Kokias savybes turi Paskalio trikampio skaičiai? Matematika man patinka

Trikampio istorija. Pirmą kartą trikampė dvinarių koeficientų seka, vadinama meru-prastara, paminėta 10-ojo amžiaus Indijos matematiko Halayudha komentare apie kito matematiko Pingala darbus. Trikampį taip pat tyrinėjo Omaras Khayyamas apie 1100 m., todėl Irane šis modelis vadinamas Khayyam trikampiu. 1303 m. buvo išleista knyga „Jaspio veidrodis“. keturi elementai Kinų matematikas Zhu Shijie, kurio vienoje iš iliustracijų buvo pavaizduotas Paskalio trikampis; Manoma, kad jį išrado kitas kinų matematikas Yang Hui (todėl kinai jį vadina Yang Hui trikampiu). Įjungta titulinis lapas 1529 metais Ingoltštato universiteto astronomo Peterio Apiano parašytame aritmetikos vadovėlyje taip pat vaizduojamas Paskalio trikampis. O 1653 m. (kituose šaltiniuose 1655 m.) buvo išleista Blaise'o Pascalio knyga „Traktatas apie aritmetinį trikampį“.

Savybės Paskalio trikampis. Jei nubrėžiate Paskalio trikampį, gausite lygiašonis trikampis. Šiame trikampyje yra viršuje ir šonuose. Kiekvienas skaičius yra lygus dviejų virš jo esančių skaičių sumai. Trikampis gali būti tęsiamas neribotą laiką. Trikampio linijos yra simetriškos atžvilgiu vertikalioji ašis. Yra programa tikimybių teorija turi pramoginių savybių.

Paskalio trikampio savybės. Trikampio skaičiai yra simetriški (lygūs) vertikalios ašies atžvilgiu. pirma ir paskutinis numeris yra lygūs 1. antrasis ir priešpaskutinis skaičiai lygūs n. trečiasis skaičius lygus trikampio skaičiui, kuris taip pat lygus ankstesnių eilučių skaičių sumai. ketvirtasis skaičius yra tetraedras. Didėjančios įstrižainės, prasidedančios nuo pirmojo (n-1) eilutės elemento, skaičių suma yra n-asis numeris Fibonacci. Jei atimama iš centrinis numeris eilutėje su lyginiu skaičiumi, gretimas skaičius iš tos pačios eilutės, tada gausite katalonų skaičių. Suma n-tieji skaičiai Paskalio trikampio eilutės lygios 2n. Pagrindiniai veiksniai Paskalio trikampio skaičiai sudaro simetriškas į save panašias struktūras. Jei Paskalio trikampyje viskas nelyginiai skaičiai Lyginius nuspalvink juodai, o lygiuosius baltai, tada susidaro Sierpinskio trikampis. Visi skaičiai n-oje eilutėje, išskyrus vienus, dalijasi iš skaičiaus n tada ir tik tada, kai n yra pirminis skaičius. Jei iš eilės su nelyginiu skaičiumi sudedame visus skaičius iš serijos numeriai 3n, 3n+1, 3n+2 formos, tada pirmosios dvi sumos bus lygios, o trečioji bus 1 mažesnė. Kiekvienas skaičius trikampyje yra lygus būdų, kaip pasiekti jį iš viršūnės, skaičiui, judant dešinėn žemyn arba kairėn žemyn.

Garsus amerikiečių mokslininkas Martinas Gardneris sakė: „Paskalio trikampis yra toks paprastas, kad net dešimties metų vaikas gali jį užrašyti. Kartu ji slepia neišsenkamus lobius ir sujungia įvairių aspektų matematikai, kurie iš pirmo žvilgsnio neturi nieko bendra tarpusavyje. Tokios neįprastos savybės leidžia Paskalio trikampį laikyti viena elegantiškiausių schemų visoje matematikoje.

Apsvarstykite šias išraiškas su laipsniais (a + b) n, kur a + b yra bet koks dvinaris, o n yra sveikas skaičius.

Kiekviena išraiška yra daugianario. Visose išraiškose galite pastebėti ypatybes.

1. Kiekvienoje išraiškoje yra vienu nariu daugiau nei rodiklis n.

2. Kiekviename dėinyje laipsnių suma lygi n, t.y. galia, į kurią pakeliamas dvejetainis.

3. Laipsniai prasideda nuo dvinario laipsnio n ir mažėja link 0. Paskutinis narys neturi koeficiento a. Pirmasis narys neturi b faktoriaus, t.y. laipsniai b prasideda nuo 0 ir didėja iki n.

4. Koeficientai prasideda nuo 1 ir didėja tam tikromis reikšmėmis iki „pusės kelio“, o tada mažėja tomis pačiomis reikšmėmis iki 1.

Pažvelkime atidžiau į koeficientus. Tarkime, kad norime rasti (a + b) 6 reikšmę. Pagal funkciją, kurią ką tik pastebėjome, čia turėtų būti 7 nariai
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
Bet kaip galime nustatyti kiekvieno koeficiento reikšmę c i ? Tai galime padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas apima koeficientų rašymą trikampyje, kaip parodyta toliau. Tai žinoma kaip Paskalio trikampis :

Trikampyje yra daug funkcijų. Raskite kuo daugiau.
Galbūt radote būdą, kaip parašyti kitą skaičių eilutę naudodami skaičius aukščiau esančioje eilutėje. Vienetai visada yra šonuose. Kiekvienas likęs skaičius yra dviejų skaičių, viršijančių tą skaičių, suma. Pabandykime rasti išraiškos (a + b) 6 reikšmę pridėdami šią eilutę, naudodami rastas funkcijas:

Tai matome paskutinėje eilutėje

pirmas ir paskutinis numeriai 1 ;
antrasis skaičius yra 1 + 5 arba 6 ;
trečiasis skaičius yra 5 + 10 arba 15 ;
ketvirtasis skaičius yra 10 + 10 arba 20 ;
penktasis skaičius yra 10 + 5 arba 15 ; Ir
šeštas skaičius yra 5 + 1 arba 6 .

Taigi išraiška (a + b) 6 bus lygi
(a + b) 6 = 1 6+ 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5+ 1 b 6.

Norėdami padidinti laipsnį (a + b) 8, Paskalio trikampyje pridedame dvi eilutes:

Tada
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Savo rezultatus galime apibendrinti taip.

Niutono dvinaris naudojant Paskalio trikampį

Bet kuriam dvejetainiam a+ b ir bet kuriam natūralusis skaičius n,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n,
kur skaičiai c 0 , c 1 , c 2 ,...., c n-1 , c n paimti iš Paskalio trikampio (n + 1) serijos.

1 pavyzdys Pakelkite iki laipsnio: (u - v) 5 .

Sprendimas Turime (a + b)n, kur a = u, b = -v ir n = 5. Mes naudojame Paskalio trikampio 6 eilutę:
1 5 10 10 5 1
Tada mes turime
(u - v) 5 = 5 = 1 (u)5+ 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u) (-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5 uv 4 - v 5 .
Atkreipkite dėmesį, kad terminų ženklai svyruoja tarp + ir -. Kai laipsnis -v yra nelyginis skaičius, ženklas yra -.

2 pavyzdys Pakelkite iki galios: (2t + 3/t) 4 .

