Tegu ištisinis vektoriaus laukas a) k ir uždaras orientuotas kontūras L pateikiami kurioje nors srityje G. Apibrėžimas 1. Vektoriaus a cirkuliacija išilgai uždaro kontūro L vadinama linijos integralas 2-oji rūšis nuo vektoriaus a išilgai kontūro L. Čia dr yra vektorius, kurio ilgis lygus lanko diferencialui L, o kryptis sutampa su liestinės L kryptimi, op- pav. 31 nustatoma pagal kontūro orientaciją (31 pav.); simbolis f reiškia, kad integralas imamas išilgai alternatyvaus kontūro L. b 1 pavyzdys. Apskaičiuokite cirkuliaciją vektorinis laukas išilgai elipsės L: Pagal cirkuliacijos apibrėžimą turime Parametrinės lygtysšios elipsės formos: , ir todėl . Pakeitę šias išraiškas į (2) formulę, randame vektoriaus lauko cirkuliaciją. Vektoriaus rotorius Stokso teorema Vektoriaus lauko rotorius (sūkurys) Nekintamasis lauko rotoriaus apibrėžimas Fizinė prasmė lauko rotorius Rotoriaus skaičiavimo taisyklės 8.1. Vektoriaus lauko rotorius (sūkurys) Apsvarstykite lauką vektoriaus P, Q, R, kurių ištisiniai ir visų argumentų atžvilgiu yra pirmosios eilės ištisinės dalinės išvestinės. 2 apibrėžimas. Vektoriaus "(M) rotorius yra vektorius, žymimas simboliu rot a ir apibrėžtas lygybe arba, patogia įsiminti simboline forma, šis determinantas išplečiamas pirmosios eilutės elementais, o operacijos antros eilutės elementų dauginimas iš trečios eilutės elementų suprantamos kaip diferenciacijos operacijos, pavyzdžiui, apibrėžimas 3. Jei kurioje nors srityje G turime rot a = 0, tai vektoriaus a laukas srityje G vadinamas irrotaciniu. 2 pavyzdys. Raskite vektoriaus 4 rotorių Pagal (3) formulę turime Kadangi rot a yra vektorius, galime laikyti vektoriaus lauką - vektoriaus a rotoriaus lauką. Darant prielaidą, kad vektoriaus a koordinatės turi ištisines antros eilės dalines išvestines, apskaičiuojame vektoriaus rot a divergenciją. Gauname Taigi, vektoriaus sukimosi laukas yra solenoidinis. 7 teorema (Stoksas). Vektoriaus a cirkuliacija išilgai orientuoto uždaro kontūro L yra lygi šio vektoriaus rotoriaus srautui per bet kurį paviršių E, kurį aprėpia kontūras L. Daroma prielaida, kad vektoriaus a koordinatės turi ištisines dalines išvestines tam tikroje srityje G erdvė, kurioje yra paviršius E, ir kad normaliojo Nr. paviršiaus EC G vieneto vektoriaus orientacija būtų suderinta su kontūro L orientacija taip, kad nuo normos pabaigos grandinė aplink kontūrą tam tikrame taške. matoma, kad kryptis vyksta prieš laikrodžio rodyklę. Atsižvelgdami į tai ir naudodami rotoriaus (3) apibrėžimą, formulę (4) perrašome tokia forma: Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai lygus paviršius E ir jo kontūras L vienareikšmiškai projektuojami į xOy sritį D. plokštuma ir jos riba – atitinkamai A kontūras (32 pav.). Kontūro L orientacija lemia tam tikrą kontūro A orientaciją. Tikslumui darysime prielaidą, kad kontūras L yra orientuotas taip, kad paviršius E liktų kairėje, taigi normalusis vektorius n į paviršių E yra Ozo ašis aštrus kampas 7 (cos 7 >0). Tegul paviršiaus E lygtis ir funkcija φ(x)y) yra tolydžios ir turi ištisines dalines išvestines gf ir ^ in uždara zona D. Apsvarstykite, kad integralas Tiesė L yra ant paviršiaus E. Todėl, naudojant šio paviršiaus lygtį, r po integralo ženklu galime pakeisti ^(x, y). Kreivės A kintamojo taško koordinatės yra lygios atitinkamo kreivės L taško koordinatėms, todėl integraciją per L galima pakeisti integravimu virš A. Dešinėje esančiam integralui taikykime Greeno formulę. Dabar pereiname nuo integralo virš srities D prie integralo per paviršių E. Kadangi dS = cos 7 da, tai iš (8) formulės gauname, kad normalusis vektorius n° į paviršių E nustatomas pagal išraišką k. Iš čia aišku, kad. Todėl lygybę (9) galima perrašyti taip: Atsižvelgiant į E lygų paviršių, vienareikšmiškai projektuojantį į visas tris koordinačių plokštumas, mes taip pat esame įsitikinę formulių Vektorinio lauko cirkuliacija pagrįstumu. Vektoriaus rotorius Stokso teorema Vektoriaus lauko rotorius (sūkurys) Nekintamasis lauko rotoriaus apibrėžimas Lauko rotoriaus fizinė reikšmė Rotoriaus apskaičiavimo taisyklės Sudėję lygybes po termino, gauname Stokso formulę ( 5), arba trumpai, 1 pastaba. Mes parodėme, kad vektoriaus sukimosi laukas yra solenoidinis, todėl vektoriaus sukimosi srautas nepriklauso nuo paviršiaus E tipo, kurį apima kontūras L. 2 pastaba Formulė (4) buvo gauta darant prielaidą, kad paviršius £ yra vienareikšmiškai projektuojamas į visas tris koordinačių plokštumas. Jei ši sąlyga neįvykdyta, £ padalijame į dalis taip, kad kiekviena dalis nurodyta sąlyga tenkinami, o tada naudojame integralų adityvumą. 3 pavyzdys. Apskaičiuokite vektoriaus cirkuliaciją išilgai tiesės 1) naudodami apibrėžimą; 2) pagal Stokso teoremą. 4 1) Nubrėžkime tiesę L parametriškai: Tada 2) Raskite sukimąsi: Ištempkime plokštumos atkarpą į kontūrą L Tada. Nekintamasis lauko rotoriaus apibrėžimas Iš Stokso teoremos galima gauti nekintamą lauko rotoriaus apibrėžimą, nesusijusį su koordinačių sistemos pasirinkimu. 8 teorema. Rotoriaus a projekcija bet kuria kryptimi nepriklauso nuo koordinačių sistemos pasirinkimo ir yra lygi paviršiaus tankis vektoriaus a cirkuliacija išilgai platformos kontūro, statmena šiai krypčiai, čia (E) yra plokščia platforma, statmenai vektoriui l; 5 - šios svetainės plotas; L - aikštelės kontūras, orientuotas taip, kad kontūro apėjimas būtų matomas nuo vektoriaus n galo prieš laikrodžio rodyklę; (E) M reiškia, kad plotas (E) susitraukia iki taško M, kuriame nagrinėjamas vektorius rot a, o normalusis vektorius n šiam plotui išlieka toks pat visą laiką (33 pav.). 4 Pirmiausia taikykime Stokso teoremą vektoriaus a cirkuliacijai (a,dr), o tada gautai dvigubas integralas- vidutinės reikšmės teorema: kur (skaliarinė sandauga imama kažkuriame aikštelės (E) vidurio taške Mf). Kadangi plotas (E) traukia į tašką M, vidutinis taškas A/c taip pat linksta į tašką M ir dėl numanomo vektoriaus a koordinačių dalinių išvestinių tęstinumo (taigi ir puvinio a tęstinumo) gauti Kadangi vektoriaus rota a projekcija į savavališką kryptį nepriklauso nuo pasirinktos koordinačių sistemos, tai pats vektoriaus sukimasis yra nekintamas šio pasirinkimo atžvilgiu. Iš čia gauname tokį nekintamą lauko rotoriaus apibrėžimą: lauko rotorius yra vektorius, kurio ilgis yra lygus didžiausiam paviršiaus cirkuliacijos tankiui tam tikrame taške, nukreiptas statmenai plotui, kuriame jis yra didžiausias tankis pasiekiama cirkuliacija; šiuo atveju vektoriaus sukimosi kryptis atitinka kontūro orientaciją, kurioje cirkuliacija yra teigiama, pagal dešiniojo sraigto taisyklę. 8.3. Fizinė lauko rotoriaus reikšmė Tegul kietas kūnas sukasi aplinkui fiksuota ašis I su kampiniu greičiu ir. Neprarasdami bendrumo, galime manyti, kad I ašis sutampa su Ozo ašimi (34 pav.). Tegul M(g) yra tiriamo kūno taškas, kurio kampinio greičio vektorius mūsų atveju lygus = wk, apskaičiuokime taško M tiesinio greičio vektorių v. Taigi vektorinio lauko cirkuliacija . Vektoriaus rotorius Stokso teorema Vektoriaus lauko rotorius (sūkurys) Nekintamasis lauko rotoriaus apibrėžimas Lauko rotoriaus fizinė reikšmė Rotoriaus skaičiavimo taisyklės Taigi, sukimosi greičio lauko sūkurys kietas yra vienodas visuose lauko taškuose, lygiagrečiai sukimosi ašiai ir lygus dvigubam kampiniam sukimosi greičiui. 8.4. Rotoriaus apskaičiavimo taisyklės 1. Rotorius pastovus vektorius c lygus nuliniam vektoriui, 2. Rotorius turi pastovių skaičių tiesiškumo savybę. 3. Gaminio rotorius skaliarinė funkcija u(M) į vektorių a(M) apskaičiuojamas pagal formulę

