Virpesių charakteristikos

Fazė nustato sistemos būseną, būtent koordinates, greitį, pagreitį, energiją ir kt.

Ciklinis dažnis apibūdina svyravimų fazės kitimo greitį.

Pradinė būsena svyravimo sistema charakterizuoja pradinė fazė

Virpesių amplitudė A- tai didžiausias poslinkis iš pusiausvyros padėties

Laikotarpis T- tai laikotarpis, per kurį taškas atlieka vieną pilną svyravimą.

Virpesių dažnis yra pilnų svyravimų skaičius per laiko vienetą t.

Dažnis, ciklinis dažnis ir virpesių periodas yra susiję kaip

Vibracijų rūšys

Svyravimai, atsirandantys uždarose sistemose, vadinami nemokamai arba savo svyravimai. Vibracijos, atsirandančios veikiant išorinės jėgos, paskambino priverstinis. Taip pat yra savaiminiai virpesiai(priversta automatiškai).

Jei atsižvelgsime į svyravimus pagal besikeičiančias charakteristikas (amplitudę, dažnį, periodą ir kt.), tada juos galima suskirstyti į harmoninė, išblukęs, auga(taip pat pjūklinis, stačiakampis, kompleksinis).

Su laisvomis vibracijomis tikrosios sistemos Energijos nuostoliai visada atsiranda. Mechaninė energija išleidžiama, pavyzdžiui, atliekant darbus oro pasipriešinimo jėgoms įveikti. Trinties įtakoje svyravimų amplitudė mažėja, o po kurio laiko svyravimai nutrūksta. Aišku, ką daugiau galios atsparumas judėjimui, tuo greičiau sustoja vibracijos.

Priverstinės vibracijos. Rezonansas

Priverstiniai svyravimai neslopinami. Todėl kiekvienam svyravimo periodui būtina papildyti energijos nuostolius. Norėdami tai padaryti, būtina periodiškai kintančia jėga paveikti svyruojantį kūną. Priverstiniai svyravimai atsiranda dažniu vienodas dažnis išorinės jėgos pokyčiai.

Priverstinės vibracijos

Priverstinių mechaninių virpesių amplitudė pasiekia didžiausia vertė tuo atveju, kai varomosios jėgos dažnis sutampa su virpesių sistemos dažniu. Šis reiškinys vadinamas rezonansas.

Pavyzdžiui, jei mes periodiškai trauksime laidą laiku su jo paties vibracijomis, pastebėsime jo virpesių amplitudės padidėjimą.

Jei šlapiu pirštu judinsite išilgai stiklinės krašto, stiklas skleis skambėjimo garsus. Nors tai nepastebima, pirštas su pertrūkiais juda ir trumpais sprogimais perduoda energiją stiklui, todėl stiklas vibruoja

Stiklo sienelės taip pat pradeda vibruoti, jei nukreipiate jį į jį. garso banga kurių dažnis lygus jo paties dažniui. Jei amplitudė tampa labai didelė, stiklas gali net įskilti. Dėl rezonanso, kai dainavo F.I., šviestuvų krištoliniai pakabukai drebėjo (rezonavo). Rezonanso atsiradimą galima stebėti ir vonios kambaryje. Jei tyliai dainuosite skirtingų dažnių garsus, viename iš dažnių atsiras rezonansas.

IN muzikos instrumentai rezonatorių vaidmenį atlieka jų korpusų dalys. Žmogus turi ir savo rezonatorių – tai burnos ertmė, kuri sustiprina skleidžiamus garsus.

Praktiškai reikia atsižvelgti į rezonanso reiškinį. Kai kuriais atvejais tai gali būti naudinga, kitais – žalinga. Rezonanso reiškiniai gali sukelti negrįžtamus įvairių mechaninių sistemų pažeidimus, pavyzdžiui, netinkamai suprojektuotus tiltus. Taip 1905 metais Sankt Peterburge sugriuvo Egipto tiltas, per jį važiuojant arklių eskadrilei, o 1940 metais – JAV Tacoma tiltas.

Rezonanso reiškinys naudojamas tada, kai mažos jėgos pagalba reikia išgauti didelį virpesių amplitudės padidėjimą. Pavyzdžiui, sunki kalba didelis varpas gali būti siūbuojamas naudojant santykinai nedidelę jėgą, kurios dažnis lygus varpo natūraliam dažniui.

HARMONINIAI VIBRACIJAI

Testavimas internetu

Harmoninis svyravimas

Harmoninių virpesių lygtis

Harmoninių virpesių lygtis nustato kūno koordinačių priklausomybę nuo laiko

Kosinuso brėžinys pradžios momentas turi didžiausią reikšmę, o sinuso grafikas pradiniu momentu turi nulinę reikšmę. Jei pradėsime tirti svyravimą iš pusiausvyros padėties, tada svyravimas kartos sinusoidę. Jei pradėsime svarstyti svyravimą iš padėties maksimalus nuokrypis, tada svyravimas bus apibūdintas kosinusu. Arba tokį svyravimą galima apibūdinti sinuso formule su pradine faze.

Greičio ir pagreičio pokytis harmoninių virpesių metu

Laikui bėgant pagal sinuso arba kosinuso dėsnį kinta ne tik kūno koordinatė. Tačiau tokie dydžiai kaip jėga, greitis ir pagreitis taip pat keičiasi panašiai. Jėga ir pagreitis yra didžiausi, kai yra svyruojantis kūnas ekstremalios pozicijos, kur poslinkis yra didžiausias ir yra lygus nuliui, kai kūnas eina per pusiausvyros padėtį. Greitis, priešingai, ekstremaliose padėtyse yra lygus nuliui, o kai kūnas praeina per pusiausvyros padėtį, jis pasiekia maksimalią vertę.

Jeigu svyravimas apibūdinamas kosinuso dėsniu

Jeigu svyravimas aprašomas pagal sinuso dėsnį

Didžiausio greičio ir pagreičio vertės

Išanalizavę priklausomybės v(t) ir a(t) lygtis, galime tai spėti didžiausios vertės greitis ir pagreitis imami, kai trigonometrinis koeficientas yra 1 arba -1. Nustatoma pagal formulę

Greičio priklausomybės nuo laiko ir pagreičio nuo laiko formules galima gauti matematiškai, žinant koordinatės priklausomybę nuo laiko. Panašiai kaip tolygiai pagreitintas judėjimas, priklausomybė v(t) yra pirmoji x(t) išvestinė. O priklausomybė a(t) yra antroji x(t) išvestinė.

Virpesių slopinimas yra laipsniškas svyravimų amplitudės mažėjimas laikui bėgant, nes svyravimo sistema praranda energiją.

Natūralūs svyravimai be slopinimo yra idealizacija. Susilpnėjimo priežastys gali būti skirtingos. Mechaninėje sistemoje vibracijas slopina trintis. IN elektromagnetinė grandinė Dėl šilumos nuostolių sistemą formuojančiuose laiduose mažėja vibracijos energija. Kai bus išnaudota visa virpesių sistemoje sukaupta energija, svyravimai sustos. Todėl amplitudė slopinami svyravimai mažėja, kol tampa lygus nuliui.

Slopintus virpesius, kaip ir natūralius virpesius, sistemose, kurios skiriasi savo prigimtimi, galima vertinti vienu požiūriu – bendromis charakteristikomis. Tačiau tokias charakteristikas kaip amplitudė ir periodas reikia apibrėžti iš naujo, o kitas reikia papildyti ir paaiškinti, palyginti su tomis pačiomis savybėmis, būdingomis natūraliems neslopintiems virpesiams. Bendrieji ženklai ir slopintų virpesių sąvokos yra tokios:

Diferencialinė lygtis turi būti gauta atsižvelgiant į sumažėjimą svyravimo proceso metu vibracinė energija.

Virpesių lygtis yra diferencialinės lygties sprendimas.

Slopintų virpesių amplitudė priklauso nuo laiko.

Dažnis ir periodas priklauso nuo svyravimų slopinimo laipsnio.

Fazė ir pradinė fazė turi tą pačią reikšmę kaip ir nuolatiniai virpesiai.

3.1. Mechaniškai slopinami svyravimai

Mechaninė sistema: spyruoklinė švytuoklė, atsižvelgiant į trinties jėgas.

Jėgos, veikiančios švytuoklę:

Elastinė jėga. , kur k – spyruoklės standumo koeficientas, x – švytuoklės poslinkis iš pusiausvyros padėties.

Pasipriešinimo jėga. Apsvarstykite pasipriešinimo jėgą, proporcingas greičiui v judėjimas (ši priklausomybė būdinga didelei pasipriešinimo jėgų klasei): . Minuso ženklas rodo, kad pasipriešinimo jėgos kryptis yra priešinga kūno greičio krypčiai. Atsparumo koeficientas r skaitinis lygus jėgai pasipriešinimas, atsirandantis esant vienetiniam kūno judėjimo greičiui:

Judėjimo dėsnisspyruoklinė švytuoklė- Tai antrasis Niutono dėsnis:

m a = F pvz. + F pasipriešinimas

Atsižvelgiant į tai, kad abu Antrąjį Niutono dėsnį rašome tokia forma:

.

Padalijus visus lygties narius iš m, perkeliant juos visus į dešinėje pusėje, gauname diferencialinė lygtis slopinami svyravimai:

Pažymėkime , kur β – slopinimo koeficientas, , kur ω 0 – neslopintų laisvųjų virpesių dažnis, kai svyravimo sistemoje nėra energijos nuostolių.

Naujajame žymėjime slopintų virpesių diferencialinė lygtis yra tokia:

.

Tai antros eilės tiesinė diferencialinė lygtis.

Slopintų virpesių lygtis yra šios diferencialinės lygties sprendimas:

1 priede parodyta, kaip gauti slopintų virpesių diferencialinės lygties sprendimą keičiant kintamuosius.

Slopinamas dažnis:

(fizinę reikšmę turi tik tikrą šaknį, todėl ).

Slopintų svyravimų laikotarpis:

.

Prasmė, kuri buvo įtraukta į neslopintų svyravimų periodo sąvoką, nėra tinkama slopinti virpesiams, nes svyravimo sistema niekada negrįžta į pradinę būseną dėl svyravimo energijos nuostolių. Esant trinčiai, vibracijos yra lėtesnės: .

Slopintų svyravimų laikotarpis yra minimalus laikotarpis, per kurį sistema du kartus pereina pusiausvyros padėtį viena kryptimi.

Už mechaninė sistema Turime spyruoklinę švytuoklę:

, .

Slopintų virpesių amplitudė:

Spyruoklinei švytuoklei.

Slopintų virpesių amplitudė nėra pastovi vertė, bet laikui bėgant kinta, tuo greičiau didesnis koeficientasβ. Todėl amplitudės apibrėžimas, anksčiau pateiktas neslopintiems laisviesiems virpesiams, turi būti pakeistas slopintiems virpesiams.

Mažiems slopinimams slopintų virpesių amplitudė vadinamas didžiausiu nukrypimu nuo pusiausvyros padėties per laikotarpį.

Diagramos Poslinkio ir laiko bei amplitudės ir laiko diagramos pateiktos 3.1 ir 3.2 paveiksluose.

3.1 pav. Poslinkio priklausomybė nuo slopintų virpesių laiko

3.2 pav. Slopintų virpesių amplitudės priklausomybė nuo laiko

3.2. Elektromagnetiniai slopinami virpesiai

Elektromagnetiniai slopinami virpesiai kyla e elektromagnetinė virpesių sistema, vadinamas LCR - grandine (3.3 pav.).

3.3 pav.

Diferencialinė lygtis gauname naudojant antrąjį Kirchhoffo dėsnį uždarai LCR grandinei: aktyviosios varžos (R) ir kondensatoriaus (C) įtampos kritimų suma yra lygi sukeltas emf, sukurtas grandinės grandinėje:

Įtampos kritimas:

Apie aktyviąją varžą: , kur I – srovės stipris grandinėje;

Ant kondensatoriaus (C): , kur q yra vienos iš kondensatoriaus plokštelių įkrovos dydis.

Grandinėje sukurtas EML yra indukuotas EML, atsirandantis induktoriuje, kai keičiasi jame esanti srovė, todėl magnetinis srautas per jo skerspjūvį: (Faradėjaus dėsnis).

Pakeiskime reikšmes U R , U C į lygtį, atspindinčią Kirchhoffo dėsnį, gausime:

.

Srovės stipris nustatomas kaip krūvio išvestinė, tada , ir diferencialinė lygtis bus tokia:

.

Pažymime , ir šiuo žymėjimu gauname slopintų svyravimų diferencialinę lygtį tokia forma:

Spręsdami diferencialinę lygtį arba krūvio virpesių lygtis ant kondensatoriaus plokščių atrodo taip:

Slopintų krūvių svyravimų amplitudė turi formą:

Slopinamas dažnis LCR grandinėje:

.

Laikotarpis išblukęs elektromagnetinės vibracijos:

.

Paimkime krūvio lygtį formoje įtampos lygtis ant kondensatoriaus plokščių galima parašyti taip:
.

Kiekis vadinamas įtampos amplitudė per kondensatorių.

Dabartinė grandinėje keičiasi laikui bėgant. Srovės lygtis kontūre galima gauti naudojant santykį ir vektorinę diagramą.

Galutinė srovės lygtis yra tokia:

Kur - pradinė fazė.

Ji nelygu α, nes srovės stipris kinta ne pagal sinusą, kuris būtų krūvio išvestinė, o pagal kosinusą.

Energija virpesiai grandinėje susideda iš elektrinio lauko energijos

ir magnetinio lauko energija

Bendra energija bet kuriuo metu:

Kur W 0 – visos energijos grandinės momentu t=0 .

3.3. Slopintų svyravimų charakteristikos

1.Silpninimo koeficientas β.

Slopintų virpesių amplitudė kinta pagal eksponentinį dėsnį:

Tegul virpesių amplitudė per laiką τ sumažėja „e“ kartų („e“ yra natūraliojo logaritmo pagrindas, e ≈ 2,718). Tada, viena vertus, , o kita vertus, aprašęs amplitudes A zat. (t) ir A zat. (t+τ), turime . Iš šių santykių išplaukia, kad βτ = 1, vadinasi

Laikotarpis τ, per kurį amplitudė sumažėja "e" kartų, vadinamas atsipalaidavimo laikas.

Silpninimo koeficientasβ yra vertė, atvirkščiai proporcinga atsipalaidavimo laikui.

2. Logaritminis mažėjimas slopinimas δ- fizikinis dydis, skaitiniu požiūriu lygus dviejų nuoseklių amplitudių, laiko atžvilgiu atskirtų tašku, santykio natūraliajam logaritmui.

Virpesių sistemos energijos sumažėjimas veda prie laipsniškas mažėjimas vibracijos amplitudės, nes

Šiuo atveju jie taip sako vibracijos užgęsta .

Panaši situacija susidaro ir virpesių grandinė. Tikra ritė, kuri yra grandinės dalis, visada turi aktyvią varžą. Kai srovė teka per aktyviąją ritės varžą, bus išleista Džaulio šiluma. Grandinės energija sumažės, todėl sumažės įkrovos, įtampos ir srovės virpesių amplitudė.

Mūsų užduotis- išsiaiškinti, pagal kokį dėsnį mažėja virpesių amplitudė, pagal kokį dėsnį keičiasi pats svyruojantis dydis, kokiu dažniu atsiranda slopinami virpesiai, kiek laiko svyravimai „užmiršta“.

§1 Virpesių slopinimas sistemose su klampia trintimi

Panagrinėkime svyruojančią sistemą, kurioje veikia klampios trinties jėga. Tokios virpesių sistemos pavyzdys yra matematinė švytuoklė, svyruojanti ore.

Šiuo atveju, kai sistema pašalinama iš pusiausvyros padėties

švytuoklę veiks dvi jėgos: kvazitamprioji jėga ir pasipriešinimo jėga (klampios trinties jėga).

Antrasis Niutono dėsnis bus parašytas taip:

(1)

Žinome, kad esant mažam greičiui klampios trinties jėga yra proporcinga judėjimo greičiui:

Tada (2) lygtis bus tokia:

judesio lygtį gauname tokia forma:

(3)

kur d yra slopinimo koeficientas, jis priklauso nuo trinties koeficiento r,

w 0 – idealių virpesių ciklinis dažnis (nesant trinties).

Prieš spręsdami (3) lygtį, apsvarstykite virpesių grandinę. Ritės aktyvioji varža nuosekliai sujungta su talpa C ir induktyvumu L.

Parašykime antrąjį Kirchhoffo dėsnį

Atsižvelgkime į tai, , .

Tada antrasis Kirchhoffo dėsnis bus toks:

Padalinkime abi lygties puses iš:

Supažindinkime su užrašu

Pagaliau gauname

Atkreipkite dėmesį į (3) ir (3’) diferencialinių lygčių matematinį tapatumą. Tai nestebina. Mes jau parodėme absoliučią matematinę svyruoklės virpesių ir elektromagnetinių virpesių grandinėje proceso tapatybę. Akivaizdu, kad vibracijos slopinimo procesai grandinėje ir sistemose su klampia trintimi taip pat vyksta vienodai.

Išspręsdami (3) lygtį, gausime atsakymus į visus aukščiau pateiktus klausimus.

Tada norimai lygčiai (3) gauname galutinį rezultatą

Nesunku pastebėti, kad kondensatoriaus įkrova tikroje virpesių grandinėje pasikeis pagal įstatymą

Gauto rezultato analizė:

1 Dėl to bendras veiksmas kvazielastingos jėgos ir pasipriešinimo jėgos sistema Galbūt įsipareigoti svyruojantis judesys. Tam turi būti įvykdyta sąlyga w 0 2 - d 2 > 0 Kitaip tariant, trintis sistemoje turi būti nedidelė.

2 Slopintų svyravimų dažnis w nesutampa su sistemos svyravimų dažniu, kai nėra trinties w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . Laikui bėgant slopintų svyravimų dažnis nesikeičia.

Jei slopinimo koeficientas d mažas, tai slopinamųjų svyravimų dažnis yra artimas savajam dažniui w 0 .

4 Jei w 0 2 – d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

(4)

Kur .

Tiesioginiu pakeitimu nesunku įsitikinti, kad funkcija (4) iš tiesų yra (3) lygties sprendimas. Akivaizdu, kad dviejų eksponentinių funkcijų suma nėra periodinė funkcija. SU fizinis taškasŽvelgiant iš perspektyvos, tai reiškia, kad svyravimai sistemoje neatsiras. Kai sistema bus pašalinta iš pusiausvyros padėties, ji lėtai grįš į ją. Šis procesas vadinamas periodinis .

§2 Kaip greitai svyravimai nyksta sistemose, turinčiose klampią trintį?

Slopinimo mažinimas

Už elektros vibracijos grandinėje slopinimo koeficientas priklauso nuo ritės parametrų: kuo didesnė aktyvioji ritės varža, tuo greičiau mažėja kondensatoriaus įkrovimo amplitudės, įtampa ir srovė.

Funkcija yra mažėjančios eksponentinės funkcijos ir harmoninė funkcija, Štai kodėl funkcija nėra harmoninga. Bet turi tam tikru mastu„pakartojimas“, kuris susideda iš to, kad funkcijos maksimumai, minimumai ir nuliai atsiranda vienodais laiko intervalais. Funkcijos grafikas yra sinusoidas, apribotas dviem eksponentais.

Atkreipkite dėmesį, kad rezultatas nepriklauso nuo to, kuriuos du periodus iš eilės laikote – svyruojančio judėjimo pradžioje ar praėjus kuriam laikui. Kiekvienam periodui kinta virpesių amplitudė neįjungtas tokio pat dydžio, A tiek pat kartų !!

Nesunku tai pamatyti bet kokiems skirtingiems laikotarpiams slopintų virpesių amplitudė sumažėja tiek pat kartų.

Atsipalaidavimo laikas

Atsipalaidavimo laikas vadinamas laikas, per kurį slopintų virpesių amplitudė sumažėja e kartų:

Tada .

Iš čia nesunku nustatyti fizinę silpninimo koeficiento reikšmę:

Taigi slopinimo koeficientas yra atsipalaidavimo laiko atvirkštinė vertė. Tegul, pavyzdžiui, virpesių grandinėje slopinimo koeficientas yra lygus . Tai reiškia, kad po laiko c svyravimų amplitudė sumažės e vieną kartą.

Logaritminio slopinimo mažinimas

Dažnai svyravimų slopinimo greitis apibūdinamas logaritminiu slopinimo mažėjimu. Už tai jie imasi natūralusis logaritmas nuo amplitudių, atskirtų laiko tarpsniu, santykio.

Išsiaiškinkime logaritminio slopinimo mažinimo fizinę reikšmę.

Tegul N yra sistemos atliktų virpesių skaičius per atsipalaidavimo laiką, tai yra virpesių, kurių metu svyravimų amplitudė sumažėja e vieną kartą. Akivaizdu,.

Matyti, kad logaritminis slopinimo sumažėjimas yra dydis skaičiaus atvirkštinė vertė svyravimai, po kurių amplitudė sumažėja e vieną kartą.

Tarkime, tai reiškia, kad po 100 svyravimų amplitudė sumažės e vieną kartą.

Virpesių sistemos kokybės faktorius

Be logaritminio slopinimo mažėjimo ir atsipalaidavimo laiko, svyravimų slopinimo greitį galima apibūdinti tokia reikšme kaip virpesių sistemos kokybės faktorius . Pagal kokybės faktorių

Virpesių sistemos energija savavališku laiko momentu yra lygi . Energijos nuostolius per tam tikrą laikotarpį galima rasti kaip skirtumą tarp energijos tam tikru momentu ir energijos po laiko, lygus laikotarpiui:

Tada

Eksponentinė funkcija galima išdėstyti iš eilės adresu<< 1. после подстановки получаем .

Mes nustatėme apribojimą pasitraukimui<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

Mūsų gautos sistemos kokybės koeficiento formulės dar nieko nesako. Tarkime, skaičiavimai suteikia kokybės koeficiento reikšmę Q = 10. Ką tai reiškia? Kaip greitai vibracijos nyksta? Ar tai gerai ar blogai?

Į anksčiau pateiktą klausimą galime atsakyti: N = 8.

Kuri virpesių sistema geresnė – su aukštu ar žemu kokybės koeficientu? Atsakymas į šį klausimą priklauso nuo to, ką norite gauti iš svyruojančios sistemos.

Jei norite, kad prieš sustodama sistema padarytų kuo daugiau svyravimų, reikia padidinti sistemos kokybės koeficientą. Kaip? Kadangi kokybės koeficientą lemia pačios virpesių sistemos parametrai, būtina teisingai parinkti šiuos parametrus.

Pavyzdžiui, Šv.Izaoko katedroje įrengta Fuko švytuoklė turėjo atlikti silpnai slopinamus svyravimus. Tada

Lengviausias būdas padidinti švytuoklės kokybės koeficientą – padaryti ją sunkesnę.

Praktikoje dažnai iškyla atvirkštinės problemos: reikia kuo greičiau nuslopinti atsiradusias vibracijas (pavyzdžiui, matavimo prietaiso adatos virpesius, automobilio kėbulo virpesius, laivo vibracijas ir kt.). kurie leidžia padidinti sistemos slopinimą, vadinami amortizatoriais (arba amortizatoriais). Pavyzdžiui, automobilio amortizatorius, iš pradžių apytiksliai, yra alyvos (klampaus skysčio) pripildytas cilindras, kuriame gali judėti stūmoklis su daugybe mažų skylučių. Stūmoklio strypas yra prijungtas prie korpuso, o cilindras - su rato ašimi. Susidariusios kėbulo vibracijos greitai išnyksta, nes judantis stūmoklis pakeliui patiria didelį pasipriešinimą, kurį sukelia klampus skystis, užpildantis cilindrą.

§ 3 Vibracijų slopinimas sistemose su sausa trintimi

Virpesių slopinimas vyksta iš esmės kitaip, jei sistemoje veikia slydimo trinties jėga. Būtent dėl ​​to sustoja spyruoklinė švytuoklė, kuri svyruoja išilgai bet kokio paviršiaus.

Atkreipkite dėmesį, kad judant iš kairės į dešinę trinties jėga yra pastovi krypties ir dydžio atžvilgiu.

Tai leidžia teigti, kad pirmoje laikotarpio pusėje spyruoklės švytuoklė yra pastoviame jėgos lauke.

Judant priešinga kryptimi – iš dešinės į kairę – trinties jėga keis kryptį, tačiau viso perėjimo metu išliks pastovi savo dydžiu ir kryptimi. Ši situacija vėlgi atitinka švytuoklės svyravimus pastoviame jėgos lauke. Tik dabar ši sritis kitokia! Tai pakeitė kryptį. Vadinasi, pusiausvyros padėtis judant iš dešinės į kairę taip pat pasikeitė. Dabar ji pasislinko į dešinę dydžiu D l 0 .

Pavaizduokime kūno koordinačių priklausomybę nuo laiko. Kadangi kiekvienoje periodo pusėje judėjimas yra harmoninis svyravimas, grafikas pavaizduos sinusoidų puses, kurių kiekviena pavaizduota atsižvelgiant į jos pusiausvyros padėtį. Atliksime „sprendimų sujungimo“ operaciją.

Konkrečiu pavyzdžiu parodykime, kaip tai daroma.

Tegu prie spyruoklės pritvirtintos apkrovos masė 200 g, spyruoklės standumas 20 N/m, o trinties koeficientas tarp apkrovos ir stalo paviršiaus 0,1. Švytuoklė buvo nustatyta į svyruojantį judesį, ištempdama spyruoklę

Skirtingai nuo osciliacinių sistemų su klampiąja trintimi, sistemose su sausa trintimi virpesių amplitudė laikui bėgant mažėja pagal tiesinį dėsnį - kiekvienam periodui ji sumažėja dviem stagnacijos zonos pločiais.

Dar vienas išskirtinis bruožas – svyravimai sistemose su sausąja trintimi net teoriškai negali vykti neribotą laiką. Jie sustoja, kai tik kūnas sustoja „stagnacijos zonoje“.

§4 Problemų sprendimo pavyzdžiai

1 uždavinys Slopintų virpesių amplitudės kitimo pobūdis sistemose su klampia trintimi

Slopintų švytuoklės svyravimų amplitudė per laiką t 1 = 5 min sumažėjo 2 kartus. Per kurį laiką t 2 svyravimų amplitudė sumažės 8 kartus? Po kurio laiko t 3 galime laikyti, kad švytuoklė nustojo svyruoti?

Sprendimas:

Svyravimų amplitudė sistemose, turinčiose klampią trintį laikui bėgant

nei vienas, nei kitas nemažėja eksponentiškai, kur yra svyravimų amplitudė pradiniu laiko momentu ir yra slopinimo koeficientas.

1 Amplitudės kitimo dėsnį rašome du kartus

2 Kartu sprendžiame lygtis. Logaritmuojame kiekvieną lygtį ir gauname

Padalinkite antrąją lygtį, o ne pirmąją, ir raskite laiką t 2

4

Po transformacijų gauname

Paskutinę lygtį padalinkite iš lygties (*)

2 uždavinys Slopintų svyravimų laikotarpis sistemose su klampia trintimi

Nustatykite sistemos T slopinamųjų svyravimų periodą, jei natūraliųjų svyravimų periodas T 0 = 1 s, o logaritminio slopinimo mažėjimas yra . Kiek svyravimų ši sistema padarys, kol visiškai sustos?

Sprendimas:

1 Slopintų svyravimų laikotarpis sistemoje su klampia trintimi ilgesnis laikotarpis ir natūralios vibracijos (jei sistemoje nėra trinties). Slopintų virpesių dažnis, priešingai, yra mažesnis už natūralųjį dažnį ir yra lygus , kur yra slopinimo koeficientas.

2 Išreikškime ciklinį dažnį periodu. ir atsižvelkite į tai, kad logaritminio slopinimo mažėjimas yra lygus:

3 Po transformacijų gauname .

Sistemos energija lygi maksimaliai švytuoklės potencinei energijai

Po transformacijų gauname

5 Slopinimo koeficientą išreiškiame logaritminiu dekrementu, gauname

Virpesių skaičius, kurį sistema atliks prieš sustodama, yra lygus

3 uždavinys Švytuoklės svyravimų skaičius, kol amplitudė sumažėja perpus

Švytuoklės logaritminio slopinimo mažėjimas yra q = 3×10 -3. Nustatykite pilnų svyravimų skaičių, kurį turi atlikti švytuoklė, kad jos svyravimų amplitudė sumažėtų per pusę.

Sprendimas:

3 Nesunku suprasti, kad tai yra logaritminio slopinimo mažėjimas. Mes gauname

Virpesių skaičiaus nustatymas

4 užduotis Virpesių sistemos kokybės faktorius

Nustatykite švytuoklės kokybės koeficientą, jei per tą laiką, per kurį buvo atlikta 10 svyravimų, amplitudė sumažėjo 2 kartus. Kiek laiko užtruks, kol švytuoklė sustos?

Sprendimas:

1 Sistemų su klampią trintį virpesių amplitudė laikui bėgant eksponentiškai mažėja, kur yra svyravimų amplitudė pradiniu laiko momentu ir slopinimo koeficientas.

Kadangi svyravimų amplitudė sumažėja 2 kartus, gauname

2 Virpesių laikas gali būti pavaizduotas kaip svyravimo periodo ir jų skaičiaus sandauga:

Pakeiskite gautą laiko reikšmę į išraišką (*)

3 Nesunku suprasti, kad tai yra logaritminio slopinimo mažėjimas. Gauname logaritminį slopinimo mažėjimą, lygų

4 Virpesių sistemos kokybės koeficientas

Sistemos energija lygi maksimaliai švytuoklės potencinei energijai

Po transformacijų gauname

Raskite laiką, po kurio svyravimai sustos .

5 uždavinys Magnetiniai svyravimai

Visoje mokykloje gerai žinomas eksperimentuotojas Vasja Lisičkinas nusprendė priversti savo mėgstamo literatūrinio personažo Koloboko magnetinę figūrėlę vibruoti palei šaldytuvo sienelę. Jis pritvirtino figūrą prie spyruoklės, kurios standumas k = 10 N/m, ištempė 10 cm ir atleido. Kiek svyravimų padarys Kolobokas, jei figūrėlės masė m = 10 g, trinties koeficientas tarp figūrėlės ir sienos μ = 0,4 ir ją nuo sienos galima nuplėšti jėga F = 0,5 N.

Sprendimas:

1 Judant iš žemiausios į aukščiausią padėtį, kai krovinio greitis nukreiptas į viršų, slydimo trinties jėga nukreipta žemyn ir yra skaitine prasme lygi. . Taigi, spyruoklinė švytuoklė yra nuolatiniame jėgos lauke, kurį sukuria gravitacijos ir trinties jėgos. Pastovios jėgos lauke švytuoklės pusiausvyros padėtis pasislenka:

kur yra spyruoklės ruožas naujoje „pusiausvyros padėtyje“.

2 Judant iš aukščiausios į žemiausią padėtį, kai krovinio greitis nukreiptas žemyn, slydimo trinties jėga nukreipta į viršų ir yra skaitine prasme lygi. . Taigi, spyruoklinė švytuoklė vėl yra nuolatiniame jėgos lauke, kurį sukuria gravitacijos ir trinties jėgos. Pastovios jėgos lauke švytuoklės pusiausvyros padėtis pasislenka:

kur yra spyruoklės deformacija naujoje „pusiausvyros padėtyje“, ženklas „-“ rodo, kad šioje padėtyje spyruoklė yra suspausta.

3 Stagnavimo zoną riboja spyruoklės deformacijos nuo - 1 cm iki 3 cm ir yra 4 cm. Stabėjimo zonos vidurys, kuriame spyruoklės deformacija yra 1 cm, atitinka apkrovos padėtį, kurioje nėra trinties. jėga. Sąstingio zonoje spyruoklės tamprumo jėga yra mažesnė už gaunamą modulio jėgą didžiausia statinė trinties jėga ir gravitacija. Jei švytuoklė sustoja sąstingio zonoje, svyravimai sustoja.

4 Kiekvienam periodui spyruoklinė deformacija sumažėja dviem stagnacijos zonos pločiais, t.y. 8 cm Po vieno svyravimo spyruoklės deformacija taps lygi 10 cm - 8 cm = 2 cm Tai reiškia, kad po vieno svyravimo Koloboko figūrėlė patenka į stagnacijos zoną ir jos svyravimai sustoja.

§5 Savarankiško sprendimo užduotys

Testas "Slopinti virpesiai"

1 Virpesių slopinimas reiškia...

A) virpesių dažnio sumažėjimas; B) svyravimų periodo mažinimas;

B) svyravimų amplitudės sumažėjimas; D) svyravimų fazės sumažėjimas.

2 Laisvųjų svyravimų slopinimo priežastis yra

A) atsitiktinių veiksnių, slopinančių svyravimus, poveikį sistemai;

B) periodiškai besikeičiančios išorinės jėgos veikimas;

C) trinties jėgos buvimas sistemoje;

D) laipsniškas kvazielastinės jėgos mažėjimas, linkęs grąžinti švytuoklę į pusiausvyros padėtį.

A) 5 cm; B) 4 cm; B) 3 cm;

D) Neįmanoma atsakyti, nes laikas nežinomas.

6 Dvi vienodos švytuoklės, esančios skirtingose ​​klampiose terpėse, svyruoja. Šių virpesių amplitudė laikui bėgant kinta, kaip parodyta paveikslėlyje. Kurioje terpėje didesnė trintis?

7 Dvi švytuoklės, esančios identiškoje aplinkoje, svyruoja. Šių virpesių amplitudė laikui bėgant kinta, kaip parodyta paveikslėlyje. Kuri švytuoklė turi didžiausią masę?

C) Neįmanoma duoti atsakymo, nes koordinačių ašys nėra suskirstytos ir negalima atlikti skaičiavimų.

8 Kuriame paveiksle teisingai pavaizduota slopintų virpesių koordinačių priklausomybė nuo laiko sistemoje su klampia trintimi?

A) 1; B) 2; B) 3; D) Visi grafikai yra teisingi.

9 Nustatyti fizikinių dydžių, charakterizuojančių svyravimų slopinimą klampią trintį turinčiose sistemose, ir jų apibrėžimo bei fizikinės reikšmės atitiktį. Užpildykite lentelę

A) Tai virpesių amplitudių santykis po laiko, lygaus periodui;

B) Tai natūralusis logaritmas virpesių amplitudių santykio po laiko, lygaus periodui;

B) Tai laikas, per kurį sumažėja virpesių amplitudė e vieną kartą;

G) D) E)

G) Ši vertė yra virpesių skaičiaus, kurio metu svyravimų amplitudė mažėja e vieną kartą;

H) Ši reikšmė parodo, kiek kartų svyravimų amplitudė sumažėja per laiką, lygų svyravimų periodui.

10 Padarykite teisingą teiginį.

Gera kokybė reiškia...

A) visos sistemos E energijos ir per laikotarpį išsklaidytos energijos W santykis padidėjo 2p kartus;

B) amplitudių santykis po laiko tarpo, lygaus periodui;

C) svyravimų, kuriuos sistema padaro iki to laiko, kai amplitudė sumažėja e kartų, skaičius.

Kokybės koeficientas apskaičiuojamas pagal formulę...

A) B) C)

Virpesių sistemos kokybės faktorius priklauso nuo...

A) sistemos energija;

B) laikotarpio energijos nuostoliai;

C) virpesių sistemos ir trinties joje parametrai.

Kuo didesnis virpesių sistemos kokybės koeficientas, tuo...

A) vibracijos nyksta lėčiau;

B) vibracijos nyksta greičiau.

11 Matematinė švytuoklė paleidžiama į svyruojantį judėjimą, nukreipdama pakabą iš pusiausvyros padėties pirmuoju atveju 15°, antruoju - 10°. Kuriuo atveju prieš sustodama švytuoklė svyruos daugiau?

A) kai kardanas pasviręs 15°;

B) kai kardanas pasviręs 10°;

C) Abiem atvejais švytuoklė atliks tiek pat svyravimų.

12 vienodo spindulio rutuliukų – aliuminio ir vario – buvo pritvirtinti prie dviejų vienodo ilgio siūlų. Švytuoklės paleidžiamos į svyruojantį judėjimą, jas nukreipiant vienodais kampais. Kuri švytuoklė prieš sustodama sukels daugiausiai virpesių?

A) Aliuminis; B) Varis;

C) Abi švytuoklės atliks tiek pat svyravimų.

13 Įjungta spyruoklinė švytuoklė, esanti ant horizontalaus paviršiaus, ištempusi spyruoklę 9 cm. Atlikus tris pilnus svyravimus, švytuoklė atsidūrė 6 cm atstumu nuo nedeformuotos spyruoklės padėties. Kokiu atstumu nuo nedeformuotos spyruoklės padėties bus švytuoklė po kitų trijų svyravimų?

A) 5 cm; B) 4 cm; B) 3 cm.

>> Harmoninės vibracijos

§ 22 HARMONINĖS VIBRACIJAS

Žinant, kaip svyruojančio kūno pagreitis ir koordinatė yra tarpusavyje susiję, remiantis matematine analize galima rasti koordinatės priklausomybę nuo laiko.

Pagreitis yra antroji koordinatės išvestinė laiko atžvilgiu. Momentinis greitis taškas, kaip žinote iš matematikos kurso, yra taško koordinačių išvestinė laiko atžvilgiu. Taško pagreitis yra jo greičio išvestinė laiko atžvilgiu arba antroji koordinatės išvestinė laiko atžvilgiu. Todėl (3.4) lygtį galima parašyti taip:

kur x " - antroji koordinatės išvestinė laiko atžvilgiu. Pagal (3.11) lygtį laisvųjų virpesių metu koordinatė x keičiasi laikui bėgant taip, kad antroji koordinatės išvestinė laiko atžvilgiu yra tiesiogiai proporcinga pačiai koordinatei ir yra priešingo ženklo ženklu.

Iš matematikos kurso žinoma, kad antrosios sinuso ir kosinuso išvestinės jų argumento atžvilgiu yra proporcingos pačioms funkcijoms, paimtoms iš priešingas ženklas. IN matematinė analizėįrodyta, kad šios savybės neturi jokios kitos funkcijos. Visa tai leidžia jums su rimta priežastimi teigia, kad kūno, atliekančio laisvuosius virpesius, koordinatė laikui bėgant kinta pagal sinuso arba pasine dėsnį. 3.6 paveiksle parodytas taško koordinatės pokytis laikui bėgant pagal kosinuso dėsnį.

Periodiniai pokyčiai fizinis kiekis priklausomai nuo laiko, vykstantys pagal sinuso arba kosinuso dėsnį, vadinami harmoniniais svyravimais.

Virpesių amplitudė. Harmoninių virpesių amplitudė yra didžiausio kūno poslinkio iš pusiausvyros padėties modulis.

Amplitudė gali turėti skirtingos reikšmės priklausomai nuo to, kiek mes išstumiame kūną iš pusiausvyros padėties pradiniu laiko momentu arba nuo to, koks greitis suteikiamas kūnui. Amplitudė nustatoma pradines sąlygas, o tiksliau – kūnui suteikiama energija. Tačiau maksimalios sinuso modulio ir kosinuso modulio vertės yra lygios vienetui. Todėl (3.11) lygties sprendinys negali būti išreikštas tiesiog sinusu arba kosinusu. Jis turėtų būti svyravimo amplitudės x m sandauga su sinusu arba kosinusu.

Laisvuosius virpesius apibūdinančios lygties sprendimas. Parašykime (3.11) lygties sprendimą tokia forma:

o antroji išvestinė bus lygi:

Gavome lygtį (3.11). Todėl funkcija (3.12) yra sprendimas pradinė lygtis(3.11). Šios lygties sprendimas taip pat bus funkcija

Kūno koordinačių ir laiko grafikas pagal (3.14) yra kosinusinė banga (žr. 3.6 pav.).

Harmoninių virpesių periodas ir dažnis. Svyruojant periodiškai kartojasi kūno judesiai. Laikotarpis T, per kurį sistema užbaigia vieną pilną virpesių ciklą, vadinamas svyravimų periodu.

Žinodami laikotarpį, galite nustatyti svyravimų dažnį, ty svyravimų skaičių per laiko vienetą, pavyzdžiui, per sekundę. Jei per laiką T įvyksta vienas svyravimas, tai virpesių skaičius per sekundę

IN Tarptautinė sistema vienetų (SI) virpesių dažnis yra lygus vienetui, jei per sekundę įvyksta vienas svyravimas. Vokiečių fiziko G. Herco garbei dažnio vienetas vadinamas hercu (sutrumpintai: Hz).

Virpesių skaičius per 2 s yra lygus:

Dydis yra ciklinis arba apskritas virpesių dažnis. Jei (3.14) lygtyje laikas t yra lygus vienam periodui, tai T = 2. Taigi, jei momentu t = 0 x = x m, tai momentu t = T x = x m, t.y. per laikotarpį, lygų vienam laikotarpiu, svyravimai kartojami.

Laisvųjų virpesių dažnis nustatomas pagal svyravimo sistemos 1 dažnį.

Laisvųjų svyravimų dažnio ir periodo priklausomybė nuo sistemos savybių. Kūno, pritvirtinto prie spyruoklės, natūralusis virpesių dažnis pagal (3.13) lygtį yra lygus:

Kuo didesnis spyruoklės standumas k, tuo jis didesnis ir tuo mažesnis daugiau masės kūnas m. Tai lengva suprasti: standi spyruoklė sako kūnui didesnis pagreitis, greičiau keičia kūno greitį. Ir kuo kūnas masyvesnis, tuo lėčiau jis keičia greitį veikiamas jėgos. Virpesių periodas yra lygus:

Turinti įvairaus standumo ir korpuso spyruoklių rinkinį skirtingi svoriai, iš patirties nesunku įsitikinti, kad (3.13) ir (3.18) formulės teisingai apibūdina ir T priklausomybės nuo k ir m pobūdį.

Pastebėtina, kad kūno svyravimų ant spyruoklės periodas ir švytuoklės svyravimo periodas esant mažais nuokrypio kampais nepriklauso nuo svyravimų amplitudės.

Pagreičio t ir poslinkio x proporcingumo koeficiento modulis (3.10) lygtyje, apibūdinančioje švytuoklės svyravimus, yra, kaip ir (3.11) lygtyje, ciklinio dažnio kvadratas. Todėl natūralus virpesių dažnis matematinė švytuoklė esant mažiems sriegio nukrypimo nuo vertikalės kampams priklauso nuo švytuoklės ilgio ir pagreičio laisvasis kritimas:

Šią formulę pirmasis gavo ir eksperimentiškai išbandė olandų mokslininkas G. Huygensas, I. Niutono amžininkas. Jis galioja tik mažiems sriegio įlinkio kampams.

1 Dažnai toliau trumpumo dėlei ciklinį dažnį tiesiog vadinsime dažniu. Ciklinį dažnį nuo įprasto dažnio galite atskirti žymėdami.

Svyravimo periodas didėja didėjant švytuoklės ilgiui. Tai nepriklauso nuo švytuoklės masės. Tai galima lengvai patikrinti eksperimentiškai su įvairiomis švytuoklėmis. Taip pat galima nustatyti svyravimo periodo priklausomybę nuo gravitacijos pagreičio. Kuo mažesnis g, tuo ilgesnis švytuoklės svyravimo periodas, taigi, tuo lėčiau veikia švytuoklės laikrodis. Taigi laikrodis su švytuokle svorio pavidalu ant strypo atsiliks beveik 3 s per dieną, jei jis bus iškeltas iš rūsio į viršutinį Maskvos universiteto aukštą (aukštis 200 m). Ir tai tik dėl laisvojo kritimo pagreičio sumažėjimo su aukščiu.

Praktikoje naudojama švytuoklės svyravimo periodo priklausomybė nuo g reikšmės. Išmatavus svyravimo periodą, g galima nustatyti labai tiksliai. Gravitacijos pagreitis keičiasi su geografinė platuma. Tačiau net ir tam tikroje platumoje ji nėra visur vienoda. Juk tankumas žemės pluta ne visur vienodai. Teritorijose, kuriose yra tankių uolienų, pagreitis g yra šiek tiek didesnis. Į tai atsižvelgiama ieškant mineralų.

Taigi, geležies rūda turi didesnį tankį, palyginti su įprastomis uolienomis. Prie Kursko atlikti laisvojo kritimo pagreičio matavimai, atlikti vadovaujant akademikui A. A. Michailovui, leido išsiaiškinti, kur buvo geležies rūda. Pirmą kartą jie buvo atrasti atliekant magnetinius matavimus.

Mechaninių virpesių savybės naudojamos daugumos elektroninių svarstyklių įrenginiuose. Sveriamas kėbulas dedamas ant platformos, po kuria sumontuota standi spyruoklė. Dėl to yra mechaninės vibracijos, kurio dažnis matuojamas atitinkamu jutikliu. Su šiuo jutikliu susietas mikroprocesorius paverčia virpesių dažnį į sveriamo kūno masę, nes šis dažnis priklauso nuo masės.

Gautos virpesių periodo formulės (3.18) ir (3.20) rodo, kad harmoninių svyravimų periodas priklauso nuo sistemos parametrų (spyruoklės standumo, sriegio ilgio ir kt.)

Myakishev G. Ya., fizika. 11 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai / G. Ya Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; redagavo V. I. Nikolajeva, N. A. Parfentieva. - 17 leidimas, pataisytas. ir papildomas - M.: Išsilavinimas, 2008. - 399 p.: iliustr.

Visas temų sąrašas pagal klases, kalendorinis planas pagal mokyklos mokymo programa fizikos internete, vaizdo medžiaga apie fiziką 11 klasei parsisiųsti

§6 Slopinti svyravimai

Slopinimo mažinimas. Logaritminio slopinimo mažinimas.

Laisvos vibracijos technines sistemas V realiomis sąlygomis atsiranda, kai juos veikia pasipriešinimo jėgos. Šių jėgų veikimas lemia svyravimo vertės amplitudės sumažėjimą.

Virpesiai, kurių amplitudė laikui bėgant mažėja dėl realios virpesių sistemos energijos nuostolių, vadinami išblukęs.

Dažniausi atvejai, kai pasipriešinimo jėga yra proporcinga judėjimo greičiui

Kur r- terpės atsparumo koeficientas. Minuso ženklas tai rodoF Cnukreiptas priešinga greičiui kryptimi.

Užrašykime svyravimų lygtį taške, svyruojančiame terpėje, kurios varžos koeficientasr. Pagal antrąjį Niutono dėsnį

kur β yra slopinimo koeficientas. Šis koeficientas apibūdina svyravimų slopinimo greitį Esant pasipriešinimo jėgoms, virpesių sistemos energija palaipsniui mažės, o svyravimai išnyks.

- slopintų virpesių diferencialinė lygtis.

U slopintų virpesių išlyginimas.

ω - slopintų virpesių dažnis:

Slopintų svyravimų laikotarpis:

Slopinti svyravimai, griežtai įvertinus, nėra periodiški. Todėl galime kalbėti apie slopintų svyravimų periodą, kai β yra mažas.

Jei slopinimas silpnai išreikštas (β→0), tai. Slopinti svyravimai gali būti

būti laikomi harmoniniais virpesiais, kurių amplitudė kinta pagal eksponentinį dėsnį

(1) lygtyje A 0 ir φ 0 yra savavališkos konstantos, priklausančios nuo pasirinkto laiko momento, nuo kurio mes laikome svyravimus

Panagrinėkime svyravimą tam tikrą laiką τ, kurio metu amplitudė sumažės e vieną kartą

τ – atsipalaidavimo laikas.

Slopinimo koeficientas β yra atvirkščiai proporcingas laikui, per kurį amplitudė mažėja e vieną kartą. Tačiau slopinimo koeficiento nepakanka svyravimų slopinimui apibūdinti. Todėl būtina įvesti svyravimų slopinimo charakteristiką, į kurią įeina vieno svyravimo laikas. Ši savybė yra mažėjimas(rusiškai: mažėjimas) slopinimas D, kuris lygus santykiui amplitudės, atskirtos laike periodu:

Logaritminio slopinimo mažinimas lygus logaritmui D:

Logaritminio slopinimo mažėjimas yra atvirkščiai proporcingas virpesių skaičiui, dėl to svyravimų amplitudė sumažėjo e vieną kartą. Logaritminis slopinimo sumažėjimas yra pastovi tam tikros sistemos reikšmė.

Kitas svyruojančios sistemos bruožas yra kokybės faktoriusK.

Kokybės koeficientas yra proporcingas sistemos atliekamų virpesių skaičiui per atsipalaidavimo laiką τ.

Ksvyravimo sistema yra santykinio energijos išsisklaidymo (išsisklaidymo) matas.

Ksvyravimo sistema yra skaičius, rodantis, kiek kartų tamprumo jėga yra didesnė už pasipriešinimo jėgą.

§7 Priverstinės vibracijos.

Rezonansas

Daugeliu atvejų reikia sukurti veikiančias sistemas neslopinami svyravimai. Sistemoje galima gauti neslopintus virpesius, jei energijos nuostolius kompensuosite veikdami sistemą periodiškai kintančia jėga.

Leiskite

Užrašykime judėjimo lygties išraišką materialus taškas, atliekantis harmoninį svyruojantį judesį veikiant varomajai jėgai.

Pagal antrąjį Niutono dėsnį:

(1)

Priverstinių svyravimų diferencialinė lygtis.

Ši diferencialinė lygtis yra tiesiškai nehomogeniška.

Jo sprendimas lygus sumai bendras sprendimas vienalytė lygtis ir privatus sprendimas nehomogeninė lygtis:

Raskime konkretų nehomogeninės lygties sprendimą. Norėdami tai padaryti, perrašome (1) lygtį tokia forma:

(2)

Mes ieškosime konkretaus šios lygties sprendimo tokia forma:

Tada

Pakeiskime (2):

nes tinka bet kokiamt, tada lygybė γ = ω turi būti įvykdyta, todėl

Tai kompleksinis skaičius patogu jį pavaizduoti formoje

Kur A yra nustatomas pagal (3) formulę žemiau, o φ - pagal (4) formulę, todėl sprendimas (2), in sudėtinga forma atrodo kaip

Jo tikroji dalis, kuri buvo (1) lygties sprendimas, yra lygi:

Kur

(3)

(4)

Terminas X o.o. vaidina reikšmingą vaidmenį tik pradiniame etape, kai nustatomi virpesiai iki amplitudės priverstiniai svyravimai nepasieks lygybe nustatytos vertės (3). Pastovioje būsenoje priverstiniai virpesiai atsiranda dažniu ω ir yra harmoningi. Priverstinių svyravimų amplitudė (3) ir fazė (4) priklauso nuo varomosios jėgos dažnio. Esant tam tikram varomosios jėgos dažniui, amplitudė gali siekti labai didelės vertybės. Staigus padidėjimas Priverstinių virpesių amplitudės, kai varomosios jėgos dažnis artėja prie mechaninės sistemos savaiminio dažnio, vadinamos rezonansas.

Varomosios jėgos dažnis ω, kuriam esant stebimas rezonansas, vadinamas rezonansiniu. Norint rasti ω res reikšmę, reikia rasti didžiausios amplitudės sąlygą. Norėdami tai padaryti, turite nustatyti (3) vardiklio minimumo sąlygą (t. y. išnagrinėti (3) ekstremumą).

Svyruojančio dydžio amplitudės priklausomybė nuo varomosios jėgos dažnio vadinama rezonanso kreivė. Kuo mažesnis slopinimo koeficientas β, tuo didesnė rezonanso kreivė, o mažėjant β, rezonanso kreivių maksimumas pasislinks į dešinę. Jei β = 0, tada

ω res = ω 0 .

Kai ω→0 visos kreivės pasiekia reikšmę- statinis nuokrypis.

Parametrinis rezonansas atsiranda tada, kai periodinis pokytis Vienas iš sistemos parametrų lemia staigų virpesių sistemos amplitudės padidėjimą. Pavyzdžiui, kajutės, kurios sukuria „saulę“ pakeisdamos sistemos svorio centro padėtį (tas pats ir „valtyse“.) Žr. §61.t. 1 Saveljevas I.V.