Raskite nelyginių laipsnių daugianario koeficientų sumą. Aukštosios matematikos lygtys. Racionaliosios daugianario šaknys

Pagrindinės daugianario teorijos sąvokos

Pagal daugianario suprantama kaip formos išraiška , kur yra sveikas skaičius neneigiamas skaičius,
– bet kokie skaičiai; ir
. Ši išraiška gali susidėti ir iš vieno termino – toks daugianomas vadinamas monominė.

Leisti būti savavališkai daugianario ir . Skaičius n paskambino daugianario laipsnisf(x) ir žymimas deg( f(x)).

Atkreipkime dėmesį į vieną iš daugianario operacijų savybių: Jei f(x) Ir g(x) yra du daugianariai

deg( f(x) g(x))=deg( f(x))+deg( g(x));

deg( f(x) ± g(x)) ≤ max(deg( f(x)),deg( g(x))}

(maks. a,b) reiškia didžiausią skaičių a Ir b).

1 pratimas. Pateikite tokių daugianarių pavyzdžių

a) deg ( f(x) + g(x)) = maks (deg( f(x)), deg( g(x))};

b) deg ( f(x) + g(x)) < max {deg(f(x)), deg( g(x))}.

2 užduotis.Įrodykite tapatybes:

a) ( x – 1)(x n–1 + x n- 2 +…+ 1) = x n – 1;

b) ( x + 1)(x 2 n – x 2 n –1 + x 2 n –2 – …– x + 1) = x 2 n +1 + 1.

Sprendimas. a) ( x – 1)(x n –1 + x n – 2 +…+ 1) = x n – x n – 1 + x n – 1 – x n – 2 + x n – 2 – x n – 3 +…+ X 2 –X + X – 1 = = x n – 1.

Visi terminai, atsirandantys atidarius skliaustus, išskyrus pirmąjį ir paskutinįjį, panaikina vienas kitą.

Vietoj kintamojo xį daugianarį f(x) galite pakeisti bet kurį skaičių c. Rezultatas bus tam tikras skaičius. Šis numeris vadinamas daugianario reikšmėf(x) adresu x = c(arba taške c) ir žymimas f(c).

Atkreipkime dėmesį į dvi paprastas lygybes, susijusias su daugianario reikšmėmis ir naudingas sprendžiant uždavinius:

laisvas narys daugianario yra lygus jo vertei taške 0,

daugianario koeficientų suma lygi jo vertei taške 1,

3 užduotis. Raskite daugianario laisvąjį narį ir koeficientų sumą.

Sprendimas. Atidarius skliaustus ir užmetus panašių narių išraiška sukuria daugianarį su laisvuoju nariu
ir koeficientų suma f(1) = 1.

Atsakymas:
, 1.

4 užduotis. Raskite daugianario koeficientų sumą
lyginėms ir nelyginėms galioms x.

Skaičius c paskambino daugianario šaknisf(x), jei daugianario reikšmė taške c lygus nuliui. Skaičius c yra daugianario šaknis f(x), jei f(c) = 0.

Šaknies sąvoka yra pagrindinė daugianario teorija. Su šia samprata glaudžiai susijusi polinomų dalijimosi teorija, jų faktorizacija, įvairių algebrinių lygčių sprendimas.

Dabar aptarkime daugianario lygybės sampratą. Jei žiūrėtume į daugianario kaip formalios išraiškos su kintamuoju x, tada natūralu, kad du daugianario laipsnis yra vienodas ir jų atitinkami koeficientai yra lygūs. Ši daugianario lygybė vadinama lygybė algebrine prasme, tai yra, jei , ir daugianariai f(x) Ir g(x) yra lygūs m = n Ir a 0 = b 0 , a 1 = b 1 , …, a n = b n .

Tačiau į daugianarį galima žiūrėti kaip į funkciją. Bet tada apie dviejų daugianario lygybę galime kalbėti kaip apie dviejų funkcijų lygybę. Yra žinoma, kad dvi funkcijos vadinamos lygiomis, jei jos turi tą patį apibrėžimo sritį ir kiekvienas skaičius iš šios apibrėžimo srities abiem funkcijoms priskiriamas tuo pačiu skaičiumi. Šia prasme suprantama daugianario lygybė bus vadinama lygybė funkcine prasme. Jei daugianariai f(x) Ir g(x) yra lygūs, tada bet kuriai
mes turime f(c) = g(c).

Taigi, daugianario aibėje turime dvi lygybės sąvokas. Šie daugianario lygybės sąvokos apibrėžimai yra lygiaverčiai. Kitaip tariant, jei du daugianariai yra lygūs algebrine prasme, tai jie yra lygūs funkcine prasme ir atvirkščiai.

5 užduotis. Daugianame
viena iš šaknų yra 3. Rasti f(x).

Sprendimas. Nes x 0 = 3 yra daugianario šaknis f(x), tai f(x 0) = 0 USD. Tai yra
, kur a = 4.

Atsakymas: Reikalingas daugianomas
.

6 užduotis. Raskite sveikuosius skaičius a Ir b, kuriai viena iš daugianario šaknų yra lygi
.

Sprendimas. Duota
– daugianario šaknis f(x), reiškia f(x 0) = 0.

Surinkime visus terminus, kuriuose yra
, dešinėje pusėje. Nes a Ir b yra sveikieji skaičiai, tada lygybė tenkinama tik tada, kai abi jos dalys lygios nuliui. Gauname lygčių sistemą
.

Išspręsdami šią sistemą, mes tai surandame a = –12$, b = 6.

Atsakymas: Reikalingas daugianomas.

7 užduotis. Raskite daugianarį f(x) antrojo laipsnio, tenkinantis sąlygas f(1) = 6, f(–2) = 21, f(3) = 16.

Sprendimas. Polinomas f(x) ieškosime formoje
. Norėdami nustatyti nežinomus koeficientus, apskaičiuojame daugianario reikšmes duotus taškus:

Šios sistemos sprendimas a = 2, b = –3, c = 7.

Atsakymas: Reikalingas daugianomas
.

8 užduotis. Kokioms nežinomų koeficientų reikšmėms galioja lygybės?

Daugiavardžių dalijamumas

Jie taip sako daugianariof(x) dalijasi iš daugianariog(x) ≠ 0, jei toks daugianomas yra q(x), kad galioja lygybė

f(x) = g(x) q(x) (1)

Jeigu f(x) padalytą g(x), tada įprasta rašyti taip
.

Pavyzdžiui, iš lygybės x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x+ 1 iš to seka
Ir
.

Polinomas q(x) lygybėje (1) vadinama privatus nuo padalijimo f(x) įjungta g(x). Atkreipkite dėmesį, kad daugianario q(x) lygybėje (1) nustatoma vienareikšmiškai.

Teorema (apie padalijimą su liekana). Bet kuriam daugianariui f(x) ir bet kurį nulinį daugianarį g(x) yra unikali daugianario pora q(x) Ir r(x), kurioms taikoma lygybė

f(x) = g(x) q(x) + r(x), (2)

kur yra daugianario r(x) yra nulis arba laipsniu mažesnis už laipsnį g(x). ■

Praktikoje, norint rasti koeficientą ir liekaną, paprastai naudojamas skaičiavimo metodas, vadinamas "dalijimu iš kampo".

9 užduotis. Raskite koeficientą ir liekaną dalydami iš
.

Sprendimas.

Pateko privačiai
o likusią dalį
.

Atsakymas: nepilnas koeficientas ir liekana.

10 užduotis. Kokia verte a daugianario
dalijasi iš daugianario x– 2? Atsakymas: A = –1.

11 užduotis. Kokiomis nenulinėmis reikšmėmis a Ir b daugianario
dalijasi iš daugianario
? Atsakymas: A = –1; b = –2.

Bezouto teorema

Apsvarstykite daugianarį
.

Pasiskirstykime f(x) įjungta x – 1, x – 2, x+ 3 su likusia dalimi ( r- priminimas):

f(x) = (x – 1)(x 2 + 4x – 3) – 9, r = –9$;

f(x) = (x – 2)(x 2 + 5x + 3), r = 0;

f(x) = (x + 3)(x 2 – 7) + 15, r = 15.

Apskaičiuokime daugianario reikšmes f(x) taškuose x = 1, x = 2, x = –3.

f(1) = –9, f(2) = 0, f(–3) = 15.

Galite pastebėti, kad nagrinėjamame pavyzdyje likusi dalis kiekvieną kartą sukuria skaičių lygi vertei daugianario atitinkamame taške. Šis sutapimas vargu ar atsitiktinis. Galioja sekanti teorema, grojant svarbus vaidmuo daugianario teorijoje ir jos taikymuose.

Teorema (Bezout). Polinomo liekana f(x) pagal dvinarį x – a lygus daugianario reikšmei f(x) taške x = a.

Pagrindinė šios teoremos pasekmė bus

1 išvada. Polinomas f(x) padalytą x – a jei ir tik tada, kai numeris a yra jo šaknis.

12 užduotis. Polinomas f(x) padalijus iš x– 3 duoda likutį iš 5, o padalijus iš x– 1 – liekana 7. Kokia liekana duoda f(x) padalijus iš ( x – 3)(x – 1)?

Sprendimas. Skirstytuvas ( x – 3)( x– 1) turi 2 laipsnį. Todėl liekana yra daugianario laipsnis, ne didesnis už pirmąjį, tai yra r(x) = kirvis + b, ir mes turime rasti a Ir b. Pažymėkime koeficientą q(x). Tada f(x) = (x – 3)( x – 1)q(x) + (kirvis + b). Pakeitimas x= 3, gauname f(3) = 3a + b, bet pagal sąlygą ir Bezouto teoremą f(3) = 5, taigi 3 a + b= 5. Panašiai ir už x= 1 gauname a + b= 7. Išspręsdami dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą, gauname a = –1, b= 8. Taigi r(x) = – x + 8.

Atsakymas: r(x) = – x + 8.

13 užduotis.Įrodykite, kad bet kokie sveikieji skaičiai a, b, c, skaičius dalijasi iš b – a – c.

Sprendimas. Pasvarstykime ši išraiška kaip daugianario f(b) palyginti su kintamuoju b, skaičiuojant a Ir c fiksuotus parametrus ir apskaičiuokite jo vertę b = a + c: f(a + c) = 0. Iš Bezout teoremos išplaukia daugianario f(b) padalytą b – a – c. nuo pirmaujančio dvinario koeficiento b – a – c yra lygus 1, tada dalinio koeficientai bus sveikieji skaičiai, o tai išplaukia iš „dalybos iš kampo“ metodo. Todėl šis sveikasis skaičius dalijasi iš b – a – c, ką ir reikėjo įrodyti.

Panagrinėkime dar keletą Bezouto teoremos pasekmių.

2 išvada. Jei 1, 2, …, a k– skirtingos daugianario šaknys f(x), tai f(x) yra padalintas iš sandaugos (3)

3 išvada. Nenulinio daugianario skirtingų šaknų skaičius yra ne didesnis nei jo laipsnis.

Jau buvo minėta, kad jei du daugianariai yra lygūs, tai yra, jų reikšmės sutampa
tada jų koeficientai sutampa ties lygiais laipsniais x. Dabar galime labai sustiprinti šį teiginį.

3 išvada. Jei dviejų daugianario reikšmės, kurių laipsniai yra ne didesni kaip n, sutampa ( n+ 1) taškas, tada šie daugianariai yra lygūs.

14 užduotis.Įrodykite, kad bet kokie poriniai skirtingi skaičiai a, b, c galioja tapatybė.

Sprendimas. Kairiąją tapatybės pusę, kurią įrodo, pažymėkime $f(x)$. Polinominis laipsnis f(x) ne daugiau kaip du (iš tiesų, kiekviename dėinyje atidarę skliaustus, gauname dauginant tiesinius dvinarius, kuriuose yra x, kvadratiniai trinariai). Dešinėje įrodomos tapatybės pusėje yra skaičius 1, kurį galima žiūrėti kaip į daugianarį g(x) nulinio laipsnio, t.y. laipsnį g(x) taip pat neviršija dviejų.

Mes turime f(a) = 1 = g(a). (Polinomas g(x) yra lygus 1 bet kuriai vertei x). Taip pat, f(b) = g(b) Ir f(c) = g(c). Taigi du daugianariai f(x) Ir g(x), kurių laipsniai yra ne daugiau kaip du, imkite tos pačios vertybės trijuose taškuose: x = a, x = b, x = c. Taigi, pagal 3 išvadą f(x) = g(x) ir tapatybė įrodyta.

15 užduotis. Raskite likutį padalijus iš x + 1.

Atsakymas: r = –6.

16 užduotis. Apskaičiuoti f(4), jei . Atsakymas: f(4) = 136.

17 užduotis. Neatlikę padalijimo operacijos, raskite likutį padalijus iš x+ 3. Atsakymas: r = –1.

18 užduotis. Kokia verte k daugianario
padalytą x + 4?

Atsakymas: k = 11.

19 užduotis. Raskite visas vertes a, kuriai polinomo dalybos liekana
pagal dvinarį x– 2 lygu 9? Atsakymas: a = 3.

20 užduotis. Prie ko a Ir b daugianario
padalytą x– 1 ir x+ 2 be likučio? Atsakymas: a = –4; b = 5.

21 užduotis. n daugianario x n – a n padalytą x – a.

22 užduotis.Įrodykite, kad tai bet koks natūralus n daugianario x 2 n +1 + a 2 n+1 padalintas iš x + a.

23 užduotis.Įrodykite, kad daugianario x 2 n – a 2 n padalytą x – a ir toliau x + a pagal bet kokį natūralų n.

24 užduotis.Įrodykite, kad daugianario x 2 n + a 2 n nedalomas iš x + a visai ne x – a Nesvarbu kas n.

25 užduotis. Polinomas f(x) padalijus iš x– 2 duoda likutį iš 2, o padalijus iš x+ 3 suteikia likutį 7. Raskite dalybos likutį f(x) įjungta x 2 + x – 6.

Atsakymas: r = –x + 4.

26 užduotis. Raskite likutį dalijant daugianarį iš kvadratinio trinalio x 2 – x – 2.

Atsakymas: r = x –6

27 užduotis.Įrodykite, kad daugianario liekana p(x) pagal dvinarį kirvis + b lygus daugianario reikšmei at x = –b/a.

28 užduotis. Raskite likutį dalijant daugianarį iš dvinario 2 x – 3.

Atsakymas: r = 71/8.

Hornerio schema

Bezout teorema leidžia rasti likutį dalijant daugianarį f(x) pagal dvinarį x – a. Bet sprendžiant kai kurias problemas, būtina žinoti ne tik liekaną, bet ir koeficientą. Mes jau žinome, kaip tai padaryti (pavyzdžiui, dalijant iš kampo). Dalijant daugianarį iš dvejetainio x – a Norint rasti koeficientą ir liekaną, naudojamas paprastesnis metodas, vadinamas Hornerio schema.

Leisti būti laipsnio daugianario n. Tada, norėdami nustatyti koeficiento koeficientus, gauname sistemą
.

Hornerio schemą patogu užrašyti lentelės pavidalu

Polinomas P(x) turėdamas skaičių a kaip šaknį, dalijasi iš dvejetainio (ha), tai yra, jis pavaizduotas formoje

P(x) = (x - a) Q(x),

Kur Q(x)- mažesnio laipsnio daugianario vienu (šiuo atveju, jei P(x) turi sveikųjų skaičių koeficientus, tada Q(x)– Tas pats). Laipsnio polinomas n daugiau neturi nšaknys (net atsižvelgiant į daugialypiškumą). Iš to išplaukia, kad jei du daugianariai P(x) Ir Q(x) laipsnis, ne daugiau n, imkite tas pačias reikšmes daugiau nei n taškų, tada jų koeficientai prie atitinkamų laipsnių yra lygūs.

Dažnai naudojamos dviejų kintamųjų polinomų algebrinės tapatybės X Ir adresu.

Problemos su sprendimais

1. veiksnys:

a) x 5 + x + 1;

b) (a - b) 3 + (b - c) 3 + (c - a) 3 ;

c) x 3 + y 3 + z 3 - xyz.

a) x 5 + x + 1 = x 5 – x 2 + x 2 + x + 1 = x 2 (x 3 – 1) + (x 2 + x + 1) =

X 2 (x – 1) (x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 3 – x 2) (x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) =

= (x 2 + x + 1) (x 3 – x 2 + 1);

b) Polinomas išnyksta, kai įvykdoma bent viena iš sąlygų

a = b, b = c, c = a,

todėl jis yra padalintas į kiekvieną iš trijų skirtumų

a – b, b – c, c – a,

tai reiškia, taip pat ir dėl jų darbo.

Kadangi pradinis daugianario laipsnis yra 3, tada sandauga

(a – b) (b – c) (c – a)

(taip pat 3 laipsnio daugianomas) jis skiriasi tik skaitiniu koeficientu k.

Taigi,

(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 = k(a – b)(b – c)(c – a).

Jei a = 1, b = 0, c = –1 gauname

1 + 1 – 8 = k 1 1 (–2),

Iš kur k = 3, tai reiškia

(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 = 3(a – b)(b – c)(c – a).

c) x 3 + y 3 + z 3 – xyz = (x + y) 3 + z 3 – 3xy(x + y + z) =

= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2) – 3xy(x + y + z) =

= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2 – 3xy) =

= (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – zx).

2. Įrodykite, kad dviejų skirtingų natūraliųjų skaičių kvadratų suma, padauginta iš kitų dviejų skirtingų natūraliųjų skaičių kvadratų, gali būti pavaizduota kaip dviejų natūraliųjų skaičių kvadratų suma.

Įrodymas tiesiogiai išplaukia iš šių algebrinių transformacijų:

(a 2 + b 2) (c 2 + d 2) = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 =

= (a 2 c 2 + 2abcd + b 2 d 2) + (a 2 d 2 – 2abcd + b 2 c 2) =

= (ac + bd) 2 + (ad – bc) 2 .

3. Įrodykite, kad bet kuriam x, y, z, t išraiška x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt yra neneigiama. Išsiaiškinkite visus atvejus, kai jis lygus nuliui.

Pavaizduokime šį daugianarį kaip neneigiamų terminų sumą šiais būdais:

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – y 2) 2 + (z 2 – t 2) 2 + 2 (xy – zt) 2 > 0,

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – z 2) 2 + (y 2 – t 2) 2 + 2 (xz – yt) 2 > 0,

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – t 2) 2 + (y 2 – z 2) 2 + 2 (xt – yz) 2 > 0.

Lygybė galioja tik tuo atveju, jei

x 2 – y 2 = z 2 – t 2 = x 2 – z 2 = xy – zt = 0,

tai yra, jei

|x| = |y| = |z| = |t| ir xyzt > 0.

4. Ar daugianomas P(x) = 2x 4 + 8x 3 + 12x 2 + 8x + 1 yra kurio nors kito daugianario kvadratas?

Tarkime, kad yra antrojo laipsnio daugianomas Q(x), kad

P(x) = Q(x) · Q(x).

Tada, kadangi P(–1) = –1, tada Q(–1) Q(–1) = –1

5. Ar yra daugianomas P(x) su realiaisiais koeficientais, kad P(x) > 2015 · P"(x) visiems x?

Taip, ji egzistuoja. Pavyzdžiui,

P(x) = x 2 + 2015 m. 2.

Tada

P"(x) = 2x,

P(x) – 2015 m. P"(x) = x 2 + 2015 m. 2 - 2 x 2015 = (x - 2015) 2 > 0.

6. Raskite daugianario (x 7 + x – 1) nelyginių laipsnių x koeficientų sumą 2014 m.

Polinomai

P(x) = (x 7 + x – 1) 2014 m. ir P(–x) = (–x 7 – x – 1) 2014 m.

Jie skiriasi tik nelyginių x laipsnių koeficientų ženklais. Taigi daugianario

Q(x) = P(x) – P(–x)

bus tik nelyginės x laipsniai, o reikiama suma lygi pusei Q(1) reikšmės. Nes

Q(1) = Р(1) – Р(–1) = 1–3 2014 m.,

tada daugianario (x 7 + x – 1) nelyginių laipsnių x koeficientų suma 2014 yra lygi

7. Įrodykite, kad daugianario

visoms sveikųjų skaičių reikšmėms x įgyja sveikųjų skaičių reikšmes.

Atkreipkite dėmesį, kad pradinis daugianomas gali būti pavaizduotas formoje

P(x) = (1 / 2 5 7 9) (x - 4) (x - 3) (x - 2) (x - 1) x (x + 1) (x + 2) (x + 1) ( x + 4).

Kadangi tarp devynių iš eilės einančių sveikųjų skaičių tikrai bus skaičių, kurie dalijasi iš 2, 5, 7, 9, tai bet kurio sveikojo skaičiaus k sandauga

(k – 4) (k – 3) (k – 2) (k – 1) k(k + 1) (k + 2) (k + 1) (k + 4)

sandauga yra tarpusavyje dalijama pirminiai skaičiai 2,5,7,9. Todėl skaičius P(k) yra sveikasis skaičius, ką ir reikėjo įrodyti.

8. Žinoma, kad ax 3 + bx 2 + cx + d, kur a, b, c, d yra šie sveikieji skaičiai, nes bet kuris sveikasis skaičius x dalijasi iš 5.Įrodykite, kad visi skaičiai a, b, c, d dalijasi iš 5.

Pakeitę x = 0, mes nustatome, kad d yra 5 kartotinis.

Atsižvelgdami į tai ir pakeitę x = ±1, pamatysime, kad a + b + c ir –a + b – c yra 5 kartotiniai. Todėl 2b ir 2a + 2c yra 5 kartotiniai, o tai reiškia b ir a + c yra 5 kartotiniai.

Pakeitę x = 2, gauname tai2(4a + c) + 4b + d = 6a + 2(a + c) + 4b + d yra 5 kartotinis. Tai reiškia, kad a yra 5 kartotinis, todėl c yra 5 kartotinis.

9. Kokios turi būti a ir b reikšmės, kad daugianomas x 4 + x 3 + 2x 2 + ax + b būtų tobulas kvadratas?

Ketvirtojo laipsnio redukuotas daugianario gali būti tik jo redukuoto kvadratas kvadratinis trinaris. Taigi,

x 4 + x 3 + 2x 2 + ax + b = (x 2 + px + q) 2 .

Dešinėje pusėje esantį trinarį padalydami kvadratu ir sulyginę koeficientus esant tokioms pačioms argumento galioms abiejose tapatybės pusėse, gauname

2p = 1, p 2 + 2q = 2, 2pq = a, q 2 = b.

Išsprendę šią lygčių sistemą, randame p = 1/2, q = a = 7/8, b = 49/64.

Atsakymas: a = 7/8, b = 49/64.

10. N laipsnio daugianomas P(x) turi n skirtingų realiųjų šaknų. Kuris didžiausias skaičius jo koeficientai gali būti lygūs nuliui?

Tarp bet kurių dviejų diferencijuojamos funkcijos šaknų yra jos išvestinės šaknis. Tai reiškia, kad daugianomas P"(x), kurio laipsnis yra lygusn – 1, turi n – 1 skirtingų realių šaknų, tai yra, neturi kelių šaknų. Tęsdami matome, kad visos daugianario P(x) išvestinės turi tą pačią savybę. Iš to išplaukia, kad iš bet kurių dviejų iš eilės einančių daugianario P(x) koeficientų bent vienas nėra lygus nuliui. Iš tiesų, jei koeficientai x k ir x k+1 yra lygūs nuliui, tai išvestinė P (k) (x) turi laisvą narį, o koeficientas x lygus nuliui. Bet tai reiškia, kad 0 yra P(k)(x) šaknies kartotinis, o taip nėra.
Padalinkime daugianario koeficientus į poras, palikdami pirminį koeficientą be poros, jei n lyginis. Remiantis tuo, kas buvo įrodyta, nulinių koeficientų skaičius neviršija porų skaičiaus, tai yra n / 2, kai yra lyginis n, ir (n+1) / 2, kai nelyginis n.
Pavyzdžiai. Polinomai

(x 2 – 1) (x 2 – 2 2)... (x 2 – k 2)

laipsnis n = 2k ir

x(x 2 – 1)(x 2 – 2 2)...(x 2 – k 2)

laipsniai n = 2k + 1 rodo, kad šio rezultato pagerinti negalima: pirmojo visų nelyginių laipsnių koeficientai, o antrojo visų lyginių laipsnių koeficientai yra lygūs nuliui.

Problemos be sprendimų

1. veiksnys:

a) x 8 + x 7 + 1;

b) (a - x) y3 - (a - y) x 3 + (x - y) a 3;

c) (x + y + z) 3 - x 3 - y 3 - z 3.

2. Įrodykite, kad nėra daugianario P(x), kurio sveikųjų skaičių koeficientai

P(6) = 5 ir P(14) = 9.

3. Raskite visų daugianario ( x 2 - 3x+ 1) 100 atidarius skliaustus ir atnešus panašius terminus.

4. Polinomai P(x) ir Q(x) tokie, kad P(x 3) + Q(x 3) dalijasi iš x 2 + x + 1. Įrodykite, kad P(x) + Q(x) dalijasi iš x – 1.

5. Raskite daugianario P(x) = (x 2 + x + 1) n nelyginių koeficientų skaičių.

Šis daugianomas turi sveikųjų skaičių koeficientus. Jei sveikasis skaičius yra šio daugianario šaknis, tai jis yra skaičiaus 16 daliklis. Taigi, jei duotasis daugianomas turi sveikųjų skaičių šaknis, tai gali būti tik skaičiai ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Tiesioginiu patikrinimu įsitikiname, kad skaičius 2 yra šio daugianario šaknis, tai yra, x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), kur Q (x) yra daugianario antrasis laipsnis. Vadinasi, daugianomas išskaidomas į veiksnius, kurių vienas yra (x – 2). Norėdami rasti daugianario Q (x) tipą, naudojame vadinamąją Hornerio schemą. Pagrindinis šio metodo privalumas yra įrašymo kompaktiškumas ir galimybė greitas padalijimas daugianario į dvinarį. Tiesą sakant, Hornerio schema yra dar viena grupavimo metodo įrašymo forma, nors, skirtingai nei pastarasis, ji yra visiškai nevaizdi. Atsakymas (faktorizavimas) čia gaunamas savaime, o jo gavimo proceso nematome. Mes nesiimsime į griežtą Hornerio schemos pagrindimą, o tik parodysime, kaip ji veikia.

Skaičius iš virš jo esančio langelio „perkeliamas“ į antrą apatinės eilutės langelį, ty 1. Tada jie tai daro. Lygties šaknis (skaičius 2) padauginama iš paskutinio įrašyto skaičiaus (1), o rezultatas pridedamas prie skaičiaus, kuris yra viršutinėje eilutėje virš kito laisvo langelio, mūsų pavyzdyje turime:

ir kt. yra bendrojo edukacinio pobūdžio ir turi didelę reikšmę studijuoti VISĄ kursą aukštoji matematika. Šiandien pakartosime „mokyklos“ lygtis, bet ne tik „mokyklines“, bet ir tas, kurios yra visur įvairios užduotys vyshmat. Kaip įprasta, istorija bus pasakojama taikomuoju būdu, t.y. Nekreipsiu dėmesio į apibrėžimus ir klasifikacijas, bet tiksliai pasidalinsiu su jumis Asmeninė patirtis sprendimus. Informacija skirta pirmiausia pradedantiesiems, tačiau daug ką ras ir pažengę skaitytojai. įdomių akimirkų. Ir, žinoma, bus nauja medžiaga, einantis toliau vidurinė mokykla.

Taigi lygtis…. Daugelis šį žodį prisimena su šiurpu. Ko vertos „rafinuotos“ lygtys su šaknimis... ...pamirškite jas! Nes tada sutiksite pačius nekenksmingiausius šios rūšies „atstovus“. Arba nuobodu trigonometrines lygtis su daugybe sprendimo būdų. Tiesą pasakius, man pačiai jie nelabai patiko... Nepanikuokite! – tuomet dažniausiai jūsų laukia „kiaulpienės“ su akivaizdžiu sprendimu 1-2 žingsniais. Nors „varnalėša“ tikrai prilimpa, čia reikia būti objektyviems.

Kaip bebūtų keista, aukštojoje matematikoje daug dažniau susiduriama su labai primityviomis lygtimis, tokiomis kaip linijinis lygtys

Ką reiškia išspręsti šią lygtį? Tai reiškia, kad reikia rasti TOKIĄ „x“ (šaknies) reikšmę, kuri paverčia ją tikra lygybe. Išmeskime „trys“ į dešinę, pakeisdami ženklą:

ir iš naujo nustatykite „du“ į dešinioji pusė (arba tas pats - padauginkite abi puses iš) :

Norėdami patikrinti, pakeiskime laimėtą trofėjų į pradinė lygtis :

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad rasta reikšmė iš tikrųjų yra šaknis duota lygtis. Arba, kaip jie taip pat sako, atitinka šią lygtį.

Atkreipkite dėmesį, kad šaknis taip pat gali būti įrašyta formoje dešimtainis:
Ir stenkitės nesilaikyti šio blogo stiliaus! Priežastį pakartojau ne kartą, ypač pačioje pirmoje pamokoje aukštesnė algebra.

Beje, lygtį taip pat galima išspręsti „arabų kalba“:

Ir kas įdomiausia - šis įrašas visiškai legalus! Bet jei nesate mokytojas, geriau to nedaryti, nes už originalumą čia baudžiama =)

O dabar šiek tiek apie

grafinio sprendimo metodas

Lygtis turi formą, o jos šaknis yra "X" koordinatė susikirtimo taškai tiesinės funkcijos grafikas su grafiku tiesinė funkcija (x ašis):

Atrodytų, kad pavyzdys toks elementarus, kad čia nėra ką daugiau analizuoti, tačiau iš jo galima „išspausti“ dar vieną netikėtą niuansą: pateikime tą pačią lygtį formoje ir sukonstruokime funkcijų grafikus:

kur, nepainiokite šių dviejų sąvokų: lygtis yra lygtis ir funkcija– tai funkcija! Funkcijos tik padėti raskite lygties šaknis. Iš kurių gali būti du, trys, keturi ar net be galo daug. Artimiausias pavyzdys šia prasme yra gerai žinomas kvadratinė lygtis, kurio sprendimo algoritmas gavo atskirą pastraipą „karštos“ mokyklinės formulės. Ir tai nėra atsitiktinumas! Jei galite išspręsti kvadratinę lygtį ir žinoti Pitagoro teorema, tada, galima sakyti, „pusė aukštosios matematikos jau kišenėje“ =) Žinoma, perdėta, bet ne taip toli nuo tiesos!

Todėl nepatingėkime ir išspręskime kokią nors kvadratinę lygtį standartinis algoritmas:

, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi skirtingas galiojašaknis:

Nesunku patikrinti, ar abi rastos reikšmės iš tikrųjų atitinka šią lygtį:

Ką daryti, jei staiga pamiršote sprendimo algoritmą, o priemonių/pagalbos rankų nėra po ranka? Tokia situacija gali susidaryti, pavyzdžiui, testo ar egzamino metu. Mes naudojame grafinį metodą! Ir yra du būdai: galite statyti taškas po taško parabolė , taip išsiaiškindami, kur jis kerta ašį (jei iš viso kerta). Bet geriau padaryti ką nors gudresnio: įsivaizduokite lygtį formoje, daugiau nubrėžkite grafikus paprastos funkcijos- Ir „X“ koordinatės aiškiai matomi jų susikirtimo taškai!


Jei paaiškėja, kad tiesi linija liečia parabolę, tada lygtis turi dvi atitinkančias (kelias) šaknis. Jei paaiškėja, kad tiesė nekerta parabolės, tada nėra tikrų šaknų.

Norint tai padaryti, žinoma, reikia mokėti statyti elementariųjų funkcijų grafikai, bet, kita vertus, šiuos įgūdžius gali atlikti net moksleivis.

Ir vėl – lygtis yra lygtis, o funkcijos , yra funkcijos, kurios tik padėjo išspręskite lygtį!

Ir čia, beje, derėtų prisiminti dar vieną dalyką: jei visi lygties koeficientai padauginami iš ne nulio skaičiaus, tai jos šaknys nepasikeis.

Taigi, pavyzdžiui, lygtis turi tas pačias šaknis. Kaip paprastą „įrodymą“, konstantą išimsiu iš skliaustų:
ir aš jį pašalinsiu neskausmingai (Aš padalinsiu abi dalis iš „minus du“):

BET! Jei atsižvelgsime į funkciją , tada jūs negalite atsikratyti konstantos čia! Leidžiama tik išimti daugiklį iš skliaustų: .

Daugelis žmonių neįvertina grafinio sprendimo metodo, laikydami jį kažkuo „negarbingu“, o kai kurie net visiškai pamiršta apie šią galimybę. Ir tai iš esmės neteisinga, nes grafikų sudarymas kartais tiesiog išsaugo situaciją!

Kitas pavyzdys: tarkime, kad neprisimenate paprasčiausios trigonometrinės lygties šaknų: . Bendroji formulė yra mokykliniai vadovėliai, visose žinynuose elementarioji matematika, bet jie jums neprieinami. Tačiau lygties sprendimas yra labai svarbus (dar žinomas kaip „du“). Yra išėjimas! - sudaryti funkcijų grafikus:


po to ramiai užrašome jų susikirtimo taškų „X“ koordinates:

Yra be galo daug šaknų, o algebroje priimamas jų sutrumpintas žymėjimas:
, Kur ( – sveikųjų skaičių rinkinys) .

Ir, „neišeinant“, keli žodžiai apie grafinį nelygybių su vienu kintamuoju sprendimą metodą. Principas tas pats. Taigi, pavyzdžiui, nelygybės sprendimas yra bet koks „x“, nes Sinusoidas yra beveik visiškai po tiesia linija. Nelygybės sprendimas yra intervalų rinkinys, kuriame sinusoidės dalys yra griežtai virš tiesės (x ašis):

arba trumpai:

Tačiau čia yra daugybė nelygybės sprendimų: tuščia, nes nė vienas sinusoidės taškas nėra virš tiesės.

Ar yra kažkas, ko nesupranti? Skubiai išstudijuokite pamokas apie rinkiniai Ir funkcijų grafikai!

Sušilkime:

1 pratimas

Grafiškai išspręskite šias trigonometrines lygtis:

Atsakymai pamokos pabaigoje

Kaip matote, mokytis tikslieji mokslai Visai nebūtina prikimšti formulių ir žinynų! Be to, tai iš esmės ydingas požiūris.

Kaip jau raminau pačioje pamokos pradžioje, sudėtingos trigonometrinės lygtys standartiniame aukštosios matematikos kurse turi būti sprendžiamos itin retai. Visas sudėtingumas, kaip taisyklė, baigiasi tokiomis lygtimis kaip , kurių sprendimas yra dvi šaknų grupės, kilusios iš paprasčiausių lygčių ir . Per daug nesijaudinkite spręsdami pastarąjį – pažiūrėkite knygoje arba susiraskite internete =)

Grafinio sprendimo metodas taip pat gali padėti mažiau nereikšmingais atvejais. Apsvarstykite, pavyzdžiui, šią „ragtag“ lygtį:

Jo sprendimo perspektyvos atrodo... visai nekaip, bet tereikia įsivaizduoti lygtį formoje , statyti funkcijų grafikai ir viskas pasirodys neįtikėtinai paprasta. Straipsnio viduryje yra piešinys apie be galo mažos funkcijos (bus atidaryta kitame skirtuke).

Tas pats grafinis metodas galite sužinoti, kad lygtis jau turi dvi šaknis, ir viena iš jų yra lygi nuliui, o kita, matyt, neracionalus ir priklauso segmentui . Duota šaknis galima apskaičiuoti apytiksliai, pvz. tangentinis metodas. Beje, kai kuriose problemose nutinka taip, kad reikia ne ieškoti šaknų, o išsiaiškinti ar jie apskritai egzistuoja?. Ir čia taip pat gali padėti piešinys – jei grafikai nesikerta, vadinasi, nėra ir šaknų.

Racionalios daugianario šaknys su sveikaisiais koeficientais.
Hornerio schema

O dabar kviečiu nukreipti žvilgsnį į viduramžius ir pajusti nepakartojamą klasikinės algebros atmosferą. Norint geriau suprasti medžiagą, rekomenduoju bent šiek tiek perskaityti kompleksiniai skaičiai.

Jie yra geriausi. Polinomai.

Mūsų susidomėjimo objektas bus dažniausiai pasitaikantys formos su visas koeficientai Natūralusis skaičius paskambino daugianario laipsnis, skaičius – aukščiausio laipsnio koeficientas (arba tiesiog didžiausias koeficientas), o koeficientas yra laisvas narys.

Šį daugianarį trumpai pažymėsiu .

Daugiakalnio šaknys vadinkite lygties šaknis

Man patinka geležinė logika =)

Norėdami gauti pavyzdžių, eikite į pačią straipsnio pradžią:

Nėra jokių problemų ieškant 1-ojo ir 2-ojo laipsnio daugianario šaknų, tačiau augant ši užduotis tampa vis sunkesnė. Nors iš kitos pusės viskas įdomiau! Ir kaip tik tam bus skirta antroji pamokos dalis.

Pirma, pažodžiui pusė teorijos ekrano:

1) Pagal išvadą Pagrindinė algebros teorema, laipsnio daugianario turi tiksliai kompleksasšaknys. Kai kurios šaknys (ar net visos) gali būti ypatingos galioja. Be to, tarp tikrųjų šaknų gali būti identiškų (kelių) šaknų (mažiausiai du, daugiausiai vienetų).

Jei koks nors kompleksinis skaičius yra daugianario šaknis, tada konjugatas jo skaičius taip pat būtinai yra šio daugianario šaknis (konjugatas sudėtingos šaknys atrodyti kaip ).

Paprasčiausias pavyzdys yra kvadratinė lygtis, kuri pirmą kartą pasirodė 8 (Kaip) klasėje, ir kurią pagaliau „užbaigėme“ temoje kompleksiniai skaičiai. Leiskite jums priminti: kvadratinė lygtis turi arba dvi skirtingas tikrąsias šaknis, arba kelias šaknis, arba konjuguotas sudėtingas šaknis.

2) Nuo Bezouto teorema iš to išplaukia, kad jei skaičius yra lygties šaknis, tai atitinkamą daugianarį galima koeficientuoti:
, kur yra laipsnio daugianario .

Ir vėl mūsų senas pavyzdys: kadangi yra lygties šaknis, tada . Po to nesunku gauti gerai žinomą „mokyklos“ plėtrą.

Bezouto teoremos išvada turi didelę praktinę vertę: jei žinome 3 laipsnio lygties šaknį, galime ją pavaizduoti forma ir iš kvadratinė lygtis nesunku atpažinti likusias šaknis. Jei žinome 4-ojo laipsnio lygties šaknį, tai galima kairiąją pusę išplėsti į sandaugą ir pan.

Ir čia yra du klausimai:

Klausimas vienas. Kaip rasti šią šaknį? Visų pirma, apibrėžkime jo prigimtį: daugelyje aukštosios matematikos uždavinių reikia rasti racionalus, ypač visas daugianario šaknys, ir šiuo atžvilgiu toliau daugiausia domėsis jais.... ...jie tokie geri, tokie purūs, kad norisi juos rasti! =)

Pirmas dalykas, kuris ateina į galvą, yra atrankos metodas. Apsvarstykite, pavyzdžiui, lygtį. Laimikis čia yra laisvas terminas - jei jis būtų lygus nuliui, tada viskas būtų gerai - išimame „x“ iš skliaustų ir pačios šaknys „iškrenta“ į paviršių:

Tačiau mūsų laisvasis terminas yra lygus „trims“, todėl mes pradedame pakeisti lygtį skirtingi skaičiai, teigiantis, kad yra „šaknis“. Visų pirma, pavienių vertybių pakeitimas rodo pats savaime. Pakeiskime:

Gauta neteisinga lygybė, taigi vienetas „netinka“. Na, gerai, pakeiskime:

Gauta tiesa lygybė! Tai reiškia, kad vertė yra šios lygties šaknis.

Norint rasti 3 laipsnio daugianario šaknis, yra analitinis metodas (vadinamosios Cardano formulės), bet dabar mus domina kiek kitokia užduotis.

Kadangi - yra mūsų daugianario šaknis, daugianomas gali būti pavaizduotas forma ir atsiranda Antras klausimas: kaip susirasti „jaunesnįjį brolį“?

Paprasčiausi algebriniai svarstymai rodo, kad norėdami tai padaryti, turime padalyti iš . Kaip padalinti daugianarį iš daugianario? Tas pats mokyklos metodas pasidalino įprasti skaičiai- „stulpelyje“! Šis metodas Išsamiai tai aptariau pirmuosiuose pamokos pavyzdžiuose Sudėtingos ribos, o dabar pažvelgsime į kitą metodą, kuris vadinamas Hornerio schema.

Pirmiausia rašome „aukščiausią“ daugianarį su visais , įskaitant nulinius koeficientus:
, po kurio įvesime šiuos koeficientus (griežtai eilės tvarka) į viršutinę lentelės eilutę:

Kairėje rašome šaknį:

Iš karto padarysiu išlygą, kad Hornerio schema taip pat veikia, jei „raudonas“ skaičius Ne yra daugianario šaknis. Tačiau neskubėkime dalykų.

Iš viršaus pašaliname pirmaujantį koeficientą:

Apatinių langelių užpildymo procesas šiek tiek primena siuvinėjimą, kai „minus vienas“ yra tam tikra „adata“, persmelkianti tolesnius veiksmus. „Nuneštą“ skaičių padauginame iš (–1) ir pridedame skaičių iš viršutinio langelio prie produkto:

Rastą reikšmę padauginame iš „raudonos adatos“ ir prie produkto pridedame tokį lygties koeficientą:

Ir galiausiai gauta vertė vėl „apdorojama“ „adata“ ir viršutiniu koeficientu:

Nulis paskutiniame langelyje nurodo, kad daugianomas yra padalintas į be pėdsakų (kaip ir turėtų būti), o plėtimosi koeficientai „pašalinami“ tiesiai iš apatinės lentelės eilutės:

Taigi, mes perėjome nuo lygties prie lygiavertės lygties ir viskas aišku su dviem likusiomis šaknimis (V tokiu atveju gauname konjuguotas sudėtingas šaknis).

Lygtį, beje, galima išspręsti ir grafiškai: plot "žaibas" ir pamatysite, kad grafikas kerta x ašį () taške. Arba tas pats „gudrus“ triukas - perrašome lygtį į formą, nubrėžiame elementari grafika ir aptikti jų susikirtimo taško „X“ koordinatę.

Beje, bet kurios 3 laipsnio funkcijos-polinomo grafikas kerta ašį bent kartą, o tai reiškia, kad atitinkama lygtis turi bent jau vienas galiojašaknis. Šis faktas galioja bet kuriai nelyginio laipsnio daugianario funkcijai.

Ir čia aš taip pat norėčiau pasilikti svarbus punktas kas liečia terminiją: daugianario Ir daugianario funkcija – tai ne tas pats dalykas! Tačiau praktiškai jie dažnai kalba, pavyzdžiui, apie „polinomo grafiką“, kuris, žinoma, yra aplaidumas.

Tačiau grįžkime prie Hornerio schemos. Kaip neseniai minėjau, ši schema tinka kitiems skaičiams, bet jei skaičius Ne yra lygties šaknis, tada mūsų formulėje atsiranda ne nulis priedas (likutis):

„Paleiskite“ „nesėkmingą“ reikšmę pagal Hornerio schemą. Šiuo atveju patogu naudoti tą pačią lentelę - kairėje užrašykite naują „adatą“, perkelkite pirminį koeficientą iš viršaus (kairė žalia rodyklė), ir einame:

Norėdami patikrinti, atidarykite skliaustus ir pateikite panašius terminus:
, GERAI.

Nesunku pastebėti, kad likusioji dalis („šeši“) yra lygi daugianario reikšmė . Ir iš tikrųjų - kaip tai yra:
, o dar gražiau – taip:

Iš aukščiau pateiktų skaičiavimų nesunku suprasti, kad Hornerio schema leidžia ne tik apskaičiuoti daugianarį, bet ir atlikti „civilizuotą“ šaknies pasirinkimą. Siūlau pačiam konsoliduoti skaičiavimo algoritmą atliekant nedidelę užduotį:

2 užduotis

Naudodami Hornerio schemą raskite visa šaknis lygtį ir koeficientą atitinkamą daugianarį

Kitaip tariant, čia reikia nuosekliai tikrinti skaičius 1, –1, 2, –2, ... – tol, kol paskutiniame stulpelyje bus „nupieštas“ nulis. Tai reikš, kad šios eilutės „adata“ yra daugianario šaknis

Skaičiavimus patogu išdėstyti vienoje lentelėje. Detalus sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Šaknų atrankos metodas yra geras santykinai paprasti atvejai, bet jei daugianario koeficientai ir (arba) laipsnis yra dideli, procesas gali užtrukti ilgiau. O gal yra kokių nors verčių iš to paties sąrašo 1, –1, 2, –2 ir nėra prasmės svarstyti? Be to, šaknys gali pasirodyti trupmeninės, o tai sukels visiškai nemokslišką kibimą.

Laimei, yra dvi galingos teoremos, kurios gali žymiai sumažinti „kandidatų“ verčių paiešką racionalios šaknys:

1 teorema Pasvarstykime nesumažinamas trupmena , kur . Jei skaičius yra lygties šaknis, tada laisvasis narys dalijamas iš, o pagrindinis koeficientas – iš.

Ypač, jei pagrindinis koeficientas yra , tada ši racionali šaknis yra sveikasis skaičius:

Ir mes pradedame išnaudoti teoremą tik su šia skania detale:

Grįžkime prie lygties. Kadangi jo pagrindinis koeficientas yra , tada hipotetinės racionalios šaknys gali būti išimtinai sveikosios, o laisvasis terminas būtinai turi būti padalintas į šias šaknis be liekanos. O „trys“ gali būti skirstomi tik į 1, –1, 3 ir –3. Tai yra, mes turime tik 4 „šakinius kandidatus“. Ir, pasak 1 teorema, kitas racionalūs numeriai I PRINCIPAS negali būti šios lygties šaknys.

Lygtyje yra šiek tiek daugiau „pretendentų“: laisvasis terminas skirstomas į 1, –1, 2, – 2, 4 ir –4.

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 1, –1 yra galimų šaknų sąrašo „įprasti“. (akivaizdi teoremos pasekmė) ir dauguma Geriausias pasirinkimas dėl pirmumo patikrinimo.

Pereikime prie prasmingesnių pavyzdžių:

3 problema

Sprendimas: kadangi pirmaujantis koeficientas yra , tai hipotetinės racionalios šaknys gali būti tik sveikosios ir būtinai turi būti laisvojo termino dalikliai. „Minus keturiasdešimt“ yra padalintas į šias skaičių poras:
– iš viso 16 „kandidatų“.

Ir čia iškart atsiranda viliojanti mintis: ar įmanoma išravėti visas negatyvas ar visas teigiamas šaknis? Kai kuriais atvejais tai įmanoma! Suformuluosiu du ženklus:

1) Jei Visi daugianario koeficientai yra neneigiami, tada jis negali turėti teigiamų šaknų. Deja, tai ne mūsų atvejis (dabar, jei mums būtų pateikta lygtis - tada taip, pakeičiant bet kurią daugianario reikšmę, daugianario reikšmė yra griežtai teigiama, o tai reiškia, kad viskas teigiami skaičiai (ir neracionalių) negali būti lygties šaknys.

2) Jei nelyginių laipsnių koeficientai yra neneigiami, o visų lyginių (įskaitant nemokamą narį) yra neigiami, tada daugianario negali turėti neigiamos šaknys. Tai mūsų atvejis! Pažvelgę ​​šiek tiek atidžiau, galite tai pamatyti, kai lygtyje pakeičiate bet kurį neigiamą „X“. kairė pusė bus griežtai neigiamas, o tai reiškia neigiamos šaknys išnykti

Taigi tyrimams liko 8 skaičiai:

Mes juos "įkrauname" nuosekliai pagal Hornerio schemą. Tikiuosi, kad jau išmokote protinius skaičiavimus:

Bandant „du“ mūsų laukė sėkmė. Taigi, yra nagrinėjamos lygties šaknis ir

Belieka ištirti lygtį . Tai lengva padaryti naudojant diskriminantą, bet aš atliksiu orientacinį testą pagal tą pačią schemą. Pirma, atkreipkime dėmesį, kad laisvasis terminas yra lygus 20, o tai reiškia 1 teorema skaičiai 8 ir 40 iškrenta iš galimų šaknų sąrašo, paliekant reikšmes tyrimams (vienas buvo pašalintas pagal Hornerio schemą).

Viršutinėje eilutėje rašome trinario koeficientus naujas stalas Ir Pradedame tikrinti nuo tų pačių „du“. Kodėl? Ir kadangi šaknys gali būti kartotinės, prašome: - ši lygtis turi 10 identiškos šaknys. Bet nesiblaškykime:

Ir čia, žinoma, šiek tiek melavau, žinodama, kad šaknys racionalios. Galų gale, jei jie būtų neracionalūs ar sudėtingi, aš susidurčiau su nesėkmingu visų likusių skaičių patikrinimu. Todėl praktiškai vadovaukitės diskriminantu.

Atsakymas: racionalios šaknys: 2, 4, 5

Mums pasisekė su analizuota problema, nes: a) jie iškart nukrito neigiamos reikšmės, ir b) labai greitai radome šaknį (ir teoriškai galėtume patikrinti visą sąrašą).

Tačiau iš tikrųjų situacija yra daug blogesnė. Kviečiu pasižiūrėti įdomų žaidimą „ Paskutinis herojus»:

4 problema

Raskite racionalias lygties šaknis

Sprendimas: pagal 1 teorema hipotetinių skaitikliai racionalios šaknys turi tenkinti sąlygą (skaitome „dvylika yra padalinta iš el“), o vardikliai atitinka sąlygą . Remdamiesi tuo, gauname du sąrašus:

"sąrašas el":
ir "sąrašas um": (laimei, skaičiai čia yra natūralūs).

Dabar sudarykime visų galimų šaknų sąrašą. Pirmiausia „el sąrašą“ padalijame iš . Visiškai aišku, kad bus gauti tie patys skaičiai. Kad būtų patogiau, sudėkime juos į lentelę:

Daugelis trupmenų buvo sumažintos, todėl vertės jau yra „herojų sąraše“. Pridedame tik „naujokus“:

Panašiai tą patį „sąrašą“ padalijame iš:

ir galiausiai toliau

Taigi mūsų žaidimo dalyvių komanda sukomplektuota:


Deja, polinomas šioje užduotyje neatitinka „teigiamo“ ar „neigiamo“ kriterijaus, todėl negalime atmesti viršutinės ar apatinės eilės. Turėsite dirbti su visais skaičiais.

Kaip tu jautiesi? Nagi, pakelk galvą – yra dar viena teorema, kurią perkeltine prasme galima pavadinti „žudiko teorema“... ...„kandidatai“, žinoma =)

Bet pirmiausia turite slinkti Hornerio diagramoje bent vieną visas skaičių. Tradiciškai paimkime vieną. Viršutinėje eilutėje rašome daugianario koeficientus ir viskas kaip įprasta:

Kadangi keturi aiškiai nėra nulis, reikšmė nėra aptariamo daugianario šaknis. Bet ji mums labai padės.

2 teorema Jei kai kuriems apskritai daugianario reikšmė nėra lygi nuliui: , tada jo racionalios šaknys (jei jie yra) patenkinti sąlygą

Mūsų atveju ir todėl visos galimos šaknys turi tenkinti sąlygą (pavadinkime tai Sąlyga Nr. 1). Šis ketvertas bus daugelio „kandidatų“ „žudikas“. Kaip demonstraciją, pažvelgsiu į keletą patikrinimų:

Patikrinkime „kandidatą“. Norėdami tai padaryti, dirbtinai pavaizduokime ją trupmenos pavidalu, iš kurios aiškiai matyti, kad . Apskaičiuokime testo skirtumą: . Keturi yra padalinti iš „minus du“: , o tai reiškia, kad galima šaknis išlaikė testą.

Patikrinkime vertę. Testo skirtumas yra toks: . Žinoma, todėl sąraše lieka ir antrasis „subjektas“.