Kas yra neigiama ir teigiama. Teigiamų ir neigiamų skaičių taikymas žmogaus gyvenime

Iš ankstesnių Assembler kalbos pamokų žinome, kad procesorius veikia dvejetainiai skaičiai, šie skaičiai gali būti teigiami arba neigiami. Ir šiandien aš jums išsamiai papasakosiu, kas yra teigiami (nežymėti) ir neigiami (pažymėti) skaičiai.

Teigiami skaičiai

Jei skaičius yra teigiamas, tai tiesiog reiškia vertimo rezultatą dešimtainis skaičiusį dvejetainę formą. Teigiamiems skaičiams pavaizduoti naudojamas specialus kodavimas. Reikšmingiausias bitas šiuo atveju nurodo skaičiaus ženklą. Jei ženklas įkando lygus nuliui, tada skaičius yra teigiamas, kitu atveju jis yra neigiamas.

„Intel“ procesorių šeimoje pagrindinis visų tipų duomenų saugojimo vienetas yra baitas. Baitas susideda iš aštuonių bitų. Žemiau esančioje lentelėje pateikiami diapazonai galimas vertes teigiami sveikieji skaičiai, su kuriais procesorius gali dirbti:

Dirbdami su skaičiais nepamirškite, kad skaičius, kurio reikšmė ne didesnė kaip 255, gali būti įrašytas į baitą, skaičius, kurio reikšmė ne didesnė kaip 65 535, gali būti įrašytas į žodį ir pan. Pavyzdžiui, jei dirbdami su baitu atliekate sudėjimo operaciją 255 + 1, tada rezultatas turi būti skaičius 256. Tačiau jei rezultatą įrašysite į baitą, rezultatas bus ne 256, o 0 Ši situacija atsiranda „perpildymo“ atvejais.

Perpildymas yra tada, kai operacijos rezultatas netelpa į tam rezultatui skirtą registrą. Be to, jei yra perpildymas, rezultatas gali būti ne nulis, o kitas skaičius.

Neigiami skaičiai

Neigiamų skaičių vaizdavimas kompiuteriai susiduria su tam tikrais sunkumais. Neigiamas skaičius neturi skaitinės reikšmės, o simbolizuoja būsimą veiksmą – tai, kad ateityje iš vėl pasirodančių objektų turime atimti dar kelis.

Neigiami skaičiai yra skaičiai su minuso ženklu.

Galimų neigiamų skaičių reikšmių diapazonai:

Norint nurodyti skaičiaus ženklą, pakanka vieno skaitmens (bito). Paprastai ženklo bitas užima reikšmingiausią skaičiaus bitą. Jei reikšmingiausias skaičiaus bitas yra 0, tada skaičius laikomas teigiamu. Jei reikšmingiausias skaičiaus skaitmuo yra 1, tada skaičius laikomas neigiamu.

Vienas dalykas, kurį reikia turėti omenyje programuojant asamblėjos kalba: svarbus punktas„Skaičių vaizdavimo diapazono ribojimas“.

Pavyzdžiui, jei teigiamo kintamojo dydis yra 1 baitas, tada jis gali priimti tik 256 skirtingos reikšmės. Tai reiškia, kad negalime jo naudoti norėdami nurodyti skaičių, didesnį nei 255 (111111112). Tam pačiam neigiamam kintamajam maksimali vertė bus 127 (011111112), o minimalus -128 (100000002). Diapazonas apibrėžiamas panašiai 2 ir 4 baitų kintamiesiems.

Neigiami skaičiai yra skaičiai su minuso ženklu (-), pavyzdžiui, -1, -2, -3. Skaito taip: minus vienas, minus du, minus trys.

Taikymo pavyzdys neigiami skaičiai yra termometras, rodantis kūno, oro, dirvožemio ar vandens temperatūrą. IN žiemos laikas, kai lauke labai šalta, temperatūra gali būti neigiama (arba, kaip žmonės sako, „minusinė“).

Pavyzdžiui, –10 laipsnių šalčio:

Įprasti skaičiai, kuriuos žiūrėjome anksčiau, pvz., 1, 2, 3, vadinami teigiamais. Teigiami skaičiai yra skaičiai su pliuso ženklu (+).

Rašant teigiamus skaičius, + ženklas neužrašomas, todėl matome mums pažįstamus skaičius 1, 2, 3 Tačiau turėtume nepamiršti, kad šie teigiami skaičiai atrodo taip: +1, +2 , +3.

Tai tiesi linija, kurioje yra visi skaičiai: ir neigiami, ir teigiami. Atrodo taip:

Čia rodomi skaičiai yra nuo –5 iki 5. Tiesą sakant, koordinačių linija yra begalinė. Paveikslėlyje parodytas tik nedidelis jo fragmentas.

Skaičiai koordinačių linijoje pažymėti taškais. Paveiksle storas juodas taškas yra kilmė. Atgalinis skaičiavimas prasideda nuo nulio. Pradinio taško kairėje yra pažymėta neigiami skaičiai, o dešinėje yra teigiami.

Koordinačių linija tęsiasi neribotą laiką iš abiejų pusių. Begalybę matematikoje simbolizuoja simbolis ∞. Neigiama kryptis bus žymimas simboliu −∞, o teigiamas – simboliu +∞. Tada galime pasakyti, kad visi skaičiai nuo minus begalybės iki plius begalybės yra koordinačių tiesėje:

Kiekvienas koordinačių linijos taškas turi savo pavadinimą ir koordinatę. Vardas yra bet kuri lotyniška raidė. Koordinatė yra skaičius, rodantis taško padėtį šioje tiesėje. Paprasčiau tariant, koordinatė yra pats skaičius, kurį norime pažymėti koordinačių eilutėje.

