Лекц 14 Санамсаргүй үйл явцСанамсаргүй үйл явцын каноник тэлэлт. Спектрийн задралхөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явц. Лекц 14
Санамсаргүй үйл явц
Санамсаргүй үйл явцын каноник тэлэлт.
Хөдөлгөөнгүй санамсаргүй спектрийн задрал
үйл явц. Бие даасан бүхий санамсаргүй үйл явц
хэсгүүд. Марковын процесс ба Марковын хэлхээ.
Ердийн санамсаргүй үйл явц. Үе үе
хөдөлгөөнгүй санамсаргүй үйл явц
(Ахметов С.К.)

Санамсаргүй үйл явцын каноник тэлэлт

SP-ийн үндсэн шинж чанарууд нь каноник задралаар тодорхойлогддог

Хөдөлгөөнгүй SP-ийн спектрийн задрал

Хөдөлгөөнгүй SP-ийн спектрийн задрал (2)

Хөдөлгөөнгүй SP-ийн спектрийн задрал (3)

Бие даасан хөндлөн огтлолтой санамсаргүй үйл явц

Марковын процесс ба Марковын хэлхээ

Хэвийн (гауссын) санамсаргүй үйл явц

I. V. Яковлев | Математикийн материал | MathUs.ru

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын C6 асуудал

1.6 Тоонуудыг харьцуулах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.7 Дараалал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.8 Арифметик прогресс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын үеэр олон сургуулийн сурагчид С6 асуудлыг эхлүүлдэггүй, бүр уншдаггүй нь мэдэгдэж байна (яагаад? Би үүнийг шийдэж чадахгүй байна гэж тэд хэлэв). Тэгээд дэмий хоосон!

Дүрмээр бол C6 даалгавар нь хоёр, гурван цэгээс бүрддэг бөгөөд зарим нь маш энгийн байдаг. Бүх даалгаварт 4 үндсэн оноо, оноо тус бүрт 1-2 оноо өгнө. Тиймээс, даалгаврын дор хаяж нэг хэсгийг нь дуусгасны дараа (зүгээр л танилцуулах гэх мэт). зөв жишээцэгүүдийн аль нэгэнд), та нэмэлт авах боломжтой үндсэн цэгүүд. Мөн тэд эцсийн үр дүнг зуун онооны хэмжүүрээр нэмэгдүүлэх болно!

C6 асуудлыг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй хамгийн бага хувьцаамэдлэг. Энэ бол 6-р ангийн арифметик (хуваах чадвартай холбоотой бүх зүйл) болон 9-р ангийн алгебрийн прогрессийн талаархи мэдээлэл юм. Өөр юу ч биш.

С6 асуудлыг яагаад математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд хамгийн хэцүү гэж үздэг вэ? Тэр ер бусын. Энэ нь математикийн соёл гэж нэрлэгддэг үндэслэлийг чадварлаг бий болгох чадварыг шаарддаг. Сургуулийн хүүхдүүдийн дийлэнх нь энэ чадвар бүрэн дутмаг байдаг, учир нь сургууль дээр харамсалтай нь математикийн соёлыг төлөвшүүлэх хэмжээнд хүрээгүй байдаг.

Соёлтойгоор сэтгэж сурах нь боломжтой бөгөөд зайлшгүй шаардлагатай. Асуудал C6 нь үүнд маш сайн боломжийг олгодог. Энэ нь шууд тохиолдож эхлэхгүй тул та Улсын нэгдсэн шалгалтаас нэлээд эрт C6-д бэлдэж эхлэх хэрэгтэй. Зөвхөн нэг жор байдаг: шийд, шийд, шийд.

Энэхүү гарын авлагыг сургуулийн хүүхдүүдэд шийдэж сурахад нь туслах зорилгоор бичсэн стандарт бус даалгавар C6 төрөл. Энэ нь танд хэрэгтэй бүх зүйлийг агуулдаг онолын материалболон даалгавар, ихэнх ньУлсын нэгдсэн шалгалт, оношлогоонд санал болгосон MIOO-ийн бүтээлүүдсүүлийн үед.

Бүх асуудлыг шийдэх шийдлүүдийг өгдөг. Үүний зэрэгцээ, шийдлийг аль болох товч бөгөөд техникийн хувьд төгс болгох зорилго тавьсангүй (санаа танилцуулах зардлаар). Эцсийн эцэст, математик сурах нь санааг ойлгох гэсэн үг юм; Асуудал бүрийн шийдлийн суурь санааг тодруулахад гол анхаарлаа хандуулдаг.

1 Шаардлагатай онол

1.1 Тооны багц

IN энэ хэсэгбид тодорхойлох болно тооны багц, C6 даалгаварт шаардлагатай. Та танилцуулсан нэр томъёог сайн мэдэх хэрэгтэй!

Натурал тоонууд нь 1 тоо; 2; 3; : : : Бид тоолохдоо натурал тоо ашигладаг бөгөөд тоолох нь нэгээс эхэлдэг. Тиймээс анхаарлаа хандуулаарай: тэг нь натурал тоо биш юм! (Эцсийн эцэст "Ширээн дээр тэг аяга байна" гэж хэлэх нь бараг л санаанд буухгүй.)

Натурал тооны олонлогийг N гэж тэмдэглэв.

Бүхэл тоонууд нь 0; 1; 2; 3; : : : Тиймээс бүхэл тоонууд нь тэг ба ¾ нэмэх хасах натурал тоонууд байна¿. Натурал тоо нь эерэг бүхэл тоо юм.

Бүхэл тоонуудын багцыг Z гэж тэмдэглэсэн. (Энэ бол бидний байнга ашигладаг тэмдэглэгээ юм тригонометрийн тэгшитгэлхариултыг бичих.)

Рационал тоонууд нь m ба n бүхэл тоо бүхий m = n бүх төрлийн бутархай (энэ тохиолдолд мэдээж n 6 = 0; энэ тайлбараас зайлсхийхийн тулд тэд мөн m нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо гэж хэлдэг).

Аливаа бүхэл тоо нь нэгэн зэрэг оновчтой байдаг (жишээлбэл, 3 = 6 = 2). Гэхдээ 1/2 нь бүхэл тоо биш юм.

Олон рационал тоо Q-аар тэмдэглэсэн.

1.2 Хуваагдах чадвар

Хуваах чадварын тухай ойлголт нь бүхэл тоонд (ялангуяа натурал тоо) хамаарна. Энэ үеэс эхлэн бүх тоог бүхэл тоо гэж үзнэ. Хэрэв ямар ч тохиолдолд энэ нь тийм биш бол бид тусгай захиалга өгөх болно.

Бид бүхэл тоог a гэж тэмдэглэнэ; б; в; : : : ; k; л; м; n; : : : ; x; y; z, өөрөөр хэлбэл бид бүх зүйлийг ашигладаг жижиг үсэгЛатин цагаан толгой.

12-ын тоо 4-т хуваагддаг ч 5-д хуваагддаггүй гэдгийг та сайн мэднэ.Юу вэ? албан ёсны тодорхойлолтхуваагдах чадвар? Энд байна.

Тодорхойлолт. Хэрэв a = bc байх c тоо байвал a тоог b 6= 0 тоонд хуваана.

Хэрэв а нь b-д хуваагддаг бол b-г а-ын хуваагч гэнэ. Жишээлбэл, 12 тоо нь 1, 2, 3, 4, 6, 12 гэсэн зургаан хуваагчтай.

Дасгал хийх. Хэрэв a, b тоонууд c-д хуваагддаг бол a + b нь c-д хуваагддаг болохыг батал.

Хамгийн их томъёолъё чухал шинж тэмдэгхуваагдах чадвар.

a нь 2-т хуваагддаг, сүүлийн цифр a нь 0, 2, 4, 6 эсвэл 8;

a нь 5-д хуваагддаг, a-ийн сүүлчийн орон нь 0 эсвэл 5;

a нь 10-д хуваагддаг, a-ийн сүүлчийн орон нь 0;

a нь 3-т хуваагддаг, a-ийн цифрүүдийн нийлбэр нь 3-т хуваагддаг;

a нь 9-д хуваагдана, а-ийн цифрүүдийн нийлбэр нь 9-д хуваагдана.

1.3 Паритет

Тэгш ба сондгой байдалтай холбоотой асуудлууд нь C6 бодлогод ихэвчлэн гарч ирдэг. Тиймээс шаардлагатай баримтуудыг онцгой анхаарах нь зүйтэй юм.

Тодорхойлолт. 2-т хуваагдаж байсан ч тоог дуудна.2-т хуваагдахгүй бол сондгой тоо гэнэ.

Энд бүх тэгш тоонууд байна: 0; 2; 4; 6; : : : Хэрэв a тэгш бол a = 2n хэлбэртэй байна. Гэхдээ бүх сондгой тоо: 1; 3; 5; : : : Хэрэв a нь сондгой бол a = 2n + 1 хэлбэртэй байх нь ойлгомжтой.

Дараах мэдэгдлүүд нь маш тодорхой бөгөөд та эдгээрийг ашиглан C6 асуудлыг шийдэж болно (хэн ч танаас тэдгээрийг батлахыг шаардахгүй). Гэхдээ та тэдгээрийг дасгал болгон баталж чадна.

Дурын тооны тэгш гишүүний нийлбэр тэгш байна.

Тэгш тооны сондгой гишүүний нийлбэр нь тэгш байна. Сондгой тооны сондгой гишүүний нийлбэр нь сондгой.

Хэд хэдэн хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн байх болтугай. Хэрэв бүх хүчин зүйлүүд сондгой байвал бүтээгдэхүүн нь сондгой байна. Хэрэв ядаж нэг хүчин зүйл тэгш байвал бүтээгдэхүүн жигд байна.

1.4 Үлдэгдэлтэй хуваах

13 тоо нь 5-д хуваагддаггүй. Хамгийн том тоо 5-д хуваагдах ба 13-аас хэтрэхгүй бол 10 = 5 2. Тиймээс 13 = 5 2+3, 13-ыг 5-д хуваахад 2-ын хэсэг, 3-ын үлдэгдэл гарна гэж бид хэлдэг.

Ямар ч a тоог үлдэгдэлтэй b 6 = 0 тоонд хувааж болно. Тухайлбал, a = bq + r байх q ба r хоёр тоо байгаа бөгөөд 0 6 r тэгш бус байдал хангагдана.< jbj. Число q назвается частным, а число r остатком от деления a на b.

Хэрэв r = 0, өөрөөр хэлбэл a = bq бол a нь b-д хуваагдана.

Дасгал хийх. Хуваалтын хэсэг ба үлдэгдлийг ол: a) 7-г 2; b) 15-аас 4; в) 2012 оны 5 цагт; d) 1001-ээс 13; e) 9-8; e) 8-аас 9.

Дурын сондгой тоог 2-т хуваахад үлдэнэ нэгтэй тэнцүү. Тийм учраас бүх зүйл сондгой тоо 2n + 1 гэж бичиж болно.

Үлдэгдэл нь олон нөхцөл байдалд ашигтай байдаг. Бодлого шийдвэрлэх явцад n, k бүхэл тоонуудын хувьд n2 = 3k + 2 тэгшитгэл хангагдах боломжгүй гэдгийг батлах хэрэгтэй гэж бодъё. Бид дараах үндэслэлээр тайлбарлаж байна.

n тоо 3-т хуваагдахад 0, 1 эсвэл 2-ын үлдэгдэл гарч болно. Өөрөөр хэлбэл, гурван тохиолдол боломжтой: n = 3м, n = 3м + 1 эсвэл n = 3м + 2. n2 тоо ямар үлдэгдэлтэй байх вэ? 3-т хуваагдах уу? Гурван тохиолдол бүрт юу болохыг харцгаая.

(3м)2 = 9м2 (үлдэгдэл 0);

(3м + 1)2 = 9м2 + 6м + 1 (үлдэгдэл 1);

(3м + 2)2 = 9м2 + 12м + 4 = (9м2 + 12м + 3) + 1 (үлдэгдэл 1):

Иймээс бүхэл тооны квадратыг 3-т хуваахад 2-ын үлдэгдэл үлдэж чадахгүй. Иймээс n2 = 3k + 2 тэнцүү байх нь ямар ч n ба k-ийн хувьд үнэхээр боломжгүй юм.

Дасгал хийх. 100: : : 004 тоо (1-ээс 4-ийн хооронд ямар ч тооны тэг байдаг) бүхэл тооны квадрат биш гэдгийг батал.

Дасгал хийх. Бүхэл тооны квадратыг 4-т хуваахад 0 ба 1 гэсэн хоёр л үлдэгдэл гарна гэдгийг батал.

Дасгал хийх. n3 + 2n нь 3-т хуваагддаг болохыг батал.

1.5 Каноник өргөтгөл

Тоо бүр 1 болон өөртөө хуваагддаг. Хэрэв натурал тоо p нь 1-тэй тэнцүү биш бөгөөд өөр байхгүй байгалийн хуваагч, 1 ба p-ээс бусад тохиолдолд ийм p тоог анхны гэж нэрлэдэг.

Энд эхний хэдэн анхны тоонууд байна: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. 2 тоо бол цорын ганц тэгш анхны тоо юм.

1-тэй тэнцүү биш, анхны тоо биш тоог нийлмэл тоо гэнэ. Жишээлбэл, 15 бол нийлмэл тоо (3-т хуваагддаг). 1036 тоо нь мөн нийлмэл тоо (энэ нь тэгш байна). Нэгж нь аль нь ч биш анхны тоо, нийлмэл биш.

Дасгал хийх. 315 1 тоо нь нийлмэл. Яагаад?

