Susitvarkykime paprastos sąvokos: sinusas ir kosinusas ir skaičiavimas kosinuso kvadratas ir sinuso kvadratas.

Sinusas ir kosinusas tiriami trigonometrijoje (stačiakampių trikampių studijoje).

Todėl pirmiausia prisiminkime pagrindines stačiojo trikampio sąvokas:

Hipotenuzė- pusė, kuri visada yra priešinga stačiu kampu(90 laipsnių kampas). Hipotenuzė yra ilgiausia stačiakampio trikampio kraštinė.

Likusios dvi stačiojo trikampio kraštinės vadinamos kojos.

Taip pat turėtumėte atsiminti, kad trys trikampio kampai visada sudaro 180°.

Dabar pereikime prie kampo alfa kosinusas ir sinusas (∠α)(tai gali būti vadinama bet kokiu netiesioginiu trikampio kampu arba naudojama kaip žymėjimas x - "x", o tai nekeičia esmės).

Kampo alfa sinusas (sin ∠α)– tai požiūris priešinga koja (pusė priešinga atitinkamam kampui) į hipotenuzę. Jei pažvelgsite į figūrą, tada sin ∠ABC = AC / BC

Kampo alfa kosinusas (cos ∠α)- požiūris gretimas iki kojos kampo iki hipotenuzės. Dar kartą pažvelgus į aukščiau esantį paveikslą, cos ∠ABC = AB / BC

Ir kaip priminimas: kosinusas ir sinusas niekada nebus didesni už vieną, nes bet kuris ritinys yra trumpesnis už hipotenuzą (o hipotenuzė yra ilgiausia bet kurio trikampio kraštinė, nes ilgiausia kraštinė yra priešais didžiausią trikampio kampą) .

Kosinusas kvadratas, sinusas kvadratas

Dabar pereikime prie pagrindinių trigonometrinių formulių: kosinuso kvadrato ir sinuso kvadrato skaičiavimas.

Norėdami juos apskaičiuoti, turėtumėte prisiminti pagrindinę trigonometrinę tapatybę:

sin 2 α + cos 2 α = 1(vieno kampo sinuso kvadratas plius kosinuso kvadratas visada lygus vienetui).

Iš trigonometrinės tapatybės darome išvadas apie sinusą:

sin 2 α = 1 - cos 2 α

sinuso kvadrato alfa lygus vienam minus kosinusas dvigubas kampas alfa ir viską padalinti iš dviejų.

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Iš trigonometrinio tapatumo darome išvadas apie kosinusą:

cos 2 α = 1 - sin 2 α

ar daugiau sunkus variantas formulės: kosinuso kvadratas alfa yra lygus vienetui plius dvigubo kampo alfa kosinusui ir taip pat viską padalinti iš dviejų.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Šių dviejų yra daugiau sudėtingos formulės sinuso kvadratas ir kosinuso kvadratas taip pat vadinami „trigonometrinių funkcijų kvadratų laipsnio sumažinimu“. Tie. buvo antras laipsnis, nuleido iki pirmo ir skaiciuoti tapo patogesni.

Trigonometrinių funkcijų verčių lentelė

Pastaba. Šioje trigonometrinių funkcijų verčių lentelėje nurodomas ženklas √ kvadratinė šaknis. Norėdami nurodyti trupmeną, naudokite simbolį „/“.

Taip pat žr naudingos medžiagos:

Už nustatant trigonometrinės funkcijos reikšmę, raskite jį tiesės, rodančios trigonometrinę funkciją, sankirtoje. Pavyzdžiui, sinusas 30 laipsnių - ieškome stulpelio su antrašte sin (sinusas) ir randame šios lentelės stulpelio sankirtą su eilute „30 laipsnių“, jų sankirtoje skaitome rezultatą - vieną pusę. Panašiai randame kosinusas 60 laipsnių, sinusas 60 laipsnių (dar kartą nuodėmės stulpelio ir 60 laipsnių linijos sankirtoje randame reikšmę sin 60 = √3/2) ir kt. Taip pat randamos kitų „populiarių“ kampų sinusų, kosinusų ir liestinių reikšmės.

Sinuso pi, kosinuso pi, tangento pi ir kiti kampai radianais

Žemiau esanti kosinusų, sinusų ir liestinių lentelė taip pat tinka norint rasti trigonometrinių funkcijų, kurių argumentas yra pateikiami radianais. Norėdami tai padaryti, naudokite antrą kampo verčių stulpelį. Dėl to galite konvertuoti populiarių kampų vertę iš laipsnių į radianus. Pavyzdžiui, pirmoje eilutėje suraskime 60 laipsnių kampą ir po juo perskaitykime jo reikšmę radianais. 60 laipsnių yra lygus π/3 radianams.

Skaičius pi vienareikšmiškai išreiškia apskritimo priklausomybę nuo laipsnio matas kampe. Taigi pi radianai yra lygūs 180 laipsnių.

Bet kuris skaičius, išreikštas pi (radianais), gali būti lengvai konvertuojamas į laipsnius, pakeičiant pi (π) į 180.

Pavyzdžiai:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
taigi, pi sinusas yra toks pat kaip 180 laipsnių sinusas ir lygus nuliui.

2. Kosinusas pi.
cos π = cos 180 = -1
taigi, pi kosinusas yra toks pat kaip 180 laipsnių kosinusas ir yra lygus minus vienetui.

3. Tangentas pi
tg π = tg 180 = 0
taigi liestinė pi yra tokia pati kaip 180 laipsnių liestinė ir lygi nuliui.

Sinuso, kosinuso, liestinės verčių lentelė kampams nuo 0 iki 360 laipsnių (bendrosios vertės)

Jei trigonometrinių funkcijų verčių lentelėje vietoj funkcijos reikšmės nurodomas brūkšnys (liestinė (tg) 90 laipsnių, kotangentė (ctg) 180 laipsnių), tada nurodytai kampo laipsnio mato vertei funkcija neturi konkrečios vertės. Jei brūkšnelio nėra, langelis tuščias, vadinasi, mes dar neįėjome norimą vertę. Mes domimės, kokių užklausų vartotojai kreipiasi į mus ir papildo lentelę naujomis reikšmėmis, nepaisant to, kad dabartinių duomenų apie dažniausiai pasitaikančių kampų reikšmių kosinusų, sinusų ir liestinių reikšmes visiškai pakanka daugeliui išspręsti. problemų.

Populiariausių kampų trigonometrinių funkcijų sin, cos, tg verčių lentelė
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 laipsnių
(skaitinės reikšmės „pagal Bradis lenteles“)

Viena iš matematikos sričių, su kuria mokiniai kovoja labiausiai, yra trigonometrija. Nieko nuostabaus: norint sklandžiai įsisavinti šią žinių sritį, reikia turėti erdvinis mąstymas, gebėjimas pagal formules rasti sinusus, kosinusus, liestines, kotangentus, supaprastinti išraiškas, mokėti naudoti pi skaičiavimuose. Be to, įrodinėdami teoremas turite mokėti naudoti trigonometriją, o tam reikia arba matematinė atmintis, arba gebėjimas išvesti sudėtingas logines grandines.

Trigonometrijos ištakos

Susipažinimas su šiuo mokslu turėtų prasidėti nuo kampo sinuso, kosinuso ir liestinės apibrėžimo, tačiau pirmiausia turite suprasti, ką apskritai daro trigonometrija.

Istoriškai pagrindinis šio skyriaus tyrimo objektas matematikos mokslas buvo statūs trikampiai. 90 laipsnių kampo buvimas leidžia atlikti įvairias operacijas, kurios leidžia nustatyti visų nagrinėjamos figūros parametrų reikšmes naudojant dvi puses ir vieną kampą arba du kampus ir vieną pusę. Anksčiau žmonės pastebėjo šį modelį ir pradėjo aktyviai jį naudoti pastatų statyboje, navigacijoje, astronomijoje ir net mene.

Pradinis etapas

Iš pradžių žmonės kalbėjo apie kampų ir kraštinių santykį tik naudodamiesi stačiųjų trikampių pavyzdžiu. Tada buvo atrastos specialios formulės, kurios leido išplėsti naudojimo ribas kasdienybėši matematikos šaka.

Trigonometrijos studijos mokykloje šiandien pradedamos nuo stačiųjų trikampių, po kurių mokiniai panaudoja įgytas fizikos žinias ir spręsdami abstrakčias trigonometrines lygtis, kurios prasideda vidurinėje mokykloje.

Sferinė trigonometrija

Vėliau, mokslui pasiekus kitą išsivystymo lygį, sferinėje geometrijoje pradėtos naudoti formulės su sinusu, kosinusu, tangentu, kotangentu, kur galioja skirtingos taisyklės, o trikampio kampų suma visada yra didesnė nei 180 laipsnių. Šis skyrius mokykloje nesimokoma, bet apie jos egzistavimą būtina žinoti bent jau todėl žemės paviršiaus, o bet kurios kitos planetos paviršius yra išgaubtas, o tai reiškia, kad bet koks paviršiaus žymėjimas bus trimatė erdvė"lanko formos".

Paimkite gaublį ir siūlą. Pritvirtinkite siūlą prie bet kurių dviejų rutulio taškų, kad jis būtų įtemptas. Atkreipkite dėmesį – jis įgavo lanko formą. Tokias formas nagrinėja sferinė geometrija, kuri naudojama geodezijoje, astronomijoje ir kitose teorinėse bei taikomosiose srityse.

Statusis trikampis

Šiek tiek sužinoję apie trigonometrijos naudojimo būdus, grįžkime prie pagrindinės trigonometrijos, kad geriau suprastume, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė, kokius skaičiavimus galima atlikti su jų pagalba ir kokias formules naudoti.

Pirmas žingsnis yra suprasti sąvokas, susijusias su stačiakampis trikampis. Pirma, hipotenuzė yra pusė, priešinga 90 laipsnių kampui. Jis yra ilgiausias. Prisimename, kad pagal Pitagoro teoremą jos skaitinė reikšmė lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumos šaknei.

Pavyzdžiui, jei abi pusės yra atitinkamai 3 ir 4 centimetrai, hipotenuzės ilgis bus 5 centimetrai. Beje, senovės egiptiečiai apie tai žinojo maždaug prieš keturis su puse tūkstančio metų.

Dvi likusios pusės, kurios sudaro stačią kampą, vadinamos kojomis. Be to, turime atsiminti, kad trikampio kampų suma yra stačiakampė sistema koordinatės yra 180 laipsnių.

Apibrėžimas

Galiausiai, tvirtai suvokus geometrinį pagrindą, galima pereiti prie kampo sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimo.

Kampo sinusas yra priešingos kojos (t. y. pusės, priešingos norimam kampui) santykis su hipotenuze. Kampo kosinusas yra santykis gretima kojaį hipotenuzę.

Atminkite, kad nei sinusas, nei kosinusas negali būti didesnis už vienetą! Kodėl? Kadangi hipotenuzė pagal nutylėjimą yra ilgiausia, nesvarbu, kokia yra koja, ji bus trumpesnė už hipotenuzą, o tai reiškia, kad jų santykis visada bus mažesnis nei vienas. Taigi, jei atsakydami į užduotį gausite sinusą arba kosinusą, kurio reikšmė didesnė nei 1, ieškokite skaičiavimų ar samprotavimų klaidos. Šis atsakymas yra aiškiai neteisingas.

Galiausiai kampo liestinė yra priešingos pusės ir gretimos kraštinės santykis. Padalijus sinusą iš kosinuso gausime tą patį rezultatą. Žiūrėkite: pagal formulę kraštinės ilgį padaliname iš hipotenuzės, tada padalijame iš antrosios kraštinės ilgio ir padauginame iš hipotenuzės. Taigi gauname tą patį ryšį kaip ir tangento apibrėžime.

Atitinkamai, kotangentas yra kraštinės, esančios šalia kampo, ir priešingos pusės santykis. Tą patį rezultatą gauname padalydami iš liestinės.

Taigi, mes pažvelgėme į apibrėžimus, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, ir galime pereiti prie formulių.

Paprasčiausios formulės

Trigonometrijoje neapsieisite be formulių - kaip be jų rasti sinusą, kosinusą, liestinę, kotangentą? Bet būtent to ir reikia sprendžiant problemas.

Pirmoji formulė, kurią reikia žinoti pradedant mokytis trigonometrijos, sako, kad kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra lygi vienetui. Ši formulė yra tiesioginė Pitagoro teoremos pasekmė, tačiau sutaupo laiko, jei reikia žinoti kampo dydį, o ne šoną.

Daugelis mokinių negali prisiminti antrosios formulės, kuri taip pat labai populiari sprendžiant mokyklos uždaviniai: kampo liestinės vieneto ir kvadrato suma lygi vienetui, padalintam iš kampo kosinuso kvadrato. Pažvelkite atidžiau: tai tas pats teiginys kaip ir pirmoje formulėje, tik abi tapatybės pusės buvo padalintos kosinuso kvadratu. Pasirodo, paprastas matematinis veiksmas atlieka trigonometrinė formulė visiškai neatpažįstamas. Atsiminkite: žinodami, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, konversijos taisyklės ir kelios pagrindinės formulės Bet kuriuo metu galite patys išvesti reikiamas sudėtingesnes formules ant popieriaus lapo.

Dvigubo kampo formulės ir argumentų pridėjimas

Dar dvi formulės, kurias turite išmokti, yra susijusios su sinuso ir kosinuso reikšmėmis kampų sumai ir skirtumui. Jie pateikti paveikslėlyje žemiau. Atkreipkite dėmesį, kad pirmuoju atveju sinusas ir kosinusas padauginami abu kartus, o antruoju pridedama sinuso ir kosinuso porinė sandauga.

Taip pat yra formulių, susijusių su dvigubo kampo argumentais. Jie yra visiškai išvesti iš ankstesnių – kaip treniruotę pabandykite juos gauti patys, imdami alfa kampą lygus kampui beta versija.

Galiausiai atkreipkite dėmesį, kad dvigubo kampo formules galima pertvarkyti, kad būtų sumažinta sinuso, kosinuso, tangento alfa galia.

Teoremos

Dvi pagrindinės pagrindinės trigonometrijos teoremos yra sinuso teorema ir kosinuso teorema. Naudodami šias teoremas galite lengvai suprasti, kaip rasti sinusą, kosinusą ir liestinę, taigi ir figūros plotą, kiekvienos pusės dydį ir kt.

Sinuso teorema teigia, kad kiekvienos trikampio kraštinės ilgį padalijus iš priešingo kampo, gauname tas pats numeris. Be to, šis skaičius bus lygus dviem apibrėžtojo apskritimo spinduliams, tai yra apskritimui, kuriame yra visi nurodyto trikampio taškai.

Kosinuso teorema apibendrina Pitagoro teoremą, projektuodama ją į bet kokius trikampius. Pasirodo, iš dviejų kraštinių kvadratų sumos atimkite jų sandaugą, padaugintą iš gretimo kampo dvigubo kosinuso - gauta vertė bus lygi trečiosios kraštinės kvadratui. Taigi Pitagoro teorema pasirodo esanti ypatingas kosinuso teoremos atvejis.

Neatsargios klaidos

Net ir žinant, kas yra sinusas, kosinusas ir tangentas, nesunku suklysti dėl neblaivumo ar paprasčiausių skaičiavimų klaidos. Norėdami išvengti tokių klaidų, pažvelkime į populiariausias.

Pirma, neturėtumėte konvertuoti trupmenų į dešimtaines, kol negausite galutinio rezultato – galite palikti atsakymą kaip bendroji trupmena, jei sąlygose nenurodyta kitaip. Tokios transformacijos negalima pavadinti klaida, tačiau reikia atsiminti, kad kiekviename problemos etape gali atsirasti naujų šaknų, kurias, autoriaus sumanymu, reikėtų sumažinti. Tokiu atveju sugaišite savo laiką bereikalingai matematines operacijas. Tai ypač pasakytina apie tokias vertybes kaip trijų ar dviejų šaknis, nes jos randamos kiekviename žingsnyje problemose. Tas pats pasakytina ir apie „bjaurių“ skaičių apvalinimą.

Be to, atkreipkite dėmesį, kad kosinuso teorema taikoma bet kuriam trikampiui, bet ne Pitagoro teoremai! Jei per klaidą pamiršite atimti dvigubą kraštinių sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso, gausite ne tik visiškai neteisingą rezultatą, bet ir pademonstruosite visišką dalyko nesupratimą. Tai yra blogiau nei neatsargumo klaida.

Trečia, nepainiokite sinusų, kosinusų, liestinių, kotangentų 30 ir 60 laipsnių kampų verčių. Prisiminkite šias vertes, nes sinusas yra 30 laipsnių lygus kosinusui 60 ir atvirkščiai. Juos nesunku supainioti, dėl to neišvengiamai gausite klaidingą rezultatą.

Taikymas

Daugelis studentų neskuba pradėti studijuoti trigonometrijos, nes nesupranta jos praktinės reikšmės. Kas yra sinusas, kosinusas, tangentas inžinieriui ar astronomui? Tai yra sąvokos, kurių dėka galite apskaičiuoti atstumą iki tolimos žvaigždės, prognozuoti meteorito kritimą, išsiųsti tyrimų zondą į kitą planetą. Be jų neįmanoma pastatyti pastato, suprojektuoti automobilio, apskaičiuoti paviršiaus apkrovą ar objekto trajektoriją. Ir tai tik ryškiausi pavyzdžiai! Juk trigonometrija vienokia ar kitokia forma naudojama visur – nuo ​​muzikos iki medicinos.

Apibendrinant

Taigi jūs esate sinusas, kosinusas, tangentas. Galite naudoti juos skaičiavimuose ir sėkmingai išspręsti mokyklos problemas.

Visa trigonometrijos esmė yra ta, kad naudojant žinomus trikampio parametrus reikia apskaičiuoti nežinomus. Iš viso yra šeši parametrai: ilgis tris puses ir trijų kampų dydžiai. Vienintelis užduočių skirtumas yra tas, kad pateikiami skirtingi įvesties duomenys.

Dabar žinote, kaip rasti sinusą, kosinusą, tangentą pagal žinomus kojų arba hipotenuzės ilgius. Kadangi šie terminai reiškia ne ką kita, kaip santykį, o santykis yra trupmena, pagrindinis tikslas trigonometrinė problema yra paprastos lygties arba lygčių sistemos šaknų radimas. Ir čia jums padės įprasta mokyklinė matematika.

Šiame straipsnyje mes išsamiai apžvelgsime. Pagrindinės trigonometrinės tapatybės yra lygybės, kurios nustato ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ir leidžia rasti bet kurią iš šių trigonometrinių funkcijų per žinomą kitą.

Iškart išvardinkime pagrindines trigonometrines tapatybes, kurias analizuosime šiame straipsnyje. Surašykime jas į lentelę, o žemiau pateiksime šių formulių išvestį ir pateiksime reikiamus paaiškinimus.

Puslapio naršymas.

Ryšys tarp vieno kampo sinuso ir kosinuso

Kartais jie kalba ne apie pagrindines trigonometrines tapatybes, išvardytas aukščiau esančioje lentelėje, o apie vieną vienintelį pagrindinė trigonometrinė tapatybė malonus . Šio fakto paaiškinimas yra gana paprastas: lygybės gaunamos iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės, padalijus abi jos dalis atitinkamai iš ir iš lygybių. Ir išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Apie tai plačiau pakalbėsime tolesnėse pastraipose.

tai yra ypatingas susidomėjimas būtent reiškia lygybę, kuriai buvo suteiktas pagrindinės trigonometrinės tapatybės pavadinimas.

Prieš įrodydami pagrindinį trigonometrinį tapatumą, pateikiame jo formuluotę: vieno kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra identiškai lygi vienetui. Dabar įrodykime.

Pagrindinė trigonometrinė tapatybė labai dažnai naudojama, kai transformacija trigonometrinės išraiškos . Tai leidžia vieno kampo sinuso ir kosinuso kvadratų sumą pakeisti vienu. Ne mažiau dažnai naudojama pagrindinė trigonometrinė tapatybė atvirkštine tvarka: vienetas pakeičiamas bet kurio kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma.

Tangentas ir kotangentas per sinusą ir kosinusą

Tapatybės, jungiančios liestinę ir kotangentą su vieno matymo kampo sinusu ir kosinusu ir iš karto išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Iš tiesų, pagal apibrėžimą sinusas yra y ordinatė, kosinusas yra x abscisė, liestinė yra ordinatės ir abscisės santykis, tai yra, , o kotangentas yra abscisių ir ordinačių santykis, ty .

Dėl tokio tapatybių akivaizdumo ir Tangentas ir kotangentas dažnai apibrėžiami ne per abscisių ir ordinačių santykį, o per sinuso ir kosinuso santykį. Taigi kampo liestinė yra sinuso ir šio kampo kosinuso santykis, o kotangentas yra kosinuso ir sinuso santykis.

Apibendrinant šį punktą, pažymėtina, kad tapatybės ir vyksta visiems kampams, kuriuose į juos įtrauktos trigonometrinės funkcijos turi prasmę. Taigi formulė galioja bet kuriai , išskyrus (kitaip vardiklis turės nulį, o dalybos iš nulio neapibrėžėme), o formulė - visiems , skiriasi nuo , kur z yra bet kuris .

Ryšys tarp liestinės ir kotangento

Dar akivaizdžiau trigonometrinė tapatybė nei ankstesni du, yra tapatybė, jungianti vieno formos kampo liestinę ir kotangentą . Akivaizdu, kad jis galioja bet kokiems kampams, išskyrus , kitaip nei liestinė, nei kotangentas nėra apibrėžti.

Formulės įrodymas labai paprasta. Pagal apibrėžimą ir iš kur . Įrodinėjimas galėjo būti atliktas kiek kitaip. Kadangi , Tai .

Taigi, to paties kampo, kuriuo jie turi prasmę, liestinė ir kotangentas yra .

Jei sudarysime vienetinį apskritimą, kurio centras yra ištakoje, ir nustatome savavališką argumento reikšmę x 0 ir skaičiuoti nuo ašies Jautis kampe x 0, tada šis kampas vieneto ratas atitinka tam tikrą tašką A(1 pav.) ir jo projekcija į ašį Oi bus taškas M. Skyriaus ilgis OM lygus absoliuti vertė abscisių taškai A. Pateikta argumento vertė x 0 funkcijos reikšmė susieta y= cos x 0 kaip abscisių taškai A. Atitinkamai, taškas IN(x 0 ;adresu 0) priklauso funkcijos grafikui adresu= cos X(2 pav.). Jei taškas A yra ašies dešinėje Oi, Dabartinis sinusas bus teigiamas, bet jei į kairę – neigiamas. Bet šiaip, taškas A negali išeiti iš rato. Todėl kosinusas yra intervale nuo –1 iki 1:

–1 = cos x = 1.

Papildomas pasukimas bet kokiu kampu, kartotinis iš 2 p, grąžina tašką Aį tą pačią vietą. Todėl funkcija y = cos xp:

cos ( x+ 2p) = cos x.

Jei imsime dvi argumento reikšmes, lygias absoliučia verte, bet priešingas ženklu, x Ir - x, raskite atitinkamus apskritimo taškus A x Ir A -x. Kaip matyti pav. 3 jų projekcija į ašį Oi yra tas pats taškas M. Štai kodėl

cos (- x) = cos ( x),

tie. kosinusas – lygi funkcija, f(–x) = f(x).

Tai reiškia, kad galime ištirti funkcijos savybes y= cos X segmente , ir tada atsižvelgti į jo paritetą ir periodiškumą.

At X= 0 taškų A guli ant ašies Oi, jo abscisė yra 1, todėl cos 0 = 1. Didėjant X taškas A juda aplink apskritimą aukštyn ir į kairę, jo projekcija, žinoma, yra tik į kairę, o x = p/2 kosinusas tampa lygus 0. Taškas Ašiuo momentu pakyla iki maksimalus aukštis, o tada toliau juda į kairę, bet jau leidžiasi žemyn. Jo abscisė mažėja, kol pasiekia mažiausia vertė, lygus –1 at X= p. Taigi intervale funkcija adresu= cos X monotoniškai mažėja nuo 1 iki –1 (4, 5 pav.).

Iš kosinuso pariteto išplaukia, kad intervale [– p, 0] funkcija monotoniškai didėja nuo –1 iki 1, įgydama nulinę reikšmę x =–p/2. Jei vartojate keletą periodų, gausite banguotą kreivę (6 pav.).

Taigi funkcija y= cos x taškuose įgauna nulines reikšmes X= p/2 + kp, Kur k – bet koks sveikasis skaičius. Taškuose pasiekiami maksimumai, lygūs 1 X= 2kp, t.y. 2 žingsniais p, o minimumai lygūs –1 taškuose X= p + 2kp.

Funkcija y = sin x.

Vieneto apskritimo kampe x 0 atitinka tašką A(7 pav.), ir jo projekcija į ašį Oi bus taškas N.Z funkcijos reikšmė y 0 = nuodėmė x 0 apibrėžiamas kaip taško ordinatė A. Taškas IN(kampas x 0 ,adresu 0) priklauso funkcijos grafikui y= nuodėmė x(8 pav.). Aišku, kad funkcija y = nuodėmė x periodinis, jo laikotarpis yra 2 p:

nuodėmė ( x+ 2p) = nuodėmė ( x).

Dviejų argumentų verčių atveju X Ir -, atitinkamų taškų projekcijos A x Ir A -x vienai ašiai Oi išsidėstę simetriškai taško atžvilgiu APIE. Štai kodėl

nuodėmė (- x) = –nuodėmė ( x),

tie. sinusas yra nelyginė funkcija, f(– x) = –f( x) (9 pav.).

Jei taškas A pasukti taško atžvilgiu APIE kampu p/2 prieš laikrodžio rodyklę (kitaip tariant, jei kampas X padidinti p/2), tada jo ordinatė naujoje padėtyje bus lygi abscisei senojoje. O tai reiškia

nuodėmė ( x+ p/2) = cos x.

Kitu atveju sinusas yra kosinusas „pavėlavęs“. p/2, nes bet kuri kosinuso reikšmė bus „pakartota“ sinusuose, kai argumentas padidės p/2. O norint sukurti sinuso grafiką, pakanka kosinuso grafiką perkelti p/2 į dešinę (10 pav.). Nepaprastai svarbus turtas sinusas išreiškiamas lygybe

Geometrinė lygybės reikšmė matoma iš Fig. 11. Čia X - tai pusė lanko AB, nuodėmė X - pusė atitinkamo akordo. Akivaizdu, kad taškams artėjant A Ir IN stygos ilgis vis labiau artėja prie lanko ilgio. Iš to paties skaičiaus nesunku išvesti nelygybę

|nuodėmė x| x|, tinka bet kuriam X.

Matematikai vadina formulę (*) nepaprasta riba. Iš to ypač išplaukia ta nuodėmė X» X prie mažų X.

Funkcijos adresu= tg x, y=ctg X. Kitos dvi trigonometrinės funkcijos, liestinė ir kotangentas, yra lengviausiai apibrėžiamos kaip mums jau žinomi sinuso ir kosinuso santykiai:

Kaip sinusas ir kosinusas, tangentas ir kotangentas yra periodinės funkcijos, tačiau jų periodai yra lygūs p, t.y. jie yra perpus mažesni už sinusą ir kosinusą. To priežastis aiški: jei sinusas ir kosinusas keičia ženklus, tai jų santykis nepasikeis.

Kadangi liestinės vardiklyje yra kosinusas, liestinė neapibrėžiama tuose taškuose, kur kosinusas yra 0 - kai X= p/2 +kp. Visuose kituose taškuose jis didėja monotoniškai. Tiesioginis X= p/2 + kp liestinės yra vertikalios asimptotės. Taškuose kp tangentas ir nuolydis yra atitinkamai 0 ir 1 (12 pav.).

Kotangentas neapibrėžiamas ten, kur sinusas yra 0 (kai x = kp). Kituose taškuose jis mažėja monotoniškai ir tiesiomis linijomis x = kp – jo vertikalios asimptotės. Taškuose x = p/2 +kp kotangentas tampa 0, o nuolydis šiuose taškuose yra –1 (13 pav.).

Paritetas ir periodiškumas.

Funkcija vadinama net jei f(–x) = f(x). Kosinuso ir sekantinės funkcijos yra lyginės, o sinuso, liestinės, kotangentinės ir kosekantinės funkcijos yra nelyginės:

Paritetinės savybės išplaukia iš taškų simetrijos P a ir R- a (14 pav.) ašies atžvilgiu X. Esant tokiai simetrijai, taško ordinatė keičia ženklą (( X;adresu) eina į ( X; –у)). Visos funkcijos – periodinės, sinusinės, kosinusinės, sekantinės ir kosekantinės – turi 2 periodą p, ir tangentas ir kotangentas - p:

Sinuso ir kosinuso periodiškumas išplaukia iš to, kad visi taškai P a+2 kp, Kur k= 0, ±1, ±2,…, sutampa, o liestinės ir kotangento periodiškumas atsiranda dėl to, kad taškai P a + kp pakaitomis patenka į du diametraliai priešingus apskritimo taškus, suteikdami tą patį tašką liestinės ašyje.

Pagrindinės trigonometrinių funkcijų savybės gali būti apibendrintos lentelėje:

Sumažinimo formulės.

Pagal šias formules argumento trigonometrinės funkcijos reikšmė a, kur p/2 a p , gali būti sumažintas iki argumento funkcijos a reikšmės, kur 0 a p /2, arba tas pats, arba ją papildantis.

Argumentas b	-a	+a	p-a	p+a	+a	+a	2p-a
nuodėmė b	cos a	cos a	nuodėmė a	– nuodėmė a	– nes a	– nes a	– nuodėmė a
cos b	nuodėmė a	– nuodėmė a	– nes a	– nes a	– nuodėmė a	nuodėmė a	cos a

Todėl trigonometrinių funkcijų lentelėse reikšmės pateikiamos tik aštrūs kampai, ir pakanka apsiriboti, pavyzdžiui, sinusu ir tangentu. Lentelėje pateikiamos tik dažniausiai naudojamos sinuso ir kosinuso formulės. Iš jų nesunku gauti liestinės ir kotangento formules. Liejant funkciją iš formos argumento kp/2 ± a, kur k– sveikasis skaičius, atitinkantis argumento a funkciją:

1) funkcijos pavadinimas išsaugomas, jei k net, ir pakeičia į "papildomą", jei k nelyginis;

2) dešinėje pusėje esantis ženklas sutampa su redukuojamosios funkcijos ženklu taške kp/2 ± a, jei kampas a smailusis.

Pavyzdžiui, liejant ctg (a – p/2) įsitikiname, kad a – p/2 ties 0 a p /2 yra ketvirtame kvadrante, kur kotangentas yra neigiamas, ir pagal 1 taisyklę pakeičiame funkcijos pavadinimą: ctg (a – p/2) = –tg a .

Sudėjimo formulės.

Kelių kampų formulės.

Šios formulės yra tiesiogiai išvestos iš pridėjimo formulių:

sin 2a = 2 sin a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

sin 3a = 3 sin a – 4 nuodėmė 3 a;

cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;

Spręsdamas cos 3a formulę naudojo François Viète kubinė lygtis. Jis pirmasis rado cos posakius n a ir nuodėmė n a, kurie vėliau buvo gauti paprastesniu būdu iš Moivre'o formulės.

Jei dvigubų argumentų formulėse pakeisite a į /2, jas galima konvertuoti į pusės kampo formules:

Universalios pakeitimo formulės.

Naudojant šias formules, išraiška, apimanti skirtingas to paties argumento trigonometrines funkcijas, gali būti perrašyta kaip racionali išraiška iš vienos funkcijos tg (a /2), tai gali būti naudinga sprendžiant kai kurias lygtis:

Sumų pavertimo produktais ir produktų sumomis formulės.

Prieš kompiuterių atsiradimą šios formulės buvo naudojamos skaičiavimams supaprastinti. Skaičiavimai atlikti naudojant logaritmines lenteles o vėliau - slydimo taisyklė, nes logaritmai geriausiai tinka skaičiams dauginti, todėl visos pradinės išraiškos buvo suvestos į patogią logaritmavimui formą, t.y. į darbus, pavyzdžiui:

2 nuodėmė a sin b = cos ( a–b) – cos ( a+b);

2cos a cos b=cos( a–b) + cos ( a+b);

2 nuodėmė a cos b= nuodėmė ( a–b) + nuodėmė ( a+b).

Lietinės ir kotangento funkcijų formules galima gauti iš aukščiau pateiktų dalykų.

Laipsnio mažinimo formulės.

Iš kelių argumentų formulių gaunamos šios formulės:

Naudojant šias formules trigonometrines lygtis gali būti redukuojami į žemesnių laipsnių lygtis. Lygiai taip pat galime gauti daugiau redukcijos formulių aukšti laipsniai sinusas ir kosinusas.

Kiekviena trigonometrinė funkcija kiekviename jos apibrėžimo srities taške yra ištisinė ir be galo diferencijuojama. Be to, trigonometrinių funkcijų išvestinės yra trigonometrinės funkcijos, o integruojant gaunamos ir trigonometrinės funkcijos arba jų logaritmai. Integralai iš racionalių trigonometrinių funkcijų kombinacijų visada yra elementarios funkcijos.

Trigonometrinių funkcijų vaizdavimas laipsnių eilučių ir begalinių sandaugų pavidalu.

Visas trigonometrines funkcijas galima išplėsti galios serija. Šiuo atveju funkcijos nusidėja x bcos x pateikiami eilėmis. konvergencija visoms vertybėms x:

Šios serijos gali būti naudojamos apytikslėms nuodėmės išraiškoms gauti x ir cos x esant mažoms vertėms x:

adresu | x| p/2;

esant 0 x| p

(B n – Bernulio skaičiai).

nuodėmės funkcijos x ir cos x gali būti pavaizduotas begalinių produktų pavidalu:

Trigonometrinė sistema 1, cos x, nuodėmė x, cos 2 x, nuodėmė 2 x,¼, cos nx, nuodėmė nx, ¼, sudaro segmentą [– p, p] stačiakampė sistema funkcijos, kurios leidžia funkcijas vaizduoti trigonometrinių eilučių pavidalu.

apibrėžiami kaip atitinkamų tikrojo argumento trigonometrinių funkcijų analitiniai tęsiniai sudėtinga plokštuma. Taip, nuodėmė z ir cos z galima apibrėžti naudojant serijas nuodėmei x ir cos x, jei vietoj xįdėti z:

Šios serijos susilieja per visą plokštumą, taigi nuodėmė z ir cos z- visos funkcijos.

Tangentas ir kotangentas nustatomi pagal formules:

tg funkcijos z ir ctg z– meromorfinės funkcijos. tg poliai z ir sek z– paprastas (1 eilės) ir esantis taškuose z = p/2 + pn, poliai ctg z ir cosec z– taip pat paprastas ir išdėstytas taškuose z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Visos formulės, kurios galioja tikrojo argumento trigonometrinėms funkcijoms, galioja ir kompleksiniam. Visų pirma,

nuodėmė (- z) = –nuodėmė z,

cos (- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg (- z) = –ctg z,

tie. išsaugomas lyginis ir nelyginis paritetas. Taip pat išsaugomos formulės

nuodėmė ( z + 2p) = nuodėmė z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

tie. periodiškumas taip pat išsaugomas, o periodai yra tokie patys kaip ir tikrojo argumento funkcijoms.

Trigonometrinės funkcijos gali būti išreikšta eksponentine grynai įsivaizduojamo argumento funkcija:

Atgal, e iz išreikštas cos z ir nuodėmė z pagal formulę:

e iz= cos z + i nuodėmė z

Šios formulės vadinamos Eulerio formulėmis. Leonhardas Euleris juos sukūrė 1743 m.

Trigonometrinės funkcijos taip pat gali būti išreikštos hiperbolinės funkcijos:

z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

kur sh, ch ir th – hiperbolinis sinusas, kosinusas ir tangentė.

Sudėtingo argumento trigonometrinės funkcijos z = x + iy, Kur x Ir y – realūs skaičiai, gali būti išreikštas trigonometrinėmis ir hiperbolinėmis realių argumentų funkcijomis, pavyzdžiui:

nuodėmė ( x + iy) = nuodėmė x sk y + i cos x sh y;

cos ( x + iy) = cos x sk y + i nuodėmė x sh y.

Sudėtingo argumento sinusas ir kosinusas gali užtrukti tikrosios vertybės, viršija 1 absoliučia verte. Pavyzdžiui:

Jei nežinomas kampas įveda į lygtį kaip trigonometrinių funkcijų argumentą, tada lygtis vadinama trigonometrine. Tokios lygtys yra tokios dažnos, kad jų metodai sprendimai yra labai detalūs ir kruopščiai sukurti. SU su pagalba įvairios technikos o formulės trigonometrines lygtis redukuoja į formos lygtis f(x)=a, Kur f– bet kuri iš paprasčiausių trigonometrinių funkcijų: sinuso, kosinuso, tangento arba kotangento. Tada išsakykite argumentą xšią funkciją per žinomą vertę A.

Kadangi trigonometrinės funkcijos yra periodinės, tai tas pats A iš reikšmių diapazono yra be galo daug argumento reikšmių, o lygties sprendiniai negali būti parašyti kaip viena funkcija A. Todėl kiekvienos iš pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimo srityje pasirenkama sekcija, kurioje ji paima visas savo reikšmes, kiekviena tik vieną kartą, o šioje dalyje randama jai atvirkštinė funkcija. Tokios funkcijos žymimos pridedant priešdėlį lankas (lankas) prie pradinės funkcijos pavadinimo ir vadinamos atvirkštine trigonometrine. funkcijos arba tiesiog lanko funkcijos.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos.

Už nuodėmę X, cos X, tg X ir ctg X galima apibrėžti atvirkštines funkcijas. Jie atitinkamai žymimi arcsin X(skaitykite "arcsine" x“), arcos x, arctan x ir arcctg x. Pagal apibrėžimą arcsin X yra toks skaičius y, Ką

nuodėmė adresu = X.

Panašiai ir kitos atvirkštinės trigonometrinės funkcijos. Tačiau šis apibrėžimas turi tam tikrų netikslumų.

Jei atspindi nuodėmę X, cos X, tg X ir ctg X pirmojo ir trečiojo kvadrantų pusiausvyros atžvilgiu koordinačių plokštuma, tada funkcijos dėl savo periodiškumo tampa dviprasmiškos: tas pats sinusas (kosinusas, tangentas, kotangentas) atitinka begalinis skaičius kampuose

Norėdami atsikratyti dviprasmiškumo, kreivės atkarpa, kurios plotis p, šiuo atveju būtina, kad argumento ir funkcijos reikšmės atitiktų vienas su vienu. Parenkamos sritys, esančios šalia koordinačių pradžios. Dėl sine in Kaip intervalą „vienas su vienu“ imame segmentą [– p/2, p/2], kuriame sinusas monotoniškai didėja nuo –1 iki 1, kosinusui – atkarpa, tangentui ir kotangentui atitinkamai intervalai (– p/2, p/2) ir (0, p). Kiekviena intervalo kreivė atsispindi pusiausvyros atžvilgiu ir dabar galima nustatyti atvirkštines trigonometrines funkcijas. Pavyzdžiui, leiskite pateikti argumento reikšmę x 0, taip, kad 0 Ј x 0 Ј 1. Tada funkcijos reikšmė y 0 = arcsin x 0 bus tik viena prasmė adresu 0 , toks, kad - p/2 Ј adresu 0 Ј p/2 ir x 0 = nuodėmė y 0 .

Taigi arcsinusas yra arcsin funkcija A, apibrėžtas intervale [–1, 1] ir kiekvienam lygus A iki tokios vertės, – p/2 a p /2 kad sin a = A. Labai patogu jį pavaizduoti naudojant vienetinį apskritimą (15 pav.). Kada | a| 1 apskritime yra du taškai su ordinatėmis a, simetriškas ašies atžvilgiu u. Vienas iš jų atitinka kampą a= arcsin A, o kitas – kampelis p - a. SU atsižvelgiant į sinuso periodiškumą, tirpalą nuodėmės lygtys x= A parašyta taip:

x =(–1)n arcsin a + 2p n,

Kur n= 0, ±1, ±2,...

Taip pat galima išspręsti ir kitas paprastas trigonometrines lygtis:

cos x = a, –1 =a= 1;

x =±arcos a + 2p n,

Kur n= 0, ±1, ±2,... (16 pav.);

tg X = a;

x= arctan a + p n,

Kur n = 0, ±1, ±2,... (17 pav.);

ctg X= A;

X= arcctg a + p n,

Kur n = 0, ±1, ±2,... (18 pav.).

Pagrindinės atvirkštinių trigonometrinių funkcijų savybės:

arcsin X(19 pav.): apibrėžimo sritis – segmentas [–1, 1]; diapazonas – [– p/2, p/2], monotoniškai didėjanti funkcija;

arccos X(20 pav.): apibrėžimo sritis – segmentas [–1, 1]; reikšmių diapazonas – ; monotoniškai mažėjanti funkcija;

arctg X(21 pav.): apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai; reikšmių diapazonas – intervalas (– p/2, p/2); monotoniškai didėjanti funkcija; tiesiai adresu= –p/2 ir y = p /2 – horizontalios asimptotės;

arcctg X(22 pav.): apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai; reikšmių diapazonas – intervalas (0, p); monotoniškai mažėjanti funkcija; tiesiai y= 0 ir y = p– horizontalios asimptotės.

Bet kam z = x + iy, Kur x Ir y yra realieji skaičiai, galioja nelygybės

½| e\e y–e-y| ≤|nuodėmė z|≤½( e y + e-y),

½| e y–e-y| ≤|kai z|≤½( e y + e -y),

iš kurių at y Toliau pateikiamos asimptotinės formulės (vienodai x)

|nuodėmė z| » 1/2 e |y| ,

|cos z| » 1/2 e |y| .

Trigonometrinės funkcijos pirmą kartą pasirodė susijusios su astronomijos ir geometrijos tyrimais. Trikampio ir apskritimo atkarpų santykiai, kurie iš esmės yra trigonometrinės funkcijos, aptinkami jau III a. pr. Kr e. Senovės Graikijos matematikų darbuose – Euklidas, Archimedas, Apolonijus Pergietis ir kiti, tačiau šie santykiai nebuvo savarankiškas tyrimo objektas, todėl trigonometrinių funkcijų kaip tokių jie netyrė. Iš pradžių jie buvo laikomi segmentais, o tokia forma juos naudojo Aristarchas (IV a. II a. pr. Kr.), Hiparchas (II a. pr. Kr.), Menelajas (I a. po Kr.) ir Ptolemėjas (II a. po Kr.). sferinių trikampių sprendimas. Ptolemėjus sudarė pirmąją stygų lentelę smailiesiems kampams kas 30" 10 -6 tikslumu. Tai buvo pirmoji sinusų lentelė. Kaip santykis nuodėmės funkcija a randama jau Aryabhatoje (5 a. pab.). Funkcijos tg a ir ctg a yra al-Battani (IX a. 2 pusė – 10 a. pradžia) ir Abul-Wef (X a.), kurie taip pat naudoja sec a ir cosec a. Aryabhata jau žinojo formulę (sin 2 a + cos 2 a) = 1, taip pat nuodėmės formulės ir cos pusės kampo, kurio pagalba sukūriau sinusų lenteles kampams kas 3°45"; remiantis žinomos vertės trigonometrines funkcijas paprasčiausiems argumentams. Bhaskara (XII a.) pateikė metodą, kaip sudaryti lenteles pagal 1, naudojant sudėjimo formules. Įvairių argumentų trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formules paversti sandauga išvedė Regiomontanus (XV a.) ir J. Napier, ryšium su pastarojo logaritmų išradimu (1614). Regiomontanas pateikė sinusų reikšmių lentelę 1". Trigonometrinių funkcijų išplėtimą į laipsnių eilutes gavo I. Niutonas (1669). moderni forma trigonometrinių funkcijų teoriją pristatė L. Euleris (XVIII a.). Jam priklauso jų apibrėžimas iš tikrųjų ir sudėtingi argumentai, šiuo metu priimta simbolika, užmezganti ryšį su eksponentinė funkcija ir sinusų bei kosinusų sistemos ortogonalumą.