1. Une équation algébrique de degré est une équation de la forme

où est le coefficient dominant

Les types les plus simples équations algébriques- des équations des 1er et 2e degrés et même certains types spéciaux d'équations du 3e degré - les mathématiciens pouvaient résoudre dans l'ancienne Babylone il y a environ 4000 ans. Certes, à cette époque lointaine, les scientifiques ne connaissaient pas encore les techniques modernes. symbolisme mathématique et a écrit à la fois l'équation elle-même et le processus de résolution avec des mots, pas des formules

2. Équation arbitraire du premier degré

a toujours, et d'ailleurs, la seule solution

DANS cours scolaire algèbre, le théorème suivant est prouvé sur la résolution d'une équation quadratique arbitraire

S'il s'agit d'un nombre, l'équation a exactement deux racines, qui sont données par la formule

Si , alors il n’y a qu’une seule racine :

Si , alors les racines sont parmi nombres réels Non.

Les mathématiciens essaient toujours d'éviter une telle division des cas - leur nombre ne ferait qu'augmenter lorsqu'on passerait à des équations d'un degré plus élevé. Il serait bien entendu souhaitable d’avoir la formulation suivante : « Une équation du deuxième degré a deux racines ». Cela peut être réalisé si, d'une part, la notion de nombre est élargie de manière à ce qu'il soit possible d'extraire des racines carrées de nombres négatifs, et d'autre part, certaines racines sont comptées « plusieurs fois » (introduire la notion de une racine multiple).

Les deux peuvent être faits avec précaution.

3. L'équation générale du troisième degré a la forme

En divisant les deux côtés de cette équation par le coefficient dominant A - les solutions ne changent évidemment pas - nous arrivons à une équation de la forme

En introduisant une nouvelle inconnue, on peut se débarrasser du terme contenant l'inconnue à la puissance seconde, c'est-à-dire amener l'équation sous la forme

appelée équation réduite du troisième degré.

Les informations sur l'histoire de la découverte de la formule des racines de l'équation cubique sont incomplètes et contradictoires. Apparemment, il fut le premier (vers 1515) à trouver une méthode pour résoudre équations cubiques professeur à l'Université de Bologne S. Ferro (1465-1526). Indépendamment (vers 1535), cette méthode fut découverte par N. Tartaglia (1500-1557). Cependant, G. Cardano (1501-1576) fut le premier à publier la formule des racines de l'équation cubique (son ouvrage fut publié en 1545), et c'est pourquoi cette formule porte son nom. Notez que Cardano connaissait peut-être le travail de Tartaglia et Ferro.

En notation moderne, la méthode pour résoudre l’équation (1) est la suivante.

Introduisons deux nouvelles inconnues ; en le mettant, nous avons

Si les inconnues satisfont le système

alors ils satisfont également à l’équation (2). La résolution du système (3) est très simple. Découpons la première équation au cube et remplaçons l'expression de la deuxième équation ; nous trouvons qui satisfait l'équation quadratique

Ainsi,

et enfin

C'est la formule de Cardano pour résoudre l'équation cubique réduite (1).

Des questions se posent immédiatement :

1) Que faire si l'expression

2) Combien de racines l’équation cubique a-t-elle ?

3) La formule de Cardano (4) donne-t-elle toutes les solutions à l'équation (1) ?

Ces questions sont interconnectées. Il est facile, par exemple, de vérifier que l'équation

a les solutions -5, 2, 3, et juste dans ce cas

donc les racines carrées de la formule de Cardano perdent leur sens et les trois racines indiquées ne sont pas exprimées par cette formule.

Tout porte à croire qu'il y a encore plus ici que dans le cas équations quadratiques, il est impossible de se passer d'introduire quelques « nouveaux nombres » dont l'extraction racine carrée C'est toujours possible. De tels chiffres ont été progressivement introduits tout au long des XVIe et XIXe siècles. On les appelle des nombres complexes. Dans les nombres complexes, toute équation algébrique de degré a exactement des racines

Prenons comme exemple l'équation

Ça joue rôle important en théorie et nous en aurons besoin à l'avenir.

Dans le champ nombres complexes cette équation a diverses solutions, qui sont appelées racines du degré d'unité :

Pour écrire des solutions à une équation cubique, nous avons besoin de racines du 3ème degré de 1. Conformément aux formules (6), ce seront les nombres complexes suivants :

On peut montrer que les trois racines de l’équation cubique réduite sont

Ici, la lettre désigne - la racine du 3ème degré de, comme il est facile de le voir, égale à C'est la formule finale de Cardano.

4. Dans le cas des équations des 1er, 2e et 3e degrés, on connaît des formules qui expriment les racines à travers les coefficients de l'équation à l'aide d'opérations rationnelles : l'opération d'extraction de racines carrées (dans le cas d'une équation quadratique), les opérations d'extraction de racines carrées et cubiques (dans le cas d'une équation cubique). Des règles similaires ont été indiquées pour les équations du 4ème degré par l'élève de G. Cardano, l'algébriste italien L. Ferrari (1522-1565). Ils n'impliquent également que des opérations et opérations rationnelles. Toutes les tentatives sur près de trois siècles (XVI-XVIII) pour trouver des règles similaires pour les équations du 5ème et plus diplômes élevés avec l'aide d'opérations rationnelles, les opérations n'ont pas réussi.

Peu à peu, ils ont commencé à soupçonner qu'il est peut-être généralement impossible d'exprimer les racines de l'équation du degré pour en termes de coefficients uniquement en utilisant les opérations et y pour les opérations naturelles arbitraires, c'est-à-dire qu'il est impossible de réduire la solution de telles équations par des opérations rationnelles pour solution cohérenteéquations type spécial. Les racines des équations, c'est-à-dire ce qui est habituellement désigné par , sont généralement appelées radicaux, et donc le problème de la possibilité de réduire la recherche des racines d'une équation arbitraire à la recherche d'équations de la forme est généralement appelé le problème de l'expression des racines de une équation par radicaux.

Les tentatives pour prouver ou réfuter cette hypothèse sont devenues particulièrement fréquentes dans la seconde moitié du XVIIIe siècle et ont conduit à début XIX siècle pour prouver l'impossibilité de résoudre une équation générale de degrés 5 et supérieurs en radicaux.

Parmi oeuvres XVIII siècle dans ce sens, les mémoires du célèbre mathématicien français J. L. Lagrange (1736-1813), intitulés « Discours sur la solution algébrique des équations » (1771-1772), se distinguent par la clarté de leur pensée. L'auteur y analyse en détail et soigneusement les méthodes connues pour résoudre les équations des 2e, 3e et 4e degrés en radicaux afin de découvrir comment et pourquoi une telle solution est possible dans ces cas. En même temps, il a noté la circonstance suivante : dans tous ces cas, il existe certaines fonctions des racines qui satisfont à des équations d'un degré inférieur et dont on sait déjà qu'elles sont résolues en radicaux. Racines équation originale, à son tour, peut être trouvé à partir de ces fonctions intermédiaires encore une fois à partir d’équations résolues en radicaux.

Ensuite, Lagrange explore la question de savoir comment trouver des fonctions similaires à partir des racines de cas connus. Il s'est avéré qu'il s'agit de polynômes en racines qui, pour toutes les permutations possibles des racines - et leur nombre, comme on le sait, est égal - ne prennent pas un plus petit nombre valeurs, et même moins que - le degré de l'équation étudiée). Cela se produira lorsque cela ne changera pas avec quelques permutations des racines.

C'est ainsi que des permutations sont apparues dans la question de la résolution d'une équation en radicaux !

Si la fonction à partir des racines ne prend que k différentes significations alors les coefficients du polynôme

selon un théorème bien connu depuis longtemps - c'est le théorème dit fondamental sur les fonctions symétriques - elles doivent être exprimées rationnellement à travers les coefficients de l'équation étudiée

4 Exemples. 1. Soit une fonction alternée

des racines de l’équation du pouvoir. Pour toutes les permutations possibles des racines, il ne faut que deux valeurs, selon que la permutation est paire ou impaire. Par conséquent, le discriminant de l'équation ne change pas sous toutes les permutations possibles et s'exprime rationnellement à travers les coefficients de l'équation étudiée. Pour une équation quadratique

pour l'équation cubique réduite

La fonction de signe alterné des racines satisfait les équations

respectivement. On reconnaîtra les expressions sous la racine carrée dans la formule de résolution d'une équation quadratique et jusqu'à un facteur constant dans la formule de Cardano.

2. Un autre exemple apparaît dans les travaux de Lagrange mentionnés plus haut. Ce sont les résolvantes dites de Lagrange. Nous les considérerons, comme Lagrange lui-même, pour le cas d'une équation du 3ème degré. Utiliser des racines cubiques de 1

ils sont définis comme suit :

Voici les racines de l’équation cubique étudiée. Faisons attention aux deuxième et troisième résolvantes. Comme il est facile de le constater, lors de la réorganisation cyclique des racines, elles ne sont multipliées que par respectivement. Par conséquent, ils résistent aux permutations cycliques et s'expriment donc rationnellement à travers les coefficients de l'équation et à travers A. Les représentations correspondantes peuvent être calculées. Par extraction racine cubique peut recevoir. D'après le théorème de Vieta, il s'agit du coefficient de signe opposé, c'est-à-dire dans le cas d'une équation cubique réduite. Connaître du système équations linéaires(7), peut être obtenu si mis en œuvre calculs spécifiés, vous pouvez alors vous assurer qu'ils sont calculés à l'aide des formules Cardano.

De même, mais techniquement plus compliqué, on peut obtenir une solution en radicaux d’une équation du 4ème degré. Quant à l’équation du 5ème degré, une réduction similaire aux équations de degrés inférieurs n’a pas pu être obtenue. Lagrange n’en exclut cependant pas la possibilité.

Qu'une telle réduction soit fondamentalement impraticable, cela a été démontré en 1799 dans l'ouvrage « Théorie généraleéquations, ce qui prouve l'impossibilité solution algébriqueéquations générales au-dessus du quatrième degré" mathématicien italien P. Ruffini (1765-1822). Cependant, sa preuve comportait des lacunes qu’il ne parvenait pas à éliminer. Une preuve précise n'a été donnée qu'en 1826 dans les travaux du mathématicien norvégien N. G. Abel (1802-1829) « Preuve de l'impossibilité de la résolution algébrique des équations dont le degré dépasse le quatrième ».

La raison profonde de l'inexistence de fonctions de racines satisfaisant des équations d'un degré inférieur à celle considérée (à l'exception toujours d'une fonction alternée satisfaisant une équation quadratique) a été révélée par le brillant mathématicien françaisÉvariste Galois (1811-1832). Galois a associé chaque équation à un groupe de ces permutations de ses racines qui ne changent pas les valeurs de tous les polynômes des racines avec des coefficients qui dépendent rationnellement des coefficients équation donnée. Ce groupe est désormais appelé groupe de Galois de l'équation considérée.

Le concept de groupe Galois d'une équation peut être introduit comme suit. Soit une équation algébrique d'un certain degré (le côté gauche de cette équation) soit un polynôme de degré .

Les coefficients d'un polynôme - les nombres doivent appartenir simultanément à un champ numérique - un ensemble non vide de nombres qui est fermé par les opérations d'addition, de multiplication, de soustraction et de division par un nombre différent de 0. Un champ numérique est, par exemple , l'ensemble Q de tous les nombres rationnels. Depuis notions nécessaires sont saisis uniformément pour tous les champs numériques, il suffit de n'en considérer qu'un seul ; Nous supposerons donc que les coefficients du polynôme sont des nombres rationnels. De plus, on peut supposer (cela est prouvé dans les cours d'algèbre) que toutes les racines d'un polynôme sont différentes, c'est-à-dire que l'équation a, d'une manière générale, des valeurs différentes. racines complexes

Une relation rationnelle entre racines est toute égalité de la forme

où est le signe de la sommation, la somme du côté gauche de cette égalité est reprise sur un ensemble d'indicateurs et tous les coefficients sont des nombres rationnels. En d’autres termes, du côté gauche de la relation rationnelle (8) se trouve un certain polynôme en c coefficients rationnels. L'ensemble de toutes les relations rationnelles entre les racines d'une équation dépend uniquement du polynôme. Il est clair que la somme terme par terme et le produit terme par terme des relations rationnelles entre les racines d’un polynôme seront également des relations rationnelles entre ses racines. Puisqu’un exemple de relation rationnelle non nulle est facile à indiquer pour toute équation, on en déduit que équation arbitraire correspond ensemble infini relations rationnelles entre ses racines.

Laisse-le maintenant

Quelques permutations sur l'ensemble des racines de l'équation. Utilisons cette permutation pour côté gauche expressions (8). Chaque monôme se transforme en monôme sous l'action d'un réarrangement (les coefficients de tous les monômes restent inchangés).

Le côté gauche de la relation (8) se transforme en l’expression suivante :

Ce nombre peut ne pas être nul. Toutes les permutations du groupe symétrique sur l'ensemble des racines de l'équation peuvent être divisées en deux parties : celles qui préservent la relation rationnelle (8) et celles qui la violent. Si les permutations préservent la relation rationnelle (8), alors il est évident que leur produit et la permutation inverse de chacune d'elles transformeront également cette égalité en relation supérieure. du même genre. Autrement dit, l’ensemble de toutes les permutations possibles qui préservent la relation (8) (puisqu’elle n’est pas vide !) forme un groupe. Ce groupe est appelé le groupe de Galois de l'équation

Sur la base des propriétés de ce groupe de Galois, on peut déterminer si une équation donnée est résoluble ou non en radicaux. Le critère résultant contient, sous forme de cas fréquents, toutes les informations précédemment connues sur la résolvabilité ou l'insolvabilité des équations algébriques en radicaux.

Mais il est possible que certaines équations avec coefficients numériques soluble dans les radicaux. Que cela soit possible ou non est à nouveau établi à partir du signe trouvé par Galois.

L'étude des propriétés des groupes de Galois dépasse le cadre de notre présentation. Notons seulement que si le groupe de Galois d’une équation donnée est abélien, alors l’équation est résoluble en radicaux. Résolubles en radicaux seront les équations dont le groupe de Galois est l'un des groupes de dièdres, le groupe de symétrie du tétraèdre et du cube. Ce sont des exemples de groupes dits résolubles, c'est-à-dire des groupes galoisiens d'équations résolubles en radicaux. Le « plus petit » exemple de groupe insoluble est un groupe alterné composé de 60 permutations ; le groupe qui le contient est également insoluble. On peut dire que ces groupes sont « responsables » de l'insolvabilité d'une équation générale du 5e degré en radicaux : parmi les équations du 5e degré il y a celles dont le groupe de Galois coïncide avec ou An. un exemple d'une telle équation est

Puisque le groupe de Galois d’une équation en est une caractéristique si importante, la question se pose : comment construire ce groupe à partir de l’équation ? Il s'avère qu'il n'est pas nécessaire de vérifier si toutes les relations rationnelles issues des racines de l'équation résistent à une permutation donnée de ses racines. Il suffit de se limiter à une telle vérification pour la partie finale et bien visible de ces relations. La preuve de cette dernière affirmation et d'autres mentionnées ici peuvent être trouvées dans l'un des livres consacrés à la présentation de la théorie de Galois et indiqué dans la liste des références.

Exercices

1. A l'aide du discriminant D d'une équation cubique, il est impossible d'établir si toutes les racines de cette équation coïncident, ou si seulement deux d'entre elles coïncident. Donnez un exemple d'expression ; composé des racines d'une équation donnée qui permettrait de faire cela.

5. Donner des exemples de champs numériques autres que le champ des nombres rationnels Q. Vérifier que tous les nombres possibles de la forme

former un champ numérique.

6. Montrer que si la racine carrée du discriminant d'un polynôme est un nombre rationnel, alors le groupe de Galois de ce polynôme est entièrement constitué de permutations paires.

Équations algébriques. Définition

Soit les fonctions f(x) et μ(x) définies sur un ensemble A. Et qu'il soit nécessaire de trouver un ensemble X sur lequel ces fonctions prennent valeurs égales, en d'autres termes, trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles l'égalité est vraie : f(x)= q(x).

Avec cette formulation, cette égalité est appelée une équation à x inconnu.

Une équation est dite algébrique si seules des opérations algébriques sont effectuées sur l'inconnue : addition, soustraction, multiplication, division, exponentiation et extraction de racine. indicateur naturel.

Les équations algébriques ne contiennent que des fonctions algébriques (entières, rationnelles, irrationnelles). Équation algébrique dans vue générale peut être représenté par un polynôme de nième degré à coefficients réels :

Par exemple,

L'ensemble A est appelé un ensemble (aire) valeurs acceptables inconnu pour cette équation.

L'ensemble X est appelé l'ensemble des solutions, et chacune de ses solutions x=a est la racine de cette équation. Résoudre une équation, c’est trouver l’ensemble de toutes ses solutions ou prouver qu’il n’y en a pas.

Méthodes de résolution d'équations algébriques

Dans de nombreux domaines scientifiques et problèmes d'ingénierie il faut résoudre une équation de la forme

où f(x) est une fonction non linéaire continue donnée.

Analytiquement, il est possible de trouver des solutions uniquement pour les équations les plus simples. Dans la plupart des cas, il est nécessaire de résoudre une équation de type (1) à l’aide de méthodes numériques.

La solution numérique de l'équation (1) s'effectue généralement en deux étapes. Dans un premier temps, vous devez trouver de tels intervalles de changement dans la variable x où se trouve une seule racine. Ce problème est généralement résolu graphiquement. Lors de la deuxième étape, les racines individuelles sont clarifiées. Diverses méthodes sont utilisées pour cela.

Méthodes de résolution équations non linéaires sont divisés en directs et itératifs. Les méthodes directes permettent d'écrire des racines sous la forme d'une formule. Cependant, les équations rencontrées dans la pratique ne peuvent pas toujours être résolues méthodes simples. Pour les résoudre, nous utilisons méthodes itératives, c'est-à-dire méthodes d’approximations successives.

Méthodes directes - la solution est trouvée à l'avance numéro connu opérations arithmétiques, la décision est stricte. Exemples : méthode gaussienne, méthode de la racine carrée, règle de Cramer, etc.

Les méthodes itératives sont des méthodes d'approximations successives dans lesquelles il est impossible de prédire le nombre d'opérations arithmétiques qui seront nécessaires pour résoudre une équation (un système) avec une précision donnée. Exemples: méthode itérations simples, méthode Gauss-Seidel, méthode de division d'un segment en deux, etc.

Cet article étudie et compare la méthode d'itération simple et la demi-division segment.

Nom les coefficients de l'équation sont les données, hnaz. inconnu et est celui souhaité. A. coefficients (1) tous ne sont pas supposés égal à zéro. Si ensuite appelé degré de l’équation.

Significations de l'inconnu X, qui satisfont à l'équation (1), c'est-à-dire qu'en les substituant, ils convertissent l'équation en une identité, appelée. racines de l'équation (1), ainsi que les racines du polynôme

fn(x) = une 0 x n + une 1 x n-1 +...+une n .(2)

Les racines d’un polynôme sont liées à ses coefficients à l’aide des formules de Vieta (voir. Théorème de Vieta). Résoudre une équation signifie trouver toutes ses racines situées dans la plage considérée de valeurs de l'inconnue.

Pour les applications, le cas le plus important est celui où les coefficients et les racines de l'équation sont des nombres d'une nature ou d'une autre (par exemple rationnel, réel ou complexe). Le cas est également considéré lorsque les coefficients et les racines sont des éléments d'un champs. Si numéro donné(ou élément de champ) Avec - racine d'un polynôme fn(X) , puis selon Sans théorème f n(x).divisible par x-s sans laisser de trace. La division peut être effectuée selon Horner

schème. Numéro (ou élément de champ) appelé. k-à l'armée racine du polynôme f(x)( k- nombre naturel x-s), si f(x).est divisible par ( ) k , mais non divisible par (x-с) k+1 . Les racines de multiplicité 1 sont appelées. racines simples

polynôme.

DANS Chaque polynôme f(x).de degré n>0 à coefficients du corps Rime a plus de racines dans Pn, en comptant chaque racine autant de fois que sa multiplicité (et donc pas plus de p racines différentes). champ algébriquement clos

Chaque polynôme de degré a exactement des proots (en comptant leur multiplicité). Cela est particulièrement vrai pour le domaine des nombres complexes. Équation (1) du degré ps avec les coefficients du champ Pnaz. irréductible sur un champ R, Équation (1) du degré ps avec les coefficients du champ Pnaz. irréductible sur un champ si le polynôme (2) est irréductible sur ce corps, c'est-à-dire ne peut pas être représenté comme un produit d'autres polynômes sur le corps dont les degrés sont inférieurs Sinon, le polynôme et l'équation correspondante sont appelés. donné. Les polynômes de degré zéro ne sont eux-mêmes ni réductibles ni irréductibles. La propriété d'un polynôme donné d'être réductible ou irréductible sur le corps P dépend du corps considéré. Ainsi, le polynôme x 2 -2 est irréductible sur le corps des nombres rationnels, car sinon il aurait racines rationnelles, mais nous le présentons sur le corps des nombres réels : x2 - 2=(x+ Ts2)(X-Ts2) . De même, le polynôme x2 + 1 est irréductible sur le corps des nombres réels, mais est réductible sur le corps des nombres complexes. En général, seuls les polynômes du 1er degré sont irréductibles sur le corps des nombres complexes, et tout polynôme peut être décomposé en facteurs linéaires. Sur le corps des nombres réels, seuls les polynômes du 1er degré et les polynômes du 2e degré qui n'ont pas de racines réelles sont irréductibles (et tout polynôme peut être décomposé en linéaire et irréductible polynômes carrés). Sur le corps des nombres rationnels il existe des polynômes irréductibles de tout degré, comme par exemple les polynômes de la forme L'irréductibilité d'un polynôme sur le corps des nombres rationnels est établie par le critère d'Eisenstein : si pour un polynôme (2) de degré à coefficients entiers il existe p tel que le premier n'est pas divisible par p, tous les autres coefficients sont divisibles par , et le terme libre n'est pas divisible par alors ce polynôme est non réductible sur le corps des nombres rationnels.

Laisser R- champ personnalisé. Pour tout polynôme de degré irréductible sur un corps Équation (1) du degré ps avec les coefficients du champ Pnaz. irréductible sur un champ il y a une telle chose extension le corps P, qui contient au moins une racine du polynôme ; de plus, il existe un polynôme, c'est-à-dire un corps ; Équation (1) du degré ps avec les coefficients du champ Pnaz. irréductible sur un champ dans lequel ce polynôme peut être décomposé en facteurs linéaires. Tout corps est algébriquement fermé.

Solvabilité des équations algébriques en radicaux. N'importe quelle A.u. les degrés ne dépassant pas 4 sont résolus en radicaux. La solution aux problèmes conduisant à des types particuliers d’équations des 2e et 3e degrés peut être trouvée dans l’ancienne Babylone (2000 avant JC) (voir. Équation quadratique, équation cubique). La première présentation de la théorie de la résolution des équations quadratiques est donnée dans le livre de Diophante « Arithmétique » (IIIe siècle après JC). La solution en radicaux des équations des 3e et 4e degrés avec coefficients de lettres a été obtenue par des mathématiciens italiens au XVIe siècle. (cm. Cardano, méthode Ferrari). Pendant près de 300 ans après cela, des tentatives infructueuses ont été faites pour résoudre en radicaux une équation avec des coefficients de lettres de puissances 5 et supérieures. Finalement, en 1826, N. Abel prouva que cela était impossible.

Formulation moderne Théorème d'Abel : soit (1) × une équation de degré avec des coefficients littéraux × n'importe quel champ et champ RF fonctions rationnelles de avec des coefficients de À; alors les racines de l'équation (1) (situées dans une certaine extension du champ P) ne peut pas être exprimé à travers les coefficients de cette équation en utilisant un nombre fini d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division (qui ont du sens dans le domaine P) et des signes de racine (significatifs pour élargir le champ R). Autrement dit, équation générale le degré n>4 est insoluble en radicaux (voir p. 226).

Le théorème d'Abel n'exclut cependant pas le fait que tout A. avec des coefficients numériques donnés (ou des coefficients de de ce domaine) se résout en radicaux. Les équations de n'importe quel degré d'un type particulier sont résolues en radicaux (par exemple, équations binomiales). Solution complète la question de savoir dans quelles conditions A. à. soluble dans les radicaux, env. 1830 E. Galois (E. Galois).

Principal Théorie de Galois sur la solvabilité de A. à. en radicaux se formule ainsi : soit Η un polynôme à coefficients du corps K, irréductible sur K ; alors : 1) si au moins une racine d'une équation est exprimée en radicaux à travers les coefficients de cette équation, et que les exposants des radicaux ne sont pas divisibles par la caractéristique du zéro K, alors le Galois de cette équation sur le corps est soluble; 2) à l'inverse, si le groupe de Galois de l'équation f(x) = Q sur le champ de Krestim, et K est soit égal à zéro, soit supérieur à tous les ordres des facteurs de composition de ce groupe, alors toutes les racines de l'équation sont représentées en radicaux à travers ses coefficients, et tous les exposants des radicaux apparaissant sont des nombres premiers , et les équations binomiales correspondant à ces radicaux sont irréductibles sur les champs, à Ceux-ci rejoignent la Crimée.

E. Galois a prouvé ce théorème pour le cas où KH champ des nombres rationnels ; dans ce cas, toutes les conditions sur la caractéristique du champ K contenues dans la formulation du théorème deviennent inutiles.

Le théorème d'Abel est une conséquence du théorème de Galois, puisque le groupe Galois d'équations de degré ns par lettre coefficients sur le champ Rfonctions rationnelles des coefficients d'une équation à coefficients de n'importe quel champ CN symétrique. le groupe et pour est indécidable. Pour tout, il existe des équations de degré ps avec des coefficients rationnels (et même entiers) insolubles en radicaux. Un exemple d'une telle équation pour est l'équation , où рН est un nombre premier. La théorie de Galois utilise la méthode de réduction de la solution d'un algorithme donné. à la chaîne plus équations simples, appelé résolvants de cette équation.

La solvabilité des équations en radicaux est étroitement liée à la question de la géométrie. constructions à l'aide de compas et de règles, notamment le problème de la division d'un cercle en n parties égales (voir Division d'un polynôme circulaire, racine primitive).

Equations algébriques à une inconnue avec coefficients numériques. Pour retrouver les racines de A. u. avec des coefficients du domaine des nombres réels ou complexes de degré supérieur à 2, en règle générale, des méthodes de calcul approximatives sont utilisées (par exemple, Méthode parabolique). Dans ce cas, il est pratique de se débarrasser d’abord de plusieurs racines. Un nombre c est une racine k fois supérieure d'un polynôme si et seulement si le polynôme et ses dérivées sont conformes à l'ordre kH 1 inclus passe à zéro à . Si divisé par le plus grand diviseur commun de ce polynôme et de sa dérivée, alors le résultat est un polynôme qui a les mêmes racines que le polynôme, mais seulement de première multiplicité. Il est même possible de construire des polynômes ayant comme racines simples Toutes les racines d’un polynôme ont la même multiplicité. Un polynôme a plusieurs racines si et seulement s'il discriminantégal à zéro.

Des problèmes de détermination des limites et du nombre de racines se posent souvent. Au-delà de la limite supérieure des modules de toutes les racines (à la fois réelles et complexes) du a. (1) avec n'importe quel coefficient complexe, nous pouvons prendre le nombre

Dans le cas de coefficients réels, une limite plus précise est généralement donnée par La méthode de Newton. Vers une définition limite supérieure racines positives réduit la définition de la limite inférieure du positif, ainsi que des limites supérieure et inférieure racines négatives.

Pour déterminer le nombre de racines réelles, le plus simple est d’utiliser Théorème de Descartes. Si l'on sait que toutes les racines d'un polynôme donné sont réelles (comme par exemple pour le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réelle), alors le théorème de Descartes donne le nombre exact de racines. Considérant un polynôme, vous pouvez utiliser le même théorème pour trouver le nombre de racines négatives. Le nombre exact de racines réelles situées sur un intervalle donné (en particulier le nombre de toutes les racines réelles) d'un polynôme à coefficients réels qui n'a pas de racines multiples peut être trouvé par Règle de Sturm. Le théorème de Descartes est un cas particulier Boudana H Théorèmes de Fourier, donnant une estimation supérieure du nombre de racines réelles d'un polynôme avec des coefficients réels contenus dans un certain intervalle fixe.

Parfois, les gens souhaitent trouver des racines d'un type particulier, par exemple, le critère de Hurwitz donne les informations nécessaires et état suffisant pour que toutes les racines de l'équation (à coefficients complexes) aient des parties réelles négatives (voir. Roussa H critère de Hurwitz).

Pour un polynôme à coefficients rationnels, il existe une méthode permettant de calculer toutes ses racines rationnelles. Un polynôme à coefficients rationnels a les mêmes racines qu'un polynôme à coefficients entiers, qui s'obtient en multipliant par le commun de tous les dénominateurs des coefficients. Les racines rationnelles d'un polynôme à coefficients entiers ne peuvent être que celles-là. fractions irréductibles de la forme , pour lesquelles rH sont des nombres , et H est un diviseur du nombre (et même seulement celles de ces fractions pour lesquelles, pour tout entier, le nombre est divisible par ).

Si , alors toutes les racines rationnelles du polynôme (s'il en a) sont des entiers qui sont des diviseurs membre gratuit, et peut être trouvé par force brute.

Systèmes d'équations algébriques. À propos des systèmes A.U. 1er degré voir Équation linéaire.

Système de deux A.U. n'importe quel diplôme à deux inconnues x et y peut s'écrire sous la forme :

Où Polynômes H à une inconnue X.

Si tu donnes quelque chose valeur numérique, vous obtenez un système de deux équations à une inconnue avec des coefficients constants. Résultant ce système aura le déterminant suivant :

L'affirmation suivante est vraie : un nombre est une racine de la résultante si et seulement si soit les polynômes ont une racine commune, soit les deux coefficients principaux sont égaux à zéro.

Ainsi, pour résoudre le système (3), vous devez trouver toutes les racines de la résultante, substituer chacune de ces racines dans le système (3) et trouver racines communes ces deux équations à une inconnue toi. De plus, il est nécessaire de trouver les racines communes de deux polynômes, de les substituer également dans le système (3) et de vérifier si les équations résultantes à une inconnue ont des racines communes. En d'autres termes, la solution à un système de deux A. at. à deux inconnues revient à résoudre une équation à une inconnue et à calculer les racines communes de deux équations à une inconnue (les racines communes de deux ou plusieurs polynômes à une inconnue sont les racines de leur plus grand diviseur commun). - ÉQUATION ALGÉBRIQUE, une équation qui peut être transformée de telle sorte que sur le côté gauche il y aura un polynôme dans les inconnues, et sur le côté droit il y aura un zéro. Le degré d’un polynôme est appelé degré de l’équation. Les équations algébriques les plus simples : équation linéaire... ...

Dictionnaire encyclopédique illustré L'équation obtenue en égalant deux. Par exemple, x2+xy+y2 =x+1. Une équation algébrique à une inconnue peut être transformée sous la forme aо + a1x + ... + anxn=0 ... Grand dictionnaire encyclopédique

équation algébrique- - [L.G. Sumenko. Dictionnaire anglais-russe sur les technologies de l'information. M. : Entreprise d'État TsNIIS, 2003.] Sujets informatique en général EN équation polynomiale... Guide du traducteur technique - équation obtenue en assimilant deux algèbres. expressions. Par exemple, x2 + xy + y2 = x + 1. A.y. avec une inconnue x peut être transformé sous la forme ao + a1x+ ... + anxn = 0 ... Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique

Une équation du quatrième degré en mathématiques est une équation algébrique de la forme : . Le quatrième degré pour les équations algébriques est le plus haut niveau auquel il existe solution analytique en radicaux sous forme générale (c'est-à-dire pour toute valeur... ... Wikipédia

Graphique d'un polynôme du 6ème degré, avec 5 points critiques. Une équation du sixième degré est une équation algébrique qui a degré maximum 6. En général, cela peut s'écrire comme suit... Wikipédia

Équations algébriques – équations de la forme

où est un polynôme en variables. Ces variables sont appelées inconnues. Un ensemble ordonné de nombres satisfait cette équation si, lorsqu'il est remplacé par , par , etc. l'égalité numérique correcte est obtenue (par exemple, le triplet ordonné de nombres (3, 4, 5) satisfait l'équation, puisque ). Le nombre qui satisfait une équation algébrique à une inconnue est appelé la racine de cette équation. L'ensemble de tous les ensembles de nombres satisfaisants cette équation, il existe de nombreuses solutions à cette équation. Deux équations algébriques ayant le même ensemble de solutions sont dites équivalentes. Le degré d’un polynôme est appelé degré de l’équation. Par exemple, - une équation du premier degré, - une équation du deuxième degré, et - quatrième degré. Les équations du premier degré sont aussi appelées linéaires (voir Équations linéaires).

Une équation algébrique à une inconnue a numéro final racines, et l’ensemble des solutions d’une équation algébrique avec un grand nombre les inconnues peuvent être un nombre infini d’ensembles spécifiques de nombres. Par conséquent, ils ne considèrent généralement pas des équations algébriques individuelles avec des inconnues, mais des systèmes d'équations et recherchent des ensembles de nombres qui satisfont simultanément toutes les équations d'un système donné. La combinaison de tous ces ensembles forme l’ensemble des solutions du système. Par exemple, l'ensemble des solutions du système d'équations est : .

Les travaux d'Abel furent reconnus et les mathématiciens commencèrent à s'inquiéter de son sort. Les mathématiciens universitaires français envoient un message au roi suédois, qui dirigeait la Norvège, pour lui demander de participer au sort d'Abel. Pendant ce temps, la tuberculose d'Abel progressait rapidement et le 6 avril 1829, il mourut. Les équations algébriques du 1er degré à une inconnue ont déjà été résolues dans Egypte ancienne et l'ancienne Babylone. Les scribes babyloniens étaient capables de résoudre des équations quadratiques, ainsi que les systèmes les plus simples d'équations linéaires et d'équations du 2e degré. À l’aide de tableaux spéciaux, ils ont également résolu certaines équations du 3e degré, par exemple. Dans la Grèce antique, les équations quadratiques étaient résolues à l’aide de constructions géométriques. Le mathématicien grec Diophantus (IIIe siècle) a développé des méthodes pour résoudre des équations algébriques et des systèmes de telles équations avec de nombreuses inconnues dans nombres rationnels . Par exemple, il a résolu l'équation des nombres rationnels

Certains problèmes géométriques : doublement d'un cube, trisection d'un angle (voir Problèmes classiques de l'Antiquité), construction d'un heptagone régulier - conduisent à la solution d'équations cubiques. Au fur et à mesure de l'avancée de la solution, il a fallu trouver les points d'intersection des sections coniques (ellipses, paraboles et hyperboles). À l’aide de méthodes géométriques, les mathématiciens de l’Orient médiéval étudiaient les solutions des équations cubiques. Cependant, ils n’ont pas réussi à trouver une formule pour les résoudre. La première découverte majeure des mathématiques d’Europe occidentale a eu lieu au XVIe siècle. formule pour résoudre une équation cubique. Parce qu'à cette époque nombres négatifs n'était pas encore répandu, il était nécessaire d'analyser séparément des types d'équations tels que, etc. Le mathématicien italien S. del Ferro (1465-1526) a résolu l'équation et a communiqué la solution à son gendre et élève A. -M. Fiore, qui a défié le remarquable mathématicien autodidacte N. Tartaglia (1499-1557) dans un tournoi mathématique. Quelques jours avant le tournoi, Tartaglia a retrouvé méthode générale résoudre des équations cubiques et gagné, résolvant rapidement les 30 problèmes qui lui étaient proposés. Cependant, la formule trouvée par Tartaglia pour résoudre l'équation

La création du symbolisme algébrique et la généralisation de la notion de nombre jusqu'aux nombres complexes l'ont rendu possible aux XVIIe-XVIIIe siècles. recherche propriétés généraleséquations algébriques de degrés supérieurs, ainsi que propriétés générales des polynômes à une et plusieurs variables.

L'un des plus tâches importantes théorie des équations algébriques aux XVIIe-XVIIIe siècles. cherchait une formule pour résoudre une équation du 5ème degré. Après des recherches infructueuses de plusieurs générations d'algébristes, grâce aux efforts d'un scientifique français du XVIIIe siècle. J. Lagrange (1736-1813), le scientifique italien P. Ruffini (1765-1822) et le mathématicien norvégien N. Abel en fin XVIII- début 19ème siècle il a été prouvé qu'il n'existe aucune formule pouvant être utilisée pour exprimer les racines d'une équation du 5ème degré à travers les coefficients de l'équation, en utilisant uniquement des opérations arithmétiques et l'extraction des racines. Ces études ont été complétées par les travaux d'E. Galois, dont la théorie permet de déterminer pour toute équation si ses racines sont exprimées en radicaux. Même avant cela, K.F. Gauss a résolu le problème de l'expression des racines de l'équation en radicaux carrés, auquel se réduit le problème de la construction d'un triangle régulier à l'aide d'un compas et d'une règle. En particulier, il est impossible de construire un heptagone, un ninegon, etc. régulier en utilisant ces outils. – une telle construction n'est possible que dans le cas où - un nombre premier de la forme ou un produit de différent nombres premiers ce genre.

Parallèlement à la recherche de formules à résoudre équations spécifiques la question de l'existence de racines pour toute équation algébrique a été étudiée. Au XVIIIe siècle le philosophe et mathématicien français J. D'Alembert a prouvé que toute équation algébrique de degré non nul avec des coefficients complexes a au moins une racine complexe. Il y avait des lacunes dans la preuve de D'Alembert, qui ont ensuite été comblées par Gauss. De ce théorème, il résulte que tout polynôme de degré 0 peut être décomposé en un produit de facteurs linéaires.

Actuellement, la théorie des systèmes d'équations algébriques est devenue un domaine mathématique indépendant appelé géométrie algébrique. Il étudie les lignes, les surfaces et les variétés de dimensions supérieures définies par des systèmes de telles équations.

ÉQUATION ALGÉBRIQUE, une équation de la forme F(x 1 ,…,x m)=0, où F est un polynôme en m variables, appelées inconnues.

On suppose que les coefficients du polynôme appartiennent à un corps principal fixe K. La solution d'une équation algébrique est un tel ensemble x * 1,..., x * m de valeurs inconnues du corps K (ou son extension), qui, après substitution dans le polynôme F, le rend nul. La tâche principale de la théorie des équations algébriques est de clarifier les conditions dans lesquelles une équation algébrique donnée a une solution et une description de l'ensemble de toutes les solutions.

Une équation algébrique à une inconnue a la forme

On suppose que n>0 et a 0 ≠ 0. Le nombre n est appelé le degré de l'équation, et les nombres a 0, a 1 ... et n sont ses coefficients. Les valeurs de l'inconnue x qui sont des solutions à l'équation sont appelées ses racines, ainsi que les racines du polynôme F(x). Si α est la racine de l’équation (1), alors le polynôme F(x) est divisé sans reste par (x-α) (théorème de Bezout). Un élément α du corps principal K (ou son extension) est appelé racine k fois d'une équation algébrique si le polynôme F(x) est divisible par (x-α)k et non divisible par (x-α)k +1. Les racines du multiple 1 sont également appelées racines simples d'une équation.

Chaque polynôme de degré n à coefficients du corps K n'a pas plus de n racines dans K, en comptant les racines en tenant compte de leurs multiplicités. Si le corps K est algébriquement clos, alors chacun de ces polynômes a exactement n racines, en tenant compte de leurs multiplicités. Cela est particulièrement vrai pour le corps des nombres complexes C (le théorème fondamental de l'algèbre). Du théorème de Bezout il résulte que F(x) peut être représenté sous la forme

où α 1,.....α n sont les racines de l'équation. Les racines et les coefficients de l'équation sont liés par les formules de Vieta

Toute équation de degré n≤ 4 peut être résolue en radicaux. Cela signifie que pour les racines d'une équation, il existe des formules explicites qui expriment les racines à travers les coefficients de l'équation et utilisent uniquement l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines. Dans le cas de n=2 (équation quadratique), les formules ont la forme

Les solutions aux problèmes qui se réduisent à des types particuliers d'équations des 2e et 3e degrés se trouvent dans les textes cunéiformes. Babylone antique. La première présentation de la théorie de la résolution des équations quadratiques est donnée dans l'Arithmétique de Diophante (IIIe siècle). La solution en radicaux des équations des 3e et 4e degrés sous forme générale a été obtenue par les mathématiciens italiens G. Cardano et L. Ferrari au XVIe siècle. Des tentatives ont été faites depuis près de 300 ans pour trouver solution générale dans les radicaux des équations de degrés supérieurs à 4. En 1826, N. Abel prouva que cela est impossible (cependant, la possibilité de l'existence de telles formules pour des équations spécifiques de degré n>4 n'est pas exclue). Une solution complète à la question de savoir dans quelles conditions une équation algébrique peut être résolue en radicaux a été obtenue par E. Galois (vers 1830). La question de la solvabilité des équations en radicaux est étroitement liée à la question de constructions géométriquesà l'aide d'un compas et d'une règle, notamment avec division d'un cercle en n parties égales, avec preuve de l'impossibilité de doubler un cube, de trisection d'un angle et de quadrature d'un cercle.

Pour les applications, le cas est très important lorsque les coefficients et les racines de l'équation sont des nombres (issus des corps de Z entiers, Q rationnels, R réels ou C nombres complexes) ; dans ce cas, des propriétés spéciales de ces champs sont souvent utilisées (par exemple, la présence d'une topologie ou un ordre dans ceux-ci). Dans ce cas, à l'aide de fonctions spéciales, vous pouvez obtenir des formules explicites pour résoudre des équations de degré supérieur à 4.

Pour trouver pratiquement les racines des équations avec des coefficients de R et C, des méthodes approximatives sont utilisées. Pour estimer par le haut le nombre de racines réelles des équations à coefficients réels, on peut utiliser le théorème de Descartes : le nombre de racines positives, compte tenu de leurs multiplicités, est égal à ou par nombre pair inférieur au nombre de changements de signe dans la séquence de coefficients non nuls de l'équation.

Il existe de nombreuses estimations des valeurs des racines. Ainsi, sur le corps C les valeurs |α i |, i = 1, ..., n, ne dépassent pas

Si les coefficients sont réels et a 0 ≥a 1 ≥ ... ≥a n ≥0, alors toutes les racines de l'équation se trouvent sur plan complexe dans un cercle unité.

Dans le cadre de l’étude de la question de la durabilité systèmes mécaniques la question se pose de savoir quand toutes les racines d'un polynôme donné F(x) ont des parties réelles négatives (le problème de Routh-Hurwitz). De tels polynômes F sont dits stables. Les principaux résultats sur les polynômes stables appartiennent à C. Hermite, au scientifique anglais E. Routh et aux mathématiciens allemands A. Hurwitz et I. Schur.

Les systèmes d'équations algébriques à plusieurs inconnues sont étudiés en géométrie algébrique. Une section distincte, la théorie des équations diophantiennes, comprend l'étude des équations algébriques sur des champs ouverts, tels que le champ Q.

Un système d'équations algébriques est un système d'équations qui a la forme

Les systèmes d'équations de degré 1 (équations linéaires) sont étudiés en algèbre linéaire.

Le résultat le plus simple sur le nombre de solutions d'un système d'équations algébriques s'applique au cas où il y a k équations homogènesà partir de k + 1 variables. Toutes les solutions x 1 * ,...,x x+1 k sont combinées en classes de solutions λ 1 * ..., λх k+1 *, où λ≠0 appartient au champ K. Alors le nombre de non- zéro (classes) de solutions du système compte tenu de leurs multiplicités dans cas général est égal au produit des puissances des polynômes F 1, ..., F k. La condition générale est que les coefficients des polynômes F 1, ..., F k n'appartiennent pas à une variété algébrique dans espace affine A coefficients ayant une dimension strictement plus petite que A (théorème de Bezout).

Dans le cas où l'on considère des systèmes d'équations algébriques inhomogènes, pour trouver le nombre de leurs solutions il faut utiliser des invariants plus subtils que le degré, à savoir les polyèdres de Newton. Si

où i=(i 1 ,..i n) Є Z n alors le polyèdre de Newton d'un polynôme F est l'enveloppe convexe dans l'espace R n des points i pour lesquels a i ≠ 0. Le nombre de solutions d'un système d'équations arithmétiques s'exprime à travers les polyèdres de Newton des polynômes F 1 ,. . . ,Fk.

Lit. : Mishina A.P., Proskuryakov I.V. Algèbre supérieure. Algèbre linéaire, polynômes, algèbre générale. M., 1965 ; Kurosh A. G. Cours d'algèbre supérieure. M., 1975 ; Kostrikin A.I. Introduction à l'algèbre. M., 1977 ; Postnikov M. M. Polynômes stables. M., 1981 ; Fadeev D.K., Sominsky I.S. Problèmes d'algèbre supérieure. Saint-Pétersbourg, 2001.

I. V. Proskuryakov, A. N. Parshin.