ચાલો આપણે તે કાર્યને યાદ કરીએ જે ચોક્કસ પૂર્ણાંકો શોધતી વખતે આપણને સામનો કરે છે:

અથવા dy = f(x)dx. તેણીનો ઉકેલ:

અને તે ગણતરી માટે નીચે આવે છે અનિશ્ચિત અભિન્ન. વ્યવહારમાં, વધુ વખત થાય છે મુશ્કેલ કાર્ય: કાર્ય શોધો y, જો તે જાણીતું હોય કે તે ફોર્મના સંબંધને સંતોષે છે

આ સંબંધ સ્વતંત્ર ચલ સાથે સંબંધિત છે x, અજ્ઞાત કાર્ય yઅને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ ઓર્ડર સુધી nસમાવિષ્ટ, કહેવાય છે .

વિભેદક સમીકરણમાં એક અથવા બીજા ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ (અથવા વિભેદક) ની નિશાની હેઠળ કાર્યનો સમાવેશ થાય છે. સર્વોચ્ચ ક્રમને ઓર્ડર કહેવામાં આવે છે (9.1) .

વિભેદક સમીકરણો:

- પ્રથમ ઓર્ડર,

બીજો ક્રમ

- પાંચમો ક્રમ, વગેરે.

જે કાર્ય આપેલ વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે તેને તેનું સોલ્યુશન કહેવામાં આવે છે , અથવા અભિન્ન . તેને ઉકેલવાનો અર્થ છે તેના તમામ ઉકેલો શોધવા. જો જરૂરી કાર્ય માટે yએક ફોર્મ્યુલા મેળવવામાં વ્યવસ્થાપિત છે જે તમામ ઉકેલો આપે છે, પછી અમે કહીએ છીએ કે અમને તે મળી ગયું છે સામાન્ય ઉકેલ, અથવા સામાન્ય અભિન્ન.

સામાન્ય ઉકેલ સમાવે છે nમનસ્વી સ્થિરાંકો અને જેવો દેખાય છે

જો કોઈ સંબંધ પ્રાપ્ત થાય છે જે સંબંધ ધરાવે છે x, yઅને nમનસ્વી સ્થિરાંકો, એક સ્વરૂપમાં જેના સંદર્ભમાં મંજૂરી નથી y -

તો આવા સંબંધને સમીકરણનું સામાન્ય અવિભાજ્ય કહેવામાં આવે છે (9.1).

કોચી સમસ્યા

દરેક ચોક્કસ ઉકેલ, એટલે કે, દરેક ચોક્કસ કાર્ય કે જે આપેલ વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે અને મનસ્વી સ્થિરાંકો પર આધાર રાખતું નથી તેને ચોક્કસ ઉકેલ કહેવામાં આવે છે , અથવા આંશિક અભિન્ન. સામાન્યમાંથી ચોક્કસ ઉકેલો (અવિભાજ્ય) મેળવવા માટે, ચોક્કસ સ્થિરાંકો આપવા જરૂરી છે સંખ્યાત્મક મૂલ્યો.

ચોક્કસ સોલ્યુશનના ગ્રાફને અભિન્ન વળાંક કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય ઉકેલ, જેમાં તમામ આંશિક ઉકેલો હોય છે, તે અભિન્ન વણાંકોનું કુટુંબ છે. પ્રથમ-ક્રમના સમીકરણ માટે આ કુટુંબ સમીકરણ માટે, એક મનસ્વી સ્થિરાંક પર આધાર રાખે છે n-th ઓર્ડર - થી nમનસ્વી સ્થિરાંકો.

કોચી સમસ્યા એ સમીકરણ માટે ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની છે n-મો ક્રમ, સંતોષકારક nપ્રારંભિક શરતો:

જેના દ્વારા n સ્થિરાંકો c 1, c 2,..., c n નક્કી થાય છે.

1 લી ક્રમના વિભેદક સમીકરણો

વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં વણઉકેલાયેલ 1લા ક્રમના વિભેદક સમીકરણ માટે, તેનું સ્વરૂપ છે

અથવા પ્રમાણમાં પરવાનગી માટે

ઉદાહરણ 3.46. સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો

ઉકેલ.એકીકરણ, અમને મળે છે

જ્યાં C એક મનસ્વી સ્થિરાંક છે. જો આપણે C ને ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો સોંપીએ છીએ, તો આપણે ચોક્કસ ઉકેલો મેળવીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે,

ઉદાહરણ 3.47. 100 r ના ઉપાર્જનને આધીન બેંકમાં જમા થતી નાણાની વધતી જતી રકમને ધ્યાનમાં લો પ્રતિ વર્ષ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ. Yo ને નાણાંની પ્રારંભિક રકમ અને Yx - અંતે દો xવર્ષ વર્ષમાં એકવાર વ્યાજની ગણતરી કરવામાં આવે તો આપણને મળે છે

જ્યાં x = 0, 1, 2, 3,.... જ્યારે વ્યાજની વર્ષમાં બે વાર ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે આપણને મળે છે

જ્યાં x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... વ્યાજની ગણતરી કરતી વખતે nવર્ષમાં એકવાર અને જો xઅનુક્રમિક મૂલ્યો લે છે 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., પછી

1/n = h નિયુક્ત કરો, પછી અગાઉની સમાનતા આના જેવી દેખાશે:

અમર્યાદિત વિસ્તૃતીકરણ સાથે n(એટ ) મર્યાદામાં અમે સતત વ્યાજની ઉપાર્જન સાથે નાણાંની રકમ વધારવાની પ્રક્રિયામાં આવીએ છીએ:

આમ તે સ્પષ્ટ છે કે સતત પરિવર્તન સાથે xમની સપ્લાયમાં ફેરફારનો કાયદો 1લી ક્રમના વિભેદક સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. જ્યાં Y x અજ્ઞાત કાર્ય છે, x- સ્વતંત્ર ચલ, આર- સતત. ચાલો આ સમીકરણ હલ કરીએ, આ કરવા માટે આપણે તેને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીશું:

જ્યાં , અથવા , જ્યાં P એ E C નો અર્થ કરે છે.

પ્રારંભિક સ્થિતિઓમાંથી Y(0) = Yo, અમે P: Yo = Pe o, જ્યાંથી, Yo = P શોધીએ છીએ. તેથી, ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:

ચાલો બીજાને ધ્યાનમાં લઈએ આર્થિક સમસ્યા. મેક્રોઇકોનોમિક મોડલ્સનું વર્ણન 1લી ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો દ્વારા પણ કરવામાં આવે છે, જે આવક અથવા આઉટપુટ Y માં ફેરફારોને સમયના કાર્યો તરીકે વર્ણવે છે.

ઉદાહરણ 3.48. દો રાષ્ટ્રીય આવક Y તેની તીવ્રતાના પ્રમાણસર દરે વધે છે:

અને સરકારી ખર્ચ ખાધને પ્રમાણસરતા ગુણાંક સાથે આવક Y ના સીધા પ્રમાણસર થવા દો q. ખર્ચની ખાધ રાષ્ટ્રીય દેવુંમાં વધારો તરફ દોરી જાય છે D:

પ્રારંભિક સ્થિતિ Y = Yo અને D = do at t = 0. પ્રથમ સમીકરણ Y= Yoe kt થી. Y ને બદલીને આપણને dD/dt = qYoe kt મળે છે. સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે
D = (q/ k) Yoe kt +С, જ્યાં С = const, જે પ્રારંભિક સ્થિતિઓ પરથી નક્કી થાય છે. પ્રારંભિક શરતોને બદલે, આપણને Do = (q/k)Yo + C મળે છે. તેથી, અંતે,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

આના પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે રાષ્ટ્રીય દેવું તેની સાથે જ વધે છે સંબંધિત ગતિ k, રાષ્ટ્રીય આવક સમાન.

