Pi hesaplanır. Pi'nin değerini hesaplamak

Farklı boyutlardaki daireleri karşılaştırırsanız şunu fark edeceksiniz: Farklı dairelerin boyutları orantılıdır. Bu, bir dairenin çapı belirli sayıda arttığında bu dairenin uzunluğunun da aynı sayıda arttığı anlamına gelir. Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir:

burada C1 ve C2 iki farklı dairenin uzunluklarıdır ve d1 ve d2 bunların çaplarıdır.
Bu ilişki bir orantı katsayısının (bizim zaten aşina olduğumuz π sabiti) varlığında çalışır. İlişki (1)'den şu sonucu çıkarabiliriz: Bir dairenin C uzunluğu, bu dairenin çapının ve daireden bağımsız bir orantı katsayısı π'nin çarpımına eşittir:

C = π d.

Bu formül aynı zamanda belirli bir dairenin R yarıçapından d çapını ifade edecek şekilde başka bir biçimde de yazılabilir:

C = 2πR.

Bu formül tam da yedinci sınıf öğrencileri için dairelerin dünyasına yönelik bir rehberdir.

Antik çağlardan beri insanlar bu sabitin değerini belirlemeye çalışmışlardır. Örneğin Mezopotamya sakinleri aşağıdaki formülü kullanarak bir dairenin alanını hesapladılar:

π = 3 nereden geliyor?

İÇİNDE Antik Mısırπ değeri daha doğruydu. MÖ 2000-1700 yıllarında Ahmes adlı bir katip, içinde çeşitli sorunların çözümüne yönelik tarifler bulduğumuz bir papirüs derledi. pratik problemler. Örneğin bir dairenin alanını bulmak için şu formülü kullanıyor:

Bu formüle hangi gerekçelerle ulaştı? - Bilinmeyen. Ancak muhtemelen diğer antik filozofların yaptığı gibi onun gözlemlerine dayanıyordu.

Arşimed'in izinde

İki sayıdan hangisi 22/7 veya 3,14'ten büyüktür?
- Onlar eşit.
- Neden?
- Her biri π'ye eşittir.
A. A. Vlasov. Sınav Kartından.

Bazı insanlar 22/7 kesirinin ve π sayısının aynı olduğuna inanıyor. Ancak bu bir yanılgıdır. Sınavdaki yukarıdaki yanlış cevaba ek olarak (bkz. epigraf), bu gruba çok eğlenceli bir bulmaca da ekleyebilirsiniz. Görev şu şekildedir: "eşitliğin gerçekleşmesi için bir eşleşme düzenleyin."

Çözüm şu olabilir: Sağdaki paydadaki dikey eşleşmelerden birini kullanarak soldaki iki dikey eşleşme için bir "çatı" oluşturmanız gerekir. π harfinin görsel bir görüntüsünü elde edeceksiniz.

Birçok kişi π = 22/7 yaklaşımının eski Yunan matematikçi Arşimet tarafından belirlendiğini biliyor. Bunun onuruna, bu yaklaşıma genellikle "Arşimed Sayısı" adı verilir. Arşimet sadece π için yaklaşık bir değer bulmayı değil, aynı zamanda bu yaklaşımın doğruluğunu da bulmayı, yani dar bir değer bulmayı başardı. sayısal aralıkπ değerinin ait olduğu yer. Arşimet, çalışmalarından birinde, modern bir bakış açısıyla şöyle görünecek bir eşitsizlikler zincirini kanıtlıyor:

daha basit şekilde yazılabilir: 3.140 909< π < 3,1 428 265...

Eşitsizliklerden gördüğümüz gibi Arşimet oldukça Kesin değer 0,002 doğrulukla. En şaşırtıcı olanı ise ilk iki ondalık basamağı bulması: 3,14... Bu, basit hesaplamalarda en sık kullandığımız değerdir.

Pratik kullanım

Bir trende iki kişi seyahat ediyor:
- Bakın raylar düz, tekerlekler yuvarlak.
Vuruş nereden geliyor?
- Nereden? Tekerlekler yuvarlaktır ancak alan
daire iskele karesi, kapıyı çalan kare budur!

Kural olarak, bu şaşırtıcı sayıyla 6.-7. sınıfta tanışırlar, ancak 8. sınıfın sonunda onu daha derinlemesine incelerler. Makalenin bu bölümünde ana ve en fazlasını sunacağız. önemli formüllerçözmede işinize yarayacak geometrik problemler Başlangıç ​​olarak hesaplama kolaylığı açısından π'yi 3,14 olarak kabul edelim.

Belki de en ünlü formülπ'nin kullanıldığı okul çocukları arasında bu, bir dairenin uzunluğu ve alanı için formüldür. Birincisi, dairenin alanı formülü şu şekilde yazılmıştır:

burada S dairenin alanıdır, R yarıçapıdır, D dairenin çapıdır.

Bir dairenin çevresi veya bazen denildiği gibi bir dairenin çevresi aşağıdaki formülle hesaplanır:

C = 2 π R = π d,

burada C çevredir, R yarıçaptır, d dairenin çapıdır.

D çapının iki R yarıçapına eşit olduğu açıktır.

Çevre formülünden dairenin yarıçapını kolayca bulabilirsiniz:

burada D çaptır, C çevredir, R dairenin yarıçapıdır.

Bu temel formüller Her öğrencinin bilmesi gerekenler. Ayrıca, bazen tüm dairenin alanını değil, yalnızca onun bir kısmını - sektörü hesaplamak gerekir. Bu nedenle, bunu size sunuyoruz - bir daire sektörünün alanını hesaplamak için bir formül. Şuna benziyor:

burada S sektörün alanıdır, R dairenin yarıçapıdır, α merkez açı derece cinsinden.

Çok gizemli 3.14

Aslında gizemlidir. Çünkü bu büyülü sayıların onuruna tatiller düzenliyorlar, filmler çekiyorlar, halka açık etkinlikler düzenliyorlar, şiirler yazıyorlar ve çok daha fazlasını yapıyorlar.

Örneğin 1998'de Amerikalı yönetmen Darren Aronofsky'nin "Pi" adlı filmi gösterime girdi. Film birçok ödül aldı.

Her yıl 14 Mart günü saat 1:59:26'da matematikle ilgilenen insanlar "Pi Günü"nü kutlarlar. Tatil için insanlar yuvarlak bir pasta hazırlıyor, oturup yuvarlak masa Pi'yi tartışın ve Pi ile ilgili problemleri ve bulmacaları çözün.

Şairler de bu şaşırtıcı sayıya dikkat çekti; bilinmeyen bir kişi şunları yazdı:
Sadece her şeyi olduğu gibi hatırlamaya çalışmalısınız - üç, on dört, on beş, doksan iki ve altı.

Hadi biraz eğlenelim!

Size Pi sayısıyla ilginç bulmacalar sunuyoruz. Aşağıda şifrelenmiş kelimeleri çözün.

1. π R

2. π L

3. π k

Cevaplar: 1. Bayram; 2. Dosya; 3. Gıcırtı.

() ve Euler'in çalışmalarından sonra genel olarak kabul edildi. Bu atama şuradan geliyor: ilk mektup Yunanca kelimeler περιφέρεια - daire, çevre ve περίμετρος - çevre.

Derecelendirmeler

• 510 ondalık basamak: π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 12 8 75 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 8 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Özellikler

Oranlar

π sayısını içeren birçok bilinen formül vardır:

• Wallis formülü:

• Euler'in kimliği:

• T.n. "Poisson integrali" veya "Gauss integrali"

Aşkınlık ve mantıksızlık

Çözülmemiş sorunlar

• π ve sayılarının olup olmadığı bilinmemektedir. e cebirsel olarak bağımsızdır.
• π + sayılarının olup olmadığı bilinmiyor e , π − e , π e , π / e , π e , π π , e e transandantal.
• Şu ana kadar π sayısının normalliği hakkında hiçbir şey bilinmiyor; π sayısının ondalık gösteriminde 0-9 arasındaki rakamlardan hangisinin bulunduğu bile bilinmemektedir. sonsuz sayı bir kere.

Hesaplama geçmişi

ve Chudnovsky

Anımsatıcı kurallar

Hata yapmamak için doğru okumalıyız: Üç, on dört, on beş, doksan iki ve altı. Sadece her şeyi olduğu gibi hatırlamaya çalışmalısınız: Üç, on dört, on beş, doksan iki ve altı. Üç, on dört, on beş, dokuz, iki, altı, beş, üç, beş. Böylece bilim yap Bunu herkes bilmeli. Daha sık deneyip tekrarlayabilirsiniz: "Üç, on dört, on beş, Dokuz, yirmi altı ve beş."

2. Aşağıdaki cümlelerdeki her kelimenin harf sayısını sayın ( noktalama işaretleri hariç) ve bu sayıları arka arkaya yazın - unutmadan ondalık nokta tabii ki ilk rakam olan “3”ten sonra. Sonuç yaklaşık bir Pi sayısı olacaktır.

Bunu çok iyi biliyorum ve hatırlıyorum: Ama birçok işaret benim için gereksiz, boşuna.

Her kim şaka yollu ve kısa sürede Pi'nin numarayı bilmesini isterse - zaten biliyor!

Bunun üzerine Misha ve Anyuta koşarak geldiler ve numarayı öğrenmek istediler.

(İkinci anımsatıcı doğrudur (son rakamın yuvarlanmasıyla) sadece reform öncesi yazım kullanırken: kelimelerdeki harflerin sayısını sayarken sert işaretleri hesaba katmak gerekir!)

Bu anımsatıcı gösterimin başka bir versiyonu:

Bunu çok iyi biliyorum ve hatırlıyorum:
Ve birçok işaret benim için boşuna gereksiz.
Muazzam bilgimize güvenelim
Donanmanın sayılarını sayanlar.

Eğer uyuyorsan şiirsel ölçü, oldukça hızlı bir şekilde hatırlayabilirsiniz:

Üç, on dört, on beş, dokuz iki, altı beş, üç beş
Sekiz dokuz, yedi ve dokuz, üç iki, üç sekiz, kırk altı
İki altı dört, üç üç sekiz, üç iki yedi dokuz, beş sıfır iki
sekiz sekiz ve dört, on dokuz, yedi, bir

Eğlenceli gerçekler

Notlar

Diğer sözlüklerde “Pi”nin ne olduğunu görün:

sayı- Alıcı kaynak: GOST 111 90: Cam levha. Özellikler orijinal belge İlgili terimlere de bakın: 109. Betatron salınımlarının sayısı ... Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı

İsim, s., kullanılmış. çok sık Morfoloji: (hayır) ne? sayılar, ne? sayı, (bkz.) ne? sayı, ne? sayı, ne hakkında? sayı hakkında; pl. Ne? sayılar, (hayır) ne? sayılar, neden? sayılar, (bkz.) ne? sayılar, ne? sayılar, ne hakkında? Sayılar matematiği hakkında 1. Sayılara göre... ... Sözlük Dmitrieva

SAYI, sayılar, çoğul. sayılar, sayılar, sayılar, bkz. 1. Konsept, etkileyici miktar, nesnelerin ve olayların sayıldığı miktar (mat.). Tamsayı. Kesirli bir sayı. Adlandırılmış numara. Asal sayı. (bkz. basit 1'i 1 arada değeri).… … Ushakov'un Açıklayıcı Sözlüğü

Belirli bir serinin herhangi bir üyesinin özel içerik tanımından yoksun, bu üyenin önünde veya arkasında başka bir üyenin yer aldığı özet. belirli üye; soyut bireysel özellik, bir seti diğerlerinden ayıran... ... Felsefi Ansiklopedi

Sayı- Sayı gramer kategorisi düşünce nesnelerinin niceliksel özelliklerini ifade eder. Dil bilgisi numarası sözcüksel tezahürün yanı sıra daha genel dilsel nicelik kategorisinin (bkz. Dil kategorisi) tezahürlerinden biri (“sözcüksel ... ... Dilbilimsel ansiklopedik sözlük

Matematikte sıklıkla bulunan ve yaklaşık olarak 2,718'e eşit bir sayı. Doğa Bilimleri. Örneğin çöküş sırasında radyoaktif madde t zamanından sonra, başlangıçtaki madde miktarının bir kısmı e kt'ye eşit kalır, burada k bir sayıdır,... ... Collier Ansiklopedisi

A; pl. sayılar, sat, çarpma; evlenmek 1. Belirli bir miktarı ifade eden hesap birimi. Kesirli, tamsayı, asal saatler. Çift, tek saatler. Yuvarlak sayılarla sayın (yaklaşık olarak tam birimler veya onluklar halinde sayın). Doğal h (pozitif tamsayı... ansiklopedik sözlük

Evlenmek. miktar, sayıma göre, soruya: ne kadar? ve miktarı, sayıyı ifade eden işaretin kendisi. Numarasız; saymadan sayı olmaz, çok, çok. Çatal bıçak takımınızı misafir sayısına göre ayarlayın. Roma, Arap veya kilise numaraları. Tamsayı, zıt. kesir... ... Dahl'ın Açıklayıcı Sözlüğü

Bir dairenin çevresinin çapına oranı tüm daireler için aynıdır. Bu ilişki genellikle belirtilir Yunan harfi(“pi” baş harftir Yunan kelimesi "daire" anlamına geliyordu).

Arşimet, “Çemberin Ölçülmesi” adlı eserinde çevrenin çapa (sayıya) oranını hesaplamış ve bunun 3 10/71 ile 3 1/7 arasında olduğunu bulmuştur.

Uzun bir süre boyunca 22/7 sayısı yaklaşık bir değer olarak kullanıldı, ancak 5. yüzyılda Çin'de 355/113 = 3.1415929... yaklaşımı bulunmuş olmasına rağmen, bu sayı Avrupa'da ancak 16. yüzyılda yeniden keşfedildi.

İÇİNDE Antik Hindistan= 3,1622…'ye eşit kabul edilir.

Fransız matematikçi F. Viète, 1579'da 9 rakamla hesapladı.

Hollandalı matematikçi Ludolf Van Zeijlen, 1596 yılında on yıllık çalışmasının sonucunu - 32 basamakla hesaplanan sayıyı - yayınladı.

Ancak sayının değerine ilişkin tüm bu açıklamalar Arşimed'in belirttiği yöntemler kullanılarak gerçekleştirildi: dairenin yerini her şeyi içeren bir çokgen aldı. Büyük bir sayı taraflar Yazılı çokgenin çevresi dairenin çevresinden daha küçüktü ve çevrelenen çokgenin çevresi daha büyüktü. Ancak aynı zamanda sayının rasyonel yani iki tam sayının oranı mı yoksa irrasyonel mi olduğu belirsizliğini korudu.

Sadece 1767'de Alman matematikçi I.G. Lambert bu sayının irrasyonel olduğunu kanıtladı.

Ve bir yüz saniye daha sonra ekstra yıllar 1882'de başka bir Alman matematikçi F. Lindemann bunun aşkınlığını kanıtladı; bu, bir pergel ve cetvel kullanarak belirli bir daireye eşit boyutta bir kare oluşturmanın imkansızlığı anlamına geliyordu.

Kalın karton üzerine çapı bir daire çizin D(=15cm), ortaya çıkan daireyi kesin ve etrafına ince bir iplik sarın. Uzunluğun ölçülmesi ben(=46,5 cm) bir tam dönüş iplikler, bölme ben çap uzunluğu başına D daireler. Ortaya çıkan bölüm, sayının yaklaşık değeri olacaktır; = ben/ D= 46,5 cm / 15 cm = 3,1. Bu oldukça kaba yöntem, normal koşullar altında, sayının 1'e kadar doğru olan yaklaşık değerini verir.