Pavyzdžiui, taškas A(2) skaitomas kaip "taškas A su koordinate 2" ir koordinačių eilutėje bus pažymėtos taip:

Čia A yra taško pavadinimas, 2 yra taško koordinatė A.

2 pavyzdys. Taškas B(4) skaitomas kaip "taškas B su koordinate 4"

Čia B yra taško pavadinimas, 4 yra taško koordinatė B.

3 pavyzdys. Taškas M(−3) skaitomas kaip "taškas M su koordinatėmis minus trys" ir koordinačių eilutėje bus pažymėtos taip:

Čia M yra taško pavadinimas, −3 yra taško M koordinatė .

Taškai gali būti pažymėti bet kokiomis raidėmis. Tačiau visuotinai priimta juos žymėti didžiosiomis lotyniškomis raidėmis. Be to, pranešimo pradžia, kuri kitaip vadinama kilmės paprastai reiškia didelį lotyniška raidė O

Nesunku pastebėti, kad neigiami skaičiai yra kairėje kilmės atžvilgiu, o teigiami – dešinėje.

Yra tokių frazių kaip "kuo toliau į kairę, tuo mažiau" Ir "kuo toliau į dešinę, tuo daugiau". Tikriausiai jau atspėjote, apie ką mes kalbame. Su kiekvienu žingsniu į kairę skaičius mažės. Ir su kiekvienu žingsniu į dešinę skaičius didės. Rodyklė, nukreipta į dešinę, rodo teigiamą atskaitos kryptį.

Neigiamų ir teigiamų skaičių palyginimas

1 taisyklė. Bet kuris neigiamas skaičius yra mažesnis už bet kurį teigiamą skaičių.

Pavyzdžiui, palyginkime du skaičius: −5 ir 3. Minus penki mažiau nei trys, nepaisant to, kad penki pirmiausia krenta į akį kaip skaičius, didesnis nei trys.

Taip yra dėl to, kad −5 yra neigiamas skaičius, o 3 yra teigiamas. Koordinačių eilutėje galite pamatyti, kur yra skaičiai −5 ir 3

Matyti, kad −5 yra kairėje, o 3 – dešinėje. Ir mes tai pasakėme "kuo toliau į kairę, tuo mažiau" . Ir taisyklė sako, kad bet koks neigiamas skaičius yra mažesnis už bet kurį teigiamą skaičių. Iš to išplaukia

−5 < 3

"Minus penki yra mažiau nei trys"

2 taisyklė. Iš dviejų neigiamų skaičių tas, kuris yra koordinačių linijos kairėje, yra mažesnis.

Pavyzdžiui, palyginkime skaičius −4 ir −1. Minus keturi mažiau, nei minus vienas.

Tai vėlgi dėl to, kad koordinačių tiesėje −4 yra kairėje nei −1

Matyti, kad −4 yra kairėje, o −1 – dešinėje. Ir mes tai pasakėme "kuo toliau į kairę, tuo mažiau" . Ir taisyklė sako, kad iš dviejų neigiamų skaičių tas, kuris yra koordinačių linijos kairėje, yra mažesnis. Iš to išplaukia

Minus keturi yra mažiau nei minus vienas

3 taisyklė. Nulis yra didesnis už bet kurį neigiamą skaičių.

Pavyzdžiui, palyginkime 0 ir −3. Nulis daugiau nei minus trys. Taip yra dėl to, kad koordinačių tiesėje 0 yra daugiau į dešinę nei –3

Matyti, kad 0 yra dešinėje, o −3 kairėje. Ir mes tai pasakėme "kuo toliau į dešinę, tuo daugiau" . Ir taisyklė sako, kad nulis yra didesnis už bet kurį neigiamą skaičių. Iš to išplaukia

Nulis yra didesnis nei minus trys

4 taisyklė. Nulis yra mažesnis už bet kurį teigiamą skaičių.

Pavyzdžiui, palyginkime 0 ir 4. Nulis mažiau, nei 4. Tai iš esmės aišku ir tiesa. Bet mes pabandysime tai pamatyti savo akimis, vėl koordinačių linijoje:

Matyti, kad koordinačių linijoje 0 yra kairėje, o 4 - dešinėje. Ir mes tai pasakėme "kuo toliau į kairę, tuo mažiau" . Ir taisyklė sako, kad nulis yra mažesnis už bet kurį teigiamą skaičių. Iš to išplaukia

Nulis yra mažesnis nei keturi

Ar patiko pamoka?
Prisijunk prie mūsų nauja grupė„VKontakte“ ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas

Susideda iš teigiamų (natūralių) skaičių, neigiamų skaičių ir nulio.

Visi neigiami skaičiai ir tik jie yra mažesni už nulį. Skaičių eilutėje neigiami skaičiai yra nulio kairėje. Jiems, kaip ir teigiamiems skaičiams, yra apibrėžtas eilės ryšys, leidžiantis palyginti vieną sveikąjį skaičių su kitu.

Kiekvienam natūraliam skaičiui n yra vienas ir tik vienas neigiamas skaičius, žymimas -n, kuris papildo n iki nulio:

Išsami ir visiškai griežta neigiamų skaičių teorija buvo sukurta tik XIX amžiuje (William Hamilton ir Hermann Grassmann).

Įžymūs neigiami skaičiai

Taip pat žr

Literatūra

• Vygodskis M. Ya. Vadovas elementarioji matematika. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Glazeris G.I. Matematikos istorija mokykloje. - M.: Išsilavinimas, 1964. - 376 p.

Pastabos

Wikimedia fondas.

