Хүснэгт 8.11-ийн шийдэл нь Пифагорын теорем юм. Пифагорын теоремыг батлах янз бүрийн арга замууд: жишээ, тайлбар, тойм

Пифагорын теорем

Баталгаа

Асаалттай Энэ мөчВ шинжлэх ухааны уран зохиолЭнэ теоремын 367 баталгаа бүртгэгдсэн байна. Магадгүй Пифагорын теорем бол ийм гайхалтай тооны баталгаатай цорын ганц теорем юм. Ийм олон янз байдлыг зөвхөн геометрийн теоремын үндсэн ач холбогдлоор тайлбарлаж болно.
Мэдээжийн хэрэг, үзэл баримтлалын хувьд бүгдийг нь цөөн тооны ангиудад хувааж болно. Тэдгээрийн хамгийн алдартай нь: талбайн аргын нотолгоо, аксиоматик ба чамин нотолгоо (жишээлбэл, дифференциал тэгшитгэлийг ашиглах).

Ижил төстэй гурвалжингаар

Алгебрийн томъёоллын дараах нотолгоо нь аксиомуудаас шууд бүтээгдсэн хамгийн энгийн баталгаа юм. Ялангуяа дүрсийн талбайн тухай ойлголтыг ашигладаггүй.
ABC нь тэгш өнцөгт C өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжин байг. С цэгээс өндрийг зурж, суурийг нь H гэж тэмдэглэ. ACH гурвалжин нь ABC гурвалжинтай хоёр өнцөгт төстэй.
Үүний нэгэн адил CBH гурвалжин нь ABC-тэй төстэй. Тэмдэглэгээг танилцуулснаар

бид авдаг

Юу тэнцэх вэ

Үүнийг нэмбэл бид олж авна

эсвэл

Талбайн аргыг ашиглан нотлох баримтууд

Доорх нотлох баримтууд нь хэдийгээр илт энгийн боловч тийм ч энгийн биш юм. Тэд бүгд талбайн шинж чанарыг ашигладаг бөгөөд үүний нотолгоо нь Пифагорын теоремын нотолгооноос илүү төвөгтэй байдаг.

Эквикомплементаар нотлох

Эквивалентаар нотлох баримтууд

Ийм нотолгооны нэг жишээг баруун талын зурган дээр харуулсан бөгөөд гипотенуз дээр барьсан квадратыг хөл дээр барьсан хоёр квадрат болгон дахин зохион байгуулав.

Евклидийн нотолгоо

Леонардо да Винчигийн нотолгоо

Баталгаажуулах гол элементүүд нь тэгш хэм ба хөдөлгөөн юм.

Зургийг авч үзье, тэгш хэмээс харахад CI сегмент нь ABHJ квадратыг хоёр ижил хэсэгт хуваасан (ABC ба JHI гурвалжин нь барилгын хувьд тэнцүү тул). Цагийн зүүний эсрэг 90 градусын эргэлтийг ашигласнаар бид CAJI ба GDAB гэсэн сүүдэртэй тоонуудын тэгш байдлыг харж байна. Одоо бидний сүүдэрлэсэн зургийн талбай нь хөл дээр баригдсан талбайн тал ба анхны гурвалжны талбайн нийлбэртэй тэнцэх нь тодорхой байна. Нөгөө талаас, энэ нь гипотенуз дээр баригдсан квадратын талбайн хагастай тэнцүү бөгөөд анхны гурвалжны талбайтай тэнцүү байна. Нотолгооны сүүлчийн алхамыг уншигчдад үлдээнэ.

Пифагорын теорем нь зөвхөн тэгш өнцөгт гурвалжинд хамаатай тул танд өгсөн гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин мөн эсэхийг шалгаарай.

• Тэгш өнцөгт гурвалжинд гурван өнцгийн нэг нь үргэлж 90 градус байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцөг нь ташуу өнцгийг илэрхийлдэг муруй биш харин дөрвөлжин дүрсээр илэрхийлэгдэнэ.Гурвалжны талуудыг тэмдэглэ. Хөлийг "a" ба "b" (хөл нь зөв өнцгөөр огтлолцдог талууд), гипотенузыг "c" (гипотенуз нь хамгийн их) гэж тэмдэглэнэ.том тал

c = 20.6. Тиймээс шатны ойролцоогоор урт нь 20.6 метр юм.

Юуны өмнө, бүрэн дүүрэн байхын тулд би энд Пифагорын теоремыг нотлохыг хүсч байна, миний бодлоор энэ нь хамгийн гоёмсог бөгөөд ойлгомжтой юм. Дээрх зураг нь зүүн ба баруун гэсэн хоёр ижил квадратыг харуулж байна. Том дөрвөлжин тус бүрт 4 ижил тэгш өнцөгт гурвалжин сүүдэрлэсэн байдаг тул зүүн ба баруун талд сүүдэрлэсэн дүрсүүдийн талбайнууд тэнцүү байгааг зурагнаас харж болно. Энэ нь зүүн болон баруун талд байгаа сүүдэргүй (цагаан) хэсгүүд нь тэнцүү гэсэн үг юм. Эхний тохиолдолд сүүдэргүй зургийн талбай нь тэнцүү, хоёр дахь тохиолдолд сүүдэргүй хэсгийн талбай нь . Ийнхүү, . Теорем батлагдсан!

