Bir değerler tablosunu ezberlemek trigonometrik fonksiyonlar — asıl konu sadece lise öğrencileri için değil, aynı zamanda masanın özelliklerini çoğu zaman doğru şekilde vurgulayamayan ve dolayısıyla kullanımına ek engeller getiren öğretmenler ve matematik öğretmenleri için de geçerlidir. Yıllar süren uygulamam boyunca öğrencilerimin not defterlerinde gördüğüm çok şey var. Görünüşe göre öğretmenler ve eğitmenler en iyi nasıl davranacaklarını bilmiyorlar. Birisi doğrudan trigonometrik fonksiyonlar için ayrı, ters trigonometrik fonksiyonlar için ayrı tablolar sunuyor. Birisi bir trigonometre önerir, fonksiyon değerlerinin uygunsuz bir gösterimini kaydeder ve örneğin aralık dışındaki bir sayı yerine kullanır Genel kural. İstatistiklerime göre yaklaşık olarak çocuklar kalıpları kendi başlarına takip edemiyor matematiksel formüller ve ezberlemeyi kolaylaştıran özellikler. Okul öğretmenleri bunlara her zaman dikkat etmezler ve çoğu zaman çocuğun gözlerini apaçık olana açan kişi matematik öğretmeni olur.
Bir matematik öğretmeni ne yapmalı?
Sınıfa belirli bir asistanı gönderiyorum - öğrencinin önemli bilgileri hatırlamasını kolaylaştıran bir gezgin. pratik çözüm bilgi görevleri. Eşlik eden ipuçları teorik kısa notlarda düşünülmüştür; burada:
- Mümkün olan en geniş bilgi kapsamı, minimum kayıt hacmiyle sağlanır.
- sayıların davranışındaki belirli tanımlanmış özellikler ve kalıplar kullanılarak bilgi elde edilebilir
Bu prensip bir değerler tablosunun ezberlenmesine nasıl uygulanabilir?
1) Matematik öğretmeni masayı bir nevi gezdirmeli ve özellikleri hakkında konuşmalıdır. Açıları dereceden radyana dönüştürmek için bu radyanın paydasının ne olması gerektiğini hatırlamanın yeterli olduğunu unutmamak önemlidir. bu ve bu... Bir çocuğun çağrışımsal hafızası en azından biraz çalışırsa, o zaman "radyan paydalarının" yalnızca sayıları ve 6'yı içerdiğini hatırlayacaktır. Bunlar, karşılık gelen derece ölçüsünün onlar basamağındadır. Yalnızca üçü altıya, altıdan üçe karşılık gelir ve hareket ederken dört (ara rakam) korunur. Şunu söylüyorum; üç, altıya, altı, üçe dönüşür ve dört, donup, açının derece ölçüsünün ilk basamağı olarak kalır.
Çeviri yaparken bunu görebilirsiniz verilen açı'den 5 kat daha fazla. Daha sonra radyanları 5 ile çarparak elde ederiz.
Tablodaki ana açılar için sinüs ve kosinüs değerlerine bakmamak, trigonometrik daireyi kullanarak fonksiyonlarının tanımını hatırlamak en iyisidir.
Büyük açıların fonksiyonlarının değerlerinin modülleri, 'ye kadar olan açıların değerlerine simetriktir. Sadece dikkate almanız gerekir olumsuz işaretler ikinci çeyrekte kosinüs, teğet ve kotanjant.
Matematik öğretmeninin öğrenciyle birlikte öğrenmesi gerekir Ana bölüm tablolar. Ve burada çok güzel desenler var. Öğretmen öğrenciye ders verdiyse trigonometrik tablo sayıları formda sunarsak, birleşik bir kesir yapısı elde edeceğimizi ve ve sayılarını ezberlememiz gerekeceğini görebilirsiniz. Şu anda öğrenci bunu komik ve şaşırtıcı bulacaktır: Neden bu tür modelleri daha önce görmedi?
Tek yapmanız gereken siparişi hatırlamak. Sinüs ilk çeyrekte arttığından, o zaman daha büyük açı kökün altındaki daha büyük sayıya karşılık gelir. Şunu söylüyorum: Daha büyük bir açı, daha büyük bir sinüs anlamına gelir. Zayıf öğrencilere birçok kez tekrar ediyorum: sinüs doğrudan sırayla çalışır: büyük olan daha büyüktür ve küçük olan küçüktür. Bu kelimelerin tekrarı, kural olarak, kafasına yerleşir.
Anlaması kolay. kosinüs için durum tam tersidir: daha küçük bir açı daha büyük bir kosinüs alır. Aynı şey teğet ve kotanjantlar için de ortaya çıkıyor.
Teğet değerler tablosunda, matematik öğretmeninin aykırı sayı olmadan sayıları yazması gerekir: , ve . Daha sonra eşleştirmeye ek olarak daha az - daha az, A daha fazla teğetler, bölen sayıların tüm farklı kombinasyonlarından oluşturulacaktır: 1 ve . Bu tür benzetmelerden sonra matematik öğretmeni öğrencilerinin yüzde 90-95'i tablo değerlerinde hata yapmıyor.
Arksinüslerin, arkkosinüslerin, arktanjantların hesaplanması...
1. Arcsine kelimesinin telaffuzu zor ve uzundur. Bazı durumlarda kasıtlı olarak “sinüs” kelimesini yutuyorum ve örneğin şunu söylüyorum: bulmak Kemer, gerekli... Öğrenciler bunun neyle ilgili olduğunu anlıyor Hakkında konuşuyoruz ve matematik öğretmeni daha önemli bir şeye odaklanabilir.
2. Aşağıda gördüğünüz tabloda alan özellikle kırmızı renkle vurgulanmıştır. Bulmak için kullanılır kemerler.
Harika - basit!
Sinüs ve kosinüs değerlerini hatırlamak için bir tablo oluşturmamız gerekiyor. Bunu satıra yazın derece ölçüsü açılar: sıfır derece, otuz derece, kırk beş derece, altmış derece, doksan derece.
Adım 2
Aşama 3
Şimdi bu köklerin her birini ikiye bölüyoruz. Ustaca olan her şey basit! Basit bir hesaplama yapıyoruz ve burada sinüslerin değerlerine sahip oluyorsunuz.
Katılıyorum, zor değil. Sadece eylemlerin sırasını hatırlamanız gerekiyor. Dereceleri kaydettik, kökleri çıkardık ve bir sonraki adım her şeyi ikiye bölmek oldu. Sıfırdan başlayarak sayıları yazıyoruz.
Yani bir tür anımsatıcı.
4. Adım
Peki ya kosinüsler? Peki, onlar olmasaydı biz nerede olurduk! Kosinüslerde durum sinüslerden daha karmaşık değildir. İlk satıra açıların derece ölçüsünü yazıyoruz: sıfır derece, otuz derece, kırk beş derece, altmış derece, doksan derece. Daha sonra sinüs bulma yöntemine benzer şekilde her sayının kökünü çıkarırız. Tüm değerleri ikiye bölün. Kosinüslerin değerlerini elde ettik.
Adım 5
Ayrıca artık bu verilere sahip olarak açının tanjantını da bulabilirsiniz. Unutmuş olanlara hatırlatıyorum: Teğet sinüsün kosinüse oranıdır.
- Katılıyorum, sinüsleri ve kosinüsleri bulmanın ilginç bir yolu. Umarım işe yarar!) İlginç anımsatıcılar. Bu arada, var Farklı yollarözellikle fizikte bilgileri, formülleri ezberlemek. Neşeli): V= 3 KT/M'nin kökü. Bu formülü et için üç kedi olarak hatırlayabiliriz xD)
Sinüs (), kosinüs (), tanjant (), kotanjant () kavramları, açı kavramıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Bunları ilk bakışta iyi anlayabilmek için karmaşık kavramlar(birçok okul çocuğunda korku durumuna neden olan) ve “şeytanın resmedildiği kadar korkutucu olmadığından” emin olmak için en baştan başlayalım ve açı kavramını anlayalım.
Açı kavramı: radyan, derece
Şimdi resme bakalım. Vektör noktaya göre belirli bir miktarda “dönmüştür”. Yani bu dönmenin başlangıç konumuna göre ölçüsü şu şekilde olacaktır: köşe.
Açı kavramı hakkında bilmeniz gereken başka ne var? Tabii ki açı birimleri!
Açı, hem geometride hem de trigonometride derece ve radyan cinsinden ölçülebilir.
(Bir derece) açıya denir merkez açı bir daire içinde, dairenin bir kısmına eşit bir dairesel yay temel alınarak. Böylece, dairenin tamamı dairesel yayların "parçalarından" oluşur veya dairenin tarif ettiği açı eşittir.
Yani yukarıdaki şekil şuna eşit bir açıyı göstermektedir, yani bu açı, çevre büyüklüğünde bir dairesel yayın üzerinde durmaktadır.
Radyan cinsinden bir açı, uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan bir daire yayının çevrelediği bir dairedeki merkezi açıdır. Peki anladın mı? Değilse, çizimden çözelim.
Yani şekil bir açıyı gösteriyor bir radyana eşit yani, bu açı, uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan (uzunluk, uzunluğa veya yarıçapa eşit olan) dairesel bir yay üzerinde durmaktadır. uzunluğa eşit yaylar). Böylece yay uzunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır:
Radyan cinsinden merkez açı nerede?
Peki bunu bildiğinize göre, dairenin tarif ettiği açının kaç radyan içerdiğini cevaplayabilir misiniz? Evet bunun için çevre formülünü hatırlamanız gerekiyor. İşte burada:
Şimdi bu iki formülü ilişkilendirelim ve dairenin tarif ettiği açının eşit olduğunu bulalım. Yani değeri derece ve radyan cinsinden ilişkilendirerek bunu elde ederiz. Sırasıyla, . Gördüğünüz gibi, "derece"den farklı olarak "radyan" kelimesi atlanmıştır, çünkü ölçü birimi genellikle bağlamdan açıkça anlaşılmaktadır.
Kaç radyan var? Bu doğru!
Anladım? Sonra devam edin ve düzeltin:
Zorluk mu yaşıyorsunuz? Sonra bak Yanıtlar:
Sağ üçgen: sinüs, kosinüs, tanjant, açının kotanjantı
Böylece açı kavramını anladık. Peki bir açının sinüsü, kosinüsü, teğeti ve kotanjantı nedir? Hadi çözelim. Bunun için bize yardımcı olacak dik üçgen.
Dik üçgenin kenarlarına ne denir? Aynen öyle, hipotenüs ve bacaklar: hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır (örneğimizde bu kenardır); bacaklar kalan iki taraftır ve (bitişik olanlar) dik açı) ve eğer bacakları açıya göre düşünürsek, o zaman bacak bitişik bacak ve bacak tam tersidir. Şimdi şu soruyu cevaplayalım: Bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı nedir?
Açının sinüsü- bu, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Açının kosinüsü- bu, bitişik (yakın) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Açının tanjantı- bu, karşı (uzak) tarafın bitişik (yakın) tarafa oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Açının kotanjantı- bu, bitişik (yakın) bacağın karşıt (uzak) bacağına oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Bu tanımlar gerekli Unutma! Hangi bacağın neye bölüneceğini hatırlamayı kolaylaştırmak için bunu açıkça anlamalısınız. teğet Ve kotanjant yalnızca bacaklar oturur ve hipotenüs yalnızca sinüs Ve kosinüs. Ve sonra bir çağrışımlar zinciri oluşturabilirsiniz. Örneğin, bu:
Kosinüs→dokunma→dokunma→bitişik;
Kotanjant → dokunma → dokunma → bitişik.
Her şeyden önce, bir üçgenin kenarlarının oranları bu kenarların uzunluklarına (aynı açıda) bağlı olmadığından sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın olduğunu hatırlamanız gerekir. İnanma? Daha sonra resme bakarak emin olun:
Örneğin bir açının kosinüsünü düşünün. Tanım gereği bir üçgenden: , ancak bir açının kosinüsünü bir üçgenden hesaplayabiliriz: . Görüyorsunuz, kenarların uzunlukları farklı ama bir açının kosinüsünün değeri aynı. Dolayısıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri yalnızca açının büyüklüğüne bağlıdır.
Tanımları anlıyorsanız, devam edin ve bunları pekiştirin!
Aşağıdaki şekilde gösterilen üçgen için şunu buluyoruz.
Peki, anladın mı? O halde kendiniz deneyin: aynısını açı için hesaplayın.
Birim (trigonometrik) daire
Derece ve radyan kavramlarını anlayarak yarıçapı eşit olan bir daire düşündük. Böyle bir daireye denir Bekar. Trigonometri çalışırken çok faydalı olacaktır. Bu nedenle biraz daha detaylı bakalım.
Gördüğünüz gibi, verilen daire yerleşik Kartezyen sistem koordinatlar Daire yarıçapı bire eşit, dairenin merkezi orijinde yer alırken, başlangıç pozisyonu Yarıçap vektörü eksenin pozitif yönü boyunca sabitlenmiştir (örneğimizde bu yarıçaptır).
Çember üzerindeki her nokta iki sayıya karşılık gelir: eksen koordinatı ve eksen koordinatı. Nedir bu koordinat numaraları? Ve genel olarak, bunların elimizdeki konuyla ne ilgisi var? Bunu yapmak için, dikkate alınan dik üçgeni hatırlamamız gerekir. Yukarıdaki şekilde iki tam dik üçgeni görüyorsunuz. Bir üçgen düşünün. Eksene dik olduğundan dikdörtgendir.
Üçgen neye eşittir? Bu doğru. Ayrıca bunun birim çemberin yarıçapı olduğunu da biliyoruz, yani . Bu değeri kosinüs formülümüzde yerine koyalım. İşte olanlar:
Üçgen neye eşittir? Tabii ki! Yarıçap değerini bu formülde değiştirin ve şunu elde edin:
Peki bir çembere ait bir noktanın hangi koordinatlara sahip olduğunu söyleyebilir misiniz? Peki, mümkün değil mi? Peki ya bunun farkına varırsanız ve yalnızca rakamlardan ibaretseniz? Hangi koordinata karşılık geliyor? Tabii ki koordinatlar! Peki hangi koordinata karşılık geliyor? Doğru, koordinatlar! Böylece dönem.
O halde ve eşittir nedir? Aynen öyle, teğet ve kotanjantın karşılık gelen tanımlarını kullanalım ve şunu elde edelim, a.
Ya açı daha büyükse? Örneğin bu resimdeki gibi:
Neler değişti bu örnekte? Hadi çözelim. Bunu yapmak için tekrar dik üçgene dönelim. Bir dik üçgen düşünün: açı (bir açıya bitişik olarak). Bir açı için sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri nelerdir? Doğru, trigonometrik fonksiyonların ilgili tanımlarına uyuyoruz:
Gördüğünüz gibi açının sinüs değeri hala koordinata karşılık geliyor; açının kosinüsünün değeri - koordinat; ve karşılık gelen oranlara teğet ve kotanjant değerleri. Dolayısıyla bu ilişkiler yarıçap vektörünün herhangi bir dönüşüne uygulanır.
Yarıçap vektörünün başlangıç konumunun eksenin pozitif yönü boyunca olduğundan daha önce bahsedilmişti. Şu ana kadar bu vektörü saat yönünün tersine döndürdük ama saat yönünde döndürürsek ne olur? Olağanüstü bir şey yok, ayrıca belli bir değerde bir açı elde edeceksiniz, ancak yalnızca negatif olacaktır. Böylece, yarıçap vektörünü saat yönünün tersine döndürdüğümüzde, şunu elde ederiz: pozitif açılar ve saat yönünde döndürüldüğünde - olumsuz.
Yani yarıçap vektörünün bir daire etrafındaki tam devriminin veya olduğunu biliyoruz. Yarıçap vektörünü şuna veya şuna döndürmek mümkün mü? Tabii ki yapabilirsin! Dolayısıyla ilk durumda yarıçap vektörü bir tam tur yapacak ve veya konumunda duracaktır.
İkinci durumda, yarıçap vektörü üç tam devir yapacak ve veya konumunda duracaktır.
Böylece, yukarıdaki örneklerden, veya (herhangi bir tamsayı olduğunda) farklı olan açıların, yarıçap vektörünün aynı konumuna karşılık geldiği sonucuna varabiliriz.
Aşağıdaki şekil bir açıyı göstermektedir. Aynı görüntü köşeye vs. karşılık gelir. Bu listeye süresiz olarak devam edilebilir. Tüm bu açılar genel formülle veya (herhangi bir tamsayı olduğunda) yazılabilir.
Artık temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilmek ve kullanmak birim çember, değerlerin ne olduğunu yanıtlamaya çalışın:
İşte size yardımcı olacak bir birim çember:
Zorluk mu yaşıyorsunuz? O zaman çözelim. Yani şunu biliyoruz:
Buradan belirli açı ölçülerine karşılık gelen noktaların koordinatlarını belirliyoruz. Pekala, sırayla başlayalım: açısı koordinatları olan bir noktaya karşılık gelir, bu nedenle:
Bulunmuyor;
Ayrıca aynı mantığa bağlı kalarak köşelerin sırasıyla koordinatlı noktalara karşılık geldiğini buluyoruz. Bunu bilerek trigonometrik fonksiyonların değerlerini karşılık gelen noktalarda belirlemek kolaydır. Önce kendiniz deneyin, sonra cevapları kontrol edin.
Yanıtlar:
Bulunmuyor
Bulunmuyor
Bulunmuyor
Bulunmuyor
Böylece aşağıdaki tabloyu yapabiliriz:
Tüm bu değerleri hatırlamanıza gerek yok. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonların değerleri arasındaki yazışmayı hatırlamak yeterlidir:
Ancak aşağıdaki tabloda verilen ve açılarının trigonometrik fonksiyonlarının değerleri, hatırlanmalıdır:
Korkmayın, şimdi size bir örnek göstereceğiz karşılık gelen değerleri hatırlamak oldukça basit:
Bu yöntemi kullanmak için, açının tanjantının yanı sıra, üç açı ölçüsünün () tümü için sinüs değerlerini hatırlamak hayati önem taşır. Bu değerleri bilerek tüm tabloyu geri yüklemek oldukça basittir - kosinüs değerleri oklara göre aktarılır, yani:
Bunu bilerek değerleri geri yükleyebilirsiniz. " " payı eşleşecek ve " " paydası eşleşecektir. Kotanjant değerleri şekilde gösterilen oklara uygun olarak aktarılır. Bunu anlayıp okların olduğu diyagramı hatırlarsanız tablodaki tüm değerleri hatırlamanız yeterli olacaktır.
Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları
Bir daire üzerinde bir noktayı (koordinatlarını) bulmak mümkün mü? Çemberin merkezinin koordinatlarını, yarıçapını ve dönme açısını bilmek?
Tabii ki yapabilirsin! Hadi çıkaralım Genel formül bir noktanın koordinatlarını bulmak için.
Örneğin önümüzde bir daire var:
Bize bu noktanın çemberin merkezi olduğu söylendi. Çemberin yarıçapı eşittir. Noktanın derece derece döndürülmesiyle elde edilen bir noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
Şekilden de görülebileceği gibi noktanın koordinatı parçanın uzunluğuna karşılık gelmektedir. Segmentin uzunluğu dairenin merkezinin koordinatına karşılık gelir, yani eşittir. Bir segmentin uzunluğu kosinüs tanımı kullanılarak ifade edilebilir:
Sonra nokta koordinatı için elimizde bu var.
Aynı mantığı kullanarak noktanın y koordinat değerini buluyoruz. Böylece,
Yani, içinde Genel görünüm Noktaların koordinatları formüllerle belirlenir:
Çemberin merkezinin koordinatları,
Daire yarıçapı,
Vektör yarıçapının dönme açısı.
Gördüğünüz gibi, düşündüğümüz birim daire için, merkezin koordinatları sıfıra ve yarıçap bire eşit olduğundan bu formüller önemli ölçüde azaltılmıştır:
Peki çember üzerindeki noktaları bulma alıştırması yaparak bu formülleri deneyelim mi?
1. Birim çember üzerindeki bir noktanın, noktanın döndürülmesiyle elde edilen koordinatlarını bulun.
2. Birim çember üzerindeki bir noktanın, noktanın döndürülmesiyle elde edilen koordinatlarını bulun.
3. Birim çember üzerindeki bir noktanın, noktanın döndürülmesiyle elde edilen koordinatlarını bulun.
4. Nokta dairenin merkezidir. Çemberin yarıçapı eşittir. Başlangıç yarıçap vektörünü döndürerek elde edilen noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
5. Nokta çemberin merkezidir. Çemberin yarıçapı eşittir. Başlangıç yarıçap vektörünü döndürerek elde edilen noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
Bir daire üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulmakta sorun mu yaşıyorsunuz?
Bu beş örneği çözün (veya çözmede ustalaşın) ve onları bulmayı öğreneceksiniz!
1.
Bunu fark edebilirsiniz. Ama tam bir devrime neyin karşılık geldiğini biliyoruz başlangıç noktası. Böylece istenilen nokta, dönüşteki ile aynı konumda olacaktır. Bunu bilerek noktanın gerekli koordinatlarını buluyoruz:
2. Birim çember bir noktada ortalanmıştır; bu, basitleştirilmiş formülleri kullanabileceğimiz anlamına gelir:
Bunu fark edebilirsiniz. İkiye neyin karşılık geldiğini biliyoruz son sürat başlangıç noktası. Böylece istenilen nokta döndürüldüğü zamankiyle aynı konumda olacaktır. Bunu bilerek noktanın gerekli koordinatlarını buluyoruz:
Sinüs ve kosinüs tablo değerleridir. Anlamlarını hatırlıyoruz ve şunu elde ediyoruz:
Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.
3. Birim çember bir noktada ortalanmıştır; bu, basitleştirilmiş formülleri kullanabileceğimiz anlamına gelir:
Bunu fark edebilirsiniz. Söz konusu örneği şekilde tasvir edelim:
Yarıçap eksene eşit ve eksenle açı yapar. Kosinüs ve sinüsün tablo değerlerinin eşit olduğunu bilerek ve buradaki kosinüsün alınacağını belirledikten sonra olumsuz anlam ve sinüs pozitiftir, elimizde:
Daha fazla detay benzer örnekler Konudaki trigonometrik fonksiyonların azaltılmasına yönelik formüller incelenirken anlaşılır.
Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.
4.
Vektörün yarıçapının dönme açısı (koşula göre)
Karşılık gelen sinüs ve kosinüs işaretlerini belirlemek için bir birim daire ve açı oluştururuz:
Gördüğünüz gibi değer pozitif, yani değer negatiftir. İlgili trigonometrik fonksiyonların tablo değerlerini bilerek şunu elde ederiz:
Elde edilen değerleri formülümüzde yerine koyalım ve koordinatları bulalım:
Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.
5. Bu sorunu çözmek için genel formdaki formülleri kullanırız;
Çemberin merkezinin koordinatları (örneğimizde,
Daire yarıçapı (koşula göre)
Vektörün yarıçapının dönme açısı (koşula göre).
Tüm değerleri formülde yerine koyalım ve şunu elde edelim:
ve - tablo değerleri. Bunları hatırlayalım ve formülde yerine koyalım:
Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.
ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER
Bir açının sinüsü, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bir açının kosinüsü, bitişik (yakın) kenarın hipotenüse oranıdır.
Bir açının tanjantı, karşı (uzak) tarafın bitişik (yakın) tarafa oranıdır.
Bir açının kotanjantı, bitişik (yakın) tarafın karşı (uzak) tarafa oranıdır.
MÖ beşinci yüzyılda, antik Yunan filozofu Elea'lı Zeno, en ünlüsü "Aşil ve Kaplumbağa" aporia'sı olan ünlü aporialarını formüle etti. İşte kulağa nasıl geliyor:Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi koştuğu süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Bu süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zeno'nun açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ...tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı...konunun incelenmesine dahil oldular matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.
Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz düşüncenin ataleti nedeniyle karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. İLE fiziksel nokta Bir açıdan bakıldığında, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zaman yavaşlıyor gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil artık kaplumbağadan daha fazla koşamaz.
Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil ile çalışır sabit hız. Yolunun her bir sonraki bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak, “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? İçeride kal sabit birimler zaman ölçümleri ve gitmeyin karşılıklılar. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ama öyle değil tam çözüm Sorunlar. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözümün sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranması gerekiyor.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:
Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.
Bu çıkmazda mantıksal paradoks bunun üstesinden çok basit bir şekilde gelinebilir - zamanın her anında uçan bir okun uzayın farklı noktalarında durduğunu, bunun aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Arabaya olan mesafeyi belirlemek için iki fotoğrafa ihtiyacınız var. farklı noktalar zamanın bir noktasında uzay, ancak onlardan hareketin gerçeğini belirlemek imkansızdır (doğal olarak hesaplamalar için hala ek verilere ihtiyaç vardır, trigonometri size yardımcı olacaktır). Belirtmek istediğim şey Özel dikkat Zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın karıştırılmaması gereken farklı şeyler olduğu, çünkü araştırma için farklı fırsatlar sundukları.
4 Temmuz 2018 Çarşamba
Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.
Gördüğünüz gibi "bir kümede iki özdeş eleman olamaz" ama bir kümede özdeş elemanlar varsa böyle bir kümeye "çoklu küme" denir. Bu kadar saçma bir mantık duyarlı varlıklar asla anlama. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.
Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.
Matematikçiler "boşver beni, evdeyim" ya da daha doğrusu "matematik çalışmaları" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar soyut kavramlar", onları gerçekliğe ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı var. Bu göbek bağı paradır. Uygula matematiksel teori matematikçilerin kendilerine sunar.
Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamıza koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş setini" veriyoruz. Matematikçiye, kalan faturaları ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin aynı olan bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklıyoruz. özdeş elemanlar. eğlence burada başlıyor.
Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda bize güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paralarda farklı miktarlarçamur, kristal yapı ve her madeni paradaki atomların düzeni benzersizdir...
Ve şimdi en çok şeye sahibim faiz Sor: Bir çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.
Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.
Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.
18 Mart 2018 Pazar
Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.
Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar, sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şu şekildedir: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.
Sayıların toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. verilen numara. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.
1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.
2. Ortaya çıkan bir resmi, bireysel sayılar içeren birkaç resme kestik. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.
3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.
4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. İşte bu matematik.
12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı, şamanlar tarafından öğretilen “kesme ve dikme dersleridir”. Ama hepsi bu değil.
Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani, içinde farklı sistemler Matematikte aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. İLE Büyük bir sayı 12345 Kafamı kandırmak istemem, ilgili yazıdan 26 sayısına bakalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.
Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Tıpkı bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde etmeniz gibi.
Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.
Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı niceliğin farklı ölçü birimleriyle yapılan aynı eylemler, karşılaştırıldıktan sonra farklı sonuçlara yol açıyorsa, bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur.
Gerçek matematik nedir? Bu, bir matematiksel işlemin sonucunun sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve bu işlemi kimin yaptığına bağlı olmadığı durumdur.
Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası, cennete yükselişleri sırasında ruhların ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?
Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.
Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,
O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:
Şahsen ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (bir resim) (birkaç resimden oluşan bir kompozisyon: bir eksi işareti, dört rakamı, derecelerin gösterimi). Ve bu kızın aptal olduğunu düşünmüyorum, hayır fizik konusunda bilgili. Sadece basmakalıp bir algı algısı var grafik görseller. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.
1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.
Bu makale şunları içerir: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tabloları. İlk olarak, trigonometrik fonksiyonların temel değerlerinin bir tablosunu, yani 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 derecelik açıların sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tablosunu sunacağız ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radyan). Bundan sonra V. M. Bradis'in sinüs ve kosinüs tablosunun yanı sıra teğet ve kotanjant tablosunu vereceğiz ve trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulurken bu tabloların nasıl kullanılacağını göstereceğiz.
Sayfada gezinme.
0, 30, 45, 60, 90, ... derecelik açılar için sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tablosu
Kaynakça.
- Cebir: Ders Kitabı 9. sınıf için. ortalama okul / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M .: Eğitim, 1990. - 272 s.: - ISBN 5-09-002727-7.
- Bashmakov M. I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders kitabı. 10-11 sınıflar için. ortalama okul - 3. baskı. - M.: Eğitim, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.
- Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir kılavuz): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.
- Bradis V.M. Dört basamaklı matematik tabloları: Genel eğitim için. ders kitabı kuruluşlar. - 2. baskı. - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: hasta. ISBN 5-7107-2667-2