• 2010 m.
• Akmuo

Ozonas (nurodymas)

Pažiūrėkite, kas yra „neigiamas skaičius“ kituose žodynuose: - NEIGIAMAS SKAIČIUS realus skaičius a, mažesnis už nulį, t.y. tenkinantis nelygybę a... Didžioji politechnikos enciklopedija - 1,50. neigiamas binominis skirstinys Diskretinio tikimybių skirstinys atsitiktinis kintamasis< p < 1, где Примечания 1. Название… … X taip, kad jei x = 0, 1, 2, ... ir parametrams c > 0 (teigiamas sveikasis skaičius), 0

Norminės ir techninės dokumentacijos terminų žodynas-žinynas Vilko numeris - (W) kiekybinė laipsnio charakteristika saulės aktyvumas ; reiškia skaičių saulės dėmės ir jų grupės, išreikštos sąlyginio rodiklio forma: W=k(m+10n), kur m bendras skaičius visos vietos išdėstytos grupėmis arba esančios... ...

Žmogaus ekologija Dabar mes tai išsiaiškinsime teigiami ir neigiami skaičiai

. Pirmiausia pateiksime apibrėžimus, pristatysime žymėjimą, o tada pateiksime teigiamų ir neigiamų skaičių pavyzdžių. Taip pat apsistosime ties semantine apkrova, kurią neša teigiami ir neigiami skaičiai.

Puslapio naršymas.

Teigiami ir neigiami skaičiai – apibrėžimai ir pavyzdžiai Duok identifikuoti teigiamus ir neigiamus skaičius

mums padės. Patogumui manysime, kad jis yra horizontaliai ir nukreiptas iš kairės į dešinę.

Apibrėžimas. teigiamas.

mums padės. Patogumui manysime, kad jis yra horizontaliai ir nukreiptas iš kairės į dešinę.

Vadinami skaičiai, atitinkantys koordinačių linijos taškus, esančius kairėje nuo pradžios neigiamas.

Skaičius nulis, atitinkantis kilmę, nėra nei teigiamas, nei neigiamas skaičius.

Iš neigiamų ir teigiamų skaičių apibrėžimo matyti, kad visų neigiamų skaičių aibė yra skaičių, priešingų visiems teigiamiems skaičiams, aibė (jei reikia, žr. straipsnį priešingus skaičiams). Todėl neigiami skaičiai visada rašomi su minuso ženklu.

Dabar, žinodami teigiamų ir neigiamų skaičių apibrėžimus, galime lengvai pateikti teigiamų ir neigiamų skaičių pavyzdžiai. Teigiamų skaičių pavyzdžiai yra natūralūs skaičiai 5, 792 ir 101 330, ir iš tikrųjų bet kuris natūralusis skaičius yra teigiamas. Teigiamų racionaliųjų skaičių pavyzdžiai yra skaičiai , 4,67 ir 0,(12)=0,121212... , o neigiami yra skaičiai , −11 , −51,51 ir −3,(3) . Teigiamų neracionalių skaičių pavyzdžiai yra skaičius pi, skaičius e ir begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena 809.030030003..., taip pat neigiamų skaičių pavyzdžiai ir racionalūs skaičiai yra skaičiai atėmus pi, minus e ir skaičius lygus . Reikėtų pažymėti, kad į paskutinis pavyzdys Jokiu būdu nėra akivaizdu, kad išraiškos reikšmė yra neigiamas skaičius. Norėdami tiksliai sužinoti, turite gauti šios išraiškos reikšmę formoje dešimtainis, ir kaip tai daroma, mes jums pasakysime straipsnyje realiųjų skaičių palyginimas.

Kartais prieš teigiamus skaičius rašomas pliuso ženklas, kaip prieš neigiamus skaičius yra minuso ženklas. Tokiais atvejais turėtumėte žinoti, kad +5=5, ir tt Tai yra +5 ir 5 ir t.t. - tai tas pats numeris, bet pažymėtas kitaip. Be to, galite rasti teigiamų ir neigiamų skaičių apibrėžimų, pagrįstų pliuso arba minuso ženklu.

mums padės. Patogumui manysime, kad jis yra horizontaliai ir nukreiptas iš kairės į dešinę.

Skaičiai su pliuso ženklu vadinami teigiamas ir su minuso ženklu – neigiamas.

Yra dar vienas teigiamų ir neigiamų skaičių apibrėžimas, pagrįstas skaičių palyginimu. Norint pateikti šį apibrėžimą, pakanka tik prisiminti, kad koordinačių linijos taškas atitinka daugiau, yra į dešinę nuo taško, atitinkančio mažesnį skaičių.

mums padės. Patogumui manysime, kad jis yra horizontaliai ir nukreiptas iš kairės į dešinę.

Teigiami skaičiai yra skaičiai, kurie didesnis už nulį, A neigiami skaičiai yra skaičiai mažesni už nulį.

Taigi nulis atskiria teigiamus skaičius nuo neigiamų.

Žinoma, taip pat turėtume pasilikti ties teigiamų ir neigiamų skaičių skaitymo taisyklėmis. Jei skaičius rašomas + arba − ženklu, tada ištarkite ženklo pavadinimą, po kurio tariamas skaičius. Pavyzdžiui, +8 skaitomas kaip plius aštuoni, o - kaip minus vienas taškas du penktadaliai. Ženklų + ir − pavadinimai neatmetami pagal didžiąsias ir mažąsias raides. Pavyzdys teisingas tarimas yra frazė „a lygi minus trys“ (ne minus trys).

Teigiamų ir neigiamų skaičių aiškinimas

Jau kurį laiką aprašėme teigiamus ir neigiamus skaičius. Tačiau būtų malonu sužinoti, kokią reikšmę jie turi? Pažvelkime į šį klausimą.

Teigiami skaičiai gali būti interpretuojami kaip atėjimas, kaip padidėjimas, kaip kokios nors reikšmės padidėjimas ir panašiai. Neigiami skaičiai savo ruožtu reiškia visiškai priešingai – išlaidas, trūkumą, skolą, kokios nors vertės sumažėjimą ir pan. Supraskime tai pavyzdžiais.

Galime sakyti, kad turime 3 prekes. Čia teigiamas skaičius 3 rodo mūsų turimų prekių skaičių. Kaip galite interpretuoti neigiamą skaičių −3? Pavyzdžiui, skaičius −3 gali reikšti, kad turime kam nors duoti 3 prekes, kurių net neturime sandėlyje. Panašiai galime pasakyti, kad prie kasos mums buvo duota 3,45 tūkst. Tai yra, skaičius 3,45 yra susijęs su mūsų atvykimu. Savo ruožtu neigiamas skaičius -3,45 rodys pinigų sumažėjimą kasoje, kuri mums išdavė šiuos pinigus. Tai yra –3,45 yra išlaidos. Kitas pavyzdys: temperatūros padidėjimą 17,3 laipsnių galima apibūdinti kaip teigiamą skaičių +17,3, o temperatūros sumažėjimą 2,4 galima apibūdinti naudojant neigiamą skaičių, kaip temperatūros pokytį -2,4 laipsnio.

Teigiami ir neigiami skaičiai dažnai naudojami apibūdinti tam tikrų dydžių reikšmes įvairiose matavimo priemonėse. Labiausiai prieinamas pavyzdys – temperatūrų matavimo prietaisas – termometras – su skale, ant kurios rašomi ir teigiami, ir neigiami skaičiai. Dažnai neigiami skaičiai vaizduojami mėlyna spalva (ji simbolizuoja sniegą, ledą, o esant žemesnei nei 0 laipsnių Celsijaus temperatūrai, vanduo pradeda užšalti), o teigiami skaičiai rašomi raudonai (ugnies, saulės spalva, esant aukštesnei nei 0 laipsnių Celsijaus temperatūrai. , ledas pradeda tirpti). Teigiamų ir neigiamų skaičių rašymas raudonai ir mėlynai naudojamas ir kitais atvejais, kai reikia paryškinti skaičių ženklą.

Nuorodos.

• Vilenkinas N.Ya. ir kiti. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms.

Darbo tekstas skelbiamas be vaizdų ir formulių.
Pilna versija darbą galima rasti skirtuke „Darbo failai“ PDF formatu

Skaičių pasaulis yra labai paslaptingas ir įdomus. Skaičiai mūsų pasaulyje yra labai svarbūs. Noriu kuo daugiau sužinoti apie skaičių kilmę ir jų reikšmę mūsų gyvenime. Kaip juos naudoti ir kokį vaidmenį jie atlieka mūsų gyvenime?

Praėjusiais metais matematikos pamokose pradėjome nagrinėti temą „Teigiami ir neigiami skaičiai“. Man kilo klausimas: kada atsirado neigiami skaičiai, kurioje šalyje, kokie mokslininkai nagrinėjo šią problemą. Vikipedijoje skaičiau, kad neigiamas skaičius yra neigiamų skaičių aibės elementas, kuris (kartu su nuliu) atsirado matematikoje plečiant aibę natūraliuosius skaičius. Išplėtimo tikslas – leisti atimties operaciją atlikti su bet kokiu skaičiumi. Dėl išplėtimo gaunama sveikųjų skaičių aibė (žiedas), susidedanti iš teigiamų (natūralių) skaičių, neigiamų skaičių ir nulio.

Dėl to nusprendžiau patyrinėti neigiamų skaičių istoriją.

Šio darbo tikslas – ištirti neigiamų ir teigiamų skaičių atsiradimo istoriją.

Tyrimo objektas – neigiami skaičiai ir teigiami skaičiai

Teigiamų ir neigiamų skaičių istorija

Žmonėms prireikė daug laiko priprasti prie neigiamų skaičių. Neigiami skaičiai jiems atrodė nesuprantami, jie jų nevartojo, tiesiog neįžvelgė juose didelės prasmės. Šie skaičiai atsirado daug vėliau nei natūralieji skaičiai ir paprastosios trupmenos.

Pirmąją informaciją apie neigiamus skaičius kinų matematikai rado II amžiuje. pr. Kr e. ir jau tada buvo žinomos tik teigiamų ir neigiamų skaičių pridėjimo ir atėmimo taisyklės; daugybos ir dalybos taisyklės nebuvo taikomos.

Kinų matematikoje teigiami dydžiai buvo vadinami „chen“, neigiami – „fu“; jie buvo vaizduojami skirtingos spalvos: "chen" - raudona, "fu" - juoda. Tai galima pamatyti knygoje „Aritmetika devyniuose skyriuose“ (autorius Zhang Can). Šis vaizdavimo būdas Kinijoje buvo naudojamas anksčiau XII vidurys amžių, kol Li Ye pasiūlė patogesnį neigiamų skaičių žymėjimą – skaičiai, žymintys neigiamus skaičius, buvo perbraukti brūkšneliu įstrižai iš dešinės į kairę.

Tik VII a. Indijos matematikai pradėjo plačiai naudoti neigiamus skaičius, tačiau su jais elgėsi šiek tiek nepasitikėdami. Bhaskhara tiesiogiai rašė: „Žmonės nepritaria abstrakčiams neigiamiems skaičiams...“. Taip indų matematikas Brahmagupta išdėstė sudėjimo ir atimties taisykles: „nuosavybė ir nuosavybė yra nuosavybė, dviejų skolų suma yra skola; turto ir nulio suma yra nuosavybė; dviejų nulių suma lygi nuliui... Skola, kuri atimama iš nulio, tampa nuosavybe, o turtas – skola. Jei reikia atimti turtą iš skolos, o skolą iš turto, tada jie pasiima savo sumą. "Dviejų savybių suma yra nuosavybė."

