svetainė" profesionalus dėstytojas matematikoje“ tęsia ciklą metodinius straipsnius apie mokymą. Skelbiu savo darbo metodų aprašymus sudėtingiausiomis ir problemiškiausiomis mokyklinio ugdymo turinio temomis. Ši medžiaga bus naudinga matematikos mokytojams ir dėstytojams, dirbantiems su 8-11 klasių mokiniais tiek įprastoje, tiek matematikos pamokų programoje.
Matematikos mokytojas ne visada gali paaiškinti vadovėlyje prastai pateiktą medžiagą. Deja, tokių temų vis daugėja, masiškai daromos pristatymo klaidos, vadovaujantis žinynų autoriais. Tai galioja ne tik pradedantiesiems matematikos dėstytojams ir neakivaizdiniams dėstytojams (tutoriai yra studentai ir universiteto dėstytojai), bet ir patyrusiems mokytojams, profesionaliems dėstytojams, patirties ir kvalifikaciją turintiems dėstytojams. Ne visi matematikos mokytojai turi gabumų kompetentingai taisyti mokykliniuose vadovėliuose esančius neapdorotus kraštus. Ne visi taip pat supranta, kad šie pataisymai (ar papildymai) yra būtini. Nedaug vaikų dalyvauja adaptuojant medžiagą, kad vaikai ją suvoktų kokybiškai. Deja, jau praėjo laikas, kai matematikos mokytojai kartu su metodininkais ir publikacijų autoriais masiškai aptarinėjo kiekvieną vadovėlio raidę. Anksčiau, prieš išleidžiant vadovėlį į mokyklas, buvo atliekamos rimtos mokymosi rezultatų analizės ir tyrimai. Atėjo laikas mėgėjams, kurie siekia, kad vadovėliai būtų universalūs, priderindami juos prie stiprių matematikos klasių standartų.
Lenktynės dėl informacijos kiekio didinimo tik lemia jos įsisavinimo kokybės mažėjimą ir dėl to realių matematikos žinių lygio sumažėjimą. Tačiau niekas į tai nekreipia dėmesio. O mūsų vaikai jau 8 klasėje priversti mokytis tai, ką mes studijavome institute: tikimybių teoriją, lygčių sprendimą. aukšti laipsniai ir dar kažkas. Medžiagos pritaikymas knygose visapusiškam vaiko suvokimui palieka daug norimų rezultatų, o matematikos mokytojas yra priverstas kažkaip su tuo susitvarkyti.
Pakalbėkime apie tokios konkrečios temos mokymo metodiką kaip „polinomo padalijimas iš daugianario iš kampo“, suaugusiųjų matematikoje geriau žinomas kaip „Bezout teorema ir Hornerio schema“. Vos prieš porą metų klausimas matematikos mokytojui nebuvo toks aktualus, nes tai nebuvo pagrindinė mokyklos mokymo programa. Dabar gerbiami Teljakovskio redaguoto vadovėlio autoriai padarė pakeitimus naujausiame, mano nuomone, geriausio vadovėlio leidime ir, visiškai jį sugadinę, tik pridėjo bereikalingų rūpesčių dėstytojui. Matematikos statuso neturinčių mokyklų ir klasių mokytojai, sutelkę dėmesį į autorių naujoves, į pamokas pradėjo dažniau įtraukti papildomų pastraipų, o smalsūs vaikai, žiūrėdami į gražius matematikos vadovėlio puslapius, vis dažniau klausia dėstytojas: „Kas yra šis padalijimas kampu? Ar mes tai išgyvensime? Kaip pasidalinti kampeliu? Nuo tokių tiesioginių klausimų jau nepasislėpsi. Auklėtojas turės ką nors pasakyti vaikui.
Kaip? Ko gero, nebūčiau aprašęs darbo su tema metodo, jei jis būtų kompetentingai pateiktas vadovėliuose. Kaip viskas vyksta pas mus? Vadovėlius reikia spausdinti ir parduoti. Ir tam jie turi būti reguliariai atnaujinami. Universiteto dėstytojai skundžiasi, kad vaikai pas juos ateina su tuščios galvos, be žinių ir įgūdžių? Reikalavimai dėl matematines žinias auga? Puiku! Išimkime kai kuriuos pratimus ir vietoj jų įterpkime temas, kurios nagrinėjamos kitose programose. Kodėl mūsų vadovėlis blogesnis? Įtrauksime keletą papildomų skyrių. Moksleiviai nežino skirstymo iš kampo taisyklės? Tai pagrindinė matematika. Ši pastraipa turėtų būti neprivaloma ir pavadinta „tiems, kurie nori sužinoti daugiau“. Ar mokytojai prieš tai? Kodėl mums apskritai rūpi dėstytojai? Prieš tai irgi metodininkai, mokyklų mokytojai? Mes neapsunkinsime medžiagos ir apsvarstysime paprasčiausią jos dalį.
Ir čia viskas prasideda. Temos paprastumas ir įsisavinimo kokybė pirmiausia slypi jos logikos suvokime, o ne pagal vadovėlio autorių nurodymus atliekant tam tikrą operacijų rinkinį, kurie nėra aiškiai tarpusavyje susiję. . Priešingu atveju studento galvoje bus rūkas. Jei autoriai orientuojasi į gana stiprius studentus (bet studijuoja pagal įprastą programą), tuomet neturėtumėte temos pateikti komandų forma. Ką matome vadovėlyje? Vaikai, mes turime skirstytis pagal šią taisyklę. Gaukite polinomą po kampu. Taigi pradinis daugianomas bus koeficientas. Tačiau neaišku, kodėl po kampu esantys terminai parinkti būtent taip, kodėl juos reikia padauginti iš daugianario virš kampo, o tada atimti iš esamos liekanos. Ir, svarbiausia, neaišku, kodėl galiausiai reikia pridėti pasirinktus vienatūrius ir kodėl gautos skliaustuose bus pradinio daugianario išplėtimas. Bet kuris kompetentingas matematikas uždės paryškintą klaustuką virš vadovėlyje pateiktų paaiškinimų.
Korepetitorių ir matematikos mokytojų dėmesį kreipiu į savo problemos sprendimą, kuris praktiškai viską, kas pasakyta vadovėlyje, mokiniui daro akivaizdu. Tiesą sakant, mes įrodysime Bezouto teoremą: jei skaičius a yra daugianario šaknis, tai šis daugianomas gali būti išskaidytas į veiksnius, iš kurių vienas yra x-a, o antrasis gaunamas iš pradinio vienu iš trijų būdų: išskiriant tiesinį veiksnį per transformacijas, dalijant kampu arba Hornerio schema. Su tokia formuluote matematikos mokytojui bus lengviau dirbti.
Kas yra mokymo metodika? Visų pirma, tai yra aiški paaiškinimų ir pavyzdžių seka, kurios pagrindu daromos matematinės išvados. Ši tema ne išimtis. Matematikos mokytojui labai svarbu supažindinti vaiką su Bezouto teorema prieš dalijant kampu. Tai labai svarbu! Geriausias būdas pasiekti supratimo yra konkretus pavyzdys. Paimkime daugianarį su pasirinkta šaknimi ir parodykime jo faktoringo techniką, taikant metodą, pažįstamą moksleiviams nuo 7 klasės. tapatybės transformacijos. Su atitinkamais pridedamais matematikos mokytojo paaiškinimais, akcentais ir patarimais visiškai įmanoma perteikti medžiagą be jokių bendrų matematinių skaičiavimų, savavališkų koeficientų ir galių.
Svarbus patarimas matematikos mokytojui- vykdykite instrukcijas nuo pradžios iki pabaigos ir nekeiskite šios sekos.
Taigi, tarkime, kad turime daugianarį. Jei vietoj jo X pakeisime skaičių 1, tai daugianario reikšmė bus lygi nuliui. Todėl x=1 yra jo šaknis. Pabandykime išskaidyti jį į du terminus, kad vienas iš jų būtų tiesinės išraiškos ir kažkokio monomio sandauga, o antrasis laipsnis būtų vienu mažesnis nei . Tai yra, pavaizduokime jį formoje
Raudonojo lauko mononomą pasirenkame taip, kad padauginus iš pagrindinio nario jis visiškai sutaptų su pirminio daugianario pirmuoju nariu. Jei mokinys nėra pats silpniausias, jis tikrai sugebės matematikos mokytojui pasakyti reikiamą išraišką: . Mokytojo reikia nedelsiant paprašyti įterpti jį į raudoną lauką ir parodyti, kas atsitiks juos atidarius. Šį virtualų laikiną daugianarį geriausia pasirašyti po rodyklėmis (po maža nuotrauka), paryškinant kokia nors spalva, pavyzdžiui, mėlyna. Tai padės pasirinkti terminą raudonam laukui, vadinamam likusia pasirinkimo dalimi. Patarčiau dėstytojams čia atkreipti dėmesį, kad šią likutį galima rasti atimant. Atlikdami šią operaciją gauname:
Matematikos dėstytojas turėtų atkreipti mokinio dėmesį į tai, kad šioje lygybėje pakeitę vieną, garantuojame, kad kairėje jos pusėje gausime nulį (nes 1 yra pradinio daugianario šaknis), o dešinėje, aišku, taip pat panaikins pirmą kadenciją. Tai reiškia, kad be jokio patikrinimo galime pasakyti, kad vienas yra „žaliosios liekanos“ šaknis.
Su juo elgsimės taip pat, kaip ir su pirminiu daugianario, išskirdami nuo jo tą patį tiesinis daugiklis. Matematikos mokytojas prieš mokinį nupiešia du rėmelius ir prašo užpildyti iš kairės į dešinę.
Studentas pasirenka mokytojui raudonojo lauko mononomą, kad, padauginus iš tiesinės išraiškos pirmaujančio nario, būtų gautas besiplečiančio daugianario pagrindinis narys. Sutalpiname jį į rėmą, iš karto atidarome skliaustelį ir mėlyna spalva paryškiname išraišką, kurią reikia atimti iš sulankstomos. Atlikdami šią operaciją gauname
Ir galiausiai tą patį daro su paskutine likusia dalimi
pagaliau sulauksime
Dabar išimkime išraišką iš skliaustų ir pamatysime pradinio daugianario išskaidymą į veiksnius, iš kurių vienas yra „x atėmus pasirinktą šaknį“.
Kad mokinys negalvotų, kad paskutinė „žalioji liekana“ buvo netyčia išskaidyta į reikiamus veiksnius, matematikos mokytojas turėtų atkreipti dėmesį svarbus turtas visų žaliųjų liekanų - kiekviena iš jų turi šaknį 1. Kadangi šių liekanų laipsniai mažėja, nesvarbu, koks pradinio daugianario laipsnis mums būtų suteiktas, anksčiau ar vėliau gausime tiesinę „žaliąją liekaną“ su šaknimi 1, ir todėl jis būtinai išskaidys į sandaugą kokį nors skaičių ir išraišką.
Po šito parengiamieji darbai Matematikos korepetitoriui nebus sunku paaiškinti mokiniui, kas nutinka dalijant iš kampo. Tai tas pats procesas, tik trumpesne ir kompaktiškesne forma, be lygybės ženklų ir neperrašant tų pačių paryškintų terminų. Polinomas, iš kurio išgaunamas tiesinis koeficientas, rašomas kampo kairėje, pasirinkti raudoni mononomai surenkami kampu (dabar paaiškėja, kodėl jie turėtų sumuoti), norint gauti „mėlynuosius daugianorius“, reikia padauginti „raudonuosius“ iš x-1, tada atimkite juos iš šiuo metu pasirinkto, kaip tai daroma kada eilinis padalijimas skaičiai stulpelyje (čia yra analogija su tuo, kas buvo ištirta anksčiau). Gautos „žaliosios liekanos“ turi būti izoliuojamos ir atrenkamos „raudonieji monomai“. Ir taip toliau, kol pasieksite nulį „žaliosios balanso“. Svarbiausia, kad mokinys suprastų tolesnis likimas užrašyti daugianariai aukščiau ir žemiau kampo. Akivaizdu, kad tai yra skliaustai, kurių sandauga yra lygi pradiniam daugianariui.
Kitas matematikos mokytojo darbo etapas yra Bezouto teoremos formulavimas. Tiesą sakant, jo formuluotė taikant tokį mokytojo požiūrį tampa akivaizdi: jei skaičius a yra daugianario šaknis, tada jį galima koeficientuoti, iš kurių vienas yra , o kitas gaunamas iš pradinio vienu iš trijų būdų. :
- tiesioginis skaidymas (analogiškas grupavimo metodui)
- padalijimas kampu (stulpelyje)
- per Hornerio grandinę
Reikia pasakyti, kad ne visi matematikos mokytojai rodo rago diagramą studentams ir ne visi mokyklos mokytojai(pačių dėstytojų laimei) jie taip gilinasi į temą per pamokas. Tačiau studentui matematikos klasė Nematau priežasties sustoti ties ilguoju skirstymu. Be to, patogiausias ir greitai Dekompozicijos technika pagrįsta būtent Hornerio schema. Norint paaiškinti vaikui, iš kur jis kilęs, pakanka atsekti, naudojant padalijimo iš kampo pavyzdį, didesnių koeficientų atsiradimą žaliose liekanose. Pasidaro aišku, kad pirminis pradinio daugianario koeficientas perkeliamas į pirmojo „raudonojo monomio“ koeficientą, o toliau nuo antrojo dabartinio viršutinio daugianario koeficiento. atskaityta„raudonojo monomio“ srovės koeficientą padauginus iš . Todėl galima pridėti rezultatas padauginus iš . Sutelkęs mokinio dėmesį į veiksmų su koeficientais specifiką, matematikos dėstytojas gali parodyti, kaip dažniausiai šie veiksmai atliekami nefiksuojant pačių kintamųjų. Norėdami tai padaryti, šioje lentelėje patogu įvesti pradinio daugianario šaknį ir koeficientus eilės tvarka:
Jei polinome trūksta kurio nors laipsnio, jo nulinis koeficientas įtraukiamas į lentelę. „Raudonųjų daugianarių“ koeficientai įvedami po vieną apatinėje eilutėje pagal „kablio“ taisyklę: 
Šaknis padauginama iš paskutinio raudono koeficiento, pridedama prie kito koeficiento viršutinėje eilutėje, o rezultatas įrašomas į apatinę eilutę. Paskutiniame stulpelyje garantuojame, kad gausime didžiausią paskutinės „žaliosios liekanos“ koeficientą, ty nulį. Kai procesas bus baigtas, skaičiai įspraustą tarp suderintos šaknies ir nulinės liekanos yra antrojo (netiesinio) koeficiento koeficientai.
Kadangi šaknis a pateikia nulį apatinės eilutės pabaigoje, Hornerio schemą galima naudoti norint patikrinti daugianario šaknies pavadinimo skaičius. Jei specialioji teorema apie racionaliosios šaknies parinkimą. Visi jo pagalba gauti kandidatai į šį titulą tiesiog paeiliui įterpiami iš kairės į Hornerio diagramą. Kai tik gausime nulį, išbandytas skaičius bus šaknis, o tuo pačiu jo tiesėje gausime pradinio daugianario faktorizavimo koeficientus. Labai patogu.
Baigdamas norėčiau pažymėti, kad norint tiksliai pristatyti Hornerio schemą, taip pat praktiškai įtvirtinti temą, matematikos dėstytojas turėtų turėti savo žinią. pakankamas kiekis valandų. Mokytojas, dirbantis „kartą per savaitę“ režimu, neturėtų užsiimti dalijimu kampe. Kalbant apie vieningą valstybinį matematikos egzaminą ir Valstybinę matematikos matematikos akademiją, mažai tikėtina, kad pirmoje dalyje kada nors susidursite su trečiojo laipsnio lygtimi, kurią būtų galima išspręsti tokiomis priemonėmis. Jei dėstytojas ruošia vaiką matematikos egzaminui Maskvos valstybiniame universitete, temos studijos tampa privalomos. Universiteto dėstytojai, skirtingai nei vieningo valstybinio egzamino rengėjai, labai mėgsta pasitikrinti pretendento žinių gylį.
Kolpakovas Aleksandras Nikolajevičius, matematikos mokytojas Maskva, Strogino
ir kt. yra bendrojo edukacinio pobūdžio ir turi puiki vertė studijuoti VISĄ kursą aukštoji matematika. Šiandien pakartosime „mokyklos“ lygtis, bet ne tik „mokyklines“, bet ir tas, kurios yra visur įvairios užduotys vyshmat. Kaip įprasta, istorija bus pasakojama taikomuoju būdu, t.y. Nekreipsiu dėmesio į apibrėžimus ir klasifikacijas, bet tiksliai pasidalinsiu su jumis asmeninė patirtis sprendimus. Informacija skirta pirmiausia pradedantiesiems, tačiau daug ką ras ir pažengę skaitytojai. įdomių akimirkų. Ir, žinoma, bus nauja medžiaga, einantis toliau vidurinę mokyklą.
Taigi lygtis…. Daugelis šį žodį prisimena su šiurpu. Ko vertos „rafinuotos“ lygtys su šaknimis... ...pamirškite jas! Nes tada sutiksite pačius nekenksmingiausius šios rūšies „atstovus“. Arba nuobodu trigonometrines lygtis su daugybe sprendimo būdų. Tiesą pasakius, man pačiai jie nelabai patiko... Nepanikuokite! – tuomet dažniausiai jūsų laukia „kiaulpienės“ su akivaizdžiu sprendimu 1-2 žingsniais. Nors „varnalėša“ tikrai prilimpa, čia reikia būti objektyviems.
Kaip bebūtų keista, aukštojoje matematikoje daug dažniau susiduriama su labai primityviomis lygtimis, tokiomis kaip linijinis lygtys
Ką reiškia išspręsti šią lygtį? Tai reiškia, kad reikia rasti TOKIĄ „x“ (šaknies) reikšmę, kuri paverčia ją tikra lygybe. Išmeskime „trys“ į dešinę, pakeisdami ženklą:
ir iš naujo nustatykite „du“ į dešinėje pusėje (arba tas pats - padauginkite abi puses iš)
:
Norėdami patikrinti, pakeiskime laimėtą trofėjų į pradinė lygtis :
Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad rasta reikšmė iš tikrųjų yra šaknis duota lygtis. Arba, kaip jie taip pat sako, atitinka šią lygtį.
Atkreipkite dėmesį, kad šaknis taip pat gali būti įrašyta formoje dešimtainis:
Ir stenkitės nesilaikyti šio blogo stiliaus! Priežastį pakartojau ne kartą, ypač pačioje pirmoje pamokoje aukštesnė algebra.
Beje, lygtį taip pat galima išspręsti „arabų kalba“:
Ir kas įdomiausia - šis įrašas visiškai legalus! Bet jei nesate mokytojas, geriau to nedaryti, nes už originalumą čia baudžiama =)
O dabar šiek tiek apie
grafinio sprendimo metodas
Lygtis turi formą, o jos šaknis yra "X" koordinatė susikirtimo taškai tiesinės funkcijos grafikas su grafiku tiesinė funkcija (x ašis):
Atrodytų, kad pavyzdys toks elementarus, kad čia nėra ką daugiau analizuoti, tačiau iš jo galima „išspausti“ dar vieną netikėtą niuansą: pateikime tą pačią lygtį formoje ir sukonstruokime funkcijų grafikus: 
tuo pat metu nepainiokite šių dviejų sąvokų: lygtis yra lygtis ir funkcija– tai funkcija! Funkcijos tik padėti raskite lygties šaknis. Iš kurių gali būti du, trys, keturi ar net be galo daug. Artimiausias pavyzdys šia prasme yra gerai žinomas kvadratinė lygtis, kurio sprendimo algoritmas gavo atskirą pastraipą „karštos“ mokyklinės formulės. Ir tai nėra atsitiktinumas! Jei galite išspręsti kvadratinę lygtį ir žinoti Pitagoro teorema, tada, galima sakyti, „pusė aukštosios matematikos jau kišenėje“ =) Žinoma, perdėta, bet ne taip toli nuo tiesos!
Todėl nepatingėkime ir išspręskime kokią nors kvadratinę lygtį standartinis algoritmas:
, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi skirtingas galiojašaknis: 
Nesunku patikrinti, ar abi rastos reikšmės iš tikrųjų atitinka šią lygtį: 
Ką daryti, jei staiga pamiršote sprendimo algoritmą, o priemonių/pagalbos rankų nėra po ranka? Tokia situacija gali susidaryti, pavyzdžiui, testo ar egzamino metu. Mes naudojame grafinį metodą! Ir yra du būdai: galite statyti taškas po taško parabolė 
, taip išsiaiškindami, kur jis kerta ašį (jei iš viso kerta). Bet geriau padaryti ką nors gudresnio: įsivaizduokite lygtį formoje, daugiau nubrėžkite grafikus paprastos funkcijos- Ir „X“ koordinatės aiškiai matomi jų susikirtimo taškai! 
Jei paaiškėja, kad tiesi linija liečia parabolę, tada lygtis turi dvi atitinkančias (kelias) šaknis. Jei paaiškėja, kad tiesė nekerta parabolės, tada nėra tikrų šaknų.
Norint tai padaryti, žinoma, reikia mokėti statyti elementariųjų funkcijų grafikai, bet, kita vertus, šiuos įgūdžius gali atlikti net moksleivis.
Ir vėl – lygtis yra lygtis, o funkcijos , yra funkcijos, kurios tik padėjo išspręskite lygtį!
Ir čia, beje, derėtų prisiminti dar vieną dalyką: jei visi lygties koeficientai padauginami iš ne nulio skaičiaus, tai jos šaknys nepasikeis.
Taigi, pavyzdžiui, lygtis 
turi tas pačias šaknis. Kaip paprastą „įrodymą“, konstantą išimsiu iš skliaustų: 
ir aš jį pašalinsiu neskausmingai (Aš padalinsiu abi dalis iš „minus du“):
BET! Jei atsižvelgsime į funkciją 
, tada jūs negalite atsikratyti konstantos čia! Leidžiama tik išimti daugiklį iš skliaustų: 
.
Daugelis žmonių neįvertina grafinio sprendimo metodo, laikydami jį kažkuo „negarbingu“, o kai kurie net visiškai pamiršta apie šią galimybę. Ir tai iš esmės neteisinga, nes grafikų sudarymas kartais tiesiog išsaugo situaciją!
Kitas pavyzdys: tarkime, kad neprisimenate paprasčiausios trigonometrinės lygties šaknų: . Bendra formulė yra mokykliniai vadovėliai, visose žinynuose elementarioji matematika, bet jie jums neprieinami. Tačiau lygties sprendimas yra labai svarbus (dar žinomas kaip „du“). Yra išeitis! - sudaryti funkcijų grafikus: 
po to ramiai užrašome jų susikirtimo taškų „X“ koordinates: 
Yra be galo daug šaknų, o algebroje priimamas jų sutrumpintas žymėjimas:
, Kur ( – sveikųjų skaičių rinkinys)
.
Ir, „neišeinant“, keli žodžiai apie grafinį nelygybių su vienu kintamuoju sprendimą metodą. Principas tas pats. Taigi, pavyzdžiui, nelygybės sprendimas yra bet koks „x“, nes Sinusoidas yra beveik visiškai po tiesia linija. Nelygybės sprendimas yra intervalų rinkinys, kuriame sinusoidės dalys yra griežtai virš tiesės (x ašis):
arba trumpai:
Tačiau čia yra daugybė nelygybės sprendimų: tuščias, nes nė vienas sinusoidės taškas nėra virš tiesės.
Ar yra kažkas, ko nesupranti? Skubiai išstudijuokite pamokas apie rinkiniai Ir funkcijų grafikai!
Sušilkime:
1 užduotis
Grafiškai išspręskite šias trigonometrines lygtis:
Atsakymai pamokos pabaigoje
Kaip matote, mokytis tikslieji mokslai Visai nebūtina prikimšti formulių ir žinynų! Be to, tai iš esmės ydingas požiūris.
Kaip jau raminau pačioje pamokos pradžioje, sudėtingos trigonometrinės lygtys standartiniame aukštosios matematikos kurse turi būti sprendžiamos itin retai. Visas sudėtingumas, kaip taisyklė, baigiasi tokiomis lygtimis kaip , kurių sprendimas yra dvi šaknų grupės, kilusios iš paprasčiausių lygčių ir 
. Per daug nesijaudinkite spręsdami pastarąjį – pažiūrėkite knygoje arba susiraskite internete =)
Grafinio sprendimo metodas taip pat gali padėti mažiau nereikšmingais atvejais. Apsvarstykite, pavyzdžiui, šią „ragtag“ lygtį:
Jo sprendimo perspektyvos atrodo... visai nekaip, bet tereikia įsivaizduoti lygtį formoje, statyti funkcijų grafikai ir viskas pasirodys neįtikėtinai paprasta. Straipsnio viduryje yra piešinys apie be galo mažos funkcijos (bus atidaryta kitame skirtuke).
Tas pats grafinis metodas galite sužinoti, kad lygtis jau turi dvi šaknis ir vieną iš jų lygus nuliui, o kitas, matyt, neracionalus ir priklauso segmentui . Duota šaknis galima apskaičiuoti apytiksliai, pvz. tangentinis metodas. Beje, kai kuriose problemose nutinka taip, kad reikia ne ieškoti šaknų, o išsiaiškinti ar jie apskritai egzistuoja?. Ir čia taip pat gali padėti piešinys – jei grafikai nesikerta, vadinasi, nėra ir šaknų.
Racionalios daugianario šaknys su sveikaisiais koeficientais.
Hornerio schema
O dabar kviečiu nukreipti žvilgsnį į viduramžius ir pajusti nepakartojamą klasikinės algebros atmosferą. Norint geriau suprasti medžiagą, rekomenduoju bent šiek tiek perskaityti kompleksiniai skaičiai.
Jie patys geriausi. Polinomai.
Mūsų susidomėjimo objektas bus dažniausiai pasitaikantys formos su visa koeficientai Natūralusis skaičius paskambino daugianario laipsnis, skaičius – aukščiausio laipsnio koeficientas (arba tiesiog didžiausias koeficientas), o koeficientas yra laisvas narys.
Šį daugianarį trumpai pažymėsiu .
Daugianolio šaknys vadinkite lygties šaknis
Man patinka geležinė logika =)
Norėdami gauti pavyzdžių, eikite į pačią straipsnio pradžią: 
Nėra jokių problemų ieškant 1-ojo ir 2-ojo laipsnio daugianario šaknų, tačiau augant ši užduotis tampa vis sunkesnė. Nors iš kitos pusės viskas įdomiau! Ir būtent tam bus skirta antroji pamokos dalis.
Pirma, pažodžiui pusė teorijos ekrano:
1) Pagal išvadą Pagrindinė algebros teorema, laipsnio daugianario turi tiksliai kompleksasšaknys. Kai kurios šaknys (ar net visos) gali būti ypatingos galioja. Be to, tarp tikrųjų šaknų gali būti identiškų (kelių) šaknų (mažiausiai du, daugiausiai vienetų).
Jei koks nors kompleksinis skaičius yra daugianario šaknis, tada konjugatas jo skaičius taip pat būtinai yra šio daugianario šaknis (konjugatas sudėtingos šaknys atrodo kaip).
Paprasčiausias pavyzdys yra kvadratinė lygtis, kuri pirmą kartą pasirodė 8 (patinka) klasėje, ir kurią pagaliau „užbaigėme“ temoje kompleksiniai skaičiai. Leiskite jums priminti: kvadratinė lygtis turi arba dvi skirtingas tikrąsias šaknis, arba kelias šaknis, arba konjuguotas sudėtingas šaknis.
2) Nuo Bezouto teorema iš to išplaukia, kad jei skaičius yra lygties šaknis, tai atitinkamą daugianarį galima koeficientuoti:
, kur yra laipsnio daugianario .
Ir vėl mūsų senas pavyzdys: kadangi yra lygties šaknis, tada . Po to nesunku gauti gerai žinomą „mokyklos“ plėtrą.
Bezouto teoremos išvada turi didelę praktinę vertę: jei žinome 3 laipsnio lygties šaknį, galime ją pavaizduoti forma 
ir iš kvadratinė lygtis nesunku atpažinti likusias šaknis. Jei žinome 4-ojo laipsnio lygties šaknį, tai galima kairiąją pusę išplėsti į sandaugą ir pan.
Ir čia yra du klausimai:
Klausimas vienas. Kaip rasti šią šaknį? Visų pirma, apibrėžkime jo prigimtį: daugelyje aukštosios matematikos uždavinių reikia rasti racionalus, ypač visa daugianario šaknys, ir šiuo atžvilgiu mes juos daugiausiai dominsime toliau.... ...jie tokie geri, tokie purūs, kad norisi juos rasti! =)
Pirmas dalykas, kuris ateina į galvą, yra atrankos metodas. Apsvarstykite, pavyzdžiui, lygtį. Laimikis čia yra laisvas terminas - jei jis būtų lygus nuliui, tada viskas būtų gerai - išimame „x“ iš skliaustų ir pačios šaknys „iškrenta“ į paviršių: 
Tačiau mūsų laisvasis terminas yra lygus „trims“, todėl mes pradedame pakeisti lygtį skirtingi skaičiai, teigiantis, kad yra „šaknis“. Visų pirma, pavienių vertybių pakeitimas rodo pats savaime. Pakeiskime: 
Gauta neteisinga lygybė, taigi vienetas „netinka“. Na, gerai, pakeiskime: 
Gauta tiesa lygybė! Tai reiškia, kad vertė yra šios lygties šaknis.
Norint rasti 3 laipsnio daugianario šaknis, yra analitinis metodas (vadinamosios Cardano formulės), bet dabar mus domina kiek kitokia užduotis.
Kadangi - yra mūsų daugianario šaknis, daugianomas gali būti pavaizduotas forma ir atsiranda Antras klausimas: kaip susirasti „jaunesnįjį brolį“?
Paprasčiausi algebriniai svarstymai rodo, kad norėdami tai padaryti, turime padalyti iš . Kaip padalinti daugianarį iš daugianario? Tas pats mokyklos metodas pasidalino įprasti skaičiai- „stulpelyje“! Šis metodas Išsamiai tai aptariau pirmuosiuose pamokos pavyzdžiuose Sudėtingos ribos, o dabar pažvelgsime į kitą metodą, kuris vadinamas Hornerio schema.
Pirmiausia rašome „aukščiausią“ daugianarį su visais
, įskaitant nulinius koeficientus:
, po kurio įvesime šiuos koeficientus (griežtai eilės tvarka) į viršutinę lentelės eilutę:
Kairėje rašome šaknį:
Iš karto padarysiu išlygą, kad Hornerio schema taip pat veikia, jei „raudonas“ skaičius Ne yra daugianario šaknis. Tačiau neskubėkime dalykų.
Iš viršaus pašaliname pirmaujantį koeficientą:
Apatinių langelių užpildymo procesas šiek tiek primena siuvinėjimą, kai „minus vienas“ yra tam tikra „adata“, persmelkianti tolesnius veiksmus. „Nuneštą“ skaičių padauginame iš (–1) ir pridedame skaičių iš viršutinio langelio prie produkto:
Rastą reikšmę padauginame iš „raudonos adatos“ ir prie produkto pridedame tokį lygties koeficientą:
Ir galiausiai gauta vertė vėl „apdorojama“ „adata“ ir viršutiniu koeficientu:
Nulis paskutiniame langelyje nurodo, kad daugianomas yra padalintas į be pėdsakų (kaip ir turi būti), o plėtimosi koeficientai „pašalinami“ tiesiai iš apatinės lentelės eilutės:
Taigi, mes perėjome nuo lygties prie lygiavertės lygties ir viskas aišku su dviem likusiomis šaknimis (V šiuo atveju gauname konjuguotas sudėtingas šaknis).
Lygtį, beje, galima išspręsti ir grafiškai: plot "žaibas" 
ir pamatysite, kad grafikas kerta x ašį ()
taške. Arba tas pats „gudrus“ triukas - perrašome lygtį į formą, nubrėžiame elementari grafika ir aptikti jų susikirtimo taško „X“ koordinatę.
Beje, bet kurios trečiojo laipsnio daugianario funkcijos grafikas kerta ašį bent kartą, o tai reiškia, kad atitinkama lygtis turi bent jau vienas galiojašaknis. Šis faktas galioja bet kuriai nelyginio laipsnio daugianario funkcijai.
Ir čia aš taip pat norėčiau pasilikti svarbus punktas kas liečia terminiją: daugianario Ir daugianario funkcija – tai ne tas pats dalykas! Tačiau praktikoje jie dažnai kalba, pavyzdžiui, apie „polinomo grafiką“, kuris, žinoma, yra aplaidumas.
Tačiau grįžkime prie Hornerio schemos. Kaip neseniai minėjau, ši schema tinka kitiems skaičiams, bet jei skaičius Ne yra lygties šaknis, tada mūsų formulėje atsiranda ne nulis priedas (likutis):
„Paleiskite“ „nesėkmingą“ reikšmę pagal Hornerio schemą. Šiuo atveju patogu naudoti tą pačią lentelę - kairėje užrašykite naują „adatą“, perkelkite pirminį koeficientą iš viršaus (žalia rodyklė kairėn), ir einame: 
Norėdami patikrinti, atidarykite skliaustus ir pateikite panašius terminus:
, Gerai.
Nesunku pastebėti, kad likusioji dalis („šeši“) yra lygi daugianario reikšmė . Ir iš tikrųjų - kaip tai yra: 
, o dar gražiau – taip:
Iš aukščiau pateiktų skaičiavimų nesunku suprasti, kad Hornerio schema leidžia ne tik apskaičiuoti daugianarį, bet ir atlikti „civilizuotą“ šaknies pasirinkimą. Siūlau pačiam konsoliduoti skaičiavimo algoritmą atliekant nedidelę užduotį:
2 užduotis
Naudodami Hornerio schemą raskite visa šaknis lygtį ir koeficientą atitinkamą daugianarį
Kitaip tariant, čia reikia nuosekliai tikrinti skaičius 1, –1, 2, –2, ... – tol, kol paskutiniame stulpelyje bus „nupieštas“ nulis. Tai reikš, kad šios eilutės „adata“ yra daugianario šaknis
Skaičiavimus patogu išdėstyti vienoje lentelėje. Detalus sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Šaknų atrankos metodas yra geras santykinai paprasti atvejai, bet jei daugianario koeficientai ir (arba) laipsnis yra dideli, procesas gali užtrukti ilgiau. O gal yra kokių nors verčių iš to paties sąrašo 1, –1, 2, –2 ir nėra prasmės svarstyti? Be to, šaknys gali pasirodyti trupmeninės, o tai sukels visiškai nemokslišką kibimą.
Laimei, yra dvi galingos teoremos, kurios gali žymiai sumažinti racionalių šaknų „kandidatų“ verčių paiešką:
1 teorema Pasvarstykime nesumažinamas trupmena , kur . Jei skaičius yra lygties šaknis, tada laisvasis narys dalijamas iš, o pagrindinis koeficientas – iš.
Ypač, jei pagrindinis koeficientas yra , tada ši racionali šaknis yra sveikasis skaičius:
Ir mes pradedame išnaudoti teoremą tik su šia skania detale:
Grįžkime prie lygties. Kadangi jo pagrindinis koeficientas yra , tada hipotetinės racionalios šaknys gali būti išimtinai sveikosios, o laisvasis terminas būtinai turi būti padalintas į šias šaknis be liekanos. O „trys“ gali būti skirstomi tik į 1, –1, 3 ir –3. Tai yra, mes turime tik 4 „šakinius kandidatus“. Ir, pasak 1 teorema, kita racionalūs skaičiai I PRINCIPAS negali būti šios lygties šaknys.
Lygtyje yra šiek tiek daugiau „pretendentų“: laisvasis terminas skirstomas į 1, –1, 2, – 2, 4 ir –4.
Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 1, –1 yra galimų šaknų sąrašo „įprasti“. (akivaizdi teoremos pasekmė) ir dauguma geriausias pasirinkimas dėl pirmumo patikrinimo.
Pereikime prie prasmingesnių pavyzdžių:
3 problema
Sprendimas: kadangi pirmaujantis koeficientas yra , tada hipotetinės racionalios šaknys gali būti tik sveikieji skaičiai ir turi būti dalikliai laisvas narys. „Minus keturiasdešimt“ yra padalintas į šias skaičių poras:
– iš viso 16 „kandidatų“.
Ir čia iš karto atsiranda viliojanti mintis: ar įmanoma išrauti visą negatyvą, ar viską teigiamų šaknų? Kai kuriais atvejais tai įmanoma! Suformuluosiu du ženklus:
1) Jei Visi Jei daugianario koeficientai yra neneigiami, tada jis negali turėti teigiamų šaknų. Deja, tai ne mūsų atvejis (dabar, jei mums būtų pateikta lygtis - tada taip, pakeičiant bet kurią daugianario reikšmę, daugianario reikšmė yra griežtai teigiama, o tai reiškia, kad viskas teigiami skaičiai (ir neracionalių) negali būti lygties šaknys.
2) Jei koeficientai ties nelyginiai laipsniai yra neneigiami ir visoms lygioms galioms (įskaitant nemokamą narį) yra neigiami, tada daugianomas negali turėti neigiamos šaknys. Tai mūsų atvejis! Pažvelgę šiek tiek atidžiau, galite tai pamatyti, kai lygtyje pakeisite bet kurį neigiamą „x“. kairėje pusėje bus griežtai neigiamas, o tai reiškia neigiamos šaknys išnykti
Taigi tyrimams liko 8 skaičiai:
Mes juos "įkrauname" nuosekliai pagal Hornerio schemą. Tikiuosi, kad jau įvaldėte protinius skaičiavimus: 
Bandant „du“ mūsų laukė sėkmė. Taigi, yra nagrinėjamos lygties šaknis ir
Belieka ištirti lygtį 
. Tai lengva padaryti naudojant diskriminantą, bet aš atliksiu orientacinį testą pagal tą pačią schemą. Pirma, atkreipkime dėmesį, kad laisvasis terminas yra lygus 20, o tai reiškia 1 teorema skaičiai 8 ir 40 iškrenta iš galimų šaknų sąrašo, paliekant reikšmes tyrimams (vienas buvo pašalintas pagal Hornerio schemą).
Naujos lentelės viršutinėje eilutėje rašome trinario koeficientus ir Pradedame tikrinti nuo tų pačių „du“. Kodėl? Ir kadangi šaknys gali būti kartotinės, prašome: - ši lygtis turi 10 identiškos šaknys. Bet nesiblaškykime: 
Ir čia, žinoma, šiek tiek melavau, žinodama, kad šaknys racionalios. Galų gale, jei jie būtų neracionalūs ar sudėtingi, aš susidurčiau su nesėkmingu visų likusių skaičių patikrinimu. Todėl praktiškai vadovaukitės diskriminantu.
Atsakymas: racionalios šaknys: 2, 4, 5
Mums pasisekė su analizuota problema, nes: a) jie iškart nukrito neigiamos reikšmės, ir b) labai greitai radome šaknį (ir teoriškai galėtume patikrinti visą sąrašą).
Tačiau iš tikrųjų situacija yra daug blogesnė. Kviečiu pasižiūrėti įdomų žaidimą „ Paskutinis herojus»:
4 problema
Raskite racionalias lygties šaknis
Sprendimas: pagal 1 teorema hipotetinių skaitikliai racionalios šaknys turi tenkinti sąlygą (skaitome „dvylika yra padalinta iš el“), o vardikliai – prie sąlygos . Remdamiesi tuo, gauname du sąrašus:
"sąrašas el":
ir "sąrašas um": (laimei, skaičiai čia yra natūralūs).
Dabar sudarykime visų galimų šaknų sąrašą. Pirmiausia „el sąrašą“ padalijame iš . Visiškai aišku, kad bus gauti tie patys skaičiai. Kad būtų patogiau, sudėkime juos į lentelę:
Daugelis trupmenų buvo sumažintos, todėl vertės jau yra „herojų sąraše“. Pridedame tik „naujokus“: 
Panašiai tą patį „sąrašą“ padalijame iš: 
ir galiausiai toliau
Taigi mūsų žaidimo dalyvių komanda sukomplektuota: 
Deja, polinomas šioje užduotyje neatitinka „teigiamo“ ar „neigiamo“ kriterijaus, todėl negalime atmesti viršutinės ar apatinės eilės. Turėsite dirbti su visais skaičiais.
kaip tu jautiesi? Nagi, pakelk galvą – yra dar viena teorema, kurią perkeltine prasme galima pavadinti „žudiko teorema“... ...„kandidatai“, žinoma =)
Bet pirmiausia turite slinkti Hornerio diagramoje bent vieną visuma numeriai. Tradiciškai paimkime vieną. Viršutinėje eilutėje rašome daugianario koeficientus ir viskas kaip įprasta:
Kadangi keturi aiškiai nėra nulis, reikšmė nėra aptariamo daugianario šaknis. Bet ji mums labai padės.
2 teorema Jei kai kuriems apskritai daugianario reikšmė nėra lygi nuliui: , tada jo racionalios šaknys (jei jie yra) patenkinti sąlygą
Mūsų atveju ir todėl visos galimos šaknys turi tenkinti sąlygą (pavadinkime tai Sąlyga Nr. 1). Šis ketvertas bus daugelio „kandidatų“ „žudikas“. Kaip demonstraciją, pažvelgsiu į keletą patikrinimų:
Patikrinkime „kandidatą“. Norėdami tai padaryti, dirbtinai pavaizduokime ją trupmenos pavidalu, iš kurios aiškiai matyti, kad . Apskaičiuokime testo skirtumą: . Keturi yra padalinti iš „minus du“: , o tai reiškia, kad galima šaknis išlaikė testą.
Patikrinkime vertę. Testo skirtumas yra toks: 
. Žinoma, todėl sąraše lieka ir antrasis „subjektas“.
Hornerio schema – daugianario dalybos metodas
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1) )+a_(2)x^(n-2)+\ltaškai+a_(n-1)x+a_n$$
ant dvejetainio $x-a$. Turėsite dirbti su lentele, kurios pirmoje eilutėje yra nurodyto daugianario koeficientai. Pirmasis antrosios eilutės elementas bus skaičius $a$, paimtas iš dvejetainio $x-a$:
Padalijus n laipsnio daugianarį iš dvejetainio $x-a$, gauname daugianarį, kurio laipsnis vienu mažesnis už pradinį, t.y. lygus $n-1$. Tiesioginį Hornerio schemos taikymą lengviausia parodyti pavyzdžiais.
1 pavyzdys
Padalinkite $5x^4+5x^3+x^2-11$ iš $x-1$ naudodami Hornerio schemą.
Padarykime dviejų eilučių lentelę: pirmoje eilutėje užrašome daugianario $5x^4+5x^3+x^2-11$ koeficientus, išdėstytus kintamojo $x$ laipsnių mažėjimo tvarka. Atkreipkite dėmesį, kad šiame daugianario nėra $x$ iki pirmojo laipsnio, t.y. $x$ koeficientas iki pirmosios laipsnio yra 0. Kadangi dalijame iš $x-1$, antroje eilutėje rašome vieną:
Antroje eilutėje pradėkime pildyti tuščius langelius. Antroje antrosios eilutės langelyje įrašome skaičių $5$, tiesiog perkeldami jį iš atitinkamo pirmosios eilutės langelio:
Kitą langelį užpildykime tokiu principu: $1\cdot 5+5=10$:
Taip pat užpildykime ketvirtą antros eilutės langelį: $1\cdot 10+1=11$:
Už penktą langelį gauname: $1\cdot 11+0=11$:
Ir galiausiai, paskutiniame, šeštajame langelyje, turime: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Problema išspręsta, belieka užsirašyti atsakymą:
Kaip matote, antroje eilutėje esantys skaičiai (tarp vieno ir nulio) yra daugianario koeficientai, gauti padalijus $5x^4+5x^3+x^2-11$ iš $x-1$. Natūralu, kad pradinio daugianario $5x^4+5x^3+x^2-11$ laipsnis buvo lygus keturiems, tai gauto daugianario $5x^3+10x^2+11x+11$ laipsnis yra vienu mažiau, t.y. lygus trims. Paskutinis skaičius antroje eilutėje (nulis) reiškia likutį dalijant daugianarį $5x^4+5x^3+x^2-11$ iš $x-1$. Mūsų atveju liekana lygi nuliui, t.y. daugianariai dalijasi tolygiai. Šį rezultatą taip pat galima apibūdinti taip: daugianario $5x^4+5x^3+x^2-11$ reikšmė $x=1$ yra lygi nuliui.
Išvadą galima suformuluoti ir tokia forma: kadangi daugianario $5x^4+5x^3+x^2-11$ reikšmė ties $x=1$ yra lygi nuliui, tai vienybė yra daugianario šaknis. 5x^4+5x^3+ x^2-11$.
2 pavyzdys
Padalinkite daugianarį $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ iš $x+3$, naudodami Hornerio schemą.
Iš karto nustatykime, kad išraiška $x+3$ turi būti pavaizduota forma $x-(-3)$. Hornerio schema apims lygiai -3 USD. Kadangi pradinio daugianario $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ laipsnis yra lygus keturiems, tai dalybos rezultate gauname trečiojo laipsnio daugianarį:
Rezultatas reiškia
$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$
Esant tokiai situacijai, likusi dalis padalijus $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ iš $x+3$ yra $4$. Arba, kas yra tas pats, daugianario $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ vertė $x=-3$ yra lygi $4$. Beje, tai nesunku dar kartą patikrinti, tiesiogiai pakeičiant $x=-3$ į nurodytą daugianarį:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \ctaškas (-3)^3-5 \ctaškas (-3)-47=4.$$
Tie. Hornerio schema gali būti naudojama, jei reikia rasti daugianario reikšmę ties nustatyta vertė kintamasis. Jei mūsų tikslas yra rasti visas daugianario šaknis, tai Hornerio schemą galima taikyti kelis kartus iš eilės, kol išnaudosime visas šaknis, kaip aptarta pavyzdyje Nr. 3.
3 pavyzdys
Raskite visas daugianario $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ sveikąsias šaknis naudodami Hornerio schemą.
Aptariamo daugianario koeficientai yra sveikieji skaičiai, o koeficientas yra prieš didžiausią kintamojo laipsnį (ty prieš $x^6$) lygus vienam. Šiuo atveju tarp laisvojo nario daliklių reikia ieškoti sveikųjų daugianario šaknų, t.y. tarp skaičiaus 45 daliklių. Tam tikram daugianario tokiomis šaknimis gali būti skaičiai $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 USD ir -45 USD; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1 USD. Patikrinkime, pavyzdžiui, skaičių $1$:
Kaip matote, daugianario $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ vertė su $x=1$ yra lygi $192$ ( paskutinis numeris antroje eilutėje), o ne $0$, todėl vienybė nėra šio daugianario šaknis. Kadangi vieno patikrinimas nepavyko, patikrinkime reikšmę $x=-1$. Naujas stalasŠiuo tikslu mes nekompiliuosime, bet ir toliau naudosime lentelę. Nr. 1, pridedant prie jo naują (trečią) eilutę. Antroji eilutė, kurioje buvo pažymėta 1 USD vertė, bus paryškinta raudonai ir nebus naudojama tolesnėse diskusijose.
Žinoma, lentelę galite tiesiog perrašyti dar kartą, tačiau jos pildymas rankiniu būdu užtruks daug laiko. Be to, gali būti keli skaičiai, kurių patikrinimas nepavyks, ir kiekvieną kartą sunku parašyti naują lentelę. Skaičiuojant „ant popieriaus“, raudonas linijas galima tiesiog perbraukti.
Taigi, daugianario $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ reikšmė ties $x=-1$ lygi nuliui, t.y. skaičius $-1$ yra šio daugianario šaknis. Padalijus daugianarį $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ iš dvinario $x-(-1)=x+1$, gauname daugianarį $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, kurių koeficientai paimti iš trečios lentelės eilės. Nr. 2 (žr. pavyzdį Nr. 1). Skaičiavimų rezultatas taip pat gali būti pateiktas tokia forma:
\begin(lygtis)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\pabaiga (lygtis)
Tęskime sveikųjų skaičių šaknų paiešką. Dabar reikia ieškoti daugianario $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ šaknų. Vėlgi, sveikųjų šio daugianario šaknų ieškoma tarp jo laisvojo termino daliklių, skaičių $45$. Pabandykime dar kartą patikrinti skaičių $-1$. Mes nekursime naujos lentelės, bet toliau naudosime ankstesnę lentelę. Nr.2, t.y. Pridėkime prie jo dar vieną eilutę:
Taigi skaičius $-1$ yra daugianario $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ šaknis. Rezultatą galima parašyti taip:
\begin(lygtis)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(lygtis)
Atsižvelgiant į lygybę (2), lygybė (1) gali būti perrašyta tokia forma:
\begin (lygtis)\begin (lygiuotas) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4–22x^2+24x+45)\pabaiga (sulygiuota)\pabaiga (lygtis)
Dabar reikia ieškoti daugianario $x^4-22x^2+24x+45$ šaknų, žinoma, tarp jo laisvojo nario daliklių (skaičiai $45$). Dar kartą patikrinkime skaičių $-1$:
Skaičius $-1$ yra daugianario $x^4-22x^2+24x+45$ šaknis. Rezultatą galima parašyti taip:
\begin(lygtis)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(lygtis)
Atsižvelgdami į lygybę (4), lygybę (3) perrašome tokia forma:
\begin (lygtis)\begin (lygiuotas) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2–21x+45)\pabaiga (sulygiuota)\pabaiga (lygtis)
Dabar ieškome daugianario $x^3-x^2-21x+45$ šaknų. Dar kartą patikrinkime skaičių $-1$:
Patikrinimas baigėsi nesėkmingai. Pažymėkime šeštąją eilutę raudonai ir pabandykime patikrinti kitą skaičių, pavyzdžiui, skaičių $3$:
Likutis lygus nuliui, todėl skaičius $3$ yra aptariamo daugianario šaknis. Taigi $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Dabar lygybę (5) galima perrašyti taip.
