki öğe yeterlidir. Harika, değil mi?

Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri ile durum yaklaşık olarak aynıdır.

Dik üçgenlerin benzerlik belirtileri

I. Dar bir açı boyunca

II. İki tarafta

III. Bacak ve hipotenüse göre

Dik üçgende medyan

Bu neden böyle?

Dik üçgen yerine tam bir dikdörtgen düşünün.

Bir köşegen çizelim ve bir nokta düşünelim; köşegenlerin kesişme noktası. Dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliniyor?

Peki bundan ne sonuç çıkıyor?

Böylece ortaya çıktı

- medyan:

Bu gerçeği unutmayın! Çok yardımcı oluyor!

Daha da şaşırtıcı olan ise bunun tam tersinin de geçerli olmasıdır.

Hipotenüse çizilen medyanın hipotenüsün yarısına eşit olmasından ne gibi bir fayda elde edilebilir? Hadi resme bakalım

Dikkatli bak. Elimizde: , yani noktadan üçgenin üç köşesine olan mesafelerin eşit olduğu ortaya çıktı. Ancak üçgende üçgenin üç köşesine de mesafeleri eşit olan tek bir nokta vardır ve bu da ÇEMBERİN MERKEZİdir. Peki ne oldu?

O halde şu "ayrıca..." ile başlayalım.

Şimdi ve'ye bakalım.

Ancak benzer üçgenler tüm açılar eşittir!

Aynı şey hakkında da söylenebilir ve

Şimdi birlikte çizelim:

Bu “üçlü” benzerlikten ne gibi faydalar elde edilebilir?

Mesela - Dik üçgenin yüksekliği için iki formül.

İlgili tarafların ilişkilerini yazalım:

Yüksekliği bulmak için orantıyı çözeriz ve şunu elde ederiz: ilk formül "Dik üçgende yükseklik":

O halde benzerliği uygulayalım: .

Ne olacak şimdi?

Yine orantıyı çözüyoruz ve ikinci formülü elde ediyoruz:

Bu formüllerin ikisini de çok iyi hatırlamanız ve size daha uygun olanı kullanmanız gerekiyor. Tekrar yazalım

Pisagor teoremi:

Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir: .

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri:

iki tarafta:
bacak ve hipotenüse göre: veya
bacak boyunca ve bitişik dar açı boyunca: veya
bacak boyunca ve karşıt dar açıda: veya
hipotenüs ve dar açıya göre: veya.

Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri:

bir akut köşe: veya
iki bacağın orantılılığından:
bacağın ve hipotenüsün orantılılığından: veya.

Bir dik üçgende sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant

Bir dik üçgenin dar açısının sinüsü, karşı tarafın hipotenüse oranıdır:
Bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır:
Bir dik üçgenin dar açısının tanjantı, karşı tarafın bitişik kenara oranıdır:
Bir dik üçgenin dar açısının kotanjantı, komşu kenarın karşı kenara oranıdır: .

Bir dik üçgenin yüksekliği: veya.

Bir dik üçgende dik açının tepe noktasından çizilen kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir: .

Dik üçgenin alanı:

bacaklar yoluyla:

