Straipsnio turinys

IŠVEDINIMAS– funkcijos išvestinė y = f(x), duota tam tikru intervalu ( a, b) taške xŠis intervalas vadinamas riba, iki kurios linksta funkcijos prieaugio santykis fšiuo metu į atitinkamą argumento prieaugį, kai argumento padidėjimas linkęs į nulį.

Išvestinė paprastai žymima taip:

Kiti pavadinimai taip pat plačiai naudojami:

Momentinis greitis.

Tegul taškas M juda tiesia linija. Atstumas s judantis taškas, skaičiuojamas nuo tam tikros pradinės padėties M 0 , priklauso nuo laiko t, t.y. s yra laiko funkcija t: s= f(t). Leiskite tam tikru momentu t judantis taškas M buvo per atstumą s iš pradinė padėtis M 0, o kitą akimirką t+D t atsidūrė tokioje padėtyje M 1 – per atstumą s+D s iš pradinės padėties ( žr. pav.).

Taigi per tam tikrą laiką D t atstumas s pakeista suma D s. Šiuo atveju jie sako, kad per laiko intervalą D t dydžio s gavo priedą D s.

Vidutinis greitis negali visais atvejais tiksliai apibūdinti taško judėjimo greičio M tam tikru momentu t. Jei, pavyzdžiui, kūnas intervalo D pradžioje t judėjo labai greitai, o pabaigoje labai lėtai vidutinis greitis negalės atspindėti nurodytų taško judėjimo ypatybių ir pateikti supratimo apie tikrąjį jo judėjimo greitį šiuo metu t. Norint tiksliau išreikšti tikrąjį greitį naudojant vidutinį greitį, reikia skirti trumpesnį laiko tarpą D t. Labiausiai apibūdina taško judėjimo greitį šiuo metu t riba, iki kurios vidutinis greitis linkęs ties D t® 0. Ši riba vadinama judėjimo greičiu šiuo metu:

Taigi judėjimo greitis tam tikru momentu vadinamas kelio prieaugio santykio D riba s prie laiko padidėjimo D t, kai laiko padidėjimas linkęs nulį. Nes

Geometrinė išvestinės reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė.

Liečiamųjų linijų konstravimas yra viena iš tų problemų, dėl kurių atsirado diferencialinis skaičiavimas. Pirmasis paskelbtas darbas, susijęs su diferencialiniu skaičiavimu ir perujietis Leibnicas, turėjo vardą Naujas metodas maksimumai ir minimumai, taip pat liestinės, kurioms nėra nei trupmeniniai, nei neracionalūs dydžiai, ir tam skirtas specialus skaičiavimo tipas yra kliūtis.

Tegul kreivė yra funkcijos grafikas y =f(x) V stačiakampė sistema koordinatės ( cm. ryžiai.).

Tam tikra verte x svarbu funkcija y =f(x). Šios vertybės x Ir y kreivės taškas atitinka M 0(x, y). Jei argumentas x duoti padidėjimas D x, tada nauja argumento reikšmė x+D x atitinka naują funkcijos reikšmę y+ D y = f(x + D x). Atitinkamas kreivės taškas bus taškas M 1(x+D x,y+D y). Jei nupiešite sekantą M 0M 1 ir žymimas j kampas, sudarytas skersinio su teigiama ašies kryptimi Jautis, iš paveikslo iš karto matyti, kad .

Jei dabar D x linkęs į nulį, tada taškas M 1 juda išilgai kreivės, artėdamas prie taško M 0 ir kampas j keičiasi su D x. At Dx® 0 kampas j linkęs į tam tikrą ribą a ir tiesė, einanti per tašką M 0, o dedamoji su teigiama x ašies kryptimi, kampas a, bus norima liestinė. Jo nuolydis yra:

Vadinasi, f´( x) = tga

tie. išvestinė vertė f´( x) nurodytai argumento vertei x lygus funkcijos grafiko liestinės suformuoto kampo tangentei f(x) atitinkamame taške M 0(x,y) su teigiama ašies kryptimi Jautis.

Funkcijų diferencijavimas.

Apibrėžimas. Jei funkcija y = f(x) turi išvestinę taške x = x 0, tada funkcija šiuo metu yra diferencijuojama.

Funkcijos, turinčios išvestinę, tęstinumas. Teorema.

Jei funkcija y = f(x) tam tikru momentu skiriasi x = x 0, tada šiame taške jis yra tęstinis.

Taigi funkcija negali turėti išvestinės nutrūkimo taškuose. Priešinga išvada yra neteisinga, t.y. nuo to, kad tam tikru momentu x = x 0 funkcija y = f(x) yra tęstinis, nereiškia, kad šiuo metu jis skiriasi. Pavyzdžiui, funkcija y = |x| nuolatinis visiems x(–Ґ x x = 0 neturi išvestinės. Šiuo metu grafiko liestinės nėra. Yra dešinioji ir kairioji, bet jos nesutampa.

Kai kurios diferencijuojamųjų funkcijų teoremos. Teorema apie išvestinės šaknis (Rolle teorema). Jei funkcija f(x) yra ištisinis segmente [a,b], visuose skiriasi vidinius taškusšio segmento ir galuose x = a Ir x = b eina į nulį ( f(a) = f(b) = 0), tada segmento [ a,b] yra bent vienas taškas x= Su, a c b, kuriame išvestinė fў( x) eina į nulį, t.y. fў( c) = 0.

Baigtinio prieaugio teorema (Lagranžo teorema). Jei funkcija f(x) yra tęstinis intervale [ a, b] ir skiriasi visuose vidiniuose šio segmento taškuose, tada segmento viduje [ a, b] yra bent vienas taškas Su, a c b tai

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Dviejų funkcijų prieaugio santykio teorema (Koši teorema). Jeigu f(x) Ir g(x) – segmente ištisinės dvi funkcijos [a, b] ir skiriasi visuose šio segmento vidiniuose taškuose, ir gў( x) niekur neišnyksta šiame segmente, tada segmento viduje [ a, b] yra toks punktas x = Su, a c b tai

Įvairių užsakymų dariniai.

Tegul funkcija y =f(x) yra diferencijuojamas tam tikru intervalu [ a, b]. Išvestinės vertės f ў( x), paprastai kalbant, priklauso nuo x, t.y. išvestinė f ў( x) taip pat yra funkcija x. Diferencijuodami šią funkciją gauname vadinamąją antrąją funkcijos išvestinę f(x), kuris yra pažymėtas f ўў ( x).

Darinys n- funkcijų tvarka f(x) vadinamas (pirmosios eilės) išvestiniu n- 1- ir žymimas simboliu y(n) = (y(n– 1))ў.

Įvairių užsakymų skirtumai.

Funkcinis diferencialas y = f(x), kur x– nepriklausomas kintamasis, taip dy = f ў( x)dx, kai kurios funkcijos iš x, bet nuo x gali priklausyti tik pirmasis veiksnys f ў( x), antrasis veiksnys ( dx) yra nepriklausomo kintamojo prieaugis x ir nepriklauso nuo šio kintamojo reikšmės. Nes dy yra funkcija nuo x, tada galime nustatyti šios funkcijos skirtumą. Funkcijos diferencialo diferencialas vadinamas antruoju šios funkcijos diferencialu arba antros eilės diferencialu ir žymimas d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferencialinis n- pirmos eilės yra vadinamas pirmuoju diferencialo diferencialu n- 1- užsakymas:

d n m = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Dalinė išvestinė.

Jei funkcija priklauso ne nuo vieno, o nuo kelių argumentų x i(i svyruoja nuo 1 iki n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), tada į diferencialinis skaičiavimasįvedama dalinės išvestinės sąvoka, kuri apibūdina kelių kintamųjų funkcijos kitimo greitį, kai keičiasi tik vienas argumentas, pvz. x i. 1 eilės dalinė išvestinė pagal x i apibrėžiamas kaip įprasta išvestinė, ir daroma prielaida, kad visi argumentai, išskyrus x i, išsaugoti pastovios vertės. Daliniams išvestiniams įvedamas žymėjimas

Taip apibrėžtos 1 eilės dalinės išvestinės (kaip tų pačių argumentų funkcijos) savo ruožtu gali turėti ir dalines išvestines, tai yra antros eilės dalinės išvestinės ir pan. Tokios išvestinės, paimtos iš skirtingų argumentų, vadinamos mišriomis. Tos pačios eilės ištisiniai mišrūs dariniai nepriklauso nuo diferenciacijos eilės ir yra lygūs vienas kitam.

Anna Chugainova

Sukurkite santykį ir apskaičiuokite ribą.

Iš kur jis atsirado? išvestinių ir diferenciacijos taisyklių lentelė? Vienintelės ribos dėka. Atrodo kaip magija, bet iš tikrųjų tai yra apgaulė ir jokios apgaulės. Klasėje Kas yra darinys? Pradėjau dairytis į konkrečius pavyzdžius, kur, naudodamas apibrėžimą, radau išvestinius iš tiesinės ir kvadratinė funkcija. Kognityvinio apšilimo tikslais ir toliau trikdysime darinių lentelė, tobulinant algoritmą ir techninius sprendimus:

1 pavyzdys

Iš esmės reikia įrodyti ypatingas atvejis išvestinė galios funkcija, kuris dažniausiai rodomas lentelėje: .

Sprendimas techniškai formalizuota dviem būdais. Pradėkime nuo pirmojo, jau žinomo požiūrio: kopėčios prasideda nuo lentos, o išvestinė funkcija prasideda nuo išvestinės taške.

Pasvarstykime kai kurie(konkretus) taškas, priklausantis apibrėžimo sritis funkcija, kurioje yra išvestinė. Šioje vietoje nustatykime prieaugį (žinoma, apimties riboseo/o -aš) ir sudaryti atitinkamą funkcijos prieaugį:

Apskaičiuokime ribą:

Neapibrėžtis 0:0 pašalinama standartine technika, laikoma dar pirmajame amžiuje prieš Kristų. Padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš konjuguotos išraiškos :

Tokios ribos sprendimo technika yra išsamiai aptarta adresu įvadinė pamoka apie funkcijų ribas.

Kadangi kaip kokybę galite pasirinkti BET kurį intervalo tašką, tada, atlikę pakeitimą, gauname:

Atsakymas

Dar kartą pasidžiaukime logaritmais:

2 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę, naudodami išvestinės apibrėžimą

Sprendimas: Apsvarstykime kitokį požiūrį į tą pačią užduotį. Ji lygiai tokia pati, bet dizaino požiūriu racionalesnė. Idėja yra atsikratyti apatinio indekso sprendimo pradžioje ir vietoj raidės naudoti raidę.

Pasvarstykime savavališkas priklausantis taškas apibrėžimo sritis funkcija (intervalas) ir joje nustatykite prieaugį. Bet čia, beje, kaip ir daugeliu atvejų, galite apsieiti be jokių išlygų, nes logaritminė funkcija skiriasi bet kuriame apibrėžimo srities taške.

Tada atitinkamas funkcijos padidėjimas yra:

Raskime išvestinę:

Dizaino paprastumą atsveria painiava, kuri gali kilti pradedantiesiems (ir ne tik). Juk esame įpratę, kad „X“ raidė keičiasi limite! Bet čia viskas kitaip: - senovinė statula, ir - gyvas lankytojas, sparčiai einantis muziejaus koridoriumi. Tai yra, „x“ yra „kaip konstanta“.

Apie neapibrėžtumo pašalinimą pakomentuosiu žingsnis po žingsnio:

(1) Mes naudojame logaritmo savybę .

(2) Skliausteliuose padalykite skaitiklį iš vardiklio termino.

(3) Vardiklyje dirbtinai padauginame ir padalijame iš „x“, kad pasinaudotume nepaprasta riba , o as be galo mažas išsiskiria.

Atsakymas: pagal išvestinės priemonės apibrėžimą:

Arba trumpai:

Siūlau pačiam susikurti dar dvi lentelės formules:

3 pavyzdys

IN šiuo atveju sudarytą prieaugį patogu iš karto vesti į bendras vardiklis. Apytikslis pavyzdys užduoties atlikimas pamokos pabaigoje (pirmas metodas).

3 pavyzdys:Sprendimas : apsvarstykite kai kuriuos dalykus , priklausantis funkcijos apibrėžimo sričiai . Šioje vietoje nustatykime prieaugį ir sudaryti atitinkamą funkcijos prieaugį:

Raskime išvestinę taške :


Kadangi kaip a galite pasirinkti bet kurį tašką funkcijos domenas , Tai Ir
Atsakymas : pagal išvestinės apibrėžimą

4 pavyzdys

Raskite išvestinę pagal apibrėžimą

Ir čia reikia viską sumažinti nuostabi riba . Sprendimas įforminamas antruoju būdu.

Nemažai kitų lentelės vediniai. Visas sąrašas galima rasti mokyklinis vadovėlis, arba, pavyzdžiui, 1-asis Fichtenholtzo tomas. Nematau prasmės kopijuoti diferenciacijos taisyklių įrodymus iš knygų – juos taip pat generuoja formulė.

4 pavyzdys:Sprendimas , priklausantis , ir nustatykite jo prieaugį

Raskime išvestinę:

Naudojant nuostabią ribą

Atsakymas : pagal apibrėžimą

5 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę , naudojant išvestinės apibrėžimą

Sprendimas: naudojame pirmąjį dizaino stilių. Panagrinėkime tam tikrą tašką, priklausantį , ir nurodykime argumento prieaugį. Tada atitinkamas funkcijos padidėjimas yra:

Galbūt kai kurie skaitytojai dar nėra iki galo supratę principo, pagal kurį reikia didinti žingsnius. Paimkite tašką (skaičius) ir suraskite jame funkcijos reikšmę: , tai yra, į funkciją vietoj"X" turėtų būti pakeistas. Dabar mes taip pat paimame labai konkretų skaičių ir taip pat pakeičiame jį į funkciją vietoj"iksa": . Užrašome skirtumą, ir jis būtinas pilnai įdėti į skliaustus.

Sukompiliuota funkcijos prieaugis Gali būti naudinga nedelsiant supaprastinti. Už ką? Palengvinkite ir sutrumpinkite sprendimą iki tolesnės ribos.

Mes naudojame formules, atidarome skliaustus ir sumažiname viską, ką galima sumažinti:

Kalakutiena išdarinėta, su kepsniu jokių problemų:

Kaip rezultatas:

Kadangi galite pasirinkti bet kokią kokybę realus skaičius, tada atliekame pakeitimą ir gauname .

Atsakymas: pagal apibrėžimą.

Patikrinimo tikslais suraskime išvestinę priemonę naudojant diferenciacijos taisyklės ir lentelės:

Visada naudinga ir malonu iš anksto žinoti teisingą atsakymą, todėl siūlomą funkciją geriau „greitai“ diferencijuoti mintyse arba juodraštyje, pačioje sprendimo pradžioje.

6 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę pagal išvestinės apibrėžimą

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Rezultatas akivaizdus:

6 pavyzdys:Sprendimas : apsvarstykite kai kuriuos dalykus , priklausantis , ir jame nustatykite argumento prieaugį . Tada atitinkamas funkcijos padidėjimas yra:


Apskaičiuokime išvestinę:


Taigi:
Nes kaip tada galite pasirinkti bet kurį tikrąjį skaičių Ir
Atsakymas : pagal apibrėžimą.

Grįžkime prie 2 stiliaus:

7 pavyzdys

Nedelsdami išsiaiškinkime, kas turėtų nutikti. Autorius diferenciacijos taisyklė sudėtinga funkcija :

Sprendimas: apsvarstykite savavališkas taškas, priklausantis , nustatykite jame argumento prieaugį ir sudarykite funkcijos prieaugį:

Raskime išvestinę:


(1) Naudojimas trigonometrinė formulė .

(2) Po sinusu atveriame skliaustus, po kosinusu pateikiame panašius terminus.

(3) Po sinusu sumažiname terminus, po kosinusu dalijame skaitiklį iš vardiklio termino.

(4) Dėl sinuso keistumo išimame „minusą“. Po kosinusu nurodome, kad terminas .

(5) Atliekame dirbtinį vardiklio dauginimą, kad galėtume naudoti pirmoji nuostabi riba. Taigi neapibrėžtumas pašalinamas, sutvarkykime rezultatą.

Atsakymas: pagal apibrėžimą

Kaip matote, pagrindinis nagrinėjamos problemos sunkumas priklauso nuo pačios ribos sudėtingumo + nedidelio pakuotės unikalumo. Praktikoje pasitaiko abu projektavimo būdai, todėl kiek įmanoma detaliau aprašysiu abu būdus. Jie yra lygiaverčiai, bet vis tiek, mano subjektyviu įspūdžiu, manekenams labiau patartina laikytis 1 varianto su „X-nulis“.

8 pavyzdys

Naudodamiesi apibrėžimu, raskite funkcijos išvestinę

8 pavyzdys:Sprendimas : apsvarstykite savavališką tašką , priklausantis , nustatykite jo prieaugį ir sudaryti funkcijos prieaugį:

Raskime išvestinę:

Mes naudojame trigonometrinę formulę ir pirmoji nuostabi riba:

Atsakymas : pagal apibrėžimą

Pažvelkime į retesnę problemos versiją:

9 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę taške naudodami išvestinės apibrėžimą.

Pirma, kokia turėtų būti esmė? Skaičius

Paskaičiuokime atsakymą standartiniu būdu:

Sprendimas: aiškumo požiūriu ši užduotis yra daug paprastesnė, nes formulėje atsižvelgiama į konkrečią reikšmę.

Nustatykime prieaugį taške ir sudarykime atitinkamą funkcijos prieaugį:

Apskaičiuokime išvestinę taške:

Mes naudojame labai retą liestinės skirtumo formulę ir dar kartą sumažiname tirpalą iki pirmoji nuostabi riba:

Atsakymas: pagal išvestinės apibrėžimą taške.

Problemą išspręsti nėra taip sunku ir „į bendras vaizdas“ – užtenka pakeisti arba tiesiog priklausomai nuo projektavimo metodo. Šiuo atveju aišku, kad rezultatas bus ne skaičius, o išvestinė funkcija.

10 pavyzdys

Naudodamiesi apibrėžimu, raskite funkcijos išvestinę taške (vienas iš jų gali pasirodyti begalinis), apie kurį aš kalbu bendras kontūras jau pasakyta teorinė pamoka apie išvestinę.

Kai kurie dalimis apibrėžtos funkcijos taip pat skiriasi „jungtiniuose“ grafiko taškuose, pavyzdžiui, kačių šuo taške turi bendrą išvestinę ir bendrą liestinę (x ašį). Kreivė, bet skiriasi pagal ! Besidomintieji gali tuo įsitikinti patys naudodami ką tik išspręstą pavyzdį.

©2015-2019 svetainė
Visos teisės priklauso jų autoriams. Ši svetainė nepretenduoja į autorystę, tačiau suteikia galimybę nemokamai naudotis.
Puslapio sukūrimo data: 2017-06-11

Jei laikotės apibrėžimo, tada funkcijos išvestinė taške yra funkcijos Δ prieaugio santykio riba. y prie argumento prieaugio Δ x:

Viskas lyg ir aišku. Bet pabandykite naudoti šią formulę, kad apskaičiuotumėte, tarkime, funkcijos išvestinę f(x) = x 2 + (2x+3) · e x nuodėmė x. Jei viską darysite pagal apibrėžimą, po poros puslapių skaičiavimų jūs tiesiog užmigsite. Todėl yra paprastesnių ir efektyvesnių būdų.

Pirmiausia pažymime, kad iš visos funkcijų įvairovės galime išskirti vadinamąsias elementarias funkcijas. Tai reliatyvu paprasti posakiai, kurių išvestinės priemonės jau seniai skaičiuojamos ir pateikiamos lentelėje. Tokias funkcijas gana lengva įsiminti – kartu su jų dariniais.

Elementariųjų funkcijų dariniai

Visos toliau išvardytos pagrindinės funkcijos. Šių funkcijų išvestinius reikia žinoti mintinai. Be to, juos įsiminti visai nesunku – štai kodėl jie elementarūs.

Taigi, dariniai elementarios funkcijos:

Jei elementari funkcija padauginama iš savavališkos konstantos, tada naujos funkcijos išvestinė taip pat lengvai apskaičiuojama:

(C · f)’ = C · f ’.

Apskritai konstantas galima išimti iš išvestinės ženklo. Pavyzdžiui:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Akivaizdu, kad elementarias funkcijas galima sudėti viena į kitą, dauginti, padalinti – ir dar daugiau. Taip atsiras naujos funkcijos, nebe itin elementarios, bet ir diferencijuotos pagal tam tikras taisykles. Šios taisyklės aptariamos toliau.

Sumos ir skirtumo išvestinė

Tegul funkcijos pateikiamos f(x) Ir g(x), kurių vediniai mums žinomi. Pavyzdžiui, galite paimti pirmiau aptartas elementarias funkcijas. Tada galite rasti šių funkcijų sumos ir skirtumo išvestinę:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Taigi dviejų funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi išvestinių sumai (skirtumui). Gali būti ir daugiau terminų. Pavyzdžiui, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Griežtai kalbant, algebroje nėra „atimties“ sąvokos. Yra sąvoka „neigiamas elementas“. Todėl skirtumas f − g galima perrašyti į sumą f+ (-1) g, o tada lieka tik viena formulė – sumos išvestinė.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) yra dviejų elementariųjų funkcijų suma, todėl:

f ’(x) = (x 2 + nuodėmė x)’ = (x 2)' + (nuodėmė x)’ = 2x+ cos x;

Panašiai motyvuojame ir dėl funkcijos g(x). Tik jau yra trys terminai (algebros požiūriu):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Atsakymas:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Produkto darinys

Matematika yra loginis mokslas, todėl daugelis žmonių mano, kad jei sumos išvestinė yra lygi išvestinių sumai, tai sandaugos išvestinė streikuoti">lygus išvestinių sandaugai. Bet sukiškite! Produkto išvestinė apskaičiuojama naudojant visiškai kitą formulę. Būtent:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formulė paprasta, bet dažnai pamirštama. Ir ne tik moksleiviai, bet ir studentai. Rezultatas – neteisingai išspręstos problemos.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) yra dviejų elementarių funkcijų sandauga, todėl viskas paprasta:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)“ cos x + x 3 (kai x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-nuodėmė x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x)

Funkcija g(x) pirmasis veiksnys yra šiek tiek sudėtingesnis, bet bendra schema tai nesikeičia. Akivaizdu, kad pirmasis funkcijos veiksnys g(x) yra daugianario, o jo išvestinė yra sumos išvestinė. Turime:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)“ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Atsakymas:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Atkreipkite dėmesį, kad paskutiniame etape išvestinė yra faktorizuojama. Formaliai to daryti nereikia, tačiau dauguma išvestinių skaičiuojamos ne pačios, o funkcijai ištirti. Tai reiškia, kad toliau išvestinė bus prilyginama nuliui, nustatomi jos ženklai ir pan. Tokiam atvejui išraišką geriau naudoti faktoriais.

Jei yra dvi funkcijos f(x) Ir g(x), ir g(x) ≠ 0 mus dominančioje aibėje, galime apibrėžti naują funkciją h(x) = f(x)/g(x). Tokiai funkcijai taip pat galite rasti išvestinę:

Ne silpna, tiesa? Iš kur atsirado minusas? Kodėl g 2? Ir taip! Tai vienas iš labiausiai sudėtingos formulės- Negalite to suprasti be butelio. Todėl geriau jį studijuoti konkrečių pavyzdžių.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius:

Kiekvienos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra elementarios funkcijos, todėl mums tereikia dalinio išvestinės formulės:

Pagal tradiciją, skaitiklį suskaidykime faktoriais – tai labai supaprastins atsakymą:

Sudėtinga funkcija nebūtinai yra pusės kilometro ilgio formulė. Pavyzdžiui, pakanka paimti funkciją f(x) = nuodėmė x ir pakeiskite kintamąjį x, tarkim, įjungta x 2 + ln x. Tai pavyks f(x) = nuodėmė ( x 2 + ln x) – tai sudėtinga funkcija. Ji taip pat turi išvestinę, tačiau jos nebus galima rasti naudojant aukščiau aptartas taisykles.

Ką turėčiau daryti? Tokiais atvejais sudėtingos funkcijos išvestinės kintamojo ir formulės pakeitimas padeda:

f ’(x) = f ’(t) · t', jei x pakeičiamas t(x).

Paprastai situacija su šios formulės supratimu yra dar liūdnesnė nei su koeficiento išvestine. Todėl taip pat geriau tai paaiškinti konkrečiais pavyzdžiais, su išsamus aprašymas kiekviename žingsnyje.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = nuodėmė ( x 2 + ln x)

Atkreipkite dėmesį, kad jei funkcijoje f(x) vietoj 2 išraiškos x+3 bus lengva x, tada gauname elementariąją funkciją f(x) = e x. Todėl pakeičiame: leiskite 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Sudėtingos funkcijos išvestinės ieškome naudodami formulę:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

O dabar – dėmesio! Atliekame atvirkštinį keitimą: t = 2x+ 3. Gauname:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Dabar pažiūrėkime į funkciją g(x). Akivaizdu, kad jį reikia pakeisti x 2 + ln x = t. Turime:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (nuodėmė t)’ · t' = cos t · t ’

Atvirkštinis pakeitimas: t = x 2 + ln x. Tada:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

tai viskas! Kaip matyti iš paskutinės išraiškos, visa problema buvo sumažinta iki išvestinės sumos apskaičiavimo.

Atsakymas:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Labai dažnai pamokose vietoj termino „išvestinė“ vartoju žodį „pirminis“. Pavyzdžiui, pirminis dydis nuo sumos lygi sumai potėpių. Ar taip aiškiau? Na, tai gerai.

Taigi, apskaičiuojant išvestinę sumą, reikia atsikratyti tų pačių smūgių pagal aukščiau aptartas taisykles. Kaip paskutinis pavyzdys Grįžkime prie išvestinės galios su racionaliuoju rodikliu:

(x n)’ = n · x n − 1

Nedaug žmonių tai žino vaidmenyje n gali gerai atlikti trupmeninis skaičius. Pavyzdžiui, šaknis yra x 0.5. Ką daryti, jei po šaknimi yra kažkas įmantraus? Vėlgi, rezultatas bus sudėtinga funkcija - jie mėgsta tokias konstrukcijas bandymai ir egzaminus.

Užduotis. Raskite funkcijos išvestinę:

Pirmiausia perrašykime šaknį kaip laipsnį su racionaliuoju rodikliu:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Dabar pakeičiame: tegul x 2 + 8x − 7 = t. Išvestinę randame naudodami formulę:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)“ · t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.

Atlikime atvirkštinį pakeitimą: t = x 2 + 8x− 7. Mes turime:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x– 7) –0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Galiausiai grįžkime prie šaknų:

Kas yra darinys?

Darinių lentelė.

Darinys yra viena iš pagrindinių sąvokų aukštoji matematika. Šioje pamokoje supažindinsime su šia sąvoka. Tiesiog susipažinkime, be griežtų matematines formuluotes ir įrodymus.

Ši pažintis leis jums:

Suvokti paprastų užduočių su išvestiniais esmę;

Sėkmingai sprendžiant šias problemas sunkių užduočių;

Pasiruoškite rimtesnėms pamokoms apie išvestines priemones.

Pirma - maloni staigmena.)

Griežtas išvestinės apibrėžimas pagrįstas ribų teorija ir dalykas yra gana sudėtingas. Tai erzina. Tačiau praktinis darinių pritaikymas, kaip taisyklė, nereikalauja tokių plačių ir gilių žinių!

Norint sėkmingai atlikti daugumą užduočių mokykloje ir universitete, pakanka žinoti tik keli terminai- suprasti užduotį ir tik kelios taisyklės- ją išspręsti. Tai viskas. Tai mane džiugina.

Pradėkime susipažinti?)

Terminai ir pavadinimai.

Elementariojoje matematikoje yra daug įvairių matematinių operacijų. Sudėjimas, atimtis, daugyba, eksponencija, logaritmas ir kt. Jei prie šių operacijų pridėsite dar vieną operaciją, elementarioji matematika taps aukštesnė. Ši nauja operacija vadinama diferenciacija.Šios operacijos apibrėžimas ir prasmė bus aptariama atskirose pamokose.

Čia svarbu suprasti, kad diferenciacija yra paprasta matematinis veiksmas virš funkcijos. Mes priimame bet kokią funkciją ir, atsižvelgiant į tam tikros taisyklės, pakeiskite jį. Rezultatas bus nauja funkcija. Ši nauja funkcija vadinama: išvestinė.

Diferencijavimas- veiksmas pagal funkciją.

Darinys- šio veiksmo rezultatas.

Visai kaip pvz. suma- pridėjimo rezultatas. Arba privatus- padalijimo rezultatas.

Žinodami terminus, bent jau galite suprasti užduotis.) Formuluotės yra tokios: rasti funkcijos išvestinę; paimti darinį; atskirti funkciją; apskaičiuoti išvestinę ir tt Tai viskas tas pats dalykas.Žinoma, yra ir sudėtingesnių užduočių, kur išvestinės (diferencijavimo) radimas bus tik vienas iš problemos sprendimo žingsnių.

Išvestinė pažymėta brūkšneliu funkcijos viršuje, dešinėje. kaip tai: y" arba f"(x) arba S"(t) ir taip toliau.

Skaitymas igrek insultas, ef insultas iš x, es insultas iš te, nu supranti...)

Pirminis dydis taip pat gali nurodyti tam tikros funkcijos išvestinę, pavyzdžiui: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" ir tt Dažnai išvestinės yra žymimos diferencialais, tačiau šioje pamokoje tokio žymėjimo nenagrinėsime.

Tarkime, kad išmokome suprasti užduotis. Belieka išmokti juos išspręsti.) Dar kartą priminsiu: išvestinės radimas yra funkcijos transformacija pagal tam tikras taisykles. Keista, bet tokių taisyklių yra labai mažai.

Norėdami rasti funkcijos išvestinę, turite žinoti tik tris dalykus. Trys ramsčiai, ant kurių stovi visa diferenciacija. Štai šie trys ramsčiai:

1. Išvestinių (diferencijavimo formulių) lentelė.

3. Sudėtinės funkcijos išvestinė.

Pradėkime eilės tvarka. Šioje pamokoje pažvelgsime į išvestinių išvestinių lentelę.

Darinių lentelė.

Pasaulyje - begalinis rinkinys funkcijas. Tarp šios įvairovės yra funkcijų, kurios yra svarbiausios praktinis pritaikymas. Šios funkcijos randamos visuose gamtos dėsniuose. Iš šių funkcijų, kaip iš plytų, galite sukonstruoti visas kitas. Ši funkcijų klasė vadinama elementarios funkcijos. Būtent šios funkcijos yra mokomos mokykloje - tiesinė, kvadratinė, hiperbolė ir kt.

Funkcijų diferencijavimas „nuo nulio“, t.y. Remiantis išvestinės apibrėžimu ir ribų teorija, tai gana daug darbo reikalaujantis dalykas. O matematikai taip pat yra žmonės, taip, taip!) Taigi jie supaprastino savo (ir mūsų) gyvenimą. Jie prieš mus apskaičiavo elementariųjų funkcijų išvestis. Rezultatas yra išvestinių priemonių lentelė, kurioje viskas yra paruošta.)

Štai ši plokštė skirta populiariausioms funkcijoms. Kairėje yra elementari funkcija, dešinėje - jos išvestinė.

	Funkcija y	Funkcijos y išvestinė y"
1	C ( pastovus)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n – bet koks skaičius)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	nuodėmė x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	žurnalas a x
	ln x ( a = e)

Šioje išvestinių lentelėje rekomenduoju atkreipti dėmesį į trečią funkcijų grupę. Galios funkcijos išvestinė yra viena iš labiausiai paplitusių formulių, jei ne pati labiausiai paplitusi! Ar suprantate užuominą?) Taip, išvestinių lentelę patartina žinoti mintinai. Beje, tai nėra taip sunku, kaip gali pasirodyti. Pabandykite nuspręsti daugiau pavyzdžių, pati lentelė bus prisiminta!)

Išvestinės lentelės reikšmės radimas, kaip suprantate, nėra pati sunkiausia užduotis. Todėl labai dažnai tokiose užduotyse yra papildomų lustų. Arba užduoties formuluotėje, arba pradinėje funkcijoje, kurios, atrodo, nėra lentelėje...

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1. Raskite funkcijos y = x išvestinę 3

Lentelėje tokios funkcijos nėra. Tačiau yra bendros formos galios funkcijos išvestinė (trečioji grupė). Mūsų atveju n=3. Taigi vietoj n pakeičiame tris ir atidžiai užrašome rezultatą:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Tai viskas.

Atsakymas: y" = 3x 2

2. Raskite funkcijos y = sinx išvestinės reikšmę taške x = 0.

Ši užduotis reiškia, kad pirmiausia turite rasti sinuso išvestinę, o tada pakeisti reikšmę x = 0į šį patį darinį. Būtent tokia tvarka! Priešingu atveju atsitinka taip, kad jie iš karto pakeičia nulį į pradinę funkciją... Mūsų prašoma rasti ne pradinės funkcijos reikšmę, o reikšmę jo vedinys. Išvestinė, leiskite man priminti, yra nauja funkcija.

Naudodami planšetę randame sinusą ir atitinkamą išvestinę:

y" = (sin x)" = cosx

Išvestinėje pakeičiame nulį:

y"(0) = cos 0 = 1

Tai bus atsakymas.

3. Atskirkite funkciją:

Ką, įkvepia?) Išvestinių lentelėje tokios funkcijos nėra.

Leiskite jums priminti, kad norint atskirti funkciją, tiesiog reikia rasti šios funkcijos išvestinę. Jei pamiršite elementariąją trigonometriją, ieškoti mūsų funkcijos išvestinės yra gana varginanti. Lentelė nepadeda...

Bet jei matome, kad mūsų funkcija yra kosinusas dvigubas kampas , tada viskas iš karto pagerės!

Taip, taip! Atminkite, kad pakeiskite pradinę funkciją prieš diferenciaciją visai priimtina! Ir tai labai palengvina gyvenimą. Naudojant dvigubo kampo kosinuso formulę:

Tie. mūsų sudėtinga funkcija yra ne kas kita y = cosx. O tai yra - stalo funkcija. Iš karto gauname:

Atsakymas: y" = - sin x.

Pavyzdys pažengusiems absolventams ir studentams:

4. Raskite funkcijos išvestinę:

Išvestinių lentelėje tokios funkcijos, žinoma, nėra. Bet jei prisimeni pagrindinė matematika, veiksmai su laipsniais... Tada šią funkciją visiškai įmanoma supaprastinti. kaip tai:

O x iki dešimtosios laipsnio jau yra lentelės funkcija! Trečioji grupė, n=1/10. Rašome tiesiai pagal formulę:

Tai viskas. Tai bus atsakymas.

Tikiuosi, kad su pirmuoju diferenciacijos ramsčiu – išvestinių lentele – viskas aišku. Belieka susidoroti su dviem likusiais banginiais. Kitoje pamokoje mokysimės diferencijavimo taisyklių.

(\didelis\bf Funkcijos išvestinė)

Apsvarstykite funkciją y=f(x), nurodytas intervale (a, b). Leiskite x- bet kuris fiksuotas intervalo taškas (a, b), A Δx - savavališkas skaičius, tokia, kad vertė x+Δx taip pat priklauso intervalui (a, b). Šis skaičius Δx vadinamas argumentų prieaugiu.

Apibrėžimas. Funkcijų padidėjimas y=f(x) taške x, atitinkantis argumento prieaugį Δx, skambinkime numeriu

Δy = f(x+Δx) – f(x).

Mes tuo tikime Δx ≠ 0. Apsvarstykite tam tikru fiksuotu tašku x funkcijos prieaugio santykis šiame taške ir atitinkamo argumento prieaugio santykis Δx

Šį ryšį vadinsime skirtumo ryšiu. Nuo vertės x laikome fiksuotu, skirtumo santykis yra argumento funkcija Δx. Ši funkcija apibrėžta visoms argumentų reikšmėms Δx, priklausantis kokiai nors pakankamai mažai taško kaimynystei Δx=0, išskyrus patį tašką Δx=0. Taigi mes turime teisę svarstyti ribos egzistavimo klausimą nurodytą funkciją adresu Δx → 0.

Apibrėžimas. Funkcijos išvestinė y=f(x) tam tikrame fiksuotame taške x vadinama riba ties Δx → 0 skirtumo santykis, tai yra

Su sąlyga, kad ši riba egzistuoja.

Paskyrimas. y'(x) arba f'(x).

Geometrinė išvestinės reikšmė: funkcijos išvestinė f(x)šiuo metu x lygus kampo tarp ašies tangentei Jautis ir šios funkcijos grafiko liestinė atitinkamame taške:

f′(x 0) = \tgα.

Mechaninė vedinio reikšmė: Kelio išvestinė laiko atžvilgiu yra lygi greičiui tiesinis judėjimas taškai:

Tiesės liestinės lygtis y=f(x) taške M 0 (x 0 ,y 0)įgauna formą

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Kreivės normalus tam tikru tašku yra statmenas liestinės tame pačiame taške. Jeigu f′(x 0)≠ 0, tada tiesės normaliosios lygtis y=f(x) taške M 0 (x 0 ,y 0) parašyta taip:

Funkcijos diferencijavimo samprata

Tegul funkcija y=f(x) apibrėžta per tam tikrą intervalą (a, b), x- tam tikra fiksuota argumento reikšmė iš šio intervalo, Δx- bet koks argumento padidėjimas, kuris atitinka argumento vertę x+Δx ∈ (a, b).

Apibrėžimas. Funkcija y=f(x) vadinamas diferencijuojamu tam tikrame taške x, jei prieaugis Δyšią funkciją taške x, atitinkantis argumento prieaugį Δx, gali būti pavaizduotas formoje

Δy = A Δx + αΔx,

Kur A- tam tikras skaičius, nepriklausomas nuo Δx, A α - argumentų funkcija Δx, kuris yra be galo mažas Δx → 0.

Kadangi dviejų be galo mažų funkcijų sandauga αΔx yra be galo maža daugiau aukšta tvarka, kaip Δx(3 be galo mažų funkcijų savybė), tada galime parašyti:

Δy = A Δx +o(Δx).

Teorema. Norėdami atlikti funkciją y=f(x) buvo skirtingas tam tikru momentu x, būtina ir pakanka, kad šiame taške būtų baigtinė išvestinė. Tuo pačiu metu A=f′(x), tai yra

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Išvestinės radimo operacija paprastai vadinama diferenciacija.

Teorema. Jei funkcija y=f(x) x, tada šiuo metu jis yra tęstinis.

komentuoti. Nuo funkcijos tęstinumo y=f(x)šiuo metu x, paprastai kalbant, funkcijos diferencijavimas nesiseka f(x)šiuo metu. Pavyzdžiui, funkcija y=|x|- nenutrūkstama taške x=0, bet neturi išvestinės.

Diferencialinės funkcijos samprata

Apibrėžimas. Funkcinis diferencialas y=f(x) vadinama šios funkcijos išvestinės ir nepriklausomo kintamojo prieaugio sandauga x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Dėl funkcijos y=x gauname dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, tai yra dx=Δx- nepriklausomo kintamojo skirtumas yra lygus šio kintamojo prieaugiui.

Taigi, mes galime rašyti

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferencialinis dy ir prieaugis Δy funkcijas y=f(x)šiuo metu x, abu atitinka tą patį argumento prieaugį Δx, paprastai kalbant, nėra lygūs vienas kitam.

Geometrinė diferencialo reikšmė: funkcijos skirtumas yra lygus šios funkcijos grafiko liestinės ordinatės prieaugiui, kai argumentas padidinamas Δx.

Diferencijavimo taisyklės

Teorema. Jei kiekviena iš funkcijų u(x) Ir v(x) skiriasi tam tikrame taške x, tada šių funkcijų suma, skirtumas, sandauga ir koeficientas (dalytuvas su sąlyga, kad v(x)≠ 0) šiuo metu taip pat skiriasi, o formulės galioja:

Apsvarstykite sudėtingą funkciją y=f(φ(x))≡ F(x), Kur y=f(u), u=φ(x). Šiuo atveju u paskambino tarpinis argumentas, x - nepriklausomas kintamasis.

Teorema. Jeigu y=f(u) Ir u=φ(x) yra diferencijuojamos jų argumentų funkcijos, tada sudėtingos funkcijos išvestinė y=f(φ(x)) egzistuoja ir yra lygus šios funkcijos sandaugai tarpinio argumento atžvilgiu ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu, t.y.

komentuoti. Sudėtingai funkcijai, kuri yra trijų funkcijų superpozicija y=F(f(φ(x))), diferenciacijos taisyklė turi formą

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

kur funkcijos v=φ(x), u=f(v) Ir y=F(u)- diferencijuojamos jų argumentų funkcijos.

Teorema. Tegul funkcija y=f(x) didėja (arba mažėja) ir yra nuolatinis tam tikroje taško kaimynystėje x 0. Be to, tegul ši funkcija yra diferencijuojama nurodytame taške x 0 ir jo išvestinė šioje vietoje f′(x 0) ≠ 0. Tada kokioje nors atitinkamo taško kaimynystėje y 0 =f(x 0) apibrėžiamas atvirkštinis y=f(x) funkcija x=f -1 (y), ir nurodyta atvirkštinė funkcija skiriasi atitinkamame taške y 0 =f(x 0) o jo išvestinei šioje vietoje y formulė galioja

Išvestinių priemonių lentelė

Pirmojo diferencialo formos nekintamumas

Panagrinėkime sudėtingos funkcijos diferencialą. Jeigu y=f(x), x=φ(t)- jų argumentų funkcijos yra diferencijuojamos, tada funkcijos išvestinė y=f(φ(t)) išreikšta formule

y′t = y′xx′t.

Pagal apibrėžimą dy=y′t dt, tada gauname

dy = y't dt = y'x · x't dt = y'x (x't dt) = y'x dx,

dy = y′ x dx.

Taigi, mes įrodėme

Funkcijos pirmojo diferencialo formos nekintamumo savybė: kaip ir tuo atveju, kai argumentas x yra nepriklausomas kintamasis, o tuo atveju, kai argumentas x pati yra naujojo kintamojo diferencialo funkcija dy funkcijas y=f(x) yra lygus šios funkcijos išvestinei, padaugintai iš argumento diferencialo dx.

Diferencialo taikymas apytiksliuose skaičiavimuose

Mes parodėme, kad skirtumas dy funkcijas y=f(x), paprastai kalbant, nėra lygus prieaugiui Δyšią funkciją. Tačiau tikslumu iki begalybės maža funkcija aukštesnė mažumo tvarka nei Δx, galioja apytikslė lygybė

Δy ≈ dy.

Santykis vadinamas santykine šios lygybės lygybės paklaida. Nes Δy-dy=o(Δx), Tai santykinė klaidašios lygybės mažėjant tampa savavališkai maža |Δх|.

Atsižvelgiant į tai Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, gauname f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx arba

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Ši apytikslė lygybė leidžia su klaida o(Δx) pakeisti funkciją f(x) nedidelėje taško kaimynystėje x(ty mažoms vertėms Δx) tiesinė funkcija argumentas Δx, stovi dešinėje pusėje.

Aukštesnės eilės išvestinės priemonės

Apibrėžimas. Funkcijos antroji išvestinė (arba antros eilės išvestinė). y=f(x) vadinamas jo pirmojo vedinio vediniu.

Antrosios funkcijos išvestinės žymėjimas y=f(x):

Antrojo vedinio mechaninė reikšmė. Jei funkcija y=f(x) apibūdina judėjimo dėsnį materialus taškas tiesia linija, tada antroji išvestinė f"(x) lygus judančio taško pagreičiui laiko momentu x.

Trečiasis ir ketvirtasis dariniai nustatomi panašiai.

Apibrėžimas. n vedinys (arba vedinys n-osios eilės) funkcijas y=f(x) vadinamas jo vediniu n-1 išvestinė:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Pavadinimai: y″′, y IV, y V ir tt