Yani e sayısı. Kuvvet serisi genişletmesi

NUMBER e
Matematikte sıklıkla bulunan ve yaklaşık olarak 2,718'e eşit bir sayı. Doğa Bilimleri. Örneğin çöküş sırasında radyoaktif madde t zamanından sonra, maddenin başlangıç ​​miktarından e-kt'ye eşit bir kesir kalır; burada k, belirli bir maddenin bozunma hızını karakterize eden bir sayıdır. Karşılıklı 1/k, belirli bir maddenin atomunun ortalama ömrü olarak adlandırılır, çünkü ortalama olarak bir atom, çürümeden önce 1/k kadar bir süre boyunca varlığını sürdürür. 0,693/k değerine radyoaktif maddenin yarı ömrü denir. bir maddenin orijinal miktarının yarısının parçalandığı süre; 0,693 sayısı yaklaşık olarak loge 2'ye eşittir, yani. 2 sayısının e tabanına göre logaritması. Aynı şekilde eğer bakteriler besin ortamı sayılarıyla orantılı bir oranda çoğalırlar şu anda, t süresinden sonra başlangıç ​​miktarı bakteri N, Nekt'e dönüştürülür. zayıflama elektrik akımı Seri bağlantılı basit bir devrede I, direnç R ve endüktans L, I = I0e-kt yasasına göre oluşur, burada k = R/L, I0, t = 0 anındaki akım gücüdür. Benzer formüller, gerilim gevşemesini şu şekilde tanımlar: viskoz bir sıvı ve zayıflama manyetik alan. 1/k sayısına genellikle gevşeme süresi denir. İstatistikte, e-kt değeri, t süresi boyunca, birim zaman başına ortalama k olay sıklığı ile rastgele meydana gelen hiçbir olayın meydana gelmeme olasılığı olarak ortaya çıkar. Eğer S, ayrı aralıklarla bileşik faiz yerine sürekli bileşik faizle yatırılan para miktarı ise, o zaman t zamanı geldiğinde başlangıç ​​miktarı Setr/100'e yükselecektir. E sayısının "her yerde bulunmasının" nedeni formüllerin matematiksel analizÜstel fonksiyonlar veya logaritmalar içeren logaritmalar, 10 veya başka bir taban yerine e tabanına alınırsa daha basit yazılır. Örneğin log10 x'in türevi (1/x)log10 e'dir, oysa log x'in türevi basitçe 1/x'tir. Benzer şekilde, 2x'in türevi 2xloge 2'dir, ex'in türevi ise basitçe ex'tir. Bu, e sayısının, y = logb x fonksiyonunun grafiğinin x = 1 noktasında bir c teğetine sahip olduğu b tabanı olarak tanımlanabileceği anlamına gelir. eğim 1'e eşit veya y = bx eğrisinin x = 0'da 1'e eşit bir eğimle teğeti var. e tabanına göre logaritmalar "doğal" olarak adlandırılır ve ln x ile gösterilir. Bazen bunlara "Pierre olmayan" da denir ki bu yanlıştır, çünkü aslında J. Napier (1550-1617) farklı bir tabana sahip logaritmalar icat etmiştir: x sayısının Nepier logaritması 107 log1/e'ye eşittir (x/ 107) (ayrıca bkz. LOGARITHM). e'nin kuvvetlerinin çeşitli kombinasyonları matematikte o kadar sık ​​görülür ki, özel isimler. Bunlar örneğin: hiperbolik fonksiyonlar

y = cosh x fonksiyonunun grafiğine katener çizgisi denir; Bu, uçlardan sarkan, ağır, uzamayan bir ipliğin veya zincirin şeklidir. Euler formülleri

i2 = -1 olduğunda, e sayısını trigonometriye bağlayın. Özel durum x = p, matematikteki en ünlü 5 sayıyı birbirine bağlayan ünlü eip + 1 = 0 ilişkisine yol açar. E'nin değerini hesaplarken, başka bazı formüller de kullanılabilir (bunlardan ilki en sık kullanılır):

15 ile e değeri ondalık sayılar 2,718281828459045'e eşittir. 1953 yılında e'nin değeri 3333 ondalık basamakla hesaplanıyordu. Bu sayıyı ifade eden e sembolü 1731 yılında L. Euler (1707-1783) tarafından ortaya atılmıştır. Ondalık genişletme e sayısı periyodik değildir (e - irrasyonel sayı). Üstelik e, p gibi, aşkın sayı(hiçbir şeyin kökü değildir cebirsel denklemİle rasyonel katsayılar). Bu, 1873'te S. Hermit tarafından kanıtlandı. Matematikte bu kadar doğal bir şekilde ortaya çıkan bir sayının aşkın olduğu ilk kez gösterildi.
Ayrıca bakınız
MATEMATİKSEL ANALİZ ;
DEVAM EDEN KESİRLER;
SAYI TEORİSİ;
SAYI s;
SIRALAR.

Collier'in Ansiklopedisi. - Açık Toplum. 2000 .

Diğer sözlüklerde "NUMBER e"nin ne olduğuna bakın:

sayı- Alıcı kaynak: GOST 111 90: Cam levha. Özellikler orijinal belge İlgili terimlere de bakın: 109. Betatron salınımlarının sayısı ... Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı

İsim, s., kullanılmış. çok sık Morfoloji: (hayır) ne? sayılar, ne? sayı, (bkz.) ne? sayı, ne? sayı, ne hakkında? sayı hakkında; pl. Ne? sayılar, (hayır) ne? sayılar, neden? sayılar, (bkz.) ne? sayılar, ne? sayılar, ne hakkında? Sayılar matematiği hakkında 1. Sayılara göre... ... Sözlük Dmitrieva

SAYI, sayılar, çoğul. sayılar, sayılar, sayılar, bkz. 1. Konsept, etkileyici miktar, nesnelerin ve olayların sayıldığı miktar (mat.). Tamsayı. Kesirli bir sayı. Adlandırılmış numara. Asal sayı. (Basit 1'i 1 arada değerine bakın).… … Ushakov'un Açıklayıcı Sözlüğü

Belirli bir serinin herhangi bir üyesinin özel içerik tanımından yoksun, bu üyenin önünde veya arkasında başka bir üyenin yer aldığı özet. belirli üye; soyut bireysel özellik, bir seti diğerlerinden ayıran... ... Felsefi Ansiklopedi

Sayı- Sayı gramer kategorisi, ifade etme niceliksel özellikler düşünce nesneleri Dil bilgisi numarası sözcüksel tezahürün yanı sıra daha genel dilsel nicelik kategorisinin (bkz. Dil kategorisi) tezahürlerinden biri (“sözcüksel ... ... Dilbilimsel ansiklopedik sözlük

A; pl. sayılar, sat, çarpma; evlenmek 1. Belirli bir miktarı ifade eden hesap birimi. Kesirli, tamsayı, asal saatler. Çift, tek saatler. Yuvarlak sayılarla sayın (yaklaşık olarak tam birimler veya onluklar halinde sayın). Doğal h (pozitif tam sayı... ansiklopedik sözlük

Evlenmek. miktar, sayıma göre, soruya: ne kadar? ve miktarı, sayıyı ifade eden işaretin kendisi. Numarasız; saymadan sayı olmaz, çok, çok. Çatal bıçak takımınızı misafir sayısına göre ayarlayın. Roma, Arap veya kilise numaraları. Tamsayı, zıt. kesir... ... Dahl'ın Açıklayıcı Sözlüğü

NUMBER, a, çoğul. sayılar, sat, slam, bkz. 1. Matematiğin temel kavramı, hesaplamanın yapıldığı niceliktir. Tamsayı h. Reel h. Doğal h. pozitif sayı). Basit kısım ( doğal sayı, Olumsuzluk… … Ozhegov'un Açıklayıcı Sözlüğü

SAYI "E" (EXP), irrasyonel sayı, altta yatan doğal logaritmalar. Bu geçerli ondalık sayı, sonsuz kesir, 2,7182818284590....'a eşit, n sonsuza doğru yöneldiğinden (1/) ifadesinin sınırıdır. Aslında,… … Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük

Nicelik, bulunabilirlik, bileşim, güç, koşulluluk, miktar, şekil; gün.. Çarşamba. . Bkz. gün, miktar. az sayıda, sayı yok, sayı artıyor... Rusça eşanlamlılar ve anlam bakımından benzer ifadeler sözlüğü. altında. ed. N. Abramova, M.: Ruslar... ... Eş anlamlılar sözlüğü

Kitabın

• İsim numarası. Nümerolojinin sırları. Tembeller için beden dışı kaçış. Duyu ötesi algıya ilişkin ders kitabı (cilt sayısı: 3)
• İsim numarası. Sayılara yeni bir bakış. Numeroloji - bilginin yolu (cilt sayısı: 3), Lawrence Shirley. İsim numarası. Nümerolojinin sırları. Shirley B. Lawrence'ın kitabı kadim ezoterik numeroloji sistemi üzerine kapsamlı bir çalışmadır. Sayı titreşimlerinin nasıl kullanılacağını öğrenmek için...

e- matematiksel bir sabit, doğal logaritmanın tabanı, irrasyonel ve aşkın bir sayı. e= 2,718281828459045… Bazen sayı e isminde Euler numarası veya tüysüz numara. Oynanıyor önemli rol diferansiyel ve integral hesabında.

Belirleme yöntemleri

E sayısı çeşitli şekillerde tanımlanabilir.

Özellikler

Hikaye

Bu numara bazen aranır tüysüz“İnanılmaz Logaritma Tablosunun Açıklaması” (1614) adlı eserin yazarı İskoç bilim adamı John Napier'in onuruna. Ancak bu isim tam olarak doğru değil çünkü sayının logaritması var. X eşitti .

Sabit, ilk defa, Napier'in 1618'de yayınlanan yukarıda bahsedilen çalışmasının İngilizce çevirisinin ekinde gayri resmi olarak mevcuttur. Gayri resmi olarak, yalnızca doğal logaritma tablosu içerdiğinden, sabitin kendisi tanımlanmamıştır. Tablonun yazarının İngiliz matematikçi William Oughtred olduğu varsayılmaktadır. Sabitin kendisi ilk olarak İsviçreli matematikçi Jacob Bernoulli tarafından aşağıdaki limitin değerini hesaplamaya çalışırken türetildi:

Harfle gösterilen bu sabitin bilinen ilk kullanımı B Gottfried Leibniz'in Christian Huygens'e yazdığı mektuplarda bulunur, 1690 ve 1691. Mektup e Leonhard Euler bunu 1727 yılında kullanmaya başlamış ve bu mektubun yer aldığı ilk yayın 1736 yılında yazdığı “Mekanik veya Hareket Bilimi, Analitik Olarak Açıklandı” adlı eseri olmuştur. Buna göre, e bazen denir Euler numarası. Her ne kadar bazı bilim adamları daha sonra bu mektubu kullansa da C, mektup e daha sık kullanıldı ve artık standart isimdir.

Bu mektup neden seçildi? e, tam olarak bilinmiyor. Belki de bu, kelimenin onunla başlamasından kaynaklanmaktadır. üstel(“gösterge”, “üstel”). Bir diğer varsayım ise harflerin A,B,C Ve D halihazırda başka amaçlar için oldukça yaygın olarak kullanılmaktadır ve e ilk "bedava" mektuptu. Euler'in seçtiğini varsaymak mantıksız. e soyadınızın ilk harfi olarak (Almanca. Euler), çünkü çok mütevazı bir insandı ve her zaman başkalarının çalışmalarının önemini vurgulamaya çalışıyordu.

Ezberleme yöntemleri

Sayı e aşağıdaki anımsatıcı kural kullanılarak hatırlanabilir: iki ve yedi, ardından Leo Tolstoy'un (1828) doğum yılının iki katı, ardından ikizkenar dik üçgenin açıları ( 45 ,90 Ve 45 derece).

Kuralın başka bir versiyonunda e ABD Başkanı Andrew Jackson ile ilişkili: 2 - pek çok kez seçildi, 7 - yedinci ABD Başkanıydı, 1828 - seçildiği yıl, Jackson iki kez seçildiğinden bu yana iki kez tekrarlandı. Sonra - yine bir ikizkenar dik üçgen.

Bir başka ilginç yöntem de sayıyı hatırlamayı öneriyor e“Şeytan numarası” ile üç ondalık basamağa kadar doğru: 666'yı 6 - 4, 6 - 2, 6 - 1 (üç altılı) sayılarından oluşan bir sayıya bölmeniz gerekir Ters sipariş ikinin ilk üç kuvveti kaldırılır): .

Dördüncü yöntem hatırlamayı önerir e Nasıl .

Kaba (0,001'e kadar doğru) ancak iyi bir yaklaşım şunu gösteriyor: e eşit İfade ile çok kaba (0,01 doğrulukla) bir yaklaşım verilmektedir.

“Boeing Kuralı”: 0,0005'lik iyi bir doğruluk verir.

"Ayet": Çırpındık ve parladık ama geçide sıkışıp kaldık; Çalınan mitingimizi tanımadılar.

e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 15 738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 ​​92069 55 170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26 560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 2 1112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 5581 5 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79 610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30 436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 4 5635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 01210 05627 88023 51920

SAYI e. Matematik ve fen bilimlerinde sıklıkla bulunan, yaklaşık olarak 2,718'e eşit bir sayı. Örneğin radyoaktif bir maddenin zamanla bozunması T maddenin orijinal miktarının bir kısmı eşit kalır e-kt, Nerede k– belirli bir maddenin bozunma hızını karakterize eden bir sayı. 1/'in tersi k Belirli bir maddenin atomunun ortalama ömrü denir, çünkü ortalama olarak bir atom bozunuma kadar 1/1 süre boyunca var olur. k. Değer 0,693/ k radyoaktif bir maddenin yarı ömrü denir, yani bir maddenin orijinal miktarının yarısının parçalandığı süre; 0,693 sayısı yaklaşık olarak log'a eşittir e 2, yani 2 sayısının tabana göre logaritması e. Benzer şekilde, bir besin ortamındaki bakteriler o andaki sayılarıyla orantılı bir oranda çoğalırsa, zamanla T başlangıçtaki bakteri sayısı N dönüşür Ne kt. Elektrik akımının zayıflaması BEN seri bağlantılı basit bir devrede direnç R ve endüktans L kanuna göre olur ben = ben 0 e-kt, Nerede k = R/L, BEN 0 – o andaki mevcut güç T= 0. Benzer formüller, viskoz bir akışkandaki gerilim gevşemesini ve manyetik alanın sönümlenmesini tanımlar. 1 numara/ k genellikle dinlenme zamanı denir. İstatistiklerdeki değer e-kt zaman içinde olasılığı olarak ortaya çıkar T ortalama sıklıkta rastgele meydana gelen hiçbir olay yoktu k Birim zaman başına olaylar. Eğer S- yatırılan para miktarı R ayrı aralıklarla tahakkuk etmek yerine sürekli tahakkuk eden faiz, o zaman zamana göre T başlangıç ​​tutarı artacak Se tr/100.

Sayının “her yerde bulunmasının” nedeni eüstel fonksiyon veya logaritma içeren matematiksel analiz formüllerinin logaritmalar tabana alınırsa daha basit yazılmasında yatmaktadır. e 10 veya başka bir taban değil. Örneğin log 10'un türevi X eşittir (1/ X)günlük 10 e, oysa log'un türevi eski basitçe 1/'e eşittir X. Benzer şekilde 2'nin türevi X 2'ye eşittir X kayıt e 2, oysa türevi eski basitçe eşittir eski. Bu şu anlama gelir: sayı e temel olarak tanımlanabilir B, burada fonksiyonun grafiği y = kayıt b xşu noktada var X= 1'e eşit eğime sahip 1 teğet veya eğrinin y = bx içinde var X= 0 eğimi 1'e eşit olan teğet. Tabana göre logaritmalar e“doğal” olarak adlandırılır ve ln olarak adlandırılır. X. Bazen bunlara “Nepier” de denir ki bu yanlıştır çünkü aslında J. Napier (1550–1617) farklı bir tabana sahip logaritmaları icat etmiştir: sayının Nepier logaritması X 10 7 log 1/'e eşittir e (X/10 7) .

Çeşitli derece kombinasyonları e Matematikte o kadar sık ​​karşımıza çıkarlar ki özel isimleri vardır. Bunlar örneğin hiperbolik fonksiyonlardır.

Bir fonksiyonun grafiği sen= kanal X katener hattı denir; Bu, uçlardan sarkan ağır, uzamayan bir ipliğin veya zincirin şeklidir. Euler formülleri

Nerede Ben 2 = –1, bağlama numarası e trigonometri ile. Özel durum x = pünlü ilişkiye yol açıyor e ip+ 1 = 0, matematikteki en ünlü 5 sayıyı birbirine bağlar.

Herkes biliyor geometrik anlamı sayılar π birim çapa sahip bir dairenin uzunluğu:

Ama burada başka bir önemli sabitin anlamı da var: eçabuk unutulma eğilimindedir. Yani sizi bilmem ama her seferinde 2,7182818284590'a eşit olan bu sayının neden bu kadar dikkat çekici olduğunu hatırlamak benim için bir çaba gerektiriyor... (Ancak ben değeri hafızadan yazdım). Ben de hafızamdan başka hiçbir şeyin kaçmaması için bir not yazmaya karar verdim.

Sayı e tanım gereği - bir fonksiyonun limiti sen = (1 + 1 / X) X en X → ∞:

Bu tanım ne yazık ki net değildir. Bu sınırın neden dikkate değer olduğu açık değildir (“ikinci dikkat çekici” olarak adlandırılmasına rağmen). Bir düşünün, beceriksizce bir fonksiyon alıp limiti hesapladılar. Farklı bir işlevin farklı bir işlevi olacaktır.

Ama sayı e bazı nedenlerden dolayı çoğu durumda ortaya çıkıyor farklı durumlar Matematikte.

Benim için ana anlam sayılar e bir başkasının davranışında çok daha fazla ortaya çıkar ilginç fonksiyon, sen = k X. Bu işlevin benzersiz bir özelliği vardır: k = e grafiksel olarak şu şekilde gösterilebilir:

0 noktasında fonksiyon değeri alır e 0 = 1. Bir noktaya teğet çizerseniz X= 0 ise, x eksenine 1 teğetlik bir açıyla geçecektir (içinde sarı üçgen davranış karşı bacak 1'in komşu 1'e oranı 1'e eşittir). 1. noktada fonksiyon değeri alır e 1 = e. Bir noktaya teğet çizerseniz X= 1 ise teğet bir açıyla geçecektir e(V yeşil üçgen karşı taraf oranı e komşu 1 eşittir e). 2. noktada değer e Fonksiyonun 2'si yine kendisine teğetin eğim açısının teğetiyle çakışıyor. Bu nedenle, aynı zamanda teğetlerin kendisi de x eksenini tam olarak -1, 0, 1, 2 vb. noktalarda keser.

Tüm işlevler arasında sen = k X(örneğin 2 X , 10 X , π X vb.), fonksiyon e X- öyle güzelliğe sahip olan tek şey, her bir noktasındaki eğim açısının teğeti, fonksiyonun değeri ile çakışıyor. Bu, tanım gereği, bu fonksiyonun her noktadaki değerinin bu noktadaki türevinin değeriyle çakıştığı anlamına gelir: ( e X)´ = e X. Bazı nedenlerden dolayı sayı e= 2,7182818284590...'e yükseltilmelidir farklı dereceler böyle bir resim elde etmek için.

Bana göre anlamı budur.

Sayılar π Ve e En sevdiğim formül olan Euler'in formülü, en önemli 5 sabiti (sıfır, bir, bir) birleştiren formüle dahil edilmiştir. hayali birim Ben ve aslında sayılar π Ve e:

e iπ + 1 = 0

Neden 2,7182818284590... sayısı karmaşık derece 3,1415926535...Ben aniden eksi bire eşit mi oldu? Bu sorunun cevabı bu notun kapsamı dışındadır ve trigonometri, limitler ve serilerle ilgili bazı temel bilgileri gerektirecek kısa bir kitabın içeriğini oluşturabilir.

Bu formülün güzelliğine her zaman hayran kalmışımdır. Belki matematikte daha fazlası vardır şaşırtıcı gerçekler, ancak benim seviyem için (Fizik ve Matematik Lisesi'nden C ve kapsamlı analizlerüniversitede) bu en önemli mucizedir.

Üs , veya olarak gösterilir.

e numarası

Üslü derecenin temeli e numarası. Bu irrasyonel bir sayıdır. Yaklaşık olarak eşittir
e ≈ 2,718281828459045...

E sayısı dizinin limiti aracılığıyla belirlenir. Bu sözde ikinci harika sınır:
.

e sayısı aynı zamanda bir seri olarak da gösterilebilir:
.

Üstel grafik

Üstel grafik, y = e x .

Grafik üssü gösterir e bir dereceye kadar X.
sen (x) = ex
Grafik, üssün monoton olarak arttığını göstermektedir.

Formüller

Temel formüller için aynı üstel fonksiyon güç tabanı ile e.

;
;
;

Üstel bir fonksiyonun a'dan üstel bir dereceye kadar rastgele bir derece tabanıyla ifadesi:
.

Özel değerler

izin ver (x) = ex. Daha sonra
.

Üs Özellikleri

Üs, kuvvet tabanına sahip bir üstel fonksiyonun özelliklerine sahiptir e > 1 .

Etki alanı, değerler kümesi

y üssü (x) = ex tüm x için tanımlıdır.
Tanım alanı:
- ∞ < x + ∞ .
Birçok anlamı var:
0 < y < + ∞ .

Aşırılıklar, artan, azalan

Üstel monoton olarak artan bir fonksiyon olduğundan ekstremum değeri yoktur. Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır.

Ters fonksiyon

Üssün tersi doğal logaritmadır.
;
.

Üssün türevi

Türev e bir dereceye kadar X eşittir e bir dereceye kadar X :
.
N'inci dereceden türev:
.
Formüllerin türetilmesi > > >

İntegral

Karışık sayılar

Şununla yapılan işlemler: Karışık sayılar kullanılarak gerçekleştirilen Euler formülleri:
,
sanal birim nerede:
.

Hiperbolik fonksiyonlar aracılığıyla ifadeler

; ;
.

Trigonometrik fonksiyonları kullanan ifadeler

; ;
;
.

Kuvvet serisi genişletmesi

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.