Įsitikinkite, kad pateiktas trikampis yra stačiakampis, nes Pitagoro teorema taikoma tik stačiakampiams trikampiams.

• Stačiakampiuose trikampiuose vienas iš trijų kampų visada yra 90 laipsnių.

Statusis kampas stačiakampiame trikampyje žymimas kvadrato piktograma, o ne kreive, kuri reiškia įstrižus kampus. Pažymėkite trikampio kraštines. Kojas pažymėkite raidėmis „a“ ir „b“ (kojos yra kraštinės, susikertančios stačiu kampu), o hipotenuzą – „c“ (pagrindinė yra didžiausia didžioji pusė stačiakampis trikampis, priešingas).

c = 20,6. Taigi apytikslis laiptų ilgis – 20,6 metro. Kada pirmą kartą pradėjote mokytis apie kvadratines šaknis ir kaip jas išspręsti? neracionalios lygtys (lygybės, kurių šaknies ženklas yra nežinomas), tikriausiai pirmą kartą apie jas supratote praktinis naudojimas

. Gebėjimas paimti skaičių kvadratinę šaknį taip pat būtinas sprendžiant uždavinius naudojant Pitagoro teoremą. Ši teorema susieja bet kurio stačiojo trikampio kraštinių ilgius.

Stačiojo trikampio kojelių ilgiai (tos dvi kraštinės, kurios susikerta stačiu kampu) žymimi raidėmis ir, o hipotenuzės ilgis (ilgiausia trikampio kraštinė, esanti priešais stačią kampą) bus pažymėta laišką. Tada atitinkami ilgiai yra susieti tokiu ryšiu: Ši lygtis leidžia rasti stačiojo trikampio kraštinės ilgį, kai žinomas kitų dviejų kraštinių ilgis. Be to, tai leidžia nustatyti, ar aptariamas trikampis yra stačiakampis, jei visų ilgių tris puses

žinoma iš anksto.

Užduočių sprendimas naudojant Pitagoro teoremą

Norėdami konsoliduoti medžiagą, naudodamiesi Pitagoro teorema išspręsime šiuos uždavinius.

1. Taigi, atsižvelgiant į:
2. Vienos kojos ilgis – 48, hipotenuzė – 80.

Kojos ilgis 84, hipotenuzė 91.

Pereikime prie sprendimo:

48 2 + a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai: 2 = 80 2

2304 + a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai: 2 = 6400

a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai: 2 = 4096

a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai: b a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai: = -64

Kadangi trikampio kraštinės ilgio išreikšti negalima neigiamas skaičius, antroji parinktis automatiškai atmetama.

Atsakymas į pirmą nuotrauką: a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai: = 64.

b) Antrojo trikampio kojos ilgis randamas tokiu pačiu būdu:

84 2 + a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai: 2 = 91 2

7056 + a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai: 2 = 8281

a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai: 2 = 1225

a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai:= 35 arba a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai: = -35

Kaip ir ankstesniu atveju, neigiamas sprendimas išmesti.

Atsakymas į antrą paveikslėlį: a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai: = 35

Mums duota:

1. Mažesnių trikampio kraštinių ilgiai yra atitinkamai 45 ir 55, o didesnių kraštinių ilgis yra 75.
2. Mažųjų trikampio kraštinių ilgiai yra atitinkamai 28 ir 45, o didesnių kraštinių ilgiai yra 53.

Išspręskime problemą:

a) Reikia patikrinti, ar trumpesnių kraštinių ilgių kvadratų suma yra lygi duotas trikampis didesnio ilgio kvadratas:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Todėl pirmasis trikampis nėra stačiakampis.

b) Atliekama ta pati operacija:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Todėl antrasis trikampis yra stačiakampis.

