Lygčių naudojimas yra plačiai paplitęs mūsų gyvenime. Jie naudojami atliekant daugybę skaičiavimų, statant konstrukcijas ir net sportuojant. Žmogus senovėje naudojo lygtis, o nuo to laiko jų vartojimas tik išaugo.

Lygtys, kuriose yra simbolis \[\sqrtх\], vadinamos lygtimis su kvadratinėmis šaknimis. Neneigiamo skaičiaus \ kvadratinė šaknis yra tokia: neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus \.

\[(\sqrt a=x, x_2=a; x, a\pm0)\]. Skaičius arba išraiška po šaknies ženklu visada turi būti neneigiamas. Yra skirtingais būdais

tokių lygčių sprendiniai:

Skaičiaus kvadratas padauginus skaičių iš savęs; Jei įmanoma, supaprastinkite šaknis, pašalinkite iš jos;

pilnos šaknys Naudojimas menami skaičiai gauti skaičių šaknį;

neigiamas personažas

Ilgojo padalijimo algoritmo taikymas;

Ir kiti.

Aiškumo dėlei išspręskime šią lygtį su kvadratinėmis šaknimis:

\[\sqrt (x-5) =3\]

Mes padauginame kiekvieną lygties pusę iš savęs, kad atsikratytume radikalų:

Dabar prieš mus yra paprasčiausia tiesinė lygtis, kurią galima išspręsti taip:

Kur galiu internete išspręsti algebrinę lygtį?

Algebrinę lygtį galite išspręsti mūsų svetainėje https://site. Nemokamas internetinis sprendimas leis jums per kelias sekundes išspręsti bet kokio sudėtingumo internetines lygtis. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai tiesiog įvesti savo duomenis į sprendiklį. Taip pat galite peržiūrėti vaizdo įrašo instrukcijas ir sužinoti, kaip išspręsti lygtį mūsų svetainėje. Ir jei vis dar turite klausimų, galite juos užduoti mūsų VKontakte grupėje http://vk.com/pocketteacher. Prisijunkite prie mūsų grupės, mes visada džiaugiamės galėdami jums padėti.

Medžiaga iš Unciklopedijos- P(x 1, ..., x n) = O formos lygtys, kur P yra daugianario kintamieji x 1, ..., x n. Šie kintamieji vadinami nežinomais. Sutvarkyta skaičių aibė (a 1, ..., a n) tenkina šią lygtį, jei pakeitus x 1 į 1, x 2 pakeitus 2 ir pan. gaunama teisinga skaitinė lygybė (pavyzdžiui, tvarkingas skaičių trigubas (3, 4, 5) tenkina lygtį x 2 + y 2 = z 2, nes 3 2 + 4 2 = 5 2). Skaičius, kuris tenkina algebrinę lygtį viename nežinomajame, vadinamas tos lygties šaknimi. Visų tenkinančių skaičių rinkinių rinkinys šią lygtį, yra daug šios lygties sprendimų. Dvi algebrinės lygtys, turinčios tą patį sprendinių rinkinį, vadinamos lygiavertėmis. Polinomo P laipsnis vadinamas lygties P(x 1, ..., x n) = 0 laipsniu. Pavyzdžiui, 3x - 5y + z = c yra pirmojo laipsnio lygtis, x 2 + y 2 = z 2 yra antrojo laipsnio, o x 4 yra 3x 3 + 1 = 0 - ketvirtasis laipsnis. Pirmojo laipsnio lygtys taip pat vadinamos tiesinėmis (žr. Tiesinės lygtys).