Pisagor teoremi

Diğer teoremlerin ve problemlerin kaderi tuhaftır... Örneğin matematikçilerin ve matematik severlerin Pisagor teoremine bu kadar olağanüstü ilgi göstermesi nasıl açıklanabilir? Neden birçoğu halihazırda bilinen kanıtlarla yetinmeyip kendi kanıtlarını buldular ve kanıt sayısını görece öngörülebilir yirmi beş yüzyıldan fazla birkaç yüze çıkardılar?
Ne zaman Hakkında konuşuyoruz Pisagor teoremi hakkında alışılmadık olan, ismiyle başlar. Bunu ilk formüle edenin Pisagor olmadığına inanılıyor. Ayrıca buna dair kanıt sunması da şüpheli kabul ediliyor. Eğer Pisagor gerçek bir insansa (hatta bazıları bundan şüphe ediyor!), o zaman büyük olasılıkla 6.-5. yüzyıllarda yaşamıştı. M.Ö e. Kendisi hiçbir şey yazmadı, kendisine filozof adını verdi, bu onun anlayışına göre "bilgelik için çabalamak" anlamına geliyordu ve üyeleri müzik, jimnastik, matematik, fizik ve astronomi okuyan Pisagor Birliği'ni kurdu. Görünüşe göre, aynı zamanda Croton şehrinde kalışıyla ilgili aşağıdaki efsanenin de gösterdiği gibi mükemmel bir hatipti: “Pisagor'un Croton'daki halkın önüne ilk çıkışı genç adamlara yaptığı bir konuşmayla başladı. Katı ama aynı zamanda çok etkileyici bir şekilde gençlerin görevleri özetlendi ve şehirdeki yaşlılar onları talimatsız bırakmamalarını istedi. Bu ikinci konuşmasında kanunilik ve ahlakın temizliğinin ailenin temeli olduğuna dikkat çekti; sonraki ikisinde çocuklara ve kadınlara hitap etti. Sonuçlar son konuşma Lüksü özellikle kınadığı şey, binlerce değerli elbisenin Hera tapınağına teslim edilmesiydi, çünkü artık tek bir kadın bile bu elbiselerle sokakta görünmeye cesaret edemiyordu...” Bununla birlikte, MS 2. yüzyılda bile, yani. 700 yıl sonra oldukça iyi yaşadılar ve çalıştılar. gerçek insanlar Pisagor ittifakından açıkça etkilenen ve efsaneye göre Pisagor'un yarattığı şeye büyük saygı duyan olağanüstü bilim adamları.
Ayrıca teoreme olan ilginin aynı zamanda aşağıdakilerden birini işgal etmesinden de kaynaklandığına şüphe yoktur. merkezi yerlerçağımızdan önce yaşayan Romalı şair Quintus Horace Flaccus'un çok iyi söylediği zorlukların üstesinden gelen kanıtların yazarlarının memnuniyeti: "Bilinen gerçekleri ifade etmek zordur."
Başlangıçta teorem, hipotenüs üzerine inşa edilen karelerin alanları ile bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi kurdu:
.
Cebirsel formülasyon:
Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.
Yani, üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu c ile ve kenarlarının uzunluklarını a ve b ile gösteririz: a 2 + b 2 =c 2. Teoremin her iki formülasyonu da eşdeğerdir, ancak ikinci formülasyon daha basittir; alan kavramını gerektirmez. Yani ikinci ifade, alan hakkında hiçbir şey bilmeden ve bir dik üçgenin yalnızca kenar uzunlukları ölçülerek doğrulanabilir.
Converse teoremi Pisagor. Herhangi bir pozitif sayı üçlüsü için a, b ve c öyle ki
a 2 + b 2 = c 2, bacakları a ve b olan ve hipotenüsü c olan bir dik üçgen vardır.

Kanıt

Açık şu an V Bilimsel edebiyat Bu teoremin 367 kanıtı kaydedildi. Muhtemelen Pisagor teoremi bu kadar etkileyici sayıda kanıta sahip olan tek teoremdir. Bu çeşitlilik ancak teoremin geometri açısından temel önemi ile açıklanabilir.
Elbette kavramsal olarak hepsi az sayıda sınıfa ayrılabilir. Bunlardan en ünlüsü: alan yöntemiyle ispatlar, aksiyomatik ve egzotik ispatlar (örneğin diferansiyel denklemler kullanılarak).

Benzer üçgenler sayesinde

Cebirsel formülasyonun aşağıdaki kanıtı, doğrudan aksiyomlardan oluşturulan kanıtların en basitidir. Özellikle bir şeklin alanı kavramını kullanmaz.
ABC, C açısı dik olan bir dik üçgen olsun. C'den yüksekliğini çizin ve tabanını H ile gösterin. ACH üçgeni ABC üçgenine iki açıda benzer.
Benzer şekilde CBH üçgeni ABC üçgenine benzer. Gösterimi tanıtarak

aldık

Eşdeğer nedir

Bunu topladığımızda şunu elde ederiz

veya

Alan yöntemini kullanan ispatlar

Aşağıdaki ispatlar, görünürdeki basitliklerine rağmen, hiç de o kadar basit değil. Hepsi, ispatı Pisagor teoreminin ispatından daha karmaşık olan alan özelliklerini kullanır.