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Indai teigiamus skaičius vadino „dhana“ arba „sva“ (nuosavybė), o neigiamus – „rina“ arba „kshaya“ (skola). Indijos mokslininkai, bandydami rasti tokio atimties pavyzdžių gyvenime, ėmė tai interpretuoti prekybos skaičiavimų požiūriu. Jei prekybininkas turi 5000 rublių. ir perka prekes uz 3000 rub., jam lieka 5000 - 3000 = 2000 rub. Jei jis turi 3000 rublių, bet perka už 5000 rublių, tai jis lieka skolingas 2000 rublių. Atsižvelgiant į tai, buvo manoma, kad čia buvo atimta 3000–5000, o rezultatas yra skaičius 2000 su tašku viršuje, reiškiančiu „du tūkstančius skolų“. Interpretacija buvo dirbtinis charakteris, prekybininkas niekada nerado skolos sumos atimdamas 3000 - 5000, bet visada atimdavo 5000 - 3000.

Šiek tiek vėliau Senovės Indija ir Kinija, jie spėjo, kad vietoj žodžių „10 juanių skola“ reikėtų rašyti tiesiog „10 juanių“, o šiuos hieroglifus nupiešti juodu rašalu. Ir senovėje nebuvo ženklų „+“ ir „-“ nei skaičiams, nei veiksmams.

Graikai taip pat iš pradžių nenaudojo ženklų. Senovės graikų mokslininkas Diofantas iš viso nepripažino neigiamų skaičių ir, spręsdamas lygtį, gavo neigiama šaknis, tada jis atmetė kaip „nepasiekiamas“. O Diofantas stengėsi formuluoti problemas ir sudaryti lygtis taip, kad išvengtų neigiamos šaknys, bet netrukus Diofantas Aleksandrietis atimtį pradėjo žymėti ženklu.

Taisyklės, kaip elgtis su teigiamais ir neigiamais skaičiais, buvo pasiūlytos jau III amžiuje Egipte. Įvadas neigiamos reikšmės pirmą kartą įvyko Diofantu. Jis netgi panaudojo jiems specialų simbolį. Tuo pačiu metu Diofantas naudoja tokias kalbos figūras kaip „Pridėkime neigiamą į abi puses“ ir netgi suformuluoja ženklų taisyklę: „Neiginys, padaugintas iš neigiamo, suteikia teigiamą, o neigiamas, padaugintas iš teigiamo, neigiamas."

Europoje neigiami skaičiai pradėti vartoti nuo XII-XIII a., bet tik XVI a. dauguma mokslininkų juos laikė „klaidingais“, „įsivaizduojamais“ arba „absurdiškais“, priešingai nei teigiami skaičiai – „tiesais“. Teigiami skaičiai taip pat buvo interpretuojami kaip „turtas“, o neigiami – kaip „skola“, „trūkumas“. Net garsus matematikas Blaise'as Pascalis teigė, kad 0 − 4 = 0, nes nieko negali būti mažiau už nieko. Europoje neigiamo kiekio idėja buvo gana artima pradžioje XIII a Leonardo Fibonacci iš Pizos. Problemų sprendimo konkurse su Frydricho II teismo matematikais Leonardo iš Pizos buvo paprašyta išspręsti problemą: reikėjo rasti kelių asmenų sostinę. Fibonacci gavo neigiama reikšmė. „Šis atvejis, – sakė Fibonačis, – neįmanomas, nebent sutiktume, kad žmogus turėjo ne kapitalą, o skolą. Tačiau neigiami skaičiai pirmą kartą buvo aiškiai panaudoti XV amžiaus pabaigoje. prancūzų matematikas Shuke. Ranka parašyto aritmetikos ir algebros traktato „Skaičių mokslas in tris dalis“ Shuque simbolika artima moderniai.

Atpažinti neigiamus skaičius padėjo prancūzų matematiko, fiziko ir filosofo René Descartes'o darbai. Jis pasiūlė geometrinę teigiamų ir neigiamų skaičių interpretaciją – pristatė koordinačių liniją. (1637).

Teigiami skaičiai rodomi skaičių ašis taškai guli į dešinę nuo pradžios 0, neigiami taškai į kairę. Teigiamų ir neigiamų skaičių geometrinė interpretacija prisidėjo prie jų atpažinimo.

1544 m. vokiečių matematikas Michaelas Stiefelis pirmą kartą neigiamus skaičius laikė skaičiais, mažesniais už nulį (t. y. „mažiau nei nieko“). Nuo šio momento į neigiamus skaičius žvelgiama ne kaip į skolą, o visiškai nauju būdu. Pats Stiefelis rašė: „Nulis yra tarp tikrų ir absurdiškų skaičių...“

Beveik kartu su Stiefeliu neigiamų skaičių idėją gynė Bombelli Raffaele (apie 1530–1572), italų matematikas ir inžinierius, iš naujo atradęs Diofanto darbą.

Taip pat Girard'as manė, kad neigiami skaičiai yra visiškai priimtini ir naudingi, ypač norint parodyti kažko trūkumą.

Kiekvienas fizikas nuolat užsiima skaičiais: vis matuoja, skaičiuoja, ką nors skaičiuoja. Visur jo dokumentuose yra skaičiai, skaičiai ir skaičiai. Jei atidžiai pažvelgsite į fiziko pastabas, pamatysite, kad rašydamas skaičius jis dažnai naudoja ženklus „+“ ir „-“. (Pavyzdžiui: termometras, gylio ir aukščio skalė)

Tik į pradžios XIX V. neigiamų skaičių teorija baigė kurti, o „absurdiški skaičiai“ sulaukė visuotinio pripažinimo.

Skaičiaus sąvokos apibrėžimas

IN modernus pasaulisžmonių nuolat naudoja skaičius, net nesusimąstydami apie jų kilmę. Be žinios apie praeitį neįmanoma suprasti dabarties. Skaičius yra viena iš pagrindinių matematikos sąvokų. Skaičiaus samprata susiformavo m glaudus ryšys su kiekių tyrimu; šis ryšys tęsiasi iki šiol. Visuose skyriuose šiuolaikinė matematika turi apsvarstyti skirtingų dydžių ir naudoti skaičius. Skaičius yra abstrakcija, naudojama kiekybines charakteristikas objektų. Atsiradęs atgal į primityvi visuomenė Nuo skaičiavimo poreikių keitėsi ir praturtėjo skaičiaus samprata ir virto svarbiausia matematine sąvoka.

Egzistuoja didelis skaičius sąvokos „skaičius“ apibrėžimai.

Pirma mokslinis apibrėžimas Skaičius pateikė Euklidas savo elementuose, kuriuos, matyt, paveldėjo iš savo tautiečio Eudokso Knido (apie 408 m. – apie 355 m. pr. Kr.): „Vienetas yra tas, pagal kurį kiekvienas iš esamų dalykų vadinamas vienu . Skaičius yra rinkinys, sudarytas iš vienetų. Taip skaičiaus sąvoką apibrėžė rusų matematikas Magnitskis savo „Aritmetikoje“ (1703). Dar anksčiau nei Euklidas Aristotelis pateikė tokį apibrėžimą: „Skaičius yra aibė, kuri matuojama vienetais“. Didysis anglų fizikas, mechanikas, astronomas ir matematikas Isaacas Newtonas savo knygoje „Bendroji aritmetika“ (1707) rašo: „Skaičiumi turime omenyje ne tiek vienetų rinkinį, kiek abstraktų kiekio santykį su kitu tos pačios rūšies dydžiu. , imamas kaip vienetas. Yra trijų tipų skaičiai: sveikieji, trupmeniniai ir neracionalieji. Sveikasis skaičius yra kažkas, kas matuojama vienu; trupmeninis yra vieneto kartotinis, neracionalus yra skaičius, kuris nėra proporcingas vienetui.

Prie skaičiaus sąvokos apibrėžimo prisidėjo ir Mariupolio matematikas S.F.Klyuykovas: „Skaičiai yra matematiniai modeliai realus pasaulis sugalvojo žmogus dėl savo žinių“. Jis taip pat įvedė vadinamuosius „funkcinius skaičius“ į tradicinę skaičių klasifikaciją, ty tai, kas visame pasaulyje paprastai vadinama funkcijomis.

Natūralūs skaičiai atsirado skaičiuojant objektus. Apie tai sužinojau 5 klasėje. Tada sužinojau, kad žmogaus poreikis matuoti kiekius ne visada išreiškiamas sveikais skaičiais. Išplėtus natūraliųjų skaičių aibę iki trupmenų, atsirado galimybė bet kurį sveikąjį skaičių padalyti iš kito sveikojo skaičiaus (išskyrus padalijimą iš nulio). Pasirodė trupmeniniai skaičiai. Atimkite sveikąjį skaičių iš kito sveikojo skaičiaus, kai atimta yra didesnė už minusą, ilgą laiką atrodė neįmanoma. Man buvo įdomu tai, kad daugelis matematikų ilgą laiką nepripažino neigiamų skaičių, manydami, kad jie neatitinka jokių realių reiškinių.

Žodžių "pliusas" ir "minusas" kilmė

Terminai kilę iš žodžių plius - „daugiau“, minusas - „mažiau“. Iš pradžių veiksmai buvo žymimi pirmosiomis raidėmis p; m. Daugelis matematikų pirmenybę teikia arba Emergence šiuolaikiniai ženklai„+“, „-“ nėra visiškai aiškūs. „+“ ženklas tikriausiai kilęs iš santrumpos et, t.y. "Ir". Tačiau tai galėjo kilti iš prekybinės praktikos: ant statinės parduodami vyno matai buvo pažymėti „-“, o atkūrus atsargas – perbraukti, todėl atsirado „+“ ženklas.

Italijoje skolintojai, skolindami pinigus, prieš skolininko vardą, kaip mūsų minusą, dėdavo skolos sumą ir brūkšnelį, o kai skolininkas grąžino pinigus, perbraukė, gavosi kažkas panašaus į mūsų pliusą.

Šiuolaikiniai „+“ ženklai pasirodė Vokietijoje m praėjusį dešimtmetį XV amžius Widmanno knygoje, kuri buvo pirklių žinynas (1489). Čekas Janas Widmanas jau parašė „+“ ir „-“ sudėti ir atimti.

Kiek vėliau vokiečių mokslininkas Michelis Stiefelis parašė „Visišką aritmetiką“, kuri buvo išleista 1544 m. Jame yra šie skaičių įrašai: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Pirmojo tipo skaičius jis pavadino „mažiau nei nieko“ arba „mažesniu nei nieko“. Antrojo tipo numerius jis pavadino „daugiau nei nieko“ arba „didesniu nei nieko“. Žinoma, jūs suprantate šiuos pavadinimus, nes „nieko“ yra 0.

Neigiami skaičiai Egipte

Tačiau nepaisant tokių abejonių, taisyklės, kaip veikti teigiamais ir neigiamais skaičiais buvo pasiūlytos jau III amžiuje Egipte. Neigiami kiekiai pirmą kartą atsirado naudojant Diophantus. Jiems netgi panaudojo specialų simbolį (šiais laikais tam naudojame minuso ženklą). Tiesa, mokslininkai ginčijasi, ar Diofanto simbolis reiškė neigiamą skaičių, ar tiesiog atimties veiksmą, nes Diofante neigiami skaičiai atsiranda ne atskirai, o tik teigiamų skirtumų pavidalu; o atsakymais į problemas jis laiko tik racionalius teigiamus skaičius. Tačiau tuo pat metu Diofantas naudoja tokias kalbos figūras kaip „Pridėkime neigiamą prie abiejų pusių“ ir netgi suformuluoja ženklų taisyklę: „Neiginys, padaugintas iš neigiamo, suteikia teigiamą, o neigiamas, padaugintas iš teigiamo. duoda neigiamą“ (tai dabar dažniausiai formuluojama: „Minus prie minuso duoda pliusą, minus prie pliuso – minusą“).