ચાલો સૌથી સરળ વિભેદક સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈએ nક્રમ, આ ફોર્મના સમીકરણો છે

તેનો સામાન્ય ઉકેલ ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે nવખત એકીકરણ.

ઉદાહરણ 3.49.ઉદાહરણ y """ = cos x ધ્યાનમાં લો.

ઉકેલ.સંકલન, અમે શોધી

સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે

રેખીય વિભેદક સમીકરણો

તેઓ અર્થશાસ્ત્રમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે; જો (9.1) પાસે ફોર્મ છે:

પછી તેને રેખીય કહેવામાં આવે છે, જ્યાં рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - ઉલ્લેખિત કાર્યો. જો f(x) = 0 હોય, તો (9.2) સજાતીય કહેવાય, અન્યથા તેને અસંગત કહેવાય. સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ (9.2) તેના કોઈપણ ચોક્કસ ઉકેલોના સરવાળા જેટલો છે y(x)અને તેને અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ:

જો ગુણાંક р o (x), р 1 (x),..., р n (x) સ્થિર હોય, તો (9.2)

(9.4) સાથે રેખીય વિભેદક સમીકરણ કહેવાય છે સતત ગુણાંકઓર્ડર n .

માટે (9.4) ફોર્મ ધરાવે છે:

સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, આપણે p o = 1 સેટ કરી શકીએ છીએ અને ફોર્મમાં (9.5) લખી શકીએ છીએ

આપણે y = e kx સ્વરૂપમાં ઉકેલ (9.6) શોધીશું, જ્યાં k એ સ્થિરાંક છે. અમારી પાસે છે: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx. પરિણામી સમીકરણોને (9.6) માં બદલીને, આપણી પાસે હશે:

(9.7) એ બીજગણિતીય સમીકરણ છે, તેનું અજ્ઞાત છે k, તેને લાક્ષણિકતા કહેવામાં આવે છે. લાક્ષણિક સમીકરણ ડિગ્રી ધરાવે છે nઅને nમૂળ, જેમાં બહુવિધ અને જટિલ બંને હોઈ શકે છે. k 1, k 2,..., k n ને વાસ્તવિક અને અલગ થવા દો - વિશિષ્ટ ઉકેલો (9.7), અને સામાન્ય

સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:

તેનું લાક્ષણિક સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

(9.9)

તેના ભેદભાવ D = p 2 - 4q, D ની નિશાનીના આધારે, ત્રણ કેસ શક્ય છે.

1. જો D>0, તો મૂળ k 1 અને k 2 (9.9) વાસ્તવિક અને અલગ છે, અને સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:

ઉકેલ.લાક્ષણિક સમીકરણ: k 2 + 9 = 0, જ્યાંથી k = ± 3i, a = 0, b = 3, સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

અભ્યાસમાં 2જી ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે આર્થિક મોડલમાલના સ્ટોક સાથે કોબવેબ પ્રકાર, જ્યાં કિંમત P માં ફેરફારનો દર સ્ટોકના કદ પર આધાર રાખે છે (ફકરો 10 જુઓ). જો પુરવઠો અને માંગ કિંમતના રેખીય કાર્યો છે, તો તે છે

a એ એક સ્થિરાંક છે જે પ્રતિક્રિયા દર નક્કી કરે છે, પછી ભાવ પરિવર્તનની પ્રક્રિયા વિભેદક સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

ચોક્કસ ઉકેલ માટે આપણે સતત લઈ શકીએ છીએ

અર્થપૂર્ણ સંતુલન કિંમત. વિચલન સજાતીય સમીકરણને સંતોષે છે

(9.10)

લાક્ષણિક સમીકરણ નીચે મુજબ હશે:

જો શબ્દ હકારાત્મક છે. ચાલો સૂચિત કરીએ . મૂળ લાક્ષણિક સમીકરણ k 1,2 = ± i w, તેથી સામાન્ય ઉકેલ (9.10) ફોર્મ ધરાવે છે:

જ્યાં C અને મનસ્વી સ્થિરાંકો છે, તેઓ પ્રારંભિક સ્થિતિઓથી નક્કી થાય છે. અમે સમય સાથે કિંમતમાં ફેરફારનો કાયદો મેળવ્યો:

વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા. અમારા માટે આભાર ઑનલાઇન સેવાતમે કોઈપણ પ્રકારના અને જટિલતાના વિભેદક સમીકરણોને હલ કરી શકો છો: અસંગત, સજાતીય, બિનરેખીય, રેખીય, પ્રથમ, દ્વિતીય ક્રમ, વિભાજિત અથવા બિન-વિભાજ્ય ચલ, વગેરે સાથે. તમે વિશ્લેષણાત્મક સ્વરૂપમાં વિભેદક સમીકરણોનો ઉકેલ મેળવો છો વિગતવાર વર્ણન. ઘણા લોકોને રસ છે: વિભેદક સમીકરણો ઓનલાઈન ઉકેલવા શા માટે જરૂરી છે? આ પ્રકારગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સમીકરણો ખૂબ જ સામાન્ય છે, જ્યાં વિભેદક સમીકરણની ગણતરી કર્યા વિના ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવી અશક્ય હશે. અર્થશાસ્ત્ર, દવા, જીવવિજ્ઞાન, રસાયણશાસ્ત્ર અને અન્ય વિજ્ઞાનમાં પણ વિભેદક સમીકરણો સામાન્ય છે. આવા સમીકરણનો ઉકેલ છે ઑનલાઇન મોડતે તમારા કાર્યોને વધુ સરળ બનાવે છે, તમને સામગ્રીને વધુ સારી રીતે સમજવાની અને તમારી જાતને ચકાસવાની તક આપે છે. વિભેદક સમીકરણો ઓનલાઈન ઉકેલવાના ફાયદા. આધુનિક ગાણિતિક સેવા વેબસાઇટ તમને કોઈપણ જટિલતાના વિભેદક સમીકરણોને ઓનલાઈન હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. જેમ તમે જાણો છો ત્યાં છે મોટી સંખ્યામાંવિભેદક સમીકરણોના પ્રકારો અને તેમાંથી દરેકની પોતાની ઉકેલની પદ્ધતિઓ છે. અમારી સેવા પર તમે કોઈપણ ઓર્ડરના વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલો શોધી શકો છો અને ઑનલાઇન ટાઇપ કરી શકો છો. ઉકેલ મેળવવા માટે, અમે સૂચવીએ છીએ કે તમે પ્રારંભિક ડેટા ભરો અને "સોલ્યુશન" બટનને ક્લિક કરો. સેવાના સંચાલનમાં ભૂલો બાકાત રાખવામાં આવી છે, જેથી તમે 100% ખાતરી કરી શકો કે તમને સાચો જવાબ મળ્યો છે. અમારી સેવા સાથે વિભેદક સમીકરણો ઉકેલો. વિભેદક સમીકરણો ઓનલાઈન ઉકેલો. મૂળભૂત રીતે, આવા સમીકરણમાં, ફંક્શન y એ x ચલનું કાર્ય છે. પરંતુ તમે તમારી પોતાની ચલ હોદ્દો પણ સ્પષ્ટ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે વિભેદક સમીકરણમાં y(t) નો ઉલ્લેખ કરો છો, તો અમારી સેવા આપમેળે નક્કી કરશે કે y એ t ચલનું કાર્ય છે. સમગ્ર વિભેદક સમીકરણનો ક્રમ તેના પર નિર્ભર રહેશે મહત્તમ ઓર્ડરસમીકરણમાં હાજર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. આવા સમીકરણને ઉકેલવાનો અર્થ છે ઇચ્છિત કાર્ય શોધવા. અમારી સેવા તમને વિભેદક સમીકરણો ઓનલાઈન ઉકેલવામાં મદદ કરશે. સમીકરણ ઉકેલવા માટે તમારા તરફથી વધુ પ્રયત્નો કરવાની જરૂર નથી. તમારે ફક્ત જરૂરી ફીલ્ડ્સમાં તમારા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુ દાખલ કરવાની જરૂર છે અને "સોલ્યુશન" બટનને ક્લિક કરો. દાખલ કરતી વખતે, ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એપોસ્ટ્રોફી દ્વારા સૂચવવું આવશ્યક છે. થોડીક સેકંડમાં તમને તૈયાર ઉત્પાદન પ્રાપ્ત થશે વિગતવાર ઉકેલવિભેદક સમીકરણ. અમારી સેવા બિલકુલ ફ્રી છે. વિભાજિત ચલો સાથે વિભેદક સમીકરણો. જો વિભેદક સમીકરણમાં ડાબી બાજુએ એક અભિવ્યક્તિ છે જે y પર આધાર રાખે છે, અને જમણી બાજુએ એક અભિવ્યક્તિ છે જે x પર આધાર રાખે છે, તો આવા વિભેદક સમીકરણને વિભાજિત ચલો સાથે કહેવામાં આવે છે. ડાબી બાજુમાં y નું વ્યુત્પન્ન હોઈ શકે છે; આ પ્રકારના વિભેદક સમીકરણોનો ઉકેલ y ના કાર્યના સ્વરૂપમાં હશે, જે સમીકરણની જમણી બાજુના અવિભાજ્ય દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવશે. જો ડાબી બાજુએ y ના કાર્યનો તફાવત છે, તો આ કિસ્સામાં સમીકરણની બંને બાજુઓ એકીકૃત છે. જ્યારે વિભેદક સમીકરણમાં ચલોને અલગ કરવામાં આવતાં નથી, ત્યારે વિભેદક સમીકરણ મેળવવા માટે તેમને અલગ કરવાની જરૂર પડશે. રેખીય વિભેદક સમીકરણ. એક વિભેદક સમીકરણ કે જેનું કાર્ય અને તેના તમામ ડેરિવેટિવ્સ પ્રથમ ડિગ્રીમાં હોય તેને રેખીય કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય દૃશ્યસમીકરણો: y’+a1(x)y=f(x). f(x) અને a1(x) છે સતત કાર્યો x થી. આ પ્રકારના વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવાથી બે વિભેદક સમીકરણોને વિભાજિત ચલો સાથે એકીકૃત કરવામાં ઘટાડો થાય છે. વિભેદક સમીકરણનો ક્રમ. વિભેદક સમીકરણ પ્રથમ, દ્વિતીય, ન્મા ક્રમનું હોઈ શકે છે. વિભેદક સમીકરણનો ક્રમ તેમાં સમાવિષ્ટ સર્વોચ્ચ વ્યુત્પન્નનો ક્રમ નક્કી કરે છે. અમારી સેવામાં તમે પ્રથમ, બીજા, ત્રીજા, વગેરે માટે વિભેદક સમીકરણો ઓનલાઈન હલ કરી શકો છો. ઓર્ડર સમીકરણનો ઉકેલ કોઈપણ કાર્ય y=f(x) હશે, તેને સમીકરણમાં બદલીને, તમને એક ઓળખ મળશે. વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ શોધવાની પ્રક્રિયાને એકીકરણ કહેવામાં આવે છે. કોચી સમસ્યા. જો, વિભેદક સમીકરણ ઉપરાંત, પ્રથમ પ્રારંભિક સ્થિતિ y(x0)=y0, તો આને કોચી સમસ્યા કહેવામાં આવે છે. સમીકરણના ઉકેલમાં સૂચકાંકો y0 અને x0 ઉમેરવામાં આવે છે અને મનસ્વી અચલ Cનું મૂલ્ય નક્કી કરવામાં આવે છે, અને પછી C ના આ મૂલ્ય પર સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ નક્કી કરવામાં આવે છે. આ કોચી સમસ્યાનો ઉકેલ છે. કોચી સમસ્યાને સાથેની સમસ્યા પણ કહેવામાં આવે છે સીમા શરતો, જે ભૌતિકશાસ્ત્ર અને મિકેનિક્સમાં ખૂબ સામાન્ય છે. તમારી પાસે કોચી સમસ્યાને સેટ કરવાની તક પણ છે, એટલે કે, બધામાંથી શક્ય ઉકેલોસમીકરણ, આપેલ પ્રારંભિક શરતોને પૂર્ણ કરતા ભાગને પસંદ કરો.

સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ એક સમીકરણ છે જે એક સ્વતંત્ર ચલ, આ ચલનું અજ્ઞાત કાર્ય અને તેના વિવિધ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ (અથવા તફાવતો) સાથે સંબંધિત છે.

વિભેદક સમીકરણનો ક્રમ તેમાં સમાયેલ સર્વોચ્ચ વ્યુત્પન્નનો ક્રમ કહેવાય છે.

સામાન્ય લોકો ઉપરાંત, આંશિક વિભેદક સમીકરણોનો પણ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. આ સ્વતંત્ર ચલોને લગતા સમીકરણો છે, આ ચલોનું અજ્ઞાત કાર્ય અને સમાન ચલોના સંદર્ભમાં તેના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ. પરંતુ અમે ફક્ત ધ્યાનમાં લઈશું સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો અને તેથી, સંક્ષિપ્તતા માટે, અમે "સામાન્ય" શબ્દને છોડી દઈશું.

વિભેદક સમીકરણોના ઉદાહરણો:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

સમીકરણ (1) ચોથો ક્રમ છે, સમીકરણ (2) ત્રીજો ક્રમ છે, સમીકરણો (3) અને (4) બીજો ક્રમ છે, સમીકરણ (5) પ્રથમ ક્રમ છે.

વિભેદક સમીકરણ nક્રમમાં સ્પષ્ટ કાર્ય હોવું જરૂરી નથી, તેના તમામ ડેરિવેટિવ્ઝ પ્રથમથી n-મો ક્રમ અને સ્વતંત્ર ચલ. તેમાં ચોક્કસ ઓર્ડર, ફંક્શન અથવા સ્વતંત્ર ચલના સ્પષ્ટ ડેરિવેટિવ્સ શામેલ હોઈ શકતા નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ (1) માં સ્પષ્ટપણે કોઈ ત્રીજા- અને બીજા-ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ, તેમજ કાર્ય નથી; સમીકરણ (2) માં - બીજા ક્રમનું વ્યુત્પન્ન અને કાર્ય; સમીકરણમાં (4) - સ્વતંત્ર ચલ; સમીકરણ (5) માં - કાર્યો. માત્ર સમીકરણ (3) સ્પષ્ટપણે તમામ ડેરિવેટિવ્ઝ, કાર્ય અને સ્વતંત્ર ચલ ધરાવે છે.

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવું દરેક કાર્ય કહેવાય છે y = f(x), જ્યારે સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે ત્યારે તે ઓળખમાં ફેરવાય છે.

વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ શોધવાની પ્રક્રિયાને તેની કહેવામાં આવે છે એકીકરણ.

ઉદાહરણ 1.વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ શોધો.

ઉકેલ. ચાલો આ સમીકરણ ફોર્મમાં લખીએ. ઉકેલ તેના વ્યુત્પન્નમાંથી કાર્ય શોધવાનો છે. મૂળ કાર્ય, જેમ કે ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસથી જાણીતું છે, તે માટે એન્ટિડેરિવેટિવ છે, એટલે કે.

આ છે આ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ . તેમાં બદલાવ સી, અમે વિવિધ ઉકેલો મેળવીશું. અમને જાણવા મળ્યું કે ત્યાં છે અનંત સમૂહપ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણના ઉકેલો.

વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ n th ક્રમ એ તેનું સોલ્યુશન છે, જે અજ્ઞાત કાર્ય અને સમાવિષ્ટના સંદર્ભમાં સ્પષ્ટપણે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે nસ્વતંત્ર મનસ્વી સ્થિરાંકો, એટલે કે.

ઉદાહરણ 1 માં વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ સામાન્ય છે.

વિભેદક સમીકરણનો આંશિક ઉકેલ એક ઉકેલ જેમાં મનસ્વી સ્થિરાંકોને ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો આપવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 2.વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ અને તેના માટે ચોક્કસ ઉકેલ શોધો .

ઉકેલ. ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને વિભેદક સમીકરણના ક્રમની બરાબર સંખ્યાબંધ વખત એકીકૃત કરીએ.

,

.

પરિણામે, અમને એક સામાન્ય ઉકેલ મળ્યો -

આપેલ ત્રીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણનું.

હવે આનો એક ખાસ ઉપાય શોધીએ ઉલ્લેખિત શરતો. આ કરવા માટે, મનસ્વી ગુણાંકને બદલે તેમના મૂલ્યોને બદલો અને મેળવો

.

જો, વિભેદક સમીકરણ ઉપરાંત, પ્રારંભિક સ્થિતિ ફોર્મમાં આપવામાં આવે છે, તો આવી સમસ્યા કહેવામાં આવે છે. કોચી સમસ્યા . મૂલ્યો અને સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલમાં બદલો અને મનસ્વી સ્થિરાંકનું મૂલ્ય શોધો સી, અને પછી મળેલ મૂલ્ય માટે સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ સી. આ કોચી સમસ્યાનો ઉકેલ છે.

ઉદાહરણ 3.ઉદાહરણ 1 વિષયના વિભેદક સમીકરણ માટે કોચી સમસ્યા ઉકેલો.

ઉકેલ. ચાલો પ્રારંભિક સ્થિતિમાંથી મૂલ્યોને સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીએ y = 3, x= 1. આપણને મળે છે

અમે આ પ્રથમ-ક્રમના વિભેદક સમીકરણ માટે કોચી સમસ્યાનો ઉકેલ લખીએ છીએ:

વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા, સૌથી સરળ સમીકરણો પણ, જટિલ કાર્યો સહિત સારા સંકલન અને વ્યુત્પન્ન કુશળતાની જરૂર છે. આ નીચેના ઉદાહરણમાં જોઈ શકાય છે.

ઉદાહરણ 4.વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો.

ઉકેલ. સમીકરણ એવા સ્વરૂપમાં લખાયેલું છે કે તમે તરત જ બંને બાજુઓને એકીકૃત કરી શકો.

.

અમે ચલ (અવેજી) ના ફેરફાર દ્વારા એકીકરણની પદ્ધતિ લાગુ કરીએ છીએ. તે પછી રહેવા દો.

લેવા જરૂરી છે ડીએક્સઅને હવે - ધ્યાન - અમે આ એક જટિલ કાર્યના તફાવતના નિયમો અનુસાર કરીએ છીએ, ત્યારથી xઅને ત્યાં છે જટિલ કાર્ય("સફરજન" - નિષ્કર્ષણ વર્ગમૂળઅથવા, સમાન વસ્તુ શું છે - "એક-અડધી" શક્તિમાં વધારો, અને "નાજુકાઈના માંસ" એ મૂળની નીચેની અભિવ્યક્તિ છે):

અમે અભિન્ન શોધીએ છીએ:

ચલ પર પાછા ફરવું x, અમને મળે છે:

.

આ પ્રથમ ડિગ્રીના વિભેદક સમીકરણનો આ સામાન્ય ઉકેલ છે.

અગાઉના વિભાગોમાંથી માત્ર કુશળતા જ નહીં ઉચ્ચ ગણિતવિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા માટે જરૂરી રહેશે, પણ પ્રાથમિક માંથી કૌશલ્યો, એટલે કે શાળા ગણિત. પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, કોઈપણ ક્રમના વિભેદક સમીકરણમાં સ્વતંત્ર ચલ હોઈ શકતું નથી, એટલે કે, ચલ x. શાળામાંથી પ્રમાણ વિશેનું જ્ઞાન જે ભૂલાયું નથી (જો કે, કોના પર આધાર રાખીને) શાળામાંથી આ સમસ્યા ઉકેલવામાં મદદ કરશે. આ પછીનું ઉદાહરણ છે.

પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણો. ઉકેલોના ઉદાહરણો.
વિભાજિત ચલો સાથે વિભેદક સમીકરણો

વિભેદક સમીકરણો (DE). આ બે શબ્દો સામાન્ય રીતે સરેરાશ વ્યક્તિને ડરાવે છે. ઘણા વિદ્યાર્થીઓ માટે વિભેદક સમીકરણો કંઈક નિષેધાત્મક અને માસ્ટર કરવા મુશ્કેલ લાગે છે. Uuuuuu... વિભેદક સમીકરણો, હું આ બધું કેવી રીતે ટકી શકું?!

આ અભિપ્રાય અને આ વલણ મૂળભૂત રીતે ખોટું છે, કારણ કે હકીકતમાં વિભિન્ન સમીકરણો - તે સરળ અને મનોરંજક પણ છે. વિભેદક સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે શીખવા માટે તમારે શું જાણવાની અને કરવા સક્ષમ બનવાની જરૂર છે? માટે સફળ અભ્યાસતમે એકીકરણ અને ભિન્નતામાં સારા હોવા જોઈએ. વિષયોનો વધુ સારો અભ્યાસ થાય છે એક ચલના કાર્યનું વ્યુત્પન્નઅને અનિશ્ચિત અભિન્ન, વિભેદક સમીકરણોને સમજવા જેટલું સરળ હશે. હું વધુ કહીશ, જો તમારી પાસે વધુ કે ઓછા યોગ્ય એકીકરણ કૌશલ્ય છે, તો પછી વિષય લગભગ માસ્ટર થઈ ગયો છે! વધુ અભિન્ન વિવિધ પ્રકારોતમે જાણો છો કે કેવી રીતે નક્કી કરવું - એટલું વધુ સારું. શા માટે? તમારે ઘણું સંકલન કરવું પડશે. અને તફાવત કરો. પણ ખૂબ ભલામણ કરે છેશોધવાનું શીખો.

માં 95% કેસોમાં પરીક્ષણોપ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણોના 3 પ્રકારો છે: અલગ કરી શકાય તેવા સમીકરણોજે આપણે આ પાઠમાં જોઈશું; સજાતીય સમીકરણોઅને રેખીય અસંગત સમીકરણો. ડિફ્યુઝરનો અભ્યાસ શરૂ કરનારાઓ માટે, હું તમને આ ક્રમમાં પાઠ વાંચવાની સલાહ આપું છું, અને પ્રથમ બે લેખોનો અભ્યાસ કર્યા પછી, વધારાની વર્કશોપમાં તમારી કુશળતાને એકીકૃત કરવામાં નુકસાન થશે નહીં - સમીકરણો જે સજાતીયમાં ઘટાડો કરે છે.

ત્યાં પણ વધુ છે દુર્લભ પ્રકારોવિભેદક સમીકરણો: કુલ વિભેદક સમીકરણો, બર્નૌલી સમીકરણો અને કેટલાક અન્ય. છેલ્લા બે પ્રકારોમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ સમીકરણો છે સંપૂર્ણ તફાવતો, કારણ કે આ રીમોટ કંટ્રોલ ઉપરાંત હું વિચારી રહ્યો છું નવી સામગ્રી – આંશિક એકીકરણ.

જો તમારી પાસે માત્ર એક કે બે દિવસ બાકી છે, તે અતિ ઝડપી તૈયારી માટેછે બ્લિટ્ઝ કોર્સપીડીએફ ફોર્મેટમાં.

તેથી, સીમાચિહ્નો સેટ છે - ચાલો જઈએ:

પ્રથમ, ચાલો સામાન્ય બીજગણિત સમીકરણો યાદ કરીએ. તેઓ ચલો અને સંખ્યાઓ ધરાવે છે. સૌથી સરળ ઉદાહરણ: . સામાન્ય સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ છે શોધવું સંખ્યાઓનો સમૂહ, જે આ સમીકરણને સંતોષે છે. તે નોંધવું સરળ છે કે બાળકોના સમીકરણમાં એક જ મૂળ છે: . ફક્ત આનંદ માટે, ચાલો તપાસીએ અને આપણા સમીકરણમાં મળેલા રુટને બદલીએ:

- યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળ્યો હતો.

ડિફ્યુઝર્સ એ જ રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યા છે!

વિભેદક સમીકરણ પ્રથમ ઓર્ડરસામાન્ય કિસ્સામાં સમાવે છે:
1) સ્વતંત્ર ચલ;
2) આશ્રિત ચલ (કાર્ય);
3) ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન: .

કેટલાક 1લા ક્રમના સમીકરણોમાં "x" અને/અથવા "y" ન હોઈ શકે, પરંતુ આ નોંધપાત્ર નથી - મહત્વપૂર્ણકંટ્રોલ રૂમમાં જવા માટે હતીપ્રથમ વ્યુત્પન્ન, અને ત્યાં ન હતીઉચ્ચ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ – વગેરે.

તેનો અર્થ શું છે?વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવું એટલે શોધવું તમામ કાર્યોનો સમૂહ, જે આ સમીકરણને સંતોષે છે. ફંક્શનના આવા સમૂહમાં ઘણીવાર સ્વરૂપ હોય છે (- એક મનસ્વી સ્થિરાંક), જેને કહેવામાં આવે છે વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ.

ઉદાહરણ 1

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો

સંપૂર્ણ દારૂગોળો. ક્યાંથી શરૂઆત કરવી ઉકેલ?

સૌ પ્રથમ, તમારે વ્યુત્પન્નને થોડા અલગ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખવાની જરૂર છે. અમે બોજારૂપ હોદ્દો યાદ કરીએ છીએ, જે તમારામાંથી ઘણાને કદાચ હાસ્યાસ્પદ અને બિનજરૂરી લાગતું હતું. ડિફ્યુઝર્સમાં આ શું નિયમો છે!

બીજા પગલામાં, ચાલો જોઈએ કે તે શક્ય છે કે કેમ અલગ ચલો?ચલોને અલગ કરવાનો અર્થ શું છે? લગભગ કહીએ તો, ડાબી બાજુએઆપણે છોડવાની જરૂર છે માત્ર "ગ્રીક", એ જમણી બાજુએગોઠવો માત્ર "X's". ચલોનું વિભાજન "શાળા" મેનિપ્યુલેશન્સનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે: તેમને કૌંસની બહાર મૂકવું, ચિહ્નના ફેરફાર સાથે શબ્દોને ભાગથી ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરવું, પ્રમાણના નિયમ અનુસાર પરિબળોને ભાગથી બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરવું, વગેરે.

તફાવતો અને સંપૂર્ણ ગુણક છે અને દુશ્મનાવટમાં સક્રિય સહભાગીઓ છે. વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં, ચલોને પ્રમાણના નિયમ અનુસાર પરિબળોને ટૉસ કરીને સરળતાથી અલગ કરવામાં આવે છે:

ચલોને અલગ કરવામાં આવે છે. ડાબી બાજુએ ફક્ત "Y's", જમણી બાજુ - માત્ર "X's" છે.

આગળનો તબક્કો છે વિભેદક સમીકરણનું એકીકરણ. તે સરળ છે, અમે બંને બાજુએ ઇન્ટિગ્રલ્સ મૂકીએ છીએ:

અલબત્ત, આપણે ઇન્ટિગ્રલ્સ લેવાની જરૂર છે. IN આ કિસ્સામાંતેઓ ટેબ્યુલર છે:

જેમ આપણે યાદ રાખીએ છીએ તેમ, કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવને એક સ્થિરાંક સોંપવામાં આવે છે. અહીં બે અવિભાજ્ય છે, પરંતુ તે એક વાર સતત લખવા માટે પૂરતું છે (કારણ કે અચલ + અચળ હજુ પણ બીજા સ્થિરાંક સમાન છે). મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં તે મૂકવામાં આવે છે જમણી બાજુ.

કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, પૂર્ણાંકો લેવામાં આવે તે પછી, વિભેદક સમીકરણ ઉકેલાયેલ ગણવામાં આવે છે. એકમાત્ર વસ્તુ એ છે કે આપણું "y" "x" દ્વારા વ્યક્ત થતું નથી, એટલે કે, ઉકેલ રજૂ કરવામાં આવે છે ગર્ભિત માંફોર્મ ગર્ભિત સ્વરૂપમાં વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ કહેવામાં આવે છે વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન અંગ. એટલે કે, આ એક સામાન્ય અભિન્ન છે.

આ ફોર્મમાંનો જવાબ તદ્દન સ્વીકાર્ય છે, પરંતુ શું કોઈ વધુ સારો વિકલ્પ છે? ચાલો મેળવવાનો પ્રયત્ન કરીએ સામાન્ય ઉકેલ.

મહેરબાની કરીને, પ્રથમ તકનીક યાદ રાખો, તે ખૂબ જ સામાન્ય છે અને ઘણીવાર તેનો ઉપયોગ થાય છે વ્યવહારુ કાર્યો: જો એકીકરણ પછી લઘુગણક જમણી બાજુએ દેખાય છે, તો ઘણા કિસ્સાઓમાં (પરંતુ હંમેશા નહીં!) લઘુગણક હેઠળ સ્થિરાંક લખવાની પણ સલાહ આપવામાં આવે છે..

એટલે કે, ની જગ્યાએપ્રવેશો સામાન્ય રીતે લખવામાં આવે છે .

આ શા માટે જરૂરી છે? અને "ગેમ" ને વ્યક્ત કરવાનું સરળ બનાવવા માટે. લઘુગણકની મિલકતનો ઉપયોગ . આ કિસ્સામાં:

હવે લોગરીધમ્સ અને મોડ્યુલો દૂર કરી શકાય છે:

કાર્ય સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. આ સામાન્ય ઉકેલ છે.

જવાબ આપો: સામાન્ય ઉકેલ: .

ઘણા વિભેદક સમીકરણોના જવાબો તપાસવા માટે એકદમ સરળ છે. અમારા કિસ્સામાં, આ એકદમ સરળ રીતે કરવામાં આવે છે, અમે મળેલા ઉકેલને લઈએ છીએ અને તેને અલગ પાડીએ છીએ:

પછી અમે વ્યુત્પન્નને માં બદલીએ છીએ મૂળ સમીકરણ :

- સાચી સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે સામાન્ય ઉકેલ સમીકરણને સંતોષે છે, જે તપાસવાની જરૂર છે.

સતત આપવી વિવિધ અર્થો, તમે અનંત ઘણા મેળવી શકો છો ખાનગી ઉકેલોવિભેદક સમીકરણ. તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ કાર્યો , વગેરે. વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે.

કેટલીકવાર સામાન્ય ઉકેલ કહેવામાં આવે છે કાર્યોનું કુટુંબ. IN આ ઉદાહરણમાંસામાન્ય ઉકેલ - આ એક કુટુંબ છે રેખીય કાર્યો, અથવા બદલે, પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતાનું કુટુંબ.

પ્રથમ ઉદાહરણની સંપૂર્ણ સમીક્ષા કર્યા પછી, થોડા જવાબ આપવા યોગ્ય છે નિષ્કપટ પ્રશ્નોવિભેદક સમીકરણો વિશે:

1)આ ઉદાહરણમાં, અમે ચલોને અલગ કરવામાં સક્ષમ હતા. શું આ હંમેશા કરી શકાય?ના, હંમેશા નહીં. અને વધુ વખત, ચલોને અલગ કરી શકાતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, માં સજાતીય પ્રથમ ક્રમ સમીકરણો, તમારે પહેલા તેને બદલવું પડશે. અન્ય પ્રકારના સમીકરણોમાં, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ ક્રમમાં રેખીય અસંગત સમીકરણમાં, તમારે ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે વિવિધ તકનીકોઅને સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટેની પદ્ધતિઓ. વિભાજિત ચલો સાથેના સમીકરણો, જેને આપણે પ્રથમ પાઠમાં ધ્યાનમાં લઈએ છીએ - સૌથી સરળ પ્રકારવિભેદક સમીકરણો.

2) શું વિભેદક સમીકરણને એકીકૃત કરવું હંમેશા શક્ય છે?ના, હંમેશા નહીં. "ફેન્સી" સમીકરણ સાથે આવવું ખૂબ જ સરળ છે જેને એકીકૃત કરી શકાતું નથી, વધુમાં, ત્યાં અવિભાજ્ય છે જે લઈ શકાતા નથી. પરંતુ સમાન DE લગભગ ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે ખાસ પદ્ધતિઓ. ડી'અલેમ્બર્ટ અને કોચી ગેરેંટી... ...ઉઘ, લર્કમોર. હમણાં જ ઘણું વાંચવા માટે, મેં લગભગ "બીજી દુનિયામાંથી" ઉમેર્યું.

3) આ ઉદાહરણમાં, અમે સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપમાં ઉકેલ મેળવ્યો . શું સામાન્ય અભિન્નમાંથી સામાન્ય ઉકેલ શોધવાનું હંમેશા શક્ય છે, એટલે કે, "y" ને સ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત કરવું?ના, હંમેશા નહીં. ઉદાહરણ તરીકે: . સારું, તમે અહીં "ગ્રીક" કેવી રીતે વ્યક્ત કરી શકો?! આવા કિસ્સાઓમાં, જવાબ સામાન્ય અભિન્ન તરીકે લખવો જોઈએ. વધુમાં, કેટલીકવાર સામાન્ય ઉકેલ શોધવાનું શક્ય છે, પરંતુ તે એટલું બોજારૂપ અને અણઘડ રીતે લખાયેલું છે કે જવાબને સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપમાં છોડી દેવાનું વધુ સારું છે.

4) ...કદાચ તે અત્યારે પૂરતું છે. પ્રથમ ઉદાહરણમાં આપણે આવી અન્ય મહત્વપૂર્ણ બિંદુ , પરંતુ જેથી "ડમીઝ" ને હિમપ્રપાત સાથે આવરી ન શકાય નવી માહિતી, હું તેને આગામી પાઠ સુધી છોડીશ.

અમે ઉતાવળ નહીં કરીએ. અન્ય સરળ રીમોટ કંટ્રોલ અને અન્ય લાક્ષણિક ઉકેલ:

ઉદાહરણ 2

પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષતા વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો

ઉકેલ: શરત અનુસાર, તમારે શોધવાની જરૂર છે ખાનગી ઉકેલ DE જે આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે. પ્રશ્નની આ રચનાને પણ કહેવામાં આવે છે કોચી સમસ્યા.

પ્રથમ આપણે સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ. સમીકરણમાં કોઈ "x" ચલ નથી, પરંતુ આ મૂંઝવણમાં ન આવવું જોઈએ, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેની પાસે પ્રથમ વ્યુત્પન્ન છે.

અમે વ્યુત્પન્નને માં ફરીથી લખીએ છીએ યોગ્ય સ્વરૂપમાં:

દેખીતી રીતે, ચલોને અલગ કરી શકાય છે, છોકરાઓ ડાબી બાજુએ, છોકરીઓ જમણી તરફ:

ચાલો સમીકરણને એકીકૃત કરીએ:

સામાન્ય અભિન્ન પ્રાપ્ત થાય છે. અહીં મેં ફૂદડી સાથે એક સ્થિરાંક દોર્યો, હકીકત એ છે કે ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં તે બીજા સ્થિરાંકમાં ફેરવાઈ જશે.

હવે અમે સામાન્ય અવિભાજ્યને સામાન્ય ઉકેલમાં રૂપાંતરિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ (સ્પષ્ટ રીતે "y" વ્યક્ત કરો). ચાલો શાળાની સારી જૂની વસ્તુઓ યાદ કરીએ: . આ કિસ્સામાં:

સૂચકમાંનો સ્થિરાંક કોઈક રીતે અસ્પષ્ટ લાગે છે, તેથી તે સામાન્ય રીતે પૃથ્વી પર લાવવામાં આવે છે. વિગતવાર, આ કેવી રીતે થાય છે. ડિગ્રીની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને, અમે ફંક્શનને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીએ છીએ:

જો અચલ છે, તો તે પણ અમુક સ્થિર છે, ચાલો તેને અક્ષર સાથે ફરીથી ડિઝાઇન કરીએ:

યાદ રાખો "તોડવું" એ સતત છે બીજી તકનીક, જેનો ઉપયોગ ઘણીવાર વિભેદક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે થાય છે.

તેથી, સામાન્ય ઉકેલ છે: . આ ઘાતાંકીય કાર્યોનું સરસ કુટુંબ છે.

અંતિમ તબક્કે, તમારે ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે જે આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે. આ પણ સરળ છે.

કાર્ય શું છે? ઉપાડવાની જરૂર છે જેમ કેસ્થિરતાનું મૂલ્ય જેથી સ્થિતિ સંતુષ્ટ થાય.

તેને અલગ અલગ રીતે ફોર્મેટ કરી શકાય છે, પરંતુ આ કદાચ સૌથી સ્પષ્ટ રીત હશે. સામાન્ય ઉકેલમાં, “X” ને બદલે આપણે શૂન્ય બદલીએ છીએ, અને “Y” ને બદલે આપણે બે બદલીએ છીએ:



એટલે કે,

માનક સંસ્કરણડિઝાઇન:

હવે આપણે સ્થિરના મળેલા મૂલ્યને સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીએ છીએ:
- આ અમને જરૂર છે તે ચોક્કસ ઉકેલ છે.

