Borisovo rajono vykdomojo komiteto Švietimo, sporto ir turizmo skyrius

Vyriausybės įstaiga išsilavinimas

« Vidurinė mokykla Nr. 16 Borisovas“

Paskalio trikampis

7 "A" klasės mokinys

Aboyan Elizaveta Aleksandrovna,

namų adresas: Borisovas,

Smolevichiskaya g., 8, 76-51-80

Prižiūrėtojas:

Iščiuk Olga Eduardovna, matematikos mokytoja

Borisovas, 2016 m

Turinys

Įvadas

Šiame mokslo metus pradėjome mokytis naujas daiktas"geometrija".

Vienas iš geometrijos kurso skyrių vadinasi „Trikampiai“. Man buvo labai įdomu ši tema. Visada norėjau sužinoti daug naujų dalykų apie trikampius, jų kilmę ir reikšmę mūsų gyvenime. Juk trikampių pasaulis labai paslaptingas ir įdomus.

Trikampis yra pirmoji geometrinė figūra, rasta senoviniuose ornamentuose. Studijuodamas literatūrą sužinojau, kad Egipte tai simbolizavo dvasinės valios, meilės, intuicijos ir aukštesnis intelektas asmuo, tai yra jo asmenybė ar siela.

Actekai kaip laiko ciklo simbolį naudojo trikampio atvaizdą, kurio viršūnė buvo sujungta su apverstu trikampiu. Trikampis kartu su kryžiumi sudaro alcheminį sieros ženklą.

Lygiakraštis trikampis, simbolizuojantis, pagal hebrajų tradiciją, tobulumą, tarp krikščionių reiškia Trejybę – Tėvą, Sūnų ir Šventąją Dvasią.

Yra daugybė trikampių tipų, bet labiausiai mane sudomino Paskalio trikampis.

Tyrimo problema:

Mano tyrimo problema yra ta, kad bandžiau nustatyti ir parodyti, kaip plačiai trikampiai naudojami praktiniame gyvenime.

Praktinė tyrimo reikšmė:

Tai tiriamasis darbas gali būti naudojamas kaip papildomos medžiagos geometrijos pamokoms, už popamokinė veikla matematikoje.

Tyrimo tikslas:

Susipažinkite su Paskalio trikampiu ir jo taikymu kaip trikampio tipu;

Hipotezė:

Jei Paskalio trikampio skaičiai turi ypatingos savybės, tada jis gali būti laikomas unikaliu sprendimu įvairios užduotys

Užduotys:

Nustatyti Paskalio trikampio skaičių savybių taikymą;

Studijuoti literatūrą tema „Paskalio trikampis“;

Nustatykite skaičių, sudarančių Paskalio trikampį, savybes;

Suformuluoti tyrimo išvadą ir rezultatus;

Tyrimo objektas: trikampis kaip geometrinė figūra

Tyrimo objektas: Paskalio trikampio savybės

Tyrimo metodai:

Analitinis ir statistinis darbas su informacine, moksline, mokomąja ir specialiąja literatūra;

Ieškoma informacijos interneto šaltiniuose.

Darbo sritys:

Problemos, literatūros šaltinių parinkimas, plano sudarymas;

Darbas su literatūra ir kitais šaltiniais;

Gautų duomenų apdorojimas;

Rezultatų analizė, išvadų formulavimas;

Multimedijos mokymai.

Pagrindiniai tyrimo etapai: parengiamieji; aktyvus;

Tyrimo eiga: atspindintis; analitinis; pristatymas.

Teorinė dalis dirbti

Įvadas į Paskalio trikampį

Pirmoji pažintis su Paskalio trikampiu įvyko studijuojant temą „Dvejetalio pakėlimas į laipsnį“ algebros pamokoje.Aš jau žinau sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato, sumos kubo ir skirtumo kubo formules. Pastebėjau, kad galima gauti formules binomiui pakelti į ketvirtą, penktą ir t.t. laipsnis yra įmanomas, atsižvelgiant į tam tikrą kiekvieno termino koeficientų ir laipsnių modelį.

Visų linijų koeficientai gali būti išdėstyti trikampio pavidalu:

Taip susipažinau su Paskalio trikampiu ir nusprendžiau toliau studijuoti aritmetinį trikampį.

Blezas Paskalis – prancūzų matematikas

B Les Pascal (1623 m. birželio 19 d., Klermonas-Feranas, – 1662 m. rugpjūčio 19 d., Paryžius) – prancūzų matematikas, fizikas, rašytojas ir filosofas.

Paskalis buvo pirmos klasės matematikas. Jis padėjo sukurti dvi pagrindines naujas kryptis matematiniai tyrimai. Būdamas šešiolikos, jis parašė nuostabų traktatą projektinės geometrijos tema ir 1654 m. susirašinėjo su Pierre'u de Fermat tikimybių teorija, kuri vėliau turėjo esminės įtakos šiuolaikinės ekonomikos raidai.

Paskalio trikampis kaip trikampio tipas

Tyrinėdamas trikampių tipus išsiaiškinau, kad Paskalio trikampis yra aritmetinis trikampis, sudarytas iš dvinarių koeficientų. Pavadintas Blaise'o Pascalio vardu. Tiesą sakant, Paskalio trikampis buvo žinomas gerokai prieš 1653 m., Traktato paskelbimo datą. aritmetinis trikampis“. Taigi, šis trikampis atkuriamas toliau titulinis lapas parašytas aritmetikos vadovėlis pradžios XVI Peteris Apianas, Ingoltštato universiteto astronomas. Trikampis taip pat pavaizduotas 1303 m. išleistos kinų matematiko knygos iliustracijoje. Omaras Khayyamas, kuris buvo ne tik filosofas ir poetas, bet ir matematikas, apie trikampio egzistavimą žinojo jau apie 1100 m., savo ruožtu, pasiskolinęs jį iš ankstesnių Kinijos ar Indijos šaltinių.

Taip pat iš Martino Gardnerio knygos „Matematiniai romanai“ (M., Mir, 1974) sužinojau, kad „Paskalio trikampis yra toks paprastas, kad net dešimties metų vaikas gali jį užrašyti lobiai ir jungiasi kartu įvairių aspektų matematikai, kurie iš pirmo žvilgsnio neturi nieko bendra tarpusavyje. Dėl tokių neįprastų savybių Paskalio trikampis yra viena elegantiškiausių diagramų visoje matematikoje.

Pažiūrėjau į trikampio konstravimo schemą, kurią pasiūlė Hugo Steinhausas savo klasikoje " Matematinis kaleidoskopas": tarkime, kad įeinate į miestą, kaip parodyta diagramoje su mėlyna rodykle, ir galite judėti tik pirmyn, tiksliau, nuolat rinkdamiesi, pirmyn į kairę arba pirmyn į dešinę. Mazgai, kuriuos galima pasiekti tik vienu būdu, pažymėti žaliais jaustukais, taškas, kurį galima pasiekti dviem būdais, rodomas raudona, o trys atitinkamai – rožiniais. Tai vienas iš trikampio konstravimo variantų.

(1 pav.)

Studijuoja specialioji literatūra, sužinojau, kad žodžiai dar paprasčiau paaiškina Paskalio trikampio struktūrą: kiekvienas skaičius yra lygus dviejų virš jo esančių skaičių sumai .

Viskas elementaru, bet tame slypi tiek daug stebuklų. Jei nubrėžiate Paskalio trikampį, gausite lygiašonį trikampį. Šiame trikampyje yra viršuje ir šonuose. Kiekvienas skaičius yra lygus dviejų virš jo esančių skaičių sumai. Trikampis gali būti tęsiamas neribotą laiką. Jis yra simetriškas vertikalioji ašis, einantis per jo viršų. Išilgai įstrižainių (kiek trikampis gali turėti įstrižainių, bet nesikreipkime, tokios terminijos yra publikacijose), lygiagrečiai su šonais trikampis (paveiksle pažymėtas žaliomis linijomis) sukonstruoti trikampiai skaičiai ir jų apibendrinimai visų matmenų erdvių atveju. Trikampiai skaičiai įprasčiausia ir žinomiausia forma rodo, kiek liečiamų apskritimų galima išdėstyti trikampio pavidalu - kaip klasikinis pavyzdys pradinis kamuoliukų išdėstymas biliarde. Prie vienos monetos galite pritvirtinti dar dvi – iš viso tris – prie dviejų galite pritvirtinti dar tris – iš viso šešias.

Paveiksle gavome trikampius skaičius: 3; 6; 10; 15.

Toliau didinant eilutes išlaikant trikampio formą, gauname 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66... ​​eilutes, ką rodo antrasis. žalia linija. Ši nuostabi serija, kurios kiekvienas narys lygi sumai natūralioje skaičių eilutėje (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), taip pat yra daug matematikos mylėtojams gerai žinomų pažįstamų: 6 ir 28 yra tobuli skaičiai, 36 - kvadratinis skaičius, 8 ir 21 yra Fibonačio skaičiai.

Kita žalia linija parodys mums tetraedrinius skaičius – galime dėti vieną rutulį ant trijų – iš viso keturi, galime padėti šešis po tris – iš viso dešimt ir pan.

Norėdami rasti skaičių sumą bet kurioje įstrižainėje nuo pradžios iki mus dominančios vietos, tiesiog pažiūrėkite į skaičių, esantį žemiau ir kairėje nuo paskutinio termino (kairėje - dešinėje įstrižainėje, dešinėje - kairėje įstrižainė, o apskritai – arčiau trikampio vidurio). Pavyzdžiui, norime apskaičiuoti skaičių sumą natūralioje eilutėje nuo 1 iki 9. „Nusileidę“ įstrižai iki skaičiaus 9, pamatysime skaičių 45 jo apačioje, kairėje reikiamą sumą. Kokia yra pirmųjų aštuonių trikampių skaičių suma? Antroje įstrižainėje randame aštuntą skaičių ir judame žemyn ir į kairę. Atsakymas: 120.

(2 pav.)

Paskalio trikampis pritaikomas tikimybių teorijoje ir turi puikių savybių.

Paskalio trikampio savybės ir jų taikymas sprendžiant uždavinius

Pascalis išsamiai ištyrė savo „trikampio“ savybes ir pritaikymą. Kaip pavyzdį pateiksiu tik 3 „trikampio“ savybes, kurias rado pats Paskalis; šiuo atveju vadovausiuosi „trikampio“ vieta plokštumoje, kurią nurodė Paskalis, ir kalbėsiu apie horizontalias ir vertikalias eilutes.

1 ypatybė: kiekvienas skaičius A lentelėje yra lygus ankstesnės horizontalios eilutės skaičių sumai, pradedant nuo tolimiausios kairiosios eilutės iki esančios iškart virš skaičiaus A (kuriame langeliai, kuriuose yra terminų, kurių suma yra A, yra užtamsintas).(4 pav.)

(4 pav.)(5 pav.)(6 pav.)

2 savybė: kiekvienas skaičius A lentelėje yra lygus ankstesnio skaičiaus skaičių sumai vertikali eilutė, pradedant nuo viršutinio iki skaičiaus A iškart kairėje.(5 pav.)

3 nuosavybė:Kiekvienas skaičius lentelėje, sumažintas vienetu, yra lygus visų skaičių, užpildančių stačiakampį, apribotą tų vertikalių ir horizontalių eilučių, kurių sankirtoje yra skaičius A (šios eilutės neįtraukiamos į stačiakampį, sumai). klausimas).(6 pav.)

Paskalio trikampis ir tikimybių teorija.

Blaise'as Pascalis ir kiti puikus prancūzas, Pierre'as Fermatas, tapo tikimybių teorijos įkūrėjais, kai Pascalis ir Fermat nepriklausomai davė teisingas paaiškinimas vadinamasis normos padalijimo paradoksas. Du žaidėjai žaidžia „nekenksmingą“ žaidimą (ty abu turi vienodą galimybę laimėti), susitarę, kad pirmasis laimėjęs šešis žaidimus gaus visą prizą. Tarkime, kad žaidimas sustojo anksčiau nei vienas iš jų laimėjo prizą (pavyzdžiui, pirmasis žaidėjas laimėjo penkis žaidimus, o antrasis žaidėjas laimėjo tris). Kaip teisingai paskirstyti prizą? Taigi pagal vieną sprendimą prizas turėjo būti padalintas santykiu 5:3, t.y. proporcingai laimėtoms partijoms, pagal kitą – santykiu 2:1 (čia, matyt, samprotavimas buvo atliktas taip: kadangi pirmasis žaidėjas laimėjo dar dvi partijas, o tai yra trečdalis iš šešių pergalei reikalingų partijų, jis turėtų gauti trečdalį nuo prizo, o likusi dalis turi būti padalinta per pusę).