Эдгээр дугаар руу хэрхэн залгах вэ? Та тэдгээрийг гурвалжин гэж нэрлэж болохгүй, учир нь дөрвөн тоо нь гурвалжин үүсгэж чадахгүй. Бас энд! Цэнхэрээс ирсэн боолт шиг

Ийм дөрвөлжин тоо байдаг тул эдгээр тоонд тусгагдсан ижил шинж чанартай геометрийн объект байх ёстой гэсэн үг юм!

Одоо энэ үл хөдлөх хөрөнгийн геометрийн объектыг сонгоход л үлддэг бөгөөд бүх зүйл байрандаа орох болно! Мэдээжийн хэрэг, таамаглал нь зөвхөн таамаглал байсан бөгөөд үүнийг батлах үндэслэлгүй байв. Гэхдээ ийм байвал яах вэ!

Объектуудын сонголт эхэлсэн. Од, олон өнцөгт, тогтмол, жигд бус, тэгш өнцөг гэх мэт. Дахиад юу ч тохирохгүй. Юу хийх вэ? Яг энэ мөчид Шерлок хоёр дахь удаагаа тэргүүлж байна.

Бид хэмжээг нэмэгдүүлэх хэрэгтэй! Гурав нь хавтгай дээрх гурвалжинтай тохирч байгаа тул дөрөв нь гурван хэмжээст зүйлтэй тохирч байна!

Өө үгүй ​​ээ! Дахин хэтэрхий олон сонголт! Гурван хэмжээстэд маш олон төрөл байдаг геометрийн биетүүд. Тэдгээрийг бүгдийг нь даван туулахыг хичээ! Гэхдээ энэ бүхэн тийм ч муу биш юм. Мөн зөв өнцөг болон бусад шинж тэмдгүүд байдаг! Бидэнд юу байгаа вэ? Египетийн дөрвөн тоо (Египет байсан ч гэсэн тэдгээрийг ямар нэг зүйл гэж нэрлэх ёстой), тэгш өнцөг (эсвэл өнцөг) ба тодорхой гурван хэмжээст объект. Суутгал ажилласан! Тэгээд... Аль нэг орой дээрээ гурван өнцөг нь зөв байдаг пирамидуудын тухай ярьж байгааг хурдан ухаантай уншигчид аль хэдийн ойлгосон гэдэгт би итгэдэг. Та тэднийг дуудаж ч болно тэгш өнцөгт пирамидуудтэгш өнцөгт гурвалжинтай төстэй.

Шинэ теорем

Зураг дээр эхэнд нь оройтой пирамид харагдаж байна тэгш өнцөгт координат(пирамид хажуу тийшээ хэвтэж байх шиг байна). Пирамид нь гарал үүслийн дагуу зурсан харилцан перпендикуляр гурван вектороор үүсгэгддэг координатын тэнхлэгүүд. Өөрөөр хэлбэл тус бүр хажуугийн ирмэгПирамид бол эхэн дээрээ тэгш өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Векторуудын төгсгөлүүд нь огтлох хавтгайг тодорхойлж, пирамидын үндсэн нүүрийг бүрдүүлдэг.

Теорем

Байг тэгш өнцөгт пирамид, гурван харилцан перпендикуляр вектороор үүсгэгдсэн, тэдгээрийн хөлний талуудын талбай нь --тэй тэнцүү, гипотенузын нүүрний талбай нь --тэй тэнцүү байна. Дараа нь

Альтернатив томъёолол: Нэг орой дээр бүх хавтгай өнцөг нь зөв байх тетраэдр пирамидын хувьд хажуугийн нүүрний талбайн квадратуудын нийлбэр нь суурийн талбайн квадраттай тэнцүү байна.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв ердийн Пифагорын теоремыг гурвалжны талуудын уртаар томъёолсон бол бидний теоремыг пирамидын талуудын талбайн хувьд томъёолно. Хэрэв та бага зэрэг вектор алгебр мэддэг бол энэ теоремыг гурван хэмжээстээр батлах нь маш амархан.

Баталгаа

Талбайг векторуудын уртаар илэрхийлье.

Хаана.

Талбайг векторууд дээр барьсан параллелограммын талбайн тал хувьтай тэнцүү гэж төсөөлье

Мэдэгдэж байгаагаар, вектор бүтээгдэхүүнХоёр вектор гэдэг нь эдгээр векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайтай тоон утгаараа урттай тэнцүү вектор юм.
Тийм ч учраас

Тиймээс,

Q.E.D!

Мэдээжийн хэрэг, мэргэжлийн чиглэлээр судалгаа хийдэг хүний ​​хувьд энэ нь миний амьдралд нэг бус удаа тохиолдож байсан. Гэхдээ энэ мөч хамгийн гэгээлэг, хамгийн дурсамжтай мөч байсан. Би нээгчийн бүх мэдрэмж, сэтгэл хөдлөл, туршлагыг мэдэрсэн. Бодол төрж, санаагаа талсуулж, нотлох баримтыг олж авснаас эхлээд миний санааг найз нөхөд, танилууд, тэр үед надад санагдаж байсан шиг бүхэлд нь үл ойлголцох, бүр үгүйсгэх хүртэл. Энэ нь өвөрмөц байсан! Би Галилео, Коперник, Ньютон, Шрөдингер, Бор, Эйнштейн болон бусад олон нээлтчдийн оронд байгаа юм шиг санагдсан.