જવાબ આપો: ખાનગી ઉકેલ:

ચાલો તપાસીએ. ખાનગી ઉકેલની તપાસમાં બે તબક્કાઓ શામેલ છે:

સૌપ્રથમ તમારે તપાસવાની જરૂર છે કે મળેલ વિશિષ્ટ ઉકેલ ખરેખર પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે કે કેમ? "X" ને બદલે આપણે શૂન્ય બદલીએ છીએ અને જુઓ શું થાય છે:
- હા, ખરેખર, બે પ્રાપ્ત થયા હતા, જેનો અર્થ છે કે પ્રારંભિક સ્થિતિ પૂરી થઈ છે.

બીજો તબક્કો પહેલેથી જ પરિચિત છે. અમે પરિણામી ચોક્કસ ઉકેલ લઈએ છીએ અને વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

અમે મૂળ સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

- યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

નિષ્કર્ષ: ચોક્કસ ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યો હતો.

ચાલો વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો તરફ આગળ વધીએ.

ઉદાહરણ 3

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ:અમે વ્યુત્પન્નને આપણને જોઈતા ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ:

અમે મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ કે શું ચલોને અલગ કરવું શક્ય છે? કરી શકે છે. અમે ચિહ્નના ફેરફાર સાથે બીજા શબ્દને જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ:

અને અમે પ્રમાણના નિયમ અનુસાર ગુણકને સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ:

ચલોને અલગ કરવામાં આવ્યા છે, ચાલો બંને ભાગોને એકીકૃત કરીએ:

મારે તમને ચેતવણી આપવી જોઈએ, ન્યાયનો દિવસ નજીક આવી રહ્યો છે. જો તમે સારી રીતે અભ્યાસ કર્યો નથી અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકો, થોડા ઉદાહરણો હલ કર્યા છે, તો પછી જવા માટે ક્યાંય નથી - તમારે હવે તેમને માસ્ટર કરવું પડશે.

ડાબી બાજુનો અભિન્ન ભાગ શોધવામાં સરળ છે; ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનું એકીકરણગયા વર્ષ:

જમણી બાજુએ આપણી પાસે લઘુગણક છે, અને, મારી પ્રથમ તકનીકી ભલામણ મુજબ, સતત લોગરીધમ હેઠળ પણ લખવું જોઈએ.

હવે અમે સામાન્ય અભિન્નતાને સરળ બનાવવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ. અમારી પાસે ફક્ત લઘુગણક હોવાથી, તેમાંથી છુટકારો મેળવવો તદ્દન શક્ય (અને જરૂરી) છે. ઉપયોગ કરીને જાણીતા ગુણધર્મોઅમે લોગરીધમ્સને શક્ય તેટલું "પેક" કરીએ છીએ. હું તેને ખૂબ વિગતવાર લખીશ:

પેકેજિંગ અસંસ્કારી રીતે ફાટવા માટે સમાપ્ત થયું છે:

શું "રમત" વ્યક્ત કરવી શક્ય છે? કરી શકે છે. તે બંને ભાગોને ચોરસ કરવા માટે જરૂરી છે.

પરંતુ તમારે આ કરવાની જરૂર નથી.

ત્રીજી તકનીકી ટીપ:જો સામાન્ય ઉકેલ મેળવવા માટે શક્તિમાં વધારો કરવો અથવા મૂળ લેવું જરૂરી છે, તો પછી મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાંતમારે આ ક્રિયાઓથી દૂર રહેવું જોઈએ અને જવાબને સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપમાં છોડવો જોઈએ. હકીકત એ છે કે સામાન્ય ઉકેલ ખાલી ભયંકર દેખાશે - મોટા મૂળ, ચિહ્નો અને અન્ય કચરો સાથે.

તેથી, અમે સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપમાં જવાબ લખીએ છીએ. તેને ફોર્મમાં રજૂ કરવાની સારી પ્રેક્ટિસ માનવામાં આવે છે, એટલે કે, જમણી બાજુએ, જો શક્ય હોય તો, માત્ર એક સ્થિર રાખો. આવું કરવું જરૂરી નથી, પરંતુ પ્રોફેસરને ખુશ કરવા હંમેશા ફાયદાકારક છે ;-)

જવાબ:સામાન્ય અભિન્ન:

! નોંધ: કોઈપણ સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન ન લખી શકાય એકમાત્ર રસ્તો. આમ, જો તમારું પરિણામ અગાઉના જાણીતા જવાબ સાથે મેળ ખાતું નથી, તો તેનો અર્થ એ નથી કે તમે સમીકરણને ખોટી રીતે હલ કર્યું છે.

સામાન્ય અભિન્ન પણ તદ્દન સરળતાથી ચકાસી શકાય છે, મુખ્ય વસ્તુ શોધવા માટે સક્ષમ બનવું છે સ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. ચાલો જવાબને અલગ કરીએ:

અમે બંને શબ્દોને આનાથી ગુણાકાર કરીએ છીએ:

અને આના દ્વારા વિભાજીત કરો:

મૂળ વિભેદક સમીકરણ બરાબર મેળવવામાં આવ્યું છે, જેનો અર્થ છે કે સામાન્ય અવિભાજ્ય યોગ્ય રીતે મળી આવ્યું છે.

ઉદાહરણ 4

પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષતા વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો. તપાસ કરો.

માટે આ એક ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય.

ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે અલ્ગોરિધમ બે તબક્કાઓ ધરાવે છે:
1) સામાન્ય ઉકેલ શોધવા;
2) જરૂરી ચોક્કસ ઉકેલ શોધવો.

ચેક પણ બે પગલામાં હાથ ધરવામાં આવે છે (ઉદાહરણ નંબર 2 માં નમૂના જુઓ), તમારે આ કરવાની જરૂર છે:
1) ખાતરી કરો કે મળેલ વિશિષ્ટ ઉકેલ પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે;
2) તપાસો કે ચોક્કસ ઉકેલ સામાન્ય રીતે વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે.

સંપૂર્ણ ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ.

ઉદાહરણ 5

વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો , પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે. તપાસ કરો.

ઉકેલ:પ્રથમ, ચાલો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ. આ સમીકરણપહેલેથી જ તૈયાર ડિફરન્સિયલ છે અને તેથી, સોલ્યુશન સરળ છે. અમે ચલોને અલગ કરીએ છીએ:

ચાલો સમીકરણને એકીકૃત કરીએ:

ડાબી બાજુનું ઇન્ટિગ્રલ ટેબ્યુલર છે, જમણી બાજુનું ઇન્ટિગ્રલ લેવામાં આવ્યું છે વિભેદક ચિન્હ હેઠળ કાર્યને સબમ કરવાની પદ્ધતિ:

સામાન્ય અભિન્નતા પ્રાપ્ત થઈ છે, શું સામાન્ય ઉકેલને સફળતાપૂર્વક વ્યક્ત કરવું શક્ય છે? કરી શકે છે. અમે બંને બાજુઓ પર લઘુગણક લટકાવીએ છીએ. કારણ કે તેઓ હકારાત્મક છે, મોડ્યુલસ ચિહ્નો બિનજરૂરી છે:

(હું આશા રાખું છું કે દરેક વ્યક્તિ પરિવર્તનને સમજે છે, આવી વસ્તુઓ પહેલાથી જ જાણવી જોઈએ)

તેથી, સામાન્ય ઉકેલ છે:

ચાલો આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિને અનુરૂપ ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ.
સામાન્ય ઉકેલમાં, “X” ને બદલે આપણે શૂન્ય બદલીએ છીએ, અને “Y” ને બદલે આપણે બે લોગરીધમ બદલીએ છીએ:

વધુ પરિચિત ડિઝાઇન:

અમે સ્થિરાંકના મળેલા મૂલ્યને સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીએ છીએ.

જવાબ:ખાનગી ઉકેલ:

તપાસો: પ્રથમ, ચાલો તપાસ કરીએ કે પ્રારંભિક સ્થિતિ પૂરી થઈ છે કે કેમ:
- બધું ગુંજી રહ્યું છે.

હવે ચાલો તપાસ કરીએ કે શોધાયેલ ચોક્કસ ઉકેલ વિભેદક સમીકરણને બિલકુલ સંતોષે છે કે કેમ. વ્યુત્પન્ન શોધવું:

ચાલો મૂળ સમીકરણ જોઈએ: - તે ભિન્નતામાં રજૂ થાય છે. તપાસવાની બે રીત છે. મળેલા વ્યુત્પન્નમાંથી તફાવત વ્યક્ત કરવો શક્ય છે:

ચાલો આપણે મળેલા ચોક્કસ ઉકેલ અને પરિણામી વિભેદકને મૂળ સમીકરણમાં બદલીએ :

અમે મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે ચોક્કસ ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યો હતો.

ચકાસણીની બીજી પદ્ધતિ પ્રતિબિંબિત અને વધુ પરિચિત છે: સમીકરણમાંથી ચાલો વ્યુત્પન્નને વ્યક્ત કરીએ, આ કરવા માટે આપણે બધા ભાગોને આના દ્વારા વિભાજિત કરીએ છીએ:

અને રૂપાંતરિત DE માં આપણે મેળવેલા આંશિક ઉકેલ અને મળેલા વ્યુત્પન્નને બદલીએ છીએ. સરળીકરણના પરિણામે, યોગ્ય સમાનતા પણ મેળવવી જોઈએ.

ઉદાહરણ 6

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો. જવાબને સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપમાં રજૂ કરો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે કે તમે તમારી જાતે ઉકેલો, સંપૂર્ણ ઉકેલ અને પાઠના અંતે જવાબ આપો.

વિભાજિત ચલો સાથે વિભેદક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે રાહ જોવામાં કઈ મુશ્કેલીઓ આવે છે?

1) તે હંમેશા સ્પષ્ટ હોતું નથી (ખાસ કરીને "ટીપોટ" માટે) કે ચલોને અલગ કરી શકાય છે. ચાલો વિચાર કરીએ શરતી ઉદાહરણ: . અહીં તમારે પરિબળોને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવાની જરૂર છે: અને મૂળને અલગ કરો: . આગળ શું કરવું તે સ્પષ્ટ છે.

2) એકીકરણ સાથે જ મુશ્કેલીઓ. ઇન્ટિગ્રલ્સ ઘણીવાર સૌથી સરળ હોતા નથી, અને જો શોધવાની કુશળતામાં ખામીઓ હોય તો અનિશ્ચિત અભિન્ન, પછી તે ઘણા વિસારકો સાથે મુશ્કેલ હશે. વધુમાં, "વિભેદક સમીકરણ સરળ હોવાથી, ઓછામાં ઓછા અવિભાજ્યને વધુ જટિલ બનવા દો" એ તર્ક સંગ્રહ અને તાલીમ માર્ગદર્શિકાઓના કમ્પાઇલર્સમાં લોકપ્રિય છે.

3) સ્થિર સાથે પરિવર્તન. દરેક વ્યક્તિએ નોંધ્યું છે તેમ, વિભેદક સમીકરણોમાં સ્થિરતાને તદ્દન મુક્તપણે નિયંત્રિત કરી શકાય છે, અને કેટલાક પરિવર્તનો હંમેશા શિખાઉ માણસ માટે સ્પષ્ટ હોતા નથી. ચાલો અન્ય શરતી ઉદાહરણ જોઈએ: . તેમાંના તમામ પદોને 2 વડે ગુણાકાર કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: . પરિણામી સ્થિરાંક પણ અમુક પ્રકારનો સ્થિરાંક છે, જેને આના દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે: . હા, અને જમણી બાજુએ એક લઘુગણક હોવાથી, પછી સ્થિરને બીજા સ્થિરાંકના રૂપમાં ફરીથી લખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: .

મુશ્કેલી એ છે કે તેઓ ઘણીવાર અનુક્રમણિકાઓથી પરેશાન કરતા નથી અને સમાન અક્ષરનો ઉપયોગ કરતા નથી. પરિણામે, નિર્ણય રેકોર્ડ નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

કેવો પાખંડ? ત્યાં જ ભૂલો છે! કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, હા. જો કે, વાસ્તવિક દૃષ્ટિકોણથી, ત્યાં કોઈ ભૂલો નથી, કારણ કે ચલ સ્થિરાંકને રૂપાંતરિત કરવાના પરિણામે, ચલ સ્થિરાંક હજી પણ પ્રાપ્ત થાય છે.

અથવા બીજું ઉદાહરણ, ધારો કે સમીકરણ ઉકેલવા દરમિયાન એક સામાન્ય અભિન્ન પ્રાપ્ત થાય છે. આ જવાબ કદરૂપો લાગે છે, તેથી દરેક શબ્દની નિશાની બદલવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: . ઔપચારિક રીતે, અહીં બીજી ભૂલ છે - તે જમણી બાજુએ લખવી જોઈએ. પરંતુ અનૌપચારિક રીતે તે સૂચિત છે કે "માઇનસ સીઇ" હજુ પણ સ્થિર છે ( જે કોઈપણ અર્થ સરળતાથી લઈ શકે છે!), તેથી "માઈનસ" મૂકવાનો કોઈ અર્થ નથી અને તમે તે જ અક્ષરનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

હું બેદરકાર અભિગમને ટાળવાનો પ્રયાસ કરીશ, અને તેમ છતાં પણ વિવિધ સૂચકાંકોને કન્વર્ટ કરતી વખતે તેમને સ્થિરાંકોને સોંપીશ.

ઉદાહરણ 7

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો. તપાસ કરો.

ઉકેલ:આ સમીકરણ ચલોને અલગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. અમે ચલોને અલગ કરીએ છીએ:

ચાલો એકીકૃત કરીએ:

અહીં સતતને લઘુગણક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવું જરૂરી નથી, કારણ કે આમાંથી કંઈપણ ઉપયોગી થશે નહીં.

જવાબ:સામાન્ય અભિન્ન:

તપાસો: જવાબમાં તફાવત કરો ( ગર્ભિત કાર્ય):

અમે બંને પદોને આના દ્વારા ગુણાકાર કરીને અપૂર્ણાંકમાંથી છુટકારો મેળવીએ છીએ:

મૂળ વિભેદક સમીકરણ મેળવવામાં આવ્યું છે, જેનો અર્થ છે કે સામાન્ય અવિભાજ્ય યોગ્ય રીતે મળી આવ્યું છે.

ઉદાહરણ 8

DE નો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો.
,

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. એકમાત્ર સંકેત એ છે કે અહીં તમને એક સામાન્ય અભિન્નતા મળશે, અને, વધુ યોગ્ય રીતે કહીએ તો, તમારે કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની જરૂર નથી, પરંતુ આંશિક અભિન્ન. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ.