Atgal Pirmyn

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Pamokos tikslai:

• supažindinti su stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir liestinės sąvokomis;
• parodyti, kaip sinusas, kosinusas ir tangentas naudojami sprendžiant uždavinius;
• gebėjimų stebėti, lyginti, analizuoti ir daryti išvadas ugdymas.

Pamokos eiga

Žinių atnaujinimas (pagrindinės pamokos problemos nustatymas)

Atliekama frontalios apklausos forma.

Mokytojas. Lentoje matote 6 problemų santrauką< Рисунок 1>. Prisiminkite, kurias iš šių problemų jau žinote, kaip išspręsti? Išspręskite šias problemas. Suformuluokite atitinkamas teoremas.

1 pav

Mokiniai:

1 užduotis. Atsakymas: 5. Stačiame trikampyje 30° kampui priešinga kojelė yra lygi pusei hipotenuzės.

2 užduotis. Atsakymas: 41°. Trikampio vidinių kampų suma yra 180°.

3 užduotis. Atsakymas: 10. Stačiojo trikampio hipotenuzės kvadratas lygi sumai kojų kvadratai.

4-6 uždaviniai negalime apsispręsti.

Mokytojas. Kodėl negalite išspręsti 4-6 uždavinių? Koks klausimas kyla?

Studentai. Mes nežinome, kas yra tgB, sinA, cosB.

Mokytojas. sinA, cosB, tanB skaitomi: „kampo A sinusas“, „kampo B kosinusas“ ir „kampo B liestinė“. Šiandien mes sužinosime, ką reiškia kiekviena iš šių posakių, ir išmoksime išspręsti tokias problemas kaip 4-6.

Naujos medžiagos įvedimas

Vykdomas euristinio pokalbio forma.

Mokytojas. Nubrėžkite stačiuosius trikampius su 3 ir 4, 6 ir 8 kojomis. Pažymėkite juos ABC ir A 1 B 1 C 1, kad B ir B 1 būtų kampai, priešingi 4 ir 8 kojoms, o stačiakampiai būtų C, C 1. Ar kampai B ir B1 lygūs? Kodėl?

Studentai. Lygi, nes trikampiai yra panašūs. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 (3: 4 = 6: 8) ir kampai tarp jų yra tiesūs.<Рисунок 2>

Mokytojas. Kokių dar santykių lygybės išplaukia iš trikampių ABC ir A 1 B 1 C 1 panašumo?

Studentai. BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1, AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1.

Mokytojas. AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1 = sinB = sinB 1.

BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1 = cosB = cosB 1. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 = tgB = tgB 1. Koja AC yra priešinga kampui B, o koja BC yra greta šio kampo. Pateikite sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimus.

Studentai. Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis.

Mokytojas. Pats užsirašykite kampo A sinusą, kosinusą ir tangentą (1 skaidrė). Gautos formulės (1), (2), (3):

(1)

Taigi, mes sužinojome, kas yra stačiojo trikampio smailaus kampo sinusas, kosinusas ir liestinė. Apskritai sinuso, kosinuso ir tangento sąvokos turi ilga istorija. Tyrinėdami santykį tarp trikampio kraštinių ir kampų, senovės mokslininkai rado būdų, kaip apskaičiuoti įvairių elementų trikampis. Šios žinios daugiausia buvo panaudotos sprendžiant praktinės astronomijos problemas, nustatant neprieinamus atstumus.

Konsolidavimas

Mokytojas. Išspręskime uždavinį Nr.591 (a, b).

Užduotis rodoma ekrane (2 skaidrė). Užduotis „a“ išspręsta lentoje su pilnas paaiškinimas; „b“ – savarankiškai, po to vienas kitą tikrinant.

Raskite trikampio ABC su stačiu kampu C kampų A ir B sinusą, kosinusą ir liestinę, jei: a) BC = 8, AB = 17; b) BC = 21, AC = 20.

Sprendimas. a) = . = , naudodamiesi Pitagoro teorema randame AC = 15,

Mokytojas. Dabar grįžkime prie 4–6 uždavinių<Рисунок 1>. Aptarkime, kas žinoma 4–6 uždaviniuose ir ką reikia rasti?

4 užduotis. Kas žinoma? Ką reikia rasti?

Studentai. BC = 7 ir tan B = 3,5 yra žinomi. Turime rasti AC.

Mokytojas. Kas yra tg B?

Studentai. .

Mokytojas. Dirbame pagal formulę. Formulė susideda iš trijų komponentų. Pavadinkite juos. Kokie komponentai žinomi? Kuris komponentas nežinomas? Ar galite jį rasti? Surask.

Studentai. AC = BC * tg B = 7 * 3,5 = 24,5

Mokytojas. Naudodami šį pavyzdį išspręskite 5 ir 6 uždavinius<Рисунок 1>. 1 studentas dirba uždaroje lentoje

Mokytojas.

1. Sakykite, ar pavyko rasti reikiamus nežinomuosius?

2. Kokia buvo jūsų veiksmų tvarka?

3. Gal yra kitų sprendimų?

Studentai.1. Taip. Lengvai. Sekant pavyzdžiu. 5 uždavinys. Atsakymas: 10. 6 uždavinys. Atsakymas: 2.5

2. Pirmiausia pagal apibrėžimą atitinkamų kampų sinusus ir kosinusus pakeičiame atitinkamais santykiais, tada žinomus duomenis sudedame į gautas proporcijas, po kurių randame nežinomus nežinomus.

Mokytojas. Kuris bendra išvada ar tai galima padaryti išsprendus 4–6 uždavinius? Kokias naujas problemas išmokome išspręsti stačiakampiame trikampyje? Pagalvokite ir suformuluokite savo išvadą.

Studentai. Jei stačiakampiame trikampyje žinote vieną kraštinę ir tos kraštinės santykį su viena iš kitų kraštinių arba vieną kraštinę ir vienos iš kitų kraštinių santykį su žinoma kraštine (sinuso, kosinuso arba liestinės), tada gali rasti šią antrąją pusę.

Problemų sprendimas.

Dabar pabandykite išspręsti šias 7–9 problemas<Рисунок 3>.

3 pav

Studentai. Mes nežinome, kaip juos išspręsti.

Mokytojas. Grįžkime prie 1 problemos<Рисунок 1>. Pakeiskime problemos sąlygą. Tegul NK = 5, NM = 10. Raskite kampą M.

Studentai. Kampas M lygus 30°, nes kojelė, priešinga kampui M, yra lygi pusei hipotenuzės.

Mokytojas. Tai yra, paaiškėja, kad jei kampo sinusas yra 0,5, tada kampas yra 30 °. Dabar išspręskime uždavinius Nr. 592 (a, c, d)

Nr.592. Sukurkite kampą a, jei: a) c) d) .

Sprendimas.

a) Šonuose stačiu kampu Atidėkite 1 ir 2 ilgio segmentus ir sujunkite segmentų galus. Gautame trikampyje kampas priešais 1 koją yra norimas kampas a;

c) 0,2 = . Vienoje stačiojo kampo pusėje nuo jo viršūnės atidedame 1 ilgio atkarpą. Sukonstruojame 5 spindulio apskritimą, kurio centras yra atidedamos atkarpos gale. Apskritimo susikirtimo taškas su antrąja stačiojo kampo puse yra sujungtas su atkarpos, išdėstytos pirmoje kampo pusėje, galu. Gautame trikampyje kampas, esantis greta 1 ilgio kojos, yra kampas a; (4 skaidrė)

e) Vienoje stačiojo kampo pusėje nuo jo viršūnės atidedame 1 ilgio atkarpą. Sukonstruojame 2 spindulio apskritimą, kurio centras yra atidedamos atkarpos gale. Apskritimo susikirtimo taškas su antrąja stačiojo kampo puse yra sujungtas su atkarpos, išdėstytos pirmoje kampo pusėje, galu. Gautame trikampyje kampas, priešingas 1 ilgio kojai, yra norimas kampas a.(5 skaidrė)

Jūs sukūrėte kampus, o tai reiškia, kad radote kampus. Juos galima išmatuoti ir pateikti lentelės pavidalu.

Panašiai galite išspręsti 7–9 uždavinius<Рисунок 3>

Apibendrinant

Mokytojas. Atsakykite į klausimus:

1. Kas yra stačiojo trikampio stačiojo kampo sinusas, kosinusas ir liestinė?

2. Stačiakampiame trikampyje yra 6 elementai. Kokias naujas problemas išmokote spręsti šiandien? Kokia jūsų veiksmų tvarka? Pasitikrink savo gebėjimą teisingai atlikti šiuos veiksmus (išdalinamos atskiros kortelės).

Apytikslis kortelių turinys: 1. B trikampis ABC kampas C yra tiesi linija, BC = 2, Raskite AB. 2. Trikampyje ABC kampas C yra tiesi linija, AC = 8, . Raskite AB. 3. Trikampyje ABC kampas C lygus 90°, AC = 6, . Surask saulę.

Mokiniai lygina savo darbus su paruoštais sprendimais atitinkamose kortelėse.

Namų darbų užduotys: 15 klausimas 159 puslapyje; Nr. 591(c,d),592(b,d,f) (6 skaidrė)

Naudota literatūra

1. Geometrija. 7–9 klasės: vadovėlis. Už švietimo organizacijos/ [ L.S. Atanasjanas, V.F. Butuzovas, S.B. Kadomtsevas ir kiti]. – 2 leidimas. – M.: Švietimas, 2014 m.

Sinuso (), kosinuso (), liestinės (), kotangento () sąvokos yra neatsiejamai susijusios su kampo sąvoka. Norėdami tai gerai suprasti, iš pirmo žvilgsnio, sudėtingos sąvokos(kurie sukelia siaubą daugeliui moksleivių), ir norėdami įsitikinti, kad „velnias nėra toks baisus, kaip jis nupieštas“, pradėkime nuo pat pradžių ir supraskime kampo sąvoką.

Kampo samprata: radianas, laipsnis

Pažiūrėkime į paveikslėlį. Vektorius tam tikru dydžiu „pasuko“ taško atžvilgiu. Taigi šio sukimosi matas pradinės padėties atžvilgiu bus kampe.

Ką dar reikia žinoti apie kampo sąvoką? Na, žinoma, kampo vienetai!

Kampas tiek geometrijoje, tiek trigonometrijoje gali būti matuojamas laipsniais ir radianais.

Vadinamas (vieno laipsnio) kampas centrinis kampas apskritime, remiantis apskritimo lanku, lygiu apskritimo daliai. Taigi visas apskritimas susideda iš apskritimo lankų „gabalų“ arba apskritimo aprašytas kampas yra lygus.

Tai yra, aukščiau pateiktame paveikslėlyje parodytas kampas, lygus, tai yra, šis kampas remiasi apskritimo lanku, kurio dydis yra apskritimas.

Kampas radianais yra centrinis apskritimo kampas, sudarytas iš apskritimo lanko, kurio ilgis lygus apskritimo spinduliui. Na, ar sugalvojai? Jei ne, tada išsiaiškinkime tai iš piešinio.

Taigi, paveikslėlyje parodytas kampas lygus radianui ty šis kampas remiasi į apskritimo lanką, kurio ilgis lygus apskritimo spinduliui (ilgis lygus ilgiui arba spinduliui lygus ilgiui lankai). Taigi, lanko ilgis apskaičiuojamas pagal formulę:

Kur yra centrinis kampas radianais.

Na, žinodami tai, ar galite atsakyti, kiek radianų yra apskritimo aprašytame kampe? Taip, tam reikia atsiminti apskritimo formulę. Štai jis:

Na, dabar suderinkime šias dvi formules ir išsiaiškinkime, kad apskritimu aprašytas kampas yra lygus. Tai yra, koreliuodami vertę laipsniais ir radianais, tai gauname. Atitinkamai,. Kaip matote, skirtingai nei "laipsniai", žodis "radianas" yra praleistas, nes matavimo vienetas paprastai yra aiškus iš konteksto.

Kiek ten radianų? Teisingai!

Supratai? Tada eikite į priekį ir pataisykite:

Turite sunkumų? Tada žiūrėk atsakymai:

Statusis trikampis: sinusas, kosinusas, liestinė, kampo kotangentas

Taigi, mes išsiaiškinome kampo sąvoką. Bet kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, mums padės stačiakampis trikampis.

Kaip vadinamos stačiojo trikampio kraštinės? Teisingai, hipotenuzė ir kojos: hipotenuzė yra pusė, esanti priešais stačią kampą (mūsų pavyzdyje tai yra pusė); kojos yra dvi likusios pusės ir (tos, esančios greta stačiojo kampo), o jei svarstysime kojas kampo atžvilgiu, tada koja yra gretima koja, o koja yra priešinga. Taigi, dabar atsakykime į klausimą: kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas?

Kampo sinusas- tai yra priešingos (tolimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje.

Kampo kosinusas- tai yra gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje.

Kampo liestinė- tai priešingos (tolimos) pusės ir gretimos (artimos) santykis.

Mūsų trikampyje.

Kampo kotangentas- tai gretimos (artimos) kojos ir priešingos (toli) santykis.

Mūsų trikampyje.

Šie apibrėžimai yra būtini prisiminti! Kad būtų lengviau atsiminti, kurią koją į ką padalyti, turite tai aiškiai suprasti liestinė Ir kotangentas sėdi tik kojos, o hipotenuzė atsiranda tik viduje sinusas Ir kosinusas. Ir tada jūs galite sugalvoti asociacijų grandinę. Pavyzdžiui, šis:

Kosinusas→lietimas→lietimas→gretima;

Kotangentas→lietimas→lietimas→gretima.

Visų pirma, reikia atsiminti, kad sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, nes trikampio kraštinių santykiai nepriklauso nuo šių kraštinių ilgių (tuo pačiu kampu). Netikite manimi? Tada įsitikinkite, žiūrėdami į paveikslėlį:

Apsvarstykite, pavyzdžiui, kampo kosinusą. Pagal apibrėžimą iš trikampio: , bet kampo kosinusą galime apskaičiuoti iš trikampio: . Matote, kraštinių ilgiai skirtingi, bet vieno kampo kosinuso reikšmė vienoda. Taigi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės priklauso tik nuo kampo dydžio.

Jei suprantate apibrėžimus, eikite į priekį ir sutvirtinkite juos!

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytam trikampiui randame.

Na, ar gavai? Tada pabandykite patys: apskaičiuokite tą patį kampą.

Vienetinis (trigonometrinis) apskritimas

Suprasdami laipsnio ir radiano sąvokas, laikėme apskritimą, kurio spindulys lygus. Toks ratas vadinamas vienišas. Tai bus labai naudinga studijuojant trigonometriją. Todėl pažvelkime į tai šiek tiek išsamiau.

Kaip matote, duotas ratas pastatytas Dekarto sistema koordinates Apskritimo spindulys lygus vienam, o apskritimo centras yra pradžioje, pradinė padėtis Spindulio vektorius fiksuojamas išilgai teigiamos ašies krypties (mūsų pavyzdyje tai yra spindulys).

Kiekvienas apskritimo taškas atitinka du skaičius: ašies koordinatę ir ašies koordinatę. Kas yra šie koordinačių skaičiai? Ir apskritai, ką jie turi bendro su nagrinėjama tema? Norėdami tai padaryti, turime prisiminti apie svarstomą stačiakampį trikampį. Viršuje esančiame paveikslėlyje galite pamatyti du ištisus stačiuosius trikampius. Apsvarstykite trikampį. Jis yra stačiakampis, nes yra statmenas ašiai.

Kam lygus trikampis? tai tiesa. Be to, mes žinome, kad yra vieneto apskritimo spindulys, o tai reiškia . Pakeiskime šią reikšmę kosinuso formulėje. Štai kas nutinka:

Kam lygus trikampis? Na žinoma! Pakeiskite spindulio reikšmę į šią formulę ir gaukite:

Taigi, ar galite pasakyti, kokias koordinates turi apskritimui priklausantis taškas? Na, niekaip? Ką daryti, jei jūs tai suprantate ir esate tik skaičiai? Kurią koordinatę ji atitinka? Na, žinoma, koordinatės! O kokią koordinatę tai atitinka? Teisingai, koordinatės! Taigi, laikotarpis.

Kas tada yra ir kas yra lygūs? Teisingai, naudokime atitinkamus liestinės ir kotangento apibrėžimus ir gaukime, kad a.

O jei kampas didesnis? Pavyzdžiui, kaip šiame paveikslėlyje:

Kas pasikeitė šiame pavyzdyje? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, vėl pasukite į stačiakampį trikampį. Apsvarstykite statųjį trikampį: kampas (kaip greta kampo). Kokios yra kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmės? Taip, mes laikomės atitinkamų trigonometrinių funkcijų apibrėžimų:

Na, kaip matote, kampo sinuso reikšmė vis tiek atitinka koordinatę; kampo kosinuso reikšmė – koordinatė; ir atitinkamų santykių liestinės ir kotangento reikšmės. Taigi šie santykiai taikomi bet kokiam spindulio vektoriaus pasukimui.

Jau buvo minėta, kad pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra išilgai teigiamos ašies krypties. Iki šiol mes sukome šį vektorių prieš laikrodžio rodyklę, bet kas atsitiks, jei pasuksime jį pagal laikrodžio rodyklę? Nieko nepaprasto, taip pat gausite tam tikros vertės kampą, bet tik jis bus neigiamas. Taigi, sukdami spindulio vektorių prieš laikrodžio rodyklę, gauname teigiami kampai , o sukant pagal laikrodžio rodyklę - neigiamas.

Taigi, mes žinome, kad visas spindulio vektoriaus apsisukimas aplink apskritimą yra arba. Ar galima pasukti spindulio vektorių į arba į? Na, žinoma, galite! Todėl pirmuoju atveju spindulio vektorius padarys vieną pilną apsisukimą ir sustos padėtyje arba.

Antruoju atveju, tai yra, spindulio vektorius padarys tris pilnus apsisukimus ir sustos padėtyje arba.

Taigi iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galime daryti išvadą, kad kampai, kurie skiriasi arba (kur yra bet koks sveikas skaičius), atitinka tą pačią spindulio vektoriaus padėtį.

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas kampas. Tas pats vaizdas atitinka kampą ir pan. Šį sąrašą galima tęsti neribotą laiką. Visi šie kampai gali būti parašyti pagal bendrą formulę arba (kur yra bet koks sveikasis skaičius)

Dabar, žinant pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus ir naudojant vieneto ratas, pabandykite atsakyti, kokios yra reikšmės:

Štai vieneto ratas, kuris jums padės:

Turite sunkumų? Tada išsiaiškinkime. Taigi mes žinome, kad:

Iš čia nustatome taškų koordinates, atitinkančias tam tikrus kampo matmenis. Na, pradėkime iš eilės: kampas ties atitinka tašką su koordinatėmis, todėl:

Neegzistuoja;

Be to, laikydamiesi tos pačios logikos, sužinome, kad kampai atitinka atitinkamai taškus su koordinatėmis. Tai žinant, nesunku nustatyti trigonometrinių funkcijų reikšmes atitinkamuose taškuose. Pirmiausia išbandykite patys, o tada patikrinkite atsakymus.

Atsakymai:

Neegzistuoja

Neegzistuoja

Neegzistuoja

Neegzistuoja

Taigi galime sudaryti tokią lentelę:

Nereikia atsiminti visų šių vertybių. Pakanka prisiminti vienetinio apskritimo taškų koordinačių ir trigonometrinių funkcijų verčių atitikimą:

Tačiau kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės ir, pateiktos toliau esančioje lentelėje, reikia atsiminti:

Nebijokite, dabar parodysime vieną pavyzdį gana paprasta atsiminti atitinkamas reikšmes:

Norint naudoti šį metodą, labai svarbu atsiminti visų trijų kampo matmenų sinuso reikšmes (), taip pat kampo liestinės reikšmę. Žinant šias reikšmes, gana paprasta atkurti visą lentelę - kosinuso reikšmės perkeliamos pagal rodykles, tai yra:

Žinodami tai, galite atkurti reikšmes. Skaitiklis „ “ atitiks, o vardiklis „ “. Kotangentinės vertės perkeliamos pagal paveikslėlyje nurodytas rodykles. Jei tai suprasite ir atsimenate diagramą su rodyklėmis, pakaks atsiminti visas lentelės reikšmes.

Apskritimo taško koordinatės

Ar įmanoma apskritime rasti tašką (jo koordinates), žinant apskritimo centro koordinates, jo spindulį ir sukimosi kampą?

Na, žinoma, galite! Išmeskime bendroji formulė rasti taško koordinates.

Pavyzdžiui, priešais mus yra apskritimas:

Mums duota, kad taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys lygus. Reikia rasti taško koordinates, gautas sukant tašką laipsniais.

Kaip matyti iš paveikslo, taško koordinatė atitinka atkarpos ilgį. Atkarpos ilgis atitinka apskritimo centro koordinatę, tai yra lygus. Atkarpos ilgį galima išreikšti naudojant kosinuso apibrėžimą:

Tada mes turime tai taško koordinatei.

Naudodami tą pačią logiką randame taško y koordinatės reikšmę. Taigi,

Taigi, į bendras vaizdas Taškų koordinatės nustatomos pagal formules:

Apskritimo centro koordinatės,

Apskritimo spindulys,

Vektoriaus spindulio sukimosi kampas.

Kaip matote, mūsų svarstomo vieneto apskritimo formulės yra žymiai sumažintos, nes centro koordinatės yra lygios nuliui, o spindulys yra lygus vienetui:

Na, pabandykime šias formules praktikuodami surasti taškus apskritime?

1. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas sukant tašką į.

2. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas sukant tašką į.

3. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas sukant tašką į.

4. Taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys lygus. Reikia rasti taško, gauto pasukus pradinį spindulio vektorių, koordinates.

5. Taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys lygus. Reikia rasti taško, gauto pasukus pradinį spindulio vektorių, koordinates.

Sunku rasti apskritimo taško koordinates?

Išspręskite šiuos penkis pavyzdžius (arba išmokite juos išspręsti) ir išmoksite juos rasti!

1.

Galite tai pastebėti. Bet mes žinome, kas atitinka visišką pradinio taško revoliuciją. Taigi norimas taškas bus toje pačioje padėtyje kaip ir sukant. Tai žinodami randame reikiamas taško koordinates:

2. Vieneto apskritimo centras yra taške, o tai reiškia, kad galime naudoti supaprastintas formules:

Galite tai pastebėti. Mes žinome, kas atitinka du visu greičiu pradžios taškas. Taigi norimas taškas bus toje pačioje padėtyje kaip ir sukant. Tai žinodami randame reikiamas taško koordinates:

Sinusas ir kosinusas yra lentelės reikšmės. Prisimename jų reikšmes ir gauname:

Taigi norimas taškas turi koordinates.

3. Vieneto apskritimo centras yra taške, o tai reiškia, kad galime naudoti supaprastintas formules:

Galite tai pastebėti. Pavaizduokime nagrinėjamą pavyzdį paveikslėlyje:

Spindulys sudaro kampus, lygius ašiai ir su ja. Žinant, kad kosinuso ir sinuso lentelės reikšmės yra lygios, ir nustačius, kad kosinusas čia yra neigiama reikšmė, o sinusas yra teigiamas, turime:

Daugiau informacijos panašių pavyzdžių yra suprantami studijuojant temoje trigonometrinių funkcijų mažinimo formules.

Taigi norimas taškas turi koordinates.

4.

Vektoriaus spindulio sukimosi kampas (pagal sąlygą)

Norėdami nustatyti atitinkamus sinuso ir kosinuso ženklus, sudarome vienetinį apskritimą ir kampą:

Kaip matote, vertė, tai yra, yra teigiama, o vertė, tai yra, yra neigiama. Žinodami atitinkamų trigonometrinių funkcijų lentelių reikšmes, gauname, kad:

Pakeiskime gautas reikšmes į savo formulę ir suraskime koordinates:

Taigi norimas taškas turi koordinates.

5. Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame formules bendra forma, kur

Apskritimo centro koordinatės (mūsų pavyzdyje

Apskritimo spindulys (pagal sąlygą)

Vektoriaus spindulio sukimosi kampas (pagal sąlygą).

Pakeiskime visas reikšmes į formulę ir gaukime:

ir - lentelės reikšmės. Prisiminkime ir pakeiskime juos į formulę:

Taigi norimas taškas turi koordinates.

SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Kampo sinusas yra priešingos (tolimosios) kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo kosinusas yra gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo liestinė yra priešingos (tolimosios) pusės ir gretimos (artimos) pusės santykis.

Kampo kotangentas yra gretimos (artimos) pusės ir priešingos (tolimosios) pusės santykis.

Trigonometrija – pjūvis matematikos mokslas, kuriame nagrinėjamos trigonometrinės funkcijos ir jų panaudojimas geometrijoje. Trigonometrijos raida prasidėjo dar senais laikais senovės Graikija. Viduramžiais Artimųjų Rytų ir Indijos mokslininkai labai prisidėjo prie šio mokslo plėtros.

Šis straipsnis skirtas pagrindinės sąvokos ir trigonometrijos apibrėžimai. Jame aptariami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimai: sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas. Jų reikšmė paaiškinama ir iliustruojama geometrijos kontekste.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Iš pradžių trigonometrinių funkcijų, kurių argumentas yra kampas, apibrėžimai buvo išreikšti stačiojo trikampio kraštinių santykiu.

Trigonometrinių funkcijų apibrėžimai

Kampo sinusas (sin α) yra kojos, esančios priešingos šiam kampui, santykis su hipotenuze.

Kampo kosinusas (cos α) – gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo liestinė (t g α) – priešingos pusės ir gretimos kraštinės santykis.

Kampo kotangentas (c t g α) – gretimos kraštinės ir priešingos pusės santykis.

Šie apibrėžimai pateikiami stačiojo trikampio smailiam kampui!

Pateikime iliustraciją.

IN trikampis ABC su stačiu kampu C kampo A sinusu lygus santykiui koja BC iki hipotenuzės AB.

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai leidžia apskaičiuoti šių funkcijų reikšmes iš žinomų trikampio kraštinių ilgių.

Svarbu atsiminti!

Sinuso ir kosinuso reikšmių diapazonas yra nuo -1 iki 1. Kitaip tariant, sinusas ir kosinusas turi reikšmes nuo -1 iki 1. Tangento ir kotangento verčių diapazonas yra visa skaičių eilutė, tai yra, šios funkcijos gali įgyti bet kokias reikšmes.

Aukščiau pateikti apibrėžimai taikomi smailiesiems kampams. Trigonometrijoje įvedama sukimosi kampo sąvoka, kurios reikšmė, skirtingai nuo smailaus kampo, neapsiriboja nuo 0 iki 90 laipsnių. Sukimosi kampas laipsniais arba radianais išreiškiamas bet kokiu realiu skaičiumi nuo – ∞ iki + ∞.

IN šiame kontekste Galite apibrėžti savavališko dydžio kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą. Įsivaizduokime vienetinį apskritimą, kurio centras yra Dekarto koordinačių sistemos pradžioje.

Pradinis taškas A su koordinatėmis (1, 0) sukasi aplink vienetinio apskritimo centrą tam tikru kampu α ir eina į tašką A 1. Apibrėžimas pateiktas taško A 1 (x, y) koordinatėmis.

Sukimosi kampo sinusas (sin).

Sukimosi kampo α sinusas yra taško A 1 (x, y) ordinatė. sin α = y

Sukimosi kampo kosinusas (cos).

Sukimosi kampo α kosinusas yra taško A 1 (x, y) abscisė. cos α = x

Sukimosi kampo liestinė (tg).

Sukimosi kampo α liestinė yra taško A 1 (x, y) ordinatės ir jo abscisės santykis. t g α = y x

Sukimosi kampo kotangentas (ctg).

Sukimosi kampo α kotangentas yra taško A 1 (x, y) abscisių ir jo ordinatės santykis. c t g α = x y

Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiam sukimosi kampui. Tai logiška, nes taško abscisė ir ordinatė po pasukimo gali būti nustatomos bet kokiu kampu. Kitokia situacija yra su tangentu ir kotangentu. Liestinė neapibrėžta, kai taškas po pasukimo eina į tašką, kurio abscisės nulinės (0, 1) ir (0, - 1). Tokiais atvejais liestinės t g α = y x išraiška tiesiog neturi prasmės, nes joje yra dalijimas iš nulio. Panaši situacija ir su kotangentu. Skirtumas tas, kad kotangentas neapibrėžiamas tais atvejais, kai taško ordinatė eina į nulį.

Svarbu atsiminti!

Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiems kampams α.

Liestinė apibrėžta visiems kampams, išskyrus α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangentas apibrėžiamas visiems kampams, išskyrus α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Sprendžiant praktinių pavyzdžių nesakyk „sukimosi kampo sinusas α“. Žodžiai „sukimosi kampas“ tiesiog praleisti, o tai reiškia, kad iš konteksto jau aišku, apie ką kalbama.

Skaičiai

O kaip su skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimu, o ne sukimosi kampu?

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas t yra skaičius, kuris yra atitinkamai lygus sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui in t radianas.

Pavyzdžiui, skaičiaus 10 sinusas π lygus sinusui sukimosi kampas 10 π rad.

Yra ir kitas skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento nustatymo būdas. Pažvelkime į tai atidžiau.

bet kas realus skaičius t vienetinio apskritimo taškas yra susietas su centru stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pradžioje. Sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas nustatomi per šio taško koordinates.

Apskritimo pradžios taškas yra taškas A su koordinatėmis (1, 0).

Teigiamas skaičius t

Neigiamas skaičius t atitinka tašką, į kurį eis pradžios taškas, jei jis juda aplink apskritimą prieš laikrodžio rodyklę ir eis keliu t.

Dabar, kai nustatytas ryšys tarp skaičiaus ir apskritimo taško, pereiname prie sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo.

Sine (nuodėmė) iš t

Skaičiaus sinusas t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško ordinatė t. sin t = y

Kosinusas (cos) iš t

Skaičiaus kosinusas t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško abscisė t. cos t = x

t liestinė (tg).

Skaičiaus liestinė t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško ordinatės ir abscisių santykis t. t g t = y x = sin t cos t

Naujausi apibrėžimai atitinka ir neprieštarauja šios pastraipos pradžioje pateiktam apibrėžimui. Taškas ant apskritimo, atitinkančio skaičių t, sutampa su tašku, į kurį eina pradžios taškas, pasukus kampu t radianas.

Kampinio ir skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos

Kiekviena kampo α reikšmė atitinka tam tikrą šio kampo sinuso ir kosinuso reikšmę. Kaip ir visi kampai α, išskyrus α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) atitinka tam tikrą liestinės reikšmę. Kotangentas, kaip nurodyta aukščiau, apibrėžiamas visiems α, išskyrus α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Galime sakyti, kad sin α, cos α, t g α, c t g α yra kampo alfa funkcijos arba kampinio argumento funkcijos.

Panašiai galime kalbėti apie sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą kaip skaitinio argumento funkcijas. Kiekvienas tikrasis skaičius t atitinka tam tikrą skaičiaus sinuso arba kosinuso reikšmę t. Visi skaičiai, išskyrus π 2 + π · k, k ∈ Z, atitinka liestinės reikšmę. Kotangentas taip pat apibrėžiamas visiems skaičiams, išskyrus π · k, k ∈ Z.

Pagrindinės trigonometrijos funkcijos

Sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas yra pagrindinės trigonometrinės funkcijos.

Iš konteksto dažniausiai aišku, kuris argumentas trigonometrinė funkcija (kampo argumentas arba skaitinis argumentas) turime reikalų.

Grįžkime prie pačioje pradžioje pateiktų apibrėžimų ir alfa kampo, kuris yra diapazone nuo 0 iki 90 laipsnių. Trigonometriniai apibrėžimai sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas visiškai atitinka geometriniai apibrėžimai, pateikta naudojant stačiojo trikampio kraštinių santykius. Parodykime.

Paimkime vienetinį apskritimą su centru stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje. Apverskime pradžios taškas A (1, 0) iki 90 laipsnių kampu ir iš gauto taško A 1 (x, y) nubrėžkite statmeną abscisei. Gautame stačiakampyje kampas A 1 O H lygus kampui posūkis α, kojos ilgis O H lygus taško A 1 (x, y) abscisei. Priešingos kampo kojos ilgis yra lygus taško A 1 (x, y) ordinatėms, o hipotenuzės ilgis yra lygus vienetui, nes tai yra vienetinio apskritimo spindulys.

Pagal geometrijos apibrėžimą kampo α sinusas yra lygus priešingos pusės ir hipotenuzės santykiui.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Tai reiškia, kad stačiojo trikampio smailaus kampo sinuso nustatymas pagal kraštinių santykį yra tolygus sukimosi kampo α sinuso nustatymui, kai alfa yra intervale nuo 0 iki 90 laipsnių.

Panašiai galima parodyti kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų atitiktį.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Vidutinis lygis

Statusis trikampis. Visas iliustruotas vadovas (2019 m.)

STAČIAKAMPIS TRIKAMPIS. ĮĖJIMO LYGIS.

Problemose stačias kampas visai nereikalingas - apatinis kairysis, todėl reikia išmokti atpažinti stačią trikampį šioje formoje,

ir šiame

ir šiame

Kuo geras stačiakampis trikampis? Na... visų pirma, yra ypatingų gražūs vardai už jo puses.

Dėmesio piešimui!

Prisiminkite ir nesupainiokite: yra dvi kojos ir tik viena hipotenuzė(vienintelis, unikalus ir ilgiausias)!

Na, mes aptarėme pavadinimus, dabar svarbiausias dalykas: Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema.

Ši teorema yra daugelio problemų, susijusių su stačiu trikampiu, sprendimas. Pitagoras tai visiškai įrodė neatmenami laikai, ir nuo tada ji atnešė daug naudos ją pažįstantiems. Ir geriausia, kad tai paprasta.

Taigi, Pitagoro teorema:

Ar prisimenate pokštą: „Pitagoro kelnės iš visų pusių lygios!

Nupieškime tuos pačius Pitagoro kelnės ir pažiūrėkime į juos.

Ar tai neatrodo kaip šortai? Na, iš kurių pusių ir kur jie yra lygūs? Kodėl ir iš kur kilo pokštas? Ir šis pokštas yra susijęs būtent su Pitagoro teorema, o tiksliau su tuo, kaip pats Pitagoras suformulavo savo teoremą. Ir jis tai suformulavo taip:

"Suma kvadratų plotai, pastatytas ant kojų, yra lygus kvadratinis plotas, pastatytas ant hipotenuzės“.

Ar tikrai skamba šiek tiek kitaip? Taigi, kai Pitagoras nubrėžė savo teoremos teiginį, išėjo būtent toks paveikslas.

Šiame paveikslėlyje mažų kvadratų plotų suma yra lygi didelio kvadrato plotui. O kad vaikai geriau prisimintų, jog kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui, kažkas šmaikštuolio sugalvojo šį pokštą apie pitagoro kelnes.

Kodėl dabar formuluojame Pitagoro teoremą?

Ar Pitagoras kentėjo ir kalbėjo apie aikštes?

Matote, senovėje nebuvo... algebros! Nebuvo jokių ženklų ir pan. Nebuvo jokių užrašų. Ar įsivaizduojate, kaip baisu buvo vargšams senovės studentams viską prisiminti žodžiais?! Ir galime džiaugtis, kad turime paprasta formuluotė Pitagoro teorema. Pakartokime dar kartą, kad geriau prisimintume:

Dabar turėtų būti lengva:

Na, štai, labiausiai pagrindinė teorema diskutuota apie statųjį trikampį. Jei jus domina, kaip tai įrodoma, perskaitykite šiuos teorijos lygius, o dabar pereikime prie... tamsus miškas... trigonometrija! Prie baisių žodžių sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje.

Tiesą sakant, viskas nėra taip baisu. Žinoma, straipsnyje reikėtų pažvelgti į „tikrąjį“ sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimą. Bet aš tikrai nenoriu, ar ne? Galime pasidžiaugti: norėdami išspręsti stačiakampio trikampio problemas, galite tiesiog užpildyti šiuos paprastus dalykus:

Kodėl viskas tik už kampo? Kur yra kampas? Norėdami tai suprasti, turite žinoti, kaip žodžiais rašomi teiginiai nuo 1 iki 4. Žiūrėk, suprask ir prisimink!

1.
Iš tikrųjų tai skamba taip:

O kaip kampas? Ar yra koja, kuri yra priešais kampą, tai yra, priešinga (kampui) koja? Žinoma, yra! Tai koja!

O kaip kampas? Atidžiai pažiūrėk. Kuri koja yra greta kampo? Žinoma, koja. Tai reiškia, kad kampui koja yra greta, ir

Dabar atkreipkite dėmesį! Pažiūrėkite, ką gavome:

Pažiūrėkite, kaip tai šaunu:

Dabar pereikime prie tangento ir kotangento.

Kaip dabar galiu tai užrašyti žodžiais? Kokia koja yra kampo atžvilgiu? Žinoma, priešingai - jis „guli“ priešais kampą. O koja? Šalia kampo. Taigi ką mes turime?

Pažiūrėkite, kaip skaitiklis ir vardiklis apsikeitė vietomis?

O dabar vėl kampai ir pasikeitė:

Tęsti

Trumpai surašykime viską, ką sužinojome.

Pitagoro teorema:

Pagrindinė stačiųjų trikampių teorema yra Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema

Beje, ar gerai prisimeni, kas yra kojos ir hipotenuzė? Jei nelabai gerai, tai pažiūrėkite į paveikslėlį – atnaujinkite žinias

Visai gali būti, kad jau daug kartų naudojote Pitagoro teoremą, bet ar kada susimąstėte, kodėl tokia teorema yra teisinga? Kaip aš galiu tai įrodyti? Darykime kaip senovės graikai. Nubrėžkime kvadratą su kraštine.

Pažiūrėkite, kaip sumaniai suskirstėme jo puses į ilgio segmentus ir!

Dabar sujungkime pažymėtus taškus

Tačiau čia mes atkreipėme dėmesį į ką nors kita, bet jūs pats žiūrite į piešinį ir galvojate, kodėl taip yra.

Koks yra didesnio kvadrato plotas? Teisingai,. O kaip dėl mažesnio ploto? Be abejo,. Išlieka bendras keturių kampų plotas. Įsivaizduokite, kad paėmėme juos po du ir priglaudėme vienas prie kito su jų hipotenomis. Kas atsitiko? Du stačiakampiai. Tai reiškia, kad „pjūvių“ plotas yra lygus.

Sudėkime viską dabar.

Transformuokime:

Taigi mes aplankėme Pitagorą – senoviniu būdu įrodėme jo teoremą.

Statusis trikampis ir trigonometrija

Stačiajam trikampiui galioja šie santykiai:

Smagiojo kampo sinusas lygus priešingos pusės ir hipotenuzės santykiui

Smailaus kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui.

Smailiojo kampo liestinė yra lygi priešingos pusės ir gretimos pusės santykiui.

Smailiojo kampo kotangentas yra lygus gretimos ir priešingos pusės santykiui.

Ir dar kartą visa tai tabletės pavidalu:

Tai labai patogu!

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai

I. Iš dviejų pusių

II. Pagal koją ir hipotenuzę

III. Pagal hipotenuzę ir smailią kampą

IV. Išilgai kojos ir smailaus kampo

a)

b)

Dėmesio! Čia labai svarbu, kad kojos būtų „tinkamos“. Pavyzdžiui, jei viskas vyksta taip:

TUOMET TRIKAMPAI NĖRA LYGI, nepaisant to, kad jie turi vieną identišką smailią kampą.

Tai būtina abiejuose trikampiuose koja buvo greta arba abiejuose buvo priešinga.

Ar pastebėjote, kaip stačiųjų trikampių lygybės ženklai skiriasi nuo įprastų trikampių lygybės ženklų? Pažvelkite į temą „ir atkreipkite dėmesį į tai, kad „paprastų“ trikampių lygybei trys jų elementai turi būti lygūs: dvi kraštinės ir kampas tarp jų, du kampai ir kraštinė tarp jų arba trys kraštinės. Tačiau stačiųjų trikampių lygybei pakanka tik dviejų atitinkamų elementų. Puiku, tiesa?

Apytiksliai tokia pati situacija ir su stačiųjų trikampių panašumo ženklais.

Stačiųjų trikampių panašumo ženklai

I. Išilgai smailiojo kampo

II. Iš dviejų pusių

III. Pagal koją ir hipotenuzę

Mediana stačiakampiame trikampyje

Kodėl taip yra?

Vietoj stačiakampio apsvarstykite visą stačiakampį.

Nubrėžkime įstrižainę ir apsvarstykime tašką – įstrižainių susikirtimo tašką. Kas žinoma apie stačiakampio įstrižaines?

Ir kas iš to seka?

Taigi paaiškėjo, kad

1. - mediana:

Prisiminkite šį faktą! Labai padeda!

Dar labiau stebina tai, kad yra ir priešingai.

Ką gero galima gauti iš to, kad mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės? Pažiūrėkime į paveikslėlį

Atidžiai pažiūrėk. Turime: , tai yra, atstumai nuo taško iki visų trijų trikampio viršūnių pasirodė lygūs. Tačiau trikampyje yra tik vienas taškas, nuo kurio atstumai nuo visų trijų trikampio viršūnių yra lygūs, ir tai yra APRATUMO CENTRAS. Taigi kas atsitiko?

Taigi pradėkime nuo šio „be to...“.

Pažiūrėkime ir.

Bet panašūs trikampiai visi kampai lygūs!

Tą patį galima pasakyti apie ir

Dabar nupieškime kartu:

Kokia nauda iš šio „trigubo“ panašumo?

Na, pavyzdžiui - dvi stačiojo trikampio aukščio formulės.

Užrašykime atitinkamų šalių santykius:

Norėdami rasti aukštį, išsprendžiame proporciją ir gauname pirmoji formulė "Aukštis stačiakampiame trikampyje":

Taigi, pritaikykime panašumą: .

Kas bus dabar?

Vėlgi išsprendžiame proporciją ir gauname antrą formulę:

Reikia labai gerai atsiminti abi šias formules ir naudoti patogesnę. Užrašykime juos dar kartą

Pitagoro teorema:

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai: .

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai:

• iš dviejų pusių:
• pagal koją ir hipotenuzę: arba
• išilgai kojos ir gretimo smailiojo kampo: arba
• išilgai kojos ir priešingo smailaus kampo: arba
• pagal hipotenuzę ir smailią kampą: arba.

Stačiakampių trikampių panašumo ženklai:

• vienas ūmus kampas: arba
• iš dviejų kojų proporcingumo:
• nuo kojos ir hipotenuzės proporcingumo: arba.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje

• Stačiakampio trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis:
• Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentas yra gretimos kraštinės ir priešingos kraštinės santykis: .

Stačiojo trikampio aukštis: arba.

Stačiakampiame trikampyje iš stačiojo kampo viršūnės nubrėžta mediana yra lygi pusei hipotenuzės: .

Stačiojo trikampio plotas:

• per kojas:

Sinusas Stačiojo trikampio smailusis kampas α yra santykis priešinga koja iki hipotenuzės.
Jis žymimas taip: sin α.

Kosinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas α yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.
Jis žymimas taip: cos α.

Tangentas smailusis kampas α yra priešingos pusės ir gretimos pusės santykis.
Jis žymimas taip: tg α.

Kotangentas smailusis kampas α yra gretimos ir priešingos pusės santykis.
Jis žymimas taip: ctg α.

Kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas priklauso tik nuo kampo dydžio.

Taisyklės:

Pagrindinis trigonometrinės tapatybės stačiakampiame trikampyje:

(α – smailus kampas, priešingas kojai b ir greta kojos a . Šoninė Su – hipotenuzė. β – antrasis smailusis kampas).

Didėjant smailiam kampuisin α irįdegio α padidėjimas, ircos α mažėja.

Bet kuriam smailiam kampui α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Pavyzdys-paaiškinimas:

Įtraukite stačiakampį trikampį ABC
AB = 6,
BC = 3,
kampas A = 30º.

Išsiaiškinkime kampo A sinusą ir kampo B kosinusą.

Sprendimas.

1) Pirmiausia randame kampo B reikšmę. Čia viskas paprasta: kadangi stačiakampio trikampio smailiųjų kampų suma yra 90º, tada kampas B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Apskaičiuokime nuodėmę A. Žinome, kad sinusas lygus priešingos pusės ir hipotenuzės santykiui. Kampui A priešinga pusė yra kraštinė BC. Taigi:

BC 31
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Dabar apskaičiuokime cos B. Žinome, kad kosinusas yra lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui. Dėl kampo B gretima koja vis dar yra ta pati saulės pusė. Tai reiškia, kad vėl turime padalyti BC iš AB - tai yra, atlikti tuos pačius veiksmus, kaip ir skaičiuojant kampo A sinusą:

BC 31
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultatas yra:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Iš to išplaukia, kad stačiakampiame trikampyje vieno smailiojo kampo sinusas yra lygus kosinusui kitas smailus kampas – ir atvirkščiai. Būtent tai reiškia mūsų dvi formulės:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Dar kartą tuo įsitikinkime:

1) Tegul α = 60º. Pakeitę α reikšmę į sinuso formulę, gauname:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Tegul α = 30º. Pakeitę α reikšmę kosinuso formulėje, gauname:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(Daugiau informacijos apie trigonometriją rasite skyriuje Algebra)