Tegul laukas yra diferencijuotas laukas (tai yra, lauko vektoriaus projekcijos koordinačių ašyse yra diferencijuojamos funkcijos).

Apibrėžimas. Sūkurio vektoriaus laukas (žymimas puviniu ) yra vektorius, kurio projekcija į savavališką vektorių
apibrėžiamas kaip lauko cirkuliacijos santykio riba pagal tam tikrą kontūrą ( L), kuriame yra taškas M, ir guli plokštumoje, statmenoje vektoriui
, į regiono, kurį riboja šis kontūras, plotą, jei šis kontūras susitraukia iki taško M ir regiono plotas ( S) linkęs į nulį:

. (1.13)

Trimatėje erdvėje
per Dekarto stačiakampio vektoriaus koordinates
išreiškiamas taip:

arba lengvai įsimenama simboline forma

. (1.15)

Stokso teorema. Tegu vektoriaus+ koordinatės

yra tęstiniai ir turi tęstines dalines išvestines. Tada vektorinio lauko cirkuliacija palei uždarą kilpą ( L) yra lygus lauko sūkurių srautui per savavališką paviršių ( S), ištemptas per šį kontūrą:

. (1.16)

Daroma prielaida, kad kontūro orientacija ( L) ir paviršiai ( S) yra nuoseklūs: esant teigiamam kontūro perėjimui, normalus nukreipiamas iš „kojų į galvą“.

Rotoriaus savybės: 1) ;

Apibrėžimas. 2) . Vektorinis laukas šiame regione vadinamas irrotaciniu ( V

), jei. 1 pavyzdys.
.

Raskite magnetinio lauko stiprumo lauko vektoriaus rotorių
Sprendimas.Vektorius

koordinačių forma:

. Apskaičiuokime rotorių pagal formulę (1.15):
Įtempimo laukas

- irrotacinis laukas. 2 pavyzdys.
Apskaičiuokite vektorinę cirkuliaciją
palei kontūrą

1) tiesiogiai, 2) pagal Stokso teoremą. R L sprendimą. 1)Kontūras (
) – apskritimo spindulys , guli lėktuve z
=3 (žr. 5 pav.). Parinkime orientaciją ant jo, kaip parodyta paveikslėlyje. Parametrinės tiesės lygtys
, Taigi ,. Dėl vektorinės cirkuliacijos S mes turime:. 2) Norėdami apskaičiuoti cirkuliaciją naudodami Stokso teoremą, pasirenkame tam tikrą paviršių ( L), ištemptas per kontūrą ( S).Natūralu, kaip ( L) paimkite apskritimą su linija ( ) jos siena. Pagal pasirinktą normalaus kontūro orientaciją
į apskritimą reikia paimti lygų
. Apskaičiuokime rotorių:
.

.

Pagal Stokso teoremą

1.
;2.
;3.
;4.
;

5.
.

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

6.
; 7.
Raskite plokščių vektorinių laukų vektorines linijas:
;

8.
; 9.
,
;

10.
; 11. ; 12.
;

13.
, Raskite vektorines linijas:
- , Kur

Kur

14.
,
;15.
,
.

pastovūs vektoriai.

16.
, (S Raskite vektorines linijas, einančias per nurodytą tašką:
,
.

17.
, (S Apskaičiuokite vektorinio lauko srautą naudodami pirmos rūšies paviršiaus integralą:
): viršutinė trikampio kraštinė, apribota plokštumų
;

18.
,
): išorinė paraboloido pusė
, apribotas lėktuvo
;

19.
, (S: apskrito cilindro šoninis paviršius
, apribotas lėktuvais

20.
, (S): išorinė paraboloido dalies pusė
): viršutinė trikampio kraštinė, apribota plokštumų
;

21. , (S, esantis pirmoje oktante;
): bendras kūgio paviršius , guli lėktuve= 0;

22.
, (S): uždaras paviršius, apribotas paraboloidu
,
,
,
;

23.
, (S ir lėktuvas
.

): visas piramidės paviršius, apribotas plokštumų

24.
, (S): sfera
Apskaičiuokite srautą projektavimo į visas tris koordinačių plokštumas metodu.

25.
, (S): viršutinė apskritimo pusė, supjaustyta į kūgį

26. , (S lėktuve
): trikampio viršutinė kraštinė, gauta susikertant plokštumą su koordinačių plokštumomis;
): plokštumos dalis .

, apribotas apskritimu

27.
, (S, vektoriaus kryptimi

28.
, (S Nustatykite lauko srautą naudodami Gauss-Ostrogradsky formulę:
,
,
;

29.
, (S ir lėktuvas
;

30.
, (S): savavališkai gabalais lygus uždaras paviršius;
): kubo paviršius
): paraboloido dalis , atkirsta lėktuvu; V neigiama pusė;

31.
, (S kirvius
,
,
,

;

32. , (S kirvius
,
;

33. , (S):;

Raskite tiesinį vektoriaus integralą plokštumoje:

36.
viršutinė elipsės pusė
nuo taško A(a,0), iki taško B(-a,0);

37. a) tiesioji atkarpa O.B.; b) parabolės lankas
; c) parabolės lankas
; d) trūkinė linija OAB A, Kur (1,0); d) trūkinė linija Raskite plokščių vektorinių laukų vektorines linijas: OCB(0,1);

39. C

iš taško (-1, 1) į tašką (2, 2).

41.
,
Apskaičiuokite linijos integralą:

44. tiesios linijos atkarpa nuo taško (1,1,1) iki taško (4,4,4);

45. tiesios linijos atkarpa nuo taško (0,0,0) iki taško (1,1,1).
Atsižvelgiant į įtampą jėgos laukas. Raskite lauko darbą, kai masė juda m

,
išilgai vieno spiralės posūkio
nuo taško B(iki taško t

46. =2);
Jėgos lauką sudaro jėga, kurios dydis yra lygus atstumui nuo koordinačių pradžios iki jos taikymo taško ir nukreipta į koordinačių pradžią. Raskite lauko atliktą darbą, perkeldami vienetinę masę išilgai parabolės lanko
nuo abscisės
.

iki abscisės taško

47. 47-51 uždaviniuose raskite lauko cirkuliaciją:

48.
neigiama kryptimi; neigiama pusė uždara linija, sudaryta iš koordinačių ašių atkarpų Ir Oy
,
ir kiti astroidai

51. , guli pirmame kvadrante;
paraboloidinė susikirtimo linija

52. su koordinačių plokštumomis (pirmoje oktante);
Tvirtas kūnas sukasi pastoviu kampiniu greičiu aplink ašį Ozas . Apskaičiuokite tiesinio greičio lauko cirkuliaciją išilgai spindulio apskritimo R

53. , kurio centras yra ant sukimosi ašies, jei apskritimo plokštuma yra statmena sukimosi ašiai (cirkuliacija laikoma sukimosi kryptimi).
Raskite darbo sritį judant masės vieneto tašką uždara linija, susidedančia iš trijų tiesių segmentų koordinačių plokštumos

, nupjaunant atkarpas, lygias vienybei koordinačių ašyse.

54.
Raskite šių laukų skirtumą:
. Kokioje funkcijoje

55.
;56.
- bus? linijinis greitis
besisukančio skysčio taškai

57.
- kampinis greitis); magnetinio lauko stiprumas,,J

58.
; 59.
;

60. – nuolatinis;
Apskaičiuokite

taške (1,-1,1).

64.
;

Raskite vektoriaus lauko srautą per nurodytus uždarus paviršius: 1) tiesiogiai, 2) naudodami Gauso-Ostrogradskio teoremą vektoriaus formuluotėje:

73. 74.

75. 73 ir 74 uždaviniuose apskaičiuokite nurodytų vektorinių laukų rotorių: Parodykite, kad jei vektoriaus koordinatės
.

76. turi ištisines antros eilės dalines išvestines, tada uždara linija, sudaryta iš koordinačių ašių atkarpų Parodykite, kas būtų, jei
.

77. tada yra pastovūs vektoriai
.

78. tada yra pastovūs vektoriai
.

79. Parodyk tai
Parodykite, kad vektorinis laukas

80. yra neracionalus. Parodykite, kad tiesinio greičio lauko rotorius
.

81. Besisukančio standaus kūno taškai yra pastovus vektorius, nukreiptas lygiagrečiai sukimosi ašiai, kurio dydis lygus dvigubam kampiniam sukimosi greičiui:
Kokia turėtų būti funkcija
?

Raskite lauko cirkuliaciją išilgai nurodytų kontūrų 1) tiesiogiai, 2) naudodami Stokso teoremą vektorinėje formulėje:

84.
išilgai plokštumos susikirtimo suformuoto kontūro
su koordinačių plokštumomis;

15.2. Ypatingi vektorinių laukų atvejai. Antros eilės operacijos

15.2.1. Potencialo vektoriaus laukas

Apibrėžimas. 2) . vadinamas potencialo lauku, jei yra kokia nors skaliarinė funkcija
, kurio gradientas sudaro šį lauką:

. (2.1)

Funkcija u vadinamas vektoriaus lauko potencialu .

Teorema. Kad laukas būtų potencialus, būtina ir pakanka, kad jis būtų irotacinis:

. (2.2)

Formulė (2.2) yra vektorinio lauko potencialumo kriterijus .

Potencialių laukų savybės.

1) lauko potencialo tęstinumo srityje u tiesinis integralas nepriklauso nuo integravimo kelio ir yra lygus potencialiam prieaugiui

2) vektoriaus cirkuliacija (1.9). išilgai bet kurio uždaro kontūro, visiškai esančio lauko tęstinumo srityje, yra lygus nuliui:

. (2.4)

3) potencialas
randamas pagal (2.3) formulę:

, (2.5)

kur ( A.M.) – savavališka kreivė, besiribojanti taškai A Ir M. Jei kelias ( A.M.) paimta kaip laužta linija, susidedanti iš atkarpų, lygiagrečių koordinačių ašims (tokių trūkinių linijų skaičius yra šešios), tada potencialui rasti galima naudoti vieną iš potencialą išreiškiančių formulių.
per apibrėžtuosius integralus
;
):

Pavyzdys. Patikrinkite, ar vektorinis laukas yra potencialus, ir suraskite jo potencialą.

Sprendimas. Kurkime už šios srities potencialumo kriterijus (2.2):

Laukas yra potencialus. Raskime potencialą
pagal (2.6) formulę: už pradžios taškas patogu paimti tašką A(0,0,0):
.

Rotorius (matematika)

Rotorius, arba sūkurys yra vektoriaus diferencialinis operatorius vektoriniame lauke.

Paskirta

(rusų kalbos literatūroje) arba

(anglų literatūroje),

ir taip pat kaip diferencialo operatoriaus vektorinį padauginimą iš vektoriaus lauko:

Šio operatoriaus veiksmo konkrečiame vektoriaus lauke rezultatas F paskambino lauko rotorius F arba, trumpai tariant, tiesiog rotorius F ir reiškia naują vektorinį lauką:

Puvimo laukas F(vektoriaus puvimo ilgis ir kryptis F kiekviename erdvės taške) tam tikra prasme apibūdina lauko sukimosi komponentą F atitinkamai kiekviename taške.

Intuityvus vaizdas

Jeigu v(x,y,z) yra dujų greičio (arba skysčio srauto) laukas puvinys v- vektorius, proporcingas labai mažos ir lengvos dulkių (arba rutulio) dėmės, esančios sraute (ir įtrauktos dėl dujų ar skysčio judėjimo), kampinio greičio vektoriui; nors rutulio centras gali būti fiksuojamas, jei pageidaujama, kaip tol, kol jis gali laisvai suktis aplink jį).

Tiksliau puvinys v = 2 ω , Kur ω - šis kampinis greitis.

Norėdami pamatyti paprastą šio fakto iliustraciją, žr.

Šią analogiją galima suformuluoti gana griežtai (žr. toliau). Pagrindinis apibrėžimas per apyvartą (pateiktas kitoje pastraipoje) gali būti laikomas lygiaverčiu gautam tokiu būdu.

Matematinis apibrėžimas

Vektorinio lauko vingis yra vektorius, kurio projekcija kiekviena kryptimi n yra vektorinio lauko cirkuliacijos santykio išilgai kontūro riba L, kuri yra lygaus ploto Δ kraštas S, statmenai šiai krypčiai, šios srities dydžiui, kai ploto matmenys linkę į nulį, o pati sritis susitraukia iki taško:

Kontūro važiavimo kryptis parenkama taip, kad, žiūrint kryptimi, kontūras Lėjo pagal laikrodžio rodyklę.

Trijų dimensijų Dekarto sistema Rotoriaus koordinatės (kaip apibrėžta aukščiau) apskaičiuojamos taip (čia F- žymi tam tikrą vektorinį lauką su Dekarto komponentais ir - Dekarto koordinačių vienetinius vektorius):

Patogumui galime oficialiai pavaizduoti rotorių kaip nabla operatoriaus (kairėje) ir vektorinio lauko vektorinį sandaugą:

(Paskutinė lygybė formaliai reiškia vektorinis produktas kaip determinantas).

Susiję apibrėžimai

Vektorinis laukas, kurio rotorius lygus nuliui bet kuriuo tašku vadinamas erzinantis ir yra potencialą. Kadangi šios sąlygos yra būtinos ir pakankamos viena kitai, abu terminai yra praktiniai sinonimai. (Tačiau tai galioja tik laukams, apibrėžtiems tiesiog prijungtame domene).

Norėdami sužinoti daugiau apie abipusį potencialumo sąlygiškumą ir lauko irrotacinį pobūdį, žr. toliau (Pagrindinės savybės).

Priešingai, paprastai vadinamas laukas, kurio garbanos lygis nelygus nuliui sūkurys , toks laukas negali būti potencialus.

Apibendrinimas

Tiesioginis rotoriaus apibendrinimas, taikomas vektoriaus (ir pseudovektoriaus) laukams, apibrėžtiems savavališko matmens erdvėse (su sąlyga, kad erdvės matmuo sutampa su lauko vektoriaus matmeniu), yra toks:

su indeksais jėgos laukas. Raskite lauko darbą, kai masė juda Ir n nuo 1 iki erdvės matmens.

Tai taip pat gali būti parašyta kaip išorinis produktas:

Šiuo atveju rotorius yra antisimetrinis tenzorinis laukas, kurio valentingumas yra du.

3 dimensijos atveju šio tenzoriaus konvoliucija su Levi-Civita simboliu suteikia įprastas apibrėžimas trimatis rotorius, pateiktas aukščiau esančiame straipsnyje.

Be to, dvimatėje erdvėje, jei pageidaujama, galima naudoti panašią formulę su pseudoskaliariniu sandauga (toks rotorius bus pseudoskaliarinis, sutampantis su tradicinės vektorinės sandaugos projekcija į ašį, statmeną tam tikrai dvimačiai erdvė – jei laikysime dvimatę erdvę įterpta į kokią nors trimatę erdvę, kad tradicinė vektorinė sandauga turėtų prasmę).

Lauko teorija

Taip pat žinomas kaip vektorinė analizė. Ir kai kuriems, vektorinė analizė, žinoma kaip lauko teorija =) Galiausiai mes pasiekėme šią įdomią temą aukštoji matematika Kalbos negaliu pavadinti paprasta, tačiau būsimuose straipsniuose pasistengsiu pasiekti du tikslus:

a) kad visi suprastų, apie ką vyksta pokalbis;

b) ir kad „manekenai“ išmoktų išspręsti bent paprastus dalykus - bent jau neakivaizdinių studijų studentams siūlomų užduočių lygiu.

Visa medžiaga bus pateikta populiariu stiliumi, o jei jums reikia griežtesnio ir visa informacija, tada galite paimti, pavyzdžiui, 3 Fichtenholtz tomą arba pažiūrėti Wiki.

Ir iškart iššifruokime pavadinimą. Teoriškai, manau, viskas aišku – viduje geriausios tradicijos svetainėje analizuosime jos pagrindus ir sutelksime dėmesį į praktiką. Na, su kuo jums asocijuojasi žodis „laukas“?

Žolės, futbolo aikštė... Daugiau? Veiklos sritis, eksperimentų sritis. Sveikinimai humanistams! …Nuo mokyklos kursas? Elektrinis laukas, magnetinis, elektromagnetinis..., gerai. Žemės gravitacinis laukas, kuriame atsiduriame. Puiku! Taigi, kas tai pasakė apie lauką? galioja Ir kompleksiniai skaičiai? ...čia susirinko kažkokie monstrai! =) Laimei algebra jau praėjo.

Kitose pamokose susipažinsime su konkrečia koncepcija laukus, konkrečių pavyzdžių iš gyvenimo, taip pat išmokti spręsti teminės užduotys vektorinė analizė. Lauko teoriją geriausia mokytis, kaip teisingai spėjate, lauke - gamtoje, kur yra miškas, upė, ežeras, kaimo namas, ir kviečiu visus pasinerti, jei ne į šiltą vasaros realybę, tai in malonūs prisiminimai:

Laukai ta prasme, kokia nagrinėjama šiandien, yra skaliarinis Ir vektorius, o mes pradėsime nuo jų „statybinių blokų“.

Pirma, skaliarinis. Gana dažnai šis terminas klaidingai tapatinamas numerį. Ne, viskas yra šiek tiek kitaip: skaliarinis yra dydis, kurio kiekviena reikšmė gali būti išreikšta tik vienas skaičius. Fizikoje yra daug pavyzdžių: ilgis, plotis, plotas, tūris, tankis, temperatūra ir tt Visa tai skaliariniai dydžiai. Ir, beje, masė taip pat yra pavyzdys.

antra, vektorius. Algebrinis apibrėžimas vektorius, kurį paliečiau pamokoje apie tiesinės transformacijos ir vienas iš jo privačių įsikūnijimų tiesiog neįmanoma nežinoti=) Tipiška vektorius yra išreikštas du ar daugiau numeriai(su savo koordinatėmis). Ir net vienmačiam vektoriui tik vienas skaičius neužtenka– dėl to, kad vektorius turi ir kryptį. Ir taikymo taškas, jei vektorius nėra nemokama. Vektoriai apibūdina fizinių jėgų laukus, greitį ir daugelį kitų dydžių.

Na, dabar galite pradėti rinkti aliuminio agurkus:

Skaliarinis laukas

Jeigu kiekviena tam tikras taškas erdvės plotai atitinkantis tam tikras skaičius(dažniau tikras), tada jie sako, kad šioje srityje tai duota skaliarinis laukas.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, statmeną, išeinantį iš žemės sija. Įdėkite kastuvą, kad būtų aiškumo =) Ką skaliariniai laukai ar galiu paklausti ant šios sijos? Pirmas dalykas, kuris ateina į galvą, yra aukščio laukas– kai kiekvienam sijos taškui priskiriamas jo aukštis virš žemės lygio. Arba pvz. lauke atmosferos slėgis – čia atitinka kiekvienas spindulio taškas skaitinė reikšmė atmosferos slėgis tam tikrame taške.

Dabar eikime prie ežero ir mintyse nubrėžkime plokštumą virš jo paviršiaus. Jei kiekvienas plokštumos „vandens“ fragmento taškas yra susietas su ežero gyliu, tada, prašome, pateikiamas skaliarinis laukas. Tuose pačiuose taškuose galite atsižvelgti į kitus skaliarinius dydžius, pavyzdžiui, vandens paviršiaus temperatūrą.

Svarbiausias turtas skaliarinis laukas yra jo nekintamumas koordinačių sistemos atžvilgiu. Jei išversta į žmonių kalba, tada nesvarbu, iš kurios pusės žiūrėtume į kastuvą / ežerą - skaliarinis laukas (aukštis, gylis, temperatūra ir kt.) tai nepasikeis. Be to, skaliarinis laukas, tarkime, gylis, gali būti nustatytas kitame paviršiuje, pavyzdžiui, tinkamame pusrutulis, arba tiesiai ant vandens paviršius. Kodėl gi ne? Ar negalima kiekvienam pusrutulio taškui, esančiam virš ežero, priskirti numerį? Lygumą pasiūliau vien dėl patogumo.

Pridėkime dar vieną koordinatę. Paimk akmenį į ranką. Kiekvienas šio akmens taškas gali būti priskirtas prie jo fizinis tankis . Ir vėl – kad ir kokioje koordinačių sistemoje ją laikytume, kad ir kaip susuktume rankoje – skaliarinio tankio laukas išliks nepakitęs. Tačiau kai kurie žmonės gali ginčytis dėl šio fakto =) Toks yra filosofinis akmuo.

Su grynu matematinis taškas regėjimas (ne fizine ar kita asmenine prasme) skaliarinius laukus tradiciškai nurodo mūsų „įprastos“ funkcijos vienas , du , trys Ir daugiau kiekio kintamieji. Tuo pačiu lauko teorijoje plačiai naudojami tradiciniai šių funkcijų atributai, pvz apibrėžimo sritis, lygios linijos ir paviršiai.

SU trimatė erdvė viskas panašu:
– čia kiekvienas leistinas erdvės taškas yra susietas su vektoriumi, kurio pradžia tam tikrame taške. „Priimtinumą“ lemia funkcijų apibrėžimo sritys, o jei kiekviena iš jų apibrėžta visiems „X“, „E“, „Z“, tai vektorinis laukas bus nurodytas visoje erdvėje.

! Pavadinimai : vektoriniai laukai taip pat žymimi raide arba, o jų komponentai atitinkamai žymimi arba.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, jau seniai aišku, kad, bent jau matematiškai, skaliariniai ir vektoriniai laukai gali būti apibrėžti visoje erdvėje. Tačiau su atitinkamais fiziniai pavyzdžiai Dar buvau atsargus, nes tokios sąvokos kaip temperatūros, gravitacija(ar kiti) juk kažkur gali išvis neegzistuoti. Bet tai jau ne siaubas, o Mokslinė fantastika=) Ir ne tik mokslinė fantastika. Nes vėjas, kaip taisyklė, nepučia akmenų viduje.

Reikėtų pažymėti, kad kai kurie vektoriniai laukai (tie patys greičio laukai) laikui bėgant greitai keičiasi, taigi ir daugelyje fiziniai modeliai apsvarstykite papildomą nepriklausomą kintamąjį. Beje, tas pats pasakytina ir apie skaliarinius laukus - temperatūra iš tikrųjų taip pat nėra „užšalusi“ laiku.

Tačiau matematikos rėmuose apsiribosime trejybe, o tokiems laukams „susitikę“ suponuosime kokį nors fiksuotą laiko momentą arba laiką, per kurį laukas nepasikeitė.

Vektorinės linijos

Jei aprašomi skaliariniai laukai linijos ir lygūs paviršiai, tada galima apibūdinti vektorinio lauko „formą“. vektorines linijas. Daugelis žmonių tikriausiai tai prisimena mokyklos patirtis: magnetas dedamas po popieriaus lapu ir ant viršaus (pažiūrėsim!) geležies drožlės išsilieja, kurios tiesiog „išsirikiuoja“ išilgai lauko linijų.

Pabandysiu suformuluoti paprasčiau: kiekvienas vektoriaus linijos taškas yra pradžia lauko vektorius, kuris yra liestinėje tam tikrame taške:

Žinoma, linijų vektoriai įeina bendras atvejis turi skirtingus ilgius, todėl aukščiau esančiame paveikslėlyje judant iš kairės į dešinę jų ilgis didėja – čia galime manyti, kad artėjame, pavyzdžiui, prie magneto. Saugumo pajėgose fiziniai laukai vektorinės linijos vadinamos taip - elektros linijos. Kitas, paprastesnis pavyzdys yra Žemės gravitacinis laukas: jo elektros linijos atstovauti spinduliai su pradžia planetos centre ir vektoriais gravitacija esančios tiesiai ant pačių spindulių.

Greičio laukų vektorinės linijos vadinamos dabartinės linijos. Įsivaizduokite dar kartą dulkių audra– šiomis linijomis juda dulkių dalelės kartu su oro molekulėmis. Panašiai kaip upė: trajektorijos, kuriomis juda skysčio (ir ne tik) molekulės - į tiesiogine prasme ir yra supaprastinimų. Apskritai daugelis lauko teorijos sąvokų kyla iš hidrodinamikos, su kuria susidursime ne kartą.

Jei „plokščias“ vektoriaus laukas pateikiamas nulinės funkcijos funkcija, tada jo lauko linijas galima rasti iš diferencialinė lygtis. Sprendimas duota lygtis rinkiniai šeima vektorinės linijos plokštumoje. Kartais užduotyse reikia nubrėžti keletą tokių linijų, kurios paprastai nesukelia sunkumų - pasirinkome keletą patogių „tse“ reikšmių, nubrėžėme keletą hiperbolės, ir užsisakyti.

Įdomesnė situacija su erdviniu vektoriniu lauku. Jo lauko linijas lemia santykiai . Čia mes turime nuspręsti dviejų diferencialinių lygčių sistema ir gauti dvi šeimas erdviniai paviršiai. Šių šeimų susikirtimo linijos bus erdvinės vektorinės linijos. Jei visų komponentų („pe“, „ku“, „er“) vertės skiriasi nuo nulio, tai yra keli techniniai sprendimai. Aš nenagrinėsiu visų šių metodų. (nes straipsnis išaugs iki nepadoraus dydžio), bet aš sutelksiu dėmesį į dažną specialų atvejį, kai vienas iš vektorinio lauko komponentų yra lygus nuliui. Iš karto išvardinkime visas parinktis:

jei , tai sistemą reikia išspręsti;
jei , tai sistema;
o jei tada.

Ir kažkodėl ilgą laiką neturėjome praktikos:

1 pavyzdys

Raskite vektorinio lauko lauko linijas

Sprendimas: šioje užduotyje, todėl mes išsprendžiame sistema:

Prasmė labai paprasta. Taigi, jei funkcija nurodo skaliarinį ežero gylio lauką, tada atitinkama vektorinė funkcija apibrėžia aibę nelaisvas vektoriai, kurių kiekvienas nurodo kryptį greitas kilimas dugnas viename ar kitame taške ir šio kilimo greitis.

Jei funkcija nurodo tam tikros erdvės srities skaliarinį temperatūros lauką, tai atitinkamas vektoriaus laukas apibūdina kryptį ir greitį greičiausias apšilimas vietos kiekviename šios srities taške.

Pažiūrėkime į generolą matematikos uždavinys:

3 pavyzdys

Duotas skaliarinis laukas ir taškas. Reikalinga:

1) sudaryti skaliarinio lauko gradiento funkciją;

Kuris yra lygus potencialų skirtumą .

Kitaip tariant, potencialiame lauke tik pradinis ir pabaigos taškas maršrutą. Ir jei šie taškai sutampa, tada bendras jėgų darbas uždarame kontūre bus lygus nuliui:

Paimkime plunksną nuo žemės ir pristatykime į pradinį tašką. Šiuo atveju mūsų judėjimo trajektorija vėlgi yra savavališka; Jūs netgi galite numesti rašiklį, vėl paimti ir pan.

Kodėl galutinis rezultatas lygus nuliui?

Ar plunksna nukrito iš taško „a“ į tašką „b“? Tai nukrito. Gravitacijos jėga padarė darbą.

Ar rašiklis atsitrenkė į tašką "a" atgal? Supratau. Tai reiškia, kad buvo atliktas lygiai toks pat darbas prieš gravitaciją, ir nesvarbu, su kokiais „nuotykiais“ ir su kokiomis jėgomis – net jei vėjas jį sugrąžino.

Pastaba : Fizikoje minuso ženklas simbolizuoja priešingą kryptį.

Taigi bendras jėgų atliktas darbas yra lygus nuliui:

Kaip jau minėjau, fizinė ir pasaulietinė darbo samprata skiriasi. Ir šis skirtumas padės gerai suprasti ne plunksną ar net plytą, o, pavyzdžiui, pianiną :)

Kartu pakelkite pianiną ir nuleiskite jį laiptais. Vilkite jį gatve. Kiek nori ir kur nori. O jei kvailio niekas nešaukė, atnešk instrumentą atgal. Ar dirbote? Žinoma. Iki septinto prakaito. Tačiau fizikos požiūriu darbas nebuvo atliktas.

Frazė „potencialų skirtumas“ vilioja daugiau kalbėti apie potencialų elektrostatinį lauką, tačiau šokiruoti savo skaitytojus kažkaip nėra humaniška =) Be to, yra begalė pavyzdžių, nes bet koks gradiento laukas yra potencialus, kurių yra keliolika centų.

Bet lengva pasakyti „duziną cento“: čia mums pateikiamas vektorinis laukas - kaip nustatyti, ar jis yra potencialus, ar ne?

Vektorinis lauko rotorius

Arba jį sūkurys komponentas, kuris taip pat išreiškiamas vektoriais.

Vėl paimkime plunksną į rankas ir atsargiai nusiųsime plaukioti upe. Dėl eksperimento grynumo manysime, kad jis yra vienalytis ir simetriškas jo centro atžvilgiu. Ašis laikosi.

Pasvarstykime vektorinis laukas srovės greitis ir tam tikras vandens paviršiaus taškas, virš kurio yra plunksnos centras.

Jei į šiuo metu tušinukas sukasi prieš laikrodžio rodyklę, tada derinsime jį su išeinančiu nelaisvas vektorius aukštyn. Tuo pačiu, kuo greičiau sukasi tušinukas, tuo ilgesnis šis vektorius,... kažkodėl jis man atrodo toks juodas ryškiuose saulės spinduliuose... Jei sukimas vyksta pagal laikrodžio rodyklę, vektorius „žiūri“ žemyn. Jei rašiklis visai nesisuka, vektorius lygus nuliui.

Susipažinkite – štai kas rotoriaus vektorius vektoriaus greičio laukas, jis apibūdina skysčio „sukimosi“ kryptį šiuo metu Ir kampinis greitis rašiklio sukimas (bet ne pačios srovės kryptis ar greitis!).

Visiškai aišku, kad visi upės taškai turi sukimosi vektorių (taip pat ir „po vandeniu“), taigi srovės greičio vektorinis laukas mes apibrėžėme naują vektorinį lauką!

Jei vektorinis laukas pateikiamas funkcija, tai jo rotoriaus laukas pateikiamas taip vektoriaus funkcija:

Be to, jei vektoriai rotoriaus laukas upės yra didelės ir linkusios keisti kryptį, tai visai nereiškia, kad kalbame apie vingiuotą ir neramią upę (grįžkite į pavyzdį). Tokią situaciją galima stebėti ir tiesiame kanale – kai, pavyzdžiui, viduryje greitis didesnis, o prie krantų – mažesnis. Tai yra, sukuriamas rašiklio sukimasis skirtingi greičiai srovės V kaimyninis dabartinės linijos.

Kita vertus, jei rotoriaus vektoriai trumpi, tai gali būti „vingiuota“ kalnų upė! Svarbu, kad į gretimos srovės linijos pačios srovės greitis (greitai arba lėtai)šiek tiek skyrėsi.

Ir galiausiai atsakome į aukščiau pateiktą klausimą: bet kuriuo metu potencialus laukas jo rotorius lygus nuliui:

Tiksliau, nulinis vektorius.

Potencialus laukas taip pat vadinamas erzinantis lauke.

„Idealaus“ srauto, žinoma, nėra, bet gana dažnai tai galima pastebėti greičio laukas upės artimos potencialui – plaukia ramiai įvairių daiktų ir nesisukti, ... ar tu taip pat pateikei šitą paveikslėlį? Tačiau jie gali plaukti labai greitai ir išilgai kreivės, o tada sulėtinti, tada pagreitinti – svarbu, kad srovės greitis būtų gretimos srovės linijos buvo išsaugotas pastovus.

Ir, žinoma, mūsų mirtingojo gravitacinis laukas. Kitam eksperimentui bet koks gana sunkus ir vienalytis objektas, pavyzdžiui, užversta knyga, neatidaryta alaus skardinė arba, beje, plyta, kuri laukė sparnuose =) Suimkite jos galus rankomis, pakelkite ir atsargiai paleiskite į laisvasis kritimas. Jis nesisuks. Ir jei taip, vadinasi, tai yra jūsų „asmeninės pastangos“ arba gauta plyta buvo netinkama. Nepatingėkite ir patikrinkite šį faktą! Tik nemesk nieko pro langą, tai jau ne plunksna

Po kurio su švari sąžinė Ir padidėjęs tonas ar galite grįžti prie praktines užduotis:

5 pavyzdys

Parodykite, kad vektorinis laukas yra potencialus ir suraskite jo potencialą

Sprendimas: sąlyga tiesiogiai nurodo lauko potencialą, o mūsų užduotis yra įrodyti šį faktą. Raskime tam tikro lauko rotoriaus funkciją arba, kaip dažniausiai sakoma, rotorių:

Kad būtų patogiau, užrašome lauko komponentus:

ir pradėkime jų ieškoti daliniai dariniai– patogu juos „rūšiuoti“ „sukama“ tvarka, iš kairės į dešinę:
- Ir iš karto tai patikrink (kad nereikėtų daryti papildomo darbo, jei rezultatas nėra nulis). Eikime toliau: