Ortak kesrin tanımı
Tanım 1
Ortak kesirler hisse sayısını tanımlamak için kullanılır. Ortak bir kesri tanımlamak için kullanılabilecek bir örneğe bakalım.
Elma 8$'lık hisselere bölündü. Bu durumda her pay bir elmanın sekizde birini temsil eder, yani $\frac(1)(8)$. İki hisse $\frac(2)(8)$ ile, üç hisse $\frac(3)(8)$ vb. ile ve $8$ hisseler $\frac(8)(8)$ ile gösterilir. Sunulan girişlerin her birine denir sıradan kesir.
Hadi verelim genel tanım sıradan kesir.
Tanım 2
Ortak kesir$\frac(m)(n)$ biçiminde bir notasyon olarak adlandırılır; burada $m$ ve $n$ herhangi bir doğal sayıdır.
Yaygın bir kesir için sıklıkla şu gösterimi bulabilirsiniz: $m/n$.
örnek 1
Ortak kesir örnekleri:
\[(3)/(4), \frac(101)(345),\ \ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\]
Not 1
Sayılar $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4)(8,3)$ sıradan kesirler değildir çünkü yukarıdaki tanıma uymuyor.
Pay ve payda
Ortak bir kesir bir pay ve bir paydadan oluşur.
Tanım 3
Pay sıradan kesir $\frac(m)(n)$ olarak adlandırılır doğal sayı$m$, tek bir bütünden alınan eşit parça sayısını gösterir.
Tanım 4
Payda Sıradan bir kesir $\frac(m)(n)$, bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü gösteren $n$ doğal sayısıdır.
Resim 1.
Pay kesir çizgisinin üstünde, payda ise kesir çizgisinin altında bulunur. Örneğin, $\frac(5)(17)$ ortak kesirinin payı $5$ sayısıdır ve paydası $17$ sayısıdır. Payda, öğenin 17$$'lık hisselere bölündüğünü, pay ise 5$$'lık hisselerin alındığını gösterir.
Paydası 1 olan kesir olarak doğal sayı
Ortak bir kesrin paydası bir olabilir. Bu durumda nesnenin bölünemez olduğu kabul edilir. tek bir bütünü temsil eder. Böyle bir kesrin payı kaç tane tam nesnenin alındığını gösterir. $\frac(m)(1)$ formunun sıradan bir kesri, $m$ doğal sayısı anlamına gelir. Böylece, sağlam temellere dayanan $\frac(m)(1)=m$ eşitliğini elde ederiz.
Eşitliği $m=\frac(m)(1)$ biçiminde yeniden yazarsak, bu, herhangi bir $m$ doğal sayısını sıradan bir kesir olarak temsil etmeyi mümkün kılacaktır. Örneğin, $5$ sayısı $\frac(5)(1)$ kesiriyle temsil edilebilir, $123\456$ sayısı $\frac(123\456)(1)$ kesiriyle temsil edilebilir.
Dolayısıyla, herhangi bir $m$ doğal sayısı, paydası $1$ olan sıradan bir kesir olarak temsil edilebilir ve $\frac(m)(1)$ biçimindeki herhangi bir sıradan kesir, bir $m$ doğal sayısı ile değiştirilebilir.
Bölme işareti olarak kesirli çubuk
Bir nesneyi $n$ parça biçiminde temsil etmek, $n$ eşit parçaya bölmek demektir. Bir öğeyi $n$ hisselere böldükten sonra, $n$ kişi arasında eşit olarak paylaştırılabilir - her biri bir hisse alacaktır.
$m$ olsun aynı öğeler, $n$ parçaya bölünmüş. Bu $m$ öğeler, her kişiye $m$ öğelerin her birinden bir pay verilerek $n$ kişi arasında eşit olarak bölünebilir. Bu durumda, her kişi $\frac(1)(n)$'ın $m$ hissesini alacaktır, bu da $\frac(m)(n)$ ortak kesirini verir. $\frac(m)(n)$ ortak kesirinin, $m$ öğelerin $n$ kişiler arasında bölünmesini belirtmek için kullanılabileceğini bulduk.
Sıradan kesirler ile bölme arasındaki bağlantı, kesir çubuğunun bir bölme işareti olarak anlaşılabilmesiyle ifade edilir; $\frac(m)(n)=m:n$.
Sıradan bir kesir, tam bölme işlemi yapılmayan iki doğal sayının bölünmesinin sonucunu yazmayı mümkün kılar.
Örnek 2
Örneğin, 7$ elmanın 9$ kişiye bölünmesinin sonucu $\frac(7)(9)$ olarak yazılabilir, yani. herkes bir elmanın dokuzda yedisini alacak: $7:9=\frac(7)(9)$.
Eşit ve eşit olmayan kesirler, kesirlerin karşılaştırılması
İki sıradan kesri karşılaştırmanın sonucu, bunların eşitliği veya eşitsizliği olabilir. Adi kesirler eşit olduğunda bunlara eşit, aksi takdirde adi kesirlere eşit olmadığı denir.
eşit, eğer $a\cdot d=b\cdot c$ eşitliği doğruysa.
$\frac(a)(b)$ ve $\frac(c)(d)$ sıradan kesirlerine denir eşit olmayan, eğer $a\cdot d=b\cdot c$ eşitliği sağlanmıyorsa.
Örnek 3
$\frac(1)(3)$ ve $\frac(2)(6)$ kesirlerinin eşit olup olmadığını öğrenin.
Eşitlik sağlandı, bu da $\frac(1)(3)$ ve $\frac(2)(6)$ kesirlerinin eşit olduğu anlamına gelir: $\frac(1)(3)=\frac(2)( 6)$.
Bu örnek elmalar kullanılarak düşünülebilir: iki özdeş elmadan biri üç eşit paya, ikincisi ise 6$ paya bölünür. Bir elmanın altıda ikisinin $\frac(1)(3)$ pay oluşturduğu görülmektedir.
Örnek 4
$\frac(3)(17)$ ve $\frac(4)(13)$ normal kesirlerinin eşit olup olmadığını kontrol edin.
$a\cdot d=b\cdot c$ eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim:
\ \
Eşitlik geçerli değil, yani $\frac(3)(17)$ ve $\frac(4)(13)$ kesirleri eşit değildir: $\frac(3)(17)\ne \frac( 4)(13) $.
İki ortak kesri karşılaştırıp eşit olmadıklarını tespit ederek hangisinin diğerinden daha büyük, hangisinin daha küçük olduğunu bulabilirsiniz. Bunu yapmak için, sıradan kesirleri karşılaştırma kuralını kullanın: kesirleri ortak bir paydaya getirmeniz ve ardından paylarını karşılaştırmanız gerekir. Hangi kesrin payı büyükse o kesir de büyük olacaktır.
Koordinat ışınındaki kesirler
Sıradan kesirlere karşılık gelen tüm kesirli sayılar bir koordinat ışınında görüntülenebilir.
Koordinat ışınında $\frac(m)(n)$ kesrine karşılık gelen bir noktayı işaretlemek için, koordinatların orijininden uzunluğu $\ olan $m$ parçalarını pozitif yönde çizmek gerekir. frac(1)(n)$ bir birim segmentin kesri . Bu tür bölümler, bir birim bölümün $n$ eşit parçaya bölünmesiyle elde edilir.
Koordinat ışınında kesirli bir sayı görüntülemek için birim parçasını parçalara bölmeniz gerekir.
Şekil 2.
Eşit kesirler aynı kesirli sayı ile tanımlanır; eşit kesirler koordinat ışınındaki aynı noktanın koordinatlarını temsil eder. Örneğin, $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ koordinatları şunu tanımlar: Tüm yazılı kesirler eşit olduğundan koordinat ışınında aynı nokta.