Bir karton parçasına bir kare çizin. İçine bir daire yazalım. Bir kare keselim. Okul terazisini kullanarak bir karton karenin kütlesini belirleyelim. Kareden bir daire keselim. Onu da tartalım. Meydanın kütlelerini bilmek metrekare (=10 gr) ve içinde yazılı olan daire m cr (=7,8 gr) formülleri kullanalım

nerede p ve H– sırasıyla kartonun yoğunluğu ve kalınlığı, S– şeklin alanı. Eşitliklere bakalım:

Doğal olarak bu durumda yaklaşık değer tartım doğruluğuna bağlıdır. Tartılan karton figürler oldukça büyükse, sıradan ölçeklerde bile sayının 0,1 doğrulukla tahmin edilmesini sağlayacak kütle değerleri elde etmek mümkündür.

Yarım daire içine yazılan dikdörtgenlerin alanlarının toplamı

Resim 1

A (a; 0), B (b; 0) olsun. AB üzerindeki yarım daireyi çap olarak tanımlayalım. AB parçasını x 1, x 2, ..., x n-1 noktalarına göre n eşit parçaya bölün ve onlardan dik açıları yarım daire ile kesişme noktasına geri getirin. Bu tür dikmelerin her birinin uzunluğu f(x)= fonksiyonunun değeridir. Şekil 1'den yarım dairenin alanının S'nin aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabileceği açıktır.

Bizim durumumuzda b=1, a=-1. Daha sonra = 2 S.

AB segmentinde ne kadar çok bölme noktası varsa değerler o kadar doğru olacaktır. Monoton bilgi işlem çalışmasını kolaylaştırmak için, BASIC'te derlenen program 1'in aşağıda verildiği bir bilgisayar yardımcı olacaktır.

Program 1

REM "Pi Hesaplaması"
REM "Dikdörtgen Yöntemi"
INPUT "Dikdörtgen sayısını girin", n
dx = 1/n
İÇİN i = 0 İLE n - 1
f = KARE(1 - x^2)
x = x + dx
a = a + f
SONRAKİ ben
p = 4 * dx * a
PRINT "Pi'nin değeri ", p
SON

Program farklı parametre değerleriyle yazıldı ve başlatıldı N. Ortaya çıkan sayı değerleri tabloya yazılmıştır:

Bu aslında istatistiksel bir test yöntemidir. Egzotik adını Monako Prensliği'ndeki kumar evleriyle ünlü Monte Carlo şehrinden almıştır. Gerçek şu ki, yöntem rastgele sayıların kullanılmasını gerektiriyor ve rastgele sayılar üreten en basit cihazlardan biri rulet. Ancak...yağmur kullanarak rastgele sayılar elde edebilirsiniz.

Deney için bir parça karton hazırlayalım, üzerine bir kare çizelim ve karenin içine bir dairenin çeyreğini yazalım. Böyle bir çizim bir süre yağmurda tutulursa yüzeyinde damla izleri kalacaktır. Karenin içindeki ve çeyrek dairenin içindeki iz sayısını sayalım. Açıkçası, damlalar çizimde farklı yerlere eşit olasılıkla düşeceğinden, oranları bu rakamların alanlarının oranına yaklaşık olarak eşit olacaktır. İzin vermek N cr– bir dairedeki damla sayısı, N metrekare damla sayısının karesi, o zaman

şekil 2

Yağmur, özel bir program kullanılarak bir bilgisayar kullanılarak derlenen rastgele sayılar tablosuyla değiştirilebilir. Bir damlanın her izine eksenler boyunca konumunu karakterize eden iki rastgele sayı atayalım. Ah Ve kuruluş birimi. Rastgele sayılar tablodan herhangi bir sırayla, örneğin arka arkaya seçilebilir. Tablodaki ilk dört haneli sayı olsun 3265 . Ondan her biri bir çift sayı hazırlayabilirsiniz. Sıfırın üstünde ve birden az: x=0,32, y=0,65. Bu sayıları düşüşün koordinatları olarak kabul edeceğiz, yani düşüş (0,32; 0,65) noktasına ulaşmış gibi görünüyor. Aynısını seçilen tüm rastgele sayılarla yapıyoruz. Eğer bu noktaya gelirse (x;y) Eşitsizlik geçerliyse çemberin dışındadır. Eğer x + y = 1, o zaman nokta dairenin içinde yer alır.

Değeri hesaplamak için yine formül (1) kullanıyoruz. Bu yöntemi kullanan hesaplama hatası genellikle ile orantılıdır; burada D bir sabittir ve N test sayısıdır. Bizim durumumuzda N = N metrekare. Bu formülden açıktır: Hatayı 10 kat azaltmak için (başka bir deyişle cevapta başka bir doğru ondalık basamak elde etmek için), N'yi, yani iş miktarını 100 kat artırmanız gerekir. Monte Carlo yönteminin kullanımının ancak bilgisayarlar sayesinde mümkün olduğu açıktır. Program 2 açıklanan yöntemi bir bilgisayarda uygular.

Program 2

REM "Pi Hesaplaması"
REM "Monte Carlo Yöntemi"
INPUT "Düşme sayısını girin", n
m = 0
İÇİN i = 1 İLA n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
EĞER x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
SONRAKİ ben
p=4*m/n

SON

Program n parametresinin farklı değerleriyle yazıldı ve başlatıldı. Ortaya çıkan sayı değerleri tabloya yazılmıştır:

Sıradan bir dikiş iğnesi ve bir kağıt parçası alalım. Aralarındaki mesafeler eşit olacak ve iğnenin uzunluğunu aşacak şekilde kağıda birkaç paralel çizgi çizeceğiz. Çizim, yanlışlıkla atılan bir iğnenin sınırlarının dışına çıkmaması için yeterince büyük olmalıdır. Aşağıdaki gösterimi tanıtalım: A- çizgiler arasındaki mesafe, ben– iğne uzunluğu.

