Trys funkcijos tęstinumo taške apibrėžimai. Kaip patikrinti funkcijos tęstinumą? Funkcijos tęstinumas taške ir intervale

Apibrėžimas. Tegul funkcija y = f(x) yra apibrėžta taške x0 ir kai kuriose jo apylinkėse. Iškviečiama funkcija y = f(x). ištisinis taške x0, Jei:

1. egzistuoja
2. ši riba lygi vertei funkcijos taške x0:

Apibrėžiant ribą buvo pabrėžta, kad f(x) gali būti neapibrėžtas taške x0, o jeigu jis apibrėžtas šiame taške, tai f(x0) reikšmė niekaip nedalyvauja nustatant ribą. Nustatant tęstinumą, labai svarbu, kad egzistuoja f(x0), ir ši reikšmė turi būti lygi lim f(x).

Apibrėžimas. Tegul funkcija y = f(x) yra apibrėžta taške x0 ir kai kuriose jo apylinkėse. Funkcija f(x) vadinama tęstine taške x0, jei visiems ε>0 yra toks teigiamas skaičius δ, kad visiems x, esantiems taško x0 kaimynystėje δ (t. y. |x-x0|
Čia atsižvelgiama į tai, kad ribos reikšmė turi būti lygi f(x0), todėl, lyginant su ribos apibrėžimu, pašalinama δ kaimynystės 0 pradūrimo sąlyga.
Pateiksime dar vieną (lygiavertį ankstesniam) apibrėžimą žingsnių atžvilgiu. Pažymime Δх = x - x0, šią reikšmę vadinsime argumento prieaugiu. Kadangi x->x0, tai Δx->0, ty Δx - b.m. (be galo mažas) kiekis. Pažymime Δу = f(x)-f(x0), šią reikšmę vadinsime funkcijos prieaugiu, nes |Δу| turėtų būti (pakankamai mažam |Δх|) mažesnis už savavališką skaičių ε>0, tada Δу- taip pat yra b.m. vertė, todėl

Apibrėžimas. Tegul funkcija y = f(x) yra apibrėžta taške x0 ir kai kuriose jo apylinkėse. Iškviečiama funkcija f(x). ištisinis taške x0, jei be galo mažas argumento prieaugis atitinka be galo mažą funkcijos prieaugį.

Apibrėžimas. Funkcija f(x), kuri nėra ištisinė taške x0, vadinamas nepertraukiamušiuo metu.

Apibrėžimas. Funkcija f(x) vadinama tęstine aibėje X, jei ji yra ištisinė kiekviename šios aibės taške.

Sumos, sandaugos, dalinio tęstinumo teorema

Teorema apie perėjimą į ribą po tolydžios funkcijos ženklu

Superpozicijos tęstinumo teorema nuolatinės funkcijos

Tegul funkcija f(x) yra apibrėžta intervale ir yra monotoniška šiame intervale. Tada f(x) šiame segmente gali turėti tik pirmos rūšies nenutrūkstamumo taškus.

Tarpinės reikšmės teorema. Jei funkcija f(x) yra ištisinė atkarpoje ir dviejuose taškuose a ir b (a yra mažesnė už b) įgyja nelygias reikšmes A = f(a) ≠ B = f(b), tai bet kuriam skaičiui C tarp A ir B yra taškas c ∈, kuriame funkcijos reikšmė lygi C: f(c) = C.

Teorema apie tolydžios funkcijos ribojimą intervale. Jei funkcija f(x) yra ištisinė intervale, tada ji yra apribota šiuo intervalu.

Teorema apie minimalių ir didžiausių reikšmių pasiekimą. Jei funkcija f(x) yra ištisinė intervale, tai šiame intervale ji pasiekia apatinę ir viršutinę ribas.

Tęstinumo teorema atvirkštinė funkcija. Tegul funkcija y=f(x) yra nuolatinė ir griežtai didėjanti (mažėjanti) intervale [a,b]. Tada atkarpoje yra atvirkštinė funkcija x = g(y), taip pat monotoniškai didėjanti (mažėjanti) ir nuolatinė.

Funkcijos tęstinumo taške tyrimas atliekamas pagal jau nustatytą įprastą schemą, kurią sudaro patikrinimas trys sąlygos tęstinumas:

1 pavyzdys

Patikrinkite funkcijos tęstinumą. Nustatykite funkcijų nepertrūkimų pobūdį, jei jie egzistuoja. Vykdykite piešinį.

Sprendimas:

1) Vienintelis taikymo srities taškas yra ten, kur funkcija neapibrėžta.

Vienpusės ribos yra baigtinės ir lygios.

Taigi tuo momentu, kai funkcija nutrūksta.

Kaip atrodo šios funkcijos grafikas?

Norėčiau supaprastinti , ir atrodo, kad gaunama eilinė parabolė. BET pradinė funkcija neapibrėžta taške , todėl reikalinga tokia sąlyga:

Padarykime piešinį:

Atsakymas: funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje, išskyrus tašką, kuriame ji nutrūksta.

Funkcija gali būti toliau apibrėžta gerai arba ne taip gerai, bet pagal sąlygą tai nėra būtina.

Sakote, tai toli menkas pavyzdys? Visai ne. Praktikoje tai nutiko dešimtis kartų. Beveik visos svetainės užduotys kyla iš tikro savarankiško darbo ir testų.

Atsikratykime mėgstamiausių modulių:

2 pavyzdys

Naršyti funkciją tęstinumui. Nustatykite funkcijų nepertrūkimų pobūdį, jei jie egzistuoja. Vykdykite piešinį.

Sprendimas: Kažkodėl studentai bijo ir nemėgsta funkcijų su moduliu, nors jose nėra nieko sudėtingo. Tokius dalykus jau šiek tiek palietėme pamokoje. Geometrinės transformacijos grafikus. Kadangi modulis nėra neigiamas, jis išplečiamas taip: , kur „alfa“ yra tam tikra išraiška. IN šiuo atveju, o mūsų funkcija turėtų būti parašyta dalimis:

Tačiau abiejų dalių trupmenos turi būti sumažintos . Sumažinimas, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, neįvyks be pasekmių. Pradinė funkcija taške neapibrėžta, nes vardiklis eina į nulį. Todėl sistema turėtų papildomai nurodyti sąlygą ir sugriežtinti pirmąją nelygybę:

Dabar apie LABAI NAUDINGAS priėmimas sprendimus: prieš baigiant užduotį juodraštyje, pravartu padaryti brėžinį (nepriklausomai nuo to, ar to reikalauja sąlygos, ar ne). Tai padės, pirma, iš karto pamatyti tęstinumo ir pertrūkių taškus, antra, 100% apsaugos jus nuo klaidų ieškant vienpusių ribų.

Padarykime piešinį. Remiantis mūsų skaičiavimais, į kairę nuo taško reikia nubrėžti parabolės fragmentą ( mėlyna), o dešinėje yra parabolės dalis (raudona), o funkcija neapibrėžta pačiame taške:

Jei abejojate, paimkite kelias x reikšmes ir prijunkite jas prie funkcijos (atsimindami, kad modulis sunaikina galimą minuso ženklą) ir patikrinkite grafiką.

Panagrinėkime tęstinumo funkciją analitiškai:

1) Funkcija taške neapibrėžta, todėl iš karto galime pasakyti, kad ji jame nėra tolydi.

2) Norėdami tai padaryti, nustatykime nepertraukiamumo pobūdį, apskaičiuojame vienpuses ribas:

Vienpusės ribos yra baigtinės ir skirtingos, o tai reiškia, kad funkcija patiria 1-osios rūšies nenuoseklumą su šuoliu taške. Atminkite, kad nesvarbu, ar funkcija lūžio taške yra apibrėžta, ar ne.

Dabar belieka perkelti brėžinį iš juodraščio (jis padarytas tarsi tyrimo pagalba ;-)) ir atlikti užduotį:

Atsakymas: funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje, išskyrus tašką, kuriame ji patiria pirmos rūšies pertrūkį su šuoliu.

Kartais jiems reikia papildomai nurodyti nenutrūkstamą šuolį. Jis apskaičiuojamas paprastai – iš dešinės ribos reikia atimti kairiąją ribą: , tai yra, lūžio taške mūsų funkcija šoktelėjo 2 vienetais žemyn (kaip sako minuso ženklas).

3 pavyzdys

Naršyti funkciją dėl tęstinumo. Nustatykite funkcijų nepertrūkimų pobūdį, jei jie egzistuoja. Padarykite piešinį.

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas, apytikslis pavyzdys sprendimai pamokos pabaigoje.

Pereikime prie populiariausios ir plačiausiai paplitusios užduoties versijos, kai funkcija susideda iš trijų dalių:

4 pavyzdys

Išnagrinėkite funkcijos tęstinumą ir nubraižykite funkcijos grafiką

.

Sprendimas: Akivaizdu, kad visos trys funkcijos dalys yra ištisinės atitinkamais intervalais, todėl belieka patikrinti tik du „sandūros“ taškus tarp gabalų. Pirmiausia padarykime brėžinio juodraštį. Pirmoje straipsnio dalyje pakankamai išsamiai pakomentavau statybos techniką. Vienintelis dalykas yra tai, kad turime atidžiai sekti savo vienaskaitos taškus: dėl nelygybės vertė priklauso tiesei ( žalias taškas), o dėl nelygybės reikšmė priklauso parabolei (raudonas taškas):


Na iš principo viskas aišku =) Belieka tik įforminti sprendimą. Kiekvienam iš dviejų „jungtinių“ taškų mes paprastai tikriname 3 tęstinumo sąlygas:

aš)

1)

Vienpusės ribos yra baigtinės ir skirtingos, o tai reiškia, kad funkcija patiria 1-osios rūšies nenuoseklumą su šuoliu taške.

Apskaičiuokime nepertraukiamumo šuolį kaip skirtumą tarp dešinės ir kairės ribų:
, tai yra, grafikas pakilo vienu vienetu.

II) Mes nagrinėjame tęstinumo tašką

1) - funkcija apibrėžta tam tikrame taške.

2) Raskite vienpuses ribas:

- vienpusės ribos yra baigtinės ir lygios, o tai reiškia, kad yra bendra riba.

3)

Paskutiniame etape piešinį perkeliame į galutinį variantą, po kurio įdedame galutinį akordą:

Atsakymas: funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje, išskyrus tašką, kuriame ji patiria pirmos rūšies pertrūkį su šuoliu.

5 pavyzdys

Išnagrinėkite funkcijos tęstinumą ir sudarykite jos grafiką .

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, trumpas sprendimas ir apytikslis užduoties pavyzdys pamokos pabaigoje.

Gali susidaryti įspūdis, kad vienu metu funkcija turi būti nenutrūkstama, o kitur – nenuoseklumas. Praktikoje taip būna ne visada. Stenkitės nepamiršti likusių pavyzdžių - bus keletas įdomių ir svarbių funkcijų:

6 pavyzdys

Suteikta funkcija . Ištirkite tęstinumo taškuose funkciją. Sukurkite grafiką.

Sprendimas: ir vėl nedelsdami vykdykite piešinį ant juodraščio:

Ypatingumas šio tvarkaraščio tai kada dalimis funkcija yra pateikta x ašies lygtimi. Ši sritis nupiešta čia žalias, o sąsiuvinyje dažniausiai paprastu pieštuku paryškinamas pusjuodžiu šriftu. Ir, žinoma, nepamirškite apie mūsų avinus: reikšmė priklauso liestinės šakai (raudonas taškas), o vertė priklauso tiesei.

Iš brėžinio viskas aišku - funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje, belieka formalizuoti sprendimą, kuris pažodžiui po 3-4 panašių pavyzdžių yra visiškai automatizuotas:

aš) Mes nagrinėjame tęstinumo tašką

2) Apskaičiuokime vienpuses ribas:

, o tai reiškia, kad yra bendra riba.

Čia atsitiko mažas juokingas dalykas. Faktas yra tas, kad aš sukūriau daug medžiagų apie funkcijos ribas, ir kelis kartus norėjau, bet kelis kartus apie vieną pamiršau paprastas klausimas. Ir taip neįtikėtinomis valios pastangomis prisiverčiau nepraleisti minties =) Greičiausiai kai kurie „manekenai“ skaitytojai abejoja: kodėl lygia riba konstantos? Konstantos riba lygi pačiai konstantai. Šiuo atveju nulio riba yra lygi pačiam nuliui (kairiosios rankos riba).

3) - funkcijos riba taške yra lygi šios funkcijos reikšmei tam tikrame taške.

Taigi funkcija yra tolydi taške pagal funkcijos tęstinumo taške apibrėžimą.

II) Mes nagrinėjame tęstinumo tašką

1) - funkcija apibrėžta duotame taške.

2) Raskite vienpuses ribas:

Ir čia, dešinės rankos riboje, vienybės riba yra lygi pačiai vienybei.

– yra bendra riba.

3) - funkcijos riba taške yra lygi šios funkcijos reikšmei tam tikrame taške.

Taigi funkcija yra tolydi taške pagal funkcijos tęstinumo taške apibrėžimą.

Kaip įprasta, po tyrimų mes perkeliame savo piešinį į galutinį variantą.

Atsakymas: funkcija yra ištisinė taškuose.

Atkreipkite dėmesį, kad esant tokiai sąlygai, mūsų nieko neklausė apie visos tęstinumo funkcijos tyrimą, ir yra laikoma gera matematine forma suformuluoti tiksliai ir aiškiai atsakymas į užduotą klausimą. Beje, jei sąlygos nereikalauja sudaryti grafiko, tuomet jūs turite visas teises jo nedaryti (nors vėliau mokytojas gali priversti jus tai padaryti).

Mažas matematinis „liežuvio suktukas“, skirtas pačiam tai išspręsti:

7 pavyzdys

Suteikta funkcija .

Ištirkite tęstinumo taškuose funkciją. Klasifikuokite lūžio taškus, jei tokių yra. Vykdykite piešinį.

Pabandykite taisyklingai "ištarti" visus "žodžius" =) Ir nubraižykite grafiką tiksliau, tikslumas, jis nebus visur nereikalingas;-)

Kaip prisimenate, aš rekomendavau nedelsiant užpildyti brėžinį kaip juodraštį, tačiau karts nuo karto susiduri su pavyzdžiais, kai negali iš karto suprasti, kaip atrodo grafikas. Todėl daugeliu atvejų pravartu pirmiausia rasti vienpuses ribas ir tik tada, remiantis tyrimu, vaizduoti šakas. Dviese galutiniai pavyzdžiai Be to, įvaldysime kai kurių vienpusių ribų skaičiavimo techniką:

8 pavyzdys

Išnagrinėkite tęstinumo funkciją ir sudarykite jos scheminį grafiką.

Sprendimas: blogieji taškai yra akivaizdūs: (sumažina rodiklio vardiklį iki nulio) ir (sumažina visos trupmenos vardiklį iki nulio). Neaišku, kaip atrodo šios funkcijos grafikas, o tai reiškia, kad geriau pirmiausia atlikti tyrimą:

aš) Mes nagrinėjame tęstinumo tašką

2) Raskite vienpuses ribas:

Atkreipkite dėmesį tipinis vienpusės ribos apskaičiavimo metodas: vietoj „x“ pakeičiame . Vardiklyje nėra nusikaltimo: „pridėjimas“ „minus nulis“ nevaidina, o rezultatas yra „keturi“. Tačiau skaitiklyje vyksta mažas trileris: pirmiausia rodiklio vardiklyje nužudome -1 ir 1, todėl gauname . Vienetas padalintas iš , yra lygus „minus begalybei“, todėl: . Ir galiausiai, „du“. be galo didelis neigiamas laipsnis lygus nuliui: . Arba dar konkrečiau: .

Apskaičiuokime dešinės pusės ribą:

Ir čia - vietoj „X“ pakeičiame . Vardiklyje „priedas“ vėlgi nevaidina vaidmens: . Skaitiklyje atliekami veiksmai, panašūs į ankstesnę ribą: sunaikiname priešingi skaičiai ir padalinti po vieną :

Dešinės pusės riba yra begalinė, o tai reiškia, kad funkcija taške patiria 2-osios rūšies nenuoseklumą.

II) Mes nagrinėjame tęstinumo tašką

1) Funkcija šiuo metu neapibrėžta.

2) Apskaičiuokime kairiosios pusės ribą:

Metodas yra tas pats: į funkciją pakeičiame „X“. Skaitiklyje nėra nieko įdomaus – pasirodo, kad tai baigtinis teigiamas skaičius. O vardiklyje atidarome skliaustus, pašaliname „tris“ ir lemiamas vaidmuo„priedų“ vaidinimai.

Dėl to galutinis teigiamas skaičius padalytas iš be galo mažas teigiamas skaičius, suteikia „plius begalybę“: .

Dešiniosios rankos riba yra kaip brolis dvynys, su vienintele išimtimi, kad ji rodoma vardiklyje be galo mažas neigiamas skaičius:

Vienpusės ribos yra begalinės, o tai reiškia, kad funkcija taške patiria 2-osios rūšies nenuoseklumą.

Taigi, turime du lūžio taškus ir, aišku, tris grafiko šakas. Kiekvienai šakai patartina atlikti taškinė konstrukcija, t.y. paimkite keletą „x“ reikšmių ir pakeiskite jas į . Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga leidžia sudaryti scheminį brėžinį, ir toks atsipalaidavimas yra natūralus pačių pagamintas. Grafikus kuriu naudodamas programą, todėl neturiu tokių sunkumų, čia yra gana tikslus vaizdas:

Tiesioginiai yra vertikalios asimptotės šios funkcijos grafikui.

Atsakymas: funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje, išskyrus taškus, kuriuose ji patiria 2-ojo tipo netolydumus.

Daugiau paprasta funkcija nepriklausomam sprendimui:

9 pavyzdys

Išnagrinėkite tęstinumo funkciją ir padarykite scheminį brėžinį.

Apytikslis mėginio tirpalas pabaigoje, kuris nepastebimai išlindo.

Iki pasimatymo!

Sprendimai ir atsakymai:

3 pavyzdys:Sprendimas : transformuoti funkciją: . Atsižvelgiant į modulio atskleidimo taisyklę ir faktas, kad , perrašome funkciją dalimis:


Panagrinėkime tęstinumo funkciją.

1) Funkcija taške neapibrėžta .

Vienpusės ribos yra baigtinės ir skirtingos, o tai reiškia, kad funkcija patiria 1-ojo tipo nenuoseklumą su šuoliu taške . Padarykime piešinį:

Atsakymas: funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje, išskyrus tašką , kurioje jis patiria pirmos rūšies tęstinumą su šuoliu. Peršokimo tarpas: (dviem vienetais daugiau).

5 pavyzdys:Sprendimas : kiekvienas iš tris dalis funkcija yra nuolatinė savo intervalu.
aš)
1)

2) Apskaičiuokime vienpuses ribas:

, o tai reiškia, kad yra bendra riba.
3) - funkcijos riba taške yra lygi šios funkcijos reikšmei tam tikrame taške.
Taigi funkcija ištisinis taške apibrėžiant funkcijos tęstinumą taške.
II) Mes nagrinėjame tęstinumo tašką

1) - funkcija apibrėžta tam tikrame taške. funkcija taške patiria 2-osios rūšies nenutrūkstamumą

Kaip rasti funkcijos domeną?

Sprendimų pavyzdžiai

Jei kažkur kažko trūksta, vadinasi, kažkur kažko yra

Tęsiame „Funkcijų ir grafikų“ skyriaus studijas, o kita mūsų kelionės stotis yra Funkcijos domenas. Aktyvi diskusija ši koncepcija prasidėjo pirmoje pamokoje apie funkcijų grafikus kur aš peržiūrėjau elementarios funkcijos ir ypač jų apibrėžimo sritis. Todėl aš rekomenduoju manekenams pradėti nuo temos pagrindų, nes daugiau nesigilinsiu ties kai kuriais pagrindiniais dalykais.

Daroma prielaida, kad skaitytojas žino pagrindinių funkcijų apibrėžimo sritis: tiesinę, kvadratinę, kubinė funkcija, daugianariai, eksponentas, logaritmas, sinusas, kosinusas. Jie yra apibrėžti . Dėl liestinių, arcsinų, tebūnie, atleidžiu =) Retesni grafikai ne iš karto įsimenami.

Atrodo, kad apibrėžimo apimtis yra paprastas dalykas, ir kyla logiškas klausimas: apie ką bus straipsnis? Įjungta šią pamoką Išnagrinėsiu dažniausiai pasitaikančias funkcijos apibrėžimo srities radimo problemas. Be to, mes pakartosime nelygybės su vienu kintamuoju, kurių sprendimo įgūdžių prireiks atliekant kitas užduotis aukštoji matematika. Medžiaga, beje, yra visa mokyklinė medžiaga, todėl ji bus naudinga ne tik mokiniams, bet ir mokiniams. Informacija, aišku, nepretenduoja į enciklopediją, bet čia ne toli „negyvi“ pavyzdžiai, o kepti kaštonai, paimti iš tikrų praktinių darbų.

Pradėkime nuo greito pasinerimo į temą. Trumpai apie pagrindinį dalyką: mes kalbame apie vieno kintamojo funkciją. Jo apibrėžimo sritis yra daug "x" reikšmių, kuriam egzistuoja„žaidėjų“ reikšmės. Pasvarstykime sąlyginis pavyzdys:

Šios funkcijos apibrėžimo sritis yra intervalų sąjunga:
(tiems, kurie pamiršo: - suvienijimo piktograma). Kitaip tariant, jei paimsite bet kokią „x“ reikšmę iš intervalo , arba iš , arba iš , tada kiekvienam tokiam „x“ bus reikšmė „y“.

Grubiai tariant, kur yra apibrėžimo sritis, yra funkcijos grafikas. Tačiau pusės intervalas ir „tse“ taškas neįtraukti į apibrėžimo sritį, todėl ten nėra grafiko.

Taip, beje, jei kas neaišku iš pirmų pastraipų terminų ir/ar turinio, geriau grįžti prie straipsnio Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės.

Apibrėžimas
Funkcija f (x) paskambino ištisinis taške x 0 šio taško kaimynystėje ir jei riba kaip x linkusi į x 0 lygus funkcijos reikšmei ties x 0 :
.

Naudodamiesi Koši ir Heine funkcijos ribos apibrėžimais, galime pateikti išplėsti funkcijos tęstinumo taške apibrėžimai .

Tęstinumo sąvoką galime suformuluoti prieaugių atžvilgiu. Norėdami tai padaryti, pristatome naują kintamąjį, kuris vadinamas kintamojo x padidėjimu taške.
.
Tada funkcija yra ištisinė taške if
.
Pristatykime naują funkciją: Jie jai skambina funkcijos padidėjimas
.

taške.
Funkcija f (x) paskambino Tada funkcija yra ištisinė taške if 0 Tęstinumo apibrėžimas dešinėje (kairėje) 0 lygus funkcijos reikšmei ties x 0 :
.

ištisinis dešinėje (kairėje) taške x
, jei ji apibrėžta kurioje nors dešinėje (kairėje) šio taško kaimynystėje ir jei dešinioji (kairė) riba taške x (x) Tolydžios funkcijos ribos teorema 0 Tegul funkcija f yra ištisinis taške x.

Tada yra kaimynystė U
(x0)
.
, kurio funkcija apribota.
Tolydžios funkcijos ženklo išsaugojimo teorema

Tegul funkcija yra ištisinė taške. Ir tegul šiuo metu ji turi teigiamą (neigiamą) reikšmę:
Tada yra taško, kuriame funkcija turi teigiamą (neigiamą) reikšmę, kaimynystė:
adresu .
Aritmetinės savybės

nuolatinės funkcijos
Tegul funkcijos ir yra tolydžios taške .

Tada funkcijos ir yra ištisinės taške .

Jei , tada funkcija yra ištisinė taške .

Tęstinumo teorema Kairės ir dešinės tęstinumo nuosavybė
Funkcija yra ištisinė taške tada ir tik tada, kai ji yra ištisinė dešinėje ir kairėje.
Savybių įrodymai pateikti puslapyje „Funkcijų, ištisinių taške, savybės“.

Sudėtingos funkcijos tęstinumas

sudėtinga funkcija
Tegul funkcija yra ištisinė taške.
.
Ir tegul funkcija taške yra ištisinė. 0 Tada kompleksinė funkcija yra ištisinė taške.
Sudėtingos funkcijos riba
Funkcijos tolydžios funkcijos ribos teorema
.

Tegul yra funkcijos riba ir ji yra lygi:
Čia yra taškas t
gali būti baigtinis arba be galo tolimas: . Ir tegul funkcija taške yra ištisinė. Tada yra sudėtingos funkcijos riba, kuri yra lygi:
Teorema apie kompleksinės funkcijos ribą
.

Leiskite funkcijai turėti ribą ir priskirti pradurtą taško apylinkę į pradurtą taško apylinkę.

Tegul funkcija yra apibrėžta šioje kaimynystėje ir apribota.
Tegul funkcija yra apibrėžta tam tikroje pertrauktoje taško kaimynystėje. Taškas vadinamas funkcijos lūžio taškas
, jei įvykdoma viena iš dviejų sąlygų:
1) neapibrėžtas ;

2) yra apibrėžtas , bet nėra šiame taške.
1-osios rūšies nutrūkimo taško nustatymas Taškas vadinamas pirmos rūšies nenutrūkstamumo taškas
.

, jei yra lūžio taškas, o kairėje ir dešinėje yra baigtinės vienpusės ribos:
Funkcijos šuolio apibrėžimasŠuolio Δ funkcija
.

taške yra skirtumas tarp dešinėje ir kairėje esančių ribų
1-osios rūšies nutrūkimo taško nustatymas Lūžio taško nustatymas nuimamas lūžio taškas
,
, jei yra riba

bet funkcija taške arba neapibrėžta, arba nelygi ribinei vertei: . Taigi, nuimamo netolydumo taškas yra 1-osios rūšies netolydumo taškas, kuriame funkcijos šuolis.

lygus nuliui
1-osios rūšies nutrūkimo taško nustatymas 2-osios rūšies nutrūkimo taško nustatymas antrojo tipo nenutrūkstamumo taškas

, jei tai nėra 1-osios rūšies nutrūkimo taškas.

Tai yra, jei taške nėra bent vienos vienpusės ribos arba bent viena vienpusė riba yra lygi begalybei.
Funkcijų, ištisinių intervale, savybės

Funkcijos, kuri tęsiasi intervale, apibrėžimas
Funkcija vadinama tęstine intervale (at), jei ji yra ištisinė visuose atvirojo intervalo (at) taškuose ir atitinkamai taškuose a ir b.

Pirmoji Weierstrass'o teorema apie funkcijos, tęsiamos intervale, ribojimą
Jei funkcija yra nepertraukiama intervale, tada ji yra apribota šiuo intervalu.
Didžiausio (minimalaus) pasiekiamumo nustatymas

Funkcija aibėje pasiekia maksimumą (minimumą), jei yra argumentas
visiems.
.

Viršutinio (apatinio) veido pasiekiamumo nustatymas
Funkcija pasiekia viršutinę (apatinę) aibės ribą, jei yra argumentas Antroji Weierstrasso teorema apie tolydžios funkcijos maksimumą ir minimumą Funkcija, kuri tęsiasi segmente, pasiekia viršutinę ir viršutinę ribas.

apatiniai kraštai
arba, kas yra tas pats, intervale pasiekia maksimumą ir minimumą. Bolzano-Cauchy tarpinės reikšmės teorema Tegul funkcija yra ištisinė atkarpoje.
.

Ir tegul būna C
savavališkas skaičius , esantis tarp funkcijos reikšmių segmento galuose: ir . Tada yra taškas, už kurį
.

1 išvada
Tegul funkcija yra ištisinė atkarpoje.
Tolydžios funkcijos ženklo išsaugojimo teorema

Atvirkštinės funkcijos

Atvirkštinės funkcijos apibrėžimas
Tegul funkcija turi apibrėžimo X sritį ir reikšmių rinkinį Y.
Didžiausio (minimalaus) pasiekiamumo nustatymas
Ir tegul turi turtą: Tada bet kuriam elementui iš aibės Y galima susieti tik vieną aibės X elementą, kuriam .Šis atitikimas apibrėžia funkciją, vadinamą
.

atvirkštinė funkcija
;
Į . Atvirkštinė funkcija žymima taip:
Didžiausio (minimalaus) pasiekiamumo nustatymas

Iš apibrėžimo matyti, kad
visiems;

Lemma apie tiesioginių ir atvirkštinių funkcijų tarpusavio monotoniškumą
Jei funkcija griežtai didėja (mažėja), tai yra atvirkštinė funkcija, kuri taip pat griežtai didėja (mažėja).

Tiesioginių ir atvirkštinių funkcijų grafikų simetrijos savybė
Tiesioginių ir atvirkštinių funkcijų grafikai yra simetriški tiesės atžvilgiu.

Teorema apie atvirkštinės funkcijos intervale egzistavimą ir tęstinumą

Tegul funkcija yra nuolatinė ir griežtai didėjanti (mažėjanti) segmente.
Tada atkarpoje apibrėžiama ir tęstinė atvirkštinė funkcija, kuri griežtai didėja (mažėja).

Dėl didėjančios funkcijos.
Sumažinti -.

Teorema apie atvirkštinės funkcijos intervale egzistavimą ir tęstinumą

Tegul funkcija yra nuolatinė ir griežtai didėjanti (mažėjanti) atvirame baigtiniame arba begaliniame intervale.

Tada apibrėžiama atvirkštinė funkcija ir tęsiasi intervale, kuris griežtai didėja (mažėja).

Dėl didėjančios funkcijos.

Norėdami sumažinti: . Panašiai galime suformuluoti teoremą apie atvirkštinės funkcijos egzistavimą ir tęstinumą per pusę intervalo. Elementariųjų funkcijų savybės ir tęstinumas > 0 Elementariosios funkcijos ir jų atvirkštinės reikšmės savo apibrėžimo srityje yra ištisinės. Žemiau pateikiame atitinkamų teoremų formuluotes ir pateikiame nuorodas į jų įrodymus.
,
Eksponentinė funkcija Eksponentinė funkcija f(x) = ax
.

, su pagrindu a yra sekos riba
kur yra savavališka seka
racionalūs skaičiai, linkęs į x:
Teorema. Savybės eksponentinė funkcija 1 Eksponentinė funkcija turi šias savybes:
(P.0) apibrėžta, už , visiems ;
(P.1) ;
už ≠ ;
turi daug reikšmių; ;
(P.2) ;
griežtai didėja ties , griežtai mažėja ties , yra pastovus ties ; ;
(P.3) ;
(P.3*)(P.4)
(P.5)(6 psl.)
Tolydžios funkcijos ženklo išsaugojimo teorema

(7 psl.)

(8 psl.) tęstinis visiems; (9 psl.) adresu ; Logaritmas

Logaritminė funkcija
, arba logaritmas, y = rąsto kirvis, su pagrindu a
yra atvirkštinė eksponentinė funkcija su baze a. Teorema. Logaritmo savybės Logaritminė funkcija su baze a, y = užsirašyk x
(L.2) Eksponentinė funkcija turi šias savybes:
(L.3) griežtai didėja kaip , griežtai mažėja kaip ;
(L.4)(6 psl.)
(6 psl.)
(L.5) ;
(L.6)(6 psl.)
(L.7)(6 psl.)
(L.8)(6 psl.)
(L.9) Tolydžios funkcijos ženklo išsaugojimo teorema

Rodiklis ir natūralusis logaritmas

Eksponentinės funkcijos ir logaritmo apibrėžimuose atsiranda konstanta, kuri vadinama laipsnio baze arba logaritmo baze. Atliekant matematinę analizę, didžiąja dauguma atvejų daugiau paprasti skaičiavimai, jei kaip pagrindą naudojate skaičių e:
.
Eksponentinė funkcija su baze e vadinama eksponentu: , o logaritmas su baze e vadinamas natūraliuoju logaritmu: .

Puslapiuose pateikiamos rodiklio savybės ir natūralusis logaritmas
"Laipiklis, e iki x laipsnio",
"Natūralus logaritmas, ln x funkcija"

Maitinimo funkcija

Maitinimo funkcija su eksponentu p yra funkcija f (x) = x p, kurios reikšmė taške x yra lygi eksponentinės funkcijos su baze x reikšmei taške p.
Be to, f (0) = 0 p = 0 už p > 0 .

Čia mes apsvarstysime galios funkcijos y = x p savybes neneigiamoms argumento reikšmėms.
Racionalumui, nelyginiam m, galios funkcija taip pat apibrėžiama neigiamam x.

Šiuo atveju jo savybes galima gauti naudojant lyginį arba nelyginį.
Šie atvejai yra išsamiai aptarti ir iliustruoti puslapyje „Galios funkcija, jos savybės ir grafikai“.
Teorema. Galios funkcijos savybės (x ≥ 0) Laipsnio funkcija, y = x p, su eksponentu p, turi šias savybes:
(C.1)
apibrėžtas ir nenutrūkstamas filmavimo aikštelėje

,

adresu ".
Trigonometrinės funkcijos Trigonometrinių funkcijų tęstinumo teorema Trigonometrinės funkcijos: sinusas ( nuodėmė x), kosinusas ( cos x), liestinė ( tg x

) ir kotangentas (
ctg x Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų tęstinumo teorema Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos: arcsinus ( arcsin x), lanko kosinusas ( arccos x), arctangentas ( arctan x) ir lanko liestinė (

arcctg x
), yra tęstiniai savo apibrėžimo srityje.
Naudota literatūra: O.I. Besovas. Matematinės analizės paskaitos. 1 dalis. Maskva, 2004 m. L.D. Kudrjavcevas. Na
matematinė analizė

. 1 tomas. Maskva, 2003 m.

Tęstinė funkcija matematiškai išreiškia vieną savybę, su kuria dažnai susiduriame praktikoje, būtent, kad mažas nepriklausomo kintamojo prieaugis atitinka mažą priklausomo kintamojo (funkcijos) prieaugį. Puikūs pavyzdžiai gali tarnauti nuolatinė funkcija įvairių įstatymų kūnų judesiai \(s=f(t)\), išreiškiantys kūno nueito kelio \(s\) priklausomybę nuo laiko \(t\) . Laikas ir erdvė yra nenutrūkstami, o vienas ar kitas kūno judėjimo dėsnis \(s=f(t)\) nustato tarp jų tam tikrą nuolatinį ryšį, pasižymintį tuo, kad mažas laiko prieaugis atitinka nedidelį kelio prieaugį.

Žmogus prie tęstinumo abstrakcijos atėjo stebėdamas vadinamąjį kontinuumai- kietos, skystos arba dujinės, pavyzdžiui, metalai, vanduo, oras. Tiesą sakant, kaip dabar gerai žinoma, kiekvienas fizinė aplinka yra klasteris didelis skaičius viena nuo kitos atskirtos judančios dalelės. Tačiau šios dalelės ir atstumai tarp jų yra tokie maži, palyginti su terpės tūriais, su kuriais tenka susidurti makroskopiškai. fizikiniai reiškiniai, kad daugelį tokių reiškinių galima gana gerai ištirti, jei apytiksliai apsvarstysime tiriamos terpės masę be jokių tarpų, nuolat paskirstytą jos užimamoje erdvėje. Daugelis žmonių remiasi šia prielaida. fizinės disciplinos, pavyzdžiui, hidrodinamika, aerodinamika, elastingumo teorija. Matematinė samprata Tęstinumas natūraliai vaidina svarbų vaidmenį šiose disciplinose, kaip ir daugelyje kitų.

Panagrinėkime kokią nors funkciją \(y=f(x)\) ir gerai apibrėžtą nepriklausomo kintamojo \(x_0\) reikšmę. Jei mūsų funkcija atspindi kai kuriuos nuolatinis procesas, tada \(x\) reikšmės, kurios mažai skiriasi nuo \(x_0\), turėtų atitikti funkcijos \(f(x)\) reikšmes, kurios mažai skiriasi nuo reikšmės \(f(x_0) )\) taške \(x_0\) . Taigi, jei nepriklausomo kintamojo prieaugis \(x-x_0\) yra mažas, tai atitinkamas funkcijos prieaugis \(f(x)-f(x_0)\) taip pat turi būti mažas. Kitaip tariant, jei nepriklausomo kintamojo \(x-x_0\) padidėjimas linkęs į nulį, tada funkcijos prieaugis \(f(x)-f(x_0)\) savo ruožtu turi būti linkęs į nulį, kurį galima parašyti taip:

\(\lim_(x-x_0\to0)\Bigl=0.\)

Šis ryšys yra funkcijos tęstinumo taške \(x_0\) matematinis apibrėžimas.

Funkcija \(f(x)\) vadinama ištisine taške \(x_0\), jei tenkinama (1) lygybė.

Pateikime kitą apibrėžimą:

Teigiama, kad funkcija yra nuolatinė visoms priklausančioms reikšmėms šis segmentas, jei jis yra tolydis kiekviename šios atkarpos taške \(x_0\), t.y. kiekviename tokiame taške tenkinama lygybė (1).

Taigi, norint patekti matematinis apibrėžimas funkcijos savybė, susidedanti iš to, kad jos grafikas yra ištisinė (įprastu šio termino supratimu) kreivė, pirmiausia reikėjo nustatyti vietinę, vietinę tęstinumo savybę (tęstinumas taške \(x_0\)). ), o tada pagal tai nustatykite funkcijos tęstinumą visame segmente.

Aukščiau pateiktas apibrėžimas, kurį praėjusio amžiaus pradžioje pirmą kartą nurodė Koši, yra visuotinai priimtas šiuolaikinėje matematinėje analizėje. Tikrinama daugybė konkrečių pavyzdžių parodė, kad šis apibrėžimas gerai atitinka mūsų dabartinę praktinę tolydžios funkcijos sampratą, pavyzdžiui, tęstinio grafiko sąvoką.

Tęstinių funkcijų pavyzdžiai yra gerai žinomi mokyklinė matematika elementarios funkcijos \(x^n,\) \(\sin(x),\) \(\cos(x),\) \(a^x,\) \(\lg(x),\) \( \arcsin(x),\) \(\arccos(x)\) . Visi išvardytų funkcijų yra ištisiniai keitimo intervaluose \(x\), kur jie yra apibrėžti.

Jei ištisinės funkcijos pridedamos, atimamos, dauginamos ir dalijamos (vardiklis nelygus nuliui), tada vėl pasieksime ištisinę funkciją. Tačiau dalijant, tęstinumas paprastai nutrūksta toms \(x_0\) reikšmėms, kurioms esant funkcija vardiklyje tampa nuliu. Tada padalijimo rezultatas reiškia funkciją, nenutrūkstamą taške \(x_0\).

Funkcija \(y=\frac(1)(x)\) gali būti funkcijos, nenutrūkstamos taške \(y=0\), pavyzdys. Nemažai kitų pavyzdžių nepertraukiamos funkcijos Pateikite diagramas, parodytas pav. 1.

Rekomenduojame atidžiai peržiūrėti šias diagramas. Atkreipkite dėmesį, kad funkcijų nenutrūkstamumai yra skirtingi: kartais, kai \(x\) artėja prie taško \(x_0\), kur funkcija nutrūksta, riba \(f(x)\) egzistuoja, bet skiriasi nuo \(f (x_0)\ ), o kartais, kaip parodyta pav. 1c, ši riba tiesiog neegzistuoja. Taip pat atsitinka, kad \(x\) artėjant prie \(x_0\), viena vertus, \(f(x)-f(x_0)\to0\) , o jei \(x\iki x_0\) artėja nuo kita vertus, tada \(f(x)-f(x_0)\) nebėra linkęs į nulį. Šiuo atveju, žinoma, turime funkcijos nepertraukiamumą, nors apie tai galime pasakyti, kad šiuo metu ji yra „nepertraukiama vienoje pusėje“. Visus šiuos atvejus galima pamatyti toliau pateiktose diagramose.

Funkcijos tęstinumo apibrėžimas

1. Funkcija \(y=f(x)\) yra ištisinė taške \(x=a\), jei ribos kairėje ir dešinėje yra lygios ir lygios funkcijos reikšmei šiame taške, t.y.

\(\lim_(x\to a-0)f(x)=\lim_(x\to a+0)f(x)=f(a).\)

2. Funkcija \(y=f(x)\) yra ištisinė taške \(x=a\), jei ji apibrėžta šiame taške ir jei be galo mažas argumento prieaugis atitinka be galo mažą funkcijos prieaugį, t.y. \(\lim_(\Delta x\to 0)\Delta y=0\)šalia taško \(a\) .

Baigtinio skaičiaus ištisinių funkcijų suma, skirtumas ir sandauga yra tolydžioji funkcija.

Funkcija ištisinė intervale \(\) įgyja bet kokią tarpinę reikšmę tarp jos mažiausios \(m\) ir didžiausios \(M\) reikšmės, tai yra \(m\leqslant f(x)\leqslant M\) visiems \(x\in\) . Iš to seka, kad jei atkarpos \(\) ribiniuose taškuose funkcija turi skirtingus ženklus, tai atkarpos viduje yra bent viena reikšmė \(x=c\), kuriai esant funkcija išnyksta. Ši funkcijų tęstinumo savybė leidžia apytiksliai rasti daugianario šaknis.

Funkcijų lūžio taškai

Argumentų reikšmės, kurios neatitinka tęstinumo sąlygų, vadinamos funkcijos lūžio taškai. Šiuo atveju išskiriami du funkcijų nepertraukiamumo taškų tipai.

Jei \(x\to a\) kairėje, funkcija turi galutinė riba\(k_1\) , o \(x\to a\) dešinėje funkcija turi baigtinę ribą \(k_2\) ir \(k_1\ne k_2\) , tada jie sako, kad funkcija \(x =a\) turi pirmosios rūšies plyšimas. Skirtumas \(|k_1-k_2|\) lemia funkcijos šuolį taške \(x=a\) . Funkcijos reikšmė \(x=a\) gali būti lygi bet kuriam skaičiui \(k_3\) .

Jei funkcijos reikšmė ties \(x=a\) yra lygi \(k_1\) , tada sakoma, kad funkcija paliekama ištisinė; jei \(k_2\) , tada jie sako, kad funkcija yra teisinga ištisinė.

Jei \(k_1=k_2\ne k_3\), jie sako, kad funkcija taške \(a\) pataisomas tarpas.

Jei \(x\to a\) dešinėje arba kairėje, funkcijos riba neegzistuoja arba yra lygi begalybei, tai yra \(\lim_(x\to a)f(x)=\infty \), tada jie sako, kad \ (x=a\) funkcija turi antros rūšies nenuoseklumas.

1 pavyzdys. Raskite reikšmių rinkinį\(x\), kuriai funkcija \(y=x^3-2x\) yra ištisinė.

Sprendimas. Raskime funkcijos prieaugį

\(\Delta y=(x+\Delta x)^3-2(x+\Delta x)-(x^3-2x)=\Delta x\,(\Delta x^2+3x\Delta x+3x^ 2–2).\)

Bet kurioms kintamojo \(x\) reikšmėms prieaugis yra \(\Delta y\to0\), nebent \(\Delta x\to0\), todėl funkcija yra nuolatinė visiems tikrosios vertybės kintamasis \(x\) .

2 pavyzdys. Įrodykite funkcijos \(y=\frac(1)(x-1)\) tęstinumą taške \(x=3\) .

Sprendimas. Norėdami tai įrodyti, suraskime funkcijos \(y\) prieaugį, kai argumento reikšmė pereina iš \(x=3\) į \(x=3+\Delta x\)

\(\Delta y=\frac(1)(3+\Delta x-1)-\frac(1)(3-1)=\frac(1)(2+\Delta x)-\frac(1) (2)=\frac(2-2-\Delta x)(2(2+\Delta x))=\frac(-\Delta x)(2(2+\Delta x)).\)

Raskime funkcijos prieaugio ribą ties \(\Delta x\to0\)

\(\lim_(\Delta x\to0)\Delta y=-\lim_(\Delta x\to0)\frac(\Delta x)(2(2+\Delta x))=-\frac(0)( 2(2+0))=0.\)

Kadangi funkcijos prieaugio riba ties \(\Delta x\to0\) yra lygi nuliui, tada funkcija ties \(x\to3\) yra ištisinė.

3 pavyzdys. Nustatykite funkcijų nepertraukiamumo pobūdį ir sudarykite grafikus:

\(\mathrm(a))~y=\frac(1)(x-1)~\text(if)~x=1;\qquad\mathrm(b))~y=\frac(x)(| x|)~\text(if)~x=0;\qquad\mathrm(c))~y=\begin(cases)2x,&\text(if)~x\ne2,\\1,&\tekstas (if)~x=2;\end(cases)\qquad\mathrm(d))~y=a^(1/x)~(a>1);\qquad\mathrm(e))~y=\ operatoriaus pavadinimas(arctg)\frac(1)(x).\)

Sprendimas.

a) Kai \(x=1\) funkcija neapibrėžta, šiame taške randame vienpuses ribas:

\(\lim_(x\to1-0)\frac(1)(x-1)=-\infty;\quad\lim_(x\to1+0)\frac(1)(x-1)=+\ infty.\)

Vadinasi, taške \(x=1\) funkcija turi antrojo tipo nenutrūkstamumą.

b) \(x<0\) предел функции равен \(\lim_(0-0)\frac(x)(|x|)=-1=k_1\). Kai \(x>0\), riba yra lygi \(\lim_(0+0)\frac(x)(|x|)=1=k_2\). Vadinasi, taške \(x=1\) funkcija \(y\) turi pirmos rūšies nenutrūkstamumą, o funkcijos šuolis yra lygus \(|k_1-k_2|=|-1-1|= 2\) .

c) Funkcija apibrėžta visame skaičių ašis, ne elementari, nes taške \(x=2\) analitinė išraiška funkcijų pokyčiai. Panagrinėkime funkcijos tęstinumą taške \(x=2\) :

\(\lim_(x\to2-0)=4,\quad\lim_(x\to2+0)2x=4,\quad y(2)=1,\quad k_1=k_2\ne k_3.\)

Akivaizdu, kad taške \(x=2\) funkcija turi pašalinamą nutrūkimą.

d) Raskite funkcijos kairę ir dešinę ribas taške \(x=0\):

\(y(+0)=\lim_(x\to+0)a^(1/x)=+\infty,\quad y(-0)=\lim_(x\to-0)a^(1 /x)=0.\)

Taigi taške \(x=0\) funkcija turi antrojo tipo nenuoseklumą dešinėje ir tęstinumą kairėje.

e) Raskite funkcijos vienpuses ribas taške \(x=0\) :

\(y(+0)=\lim_(x\to+0)\operatoriaus vardas(arctg)\frac(1)(x)=\frac(\pi)(2),\quad y(-0)=\ lim_(x\to-0)\operatoriaus vardas(arctg)\frac(1)(x)=-\frac(\pi)(2).\)

Taigi taške \(x=0\) abiejose funkcijos pusėse \(y=\operatoriaus vardas(arctg)\frac(1)(x)\)žirgų lenktynės

Funkcijos tęstinumo taške nustatymas
Funkcija f (x) paskambino ištisinis taške x 0 kaimynystėje U yra ištisinis taške xšį tašką, ir jei riba kaip x linkusi į x 0 egzistuoja ir yra lygi funkcijos reikšmei x 0 :
.

Tai reiškia, kad x 0 - Tai pabaigos taškas. Funkcijos reikšmė jame gali būti tik baigtinis skaičius.

taške.
Funkcija f (x) paskambino Tada funkcija yra ištisinė taške if 0 Tęstinumo apibrėžimas dešinėje (kairėje) 0 lygus funkcijos reikšmei ties x 0 :
.

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Naudodamiesi Heine ir Cauchy apibrėžimais, įrodykite, kad funkcija yra ištisinė visiems x.

Tegul yra savavališkas skaičius. Įrodykime tai suteikta funkcija yra ištisinis taške.

Funkcija apibrėžta visiems x .

Todėl jis apibrėžiamas taške ir bet kurioje jo apylinkėje.
.
Mes naudojame Heine apibrėžimą
.
Naudokimės. Tegul yra savavališka seka, konverguojanti į : .

Taikydami sekų sandaugos ribos savybę turime:

Kadangi yra savavališka seka, susiliejanti į , Tada
Tęstinumas įrodytas.
Mes naudojame Cauchy apibrėžimą .

Naudokimės.
.
Panagrinėkime atvejį.

;
Mes turime teisę apsvarstyti funkciją bet kurioje taško kaimynystėje. .

Todėl manysime, kad (A1.1) Taikome formulę:
;
Atsižvelgdami į (A1.1), atliekame tokį įvertinimą: .
.
(A1.2)

.

Taikydami (A1.2), įvertiname
.
.

.
absoliuti vertė

skirtumai: (A1.3) Pagal nelygybių savybes, jei (A1.3) yra tenkinama, jei ir jei , tada . Dabar pažvelkime į esmę..

Šiuo atveju

Tai reiškia, kad funkcija taške yra ištisinė.

Panašiu būdu galima įrodyti, kad funkcija , kur n yra

natūralusis skaičius
, nenutrūkstamas visame
tikroji ašis .

Naudokimės.
2 pavyzdys .
Naudodami įrodykite, kad funkcija yra nuolatinė visiems .
.

Nurodyta funkcija yra apibrėžta .


.
Įrodykime, kad taške jis yra tęstinis.
.

Panagrinėkime atvejį.

.
Įrodykime, kad taške jis yra tęstinis.
Mes turime teisę apsvarstyti funkciją bet kurioje taško kaimynystėje. .

Todėl manysime, kad (A2.1)(A2.2)
.
Padėkime.

Tada
.
absoliuti vertė

Atsižvelgdami į (A2.1), atliekame tokį įvertinimą:
.
Taigi,
.

Taikydami šią nelygybę ir naudodami (A2.2), įvertiname skirtumą:
.
(A2.3)

Įeikite

arcctg x
), yra tęstiniai savo apibrėžimo srityje.
teigiami skaičiai
matematinė analizė