Sprendimas Turime (a + b)n, kur a = 2t, b = 3/t ir n = 4. Naudojame Paskalio trikampio 5 eilutę:
1 4 6 4 1
Tada mes turime

Binominis išplėtimas naudojant faktorines reikšmes

Tarkime, kad norime rasti (a + b) 11 reikšmę. Paskalio trikampio naudojimo trūkumas yra tas, kad turime apskaičiuoti visas ankstesnes trikampio eilutes, kad gautume reikalinga eilutė. Kitas metodas leidžia to išvengti. Tai taip pat leidžia rasti konkrečią eilutę, tarkime, 8-ą eilutę, neskaičiuojant visų kitų eilučių. Šis metodas yra naudingas atliekant skaičiavimus, statistiką ir jį naudojant dvinario koeficiento žymėjimas .
Niutono dvinarį galime suformuluoti taip.

Niutono dvinaris naudojant faktorialinį žymėjimą

Bet kuriam dvejetainiam (a + b) ir bet kuriam natūraliajam skaičiui n,
.

Niutono binomį galima įrodyti metodu matematinė indukcija. Tai parodo, kodėl jis vadinamas binominis koeficientas .

3 pavyzdys Pakelkite iki galios: (x 2 - 2y) 5 .

Sprendimas Turime (a + b) n , kur a = x 2 , b = -2y ir n = 5. Tada, naudojant Niutono dvinarį, gauname

Galiausiai (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5 .

4 pavyzdys Padidinti iki galios: (2/x + 3√x) 4.

Sprendimas Turime (a + b)n, kur a = 2/x, b = 3√x ir n = 4. Tada, naudojant Niutono dvinarį, gauname

Galiausiai (2/x + 3√x) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x2.

Konkretaus nario radimas

Tarkime, kad iš išraiškos norime nustatyti vieną ar kitą terminą. Mūsų sukurtas metodas leis mums rasti šį terminą neskaičiuojant visų Paskalio trikampio eilučių ar visų ankstesnių koeficientų.

Atkreipkite dėmesį, kad Niutono dvinaris suteikia mums 1-ąjį, 2-ąjį, trečiąjį ir t. t. Tai galima apibendrinti taip.

(k + 1) nario radimas

(k + 1) išraiškos (a + b) narys n yra .

5 pavyzdys Raskite 5-ąjį reiškinio narį (2x - 5y) 6 .

Sprendimas Pirmiausia atkreipkite dėmesį, kad 5 = 4 + 1. Tada k = 4, a = 2x, b = -5y ir n = 6. Tada 5-asis išraiškos narys bus

6 pavyzdys Raskite 8-ąjį terminą reiškinyje (3x - 2) 10.

Sprendimas Pirmiausia pažymime, kad 8 = 7 + 1. Tada k = 7, a = 3x, b = -2 ir n = 10. Tada 8-asis išraiškos narys bus

Bendras poaibių skaičius

Tarkime, kad aibėje yra n objektų. Poaibių, kuriuose yra k elementų, skaičius yra . Bendras aibės poaibių skaičius yra poaibių, turinčių 0 elementų, skaičius, taip pat poaibių su 1 elementu skaičius, taip pat poaibių su 2 elementais skaičius ir pan. Bendras aibės su n elementų poaibių skaičius yra
.
Dabar pažiūrėkime į laipsnio (1 + 1) n didinimą:

.
Taigi. bendras poaibių skaičius yra (1 + 1) n arba 2 n. Mes įrodėme šiuos dalykus.

Bendras poaibių skaičius

Bendras aibės su n elementų poaibių skaičius yra 2n.

7 pavyzdys Kiek poaibių turi aibė (A, B, C, D, E)?

Sprendimas Aibę sudaro 5 elementai, tada poaibių skaičius yra 2 5 arba 32.

8 pavyzdys„Wendy's“ restoranų tinklas siūlo šiuos mėsainių priedus:
{kečupas, garstyčios, majonezas, pomidorai, salotos, svogūnai, grybai, alyvuogės, sūris}.
Kiek skirtingų tipų Kokius mėsainius gali pasiūlyti Wendy, neįskaitant mėsainių dydžio ar mėsainių skaičiaus?

Sprendimas Kiekvieno mėsainio užpilai yra visų galimų priedų rinkinio pogrupio nariai, o tuščias rinkinys yra tik mėsainis. Bendras galimų mėsainių skaičius bus lygus

. Taigi, Wendy's gali pasiūlyti 512 skirtingų mėsainių.

Paskelbta Hard"n"Soft žurnale Nr. 10 2003 m

Nuostabus didžiojo prancūzo trikampis

Gerai prisimenu vieną profesorių, kuris turėjo
matė ir manė, kad išprotėjo.
Jis atėjo pas mane apimtas visiškos panikos.
Atsakydamas aš tiesiog paėmiau knygą iš lentynos, kurią parašė
maždaug prieš keturis šimtus metų ir parodė pacientui
medžio graviūra, vaizduojanti tiksliai
ką jis įsivaizdavo.
Carlas Gustavas Jungas. Žmogus ir jo simboliai.

Kai skaitau Paskalį, man atrodo
kad pati skaitau.
Stendhal

menkinanti formuluotė" nepakeičiami žmonės ne“, taip pamėgtas nekompetentingų vadovų, gal tiktų, jei kalbėtume apie tranšėjos kasimą ar šiukšlių valymą, bet kokia veikla, susijusi su kūryba, parodys kiekvieno žmogaus nepakeičiamumą ir išskirtinumą mes kalbame apie apie genijus, tuomet visi turėtume dėkoti likimui už galimybę mėgautis jų veiklos vaisiais, už iš jų sklindančią šviesą, nušviečiančią žmogaus vystymosi kelius. Žurnalo „Žinios yra galia“ tinklalapyje vyksta balsavimas, ką laikote reikšmingiausiu pastarųjų 2000 metų mokslininku. (http://www.znanie-sila.ru/vote/?id=2 – žiūrėk, beje, įdomu palyginti savo pageidavimus su daugumos pasirinkimu.) Ir, žinoma, tarp populiariausių mokslininkų mes teisingai matyti Blezo Paskalio (1623–1662) vardą.

Pascalis mirė, kai jam buvo 39 metai, tačiau nepaisant to trumpas gyvenimas, jis įėjo į istoriją kaip puikus matematikas, fizikas, filosofas ir rašytojas. Jo vardu dėkingi palikuonys pavadino slėgio vienetą (paskalį) ir itin plačiai paplitusią programavimo kalbą. Ypač populiarus buvo „Turbo Pascal 5.5“, skirtas DOS, dabar – „Borland Pascal 7.0“ ir jos tolesnė plėtra Delfyje. Paskalio kūriniai apima daugiausiai skirtingos sritys . Jis yra vienas iš kūrėjų matematinė analizė

, projekcinė geometrija, tikimybių teorija, hidrostatika (plačiai žinomas Paskalio dėsnis, pagal kurį skysčio slėgio pokytis ramybės būsenoje nepakitęs perduodamas į kitus jo taškus), mechaninio skaičiavimo prietaiso – „Paskalio rato“ kūrėjas. – kaip sakė amžininkai. Paskalis įrodė, kad oras turi elastingumą, įrodė, kad turi svorį, ir atrado, kad barometro rodmenys priklauso nuo drėgmės ir oro temperatūros, todėl pagal juos galima prognozuoti orą. Kai kurie iš praktiniai pasiekimai Paskalis buvo apdovanotas– šiandien nedaugelis žino savo autoriaus vardą. Pavyzdžiui, dabar labai mažai žmonių pasakys, kad įprasčiausias automobilis yra Blaise'o Pascalio išradimas. Jis taip pat sugalvojo omnibusus – kelių vietų arklių traukiamus vežimus su fiksuotais maršrutais – tai pirmoji reguliaraus viešojo miesto transporto rūšis. Jau būdamas šešiolikos, Pascalis suformulavo teoremą apie šešiakampį, įrašytą kūgio pjūvis(Paskalio teorema). (Žinoma, kad vėliau iš savo teoremos jis gavo apie 400 išvadų.) Po kelerių metų Blaise'as Pascalis sukūrė mechaninį skaičiavimo įrenginį – sumavimo mašiną, kuri leido pridėti skaičius į dešimtainė sistema

Skaičiavimas. Šioje mašinoje skaičiai buvo nustatomi atitinkamais diskų (ratų) posūkiais su skaitmeniniais padalomis, o operacijos rezultatą buvo galima nuskaityti languose - po vieną kiekvienam skaitmeniui. Blaise'as Pascalis ir kitas puikus prancūzas Pierre'as Fermatas tapo tikimybių teorijos įkūrėjais, o jos gimimo metai dažnai vadinami 1654 m., kai Pascalis ir Fermatas nepriklausomai davė teisingas paaiškinimas vadinamasis normos padalijimo paradoksas. Du žaidėjai žaidžia „nekenksmingą“ žaidimą (ty abu turi vienodą galimybę laimėti), susitarę, kad pirmasis laimėjęs šešis žaidimus gaus visą prizą. Tarkime, kad žaidimas sustojo anksčiau nei vienas iš jų laimėjo prizą (pavyzdžiui, pirmasis žaidėjas laimėjo penkis žaidimus, o antrasis žaidėjas laimėjo tris). Kaip teisingai paskirstyti prizą? Nors, paprastai kalbant,šią problemą

Tuo tarpu reikia padalyti santykiu 7:1. Tiek Pascalis, tiek Fermatas lažybų padalijimo paradoksą traktavo kaip tikimybių problemą, nustatydami, kad teisingas padalijimas buvo proporcingas pirmojo žaidėjo galimybėms laimėti prizą. Tarkime, kad pirmas žaidėjas turi laimėti tik vieną partiją, o antrasis turi laimėti dar tris partijas, kad laimėtų, o žaidėjai tęsia žaidimą ir žaidžia visus tris žaidimus, net jei kai kurie iš jų yra nereikalingi laimėtojui nustatyti. . Tokiam tęsiniui visi 2 3 = 8 galimi rezultatai bus vienodai tikėtini. Kadangi antrasis žaidėjas gauna prizą tik vienu rezultatu (jei laimi visas tris partijas), o kitais atvejais laimi pirmasis žaidėjas, santykis 7:1 yra teisingas (taip pat nustatė Pascalis ir Fermatas bendras sprendimas

tuo atveju, kai vienam žaidėjui reikia laimėti dar n žaidimų, kad gautų prizą, o kitam – m.)

Tačiau turbūt garsiausias Blaise'o Pascalio matematinis darbas yra jo traktatas apie „aritmetinį trikampį“, sudarytą iš binominių koeficientų (Paskalio trikampis), kuris turi pritaikymų tikimybių teorijoje ir pasižymi stebinančiomis bei linksmomis savybėmis. Mes apsvarstysime šį magišką trikampį, norintys pagilinti savo žinias apie genialų mokslininką, rasite literatūros apie jį sąrašą http://inf.1september.ru/2002/1/france.htm ir „Povandeniniame laive“. ” http://schools techno.ru/sch444/MUSEUM/PRES/PL-4-98.htm intriguojanti istorija apie Paskalį, jo tėvą, seserį ir patį kardinolą Richelieu.
Trikampis bus girtas
Tu dovanoji su kaupu!
Net jei jis būtų gretasienis,
Jei jis būtų kubas, jis būtų utėlė

V.Vysotskis Tiesą sakant, Paskalio trikampis buvo žinomas gerokai anksčiau nei 1653 m., kai buvo išleistas traktatas apie aritmetinį trikampį. Taigi šis trikampis atkuriamas antraštiniame aritmetikos vadovėlio puslapyje pradžios XVI Peteris Apianas, Ingoltštato universiteto astronomas. Trikampis taip pat pavaizduotas 1303 m. išleistos kinų matematiko knygos iliustracijoje. Omaras Khayyamas

Martinas Gardneris knygoje „Matematiniai romanai“ (M., Mir, 1974) rašo: „Paskalio trikampis toks paprastas, kad net dešimties metų vaikas gali jį užrašyti Kartu slepia neišsenkamus lobius ir jungia Kartu su įvairiais matematikos aspektais, kurie iš pirmo žvilgsnio neturi nieko bendro, tokios neįprastos savybės leidžia Paskalio trikampį laikyti viena elegantiškiausių schemų visoje matematikoje.

Tarkime, kad į miestą pateksite taip, kaip parodyta diagramoje su mėlyna rodykle, ir galite judėti tik pirmyn, tiksliau, nuolat rinkdamiesi, pirmyn į kairę arba pirmyn į dešinę. Mazgai, kuriuos galima pasiekti tik vienu būdu, pažymėti žaliais veidukais. Tai vienas iš trikampio konstravimo variantų, kurį pasiūlė Hugo Steinhaus savo klasikiniame „Matematiniame kaleidoskope“.

O Paskalio trikampio struktūra dar paprasčiau paaiškinama žodžiais: kiekvienas skaičius lygus dviejų virš jo esančių skaičių sumai. Viskas elementaru, bet tame slypi tiek daug stebuklų.

Trikampio viršūnė lygi 1. Trikampį galima tęsti neribotą laiką. Jis yra simetriškas vertikalios ašies, einančios per jos viršūnę, atžvilgiu. Išilgai įstrižainių (kiek trikampis gali turėti įstrižainių, bet nesikreipkime, tokios terminijos yra publikacijose), lygiagrečiai su šonais trikampis (paveiksle pažymėtas žaliomis linijomis) sukonstruoti trikampiai skaičiai ir jų apibendrinimai visų matmenų erdvių atveju.

Trikampiai skaičiai įprasčiausia ir žinomiausia forma rodo, kiek liečiamų apskritimų galima išdėstyti trikampio pavidalu - kaip klasikinis pavyzdys pradinis kamuoliukų išdėstymas biliarde. Prie vienos monetos galite pritvirtinti dar dvi – iš viso tris – prie dviejų galite pritvirtinti dar tris – iš viso šešias. Toliau didinant eilutes išlaikant trikampio formą, gauname 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66... eilutes, ką rodo antrasis. žalia linija. Šioje nuostabioje serijoje, kurios kiekvienas narys yra lygus natūralių skaičių serijų sumai (55 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10), taip pat yra daug pažįstamų, kurie yra gerai žinomi matematikos mėgėjams: 6 ir 28 - tobuli skaičiai, 36 - kvadratinis skaičius, 8 ir 21 yra Fibonačio skaičiai.

Kita žalia linija parodys mums tetraedrinius skaičius – galime uždėti vieną rutulį ant trijų – iš viso keturi, po trijų galime padėti šešis (įsitempk ir įsivaizduok!) – iš viso dešimt ir t.t. Daugiau apie trikampius skaičius galite perskaityti „Hard"n"Soft Nr. 4 2002 straipsnyje "Cannibal Rabbits, Quatrains and the Reserve of Sequences", taip pat galima rasti arbūze.

O kita žalia linija (1, 5, 15, 35,...) parodys bandymą išdėstyti hipertetraedrą keturmatė erdvė– vienas kamuoliukas paliečia keturis, o jie savo ruožtu – dešimt... Mūsų pasaulyje tai neįmanoma, tik keturmačiame, virtualiame. Ir dar daugiau, penkiamatis tetraedras, kurį liudija kita žalia linija, gali egzistuoti tik topologų samprotavimuose.

Bet ką mums sako viršutinė žalia linija, ant kurios yra natūralių serijų numeriai? Tai irgi trikampiai skaičiai, bet vienmačiai, rodantys, kiek rutuliukų galima išdėlioti išilgai linijos – kiek jų yra, tiek išdėlioti. Jei eisime iki galo, tai viršutinė vienetų eilutė taip pat yra trikampiai skaičiai nulinėje erdvėje – kad ir kiek kamuoliukų paimtume, daugiau nei vieno negalėsime dėti, nes tiesiog niekur nėra – yra nei ilgio, nei pločio, nei aukščio.

Net ir greito žvilgsnio į Paskalio trikampį pakanka pastebėti šiuos įdomius faktus: 10 branduolių gali būti sulankstyti tiek tetraedro, tiek plokščio trikampio pavidalu. O 56 hiperbranduoliai, sudarantys tetraedrą penkiamačio erdvėje, gali būti išdėstyti įprastame pažįstamame trimačiame tetraedre, tačiau jei pabandytume iš 56 branduolių išdėstyti trikampį, viena šerdis liktų papildoma.

Kaip mes galime nupiešti Paskalio trikampį, kad galėtume su juo žaisti? Geriausia naudoti idėją, kurią apsvarstėme programuodami šešiakampį gyvenimą „Hard"n"Soft Nr. 5 2002 („Arbuz“), ty imamas įprastas dvimatis masyvas, tačiau ekrane rodomos eilutės perkeliamos po vienos – lyginės eilutės į dešinę ketvirtadaliu žingsniu, nelyginės į kairę per ketvirtį žingsnio, o tada eilutės perkeliamos puse žingsnio, o tai mums suteikia šešiakampę lauko struktūrą su stačiakampiu masyvu. O masyvo dvimatiškumas labai palengvina darbą su juo, nurodant veiksmus langelyje eilėmis ir eilutėmis.

Po poros minučių pasmuktelėję būsite apdovanoti ekrane pasirodančiu trikampiu, todėl būsite pasiruošę būsimiems neįprastiems eksperimentams. (Neturėtumėte nurodyti per daug eilučių, nes nuo 13 iki 14 eilučių keturi ir penkių skaitmenų skaičius, jie susilieja su šalia stovinčiais ir vaizdas tampa neryškus. Žinoma, galite padidinti langelio spindulį ir sumažinti šriftą, tačiau vis tiek skaičiai trikampio viduryje greitai auga ir susilieja, nors ir keliomis eilėmis žemiau.)

Bet pirmiausia dar pora įdomių savybių Paskalio trikampis. Norėdami rasti skaičių sumą bet kurioje įstrižainėje nuo pradžios iki mus dominančios vietos, tiesiog pažiūrėkite į skaičių, esantį žemiau ir kairėje nuo paskutinio termino. (kairėje dešinėje įstrižainėje, kairiojoje įstrižainėje jis bus dešinėje ir apskritai - arčiau trikampio vidurio). Pavyzdžiui, norime apskaičiuoti skaičių sumą natūralioje eilutėje nuo 1 iki 9. „Eidami žemyn“ įstrižai iki skaičiaus 9, pamatysime skaičių 45 jo apačioje, kairėje reikiamą sumą. Kokia yra pirmųjų aštuonių trikampių skaičių suma? Antroje įstrižainėje randame aštuntą skaičių ir judame žemyn ir į kairę. Atsakymas: 120. Bet, beje, 120 yra tetraedrinis skaičius. Todėl, paėmę visus rutulius, sudarančius pirmuosius 8 trikampius, galėtume suformuoti tetraedrą. Pabandykite su vyšniomis ar obuoliais

Skaičių sumos išilgai ne taip staigiai krentančių įstrižainių (paveiksle pažymėtos raudonomis linijomis) sudaro Fibonačio seką, gerai žinomą nuolatiniams skaitytojams. Pavyzdžiui, žiūrėkite aukščiau minėtą straipsnį „Triušiai kanibalai, ketureiliai...“ arba daugybę medžiagų apie arbūzą.

Tačiau ankstesniuose leidiniuose nekalbėjome apie tai, kad Fibonačio skaičiai dažnai randami kombinacinės problemos Oi. Apsvarstykite n kėdžių eilę. Kiek būdų ant jų galima susodinti vyrus ir moteris, kad nesėdėtų viena šalia kitos? Kai n=1, 2, 3, 4, ... kelių skaičius yra atitinkamai 2, 3, 5, 8, ..., tai yra, jis sutampa su Fibonačio skaičiais. Paskalis, matyt, nežinojo, kad jo trikampyje paslėpti Fibonačio skaičiai. Ši aplinkybė buvo atrasta tik XIX a. Paskalio trikampio horizontalių linijų skaičiai yra binominiai koeficientai, tai yra plėtimosi koeficientai (x+y) n x ir y laipsniais. Pavyzdžiui, (x+y) 2 =x 2 +2xy+y 2 ir (x+y) 3 =x 3 +3x 2 y+3xy2+y 3. Išsiplėtimo koeficientai 1, 2, 2 yra antroje trikampio eilėje, o 1, 3, 3, 1 - trečioje trikampio eilėje. Norėdami rasti plėtimosi koeficientus (x+y) n, tiesiog pažiūrėkite į n-ąją trikampio eilutę.

Tai yra būtent tai pagrindinė nuosavybė Paskalio trikampis susieja jį su kombinatorika ir tikimybių teorija, paversdamas patogia priemone skaičiavimams atlikti.

Tarkime (Martino Gardnerio pavyzdys), kad tam tikras šeichas, vadovaudamasis svetingumo dėsniais, nusprendžia jums padovanoti tris iš septynių savo žmonų. Kiek skirtingų pasirinkimų galite padaryti tarp gražių haremo gyventojų? Norėdami atsakyti į tai jaudinantis klausimas tereikia rasti skaičių 3 įstrižainės ir 7 linijos sankirtoje: pasirodo, lygus 35. Jei džiaugsmingo jaudulio apimtas supainiosite įstrižainės ir linijos skaičius ir ieškote skaičiaus įstrižainės sankirtoje 7 su 3 linija, pamatysite, kad jie nesikerta. Tai yra, pats metodas neleidžia daryti klaidų! IN bendras atvejis

Kur n!=1*2*3*4*....*n yra vadinamasis skaičiaus n faktorialas. O tas pačias tris žmonas iš septynių galima pasirinkti labai įvairiai: C 3 7 =7!/3!/4!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3/1 *2*3 *4=5040/6/24=35, ką gavome anksčiau. O dvinarių koeficientų reikšmės nustatomos pagal formulę ir, kaip išsiaiškinome, yra Paskalio trikampio eilutės, nesuprantamai jungiančios šį trikampį su kombinatorika ir dvinarių išplėtimu laipsniais.