Pirmiausia suraskime didžiausios atkarpos, sudarytos iš taškų, kurių koordinatės (-2, -3) ir (5, -2), ilgį. Tam mes naudojame gerai žinoma formulė Norėdami rasti atstumą tarp taškų stačiakampė sistema koordinatės:

Panašiai randame atkarpos, esančios tarp taškų su koordinatėmis (-2, -3) ir (2, 1), ilgį:

Galiausiai nustatome atkarpos ilgį tarp taškų su koordinatėmis (2, 1) ir (5, -2):

Kadangi lygybė galioja:

tada atitinkamas trikampis yra stačiakampis.

Taigi galime suformuluoti atsakymą į problemą: kadangi trumpiausio ilgio kraštinių kvadratų suma yra lygi kraštinės su ilgiausio ilgio, taškai yra stačiojo trikampio viršūnės.

Pagrindas (nustatytas griežtai horizontaliai), stakta (griežtai vertikaliai) ir kabelis (ištemptas įstrižai) sudaro stačią trikampį, norint nustatyti kabelio ilgį, galima naudoti Pitagoro teoremą:

Taigi kabelio ilgis bus maždaug 3,6 metro.

Duota: atstumas nuo taško R iki taško P (trikampio kojelė) yra 24, nuo taško R iki taško Q (hipotenuzė) yra 26.

Taigi, padėkime Vitai išspręsti problemą. Kadangi paveiksle pavaizduoto trikampio kraštinės turėtų sudaryti stačiakampį trikampį, trečiosios kraštinės ilgį galite rasti naudodami Pitagoro teoremą:

Taigi, tvenkinio plotis yra 10 metrų.

Sergejus Valerjevičius

Vidutinis lygis

Statusis trikampis. Visas iliustruotas vadovas (2019 m.)

STAČIAKAMPIS TRIKAMPIS. ĮĖJIMO LYGIS.

Problemose stačias kampas visai nereikalingas - apatinis kairysis, todėl reikia išmokti atpažinti stačią trikampį šioje formoje,

ir šiame

ir šiame

Kuo geras stačiakampis trikampis? Na... visų pirma, yra ypatingų gražūs vardai už jo puses.

Dėmesio piešimui!

Prisiminkite ir nesupainiokite: yra dvi kojos ir tik viena hipotenuzė(vienintelis, unikalus ir ilgiausias)!

Na, mes aptarėme pavadinimus, dabar svarbiausias dalykas: Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema.

Ši teorema yra daugelio problemų, susijusių su stačiu trikampiu, sprendimas. Pitagoras tai visiškai įrodė neatmenami laikai, ir nuo tada ji atnešė daug naudos ją pažįstantiems. Ir geriausia, kad tai paprasta.

Taigi, Pitagoro teorema:

Ar prisimenate pokštą: „Pitagoro kelnės iš visų pusių lygios!

Nupieškime tuos pačius Pitagoro kelnės ir pažiūrėkime į juos.

Ar tai neatrodo kaip šortai? Na, iš kurių pusių ir kur jie yra lygūs? Kodėl ir iš kur kilo pokštas? Ir šis pokštas yra susijęs būtent su Pitagoro teorema, o tiksliau su tuo, kaip pats Pitagoras suformulavo savo teoremą. Ir jis tai suformulavo taip:

"Suma kvadratų plotai, pastatytas ant kojų, yra lygus kvadratinis plotas, pastatytas ant hipotenuzės“.

Ar tikrai skamba šiek tiek kitaip? Taigi, kai Pitagoras nubrėžė savo teoremos teiginį, išėjo būtent toks paveikslas.

Šiame paveikslėlyje mažų kvadratų plotų suma yra lygi didelio kvadrato plotui. O kad vaikai geriau prisimintų, jog kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui, kažkas šmaikštuolio sugalvojo šį pokštą apie pitagoro kelnes.

Kodėl dabar formuluojame Pitagoro teoremą?

Ar Pitagoras kentėjo ir kalbėjo apie aikštes?

Matote, senovėje nebuvo... algebros! Nebuvo jokių ženklų ir pan. Nebuvo jokių užrašų. Ar įsivaizduojate, kaip baisu buvo vargšams senovės studentams viską prisiminti žodžiais?! Ir galime džiaugtis, kad turime paprasta formuluotė Pitagoro teorema. Pakartokime dar kartą, kad geriau prisimintume:

Dabar turėtų būti lengva:

Na, štai, labiausiai pagrindinė teorema diskutuota apie statųjį trikampį. Jei jus domina, kaip tai įrodoma, perskaitykite šiuos teorijos lygius, o dabar pereikime prie... tamsus miškas... trigonometrija! Prie baisių žodžių sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje.

Tiesą sakant, viskas nėra taip baisu. Žinoma, straipsnyje reikėtų pažvelgti į „tikrąjį“ sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimą. Bet aš tikrai nenoriu, ar ne? Galime pasidžiaugti: norėdami išspręsti stačiakampio trikampio problemas, galite tiesiog užpildyti šiuos paprastus dalykus:

Kodėl viskas tik už kampo? Kur yra kampas? Norėdami tai suprasti, turite žinoti, kaip žodžiais rašomi teiginiai nuo 1 iki 4. Žiūrėk, suprask ir prisimink!

1.
Iš tikrųjų tai skamba taip:

O kaip kampas? Ar yra koja, kuri yra priešais kampą, tai yra, priešinga (kampui) koja? Žinoma, yra! Tai koja!

O kaip kampas? Atidžiai pažiūrėk. Kuri koja yra greta kampo? Žinoma, koja. Tai reiškia, kad kampui koja yra greta, ir

Dabar atkreipkite dėmesį! Pažiūrėkite, ką gavome:

Pažiūrėkite, kaip tai šaunu:

Dabar pereikime prie tangento ir kotangento.

Kaip dabar galiu tai užrašyti žodžiais? Kokia koja yra kampo atžvilgiu? Žinoma, priešingai - jis „guli“ priešais kampą. O koja? Šalia kampo. Taigi ką mes turime?

Pažiūrėkite, kaip skaitiklis ir vardiklis apsikeitė vietomis?

O dabar vėl kampai ir pasikeitė:

Tęsti

Trumpai surašykime viską, ką sužinojome.

Pitagoro teorema:

Pagrindinė stačiųjų trikampių teorema yra Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema

Beje, ar gerai prisimeni, kas yra kojos ir hipotenuzė? Jei nelabai gerai, tai pažiūrėkite į paveikslėlį – atnaujinkite žinias

Visai gali būti, kad jau daug kartų naudojote Pitagoro teoremą, bet ar kada susimąstėte, kodėl tokia teorema yra teisinga? Kaip aš galiu tai įrodyti? Darykime kaip senovės graikai. Nubrėžkime kvadratą su kraštine.

Pažiūrėkite, kaip sumaniai suskirstėme jo puses į ilgio segmentus ir!

Dabar sujungkime pažymėtus taškus

Tačiau čia mes atkreipėme dėmesį į ką nors kita, bet jūs pats žiūrite į piešinį ir galvojate, kodėl taip yra.

Koks yra didesnio kvadrato plotas? Teisingai,. O kaip dėl mažesnio ploto? Be abejo,. Išlieka bendras keturių kampų plotas. Įsivaizduokite, kad paėmėme juos po du ir priglaudėme vienas prie kito su jų hipotenomis. Kas atsitiko? Du stačiakampiai. Tai reiškia, kad „pjūvių“ plotas yra lygus.

Sudėkime viską dabar.

Transformuokime:

Taigi mes aplankėme Pitagorą – senoviniu būdu įrodėme jo teoremą.

Statusis trikampis ir trigonometrija

Stačiajam trikampiui galioja šie santykiai:

Smagiojo kampo sinusas lygus santykiui priešinga kojaį hipotenuzę

Smailaus kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui.

Smailiojo kampo liestinė yra lygi priešingos pusės ir gretimos pusės santykiui.

Smailiojo kampo kotangentas yra lygus gretimos ir priešingos pusės santykiui.

Ir dar kartą visa tai tabletės pavidalu:

Tai labai patogu!

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai

I. Iš dviejų pusių

II. Pagal koją ir hipotenuzę

III. Pagal hipotenuzę ir smailią kampą

IV. Išilgai kojos ir smailaus kampo

a)

b)

Dėmesio! Čia labai svarbu, kad kojos būtų „tinkamos“. Pavyzdžiui, jei viskas vyksta taip:

TUOMET TRIKAMPAI NĖRA LYGI, nepaisant to, kad jie turi vieną identišką smailią kampą.

Tai būtina abiejuose trikampiuose koja buvo greta arba abiejuose buvo priešinga.

Ar pastebėjote, kaip stačiųjų trikampių lygybės ženklai skiriasi nuo įprastų trikampių lygybės ženklų? Pažvelkite į temą „ir atkreipkite dėmesį į tai, kad „paprastų“ trikampių lygybei trys jų elementai turi būti lygūs: dvi kraštinės ir kampas tarp jų, du kampai ir kraštinė tarp jų arba trys kraštinės. Tačiau stačiųjų trikampių lygybei pakanka tik dviejų atitinkamų elementų. Puiku, tiesa?

Apytiksliai tokia pati situacija ir su stačiųjų trikampių panašumo ženklais.

Stačiųjų trikampių panašumo ženklai

I. Išilgai smailiojo kampo

II. Iš dviejų pusių

III. Pagal koją ir hipotenuzę

Mediana stačiakampiame trikampyje

Kodėl taip yra?

Vietoj stačiakampio apsvarstykite visą stačiakampį.

Nubrėžkime įstrižainę ir apsvarstykime tašką – įstrižainių susikirtimo tašką. Kas žinoma apie stačiakampio įstrižaines?

Ir kas iš to seka?

Taigi paaiškėjo, kad

1. - mediana:

Prisiminkite šį faktą! Labai padeda!

Dar labiau stebina tai, kad yra ir priešingai.

Ką gero galima gauti iš to, kad mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės? Pažiūrėkime į paveikslėlį

Atidžiai pažiūrėk. Turime: , tai yra, atstumai nuo taško iki visų trijų trikampio viršūnių pasirodė lygūs. Tačiau trikampyje yra tik vienas taškas, nuo kurio atstumai nuo visų trijų trikampio viršūnių yra lygūs, ir tai yra APRATUMO CENTRAS. Taigi kas atsitiko?

Taigi pradėkime nuo šio „be to...“.

Pažiūrėkime ir.

Bet panašūs trikampiai visi kampai lygūs!

Tą patį galima pasakyti apie ir

Dabar nupieškime kartu:

Kokia nauda iš šio „trigubo“ panašumo?

Na, pavyzdžiui - dvi stačiojo trikampio aukščio formulės.

Užrašykime atitinkamų šalių santykius:

Norėdami rasti aukštį, išsprendžiame proporciją ir gauname pirmoji formulė "Aukštis stačiakampiame trikampyje":

Taigi, pritaikykime panašumą: .

Kas bus dabar?

Vėlgi išsprendžiame proporciją ir gauname antrą formulę:

Reikia labai gerai atsiminti abi šias formules ir naudoti patogesnę. Užrašykime juos dar kartą

Pitagoro teorema:

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai: .

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai:

• iš dviejų pusių:
• pagal koją ir hipotenuzę: arba
• išilgai kojos ir gretimo smailiojo kampo: arba
• išilgai kojos ir priešingo smailaus kampo: arba
• pagal hipotenuzę ir smailią kampą: arba.

Stačiakampių trikampių panašumo ženklai:

• vienas ūmus kampas: arba
• iš dviejų kojų proporcingumo:
• nuo kojos ir hipotenuzės proporcingumo: arba.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje

• Stačiakampio trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis:
• Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentas yra gretimos kraštinės ir priešingos kraštinės santykis: .

