DÉFINITION

Vecteur(de lat. " vecteur" - "portant") - un segment dirigé d'une ligne droite dans l'espace ou sur un plan.

Graphiquement, un vecteur est représenté comme un segment de ligne droite dirigé d'une certaine longueur. Un vecteur dont le début est au point et la fin au point est noté (Fig. 1). Un vecteur peut également être désigné par une lettre minuscule, par exemple .

Si un système de coordonnées est spécifié dans l'espace, alors le vecteur peut être spécifié de manière unique par un ensemble de ses coordonnées. Autrement dit, un vecteur est compris comme un objet qui a une grandeur (longueur), une direction et un point d'application (le début du vecteur).

Les principes du calcul vectoriel sont apparus dans les travaux du mathématicien, mécanicien, physicien, astronome et géomètre allemand Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en 1831. Des travaux sur les opérations avec des vecteurs ont été publiés par le mathématicien, mécanicien et physicien théoricien irlandais Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) dans le cadre de son calcul des quaternions. Le scientifique a proposé le terme « vecteur » et a décrit certaines opérations sur les vecteurs. Le calcul vectoriel a reçu son dû la poursuite du développement grâce aux travaux sur l'électromagnétisme du physicien, mathématicien et mécanicien britannique James Clerk Maxwell (1831-1879). Dans les années 1880, le livre « Elements of Vector Analysis » a été publié. physicien américain, physico-chimiste, mathématiques et mécanique Josiah Willard Gibbs (1839-1903). L'analyse vectorielle moderne a été décrite en 1903 dans les travaux du scientifique, ingénieur, mathématicien et physicien anglais autodidacte Oliver Heaviside (1850-1925).

DÉFINITION

Longueur ou module vectoriel est la longueur du segment dirigé définissant le vecteur. Noté comme .

Principaux types de vecteurs

Vecteur zéro s'appelle un vecteur dont point de départ Et point final correspondre. La longueur du vecteur zéro est nulle.

Les vecteurs parallèles à une ligne ou situés sur une ligne sont appelés colinéaire(Fig.2).

co-dirigé, si leurs directions coïncident.

Dans la figure 2, ce sont les vecteurs et . La co-directionnalité des vecteurs est indiquée comme suit : .

Deux vecteurs colinéaires sont appelés dirigé à l'opposé, si leurs directions sont opposées.

Sur la figure 3, ce sont les vecteurs et . Désignation: .

Somme des vecteurs. Longueur du vecteur. Chers amis, dans le cadre des types d'examens du dos, il existe un groupe de problèmes avec les vecteurs. Les tâches sont assez variées (il est important d'en connaître les fondements théoriques). La plupart sont résolues oralement. Les questions portent sur la recherche de la longueur d'un vecteur, de la somme (différence) des vecteurs, produit scalaire. Il existe également de nombreuses tâches dans lesquelles vous devez effectuer des actions avec des coordonnées vectorielles.

La théorie entourant le thème des vecteurs n’est pas compliquée et doit être bien comprise. Dans cet article, nous analyserons les problèmes liés à la recherche de la longueur d'un vecteur, ainsi que de la somme (différence) des vecteurs. Quelques points théoriques :

Notion de vecteur

Un vecteur est un segment orienté.

Tous les vecteurs qui ont la même direction et sont de même longueur sont égaux.

*Les quatre vecteurs présentés ci-dessus sont égaux !

Autrement dit, si nous déplaçons le vecteur qui nous est donné en utilisant la translation parallèle, nous obtiendrons toujours un vecteur égal à celui d'origine. Il peut donc y avoir une infinité de vecteurs égaux.

Notation vectorielle

Le vecteur peut être désigné par le latin en majuscule, Par exemple:

Avec cette forme de notation, on écrit d'abord la lettre désignant le début du vecteur, puis la lettre désignant la fin du vecteur.

Un autre vecteur est désigné par une lettre de l'alphabet latin (majuscule) :

Une désignation sans flèches est également possible :

La somme de deux vecteurs AB et BC sera le vecteur AC.

Il s’écrit AB + BC = AC.

Cette règle s'appelle - règle triangulaire.

Autrement dit, si nous avons deux vecteurs – appelons-les conditionnellement (1) et (2), et que la fin du vecteur (1) coïncide avec le début du vecteur (2), alors la somme de ces vecteurs sera un vecteur dont le début coïncide avec le début du vecteur (1) et la fin coïncide avec la fin du vecteur (2).

Conclusion : si on a deux vecteurs sur un plan, on peut toujours trouver leur somme. En utilisant la traduction parallèle, vous pouvez déplacer n'importe lequel de ces vecteurs et relier son début à la fin d'un autre. Par exemple:

Déplaçons le vecteur b, ou en d’autres termes, construisons-en un égal :

Comment trouve-t-on la somme de plusieurs vecteurs ? Par le même principe :

* * *

Règle du parallélogramme

Cette règle est une conséquence de ce qui précède.

Pour les vecteurs d'origine commune, leur somme est représentée par la diagonale d'un parallélogramme construit sur ces vecteurs.

Construisons un vecteur égal au vecteur b pour que son début coïncide avec la fin du vecteur un, et nous pouvons construire un vecteur qui sera leur somme :

Un peu plus une information important nécessaire pour résoudre les problèmes.

Un vecteur de longueur égale à celui d'origine, mais de direction opposée, est également noté mais a le signe opposé :

Ces informations sont extrêmement utiles pour résoudre des problèmes impliquant de trouver la différence entre des vecteurs. Comme vous pouvez le voir, la différence vectorielle est la même somme sous une forme modifiée.

Soit deux vecteurs, trouvez leur différence :

Nous avons construit un vecteur opposé au vecteur b et avons trouvé la différence.

Coordonnées vectorielles

Pour trouver les coordonnées d'un vecteur, il faut soustraire les coordonnées correspondantes du début des coordonnées de fin :

Autrement dit, les coordonnées vectorielles sont une paire de nombres.

Si

Et les coordonnées des vecteurs ressemblent à :

Alors c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

Si

Alors c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2

Module vectoriel

Le module d'un vecteur est sa longueur, déterminée par la formule :

Formule pour déterminer la longueur d'un vecteur si les coordonnées de son début et de sa fin sont connues :

Considérons les tâches :

Les deux côtés du rectangle ABCD sont égaux à 6 et 8. Les diagonales se coupent au point O. Trouvez la longueur de la différence entre les vecteurs AO et BO.

Trouvons le vecteur qui sera le résultat de AO – VO :

AO –VO =AO +(–VO )=AB

C'est-à-dire la différence entre les vecteurs AO et VO sera un vecteur UN B. Et sa longueur est de huit.

Diagonales d'un losange A B C D sont égaux à 12 et 16. Trouvez la longueur du vecteur AB + AD.

Trouvons un vecteur qui sera la somme des vecteurs AD et AB BC égal au vecteur ANNONCE. Donc AB + AD = AB + BC = AC

Les diagonales d'un losange ABCD se coupent au point Ô et sont égaux à 12 et 16. Trouvez la longueur du vecteur AO + BO.

Trouvons un vecteur qui sera la somme des vecteurs AO et VO VO est égal au vecteur OD, ce qui signifie

D'après le théorème de Pythagore :

Les diagonales du losange ABCD se coupent au point O et sont égales à 12 et 16. Trouvez la longueur du vecteur AO – BO.

Trouvons le vecteur qui sera le résultat de AO – VO :

D'après le théorème de Pythagore :

Les côtés du triangle régulier ABC sont égaux à 3.

Trouvez la longueur du vecteur AB –AC.

Trouvons le résultat de la différence vectorielle :

27663. Trouvez la longueur du vecteur a (6;8).

27664. Trouvez le carré de la longueur du vecteur AB.

Définition Une collection ordonnée de (x 1 , x 2 , ... , x n) n nombres réels est appelée vecteur à n dimensions, et les nombres x je (i = ) - Composants, ou coordonnées,

Exemple. Si, par exemple, une usine automobile doit produire 50 voitures, 100 camions, 10 bus, 50 jeux de pièces de rechange pour voitures et 150 jeux pour camions et des bus, alors le programme de production de cette usine peut être écrit sous la forme d'un vecteur (50, 100, 10, 50, 150) comportant cinq composantes.

Notation. Les vecteurs sont indiqués en gras minuscules ou des lettres avec une barre ou une flèche en haut, par exemple, un ou. Les deux vecteurs sont appelés égal, s'ils ont le même nombre de composants et que leurs composants correspondants sont égaux.

Les composants vectoriels ne peuvent pas être échangés, par exemple (3, 2, 5, 0, 1) et (2, 3, 5, 0, 1) vecteurs différents.
Opérations sur les vecteurs. Le travail X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) par un nombre réelλ appelé vecteurλ X= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

MontantX= (x 1 , x 2 , ... ,x n) et oui= (y 1 , y 2 , ... ,y n) est appelé un vecteur x+y= (X 1 + oui 1 , X 2 + oui 2 , ... , X n + + oui n).

Espace vectoriel. N -espace vectoriel dimensionnel R. n est défini comme l'ensemble de tous les vecteurs à n dimensions pour lesquels les opérations de multiplication par nombres réels et un ajout.

Illustration économique. Illustration économique de la dimension n espace vectoriel: espace de marchandises (marchandises). Sous marchandises nous comprendrons un bien ou un service mis en vente dans certaine heure dans un certain endroit. Supposons qu'il existe un nombre fini n de biens disponibles ; les quantités de chacun d'entre elles achetées par le consommateur sont caractérisées par un ensemble de biens

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

où x i désigne le montant du i-ème bien acheté par le consommateur. Nous supposerons que tous les biens ont la propriété d’être divisibles arbitrairement, de sorte que toute quantité non négative de chacun d’eux puisse être achetée. Alors tous les ensembles de biens possibles sont des vecteurs de l'espace des biens C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x je ≥ 0, je = ).

Indépendance linéaire. Système e 1 , e 2 , ... , e m les vecteurs à n dimensions sont appelés linéairement dépendant, s'il existe de tels chiffresλ 1 , λ 2 , ... , λ m , dont au moins un est non nul, tel que l'égalitéλ 1 e 1 + λ2 e 2 +... + λ m e m = 0 ; sinon ce système les vecteurs sont appelés linéairement indépendant, c'est-à-dire que l'égalité indiquée n'est possible que dans le cas où tous . Signification géométrique dépendance linéaire vecteurs dans R. 3, interprétés comme des segments dirigés, expliquent les théorèmes suivants.

Théorème 1. Un système constitué d'un vecteur est linéairement dépendant si et seulement si ce vecteur est nul.

Théorème 2. Pour que deux vecteurs soient linéairement dépendants, il faut et il suffit qu'ils soient colinéaires (parallèles).

Théorème 3 . Pour que trois vecteurs soient linéairement dépendants, il faut et il suffit qu'ils soient coplanaires (se trouvent dans le même plan).

Triples gauche et droit de vecteurs. Triple de vecteurs non coplanaires une, b, c appelé droite, si l'observateur de leur origine commune contourne les extrémités des vecteurs une, b, c dans l'ordre donné semble se produire dans le sens des aiguilles d'une montre. Sinon une, b, c -il en reste trois. Tous les triplets de vecteurs droits (ou gauches) sont appelés le même orienté.

Base et coordonnées. Troïka e 1, e 2 , e 3 vecteurs non coplanaires dans R. 3 s'appelle base, et les vecteurs eux-mêmes e 1, e 2 , e 3 - basique. N'importe quel vecteur un peut être développé de manière unique en vecteurs de base, c'est-à-dire représentés sous la forme

UN=x1 e 1+x2 e 2 + x3 e 3, (1.1)

les nombres x 1 , x 2 , x 3 dans le développement (1.1) sont appelés coordonnéesun dans la base e 1, e 2 , e 3 et sont désignés un(x1,x2,x3).

Base orthonormale. Si les vecteurs e 1, e 2 , e 3 sont perpendiculaires deux à deux et la longueur de chacun d'eux est égale à un, alors la base s'appelle orthonormé, et les coordonnées x 1 , x 2 , x 3 - rectangulaire. Les vecteurs de base d'une base orthonormée seront notés je, j, k.

Nous supposerons que dans l'espace R. 3 sélectionnés bon système Coordonnées rectangulaires cartésiennes (0, je, j, k}.

Oeuvre vectorielle. Oeuvre vectorielle UN vecteur b appelé vecteur c, qui est déterminé par les trois conditions suivantes :

1. Longueur du vecteur c numériquement égal à l'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs un Et b, c'est à dire.
c= |une||b| péché( un^b).

2. Vecteur c perpendiculaire à chacun des vecteurs un Et b.

3. Vecteurs un, b Et c, pris dans l'ordre indiqué, forment un triplet droit.

Pour un produit vectoriel c la désignation est introduite c =[un B] ou
c = une × b.

Si les vecteurs un Et b sont colinéaires, alors sin( un^b) = 0 et [ un B] = 0, en particulier, [ aa] = 0. Produits vectoriels de vecteurs unitaires : [ je]=k, [jk] = je, [ki]=j.

Si les vecteurs un Et b spécifié dans la base je, j, k coordonnées un(un 1 , un 2 , un 3), b(b 1, b 2, b 3), alors

Travail mixte. Si le produit vectoriel de deux vecteurs UN Et b multiplié de manière scalaire par le troisième vecteur c, alors un tel produit de trois vecteurs est appelé travail mixte et est indiqué par le symbole un avant JC.

Si les vecteurs un B Et c dans la base je, j, k donné par leurs coordonnées
un(un 1 , un 2 , un 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), alors

.

Le produit mixte a une interprétation géométrique simple : c'est un scalaire, égal en valeur absolue au volume d'un parallélépipède construit sur trois vecteurs donnés.

Si les vecteurs forment un triple droit, alors leur produit mixte est un nombre positif égal au volume indiqué ; si c'est un trois une, b, c - parti, alors abc<0 и V = - abc, donc V =|abc|.

Les coordonnées des vecteurs rencontrés dans les problèmes du premier chapitre sont supposées données par rapport à une base orthonormée droite. Vecteur unitaire codirectionnel avec le vecteur UN, indiqué par le symbole UN O. Symbole r=OM désigné par le rayon vecteur du point M, les symboles a, AB ou|une|, | AB|les modules de vecteurs sont notés UN Et UN B.

Exemple 1.2. Trouver l'angle entre les vecteurs un= 2m+4n Et b= m-n, Où m Et n- vecteurs unitaires et angle entre m Et négal à 120 o.

Solution. On a : cos φ = un B/un B ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2minute=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3 ; une = ; un 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16minute+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, ce qui signifie a = . b = ; b 2 =
= (mn)(m-n) = m 2 -2minute+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, ce qui signifie b = . Finalement nous avons : parce queφ = = -1/2, φ = 120 o.

Exemple 1.3.Connaître les vecteurs UN B(-3,-2,6) et AVANT JC.(-2,4,4),calculez la longueur de l'altitude AD du triangle ABC.

Solution. En désignant l'aire du triangle ABC par S, on obtient :
S = 1/2 avant JC après JC. Alors AD = 2S/BC, BC = = = 6,
S = 1/2| AB ×CA|. AC=AB+BC, ce qui signifie vecteur A.C. a des coordonnées
. .

Exemple 1.4 . Deux vecteurs sont donnés un(11,10,2) et b(4,0,3). Trouver le vecteur unitaire c, orthogonal aux vecteurs un Et b et dirigé de telle sorte que le triplet ordonné de vecteurs une, b, cétait juste.

Solution.Notons les coordonnées du vecteur c par rapport à une base orthonormée droite donnée en termes de x, y, z.

Parce que le c ⊥ un, c ⊥b, Que Californie= 0,cb= 0. Selon les conditions du problème, il faut que c = 1 et abc >0.

Nous avons un système d'équations pour trouver x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

A partir des première et deuxième équations du système, nous obtenons z = -4/3 x, y = -5/6 x. En substituant y et z dans la troisième équation, nous avons : x 2 = 36/125, d'où
X =± . Utiliser la condition abc > 0, on obtient l'inégalité

En tenant compte des expressions pour z et y, on réécrit l'inégalité résultante sous la forme : 625/6 x > 0, ce qui implique que x>0. Donc, x = , y = - , z =- .

Introduction

On peut affirmer que peu de gens pensent au fait que les vecteurs nous entourent partout et nous aident dans la vie de tous les jours. Considérez la situation : un homme a rendez-vous avec une fille à deux cents mètres de chez lui. Vont-ils se retrouver ? Bien sûr que non, puisque le jeune homme a oublié d'indiquer l'essentiel : la direction, c'est-à-dire, en termes scientifiques, un vecteur. De plus, en travaillant sur ce projet, j'en donnerai beaucoup plus, pas moins exemples intéressants vecteurs.

En général, je crois que les mathématiques sont science la plus intéressante, à la connaissance duquel il n'y a pas de limites. Ce n'est pas par hasard que j'ai choisi le thème des vecteurs ; j'ai été très intéressé par le fait que le concept de « vecteur » dépasse largement le cadre d'une seule science, à savoir les mathématiques, et nous entoure presque partout. Ainsi, tout le monde devrait savoir ce qu'est un vecteur. Je pense donc que ce sujet est très pertinent. En psychologie, en biologie, en économie et dans de nombreuses autres sciences, le concept de « vecteur » est utilisé. Je vous en dirai plus plus tard.

Objectifs de ce projet sont l'acquisition de compétences dans le travail avec les vecteurs, la capacité de voir l'inhabituel dans l'ordinaire et le développement d'une attitude attentive envers le monde qui nous entoure.

Histoire du concept vecteur

Un des concepts fondamentaux mathématiques modernes est un vecteur. L'évolution de la notion de vecteur s'est réalisée grâce à l'utilisation généralisée de ce concept dans divers domaines mathématiques, mécanique, mais aussi en technologie.

Vecteur relativement nouveau concept mathématique. Le terme « vecteur » lui-même est apparu pour la première fois en 1845 par le mathématicien et astronome irlandais William Hamilton (1805 – 1865) dans ses travaux sur la construction de systèmes numériques généralisant nombres complexes. Hamilton a également inventé les termes « scalaire », « produit scalaire » et « produit vectoriel ». Presque simultanément avec lui, le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 – 1877) menait des recherches dans le même sens, mais d'un point de vue différent. L'Anglais William Clifford (1845 – 1879) réussit à combiner deux approches dans le cadre théorie générale, qui inclut également le calcul vectoriel ordinaire. Et cela a pris sa forme définitive dans les travaux du physicien et mathématicien américain Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903), qui a publié en 1901 un manuel détaillé sur l'analyse vectorielle.

La fin du siècle dernier et le début du siècle actuel ont été marqués par le développement généralisé du calcul vectoriel et de ses applications. L'algèbre vectorielle et l'analyse vectorielle ainsi que la théorie générale de l'espace vectoriel ont été créées. Ces théories ont été utilisées dans la construction des théories de la relativité restreinte et générale, qui jouent exclusivement rôle important V physique moderne.

Le concept de vecteur apparaît lorsque nous devons traiter des objets caractérisés par leur ampleur et leur direction. Par exemple, certains grandeurs physiques, tels que la force, la vitesse, l'accélération, etc., sont caractérisés non seulement valeur numérique, mais aussi la direction. À cet égard, il convient de représenter les grandeurs physiques indiquées par des segments orientés. Selon les exigences nouveau programme en mathématiques et en physique, la notion de vecteur est devenue l'un des concepts phares cours scolaire mathématiques.

Vecteurs en mathématiques

Un vecteur est un segment orienté qui a un début et une fin.

Un vecteur commençant au point A et se terminant au point B est généralement noté AB. Les vecteurs peuvent également être désignés par de petites lettres latines avec une flèche (parfois un tiret) au-dessus d'eux, par exemple.

Un vecteur en géométrie est naturellement comparé à une traduction (traduction parallèle), ce qui éclaire évidemment l'origine de son nom (vecteur latin, porteur). En effet, chaque segment orienté définit de manière unique certains transfert parallèle plan ou espace : disons, le vecteur AB détermine naturellement le transfert, dans lequel le point A ira au point B, et aussi vice versa, le transfert parallèle, dans lequel A va vers B, détermine le seul segment dirigé AB.

La longueur du vecteur AB est la longueur du segment AB, elle est généralement notée AB. Le rôle du zéro parmi les vecteurs est joué par vecteur zéro, dont le début et la fin coïncident ; contrairement aux autres vecteurs, aucune direction ne lui est assignée.

Deux vecteurs sont dits colinéaires s’ils se trouvent sur des droites parallèles ou sur la même droite. Deux vecteurs sont dits codirectionnels s'ils sont colinéaires et dirigés dans la même direction, de direction opposée s'ils sont colinéaires et dirigés dans la même direction. différents côtés.

Opérations sur les vecteurs

Module vectoriel

Le module du vecteur AB est le nombre égal à la longueur du segment AB. Désigné comme AB. Grâce aux coordonnées, il est calculé comme suit :

Ajout de vecteur

DANS représentation de coordonnées le vecteur somme est obtenu en sommant les coordonnées correspondantes des termes :

)(\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_(y)+b_(y),a_(z)+b_(z) ))

Pour construire géométriquement le vecteur somme (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))+(\vec (b)))c = utilisez règles différentes(méthodes), mais elles donnent toutes le même résultat. L'utilisation de l'une ou l'autre règle est justifiée par le problème à résoudre.

Règle du triangle

La règle du triangle découle le plus naturellement de la compréhension d’un vecteur en tant que transfert. Il est clair que le résultat de l'application séquentielle de deux transferts (\displaystyle (\vec (a)) et (\displaystyle (\vec (b))) d'un certain point sera le même que l'application d'un transfert à la fois (\displaystyle ( \vec (a) ))+(\vec (b))), correspondant à cette règle. Pour ajouter deux vecteurs (\displaystyle (\vec (a))) et (\displaystyle (\vec (b))) selon la règle du triangle, ces deux vecteurs sont transférés parallèlement à eux-mêmes de sorte que le début de l'un d'eux coïncide avec la fin de l'autre. Ensuite, le vecteur somme est donné par le troisième côté du triangle résultant, et son début coïncide avec le début du premier vecteur et sa fin avec la fin du deuxième vecteur.

Cette règle peut être directement et naturellement généralisée à l’addition d’un nombre quelconque de vecteurs, se transformant en règle de la ligne brisée:

Règle du polygone

Le début du deuxième vecteur coïncide avec la fin du premier, le début du troisième avec la fin du deuxième, et ainsi de suite, la somme (\displaystyle n) des vecteurs est un vecteur, dont le début coïncide avec le début du premier, et la fin coïncidant avec la fin (\displaystyle n) du (c'est-à-dire qu'il est représenté comme un segment dirigé fermant la polyligne). Également appelée règle de la ligne brisée.

Règle du parallélogramme

Pour ajouter deux vecteurs (\displaystyle (\vec (a))) et (\displaystyle (\vec (b))) selon la règle du parallélogramme, ces deux vecteurs sont transférés parallèlement à eux-mêmes afin que leurs origines coïncident. Alors le vecteur somme est donné par la diagonale du parallélogramme construit sur eux, à partir de leur origine commune.

La règle du parallélogramme est particulièrement pratique lorsqu'il est nécessaire de représenter le vecteur somme comme étant immédiatement appliqué au même point auquel les deux termes sont appliqués - c'est-à-dire de représenter les trois vecteurs comme ayant début général.

Soustraction vectorielle

Pour obtenir la différence sous forme de coordonnées, vous devez soustraire les coordonnées correspondantes des vecteurs :

‚ (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_(y)-b_(y),a_(z)-b_(z) ))

Pour obtenir le vecteur différence (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b))), les débuts des vecteurs sont connectés et le début du vecteur (\displaystyle ( \vec (c))) sera la fin (\displaystyle (\vec (b))), et la fin est la fin (\displaystyle (\vec (a))). Si nous l'écrivons en utilisant des points vectoriels, alors AC-AB=BC(\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).

Multiplier un vecteur par un nombre

En multipliant le vecteur (\displaystyle (\vec (a))) par le nombre (\displaystyle \alpha 0) on obtient un vecteur codirectionnel d'une longueur (\displaystyle \alpha ) fois plus grande. Multiplier un vecteur (\displaystyle (\vec (a))) par un nombre (\displaystyle \alpha , donne un vecteur de direction opposée avec une longueur de (\displaystyle \alpha ) fois plus grande. Multiplier un vecteur par un nombre sous forme de coordonnées se fait en multipliant toutes les coordonnées par ce nombre :

(\displaystyle \alpha (\vec (a))=(\alpha a_(x),\alpha a_(y),\alpha a_(z)))

Produit scalaire des vecteursScalaire

Le produit scalaire est le nombre obtenu en multipliant un vecteur par un vecteur. Trouvé par la formule :

Le produit scalaire peut également être trouvé grâce à la longueur des vecteurs et à l’angle qui les sépare. Application de vecteurs dans sciences connexes Vecteurs en physique Vecteurs - outil puissant mathématiques et physique. Les lois fondamentales de la mécanique et de l’électrodynamique sont formulées dans le langage des vecteurs. Pour comprendre la physique, vous devez apprendre à travailler avec des vecteurs. En physique, comme en mathématiques, un vecteur est une grandeur caractérisée par sa valeur numérique et sa direction. En physique, il existe de nombreuses grandeurs importantes qui sont des vecteurs, par exemple la force, la position, la vitesse, l'accélération, le couple, l'impulsion, l'intensité des champs électriques et magnétiques. Vecteurs dans la littérature Souvenons-nous de la fable d'Ivan Andreevich Krylov sur la façon dont «un cygne, une écrevisse et un brochet ont commencé à porter un chargement de bagages». La fable affirme que « la charrette est toujours là », autrement dit que la résultante de toutes les forces appliquées à la charrette est nulle. Et la force, comme nous le savons, quantité de vecteur. Vecteurs en chimie

Souvent, même de grands scientifiques ont exprimé l'idée que réaction chimique est un vecteur. En fait, tout phénomène peut être englobé sous la notion de « vecteur ». Un vecteur exprime une action ou un phénomène qui a une direction claire dans l'espace et dans des conditions spécifiques, reflétée par son ampleur. La direction d'un vecteur dans l'espace est déterminée par les angles formés entre le vecteur et les axes de coordonnées, et la longueur (grandeur) du vecteur est déterminée par les coordonnées de son début et de sa fin.

Cependant, l’affirmation selon laquelle une réaction chimique serait un vecteur était jusqu’à présent inexacte. Cependant, la base de cette déclaration est règle suivante: "Toute réaction chimique correspond à une équation symétrique d'une droite dans l'espace avec des coordonnées actuelles sous forme de quantités de substances (taupes), de masses ou de volumes."

Toutes les réactions chimiques directes passent par l'origine. Il n'est pas difficile d'exprimer n'importe quelle droite dans l'espace par des vecteurs, mais comme la droite d'une réaction chimique passe par l'origine du système de coordonnées, on peut supposer que le vecteur de la réaction chimique directe est situé sur la droite elle-même et est appelé le rayon vecteur. L'origine de ce vecteur coïncide avec l'origine du système de coordonnées. Ainsi, on peut conclure : toute réaction chimique est caractérisée par la position de son vecteur dans l'espace. Vecteurs en biologie

Vecteur (en génétique) - une molécule d'acide nucléique, le plus souvent de l'ADN, utilisée dans ingénierie génétique pour transmission matériel génétique une autre cellule.

Vecteurs en économie

Une des rubriques mathématiques supérieures est algèbre linéaire. Ses éléments sont largement utilisés pour résoudre divers problèmes économiques. Parmi eux, la notion de vecteur occupe une place importante.

Un vecteur est une séquence ordonnée de nombres. Les nombres d'un vecteur, compte tenu de leur disposition par nombre dans la séquence, sont appelés composants vectoriels. A noter que les vecteurs peuvent être considérés comme des éléments de toute nature, y compris économique. Supposons qu'une certaine usine textile doive produire 30 ensembles de linge de lit, 150 serviettes, 100 peignoirs en une seule équipe, alors le programme de production de cette usine peut être représenté comme un vecteur, où tout ce que l'usine doit produire est un vecteur tridimensionnel. .

Vecteurs en psychologie

Aujourd'hui, il y a grande quantité sources d'informations pour la connaissance de soi, les domaines de la psychologie et du développement personnel. Et il n'est pas difficile de remarquer qu'une direction aussi inhabituelle que psychologie système-vecteur, il contient 8 vecteurs.

Les vecteurs dans la vie de tous les jours

J'ai remarqué que des vecteurs, en plus des sciences exactes, me traversent chaque jour. Ainsi, par exemple, en me promenant dans le parc, j'ai remarqué qu'il s'avère qu'un épicéa peut être considéré comme un exemple de vecteur dans l'espace : sa partie inférieure est le début du vecteur, et le sommet de l'arbre est la fin du vecteur. Et les panneaux avec des images vectorielles lors de la visite des grands magasins nous aident à trouver rapidement un rayon particulier et à gagner du temps.

Vecteurs dans les panneaux de signalisation

Chaque jour, en quittant notre domicile, nous devenons acteurs de la circulation, soit en tant que piétons, soit en tant que conducteur. De nos jours, presque toutes les familles possèdent une voiture, ce qui, bien entendu, ne peut qu'affecter la sécurité de tous les usagers de la route. Et pour éviter les incidents sur la route, vous devez respecter toutes les règles de circulation. Mais nous ne devons pas oublier que dans la vie, tout est interconnecté et que, même dans les panneaux de signalisation normatifs les plus simples, nous voyons des flèches directionnelles, appelées vecteurs en mathématiques. Ces flèches (vecteurs) nous montrent les directions de mouvement, les directions de mouvement, les directions de détour et bien plus encore. Toutes ces informations sont lisibles sur les panneaux de signalisation présents au bord des routes.

Conclusion

Le concept de base de « vecteur », dont nous avons discuté dans les cours de mathématiques à l'école, constitue la base de l'étude par sections. chimie générale, biologie générale, la physique et d'autres sciences. J'observe le besoin de vecteurs dans la vie, qui permettent de trouver l'objet recherché, de gagner du temps, ils remplissent une fonction prescriptive dans les panneaux de signalisation.

conclusions

Chaque personne rencontre constamment des vecteurs dans la vie quotidienne.

Nous avons besoin de vecteurs pour étudier non seulement les mathématiques, mais aussi d’autres sciences.

Tout le monde devrait savoir ce qu'est un vecteur.

Sources

Bashmakov M.A. Qu'est-ce qu'un vecteur ? - 2e éd., ster. - M. : Kvant, 1976.-221p.

Vygodsky M.Ya. Manuel de mathématiques élémentaires.-3e éd., effacé. - M. : Nauka, 1978.-186 p.

Gusyatnikov P.B. Algèbre vectorielle dans des exemples et des problèmes - 2e éd., ster. lycée, 1985.-302p.

Zaïtsev V.V. Mathématiques élémentaires. Cours répété - 3e éd., ster. - M. : Nauka, 1976. - 156 p.

Coxeter GS Nouvelles rencontres avec la géométrie.-2e éd., effacé. - M. : Nauka, 1978.-324 p.

Pogorelov A.V. Géométrie analytique. - 3e éd., effacée. - M. : Kvant, 1968.-235 p.

Premier niveau

Coordonnées et vecteurs. Guide complet (2019)

Dans cet article, nous commencerons par discuter d’une « baguette magique » qui vous permettra de réduire de nombreux problèmes de géométrie à de simples calculs arithmétiques. Ce « bâton » peut vous faciliter la vie, surtout lorsque vous n'êtes pas sûr de pouvoir construire des figures spatiales, des sections, etc. Tout cela nécessite une certaine imagination et des compétences pratiques. La méthode que nous allons commencer à considérer ici vous permettra de faire abstraction presque complètement de tout type de constructions géométriques et le raisonnement. La méthode s'appelle "méthode des coordonnées". Dans cet article, nous examinerons les questions suivantes :

1. Avion coordonné
2. Points et vecteurs sur le plan
3. Construire un vecteur à partir de deux points
4. Longueur du vecteur (distance entre deux points)​
5. Coordonnées du milieu du segment
6. Produit scalaire des vecteurs
7. Angle entre deux vecteurs​

Je pense que vous avez déjà deviné pourquoi la méthode des coordonnées s'appelle ainsi ? C'est vrai, il doit son nom au fait qu'il ne fonctionne pas avec des objets géométriques, mais avec leurs caractéristiques numériques(coordonnées). Et la transformation elle-même, qui permet de passer de la géométrie à l'algèbre, consiste à introduire un système de coordonnées. Si la figure originale était plate, alors les coordonnées sont bidimensionnelles, et si la figure est tridimensionnelle, alors les coordonnées sont tridimensionnelles. Dans cet article, nous considérerons uniquement le cas bidimensionnel. Et l'objectif principal de l'article est de vous apprendre à utiliser certains techniques de base méthode des coordonnées (elles s'avèrent parfois utiles pour résoudre des problèmes de planimétrie dans la partie B de l'examen d'État unifié). Les deux sections suivantes sur ce sujet sont consacrées à une discussion des méthodes de résolution des problèmes C2 (le problème de la stéréométrie).

Par où serait-il logique de commencer à discuter de la méthode des coordonnées ? Probablement du concept de système de coordonnées. Rappelez-vous la première fois que vous l'avez rencontrée. Il me semble qu'en 7e, quand tu as appris l'existence fonction linéaire, Par exemple. Je vous rappelle que vous l'avez construit point par point. Vous souvenez-vous? Vous avez choisi un nombre arbitraire, vous l'avez remplacé dans la formule et vous l'avez calculé de cette façon. Par exemple, si, alors, si, alors, etc. Qu'avez-vous obtenu au final ? Et vous avez reçu des points avec des coordonnées : et. Ensuite, vous avez dessiné une « croix » (système de coordonnées), choisi une échelle (combien de cellules vous aurez comme segment unitaire) et marqué les points que vous avez obtenus dessus, que vous avez ensuite reliés par une ligne droite ; la ligne est le graphique de la fonction.

Il y a ici quelques points qui mériteraient de vous être expliqués un peu plus en détail :

1. Segment d'unité vous choisissez pour des raisons de commodité, afin que tout s'intègre parfaitement et de manière compacte dans le dessin

2. Il est admis que l'axe aille de gauche à droite, et l'axe aille de bas en haut

3. Ils se coupent à angle droit et le point de leur intersection est appelé l’origine. Il est indiqué par une lettre.

4. En écrivant les coordonnées d'un point, par exemple, à gauche entre parenthèses se trouve la coordonnée du point le long de l'axe, et à droite, le long de l'axe. En particulier, cela signifie simplement qu'au moment

5. Afin de définir un point sur axe de coordonnées, vous devez indiquer ses coordonnées (2 chiffres)

6. Pour tout point situé sur l'axe,

7. Pour tout point situé sur l'axe,

8. L'axe s'appelle l'axe des x

9. L'axe s'appelle l'axe y

Passons maintenant à l'étape suivante : marquez deux points. Relions ces deux points avec un segment. Et nous mettrons la flèche comme si nous dessinions un segment d'un point à un autre : c'est-à-dire que nous ferons en sorte que notre segment soit dirigé !

Rappelez-vous comment s'appelle un autre segment directionnel ? C'est vrai, ça s'appelle un vecteur !

Donc si nous connectons point à point, et le début sera le point A, et la fin sera le point B, alors nous obtenons un vecteur. Vous avez aussi fait cette construction en 8e, vous vous souvenez ?

Il s'avère que les vecteurs, comme les points, peuvent être désignés par deux nombres : ces nombres sont appelés coordonnées vectorielles. Question : Pensez-vous qu'il suffit de connaître les coordonnées du début et de la fin d'un vecteur pour trouver ses coordonnées ? Il s'avère que oui ! Et cela se fait très simplement :

Ainsi, puisque dans un vecteur le point est le début et la fin est la fin, le vecteur a les coordonnées suivantes :

Par exemple, si, alors les coordonnées du vecteur

Faisons maintenant l'inverse, trouvons les coordonnées du vecteur. Que devons-nous changer pour cela ? Oui, vous devez échanger le début et la fin : maintenant le début du vecteur sera au point et la fin sera au point. Alors:

Regardez bien, quelle est la différence entre les vecteurs et ? Leur seule différence réside dans les signes dans les coordonnées. Ils sont opposés. Ce fait s’écrit généralement ainsi :

Parfois, s'il n'est pas précisé quel point est le début du vecteur et lequel est la fin, alors les vecteurs ne sont pas désignés par deux lettres majuscules, mais par une lettre minuscule, par exemple : , etc.

Maintenant un peu pratique vous-même et trouvez les coordonnées des vecteurs suivants :

Examen:

Résolvez maintenant un problème légèrement plus difficile :

Un vecteur commençant en un point a un co-ou-di-na-you. Trouvez les points abs-cis-su.

C'est quand même assez prosaïque : Soit les coordonnées du point. Alors

J'ai compilé le système sur la base de la définition de ce que sont les coordonnées vectorielles. Le point a alors des coordonnées. C'est l'abscisse qui nous intéresse. Alors

Répondre:

Que pouvez-vous faire d’autre avec les vecteurs ? Oui, presque tout est comme avec nombres ordinaires(sauf qu’on ne peut pas diviser, mais on peut multiplier de deux manières, dont nous aborderons l’une ici un peu plus tard)

1. Les vecteurs peuvent être ajoutés les uns aux autres
2. Les vecteurs peuvent être soustraits les uns des autres
3. Les vecteurs peuvent être multipliés (ou divisés) par un nombre arbitraire non nul
4. Les vecteurs peuvent être multipliés les uns par les autres

Toutes ces opérations ont un but très clair représentation géométrique. Par exemple, la règle du triangle (ou du parallélogramme) pour l'addition et la soustraction :

Un vecteur s'étire, se contracte ou change de direction lorsqu'il est multiplié ou divisé par un nombre :

Cependant, nous nous intéresserons ici à la question de savoir ce qu'il advient des coordonnées.

1. Lors de l'ajout (soustraction) de deux vecteurs, nous ajoutons (soustrayons) leurs coordonnées élément par élément. C'est-à-dire:

2. Lors de la multiplication (divisation) d'un vecteur par un nombre, toutes ses coordonnées sont multipliées (divisées) par ce nombre :

Par exemple:

· Trouvez la quantité de co-or-di-nat siècle à ra.

Trouvons d'abord les coordonnées de chacun des vecteurs. Ils ont tous deux la même origine : le point d’origine. Leurs fins sont différentes. Alors, . Calculons maintenant les coordonnées du vecteur. Ensuite, la somme des coordonnées du vecteur résultant est égale.

Répondre:

Résolvez maintenant vous-même le problème suivant :

· Trouver la somme des coordonnées vectorielles

Nous vérifions:

Considérons maintenant le problème suivant : nous avons deux points sur avion coordonné. Comment trouver la distance qui les sépare ? Laissez le premier point être et le second. Notons la distance qui les sépare par. Faisons le dessin suivant pour plus de clarté :

Ce que j'ai fait? Tout d’abord, j’ai connecté les points et, aussi, à partir du point j’ai tracé une ligne parallèle à l’axe, et à partir du point j’ai tracé une ligne parallèle à l’axe. Se sont-ils croisés en un point, formant une figure remarquable ? Qu'a-t-elle de si spécial ? Oui, toi et moi savons presque tout sur triangle rectangle. Eh bien, le théorème de Pythagore, bien sûr. Le segment requis est l'hypoténuse de ce triangle et les segments sont les jambes. Quelles sont les coordonnées du point ? Oui, ils sont faciles à trouver à partir de l'image : puisque les segments sont parallèles aux axes et, respectivement, leurs longueurs sont faciles à trouver : si nous désignons les longueurs des segments par, respectivement, alors

Utilisons maintenant le théorème de Pythagore. On connaît les longueurs des jambes, on trouvera l'hypoténuse :

Ainsi, la distance entre deux points est la racine de la somme des carrés des différences par rapport aux coordonnées. Ou - la distance entre deux points est la longueur du segment qui les relie.

Il est facile de voir que la distance entre les points ne dépend pas de la direction. Alors:

De là, nous tirons trois conclusions :

Pratiquons-nous un peu au calcul de la distance entre deux points :

Par exemple, si, alors la distance entre et est égale à

Ou allons dans une autre direction : trouvez les coordonnées du vecteur

Et trouvez la longueur du vecteur :

Comme vous pouvez le constater, c'est la même chose !

Maintenant, entraînez-vous un peu :

Tâche : trouver la distance entre les points indiqués :

Nous vérifions:

Voici quelques autres problèmes utilisant la même formule, bien qu'ils semblent un peu différents :

1. Trouvez le carré de la longueur de la paupière.

2. Trouvez le carré de la longueur de la paupière

1. Et c'est pour être attentif) Nous avons déjà trouvé les coordonnées des vecteurs plus tôt : . Alors le vecteur a des coordonnées. Le carré de sa longueur sera égal à :

2. Trouver les coordonnées du vecteur

Alors le carré de sa longueur est

Rien de compliqué, non ? Arithmétique simple, rien de plus.

Les problèmes suivants ne peuvent pas être classés sans ambiguïté ; érudition générale et la capacité de dessiner des images simples.

1. Trouvez le sinus de l'angle à partir de la coupe, reliant le point, avec l'axe des abscisses.

Et

Comment allons-nous procéder ici ? Nous devons trouver le sinus de l’angle entre et l’axe. Où pouvons-nous chercher le sinus ? C'est vrai, dans un triangle rectangle. Alors que devons-nous faire ? Construisez ce triangle !

Puisque les coordonnées du point sont et, alors le segment est égal à et le segment. Nous devons trouver le sinus de l’angle. Permettez-moi de vous rappeler que le sinus est un rapport jambe opposéeà l'hypoténuse, alors

Que nous reste-t-il à faire ? Trouvez l'hypoténuse. Vous pouvez le faire de deux manières : en utilisant le théorème de Pythagore (les jambes sont connues !) ou en utilisant la formule de la distance entre deux points (en fait, la même chose que la première méthode !). Je vais suivre la deuxième voie :

Répondre:

La prochaine tâche vous semblera encore plus facile. Elle est sur les coordonnées du point.

Tâche 2.À partir du point, le per-pen-di-ku-lyar est abaissé sur l'axe ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Faisons un dessin :

La base d'une perpendiculaire est le point où elle coupe l'axe des x (axe), pour moi c'est un point. La figure montre qu'il a les coordonnées : . Nous nous intéressons à l'abscisse, c'est-à-dire la composante « x ». Elle est égale.

Répondre: .

Tâche 3. Dans les conditions du problème précédent, trouvez la somme des distances du point aux axes de coordonnées.

La tâche est généralement élémentaire si l'on connaît quelle est la distance d'un point aux axes. Tu sais? J'espère, mais je vous rappelle quand même :

Alors, dans mon dessin juste au dessus, ai-je déjà tracé une telle perpendiculaire ? C'est sur quel axe ? À l'axe. Et quelle est alors sa longueur ? Elle est égale. Dessinez maintenant vous-même une perpendiculaire à l’axe et trouvez sa longueur. Ce sera égal, non ? Alors leur somme est égale.

Répondre: .

Tâche 4. Dans les conditions de la tâche 2, trouver l'ordonnée d'un point symétrique au point par rapport à l'axe des abscisses.

Je pense qu'il est intuitivement clair pour vous ce qu'est la symétrie ? De nombreux objets en sont dotés : de nombreux bâtiments, des tables, des avions, de nombreux figures géométriques: boule, cylindre, carré, losange, etc. Grosso modo, la symétrie peut être comprise comme suit : une figure est constituée de deux (ou plusieurs) moitiés identiques. Cette symétrie est appelée symétrie axiale. Qu’est-ce alors qu’un axe ? C’est exactement la ligne le long de laquelle la figure peut, relativement parlant, être « coupée » en moitiés égales (dans cette image, l’axe de symétrie est droit) :

Revenons maintenant à notre tâche. On sait que l'on recherche un point symétrique par rapport à l'axe. Alors cet axe est l’axe de symétrie. Cela signifie que nous devons marquer un point tel que l'axe coupe le segment en deux parties égales. Essayez de marquer vous-même un tel point. Comparez maintenant avec ma solution :

Est-ce que ça s'est passé de la même manière pour vous ? Bien! On s'intéresse à l'ordonnée du point trouvé. C'est égal

Répondre:

Maintenant, dites-moi, après avoir réfléchi quelques secondes, quelle sera l'abscisse d'un point symétrique au point A par rapport à l'ordonnée ? Quelle est ta réponse? Bonne réponse: .

DANS cas général la règle peut s'écrire ainsi :

Un point symétrique à un point par rapport à l'axe des abscisses a les coordonnées :

Un point symétrique à un point par rapport à l'axe des ordonnées a pour coordonnées :

Eh bien, maintenant c'est complètement effrayant tâche: trouver les coordonnées d'un point symétrique au point par rapport à l'origine. Pensez d'abord par vous-même, puis regardez mon dessin !

Répondre:

Maintenant problème de parallélogramme :

Tâche 5 : Les points apparaissent ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Trouvez ou-di-sur-ce point.

Vous pouvez résoudre ce problème de deux manières : par la logique et par la méthode des coordonnées. Je vais d'abord utiliser la méthode des coordonnées, puis je vous expliquerai comment la résoudre différemment.

Il est bien clair que l'abscisse du point est égale. (il se situe sur la perpendiculaire tracée du point à l'axe des abscisses). Nous devons trouver l'ordonnée. Profitons du fait que notre figure est un parallélogramme, cela veut dire ça. Trouvons la longueur du segment en utilisant la formule de la distance entre deux points :

On abaisse la perpendiculaire reliant le point à l'axe. Je désignerai le point d'intersection par une lettre.

La longueur du segment est égale. (trouvez vous-même le problème là où nous avons discuté de ce point), puis nous trouverons la longueur du segment en utilisant le théorème de Pythagore :

La longueur d'un segment coïncide exactement avec son ordonnée.

Répondre: .

Une autre solution (je vais juste mettre une photo qui l'illustre)

Avancement de la solution :

1. Conduite

2. Trouvez les coordonnées du point et la longueur

3. Prouvez-le.

Un autre problème de longueur de segment:

Les points apparaissent au-dessus du triangle. Trouvez la longueur de sa ligne médiane, parallèle.

Te souviens-tu de ce que c'est ligne médiane Triangle? Alors cette tâche est élémentaire pour vous. Si vous ne vous en souvenez pas, je vous le rappelle : la ligne médiane d’un triangle est la ligne qui relie les milieux des côtés opposés. Elle est parallèle à la base et égale à la moitié de celle-ci.

La base est un segment. Il a fallu chercher sa longueur plus tôt, elle est égale. Ensuite, la longueur de la ligne médiane est deux fois moins grande et égale.

Répondre: .

Commentaire : ce problème peut être résolu d'une autre manière, sur laquelle nous reviendrons un peu plus tard.

En attendant, voici quelques problèmes pour vous, entraînez-vous avec eux, ils sont très simples, mais ils vous aident à mieux utiliser la méthode des coordonnées !

1. Les points sont le sommet des tra-pe-tions. Trouvez la longueur de sa ligne médiane.

2. Points et apparitions ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Trouvez ou-di-sur-ce point.

3. Trouvez la longueur à partir de la coupe, en reliant le point et

4. Trouvez la zone derrière la figure colorée sur le plan de coordination.

5. Un cercle de centre en na-cha-le ko-or-di-nat passe par le point. Trouvez-la.

6. Trouvez-di-te ra-di-us du cercle, décrivez-san-noy à propos de l'angle droit-no-ka, les sommets de quelque chose ont un co-ou -di-na-vous êtes tellement responsable

Solutions:

1. On sait que la ligne médiane d’un trapèze est égale à la moitié de la somme de ses bases. La base est égale, et la base. Alors

Répondre:

2. Le moyen le plus simple de résoudre ce problème est de noter cela (règle du parallélogramme). Calculer les coordonnées des vecteurs n'est pas difficile : . Lors de l'ajout de vecteurs, les coordonnées sont ajoutées. Ensuite, il a des coordonnées. Le point a également ces coordonnées, puisque l'origine du vecteur est le point avec les coordonnées. Ce qui nous intéresse, c'est l'ordonnée. Elle est égale.

Répondre:

3. On agit immédiatement selon la formule de la distance entre deux points :

Répondre:

4. Regardez l’image et dites-moi entre quelles deux figures la zone ombrée est « prise en sandwich » ? Il est pris en sandwich entre deux carrés. Ensuite, l'aire de la figure souhaitée est égale à l'aire du grand carré moins l'aire du petit. Côté petit carré est un segment reliant les points et sa longueur est

Alors l'aire du petit carré est

On fait de même avec un grand carré : son côté est un segment reliant les points et sa longueur est égale à

Alors l'aire du grand carré est

On trouve l'aire de la figure souhaitée à l'aide de la formule :

Répondre:

5. Si un cercle a pour centre l'origine et passe par un point, alors son rayon sera exactement égal à la longueur du segment (faites un dessin et vous comprendrez pourquoi cela est évident). Trouvons la longueur de ce segment :

Répondre:

6. On sait que le rayon d'un cercle circonscrit à un rectangle égal à la moitié ses diagonales. Trouvons la longueur de l'une des deux diagonales (après tout, dans un rectangle, elles sont égales !)

Répondre:

Eh bien, avez-vous fait face à tout ? Ce n’était pas très difficile à comprendre, n’est-ce pas ? Il n'y a qu'une seule règle ici : être capable de créer une image visuelle et simplement de « lire » toutes les données qui en découlent.

Il nous en reste très peu. Il y a littéralement deux autres points dont j'aimerais discuter.

Essayons de résoudre ce problème simple. Laissez deux points et soyez donné. Trouvez les coordonnées du milieu du segment. La solution à ce problème est la suivante : soit le point soit le milieu souhaité, alors il a des coordonnées :

C'est-à-dire: coordonnées du milieu du segment = la moyenne arithmétique des coordonnées correspondantes des extrémités du segment.

Cette règle est très simple et ne pose généralement pas de difficultés aux étudiants. Voyons dans quels problèmes et comment il est utilisé :

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny à partir de la coupe, connectez le point et

2. Les points semblent être le sommet du monde. Trouvez-di-te ou-di-na-tu points per-re-se-che-niya de son dia-go-na-lay.

3. Trouvez-di-te abs-cis-su centre du cercle, décrivez-san-noy à propos du rectangulaire-no-ka, les sommets de quelque chose ont co-or-di-na-you de manière si-responsable-mais.

Solutions:

1. Le premier problème est tout simplement classique. Nous procédons immédiatement à la détermination du milieu du segment. Il a des coordonnées. L'ordonnée est égale.

Répondre:

2. Il est facile de voir que ce quadrilatère est un parallélogramme (voire un losange !). Vous pouvez le prouver vous-même en calculant les longueurs des côtés et en les comparant entre elles. Que sais-je des parallélogrammes ? Ses diagonales sont divisées en deux par le point d'intersection ! Ouais! Alors quel est le point d’intersection des diagonales ? C'est le milieu de n'importe laquelle des diagonales ! Je choisirai la diagonale en particulier. Alors le point a des coordonnées L'ordonnée du point est égale à.

Répondre:

3. Avec quoi coïncide le centre du cercle circonscrit au rectangle ? Il coïncide avec le point d'intersection de ses diagonales. Que savez-vous des diagonales d’un rectangle ? Ils sont égaux et le point d’intersection les divise en deux. La tâche a été réduite à la précédente. Prenons par exemple la diagonale. Alors si est le centre du cercle circonscrit, alors est le milieu. Je cherche des coordonnées : L'abscisse est égale.

Répondre:

Maintenant, entraînez-vous un peu par vous-même, je vais juste vous donner les réponses à chaque problème afin que vous puissiez vous tester.

1. Trouvez-di-te ra-di-us du cercle, décrivez-san-noy à propos du tri-angle-no-ka, les sommets de quelque chose ont un co-or-di -no messieurs

2. Trouvez-di-te ou-di-sur-ce centre du cercle, décrivez-san-noy à propos du triangle-no-ka dont les sommets ont des coordonnées

3. Quel genre de ra-di-u-sa devrait-il y avoir un cercle avec un centre en un point pour qu'il touche l'axe ab-ciss ?

4. Trouver-di-ces ou-di-sur-ce point de re-se-ce-tion de l'axe et de coupe, connecter le point et

Réponses:

Est-ce que tout a réussi ? Je l'espère vraiment ! Maintenant, c'est la dernière poussée. Maintenant, soyez particulièrement prudent. Le matériel que je vais maintenant expliquer est directement lié non seulement aux problèmes simples sur la méthode des coordonnées de la partie B, mais se retrouve également partout dans le problème C2.

Laquelle de mes promesses n’ai-je pas encore tenue ? Rappelez-vous quelles opérations sur les vecteurs j'avais promis d'introduire et lesquelles j'ai finalement introduites ? Es-tu sûr que je n'ai rien oublié ? Oublié! J'ai oublié d'expliquer ce que signifie la multiplication vectorielle.

Il existe deux façons de multiplier un vecteur par un vecteur. Selon la méthode choisie, nous obtiendrons des objets de différentes natures :

Le produit croisé est réalisé de manière assez intelligente. Nous verrons comment procéder et pourquoi cela est nécessaire dans le prochain article. Et dans celui-ci, nous nous concentrerons sur le produit scalaire.

Il existe deux manières de le calculer :

Comme vous l’avez deviné, le résultat devrait être le même ! Examinons donc d'abord la première méthode :

Produit scalaire via les coordonnées

Trouver : - notation généralement acceptée pour le produit scalaire

La formule de calcul est la suivante :

Autrement dit, le produit scalaire = la somme des produits des coordonnées vectorielles !

Exemple:

Trouver-di-te

Solution:

Trouvons les coordonnées de chacun des vecteurs :

On calcule le produit scalaire à l'aide de la formule :

Répondre:

Vous voyez, absolument rien de compliqué !

Eh bien, maintenant, essayez-le vous-même :

· Trouver un pro-iz-ve-de-nie scalaire des siècles et

Avez-vous réussi ? Peut-être avez-vous remarqué un petit problème ? Allons vérifier:

Coordonnées vectorielles, comme dans le problème précédent ! Répondre: .

En plus de celui des coordonnées, il existe une autre façon de calculer le produit scalaire, à savoir par les longueurs des vecteurs et le cosinus de l'angle entre eux :

Désigne l'angle entre les vecteurs et.

Autrement dit, le produit scalaire est égal au produit des longueurs des vecteurs et du cosinus de l'angle qui les sépare.

Pourquoi avons-nous besoin de cette deuxième formule, si nous avons la première, qui est beaucoup plus simple, au moins elle ne contient pas de cosinus. Et c'est nécessaire pour qu'à partir de la première et de la deuxième formules, vous et moi puissions déduire comment trouver l'angle entre les vecteurs !

Rappelons-nous alors la formule de la longueur du vecteur !

Ensuite, si je remplace ces données dans la formule du produit scalaire, j'obtiens :

Mais d'une autre manière :

Alors qu'est-ce que toi et moi avons eu ? Nous avons maintenant une formule qui nous permet de calculer l'angle entre deux vecteurs ! Parfois, il s'écrit aussi ainsi par souci de concision :

C'est-à-dire que l'algorithme de calcul de l'angle entre les vecteurs est le suivant :

1. Calculer le produit scalaire via les coordonnées
2. Trouvez les longueurs des vecteurs et multipliez-les
3. Divisez le résultat du point 1 par le résultat du point 2

Pratiquons avec des exemples :

1. Trouvez l'angle entre les paupières et. Donnez la réponse en grad-du-sah.

2. Dans les conditions du problème précédent, trouver le cosinus entre les vecteurs

Faisons ceci : je vais vous aider à résoudre le premier problème et essayer de résoudre le second vous-même ! Accepter? Alors commençons !

1. Ces vecteurs sont nos vieux amis. Nous avons déjà calculé leur produit scalaire et il était égal. Leurs coordonnées sont : , . Ensuite on trouve leurs longueurs :

Ensuite on cherche le cosinus entre les vecteurs :

Quel est le cosinus de l'angle ? C'est le coin.

Répondre:

Eh bien, résolvez maintenant vous-même le deuxième problème, puis comparez ! Je vais donner juste une solution très courte :

2. a des coordonnées, a des coordonnées.

Soit l'angle entre les vecteurs et, alors

Répondre:

A noter que les problèmes directement sur les vecteurs et la méthode des coordonnées dans la partie B Feuille d'examen assez rare. Cependant, la grande majorité des problèmes C2 peuvent être facilement résolus en introduisant un système de coordonnées. Vous pouvez donc considérer cet article comme la base sur la base de laquelle nous réaliserons des constructions assez astucieuses qu’il nous faudra résoudre tâches complexes.

COORDONNÉES ET VECTEURS. NIVEAU MOYEN

Vous et moi continuons à étudier la méthode des coordonnées. Dans la dernière partie, nous avons dérivé une série formules importantes, qui permettent :

1. Trouver des coordonnées vectorielles
2. Trouver la longueur d'un vecteur (ou : la distance entre deux points)
3. Ajoutez et soustrayez des vecteurs. Multipliez-les par nombre réel
4. Trouver le milieu d'un segment
5. Calculer le produit scalaire des vecteurs
6. Trouver l'angle entre les vecteurs

Bien entendu, toute la méthode des coordonnées ne rentre pas dans ces 6 points. Elle est à la base d'une science telle que la géométrie analytique, avec laquelle vous vous familiariserez à l'université. Je veux juste construire une base qui permettra de résoudre les problèmes dans un seul État. examen. Nous avons traité les tâches de la partie B. Il est maintenant temps de passer à un tout autre niveau ! Cet article sera consacré à une méthode de résolution des problèmes C2 dans lesquels il serait raisonnable de passer à la méthode des coordonnées. Ce caractère raisonnable est déterminé par ce qu’il faut trouver dans le problème et par le chiffre donné. Donc, j'utiliserais la méthode des coordonnées si les questions sont :

1. Trouver l'angle entre deux plans
2. Trouver l'angle entre une droite et un plan
3. Trouver l'angle entre deux lignes droites
4. Trouver la distance d'un point à un plan
5. Trouver la distance d'un point à une ligne
6. Trouver la distance entre une ligne droite et un avion
7. Trouver la distance entre deux lignes

Si la figure donnée dans l'énoncé du problème est un corps en rotation (boule, cylindre, cône...)

Les figures appropriées pour la méthode des coordonnées sont :

1. Parallélépipède rectangulaire
2. Pyramide (triangulaire, quadrangulaire, hexagonale)

Aussi d'après mon expérience il est inapproprié d'utiliser la méthode des coordonnées pour:

1. Trouver des zones transversales
2. Calcul des volumes des corps

Cependant, il faut immédiatement noter que les trois situations « défavorables » pour la méthode des coordonnées sont assez rares en pratique. Dans la plupart des tâches, il peut devenir votre sauveur, surtout si vous n'êtes pas très fort dans les constructions tridimensionnelles (qui peuvent parfois être assez complexes).

Quels sont tous les chiffres que j’ai énumérés ci-dessus ? Ils ne sont plus plats, comme par exemple un carré, un triangle, un cercle, mais volumineux ! En conséquence, nous devons considérer non pas les données bidimensionnelles, mais système tridimensionnel coordonnées C'est assez simple à construire : juste en plus de l'axe des abscisses et des ordonnées, nous introduirons un autre axe, l'axe applicatif. La figure montre schématiquement leur position relative :

Tous sont perpendiculaires entre eux et se coupent en un point, que nous appellerons l'origine des coordonnées. Comme précédemment, nous désignerons l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées - , et l'axe applicatif introduit - .

Si auparavant chaque point du plan était caractérisé par deux nombres - l'abscisse et l'ordonnée, alors chaque point de l'espace est déjà décrit par trois nombres - l'abscisse, l'ordonnée et l'appliqué. Par exemple:

En conséquence, l'abscisse d'un point est égale, l'ordonnée est , et l'appliquée est .

Parfois, l'abscisse d'un point est également appelée la projection d'un point sur l'axe des abscisses, l'ordonnée - la projection d'un point sur l'axe des ordonnées, et l'appliqué - la projection d'un point sur l'axe appliqué. En conséquence, si un point est donné, alors un point avec des coordonnées :

appelé projection d'un point sur un plan

appelé projection d'un point sur un plan

Une question naturelle se pose : toutes les formules dérivées pour le cas bidimensionnel sont-elles valables dans l’espace ? La réponse est oui, ils sont justes et ont la même apparence. Pour un petit détail. Je pense que vous avez déjà deviné de quoi il s'agit. Dans toutes les formules, nous devrons ajouter un terme supplémentaire responsable de l'axe appliqué. À savoir.

1. Si deux points sont donnés : , alors :

• Coordonnées vectorielles :
• Distance entre deux points (ou longueur du vecteur)
• Le milieu du segment a des coordonnées

2. Si deux vecteurs sont donnés : et, alors :

• Leur produit scalaire est égal à :
• Le cosinus de l'angle entre les vecteurs est égal à :

Cependant, l’espace n’est pas si simple. Comme vous le comprenez, l’ajout d’une coordonnée supplémentaire introduit une diversité significative dans le spectre des figures « vivant » dans cet espace. Et pour poursuivre la narration, je devrai introduire, grosso modo, une « généralisation » de la ligne droite. Cette « généralisation » sera un avion. Que savez-vous de l'avion ? Essayez de répondre à la question : qu’est-ce qu’un avion ? C'est très difficile à dire. Cependant, nous imaginons tous intuitivement à quoi cela ressemble :

En gros, il s'agit d'une sorte de « feuille » sans fin coincée dans l'espace. Par « infini », il faut comprendre que le plan s’étend dans toutes les directions, c’est-à-dire que son aire est égale à l’infini. Cependant, cette explication « pratique » ne donne pas la moindre idée sur la structure de l’avion. Et c'est elle qui va s'intéresser à nous.

Rappelons l'un des axiomes fondamentaux de la géométrie :

• une droite passe par deux points différents d'un plan, et un seul :

Ou son analogue dans l’espace :

Bien sûr, vous vous souvenez comment dériver l'équation d'une droite à partir de deux points donnés ; ce n'est pas du tout difficile : si le premier point a des coordonnées : et le second, alors l'équation de la droite sera la suivante :

Vous avez suivi cela en 7e année. Dans l'espace, l'équation d'une droite ressemble à ceci : étant donné deux points de coordonnées : , alors l'équation de la droite qui les traverse a la forme :

Par exemple, une droite passe par des points :

Comment faut-il comprendre cela ? Cela doit être compris comme suit : un point se trouve sur une ligne si ses coordonnées satisfont au système suivant :

Nous ne serons pas très intéressés par l’équation de la droite, mais nous devons faire attention à la très notion importante diriger la ligne droite vectorielle. - tout vecteur non nul situé sur une droite donnée ou parallèle à celle-ci.

Par exemple, les deux vecteurs sont des vecteurs directeurs d’une ligne droite. Soit un point situé sur une droite et soit son vecteur directeur. Alors l’équation de la droite peut s’écrire sous la forme suivante :

Encore une fois, l’équation d’une droite ne m’intéressera pas beaucoup, mais j’ai vraiment besoin que vous vous souveniez de ce qu’est un vecteur direction ! Encore: il s'agit de TOUT vecteur non nul situé sur une ligne ou parallèle à celle-ci.

Retirer équation d'un plan basée sur trois points donnés n'est plus si trivial, et généralement cette question n'est pas abordée dans le cours lycée. Mais en vain! Cette technique est vitale lorsque l’on recourt à la méthode des coordonnées pour résoudre des problèmes complexes. Cependant, je suppose que vous avez envie d’apprendre quelque chose de nouveau ? De plus, vous pourrez impressionner votre professeur à l'université lorsqu'il s'avérera que vous savez déjà utiliser la technique habituellement étudiée dans le cours. géométrie analytique. Alors, commençons.

L'équation d'un plan n'est pas trop différente de l'équation d'une droite sur un plan, à savoir qu'elle a la forme :

certains chiffres (pas tous égal à zéro), et des variables, par exemple : etc. Comme vous pouvez le constater, l'équation d'un plan n'est pas très différente de l'équation d'une droite (fonction linéaire). Cependant, vous vous souvenez de ce que vous et moi avons discuté ? Nous avons dit que si nous avons trois points qui ne se trouvent pas sur la même droite, alors l’équation du plan peut être reconstruite de manière unique à partir d’eux. Mais comment? Je vais essayer de vous l'expliquer.

Puisque l’équation du plan est :

Et les points appartiennent à ce plan, alors en substituant les coordonnées de chaque point dans l'équation du plan, nous devrions obtenir l'identité correcte :

Il faut donc résoudre trois équations à inconnues ! Dilemme! Cependant, vous pouvez toujours supposer que (pour ce faire, vous devez diviser par). On obtient ainsi trois équations à trois inconnues :

Cependant, nous ne résoudrons pas un tel système, mais écrirons l'expression mystérieuse qui en découle :

Équation d'un plan passant par trois points donnés

\[\gauche| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Arrêt! Qu'est-ce que c'est? Un module très inhabituel ! Cependant, l'objet que vous voyez devant vous n'a rien à voir avec le module. Cet objet est appelé déterminant du troisième ordre. Désormais, lorsque vous aborderez la méthode des coordonnées sur un plan, vous rencontrerez très souvent ces mêmes déterminants. Qu'est-ce qu'un déterminant du troisième ordre ? Curieusement, ce n'est qu'un chiffre. Reste à comprendre quel nombre spécifique nous comparerons avec le déterminant.

Écrivons d'abord le déterminant du troisième ordre sous une forme plus générale :

Où sont quelques chiffres. De plus, par premier index, nous entendons le numéro de ligne, et par index, nous entendons le numéro de colonne. Par exemple, cela signifie que ce nombre se trouve à l’intersection de la deuxième ligne et de la troisième colonne. Mettons-le question suivante: Comment allons-nous calculer exactement un tel déterminant ? Autrement dit, à quel nombre spécifique allons-nous le comparer ? Pour le déterminant du troisième ordre, il existe une règle triangulaire heuristique (visuelle), elle ressemble à ceci :

1. Le produit des éléments de la diagonale principale (du coin supérieur gauche vers le coin inférieur droit) le produit des éléments formant le premier triangle « perpendiculaire » à la diagonale principale le produit des éléments formant le deuxième triangle « perpendiculaire » au diagonale principale
2. Le produit des éléments de la diagonale secondaire (du coin supérieur droit vers le coin inférieur gauche) le produit des éléments formant le premier triangle « perpendiculaire » à la diagonale secondaire le produit des éléments formant le deuxième triangle « perpendiculaire » au diagonale secondaire
3. Alors le déterminant égal à la différence valeurs obtenues à l'étape et

Si nous écrivons tout cela en chiffres, nous obtenons l'expression suivante :

Cependant, vous n'avez pas besoin de vous souvenir de la méthode de calcul sous cette forme ; il suffit de garder en tête les triangles et l'idée même de ce qui s'additionne à quoi et de ce qui est ensuite soustrait de quoi).

Illustrons la méthode du triangle avec un exemple :

1. Calculez le déterminant :

Voyons ce que nous ajoutons et ce que nous soustrayons :

Termes accompagnés d'un plus :

C'est la diagonale principale : le produit des éléments est égal à

Le premier triangle, « perpendiculaire à la diagonale principale : le produit des éléments est égal à

Deuxième triangle, "perpendiculaire à la diagonale principale : le produit des éléments est égal à

Additionnez trois nombres :

Termes accompagnés d’un « moins »

Il s'agit d'une diagonale latérale : le produit des éléments est égal à

Le premier triangle, « perpendiculaire à la diagonale secondaire : le produit des éléments est égal à

Le deuxième triangle, « perpendiculaire à la diagonale secondaire : le produit des éléments est égal à

Additionnez trois nombres :

Il ne reste plus qu’à soustraire la somme des termes « plus » de la somme des termes « moins » :

Ainsi,

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué ni de surnaturel dans le calcul des déterminants du troisième ordre. Il est simplement important de se souvenir des triangles et de ne pas commettre d’erreurs arithmétiques. Essayez maintenant de le calculer vous-même :

Tâche : trouver la distance entre les points indiqués :

1. Le premier triangle perpendiculaire à la diagonale principale :
2. Deuxième triangle perpendiculaire à la diagonale principale :
3. Somme des termes avec plus :
4. Le premier triangle perpendiculaire à la diagonale secondaire :
5. Deuxième triangle perpendiculaire à la diagonale du côté :
6. Somme des termes avec moins :
7. La somme des termes avec un plus moins la somme des termes avec un moins :

Voici quelques déterminants supplémentaires, calculez vous-même leurs valeurs et comparez-les avec les réponses :

Réponses:

Eh bien, est-ce que tout a coïncidé ? Super, alors vous pouvez continuer ! S'il y a des difficultés, mon conseil est le suivant : sur Internet, il existe de nombreux programmes permettant de calculer le déterminant en ligne. Tout ce dont vous avez besoin est de trouver votre propre déterminant, de le calculer vous-même, puis de le comparer avec ce que calcule le programme. Et ainsi de suite jusqu'à ce que les résultats commencent à coïncider. Je suis sûr que ce moment ne tardera pas à arriver !

Revenons maintenant au déterminant que j'ai écrit lorsque je parlais de l'équation d'un plan passant par trois points donnés:

Il vous suffit de calculer sa valeur directement (en utilisant la méthode du triangle) et de mettre le résultat à zéro. Naturellement, puisqu'il s'agit de variables, vous obtiendrez une expression qui en dépend. C'est cette expression qui sera l'équation d'un plan passant par trois points donnés qui ne se trouvent pas sur la même droite !

Illustrons cela avec un exemple simple :

1. Construire l'équation d'un plan passant par les points

Nous compilons un déterminant pour ces trois points :

Simplifions :

Maintenant, nous le calculons directement en utilisant la règle du triangle :

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ droite| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Ainsi, l’équation du plan passant par les points est :

Essayez maintenant de résoudre un problème vous-même, puis nous en discuterons :

2. Trouver l'équation du plan passant par les points

Eh bien, discutons maintenant de la solution :

Créons un déterminant :

Et calculez sa valeur :

Alors l’équation du plan a la forme :

Ou, en réduisant de, on obtient :

Maintenant, deux tâches pour la maîtrise de soi :

1. Construire l’équation d’un plan passant par trois points :

Réponses:

Est-ce que tout a coïncidé ? Encore une fois, s'il y a certaines difficultés, alors mon conseil est le suivant : retirez trois points de votre tête (avec dans une large mesure il y a de fortes chances qu'ils ne soient pas sur la même ligne droite), vous construisez un avion basé sur eux. Et puis vous vous vérifiez en ligne. Par exemple sur le site :

Cependant, à l'aide de déterminants, nous ne construirons pas seulement l'équation du plan. N'oubliez pas que je vous ai dit que non seulement le produit scalaire est défini pour les vecteurs. Il existe également un produit vectoriel, ainsi qu'un produit mixte. Et si le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre, alors le produit vectoriel de deux vecteurs sera un vecteur, et ce vecteur sera perpendiculaire à ceux donnés :

De plus, son module sera égal à la superficie parallélogramme construit sur les vecteurs et. Ce vecteur Nous en aurons besoin pour calculer la distance d’un point à une ligne. Comment peut-on calculer le produit vectoriel des vecteurs et, si leurs coordonnées sont données ? Le déterminant du troisième ordre vient à nouveau à notre secours. Cependant, avant de passer à l'algorithme de calcul du produit vectoriel, je dois faire une petite digression.

Cette digression concerne les vecteurs de base.

Ils sont représentés schématiquement sur la figure :

Pourquoi pensez-vous qu'ils sont appelés basiques ? Le fait est que :

Ou sur la photo :

La validité de cette formule est évidente, car :

Oeuvre vectorielle

Je peux maintenant commencer à introduire le produit croisé :

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur calculé selon la règle suivante :

Donnons maintenant quelques exemples de calcul du produit vectoriel :

Exemple 1 : Trouvez le produit vectoriel des vecteurs :

Solution : j'invente un déterminant :

Et je le calcule :

Maintenant, après avoir écrit via les vecteurs de base, je reviendrai à la notation vectorielle habituelle :

Ainsi:

Maintenant, essayez-le.

Prêt? Nous vérifions:

Et traditionnellement deux tâches de contrôle :

1. Trouver le produit vectoriel des vecteurs suivants :
2. Trouver le produit vectoriel des vecteurs suivants :

Réponses:

Produit mixte de trois vecteurs

La dernière construction dont j'aurai besoin est le produit mixte de trois vecteurs. Comme un scalaire, c'est un nombre. Il existe deux façons de le calculer. - par un déterminant, - par un produit mixte.

A savoir, donnons-nous trois vecteurs :

Ensuite, le produit mixte de trois vecteurs, noté par, peut être calculé comme suit :

1. - c'est-à-dire que le produit mixte est le produit scalaire d'un vecteur et le produit vectoriel de deux autres vecteurs

Par exemple, le produit mixte de trois vecteurs est :

Essayez de le calculer vous-même en utilisant le produit vectoriel et assurez-vous que les résultats correspondent !

Et encore une fois - deux exemples pour décision indépendante:

Réponses:

Sélection d'un système de coordonnées

Eh bien, nous disposons désormais de toutes les connaissances nécessaires pour résoudre des problèmes complexes de géométrie stéréométrique. Cependant, avant de passer directement aux exemples et aux algorithmes permettant de les résoudre, je pense qu'il sera utile de s'attarder sur la question suivante : comment exactement choisissez un système de coordonnées pour une figure particulière. Après tout, c'est le choix position relative les systèmes de coordonnées et les formes dans l’espace détermineront en fin de compte la lourdeur des calculs.

Permettez-moi de vous rappeler que dans cette section nous considérons les chiffres suivants :

1. Parallélépipède rectangulaire
2. Prisme droit (triangulaire, hexagonal...)
3. Pyramide (triangulaire, quadrangulaire)
4. Tétraèdre (identique à la pyramide triangulaire)

Pour un parallélépipède rectangle ou un cube, je vous conseille la construction suivante :

C'est-à-dire que je placerai le chiffre « dans le coin ». Le cube et le parallélépipède sont de très bonnes figures. Pour eux, vous pouvez toujours trouver facilement les coordonnées de ses sommets. Par exemple, si (comme le montre l'image)

alors les coordonnées des sommets sont les suivantes :

Bien sûr, vous n’avez pas besoin de vous en souvenir, mais rappelez-vous comment positionner au mieux le cube ou cuboïde- souhaitable.

Prisme droit

Le prisme est une figure plus néfaste. Il peut être positionné dans l’espace de différentes manières. Cependant, l'option suivante me semble la plus acceptable :

Prisme triangulaire:

C'est-à-dire que nous plaçons entièrement l'un des côtés du triangle sur l'axe et que l'un des sommets coïncide avec l'origine des coordonnées.

Prisme hexagonal :

C'est-à-dire que l'un des sommets coïncide avec l'origine et l'un des côtés se trouve sur l'axe.

Pyramide quadrangulaire et hexagonale :

La situation est similaire à un cube : on aligne deux côtés de la base avec les axes de coordonnées, et on aligne l'un des sommets avec l'origine des coordonnées. La seule légère difficulté sera de calculer les coordonnées du point.

Pour une pyramide hexagonale - de la même manière que pour prisme hexagonal. La tâche principale sera encore une fois de trouver les coordonnées du sommet.

Tétraèdre (pyramide triangulaire)

La situation est très similaire à celle que j'ai donnée pour un prisme triangulaire : un sommet coïncide avec l'origine, un côté se trouve sur l'axe des coordonnées.

Eh bien, maintenant, vous et moi sommes enfin sur le point de commencer à résoudre les problèmes. De ce que j'ai dit au tout début de l'article, on pourrait tirer la conclusion suivante : la plupart des problèmes C2 se divisent en 2 catégories : les problèmes d'angle et les problèmes de distance. Tout d’abord, nous examinerons les problèmes liés à la recherche d’un angle. Ils sont à leur tour divisés dans les catégories suivantes (à mesure que la complexité augmente) :

Problèmes pour trouver des angles

1. Trouver l'angle entre deux lignes droites
2. Trouver l'angle entre deux plans

Examinons ces problèmes séquentiellement : commençons par trouver l'angle entre deux droites. Eh bien, rappelez-vous, n'est-ce pas toi et moi qui avons décidé ? exemples similaires plus tôt? Vous vous souvenez, nous avions déjà quelque chose de similaire... Nous cherchions l'angle entre deux vecteurs. Permettez-moi de vous rappeler que si deux vecteurs sont donnés : et, alors l'angle entre eux se trouve à partir de la relation :

Notre objectif est maintenant de trouver l’angle entre deux lignes droites. Regardons le « tableau plat » :

Combien d’angles obtenons-nous lorsque deux lignes droites se coupent ? Juste quelques choses. Certes, seuls deux d'entre eux sont inégaux, tandis que les autres leur sont verticaux (et coïncident donc avec eux). Alors quel angle faut-il considérer comme l'angle entre deux droites : ou ? Ici, la règle est la suivante : l'angle entre deux lignes droites ne dépasse toujours pas les degrés. Autrement dit, sous deux angles, nous choisirons toujours l'angle avec le plus petit mesure de degré. Autrement dit, sur cette image, l’angle entre deux lignes droites est égal. Afin de ne pas s'embêter à trouver à chaque fois le plus petit de deux angles, des mathématiciens rusés ont suggéré d'utiliser un module. Ainsi, l'angle entre deux droites est déterminé par la formule :

En tant que lecteur attentif, vous auriez dû vous poser une question : d'où exactement obtenons-nous ces mêmes nombres dont nous avons besoin pour calculer le cosinus d'un angle ? Réponse : nous les prendrons à partir des vecteurs directeurs des lignes ! Ainsi, l'algorithme pour trouver l'angle entre deux droites est le suivant :

1. Nous appliquons la formule 1.

Ou plus en détail :

1. On recherche les coordonnées du vecteur directeur de la première droite
2. On recherche les coordonnées du vecteur directeur de la deuxième droite
3. On calcule le module de leur produit scalaire
4. On cherche la longueur du premier vecteur
5. On cherche la longueur du deuxième vecteur
6. Multipliez les résultats du point 4 par les résultats du point 5
7. On divise le résultat du point 3 par le résultat du point 6. On obtient le cosinus de l'angle entre les droites
8. Si ce résultat permet de calculer avec précision l'angle, on le recherche
9. Sinon on écrit par arc cosinus

Eh bien, il est maintenant temps de passer aux problèmes : je vais démontrer la solution aux deux premiers en détail, je présenterai la solution à un autre dans en bref, et pour les deux derniers problèmes je ne donnerai que des réponses ; vous devez effectuer vous-même tous les calculs pour eux.

Tâches:

1. Dans le tet-ra-ed-re droit, trouvez l'angle entre la hauteur du tet-ra-ed-ra et le côté médian.

2. Dans le pi-ra-mi-de à six coins droits, les cent os-no-va-niyas sont égaux et les bords latéraux sont égaux, trouvez l'angle entre les lignes et.

3. Les longueurs de tous les bords du pi-ra-mi-dy à quatre charbons droit sont égales les unes aux autres. Trouvez l'angle entre les lignes droites et si à partir de la coupe - vous êtes avec le pi-ra-mi-dy donné, le point est se-re-di-sur ses bo-co- secondes côtes

4. Sur le bord du cube il y a un point pour que Trouvez l'angle entre les lignes droites et

5. Point - sur les bords du cube Trouvez l'angle entre les lignes droites et.

Ce n'est pas un hasard si j'ai organisé les tâches dans cet ordre. Même si vous n'avez pas encore commencé à vous y retrouver dans la méthode des coordonnées, j'analyserai moi-même les figures les plus « problématiques », et je vous laisse vous occuper du cube le plus simple ! Petit à petit, vous devrez apprendre à travailler avec toutes les figures ; j'augmenterai la complexité des tâches de sujet en sujet.

Commençons par résoudre les problèmes :

1. Dessinez un tétraèdre, placez-le dans le système de coordonnées comme je l'ai suggéré plus tôt. Puisque le tétraèdre est régulier, alors toutes ses faces (y compris la base) sont triangles réguliers. Puisque la longueur du côté ne nous est pas donnée, je peux la considérer comme égale. Je pense que vous comprenez que l'angle ne dépendra pas réellement de l'ampleur de l'« étirement » de notre tétraèdre ? Je dessinerai également la hauteur et la médiane dans le tétraèdre. Chemin faisant, je dessinerai sa base (cela nous sera aussi utile).

Je dois trouver l'angle entre et. Que savons-nous? Nous ne connaissons que la coordonnée du point. Cela signifie que nous devons trouver les coordonnées des points. Maintenant on pense : un point est le point d'intersection des altitudes (ou bissectrices ou médianes) du triangle. Et un point est un point soulevé. Le point est le milieu du segment. Il faut enfin trouver : les coordonnées des points : .

Commençons par le plus simple : les coordonnées d’un point. Regardez la figure : il est clair que l'appliqué d'un point est égal à zéro (le point se trouve sur le plan). Son ordonnée est égale (puisque c'est la médiane). Il est plus difficile de trouver son abscisse. Cependant, cela se fait facilement en se basant sur le théorème de Pythagore : considérons un triangle. Son hypoténuse est égale, et une de ses pattes est égale. Alors :

Finalement nous avons : .

Trouvons maintenant les coordonnées du point. Il est clair que son applicatif est à nouveau égal à zéro, et son ordonnée est la même que celle du point. Trouvons son abscisse. Cela se fait de manière assez triviale si vous vous en souvenez hauteurs triangle équilatéral le point d'intersection est divisé proportionnellement, en comptant à partir du haut. Puisque : , alors l'abscisse recherchée du point est égal à la longueur segment est égal à : . Ainsi, les coordonnées du point sont :

Trouvons les coordonnées du point. Il est clair que son abscisse et son ordonnée coïncident avec l'abscisse et l'ordonnée du point. Et l'appliqué est égal à la longueur du segment. - c'est l'une des branches du triangle. L'hypoténuse d'un triangle est un segment - une jambe. Elle est recherchée pour les raisons que j'ai soulignées en gras :

Le point est le milieu du segment. Ensuite, nous devons nous souvenir de la formule des coordonnées du milieu du segment :

Ça y est, maintenant on peut chercher les coordonnées des vecteurs directeurs :

Eh bien, tout est prêt : on substitue toutes les données dans la formule :

Ainsi,

Répondre:

Il ne faut pas avoir peur de réponses aussi « effrayantes » : pour les tâches C2, c'est une pratique courante. Je préférerais être surpris par la « belle » réponse dans cette partie. Aussi, comme vous l'avez remarqué, je n'ai pratiquement eu recours à rien d'autre que le théorème de Pythagore et la propriété des hauteurs d'un triangle équilatéral. Autrement dit, pour résoudre le problème stéréométrique, j'ai utilisé le minimum de stéréométrie. Ce gain est en partie « éteint » par des calculs plutôt fastidieux. Mais ils sont assez algorithmiques !

2. Représentons une pyramide hexagonale régulière avec le système de coordonnées, ainsi que sa base :

Nous devons trouver l'angle entre les lignes et. Ainsi, notre tâche se résume à trouver les coordonnées des points : . Nous trouverons les coordonnées des trois derniers à l'aide d'un petit dessin, et nous trouverons la coordonnée du sommet grâce à la coordonnée du point. Il y a beaucoup de travail à faire, mais il faut commencer !

a) Coordonnée : il est clair que son applicative et son ordonnée sont égales à zéro. Trouvons l'abscisse. Pour ce faire, considérons un triangle rectangle. Hélas, nous n'y connaissons que l'hypoténuse, qui est égale. Nous allons essayer de trouver la jambe (car il est clair que le double de la longueur de la jambe nous donnera l'abscisse du point). Comment peut-on le rechercher ? Rappelons-nous quel genre de figure nous avons à la base de la pyramide ? C'est un hexagone régulier. Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie que tous les côtés et tous les angles sont égaux. Nous devons trouver un tel angle. Des idées? Il y a beaucoup d'idées, mais il existe une formule :

La somme des angles d'un n-gone régulier est .

Ainsi, la somme des angles d’un hexagone régulier est égale aux degrés. Alors chacun des angles est égal à :

Regardons à nouveau la photo. Il est clair que le segment est la bissectrice de l'angle. Alors l’angle est égal aux degrés. Alors:

Alors d'où.

Ainsi, a les coordonnées

b) Nous pouvons maintenant facilement trouver la coordonnée du point : .

c) Trouvez les coordonnées du point. Puisque son abscisse coïncide avec la longueur du segment, elle est égale. Trouver l'ordonnée n'est pas non plus très difficile : si nous connectons les points et désignons le point d'intersection de la ligne comme, disons, . (faites-le vous-même, construction simple). Alors Ainsi, l'ordonnée du point B est égale à la somme des longueurs des segments. Regardons à nouveau le triangle. Alors

Alors puisque Alors le point a des coordonnées

d) Trouvons maintenant les coordonnées du point. Considérons le rectangle et prouvez que Ainsi, les coordonnées du point sont :

e) Il reste à trouver les coordonnées du sommet. Il est clair que son abscisse et son ordonnée coïncident avec l'abscisse et l'ordonnée du point. Trouvons l'application. Depuis lors. Considérons un triangle rectangle. Selon les conditions du problème côte latérale. C'est l'hypoténuse de mon triangle. Alors la hauteur de la pyramide est une jambe.

Alors le point a pour coordonnées :

Et bien ça y est, j'ai les coordonnées de tous les points qui m'intéressent. Je recherche les coordonnées des vecteurs directeurs des droites :

On recherche l'angle entre ces vecteurs :

Répondre:

Encore une fois, pour résoudre ce problème, je n'ai utilisé aucune technique sophistiquée autre que la formule de la somme des angles d'un n-gone régulier, ainsi que la définition du cosinus et du sinus d'un triangle rectangle.

3. Puisque encore une fois on ne nous donne pas les longueurs des arêtes de la pyramide, je vais les compter égal à un. Ainsi, puisque TOUS les bords, et pas seulement ceux latéraux, sont égaux les uns aux autres, alors à la base de la pyramide et moi il y a un carré, et faces latérales- des triangles réguliers. Dessinons une telle pyramide, ainsi que sa base sur un plan, en notant toutes les données données dans le texte du problème :

Nous recherchons l'angle entre et. Je ferai des calculs très brefs lorsque je rechercherai les coordonnées des points. Il vous faudra les « déchiffrer » :

b) - le milieu du segment. Ses coordonnées :

c) Je trouverai la longueur du segment en utilisant le théorème de Pythagore dans un triangle. Je peux le trouver en utilisant le théorème de Pythagore dans un triangle.

Coordonnées :

d) - le milieu du segment. Ses coordonnées sont

e) Coordonnées vectorielles

f) Coordonnées vectorielles

g) Recherche de l'angle :

Cube - chiffre le plus simple. Je suis sûr que vous le découvrirez par vous-même. Les réponses aux problèmes 4 et 5 sont les suivantes :

Trouver l'angle entre une droite et un plan

Eh bien, le temps des énigmes simples est révolu ! Maintenant, les exemples seront encore plus compliqués. Pour trouver l’angle entre une droite et un plan, nous procéderons comme suit :

1. En utilisant trois points, nous construisons une équation du plan
   ,
   en utilisant un déterminant du troisième ordre.
2. A l'aide de deux points, on recherche les coordonnées du vecteur directeur de la droite :
3. On applique la formule pour calculer l'angle entre une droite et un plan :

Comme vous pouvez le constater, cette formule est très similaire à celle que nous utilisons pour trouver les angles entre deux droites. La structure du côté droit est simplement la même, et sur la gauche nous recherchons maintenant le sinus, et non plus le cosinus comme auparavant. Eh bien, une action désagréable a été ajoutée : rechercher l'équation de l'avion.

Ne tergiversons pas exemples de solutions :

1. Le prisme direct principal-mais-va-ni-em-nous sommes un triangle égal à pauvre. Trouver l'angle entre la droite et le plan

2. Dans un par-ral-le-le-pi-pe-de rectangulaire venant de l'Ouest Trouver l'angle entre la droite et le plan

3. Dans un prisme hexagonal droit, toutes les arêtes sont égales. Trouvez l'angle entre la droite et le plan.

4. Dans le pi-ra-mi-de triangulaire droit avec l'os-no-va-ni-em des côtes connues Trouver un coin, ob-ra-zo-van -plat en base et droit, passant par le gris côtes et

5. Les longueurs de toutes les arêtes d'un pi-ra-mi-dy quadrangulaire droit avec un sommet sont égales les unes aux autres. Trouvez l'angle entre la ligne droite et le plan si le point est au milieu du bord du pi-ra-mi-dy.

Encore une fois, je vais résoudre les deux premiers problèmes en détail, le troisième brièvement, et je vous laisse résoudre les deux derniers par vous-même. D’ailleurs, vous avez déjà eu affaire à des pyramides triangulaires et quadrangulaires, mais pas encore à des prismes.

Solutions:

1. Représentons un prisme, ainsi que sa base. Combinons-le avec le système de coordonnées et notons toutes les données fournies dans l'énoncé du problème :

Je m'excuse pour certains non-respects des proportions, mais pour résoudre le problème, ce n'est en fait pas si important. L'avion est simplement le "mur du fond" de mon prisme. Il suffit simplement de deviner que l'équation d'un tel plan a la forme :

Cependant, cela peut être montré directement :

Choisissons trois points arbitraires sur ce plan : par exemple, .

Créons l'équation du plan :

Exercice pour vous : calculez vous-même ce déterminant. Avez-vous réussi? L’équation du plan ressemble alors à :

Ou simplement

Ainsi,

Pour résoudre l’exemple, je dois trouver les coordonnées du vecteur direction de la ligne droite. Puisque le point coïncide avec l’origine des coordonnées, les coordonnées du vecteur vont simplement coïncider avec les coordonnées du point. Pour ce faire, on trouve d’abord les coordonnées du point.

Pour ce faire, considérons un triangle. Traçons la hauteur (également appelée médiane et bissectrice) à partir du sommet. Puisque l'ordonnée du point est égale à. Afin de trouver l’abscisse de ce point, il faut calculer la longueur du segment. D'après le théorème de Pythagore, on a :

Alors le point a pour coordonnées :

Un point est un point « en relief » :

Alors les coordonnées vectorielles sont :

Répondre:

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de fondamentalement difficile pour résoudre de tels problèmes. En fait, le processus est un peu plus simplifié par la « rectitude » d’une figure telle qu’un prisme. Passons maintenant à l'exemple suivant :

2. Dessinez un parallélépipède, tracez un plan et une ligne droite, et dessinez également séparément sa base inférieure :

Tout d'abord, on trouve l'équation du plan : Les coordonnées des trois points qui s'y trouvent :

(les deux premières coordonnées sont obtenues de manière évidente, et vous pouvez facilement trouver la dernière coordonnée de l'image du point). Puis on compose l'équation du plan :

On calcule :

On recherche les coordonnées du vecteur directeur : force est de constater que ses coordonnées coïncident avec les coordonnées du point, n'est-ce pas ? Comment trouver des coordonnées ? Ce sont les coordonnées du point, augmentées de un le long de l'axe d'application ! . Ensuite on cherche l'angle souhaité :

Répondre:

3. Dessinez une pyramide hexagonale régulière, puis tracez un plan et une ligne droite.

Ici, c'est même problématique de dessiner un plan, sans parler de résoudre ce problème, mais la méthode des coordonnées s'en fiche ! Sa polyvalence est son principal avantage !

L'avion passe par trois points : . Nous recherchons leurs coordonnées :

1) . Découvrez vous-même les coordonnées des deux derniers points. Pour cela, vous devrez résoudre le problème de la pyramide hexagonale !

2) On construit l'équation du plan :

On recherche les coordonnées du vecteur : . (Revoyez à nouveau le problème de la pyramide triangulaire !)

3) Rechercher un angle :

Répondre:

Comme vous pouvez le constater, ces tâches n’ont rien de surnaturellement difficile. Il faut juste faire très attention aux racines. Je ne donnerai des réponses qu'aux deux derniers problèmes :

Comme vous pouvez le constater, la technique de résolution des problèmes est la même partout : la tâche principale est de trouver les coordonnées des sommets et de les substituer dans certaines formules. Il nous reste encore à considérer une autre classe de problèmes pour le calcul des angles, à savoir :

Calculer les angles entre deux plans

L'algorithme de solution sera le suivant :

1. A l'aide de trois points on cherche l'équation du premier plan :
2. En utilisant les trois autres points on cherche l’équation du deuxième plan :
3. Nous appliquons la formule :

Comme vous pouvez le constater, la formule est très similaire aux deux précédentes, à l'aide desquelles nous avons recherché les angles entre des droites et entre une droite et un plan. Il ne vous sera donc pas difficile de vous en souvenir. Passons à l'analyse des tâches :

1. Le côté de la base du prisme triangulaire droit est égal et la diagonale de la face latérale est égale. Trouvez l'angle entre le plan et le plan de l'axe du prisme.

2. Dans le pi-ra-mi-de à quatre coins droits, dont toutes les arêtes sont égales, trouvez le sinus de l'angle entre le plan et l'os plan, passant par le point per-pen-di-ku- lyar-mais droit.

3. Dans un prisme régulier à quatre coins, les côtés de la base sont égaux et les bords latéraux sont égaux. Il y a un point sur le bord de-me-che-on donc ça. Trouvez l'angle entre les plans et

4. Dans un prisme quadrangulaire droit, les côtés de la base sont égaux et les bords latéraux sont égaux. Il y a un point sur le bord du point pour que Trouvez l'angle entre les plans et.

5. Dans un cube, trouvez le co-sinus de l'angle entre les plans et

Solutions aux problèmes :

1. Je dessine un prisme triangulaire régulier (un triangle équilatéral à la base) et marque dessus les plans qui apparaissent dans l'énoncé du problème :

Il faut trouver les équations de deux plans : L'équation de la base est triviale : on peut composer le déterminant correspondant à l'aide de trois points, mais je vais composer l'équation tout de suite :

Trouvons maintenant l'équation Le point a des coordonnées Point - Puisque c'est la médiane et l'altitude du triangle, on la trouve facilement en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle. Alors le point a des coordonnées : Trouvons l'application du point. Pour ce faire, considérons un triangle rectangle.

On obtient alors les coordonnées suivantes : On compose l'équation du plan.

On calcule l'angle entre les plans :

Répondre:

2. Faire un dessin :

Le plus difficile est de comprendre de quel genre de plan mystérieux il s'agit, passant perpendiculairement par le point. Eh bien, l'essentiel est, qu'est-ce que c'est ? L'essentiel est l'attention ! En fait, la droite est perpendiculaire. La ligne droite est également perpendiculaire. Alors le plan passant par ces deux droites sera perpendiculaire à la droite, et passera d’ailleurs par le point. Ce plan passe également par le sommet de la pyramide. Puis l'avion désiré - Et l'avion nous a déjà été donné. Nous recherchons les coordonnées des points.

Nous trouvons la coordonnée du point à travers le point. Depuis petit dessin il est facile d'en déduire que les coordonnées du point seront les suivantes : Que reste-t-il maintenant à trouver pour trouver les coordonnées du sommet de la pyramide ? Vous devez également calculer sa hauteur. Cela se fait en utilisant le même théorème de Pythagore : prouvez d'abord cela (trivialement à partir de petits triangles formant un carré à la base). Puisque par condition, on a :

Maintenant, tout est prêt : coordonnées du sommet :

On compose l'équation du plan :

Vous êtes déjà un expert en calcul de déterminants. Sans difficulté vous recevrez :

Ou autrement (si on multiplie les deux côtés par la racine de deux)

Trouvons maintenant l'équation du plan :

(Vous n'avez pas oublié comment on obtient l'équation d'un plan, n'est-ce pas ? Si vous ne comprenez pas d'où vient ce moins un, alors revenez à la définition de l'équation d'un plan ! Il s'est toujours avéré qu'avant cela mon avion appartenait à l'origine des coordonnées !)

On calcule le déterminant :

(Vous remarquerez peut-être que l'équation du plan coïncide avec l'équation de la droite passant par les points et ! Réfléchissez à pourquoi !)

Calculons maintenant l'angle :

Il faut trouver le sinus :

Répondre:

3. Question délicate : qu’est-ce que c’est ? prisme rectangulaire, Comment penses-tu? Ce n’est qu’un parallélépipède que vous connaissez bien ! Faisons un dessin tout de suite ! Vous n’avez même pas besoin de représenter la base séparément ; cela ne sert à rien ici :

Le plan, comme nous l'avons noté plus haut, s'écrit sous la forme d'une équation :

Créons maintenant un avion

On crée immédiatement l'équation du plan :

À la recherche d'un angle :

Maintenant, les réponses aux deux derniers problèmes :

Eh bien, c'est le moment de faire une petite pause, car vous et moi sommes formidables et avons fait un excellent travail !

Coordonnées et vecteurs. Niveau avancé

Dans cet article, nous aborderons avec vous une autre classe de problèmes pouvant être résolus à l’aide de la méthode des coordonnées : les problèmes de calcul de distance. A savoir, nous considérerons les cas suivants :

1. Calcul de la distance entre les lignes qui se croisent.

J'ai classé ces devoirs par ordre de difficulté croissante. Il s'avère que c'est le plus facile à trouver distance d'un point à un plan, et le plus difficile est de trouver distance entre les lignes qui se croisent. Même si, bien sûr, rien n’est impossible ! Ne tergiversons pas et examinons immédiatement la première classe de problèmes :

Calculer la distance d'un point à un plan

De quoi avons-nous besoin pour résoudre ce problème ?

1. Coordonnées des points

Ainsi, dès que nous recevons toutes les données nécessaires, nous appliquons la formule :

Vous devriez déjà savoir comment on construit l'équation d'un plan à partir de tâches précédentes, dont j'ai parlé dans la dernière partie. Passons directement aux tâches. Le schéma est le suivant : 1, 2 - Je vous aide à décider, et de manière assez détaillée, 3, 4 - seulement la réponse, vous effectuez vous-même la solution et comparez. Commençons!

Tâches:

1. Étant donné un cube. La longueur du bord du cube est égale. Trouver la distance du se-re-di-na de la coupe au plan

2. Étant donné le bon pi-ra-mi-oui à quatre charbons, le côté du côté est égal à la base. Trouvez la distance du point au plan où - se-re-di-sur les bords.

3. Dans le pi-ra-mi-de triangulaire droit avec l'os-no-va-ni-em, le bord latéral est égal, et le cent-ro-sur l'os-no-vania est égal. Trouvez la distance entre le sommet et l’avion.

4. Dans un prisme hexagonal droit, toutes les arêtes sont égales. Trouver la distance d'un point à un plan.

Solutions:

1. Dessinez un cube avec des arêtes simples, construisez un segment et un plan, désignez le milieu du segment par une lettre

.

Tout d’abord, commençons par la plus simple : trouver les coordonnées du point. Depuis (rappelez-vous les coordonnées du milieu du segment !)

Maintenant, nous composons l'équation du plan en utilisant trois points

\[\gauche| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Maintenant, je peux commencer à trouver la distance :

2. On recommence avec un dessin sur lequel on marque toutes les données !

Pour une pyramide, il serait utile de dessiner sa base séparément.

Même le fait que je dessine comme un poulet avec sa patte ne nous empêchera pas de résoudre ce problème en toute simplicité !

Il est désormais facile de trouver les coordonnées d'un point

Puisque les coordonnées du point, alors

2. Puisque les coordonnées du point a sont le milieu du segment, alors

Sans aucun problème, nous pouvons trouver les coordonnées de deux autres points sur le plan. Nous créons une équation pour le plan et la simplifions :

\[\gauche| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Puisque le point a pour coordonnées : , on calcule la distance :

Réponse (très rare !) :

Eh bien, avez-vous compris ? Il me semble que tout ici est aussi technique que dans les exemples que nous avons vus dans la partie précédente. Je suis donc sûr que si vous maîtrisez ce sujet, il ne vous sera pas difficile de résoudre les deux problèmes restants. Je vais juste vous donner les réponses :

Calculer la distance d'une ligne droite à un plan

En fait, il n’y a rien de nouveau ici. Comment positionner une droite et un plan l’un par rapport à l’autre ? Ils n'ont qu'une seule possibilité : se couper, ou une droite est parallèle au plan. Selon vous, quelle est la distance entre une ligne droite et le plan avec lequel cette ligne droite coupe ? Il me semble qu'il est clair ici qu'une telle distance est égale à zéro. Cas sans intérêt.

Le deuxième cas est plus délicat : ici la distance est déjà non nulle. Cependant, puisque la droite est parallèle au plan, alors chaque point de la droite est équidistant de ce plan :

Ainsi:

Cela signifie que ma tâche a été réduite à la précédente : nous recherchons les coordonnées de n'importe quel point sur une droite, recherchons l'équation du plan, et calculons la distance du point au plan. En fait, de telles tâches sont extrêmement rares dans l'examen d'État unifié. J'ai réussi à trouver un seul problème, et les données qu'il contenait étaient telles que la méthode des coordonnées n'y était pas très applicable !

Passons maintenant à autre chose, bien plus encore classe importante Tâches:

Calculer la distance d'un point à une ligne

De quoi avons nous besoin?

1. Coordonnées du point à partir duquel on recherche la distance :

2. Coordonnées de tout point situé sur une ligne

3. Coordonnées du vecteur directeur de la droite

Quelle formule utilisons-nous ?

Ce que signifie le dénominateur de cette fraction devrait être clair pour vous : il s'agit de la longueur du vecteur directeur de la droite. C'est un numérateur très délicat ! L'expression désigne le module (longueur) du produit vectoriel des vecteurs et Comment calculer le produit vectoriel, nous avons étudié dans la partie précédente de l'ouvrage. Rafraîchissez vos connaissances, nous en aurons grandement besoin maintenant !

Ainsi, l'algorithme de résolution des problèmes sera le suivant :

1. On recherche les coordonnées du point dont on cherche la distance :

2. Nous recherchons les coordonnées de n'importe quel point sur la ligne dont nous recherchons la distance :

3. Construire un vecteur

4. Construire un vecteur directeur d'une ligne droite

5. Calculer le produit vectoriel

6. On cherche la longueur du vecteur résultant :

7. Calculez la distance :

Nous avons beaucoup de travail, et les exemples seront assez complexes ! Alors maintenant, concentrez toute votre attention !

1. Étant donné un pi-ra-mi-da triangulaire droit avec un sommet. Les cent ro-sur la base du pi-ra-mi-dy sont égaux, vous êtes égaux. Trouvez la distance entre le bord gris et la ligne droite, où les points et sont les bords gris et du vétérinaire.

2. Les longueurs des bords et de l'angle droit-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da sont égales en conséquence et trouvez la distance du haut à la ligne droite

3. Dans un prisme hexagonal droit, toutes les arêtes sont égales, trouvez la distance d'un point à une ligne droite

Solutions:

1. Nous réalisons un dessin soigné sur lequel nous marquons toutes les données :

Nous avons beaucoup de travail à faire! Tout d’abord, je voudrais décrire avec des mots ce que nous rechercherons et dans quel ordre :

1. Coordonnées des points et

2. Coordonnées des points

3. Coordonnées des points et

4. Coordonnées des vecteurs et

5. Leur produit vectoriel

6. Longueur du vecteur

7. Longueur du produit vectoriel

8. Distance de à

Eh bien, nous avons beaucoup de travail devant nous ! Allons-y les manches retroussées !

1. Pour trouver les coordonnées de la hauteur de la pyramide, il faut connaître les coordonnées du point. Son applicative est égale à zéro, et son ordonnée est égale à son abscisse est égale à la longueur du segment. hauteur d'un triangle équilatéral, il est divisé dans le rapport, en partant du sommet, à partir d'ici. Finalement, nous avons obtenu les coordonnées :

Coordonnées des points

2. - milieu du segment

3. - milieu du segment

Milieu du segment

4.Coordonnées

Coordonnées vectorielles

5. Calculez le produit vectoriel :

6. Longueur du vecteur : le moyen le plus simple de remplacer est que le segment soit la ligne médiane du triangle, ce qui signifie qu'il est égal à la moitié de la base. Donc.

7. Calculez la longueur du produit vectoriel :

8. Enfin, on trouve la distance :

Pouah, c'est ça ! Je vais vous le dire honnêtement : la solution à ce problème est méthodes traditionnelles(via la construction), ce serait beaucoup plus rapide. Mais ici, j'ai tout résumé à algorithme prêt à l'emploi! Je pense que l'algorithme de solution est clair pour vous ? Par conséquent, je vous demanderai de résoudre vous-même les deux problèmes restants. Comparons les réponses ?

Encore une fois, je le répète : il est plus facile (plus rapide) de résoudre ces problèmes par le biais de constructions, plutôt que de recourir à la méthode des coordonnées. J'ai démontré cette méthode de solution uniquement pour vous montrer une méthode universelle qui vous permet de « ne rien finir de construire ».

Enfin, considérons la dernière classe de problèmes :

Calculer la distance entre les lignes qui se croisent

Ici, l'algorithme de résolution des problèmes sera similaire au précédent. Ce que nous avons:

3. Tout vecteur reliant les points de la première et de la deuxième droite :

Comment trouver la distance entre les lignes ?

La formule est la suivante :

Le numérateur est le module produit mélangé(nous l'avons introduit dans la partie précédente), et le dénominateur est comme dans la formule précédente (le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs des droites, la distance entre laquelle on recherche).

je te rappelle que

Alors la formule de la distance peut être réécrite comme suit:

C'est un déterminant divisé par un déterminant ! Même si, pour être honnête, je n’ai pas le temps de plaisanter ici ! Cette formule, en fait, est très fastidieux et conduit à calculs complexes. Si j'étais vous, je n'y recourrais qu'en dernier recours !

Essayons de résoudre quelques problèmes en utilisant la méthode ci-dessus :

1. Dans un prisme triangulaire rectangle dont toutes les arêtes sont égales, trouvez la distance entre les droites et.

2. Étant donné un prisme triangulaire droit, tous les bords de la base sont égaux à la section passant par la nervure du corps et les nervures se-re-di-well sont un carré. Trouver la distance entre les lignes droites et

Je décide du premier, et en fonction de cela, vous décidez du second !

1. Je dessine un prisme et marque des lignes droites et

Coordonnées du point C : alors

Coordonnées des points

Coordonnées vectorielles

Coordonnées des points

Coordonnées vectorielles

Coordonnées vectorielles

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(tableau))\end(tableau)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

On calcule le produit vectoriel entre les vecteurs et

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Maintenant on calcule sa longueur :

Répondre:

Essayez maintenant de terminer la deuxième tâche avec soin. La réponse sera : .

Coordonnées et vecteurs. Brève description et formules de base

Un vecteur est un segment orienté. - le début du vecteur, - la fin du vecteur.
Un vecteur est noté ou.

Valeur absolue vecteur - la longueur du segment représentant le vecteur. Noté comme.

Coordonnées vectorielles :

,
où sont les extrémités du vecteur \displaystyle a .

Somme des vecteurs : .

Produit de vecteurs :

Produit scalaire des vecteurs :