Tuo tarpu reikia padalyti santykiu 7:1. Tiek Pascalis, tiek Fermatas lažybų padalijimo paradoksą traktavo kaip tikimybių problemą, nustatydami, kad teisingas padalijimas buvo proporcingas pirmojo žaidėjo galimybėms laimėti prizą. Tarkime, kad pirmas žaidėjas turi laimėti tik vieną partiją, o antrasis turi laimėti dar tris partijas, kad laimėtų, o žaidėjai tęsia žaidimą ir žaidžia visus tris žaidimus, net jei kai kurie iš jų yra nereikalingi laimėtojui nustatyti. . Tokiam tęsiniui visi 2 3 = 8 galimi rezultatai bus vienodai tikėtini. Kadangi antrasis žaidėjas gauna prizą tik vienu atveju (jei laimi visas tris partijas), o kitais atvejais laimi pirmasis žaidėjas, santykis yra 7:1.

Moksle ir praktikoje dažnai kyla problemų, kurias sprendžiant reikia sukurti įvairius derinius baigtinis skaičius elementus ir suskaičiuokite derinių skaičių. Tokios problemos vadinamos kombinatorinėmis problemomis..

Pasvarstykime pagrindinės formulės kombinatorika:

Tai yra bet koks sutvarkytas poaibismiš rinkinio elementųn.

.

Paskalio trikampyjeskaičius, nurodantis, kiek būdų galite pasirinktikelementai iš rinkinio, kuriame yran įvairių elementų, stovi sankryžojekįstrižainė irn-toji eilutė. Norėdami apskaičiuoti derinį , nEinu į septintą įstrižainę iš viršaus ir suskaičiuoju tris skaičius horizontaliai. Gaunu numerį 35.

Taip pat galite naudoti Paskalio trikampį paskirties vietoms apskaičiuoti.

.Jei reikia skaičiuoti, tada tai žinant , ir 3!=6, gauname šios paskirties vietos reikšmę 210.

Padariau išvadą, kad aptartos Paskalio trikampio savybės patvirtina Martino Gardnerio žodžius, kad Paskalio trikampis yra viena elegantiškiausių schemų visoje matematikoje.

Tyrimo aktualumą lemia kasmetinis KT užduočių sudėtingumas, reikalaujantis gilių žinių ne tik algebroje, bet ir geometrijoje.

Praktinė dalis dirbti

Savo praktinis darbas Aš pasirinkau keletą problemų tema „Paskalio trikampis“

1 problema. Filatelijos parduotuvėje parduodami 8 skirtingi pašto ženklų rinkiniai, skirti sporto temoms. Keliais būdais iš jų galima pasirinkti 3 rinkinius?

Sprendimas:

Paskalio trikampyje skaičius, rodantis, kiek k elementų galima pasirinkti iš aibės, kurioje yra n skirtingų elementų, yra k-osios įstrižainės ir n-osios eilės sankirtoje.

Aš surasiu aštuntą įstrižainę iš viršaus ir suskaičiuosiu tris skaičius horizontaliai. Gaunu numerį 56.(8 pav.)

Užduotis 2. Iš šešių klinikoje dirbančių gydytojų du reikia siųsti į kvalifikacijos kėlimo kursus. Kiek būdų tai galima padaryti?

Sprendimas:

Surasiu šeštą įstrižainę iš viršaus ir suskaičiuosiu du skaičius horizontaliai. Gaunu numerį 15.

(P(9 pav.)

3 užduotis. Pakuotėje yra 7 brūkšniuoti ir 5 kvadratiniai vienodo dydžio sąsiuviniai. Atsitiktinai iš pakuotės paimkite 3 sąsiuvinius. Kokia tikimybė, kad visi trys sąsiuviniai atsidurs kvadrate?

Sprendimas. Pirmiausia suraskime bendras skaičius galimi rezultatai, t.y. keliais būdais galime pasirinkti 3 sąsiuvinius iš 12 sąsiuvinių?

4 užduotis. Plokštumoje yra 10 tiesių, tarp jų nėra lygiagrečių tiesių ir lygiai dvi tiesės eina per kiekvieną jų susikirtimo tašką. Kiek jie turi susikirtimo taškų?

Sprendimas: atsakymas yra -45 taškų sankirtoje!

5 užduotis.Maišelyje yra 10 kamuoliukų, sunumeruotų nuo 1 iki 10. Atsitiktinai ištraukiami 2 rutuliai. Kokia tikimybė, kad tai bus 7 ir 3 rutuliukai?

Galite pašalinti 2 kamuoliukus iš 10 galimų 45 būdais. Mūsų įvykio tikimybė yra 2 iš 45.(11 pav.)

Praktinio tyrimo metu priėjau prie tokias išvadas: spręsdami kombinatorinius ir tikimybių teorijos uždavinius, galite naudoti ne tik kombinatorikos formules, bet ir Paskalio trikampio savybes

Išvada

Darbas pasirinkta tema buvo atliktas visiškai laikantis tyrimo plano, o būtent: iškeltas tyrimo objektas ir dalykas, tikslai ir uždaviniai, nustatyti laukiami rezultatai. Buvo nurodyti naudojami tyrimo metodai ir apibrėžta problema.

Šiame darbe buvo duota bendrosios charakteristikos kaip trikampis geometrinė figūra, buvo detaliai išnagrinėtas Paskalio trikampis ir jo savybės.

Aš priėjau prie išvados, kad viena žinomiausių ir elegantiškiausių skaitinių schemų visoje matematikoje yra Paskalio trikampis. Paskalio trikampis yra daug platesnė sąvoka, nei aš įsivaizdavau. Jis ne tik turi nuostabios savybės, bet buvo naudojamas ir viduramžių architektūroje matininkų ir architektų proporcingumo schemoms konstruoti bei statmeniems kampams konstruoti. Naudodamiesi Paskalio trikampiu, galite išspręsti problemas iš tikimybių teorijos ir kombinatorikos.SU kombinacinės problemos Susitikau matematikos pamokose 6 klasėje ir sprendžiant olimpiados uždavinius

Praktinė šio darbo reikšmė tokia: išstudijavus daug literatūros apie šį klausimą, įgijau papildomų žinių matematikos srityje, sustiprino susidomėjimą šiuo mokslu.

Sužinojau, kad naudojamas Paskalio trikampis:

Algebra žino

Sprendžiant kombinatorinius uždavinius

Spręsti įvairius fizikos srities uždavinius

Su atėjimu kompiuteriai Paskalio trikampio konstravimas tapo mėgstama pradedančiųjų problema, mokantis programavimo pagrindų.

Darbas šia tema pasirodė įdomus ir naudingas.

Naudotų šaltinių ir literatūros sąrašas

1. Abachiev S.K., Paskalio trikampio vaivorykštės fraktalumas / S.K. Abachiev, - Minskas, 1999.-168p.

2. Galkin E.V. Nestandartinės užduotys matematikoje. Loginės užduotys. Knyga 5-11 klasių mokiniams Maskva, „Švietimas“, 1996 m. – 194 p.

3. Martinas Gardneris. 17 skyrius. Neišsenkantis Paskalio trikampio žavesys / Matematiniai romanai. - Minskas: Mir, 1974.- 456 p.

4. Paskalio trikampis. V. A. Uspenskis. - 2 leidimas. – Maskva: Nauka, 1979. – 48 p.

5. Fuchsas D., Fuchsas M., Binominių koeficientų aritmetika / Kvantinė. - 1970. - Nr.6. - P.17-25.

6. Enciklopedija vaikams. T 11. Matematika / Ch. red. M. Aksenova; metodas. ir atsp. red. V. Volodinas. – M.: Avanta+, 2004 m. – 688-ieji.

7.

8. http:// davaiknam. ru/ tekstą/ volšebnij- treugolenik.

Dvejetainiai koeficientai yra (1 + x)n išplėtimo koeficientai x laipsniais (vadinamasis Niutono dvinaris): Kitaip tariant, (1 + x)n yra dvinarių koeficientų generavimo funkcija. Reikšmė binominis koeficientas apibrėžta visiems sveikiesiems skaičiams... ... Vikipedija

Vikižodyne yra įrašas "trikampis" Triangle in plačiąja prasme objektas trikampio formos, arba objektų trigubas, poriniai ryšiai... Vikipedija

Skaičių, kurie yra dvinario koeficientai, lentelė. Šioje lentelėje šonuose lygiašonis trikampis yra vienetai, o kiekvienas iš likusių skaičių yra lygus dviejų skaičių, esančių virš jo kairėje ir dešinėje, sumai: Eilutėje, pažymėtoje n+1... ... Matematinė enciklopedija

Sierpinskio trikampio fraktalas, vienas iš dvimačių Kantoro rinkinio analogų, pasiūlytas lenkų matematiko Sierpinskio ... Wikipedia

Reuleaux trikampio konstravimas Reuleaux trikampis [* 1] pavaizduotas ... Wikipedia

Trikampis skaičių lentelė binominiams koeficientams sudaryti (žr. Niutono dvinarį). P. t pasiūlė B. Paskalis (žr. Paskalį). Žiūrėti aritmetinį trikampį...

Paskalio trikampis, trikampių skaičių lentelė dvinariams koeficientams sudaryti (žr. Niutono dvinarį). A. t šonuose yra vienetai, dviejų viršutinių skaičių suma. (n + 1) A.T. binominių koeficientų eilutėje... ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Tas pats kaip Paskalio trikampis... Matematinė enciklopedija

Matematikoje binominiai koeficientai yra Niutono dvinalio plėtimosi koeficientai x laipsniais. Koeficientas for yra žymimas arba ir skaitomas kaip „binominis koeficientas nuo n iki k“ (arba „ze nuo n iki k“): ... Vikipedijoje

(1 + x)n išplėtimo koeficientai x laipsniais (vadinamasis Niutono dvinaris): Kitaip tariant, (1 + x)n yra dvinarių koeficientų generavimo funkcija. Binominio koeficiento reikšmė apibrėžiama visiems sveikiesiems skaičiams n ir k. Aiškios formulės ... Vikipedija

Knygos

• Paskalio trikampis. 102 knyga, V. A. Uspenskis. Šioje paskaitoje aptariama viena svarbi skaitinė lentelė (vadinama Paskalio trikampiu), naudinga sprendžiant daugybę skaičiavimo uždavinių. Kartu su tokių problemų sprendimu...
• Paskalio trikampis. 102 knyga, V.A. Uspensky. Šioje paskaitoje aptariama viena svarbi skaitinė lentelė (vadinama Paskalio trikampiu), naudinga sprendžiant daugybę skaičiavimo problemų. Kartu su tokių problemų sprendimu...

Dvejetainiai koeficientai yra (1 + x)n išplėtimo koeficientai x laipsniais (vadinamasis Niutono dvinaris): Kitaip tariant, (1 + x)n yra dvinarių koeficientų generavimo funkcija. Binominio koeficiento reikšmė nustatoma visiems sveikiesiems skaičiams... ... Vikipedija

Trikampis (reikšmės)- Vikižodynas turi straipsnį "trikampis" Trikampis plačiąja prasme yra trikampio formos objektas arba poromis sujungtų objektų trio... Vikipedija

PASKALO TRIKAMPIS- skaičių, kurie yra dvinariai koeficientai, lentelė. Šioje lentelėje lygiašonio trikampio kraštinėse yra vienetai, o kiekvienas iš likusių skaičių yra lygus dviejų skaičių, esančių virš jo kairėje ir dešinėje, sumai: Eilutėje, pažymėtoje n+1... . . Matematinė enciklopedija

Sierpinskio trikampis- Sierpinskio trikampio fraktalas, vienas iš dvimačių Kantoro rinkinio analogų, pasiūlytas lenkų matematiko Sierpinskio ... Wikipedia

Reuleaux trikampis- Reuleaux trikampio konstrukcija Reuleaux trikampis [* 1] pavaizduotas ... Vikipedija

Paskalio trikampis- trikampė skaitmeninė lentelė dvinariams koeficientams sudaryti (žr. Niutono dvinarį). P. t pasiūlė B. Paskalis (žr. Paskalį). Žiūrėti aritmetinį trikampį...

Aritmetinis trikampis- Paskalio trikampis, trikampė skaitinė lentelė, skirta dvejetainiams koeficientams sudaryti (žr. Niutono dvinarį). A. t šonuose yra vienetai, dviejų viršutinių skaičių suma. (n + 1) A.T. binominių koeficientų eilutėje... ... Didžioji sovietinė enciklopedija

ARITMETINIS TRIKAMPIS- tas pats kaip Paskalio trikampis... Matematinė enciklopedija

Binominis koeficientas- Matematikoje binominiai koeficientai yra Niutono dvinalio plėtimosi koeficientai x laipsniais. Koeficientas for yra žymimas arba ir skaitomas kaip „binominis koeficientas nuo n iki k“ (arba „ze nuo n iki k“): ... Vikipedijoje

Binominiai koeficientai- (1 + x)n išplėtimo koeficientai x laipsniais (vadinamasis Niutono dvinaris): Kitaip tariant, (1 + x)n yra dvinarių koeficientų generavimo funkcija. Binominio koeficiento reikšmė apibrėžiama visiems sveikiesiems skaičiams n ir k. Aiškios formulės ... Vikipedija

Knygos

• Paskalio trikampis. 102 knyga, V. A. Uspenskis. Šioje paskaitoje aptariama viena svarbi skaitinė lentelė (vadinama Paskalio trikampiu), naudinga sprendžiant daugybę skaičiavimo uždavinių. Kartu su tokių problemų sprendimu... Pirkite už 211 UAH (tik Ukraina)
• Paskalio trikampis. 102 knyga, V.A. Uspensky. Šioje paskaitoje aptariama viena svarbi skaitinė lentelė (vadinama Paskalio trikampiu), naudinga sprendžiant daugybę skaičiavimo problemų. Kartu su tokių problemų sprendimu...

Apie Paskalio trikampį visi sužino jaunystėje. Bet, matyt, atpažįstami ne visi trikampyje esantys stebuklai. Tiesą sakant, mes vis dar atrandame naujų dalykų!

Sukurti trikampį yra gana paprasta: išilgai išorinių kraštų reikia sudėti vienetus, o kiekvienas skaičius viduje yra lygus dviejų virš jo esančių skaičių sumai. Taigi, trečiasis skaičius šeštoje eilutėje yra lygus , nes tai yra skaičių ir suma.

Dėmesio! Mes iš tikrųjų pasakysime, koks yra antrasis skaičius penktoje eilutėje. Dėl priežasčių, kurios netrukus paaiškės, trikampio eilutes ir stulpelius pradedame numeruoti nuo nulio. Pavyzdžiui, antrasis skaičius ketvirtoje eilutėje yra .

Žinodami papildymo taisyklę, galite tęsti be galo: galite rašyti tiek eilučių, kiek leidžia kantrybė.

Pirmosios 10 Paskalio trikampio eilučių

Pascalis savo trikampį pristatė 1653 m. Traité du triangle arithmétique kaip tikimybių tyrimo ir skaičiavimo problemos dalį. Klausimai buvo maždaug tokie: „Jei noriu pasirinkti du žmones iš keturių pateiktų duomenų, kiek yra galimų porų arba „Kokia tikimybė gauti pilną namą? pastaba pokeryje trys vienos vertės kortos ir dvi kitos), kai iš gerai išmaišytos kaladės išdalijamos penkios kortos?“ Pascalis ir Fermatas dažniausiai aptarė tikimybę raidėse, kuriomis tuo metu apsikeitė. Galite pamatyti originalų Paskalio trikampį.

Kaip trikampis yra susijęs su tikimybe? Na, jei norite pasirinkti objektus iš duomenų, tada skaičius galimi variantai pasirinkimas yra lygus skaičiui trikampio eilutėje. Atminkite, kad eilučių numeriai ir skaičiai trikampio linijose prasideda nuo nulio! Naudodami šią taisyklę matome, kad yra tiksliai du būdai pasirinkti du žmones iš keturių pateiktų duomenų. Ir taip - trečias skaičius devintoje trikampio eilutėje, tada yra būdas pasirinkti tris žmones iš devynių duomenų. Kai išmoksite tai apskaičiuoti, žengsite nedidelį žingsnį visų galimų tikimybių apskaičiavimo link.

Iš pirmo žvilgsnio atrodo gana neaišku, kodėl trikampis duoda teisingą atsakymą į šį klausimą. Taip pat gali atrodyti keista, kad visada turime pradėti nuo nulio, kad tai pavyktų. Norėdami įsitikinti, kad visa tai yra visiškai teisinga, pateiksime dvi pastabas.

Pirma, jei turite objektų grupę, kiek būdų galite iš jų pasirinkti nulį objektų? Yra tiksliai vienas būdas pasirinkti nulį objektų, tai yra tiesiog pareiškimas, kad nenaudojate nė vieno iš jų. Be to, turite tik vieną būdą pasirinkti visus objektus. Ir tai tiksliai atitinka tuos, kurie yra dviejuose kiekvienos eilutės galuose.

Blezas Paskalis

Antra, jei norime pasirinkti elementus iš duomenų, pastebime, kad yra du vienas kitą paneigiantys scenarijai: arba mūsų mėgstamiausias elementas yra vienas iš pasirinktų, arba ne. Jei pasirenkame jį, tada taip pat turime pasirinkti elementą iš likusių elementų, kad galėtume tiksliai pasirinkti elementus. Jei nepasirenkame nurodytos prekės, tuomet turime pasirinkti visus elementus iš prekių duomenų, likusių pašalinus mėgstamą prekę. Kadangi tai yra viena kitą paneigiančios galimybės gauti bendras kiekis parinkčių, turime pridėti kiekvieno scenarijaus parinkčių skaičių.

Trumpai tariant, norėdami gauti objektų pasirinkimo iš duomenų skaičių, turime pridėti objektų pasirinkimo būdų skaičių ir objektų pasirinkimo būdų skaičių iš . Bet tai yra Paskalio trikampio pridėjimo taisyklė!

Jau žinome, kad trikampį visiškai lemia vienetų išsidėstymas jo šonuose ir sudėjimo taisyklė. Kadangi šios savybės taip pat taikomos atsakant į klausimą apie objektų pasirinkimo variantų skaičių, trikampis turėtų pateikti teisingą atsakymą ir čia.

Galimybė atlikti tokius skaičiavimus daugeliu atvejų yra neįkainojama. Todėl nenuostabu, kad Pascalis nebuvo pirmasis. Šiuos skaičius ištyrė Indijos, Kinijos ir Irano matematikai skirtingi laikai, prasidėjo daugiau nei prieš tūkstantį metų. Ir, žinoma, visi atpažins Yang Hui trikampį, 1303 m.

Juokinga, net nemokant atskirti skaičių šiame trikampyje, kuriam daugiau nei 700 metų, galite rasti rašybos klaidą! Patarimas: Sudėjimo taisyklė padaro Paskalio trikampį simetrišką vertikalios linijos, einančios per jo viršūnę, atžvilgiu. Jei atidžiai pažvelgsite, Yang Hui trikampyje ši simetrija sulaužyta vienoje vietoje.

Trikampyje yra daug nuostabių dalykų. Kur stebuklai? Kai kuriuos iš jų lengva pastebėti. Jei sudėsite skaičius trikampio eilutėje, visada gausite laipsnį (pvz., ). Mums tai gana nuobodu.

Šiek tiek įdomiau yra tai, kad sudėjus skaičius trikampio įstrižainėse, gaunama Fibonačio skaičių seka. O pati Fibonačio seka turi daug netikėtumų.

Neseniai Paskalio trikampyje buvo atrasta kažkas stebinančio ir naujo. Kaip matėme, kai susumuojate skaičius trikampio eilutėje, nutinka kažkas įdomaus. Šis faktas apie sumas yra toks pat senas kaip ir pats trikampis. Tačiau iki 2012 m., iki „Harlan Brothers“, niekas nebandė suprasti, kas nutiktų, jei kiekvienoje eilutėje padaugintumėte skaičius.

Pažymime skaičių sandauga trikampio eilutėje. Taigi, ir taip toliau. Atrodo, kad gaminami skaičiai neturi jokių akivaizdžių stebuklingų savybių. Broliams kilo mintis pažiūrėti, kas nutiktų, jei šiuos produktus, apskaičiuotus gretimoms eilėms, padalintumėte. Tiksliau, jis rado skaičius, gautus pagal šią formulę:

Tai yra, kiekvienoje eilutėje jis laikė trupmeną, kurios skaitiklis lygus produktui visi skaičiai eilutėje po juo ir eilutėje virš jos, o vardiklis yra visų toje eilutėje esančių skaičių sandauga kvadratu.

Ir štai nuostabus dalykas: kai jis didėja, šis santykis artėja prie skaičiaus ! Atminkite, tai yra dešimtainis skaičius Su begalinis skaičius skaičiai maždaug lygūs . Tai atsiranda dėl palūkanų kapitalizavimo, gyventojų skaičiaus augimo modelių ir kitose situacijose eksponentinis augimas. Nuostabu, kad šis skaičius gali būti toks gražus paprastu būdu rasta Paskalio trikampyje. Kadangi žinote, ko ieškoti, nesunku pastebėti, kad augant šis santykis iš tikrųjų artėja. Kaip matote, skaičiavimams reikia tik šiek tiek algebros.

Ši graži Richardo Greene'o animacija aiškiai parodo „Harlan Brothers“ rezultatą:

Trikampyje yra dar vienas stebuklas, kurį turėtų žinoti visi. Nuspalvinkime kiekvieną trikampio skaičių viena iš dviejų spalvų, priklausomai nuo to, ar jis lyginis ar nelyginis. Pavyzdžiui, galėtume piešti lyginiai skaičiai balti, o nelyginiai – mėlyni. Jei tai padarysime pirmąsias 500 trikampio eilučių, gausime tokį modelį:

Tai garsus fraktalas, žinomas kaip Sierpinskio trikampis! Tai veda prie įvairių rūšių klausimus. Skaičius yra lyginis arba nelyginis, jei, padalytas iš, atitinkamai gaunama liekana arba. Kas nutinka, kai dalijame iš? Likučiai gali būti lygūs arba . Kas atsitiks, jei naudosite aštuonias spalvas ir nuspalvinsite kiekvieną skaičių pagal jo likutį, padalijus iš aštuonių? Pirmosioms 500 trikampio eilučių gauname gražų vaizdą:

Komentarai: 6

1. 1 Muradas:

   Šiurkščios klaidos – absurdai, kuriuos padarė mūsų protėviai ir mes

   Mano tyrimas atskleidė tokias grubias klaidas – absurdus, kuriuos padarė mūsų protėviai ir mes:
   1. Jie tikėjo, kad žmogus yra mirtingas, bet pasirodo, kad jis amžinas ir idealus. Visatoje sukurti kūnai, iš kur jie atsirado, niekada ten negrįžta. Tada mirties nėra – visi sukurti kūnai Visatoje yra gyvi. Viskas iki šiol gimęs iš žmogaus atkuriami amžina ir idealia forma, kiekvienas 30 bitų kodas – skaičiai suranda savo idealias poras, o kodų – porų skaičių suma yra 30 devynerių.
   2. Mes tik kylame iki 4 psichikos vystymosi stadijų, ir jų yra 7: Tolesnė nedaloma reikšmė 1butto = 1000 st.-7 = 10 st.-21 - gyvos ląstelės pradžia, svoris ir tūris - gyva siela ir tolimesnė neišplečiama reikšmė 1sap = 1000 st.7 = 10 st.21. Tai yra kiekvieno dydis saulės sistema ir jų bus 3 sekstilijonai.
   3. Visi sukurti kūnai Visatoje susideda iš tų pačių ląstelių – kubelių, svorio ir tūrio 1butto = 10-21. Ideali moteris 25 metų žmogus susideda iš 360 sekstilijonų ląstelių ir idealus vyras 25 metų žmogus yra 366 sekstilijonai = 366x10st.21 ląstelės, o kiekviena ląstelė yra pats asmuo. Tai reiškia, kad dalis yra lygi visumai: vienas „aš“ visiems „366x10st.21I“ ir „366x10st.21 I“ vienam „aš“ – tai vyrams.
   4. Dalis lygi visumai ir nėra trupmeniniai skaičiai, bet jie manė priešingai. Tada nelieka neracionalių ir transcendentiniai skaičiai. Taip pat nėra logaritmo, trigonometrinės funkcijos, ribos, diferencialai ir integralai, variacijų skaičiavimas, tikimybių teorija ir statistika. Visata ir žinios yra baigtinės, bet jie manė priešingai. Nereikia naudoti radikalių posakių.
   5. Laikėme lygybę Zn = Xn +Yn puiki teorema Fermato arba Diofanto lygtis yra lygties (Zn – Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn sprendimas. Tada Zn = – (Xn +Yn) yra lygties (Zn+Xn)Xn = (Zn + Yn)Yn sprendinys. Jie supainiojo sprendimą su lygtimi, bet nežinojo pačios lygties. Tai absurdas, matematikų gėda!
   Sprendimai optimizavimo problemos atvedė prie sistemos tiesinės, galios ir diferencialines lygtis. Pasirodo, supainiojome sprendimą su sistemos lygtimi, o pačios lygties nežinojome: Zn = Xn + Yn yra lygties (Zn- Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn sprendinys. Sprendimas Zn = Xn +Yn yra +103n = +(500 x 103(n-1) + 500 x103(n-1)) ir -103n = – (500 x 103(n-1) + 500 x103(n- 1)). Kiekvienas 103n = 10n x 102n yra kubo pagrindas ir tuo pačiu 10n eilės Rubikas.
   Lygybę c2 = a2+ b2: hipotenuzės kvadratas = kojų kvadratų suma laikėme Pitagoro teorema, tačiau paaiškėjo, kad tai lygties (c2- a2) sprendinys a2 = (c2- b2) ) b2. Tada c2= – (a2+ b2) yra lygties (c2+ a2) a2 = (c2+ b2) b2 sprendinys. Tai reiškia, kad iš 2 lygių stačiųjų trikampių, vienodos kojos gali suformuoti kvadratą – kubo pagrindą. Iš 12 lygių stačiųjų trikampių vienodos kojos gali sudaryti kubą. Priklausomai nuo kojos ilgio, galite formuoti įvairius kubelius ir tuo pačiu rubikus.
   6. Nesupratome 1 (vienetų) sudėjimo ir daugybos reikšmės. Jei yra 9 vyrai ir 9 moterys, tai 9 + 9 = 18 žmonių. 10 vyrų ir 9 moterų, tada 10 + 9 = 19 žmonių, 10 vyrų ir 10 moterų, tada 10 +10 = 20 žmonių, 11 vyrų ir 10 moterų, tada 11 +10 = 21 žmogus. Produktai 1 (vnt.):
   111111111 x 111111111= 12345678987654321; 1111111111 x 111111111= 123456789987654321. 0111111111 x 1111111110 = 0123456789876543210; 01111111111 x 1111111110 = 01234567899876543210. Šios operacijos atliekamos su 1 bito neigiamais ir teigiamais sveikaisiais skaičiais.
   Jei 20 vienetų ilgio atkarpos galuose įdėsime 2 kubus. Duokime vienam minusinį krūvį, antram pliusą, tada jie vienu metu susitinka atkarpos viduryje, kiekvienas pravažiuodami po 10 tako vienetų, jei kelyje nėra kliūčių: 01234567899876543210. Tada duodame tuos pačius mokesčius, tada jie užims pradines pozicijas, o skaičiai keičiasi: 98765432100123456789.
   Jeigu 200 vienetų ilgio atkarpos galuose įdėsime 2 kubus. Vienam duokime minusinį krūvį, antrajam pliusą, tada jie vienu metu susitinka atkarpos viduryje, kiekvienas pravažiuodami po 100 tako vienetų, jei kelyje nėra kliūčių: 00...9999...00. Tada suteikiame jiems to paties pavadinimo mokesčius, jie užims pradines pozicijas, o skaičiai keičiasi: 99...0000...99.
   Jei 2000 vienetų ilgio atkarpos galuose įdėsime 2 kubus. Vienam duokime minusinį krūvį, antrajam pliusą, tada jie vienu metu susitinka atkarpos viduryje, kiekvienas pravažiuodami po 1000 tako vienetų, jei kelyje nėra kliūčių: 000...999999...000. Tada suteikiame jiems to paties pavadinimo mokesčius, jie užims pradines pozicijas, o skaičiai keičiasi: 999...000000...999.
   Tęsdami šį procesą, pasiekiame 2 sekstilijonus vienetus, tada kiekvienas kubas, praėjęs, viduryje susitinka 1 sektilijono takai. Niutono traukos dėsnis papildytas atstūmimu. Kiekvienam 1 (vieneto) keliui turi būti priskirtas skaičius, pradedant 21 nuliu ir baigiant 21 devintu.
   Kodas – kiekvienai Visatoje sukurtų kūnų porai priskirti skaičiai – yra sveikųjų skaičių, sudarytų iš skaičių: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sandauga. , kiekvienai žmonių porai priskiriamas 30 bitų kodas - numeris, jų suma yra 30 devynerių. Kodo priskyrimas – kiekvieno žmogaus numeris prasideda 30 nulių ir baigiasi 30 devynerių.
   Sveikųjų skaičių naudojimas žmonijos poreikiams yra pakankamas iki 3 laipsnio:
   -(0 + 1 + 2 + … + n) + (0 + 1 + 2 + … + n); -(02 + 12 + 22 + … + n2) + (02 + 12 + 22 + … + n2);
   -(03 + 13 + 23 + … + n3) + (03 + 13 + 23 + … + n3); -(04 + 14 + 24 + … + n4) + (04 + 14 + 24 + … + n4);
   7. Buvo manoma, kad 1Kb = 1024b, o 1Kb =1000b, 1Kg =1000g, 1m =1000mm. Laiko bazė yra 60. 1 valanda = 60 minučių, 1 minutė. = 60 sek., 1 sek. = 60 mili sek., 1 mili sek. = 60 mikrosek., 1 mikrosek. = 60 nanosek., 1 nano sek. = 60 pic sek., 1 pic sek = 60 femto sek., 1 fem sek = 60 otto sek. , 1 otto sek. = 60 mygtuko sek.
   8. Pasaulis turi kubinę (kvadratinės bazės) koordinačių sistemą, o ne stačiakampę (ne stačiakampę). Taip yra todėl, kad X = a, Y = a, X + Y = 2a, XY = a x a yra pagrindas. X = a, Y = a, Z = a, X + Y+ Z =3a, XYZ = a x a x a.
   Stačiakampė (Dekarto) koordinačių sistema gaunama iš sveikųjų skaičių savybės: 2 skaičių X ir Y suma nesikeičia sudėjus ir atimant skaičių b, tačiau sandaugai keičiasi.
   X = a + b, Y = a – b, X + Y =2a, XY= (a + b) x (a – b) = a2- b2.
   X = a +√b, Y = a – √b, X + Y =2a, XY= (a + √b) x (a – √b) = a2- b.
   X = a + bi, Y = a – bi, X + Y =2a, XY= (a + bi) x (a – bi) = a2+ b2.
   X = a +√bi, Y = a – √bi, X + Y =2a, XY= (a + √bi) x (a – √bi) = a2 + b
   9. Žemės modelis yra ne gaublys, o kubas ir tuo pačiu 24 eilės Rubikas - paviršius yra didelis kvadratas, padalintas į 576 mažus kvadratus, tokio pat dydžio. Šono ilgis mažas kvadratas 1000 km = 10 st. 6 m. m Žemės paviršiaus turėtų būti padengti garais, bet mes gyvename absurduose.
   10. Žemės centras (pradžia, bamba) ir laiko pradžia yra Turkmėnistano šiaurėje (Kunya-Urgench, šventa vieta 360), ir jie tikėjo, kad laikas prasidėjo Grinviče.
   11. Pasaulyje yra daug kalendorių, bet jų turėtų būti universalus kalendorius Saparova M;
   12. Naujieji metai vakare pasveikinti saulėtekį ir jaunatį.
   13. Nešioja laikrodį, kuris rodo 24 val. Diena -24 valandos prasideda ir baigiasi saulėtekiu;
   14. Pasaulyje yra daug abėcėlių ir kalbų, tačiau turėtų būti viena skaitmeninė kalba.
   15 Pasaulyje yra daug mokslų, bet turėtų būti tik vienas mokslas – aritgrafas.
   16. Žmogus gimsta po 9 mėnesių = ¾ metų, o jo gimtadienį švenčiame kas antri metai. Asmens amžius nustatomas pagal formulę: (4n)/3, kur n yra skaičius, padalytas iš 3 – po 3 metų pridedami 1 metai = 9 mėnesiai.
   17.B Periodinė lentelė D. I. Mendelejevo cheminiai elementai cheminis elementas gyvas organizmas, visi pinigai yra popierius, metalas ir taip pat gyvi organizmai, tai ka mes valgome, geriame, kvėpuojame ir vaikštome, taip pat yra gyvi organizmai. Tuo įsitikinsime gavę reikšmę 1butto=10st.-21.
   Galite pridėti absurdų ir kaip juos ištaisyti, mums tai bus naudinga, mes greitai tapsime amžini ir idealūs.
   Yra tik viena išeitis – visiškas perėjimas prie 10-osios skaičių sistemos. Jeigu ištaisysime visus absurdus, tai mūsų galvos – kompiuteriai dirbs 1000 kartų 1000 operacijų per sekundę, ir visos mūsų problemos išsispręs.
   Apie viską teoremaferma.far.ru, paskelbta tinklaraščiuose ir bendruomenėse facebook.com bei grupėse adresu yandex.ru.

Norint gauti Paskalio trikampis, 1 lentelę iš skyriaus „Sutrumpintos daugybos formulės: sumos laipsnis ir skirtumo laipsnis“ perrašome tokia forma (P. lentelė):

P lentelė – Natūralūs laipsniai dvinario x + y

Dabar, naudodamiesi trečiuoju P lentelės stulpeliu, sudarysime šią lentelę - Paskalio trikampis:

Dabar, įrašydami tik dvinarių galių plėtimosi koeficientus į mononario sumą, gauname tokią lentelę - Paskalio trikampis:

Lentelė – Paskalio trikampis

Tik tuo atveju priminsime, kad Blaise'as Pascalis yra garsus fizikas ir matematikas, gyvenęs Prancūzijoje daugiau nei prieš tris šimtmečius.

Paskalio trikampyje kiekviena eilutė atitinka eilutę su tuo pačiu numeriu P lentelėje. Tačiau kiekvienoje Paskalio trikampio eilutėje, skirtingai nei P lentelėje, tik plėtimosi koeficientaiį atitinkamo dvinario x + y laipsnio vienanarių sumą.

Pirmiausia užpildę Paskalio trikampio eilutes skaičiais 0 ir 1, apsvarstykite eilutes su skaičiais 2 ir toliau.

Pagrindinė Paskalio trikampio savybė, leidžianti nuosekliai užpildyti jo eilutes, pradedant nuo 2 eilutės kitas turtas :

Kiekviena iš eilučių , pradedant nuo 2 eilutės, pirma, prasideda ir baigiasi skaičiumi 1, ir, antra, tarp skaičių 1 yra skaičiai, kiekviena iš kurių lygi dviejų virš jo esančių skaičių sumai ankstesnėje eilutėje.

Iš tiesų, skaičius 2 antroje eilutėje yra lygus skaičių 1 ir 1 sumai pirmoje eilutėje. Lygiai taip pat skaičiai 3 ir 3, esantys trečioje eilutėje, yra atitinkamai lygūs skaičių 1 plius 2 sumai ir skaičių 2 plius 1 sumai antroje eilutėje.

Tas pats ir kitoms linijoms.

Taigi Paskalio trikampio savybė leidžia, užpildžius vieną iš eilučių, nesunkiai užpildyti kitą, t.y. gauti reikiamus plėtimosi koeficientus į dvinario x + y kito laipsnio vienanarių sumą.

Pavyzdys. Parašykite formos išskaidymą:

(x + y) 7 .

Sprendimas. Naudodami Paskalio trikampio liniją su skaičiumi 6 ir pritaikę pagrindinę Paskalio trikampio savybę, gauname eilutę su skaičiumi 7:

Mūsų svetainėje taip pat galite susipažinti su parengtais mokytojais mokymo centras„Resolventos“ mokomoji medžiaga, skirta pasiruošti vieningam valstybiniam matematikos egzaminui ir vieningam valstybiniam egzaminui.

Moksleiviams, norintiems gerai pasiruošti ir išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą