Bilgisayar hayatımıza sıkı bir şekilde girdi ve neredeyse böyle bir alan yok insan faaliyeti, bilgisayarın kullanılmayacağı yer. Bilgisayarlar artık yeni makinelerin, yeni makinelerin yaratılması ve araştırılması sürecinde yaygın olarak kullanılmaktadır. teknolojik süreçler ve en uygun seçeneklerin aranması; karar verirken ekonomik görevlerÇeşitli düzeylerde planlama ve üretim yönetimi sorunlarını çözerken. Roket teknolojisinde, uçak imalatında, gemi yapımında ve ayrıca baraj, köprü vb. tasarımlarında büyük nesnelerin oluşturulması, bilgisayar kullanılmadan genellikle imkansızdır.

Uygulamalı problemlerin çözümünde öncelikle bilgisayarları kullanmak uygulamalı problem resmi dile "tercüme edilmelidir" matematik dili yani gerçek bir nesne, süreç veya sistem için matematiksel modelinin oluşturulması gerekir.

"Model" kelimesi Latince modus'tan (kopya, resim, taslak) gelir. Modelleme, bir A nesnesinin başka bir B nesnesiyle değiştirilmesidir. Değiştirilen A nesnesine orijinal veya modelleme nesnesi, değiştirilen B'ye ise model denir. Başka bir deyişle model, orijinal nesnenin bazı özelliklerinin incelenmesini sağlayan, orijinal nesnenin yerine geçen bir nesnedir.

Modellemenin amacı birbirleriyle etkileşime giren nesneler hakkında bilgi elde etmek, işlemek, sunmak ve kullanmaktır. dış çevre; ve buradaki model, bir nesnenin özelliklerini ve davranış kalıplarını anlamanın bir aracı olarak hareket eder.

Matematiksel modelleme, gerçek bir nesneyi, süreci veya sistemi, daha uygun bir matematiksel modelle değiştirerek çalışmanın bir yoludur. deneysel araştırma bilgisayar kullanmak.

Matematiksel modelleme, gerçek süreç ve olayların matematiksel modellerini oluşturma ve inceleme sürecidir. Matematiksel aygıtları kullanan tüm doğa bilimleri ve sosyal bilimler esas olarak matematiksel modellemeyle meşguldür. gerçek nesne modelini ve ardından ikincisini inceleyin. Her modellemede olduğu gibi matematiksel bir model de çalışılan olguyu tam olarak açıklamaz ve bu şekilde elde edilen sonuçların uygulanabilirliğine ilişkin sorular oldukça anlamlıdır. Matematiksel model, gerçekliğin basitleştirilmiş bir açıklamasıdır. matematiksel kavramlar.

Matematiksel bir model, bir nesnenin veya sürecin temel özelliklerini denklemler ve diğer dillerle ifade eder. matematiksel araçlar. Aslında matematiğin kendisi de varlığını yansıtmaya çalıştığı şeye borçludur. kendi başınıza modelleyin belirli dilçevredeki dünyanın kalıpları.

Şu tarihte: matematiksel modelleme Bir nesnenin incelenmesi, matematik dilinde belirli yöntemler kullanılarak formüle edilmiş bir model aracılığıyla gerçekleştirilir. matematiksel yöntemler.

Çağımızda matematiksel modellemenin yolu, tam ölçekli modellemeye göre çok daha kapsamlıdır. Yöntemin kendisi binlerce yıl önce matematikle eş zamanlı olarak ortaya çıkmasına rağmen, bilgisayarların ortaya çıkışı matematiksel modellemenin gelişimine büyük bir ivme kazandırdı.

Matematiksel modelleme her zaman bilgisayar desteği gerektirmez. Matematiksel modellemeyle profesyonel olarak ilgilenen her uzman, modeli analitik olarak incelemek için mümkün olan her şeyi yapar. Analitik çözümler (yani çalışmanın sonuçlarını orijinal veriler aracılığıyla ifade eden formüllerle sunulan çözümler) genellikle sayısal çözümlerden daha kullanışlı ve daha bilgilendiricidir. Ancak analitik yöntemlerin karmaşık matematik problemlerini çözme yetenekleri çok sınırlıdır ve kural olarak bu yöntemler sayısal yöntemlerden çok daha karmaşıktır.

Matematiksel model, gerçek nesnelerin, süreçlerin veya sistemlerin yaklaşık bir temsilidir. matematiksel terimler ve orijinalin temel özelliklerinin korunması. Mantıksal ve matematiksel yapıları kullanan niceliksel formdaki matematiksel modeller, bir nesnenin, sürecin veya sistemin temel özelliklerini, parametrelerini, iç ve dış özelliklerini tanımlar. dış ilişkiler

Tüm modeller iki sınıfa ayrılabilir:

gerçek,
mükemmel.

Buna karşılık, gerçek modeller şu şekilde ayrılabilir:

tam ölçekli,
fiziksel,
matematiksel.

İdeal modellerşu şekilde ayrılabilir:

görsel,
ikonik,
matematiksel.

Gerçek tam ölçekli modeller, üzerinde bilimsel, teknik ve endüstriyel deneylerin yapıldığı gerçek nesneler, süreçler ve sistemlerdir.

Gerçek fiziksel modeller- bunlar modeller, mankenler, üreyenler fiziksel özellikler orijinaller (kinematik, dinamik, hidrolik, termal, elektrik, hafif modeller).

Gerçek matematiksel modeller analog, yapısal, geometrik, grafik, dijital ve sibernetik modellerdir.

İdeal görsel modeller diyagramlar, haritalar, çizimler, grafikler, grafikler, analoglar, yapısal ve geometrik modellerdir.

İdeal işaret modelleri semboller, alfabe, programlama dilleri, sıralı gösterim, topolojik gösterim, ağ gösterimidir.

İdeal matematiksel modeller analitik, fonksiyonel, simülasyon ve birleştirilmiş modellerdir.

Yukarıdaki sınıflandırmada bazı modellerin ikili yorumu vardır (örneğin analog). Tam ölçekli olanlar dışındaki tüm modeller, tek bir zihinsel model sınıfında birleştirilebilir, çünkü onlar bir üründür soyut düşünme kişi.

Oyun Teorisinin Unsurları

İÇİNDE genel durum Oyunu çözmek oldukça zor bir iştir ve problemin karmaşıklığı ve onu çözmek için gereken hesaplamaların miktarı arttıkça keskin bir şekilde artar. Bununla birlikte, bu zorluklar temel nitelikte değildir ve yalnızca çok büyük hacimli hesaplamalarla ilişkilidir ve bazı durumlarda bunun pratik olarak imkansız olduğu ortaya çıkabilir. Çözüm bulma yönteminin temel yönü her kişi için geçerlidir. aynısı.

Bunu bir oyun örneğiyle açıklayalım. Hadi ona verelim geometrik yorumlama- zaten mekansal. Üç stratejimiz düzlemdeki üç noktayla temsil edilecek ; ilki başlangıç noktasında yer alır (Şekil 1). ikinci ve üçüncü - eksenlerde Ah Ve Ah başlangıçtan itibaren 1 mesafede.

Eksen I-I, II-II ve III-III düzleme dik noktalardan çizilir . I-I ekseninde stratejinin getirileri vardır; II-II ve III-III eksenlerinde ise stratejilerin getirileri vardır. Her düşman stratejisi noktasında kesen bir düzlem ile temsil edilecektir. eksenler I-I, II-II ve III-III, kazançlara eşit segmentler

uygun strateji ve strateji ile . Böylece düşmanın tüm stratejilerini oluşturduktan sonra üçgenin üzerinde bir uçak ailesi elde ederiz (Şekil 2).

Bu aile için, bu durumda yaptığımız gibi, getiri için bir alt sınır da oluşturabilirsiniz ve bu sınır üzerinde N noktasını bulabilirsiniz. maksimum yükseklik nakit uçağı . Bu yükseklik oyunun bedeli olacak.

Optimal stratejideki stratejilerin frekansları koordinatlarla belirlenecektir. (x, y) N noktaları, yani:

Ancak bu geometrik yapı bu durumda bile uygulanması kolay değildir ve gerektirir yüksek maliyetler zaman ve hayal gücü çabası. Oyunun genel durumunda, şuraya aktarılır: boyutlu uzay ve bazı durumlarda geometrik terminolojinin kullanılması yararlı olabilmesine rağmen tüm netliği kaybeder. Uygulamada oyunları çözerken geometrik analojileri değil hesaplamaları kullanmak daha uygundur. analitik yöntemlerözellikle sorunu çözmek için bilgisayarlar bu yöntemler tek uygun olanlardır.

Bu yöntemlerin tümü esasen bir problemi ardışık denemeler yoluyla çözmeye dayanır, ancak denemelerin sırasını sıralamak, çözüme en ekonomik şekilde yol açan bir algoritma oluşturmanıza olanak tanır.

Burada kısaca bir tanesine odaklanacağız. hesaplama yöntemi oyun çözümleri - sözde yöntemle " doğrusal programlama».

Bunu yapmak için önce şunu verelim genel ayar Bir oyuna çözüm bulmayla ilgili sorunlar. Bir oyun verilsin T oyuncu stratejileri A Ve N oyuncu stratejileri İÇİNDE ve ödeme matrisi verilir

Oyuna bir çözüm bulmak gerekiyor, yani A ve B oyuncularının iki optimal karma stratejisi

nerede (bazı sayılar ve sıfıra eşit olabilir).

Optimum stratejimiz S*A Düşmanın herhangi bir davranışı için bize en az şu miktarda bir kazanç sağlamalı ve onun optimal davranışı için de eşit bir kazanç sağlamalıdır (strateji) S*B).Benzer strateji S*B düşmana herhangi bir davranışımız için en fazla ve en uygun davranışımız için eşit bir kayıp sağlamalıdır (strateji) S*A).