Тоо бүрийг задлах боломжтой болж байна үндсэн хүчин зүйлүүд. Жишээ нь:

30 = 2 3 5; 504 = 2 2 2 3 3 7 = 23 32 7:

Ийм тэлэлт нь хүчин зүйлийн дарааллаар өвөрмөц бөгөөд үүнийг каноник тэлэлт гэж нэрлэдэг. Каноник задралын оршин тогтнол, өвөрмөц байдлын тухай мэдэгдлийг арифметикийн үндсэн теорем гэж нэрлэдэг.

Каноник өргөтгөл нь өгдөг бүрэн зурагөгөгдсөн тооны хуваагч (мөн ялангуяа тэдний тоог олох боломжийг танд олгоно). Тухайлбал, a = pn 1 1 pn 2 2 : : : pn s s a тооны каноник өргөтгөл гэж үзье. Дараа нь аль ч тооны хуваагчийн каноник өргөтгөл нь олонлогт багтсан анхны хүчин зүйлүүдээс бүрдэнэ fp1 ; p2; : : : ; ps g, илтгэгч нь n1 тооноос хэтрэхгүй; n2 ; : : : ; ns. Жишээ нь, 504 = 23 32 7 тооны аль ч хуваагч нь 2a 3b 7c хэлбэртэй байх ба энд a 2 f0; 1; 2; 3г, b 2 f0; 1; 2г ба c 2 f0; 1г.

Дасгал хийх. p анхны тоо байг. Энэ тоо хэдэн хуваагчтай вэ: a) p2 ; б) p3; в) pn?

Дасгал хийх. p ба q анхны тоонууд байг. Энэ тоо хэдэн хуваагчтай вэ: a) pq; b) p2 q3; в) pm qn?

Дасгал хийх. Өмнөх дасгалын в) цэгийн үндэслэлийг нэгтгэн дүгнэж, a = pn 1 1 pn 2 2 : : : pn s s тоон хуваагчдын тоо (n1 + 1)(n2 + 1) : : -тэй тэнцүү болохыг харуул. : (ns + 1). 504 тоо хэдэн хуваагчтай болохыг ол.

Дасгал хийх. 540 ба 252 тоонуудын каноник өргөтгөлүүдийг ол. Үүссэн өргөтгөлүүдийг ашиглан хамгийн томуудын gcd (540; 252)-ийг ол. нийтлэг хуваагчэдгээр тоонууд.

1.6 Тоонуудыг харьцуулах

Тоонууд нь 1-ээс өөр нийтлэг хуваагчгүй бол тэдгээрийг анхны тоо гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, gcd (a; b) = 1 бол a, b тоонууд нь хоёрдогч анхны тоо болно. Та мөн үүнийг хэлж болно: a, b тоонууд нь зөвхөн, хэрэв зөвхөн, хэрэв тийм бол тэдгээрийг давхар анхны тоо гэж хэлж болно. a=b бутархайг багасгах боломжгүй үед.

Жишээлбэл, 8 ба 15 тоонууд нь хоёрдогч тоо юм. 9 ба 15 тоо нь харьцангуй анхны тоо биш бөгөөд 3-ын нийтлэг хуваагчтай.

Каноник өргөтгөлүүд нь анхдагч тооны салангид олонлогоос бүрдсэн тохиолдолд тоонууд харьцангуй анхдагч болно. Жишээлбэл, 23 5 132 ба 32 73 11 тоонууд харьцангуй анхны тоо юм.

Хамтарсан тооны шинж чанарууд. a ба b тоонуудыг давхар анхны тоо гэж үзье. Тэгвэл дараах мэдэгдлүүд үнэн болно.

1. Хэрэв тоо нь a ба b-д хуваагддаг бол энэ нь мөн тэдгээрийн ab үржвэрт хуваагдана.

2. Хэрэв а нь b-д хуваагддаг бол n нь b-д хуваагдана.

(Хэрэв та a ба b тоонуудын "салгасан" каноник өргөтгөлүүдийг төсөөлж, хуваагчийн каноник өргөтгөл нь ногдол ашгийн каноник өргөтгөлийн "хэсэг" болж үйлчилдэг гэдгийг санаарай. )

1-р мэдэгдлийн дагуу, жишээлбэл, хэрэв тодорхой тоо 8 ба 15-т хуваагддаг бол 8-д хуваагдана 15 = 120. Тоонууд харьцангуй анхны байдаг нь, чухал нөхцөл. Тэгэхээр 12 нь 4 ба 6-д хуваагддаг боловч 4 6 = 24-т хуваагддаггүй.

Дасгал хийх. 35 4 оруулгад одны оронд ямар тоо оруулж болох вэ? таван оронтой тоо 45-д хуваагдах уу?

2-р мэдэгдэл нь ихэвчлэн дараах нөхцөл байдалд ажилладаг. Жишээлбэл, 5n = 9м гэж үзье. 5n нь 9-д хуваагдаж, 5 ба 9-ийн тоонууд нь хос анхны тоо тул n нь 9-д хуваагдана. Үүнтэй ижил шалтгаанаар m нь 5-д хуваагдана.

1.7 Дараалал

Дараалал гэж юу вэ? Тодорхой интервалаар нэг тоо гаргадаг төхөөрөмжийг төсөөлөөд үз дээ. Жишээ нь: 2, 3, 15, 28, 6, 0, 3, . . . Энэ төхөөрөмжийн гаралтын тоонуудын багц нь дараалал байх болно.

Илүү нарийн, тоонуудын дараалал, эсвэл тооны дараалалЭнэ нь тоо бүрт тодорхой дугаар өгч болох тоонуудын багц бөгөөд тоо тус бүр нь тохирдог ганц биеэнэ багцаас. Тоо бол натурал тоо; дугаарлалт нэгээс эхэлнэ.

Тэгэхээр дээрх дарааллын эхний тоо нь 2 (энэ нь дарааллын эхний гишүүн), тав нь 6 тоо (энэ нь дарааллын тав дахь гишүүн юм).

n тоотой тоо (өөрөөр хэлбэл n-р улиралдараалал) -аар (эсвэл bn, cn, . .) тэмдэглэгдсэн байна. Дарааллын n-р гишүүнийг ямар нэгэн томьёогоор тодорхойлж болох үед энэ нь маш тохиромжтой. Жишээлбэл, an = 2n 3 томьёо нь дарааллыг тодорхойлдог: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Формула an = (1)n

дарааллыг тогтооно: 1; 1; 1; 1; : : :

Дасгал хийх. Дараах дарааллын n-р гишүүний томьёог олоорой: a) 1; 3; 5; 7; : : : ; б) 5; 8; 11; 14; : : : ; в) 1; 4; 9; 16; : : : ; d) 1; 2; 3; 4; : : :

Бидний авч үзсэн бүх дараалал нь хязгааргүй, өөрөөр хэлбэл агуулагддаг хязгааргүй олонлогтоо. Гэхдээ бас төгсгөлтэй дараалал байдаг. Үнэн хэрэгтээ аливаа төгсгөлтэй тооны багц нь төгсгөлтэй дараалал юм. Жишээ нь, эцсийн дараалал 1; 2; 3; 4; 5 нь таван тооноос бүрдэнэ.