Figür 3

Çizim üzerine rastgele atılan bir iğnenin konumu (bkz. Şekil 3), ortasından en yakın düz çizgiye olan X mesafesi ve iğnenin, iğnenin ortasından aşağıya doğru indirilen dikey ile yaptığı j açısı ile belirlenir. en yakın düz çizgi (bkz. Şekil 4). Açık ki

Şekil 4

İncirde. 5 fonksiyonu grafiksel olarak temsil edelim y=0,5cos. Olası tüm iğne konumları koordinatlı noktalarla karakterize edilir (;y) ABCD bölümünde bulunur. AED'nin gölgeli alanı, iğnenin düz bir çizgiyle kesiştiği duruma karşılık gelen noktalardır. Olayın olasılığı A– “iğne düz bir çizgiyi geçti” – aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Şekil 5

Olasılık p(a)İğnenin tekrar tekrar atılmasıyla yaklaşık olarak belirlenebilir. İğnenin çizimin üzerine atılmasına izin verin C bir kez ve P Düz çizgilerden birini geçerken düştüğü için yeterince büyük bir değerle C sahibiz p(a) = p/c. Buradan = 2 l s / ak.

Yorum. Sunulan yöntem istatistiksel test yönteminin bir çeşididir. Basit deneyimi oldukça karmaşık bir matematiksel modelin yaratılmasıyla birleştirmeye yardımcı olduğu için didaktik açıdan ilginçtir.

Taylor serisini kullanarak hesaplama

Keyfi bir işlevin dikkate alınmasına dönelim f(x). Bu noktada onun için öyle olduğunu varsayalım. x 0 kadar tüm siparişlerin türevleri vardır N dahil. Daha sonra fonksiyon için f(x) Taylor serisini yazabiliriz:

Bu seriyi kullanan hesaplamalar, serinin ne kadar çok üyesi dahil olursa o kadar doğru olacaktır. Elbette bu yöntemi program 3'ü kullanabileceğiniz bir bilgisayarda uygulamak en iyisidir.

Program 3

REM "Pi Hesaplaması"
REM "Taylor serisi genişletmesi"
GİRİŞ n
bir = 1
İÇİN i = 1 İLA n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * d
a = a + f
SONRAKİ ben
p = 4 * bir
PRINT "pi'nin değeri eşittir"; P
SON

Program n parametresinin çeşitli değerleri için yazıldı ve çalıştırıldı. Ortaya çıkan sayı değerleri tabloya yazılmıştır:

***

Lada Priora'nın tekerleğinin ortak noktası nedir? evlilik yüzüğü ve kedinin tabağı? Elbette güzellik ve stil diyeceksiniz ama ben sizinle tartışmaya cüret ediyorum. Pi! Bu, başta annemin yüzüğü, babamın en sevdiği arabasının tekerleği ve hatta en sevdiğim kedim Murzik'in tabağı dahil olmak üzere tüm daireleri, daireleri ve yuvarlaklığı birleştiren bir sayıdır. En popüler fiziksel ve matematiksel sabitler sıralamasında Pi'nin şüphesiz ilk sırada yer alacağına bahse girerim. Peki bunun arkasında ne gizli? Belki matematikçilerden gelen bazı korkunç küfürler? Bu konuyu anlamaya çalışalım.

"Pi" sayısı nedir ve nereden geldi?

Modern numara tanımı π (Pi) 1706'da İngiliz matematikçi Johnson sayesinde ortaya çıktı. Bu Yunanca kelimenin ilk harfi περιφέρεια (çevre veya daire). Matematiği uzun zaman önce almış olanlar için, üstelik Pi sayısının bir dairenin çevresinin çapına oranı olduğunu da hatırlatmadan geçemeyeceğiz. Değer bir sabittir, yani yarıçapına bakılmaksızın herhangi bir daire için sabittir. İnsanlar bunu eski zamanlarda biliyordu. Yani eski Mısır'da Pi sayısı alındı orana eşit 256/81 ve Vedik metinlerde değer 339/108 olarak verilirken Arşimet 22/7 oranını önermiştir. Ancak Pi sayısını ifade etmenin ne bunlar ne de diğer birçok yolu doğru bir sonuç vermedi.

Pi sayısının aşkın ve dolayısıyla irrasyonel olduğu ortaya çıktı. Bu, basit bir kesir olarak temsil edilemeyeceği anlamına gelir. Bunu ondalık terimlerle ifade edersek, ondalık noktadan sonraki basamak dizisi sonsuza kadar hızlanacak ve dahası, periyodik olarak kendini tekrarlamayacaktır. Bütün bunlar ne anlama geliyor? Çok basit. Hoşlandığınız kızın telefon numarasını öğrenmek ister misiniz? Muhtemelen Pi'nin ondalık noktasından sonraki rakam dizisinde bulunabilir.

Telefon numarasını burada görebilirsiniz ↓

10.000 haneye kadar doğru Pi numarası.

π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Bulamadınız mı? O zaman bir göz atın.

Genel olarak bu yalnızca bir telefon numarası değil, sayılar kullanılarak kodlanmış herhangi bir bilgi olabilir. Örneğin, Alexander Sergeevich Puşkin'in tüm eserlerini dijital biçimde hayal ederseniz, o zaman onlar daha doğmadan önce bile Pi sayısında saklanıyordu. Prensip olarak hala orada saklanıyorlar. Bu arada, matematikçilerin lanetleri π sadece matematikçiler değil, aynı zamanda mevcutlar. Kısacası, Pi sayısı her şeyi, hatta yarın, yarından sonraki gün, bir yıl veya belki iki yıl sonra parlak kafanızı ziyaret edecek düşünceleri bile içerir. Buna inanmak çok zordur ama inandığımızı hayal etsek bile, ondan bilgi elde etmek ve onu deşifre etmek daha da zor olacaktır. Peki bu sayıların içine girmek yerine belki hoşlandığınız kıza yaklaşıp numarasını sormak daha kolaydır?.. Ancak kolay yollar aramayanlar ya da sadece Pi sayısının ne olduğuyla ilgilenenler için birkaç yol sunuyorum. hesaplamalar. Sağlıklı düşünün.

Pi neye eşittir? Hesaplama yöntemleri:

1. Deneysel yöntem. Pi sayısı bir dairenin çevresinin çapına oranıysa, o zaman gizemli sabitimizi bulmanın ilk ve belki de en bariz yolu, tüm ölçümleri manuel olarak yapmak ve π=l formülünü kullanarak Pi sayısını hesaplamak olacaktır. /D. Burada l dairenin çevresi, d ise çapıdır. Her şey çok basit, sadece çevreyi belirlemek için bir iplik, çapı bulmak için bir cetvel ve aslında ipliğin uzunluğunu bulmak için bir cetvel ve uzun bölmeyle ilgili sorunlarınız varsa bir hesap makinesi ile kendinizi silahlandırmanız gerekiyor. Ölçülecek numunenin rolü bir tencere veya bir kavanoz salatalık olabilir, önemli değil, asıl önemli olan bu mu? böylece tabanda bir daire var.

Dikkate alınan hesaplama yöntemi en basitidir, ancak ne yazık ki ortaya çıkan Pi sayısının doğruluğunu etkileyen iki önemli dezavantajı vardır. Birincisi, ölçüm aletlerinin hatası (bizim durumumuzda bu, iplikli bir cetveldir) ve ikincisi, ölçtüğümüz dairenin sahip olacağının garantisi yoktur. doğru biçim. Bu nedenle matematiğin bize π'yi hesaplamak için kesin ölçümler yapmaya gerek olmayan birçok başka yöntem sunması şaşırtıcı değildir.

2. Leibniz serisi. Pi'yi doğru bir şekilde hesaplamanıza olanak tanıyan birkaç sonsuz seri vardır. büyük miktar ondalık. En basit serilerden biri Leibniz serisidir. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
Çok basit: Payı 4 olan kesirleri (üstte olan budur) ve paydadaki tek sayılar dizisinden bir sayıyı (aşağıdaki budur) alırız, bunları birbirleriyle sırayla toplayıp çıkarırız ve Pi sayısını elde ederiz. . Basit eylemlerimizin tekrarı veya tekrarı ne kadar fazla olursa, sonuç o kadar doğru olur. Basit ama etkili değil; bu arada, Pi'nin tam değerini on ondalık basamağa çıkarmak 500.000 yineleme gerektirir. Yani talihsiz dörtlüyü 500.000 katına kadar bölmemiz gerekecek ve buna ek olarak elde edilen sonuçları 500.000 kez çıkarıp eklememiz gerekecek. Denemek istemek?

3. Nilakanta serisi. Leibniz serisini kurcalayacak vaktiniz yok mu? Bir alternatif var. Nilakanta serisi biraz daha karmaşık olsa da istenilen sonuca hızlı bir şekilde ulaşmamızı sağlıyor. π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14) ... Yukarıdakilere yakından bakarsanız sanırım ilk parça dizi, her şey netleşiyor ve yorumlara gerek yok. Bununla devam edelim.

4. Monte Carlo yöntemi Pi'yi hesaplamak için oldukça ilginç bir yöntem Monte Carlo yöntemidir. Monako krallığında aynı adı taşıyan şehrin onuruna çok abartılı bir isim aldı. Ve bunun nedeni tesadüftür. Hayır, tesadüfen adlandırılmadı, yöntem sadece rastgele sayılara dayanıyor ve ne olabilir? sayılardan daha rastgele Monte Carlo kumarhanesinin rulet masalarında görünenler? Pi'nin hesaplanması bu yöntemin 1950'lerde hesaplamalarda kullanıldığı tek uygulama değildir; hidrojen bombası. Ama dikkatimizi dağıtmayalım.

Kenarı eşit olan bir kare alın 2r ve yarıçaplı bir daire yazın R. Şimdi bir kareye rastgele noktalar koyarsanız olasılık P Bir noktanın bir daireye düşmesi, dairenin ve karenin alanlarının oranıdır. P=S kr /S kv =2πr 2 /(2r) 2 =π/4.

Şimdi Pi sayısını buradan ifade edelim. π=4P. Geriye kalan tek şey deneysel veriler elde etmek ve çemberdeki isabetlerin oranı olarak P olasılığını bulmaktır. N cr kareye çarpmak N metrekare. İÇİNDE Genel görünüm hesaplama formülüşöyle görünecek: π=4N cr / N kare.

Bu yöntemi uygulamak için bir kumarhaneye gitmeye gerek olmadığını, az çok düzgün bir programlama dili kullanmanın yeterli olduğunu belirtmek isterim. Elde edilen sonuçların doğruluğu, buna göre yerleştirilen noktaların sayısına bağlı olacaktır; ne kadar çoksa o kadar doğru olur. Size iyi şanslar diliyorum 😉

Tau numarası (Bir sonuç yerine).

Matematikten uzak olan insanlar muhtemelen bilmiyorlar ama öyle oluyor ki Pi sayısının iki katı büyüklüğünde bir kardeşi var. Bu, Tau(τ) sayısıdır ve eğer Pi çevrenin çapa oranıysa, o zaman Tau bu uzunluğun yarıçapa oranıdır. Ve bugün bazı matematikçilerden Pi sayısını bırakıp Tau sayısını koyma yönünde öneriler var, çünkü bu birçok açıdan daha uygun. Ancak şimdilik bunlar yalnızca öneri ve Lev Davidovich Landau'nun da söylediği gibi: " Yeni teori eskinin destekçileri ortadan kaybolunca hakimiyet kurmaya başlıyor.”

Dünyanın dört bir yanındaki matematik meraklıları her yıl Mart ayının 14'ünde bir parça pasta yerler; sonuçta bu gün, en ünlü irrasyonel sayı olan Pi'nin günüdür. Bu tarih ilk rakamı 3,14 olan sayı ile doğrudan ilgilidir. Pi, bir dairenin çevresinin çapına oranıdır. İrrasyonel olduğundan kesirli olarak yazılması mümkün değildir. Bu sonsuz uzunlukta bir sayıdır. Binlerce yıl önce keşfedildi ve o zamandan bu yana sürekli olarak araştırılıyor ancak Pi'nin hâlâ sırları var mı? İtibaren antik köken Belirsiz geleceğe kadar Pi ile ilgili en ilginç gerçeklerden bazılarını burada bulabilirsiniz.

Pi'yi Ezberlemek

Ondalık sayıları ezberleme rekoru, 70.000 basamağı hatırlamayı başaran Hindistanlı Rajvir Meena'ya ait - rekoru 21 Mart 2015'te kırdı. Daha önce rekorun sahibi, 67.890 rakamı hatırlamayı başaran Çinli Chao Lu'ydu - bu rekor 2005 yılında kırılmıştı. Resmi olmayan rekorun sahibi, 2005 yılında kendisini 100.000 rakamı tekrarlayan bir videoya kaydeden ve yakın zamanda 117.000 rakamı hatırlamayı başardığı bir video yayınlayan Akira Haraguchi'dir. Rekor, ancak bu videonun Guinness Rekorlar Kitabı'ndan bir temsilcinin huzurunda kaydedilmesi durumunda resmileşecektir ve onaylanmadan bu yalnızca etkileyici bir gerçek olarak kalır, ancak bir başarı olarak kabul edilmez. Matematik meraklıları Pi sayısını ezberlemeyi severler. Birçok kişi, her kelimedeki harf sayısının Pi'nin rakamlarıyla eşleştiği şiir gibi çeşitli anımsatıcı teknikler kullanır. Her dilin kendine has çeşitleri vardır benzer ifadeler, hem ilk birkaç rakamı hem de yüz rakamının tamamını hatırlamanıza yardımcı olur.

Pi dili var

Edebiyat tutkunu matematikçiler, tüm kelimelerdeki harf sayısının Pi'nin rakamlarına tam olarak karşılık geldiği bir lehçe icat ettiler. Yazar Mike Keith, tamamı Pi ile yazılmış Not a Wake adlı bir kitap bile yazdı. Bu tür yaratıcılığa meraklı olanlar, eserlerini harf sayısına ve sayıların anlamlarına tam uygun olarak yazarlar. Bunun pratik bir uygulaması yoktur ancak oldukça yaygındır ve bilinen fenomen coşkulu bilim adamlarının çevrelerinde.

Üstel büyüme

Pi, sonsuz sayı yani insanlar, tanım gereği, bu sayının kesin rakamlarını hiçbir zaman belirleyemeyecekler. Ancak Pi'nin ilk kullanılmaya başlanmasından bu yana ondalık basamakların sayısı büyük ölçüde arttı. Babilliler de kullanıyordu ama onlara üç tam ve sekizde bir kesir yetiyordu. Çinliler ve yaratıcılar Eski Ahit ve tamamen üç kişiyle sınırlıydı. 1665 yılında Sir Isaac Newton Pi'nin 16 basamağını hesaplamıştı. 1719'a kadar Fransız matematikçi Tom Fante de Lagny 127 rakamı hesapladı. Bilgisayarların ortaya çıkışı, insanın Pi hakkındaki bilgisini kökten geliştirdi. 1949'dan 1967'ye kadar olan sayı insanoğlunun bildiği Rakamlar 2037'den 500.000'e fırladı. Kısa bir süre önce İsviçreli bilim adamı Peter Trueb, Pi'nin 2,24 trilyon basamağını hesaplamayı başardı! 105 gün sürdü. Elbette bu sınır değil. Teknolojinin gelişmesiyle birlikte daha fazla kurulumun mümkün olması muhtemeldir. kesin rakam- Pi sonsuz olduğundan doğruluğun bir sınırı yoktur ve yalnızca sınırlandırılabilir teknik özellikler bilgisayar Teknolojisi.

Pi'yi elle hesaplamak

Sayıyı kendiniz bulmak istiyorsanız eski moda tekniği kullanabilirsiniz; bir cetvele, bir kavanoza ve bir miktar ipe ihtiyacınız olacak veya bir iletki ve bir kurşun kalem kullanabilirsiniz. Teneke kutu kullanmanın dezavantajı, yuvarlak olması gerektiğidir ve doğruluk, kişinin ipi etrafına ne kadar iyi sarabildiğine göre belirlenecektir. İletkiyle bir daire çizebilirsiniz ancak bu aynı zamanda beceri ve hassasiyet gerektirir çünkü düzgün olmayan bir daire ölçümlerinizi ciddi şekilde bozabilir. Daha doğru bir yöntem geometrinin kullanılmasını içerir. Bir pizzanın dilimlere ayrılması gibi, bir daireyi birçok parçaya bölün ve ardından her bir parçayı dilimlere dönüştürecek düz bir çizginin uzunluğunu hesaplayın. ikizkenar üçgen. Kenarların toplamı yaklaşık Pi sayısını verecektir. Ne kadar çok segment kullanırsanız sayı o kadar doğru olur. Elbette hesaplamalarınızda bilgisayar sonuçlarına yaklaşamayacaksınız, ancak bunlar basit deneyler Pi sayısının gerçekte ne olduğunu ve matematikte nasıl kullanıldığını daha detaylı anlamanızı sağlar.

Pi'nin Keşfi

Eski Babilliler Pi sayısının varlığını dört bin yıl önce biliyorlardı. Babil tabletleri Pi sayısını 3,125 olarak hesaplıyor ve Mısır matematik papirüsünde 3,1605 sayısı gösteriliyor. İncil'de Pi sayısı artık kullanılmayan uzunlukla (arşın cinsinden) verilmiştir ve Yunan matematikçi Arşimet Pi'yi tanımlamak için Pisagor teoremini kullanmıştır. geometrik ilişkiüçgenin kenarlarının uzunlukları ve dairelerin içindeki ve dışındaki şekillerin alanları. Dolayısıyla Pi'nin en eskilerden biri olduğunu güvenle söyleyebiliriz. matematiksel kavramlar en azından tam adı verilen numara ve nispeten yakın zamanda ortaya çıktı.

Pi'ye yeni bakış

Pi sayısı çemberlerle ilişkilendirilmeye başlanmadan önce bile matematikçiler bu sayıyı adlandırmanın birçok yolunu zaten bulmuşlardı. Örneğin, eski matematik ders kitaplarında Latince'de kabaca "çap ile çarpıldığında uzunluğu gösteren miktar" şeklinde çevrilebilecek bir ifadeye rastlamak mümkündür. İrrasyonel sayı, İsviçreli bilim adamı Leonhard Euler'in 1737'de trigonometri üzerine yaptığı çalışmada bunu kullanmasıyla meşhur oldu. Ancak Pi'nin Yunanca sembolü hala kullanılmıyor - bu sadece kitapta daha az oldu ünlü matematikçi William Jones. Bunu 1706'da zaten kullandı, ancak uzun süre fark edilmedi. Zamanla bilim adamları bu ismi benimsediler ve şu anda en çok kullanılan isim bilinen versiyon isimler, ancak daha önce Ludolf numarası olarak da adlandırılıyordu.

Pi normal mi?

Pi sayısı kesinlikle tuhaf ama normal olanlara ne kadar uyuyor? matematik yasaları? Bilim adamları bununla ilgili birçok soruyu zaten çözdüler irrasyonel sayı, ancak bazı gizemler hala devam ediyor. Örneğin tüm sayıların ne sıklıkta kullanıldığı bilinmiyor; 0'dan 9'a kadar olan sayıların eşit oranda kullanılması gerekiyor. Ancak istatistikler ilk trilyonlar basamağından itibaren takip edilebilmektedir ancak sayının sonsuz olması nedeniyle kesin bir şey kanıtlamak mümkün değildir. Bilim adamlarının hâlâ gözden kaçırdığı başka sorunlar da var. Bu oldukça mümkün Daha fazla gelişme bilim onlara ışık tutmaya yardımcı olacaktır, ancak şu an insan aklının ötesinde kalır.

Pi kulağa ilahi geliyor

Bilim insanları Pi sayısıyla ilgili bazı sorulara cevap veremiyor ancak her geçen yıl onun özünü daha iyi anlıyorlar. Zaten on sekizinci yüzyılda bu sayının mantıksızlığı kanıtlandı. Ayrıca bu sayının aşkın olduğu da kanıtlanmıştır. Bu hayır anlamına geliyor belli bir formül Bu da Pi'yi rasyonel sayıları kullanarak hesaplamamıza olanak sağlar.

Pi sayısından memnuniyetsizlik

Pek çok matematikçi Pi'ye aşıktır, ancak bu sayıların özellikle önemli olmadığına inananlar da vardır. Ayrıca Pi'nin iki katı büyüklüğünde olan Tau'nun irrasyonel sayı olarak kullanımının daha uygun olduğunu iddia ediyorlar. Tau, bazılarının daha mantıklı bir hesaplama yöntemini temsil ettiğine inandığı çevre ve yarıçap arasındaki ilişkiyi gösterir. Ancak bir şeyi kesin olarak belirlemek için bu konu imkansız ve birinin ve diğerinin her zaman destekçileri olacak, her iki yöntemin de yaşam hakkı var, bu yüzden basit ilginç gerçek Pi kullanmamanız gerektiğini düşünmek için bir neden değil.