Eştamamlama yoluyla kanıt

1. Dört eşit dik üçgeni şekilde gösterildiği gibi yerleştirin.
2. Kenarları c olan bir dörtgen bir karedir, çünkü iki sayının toplamı keskin köşeler 90° ve açılma açısı 180°'dir.
3. Şeklin tamamının alanı, bir yandan (a + b) kenarlı bir karenin alanına, diğer yandan alanların toplamına eşittir. dört üçgen ve bir iç kare.

Q.E.D.

Denklik yoluyla ispatlar

Böyle bir kanıtın bir örneği sağdaki çizimde gösterilmektedir; burada hipotenüs üzerine inşa edilmiş bir kare, bacaklar üzerinde inşa edilmiş iki kare halinde yeniden düzenlenmektedir.

Öklid'in kanıtı

Öklid ispatının fikri şu şekildedir: Hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının yarısının, bacaklar üzerine kurulan karelerin yarım alanlarının toplamına eşit olduğunu ve ardından hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanlarının toplamına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım. büyük ve iki küçük kare eşittir. Soldaki çizime bakalım. Üzerine bir dik üçgenin kenarlarına kareler inşa ettik ve C dik açısının tepesinden AB hipotenüsüne dik bir s ışını çizdik, hipotenüs üzerine inşa edilen ABIK karesini iki dikdörtgene böldü - BHJI ve HAKJ, sırasıyla. Bu dikdörtgenlerin alanlarının, karşılık gelen ayaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarına tam olarak eşit olduğu ortaya çıktı. DECA karesinin alanının AHJK dikdörtgeninin alanına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım. Bunu yapmak için yardımcı bir gözlem kullanacağız: Yüksekliği ve tabanı aynı olan bir üçgenin alanı. verilen dikdörtgen verilen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir. Bu, bir üçgenin alanını taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı olarak tanımlamanın bir sonucudur. Bu gözlemden, ACK üçgeninin alanının AHK üçgeninin alanına (şekilde gösterilmemiştir) eşit olduğu ve bunun da AHJK dikdörtgen alanının yarısına eşit olduğu anlaşılmaktadır. Şimdi ACK üçgeninin alanının DECA karesinin alanının yarısına eşit olduğunu kanıtlayalım. Bunun için yapılması gereken tek şey ACK ve BDA üçgenlerinin eşitliğini ispatlamaktır (çünkü yukarıdaki özelliğe göre BDA üçgeninin alanı karenin alanının yarısına eşittir). Bu eşitlik açıktır, üçgenlerin her iki tarafı ve aralarındaki açı eşittir. Yani - AB=AK,AD=AC - CAK ve BAD açılarının eşitliğini hareket yöntemiyle kanıtlamak kolaydır: CAK üçgenini saat yönünün tersine 90° döndürürüz, o zaman iki üçgenin karşılık gelen kenarlarının soru çakışacaktır (karenin tepe noktasındaki açının 90° olması nedeniyle). BCFG karesi ile BHJI dikdörtgeninin alanlarının eşitliğinin mantığı tamamen benzerdir. Böylece hipotenüs üzerine kurulan bir karenin alanının, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarından oluştuğunu kanıtlamış olduk.

Leonardo da Vinci'nin Kanıtı

İspatın ana unsurları simetri ve harekettir.

Çizimi ele alalım, simetriden görülebileceği gibi, CI parçası ABHJ karesini iki özdeş parçaya böler (çünkü ABC üçgenleri ve JHI yapı bakımından eşittir). Saat yönünün tersine 90 derecelik bir dönüş kullanarak gölgeli CAJI ve GDAB şekillerinin eşitliğini görüyoruz. Artık gölgelendirdiğimiz şeklin alanının, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarının yarısı ile orijinal üçgenin alanının toplamına eşit olduğu açıktır. Öte yandan hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının yarısı artı orijinal üçgenin alanına eşittir. İspatın son adımı okuyucuya bırakılmıştır.

Pisagor teoremi- Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biri olan ilişkiyi kuran

Bir dik üçgenin kenarları arasında.

Adını aldığı Yunan matematikçi Pisagor tarafından kanıtlandığına inanılıyor.

Pisagor teoreminin geometrik formülasyonu.

Teorem başlangıçta şu şekilde formüle edildi:

Bir dik üçgende hipotenüs üzerine kurulan karenin alanı karelerin alanlarının toplamına eşittir,

bacaklar üzerine inşa edilmiştir.

Pisagor teoreminin cebirsel formülasyonu.

Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.

Yani üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu ifade ederek C ve bacakların uzunlukları A Ve B:

Her iki formülasyon Pisagor teoremi eşdeğerdir, ancak ikinci formülasyon daha basittir;

alan kavramını gerektirir. Yani ikinci ifade, alan hakkında hiçbir şey bilmeden doğrulanabilir ve

Bir dik üçgenin yalnızca kenarlarının uzunluklarını ölçerek.

Converse Pisagor teoremi.

Bir üçgenin bir kenarının karesi diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşitse, o zaman

sağ üçgen.

Veya başka bir deyişle:

Pozitif sayıların her üçlüsü için A, B Ve C, öyle ki

bacakları olan bir dik üçgen var A Ve B ve hipotenüs C.

İkizkenar üçgen için Pisagor teoremi.

Eşkenar üçgen için Pisagor teoremi.

Pisagor teoreminin kanıtları.

Şu anda bilimsel literatürde bu teoremin 367 ispatı kayıtlıdır. Muhtemelen teorem

Pisagor bu kadar etkileyici sayıda kanıta sahip olan tek teoremdir. Böyle bir çeşitlilik

yalnızca teoremin geometri açısından temel önemi ile açıklanabilir.

Elbette kavramsal olarak hepsi az sayıda sınıfa ayrılabilir. Bunlardan en ünlüsü:

kanıt alan yöntemi, aksiyomatik Ve egzotik kanıtlar(Örneğin,

kullanarak diferansiyel denklemler).

1. Benzer üçgenler kullanılarak Pisagor teoreminin kanıtı.

Cebirsel formülasyonun aşağıdaki kanıtı oluşturulan kanıtların en basitidir

doğrudan aksiyomlardan. Özellikle bir şeklin alanı kavramını kullanmaz.

İzin vermek ABC dik açılı bir dik üçgen var C. Yüksekliği buradan çizelim C ve belirtmek

onun temeli H.

Üçgen ACHüçgene benzer ABİki köşede C. Aynı şekilde üçgen CBH benzer ABC.

Gösterimi tanıtarak:

şunu elde ederiz:

hangisine karşılık gelir -

Katlanmış A 2 ve B 2, şunu elde ederiz:

veya kanıtlanması gereken şey buydu.

2. Pisagor teoreminin alan yöntemini kullanarak ispatı.

Aşağıdaki ispatlar, görünürdeki basitliklerine rağmen, hiç de o kadar basit değil. Hepsi

Kanıtları Pisagor teoreminin kanıtından daha karmaşık olan alan özelliklerini kullanın.

Eştamamlayıcılık yoluyla kanıt.

Dört eşit dikdörtgen düzenleyelim

şekilde gösterildiği gibi üçgen

sağda.

Kenarları olan dörtgen C- kare,

iki dar açının toplamı 90° olduğundan

açılmamış açı - 180°.

Bir yandan tüm şeklin alanı eşittir,

kenarlı bir karenin alanı ( a+b) ve diğer taraftan miktar dört kareüçgenler ve

Q.E.D.

3. Pisagor teoreminin sonsuz küçük yöntemle kanıtı.

Şekilde gösterilen çizime bakıldığında ve

yan değişimi izliyorumA, yapabiliriz

sonsuz için aşağıdaki ilişkiyi yazın

küçük yan artışlarİle Ve A(benzerlik kullanarak

üçgenler):

Değişken ayırma yöntemini kullanarak şunları buluruz:

Daha genel ifade Her iki bacağın da artması durumunda hipotenüsü değiştirmek için:

Entegrasyon verilen denklem ve kullanarak başlangıç koşulları, şunu elde ederiz:

Böylece istenilen cevaba ulaşıyoruz:

Görülmesi kolay olduğu gibi, son formüldeki ikinci dereceden bağımlılık doğrusallık nedeniyle ortaya çıkar.

Üçgenin kenarları ile artışlar arasındaki orantılılık, toplam ise bağımsız olarak ilişkilidir

Farklı bacakların arttırılmasından elde edilen katkılar.

Bacaklardan birinde artış yaşanmadığını varsayarsak daha basit bir kanıt elde edilebilir.

(V bu durumda bacak B). Daha sonra entegrasyon sabiti için şunu elde ederiz:

Formülün Pisagor teoremi türetilmesi. Sağ üçgen