Algebrinė lygtis su vienu nežinomu turi galutinis skaičiusšaknis, o algebrinės lygties sprendinių aibė su didelis skaičius nežinomieji gali atstovauti begalinis rinkinys tam tikrus skaičių rinkinius. Todėl jie dažniausiai svarsto ne atskiras algebrines lygtis su n nežinomųjų, o lygčių sistemas ir ieško skaičių aibių, kurios vienu metu tenkina visas tam tikros sistemos lygtis. Visų šių rinkinių derinys sudaro sistemos sprendinių rinkinį. Pavyzdžiui, lygčių sistemos x 2 + y 2 = 10, x 2 - y 2 = 8 sprendinių aibė yra: ((3; 1), (3; -1), (-3; 1), (-3; -1 )).

1-ojo laipsnio algebrinės lygtys su vienu nežinomuoju jau buvo išspręstos Senovės Egiptas Ir Senovės Babilonas. Babilono raštininkai mokėjo apsispręsti ir kvadratines lygtis, taip pat paprasčiausios sistemos tiesines lygtis ir 2-ojo laipsnio lygtys. Naudodami specialias lenteles jie taip pat išsprendė kai kurias trečiojo laipsnio lygtis, pavyzdžiui, x 3 + x = a. IN Senovės Graikija kvadratinės lygtys buvo išspręstos naudojant geometrinės konstrukcijos. Graikų matematikas Diofantas (III a.) sukūrė metodus, kaip išspręsti algebrines lygtis ir tokių lygčių sistemas su daugybe nežinomųjų. racionalūs skaičiai. Pavyzdžiui, jis racionaliais skaičiais išsprendė lygtį x 4 - y 4 + z 4 = n 2, lygčių sistemą y 3 + x 2 = u 2, z 2 + x 2 = v 3 ir kt. (žr. Diofanto lygtis).

Kai kurie geometrinės problemos: kubo padvigubinimas, kampo trisijimas (žr. Klasikinės problemos antika), taisyklingo septyniakampio konstrukcija - veda prie sprendimo kubines lygtis. Sprendžiant reikėjo rasti susikirtimo taškus kūginės sekcijos(elipsės, parabolės ir hiperbolės). Pasinaudodamas geometriniai metodai, viduramžių Rytų matematikai tyrinėjo kubinių lygčių sprendimus. Tačiau jiems nepavyko rasti formulės, kaip juos išspręsti. Pirmasis didelis Vakarų Europos matematikos atradimas buvo gautas XVI a. kubinės lygties sprendimo formulė. Nes tuo metu neigiami skaičiai dar nebuvo plačiai paplitę, reikėjo atskirai išanalizuoti tokius lygčių tipus kaip x 3 + px = q, x 3 + q = px ir kt. Italų matematikas S. del Ferro (1465-1526) išsprendė lygtį x 3 + px = q ir perdavė sprendimą savo žentui bei mokiniui A. M. Fiore, kuris metė iššūkį nepaprastam savamoksliui matematikui N. Tartaglia (1499–1557) dalyvauti matematikos turnyre. Likus kelioms dienoms iki turnyro Tartaglia rado bendras metodas spręsdamas kubines lygtis ir laimėjo, greitai išsprendęs visas 30 jam pasiūlytų uždavinių. Tačiau Tartaglia rasta formulė lygčiai x 3 + px + q = 0 išspręsti

x = 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27)) + 3 √ (-q/2 + √(q 2 / 4 + p 3 /27))

Algebrinės simbolikos kūrimas ir skaičiaus sampratos apibendrinimas iki kompleksiniai skaičiai leidžiamas XVII-XVIII a. tyrimai bendrosios savybės algebrines lygtis aukštesni laipsniai, taip pat bendrosios daugianario savybės viename ir keliuose kintamuosiuose.

Vienas iš labiausiai svarbias užduotis algebrinių lygčių teorija XVII-XVIII a. buvo rasti formulę, kaip išspręsti 5 laipsnio lygtį. Po bevaisių daugelio algebristų kartų paieškų, prancūzų mokslininko pastangomis XVIII a. J. Lagranžas (1736-1813), italų mokslininkas P. Ruffini (1765-1822) ir norvegų matematikas N. Abelis m. pabaigos XVIII - pradžios XIX V. buvo įrodyta, kad nėra formulės, kuria būtų galima išreikšti kokios nors 5 laipsnio lygties šaknis per lygties koeficientus, naudojant tik aritmetines operacijas ir šaknų ištraukimą. Šiuos tyrimus užbaigė E. Galois darbas, kurio teorija leidžia bet kuriai lygčiai nustatyti, ar jos šaknys išreikštos radikalais. Dar prieš tai K. F. Gaussas išsprendė išraiškos problemą kvadratiniai radikalai lygties šaknys x n - 1 = 0, iki kurios sumažinama taisyklingo n kampo konstravimo naudojant kompasą ir liniuotę problema. Visų pirma, naudojant šiuos įrankius neįmanoma sukonstruoti įprasto septyniakampio, devyniakampio ir pan. - tokia konstrukcija galima tik tuo atveju, kai n yra 2 2k + 1 formos pirminis skaičius arba skirtingos sandauga pirminiai skaičiaišios rūšies.

Kartu su formulių paieška specifines lygtis buvo tiriamas bet kurios algebrinės lygties šaknų egzistavimo klausimas. XVIII amžiuje Prancūzų filosofas ir matematikas J. D'Alembertas įrodė, kad bet kuri nulinio laipsnio algebrinė lygtis su sudėtingais koeficientais turi bent vieną sudėtinga šaknis. D'Alemberto įrodyme buvo spragų, kurias vėliau užpildė Gaussas. Iš šios teoremos išplaukė, kad bet koks n-asis daugianario x galios yra išskaidomos į n tiesinių faktorių sandaugą.

Šiuo metu algebrinių lygčių sistemų teorija virto nepriklausoma matematikos sritimi, vadinama algebrine geometrija. Jis tiria aukštesnių matmenų linijas, paviršius ir kolektorius, apibrėžtus tokių lygčių sistemomis.

Algebrinės lygtys. Apibrėžimas

Tegul funkcijos f(x) ir μ(x) yra apibrėžtos tam tikroje aibėje A. Ir tegul reikia rasti aibę X, kurioje šios funkcijos yra vienodos vertės, kitaip tariant, suraskite visas x reikšmes, kurioms galioja lygybė: f(x)= q(x).

Naudojant šią formulę, ši lygybė vadinama lygtimi su nežinomu x.

Lygtis vadinama algebrine, jei su nežinomuoju atliekamos tik algebrinės operacijos – sudėjimas, atimtis, daugyba, dalyba, eksponencija ir šaknų ištraukimas. natūralus rodiklis.

Algebrinėse lygtyse yra tik algebrinės funkcijos (sveikasis skaičius, racionalioji, neracionalioji). Algebrinė lygtis in bendras vaizdas gali būti pavaizduotas n-ojo laipsnio daugianario su realiaisiais koeficientais:

Pavyzdžiui,

Aibė A vadinama aibe (plotu) priimtinos vertėsšiai lygčiai nežinomas.

Aibė X vadinama sprendinių aibe, o kiekvienas jos sprendinys x=a yra šios lygties šaknis. Išspręsti lygtį reiškia rasti visų jos sprendinių aibę arba įrodyti, kad jų nėra.

Algebrinių lygčių sprendimo būdai

Daugelyje mokslinių ir inžinerinės problemos reikia išspręsti formos lygtį

kur f(x) yra duotoji netiesinė funkcija.

Analitiškai galima rasti sprendimus tik pačioms paprasčiausioms lygtims. Daugeliu atvejų (1) tipo lygtį reikia išspręsti skaitmeniniais metodais.

Skaitinis (1) lygties sprendimas paprastai atliekamas dviem etapais. Pirmajame etape reikia rasti tokius kintamojo x kitimo intervalus, kuriuose yra tik viena šaknis. Ši problema dažniausiai išsprendžiama grafiškai. Antrame etape išaiškinamos atskiros šaknys. Tam naudojami įvairūs metodai.

Sprendimo metodai netiesines lygtis skirstomi į tiesioginius ir kartotinius. Tiesioginiai metodai leidžia rašyti šaknis formulės pavidalu. Tačiau praktikoje pasitaikančios lygtys ne visada gali būti išspręstos paprasti metodai. Norėdami juos išspręsti, mes naudojame iteraciniai metodai, t.y. nuoseklių aproksimacijų metodai.

Tiesioginiai metodai – sprendimas randamas iš anksto žinomas numeris aritmetinės operacijos, sprendimas griežtas. Pavyzdžiai: Gauso metodas, metodas kvadratinė šaknis, Cramerio taisyklė ir kt.

Iteraciniai metodai – tai nuoseklaus aproksimavimo metodai, kai neįmanoma numatyti aritmetinių operacijų, kurių prireiks norint išspręsti lygtį (sistemą) tam tikru tikslumu, skaičiaus. Pavyzdžiai: metodas paprastos iteracijos, Gauss-Seidel metodas, atkarpos padalijimo per pusę metodas ir kt.

Šiame darbe nagrinėjamas ir palyginamas paprastas iteracijos metodas ir pusiau padalijimas segmentas.

Algebrinės lygtys – formos lygtys

kur yra daugianario kintamieji. Šie kintamieji vadinami nežinomais. Sutvarkyta skaičių rinkinys atitinka šią lygtį, jei pakeitus , , ir t.t. gaunama teisinga skaitinė lygybė (pavyzdžiui, tvarkingas skaičių trigubas (3, 4, 5) tenkina lygtį, nes ). Skaičius, kuris tenkina algebrinę lygtį viename nežinomajame, vadinamas tos lygties šaknimi. Visų skaičių aibių, atitinkančių duotą lygtį, aibė yra šios lygties sprendinių rinkinys. Dvi algebrinės lygtys, turinčios tą patį sprendinių rinkinį, vadinamos lygiavertėmis. Polinomo laipsnis vadinamas lygties laipsniu. Pavyzdžiui, - pirmojo laipsnio lygtis, - antrojo laipsnio ir - ketvirtasis laipsnis. Pirmojo laipsnio lygtys taip pat vadinamos tiesinėmis (žr. Tiesinės lygtys).

Algebrinė lygtis su vienu nežinomuoju turi baigtinį šaknų skaičių, o algebrinės lygties, kurioje yra daug nežinomųjų, sprendinių aibė gali būti begalinis konkrečių skaičių aibių skaičius. Todėl dažniausiai jie svarsto ne atskiras algebrines lygtis su nežinomaisiais, o lygčių sistemas ir ieško skaičių aibių, kurios vienu metu tenkina visas tam tikros sistemos lygtis. Visų šių rinkinių derinys sudaro sistemos sprendinių rinkinį. Pavyzdžiui, lygčių sistemos sprendinių aibė yra tokia: .

1-ojo laipsnio algebrinės lygtys su vienu nežinomuoju jau buvo išspręstos Senovės Egipte ir Senovės Babilone. Babilono raštininkai sugebėjo išspręsti kvadratines lygtis, taip pat paprasčiausias tiesinių lygčių ir II laipsnio lygčių sistemas. Naudodami specialias lenteles jie taip pat išsprendė, pavyzdžiui, kai kurias III laipsnio lygtis. Senovės Graikijoje kvadratinės lygtys buvo sprendžiamos naudojant geometrines konstrukcijas. Graikų matematikas Diofantas (III a.) sukūrė metodus, kaip išspręsti algebrines lygtis ir tokių lygčių sistemas su daugybe nežinomųjų racionaliuose skaičiuose. Pavyzdžiui, jis išsprendė lygtį racionaliais skaičiais , lygčių sistema ir kt. (žr. Diofantino lygtis).

Keletas geometrinių uždavinių: kubo padvigubinimas, kampo trisekcija (žr. Klasikinės antikos problemos), taisyklingo septyniakampio konstravimas – veda prie kubinių lygčių sprendimo. Sprendžiant reikėjo rasti kūginių pjūvių (elipsių, parabolių ir hiperbolių) susikirtimo taškus. Naudodami geometrinius metodus, viduramžių Rytų matematikai tyrinėjo kubinių lygčių sprendimus. Tačiau jiems nepavyko išvesti formulės, kaip juos išspręsti. Pirmasis didelis Vakarų Europos matematikos atradimas buvo gautas XVI a. kubinės lygties sprendimo formulė. Kadangi tuo metu neigiami skaičiai dar nebuvo plačiai paplitę, reikėjo atskirai išanalizuoti tokias lygčių rūšis kaip , ir tt Italų matematikas S. del Ferro (1465-1526) išsprendė lygtį ir apie sprendimą pranešė savo sūnui. -teisė ir studentas A.-M . Fiore'as, kuris metė iššūkį nepaprastam savamoksliui matematikui N. Tartaglia (1499-1557) į matematikos turnyrą. Likus kelioms dienoms iki turnyro, Tartaglia rado bendrą kubinių lygčių sprendimo būdą ir laimėjo, greitai išsprendęs visas 30 jam pasiūlytų problemų. Tačiau Tartaglia rasta formulė lygčiai išspręsti

Algebrinės simbolikos sukūrimas ir skaičiaus sampratos apibendrinimas iki kompleksinių skaičių leido XVII–XVIII a. ištirti bendrąsias aukštesnio laipsnio algebrinių lygčių savybes, taip pat bendrąsias daugianario savybes viename ir keliuose kintamuosiuose.

Viena iš svarbiausių algebrinių lygčių teorijos problemų XVII-XVIII a. buvo rasti formulę, kaip išspręsti 5 laipsnio lygtį. Po bevaisių daugelio algebristų kartų paieškų, prancūzų mokslininko pastangomis XVIII a. J. Lagranžas (1736-1813), italų mokslininkas P. Ruffini (1765-1822) ir norvegų matematikas N. Abelis XVIII amžiaus pabaigoje – XIX amžiaus pradžioje. buvo įrodyta, kad nėra formulės, kuria būtų galima išreikšti kokios nors 5-ojo laipsnio lygties šaknis per lygties koeficientus, naudojant tik aritmetines operacijas ir šaknų ištraukimą. Šiuos tyrimus užbaigė E. Galois darbas, kurio teorija leidžia bet kuriai lygčiai nustatyti, ar jos šaknys išreikštos radikalais. Dar prieš tai K.F. Gaussas išsprendė lygties šaknų išreiškimo kvadratiniais radikalais problemą, iki kurios sumažinama taisyklingo trikampio konstravimo naudojant kompasą ir liniuotę problema. Visų pirma, naudojant šiuos įrankius neįmanoma sukonstruoti įprasto septyniakampio, devyniakampio ir pan. – tokia konstrukcija galima tik tuo atveju, kai - formos pirminis skaičius arba skirtingų šio tipo pirminių skaičių sandauga.

Kartu su konkrečių lygčių sprendimo formulių paieška buvo tiriamas bet kurios algebrinės lygties šaknų egzistavimo klausimas. XVIII amžiuje prancūzų filosofas ir matematikas J. D'Alembertas įrodė, kad bet kuri nulinio laipsnio algebrinė lygtis su kompleksiniais koeficientais turi bent vieną kompleksinę šaknį D'Alemberto įrodyme, kurias vėliau užpildė Gaussas. Iš šios teoremos išplaukė, kad bet kuris 0 laipsnio daugianomas gali būti išskaidytas į tiesinių faktorių sandaugą.

Šiuo metu algebrinių lygčių sistemų teorija virto nepriklausoma matematikos sritimi, vadinama algebrine geometrija. Jis tiria aukštesnių matmenų linijas, paviršius ir kolektorius, apibrėžtus tokių lygčių sistemomis.