Дараах үг

Амьдралд бүх зүйл илүү энгийн, илүү зохиол болж хувирав. Би хоцорлоо... Гэхдээ хэр их юм бэ! Дөнгөж 18 настай! Удаан үргэлжилсэн аймшигт эрүүдэн шүүлтийн дор Google энэ теоремыг 1996 онд нийтэлсэн гэдгийг анх удаа биш гэж хүлээн зөвшөөрсөн!

Техас Пресс нийтэлсэн нийтлэл техникийн их сургууль. Зохиогчид, мэргэжлийн математикчид нэр томъёог нэвтрүүлсэн (дашрамд хэлэхэд энэ нь минийхтэй ихээхэн давхцаж байсан) мөн нэгээс илүү хэмжээст орон зайд хүчинтэй ерөнхий теоремыг баталжээ. 3-аас дээш хэмжээтэй бол юу болох вэ? Бүх зүйл маш энгийн: нүүр царай, талбайн оронд хэт гадаргуу, олон хэмжээст эзэлхүүн байх болно. Мэдээжийн хэрэг, мэдэгдэл хэвээр байх болно: хажуугийн нүүрний эзэлхүүний квадратуудын нийлбэр нь суурийн эзэлхүүний квадраттай тэнцүү байна - зөвхөн нүүрний тоо илүү их байх болно, тус бүрийн эзэлхүүн нь тэднийх болно хагастай тэнцүүвектор үүсгэх бүтээгдэхүүн. Үүнийг төсөөлөх нь бараг боломжгүй юм! Хүн зөвхөн философичдын хэлснээр бодож чадна!

Гайхалтай нь, ийм теорем аль хэдийн мэдэгдэж байсныг мэдээд би огтхон ч бухимдсангүй. Сэтгэлийнхээ гүнд хаа нэгтээ би анхных биш байж магадгүй гэж сэжиглэж, үүнд үргэлж бэлтгэлтэй байх хэрэгтэй гэдгийг ойлгосон. Гэхдээ миний олж авсан тэр сэтгэл хөдлөлийн туршлага надад судлаачийн оч асаалаа, одоо хэзээ ч арилахгүй гэдэгт итгэлтэй байна!

P.S.

Эрдэмтэн уншигч коммент хэсэгт холбоосыг илгээсэн байна
Де Гойсын теорем

Википедиагаас ишлэл

1783 онд энэ теоремыг Парисын Шинжлэх ухааны академид танилцуулав Францын математикчЖ.-П. де Гойс, гэхдээ үүнийг өмнө нь Рене Декарт болон түүнээс өмнөх Иоганн Фулгабер мэддэг байсан бөгөөд 1622 онд анх нээсэн байж магадгүй юм. Илүү их ерөнхий үзэлЭнэ теоремыг 1774 онд Парисын Шинжлэх Ухааны Академид өгсөн тайландаа Чарльз Тинсо (Франц) томъёолжээ.

Тиймээс би 18 жилээр хоцорсон биш, ядаж хэдэн зуун жил хоцорсон!

Эх сурвалжууд

Уншигчид тайлбар дээр хэд хэдэн зүйлийг зааж өгсөн хэрэгтэй холбоосууд. Эдгээр болон бусад холбоосууд энд байна:

Пифагорын теоремыг батлах янз бүрийн арга замууд

9 "А" ангийн сурагч

Хотын боловсролын байгууллага 8-р дунд сургууль

Шинжлэх ухааны зөвлөх:

математикийн багш,

Хотын боловсролын байгууллага 8-р дунд сургууль

Урлаг. Новорождественская

Краснодар муж.

Урлаг. Новорождественская

ТАЙЛБАР.

Пифагорын теорем нь геометрийн явцад хамгийн чухал гэж тооцогддог бөгөөд анхаарал хандуулах ёстой. Энэ нь багцыг шийдвэрлэх үндэс суурь юм геометрийн асуудлууд, онолын судлах суурь ба практик курсдараа нь геометр. Теорем нь баялагаар хүрээлэгдсэн байдаг түүхэн материалтүүний гадаад төрх байдал, нотлох аргуудтай холбоотой. Геометрийн хөгжлийн түүхийг судлах нь энэ сэдвийг хайрлах сэтгэлийг төрүүлж, танин мэдэхүйн сонирхол, ерөнхий соёл, бүтээлч байдлыг хөгжүүлэх, мөн судалгааны ур чадварыг хөгжүүлдэг.

Үр дүнд нь хайлтын үйл ажиллагааЭнэхүү ажлын зорилго нь Пифагорын теоремыг нотлох мэдлэгийг нөхөж, нэгтгэх явдал байв. Олж, хянаж чадсан янз бүрийн арга замуудСургуулийн сурах бичгийн хуудаснаас давж, сэдвийн талаархи мэдлэгийг нотлох, гүнзгийрүүлэх.

Цуглуулсан материал нь Пифагорын теорем нь геометрийн агуу теорем бөгөөд асар их онолын болон практик ач холбогдол.

Оршил. Түүхийн лавлагаа 5 Үндсэн хэсэг 8

3. Дүгнэлт 19

4. Ашигласан уран зохиол 20
1. ТАНИЛЦУУЛГА. ТҮҮХИЙН ЛАВЛАГАА.

Үнэний мөн чанар нь бидний хувьд үүрд мөнхөд оршино.

Түүний ойлголтод ядаж нэг удаа бид гэрлийг олж харвал,

Тэгээд олон жилийн дараа Пифагорын теорем

Бидний хувьд, түүний хувьд энэ нь маргаангүй, өө сэвгүй юм.

Баярлахын тулд Пифагор бурхдад тангараг өргөв.

Хязгааргүй мэргэн ухаанд хүрэхийн тулд,

Тэрээр мөнхийн хүмүүсийн ачаар зуун бухыг нядлав;

Тэрээр хохирогчийн араас залбирч, магтаалыг өргөв.

Тэр цагаас хойш бухнууд үнэртэхэд тэд түлхэж,

Энэ зам хүмүүсийг дахин шинэ үнэн рүү хөтөлдөг.

Тэд ууртайгаар архирдаг тул сонсох нь утгагүй юм,

Ийм Пифагор тэдэнд үүрд айдас төрүүлэв.

Бухуудад, хүч чадалгүй шинэ үнэнэсэргүүцэх,

Юу үлдэх вэ? - Зүгээр л нүдээ аних, архирах, чичрэх.

Пифагор теоремоо хэрхэн нотолсон нь тодорхойгүй байна. Тэр үүнийг Египетийн шинжлэх ухааны хүчтэй нөлөөн дор нээсэн нь тодорхой юм. Онцгой тохиолдолПифагорын теорем - 3, 4, 5 талтай гурвалжны шинж чанаруудыг Пифагорыг төрөхөөс өмнө пирамид баригчид мэддэг байсан бөгөөд тэрээр өөрөө Египетийн тахилч нартай 20 гаруй жил суралцжээ. Пифагор өөрийн алдартай теоремоо баталж, бурхдад бух, бусад эх сурвалжийн мэдээлснээр 100 бухыг тахил өргөсөн гэсэн домог хадгалагдан үлджээ. Гэсэн хэдий ч энэ нь Пифагорын ёс суртахууны болон шашны үзэл бодлын талаархи мэдээлэлтэй зөрчилдөж байна. Утга зохиолын эх сурвалжаас "Амьтад алж идэхийг ч цээрлэдэг байсан, учир нь амьтад бидэнтэй адил сүнстэй байдаг" гэж уншиж болно. Пифагор зөвхөн зөгийн бал, талх, хүнсний ногоо, хааяа загас иддэг байв. Энэ бүхэнтэй холбогдуулан дараах бичлэгийг илүү үнэмшилтэй гэж үзэж болно: "... Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенуз нь хөлтэй тохирч байгааг олж мэдсэн ч тэрээр улаан буудайн зуурсан гурилаар хийсэн бухыг тахил өргөсөн."

Пифагорын теоремын алдар нэр нь маш их бөгөөд түүний нотлох баримтыг уран зохиолоос ч, жишээлбэл, Английн алдарт зохиолч Хакслийн "Залуу Архимед" өгүүллэгээс олж болно. Үүнтэй ижил нотолгоо, гэхдээ тэгш өнцөгт гурвалжны онцгой тохиолдлын хувьд Платоны "Мено" харилцан ярианд өгөгдсөн.

"Гэр" үлгэр.

"Алс хол, онгоц хүртэл нисдэггүй газар бол геометрийн орон юм. Энэ нь ер бусын улсНэг гайхалтай хот байсан - Теорем хот. Нэгэн өдөр энэ хотод Гипотенуз хэмээх үзэсгэлэнтэй охин ирэв. Өрөө хөлслөх гэсэн ч хаана ч өргөдлөө өгөөгүй. Эцэст нь тэр эвдэрсэн байшинд ойртож, тогшив. Өөрийгөө зөв өнцөг гэж нэрлэсэн нэгэн эр түүнд хаалгыг нээж, Гипотенузыг түүнтэй хамт амьдрахыг урив. Гипотенуз баруун өнцөг болон түүний Катетес нэртэй хоёр хүүгийн амьдардаг байшинд үлджээ. Түүнээс хойш Зөв өнцгийн байшин дахь амьдрал шинэ байдлаар өөрчлөгдсөн. Гипотенуз цонхон дээр цэцэг тарьж, урд талын цэцэрлэгт улаан сарнай тарьсан. Байшин нь тэгш өнцөгт гурвалжин хэлбэртэй байв. Хоёр хөл нь Гипотенузад үнэхээр дуртай байсан бөгөөд түүнийг гэрт нь үүрд үлдэхийг хүссэн. Орой нь энэ найрсаг гэр бүл гэр бүлийн ширээний ард цуглардаг. Заримдаа зөв өнцөг хүүхдүүдтэйгээ нуугдаж тоглодог. Ихэнхдээ тэр харах хэрэгтэй болдог бөгөөд Гипотенуз нь маш чадварлаг нуугдаж байдаг тул үүнийг олоход маш хэцүү байдаг. Нэгэн өдөр тоглож байгаад баруун өнцөг анзаарчээ сонирхолтой өмч: хэрэв тэр хөлөө олж чадвал гипотенузыг олох нь тийм ч хэцүү биш юм. Тиймээс Зөв өнцөг энэ загварыг маш амжилттай ашигладаг гэж би хэлэх ёстой. Пифагорын теорем нь энэ тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарт суурилдаг."

(А.Окуневын “Хичээл өгсөнд баярлалаа, хүүхдүүд ээ” номноос).

Теоремын инээдэмтэй томъёолол:

Хэрэв бидэнд гурвалжин өгвөл

Түүнээс гадна, зөв ​​өнцгөөр,

Энэ бол гипотенузын квадрат юм

Бид үргэлж амархан олох боломжтой:

Бид хөлийг дөрвөлжин,

Бид хүч чадлын нийлбэрийг олдог -

Бас ийм энгийн байдлаар

Бид үр дүнд хүрэх болно.

10-р ангид алгебр, анализ, геометрийн эхлэлийг судалж байхдаа 8-р ангид авч үзсэн Пифагорын теоремыг батлах аргаас гадна нотлох өөр аргууд байдаг гэдэгт итгэлтэй болсон. Би тэдгээрийг анхааралдаа авахаар толилуулж байна.
2. ҮНДСЭН ХЭСЭГ.

Теорем. Тэгш өнцөгт гурвалжинд дөрвөлжин байдаг

Гипотенуз нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

1 АРГА.

Олон өнцөгтийн талбайн шинж чанарыг ашигласнаар бид гипотенуз ба тэгш өнцөгт гурвалжны хөлүүдийн хооронд гайхалтай холбоо тогтоох болно.

Баталгаа.

а, вба гипотенуз -тай(Зураг 1, а).

Үүнийг баталцгаая c²=a²+b².

Баталгаа.

Гурвалжинг хажуу талтай дөрвөлжин болгож дуусгая a + bЗурагт үзүүлсэн шиг. 1, б. Энэ квадратын S талбай (a + b)² байна. Нөгөө талаас, энэ дөрвөлжин дөрвөн тэгш өнцөгт гурвалжнаас бүрдэх бөгөөд тус бүр нь ½ талбайтай. ай  , мөн талтай дөрвөлжин -тай,тиймээс С = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².

Тиймээс,

(a + b)² = 2 aw + c²,

c²=a²+b².

Теорем нь батлагдсан.
2 АРГА.

Сэдвийг судалсны дараа " Үүнтэй төстэй гурвалжингууд"Та гурвалжны ижил төстэй байдлыг Пифагорын теоремыг батлахад ашиглаж болно гэдгийг би олж мэдсэн. Тухайлбал, би тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь баруун өнцгийн оройноос татсан өндрийн хоорондох гипотенуз ба гипотенузын сегменттэй пропорциональ дундаж юм гэсэн мэдэгдлийг ашигласан.

Тэгш өнцөгт C, CD – өндөртэй тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье (Зураг 2). Үүнийг баталцгаая АС² +NE² = AB² .

Баталгаа.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийн тухай мэдэгдэлд үндэслэн:

AC =, SV =.

Үр дүнгийн тэгшитгэлийг квадрат болгож нэмье:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), энд AD+DB=AB, тэгвэл

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Нотлох баримт бүрэн байна.
3 АРГА.

Пифагорын теоремыг батлахын тулд та тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн косинусын тодорхойлолтыг ашиглаж болно. Зураг руу харцгаая. 3.

Нотолгоо:

Өгөгдсөн тэгш өнцөгт гурвалжныг ABC гэж үзье C. Тэгш өнцөгтийн оройноос CD өндрийг зуръя.

Өнцгийн косинусын тодорхойлолтоор:

cos A = AD/AC = AC/AB. Тиймээс AB * AD = AC²

Үүний нэгэн адил,

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.

Тиймээс AB * BD = BC².

Үүссэн тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмээд AD + DB = AB гэдгийг тэмдэглэвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

АС² + нар² = AB (AD + DB) = AB²

Нотлох баримт бүрэн байна.
4 АРГА.

"Тэгш өнцөгт гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарал" сэдвийг судалсны дараа Пифагорын теоремыг өөр аргаар баталж болно гэж бодож байна.

Хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье а, вба гипотенуз -тай. (Зураг 4).

Үүнийг баталцгаая c²=a²+b².

Баталгаа.

нүгэл B=өндөр чанартай ; cos B= a/c , Дараа нь үр дүнгийн тэгшитгэлийг квадрат болгосноор бид дараахь зүйлийг авна.

нүгэл² B=ин²/с²; cos² IN= a²/c².

Тэдгээрийг нэмбэл бид:

нүгэл² IN+cos² B=в²/с²+ а²/с², энд sin² IN+cos² B=1,

1= (в²+ а²) / с², тиймээс,

c²= a² + b².

Нотлох баримт бүрэн байна.

5 АРГА.

Энэ нотолгоо нь хөл дээр баригдсан квадратуудыг огтолж (Зураг 5) ба үүссэн хэсгүүдийг гипотенуз дээр барьсан квадрат дээр байрлуулахад үндэслэсэн болно.

6 АРГА.

Хажуу талд нь нотлох үүднээс Нарбид барьж байна BCD ABC(Зураг 6). гэдгийг бид мэднэ ижил төстэй тооижил төстэй шугаман хэмжээсүүдийн квадрат хэлбэрээр хамааралтай байна:

Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасвал бид олж авна

c2 = a2 + b2.

Нотлох баримт бүрэн байна.

7 АРГА.

Өгсөн(Зураг 7):

ABC,= 90° , нар= a, AC=b, AB = c.

Нотлох:c2 = a2 +b2.

Баталгаа.

Хөлийг нь тавь б А.Сегментийг үргэлжлүүлье NEцэг тутамд INгурвалжин байгуулна BMDИнгэснээр оноо МТэгээд Ашулуун шугамын нэг талд хэвтэнэ CDмөн үүнээс гадна, BD =б, BDM= 90°, ДМ= a, тэгвэл BMD= ABCхоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг. А цэгүүд ба Мсегментүүдтэй холбох AM.Бидэнд байгаа М.Д. CDТэгээд А.С. CD,шулуун гэсэн үг АСшугамтай зэрэгцээ М.Д.Учир нь М.Д.< АС, дараа нь шулуун CDТэгээд А.М.зэрэгцээ биш. Тиймээс, AMDC-тэгш өнцөгт трапец.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд ABC ба BMD 1 + 2 = 90 ° ба 3 + 4 = 90 °, гэхдээ = = тул 3 + 2 = 90 °; Дараа нь AVM=180° - 90° = 90°. Энэ нь трапец хэлбэртэй болсон AMDCнь давхцдаггүй гурван тэгш өнцөгт гурвалжинд, дараа нь талбайн аксиомоор хуваагдана

(a+b)(a+b)

Тэгш бус байдлын бүх гишүүнийг -д хуваавал бид гарна

Аb + c2 + ab = (a +б) , 2 ab+ c2 = а2+ 2аб+ b2,

c2 = a2 + b2.

Нотлох баримт бүрэн байна.

8 АРГА.

Энэ арга нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөл дээр суурилдаг ABC.Тэрээр харгалзах квадратуудыг байгуулж, гипотенуз дээр барьсан квадрат нь хөл дээр баригдсан квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү болохыг нотолж байна (Зураг 8).

Баталгаа.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ ABC,гэсэн үг, FBC = DBA.

Тиймээс, FBC=АНУ(хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг).

2) , хаана AL DE, BD оноос хойш - нийтлэг үндэслэл, DL-нийт өндөр.

3) , FB нь суурь учраас, AB- нийт өндөр.

4)

5) Үүнтэй адилаар үүнийг баталж болно

6) Нэр томьёог нэр томъёогоор нэмснээр бид дараахь зүйлийг авна.

, BC2 = AB2 + AC2 . Нотлох баримт бүрэн байна.

9 АРГА.

Баталгаа.

1) Болъё ABD- тал нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузтай тэнцүү квадрат (зураг 9). ABC= s, BC = a, AC =б).

2) зөвшөөр Д.К МЭӨТэгээд DK = нар, 1 + 2 = 90 ° -аас хойш хурц булангуудтэгш өнцөгт гурвалжин), 3 + 2 = 90 ° (дөрвөлжингийн өнцөг гэх мэт), AB= Б.Д(дөрвөлжингийн талууд).

гэсэн үг, ABC= BDK(гипотенуз ба хурц өнцгөөр).

3) зөвшөөр EL Д.К., А.М. Э.Л. ABC = BDK = DEL = EAM (хөлтэй.) гэдгийг амархан баталж болно АТэгээд б).Дараа нь KS= CM= М.Л.= Л.К.= А -б.

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (а - б),-тай2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Нотлох баримт бүрэн байна.

10 АРГА.

Нотлох баримтыг "Пифагорын өмд" гэж хошигносон дүрс дээр хийж болно (Зураг 10). Үүний санаа нь хажуу тал дээр барьсан квадратуудыг хамтдаа гипотенузын квадратыг бүрдүүлдэг тэнцүү гурвалжин болгон хувиргах явдал юм.

ABCсумаар харуулсан шиг хөдөлгөж, байрлалаа авна KDN.Үлдсэн зураг AKDCBталбайн тэнцүү талбай AKDCэнэ бол параллелограмм AKNB.

Параллелограммын загварыг хийсэн AKNB. Бид ажлын агуулгад үзүүлсэн шиг параллелограммыг дахин байрлуулна. Параллелограммыг хувиргахыг харуулах тэнцүү талбайтай гурвалжин, сурагчдын өмнө загвар дээрх гурвалжинг таслан доошлуулна. Тиймээс талбайн талбай AKDCтэгш өнцөгтийн талбайтай тэнцүү болж хувирав. Үүний нэгэн адил бид квадратын талбайг тэгш өнцөгтийн талбай болгон хувиргадаг.

Хажуу талдаа барьсан квадратын хувьд өөрчлөлт хийцгээе А(Зураг 11,a):

a) квадратыг тэнцүү параллелограмм болгон хувиргасан (Зураг 11.6):

б) параллелограмм дөрөвний нэгээр эргэлддэг (Зураг 12):

в) параллелограммыг тэнцүү тэгш өнцөгт болгон хувиргасан (Зураг 13): 11 АРГА.

Нотолгоо:

PCL-шулуун (Зураг 14);

КЛОА= ACPF= ACED= a2;

LGBO= SVMR =CBNQ= б 2;

АКГБ= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Нотлох баримт дууслаа .

12 АРГА.

Цагаан будаа. Зураг 15 нь Пифагорын теоремын өөр нэг анхны нотолгоог харуулж байна.

Энд: ABC гурвалжинзөв өнцөгтэй C; шугамын сегмент Б.Ф.перпендикуляр NEба үүнтэй тэнцүү сегмент BEперпендикуляр ABба үүнтэй тэнцүү сегмент МЭперпендикуляр АСба үүнтэй тэнцүү; оноо F, C,Днэг мөрөнд хамаарах; дөрвөлжин ADFBТэгээд ASVEхэмжээтэй тэнцүү, оноос хойш ABF = ECB;гурвалжин ADFТэгээд ACEхэмжээтэй тэнцүү; тэнцүү дөрвөлжин гурвалжинг хоёуланг нь хас ABC,бид авдаг

, c2 = a2 + b2.

Нотлох баримт бүрэн байна.

13 АРГА.

Нэг талдаа өгөгдсөн тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь тэнцүү байна , өөр нэгтэй, ,

3. ДҮГНЭЛТ.

Хайлтын үйл ажиллагааны үр дүнд ажлын зорилго нь Пифагорын теоремыг нотлох мэдлэгийг нөхөж, нэгтгэх явдал байв. Сургуулийн сурах бичгийн хуудаснаас давж, үүнийг батлах, сэдвийн талаархи мэдлэгийг гүнзгийрүүлэх янз бүрийн арга замыг хайж олох, авч үзэх боломжтой байв.

Пифагорын теорем бол геометрийн агуу теорем бөгөөд онол, практикийн асар их ач холбогдолтой гэдгийг миний цуглуулсан материал надад бүр ч илүү баталж байна. Эцэст нь би хэлмээр байна: Пифагорын гурвалсан теоремын алдартай болсон шалтгаан нь түүний гоо үзэсгэлэн, энгийн байдал, ач холбогдол юм!

4. АШИГЛАСАН Уран зохиол.

1. Хөгжилтэй алгебр. . Москва "Шинжлэх ухаан", 1978 он.

2. Долоо хоног бүр боловсролын програм 2001 оны 9-р сарын 24-ний өдөр сонинд.

3. Геометр 7-9. гэх мэт.

4. Геометр 7-9. гэх мэт.

Пифагорын теорем бол геометрийн хамгийн чухал мэдэгдэл юм. Теоремыг дараах байдлаар томъёолсон: тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз дээр баригдсан квадратын талбай нь түүний хөл дээр баригдсан квадратуудын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Энэхүү мэдэгдлийн нээлтийг ихэвчлэн эртний Грекийн философич, математикч Пифагор (МЭӨ VI зуун) -тай холбодог. Гэвч Вавилоны дөрвөлжин хавтангууд болон эртний хятад гар бичмэлүүдийг (тэр ч байтугай хуучин гар бичмэлүүдийн хуулбар) судалж үзэхэд энэ мэдэгдлийг Пифагороос хамаагүй өмнө, магадгүй түүнээс хэдэн мянган жилийн өмнө мэддэг байсан. Пифагорын гавьяа нь энэ теоремын баталгааг олж нээсэн явдал юм.

Пифагорын теоремд дурдсан баримтыг анх ижил тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд тогтоосон байх магадлалтай. Зурагт үзүүлсэн хар ба цайвар гурвалжны мозайкийг хараарай. 1, гурвалжны теоремын үнэн зөвийг шалгахын тулд: гипотенуз дээр барьсан дөрвөлжин нь 4 гурвалжин, хоёр талдаа 2 гурвалжин агуулсан дөрвөлжин хэлбэртэй байна. Нотлох үүднээс ерөнхий тохиолдолВ Эртний ЭнэтхэгХоёр янзаар байрлуулсан: хажуу талтай дөрвөлжинд тэд урт хөлтэй дөрвөн тэгш өнцөгт гурвалжинг дүрсэлсэн ба (Зураг 2, a, 2, b), дараа нь тэд "Хараач!" Үнэхээр эдгээр зургуудыг харахад бид зүүн талд гурвалжингүй дүрс байгаа бөгөөд хоёр талтай квадратаас бүрдэх ба үүний дагуу түүний талбай нь -тэй тэнцүү, баруун талд нь талтай дөрвөлжин байна - түүний талбай тэнцүү байна. Энэ нь Пифагорын теоремын мэдэгдлийг бүрдүүлдэг гэсэн үг юм.

Гэсэн хэдий ч хоёр мянган жилийн турш энэ нь ашиглагдаж байсан зүйл биш юм харааны баталгаа, мөн Евклидийн зохион бүтээсэн илүү төвөгтэй нотолгоо нь түүний алдарт "Элементүүд" номонд (Евклид ба түүний "Элементүүд" -ийг үзнэ үү) байрлуулсан бөгөөд Евклид өндрийг зөв өнцгийн оройноос гипотенуз хүртэл буулгаж, түүний үргэлжлэл хуваагддаг болохыг нотолсон. гипотенуз дээр барьсан квадратыг хоёр тэгш өнцөгт болгон, тэдгээрийн талбай нь хөл дээр баригдсан харгалзах квадратуудын талбайтай тэнцүү байна (Зураг 3). Энэ теоремыг батлахад ашигласан зургийг хошигнолоор “ Пифагорын өмд" Удаан хугацааны туршид энэ нь математикийн шинжлэх ухааны бэлгэдлийн нэг гэж тооцогддог.

Өнөөдөр Пифагорын теоремын хэдэн арван өөр нотолгоо мэдэгдэж байна. Тэдгээрийн зарим нь дөрвөлжин хуваалт дээр суурилдаг бөгөөд үүнд гипотенуз дээр баригдсан дөрвөлжин нь хөл дээр баригдсан квадратуудын хуваалтуудад багтсан хэсгүүдээс бүрддэг; бусад - үүнээс гадна тэнцүү тоонууд; гурав дахь нь - тэгш өнцөгтийн оройгоос гипотенуз хүртэл буулгасан өндөр нь тэгш өнцөгт гурвалжинг түүнтэй төстэй хоёр гурвалжинд хуваадаг.

Пифагорын теорем нь ихэнх геометрийн тооцооллын үндэс суурь болдог. Эртний Вавилонд ч гэсэн өндрийн уртыг тооцоолоход ашигладаг байсан тэгш өнцөгт гурвалжинСуурь ба хажуугийн урт, тойргийн диаметрийн дагуух сегмент сум, хөвчний уртыг үндэслэн зарим ердийн олон өнцөгтийн элементүүдийн хоорондын хамаарлыг тогтоов. Пифагорын теоремыг ашиглан бид түүний ерөнхий ойлголтыг нотолсон бөгөөд энэ нь хурц буюу мохоо өнцгийн эсрэг талд байрлах талын уртыг тооцоолох боломжийг олгодог.

Энэ ерөнхий дүгнэлтээс харахад тэгш өнцөгт байх нь хангалттай төдийгүй тэгш байдлыг хангахад зайлшгүй шаардлагатай нөхцөл юм. (1) томъёоноос хамаарлыг дагана параллелограммын диагональ ба талуудын уртын хооронд байх бөгөөд үүний тусламжтайгаар гурвалжны голч уртыг талуудын уртаас олоход хялбар байдаг.

Пифагорын теорем дээр үндэслэн аливаа гурвалжны талбайг талуудын уртаар нь илэрхийлэх томьёог гаргаж авсан (Хероны томъёог үзнэ үү). Мэдээжийн хэрэг, Пифагорын теоремыг янз бүрийн практик асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигласан.

Квадратуудын оронд та тэгш өнцөгт гурвалжны талууд дээр ижил төстэй дүрсүүдийг барьж болно ( тэгш талт гурвалжин, хагас тойрог гэх мэт). Энэ тохиолдолд гипотенуз дээр баригдсан зургийн талбай нь хөл дээр баригдсан дүрсүүдийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна. Өөр нэг ерөнхий ойлголт нь хавтгайгаас сансарт шилжихтэй холбоотой юм. Үүнийг дараах байдлаар томъёолсон: тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ уртын квадрат нь түүний хэмжээсийн (урт, өргөн, өндөр) квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Үүнтэй төстэй теорем нь олон хэмжээст, бүр хязгааргүй хэмжээст тохиолдлуудад үнэн байдаг.

Пифагорын теорем нь зөвхөн Евклидийн геометрт байдаг. Энэ нь Лобачевскийн геометр болон бусад Евклидийн бус геометрийн аль алинд нь байдаггүй. Бөмбөрцөг дээрх Пифагорын теоремын аналог байхгүй. Хоёр меридиан нь 90° өнцгийг үүсгэсэн ба экватор нь бөмбөрцөг дээр тэгш талт бөмбөрцөг гурвалжинг холбосон бөгөөд тэдгээрийн гурван өнцөг нь бүгд тэгш өнцөгт байна. Түүний хувьд онгоц шиг биш.

Пифагорын теоремыг ашиглан ба цэгүүдийн хоорондох зайг тооцоол координатын хавтгайтомъёоны дагуу

.

Пифагорын теоремыг олж мэдсэний дараа тэгш өнцөгт гурвалжны талууд байж болох натурал тооны бүх гурвалсан тоог хэрхэн олох вэ гэсэн асуулт гарч ирэв (Ферматыг үзнэ үү). агуу теорем). Тэднийг Пифагорчууд нээсэн боловч ийм гурвалсан тоог олох ерөнхий аргуудыг Вавилончууд аль хэдийн мэддэг байсан. Дөрвөлжин хэлбэртэй шахмалуудын нэг нь 15 гурвалсан байдаг. Тэдний дунд ийм олон хүнээс бүрдсэн гурван ихэр бий их тоо, тэдгээрийг сонгох замаар олох тухай асуудал байж болохгүй.

Гиппократын фосса

Гиппократ сарнууд нь хоёр тойргийн нумаар хүрээлэгдсэн дүрсүүд бөгөөд үүнээс гадна эдгээр тойргийн нийтлэг хөвчний радиус ба уртыг ашиглан луужин, захирагч ашиглан ижил хэмжээтэй квадратуудыг барьж болно.

Пифагорын теоремыг хагас тойрог хүртэл ерөнхийд нь авч үзэхэд зүүн талын зурагт үзүүлсэн ягаан өнгийн бөөгнөрөлүүдийн талбайн нийлбэр нь цэнхэр гурвалжны талбайтай тэнцүү байна. Тиймээс, хэрэв та тэгш өнцөгт гурвалжинг авбал хоёр нүх гарах бөгөөд тус бүрийн талбай нь гурвалжны талбайн талтай тэнцүү байх болно. Тойргийг квадрат болгох асуудлыг шийдэхийг оролдож байна (харна уу. Сонгодог асуудлуудэртний), эртний Грекийн математикч Гиппократ (МЭӨ 5-р зуун) хэд хэдэн нүх олсон бөгөөд тэдгээрийн талбайг тэгш өнцөгт дүрсүүдийн талбайгаар илэрхийлдэг.

Hippomarginal lunulae-ийн бүрэн жагсаалтыг зөвхөн 19-20-р зууны үед олж авсан. Галуагийн онолын аргыг хэрэглэсний ачаар.