Stačiojo trikampio aukštis: arba.

Stačiakampiame trikampyje iš stačiojo kampo viršūnės nubrėžta mediana yra lygi pusei hipotenuzės: .

Stačiojo trikampio plotas:

• per kojas:

Pitagoro teorema

Įrodymas

Įjungta šiuo metu V mokslinė literatūra Užregistruoti 367 šios teoremos įrodymai. Tikriausiai Pitagoro teorema yra vienintelė teorema, turinti tokį įspūdingą įrodymų skaičių. Tokią įvairovę galima paaiškinti tik pagrindine teoremos reikšme geometrijai.
Žinoma, konceptualiai visas jas galima suskirstyti į nedidelį skaičių klasių. Žymiausi iš jų: įrodymai sričių metodu, aksiomatiniai ir egzotiniai įrodymai (pavyzdžiui, naudojant diferencialines lygtis).

Per panašius trikampius

Šis algebrinės formuluotės įrodymas yra paprasčiausias iš įrodymų, sudarytas tiesiai iš aksiomų. Visų pirma, jame nenaudojama figūros ploto sąvoka.
Tegu ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C. Nubrėžkite aukštį iš C ir jo pagrindą pažymėkite H. Trikampis ACH panašus į trikampį ABC dviem kampais.
Panašiai trikampis CBH yra panašus į ABC. Įvedant užrašą

gauname

Kas yra lygiavertė

Sudėjus, gauname

arba

Įrodymai naudojant ploto metodą

Žemiau pateikti įrodymai, nepaisant akivaizdaus jų paprastumo, nėra tokie paprasti. Visi jie naudoja ploto savybes, kurių įrodymas yra sudėtingesnis nei pačios Pitagoro teoremos įrodymas.

Įrodymas naudojant lygiavertį papildymą

Įrodymai per lygiavertiškumą

Vieno tokio įrodymo pavyzdys parodytas brėžinyje dešinėje, kur ant hipotenuzės pastatytas kvadratas perskirstomas į du kvadratus, pastatytus ant kojų.

Euklido įrodymas

Leonardo da Vinci įrodymas

Pagrindiniai įrodymo elementai yra simetrija ir judėjimas.

Panagrinėkime brėžinį, kaip matyti iš simetrijos, atkarpa CI perpjauna kvadratą ABHJ į dvi identiškas dalis (nes trikampiai ABC ir JHI yra vienodi pagal konstrukciją). Naudodami 90 laipsnių pasukimą prieš laikrodžio rodyklę, matome nuspalvintų figūrų CAJI ir GDAB lygybę. Dabar aišku, kad mūsų nuspalvintos figūros plotas yra lygus pusės kvadratų, pastatytų ant kojų, plotų ir pradinio trikampio ploto sumai. Kita vertus, jis yra lygus pusei kvadrato, pastatyto ant hipotenuzės, ploto, pridėjus pradinio trikampio plotą. Paskutinis įrodymo žingsnis paliekamas skaitytojui.

Pitagoro teorema- viena iš pagrindinių Euklido geometrijos teoremų, nustatančių ryšį

tarp stačiojo trikampio kraštinių.

Manoma, kad tai įrodė graikų matematikas Pitagoras, kurio vardu jis ir buvo pavadintas.

Geometrinė Pitagoro teoremos formuluotė.

Iš pradžių teorema buvo suformuluota taip:

Stačiakampiame trikampyje ant hipotenuzos pastatyto kvadrato plotas lygus kvadratų plotų sumai,

pastatytas ant kojų.

Pitagoro teoremos algebrinė formuluotė.

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės ilgio kvadratas yra lygus kojų ilgių kvadratų sumai.

Tai reiškia, kad trikampio hipotenuzės ilgį reiškia c, o kojų ilgiai per a Ir a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai::

Abi formulės Pitagoro teorema yra lygiaverčiai, tačiau antroji formuluotė yra elementaresnė, tai nėra

reikalauja ploto sampratos. Tai yra, antrąjį teiginį galima patikrinti nieko nežinant apie sritį ir

matuojant tik stačiojo trikampio kraštinių ilgius.

Konversinė Pitagoro teorema.

Jei trikampio vienos kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, tada

stačiakampis trikampis.

Arba, kitaip tariant:

Kiekvienam teigiamų skaičių trigubui a, a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai: Ir c, toks

yra stačiakampis trikampis su kojomis a Ir a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai: ir hipotenuzė c.

Pitagoro teorema lygiašoniam trikampiui.

Lygiakraščio trikampio Pitagoro teorema.

Pitagoro teoremos įrodymai.

Šiuo metu mokslinėje literatūroje yra užfiksuoti 367 šios teoremos įrodymai. Tikriausiai teorema

Pitagoras yra vienintelė teorema, turinti tokį įspūdingą įrodymų skaičių. Tokia įvairovė

galima paaiškinti tik pagrindine teoremos reikšme geometrijai.

Žinoma, konceptualiai visas jas galima suskirstyti į nedidelį skaičių klasių. Garsiausi iš jų:

įrodymas ploto metodas, aksiominis Ir egzotiškų įrodymų(Pavyzdžiui,

naudojant diferencialines lygtis).

1. Pitagoro teoremos įrodymas naudojant panašius trikampius.

Šis algebrinės formuluotės įrodymas yra paprasčiausias iš sukonstruotų įrodymų

tiesiai iš aksiomų. Visų pirma, jame nenaudojama figūros ploto sąvoka.

Leiskite ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C. Nubrėžkime aukštį iš C ir žymėti

per jo pamatą H.

Trikampis ACH panašus į trikampį AB C dviejuose kampuose. Taip pat trikampis CBH panašus ABC.

Įvesdami užrašą:

gauname:

,

kuris atitinka -

Sulankstytas a 2 ir a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai: 2, gauname:

arba , ką reikėjo įrodyti.

2. Pitagoro teoremos įrodymas ploto metodu.

Žemiau pateikti įrodymai, nepaisant akivaizdaus jų paprastumo, nėra tokie paprasti. Visi jie

naudoti ploto savybes, kurių įrodymai yra sudėtingesni nei pačios Pitagoro teoremos įrodymas.

• Įrodymas per lygiavertiškumą.

Išdėskime keturis vienodus stačiakampius

trikampis, kaip parodyta paveikslėlyje

teisingai.

Keturkampis su šonais c- kvadratas,

kadangi dviejų smailiųjų kampų suma yra 90°, ir

atlenktas kampas - 180°.

Visos figūros plotas yra, viena vertus,

kvadrato su kraštine plotas ( a+b), ir, kita vertus, sumą keturi kvadratai trikampiai ir

Q.E.D.

3. Pitagoro teoremos įrodymas be galo mažu metodu.

​

Žvelgiant į brėžinį, parodytą paveikslėlyje ir

stebi, kaip keičiasi pusėa, galime

parašykite tokį ryšį begalybei

mažas šoniniai prieaugiaiSu Ir a(naudojant panašumą

trikampiai):

Naudodami kintamojo atskyrimo metodą randame:

Daugiau bendra išraiška pakeisti hipotenuzę, kai padidėja abi kojos:

Integruojantis duota lygtis ir naudojant pradines sąlygas, gauname:

Taigi gauname norimą atsakymą:

Kaip nesunku pastebėti, kvadratinė priklausomybė galutinėje formulėje atsiranda dėl tiesinės

proporcingumas tarp trikampio kraštinių ir prieaugių, o suma yra susijusi su nepriklausomu

įnašai iš skirtingų kojų prieaugio.

Paprastesnį įrodymą galima gauti, jei manome, kad viena iš kojų nepatiria padidėjimo

(V šiuo atveju koja a) Pakeitus duomenis į aukščiau pateiktą lygtį, gaunami tokie rezultatai:). Tada integravimo konstantai gauname: