Apsvarstykite šį paveikslą:

Jis vaizduoja tam tikrą funkciją y = f(x), kuri yra diferencijuota taške a. Pažymėtas taškas M su koordinatėmis (a; f(a)). Per savavališką grafiko tašką P(a + ∆x; f(a + ∆x)) nubrėžiamas sekantinis MR.

Jei dabar taškas P perkeltas išilgai grafiko į tašką M, tai tiesė MR pasisuks aplink tašką M. Šiuo atveju ∆x bus linkęs į nulį. Iš čia galime suformuluoti funkcijos grafiko liestinės apibrėžimą.

Funkcijos grafiko liestinė

Funkcijos grafiko liestinė yra sekanto ribinė padėtis, nes argumento prieaugis linkęs į nulį. Reikėtų suprasti, kad funkcijos f išvestinės egzistavimas taške x0 reiškia, kad šiame grafiko taške yra liestinė jam.

Tuo pačiu metu nuolydis liestinė bus lygi šios funkcijos išvestinei šiame taške f’(x0). Tai yra geometrine prasme išvestinė. Funkcijos f, kuri skiriasi taške x0, grafiko liestinė yra tam tikra tiesė, einanti per tašką (x0;f(x0)) ir turinti kampinį koeficientą f’(x0).

Tangento lygtis

Pabandykime gauti kokios nors funkcijos f grafiko liestinės lygtį taške A(x0; f(x0)). Tiesios linijos su nuolydžiu k lygtis yra tokia:

Kadangi mūsų nuolydžio koeficientas lygus išvestinei f'(x0), tada lygtis bus tokia: y = f'(x0)*x + b.

Dabar apskaičiuokime b reikšmę. Norėdami tai padaryti, naudojame faktą, kad funkcija eina per tašką A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, iš čia išreiškiame b ir gauname b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Gautą reikšmę pakeičiame į liestinės lygtį:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Pasvarstykime sekantis pavyzdys: raskite funkcijos f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 grafiko liestinės taške x = 2 lygtį.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 – 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 – 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Pakeiskite gautas reikšmes į liestinės formulę, gausime: y = 1 + 4*(x - 2). Skliaustų atidarymas ir atnešimas panašius terminus gauname: y = 4*x - 7.

Atsakymas: y = 4*x - 7.

Bendroji liestinės lygties sudarymo schemaį funkcijos y = f(x) grafiką:

1. Nustatykite x0.

2. Apskaičiuokite f(x0).

3. Apskaičiuokite f’(x)

Plokštumos lygtis. Kaip parašyti plokštumos lygtį?
Abipusė pozicija lėktuvai. Užduotys

Erdvinė geometrija nėra daug sudėtingesnė nei „plokščia“ geometrija, o mūsų skrydžiai erdvėje prasideda šiuo straipsniu. Norėdami įvaldyti temą, turite gerai ją suprasti vektoriai, be to, patartina išmanyti plokštumos geometriją – bus daug panašumų, daug analogijų, todėl informacija bus daug geriau įsisavinama. Mano pamokų serijoje 2D pasaulis atidaromas straipsniu Tiesės lygtis plokštumoje. Bet dabar Betmenas paliko plokščią televizorių ir paleidžia iš Baikonūro kosmodromo.

Pradėkime nuo piešinių ir simbolių. Schematiškai plokštuma gali būti nubrėžta lygiagretainio pavidalu, kuris sukuria erdvės įspūdį:

Plokštuma begalinė, bet turime galimybę pavaizduoti tik jos dalelę. Praktikoje, be lygiagretainio, dar brėžiamas ovalas ar net debesis. Man nerūpi techninių priežasčių patogiau plokštumą pavaizduoti būtent taip ir būtent tokioje padėtyje. Tikri lėktuvai, kuriuos apsvarstysime praktiniais pavyzdžiais, galima išdėstyti bet kaip - mintyse paimkite piešinį į rankas ir pasukite jį erdvėje, suteikdami plokštumai bet kokį polinkį, bet kokį kampą.

Pavadinimai: plokštumos dažniausiai žymimos mažomis graikiškomis raidėmis, matyt, kad jų nesupainiotų tiesi linija plokštumoje arba su tiesi linija erdvėje. Aš įpratau naudoti raidę. Piešinyje tai raidė „sigma“, o ne skylė. Nors skylėtas lėktuvas tikrai yra gana juokingas.

Kai kuriais atvejais patogu naudoti tuos pačius simbolius plokštumoms žymėti. graikiškos raidės su apatiniais indeksais, pavyzdžiui, .

Akivaizdu, kad plokštumą vienareikšmiškai apibrėžia trys skirtingi taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Todėl trijų raidžių lėktuvų žymėjimai yra gana populiarūs - pavyzdžiui, pagal jiems priklausančius taškus ir pan. Dažnai raidės yra įtrauktos skliausteliuose: , kad nesupainiotumėte plokštumos su kita geometrine figūra.

Patyrusiems skaitytojams duosiu greitos prieigos meniu:

• Kaip sukurti plokštumos lygtį naudojant tašką ir du vektorius?
• Kaip sukurti plokštumos lygtį naudojant tašką ir normalųjį vektorių?

ir mes nenustygsime ilgi laukimai:

Bendroji plokštumos lygtis

Bendroji plokštumos lygtis turi formą , kur koeficientai tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui.

Nemažai teorinių skaičiavimų ir praktines problemas galioja tiek įprastam ortonormaliniam pagrindui, tiek afininiu pagrindu erdvė (jei aliejus yra aliejus, grįžkite į pamoką Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorių pagrindas). Paprastumo dėlei darysime prielaidą, kad visi įvykiai vyksta ortonormaliu pagrindu ir Dekarto stačiakampė sistema koordinates

Dabar šiek tiek lavinkime savo erdvinę vaizduotę. Gerai, jei jūsų blogas, dabar mes jį šiek tiek patobulinsime. Net žaidžiant ant nervų reikia treniruotis.

Pačioje bendras atvejis, kai skaičiai nėra nuliai, plokštuma kerta visas tris koordinačių ašis. Pavyzdžiui, taip:

Dar kartą kartoju, kad lėktuvas tęsiasi neribotą laiką visomis kryptimis, o mes turime galimybę pavaizduoti tik dalį jo.

Panagrinėkime paprasčiausias plokštumų lygtis:

Kaip suprasti duota lygtis? Pagalvokite apie tai: „Z“ VISADA yra lygus nuliui, esant bet kurioms „X“ ir „Y“ reikšmėms. Ši lygtis yra „gimtoji“ koordinačių plokštuma. Iš tiesų formaliai lygtį galima perrašyti taip: , iš kur aiškiai matote, kad mums nesvarbu, kokios reikšmės yra „x“ ir „y“, svarbu, kad „z“ būtų lygus nuliui.

Taip pat:
– koordinačių plokštumos lygtis;
– koordinačių plokštumos lygtis.

Šiek tiek apsunkinkime problemą, apsvarstykime plokštumą (čia ir toliau pastraipoje mes manome, kad tai skaitiniai šansai nėra lygūs nuliui). Perrašykime lygtį į formą: . Kaip tai suprasti? „X“ yra VISADA, esant bet kurioms „Y“ ir „Z“ reikšmėms, yra lygus tam tikram skaičiui. Ši plokštuma lygiagreti koordinačių plokštumai. Pavyzdžiui, plokštuma yra lygiagreti plokštumai ir eina per tašką.

Taip pat:
– plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumai, lygtis;
– plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumai, lygtis.

Pridėkime narius: . Lygtį galima perrašyti taip: ty „zet“ gali būti bet kas. Ką tai reiškia? „X“ ir „Y“ yra sujungti ryšiu, kuris plokštumoje nubrėžia tam tikrą tiesę (sužinosite tiesės lygtis plokštumoje?). Kadangi „z“ gali būti bet kas, ši tiesi linija „atkartojama“ bet kuriame aukštyje. Taigi lygtis apibrėžia plokštumą, lygiagrečią koordinačių ašiai

Taip pat:
– plokštumos, lygiagrečios koordinačių ašiai, lygtis;
– plokštumos, lygiagrečios koordinačių ašiai, lygtis.

Jeigu nemokami nariai nulis, tada plokštumos tiesiogiai eis per atitinkamas ašis. Pavyzdžiui, klasikinis „tiesioginis proporcingumas“: . Nubrėžkite tiesią liniją plokštumoje ir mintyse padauginkite ją aukštyn ir žemyn (nes „Z“ yra bet koks). Išvada: lėktuvas, pateikta lygtimi, eina per koordinačių ašį.

Baigiame peržiūrą: plokštumos lygtis eina per kilmę. Na, čia visiškai akivaizdu, kad taškas atitinka šią lygtį.

Ir pabaigai atvejis, parodytas brėžinyje: - lėktuvas draugauja su visais koordinačių ašys, tuo tarpu jis visada „nukerta“ trikampį, kuris gali būti bet kuriame iš aštuonių oktantų.

Tiesinės nelygybės erdvėje

Norėdami suprasti informaciją, turite gerai mokytis tiesinės nelygybės plokštumoje, nes daug kas bus panašiai. Pastraipa bus trumpos apžvalgos su keliais pavyzdžiais, nes medžiaga praktikoje yra gana reta.

Jei lygtis apibrėžia plokštumą, tai nelygybės
paklausti pustarpiai. Jei nelygybė nėra griežta (paskutiniai du sąraše), tai nelygybės sprendinys, be pustarpės, apima ir pačią plokštumą.

5 pavyzdys

Raskite plokštumos vienetinį normalųjį vektorių .

Sprendimas: Vieneto vektorius yra vektorius, kurio ilgis yra vienas. Pažymėkime duotas vektorius per . Visiškai aišku, kad vektoriai yra kolineariniai:

Pirmiausia iš plokštumos lygties pašaliname normalųjį vektorių: .

Kaip rasti vieneto vektorius? Norint rasti vieneto vektorių, reikia kas vektoriaus koordinatę padalinkite iš vektoriaus ilgio.

Perrašykime normalųjį vektorių į formą ir raskime jo ilgį:

Pagal tai, kas išdėstyta aukščiau:

Atsakymas:

Patikrinimas: ką reikėjo patikrinti.

Skaitytojai, atidžiai išstudijavę paskutinę pamokos pastraipą, tikriausiai tai pastebėjo vieneto vektoriaus koordinatės yra būtent vektoriaus krypties kosinusai:

Pailsėkime nuo šios problemos: kai jums duotas savavališkas nulinis vektorius, o pagal sąlygą reikia rasti jo krypties kosinusus (žr. naujausios užduotys pamoka Taškinė vektorių sandauga), tada jūs iš tikrųjų rasite vienetinį vektorių, kuris yra kolinerinis šiam vektoriui. Iš tikrųjų dvi užduotys viename butelyje.

Poreikis rasti vienetinį normalųjį vektorių iškyla kai kuriose matematinės analizės problemose.

Mes supratome, kaip išgauti įprastą vektorių, dabar atsakykime į priešingą klausimą:

Kaip sukurti plokštumos lygtį naudojant tašką ir normalųjį vektorių?

Ši standi normalaus vektoriaus ir taško konstrukcija yra gerai žinoma smiginio lentai. Ištieskite ranką į priekį ir mintyse pasirinkite savavališką erdvės tašką, pavyzdžiui, mažą katę bufetėje. Aišku, per šį tašką galite piešti vieną plokštumą statmenai rankai.

Plokštumos, einančios per vektoriui statmeną tašką, lygtis išreiškiama formule:

Galite nustatyti įvairiais būdais(vienas taškas ir vektorius, du taškai ir vektorius, trys taškai ir tt). Turint tai omenyje, plokštumos lygtis gali turėti įvairių tipų. Taip pat, esant tam tikroms sąlygoms, plokštumos gali būti lygiagrečios, statmenos, susikertančios ir pan. Apie tai kalbėsime šiame straipsnyje. Išmoksime sukurti bendrąją plokštumos lygtį ir dar daugiau.

Normali lygties forma

Tarkime, kad yra erdvė R 3, kuri turi stačiakampę XYZ koordinačių sistemą. Apibrėžkime vektorių α, kuris bus atleistas pradžios taškas O. Per vektoriaus α galą nubrėžiame plokštumą P, kuri bus jai statmena.

Savavališką tašką P pažymėkime kaip Q = (x, y, z). Taško Q spindulio vektorių pažymėkime raide p. Šiuo atveju vektoriaus α ilgis lygus р=IαI ir Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Tai vienetinis vektorius, nukreiptas į šoną, kaip ir vektorius α. α, β ir γ yra kampai, kurie susidaro atitinkamai tarp vektoriaus Ʋ ir erdvės ašių x, y, z teigiamų krypčių. Bet kurio taško QϵП projekcija į vektorių Ʋ yra pastovią vertę, kuris lygus p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Aukščiau pateikta lygtis turi prasmę, kai p=0. Vienintelis dalykas yra tai, kad plokštuma P šiuo atveju susikirs su tašku O (α = 0), kuris yra koordinačių pradžia, o vieneto vektorius Ʋ, išleistas iš taško O, bus statmenas P, nepaisant jo krypties, kuri reiškia, kad vektorius Ʋ yra nustatytas ženklo tikslumu. Ankstesnė lygtis yra mūsų plokštumos P lygtis, išreikšta vektorine forma. Bet koordinatėmis tai atrodys taip:

P čia yra didesnis arba lygus 0. Mes radome lygtį erdvės plokštumos normaliąja forma.

Bendroji lygtis

Jei lygtį padauginsime iš koordinačių iš bet kurio skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gausime lygtį, lygiavertę šiai, apibrėžiančią tą pačią plokštumą. Tai atrodys taip:

Čia A, B, C yra skaičiai, kurie tuo pačiu metu skiriasi nuo nulio. Ši lygtis vadinama bendrosios plokštumos lygtimi.

Plokštumų lygtys. Ypatingi atvejai

Lygtis in bendras vaizdas gali būti pakeistas, jei yra papildomos sąlygos. Pažvelkime į kai kuriuos iš jų.

Tarkime, kad koeficientas A yra 0. Tai reiškia, kad duotas lėktuvas lygiagrečiai nurodytai ašiai Ox. Tokiu atveju pasikeis lygties forma: Ву+Cz+D=0.

Panašiai lygties forma pasikeis tokiomis sąlygomis:

• Pirma, jei B = 0, tada lygtis pasikeis į Ax + Cz + D = 0, o tai parodys lygiagretumą Oy ašiai.
• Antra, jei C=0, tai lygtis bus transformuota į Ax+By+D=0, o tai parodys lygiagretumą nurodytai Ozo ašiai.
• Trečia, jei D=0, lygtis atrodys taip: Ax+By+Cz=0, o tai reikš, kad plokštuma kerta O (kilmę).
• Ketvirta, jei A = B = 0, tada lygtis pasikeis į Cz + D = 0, o tai bus lygiagreti su Oxy.
• Penkta, jei B=C=0, tai lygtis tampa Ax+D=0, o tai reiškia, kad plokštuma su Oyz yra lygiagreti.
• Šešta, jei A=C=0, tada lygtis bus Ву+D=0, tai yra, ji praneš apie lygiagretumą Oxz.

Lygties tipas segmentais

Tuo atveju, kai skaičiai A, B, C, D skiriasi nuo nulio, (0) lygties forma gali būti tokia:

x/a + y/b + z/c = 1,

kurioje a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Verta paminėti, kad ši plokštuma susikirs su Ox ašimi taške, kurio koordinatės (a,0,0), Oy - (0,b,0) ir Oz - (0,0,c). ).

Atsižvelgiant į lygtį x/a + y/b + z/c = 1, nesunku vizualiai įsivaizduoti plokštumos išsidėstymą tam tikros koordinačių sistemos atžvilgiu.

Normaliosios vektoriaus koordinatės

Normalus vektorius n plokštumai P turi koordinates, kurios yra koeficientai bendroji lygtis tam tikros plokštumos, tai yra n (A, B, C).

Norint nustatyti normaliosios n koordinates, pakanka žinoti bendrąją tam tikros plokštumos lygtį.

Naudojant lygtį atkarpose, kurios forma x/a + y/b + z/c = 1, kaip ir naudojant bendrąją lygtį, galite parašyti bet kurio nurodytos plokštumos normaliojo vektoriaus koordinates: (1/a + 1/b + 1/ Su).

Verta paminėti, kad normalus vektorius padeda išspręsti įvairias problemas. Dažniausiai pasitaikančios problemos apima plokštumų statmenumo ar lygiagretumo įrodymą, kampų tarp plokštumų arba kampų tarp plokštumų ir tiesių nustatymo problemas.

Plokštumos lygties tipas pagal taško ir normaliojo vektoriaus koordinates

Nulinis vektorius n, statmenas duotai plokštumai, vadinamas normaliuoju tam tikrai plokštumai.

Tarkime, kad koordinačių erdvėje (stačiakampė koordinačių sistema) Oxyz duota:

• taškas Mₒ su koordinatėmis (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulinis vektorius n=A*i+B*j+C*k.

Būtina sudaryti lygtį plokštumai, kuri eis per tašką Mₒ, statmeną normaliajai n.

Mes pasirenkame bet kurį savavališką erdvės tašką ir pažymime jį M (x y, z). Tegul bet kurio taško M (x,y,z) spindulio vektorius yra r=x*i+y*j+z*k, o taško Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) spindulio vektorius - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Taškas M priklausys duotai plokštumai, jei vektorius MₒM yra statmenas vektoriui n. Parašykime ortogonalumo sąlygą naudodami skaliarinį sandaugą:

[MₒM, n] = 0.

Kadangi MₒM = r-rₒ, plokštumos vektorinė lygtis atrodys taip:

Ši lygtis gali turėti kitą formą. Tam naudojamos skaliarinės sandaugos savybės, o transformacija yra kairėje pusėje lygtys = -. Jei pažymėsime jį kaip c, gausime sekančią lygtį

: - c = 0 arba = c, kuris išreiškia plokštumai priklausančių duotųjų taškų spindulio vektorių projekcijų pastovumą. Dabar galite gauti įrašo koordinačių vaizdą vektoriaus lygtis

mūsų plokštuma = 0. Kadangi r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k ir n = A*i+B*j+C*k, mes mes turime:

Pasirodo, turime lygtį plokštumai, kertančiai tašką, statmeną normaliajai n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Plokštumos lygties tipas pagal dviejų taškų koordinates ir vektoriaus, esančio kolinerėje su plokštuma

Apibrėžkime du savavališkus taškus M′ (x′,y′,z′) ir M″ (x″,y″,z″), taip pat vektorių a (a′,a″,a‴). Dabar galime sukurti lygtį duotai plokštumai, kuri eis per esamus taškus M′ ir M″, taip pat bet kurį tašką M su koordinatėmis (x, y, z) lygiagrečiai. duotas vektorius

A.

Šiuo atveju vektoriai M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) ir M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) turi būti vienodi su vektoriumi a=(a′,a″,a‴), o tai reiškia, kad (M′M, M″M, a)=0.

Taigi, mūsų plokštumos lygtis erdvėje atrodys taip:

Plokštumos, kertančios tris taškus, lygties tipas

Tarkime, kad turime tris taškus: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), kurie nepriklauso tai pačiai linijai. Būtina parašyti plokštumos, einančios per duotus tris taškus, lygtį. Geometrijos teorija teigia, kad tokia plokštuma tikrai egzistuoja, tačiau ji yra vienintelė ir unikali. Kadangi ši plokštuma kerta tašką (x′,y′,z′), jos lygties forma bus tokia:

Čia A, B, C skiriasi nuo nulio tuo pačiu metu. Taip pat duotoji plokštuma kerta dar du taškus: (x″,y″,z″) ir (x‴,y‴,z‴). Šiuo atžvilgiu turi būti įvykdytos šios sąlygos: Dabar galime kurti vienalytė sistema

su nežinomais u, v, w: Mūsų atvejis x,y arba z išsikiša savavališkas taškas

Gauta (1) lygtis yra plokštumos lygtis. Jis tiksliai praeina per 3 taškus ir tai lengva patikrinti. Norėdami tai padaryti, turime išplėsti savo determinantą į pirmosios eilutės elementus. Iš esamų determinanto savybių matyti, kad mūsų plokštuma vienu metu kerta tris iš pradžių duotus taškus (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Tai yra, mes išsprendėme mums skirtą užduotį.

Dvikampis kampas tarp plokštumų

Dvikampis kampas reiškia erdvinį geometrinė figūra, sudarytas iš dviejų pusiau plokštumų, kylančių iš vienos tiesios linijos. Kitaip tariant, tai yra erdvės dalis, kurią riboja šios pusiau plokštumos.

Tarkime, kad turime dvi plokštumas su tokiomis lygtimis:

Žinome, kad vektoriai N=(A,B,C) ir N¹=(A¹,B¹,C¹) yra statmeni pagal duotus lėktuvus. Šiuo atžvilgiu kampas φ tarp vektorių N ir N¹ yra lygus kampui (diedraliui), esančiam tarp šių plokštumų. Taškinis produktas turi formą:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

būtent todėl

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Pakanka atsižvelgti į tai, kad 0≤φ≤π.

Tiesą sakant, dvi plokštumos, kurios susikerta, sudaro du kampus (dihedral): φ 1 ir φ 2. Jų suma lygi π (φ 1 + φ 2 = π). Kalbant apie jų kosinusus, jų absoliučios vertės yra lygios, tačiau skiriasi ženklu, ty cos φ 1 = -cos φ 2. Jei (0) lygtyje A, B ir C pakeisime atitinkamai skaičiais -A, -B ir -C, tada gauta lygtis nustatys tą pačią plokštumą, vienintelę, kampą φ in cos lygtisφ=NN 1 /|N||N 1 | bus pakeistas π-φ.

Statmenos plokštumos lygtis

Plokštumos, tarp kurių kampas yra 90 laipsnių, vadinamos statmenomis. Naudodami aukščiau pateiktą medžiagą galime rasti plokštumos, statmenos kitai, lygtį. Tarkime, kad turime dvi plokštumas: Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Galime sakyti, kad jie bus statmeni, jei cosφ=0. Tai reiškia, kad NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Lygiagrečios plokštumos lygtis

Dvi plokštumos, kuriose nėra bendrų taškų, vadinamos lygiagrečiomis.

Sąlyga (jų lygtys tokios pat kaip ir ankstesnėje pastraipoje) yra ta, kad vektoriai N ir N¹, kurie yra statmeni jiems, yra kolinearūs. Ir tai reiškia, kad jie yra įvykdyti šias sąlygas proporcingumas:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jei proporcingumo sąlygos yra išplėstos - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

tai rodo, kad šios plokštumos sutampa. Tai reiškia, kad lygtys Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 apibūdina vieną plokštumą.

Atstumas iki plokštumos nuo taško

Tarkime, kad turime plokštumą P, kuri pateikiama pagal (0) lygtį. Reikia rasti atstumą iki jo nuo taško, kurio koordinatės (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Norėdami tai padaryti, turite paversti plokštumos P lygtį į normalią formą:

(ρ,v)=р (р≥0).

IN šiuo atvejuρ (x,y,z) yra mūsų taško Q, esančio P, spindulio vektorius, p yra statmens P, kuris buvo atleistas nuo nulinis taškas, v yra vieneto vektorius, esantis a kryptimi.

Tam tikro taško Q = (x, y, z), priklausančio P, skirtumo ρ-ρº spindulio vektorius, taip pat tam tikro taško spindulio vektorius Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) yra toks vektorius, absoliuti vertė kurio projekcija į v yra lygi atstumui d, kurį reikia rasti nuo Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) iki P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, bet

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Taigi pasirodo

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Taigi rasime absoliuti vertė gauta išraiška, tai yra norima d.

Naudodami parametrų kalbą gauname akivaizdų:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Jeigu nustatytas taškas Q 0 yra kitoje plokštumos P pusėje, kaip ir koordinačių pradžia, taigi tarp vektoriaus ρ-ρ 0 ir v yra:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Tuo atveju, kai taškas Q 0 kartu su koordinačių pradžia yra toje pačioje P pusėje, tada sukurtas kampas yra smailus, tai yra:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Dėl to išeina, kad pirmuoju atveju (ρ 0 ,v)>р, antruoju (ρ 0 ,v)<р.

Liestinės plokštuma ir jos lygtis

Paviršiaus liestinės plokštuma sąlyčio taške Mº yra plokštuma, kurioje yra visos galimos kreivių, nubrėžtų per šį paviršiaus tašką, liestinės.

Naudojant tokio tipo paviršiaus lygtį F(x,y,z)=0, liestinės plokštumos lygtis liestinės taške Mº(xº,yº,zº) atrodys taip:

F x (xº,yº,zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Jei paviršių nurodysite aiškia forma z=f (x,y), tada liestinės plokštuma bus aprašyta lygtimi:

z-zº =f(xº, yº)(x-xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Dviejų plokštumų sankirta

Koordinačių sistemoje (stačiakampėje) yra Oxyz, pateiktos dvi plokštumos П′ ir П″, kurios susikerta ir nesutampa. Kadangi bet kuri plokštuma, esanti stačiakampėje koordinačių sistemoje, yra nustatoma pagal bendrąją lygtį, manysime, kad P′ ir P″ yra pateiktos lygtimis A′x+B′y+C′z+D′=0 ir A″x +B″y+ С″z+D″=0. Šiuo atveju turime plokštumos P′ normaliąją n′ (A′,B′,C′) ir plokštumos P″ normaliąją n″ (A″,B″,C'). Kadangi mūsų plokštumos nėra lygiagrečios ir nesutampa, šie vektoriai nėra kolineariniai. Naudodamiesi matematikos kalba, šią sąlygą galime užrašyti taip: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Tegul tiesė, esanti P′ ir P″ sankirtoje, yra pažymėta raide a, šiuo atveju a = P′ ∩ P″.

a yra tiesi linija, susidedanti iš visų (bendrų) plokštumų P′ ir P″ taškų aibės. Tai reiškia, kad bet kurio taško, priklausančio tiesei a, koordinatės turi vienu metu tenkinti lygtis A′x+B′y+C′z+D′=0 ir A″x+B″y+C″z+D″=0 . Tai reiškia, kad taško koordinatės bus dalinis šios lygčių sistemos sprendimas:

Dėl to paaiškėja, kad šios lygčių sistemos (bendrasis) sprendimas nustatys kiekvieno tiesės taško, kuris veiks kaip P′ ir P″ susikirtimo taškas, koordinates ir nustatys tiesę. a Oxyz (stačiakampėje) koordinačių sistemoje erdvėje.

Šioje pamokoje apžvelgsime, kaip naudoti determinantą kuriant plokštumos lygtis. Jei nežinote, kas yra determinantas, eikite į pirmąją pamokos dalį - „Matricos ir determinantai“. Priešingu atveju rizikuojate nieko nesuprasti šiandieninėje medžiagoje.

Plokštumos lygtis naudojant tris taškus

Kodėl mums apskritai reikia plokštumos lygties? Tai paprasta: žinodami tai, galime nesunkiai apskaičiuoti kampus, atstumus ir kitus niekšiškus uždavinius C2. Apskritai, jūs negalite išsiversti be šios lygties. Todėl mes formuluojame problemą:

Užduotis. Erdvėje pateikiami trys taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Jų koordinatės:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Turite sukurti plokštumos, einančios per šiuos tris taškus, lygtį. Be to, lygtis turėtų atrodyti taip:

Ax + By + Cz + D = 0

kur skaičiai A, B, C ir D yra koeficientai, kuriuos iš tikrųjų reikia rasti.

Na, kaip gauti plokštumos lygtį, jei žinomos tik taškų koordinatės? Lengviausias būdas yra pakeisti koordinates į lygtį Ax + By + Cz + D = 0. Gaunate trijų lygčių sistemą, kurią galima lengvai išspręsti.

Daugelis studentų mano, kad šis sprendimas yra labai varginantis ir nepatikimas. Praėjusių metų vieningas valstybinis matematikos egzaminas parodė, kad tikimybė padaryti skaičiavimo klaidą yra tikrai didelė.

Todėl pažangiausi mokytojai ėmė ieškoti paprastesnių ir elegantiškesnių sprendimų. Ir jie tai rado! Tiesa, gauta technika veikiau susijusi su aukštąja matematika. Asmeniškai man teko iškrapštyti visą federalinį vadovėlių sąrašą, kad įsitikintume, jog turime teisę naudoti šią techniką be jokio pagrindimo ar įrodymų.

Plokštumos per determinantą lygtis

Užteks dainų žodžių, kimbame prie reikalo. Pirmiausia – teorema apie tai, kaip yra susiję matricos determinantas ir plokštumos lygtis.

Teorema. Pateikiame trijų taškų, per kuriuos turi būti nubrėžta plokštuma, koordinates: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Tada šios plokštumos lygtį galima parašyti per determinantą:

Pavyzdžiui, pabandykime rasti porą plokštumų, kurios iš tikrųjų atsiranda C2 uždaviniuose. Pažiūrėkite, kaip greitai viskas apskaičiuojama:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Sudarome determinantą ir prilygstame nuliui:

Išplečiame determinantą:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Kaip matote, skaičiuodamas skaičių d, lygtį šiek tiek „iššukavau“, kad kintamieji x, y ir z būtų teisinga seka. tai viskas! Plokštumos lygtis paruošta!

Užduotis. Parašykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Iš karto pakeičiame taškų koordinates į determinantą:

Dar kartą išplečiame determinantą:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Taigi, vėl gaunama plokštumos lygtis! Vėlgi, paskutiniame žingsnyje turėjome pakeisti jame esančius ženklus, kad gautume „gražesnę“ formulę. Šiame sprendime to daryti visai nebūtina, tačiau vis tiek rekomenduojama – supaprastinti tolesnį problemos sprendimą.

Kaip matote, dabar daug lengviau sudaryti plokštumos lygtį. Pakeičiame taškus į matricą, apskaičiuojame determinantą - ir viskas, lygtis paruošta.

Tai gali baigti pamoką. Tačiau daugelis studentų nuolat pamiršta, kas yra determinanto viduje. Pavyzdžiui, kurioje eilutėje yra x 2 arba x 3, o kurioje tik x. Kad tai tikrai pašalintų, pažiūrėkime, iš kur gaunamas kiekvienas skaičius.

Iš kur atsiranda formulė su determinantu?

Taigi, išsiaiškinkime, iš kur kyla tokia griežta lygtis su determinantu. Tai padės jums tai atsiminti ir sėkmingai pritaikyti.

Visos užduotyje C2 esančios plokštumos yra apibrėžtos trimis taškais. Šie taškai visada pažymėti brėžinyje arba netgi nurodyti tiesiogiai problemos tekste. Bet kokiu atveju, norėdami sukurti lygtį, turėsime užrašyti jų koordinates:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Panagrinėkime kitą mūsų plokštumos tašką su savavališkomis koordinatėmis:

T = (x, y, z)

Paimkite bet kurį tašką iš pirmųjų trijų (pavyzdžiui, tašką M) ir nubrėžkite vektorius iš jo į kiekvieną iš trijų likusių taškų. Mes gauname tris vektorius:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Dabar iš šių vektorių sudarykime kvadratinę matricą ir prilyginkime jos determinantą nuliui. Vektorių koordinatės taps matricos eilutėmis - ir mes gausime patį determinantą, kuris nurodytas teoremoje:

Ši formulė reiškia, kad gretasienio, pastatyto ant vektorių MN, MK ir MT, tūris yra lygus nuliui. Todėl visi trys vektoriai yra toje pačioje plokštumoje. Visų pirma, savavališkas taškas T = (x, y, z) yra būtent tai, ko mes ieškojome.

Determinanto taškų ir linijų pakeitimas

Determinantai turi keletą puikių savybių, kurios dar labiau palengvina C2 problemos sprendimas. Pavyzdžiui, mums nesvarbu, iš kurio taško brėžiame vektorius. Todėl šie determinantai suteikia tą pačią plokštumos lygtį kaip ir aukščiau:

Taip pat galite sukeisti determinanto eilutes. Lygtis išliks nepakitusi. Pavyzdžiui, daugelis žmonių mėgsta rašyti tiesę su taško T = (x; y; z) koordinatėmis pačiame viršuje. Prašome, jei jums patogu:

Kai kuriuos žmones glumina tai, kad vienoje iš eilučių yra kintamieji x, y ir z, kurie neišnyksta pakeičiant taškus. Bet jie neturėtų išnykti! Pakeitę skaičius į determinantą, turėtumėte gauti tokią konstrukciją:

Tada determinantas išplečiamas pagal pamokos pradžioje pateiktą schemą ir gaunama standartinė plokštumos lygtis:

Ax + By + Cz + D = 0

Pažvelkite į pavyzdį. Tai paskutinė šios dienos pamoka. Aš sąmoningai sukeisiu eilutes, kad įsitikinčiau, jog atsakymas duos tą pačią plokštumos lygtį.

Užduotis. Parašykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Taigi, mes atsižvelgiame į 4 taškus:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Pirmiausia sukurkime standartinį determinantą ir prilyginkime jį nuliui:

Išplečiame determinantą:

a = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Štai ir gavome atsakymą: x + y + z − 2 = 0.

Dabar pertvarkykime kelias determinanto eilutes ir pažiūrėkime, kas atsitiks. Pavyzdžiui, parašykime eilutę su kintamaisiais x, y, z ne apačioje, o viršuje:

Dar kartą išplečiame gautą determinantą:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Gavome lygiai tokią pat plokštuminę lygtį: x + y + z − 2 = 0. Tai reiškia, kad ji tikrai nepriklauso nuo eilučių eilės. Belieka tik užsirašyti atsakymą.

Taigi, esame įsitikinę, kad plokštumos lygtis nepriklauso nuo eilučių sekos. Galime atlikti panašius skaičiavimus ir įrodyti, kad plokštumos lygtis nepriklauso nuo taško, kurio koordinates atimame iš kitų taškų.

Aukščiau nagrinėtoje užduotyje naudojome tašką B 1 = (1, 0, 1), tačiau buvo visiškai įmanoma paimti C = (1, 1, 0) arba D 1 = (0, 1, 1). Apskritai, bet kuris taškas su žinomomis koordinatėmis, esantis norimoje plokštumoje.

13.Kampas tarp plokštumų, atstumas nuo taško iki plokštumos.

Tegul plokštumos α ir β susikerta išilgai tiesės c.
Kampas tarp plokštumų yra kampas tarp statmenų į jų susikirtimo liniją, nubrėžtą šiose plokštumose.

Kitaip tariant, α plokštumoje nubrėžėme tiesę a statmeną c. β plokštumoje - tiesė b, taip pat statmena c. Kampas tarp plokštumų α ir β lygus kampui tarp tiesių a ir b.

Atkreipkite dėmesį, kad kai susikerta dvi plokštumos, iš tikrųjų susidaro keturi kampai. Ar matote juos paveikslėlyje? Kaip kampą tarp plokštumų imame aštrus kampe.

Jei kampas tarp plokštumų yra 90 laipsnių, tai plokštumos statmenai,

Tai yra plokštumų statmenumo apibrėžimas. Spręsdami stereometrijos uždavinius, taip pat naudojame plokštumų statmenumo ženklas:

Jei plokštuma α eina per statmeną plokštumai β, tai plokštumos α ir β yra statmenos.

atstumas nuo taško iki plokštumos

Apsvarstykite tašką T, apibrėžtą jo koordinatėmis:

T = (x 0, y 0, z 0)

Taip pat apsvarstykite plokštumą α, pateiktą pagal lygtį:

Ax + By + Cz + D = 0

Tada atstumą L nuo taško T iki plokštumos α galima apskaičiuoti pagal formulę:

Kitaip tariant, taško koordinates pakeičiame plokštumos lygtimi ir padalijame šią lygtį iš normalaus vektoriaus n ilgio iki plokštumos:

Gautas skaičius yra atstumas. Pažiūrėkime, kaip ši teorema veikia praktiškai.

Jau išvedėme plokštumos tiesės parametrines lygtis, gaukime parametrines lygtis tiesės, kuri apibrėžta stačiakampėje koordinačių sistemoje trimatėje erdvėje.

Tegul stačiakampė koordinačių sistema yra fiksuota trimatėje erdvėje Oxyz. Apibrėžkime jame tiesią liniją a(žr. skyrių apie linijos apibrėžimo erdvėje metodus), nurodant linijos krypties vektorių ir kurio nors tiesės taško koordinates . Nuo šių duomenų pradėsime sudarydami tiesės erdvėje parametrines lygtis.

Leisti būti savavališkas taškas trimatėje erdvėje. Jei atimsime iš taško koordinačių M atitinkamų taškų koordinates M 1, tada gausime vektoriaus koordinates (žr. straipsnį, kaip rasti vektoriaus koordinates iš jo pabaigos ir pradžios taškų koordinačių), tai yra, .

Akivaizdu, kad taškų rinkinys apibrėžia liniją A jei ir tik tada, kai vektoriai ir yra kolineariniai.

Užrašykime būtiną ir pakankamą vektorių kolineariškumo sąlygą Ir : , kur yra tikrasis skaičius. Gauta lygtis vadinama vektorinė-parametrinė tiesės lygtis stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz trimatėje erdvėje. Koordinačių formos tiesės vektorinė-parametrinė lygtis turi formą ir atstovauja tiesės parametrinės lygtys a. Pavadinimas „parametrinis“ nėra atsitiktinis, nes visų linijos taškų koordinatės nurodomos naudojant parametrą.

Pateiksime stačiakampės koordinačių sistemos tiesės parametrinių lygčių pavyzdį Oxyz erdvėje: . Čia

15.Kampas tarp tiesės ir plokštumos. Tiesės susikirtimo su plokštuma taškas.

Bet kuri pirmojo laipsnio lygtis koordinačių atžvilgiu x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3,1)

apibrėžia plokštumą, ir atvirkščiai: bet kurią plokštumą galima pavaizduoti (3.1) lygtimi, kuri vadinama plokštumos lygtis.

Vektorius n(A, B, C) vadinama statmena plokštumai normalus vektorius lėktuvas. (3.1) lygtyje koeficientai A, B, C tuo pačiu metu nėra lygūs 0.

Ypatingi (3.1) lygties atvejai:

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - plokštuma eina per pradžią.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 – plokštuma lygiagreti Ozo ašiai.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - plokštuma eina per Ozo ašį.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - plokštuma lygiagreti Oyz plokštumai.

Koordinačių plokštumų lygtys: x = 0, y = 0, z = 0.

Galima nurodyti tiesią liniją erdvėje:

1) kaip dviejų plokštumų susikirtimo tiesė, t.y. lygčių sistema:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) pagal du jo taškus M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), tada per juos einanti tiesė pateikiama lygtimis:

3) jam priklausantis taškas M 1 (x 1, y 1, z 1) ir vektorius a(m, n, p), kolinearinis jam. Tada tiesi linija nustatoma pagal lygtis:

. (3.4)

Lygtys (3.4) vadinamos tiesės kanoninės lygtys.

Vektorius a paskambino krypties vektorius tiesus.

Parametines tiesės lygtis gauname prilygindami kiekvieną ryšį (3.4) parametrui t:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

Sprendimo sistema (3.2) kaip tiesinių lygčių sistema nežinomiesiems x Ir y, gauname tiesės in lygtis projekcijos arba į pateiktos tiesės lygtys:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Iš lygčių (3.6) galime pereiti prie kanoninių lygčių, radimo z iš kiekvienos lygties ir sulyginant gautas reikšmes:

.

Iš bendrųjų lygčių (3.2) galite pereiti prie kanoninių lygčių kitu būdu, jei rasite bet kurį šios tiesės tašką ir jos krypties vektorių n= [n 1 , n 2], kur n 1 (A 1, B 1, C 1) ir n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - duotųjų plokštumų normalieji vektoriai. Jei vienas iš vardiklių m, n arba r lygtyse (3.4) pasirodo lygus nuliui, tada atitinkamos trupmenos skaitiklis turi būti lygus nuliui, t.y. sistema

yra lygiavertis sistemai ; tokia tiesi linija yra statmena Ox ašiai.

Sistema yra lygiavertis sistemai x = x 1, y = y 1; tiesi linija lygiagreti Ozo ašiai.

1.15 pavyzdys. Sudarykite plokštumos lygtį, žinodami, kad taškas A(1,-1,3) yra statmens, nubrėžto nuo pradžios iki šios plokštumos, pagrindas.

Sprendimas. Pagal problemos sąlygas vektorius OA(1,-1,3) yra normalusis plokštumos vektorius, tada jo lygtį galima parašyti kaip
x-y+3z+D=0. Pakeitę plokštumai priklausančio taško A(1,-1,3) koordinates, randame D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Taigi x-y+3z-11=0.

1.16 pavyzdys. Parašykite lygtį plokštumai, kertančiai Ozo ašį ir su plokštuma 2x+y-z-7=0 sudarančios 60° kampą.

Sprendimas. Plokštuma, einanti per Ozo ašį, pateikiama lygtimi Ax+By=0, kur A ir B neišnyksta vienu metu. Tegul B ne
lygus 0, A/Bx+y=0. Kampo tarp dviejų plokštumų kosinuso formulė

.

Išsprendę kvadratinę lygtį 3m 2 + 8m - 3 = 0, randame jos šaknis
m 1 = 1/3, m 2 = -3, iš kur gauname dvi plokštumas 1/3x+y = 0 ir -3x+y = 0.

1.17 pavyzdys. Sudarykite kanonines linijos lygtis:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Sprendimas. Kanoninės linijos lygtys yra tokios formos:

Kur m, n, p- tiesės krypties vektoriaus koordinatės, x 1 , y 1 , z 1- bet kurio taško, priklausančio linijai, koordinates. Tiesi linija apibrėžiama kaip dviejų plokštumų susikirtimo linija. Norint rasti tašką, priklausantį tiesei, fiksuojama viena iš koordinačių (paprasčiausias būdas yra nustatyti, pavyzdžiui, x=0) ir gauta sistema išsprendžiama kaip tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistema. Taigi, tegul x = 0, tada y + z = 0, 3y - 2z + 5 = 0, taigi y = -1, z = 1. Radome šiai tiesei priklausančio taško M(x 1, y 1, z 1) koordinates: M (0,-1,1). Tiesės krypties vektorių lengva rasti, žinant pradinių plokštumų normaliuosius vektorius n 1 (5,1,1) ir n 2 (2,3,-2). Tada

Kanoninės linijos lygtys yra tokios formos: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z – 1)/13.

1.18 pavyzdys. Plokštumomis 2x-y+5z-3=0 ir x+y+2z+1=0 apibrėžtame pluošte raskite dvi statmenas plokštumas, iš kurių viena eina per tašką M(1,0,1).

Sprendimas.Šiomis plokštumomis apibrėžto pluošto lygtis yra u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, kur u ir v neišnyksta vienu metu. Perrašykime spindulio lygtį taip:

(2u +v)x + (-u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Norėdami pasirinkti plokštumą iš pluošto, einančio per tašką M, mes pakeičiame taško M koordinates į pluošto lygtį. Mes gauname:

(2u + v) × 1 + (-u + v) × 0 + (5u + 2v) × 1 -3u + v =0 arba v = - u.

Tada randame plokštumos, kurioje yra M, lygtį, pluošto lygtį pakeisdami v = - u:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Nes u¹0 (kitaip v=0, o tai prieštarauja pluošto apibrėžimui), tada gauname plokštumos x-2y+3z-4=0 lygtį. Antroji sijai priklausanti plokštuma turi būti jai statmena. Užrašykime plokštumų ortogonalumo sąlygą:

(2u+ v)×1 + (v – u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0 arba v = – 19/5u.

Tai reiškia, kad antrosios plokštumos lygtis yra tokia:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 arba 9x +24y + 13z + 34 = 0