Oyun fiyatı bu durumda bizim için bilinmiyor; bazılarına eşit olduğunu varsayacağız pozitif sayı. Bu şekilde inanarak akıl yürütmenin genelliğini ihlal etmiyoruz; > 0 olması için matrisin tüm elemanlarının negatif olmaması açıkça yeterlidir. Bu her zaman elementlere yeterince büyük bir pozitif L değeri eklenerek elde edilebilir; bu durumda oyunun fiyatı L kadar artacaktır ancak çözüm değişmeyecektir.

En uygun stratejimizi seçelim S*A. O zaman rakibimizin stratejisine göre ortalama kazancımız şuna eşit olacaktır:

Optimum stratejimiz S*A Düşmanın herhangi bir davranışı karşılığında en az şu kadar kazanç sağlama özelliğine sahiptir; bu nedenle sayıların hiçbiri 'den küçük olamaz. Bir takım koşullar elde ederiz:

(1)

Eşitsizlikleri (1) pozitif bir değere bölelim ve şunu gösterelim:

O zaman koşul (1) şu şekilde yazılacaktır:

(2)

Nerede - Negatif olmayan sayılar. Çünkü miktarlar koşulu karşılar

Garantili kazancımızı mümkün olduğu kadar yüksek tutmak istiyoruz; belli ki aynı zamanda sağ taraf eşitlik (3) minimum değeri alır.

Böylece oyuna çözüm bulma problemi aşağıdaki matematik problemine iniyor: Negatif olmayan miktarları belirleyin , koşulları (2) karşılıyor, böylece toplamları

minimum düzeydeydi.

Genellikle uç değerlerin (maksimum ve minimum) bulunmasıyla ilgili problemleri çözerken, fonksiyonun türevi alınır ve türevler sıfıra eşitlenir. Ancak bu durumda böyle bir teknik işe yaramaz çünkü F fonksiyonu gerek en aza indirir, doğrusaldır ve tüm argümanlara göre türevleri bire eşittir, yani hiçbir yerde kaybolmazlar. Sonuç olarak, fonksiyonun maksimumu, argümanların ve koşulların olumsuz olmaması şartıyla belirlenen argümanlardaki değişiklik aralığının sınırında bir yerde elde edilir (2). Farklılaşmayı kullanarak uç değerleri bulma tekniği, bizim yaptığımız gibi, oyunu çözmek için kazancın alt sınırının maksimumunun (veya üst sınırının minimumunun) belirlendiği durumlarda da uygun değildir. örneğin, oyunları çözerken bunu yaptılar. Aslında alt sınır düz çizgilerin bölümlerinden oluşur ve maksimuma türevin sıfıra eşit olduğu noktada ulaşılmaz (böyle bir nokta yoktur), ancak aralığın sınırında veya düz bölümlerin kesişme noktasında.

Çözmek için benzer görevler Pratikte sıklıkla karşılaşılan, matematikte özel bir aparat geliştirilmiştir. Doğrusal programlama.

Doğrusal programlama problemi aşağıdaki şekilde formüle edilmiştir.

Sistem göz önüne alındığında doğrusal denklemler:

(4)

Koşulları (4) karşılayan ve aynı zamanda verilen homojenliği en aza indiren büyüklüklerin negatif olmayan değerlerini bulmak gerekir. doğrusal fonksiyon miktarlar ( doğrusal form):

Yukarıda ortaya konulan oyun teorisi probleminin doğrusal programlama probleminin özel bir durumu olduğunu görmek kolaydır.

İlk bakışta koşullar (2), koşullar (4)'e eşdeğer değil gibi görünebilir, çünkü eşit işaretler yerine eşitsizlik işaretleri içerirler. Ancak, negatif olmayan yeni kukla değişkenler ekleyerek ve koşulları (2) şu şekilde yazarak eşitsizlik işaretlerinden kurtulmak kolaydır:

(5)

Minimize edilmesi gereken Φ formu şuna eşittir:

Doğrusal programlama aparatı, nispeten az sayıda ardışık örnek kullanarak değerlerin seçilmesini mümkün kılar , belirtilen gereksinimleri karşılıyor. Daha fazla netlik sağlamak için, burada bu cihazın kullanımını doğrudan belirli oyunların çözülmesine yönelik materyal üzerinde göstereceğiz.

Sovetov ve Yakovlev'in ders kitabına göre: "bir model (enlem. modül - ölçü), orijinal nesnenin bazı özelliklerinin incelenmesini sağlayan, orijinal nesnenin yerine geçen bir nesnedir." (s. 6) “Model nesne kullanılarak orijinal nesnenin en önemli özellikleri hakkında bilgi edinmek amacıyla bir nesnenin diğeriyle değiştirilmesine modelleme denir.” (s. 6) “Matematiksel modelleme ile, belirli bir gerçek nesneye, matematiksel model adı verilen belirli bir matematiksel nesneyle yazışma kurma sürecini ve gerçek nesnenin özelliklerini elde etmemizi sağlayan bu modelin çalışmasını anlıyoruz. dikkate alınan nesne. Matematiksel modelin türü hem gerçek nesnenin doğasına hem de nesneyi inceleme görevlerine ve bu sorunu çözmenin gerekli güvenilirliğine ve doğruluğuna bağlıdır.

Son olarak matematiksel modelin en kısa tanımı: "Bir fikri ifade eden bir denklem."

Model sınıflandırması

Modellerin resmi sınıflandırması

Modellerin resmi sınıflandırması, kullanılan matematiksel araçların sınıflandırılmasına dayanmaktadır. Genellikle ikilik şeklinde inşa edilir. Örneğin, popüler ikilemlerden biri:

ve benzeri. Oluşturulan her model doğrusaldır veya doğrusal değildir, deterministik veya stokastiktir... Doğal olarak, karışık türler: bir açıdan konsantre (parametreler açısından), diğer açıdan dağıtılmış modeller vb.

Nesnenin temsil edilme şekline göre sınıflandırma

Biçimsel sınıflandırmanın yanı sıra modeller, bir nesneyi temsil etme biçimleri bakımından da farklılık gösterir:

Yapısal veya işlevsel modeller

Yapısal modeller, bir nesneyi kendi yapısına ve işleyiş mekanizmasına sahip bir sistem olarak temsil eder. İşlevsel modeller bu tür temsilleri kullanmaz ve bir nesnenin yalnızca dışarıdan algılanan davranışını (işlevini) yansıtır. En uç ifadesiyle “kara kutu” modelleri olarak da adlandırılan, bazen “gri kutu” modelleri olarak da adlandırılan kombine model türleri de mümkündür.

İçerik ve biçimsel modeller

Matematiksel modelleme sürecini anlatan hemen hemen tüm yazarlar, öncelikle özel bir ideal yapının oluşturulduğunu belirtmektedir. içerik modeli. Burada yerleşik bir terminoloji yoktur ve diğer yazarlar bu ideal nesneyi adlandırmaktadır. kavramsal model , spekülatif model veya ön model. Bu durumda son matematiksel yapıya denir. resmi model veya basitçe belirli bir anlamlı modelin (ön model) resmileştirilmesi sonucu elde edilen bir matematiksel model. Anlamlı bir modelin inşası, ideal yayların olduğu mekanikte olduğu gibi bir dizi hazır idealleştirme kullanılarak yapılabilir. katılar, ideal sarkaçlar, elastik ortamlar vb. hazır sağlar yapısal elemanlar Anlamlı modelleme için. Bununla birlikte, tamamen tamamlanmış resmileştirilmiş teorilerin bulunmadığı bilgi alanlarında (fizik, biyoloji, ekonomi, sosyoloji, psikoloji ve diğer birçok alanın en son teknolojileri), anlamlı modellerin yaratılması çarpıcı biçimde daha zor hale gelir.

Modellerin içerik sınıflandırması

Bilimde hiçbir hipotez kesin olarak kanıtlanamaz. Richard Feynman bunu çok açık bir şekilde formüle etti:

"Her zaman bir teoriyi çürütme fırsatımız vardır, ancak bunun doğru olduğunu asla kanıtlayamayacağımızı unutmayın. Başarılı bir hipotez ortaya koyduğunuzu, bunun nereye varacağını hesapladığınızı ve tüm sonuçlarının deneysel olarak doğrulandığını bulduğunuzu varsayalım. Bu, teorinizin doğru olduğu anlamına mı geliyor? Hayır, bu sadece onu çürütmeyi başaramadığın anlamına geliyor.”

Birinci türden bir model oluşturulmuşsa, bu onun geçici olarak gerçek olarak kabul edildiği ve kişinin diğer sorunlara odaklanabileceği anlamına gelir. Ancak bu, araştırmada bir nokta olamaz, yalnızca geçici bir duraklama olabilir: birinci türden bir modelin durumu yalnızca geçici olabilir.

Tip 2: Fenomenolojik model (sanki gibi davranıyoruz…)

Fenomenolojik model, bir fenomeni açıklamaya yönelik bir mekanizma içerir. Ancak bu mekanizma yeterince ikna edici değil, mevcut verilerle yeterince doğrulanamıyor veya mevcut teorilere ve nesne hakkında birikmiş bilgilere pek uymuyor. Bu nedenle fenomenolojik modeller geçici çözüm statüsündedir. Cevabın hala bilinmediğine ve "gerçek mekanizmalar" arayışının devam etmesi gerektiğine inanılıyor. Peierls, örneğin ikinci tip olarak temel parçacıkların kalorik modelini ve kuark modelini içerir.

Modelin araştırmadaki rolü zamanla değişebilir ve yeni veriler ve teoriler fenomenolojik modelleri doğrulayabilir ve hipotez statüsüne yükseltilebilir. Aynı şekilde, yeni bilgiler de yavaş yavaş birinci tür hipotezlerle çatışabilir ve ikinci türe tercüme edilebilir. Böylece kuark modeli yavaş yavaş bir hipoteze dönüşüyor; Fizikte atomculuk geçici bir çözüm olarak ortaya çıktı ancak tarihin akışıyla birlikte ilk tür haline geldi. Ancak eter modelleri tip 1'den tip 2'ye doğru yol aldı ve artık bilimin dışında kaldı.

Model oluştururken basitleştirme fikri çok popüler. Ancak basitleştirme farklı şekillerde gelir. Peierls modellemede üç tür basitleştirme tanımlar.

Tip 3: Yaklaşım (bir şeyin çok büyük ya da çok küçük olduğunu düşünürüz)

İncelenen sistemi tanımlayan denklemler oluşturmak mümkünse, bu onların bilgisayar yardımıyla bile çözülebileceği anlamına gelmez. Bu durumda yaygın bir teknik, yaklaşımların kullanılmasıdır (tip 3 modeller). Aralarında doğrusal yanıt modelleri. Denklemlerin yerini doğrusal olanlar alır. Standart örnek- Ohm kanunu.

İşte biyolojik sistemlerin matematiksel modellerinde yaygın olan tip 8 geliyor.

Tip 8: Özellik Gösterimi (asıl önemli olan olasılığın iç tutarlılığını göstermektir)

Bunlar aynı zamanda hayali varlıklarla yapılan düşünce deneyleridir. sözde fenomen ile tutarlı temel ilkeler ve kendi içinde tutarlıdır. Bu, gizli çelişkileri ortaya çıkaran tip 7 modellerinden temel farktır.

Bu deneylerin en ünlülerinden biri Lobaçevski'nin geometrisidir (Lobaçevski buna "hayali geometri" adını vermiştir). Başka bir örnek, kimyasal ve kimyasalların resmi olarak kinetik modellerinin seri üretimidir. biyolojik dalgalanmalar, otomatik dalgalar vb. Einstein-Podolsky-Rosen paradoksu, tutarsızlığı göstermek için tip 7 modeli olarak tasarlandı. kuantum mekaniği. Tamamen planlanmamış bir şekilde, sonunda tip 8 modeline dönüştü; bilginin kuantum ışınlanması olasılığının bir göstergesi.

Örnek

düşünelim mekanik sistem bir ucunda sabitlenmiş bir yay ve bir kütle kütlesinden oluşan M yayın serbest ucuna bağlanır. Yükün yalnızca yay ekseni yönünde hareket edebileceğini (örneğin hareketin çubuk boyunca meydana geldiğini) varsayacağız. Bu sistemin matematiksel modelini oluşturalım. Sistemin durumunu mesafeye göre anlatacağız X Yükün merkezinden denge konumuna kadar. Yay ve yükün etkileşimini kullanarak tanımlayalım. Hooke yasası (F = − kX ) ve ardından bunu diferansiyel denklem biçiminde ifade etmek için Newton'un ikinci yasasını kullanın:

burada ikinci türev anlamına gelir X zamana göre: .

Ortaya çıkan denklem, dikkate alınan modelin matematiksel modelini açıklamaktadır. fiziksel sistem. Bu modele "harmonik osilatör" denir.

Biçimsel sınıflandırmaya göre bu model doğrusal, deterministik, dinamik, konsantre ve süreklidir. Yapım sürecinde, gerçekte yerine getirilmeyebilecek birçok varsayımda bulunduk (dış kuvvetlerin yokluğu, sürtünmenin yokluğu, sapmaların küçüklüğü vb. Hakkında).

Gerçeklikle ilgili olarak bu çoğunlukla tip 4 modelidir basitleştirme("netlik sağlamak için bazı ayrıntıları atlayacağız"), çünkü bazı temel evrensel özellikler (örneğin dağılma) atlanmıştır. Yaklaşık bir yaklaşımla (örneğin, yükün dengeden sapması küçük, düşük sürtünmeli, çok fazla olmayan bir süre için ve diğer bazı koşullara bağlıyken), böyle bir model gerçek bir mekanik sistemi oldukça iyi tanımlar, çünkü atılan faktörler davranışı üzerinde ihmal edilebilir bir etki yaratır. Ancak model bu faktörlerden bazıları dikkate alınarak geliştirilebilir. Bu, daha geniş (ancak yine sınırlı) uygulanabilirlik kapsamına sahip yeni bir modele yol açacaktır.

Ancak modeli geliştirirken karmaşıklığı ortaya çıkar. matematiksel araştırmaönemli ölçüde artabilir ve modeli neredeyse işe yaramaz hale getirebilir. Çoğu zaman daha fazla basit model gerçek bir sistemi daha karmaşık bir sistemden (ve resmi olarak "daha doğru") daha iyi ve daha derinlemesine incelememize olanak tanır.

Modeli uygularsak harmonik osilatör fizikten uzak nesneler için asli durumu farklı olabilir. Örneğin bu modeli uygularken biyolojik popülasyonlar büyük olasılıkla tip 6 olarak sınıflandırılmalıdır benzetme(“Sadece bazı özellikleri dikkate alalım”).

Sert ve yumuşak modeller

Harmonik osilatör “sert” model olarak adlandırılan modelin bir örneğidir. Gerçek bir fiziksel sistemin güçlü bir şekilde idealleştirilmesi sonucu elde edilir. Uygulanabilirlik sorununu çözmek için ihmal ettiğimiz faktörlerin ne kadar önemli olduğunu anlamak gerekir. Başka bir deyişle “sert” olanın küçük bir pertürbasyonuyla elde edilen “yumuşak” modeli incelemek gerekir. Örneğin şu şekilde ayarlanabilir: aşağıdaki denklem:

Burada sürtünme kuvvetini veya yay sertlik katsayısının gerilme derecesine bağımlılığını dikkate alabilen bazı fonksiyonlar vardır - bazı küçük parametreler. Açık fonksiyon formu F biz içeride şu anda ilgilenmiyorum. Yumuşak modelin davranışının, sert olanın davranışından temel olarak farklı olmadığını kanıtlarsak (eğer yeterince küçüklerse, açık rahatsız edici faktörlerden bağımsız olarak), sorun, sert modelin incelenmesine indirgenecektir. Aksi takdirde, katı modelin incelenmesinden elde edilen sonuçların uygulanması, ek araştırma. Örneğin, harmonik bir osilatörün denkleminin çözümü, formun fonksiyonlarıdır, yani sabit genlikli salınımlardır. Bundan, gerçek bir osilatörün sabit bir genlikle süresiz olarak salınacağı sonucu çıkar mı? Hayır, keyfi olarak küçük sürtünmeye sahip bir sistem düşünüldüğünde (her zaman mevcut) gerçek sistem), sönümlü salınımlar elde ederiz. Sistemin davranışı niteliksel olarak değişti.

Eğer bir sistem küçük bozulmalar altında niteliksel davranışını koruyorsa, yapısal olarak kararlı olduğu söylenir. Harmonik bir osilatör, yapısal olarak kararsız (kaba olmayan) bir sistemin bir örneğidir. Ancak bu model, sınırlı sürelerdeki süreçleri incelemek için kullanılabilir.

Modellerin çok yönlülüğü

En önemli matematiksel modeller genellikle önemli özellik çok yönlülük: Temelde farklı gerçek olaylar aynı matematiksel modelle tanımlanabilir. Örneğin, harmonik bir osilatör yalnızca bir yay üzerindeki yükün davranışını değil aynı zamanda diğer salınımlı süreçler, genellikle tamamen farklı bir yapıya sahiptir: sarkacın küçük salınımları, sıvı seviyesindeki dalgalanmalar senşeklinde bir kap veya salınım devresindeki akım gücünde bir değişiklik. Bu nedenle, bir matematiksel model üzerinde çalışırken hemen çalışırız. bütün sınıf açıkladığı fenomenlerdir. Çeşitli bölümlerdeki matematiksel modellerle ifade edilen yasaların bu eşbiçimliliğidir. bilimsel bilgi Ludwig von Bertalanffy'nin "Genel Sistemler Teorisi"ni yaratmasındaki ilham kaynağı.

Matematiksel modellemenin doğrudan ve ters problemleri

Matematiksel modellemeyle ilgili birçok problem vardır. Öncelikle modellenen nesnenin temel bir diyagramını bulmanız, onu bu bilimin idealleştirmeleri çerçevesinde yeniden üretmeniz gerekir. Böylece bir tren vagonu, plakalardan ve daha karmaşık gövdelerden oluşan bir sisteme dönüşür. farklı malzemeler, her malzeme kendi standart mekanik idealizasyonu (yoğunluk, elastik modül, standart mukavemet özellikleri) olarak belirlenir, ardından denklemler derlenir, bu arada bazı ayrıntılar önemsiz olarak atılır, hesaplamalar yapılır, ölçümlerle karşılaştırılır, model geliştirilir, ve benzeri. Ancak matematiksel modelleme teknolojilerinin geliştirilmesi için bu sürecin ana bileşenlerine ayrılmasında fayda vardır.

Geleneksel olarak matematiksel modellerle ilişkili iki ana problem sınıfı vardır: doğrudan ve ters.

Doğrudan görev: Modelin yapısı ve tüm parametreleri bilindiği kabul edilir, ana görev- çıkarmak için model üzerinde bir çalışma yürütmek faydalı bilgi nesne hakkında. Köprü hangi statik yüke dayanacak? Dinamik bir yüke (örneğin bir askerin yürüyüşüne veya bir trenin geçişine) nasıl tepki verecektir? farklı hız), uçak ses bariyerini nasıl aşacak, çarpıntıdan ayrılacak mı - burada tipik örnekler doğrudan görev. Doğru doğrudan sorunu belirlemek (doğru soruyu sormak) özel beceri gerektirir. Belirtilmemişse doğru sorular durumunda, davranışı için iyi bir model oluşturulmuş olsa bile köprü çökebilir. Böylece, 1879'da İngiltere'de Tay Nehri üzerindeki metal bir köprü çöktü; tasarımcıları köprünün bir modelini inşa etti, yükün hareketi için 20 kat güvenlik faktörüne sahip olduğunu hesapladı, ancak rüzgarları sürekli unuttu. o yerlere esiyor. Ve bir buçuk yıl sonra çöktü.

En basit durumda (örneğin bir osilatör denklemi), doğrudan problem çok basittir ve bu denklemin açık bir çözümüne indirgenir.

Ters problem: birçok olası model bilinmektedir, nesneyle ilgili ek verilere dayanarak belirli bir model seçilmelidir. Çoğu zaman modelin yapısı bilinir ve bazılarının belirlenmesi gerekir. bilinmeyen parametreler. Ek Bilgiler ek ampirik verilerden veya nesnenin gereksinimlerinden oluşabilir ( tasarım sorunu). Karar sürecinden bağımsız olarak ek veriler gelebilir ters problem (pasif gözlem) veya çözüm sırasında özel olarak planlanmış bir deneyin sonucu olabilir ( aktif gözetim).

Ters bir problemin mevcut verilerin tam kullanımıyla ustaca çözümünün ilk örneklerinden biri, gözlemlenen sönümlü salınımlardan sürtünme kuvvetlerini yeniden oluşturmak için I. Newton tarafından geliştirilen yöntemdi.

Ek örnekler

Nerede X S- doğum oranının ölüm oranıyla tam olarak dengelendiği “denge” nüfus büyüklüğü. Böyle bir modelde popülasyon büyüklüğü bir denge değerine eğilimlidir X S ve bu davranış yapısal olarak kararlıdır.

Bu sistem tavşan ve tilki sayısının sabit olduğu bir denge durumuna sahiptir. Bu durumdan sapma, harmonik osilatörün dalgalanmalarına benzer şekilde tavşan ve tilki sayısında dalgalanmalara neden olur. Harmonik osilatörde olduğu gibi bu davranış da yapısal olarak kararlı değildir: modeldeki küçük bir değişiklik (örneğin, tavşanların ihtiyaç duyduğu sınırlı kaynaklar dikkate alınarak) davranışta niteliksel bir değişikliğe yol açabilir. Örneğin denge durumu istikrarlı hale gelebilir ve sayılardaki dalgalanmalar ortadan kalkabilir. Bu da mümkün tam tersi durum Denge konumundan en küçük bir sapmanın, türlerden birinin tamamen yok olmasına kadar varan felaket sonuçlarına yol açacağı zaman. Volterra-Lotka modeli bu senaryolardan hangisinin gerçekleştiği sorusuna cevap vermiyor: burada ek araştırmalar yapılması gerekiyor.

Notlar

“Gerçekliğin matematiksel temsili” (Encyclopaedia Britanica)
Novik I.B., HAKKINDA felsefi konular sibernetik modelleme. M., Bilgi, 1964.
Sovetov B.Ya., Yakovlev S.A., Sistemlerin modellenmesi: Proc. üniversiteler için - 3. baskı, revize edildi. ve ek - M.: Daha yüksek. okul, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A.A., Mikhailov A.P. Matematiksel modelleme. Fikirler. Yöntemler. Örnekler. . - 2. baskı, revize edilmiş. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A.D., Matematiksel modeller teorisinin unsurları. - 3. baskı, rev. - M .: KomKniga, 2007. - 192, ISBN 978-5-484-00953-4 ile
Vikisözlük: matematiksel model
KayalıklarlaNotlar
Çok Ölçekli Olaylar için Model İndirgeme ve Kaba Taneli Yaklaşımlar, Springer, Karmaşıklık serisi, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4
“Bir teori, ne tür matematiksel aparatların (doğrusal veya doğrusal olmayan) ve ne tür doğrusal veya doğrusal olmayan matematiksel modellerin kullanıldığına bağlı olarak doğrusal veya doğrusal olmayan olarak kabul edilir. ...ikincisini inkar etmeden. Modern fizikçi Eğer doğrusal olmama gibi önemli bir varlığın tanımını yeniden yaratma şansı olsaydı, büyük olasılıkla farklı davranırdı ve iki karşıtlığın daha önemli ve yaygın olanı olarak doğrusal olmamayı tercih ederek doğrusallığı tanımlardı. "Doğrusal olmama değil." Danilova Yu., Doğrusal olmayan dinamikler üzerine dersler. Temel giriş. Seri “Sinerjetik: geçmişten geleceğe.” Baskı 2. - M .: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
« Dinamik sistemler, simüle edilmiş sonlu sayı sıradan diferansiyel denklemlere toplu veya toplu denir nokta sistemleri. Sonlu boyutlu bir yöntem kullanılarak tanımlanırlar. faz uzayı ve sınırlı sayıda serbestlik derecesi ile karakterize edilirler. Aynı sistem Türkiye'de farklı koşullar Konsantre veya dağılmış olarak kabul edilebilir. Dağıtık sistemlerin matematiksel modelleri diferansiyel denklemler kısmi türevler, integral denklemler veya sıradan denklemler gecikmiş bir tartışmayla. Dağıtık bir sistemin serbestlik derecesinin sayısı sonsuzdur ve bu gereklidir. sonsuz sayı durumunu belirlemek için veriler." Anishchenko V.S., Dinamik sistemler, Soros eğitim dergisi, 1997, Sayı 11, s. 77-84.
“S sisteminde incelenen süreçlerin doğasına bağlı olarak, tüm modelleme türleri deterministik ve stokastik, statik ve dinamik, ayrık, sürekli ve ayrık-sürekli olarak ayrılabilir. Deterministik modelleme, deterministik süreçleri, yani herhangi bir rastgele etkinin bulunmadığının varsayıldığı süreçleri yansıtır; Stokastik modelleme olasılıksal süreçleri ve olayları tasvir eder. ... Statik modelleme, bir nesnenin herhangi bir andaki davranışını tanımlamaya yarar ve dinamik modelleme Bir nesnenin zaman içindeki davranışını yansıtır. Ayrık modelleme sırasıyla ayrık olduğu varsayılan süreçleri tanımlamak için kullanılır, sürekli modelleme sistemlerdeki sürekli süreçleri yansıtmanıza olanak tanır ve hem ayrık hem de ayrıkların varlığını vurgulamak istediğiniz durumlar için ayrık-sürekli modelleme kullanılır. sürekli süreçler.» Sovetov B.Ya., Yakovlev S.A., Sistemlerin modellenmesi: Proc. üniversiteler için - 3. baskı, revize edildi. ve ek - M.: Daha yüksek. okul, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
Tipik olarak bir matematiksel model, modellenen nesnenin yapısını (cihazını), bu nesnenin araştırma amaçları için gerekli olan bileşenlerinin özelliklerini ve ilişkilerini yansıtır; böyle bir modele yapısal denir. Model yalnızca nesnenin nasıl çalıştığını yansıtıyorsa (örneğin, dış etkilere nasıl tepki verdiğini), o zaman buna işlevsel veya mecazi olarak kara kutu denir. Modeller de mümkündür kombine tip. Myshkis A.D., Matematiksel modeller teorisinin unsurları. - 3. baskı, rev. - M .: KomKniga, 2007. - 192, ISBN 978-5-484-00953-4 ile
"Açık ama en önemlisi başlangıç aşaması Matematiksel bir model oluşturmak veya seçmek, modellenen nesne hakkında mümkün olduğunca net bir resim elde etmek ve resmi olmayan tartışmalara dayanarak onun anlamlı modelini geliştirmek anlamına gelir. Bu aşamada zaman ve emek harcamamalısınız; tüm çalışmanın başarısı büyük ölçüde buna bağlıdır. Bir matematik problemini çözmek için harcanan önemli emeklerin etkisiz kaldığı, hatta konunun bu yönüne yeterince dikkat edilmediği için boşa gittiği birçok kez olmuştur.” Myshkis A.D., Matematiksel modeller teorisinin unsurları. - 3. baskı, rev. - M .: KomKniga, 2007. - 192, ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
« Sistemin kavramsal modelinin açıklaması. Bir sistem modeli oluşturmanın bu alt aşamasında: a) kavramsal model M, soyut terimler ve kavramlarla tanımlanır; b) modelin açıklaması standart matematik şemaları kullanılarak verilmiştir; c) hipotezler ve varsayımlar nihai olarak kabul edilir; d) Bir model oluşturulurken gerçek süreçlerin yakınlaştırılmasına yönelik prosedür seçiminin gerekçelendirilmesi. Sovetov B.Ya., Yakovlev S.A., Sistemlerin modellenmesi: Proc. üniversiteler için - 3. baskı, revize edildi. ve ek - M.: Daha yüksek. okul, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.

Matematiksel bir model oluşturmak için ihtiyacınız olan:

gerçek bir nesneyi veya süreci dikkatlice analiz edin;
en önemli özelliklerini ve özelliklerini vurgulamak;
değişkenleri tanımlayın, yani değerleri nesnenin ana özelliklerini ve özelliklerini etkileyen parametreler;
mantıksal-matematiksel ilişkileri (denklemler, eşitlikler, eşitsizlikler, mantıksal-matematiksel yapılar) kullanarak bir nesnenin, sürecin veya sistemin temel özelliklerinin değişkenlerin değerlerine bağımlılığını tanımlamak;
kısıtlamaları, denklemleri, eşitlikleri, eşitsizlikleri, mantıksal ve matematiksel yapıları kullanarak bir nesnenin, sürecin veya sistemin iç bağlantılarını vurgulayın;
Dış bağlantıları tanımlar ve bunları kısıtlamalar, denklemler, eşitlikler, eşitsizlikler, mantıksal ve matematiksel yapılar kullanarak tanımlar.

Matematiksel modelleme, bir nesneyi, süreci veya sistemi incelemenin ve onun matematiksel tanımını hazırlamanın yanı sıra şunları da içerir:

bir nesnenin, sürecin veya sistemin davranışını modelleyen bir algoritma oluşturmak;
hesaplamalı ve tam ölçekli deneylere dayalı olarak modelin ve nesnenin, sürecin veya sistemin yeterliliğinin kontrol edilmesi;
model ayarı;
modeli kullanıyor.

İncelenen süreç ve sistemlerin matematiksel açıklaması aşağıdakilere bağlıdır:

gerçek bir sürecin veya sistemin doğası ve fizik, kimya, mekanik, termodinamik, hidrodinamik, elektrik mühendisliği, plastisite teorisi, esneklik teorisi vb. kanunlara dayanarak derlenmiştir.
gerçek süreç ve sistemlerin incelenmesi ve araştırılmasının gerekli güvenilirliği ve doğruluğu.

Matematiksel bir modelin oluşturulması genellikle söz konusu nesnenin, sürecin veya sistemin en basit, en kaba matematiksel modelinin oluşturulması ve analizi ile başlar. Gelecekte gerekirse model geliştirilir ve nesneyle uyumu daha eksiksiz hale getirilir.

Basit bir örnek alalım. Masanın yüzey alanının belirlenmesi gerekmektedir. Tipik olarak bu, uzunluğunun ve genişliğinin ölçülmesi ve ardından elde edilen sayıların çarpılmasıyla yapılır. Bu temel prosedür aslında şu anlama gelir: gerçek bir nesnenin (masa yüzeyinin) yerini soyut bir matematiksel model (bir dikdörtgen) alır. Masa yüzeyinin uzunluğu ve genişliği ölçülerek elde edilen boyutlar dikdörtgene atanır ve böyle bir dikdörtgenin alanı yaklaşık olarak masanın gerekli alanı olarak alınır. Ancak dikdörtgen masa modeli en basit, en kaba modeldir. Soruna daha ciddi bir yaklaşımla yaklaşırsanız, tablonun alanını belirlemek için dikdörtgen modelini kullanmadan önce bu modelin kontrol edilmesi gerekir. Kontroller şu şekilde yapılabilir: uzunlukları ölçün zıt taraflar Tablonun yanı sıra köşegen uzunluklarını da karşılaştırın ve bunları birbirleriyle karşılaştırın. Karşılıklı kenarların uzunlukları ve köşegenlerin uzunlukları gerekli doğruluk derecesi ile çiftler halinde eşitse, o zaman masanın yüzeyi gerçekten bir dikdörtgen olarak düşünülebilir. Aksi halde dikdörtgen modelin reddedilip yerine dörtgen model getirilmesi gerekecektir. genel görünüm. Daha fazlası ile yüksek talepler Doğruluğu artırmak için, örneğin tablonun köşelerinin yuvarlatılmasını hesaba katarak modeli daha da geliştirmek gerekebilir.

Bununla basit örnek matematiksel modelin yalnızca nesne, süreç veya süreç tarafından belirlenmediği gösterilmiştir. sistem.

VEYA (yarın açıklanacak)

Matematik çözme yolları. Modeller:

1, Doğa kanunlarına dayalı bir modelin inşası (analitik yöntem)

2. İstatistiksel yöntemlerin kullanıldığı biçimsel yol. İşleme ve ölçüm sonuçları (istatistiksel yaklaşım)

3. Bir eleman modeline dayalı bir modelin oluşturulması (karmaşık sistemler)

1, Analitik - yeterli çalışmayla kullanın. Genel desenİzv. Modeller.

2. deney. Bilgi yokluğunda.

3. Taklit m - nesnenin özelliklerini araştırır. Genel olarak.

Matematiksel bir model oluşturmaya bir örnek.

Matematiksel model- Bu matematiksel gösterim gerçeklik.

Matematiksel modelleme matematiksel modellerin oluşturulması ve çalışılması sürecidir.

Matematiksel aygıtları kullanan tüm doğa bilimleri ve sosyal bilimler, esasen matematiksel modellemeyle ilgilenir: bir nesneyi matematiksel modeliyle değiştirirler ve sonra ikincisini incelerler. Matematiksel model ile gerçeklik arasındaki bağlantı, bir hipotezler, idealleştirmeler ve basitleştirmeler zinciri kullanılarak gerçekleştirilir. Matematiksel yöntemler kullanılarak, kural olarak, anlamlı modelleme aşamasında oluşturulan ideal bir nesne tanımlanır.

Modellere neden ihtiyaç duyulur?

Çoğu zaman, herhangi bir nesneyi incelerken zorluklar ortaya çıkar. Orijinalin kendisi bazen mevcut olmayabilir, kullanılması tavsiye edilmez veya orijinalin ilgisini çekmek pahalı olabilir. Bütün bu problemler simülasyon kullanılarak çözülebilir. Bir anlamda model, incelenen nesnenin yerini alabilir.

Modellerin en basit örnekleri

§ Fotoğrafa bir kişinin modeli denilebilir. Bir kişiyi tanımak için fotoğrafını görmek yeterlidir.

§ Mimar yeni bir yerleşim alanının modelini yarattı. Eliyle hareket edebiliyor yüksek katlı bina bir kısımdan diğerine. Gerçekte bu mümkün olmazdı.

Model türleri

Modeller ayrılabilir malzeme" Ve mükemmel. Yukarıdaki örnekler maddi modellerdir. İdeal modeller genellikle ikonik şekillere sahiptir. Gerçek Kavramlar yerini kağıt üzerine, bilgisayar hafızasına vb. kolaylıkla kaydedilebilen bazı işaretler almıştır.

Matematiksel modelleme

Matematiksel modelleme sembolik modelleme sınıfına aittir. Bu durumda modeller herhangi birinden oluşturulabilir. matematiksel nesneler: sayılar, fonksiyonlar, denklemler vb.

Matematiksel bir model oluşturmak

§ Matematiksel bir model oluşturmanın birkaç aşamasına dikkat edilebilir:

1. Problemi anlamak, bizim için en önemli nitelikleri, özellikleri, nicelikleri ve parametreleri belirlemek.

2. Gösterimin tanıtımı.

3. Girilen değerlerin karşılaması gereken bir kısıtlama sistemi oluşturmak.

4. İstenilen optimal çözümün sağlaması gereken koşulların formüle edilmesi ve kaydedilmesi.

Modelleme süreci modelin oluşturulmasıyla bitmez, ancak onunla başlar. Bir model derledikten sonra cevabı bulmak ve sorunu çözmek için bir yöntem seçerler. Cevap bulunduktan sonra gerçeklikle karşılaştırılır. Ve cevabın tatmin edici olmaması mümkündür, bu durumda model değiştirilir, hatta tamamen farklı bir model seçilir.

Matematiksel model örneği

Görev

İki mobilya fabrikasını bünyesinde barındıran üretim birliğinin makine parkurunu güncellemesi gerekiyor. Dahası, ilk mobilya fabrikasının üç makineyi, ikincisini ise yedi makineyi değiştirmesi gerekiyor. Siparişler iki takım tezgahı fabrikasına verilebilir. İlk tesis en fazla 6 makine üretebiliyor, ikinci tesis ise en az üç makine varsa siparişi kabul edecek. Siparişlerin nasıl verileceğini belirlemeniz gerekir.

Ders 1.

MODELLEMENİN METODOLOJİK TEMELLERİ

Sistem modelleme probleminin mevcut durumu

Modelleme ve Simülasyon Kavramları

Modelleme incelenmekte olan nesnenin (orijinal), geleneksel görüntüsü, açıklaması veya adı verilen başka bir nesneyle değiştirilmesi olarak düşünülebilir. modeli belirli varsayımlar ve kabul edilebilir hatalar çerçevesinde orijinale yakın davranışın sağlanmasıdır. Modelleme genellikle nesnenin kendisini değil, modelini inceleyerek orijinalin özelliklerini anlamak amacıyla gerçekleştirilir. Tabii ki, modelleme şu durumlarda haklıdır: yaratılması daha kolay orijinalin kendisi veya herhangi bir nedenle ikincisini hiç yaratmamak daha iyi olduğunda.

Altında modeliözellikleri bir anlamda incelenen nesnenin özelliklerine benzeyen fiziksel veya soyut bir nesne olarak anlaşılır. Bu durumda modelin gereksinimleri, çözülen soruna ve mevcut araçlara göre belirlenir. Modeller için bir takım genel gereksinimler vardır:

2) eksiksizlik – alıcıya gerekli tüm bilgilerin sağlanması

nesne hakkında;

3) esneklik - her şeyde farklı durumları yeniden üretme yeteneği

koşullar ve parametrelerdeki değişiklik aralığı;

4) geliştirmenin karmaşıklığı mevcut durum için kabul edilebilir olmalıdır

Zaman ve yazılım.

Modelleme bir nesnenin modelini oluşturma ve modeli inceleyerek özelliklerini inceleme sürecidir.

Dolayısıyla modelleme 2 ana aşamadan oluşur:

1) bir modelin geliştirilmesi;

2) modelin incelenmesi ve sonuçların çıkarılması.

Aynı zamanda her aşamada karar verilir. farklı görevler ve kullanılıyor

temelde farklı yöntem ve araçlar.

Pratikte kullanıyorlar çeşitli yöntemler modelleme. Uygulama yöntemine bağlı olarak tüm modeller iki büyük sınıfa ayrılabilir: fiziksel ve matematiksel.

Matematiksel modelleme Genellikle süreçleri veya olayları matematiksel modellerini kullanarak incelemenin bir yolu olarak kabul edilir.

Altında fiziksel modelleme incelenen süreç korunarak yeniden üretildiğinde, nesnelerin ve olayların fiziksel modeller üzerinde incelenmesini ifade eder. fiziksel doğa veya üzerinde çalışılana benzer başka bir fiziksel fenomeni kullanın. Aynı zamanda fiziksel modeller Kural olarak, orijinalin belirli bir durumda önemli olan fiziksel özelliklerinin gerçek bir düzenlemesini üstlenirler, örneğin, yeni bir uçak tasarlarken aynı aerodinamik özelliklere sahip bir model oluşturulur; Mimarlar bir gelişmeyi planlarken, unsurlarının mekansal düzenlemesini yansıtan bir model oluştururlar. Bu bakımdan fiziksel modellemeye de denir. prototip oluşturma.

Yarı ömür modelleme Gerçek ekipmanın modele dahil edildiği modelleme kompleksleri üzerinde kontrol edilebilir sistemlerin incelenmesidir. Kapalı model, gerçek ekipmanın yanı sıra, etki ve girişim simülatörlerini, dış ortamın matematiksel modellerini ve yeterince doğru bir matematiksel tanımın bilinmediği süreçleri içerir. Karmaşık süreçlerin modellenmesi devresine gerçek ekipmanların veya gerçek sistemlerin dahil edilmesi, önceden belirsizliğin azaltılmasını ve kesin matematiksel tanımı olmayan süreçlerin keşfedilmesini mümkün kılar. Yarı doğal modelleme kullanılarak araştırma, gerçek ekipmanın doğasında bulunan küçük zaman sabitleri ve doğrusallıklar dikkate alınarak gerçekleştirilir. Gerçek ekipmanı kullanarak modelleri incelerken konsept kullanılır dinamik simülasyon, karmaşık sistemleri ve olayları incelerken - evrimsel, taklit Ve sibernetik modelleme.

Açıkçası, modellemenin gerçek faydası ancak iki koşulun karşılanması durumunda elde edilebilir:

1) model, özelliklerin doğru (yeterli) gösterimini sağlar

orijinal, incelenen operasyon açısından önemli;

2) model, yukarıda listelenen doğal sorunları ortadan kaldırmanıza olanak tanır

Gerçek nesneler üzerinde araştırma yapmak.

2. Matematiksel modellemenin temel kavramları

Matematiksel yöntemleri kullanarak pratik problemlerin çözülmesi, problemin formüle edilmesi (matematiksel bir modelin geliştirilmesi), ortaya çıkan matematiksel modelin incelenmesi için bir yöntemin seçilmesi ve elde edilen matematiksel sonucun analiz edilmesi yoluyla tutarlı bir şekilde gerçekleştirilir. Problemin matematiksel formülasyonu genellikle geometrik görüntüler, fonksiyonlar, denklem sistemleri vb. şeklinde sunulur. Bir nesnenin (fenomenin) tanımı, sürekli veya ayrık, deterministik veya stokastik ve diğer matematiksel formlar kullanılarak temsil edilebilir.

Matematiksel modelleme teorisi Tam ölçekli testler yapmadan, matematiksel tanımlama ve modelleme yoluyla, çevredeki dünyadaki çeşitli olayların oluşum kalıplarının veya sistem ve cihazların işleyişinin tanımlanmasını sağlar. Bu durumda, simüle edilmiş olguları, sistemleri veya cihazları idealleştirmelerinin bir düzeyinde tanımlayan matematik hükümleri ve yasalarından yararlanılır.

Matematiksel model (MM) bir sistemin (veya işlemin) soyut bir dilde, örneğin bir dizi matematiksel ilişki veya bir algoritma diyagramı biçiminde resmileştirilmiş bir açıklamasıdır; yani sistemlerin veya cihazların tam ölçekli testleri sırasında elde edilen gerçek davranışlarına yeterince yakın bir seviyede sistem veya cihazların çalışmasının simülasyonunu sağlayan böyle bir matematiksel açıklama.

Herhangi bir MM, gerçekliğe bir dereceye kadar yakın olan gerçek bir nesneyi, olguyu veya süreci tanımlar. MM'nin türü hem gerçek nesnenin doğasına hem de çalışmanın hedeflerine bağlıdır.

Matematiksel modelleme sosyal, ekonomik, biyolojik ve fiziksel olgular, nesneler, sistemler ve çeşitli cihazlar doğayı anlamanın ve çok çeşitli sistem ve cihazları tasarlamanın en önemli araçlarından biridir. Nükleer teknolojilerin, havacılık ve uzay sistemlerinin oluşturulmasında, atmosferik ve okyanus olaylarının, hava durumunun vb. tahmin edilmesinde modellemenin etkili kullanımına ilişkin bilinen örnekler vardır.

Bununla birlikte, modellemenin bu kadar ciddi alanları genellikle süper bilgisayarları ve modelleme ve hata ayıklama için veri hazırlamak amacıyla büyük bilim adamlarından oluşan ekiplerin yıllarca çalışmasını gerektirir. Bununla birlikte, bu durumda, karmaşık sistemlerin ve cihazların matematiksel modellemesi, yalnızca araştırma ve testlerden tasarruf etmekle kalmaz, aynı zamanda çevresel felaketleri de ortadan kaldırabilir - örneğin, nükleer ve nükleer silahlardan vazgeçmenize olanak tanır. termonükleer silahlar Havacılık ve uzay sistemlerinin gerçek uçuşlarından önce matematiksel modellenmesi veya test edilmesi lehine. Bu arada, örneğin mekanik, elektrik mühendisliği, elektronik, radyo mühendisliği ve diğer birçok bilim alanından daha basit problemleri çözme düzeyinde matematiksel modelleme. ve teknoloji artık modern bilgisayarlarda gerçekleştirilebilecek hale geldi. Genelleştirilmiş modeller kullanıldığında, telekomünikasyon sistemleri ve ağları, radar veya radyo navigasyon sistemleri gibi oldukça karmaşık sistemleri simüle etmek mümkün hale gelir.

Matematiksel modellemenin amacı gerçek süreçlerin (doğada veya teknolojide) matematiksel yöntemler kullanılarak analizidir. Bu da MM sürecinin resmileştirilmesini gerektirir. Model, davranışları gerçek bir sistemin davranışına benzeyen değişkenleri içeren matematiksel bir ifade olabilir. Model, olası olasılıkları hesaba katan rastgelelik öğeleri içerebilir. iki veya daha fazla kişinin eylemi Daha oyun teorisinde olduğu gibi "oyuncular"; veya işletim sisteminin birbirine bağlı parçalarının gerçek değişkenlerini temsil edebilir.

Sistemlerin özelliklerini incelemek için matematiksel modelleme analitik, simülasyon ve birleştirilmiş olarak ayrılabilir. Buna karşılık, MM'ler simülasyon ve analitik olarak ikiye ayrılır.

Analitik Modelleme

İçin analitik modelleme Sistemin işleyiş süreçlerinin belirli işlevsel ilişkiler (cebirsel, diferansiyel, integral denklemler) biçiminde yazılması karakteristiktir. Analitik model aşağıdaki yöntemler kullanılarak incelenebilir:

1) analitik, genel bir biçimde sistemlerin özelliklerine yönelik açık bağımlılıklar elde etmeye çalıştıklarında;

2) sayısal, denklemlere genel biçimde bir çözüm bulmak mümkün olmadığında ve belirli başlangıç verileri için çözüldüklerinde;

3) niteliksel, bir çözümün yokluğunda bazı özellikleri bulunduğunda.

Analitik modeller yalnızca nispeten basit sistemler için elde edilebilir. Karmaşık sistemlerde sıklıkla büyük matematik problemleri ortaya çıkar. Analitik yöntemi uygulamak için orijinal modelin önemli ölçüde basitleştirilmesine giderler. Ancak basitleştirilmiş bir model kullanan araştırmalar yalnızca gösterge niteliğinde sonuçların elde edilmesine yardımcı olur. Analitik modeller, girdi ve çıktı değişkenleri ve parametreler arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak doğru şekilde yansıtır. Ancak yapıları nesnenin iç yapısını yansıtmaz.

Analitik modelleme sırasında sonuçları analitik ifadeler şeklinde sunulur. Örneğin bağlanarak R.C.- kaynağa giden devre DC gerilimi e(R, C Ve e- bu modelin bileşenleri) oluşturabiliriz analitik ifade voltajın zamana bağımlılığı için sen(T) kapasitör üzerinde C:

Bu doğrusal diferansiyel denklem (DE), bu basit doğrusal devrenin analitik modelidir. Başlangıç koşulu altında analitik çözümü sen(0) = 0, boşalmış bir kapasitör anlamına gelir C modellemenin başlangıcında, istediğiniz bağımlılığı bir formül biçiminde bulmanızı sağlar:

sen(T) = e(1− eskiP(- T/RC)). (2)

Ancak bu en basit örnekte bile DE(1)’i çözmek veya uygulamak için belirli çabalar gerekmektedir. bilgisayar matematik sistemleri(SCM) sembolik hesaplamalarla – bilgisayar cebir sistemleri. Tamamen önemsiz olan bu durum için doğrusal modelleme problemini çözmek R.C.-devre oldukça genel bir formun analitik ifadesini (2) verir - herhangi bir bileşen derecelendirmesi için devrenin çalışmasını açıklamak için uygundur R, C Ve e ve kapasitörün üstel yükünü açıklar C bir direnç aracılığıyla R sabit bir voltaj kaynağından e.

Bulmak elbette analitik çözümler Analitik modellemede, basit doğrusal devrelerin, sistemlerin ve cihazların genel teorik kalıplarını tanımlamak için son derece değerli olduğu ortaya çıkıyor. Bununla birlikte, model üzerindeki etkiler daha karmaşık hale geldikçe ve açıklayan durum denklemlerinin sırası ve sayısı arttıkça karmaşıklığı keskin bir şekilde artar. modellenen nesne artar. İkinci veya üçüncü dereceden nesneleri modellerken az çok görünür sonuçlar elde edebilirsiniz, ancak zaten daha fazla sipariş analitik ifadeler aşırı hantal, karmaşık ve anlaşılması zor hale gelir. Örneğin, basit bir elektronik amplifikatör bile çoğu zaman düzinelerce bileşen içerir. Bununla birlikte, birçok modern SCM, örneğin sembolik matematik sistemleri Akçaağaç, Mathematica veya çevre MATLABçözümü büyük ölçüde otomatikleştirme kapasitesine sahiptir karmaşık görevler analitik modelleme.

Modellemenin bir türü sayısal modelleme, Euler veya Runge-Kutta yöntemleri gibi uygun herhangi bir sayısal yöntemle sistem veya cihazların davranışı hakkında gerekli niceliksel verilerin elde edilmesini içerir. Uygulamada, doğrusal olmayan sistemlerin ve cihazların sayısal yöntemler kullanılarak modellenmesinin, bireysel özel doğrusal devrelerin, sistemlerin veya cihazların analitik modellemesinden çok daha etkili olduğu ortaya çıkmaktadır. Örneğin, daha karmaşık durumlarda DE (1) veya DE sistemlerini çözmek için analitik biçimde bir çözüm elde edilemez, ancak sayısal simülasyon verilerini kullanarak simüle edilen sistem ve cihazların davranışları hakkında da oldukça eksiksiz veriler elde edebilirsiniz. Bu davranışı açıklayan bağımlılıkların yapı grafikleri olarak.

Simülasyon modelleme

Şu tarihte: taklit 10ve modellemede, modeli uygulayan algoritma, sistemin zaman içindeki işleyişi sürecini yeniden üretir. Süreci oluşturan temel olaylar, mantıksal yapıları ve zaman içindeki olay dizileri korunarak simüle edilir.

Simülasyon modellerinin analitik modellere göre temel avantajı, daha karmaşık problemleri çözebilme yeteneğidir.

Simülasyon modelleri, ayrık veya sürekli elemanların, doğrusal olmayan özelliklerin, rastgele etkilerin vb. varlığının dikkate alınmasını kolaylaştırır. Bu nedenle, bu yöntem, karmaşık sistemlerin tasarım aşamasında yaygın olarak kullanılmaktadır. Simülasyon modellemeyi uygulamanın ana yolu, sistemlerin ve sinyallerin dijital modellenmesine olanak tanıyan bir bilgisayardır.

Bu bağlamda “” ifadesini tanımlayalım. bilgisayar modelleme”Literatürde giderek daha fazla kullanılmaktadır. Diyelim ki bilgisayar modelleme bilgisayar teknolojisini kullanan matematiksel modellemedir. Buna göre, bilgisayar modelleme teknolojisi aşağıdaki eylemlerin gerçekleştirilmesini içerir:

1) modellemenin amacının belirlenmesi;

2) kavramsal bir modelin geliştirilmesi;

3) modelin resmileştirilmesi;

4) modelin yazılım uygulaması;

5) model deneylerinin planlanması;

6) deney planının uygulanması;

7) simülasyon sonuçlarının analizi ve yorumlanması.

Şu tarihte: simülasyon modelleme Kullanılan MM, sistem parametrelerinin ve dış ortamın çeşitli değer kombinasyonları için zaman içinde incelenmekte olan sistemin işleyişinin algoritmasını (“mantığını”) yeniden üretir.

En basit analitik modelin bir örneği doğrusal düzgün hareket denklemidir. Bir simülasyon modeli kullanarak böyle bir süreci incelerken, zaman içinde katedilen yoldaki değişikliklerin gözlemlenmesi uygulanmalıdır. Açıkçası, bazı durumlarda analitik modelleme daha çok tercih edilir, diğerlerinde ise simülasyon (veya her ikisinin bir kombinasyonu) tercih edilir. Başarılı bir seçim yapmak için iki soruyu yanıtlamanız gerekir.

Modellemenin amacı nedir?

Modellenen olgu hangi sınıfa sınıflandırılabilir?

Bu soruların her ikisinin de yanıtları modellemenin ilk iki aşamasında elde edilebilir.

Simülasyon modelleri yalnızca özellikler açısından değil aynı zamanda yapı açısından da modellenen nesneye karşılık gelir. Bu durumda model üzerinde elde edilen süreçler ile nesnede meydana gelen süreçler arasında açık ve net bir uyum vardır. Simülasyonun dezavantajı, iyi bir doğruluk elde etmek için problemi çözmenin uzun zaman almasıdır.

Stokastik bir sistemin işleyişinin simülasyon modellemesinin sonuçları uygulamalardır. rastgele değişkenler veya süreçler. Bu nedenle sistemin özelliklerini bulmak için çoklu tekrarlar ve ardından gelen veri işlemleri gereklidir. Çoğu zaman bu durumda bir tür simülasyon kullanılır - istatistiksel

modelleme(veya Monte Carlo yöntemi), yani. Rastgele faktörlerin, olayların, niceliklerin, süreçlerin, alanların modellerde çoğaltılması.

İstatistiksel modellemenin sonuçlarına dayanarak, yönetilen sistemin işleyişini ve verimliliğini karakterize eden genel ve özel olasılıksal kalite kriterlerinin tahminleri belirlenir. İstatistiksel modelleme, bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarındaki bilimsel ve uygulamalı problemleri çözmek için yaygın olarak kullanılmaktadır. İstatistiksel modelleme yöntemleri, karmaşık dinamik sistemlerin incelenmesinde, bunların işleyişini ve verimliliğini değerlendirmek için yaygın olarak kullanılmaktadır.

İstatistiksel modellemenin son aşaması, elde edilen sonuçların matematiksel olarak işlenmesine dayanmaktadır. Burada matematiksel istatistik yöntemleri kullanılır (parametrik ve parametrik olmayan tahmin, hipotez testi). Parametrik tahmincinin bir örneği, bir performans ölçüsünün örnek ortalamasıdır. Parametrik olmayan yöntemler arasında yaygın olarak histogram yöntemi.

Dikkate alınan şema, sistemin tekrarlanan istatistiksel testlerine ve bağımsız rastgele değişkenlerin istatistik yöntemlerine dayanmaktadır. Bu şema pratikte her zaman doğal değildir ve maliyetler açısından optimal değildir. Daha doğru değerlendirme yöntemlerinin kullanılmasıyla sistem test süresinin azaltılması sağlanabilir. Matematiksel istatistiklerden bilindiği gibi, belirli bir örneklem büyüklüğü için örnekler en yüksek doğruluğa sahiptir. etkili değerlendirmeler. Optimum filtreleme ve maksimum olabilirlik yöntemi şunları sağlar: genel yöntem Bu tür tahminlerin elde edilmesi İstatistiksel modelleme problemlerinde, rastgele süreçlerin işlem uygulamaları yalnızca çıktı süreçlerinin analizi için gerekli değildir.

Girdi rastgele etkilerinin özelliklerinin kontrolü de çok önemlidir. Kontrol, oluşturulan süreçlerin dağılımlarının verilen dağılımlara uygunluğunun kontrol edilmesinden oluşur. Bu sorun genellikle şu şekilde formüle edilir: hipotez testi problemi.

Karmaşık kontrollü sistemlerin bilgisayarla modellenmesindeki genel eğilim, modelleme süresini kısaltmanın yanı sıra gerçek zamanlı araştırma yapma isteğidir. Hesaplamalı algoritmaları tekrarlayan bir biçimde temsil etmek, bunların güncel bilgilerin alındığı oranda uygulanmasına izin vermek uygundur.

MODELLEMEDE SİSTEM YAKLAŞIMI İLKELERİ

Sistem teorisinin temel ilkeleri

Sistem teorisinin temel ilkeleri, dinamik sistemlerin ve bunların işlevsel unsurlarının incelenmesi sırasında ortaya çıktı. Sistem, önceden belirlenmiş bir görevi gerçekleştirmek için birlikte hareket eden, birbirine bağlı öğeler grubu olarak anlaşılmaktadır. Sistem analizi en çok belirlemenizi sağlar gerçek yollar Verilen görevin yerine getirilmesi, belirtilen gerekliliklerin maksimum düzeyde karşılanmasının sağlanması.

Sistem teorisinin temelini oluşturan unsurlar hipotezlerle oluşturulmaz, deneysel olarak keşfedilir. Bir sistem kurmaya başlamak için teknolojik süreçlerin genel özelliklerine sahip olmak gerekir. Aynı şey, bir sürecin veya teorik tanımının karşılaması gereken matematiksel olarak formüle edilmiş kriterlerin oluşturulmasına ilişkin ilkeler açısından da geçerlidir. Modelleme bilimsel araştırma ve deneylerin en önemli yöntemlerinden biridir.

Nesnelerin modellerini oluştururken, nesneyi belirli bir ortamda çalışan bir sistem olarak düşünmeye dayanan, karmaşık sorunları çözmeye yönelik bir metodoloji olan sistem yaklaşımı kullanılır. Sistematik bir yaklaşım, bir nesnenin bütünlüğünü ortaya çıkarmayı, iç yapısını ve dış çevreyle olan bağlantılarını tanımlamayı ve incelemeyi içerir. Bu durumda nesne, bir model oluşturma sorunuyla bağlantılı olarak izole edilen ve incelenen gerçek dünyanın bir parçası olarak sunulur. Buna ek olarak, sistem yaklaşımı, tasarım hedefinin dikkate alındığı ve nesnenin çevreyle ilişkili olarak ele alındığı genelden özele tutarlı bir geçişi içerir.

Karmaşık bir nesne, nesnenin aşağıdaki gereksinimleri karşılayan parçaları olan alt sistemlere bölünebilir:

1) bir alt sistem, bir nesnenin işlevsel olarak bağımsız bir parçasıdır. Diğer alt sistemlerle bağlantılıdır, onlarla bilgi ve enerji alışverişinde bulunur;

2) her alt sistem için tüm sistemin özellikleriyle örtüşmeyen işlevler veya özellikler tanımlanabilir;

3) alt sistemlerin her biri, eleman seviyesine göre daha fazla bölünmeye tabi tutulabilir.

Bu durumda, bir öğe, çözülen problem açısından daha fazla bölünmesi pratik olmayan daha düşük seviyeli bir alt sistem olarak anlaşılır.

Dolayısıyla bir sistem, bir nesnenin yaratılması, araştırılması veya iyileştirilmesi amacıyla bir dizi alt sistem, öğe ve bağlantı biçimindeki temsili olarak tanımlanabilir. Bu durumda sistemin ana alt sistemlerini ve aralarındaki bağlantıları içeren büyütülmüş temsiline makroyapı, sistemin iç yapısının öğeler düzeyine kadar ayrıntılı bir şekilde açıklanmasına ise mikro yapı adı verilmektedir.

Sistemle birlikte genellikle bir üst sistem vardır; söz konusu nesneyi içeren daha yüksek düzeyde bir sistem ve herhangi bir sistemin işlevi yalnızca üst sistem aracılığıyla belirlenebilir.

Çevre kavramını, sistemin verimliliğini önemli ölçüde etkileyen, ancak sistemin ve onun üst sisteminin bir parçası olmayan, dış dünyanın bir dizi nesnesi olarak vurgulamak gerekir.

Bina modellerinde sistem yaklaşımıyla bağlantılı olarak sistemin çevresi (çevre) ile ilişkisini anlatan altyapı kavramı kullanılmaktadır. Bu durumda çerçeve içerisinde önemli olan nesne özelliklerinin belirlenmesi, tanımlanması ve incelenmesidir. özel görev buna bir nesnenin katmanlaşması denir ve bir nesnenin her modeli onun katmanlı açıklamasıdır.

Sistem yaklaşımı için sistemin yapısının belirlenmesi önemlidir. sistemin elemanları arasındaki etkileşimi yansıtan bir dizi bağlantı. Bunu yapmak için öncelikle modellemeye yönelik yapısal ve işlevsel yaklaşımları ele alıyoruz.

Yapısal yaklaşımla sistemin seçilen elemanlarının kompozisyonu ve aralarındaki bağlantılar ortaya çıkarılır. Öğeler ve bağlantılar kümesi, sistemin yapısını yargılamamıza olanak tanır. Bir yapının en genel tanımı topolojik tanımlamadır. Grafikleri kullanarak sistemin bileşenlerini ve bağlantılarını belirlemenizi sağlar. Bireysel işlevler, yani sistemin davranışına yönelik algoritmalar dikkate alındığında, işlevsel açıklama daha az geneldir. Bu durumda sistemin gerçekleştirdiği fonksiyonları tanımlayan fonksiyonel bir yaklaşım uygulanır.

Sistem yaklaşımına dayalı olarak, iki ana tasarım aşaması ayırt edildiğinde bir dizi model geliştirme önerilebilir: makro tasarım ve mikro tasarım.

Makro tasarım aşamasında, dış çevrenin bir modeli oluşturulur, kaynaklar ve sınırlamalar belirlenir, yeterliliğin değerlendirilmesi için bir sistem modeli ve kriterler seçilir.

Mikro tasarım aşaması büyük ölçüde seçilen modelin türüne bağlıdır. Genel olarak bilgi, matematik, teknik ve yazılım modelleme sistemlerinin oluşturulmasını içerir. Bu aşamada oluşturulan modelin temel teknik özellikleri belirlenir, onunla çalışmak için gereken süre ve modelin belirtilen kalitesini elde etmek için kaynak maliyeti tahmin edilir.

Modelin türüne bakılmaksızın, onu inşa ederken, sistematik bir yaklaşımın bir takım ilkelerine rehberlik etmek gerekir:

1) model oluşturma aşamalarında tutarlı ilerleme;

2) bilgi, kaynak, güvenilirlik ve diğer özelliklerin koordinasyonu;

3) model yapısının farklı seviyeleri arasındaki doğru ilişki;

4) model tasarımının bireysel aşamalarının bütünlüğü.

Matematiksel model bir nesnenin veya olgunun temel özelliklerini yansıtan formüller, denklemler, eşitsizlikler vb. gibi matematiksel ilişkiler sistemidir.

Her doğal olay karmaşıklığı bakımından sonsuzdur. Bunu V.N.'nin kitabından alınan bir örnekle açıklayalım. Trostnikov "İnsan ve Bilgi" (Yayınevi "Nauka", 1970).

Ortalama bir kişi matematik problemini şu şekilde formüle eder: “200 metre yükseklikten bir taşın düşmesi ne kadar sürer?” Matematikçi problemin kendi versiyonunu şöyle yaratmaya başlayacaktır: "Taşın boşluğa düştüğünü ve yerçekimi ivmesinin saniyede 9,8 metre/saniye olduğunu varsayalım. O zaman..."

- Bana izin ver- “müşteri” şunu söyleyebilir: - Bu basitleştirmeden memnun değilim. Bir taşın var olmayan bir boşluğa değil, gerçek koşullarda düşmesinin tam olarak ne kadar süreceğini bilmek istiyorum.

- İyi,- matematikçi aynı fikirde olacaktır. - Taşın küresel bir şekle ve çapa sahip olduğunu varsayalım... Yaklaşık olarak çapı ne kadardır?

- Yaklaşık beş santimetre. Ama hiç küresel değil, dikdörtgen.

- O zaman onun olduğunu varsayacağız.elipsoid şeklindedir dört, üç ve üç santimetrelik aks milleriyle veyarı ana eksen her zaman dikey kalacak şekilde düşer . Hava basıncını eşit kabul edelim.760 mmHg buradan hava yoğunluğunu buluyoruz...

Sorunu "insan" dilinde ortaya koyan kişi, matematikçinin düşünce akışına daha fazla müdahale etmezse, o zaman matematikçi bir süre sonra sayısal bir cevap verecektir. Ancak "tüketici" yine de itiraz edebilir: Taş aslında hiç elipsoid değildir, o yerdeki ve o anda hava basıncı 760 mm Hg'ye eşit değildi, vb.

Matematikçi ona ne cevap verecek? Buna cevap verecek kesin çözüm gerçek sorun kesinlikle imkansız taş şekli hava direncini etkileyen, tarif etmek imkansız matematiksel denklem; uçuş sırasındaki dönüşü de matematiğin kontrolü dışındadır karmaşıklığı nedeniyle. Sonraki, hava homojen değil,çünkü rastgele faktörlerin etkisi sonucunda yoğunluk dalgalanmalarında dalgalanmalar ortaya çıkar. Daha da derine inersek şunu da düşünmemiz gerekir. Evrensel çekim kanununa göre her cisim diğer cisimlere etki eder. Bundan şu sonuç çıkıyor ki bir sarkacın bile duvar saati Hareketiyle taşın yörüngesini değiştirir.

Kısacası, herhangi bir nesnenin davranışını ciddi olarak doğru bir şekilde incelemek istiyorsak, öncelikle Evrendeki diğer tüm nesnelerin konumunu ve hızını bilmemiz gerekir. Ve bu elbette. imkansız .

En etkili şekilde, bir matematiksel model, "hesaplamalı deney" olarak adlandırılan algoritmik bir model biçiminde bir bilgisayarda uygulanabilir (bkz. [1], paragraf 26).

Elbette, eğer model gerçekliğin bazı önemli yönlerini hesaba katmıyorsa, hesaplamalı bir deneyin sonuçları gerçekliğe karşılık gelmeyebilir.

Dolayısıyla, bir sorunu çözmek için matematiksel bir model oluştururken şunları yapmanız gerekir:

Matematiksel modeller oluşturulurken istenilen büyüklükleri açık bir şekilde veriler üzerinden ifade eden formüller bulmak her zaman mümkün olmamaktadır. Bu gibi durumlarda, değişen derecelerde doğrulukta cevaplar sağlamak için matematiksel yöntemler kullanılır. Herhangi bir olgunun sadece matematiksel olarak modellenmesi değil, aynı zamanda bu olguların araçlar kullanılarak görüntülenmesiyle sağlanan görsel-doğal modelleme de vardır. bilgisayar grafikleri yani Araştırmacının önünde gerçek zamanlı olarak çekilen bir tür “bilgisayar çizgi filmi” gösteriliyor. Burada görünürlük oldukça yüksek.

Diğer girişler

06/10/2016.

8.3. Yazılım geliştirme sürecinin ana aşamaları nelerdir? 8.4. Bir programın metni bilgisayara yayınlanmadan önce nasıl kontrol edilir?

06/10/2016.

8.5. Hata ayıklama ve test etme neden gereklidir? 8.6. Hata ayıklama nedir? 8.7. Test ve test nedir? 8.8. Test verileri ne olmalı? 8.9. Test sürecinin aşamaları nelerdir?

8.5. Hata ayıklama ve test etme neden gereklidir? Bir programda hata ayıklama, bir bilgisayarda çalıştırmanın sonuçlarına göre gerçekleştirilen bir programdaki hataları bulma ve ortadan kaldırma işlemidir. Test…

06/10/2016. 8.10. Yaygın programlama hataları nelerdir? 8.11. Söz dizimi hatalarının olmaması programın doğru olduğunun kanıtı mıdır? 8.12. Çevirmen hangi hataları tespit edemiyor? 8.13. Programın desteği nedir? 8.10. Nedir?