Bir nokta daha büyük bir kesirli bir koordinatla tanımlanırsa, o zaman koordinatı olan noktadan sağa yönlendirilen yatay koordinat ışınının sağında yer alacaktır. küçük kesir. Örneğin, çünkü kesir $\frac(5)(6)$ daha fazla kesir$\frac(2)(6)$ ise $\frac(5)(6)$ koordinatlı nokta $\frac(2)(6)$ koordinatlı noktanın sağında bulunur.
Benzer şekilde, koordinatı daha küçük olan bir nokta, koordinatı daha büyük olan bir noktanın solunda yer alacaktır.
Matematikte kesir, bir birimin bir veya daha fazla bölümünden (kesirlerinden) oluşan bir sayıdır. Kayıt şekline göre kesirler sıradan (örnek \frac(5)(8)) ve ondalık (örneğin 123,45) olarak ikiye ayrılır.
Tanım. Ortak kesir (veya basit kesir)
Sıradan (basit) kesir m ve n doğal sayılar olmak üzere \pm\frac(m)(n) formundaki bir sayı olarak adlandırılır. m sayısına denir pay bu kesir ve n sayısı onun payda.
Yatay veya eğik çizgi, bölme işaretini belirtir; yani \frac(m)(n)=()^m/n=m:n
Yaygın kesirler iki türe ayrılır: doğru ve yanlış.
Tanım. Doğru ve yanlış kesirler
Doğru Payı paydasından küçük olan kesire kesir denir. Örneğin, \frac(9)(11) çünkü 9
Yanlış payı büyük veya eşit olan bir kesir modüle eşit payda. Böyle bir kesir rasyonel bir sayıdır, modülo büyüktür veya bire eşit. Bir örnek, \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1) kesirleri olabilir.
Uygunsuz kesrin yanı sıra, sayının başka bir temsili daha vardır ki buna denir. karışık fraksiyon(karışık numara). Bu sıradan bir kesir değil.
Tanım. Karışık kesir (karışık sayı)
Karışık kesir tam sayı olarak yazılan bir kesirdir ve uygun kesir ve bu sayı ile bir kesrin toplamı olarak anlaşılmaktadır. Örneğin, 2\frac(5)(7)
(forma kaydedin karışık numara) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19)(7) (kayıt gibi uygunsuz kesir)
Kesir sadece bir sayının temsilidir. Aynı numara karşılık gelebilir farklı kesirler, hem sıradan hem de ondalık. İki sıradan kesrin eşitliği için bir işaret oluşturalım.
Tanım. Kesirlerin eşitliğinin işareti
İki kesir \frac(a)(b) ve \frac(c)(d) eşit, eğer a\cdot d=b\cdot c ise. Örneğin, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) çünkü 2\cdot12=3\cdot8
Bu özellikten bir kesrin ana özelliği gelir.
Mülk. Bir kesrin temel özelliği
Belirli bir kesrin payı ve paydası sıfıra eşit olmayan aynı sayıyla çarpılır veya bölünürse, verilen kesre eşit bir kesir elde edilir.
\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0
Temel özelliği kullanarak kesirler değiştirilebilir verilen kesir verilen kesire eşit, ancak payı ve paydası daha küçük olan başka bir kesir. Bu değiştirmeye kesir azaltma denir. Örneğin, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (burada pay ve payda önce 2'ye ve sonra 2'ye daha bölündü). Bir kesir ancak ve ancak pay ve paydası birbirini dışlamıyorsa azaltılabilir. asal sayılar. Belirli bir kesirin payı ve paydası aralarında asalsa kesir azaltılamaz; örneğin \frac(3)(4) indirgenemez bir kesirdir.
Pozitif kesirler için kurallar:
İki fraksiyondan İle aynı paydalar Payı büyük olan kesir daha büyüktür. Örneğin, \frac(3)(15)
İki fraksiyondan aynı numaralarla Daha büyük olan, paydası daha küçük olan kesirdir. Örneğin, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .
Payları ve paydaları farklı olan iki kesri karşılaştırmak için, her iki kesri de paydaları aynı olacak şekilde dönüştürmeniz gerekir. Bu dönüşüme kesirlerin ortak paydaya indirilmesi denir.
Ortak kesir
Çeyrekler
- Düzenlilik. A Ve B kişinin aralarındaki üç ilişkiden yalnızca birini benzersiz bir şekilde tanımlamasına izin veren bir kural vardır: "<
», « >" veya " = ". Bu kurala denir sıralama kuralı ve şu şekilde formüle edilmiştir: iki Negatif olmayan sayılar ve iki tamsayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidir ve; pozitif olmayan iki sayı A Ve B negatif olmayan iki sayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidir ve ; eğer aniden A olumsuz değil ama B- o zaman negatif A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Kesirleri Ekleme
- Ekleme işlemi. Herhangi bir rasyonel sayı için A Ve B sözde var toplama kuralı C. Üstelik sayının kendisi C isminde miktar sayılar A Ve B ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine denir toplam. Toplama kuralı aşağıdaki forma sahiptir:
.
- Çarpma işlemi. Herhangi bir rasyonel sayı için A Ve B sözde var çarpma kuralı onlara bazı rasyonel sayılar atar C. Üstelik sayının kendisi C isminde iş sayılar A Ve B ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine de denir çarpma işlemi. Çarpma kuralı şuna benzer:
.
- Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi bir rasyonel sayı üçlüsü için A , B Ve C Eğer A az B Ve B az C, O A az C, ve eğer A eşittir B Ve B eşittir C, O A eşittir C. 6435">Toplamanın değişmezliği. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.
- Eklemenin ilişkilendirilebilirliği. Emir üç ekleme Rasyonel sayılar sonucu etkilemez.
- Sıfır varlığı. Toplandığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 0 vardır.
- Zıt sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, kendisine eklendiğinde 0 veren zıt bir rasyonel sayı vardır.
- Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.
- Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının çarpılma sırası sonucu etkilemez.
- Birimin kullanılabilirliği.Çarpıldığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 1 vardır.
- Karşılıklı sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, ile çarpıldığında 1 veren bir ters rasyonel sayısı vardır.
- Çarpmanın toplamaya göre dağılımı.Çarpma işlemi, dağıtım yasası aracılığıyla toplama işlemiyle koordine edilir:
- Sıra ilişkisinin toplama işlemiyle bağlantısı. Sola ve Sağ Taraf rasyonel eşitsizlik aynı rasyonel sayıyı ekleyebilirsiniz. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
- Arşimet Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun A, toplamları aşacak kadar çok birim alabilirsiniz A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">
Ek özellikler
Rasyonel sayıların doğasında bulunan diğer tüm özellikler temel özellikler olarak ayırt edilmez, çünkü genel olarak konuşursak, bunlar artık doğrudan tamsayıların özelliklerine dayanmaz, ancak verilen temel özelliklere dayanarak veya doğrudan bazı matematiksel nesnelerin tanımıyla kanıtlanabilirler. . Bunun gibi pek çok ek özellik var. Bunlardan sadece birkaçını burada listelemek mantıklıdır.
Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">
Bir kümenin sayılabilirliği
Rasyonel sayıların numaralandırılması
Rasyonel sayıların sayısını tahmin etmek için kümelerinin önem derecesini bulmanız gerekir. Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtlamak kolaydır. Bunu yapmak için rasyonel sayıları sıralayan, yani rasyonel ve doğal sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme kuran bir algoritma vermek yeterlidir.
Bu algoritmaların en basiti şuna benzer. Her birinde sıradan kesirlerden oluşan sonsuz bir tablo derlenir. Ben her birinde -inci satır J kesrin bulunduğu inci sütun. Kesinlik açısından bu tablonun satır ve sütunlarının birden başlayarak numaralandırıldığı varsayılmaktadır. Tablo hücreleri ile gösterilir; burada Ben- hücrenin bulunduğu tablo satırının numarası ve J- sütun numarası.
Ortaya çıkan tablo, aşağıdaki resmi algoritmaya göre bir "yılan" kullanılarak geçilir.
Bu kurallar yukarıdan aşağıya doğru aranır ve ilk eşleşmeye göre bir sonraki konum seçilir.
Böyle bir geçiş sürecinde her yeni rasyonel sayı başka bir doğal sayıyla ilişkilendirilir. Yani, 1/1 kesirleri 1 sayısına, 2/1 kesirleri 2 sayısına vb. atanır. Yalnızca şunu belirtmek gerekir ki indirgenemez kesirler. İndirgenemezliğin resmi bir işareti, bir kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin bire eşit olmasıdır.
Bu algoritmayı takip ederek tüm pozitif rasyonel sayıları sıralayabiliriz. Bu, pozitif rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğu anlamına gelir. Pozitif ve negatif rasyonel sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme oluşturmak, her rasyonel sayıya basitçe onun tersini atayarak kolaydır. O. Negatif rasyonel sayılar kümesi de sayılabilir. Birleşimleri aynı zamanda sayılabilir kümelerin özelliği ile de sayılabilir. Rasyonel sayılar kümesi aynı zamanda sayılabilir bir kümenin sonlu bir kümeyle birleşimi olarak da sayılabilir.
Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilirliğiyle ilgili ifade bazı karışıklıklara neden olabilir, çünkü ilk bakışta doğal sayılar kümesinden çok daha kapsamlı gibi görünmektedir. Aslında durum böyle değildir ve tüm rasyonel sayıları saymaya yetecek kadar doğal sayı vardır.
Rasyonel sayıların eksikliği
Böyle bir üçgenin hipotenüsü hiçbir şekilde ifade edilemez. rasyonel sayı
1 / formunun rasyonel sayıları N genel olarak N keyfi olarak küçük miktarlar ölçülebilir. Bu gerçek yaratır yanıltıcı izlenim Rasyonel sayıların herhangi bir geometrik mesafeyi ölçmek için kullanılabileceği. Bunun doğru olmadığını göstermek kolaydır.
Pisagor teoreminden, bir dik üçgenin hipotenüsünün, dik kenarlarının kareleri toplamının karekökü olarak ifade edildiğini biliyoruz. O. bir ikizkenarın hipotenüs uzunluğu dik üçgen birim ayağı olan bir sayıya eşittir, yani karesi 2 olan bir sayıya.
Bir sayının herhangi bir rasyonel sayı ile temsil edilebileceğini varsayarsak, o zaman böyle bir tamsayı vardır. M ve böyle bir doğal sayı N, bu ve kesir indirgenemez, yani sayılar M Ve N- karşılıklı olarak basit.
Eğer öyleyse 
yani M 2 = 2N 2. Bu nedenle sayı M 2 çifttir ama ikisinin çarpımıdır tek sayılar tek, yani sayının kendisi M ayrıca hatta. Yani bir doğal sayı var k, öyle ki sayı Mşeklinde temsil edilebilir M = 2k. Sayı karesi M Bu manada M 2 = 4k 2 ama öte yandan M 2 = 2N 2, 4 anlamına gelir k 2 = 2N 2 veya N 2 = 2k 2. Sayı için daha önce gösterildiği gibi M, bu şu anlama gelir: sayı N- hatta M. Ama ikisi de ikiye bölündüğü için aralarında asal değiller. Ortaya çıkan çelişki bunun rasyonel bir sayı olmadığını kanıtlıyor.
Bir kesrin payı ve paydası. Kesir türleri. Kesirlere bakmaya devam edelim. Öncelikle küçük bir sorumluluk reddi beyanı; kesirleri ve bunlara karşılık gelen örnekleri ele alırken şimdilik yalnızca sayısal gösterimiyle çalışacağız. Ayrıca kesirli olanlar da var gerçek ifadeler(numaralı ve rakamsız).Ancak tüm “ilkeler” ve kurallar onlar için de geçerlidir ancak bu tür ifadelere ileride ayrı ayrı değineceğiz. Kesirler konusunu adım adım ziyaret etmenizi ve incelemenizi (hatırlamanızı) öneririm.
En önemlisi kesrin bir sayı olduğunu anlamak, hatırlamak ve idrak etmektir!!!
Ortak kesir formun bir numarasıdır:
“Üstte” bulunan numara (içinde bu durumda m)’ye pay, altında yer alan sayıya (n sayısı) ise payda denir. Konuya yeni değinenler genellikle buna ne ad verdikleri konusunda kafa karışıklığı yaşarlar.
İşte payın nerede ve paydanın nerede olduğunu sonsuza kadar nasıl hatırlayacağınızla ilgili bir püf noktası. Bu teknik sözel-figüratif ilişkilendirmeyle ilişkilidir. İçinde bir kavanoz hayal edin çamurlu su. Su çöktükçe üstte temiz su kaldığı ve bulanıklığın (kir) çöktüğü bilinmektedir, unutmayın:
ÜSTÜNDE CHISS eriyik suyu (CHISS litel top)
Griya Z33NN suyu ALTTA (ZNNNN amenatörü altta)
Bu nedenle, payın nerede olduğunu ve paydanın nerede olduğunu hatırlama ihtiyacı ortaya çıktığı anda, hemen görsel olarak bir kavanoz dolusu durgun su hayal ettik. Saf su ve altında kirli su var. Başka hafıza hileleri de var, eğer size yardımcı olacaklarsa, o zaman iyi olur.
Ortak kesir örnekleri:
Sayılar arasındaki yatay çizgi ne anlama geliyor? Bu bir bölünme işaretinden başka bir şey değildir. Bir kesirin bölme işlemine örnek olarak değerlendirilebileceği ortaya çıktı. Bu eylem basitçe bu forma kaydedilir. Yani, üstteki sayı (pay) alttaki sayıya (payda) bölünür:
Ek olarak, başka bir gösterim biçimi daha vardır - bir kesir şu şekilde yazılabilir (eğik çizgiyle):
1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 ve benzeri...
Yukarıdaki kesirleri şu şekilde yazabiliriz:
Bölme sonucu bu sayının nasıl bilindiği ortaya çıkar.
Bunu anladık - BU BİR KESİR!!!
Daha önce fark ettiğiniz gibi, ortak bir kesirin payı olabilir paydadan daha az, paydadan büyük olabilir ve ona eşit olabilir. Çok var önemli noktalar Bunlar herhangi bir teorik ayrıntıya gerek kalmadan sezgisel olarak anlaşılabilir. Örneğin:
1. Kesir 1 ve 3, 0,5 ve 0,01 olarak yazılabilir. Biraz ileri atlayalım - bunlar ondalık kesirler, onlardan biraz aşağıda bahsedeceğiz.
2. Kesirler 4 ve 6, 45:9=5, 11:1 = 11 tamsayısını verir.
3. 5. kesir 155:155 = 1 sonucunu verir.
Hangi sonuçlar kendilerini gösteriyor? Sonraki:
1. Pay, paydaya bölündüğünde şunu verebilir: son sayı. 7'ye 13 veya 17'ye 11'lik bir sütunla bölmek işe yaramayabilir - mümkün değil! Sonsuza kadar bölebilirsiniz ama aşağıda bundan da bahsedeceğiz.
2. Bir kesir tam sayıyla sonuçlanabilir. Dolayısıyla herhangi bir tamsayıyı kesir olarak, daha doğrusu sonsuz bir kesir dizisi olarak temsil edebiliriz, bakın, tüm bu kesirler 2'ye eşittir:
Daha fazla! Herhangi bir tamsayıyı her zaman kesir olarak yazabiliriz; sayının kendisi payda, birim ise paydadadır:
3. Bir birimi her zaman herhangi bir paydayla kesir olarak temsil edebiliriz:
*Hesaplamalar ve dönüşümler sırasında kesirlerle çalışmak için bu noktalar son derece önemlidir.
Kesir türleri.
Ve şimdi sıradan kesirlerin teorik bölünmesi hakkında. Bunlar bölünmüştür doğru ve yanlış.
Payı paydasından küçük olan kesire gerçek kesir denir. Örnekler:
Payı paydasından büyük veya paydaya eşit olan kesirlere bileşik kesir denir. Örnekler:
Karışık kesir(karışık numara).
Karışık kesir, bir tam sayı ve uygun kesir olarak yazılan kesirdir ve bu sayı ile kesirli kısmının toplamı olarak anlaşılmaktadır. Örnekler:
Karışık bir kesir her zaman uygunsuz bir kesir olarak temsil edilebilir ve bunun tersi de geçerlidir. Hadi devam edelim!
Ondalık kesirler.
Yukarıda bunlara değinmiştik, bunlar örnekler (1) ve (3) şimdi daha ayrıntılı olarak. Ondalık kesir örnekleri şunlardır: 0,3 0,89 0,001 5,345.
Paydası 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetleri olan kesirlere ondalık sayı denir. Belirtilen ilk üç kesiri sıradan kesirler şeklinde yazmak zor değildir:
Dördüncüsü karışık bir kesirdir (karışık sayı):
Ondalık kesir vardır aşağıdaki form kayıtlar - itibarentüm kısım başlar, sonra bütün ve kesirli kısımların ayırıcısı bir nokta veya virgüldür ve ardından kesirli kısım, kesirli kısmın basamak sayısı kesinlikle kesirli kısmın boyutuna göre belirlenir: eğer bunlar onda biri ise, kesirli kısım tek rakamla yazılır; binde biri ise - üç; on binde biri - dört vb.
Bu kesirler sonlu veya sonsuz olabilir.
Ondalık kesirlerin bitimine örnekler: 0,234; 0,87; 34.00005; 5.765.
Örnekler sonsuzdur. Örneğin Pi sayısı sonsuzdur ondalık, daha fazlası – 0.333333333333…... 0.16666666666…. ve diğerleri. Ayrıca 3, 5, 7 vb. sayıların köklerini çıkarmanın sonucu. sonsuz kesir olacaktır.
Kesirli kısım döngüsel olabilir (bir döngü içerir), yukarıdaki iki örnek aynen böyledir ve daha fazla örnek:
0.123123123123…... döngü 123
0,781781781718...... döngü 781
0,0250102501…. döngü 02501
0,(123) 0,(781) 0,(02501) şeklinde yazılabilirler.
Pi sayısı, örneğin üçün kökü gibi döngüsel bir kesir değildir.
Aşağıdaki örneklerde, bir kesri "ters çevirmek" gibi kelimeler duyulacaktır - bu, pay ve paydanın yer değiştirdiği anlamına gelir. Aslında böyle bir kesirin bir adı var - karşılıklı kesir. Karşılıklı kesir örnekleri:
Küçük bir özet! Kesirler:
Sıradan (doğru ve yanlış).
Ondalık sayılar (sonlu ve sonsuz).
Karışık (karışık sayılar).
Bu kadar!
Saygılarımla İskender.
Pay ve bölünen ise paydadır.
Kesir yazmak için önce payı yazın, sonra sayının altına yatay bir çizgi çizin ve paydayı çizginin altına yazın. Pay ve paydayı ayıran yatay çizgiye kesir çizgisi denir. Bazen eğik "/" veya "∕" şeklinde gösterilir. Bu durumda pay satırın soluna, payda ise sağına yazılır. Yani örneğin “üçte iki” kesri 2/3 olarak yazılacaktır. Açıklık sağlamak için, pay genellikle satırın üstüne, payda ise alta yazılır, yani 2/3 yerine şunu bulabilirsiniz: ⅔.