Beje, iš kombinacijos formulės išplaukia, kad trijų iš septynių pasirinkimo variantų skaičius yra lygus keturių iš septynių pasirinkimo variantų skaičiui arba Sportloto kortelių užpildymo variantų skaičiui 5 iš 36 yra lygus pasirinkimo skaičiui 31 iš 36, pagalvokite apie šią malonią temą.

Ryšys tarp kombinatorikos ir tikimybių teorijos tampa aiškus, jei atsižvelgsime į aštuonias galimas trijų monetų metimo pasekmes: GGG, GGR, GRG, RGG, RGR, RRG, RRR. Nesunku pastebėti, kad tik vienu atveju yra trys herbai, trimis – du, trimis – vienas, o vienu – nėra. Palankių testų, norint gauti 3, 2, 1 ir 0 herbus, skaičiai yra 1, 3, 3, 1. Tai yra skaičiai, kurie atsiranda trečioje Paskalio trikampio eilutėje. Dabar tarkime, kad norime žinoti tikimybę gauti lygiai 5 herbus, kai tuo pačiu metu išmetame 10 monetų. Pirmiausia reikia suskaičiuoti, kiek jų yraįvairiais būdais , leidžianti pasirinkti 5 monetas iš 10. Atsakymą gauname radę skaičių 5-os įstrižainės ir 10-osios linijos sankirtoje. Jis lygus 252. Sudėjus visus 10-oje eilutėje esančius skaičius, gauname, kad galimų skaičiavimų skaičius gali būti labai sumažintas, jei panaudosime tokią dvinarių koeficientų savybę: dvinarių koeficientų sumą (x+y); ) n, o būtent jie yra n Paskalio trikampio eilutė lygi 2 n. tikrai,, stovintis bet kurioje trikampio eilutėje, yra dvigubai didesnė už ankstesnės eilutės skaičių sumą, nes konstruojant kiekvieną eilutę ankstesnės eilutės skaičiai nuimami du kartus. Pirmoje (viršutinėje) eilutėje esančių skaičių suma lygi 1. Todėl Paskalio trikampio eilučių skaičių sumos sudaro geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys lygus 1, o vardiklis 2: 1, 2, 4, 8, .... Dešimtasis 2 laipsnis yra 1024. Todėl tikimybė gauti penkias galvas išmetus 10 monetų yra 252/1024= 63/256.

Norintys sužinoti daugiau apie Paskalio trikampio ir kombinatorikos ryšį gali apsilankyti puslapyje http://combinatorica.narod.ru/third.html. Paskalio trikampis yra dvimatis ir yra plokštumoje. Muilas atsiranda nevalingai – bet ar įmanoma jo raštus išplėsti iki trimačio (ir keturių...) analogo? Pasirodo, tai įmanoma! O. V. Kuzmino straipsnyje (http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/1006.html) nagrinėjamas trimatis trikampio analogas – Paskalio piramidė, jos ryšys su trinario koeficientais ir pateikiamas proceso pavyzdžiai

, kurią toks modelis gali atspindėti. Galiausiai, pereikime prie mums įdomiausios dalies. nuostabi nuosavybė

Paskalio trikampis. Pakeiskime kiekvieną Paskalio trikampio skaičių tašku. Be to, nelyginius taškus parodysime kontrastinga spalva, o lyginius – skaidria arba fono spalva. Rezultatas netikėtai nustebins: Paskalio trikampis suskaidys į mažesnius trikampius, suformuodamas elegantišką raštą. Šie modeliai kupini daugybės netikėtumų. Tolstant nuo viršūnės, susidursime su vis didėjančio dydžio trikampiais, kuriuose nėra nė vieno paryškinto taško, ty „sudarytus“ tik iš lyginių skaičių. Paskalio trikampio viršūnėje yra „paslėptas“ trikampis, susidedantis iš vieno taško, tada yra trikampių, kuriuose yra 6, 28, 120, 496, ... taškai. Trys iš šių skaičių – 6, 28 ir 496 – yra žinomi kaip tobuli, nes kiekvienas iš jų yra lygus visų jo daliklių sumai, išskyrus patį skaičių.

Skaičiaus lygumą galima nesunkiai nustatyti lyginant dalybos iš dviejų likutį su nuliu. O norėdami nustatyti likusią dalį, galite naudoti funkciją Mod, prieinamą beveik visomis programavimo kalbomis. Jei tingite programuoti, bet tikrai norite pamatyti šį stebuklą, eikite į http://www.informika.ru/text/inftech/edu/edujava/mathematics/Pascal/Pascal.html ir ten rasite programėlė, kuri nubrėžia Paskalio trikampį su taškais, atsižvelgdama į paritetą.

Taip pat yra nuoroda į „Java“ šaltinio kodą, kurį galite suprasti ir patobulinti savo nuožiūra. Matematikos mylėtojus iškart nustebins gauto objekto „fraktalumas“, tiksliau, mes nematome nieko daugiau, kaip „Sierpinskio trikampį“, garsiojo „Sierpinskio kilimo“ analogą. Šie modeliai yra ypač populiarūs kartu su „Koch Snowflake“ ir „Mandelbrot and Julie Steel“ rinkiniais. pastaraisiais metais dėl fraktalų ir sinergetikų pamišimo. Trumpai paaiškinsime pradedantiesiems.

Iš populiariosios matematikos meistro Martino Gardnerio sužinome, kad dar 1905 m Matematikos olimpiada Vengrijoje buvo pasiūlyta problema: „Kvadratas yra padalintas į 9 dalis (kaip ir žaidimo „Tic-tac-toe“) ir centrinė aikštė, tada kiekviena iš likusių 8 kvadratų padalinama į 9 dalis – centrinę aikštę pašalinama ir procedūra kartojama daug kartų. Raskite ribą, iki kurios plotas linkęs gautą figūrą. Taigi – gauta figūra yra Sierpinskio kilimas – aikštė taip pilna skylių, kad jau arčiau linijos. Trikampis, kurį matėme, gali būti gaunamas taip pat – iš pradžių sujungiami trikampio kraštinių vidurio taškai ir pašalinamas gautas trikampis.

Antrame etape ta pati operacija atliekama su trimis likusiais trikampiais, tada su likusiais devyniais ir pan. Ar galite rasti ribą, iki kurios likęs plotas? O kaip paaiškinti dviejų modelių sutapimą?

Puslapio http://chaos.h1.ru/ChaosAndFractals/1/ autoriai siūlo nedelsiant sukurti Paskalio trikampį užpildant jį ne skaičiais, o nuliais arba vienetais pagal taisyklę: dviejų nulių arba dviejų vienetų suma. duoda nulį (tai yra, dviejų lyginių arba dviejų nelyginių skaičių suma visada yra lyginė), o nulio ir vieneto suma – vienetą (kaip lyginio skaičiaus su nelyginiu). Ši technika leis mums sukurti savavališkai didelį trikampį, o užpildydami jį „tikraisiais“ skaičiais, galime susidurti su apribojimu. mašinos atstovavimas numeriai ir su tuo, kad Mod funkcija įjungta skaičiaus riba paskelbta kaip Double pradeda žlugti. Minėto puslapio autoriai taip pat siūlo sutvarkyti trikampį kaip dvimatį masyvą (taip ir padarėme) ir jo lauką panaudoti Cellular Automata modeliavimui, ką ir padarėme straipsnyje apie žaidimą Life (on Watermelon) , nors ir neapribojant lauko trikampiu.

Judame toliau – bandome tikrinti ne paritetą, o dalybos iš kitų skaičių likutį ir kiekvieną kartą stebimės atsiradusiu trikampiu. Kurį laiką pažaidę pastebėsime, kad nustatę skaičių, kuriuo tikriname, kaip paprastą skaičių, gausite gražius raštus su ryškiu raštu (pabandykite nustatyti 3, 5, 7, 11, 13, 17... .), o dalijant iš sudėtinis skaičius

Apsvarstykite trikampį, sukonstruotą „santykinai“ su skaičiumi 7, tai yra, skaičiai, kurie nesidalija iš 7 be liekanos, brėžiami juodai, tie, kurie dalijasi, – balta spalva, ir pabandykite pamatyti raštus.

Norintiems pasigilinti į kombinatorikos, tikimybių teorijos ir Paskalio trikampio sąsajas, rekomenduojame Gregory J. Chaitino straipsnį „Atsitiktinumas aritmetikoje“ iš žurnalo MOKSLO PASAULYJE. (Scientific American. Leidimas rusų kalba). Nr. 9 1988, esantis http://grokhovs2.chat.ru/arith/arith.html, bet kol kas darysime kažką naujo – pabandykime nuspalvinti Paskalio trikampį. Norėdami tai padaryti, priskiriame tris kintamuosius (r,g,b), atsakingus atitinkamai už raudoną, žalią ir mėlyną ląstelių spalvos komponentus, ir susiejame jų reikšmę (maksimali gali būti lygi 255) su dalijamumo patikrinimu skirtingi skaičiai. Aukščiau pateiktame programų sąraše raudona spalva vis dar priklauso nuo skaičiaus pariteto, žalia – nuo dalijimosi iš 9, o mėlyna – nuo dalijimosi iš 11. Daugybė eksperimentų variantų yra pažymėti apostrofais kaip komentarai, galite juos „atgaivinti“ arba sugalvoti savo „kontrolinius skaičius“ ir jų spalvų atspalvius.

Dim a(100, 100) kaip dvigubo pritemdymo spindulys kaip baitas, i kaip baitas, kol kaip baitas Dim sdvig kaip sveikasis skaičius, X kaip sveikas skaičius, Y kaip sveikasis skaičius, X1 kaip sveikasis skaičius, Y1 kaip sveikasis skaičius Privati antrinė forma_Įkelti() Y = 1 Į kol X = 1 Į kol a(X, Y) = 0 Kitas X Kitas Y spindulys = 5 " langelio spindulys pikseliais kol = 20 " Eilučių skaičius a(Int(kol / 2), 0) = 1 " pirmas vienetas , nuo kurio auga trikampis DrawWidth = 1 "Linijos storis Y = 0 Iki kol X = 1 Iki kol sdvig = spindulys / 2 * (-1) ^ Y " Paslinkti kiekvieną eilutę į kairę, tada į dešinę, jei Y > 0 Tada Jei sdvig > 0 Tada a(X, Y) = a(X + 1, Y - 1) + a(X - 0, Y - 1) Kitu atveju a(X, Y) = a(X + 0 , Y - 1 ) + a(X - 1, Y - 1) Pabaiga, jei Pabaiga Jei X1 = 60 + X * spindulys * 2 + sdvig Y1 = 10 + Y * spindulys * 1.7 FillStyle = 0 r = 0: g = 0 : b = 0 Jei a(X, Y) > 0 Tada Jei (a(X, Y) - Int(a(X, Y) / 2) * 2) = 0 Tada r = 250 "Jei (a(X, Y) / 4 ) - Int(a(X, Y) / 4) = 0 Tada r = 120 "Jei (a(X, Y) / 8) - Int(a(X, Y) / 8) = 0 Tada r = 180 " Jei (a(X, Y) / 16) - Int(a(X, Y) / 16) = 0 Tada r = 250 "Jei (a(X, Y) / 3) - Int(a( X, Y) / 3) = 0 Tada g = 60 Jei (a(X, Y) / 9) - Int(a(X, Y) / 9) = 0 Tada g = 250 "Jei (a(X, Y) ) / 7) - Int(a(X, Y) / 7) = 0 Tada g = 180 "Jei (a(X, Y) / 5) - Int(a(X, Y) / 5) = 0 Tada g = 250 Jei ( a(X, Y) / 11) - Int(a(X, Y) / 11) = 0 Tada b = 250 "Jei (a(X, Y) / 13) - Int(a(X, Y) / 13 ) = 0 Tada b = 120 "Jei (a(X, Y) / 17) - Int(a(X, Y) / 17) = 0 Tada b = 180 "Jei (a(X, Y) / 19) - Int(a(X, Y) / 19) = 0 Tada b = 250 ForeColor = RGB(r, g, b) FillColor = RGB(r, g, b) " Užpildymo spalvos apskritimas (X1, Y1) , spindulys, RGB (90, 90, 90) Pabaiga Jei Kitas X Kitas Y " Išeiti iš programos Private Sub Exit_Click() Pabaiga Pabaiga Sub

Ir štai programos rezultatas. Argi ne gražu? Matomos raudonos trikampės „Sierpinskio zonos“, kurios ant žalių langų iš devynerių išdėlioja geltonas zonas, o su mėlynomis sritimis dalijant iš 11 – alyvinės spalvos. Ar šis grožis turi taikoma vertė išskyrus tapetų raštą, dar neaišku, bet iš Paskalio trikampio, ypač spalvoto, galima tikėtis kokių nors stebuklų, galbūt artimiausiu metu. Ir štai dar vienas spalvinimo variantas, atliekama pagal algoritmą

R = a(x, y) / 3 Mod. 255 g = a(x, y) / 2 Mod. 255 b = a(x, y) / 4 Mod. 255

Pažiūrėkite į paveikslėlį, pabandykite susieti jį su algoritmu arba, dar geriau, išbandykite savo versiją. Straipsnyje http://www.webbyawards.ru/pcworld/2001/07/130_print.htm siūloma naudoti rekursiją Paskalio trikampiui sukurti. Kas yra rekursija ir kiek ji optimali programavimui, galima rasti adresu http://arbuz.ferghana.ru/z_vetki.htm. Puslapiuose http://hcinsu.chat.ru/algoritm/mathem/binom.html ir http://dkws.narod.ru/math/tpas.html rasite programas Paskalio trikampiui sudaryti, o puslapyje http :// galibin.chat.ru/Java/Pascal/index.html taip pat yra programėlė, kuri ją piešia ekrane, tačiau dabar jau esate visiškai apsiginklavę, tačiau šie puslapiai gali suteikti jums naujų idėjų.

Yra daugiau apie Paskalio trikampį geras straipsnis pramoginių programų rubrikos „Kompiuterinės naujienos“ vedėjas A. Kolesnikovas adresu http://www.kv.by/index2002151201.htm. Mes pradėjome svarstyti Paskalio trikampį nuo judėjimo variantų ir baigsime jomis. Puslapyje yra knyga, skirta galvosūkiams Jevgenija Gika „Šachmatai ir matematika“. Skyriuje, skirtame šachmatų lentos geometrijai (http://golovolomka.hobby.ru/books/gik/05.shtml), autorius pateikia nuostabių pavyzdžių

Ir pats paskutinis klausimas, susijęs ir su Paskalio trikampiu, ir su šachmatais. Kokia yra visų skaičių, esančių virš bet kurios eilutės, suma? Apsvarstykite šias sumas patys, pradėdami nuo viršaus, ir pamatysite reikšmes 1, 3, 7, 15, 31,... Nereikia turėti daug fantazijos, kad pamatytumėte paprastą modelį: sumą visi skaičiai n eilučių yra 2 n -1. O ką su tuo turi šachmatai? Pasak gerai žinomos legendos, Radža šachmatų kūrėjui pažadėjo bet kokį atlygį, kurio jis prašė. Kai pirmasis šachmatininkas paprašė įdėti vieną kviečio grūdą į pirmą lentos langelį, du – į antrą, keturis – į trečią ir taip toliau, toliau padvigubindamas iki 64-ojo langelio, Radža net įsižeidė pirmiausia dėl prašomo atlygio menkumo. Kai jo sandėlininkai apskaičiavo prašomą kiekį, paaiškėjo, kad šie grūdai gali apimti visą Žemę iki kelių, tai yra daug daugiau, nei buvo ir bus surinkta per visą žmonijos derlių. (Beje, galite įvertinti grūdų sluoksnio aukštį, atsižvelgiant į grūdų tūrį, pavyzdžiui, 1 mm 3, padauginkite iš 2 64, tikrai atimkite 1 ir padalykite iš žemės paviršiaus ploto.) Taigi - ant kiekvieno lentos kvadrato būtų (būtų) grūdelių skaičius, lygi sumai

skaičiai atitinkamoje Paskalio trikampio eilutėje, o visų pirmųjų n langelių grūdelių suma būtų lygi šių n šio stebuklingo trikampio eilučių skaičių sumai. Su šia gausia fantazija baigsime savo svarstymą.

Variacijos tema „Paskalio trikampis“

Istorija

Paskalio trikampis yra turbūt viena garsiausių ir elegantiškiausių skaičių schemų visoje matematikoje.

Prancūzų matematikas ir filosofas Blaise'as Pascalis jai skyrė specialų „Traktatą apie aritmetinį trikampį“.

Tačiau ši trikampė lentelė buvo žinoma gerokai anksčiau nei 1665 m. – traktato paskelbimo datą.

Taip 1529 metais Paskalio trikampis buvo atkurtas astronomo Piterio Apiano parašyto aritmetikos vadovėlio tituliniame puslapyje.

Trikampis pavaizduotas ir kinų matematiko Zhu Shijie 1303 m. išleistos knygos „The Jasper Mirror of the Four Elements“ iliustracijoje.

Omaras Khayyamas, kuris buvo ne tik filosofas ir poetas, bet ir matematikas, apie trikampio egzistavimą žinojo 1110 m., savo ruožtu pasiskolinęs jį iš ankstesnių Kinijos ar Indijos šaltinių.

Paskalio trikampio konstrukcija Paskalio trikampis yra tiesiog begalinis "skaičių lentelė", kuriame yra vienetai viršuje ir šonuose, kiekvienas iš likusių skaičių yra lygus dviejų skaičių, esančių virš jo kairėje ir dešinėje ankstesnėje eilutėje, sumai. Lentelėje yra simetrija apie ašį einantis per jo viršūnę.

Paskalio trikampio savybės

Styginių ypatybės

n-oji eilutė

kitas turtas

Trikampiai skaičiai
Trikampiai, tetraedriniai ir kiti skaičiai išdėstyti išilgai įstrižainių, lygiagrečių trikampio kraštinėms. Trikampiai skaičiai rodo rutulių ar kitų trikampio pavidalu išdėstytų objektų skaičių (šie skaičiai sudaro tokią seką: 1,3,6,10,15,21,..., kurioje 1 yra pirmasis trikampio formos skaičius, 3 yra antrasis trikampio skaičius, 6 trečdalis ir tt iki m-ro, kuris parodo, kiek Paskalio trikampio narių yra pirmosiose m eilutėse - nuo nulio iki (m-1)-osios).

Tetraedriniai skaičiai
Sekos 1,4, 10, 20, 36, 56,... nariai vadinami piramidiniais, tiksliau – tetraedriniais skaičiais: 1 – pirmasis tetraedrinis skaičius, 4 – antrasis, 10 – trečiasis ir t.t. iki m-ro . Šie skaičiai rodo, kiek kamuoliukų galima sukrauti formoje trikampė piramidė(tetraedras).

Fibonačio skaičiai
1228 m. puikus italų matematikas Leonardo iš Pizos, geriau žinomas kaip Fibonacci, parašė savo garsiąją „Abako knygą“. Viena iš šios knygos problemų, triušių auginimo problema, lėmė skaičių seką 1,1,2,3,5,8,13,21..., kurioje kiekvienas terminas, pradedant nuo trečiojo, yra dviejų ankstesnių terminų suma. Ši seka vadinama Fibonačio serija, Fibonačio serijos nariai vadinami Fibonačio skaičiais. Nurodydami n-ąjį Fibonačio skaičių

Tarp Fibonačio serijos ir Paskalio trikampio yra įdomus ryšys. Kiekvienai didėjančia Paskalio trikampio įstrižainei sudarome visų šioje įstrižainėje esančių skaičių sumą. Už pirmąją įstrižainę gauname 1, už antrąjį – 2, už ketvirtą – 3 ir už penktą – 5. Gavome tik penkis pradinius Fibonačio skaičius. Pasirodo, skaičių suma visada yra n-oji įstrižainė yra n-asis Fibonačio skaičius. Norint įrodyti mus dominantį teiginį, pakanka parodyti, kad visų skaičių, sudarančių Paskalio trikampio n-ąją ir (n+1) įstrižaines, suma yra lygi skaičių, sudarančių jo m+ sumai. 2-oji įstrižainė.

Binominiai koeficientai
Skaičiai ant horizontalių linijų yra dvejetainiai koeficientai. Eilutę, pažymėtą n, sudaro dvinario plėtimosi (1+n)n koeficientai. Parodykime tai naudodami Paskalio operaciją. Bet pirmiausia įsivaizduokime, kaip nustatomi binominiai koeficientai.

Paimkime dvinarį 1+x ir pradėkime jį kelti į laipsnius 0, 1, 2, 3 ir t.t., gautus daugianorius išdėstydami didėjančiomis raidės x laipsniais. Mes gausime

1.(1+x)0=1,
2.(1+x)1=1+x,
3. (1 +x)2=(1 +x)(1 +x)= 1 +2x+x2,
4.(1+х)3=1+Зх+Зх2+хЗ
ir tt

Apskritai, bet kokiai visumai neneigiamas skaičius n
(1+x)n=a0+a1x+a2x2+...+apxp,
kur a0,a1,...,ap

Paskutinį ryšį galima perrašyti į formą ir iš 1-4 santykių gauname

Susidarė Paskalio trikampis, kurio kiekvienas elementas

Būtent ši pagrindinė Paskalio trikampio savybė sieja jį ne tik su kombinatorika ir tikimybių teorija, bet ir su kitomis matematikos sritimis bei jos pritaikymais.

Užduočių sprendimas naudojant Paskalio trikampį

Senovės problemos apie atsitiktinumą
Nuo seniausių laikų įvairios azartinių lošimų. IN Senovės Graikija ir Romoje, astragalų žaidimai tapo plačiai paplitę, kai žaidėjai mėtė gyvūnų kaulus. Taip pat populiarus kauliukai- kubeliai, kurių kraštuose pažymėti taškai. Vėliau lošimai paplito visoje viduramžių Europoje.

Šie žaidimai matematikams davė daug įdomių užduočių, kuris vėliau sudarė tikimybių teorijos pagrindą. Lažybų padalijimo problemos buvo labai populiarios. Juk paprastai buvo žaidžiama iš pinigų: žaidėjai statydavo, o laimėtojas pasiimdavo visą sumą. Tačiau žaidimas kartais nutrūkdavo iki pabaigos ir iškildavo klausimas: kaip padalinti pinigus.

Daugelis matematikų dirbo spręsdami šią problemą, bet iki vidurio XVII ašimtmečius jie jo nerado. 1654 metais tarp prancūzų matematikai Mums jau gerai žinomas Blaise'as Pascalis ir Pierre'as Fermat'as pradėjo susirašinėjimą dėl daugelio kombinacinių problemų, įskaitant statymo padalijimo problemas. Abu mokslininkai, nors keli įvairiais būdais, atėjo į teisingas sprendimas, padalijus statymą proporcingai tikimybei laimėti visą sumą, jei žaidimas tęsis.

Pažymėtina, kad prieš juos nė vienas matematikas neskaičiavo įvykių tikimybės, tikimybių teorija ir kombinatorika pirmiausia buvo moksliškai pagrįsti, todėl Paskalis ir Fermatas laikomi tikimybių teorijos pradininkais.

Panagrinėkime vieną iš Ferma problemų, kurią Paskalis išsprendė naudodamasis savo skaitine lentele.

Tegul žaidėjui A reikia dviejų partijų, kad laimėtų visas rungtynes, o žaidėjui B – trijų. Kaip teisingai padalyti statymą, jei žaidimas nutrūksta?

Paskalis susumuoja žaidėjams trūkstamų žaidimų skaičių ir paima lentelės eilutę, kurioje terminų skaičius lygus rastai sumai, t.y 5. Tada žaidėjo A dalis bus lygi trijų sumai (pagal žaidimų, kurių trūksta žaidėjui B) pirmieji penktos eilės terminai, o žaidėjo B dalis yra likusių dviejų skaičių suma. Parašykime šią eilutę: 1,4,6,4, 1. Žaidėjo A dalis yra 1+4+6=11, o B dalis -1+4=5.

Kiti aritmetiniai trikampiai

Panagrinėkime trikampius, kurių konstrukcija susieta su žinomais vieno parametro kombinaciniais skaičiais. Tokių trikampių kūrimas grindžiamas aukščiau aptartu Paskalio trikampio konstravimo principu.

Luko trikampis

Apsvarstykite sukonstruotą aritmetinis trikampis. Šis trikampis vadinamas Luko trikampiu, nes skaičių sumos, esančios didėjančiose įstrižainėse, sudaro Luko skaičių seką: 1, 3, 4, 7, 11, 18, / kurią galima apibrėžti kaip

Ln=Ln-1+Ln-2, L0=2, L1=1

Kiekvienas trikampio elementas nustatomas pagal Paskalio taisyklę Ln+1,k=Ln, k-1+Ln, k su pradinėmis sąlygomis L1,0=1, L1,1=2 ir L0,k=0

t.y. n-oji eilutė galima gauti trikampį liuką pridedant n-ąją ir (n-1) Paskalio trikampio eilutės.

Fibonačio trikampis

Iš skaičių (fm, n), tenkinančių lygtis
fm, n=fm-1,n+fm-2,n,
fm, n=fm-1,n-1+fm-2,n-2, kur c pradines sąlygas f0,0=f1,0=f1,1=f2,1=1 konstruojamas kitas trikampis.

fm, n =fn fn-m, m Є n Є 0, kur fn yra n-asis Fibonačio skaičius. Sukonstruotas trikampis vadinamas Fibonačio trikampiu.

Tribonacci trikampis

Panagrinėkime kitą trikampį, kurio sukūrimas pagrįstas Paskalio trikampio konstravimo metodu. Tai yra Tribonacci trikampis. Jis pavadintas taip, nes elementų sumos didėjančiose įstrižainėse sudaro Tribonacci skaičių seką: 1,1,2,4,7,13,24,44,..., kurią galima apibrėžti tokiu pasikartojimo ryšiu. : tn+3 = tn+2 + tn+1 + tn su pradinėmis sąlygomis t0 = 1, t1 = 1, t2 = 2

„Ikoninis trikampis“

„Ženklų trikampio“ konstrukcija

Prieš mus yra trikampis, sudarytas tik iš ženklų, pliusų ir minusų pagal Paskalio trikampio formavimo principą. Skirtingai nuo pastarojo, jis yra apačioje.

Pirma, nustatoma pirmoji eilutė, kurią sudaro savavališkas simbolių skaičius ir jų vieta. Kiekvienas kitos eilutės simbolis gaunamas padauginus du didesnius simbolius.

Viena iš mūsų užduočių yra nustatyti, kiek simbolių pirmoje eilutėje minusų ir pliusų skaičius bus vienodas. Bendras kiekis lentelės simbolius galima nustatyti pagal formulę

kur n yra simbolių skaičius pirmoje eilutėje.

Sudaroma skaičių seka, kurioje minusų ir pliusų skaičius gali būti lygus: 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 16,..., kurių kiekvienas rodo simbolių skaičių pirmoje eilutėje . Tačiau nenustatyta, prie kokio ženklų išdėstymo minusų ir pliusų skaičius vienareikšmiškai sutampa.

Antroji mūsų užduotis, susijusi su ženklų sandaugos trikampiu, yra nustatyti mažiausią pliusų skaičių, kurį gali turėti „ženklų trikampis“.

Pirmoje eilutėje yra įdomi simbolių seka: +, -, -, +, -, -, ... (arba -, -, + ,- ,- ,+ , ...), kurioje skaičius pliusų, kaip ir anksčiau, yra laikomas mažiausiu ir lygiu 1/3 bendras skaičiusženklai, t.y. lygūs

Svarbu atkreipti dėmesį, kad pamažu apeinant trikampį, ženklų +, -, -, ... seka išliks.

Atkreipkime dėmesį į tai, kad mažiausias pliusų skaičius, lygus 1/3 bendro ženklų skaičiaus, taip pat matomas trikampyje, kuriame n = 2.