Вэбсайт " мэргэжлийн багшМатематикт" циклийг үргэлжлүүлж байна арга зүйн нийтлэлбагшлах тухай. Би сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн хамгийн төвөгтэй, асуудалтай сэдвүүдээр хийсэн ажлынхаа аргын тайлбарыг нийтэлдэг. Энэхүү материал нь 8-11-р ангийн сурагчидтай ажилладаг математикийн багш, багш нарт ердийн хөтөлбөр болон математикийн хичээлийн хөтөлбөрт тустай байх болно.
Математикийн багш сурах бичигт тааруухан оруулсан материалыг үргэлж тайлбарлаж чаддаггүй. Харамсалтай нь ийм сэдвүүд улам олширч, гарын авлагыг зохиогчдын араас илтгэх алдаанууд бөөнөөр гарч байна. Энэ нь математикийн анхан шатны багш, цагийн багш нарт (багш нь оюутнууд, их сургуулийн багш нар) төдийгүй туршлагатай багш, мэргэжлийн багш, туршлага, ур чадвар бүхий багш нарт хамаарна. Бүх математикийн багш нар сургуулийн сурах бичгийн барзгар ирмэгийг чадварлаг засах авьяастай байдаггүй. Эдгээр залруулга (эсвэл нэмэлт) шаардлагатай гэдгийг хүн бүр ойлгодоггүй. Цөөн тооны хүүхдүүд материалыг чанарын хувьд хүүхдийн ойлголтод нийцүүлэн тохируулах ажилд оролцдог. Харамсалтай нь математикийн багш нар арга зүйч, нийтлэл зохиогчидтой хамтран сурах бичгийн үсэг болгоныг бөөнөөр нь хэлэлцдэг цаг өнгөрсөн. Өмнө нь сурах бичгийг сургуулиудад гаргахаас өмнө сургалтын үр дүнгийн талаар нухацтай дүн шинжилгээ хийж, судалгаа хийдэг байсан. Сурах бичгийг математикийн хичээлийн стандартад тохируулан бүх нийтийнх болгохыг эрмэлздэг сонирхогчдын цаг иржээ.
Мэдээллийн хэмжээг нэмэгдүүлэх уралдаан нь зөвхөн түүнийг шингээх чанар буурч, үүний үр дүнд математикийн бодит мэдлэгийн түвшин буурахад хүргэдэг. Гэвч хэн ч үүнийг анхаарч үздэггүй. Манай хүүхдүүд аль хэдийн 8-р ангид байхдаа институтэд сурч байсан зүйлээ судлахыг албаддаг: магадлалын онол, тэгшитгэл шийдвэрлэх өндөр зэрэгтэйбас өөр зүйл. Номын материалыг хүүхдэд бүрэн ойлгуулахын тулд дасан зохицох нь маш их зүйлийг хүсдэг бөгөөд математикийн багш үүнийг ямар нэгэн байдлаар шийдвэрлэхээс өөр аргагүй болдог.
Насанд хүрэгчдийн математикт "Безутын теорем ба Хорнерын схем" гэж илүү сайн мэддэг "олон гишүүнийг олон гишүүнт булангаар хуваах" гэх мэт тодорхой сэдвийг заах арга зүйн талаар ярилцъя. Хэдэн жилийн өмнө энэ асуулт математикийн багшийн хувьд тийм ч хэцүү биш байсан, учир нь энэ нь үндсэн асуултын нэг хэсэг биш байв. сургуулийн сургалтын хөтөлбөр. Одоо Теляковскийн найруулсан сурах бичгийн нэр хүндтэй зохиогчид миний бодлоор хамгийн шилдэг сурах бичиг болох хамгийн сүүлийн хэвлэлд өөрчлөлт оруулсан бөгөөд үүнийг бүрэн сүйтгэж, багшид шаардлагагүй санаа зовнилыг л нэмсэн. Математикийн статусгүй сургууль, ангийн багш нар зохиолчдын шинэлэг зүйлд анхаарлаа хандуулж, хичээлдээ нэмэлт догол мөр оруулах болсон бол сониуч хүүхдүүд математикийн сурах бичгийнхээ үзэсгэлэнтэй хуудсыг үзэж, Багш: "Энэ юун булангаар хуваагдах вэ? Бид үүнийг даван туулах гэж байна уу? Хэрхэн булангаа хуваалцах вэ? Ийм шууд асуултаас нуух зүйл алга. Сурган хүмүүжүүлэгч хүүхдэд ямар нэгэн зүйл хэлэх хэрэгтэй болно.
Яаж? Хэрэв сурах бичигт энэ сэдвийг чадварлаг танилцуулсан бол би энэ сэдэвтэй ажиллах аргыг тайлбарлахгүй байх байсан. Бидэнтэй хамт бүх зүйл хэрхэн явагдаж байна вэ? Сурах бичгийг хэвлэж борлуулах хэрэгтэй. Үүний тулд тэдгээрийг байнга шинэчилж байх шаардлагатай. Их сургуулийн багш нар хүүхдүүдтэй хамт ирдэг гэж гомдоллодог хоосон толгой, мэдлэг чадваргүй юу? -д тавигдах шаардлага математикийн мэдлэгөсөх үү? Гайхалтай! Зарим дасгалуудыг хасаад оронд нь бусад хөтөлбөрт судлагдсан сэдвүүдийг оруулъя. Манай сурах бичиг яагаад муу байна вэ? Бид нэмэлт бүлгүүдийг оруулах болно. Сургуулийн хүүхдүүд буланг хуваах дүрмийг мэдэхгүй байна уу? Энэ бол үндсэн математик юм. Энэ догол мөрийг "илүү ихийг мэдэхийг хүсдэг хүмүүст" гэсэн гарчигтай нэмэлтээр оруулах ёстой. Багш нар үүнийг эсэргүүцэж байна уу? Ер нь бид яагаад багш нарт санаа тавьдаг вэ? Арга зүйч, сургуулийн багш нар ч үүнийг эсэргүүцэж байна? Бид материалыг төвөгтэй болгохгүй бөгөөд түүний хамгийн энгийн хэсгийг авч үзэх болно.
Эндээс л эхэлдэг. Сэдвийн энгийн байдал, түүнийг шингээх чанар нь юуны түрүүнд сурах бичгийн зохиогчдын зааврын дагуу бие биентэйгээ тодорхой холбоогүй тодорхой үйлдлүүдийг хийхдээ бус харин түүний логикийг ойлгоход оршдог. . Үгүй бол оюутны толгойд манан үүснэ. Хэрэв зохиогчид харьцангуй хүчирхэг оюутнуудад (гэхдээ ердийн хөтөлбөрт суралцаж байгаа) онилсон бол та сэдвийг команд хэлбэрээр танилцуулах ёсгүй. Сурах бичигт бид юу харж байна вэ? Хүүхдүүд ээ, бид энэ дүрмийн дагуу хуваах ёстой. Өнцгийн доорх олон гишүүнтийг авна уу. Тиймээс анхны олон гишүүнт хүчин зүйлчлэгдэх болно. Гэсэн хэдий ч булангийн доорх нэр томъёог яагаад яг ингэж сонгосон, яагаад тэдгээрийг булангийн дээрх олон гишүүнтээр үржүүлж, дараа нь одоогийн үлдэгдэлээс хасах ёстойг ойлгох нь тодорхойгүй байна. Хамгийн гол нь сонгосон мономиалуудыг яагаад эцэст нь нэмэх ёстой, яагаад үүссэн хаалт нь анхны олон гишүүнтийн өргөтгөл болох нь тодорхойгүй байна. Ямар ч чадварлаг математикч сурах бичигт өгсөн тайлбар дээр тод асуултын тэмдэг тавина.
Би багш, математикийн багш нарын анхааралд сурах бичигт заасан бүх зүйлийг оюутнуудад ойлгомжтой болгодог асуудлынхаа шийдлийг хүргэж байна. Үнэн хэрэгтээ бид Безоутын теоремыг батлах болно: хэрэв a тоо нь олон гишүүнтийн үндэс бол энэ олон гишүүнт хүчин зүйл болгон задалж болно, тэдгээрийн нэг нь x-a, хоёр дахь нь анхныхаас гурван аргын аль нэгээр гарна. хувиргах замаар шугаман хүчин зүйлийг тусгаарлах, булангаар хуваах эсвэл Хорнерийн схемээр. Энэ томъёолол нь математикийн багш ажиллахад хялбар байх болно.
Сургалтын арга зүй гэж юу вэ? Юуны өмнө энэ нь математикийн дүгнэлтийг гаргахад үндэслэсэн тайлбар, жишээнүүдийн дарааллаар тодорхой дараалал юм. Энэ сэдэвүл хамаарах зүйл байхгүй. Математикийн багш хүүхдэд Безутын теоремыг танилцуулах нь маш чухал юм булангаар хуваахаас өмнө. Энэ бол маш чухал! Ойлголтод хүрэх хамгийн сайн арга бол тодорхой жишээ. Сонгогдсон язгууртай олон гишүүнтийг авч, 7-р ангиасаа эхлэн сургуулийн хүүхдүүдэд танил болсон аргаар хүчин зүйл ангилах аргыг үзүүлье. таниулах өөрчлөлтүүд. Математикийн багшийн зохих тайлбар, онцлон, зөвлөмжийг авснаар материалыг ямар ч ерөнхий математик тооцоолол, дурын коэффициент, зэрэггүйгээр дамжуулах бүрэн боломжтой.
Математикийн багш нарт өгөх чухал зөвлөгөө- зааврыг эхнээс нь дуустал дагаж мөрдөж, энэ дарааллыг бүү өөрчил.
Тэгэхээр бидэнд олон гишүүнт байна гэж бодъё. Хэрэв бид X-ийн оронд 1-ийн тоог орлуулбал олон гишүүнтийн утга тэгтэй тэнцүү болно. Тиймээс x=1 нь түүний үндэс юм. Нэг нь шугаман илэрхийлэл ба зарим нэг мономиалын үржвэр, хоёр дахь нь -ээс нэг зэрэгтэй байхаар хоёр гишүүнд задлахыг оролдъё. Өөрөөр хэлбэл, үүнийг хэлбэрээр илэрхийлье
Бид улаан талбарт мономиалыг сонгодог бөгөөд ингэснээр тэргүүлэгч гишүүнээр үржүүлбэл энэ нь анхны олон гишүүнтийн тэргүүлэх гишүүнтэй бүрэн давхцдаг. Хэрэв оюутан хамгийн сул биш бол математикийн багшид шаардлагатай илэрхийлэлийг хэлж өгөх чадвартай байх болно. Үүнийг улаан талбарт оруулахыг багшаас нэн даруй хүсэх хэрэгтэй бөгөөд тэдгээрийг нээхэд юу болохыг харуулах хэрэгтэй. Энэхүү виртуал түр зуурын олон гишүүнтийг сумны доор (жижиг зургийн доор) гарын үсэг зурж, зарим өнгөөр, жишээлбэл, цэнхэр өнгөөр тодруулсан нь дээр. Энэ нь сонголтын үлдсэн хэсэг гэж нэрлэгддэг улаан талбарт нэр томъёог сонгоход тусална. Энэ үлдэгдлийг хасах замаар олж болно гэдгийг энд онцлон хэлэхийг багш нарт зөвлөж байна. Энэ үйлдлийг хийснээр бид дараахь зүйлийг авна.
Математикийн багш сурагчийн анхаарлыг энэ тэгшитгэлд нэгийг орлуулснаар зүүн талд нь тэг авах баталгаатай (1 нь анхны олон гишүүнтийн үндэс учир), баруун талд нь мэдээжийн хэрэг, бид оюутны анхаарлыг татах ёстой. мөн эхний хугацааг тэглэх болно. Энэ нь ямар ч баталгаагүйгээр "ногоон үлдэгдэл"-ийн үндэс гэж хэлж болно гэсэн үг юм.
Үүнийг анхны олон гишүүнттэй адилтгаж, түүнээс тусгаарлаж авч үзье шугаман үржүүлэгч. Математикийн багш сурагчийн өмнө хоёр жааз зурж, зүүнээс баруун тийш бөглөхийг хүснэ.
Сурагч багшдаа зориулж улаан талбарт мономиал сонгох бөгөөд ингэснээр шугаман илэрхийллийн тэргүүн гишүүнээр үржүүлбэл тэлэх олон гишүүнтийн тэргүүн гишүүнийг өгнө. Бид үүнийг хүрээнд суулгаж, хаалтыг нэн даруй нээж, нугалах хэсгээс хасах шаардлагатай илэрхийлэлийг цэнхэр өнгөөр тодруулна. Энэ үйлдлийг хийснээр бид олж авдаг
Эцэст нь, сүүлчийн үлдэгдэлтэй ижил зүйлийг хий
бид үүнийг эцэст нь авах болно
Одоо илэрхийллийг хаалтнаас гаргаж авъя, бид анхны олон гишүүнт хүчин зүйл болгон задралыг харах болно, тэдгээрийн нэг нь "х хассан язгуур" юм.
Сүүлчийн "ногоон үлдэгдэл" нь санамсаргүй байдлаар шаардлагатай хүчин зүйлүүдэд задарсан гэж сурагчийг бодохгүй байхын тулд математикийн багш зааж өгөх ёстой. чухал өмчбүх ногоон үлдэгдлүүдийн - тус бүр нь 1 үндэстэй. Эдгээр үлдэгдлийн зэрэг багасдаг тул анхны олон гишүүнт ямар ч зэрэг өгөгдсөн бай, эрт орой хэзээ нэгэн цагт бид 1 үндэстэй шугаман "ногоон үлдэгдэл" авах болно. тиймээс энэ нь бүтээгдэхүүнд тодорхой тоо, илэрхийлэлийг заавал задлах болно.
Үүний дараа бэлтгэл ажилМатематикийн багш сурагчдад булангаар хуваахад юу болдгийг тайлбарлахад хэцүү биш байх болно. Энэ нь ижил төстэй үйл явц бөгөөд зөвхөн богино бөгөөд илүү нягт хэлбэрээр, ижил тэмдэггүй, тодруулсан нэр томъёог дахин бичихгүй. Шугаман хүчин зүйлийг гаргаж авсан олон гишүүнтийг булангийн зүүн талд бичиж, сонгосон улаан мономиалуудыг өнцгөөр цуглуулж (одоо яагаад нэмэгдэх ёстой нь тодорхой болсон), "цэнхэр олон гишүүнт", "улаан" -ийг олж авна. ” нэгийг x-1-ээр үржүүлээд одоо сонгогдсоноос хасах хэрэгтэй. энгийн хэлтэсбаганад байгаа тоонууд (энд өмнө нь судалж байсан зүйлтэй аналоги байна). Үүссэн "ногоон үлдэгдэл" нь "улаан мономиал" -ыг шинээр тусгаарлаж, сонгон авдаг. Ингээд "ногоон баланс"-ыг тэглэх хүртэл үргэлжилнэ. Хамгийн гол нь оюутан ойлгодог байх ёстой цаашдын хувь заяаөнцгийн дээр ба доор бичсэн олон гишүүнтүүд. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр нь үржвэр нь анхны олон гишүүнттэй тэнцүү хаалтууд юм.
Математикийн багшийн ажлын дараагийн үе шат бол Безутын теоремыг боловсруулах явдал юм. Үнэн хэрэгтээ, багшийн ийм хандлагаар түүний томъёолол тодорхой болж байна: хэрэв a тоо нь олон гишүүнтийн үндэс бол түүнийг хүчинжүүлэх боломжтой бөгөөд тэдгээрийн нэг нь , нөгөөг нь анхныхаас гурван аргын аль нэгээр нь олж авна. :
- шууд задрал (бүлэглэх аргын адил)
- булангаар хуваах (багананд)
- Хорнерын хэлхээгээр
Математикийн багш нар бүгдээрээ биш, харин оюутнуудад хорнер диаграмыг үзүүлдэггүй гэдгийг хэлэх ёстой сургуулийн багш нар(Аз болоход багш нар өөрсдөө) хичээлийн үеэр тэд сэдвийг маш гүнзгийрүүлдэг. Гэсэн хэдий ч оюутны хувьд математикийн хичээлБи урт хуваагдал дээр зогсох ямар ч шалтгаан олж харахгүй байна. Түүнээс гадна, хамгийн тохиромжтой, хурданЗадрах техник нь яг Хорнерын схем дээр суурилдаг. Хүүхдэд энэ нь хаанаас ирснийг тайлбарлахын тулд буланд хуваах жишээг ашиглан ногоон үлдэгдэлд илүү өндөр коэффициент гарч ирснийг ажиглахад хангалттай. Анхны олон гишүүнтийн тэргүүлэх коэффициентийг эхний "улаан мономиал"-ын коэффициент, цаашлаад одоогийн дээд олон гишүүнтийн хоёр дахь коэффициентээс авах нь тодорхой болж байна. хасагдсан“улаан мономиал”-ын одоогийн коэффициентийг үржүүлсний үр дүн. Тиймээс боломжтой нэмэх-ээр үржүүлсний үр дүн. Оюутны анхаарлыг коэффициент бүхий үйлдлүүдийн онцлогт төвлөрүүлсний дараа математикийн багш хувьсагчдыг өөрсдөө бүртгэхгүйгээр эдгээр үйлдлүүд хэрхэн хийгддэгийг харуулж чадна. Үүнийг хийхийн тулд анхны олон гишүүнтийн язгуур болон коэффициентийг дараах хүснэгтэд тэргүүлэх дарааллаар оруулах нь тохиромжтой.
Хэрэв олон гишүүнт аль нэг зэрэг байхгүй бол түүний тэг коэффициентийг хүснэгтэд оруулах болно. "Улаан олон гишүүнт" -ийн коэффициентийг "дэгээ" дүрмийн дагуу доод мөрөнд нэг нэгээр нь оруулна. 
Үндэсийг сүүлчийн улаан коэффициентээр үржүүлж, дээд мөрөнд дараагийн коэффициент дээр нэмж, үр дүнг доод мөрөнд бичнэ. Сүүлийн баганад бид сүүлчийн "ногоон үлдэгдэл" -ийн хамгийн өндөр коэффициентийг, өөрөөр хэлбэл тэг авах баталгаатай болно. Процесс дууссаны дараа тоонууд тохирсон үндэс болон тэг үлдэгдэл хооронд хавчуулагдсанхоёр дахь (шугаман бус) хүчин зүйлийн коэффициентүүд болж хувирна.
А үндэс нь доод мөрийн төгсгөлд тэг өгдөг тул Хорнерын схемийг олон гишүүнтийн язгуурын гарчгийн тоог шалгахад ашиглаж болно. Рационал язгуур сонгох тухай тусгай теорем бол. Түүний тусламжтайгаар олж авсан энэ цолыг авах бүх нэр дэвшигчдийг зүгээр л зүүнээс Horner-ийн диаграммд оруулав. Бид тэгийг авмагц шалгагдсан тоо нь язгуур байх бөгөөд үүний зэрэгцээ анхны олон гишүүнтийг түүний мөрөнд хуваах коэффициентийг авах болно. Маш тохиромжтой.
Эцэст нь хэлэхэд, Хорнерын схемийг үнэн зөв нэвтрүүлэх, мөн сэдвийг практикт нэгтгэхийн тулд математикийн багш өөрийн мэдэлд байх ёстой гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна. хангалттай тоо хэмжээцаг. "Долоо хоногт нэг удаа" горимоор ажилладаг багш нь булангийн хуваагдалд оролцох ёсгүй. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалт, Улсын Математикийн Академийн хувьд эхний хэсэгт ийм аргаар шийдэж болох гурав дахь зэрэгтэй тэгшитгэлтэй тулгарах магадлал багатай юм. Хэрэв багш хүүхдийг Москвагийн Улсын Их Сургуульд математикийн шалгалтанд бэлдэж байгаа бол тухайн сэдвийг судлах нь заавал байх ёстой. Их сургуулийн багш нар Улсын нэгдсэн шалгалтын эмхэтгэлээс ялгаатай нь өргөдөл гаргагчийн мэдлэгийн гүнийг шалгах дуртай байдаг.
Колпаков Александр Николаевич, математикийн багш Москва, Строгино
гэх мэт. ерөнхий боловсролын шинж чанартай бөгөөд байна их үнэ цэнэБҮХЭЛДСЭН сургалтанд хамрагдана дээд математик. Өнөөдөр бид "сургуулийн" тэгшитгэлийг давтах болно, гэхдээ зөвхөн "сургуулийн" тэгшитгэлийг биш, харин хаа сайгүй байдаг. янз бүрийн даалгаварвышмат. Ердийнх шигээ түүхийг хэрэглээний аргаар ярих болно, өөрөөр хэлбэл. Би тодорхойлолт, ангилалд анхаарлаа хандуулахгүй, харин тантай яг таг хуваалцах болно хувийн туршлагашийдлүүд. Мэдээлэл нь анхлан суралцагчдад зориулагдсан боловч илүү ахисан түвшний уншигчид өөрсдөдөө их зүйлийг олох болно. сонирхолтой мөчүүд. Тэгээд мэдээж байх болно шинэ материал, цааш явах ахлах сургууль.
Тэгэхээр тэгшитгэл .... Энэ үгийг олон хүн чичирсээр санаж байна. Үндэстэй "боловсронгуй" тэгшитгэл гэж юу вэ... ... тэдгээрийг март! Учир нь та энэ зүйлийн хамгийн хор хөнөөлгүй "төлөөлөгчид" -тэй уулзах болно. Эсвэл уйтгартай тригонометрийн тэгшитгэлолон арван шийдлийн аргуудтай. Үнэнийг хэлэхэд би тэдэнд үнэхээр дургүй байсан ... Бүү сандар! - тэгвэл 1-2 алхамаар тодорхой шийдэл бүхий "данделионууд" таныг хүлээж байна. Хэдийгээр "burdock" мэдээж наалддаг ч та энд бодитой хандах хэрэгтэй.
Хачирхалтай нь, дээд математикийн хувьд маш энгийн тэгшитгэлтэй харьцах нь илүү түгээмэл байдаг шугамантэгшитгэл
Энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь "x" (үндэс)-ийн ИЙМ утгыг олох бөгөөд үүнийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргана гэсэн үг юм. Тэмдгийг өөрчилснөөр "гурвыг" баруун тийш шидье.
"хоёр"-ыг дахин тохируулна уу баруун тал (эсвэл ижил зүйл - хоёр талыг үржүүлнэ)
:
Шалгахын тулд хожсон цомоо сольж үзье анхны тэгшитгэл :
Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь олсон утга нь үнэхээр үндэс мөн гэсэн үг юм өгөгдсөн тэгшитгэл. Эсвэл тэдний хэлснээр энэ тэгшитгэлийг хангадаг.
Үндэсийг мөн хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг анхаарна уу аравтын:
Мөн энэ муу хэв маягийг баримтлахгүй байхыг хичээгээрэй! Би шалтгааныг нэгээс олон удаа давтсан, ялангуяа эхний хичээл дээр дээд алгебр.
Дашрамд хэлэхэд тэгшитгэлийг "араб хэлээр" шийдэж болно.
Хамгийн сонирхолтой нь юу вэ - энэ оруулгабүрэн хууль ёсны! Гэхдээ хэрэв та багш биш бол үүнийг хийхгүй байх нь дээр, учир нь оригинал нь энд шийтгэгддэг =)
Тэгээд одоо бага зэрэг
график шийдлийн арга
Тэгшитгэл нь хэлбэртэй, үндэс нь байна "X" координат уулзвар цэгүүд шугаман функцийн графикхуваарьтай шугаман функц (x тэнхлэг):
Жишээ нь маш энгийн тул энд задлан шинжлэх зүйл байхгүй, гэхдээ үүнээс өөр нэг гэнэтийн нюансыг "шахаж" болно: ижил тэгшитгэлийг хэлбэрээр танилцуулж, функцүүдийн графикийг байгуулъя. 
Үүний зэрэгцээ, Энэ хоёр ойлголтыг битгий хольж хутгаарай: тэгшитгэл нь тэгшитгэл бөгөөд функц- энэ бол функц! Функцүүд зөвхөн туслахтэгшитгэлийн язгуурыг ол. Үүнээс хоёр, гурав, дөрөв, бүр хязгааргүй олон байж болно. Энэ утгаараа хамгийн ойрын жишээ бол олны танил юм квадрат тэгшитгэл, тусдаа догол мөрийг хүлээн авсан шийдлийн алгоритм "халуун" сургуулийн томъёо. Мөн энэ нь санамсаргүй биш юм! Квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадвал мэдэж байвал Пифагорын теорем, тэгвэл "дээд математикийн тал нь таны халаасанд байна" гэж хэлж болно =) Мэдээжийн хэрэг хэтрүүлсэн, гэхдээ үнэнээс тийм ч хол биш!
Тиймээс залхуу байж, квадрат тэгшитгэлийг ашиглан шийдье стандарт алгоритм:
, энэ нь тэгшитгэл нь хоёр өөр байна гэсэн үг юм хүчинтэйүндэс: 
Олдсон утгууд хоёулаа энэ тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. 
Хэрэв та шийдлийн алгоритмаа гэнэт мартаж, туслах хэрэгсэл байхгүй бол яах вэ? Ийм нөхцөл байдал, жишээлбэл, шалгалт эсвэл шалгалтын үеэр үүсч болно. Бид график аргыг ашигладаг! Мөн хоёр арга бий: та чадна цэгээр барихпарабол 
, ингэснээр тэнхлэгтэй хаана огтлолцож байгааг олж мэднэ (хэрэв огт гаталж байвал). Гэхдээ илүү зальтай зүйл хийх нь дээр: тэгшитгэлийг хэлбэрээр төсөөлж, илүү график зур. энгийн функцууд- Тэгээд "X" координатТэдний огтлолцох цэгүүд тод харагдаж байна! 
Хэрэв шулуун шугам параболд хүрч байгаа бол тэгшитгэл нь хоёр тохирох (олон) үндэстэй байна. Хэрэв шулуун шугам нь параболыг огтолдоггүй бол жинхэнэ үндэс байхгүй болно.
Ингэхийн тулд мэдээж бүтээн байгуулалт хийх чадвартай байх хэрэгтэй энгийн функцүүдийн графикууд, гэхдээ нөгөө талаас сургуулийн хүүхэд хүртэл эдгээр чадварыг хийж чадна.
Дахин хэлэхэд тэгшитгэл бол тэгшитгэл, функцууд нь функцууд юм зөвхөн тусалсантэгшитгэлийг шийд!
Дашрамд хэлэхэд, бас нэг зүйлийг санах нь зүйтэй болов уу. Хэрэв тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлбэл түүний үндэс өөрчлөгдөхгүй..
Жишээлбэл, тэгшитгэл 
ижил үндэстэй. Энгийн "баталгаа" болгон би тогтмолыг хаалтнаас гаргана: 
мөн би үүнийг өвдөлтгүй арилгах болно (Би хоёр хэсгийг "хасах хоёр" гэж хуваана):
ГЭХДЭЭ!Хэрэв бид функцийг авч үзвэл 
, тэгвэл та энд тогтмол байдлаас салж чадахгүй! Зөвхөн үржүүлэгчийг хаалтнаас гаргахыг зөвшөөрнө. 
.
Олон хүмүүс график шийдлийн аргыг дутуу үнэлж, үүнийг "үнэгүй" гэж үздэг бөгөөд зарим нь энэ боломжийг бүрмөсөн мартдаг. График зурах нь заримдаа нөхцөл байдлыг авардаг тул энэ нь үндсэндээ буруу юм!
Өөр нэг жишээ: та хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн үндсийг санахгүй байна гэж бодъё: . Ерөнхий томъёодотор байна сургуулийн сурах бичиг, дээрх бүх лавлах номонд анхан шатны математик, гэхдээ тэдгээр нь танд боломжгүй. Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь маш чухал ("хоёр" гэх мэт). Гарах гарц байна! - функцүүдийн графикийг бүтээх: 
Үүний дараа бид тэдгээрийн огтлолцлын цэгүүдийн "X" координатыг тайвнаар бичнэ. 
Хязгааргүй олон үндэс байдаг бөгөөд алгебрт тэдгээрийн хураангуй тэмдэглэгээг хүлээн зөвшөөрдөг:
, Хаана ( – бүхэл тоонуудын багц)
.
"Явдалгүйгээр" нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график аргын талаар хэдэн үг хэлье. Энэ зарчим нь адилхан. Жишээлбэл, тэгш бус байдлын шийдэл нь дурын "x" юм, учир нь Синусоид нь шулуун шугамын доор бараг бүрэн байрладаг. Тэгш бус байдлын шийдэл нь синусоидын хэсгүүд шулуун шугамаас яг дээгүүр байрлах интервалуудын багц юм. (х тэнхлэг):
эсвэл товчхондоо:
Гэхдээ тэгш бус байдлын олон шийдэл энд байна: хоосон, учир нь синусоидын ямар ч цэг шулуун шугамаас дээгүүр оршдоггүй.
Ойлгохгүй байгаа зүйл байна уу? тухай хичээлүүдийг яаралтай судлаарай багцТэгээд функцын графикууд!
Халацгаая:
Даалгавар 1
Дараах тригонометрийн тэгшитгэлийг графикаар шийд.
Хичээлийн төгсгөлд хариултууд
Таны харж байгаагаар суралцах нарийн шинжлэх ухаанТомьёо, лавлах номыг чихэх шаардлагагүй! Түүнээс гадна энэ нь үндсэндээ алдаатай хандлага юм.
Хичээлийн эхэнд би таныг тайвшруулж хэлсэнчлэн дээд математикийн стандарт курст тригонометрийн нийлмэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь маш ховор байдаг. Бүх нарийн төвөгтэй байдал нь дүрмээр бол тэгшитгэлээр төгсдөг бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь хамгийн энгийн тэгшитгэлээс гаралтай хоёр бүлэг үндэс юм. 
. Сүүлчийн асуудлыг шийдэх гэж бүү санаа зов - номноос хайж эсвэл интернетээс олоорой =)
График шийдлийн арга нь өчүүхэн жижиг тохиолдлуудад тусалж чадна. Жишээлбэл, дараах "ragtag" тэгшитгэлийг авч үзье.
Үүнийг шийдэх хэтийн төлөв нь ... огтхон ч харагдахгүй байна, гэхдээ та тэгшитгэлийг хэлбэрээр төсөөлж, бүтээх хэрэгтэй. функцын графикуудтэгээд бүх зүйл гайхалтай энгийн болж хувирах болно. Өгүүллийн дундуур зураг байна хязгааргүй жижиг функцууд (дараагийн таб дээр нээгдэнэ).
Үүнтэй адил график аргатэгшитгэл нь аль хэдийн хоёр үндэстэй бөгөөд тэдгээрийн нэг нь байгааг олж мэдэх боломжтой тэгтэй тэнцүү, нөгөө нь бололтой, үндэслэлгүйсегментэд хамаарагдана. Өгөгдсөн үндэсойролцоогоор тооцоолж болно, жишээ нь, шүргэгч арга. Дашрамд хэлэхэд, зарим асуудалд үндсийг нь олох шаардлагагүй, харин олж мэдээрэй тэд ерөөсөө байдаг уу?. Энд ч гэсэн зураг нь тусалж чадна - хэрвээ графикууд огтлолцохгүй бол үндэс байхгүй болно.
Бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн рационал үндэс.
Хорнерын схем
Одоо би та бүхнийг Дундад зууны үе рүү харцаа хандуулж, сонгодог алгебрийн өвөрмөц уур амьсгалыг мэдрэхийг урьж байна. Материалыг илүү сайн ойлгохын тулд бага ч гэсэн уншихыг зөвлөж байна нийлмэл тоо.
Тэд бол хамгийн шилдэг нь. Олон гишүүнт.
Бидний сонирхож буй объект нь хэлбэрийн хамгийн түгээмэл олон гишүүнтүүд байх болно бүхэлд нькоэффициентүүд Натурал тоодуудсан олон гишүүнтийн зэрэг, тоо – хамгийн дээд зэргийн коэффициент (эсвэл хамгийн өндөр коэффициент), мөн коэффициент нь байна чөлөөт гишүүн.
Би энэ олон гишүүнтийг товчоор тэмдэглэнэ.
Олон гишүүнтийн үндэстэгшитгэлийн язгуурыг дууд
Би төмөр логикт дуртай =)
Жишээлбэл, нийтлэлийн эхэнд очно уу: 
1 ба 2-р зэрэглэлийн олон гишүүнтийн үндсийг олоход ямар ч асуудал байхгүй, гэхдээ та үүнийг нэмэгдүүлэх тусам энэ даалгавар улам бүр хэцүү болно. Хэдийгээр нөгөө талаас бүх зүйл илүү сонирхолтой юм! Хичээлийн хоёр дахь хэсгийг яг ийм зүйлд зориулах болно.
Нэгдүгээрт, онолын дэлгэцийн хагас нь:
1) Үр дүнгийн дагуу алгебрийн үндсэн теорем, зэрэгтэй олон гишүүнт яг байна цогцолборүндэс Зарим үндэс (эсвэл бүр бүгд) нь ялангуяа байж болно хүчинтэй. Түүнээс гадна жинхэнэ үндэс дунд ижил (олон) үндэс байж болно (хамгийн багадаа хоёр, дээд тал нь).
Хэрэв олон гишүүнт ямар нэг нийлмэл тоо нь үндэс бол коньюгаттүүний тоо нь мөн энэ олон гишүүнтийн үндэс байх ёстой (холбоо нарийн төвөгтэй үндэсшиг харагдах).
Хамгийн энгийн жишээнь 8-д анх гарч ирсэн квадрат тэгшитгэл юм (дуртай)анги, бид эцэст нь уг сэдвийг "дуусгасан" нийлмэл тоо. Би танд сануулъя: квадрат тэгшитгэл нь хоёр өөр бодит язгууртай, олон үндэстэй, эсвэл нийлмэл нийлмэл язгууртай.
2) -аас Безутын теоремХэрэв тоо нь тэгшитгэлийн язгуур бол харгалзах олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр ангилж болно.
, энд зэрэгтэй олон гишүүнт байна .
Дахин хэлэхэд бидний хуучин жишээ: оноос хойш тэгшитгэлийн язгуур, тэгвэл . Үүний дараа алдартай "сургуулийн" өргөтгөлийг олж авах нь тийм ч хэцүү биш юм.
Безутын теоремын үр дагавар нь маш их практик ач холбогдолтой: хэрэв бид 3-р зэргийн тэгшитгэлийн язгуурыг мэддэг бол бид үүнийг хэлбэрээр илэрхийлж болно. 
ба -аас квадрат тэгшитгэлүлдсэн үндсийг танихад хялбар байдаг. Хэрэв бид 4-р зэргийн тэгшитгэлийн язгуурыг мэддэг бол зүүн талыг бүтээгдэхүүн болгон өргөжүүлэх боломжтой.
Мөн энд хоёр асуулт байна:
Асуулт нэг. Энэ үндсийг хэрхэн олох вэ? Юуны өмнө түүний мөн чанарыг тодорхойлъё: дээд математикийн олон асуудалд үүнийг олох шаардлагатай байна оновчтой, ялангуяа бүхэлд ньолон гишүүнтийн үндэс, үүнтэй холбогдуулан цаашид бид тэдгээрийг голчлон сонирхох болно.... ... тэд маш сайн, сэвсгэр тул та зүгээр л тэднийг олохыг хүсч байна! =)
Сонгох арга нь хамгийн түрүүнд санаанд орж ирдэг. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг авч үзье. Энд байгаа зүйл бол чөлөөт нэр томъёо юм - хэрэв тэгтэй тэнцүү байсан бол бүх зүйл сайхан болно - бид "X" тэмдгийг хаалтнаас гаргаж, үндэс нь өөрөө гадаргуу дээр "унадаг". 
Гэхдээ бидний чөлөөт нэр томъёо нь "гурван" -тай тэнцүү тул бид тэгшитгэлд орлуулж эхэлдэг өөр өөр тоо, "үндэс" гэж мэдэгдэв. Юуны өмнө, нэг утгыг орлуулах нь өөрийгөө санал болгож байна. Орлуулж үзье: 
Хүлээн авсан буруутэгш байдал, ингэснээр нэгж "тохирохгүй". За, орлуулъя: 
Хүлээн авсан үнэнтэгш байдал! Өөрөөр хэлбэл, утга нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм.
3-р зэргийн олон гишүүнтийн үндсийг олохын тулд байдаг аналитик арга (Кардано томъёо гэж нэрлэгддэг), гэхдээ одоо бид арай өөр даалгавар сонирхож байна.
- нь манай олон гишүүнтийн язгуур учир олон гишүүнт хэлбэрт дүрслэгдэж, үүсдэг Хоёр дахь асуулт: "дүү" яаж олох вэ?
Хамгийн энгийн алгебрийн санаанууд үүнийг хийхийн тулд бид -д хуваах хэрэгтэйг харуулж байна. Олон гишүүнтийг олон гишүүнт хэрхэн хуваах вэ? Үүнтэй адил сургуулийн аргахуваалцсан энгийн тоонууд- "багананд"! Энэ аргаХичээлийн эхний жишээн дээр би үүнийг нарийвчлан авч үзсэн Цогцолборын хязгаар, одоо бид өөр аргыг авч үзэх болно, үүнийг гэж нэрлэдэг Хорнерын схем.
Эхлээд бид "хамгийн өндөр" олон гишүүнт бичнэ хүн бүртэй
, үүнд тэг коэффициентүүд орно:
, үүний дараа бид эдгээр коэффициентүүдийг (хатуу дарааллаар) хүснэгтийн дээд эгнээнд оруулна.
Бид зүүн талд үндсийг бичнэ:
Хэрэв "улаан" тоо байвал Хорнерын схем ч бас ажилладаг гэдгийг би даруй анхааруулах болно Үгүйолон гишүүнтийн үндэс юм. Гэсэн хэдий ч яарах хэрэггүй.
Дээрхээс бид тэргүүлэх коэффициентийг хасдаг.
Доод нүдийг дүүргэх үйл явц нь хатгамалыг зарим талаар санагдуулдаг бөгөөд "хасах нэг" нь дараагийн алхмуудыг нэвт шингээдэг нэг төрлийн "зүү" юм. Бид "зөөгдсөн" тоог (–1)-ээр үржүүлж, дээд нүднээс гарсан тоог бүтээгдэхүүнд нэмнэ.
Бид олсон утгыг "улаан зүү" -ээр үржүүлж, бүтээгдэхүүнд дараахь тэгшитгэлийн коэффициентийг нэмнэ.
Эцэст нь, үүссэн утгыг "зүү" ба дээд коэффициентээр дахин "боловсруулна".
Сүүлчийн нүдэн дэх тэг нь олон гишүүнт хуваагдаж байгааг хэлдэг ул мөргүй (байх ёстой шиг), тэлэлтийн коэффициентүүд хүснэгтийн доод мөрөөс шууд "арилгасан" бол:
Тиймээс бид тэгшитгэлээс ижил тэгшитгэл рүү шилжсэн бөгөөд үлдсэн хоёр үндэстэй бүх зүйл тодорхой болсон. (В энэ тохиолдолдБид хосолсон цогц үндэсийг авдаг).
Дашрамд хэлэхэд тэгшитгэлийг графикаар шийдэж болно: график "аянга" 
График нь х тэнхлэгийг огтолж байгааг харна уу ()
цэг дээр. Эсвэл ижил "зальтай" заль мэх - бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичиж, зурна анхан шатны графиктэдгээрийн огтлолцлын цэгийн "X" координатыг илрүүлнэ.
Дашрамд хэлэхэд, 3-р зэргийн олон гишүүнт функцийн график нь тэнхлэгийг дор хаяж нэг удаа огтолж байгаа бөгөөд энэ нь харгалзах тэгшитгэлтэй байна гэсэн үг юм. ядажнэг хүчинтэйүндэс. Энэ баримтсондгой зэрэгтэй олон гишүүнт функцэд хүчинтэй.
Энд би бас энд анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна чухал цэг нэр томьёотой холбоотой: олон гишүүнтТэгээд олон гишүүнт функц – энэ нь ижил зүйл биш юм! Гэхдээ практик дээр тэд ихэвчлэн "олон гишүүнтийн график" гэж ярьдаг бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг хайхрамжгүй байдал юм.
Гэсэн хэдий ч Хорнерын схем рүү буцъя. Би саяхан дурьдсанчлан, энэ схем нь бусад тоонуудад ажилладаг, гэхдээ хэрэв тоо ҮгүйЭнэ нь тэгшитгэлийн үндэс бол бидний томъёонд тэг биш нэмэлт (үлдэгдэл) гарч ирнэ.
Хорнерын схемийн дагуу "амжилтгүй" утгыг "ажиллуулъя". Энэ тохиолдолд ижил хүснэгтийг ашиглах нь тохиромжтой - зүүн талд шинэ "зүү" бичиж, тэргүүлэх коэффициентийг дээрээс нь хөдөлгө. (зүүн ногоон сум), тэгээд бид явлаа: 
Шалгахын тулд хашилтыг нээж танилцуулъя ижил төстэй нэр томъёо:
, За.
Үлдэгдэл ("зургаан") нь олон гишүүнтийн утга гэдгийг анзаарахад хялбар байдаг. Үнэн хэрэгтээ энэ нь юу вэ: 
, бүр илүү сайхан - иймэрхүү:
Дээрх тооцооллуудаас харахад Хорнерын схем нь олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр тооцох төдийгүй үндсийг "соёл иргэншсэн" сонгох боломжийг олгодог гэдгийг ойлгоход хялбар юм. Тооцооллын алгоритмыг жижиг даалгавраар нэгтгэхийг би танд санал болгож байна.
Даалгавар 2
Хорнерын схемийг ашиглан ол бүх үндэстэгшитгэл болон харгалзах олон гишүүнт хүчин зүйл
Өөрөөр хэлбэл, энд та 1, –1, 2, –2, ... – гэсэн тоог сүүлийн баганад тэг үлдэгдэл “зурах” хүртэл дараалан шалгах хэрэгтэй. Энэ нь энэ шугамын "зүү" нь олон гишүүнтийн үндэс болно гэсэн үг юм
Тооцооллыг нэг хүснэгтэд хийх нь тохиромжтой. Нарийвчилсан шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.
Үндэс сонгох арга нь харьцангуй сайн байдаг энгийн тохиолдлууд, гэхдээ олон гишүүнтийн коэффициент ба/эсвэл зэрэг нь их байвал процесс илүү удаан үргэлжилж магадгүй. Эсвэл ижил жагсаалтаас 1, –1, 2, –2 гэсэн утгууд байгаа бөгөөд авч үзэх нь утгагүй юм болов уу? Үүнээс гадна үндэс нь бутархай болж хувирах бөгөөд энэ нь шинжлэх ухааны үндэслэлгүй нудрахад хүргэдэг.
Аз болоход, оновчтой язгуурын "нэр дэвшигч" утгыг хайхыг эрс багасгах хоёр хүчирхэг теорем байдаг.
Теорем 1Ингээд авч үзье бууруулж боломгүйбутархай , хаана . Хэрэв тоо нь тэгшитгэлийн үндэс бол чөлөөт гишүүнийг хувааж, тэргүүлэх коэффициентийг хуваана.
Ялангуяа, хэрэв тэргүүлэх коэффициент нь бол энэ оновчтой үндэс нь бүхэл тоо болно:
Мөн бид теоремыг зөвхөн энэ амттай нарийн ширийн зүйлээр ашиглаж эхэлдэг.
Тэгшитгэл рүү буцъя. Түүний тэргүүлэх коэффициент нь , тэгвэл таамагласан рационал язгуур нь зөвхөн бүхэл тоо байж болох бөгөөд чөлөөт нэр томъёог эдгээр үндэст үлдэгдэлгүйгээр хуваах ёстой. Мөн "гурав" -ыг зөвхөн 1, -1, 3, -3 гэж хувааж болно. Өөрөөр хэлбэл, манайд ердөө 4 “үндсэн нэр дэвшигч” байна. Тэгээд дагуу Теорем 1, бусад рационал тоозарчмын хувьд энэ тэгшитгэлийн үндэс байж болохгүй.
Тэгшитгэлд арай илүү "өрсөлдөгчид" байна: чөлөөт нэр томъёог 1, –1, 2, – 2, 4, –4 гэж хуваана.
1, –1 тоонууд нь боломжит язгууруудын жагсаалтын "ердийн" тоо гэдгийг анхаарна уу (теоремын тодорхой үр дагавар)болон ихэнх нь хамгийн сайн сонголтдавуу эрх шалгах зорилгоор.
Илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилжье:
Асуудал 3
Шийдэл: тэргүүлэх коэффициент нь , учир нь таамагласан рационал язгуур нь зөвхөн бүхэл тоо байж болох бөгөөд тэдгээр нь хуваагч байх ёстой. чөлөөт гишүүн. "Хасах дөч" нь дараах хос тоонд хуваагдана.
– нийт 16 “нэр дэвшигч”.
Эндээс нэн даруй сэтгэл татам бодол гарч ирнэ: бүх сөрөг эсвэл бүгдийг нь устгах боломжтой юу эерэг үндэс? Зарим тохиолдолд боломжтой! Би хоёр тэмдгийг томъёолох болно:
1) Хэрэв БүгдХэрэв олон гишүүнтийн коэффициентүүд сөрөг биш бол эерэг үндэстэй байж болохгүй. Харамсалтай нь энэ нь бидний тохиолдол биш юм (Одоо, хэрэв бидэнд тэгшитгэл өгсөн бол - тийм ээ, олон гишүүнтийн аль нэг утгыг орлуулах үед олон гишүүнтийн утга нь хатуу эерэг байна, энэ нь бүх зүйл гэсэн үг юм. эерэг тоонууд (мөн үндэслэлгүй)тэгшитгэлийн үндэс байж болохгүй.
2) Хэрэв коэффициентүүд нь үед сондгой градуссөрөг биш бөгөөд бүх эрх мэдлийн хувьд (үнэгүй гишүүн орно)сөрөг байвал олон гишүүнт байж болохгүй сөрөг үндэс. Энэ бол бидний хэрэг! Жаахан ойроос харвал тэгшитгэлд дурын сөрөг “x”-ийг орлуулахад үүнийг харж болно зүүн талхатуу сөрөг байх болно, энэ нь гэсэн үг сөрөг үндэсалга болно
Ингээд судалгаа явуулахад 8 тоо үлдлээ.
Бид тэднийг Хорнерын схемийн дагуу "цэнэглэдэг". Та сэтгэцийн тооцооллыг аль хэдийн эзэмшсэн гэж найдаж байна: 
"Хоёр" -ыг туршиж үзэхэд биднийг аз хүлээж байв. Тиймээс авч үзэж буй тэгшитгэлийн үндэс, мөн
Тэгшитгэлийг судлахад л үлдлээ 
. Үүнийг ялгаварлан гадуурхах замаар хийхэд хялбар байдаг, гэхдээ би ижил схемийг ашиглан заагч тест хийх болно. Нэгдүгээрт, чөлөөт нэр томъёо нь 20-той тэнцэх бөгөөд энэ нь гэсэн үг юм Теорем 1 8 ба 40 тоо нь боломжит язгууруудын жагсаалтаас хасагдаж, судалгааны утгыг үлдээдэг (Нэг нь Хорнерын схемийн дагуу хасагдсан).
Бид шинэ хүснэгтийн дээд эгнээнд гурвалсан тооны коэффициентийг бичнэ Бид ижил "хоёр" -оор шалгаж эхэлдэг.. Яагаад? Үндэс нь үржвэр байж болох тул: - энэ тэгшитгэлд 10 байна ижил үндэс. Гэхдээ анхаарал сарниулахгүй байцгаая: 
Энд мэдээжийн хэрэг үндэс нь оновчтой гэдгийг мэдсээр байж жаахан худлаа хэлсэн. Эцсийн эцэст, хэрэв тэдгээр нь үндэслэлгүй эсвэл төвөгтэй байсан бол би үлдсэн бүх тоог амжилтгүй шалгахтай тулгарах болно. Тиймээс практик дээр ялгаварлагчаар удирдуулах хэрэгтэй.
Хариулах: оновчтой үндэс: 2, 4, 5
Шинжилсэн асуудалд бид азтай байсан, учир нь: a) тэд шууд унасан сөрөг утгууд, ба б) бид үндсийг маш хурдан олсон (мөн онолын хувьд бид бүх жагсаалтыг шалгаж болно).
Гэвч бодит байдал дээр нөхцөл байдал хамаагүй муу байна. Би таныг "Гэдэг" нэртэй сонирхолтой тоглоом үзэхийг урьж байна. Сүүлчийн баатар»:
Асуудал 4
Тэгшитгэлийн рационал язгуурыг ол
Шийдэл: By Теорем 1таамаглалын тоологч оновчтой үндэснөхцөлийг хангасан байх ёстой (бид "арван хоёрыг элээр хуваадаг" гэж уншдаг), мөн хуваагч нь нөхцөлтэй тохирч байна. Үүний үндсэн дээр бид хоёр жагсаалтыг авна.
"list el":
болон "жагсаалт": (Аз болоход энд байгаа тоонууд нь байгалийн юм).
Одоо бүх боломжит язгууруудын жагсаалтыг гаргацгаая. Эхлээд бид "el list" -ийг хуваана. Яг ийм тоо гарах нь туйлын тодорхой. Тохиромжтой болгохын тулд тэдгээрийг хүснэгтэд оруулъя:
Олон тооны фракцууд буурч, үүний үр дүнд "баатрын жагсаалт" -д аль хэдийн орсон утгууд бий болсон. Бид зөвхөн "шинэхэн"-ийг нэмнэ: 
Үүний нэгэн адил бид ижил "жагсаалтыг" дараахь байдлаар хуваана. 
тэгээд эцэст нь
Ийнхүү манай тоглоомд оролцогчдын баг бүрдэв. 
Харамсалтай нь, энэ асуудлын олон гишүүнт нь "эерэг" эсвэл "сөрөг" шалгуурыг хангахгүй байгаа тул бид дээд эсвэл доод эгнээнээс татгалзаж чадахгүй. Та бүх тоонуудтай ажиллах хэрэгтэй болно.
Таны сэтгэл ямар байна вэ? Алив, толгойгоо өргө - "алуурчин теорем" гэж нэрлэж болох өөр нэг теорем бий. ..."нэр дэвшигчид", мэдээжийн хэрэг =)
Гэхдээ эхлээд та Хорнерын диаграммыг дор хаяж нэгийг нь гүйлгэх хэрэгтэй бүхэлд ньтоо. Уламжлал ёсоор бол нэгийг нь авч үзье. Дээд мөрөнд бид олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг бичдэг бөгөөд бүх зүйл ердийнх шиг байна.
Дөрөв нь тэг биш нь тодорхой тул утга нь тухайн олон гишүүнтийн үндэс биш юм. Гэхдээ тэр бидэнд маш их туслах болно.
Теорем 2Зарим хүмүүсийн хувьд бол ерөнхийдөөолон гишүүнтийн утга тэгээс ялгаатай: , дараа нь түүний рационал үндэс (хэрэв байгаа бол)нөхцөлийг хангана
Манай тохиолдолд, тиймээс бүх боломжит үндэс нь нөхцөлийг хангах ёстой (Нөхцөл No1 гэж нэрлэе). Энэ дөрөв олон “нэр дэвшигч”-ийн “алуурчин” болно. Үзүүлэн болгон би хэд хэдэн шалгалтыг авч үзэх болно:
"Нэр дэвшигч"-ийг шалгая. Үүнийг хийхийн тулд үүнийг бутархай хэлбэрээр зохиомлоор илэрхийлье, үүнээс тодорхой харагдаж байна. Туршилтын зөрүүг тооцоолъё: . Дөрөвийг "хасах хоёр" гэж хуваана: , энэ нь боломжит үндэс нь шалгалтыг давсан гэсэн үг юм.
Утгыг шалгацгаая. Тестийн ялгаа энд байна: 
. Мэдээжийн хэрэг, хоёр дахь "субъект" нь жагсаалтад хэвээр байна.
Хорнерийн схем - олон гишүүнтийг хуваах арга
$$P_n(x)=\нийлбэр\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1) )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
$x-a$ бином дээр. Та эхний мөрөнд өгөгдсөн олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг агуулсан хүснэгттэй ажиллах шаардлагатай болно. Хоёрдахь мөрийн эхний элемент нь $x-a$ хоёр тооноос авсан $a$ тоо байх болно:
n-р зэрэгтэй олон гишүүнт хоёр гишүүнийг $x-a$-д хуваасны дараа бид градус нь анхныхаас нэгээр бага олон гишүүнтийг олж авна, өөрөөр хэлбэл. $n-1$-тай тэнцэнэ. Хорнерын схемийн шууд хэрэглээг жишээн дээр харуулахад хамгийн хялбар байдаг.
Жишээ №1
Хорнерийн схемийг ашиглан $5x^4+5x^3+x^2-11$-ийг $x-1$-д хуваа.
Хоёр мөртэй хүснэгт хийцгээе: эхний мөрөнд $5x^4+5x^3+x^2-11$ олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг $x$ хувьсагчийн зэрэглэлийн буурах дарааллаар байрлуулна. Энэ олон гишүүнт $x$-ыг нэгдүгээр зэрэглэлээр агуулаагүй болохыг анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл. $x$-ийн нэгдүгээр зэрэглэлийн коэффициент нь 0. Бид $x-1$-д хувааж байгаа тул хоёр дахь мөрөнд нэгийг бичнэ.
Хоёр дахь мөрөнд хоосон нүднүүдийг бөглөж эхэлцгээе. Хоёрдахь мөрний хоёр дахь нүдэнд бид $5$ тоог бичээд эхний мөрний харгалзах нүднээс зөөнө.
Дараах нүдийг дараах зарчмын дагуу дүүргэцгээе: $1\cdot 5+5=10$:
Хоёр дахь мөрийн дөрөв дэх нүдийг ижил аргаар бөглөцгөөе: $1\cdot 10+1=11$:
Тав дахь нүдний хувьд бид дараахийг авна: $1\cdot 11+0=11$:
Эцэст нь, сүүлийн зургаа дахь нүдэнд бид дараах байдалтай байна: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Асуудал шийдэгдсэн тул хариултаа бичих л үлдлээ.
Таны харж байгаагаар хоёр дахь мөрөнд байрлах тоонууд (нэг ба тэг хооронд) нь $5x^4+5x^3+x^2-11$-ийг $x-1$-д хуваасны дараа олж авсан олон гишүүнтийн коэффициентүүд юм. Мэдээжийн хэрэг, анхны олон гишүүнт $5x^4+5x^3+x^2-11$ дөрөвтэй тэнцүү байсан тул үүссэн олон гишүүнт $5x^3+10x^2+11x+11$ зэрэг болно. нэг бага, өөрөөр хэлбэл. гуравтай тэнцэнэ. Хоёрдахь эгнээний сүүлчийн тоо (тэг) нь $5x^4+5x^3+x^2-11$ олон гишүүнтийг $x-1$-д хуваахад үлдэгдлийг илэрхийлнэ. Манай тохиолдолд үлдэгдэл нь тэг, өөрөөр хэлбэл. олон гишүүнтүүд тэгш хуваагддаг. Энэ үр дүнг мөн дараах байдлаар тодорхойлж болно: $5x^4+5x^3+x^2-11$ олон гишүүнт $x=1$-ын утга тэгтэй тэнцүү байна.
Дүгнэлтийг мөн ийм хэлбэрээр томъёолж болно: $5x^4+5x^3+x^2-11$ олон гишүүнт $x=1$-ийн утга тэгтэй тэнцүү тул нэгдэл нь олон гишүүнтийн үндэс болно. $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Жишээ №2
$x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ олон гишүүнтийг Хорнерийн схемийг ашиглан $x+3$-д хуваа.
$x+3$ илэрхийллийг $x-(-3)$ хэлбэрээр илэрхийлэх ёстойг нэн даруй больё. Хорнерын схемд яг $ -3 доллар орно. Анхдагч $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ олон гишүүнтийн зэрэг нь дөрөвтэй тэнцүү тул хуваалтын үр дүнд бид гуравдугаар зэргийн олон гишүүнтийг олж авна.
Үр дүн нь тийм гэсэн үг
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4х-17)+4$$
Энэ нөхцөлд $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$-г $x+3$-д хуваахад үлдэгдэл нь $4$ болно. Эсвэл яг юу вэ гэвэл $x=-3$-ийн $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ олон гишүүнтийн утга $4$-тэй тэнцүү байна. Дашрамд хэлэхэд, өгөгдсөн олон гишүүнтэд $x=-3$-г шууд орлуулах замаар үүнийг дахин шалгахад хялбар байдаг.
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Тэдгээр. Олон гишүүнтийн утгыг олох шаардлагатай бол Хорнерийн схемийг ашиглаж болно утгыг тохируулаххувьсагч. Хэрэв бидний зорилго бол олон гишүүнтийн бүх язгуурыг олох юм бол жишээ №3-т дурдсанчлан Хорнерийн схемийг бүх үндэсийг шавхтал хэд хэдэн удаа дараалан хэрэглэж болно.
Жишээ №3
Хорнерийн схемийг ашиглан $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ олон гишүүнт бүхэл язгуурыг ол.
Тухайн олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь бүхэл тоо бөгөөд коэффициент нь хувьсагчийн хамгийн дээд чадлын өмнөх (жишээ нь $x^6$-ын өмнө) байна. нэгтэй тэнцүү. Энэ тохиолдолд олон гишүүнтийн бүхэл язгуурыг чөлөөт гишүүний хуваагчдаас хайх ёстой, i.e. тооны хуваагч дунд 45. Өгөгдсөн олон гишүүнтийн хувьд ийм үндэс нь $45 тоо байж болно; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 доллар ба -45 доллар; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1 доллар. Жишээ нь $1$ тоог шалгая:
Таны харж байгаагаар $x=1$ олон гишүүнт $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ нь $192$-тай тэнцүү байна ( сүүлийн дугаархоёр дахь мөрөнд) $0$ биш, тиймээс нэгдэл нь энэ олон гишүүнтийн үндэс биш юм. Нэгийг шалгахад амжилтгүй болсон тул $x=-1$ утгыг шалгая. Шинэ ширээЭнэ зорилгоор бид эмхэтгэхгүй, харин хүснэгтийг үргэлжлүүлэн ашиглах болно. №1, түүнд шинэ (гурав дахь) мөр нэмж байна. 1$-ын үнэ цэнийг шалгасан хоёр дахь мөрийг улаанаар тодруулах бөгөөд цаашдын хэлэлцүүлэгт ашиглахгүй.
Мэдээжийн хэрэг та хүснэгтийг дахин бичиж болно, гэхдээ гараар бөглөхөд маш их цаг хугацаа шаардагдана. Түүнээс гадна баталгаажуулалт амжилтгүй болох хэд хэдэн тоо байж болох бөгөөд тэр болгонд шинэ хүснэгт бичихэд хэцүү байдаг. "Цаасан дээр" тооцоолохдоо улаан зураасыг зүгээр л зурж болно.
Тэгэхээр $x=-1$ үед $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ олон гишүүнтийн утга тэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. $-1$ тоо нь энэ олон гишүүнтийн үндэс юм. $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ олон гишүүнтийг $x-(-1)=x+1$ хоёр гишүүнд хуваасны дараа $x олон гишүүнтийг олж авна. ^5+x ^4-22х^3+2х^2+69х+45$, коэффициентийг хүснэгтийн гурав дахь эгнээнээс авна. №2 (Жишээ No1-ийг үзнэ үү). Тооцооллын үр дүнг дараахь хэлбэрээр танилцуулж болно.
\эхлэх(тэгшитгэл)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\төгсгөл(тэгшитгэл)
Бүхэл язгуурын хайлтыг үргэлжлүүлье. Одоо бид $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ олон гишүүнтийн язгуурыг хайх хэрэгтэй. Дахин хэлэхэд, энэ олон гишүүнтийн бүхэл язгуурыг түүний чөлөөт гишүүний хуваагч болох $45$ тоонуудаас хайж байна. $-1$ гэсэн тоог дахин шалгаж үзье. Бид шинэ хүснэгт үүсгэхгүй, харин өмнөх хүснэгтийг үргэлжлүүлэн ашиглах болно. №2, i.e. Үүн дээр дахиад нэг мөр нэмье:
Тэгэхээр $-1$ тоо нь $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ олон гишүүнтийн үндэс болно. Энэ үр дүнг дараах байдлаар бичиж болно.
\эхлэх(тэгшитгэл)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \төгсгөл(тэгшитгэл)
Тэгш байдлыг (2) харгалзан тэгш байдлыг (1) дараах хэлбэрээр дахин бичиж болно.
\эхлэх(тэгшитгэл)\эхлэх(зохицуулсан) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x) ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\төгсгөл(тэгшитгэл)
Одоо бид $x^4-22x^2+24x+45$ олон гишүүнтийн язгуурыг түүний чөлөөт гишүүний хуваагчдаас ($45$ тоо) хайх хэрэгтэй. $-1$ тоог дахин шалгая:
$-1$ тоо нь $x^4-22x^2+24x+45$ олон гишүүнтийн үндэс юм. Энэ үр дүнг дараах байдлаар бичиж болно.
\эхлэх(тэгшитгэл)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \төгсгөл(тэгшитгэл)
Тэгш байдлыг (4) харгалзан бид тэгш байдлыг (3) дараах хэлбэрээр дахин бичнэ.
\эхлэх(тэгшитгэл)\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3) +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\төгсгөл(тэгшитгэл)
Одоо бид $x^3-x^2-21x+45$ олон гишүүнтийн үндсийг хайж байна. $-1$ тоог дахин шалгая:
Шалгалт амжилтгүй болсон. Зургаа дахь мөрийг улаанаар тодруулаад өөр тоо, жишээ нь $3$ гэсэн тоог шалгахыг оролдъё.
Үлдэгдэл нь тэг тул $3$ тоо нь тухайн олон гишүүнтийн үндэс болно. Тэгэхээр $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Одоо тэгш байдлыг (5) дараах байдлаар дахин бичиж болно.