Kesirlerin çarpımını hesaplamak için önce payını bir ile çarpmanız gerekir. kesirler payda farklıdır. Sonucu yeninin payına yazın kesirler. Bundan sonra paydaları çarpın. Yeni alana toplam değeri girin kesirler. Örneğin 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Bir kesri diğerine bölmek için önce birincinin payını ikincinin paydasıyla çarpmanız gerekir. Aynısını ikinci kesir (bölen) için de yapın. Veya, tüm eylemleri gerçekleştirmeden önce, sizin için daha uygunsa, önce böleni "çevirin": pay yerine payda görünmelidir. Daha sonra bölenin paydasını bölenin yeni paydasıyla çarpın ve payları çarpın. Örneğin, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
Kaynaklar:
- Temel kesir problemleri
Kesirli sayılar şu şekilde ifade edilebilir: farklı şekillerde Kesin değer miktarları. Aynısını kesirlerle de yapabilirsiniz matematiksel işlemler tam sayılarda olduğu gibi: çıkarma, toplama, çarpma ve bölme. Karar vermeyi öğrenmek kesirler, onların bazı özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Bunlar türüne bağlıdır kesirler, bir tamsayı kısmının varlığı, ortak bir payda. Bazı Aritmetik işlemler yürütüldükten sonra sonucun kesirli kısmının azaltılmasını gerektirirler.
İhtiyacın olacak
- - hesap makinesi
Talimatlar
Rakamlara yakından bakın. Kesirler arasında ondalık sayılar ve düzensiz olanlar varsa, bazen önce ondalık sayılarla işlem yapmak ve sonra bunları düzensiz forma dönüştürmek daha uygundur. Çevirebilir misin kesirler Bu formda başlangıçta payda virgülden sonraki değer yazılıyor ve paydaya 10 yazılıyor. Gerekirse yukarıdaki ve alttaki sayıları bir bölene bölerek kesri azaltın. Tamsayı kısmı izole edilen kesirler, paydayla çarpılıp payın sonuca eklenmesiyle yanlış forma dönüştürülmelidir. Verilen değer yeni pay olacak kesirler. Başlangıçta yanlış olan bir parçanın tamamını seçmek için kesirler payını paydaya bölmeniz gerekir. Tüm sonuç itibaren yaz kesirler. Ve bölümün geri kalanı yeni pay, payda olacak kesirler değişmez. olan kesirler için Bütün parça işlemleri önce tamsayı, sonra kesirli kısımlar için ayrı ayrı yapmak mümkündür. Örneğin, 1 2/3 ve 2 ¾'ün toplamı hesaplanabilir:
- Kesirleri yanlış forma dönüştürme:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Tam sayıların ayrı ayrı toplanması ve kesirli parçalarşartlar:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
“:” ayırıcısını kullanarak bunları yeniden yazın ve devam edin düzenli bölme.
Almak için son sonuç Pay ve paydayı bu durumda mümkün olan en büyük sayıya bölerek elde edilen kesri azaltın. Bu durumda çizginin üstünde ve altında tam sayılar bulunmalıdır.
Not
Paydaları farklı olan kesirlerle aritmetik işlem yapmayın. Öyle bir sayı seçin ki, her kesrin payını ve paydasını onunla çarptığınızda her iki kesrin paydaları eşit olur.
Kayıt yaparken kesirli sayılar Temettü satırın üstüne yazılır. Bu miktar kesrin payı olarak belirlenir. Kesrin böleni veya paydası çizginin altına yazılır. Örneğin bir buçuk kilogram pirincin kesri şu şekilde yazılacaktır: 1 ½ kg pirinç. Bir kesrin paydası 10 ise bu kesre ondalık sayı denir. Bu durumda pay (temettü) tüm kısmın sağına virgülle ayrılarak yazılır: 1,5 kg pirinç. Hesaplama kolaylığı için böyle bir kesir her zaman yazılabilir. yanlış biçimde: 1 2/10 kg patates. Basitleştirmek için pay ve payda değerlerini bir tamsayıya bölerek azaltabilirsiniz. İÇİNDE bu örnekte 2'ye bölünebilir. Sonuç 1 1/5 kg patates olacaktır. Aritmetik işlem yapacağınız sayıların aynı formda sunulduğundan emin olun.