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Neigiami skaičiai senovės Azijoje

Kinų matematikoje teigiami dydžiai buvo vadinami „chen“, neigiami – „fu“; jie buvo vaizduojami skirtingomis spalvomis: "chen" - raudona, "fu" - juoda. Toks vaizdavimo būdas Kinijoje buvo naudojamas iki XII amžiaus vidurio, kol Li Ye pasiūlė patogesnį neigiamų skaičių žymėjimą – skaičiai, žymintys neigiamus skaičius, buvo perbraukti linija įstrižai iš dešinės į kairę. Indijos mokslininkai, bandydami rasti tokio atimties pavyzdžių gyvenime, ėmė tai interpretuoti prekybos skaičiavimų požiūriu.

Jei prekybininkas turi 5000 rublių. ir perka prekes uz 3000 rub., jam lieka 5000 - 3000 = 2000 rub. Jei jis turi 3000 rublių, bet perka už 5000 rublių, tai jis lieka skolingas 2000 rublių. Atsižvelgiant į tai, buvo manoma, kad čia buvo atimta 3000–5000, o rezultatas yra skaičius 2000 su tašku viršuje, reiškiančiu „du tūkstančius skolų“.

Toks aiškinimas buvo dirbtinis, pirklys niekada nerado skolos sumos atimdamas 3000 - 5000, o visada atimdavo 5000 - 3000. Be to, šiuo pagrindu buvo galima tik ištemptai paaiškinti "skaičių" sudėjimo ir atėmimo taisykles; su taškais“, bet buvo neįmanoma paaiškinti daugybos ar dalybos taisyklių.

V-VI amžiuje Indijos matematikoje atsirado ir labai paplito neigiami skaičiai. Indijoje neigiami skaičiai buvo sistemingai naudojami, kaip ir dabar. Indijos matematikai neigiamus skaičius naudojo nuo VII amžiaus. n. AD: Brahmagupta suformulavo taisykles aritmetinės operacijos su jais. Jo veikale skaitome: „nuosavybė ir nuosavybė yra nuosavybė, dviejų skolų suma yra skola; turto ir nulio suma yra nuosavybė; dviejų nulių suma lygi nuliui... Skola, kuri atimama iš nulio, tampa nuosavybe, o turtas – skola. Jei reikia atimti turtą iš skolos, o skolą iš turto, tada jie pasiima savo sumą.

Indai teigiamus skaičius vadino „dhana“ arba „sva“ (nuosavybė), o neigiamus – „rina“ arba „kshaya“ (skola). Tačiau Indijoje buvo sunku suprasti ir priimti neigiamus skaičius.

Neigiami skaičiai Europoje

Europos matematikai ilgą laiką jiems nepritarė, nes „nuosavybės skolos“ aiškinimas sukėlė sumišimą ir abejonių. Tiesą sakant, kaip galima „pridėti“ arba „atimti“ turtą ir skolas? tikroji prasmė ar gali būti turto "dauginimas" arba "dalijimas" iš skolos? (G.I. Glazeris, Matematikos istorija IV-VI klasėse. Maskva, Prosveshchenie, 1981)

Štai kodėl su su dideliais sunkumais Neigiami skaičiai laimėjo savo vietą matematikoje. Europoje neigiamo kiekio idėja buvo gana artima XIII pradžia Leonardo Fibonacci iš Pizos, tačiau neigiamus skaičius XV amžiaus pabaigoje pirmą kartą aiškiai panaudojo prancūzų matematikas Chuquet. Ranka parašyto traktato apie aritmetiką ir algebrą „Skaičių mokslas iš trijų dalių“ autorius. Shuquet simbolika artėja prie šiuolaikinės (Mathematical enciklopedinis žodynas. M., Sov. enciklopedija, 1988)

Šiuolaikinė neigiamų skaičių interpretacija

1544 m. vokiečių matematikas Michaelas Stiefelis pirmą kartą neigiamus skaičius laikė skaičiais, mažesniais už nulį (t. y. „mažiau nei nieko“). Nuo šio momento į neigiamus skaičius žvelgiama ne kaip į skolą, o visiškai nauju būdu. Pats Stiefelis rašė: „Nulis yra tarp tikrų ir absurdiškų skaičių...“ (G.I. Glazeris, Matematikos istorija IV-VI klasėse. Maskva, Prosveščenie, 1981)

Po to Stiefelis savo darbą visiškai skyrė matematikai, kurioje buvo savamokslis genijus. Vienas pirmųjų Europoje po to, kai Nikola Chuquet pradėjo operuoti neigiamais skaičiais.

Žymus prancūzų matematikas René Descartes „Geometrijoje“ (1637) aprašo geometrinę teigiamų ir neigiamų skaičių interpretaciją; teigiami skaičiai skaičių ašyje pavaizduoti taškais, esančiais į dešinę nuo pradžios 0, neigiamus - į kairę. Teigiamų ir neigiamų skaičių geometrinė interpretacija leido aiškiau suprasti neigiamų skaičių prigimtį ir prisidėjo prie jų atpažinimo.

Beveik kartu su Stiefeliu neigiamų skaičių idėją gynė R. Bombelli Raffaele (apie 1530-1572), italų matematikas ir inžinierius, iš naujo atradęs Diofanto kūrybą.

Bombelli ir Girard, priešingai, neigiamus skaičius laikė gana priimtinais ir naudingais, ypač nurodant kažko trūkumą. Šiuolaikinį teigiamų ir neigiamų skaičių žymėjimą su ženklais „+“ ir „-“ naudojo vokiečių matematikas Widmannas. Posakis „žemesnis nei nieko“ rodo, kad Stiefel ir kai kurie kiti mintyse įsivaizdavo teigiamus ir neigiamus skaičius kaip vertikalios skalės taškus (kaip termometro skalėje). Tada matematiko A. Girardo išplėtota idėja apie neigiamus skaičius kaip taškus tam tikroje tiesėje, esančius kitoje nulio pusėje nei teigiami, pasirodė esąs lemiamas suteikiant šiems skaičiams pilietybės teises, ypač kaip P. Fermat ir R. Descartes'o koordinačių metodo sukūrimo rezultatas.

Išvada

Savo darbe tyriau neigiamų skaičių atsiradimo istoriją. Tyrimo metu padariau išvadą:

Šiuolaikinis mokslas susiduria su tokiais kiekiais sudėtingas pobūdis kad norėdami juos ištirti turime išrasti vis naujų skaičių tipų.

Įvedant naujus numerius puiki vertė turi dvi aplinkybes:

a) veiksmų taisyklės jų atžvilgiu turi būti visiškai apibrėžtos ir nesukelti prieštaravimų;

b) naujos skaičių sistemos turėtų padėti išspręsti naujas problemas arba pagerinti jau žinomus sprendimus.

Iki šiol yra septyni visuotinai pripažinti skaičių apibendrinimo lygiai: natūralūs, racionalūs, realūs, kompleksiniai, vektoriniai, matriciniai ir baigtiniai skaičiai. Kai kurie mokslininkai siūlo funkcijas laikyti funkciniais skaičiais ir išplėsti skaičių apibendrinimo laipsnį iki dvylikos lygių.

Pabandysiu ištirti visas šias skaičių aibes.

Taikymas

Eilėraštis

„Neigiamų skaičių ir skaičių pridėjimas su skirtingi ženklai»

Jei tikrai norite nusimesti

Skaičiai neigiami, nereikia vargti:

Turime greitai išsiaiškinti modulių sumą,

Tada paimkite ir pridėkite prie jo minuso ženklą.

Jei pateikiami skaičiai su skirtingais ženklais,

Kad rastume jų sumą, mums viskas tinka.

Galime greitai parinkti didesnį modulį.

Iš jo atimame mažesnę.

Svarbiausia nepamiršti ženklo!

Kurią įdėsite? – norime paklausti

Išduosime jums paslaptį, paprasčiau ir negali būti,

Atsakyme užrašykite ženklą, kur modulis yra didesnis.

Teigiamų ir neigiamų skaičių pridėjimo taisyklės

Pridėkite minusą prie minuso,

Galite gauti minusą.

Jei sudėsite minusą, pliusą,

Ar tai pasirodys gėda?!

Jūs pasirenkate skaičiaus ženklą

Kuris stipresnis, nežiovaukite!

Nuimkite juos nuo modulių

Susitaikyk su visais skaičiais!

Daugybos taisykles galima aiškinti taip:

„Mano draugo draugas yra mano draugas“: + ∙ + = + .

„Mano priešo priešas yra mano draugas“: ─ ∙ ─ = +.

„Mano priešo draugas yra mano priešas“: + ∙ ─ = ─.

„Mano draugo priešas yra mano priešas“: ─ ∙ + = ─.

Daugybos ženklas yra taškas, jis turi tris ženklus:

Uždenkite du iš jų, trečiasis duos atsakymą.

Pavyzdžiui.

Kaip nustatyti gaminio ženklą 2∙(-3)?

Uždenkime pliuso ir minuso ženklus rankomis. Lieka minuso ženklas

Nuorodos

"Istorija senovės pasaulis“, 5 klasė. Kolpakovas, Selunskaja.

„Matematikos istorija antikoje“, E. Kolmanas.

„Mokinio vadovas“. Leidykla "VES", Sankt Peterburgas. 2003 m

Didelis matematinė enciklopedija. Jakuševa G.M. ir tt

Vigasin A.A., Goder G.I., „Senovės pasaulio istorija“, 5 klasės vadovėlis, 2001 m.

Vikipedija. Nemokama enciklopedija.

Atsiradimas ir vystymasis matematikos mokslas: knyga. Dėl mokytojo. - M.: Išsilavinimas, 1987 m.

Gelfmanas E.G. „Teigiami ir neigiami skaičiai“, matematikos vadovėlis 6 klasei, 2001 m.

Galva. red. M. D. Aksyonova. - M.: Avanta+, 1998 m.

Glazeris G. I. „Matematikos istorija mokykloje“, Maskva, „Prosveshchenie“, 1981 m.

Vaikų enciklopedija „Aš pažįstu pasaulį“, Maskva, „Švietimas“, 1995 m.

Matematikos istorija mokykloje, IV-VI kl. G.I. Glazeris, Maskva, Švietimas, 1981 m.

M.: Philol. UAB "WORD": OLMA-PRESS, 2005 m.

Malygin K.A.

Matematinis enciklopedinis žodynas. M., Sov. enciklopedija, 1988 m.

Nurk E.R., Telgmaa A.E. „Matematika 6 klasė“, Maskva, „Švietimas“, 1989 m

Vadovėlis 5 klasė. Vilenkinas, Žokovas, Česnokovas, Švartsburdas.

Friedmanas L.M.. „Studijuoju matematiką“, edukacinis leidinys, 1994 m

E.G. Gelfman ir kt., Teigiami ir neigiami skaičiai Buratino teatre. Pamoka matematika 6 klasei. 3-asis leidimas, pataisytas, - Tomskas: leidykla Tomsko universitetas, 1998 m

Enciklopedija vaikams. T.11. Matematika