C6 асуудалд хоёр шаардлагатай тусгай төрөлдараалал: арифметик ба геометрийн прогресс.

1.8 Арифметик прогресс

Арифметик прогресс гэдэг нь гишүүн бүр (хоёр дахь үеэс эхлэн) байх дараалал юм. нийлбэртэй тэнцүү байнаөмнөх хугацаа болон зарим тогтмол тоо:

an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):

Тогтмол d тоог арифметик прогрессийн ялгавар гэнэ.

Жишээлбэл, дараалал 2; 5; 8; 11; : : : байна арифметик прогрессэхний гишүүн 2 ба зөрүү 3-тай.

Энэ нийтлэлд та бүгдийг олох болно шаардлагатай мэдээлэласуултанд хариулж байна тоог анхдагч хүчин зүйлд хэрхэн оруулах. Эхлээд өгсөн ерөнхий санааолон тооны анхны хүчин зүйлүүдэд задралын тухай, задралын жишээг өгөв. Дараах нь тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах каноник хэлбэрийг харуулж байна. Үүний дараа задралын алгоритмыг өгнө дурын тооАнхны хүчин зүйлс болон энэ алгоритмыг ашиглан тоонуудыг задлах жишээг өгсөн болно. Хуваах чадварын тест, үржүүлэх хүснэгт ашиглан жижиг бүхэл тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хурдан үржүүлэх боломжийг олгодог өөр аргуудыг авч үздэг.

Хуудасны навигаци.

Тоог үндсэн хүчин зүйл болгон хуваах нь юу гэсэн үг вэ?

Эхлээд үндсэн хүчин зүйлүүд юу болохыг харцгаая.

Энэ хэллэгт “хүчин зүйл” гэсэн үг байгаа тул зарим тооны үржвэр байгаа нь ойлгомжтой бөгөөд “энгийн” гэсэн шалгуур үзүүлэлт нь хүчин зүйл бүр нь анхны тоо гэсэн үг юм. Жишээлбэл, 2·7·7·23 хэлбэрийн үржвэрт 2, 7, 7, 23 гэсэн дөрвөн үндсэн хүчин зүйл байдаг.

Тоог үндсэн хүчин зүйл болгон хуваах нь юу гэсэн үг вэ?

Энэ нь гэсэн үг өгсөн дугааранхны хүчин зүйлийн үржвэрээр илэрхийлэгдэх ёстой бөгөөд энэ бүтээгдэхүүний үнэ цэнэ нь анхны тоотой тэнцүү байх ёстой. Жишээлбэл, 2, 3, 5 гэсэн гурван анхны тооны үржвэрийг авч үзье, энэ нь 30-тай тэнцүү тул 30-ын тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах нь 2·3·5 болно. Ихэвчлэн тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах нь бидний жишээнд дараах байдалтай байна: 30=2·3·5; Өргөтгөлийн гол хүчин зүйлүүд давтагдах боломжтой гэдгийг бид тусад нь онцолж байна. Энэ нь тодорхой харуулж байна дараагийн жишээ: 144=2·2·2·2·3·3 . Гэхдээ 45=3·15 хэлбэрийн дүрслэл нь 15 тоо нь нийлмэл тоо учраас анхны хүчин зүйлд задаргаа биш юм.

Босож байна дараагийн асуулт: "Ямар тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах вэ?"

Үүний хариултыг хайж, бид толилуулж байна дараах үндэслэл. Анхны тоонууд нь нэгээс их тоонд багтдаг. Энэ баримтыг харгалзан үзээд хэд хэдэн анхны хүчин зүйлийн үржвэр нь бүхэл тоо гэж үзэж болно. эерэг тоо, нэгээс илүү. Иймд анхны хүчин зүйл болгон хуваах нь зөвхөн 1-ээс их эерэг бүхэл тоонд л тохиолддог.

Гэхдээ нэгээс их бүхэл тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хувааж болох уу?

Энгийн бүхэл тоог анхны хүчин зүйлд оруулах боломжгүй гэдэг нь ойлгомжтой. Энэ нь анхны тоонууд нь зөвхөн хоёр эерэг хуваагчтай байдаг - нэг ба өөрөө байдаг тул тэдгээрийг хоёр эсвэл хоёрын үржвэрээр илэрхийлэх боломжгүй гэж тайлбарладаг. илүүанхны тоонууд. Хэрэв z бүхэл тоог a ба b анхны тоонуудын үржвэрээр дүрсэлж болох юм бол хуваагдах тухай ойлголт нь z нь a ба b хоёрт хоёуланд нь хуваагддаг гэж дүгнэх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь z тооны энгийн байдлаас шалтгаалан боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч тэд аливаа анхны тоо нь өөрөө задрал гэж үздэг.

Нийлмэл тоонуудын талаар юу хэлэх вэ? Нийлмэл тоонууд анхны хүчин зүйл болж задардаг уу, бүх нийлмэл тоонууд ийм задралд өртдөг үү? Арифметикийн үндсэн теорем нь эдгээр олон асуултад эерэг хариулт өгдөг. Арифметикийн үндсэн теорем нь 1-ээс их ямар ч бүхэл тоо p 1, p 2, ..., p n анхны хүчин зүйлийн үржвэрт задарч болох ба задрал нь a = p 1 · p 2 · хэлбэртэй байна. … · p n, хэрэв та хүчин зүйлсийн дарааллыг харгалзахгүй бол энэ өргөтгөл нь өвөрмөц юм.

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон каноник хүчинжүүлэх

Хэд хэдэн тоог өргөтгөхөд үндсэн хүчин зүйлсийг давтаж болно. Давтагдах анхны хүчин зүйлийг ашиглан илүү нягт бичиж болно. Тооны задралд p 1 анхны хүчин зүйл s 1 удаа, анхны хүчин зүйл p 2 – s 2 удаа, гэх мэт p n – s n удаа тохиолдъё. Дараа нь a тооны анхны үржүүлэх үйлдлийг дараах байдлаар бичиж болно a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Энэ бичлэгийн хэлбэр гэж нэрлэгддэг олон тооны анхны хүчин зүйлүүдийн каноник хүчин зүйлчлэл.

Тооныг анхны хүчин зүйл болгон каноник задлах жишээг өгье. Задралыг бидэнд мэдэгдээрэй 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, түүний каноник тэмдэглэгээ нь хэлбэртэй байна 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Тооныг анхны хүчин зүйл болгон хуваах каноник нь тухайн тооны бүх хуваагч болон тоог хуваагчийн тоог олох боломжийг олгодог.

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах алгоритм

Тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах даалгаврыг амжилттай даван туулахын тулд та анхны болон нийлмэл тооны нийтлэл дэх мэдээллийн талаар маш сайн мэдлэгтэй байх хэрэгтэй.

Нэгээс давсан эерэг бүхэл тооны а-г задлах үйл явцын мөн чанар нь арифметикийн үндсэн теоремын баталгаанаас тодорхой харагдаж байна. Гол нь дараалсан олдвор a, a 1, a 2, …, a n-1 тоонуудын хамгийн жижиг анхны хуваагч p 1 , p 2 , …, p n нь a = p 1 · a 1 тэгшитгэлийн цувралыг олж авах боломжийг бидэнд олгодог. 1 = a: p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , энд a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , Энд a n =a n-1 :p n . Бид n =1-ийг авах үед a=p 1 ·p 2 ·…·p n тэгшитгэл нь a тоог анхны хүчин зүйл болгон хүссэн задралыг өгөх болно. Энд бас тэмдэглэх хэрэгтэй p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Алхам бүрт хамгийн бага анхны хүчин зүйлсийг хэрхэн олохыг тодорхойлоход л үлдэж байгаа бөгөөд бид тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах алгоритмтай болно. Анхны тоонуудын хүснэгт нь анхны хүчин зүйлийг олоход тусална. z тооны хамгийн бага анхны хуваагчийг олохын тулд үүнийг хэрхэн ашиглахыг үзүүлье.

Бид анхны тоонуудын хүснэгтээс анхны тоог (2, 3, 5, 7, 11 гэх мэт) дараалан авч, өгөгдсөн z тоог тэдгээрт хуваана. z-г тэгш хуваах анхны анхны тоо нь түүний хамгийн бага анхны хуваагч болно. Хэрэв z тоо анхных бол түүний хамгийн бага анхны хуваагч нь өөрөө z тоо байх болно. Хэрэв z нь анхны тоо биш бол түүний хамгийн бага анхны хуваагч нь z-ээс байгаа тооноос хэтрэхгүй гэдгийг энд санах хэрэгтэй. Тиймээс, хэрэв -ээс хэтрэхгүй анхны тоонуудын дунд z тоог нэг хуваагч байгаагүй бол бид z нь анхны тоо гэж дүгнэж болно (энэ тухай онолын хэсэгт энэ тоо нь анхны эсвэл нийлмэл гэсэн гарчгийн дор бичсэн болно. ).

Жишээ болгон бид 87 тооны хамгийн бага анхны хуваагчийг хэрхэн олохыг харуулах болно. 2 дугаарыг авч үзье. 87-г 2-т хуваавал 87:2=43 (үлдсэн 1) болно (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү). Өөрөөр хэлбэл, 87-г 2-т хуваахад үлдэгдэл нь 1 тул 2 нь 87-ын хуваагч биш юм. Бид анхны тооны хүснэгтээс дараагийн анхны тоог авдаг, энэ нь 3-ын тоо юм. 87-г 3-т хуваавал 87:3=29 болно. Тиймээс 87 нь 3-т хуваагддаг тул 3 тоо нь 87 тооны хамгийн бага анхны хуваагч юм.

гэдгийг анхаарна уу ерөнхий тохиолдолА тоог анхны хүчин зүйл болгохын тулд бидэнд -ээс багагүй тоо хүртэлх анхны тооны хүснэгт хэрэгтэй. Бид алхам тутамдаа энэ хүснэгтэд хандах хэрэгтэй болно, тиймээс бид үүнийг гартаа байлгах хэрэгтэй. Жишээлбэл, 95-ын тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваахын тулд бидэнд зөвхөн 10 хүртэлх анхны тооны хүснэгт хэрэгтэй болно (10 нь -ээс их). Мөн 846,653 тоог задлахын тулд танд 1000 хүртэлх анхны тооны хүснэгт хэрэгтэй болно (1000 нь -ээс их тул).

Одоо бидэнд бичих хангалттай мэдээлэл байна тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах алгоритм. a тоог задлах алгоритм нь дараах байдалтай байна.

• Анхны тоонуудын хүснэгтээс тоонуудыг дараалан эрэмбэлж, бид a тооны хамгийн бага анхны хуваагч p 1-ийг олж, дараа нь 1 =a:p 1-ийг тооцоолно. Хэрэв a 1 =1 бол a тоо нь анхны бөгөөд энэ нь өөрөө анхны хүчин зүйл болгон задрах явдал юм. Хэрэв 1 нь 1-тэй тэнцүү биш бол бид a=p 1 ·a 1 байх ба дараагийн алхам руу шилжинэ.
• Бид a 1 тооны хамгийн бага анхны хуваагч p 2-ийг олж, үүнийг хийхийн тулд p 1-ээс эхлэн анхны тоонуудын хүснэгтээс тоонуудыг дараалан эрэмбэлж, дараа нь a 2 =a 1:p 2-ыг тооцоолно. Хэрэв a 2 =1 бол a тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах шаардлагатай задаргаа a=p 1 ·p 2 хэлбэртэй байна. Хэрэв 2 нь 1-тэй тэнцүү биш бол бид a=p 1 ·p 2 ·a 2 байх ба дараагийн алхам руу шилжинэ.
• Анхны тоонуудын хүснэгтийн тоонуудыг гүйлгэн үзэхэд p 2-оос эхлэн a 2 тооны хамгийн бага анхны хуваагч p 3-ийг олж, дараа нь 3 =a 2:p 3-ийг тооцоолно. Хэрэв a 3 =1 бол a тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах шаардлагатай задрал нь a=p 1 ·p 2 ·p 3 хэлбэртэй байна. Хэрэв 3 нь 1-тэй тэнцүү биш бол бидэнд a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 байгаа бөгөөд дараагийн алхам руу шилжинэ.
• Бид p n-1, түүнчлэн a n =a n-1:p n, a n нь 1-тэй тэнцүү анхны тоонуудыг эрэмбэлж a n-1 тооны хамгийн бага анхны хуваагч p n-ийг олдог. Энэ алхам нь алгоритмын сүүлчийн алхам бөгөөд эндээс a тоог анхны хүчин зүйл болгон задлахыг олж авна: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Тодорхой болгохын тулд тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах алгоритмын алхам бүрээс олж авсан бүх үр дүнг дараах хүснэгтийн хэлбэрээр үзүүлэв. Үүнд a, a 1, a 2, ..., a n тоонуудыг дараалан бичсэн болно. босоо шугамын зүүн талд байгаа баганад, шугамын баруун талд - харгалзах хамгийн жижиг анхны хуваагч p 1, p 2, ..., p n.

Үлдсэн зүйл бол тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах алгоритмыг ашиглах цөөн хэдэн жишээг авч үзэх явдал юм.

Анхны үржвэрлэлтийн жишээ

Одоо бид нарийвчлан авч үзэх болно тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах жишээ. Задаргаа хийхдээ бид өмнөх догол мөрний алгоритмыг ашиглана. -ээс эхэлье энгийн тохиолдлууд, мөн тоонуудыг энгийн хүчин зүйл болгон задлахад гарч болох бүх нюансуудтай тулгарахын тулд бид тэдгээрийг аажмаар төвөгтэй болгоно.

Жишээ.

78-ын тоог анхны үржүүлэгч болгон хуваа.

Шийдэл.

Бид эхний хамгийн жижигийг хайж эхэлдэг анхны хуваагч p 1 тоо a=78 . Үүнийг хийхийн тулд бид анхны тоонуудын хүснэгтээс анхны тоонуудыг дараалан эрэмбэлж эхэлдэг. Бид 2-ын тоог аваад 78-ыг хуваавал 78:2=39 болно. 78 тоо нь үлдэгдэлгүйгээр 2-т хуваагддаг тул p 1 =2 нь 78 тооны анхны олдсон анхны хуваагч юм. Энэ тохиолдолд a 1 =a:p 1 =78:2=39. Ингээд 78=2·39 хэлбэртэй a=p 1 ·a 1 тэгшитгэлд хүрнэ. Мэдээжийн хэрэг, 1 =39 нь 1-ээс ялгаатай тул бид алгоритмын хоёр дахь алхам руу шилждэг.

Одоо бид a 1 =39 тооны хамгийн бага анхны хуваагч p 2-ыг хайж байна. Бид анхны тоонуудын хүснэгтээс p 1 = 2-оос эхлэн тоонуудыг тоолж эхэлдэг. 39-ийг 2-т хуваавал 39:2=19 (үлдэгдэл 1) болно. 39 нь 2-т жигд хуваагддаггүй тул 2 нь хуваагч биш юм. Дараа нь анхны тоонуудын хүснэгтээс (3-ын тоо) дараагийн тоог аваад 39-ийг хувааж 39:3=13 болно. Тиймээс p 2 =3 нь 39 тооны хамгийн бага анхны хуваагч бөгөөд a 2 =a 1:p 2 =39:3=13 байна. Бид a=p 1 ·p 2 ·a 2 тэнцүү 78=2·3·13 хэлбэртэй байна. 2 =13 нь 1-ээс ялгаатай тул бид алгоритмын дараагийн алхам руу шилждэг.

Энд бид a 2 =13 тооны хамгийн бага анхны хуваагчийг олох хэрэгтэй. 13 тооны хамгийн бага анхны хуваагч p 3-ийг хайхдаа бид p 2 =3-аас эхлэн анхны тоонуудын хүснэгтээс тоонуудыг дараалан эрэмбэлнэ. 13:3=4 (амрал. 1), мөн 13 нь 5, 7, 11-д хуваагддаггүй, 13:5=2 (амрал. 3), 13:7=1 учраас 13 тоо нь 3-т хуваагддаггүй. (амралт. 6) ба 13:11=1 (амралт. 2). Дараагийн анхны тоо нь 13 бөгөөд 13 нь түүнд үлдэгдэлгүй хуваагддаг тул 13-ын хамгийн бага анхны хуваагч p 3 нь өөрөө 13 тоо бөгөөд 3 =a 2:p 3 =13:13=1 байна. 3 =1 тул алгоритмын энэ алхам нь сүүлчийнх бөгөөд 78 тоог анхны хүчин зүйл болгон задлахад 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3) хэлбэртэй байна.

Хариулт:

78=2·3·13.

Жишээ.

83,006 тоог анхны хүчин зүйлийн үржвэрээр илэрхийл.

Шийдэл.

Тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах алгоритмын эхний алхамд бид p 1 =2 ба 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, үүнээс 83,006=2·41,503-ыг олно.

Хоёрдахь алхамд бид 2, 3, 5 нь a 1 =41,503 тооны анхны хуваагч биш, харин 7 тоо нь 41,503:7=5,929 гэдгийг олж мэдэв. Бидэнд p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929 байна. Тиймээс 83,006=2 7 5 929.

5 929:7 = 847 тул a 2 =5 929 тооны хамгийн жижиг анхны хуваагч нь 7 тоо юм. Ингээд p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, үүнээс 83 006 = 2·7·7·847 байна.

Дараа нь a 3 =847 тооны хамгийн бага анхны хуваагч p 4 нь 7-той тэнцүү болохыг олж мэднэ. Тэгвэл a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, тэгвэл 83 006=2·7·7·7·121 болно.

Одоо бид a 4 =121 тооны хамгийн жижиг анхны хуваагчийг оллоо, энэ нь p 5 =11 тоо юм (121 нь 11-д хуваагддаг, 7-д хуваагддаггүй тул). Дараа нь 5 =a 4:p 5 =121:11=11, 83 006=2·7·7·7·11·11.

Эцэст нь a 5 =11 тооны хамгийн бага анхны хуваагч нь p 6 =11 тоо юм. Дараа нь a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. 6 =1 тул тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах алгоритмын энэ алхам нь сүүлчийнх бөгөөд хүссэн задрал нь 83 006 = 2·7·7·7·11·11 хэлбэртэй байна.

Хүлээн авсан үр дүнг 83 006 = 2·7 3 ·11 2 анхны хүчин зүйл болгон тоог каноник задралаар бичиж болно.

Хариулт:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 бол анхны тоо юм. Үнэн хэрэгтээ, энэ нь 991 байх нь ойлгомжтой тул (-аас ихгүй) нэг анхны хуваагчгүй (ойролцоогоор тооцоолж болно.<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Хариулт:

897 924 289 = 937 967 991 .

Анхны үржүүлэхэд хуваагдах тестийг ашиглах

Энгийн тохиолдолд та энэ зүйлийн эхний догол мөрөөс задлах алгоритмыг ашиглахгүйгээр тоог үндсэн хүчин зүйл болгон задалж болно. Хэрэв тоо нь том биш бол тэдгээрийг анхны хүчин зүйл болгон задлахын тулд хуваагдах шинж тэмдгийг мэдэхэд хангалттай. Тодорхой болгох үүднээс жишээ татъя.

Жишээлбэл, бид 10-ын тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах хэрэгтэй. Үржүүлэх хүснэгтээс бид 2·5=10 гэдгийг мэдэж байгаа бөгөөд 2 ба 5-ын тоо нь илт анхных тул 10 тоог анхны үржүүлэх нь 10=2·5 шиг харагдаж байна.

Өөр нэг жишээ. Үржүүлэх хүснэгтийг ашиглан бид 48 тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваана. Зургаа нь найм - дөчин найм, өөрөөр хэлбэл 48 = 6·8 гэдгийг бид мэднэ. Гэсэн хэдий ч 6, 8 нь анхны тоо биш юм. Гэхдээ бид хоёр гурав нь зургаа, хоёр дөрөв нь найм, өөрөөр хэлбэл 6=2·3, 8=2·4 гэдгийг мэднэ. Тэгвэл 48=6·8=2·3·2·4 болно. Хоёр үржүүлснээр хоёр нь дөрөв бол бид хүссэн задралыг 48 = 2·3·2·2·2 анхны хүчин зүйл болгон авдаг гэдгийг санах хэрэгтэй. Энэ өргөтгөлийг каноник хэлбэрээр бичье: 48=2 4 ·3.

Гэхдээ 3400 тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваахдаа хуваагдах шалгуурыг ашиглаж болно. 10, 100-д ​​хуваагдах шинж тэмдэг нь 3400 нь 100-д ​​хуваагддаг, 3400=34·100, 100 нь 10-д хуваагддаг, 100=10·10, тиймээс 3400=34·10·1 гэж хэлэх боломжийг олгодог. 2-т хуваагдах тестийн үндсэн дээр бид 34, 10, 10-ын хүчин зүйлүүд тус бүр нь 2-т хуваагддаг гэж хэлж болно. 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Үүссэн өргөтгөлийн бүх хүчин зүйлүүд нь энгийн байдаг тул энэ өргөтгөл нь хүссэн зүйл юм. Үлдсэн зүйл бол хүчин зүйлсийг өсөх дарааллаар нь өөрчлөх явдал юм: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Мөн энэ тооны каноник задралыг анхны хүчин зүйл болгон бичье: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Өгөгдсөн тоог анхны хүчин зүйл болгон задлахдаа хуваагдах шинж тэмдэг болон үржүүлэх хүснэгтийг хоёуланг нь ээлжлэн ашиглаж болно. 75 тоог анхны хүчин зүйлийн үржвэр гэж төсөөлье. 5-д хуваагдах тест нь 75-ыг 5-д хуваагддаг гэдгийг хэлэх боломжийг бидэнд олгодог бөгөөд бид 75 = 5·15 гэдгийг олж авдаг. Мөн үржүүлэх хүснэгтээс бид 15=3·5, тиймээс 75=5·3·5 гэдгийг мэднэ. Энэ бол 75 тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах шаардлагатай.

Лавлагаа.

• Виленкин Н.Я. болон бусад. 6-р анги: Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг.
• Виноградов I.M. Тооны онолын үндэс.
• Михелович Ш.Х. Тооны онол.
• Куликов Л.Я. болон бусад алгебр, тооны онолын асуудлын цуглуулга: Физик, математикийн оюутнуудад зориулсан сурах бичиг. сурган хүмүүжүүлэх институтуудын мэргэжил.

Томъёо.Натурал тоо өгөгдсөн n (n > 1). Түүний каноник задралыг энгийн хүчин зүйл болгон олж авах, өөрөөр хэлбэл энгийн хүчин зүйлсийн бүтээгдэхүүн болгон харуулах. Энэ тохиолдолд өргөтгөлд 1-ийн хүчин зүйлийг зааж өгөхийг зөвшөөрнө. Жишээлбэл, 264 = 2 * 2 * 2 * 3 * 11 (хөтөлбөр нь 264 = 1 * 2 * 2 * 2 * 3 * хариултыг гаргаж чадна. 11).

Шийдэл. Энэ даалгаварнэлээн гоё шийдэлтэй.

-аас арифметикийн үндсэн теорем 1-ээс их ямар ч натурал тооны хувьд анхны хүчин зүйлүүдэд каноник задрал байдаг нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ задрал нь хүчин зүйлийн дараалал хүртэл өвөрмөц байдаг. Жишээлбэл, 12 = 2 * 2 * 2 ба 12 = 3 * 2 * 2 нь ижил өргөтгөлүүд юм.

Ингээд авч үзье каноник хэлбэрямар ч дугаар тодорхой жишээ. Жишээлбэл, 264 = 2 * 2 * 2 * 3 * 11. Энэ бүтцийг хэрхэн тодорхойлох вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд аль нэгэнд дурдсаныг эргэн санацгаая сургуулийн курсканоник тэлэлт дэх тоонууд нь хувьсагч гэж төсөөлж мономиалуудыг хуваах алгебрийн дүрэм. Та бүхний мэдэж байгаагаар хэрэв та илэрхийлэлийг тодорхой хэмжээгээр энэ илэрхийлэлд агуулагдах хувьсагч болгон хуваах юм бол тэмдэглэгээнд нь зурсан болно.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид 264-ийг 2-т хуваавал түүний каноник тэлэлтэд нэг хоёр байх болно. Дараа нь бид үр дүн нь 2-т дахин хуваагдах эсэхийг шалгаж болно. Хариулт нь тийм байх болно, гэхдээ гурав дахь удаагаа хуваахад үлдэгдэл гарна. Дараа нь та дараагийн натурал тоо 3-ыг авч үзэх хэрэгтэй - коэффициентийг түүнд нэг удаа хуваана. Үүний үр дүнд тооны шугамыг эерэг чиглэлд дамжуулснаар бид 11-ийн тоонд хүрч, 11-д хуваагдсаны дараа n 1-тэй тэнцэх бөгөөд энэ нь процедурыг дуусгах шаардлагатайг илтгэнэ.

Олдсон хүчин зүйлүүдийг ингэж "зайлснаар" яагаад бид нийлмэл тоонд хуваагдах боломжгүй байна вэ? Үнэн хэрэгтээ энд бүх зүйл энгийн байдаг - аливаа нийлмэл тоо нь түүнээс бага анхны хүчин зүйлийн үржвэр юм. Үүний үр дүнд бид хөндлөн гарах болно nаливаа хүчин зүйл нийлмэл тоо, бид хуваагдлын гинжин хэлхээнд өөрөө хүрэх хүртэл. Жишээлбэл, ийм бүрэн хайлтаар nХэзээ ч 4-т хуваагдахгүй, учир нь "замд" энэ тооноос бид устгана nбүх хүчин зүйл нь хоёр юм.

Байгалийн хэл дээрх алгоритм:

1) оролт n;

2) Хувьсагчийн хуваарилалт хтоо 2;

3) дугаарыг гарга n, тэлэлтийг албан ёсны болгох тэгш тэмдэг ба нэгж;

4) Урьдчилсан нөхцөл бүхий давталтыг эхлүүлэх n< > 1 . Гогцоонд:

1. Хэрэв ммодp = 0, дараа нь үржүүлэх тэмдэг болон p хувьсагчийг үзүүлээд дараа нь хуваана nдээр х, үгүй ​​бол утгыг нэмэгдүүлнэ би 1-ээр;

1. PrimeFactors програм;
2. n, p: үг;
3. эхлэх
4. p:= 2;
5. readln(n);
6. бичих(n, ‘ = 1’);
7. байхад n<>1 эхэлнэ
8. хэрэв (n mod p) = 0 бол эхэлнэ
9. бичих (‘ * ‘, p);
10. n:= n div p
11. өөрөөр эхэлнэ
12. inc(p)

V санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нэрлэнэ төвтэй , хэрэв түүний математик хүлээлт 0-тэй тэнцүү бол төвлөрсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн V ба санамсаргүй бус функц φ(t):X(t)=Vφ(t)-ийн үржвэрийг энгийн төвтэй санамсаргүй процесс гэнэ. Энгийн төвтэй санамсаргүй үйл явц нь дараах шинж чанартай байдаг.

Маягтын илэрхийлэл
, хаана φ к ( т ), к =1;2;…-санамсаргүй бус функцууд; , к =1;2;…-корреляцгүй төвлөрсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг санамсаргүй үйл явцын каноник тэлэлт гэж нэрлэдэг.X ( т ), харин санамсаргүй хэмжигдэхүүн каноник тэлэлтийн коэффициент гэж нэрлэдэг; ба санамсаргүй бус функцууд φ к ( т ) - каноник тэлэлтийн зохицуулалтын функцууд.

Санамсаргүй үйл явцын шинж чанарыг авч үзье

Нөхцөлөөр
Тэр

Үүнтэй адил санамсаргүй үйл явц байгаа нь ойлгомжтой янз бүрийн төрөлкоординатын функцын сонголтоос хамааран каноник тэлэлт. Түүгээр ч барахгүй координатын функцийг сонгохдоо V k санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах нь дур зоргоороо байдаг. Практикт туршилтын үр дүнд үндэслэн математикийн хүлээлт ба корреляцийн функцийг тооцоолсон болно.
.
Задарсны дараа

φ-ээс (t) хүртэлх координатын функцууд дахь Фурьегийн давхар цуврал болгон:
дисперсийн утгыг авна

санамсаргүй хэмжигдэхүүн V k .

4.2. Ерөнхий функцийн тухай ойлголт. Дирак дельта функц. Санамсаргүй үйл явцын салшгүй каноник дүрслэл. Ерөнхий функц

тасралтгүй функцүүдийн нэг параметрийн бүлгийн дарааллын хязгаар гэж нэрлэдэг.
- Дирак дельта функц
Энэ нь хязгаарт шилжих үр дүнд бий болсон ерөнхий функц юм

функцүүдийн гэр бүлд Үл хөдлөх хөрөнгийн дунд

2.

- функцууд нь бид дараахь зүйлийг тэмдэглэж байна. 3. Хэрэв f(t)-тасралтгүй функц

, Тэр т Санамсаргүй үйл явц X( ), корреляцийн функц нь суурин бус "цагаан шуугиан" гэсэн хэлбэртэй байна. Хэрэв ( т 1 )= ), корреляцийн функц нь суурин бус "цагаан шуугиан" гэсэн хэлбэртэй байна. Хэрэв - В const т , дараа нь X(

)-хөдөлгөөнгүй "цагаан дуу чимээ". Тодорхойлолтоос харахад ойр байсан ч гэсэн хоёр хэсэг байдаггүй.цагаан чимээ » хамааралгүй.

Санамсаргүй үйл явцын салшгүй каноник дүрслэл X( т ) хэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг
Хаана
- санамсаргүй төвлөрсөн функц;
- тасралтгүй аргументуудын санамсаргүй бус функц

Ийм санамсаргүй үйл явцын хамаарлын функц нь дараах хэлбэртэй байна.

Ийм санамсаргүй бус G(λ) функц байдгийг харуулж болно

Энд G(λ 1) нь дисперсийн нягт; δ(x) нь Диракын дельта функц юм.

Бид авдаг

.

Тиймээс санамсаргүй үйл явцын дисперс X(t):

4.3. Санамсаргүй үйл явцын шугаман ба шугаман бус хувиргалт

.

Дараахь асуудлыг авч үзнэ: санамсаргүй үйл явцын шинж чанартай X(t) "оролтын дохио" нь системийн (төхөөрөмж, хөрвүүлэгч) S оролтод өгөгдөнө. Систем үүнийг "гаралтын дохио" Y(t) болгон хувиргадаг:

Албан ёсоор санамсаргүй X(t) процессыг Y(t) болгон хувиргах үйл явцыг системийн оператор гэж нэрлэгддэг A t ашиглан дүрсэлж болно.

Y(t)=A t (X(t)).

Индекс t нь энэ оператор нь цагийн хөрвүүлэлтийг хийж байгааг харуулж байна. Санамсаргүй үйл явцыг хувиргах асуудлын дараах томъёолол боломжтой. Хуваарилалтын хуулиуд нь мэдэгдэж байгаа эсвэлерөнхий шинж чанар

санамсаргүй үйл явц X(t) системийн S оролтод, S системийн оператор A t өгөгдсөн бол системийн гаралт дээр санамсаргүй үйл явцын Y(t) тархалтын хууль буюу ерөнхий шинж чанарыг тодорхойлох шаардлагатай. С.

X(t) санамсаргүй үйл явцын тархалтын хууль (ерөнхий шинж чанар) болон санамсаргүй үйл явцын Y(t)-д тавигдах шаардлага мэдэгдэж байна;

өгөгдсөн шаардлагыг kY(t) хамгийн сайн хангадаг S системийн A t операторын төрлийг тодорхойлох шаардлагатай. Y(t) санамсаргүй үйл явцын тархалтын хуулиуд (ерөнхий шинж чанар) мэдэгдэж, S системийн A t операторыг өгсөн; X(t) санамсаргүй үйл явцын тархалтын хууль буюу ерөнхий шинж чанарыг тодорхойлох шаардлагатай.

П

S системийн A t операторуудын дараахь ангиллыг хүлээн зөвшөөрөв.

Системийн операторууд

Шугаман LШугаман бусN

Шугаман нэгэн төрлийн L 0 Шугаман жигд бус L n

Шугаман нэг төрлийн бус системийн нөлөөллийг авч үзье

.

L n (...)=L 0 (...)+φ(t)

дараах каноник өргөтгөлтэй санамсаргүй X(t) процесс руу:

Бид авах:

.

тэмдэглэгээг танилцуулъя

Дараа нь Y(t)-ийн каноник өргөтгөл дараах хэлбэртэй байна.

Y(t) санамсаргүй үйл явцын математик хүлээлт:

санамсаргүй үйл явцын хамаарлын функц Y(t):

тиймээс,

Нөгөө талд

Санамсаргүй үйл явцын хэлбэлзэл Y(t):

Энэ хэсгийн төгсгөлд санамсаргүй үйл явцыг ялгах, нэгтгэх операторууд нь шугаман нэгэн төрлийн байдаг гэдгийг бид тэмдэглэж байна.

V k - тэг орчим тэгш хэмтэй тархалттай төвлөрсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд; тэдгээрийн аль нь ч дөрвүүлээ хамтран бие даасан.

Дараа нь

Санамсаргүй бус функцуудыг танилцуулъя

болон санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд

дараа нь санамсаргүй үйл явц Y(t) хэлбэрийг авна