Сургуулийн хүүхдүүд алгебр судлах явцад олон төрлийн тэгшитгэлтэй тулгардаг. Тэдгээрийн дотроос хамгийн энгийн нь нэг үл мэдэгдэх шугаман байдаг. Хэрэв математик илэрхийлэл дэх хувьсагчийг өсгөсөн бол тодорхой зэрэг, тэгвэл тэгшитгэлийг квадрат, куб, биквадрат гэх мэт гэж нэрлэдэг. Тодорхойлсон илэрхийллүүдрационал тоонуудыг агуулж болно. Гэхдээ бас иррациональ тэгшитгэлүүд байдаг. Тэдгээр нь үл мэдэгдэх нь радикал тэмдгийн дор байрлах функц байгаагаараа бусдаас ялгаатай (өөрөөр хэлбэл, энд байгаа хувьсагчийг квадрат язгуур дор бичсэнийг харж болно). Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь өөрийн гэсэн онцлогтой онцлог шинж чанарууд. Зөв хариултыг авахын тулд хувьсагчийн утгыг тооцоолохдоо тэдгээрийг харгалзан үзэх шаардлагатай.
"Үгээр хэлэхийн аргагүй"
Эртний математикчид голчлон ажиллаж байсан нь нууц биш юм рационал тоо. Эдгээрт мэдэгдэж байгаачлан энгийн болон аравтын бутархайгаар илэрхийлэгддэг бүхэл тоонууд орно үечилсэн бутархайэнэ нийгэмлэгийн төлөөлөгчид. Гэсэн хэдий ч тригонометр, одон орон, алгебрийг хөгжүүлж буй Дундад болон Ойрхи Дорнодын эрдэмтэд, түүнчлэн Энэтхэгийн эрдэмтэд иррационал тэгшитгэлийг шийдэж сурсан. Жишээлбэл, Грекчүүд ижил төстэй хэмжигдэхүүнийг мэддэг байсан, гэхдээ тэдгээрийг оруулдаг аман хэлбэр, "Үлгэршгүй" гэсэн утгатай "alogos" гэсэн ойлголтыг ашигласан. Хэсэг хугацааны дараа Европчууд тэднийг дуурайж ийм тоог "дүлий" гэж нэрлэжээ. Тэд зөвхөн хязгааргүй хэлбэрээр дүрслэгдэх боломжтой гэдгээрээ бусад бүх хүмүүсээс ялгаатай үечилсэн бус бутархай, эцсийн тоон илэрхийллийг олж авах боломжгүй юм. Тиймээс ихэвчлэн тооны хаант улсын ийм төлөөлөгчдийг хоёр ба түүнээс дээш зэрэглэлийн үндэс дор байрлах зарим илэрхийлэл болгон тоо, тэмдгийн хэлбэрээр бичдэг.
Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн иррационал тэгшитгэлийг тодорхойлохыг хичээцгээе. Ийм илэрхийлэлд тэмдэг ашиглан бичсэн "үнэлэх боломжгүй тоо" гэж нэрлэгддэг квадрат язгуур. Тэд бүх төрлийн үзэсгэлэнтэй байж болно нарийн төвөгтэй сонголтууд, гэхдээ өөрийнхөөрөө хамгийн энгийн хэлбэрээрТэд доорх зураг шиг харагдаж байна.
Иррационал тэгшитгэлийг шийдэж эхлэхдээ эхлээд талбайг тооцоолох хэрэгтэй хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгуудхувьсагч.
Илэрхийлэл нь утга учиртай юу?
Хүлээн авсан утгыг шалгах хэрэгцээ нь мэдэгдэж байгаачлан шинж чанаруудаас үүдэлтэй. ижил төстэй илэрхийлэлхүлээн зөвшөөрөгдөх бөгөөд зөвхөн тодорхой нөхцөлд ямар ч утга учиртай. Тэгш градусын үндэстэй тохиолдолд бүх радикал илэрхийлэл эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Хэрэв энэ нөхцөлбиелэгдээгүй бол танилцуулсан математик тэмдэглэгээутга учиртай гэж үзэж болохгүй.
Иррационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх тодорхой жишээг өгье (доорх зураг).
IN энэ тохиолдолдгэдэг нь ойлгомжтой заасан нөхцөл 11 ≤ x ≤ 4 болох тул хүссэн утгаараа хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгыг биелүүлэх боломжгүй. Энэ нь зөвхөн Ø шийдэл байж болно гэсэн үг юм.
Шинжилгээний арга
Дээрхээс харахад зарим төрлийн иррационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх нь тодорхой болно. Энд үр дүнтэй аргаарэнгийн дүн шинжилгээ байж болно.
Үүнийг дахин тодорхой харуулах хэд хэдэн жишээг өгье (доорх зураг).
Эхний тохиолдолд илэрхийлэлийг сайтар судалж үзэхэд энэ нь үнэн байж чадахгүй нь маш тодорхой болж байна. Үнэхээр тэгш байдлын зүүн талд бид авах ёстой эерэг тоо, энэ нь -1-тэй тэнцүү байж болохгүй.
Хоёр дахь тохиолдолд хоёр эерэг илэрхийллийн нийлбэрийг авч үзэж болно тэгтэй тэнцүү, зөвхөн x - 3 = 0 ба x + 3 = 0 үед л. Мөн энэ нь дахин боломжгүй юм. Энэ нь хариултыг дахин Ø гэж бичих ёстой гэсэн үг юм.
Гурав дахь жишээ нь өмнө нь авч үзсэнтэй маш төстэй юм. Үнэн хэрэгтээ энд ODZ-ийн нөхцөл нь дараах утгагүй тэгш бус байдлыг хангахыг шаарддаг: 5 ≤ x ≤ 2. Мөн ижил аргаар ийм тэгшитгэл нь ухаалаг шийдтэй байж чадахгүй.
Хязгааргүй томруулах
Иррационалийн мөн чанарыг зөвхөн төгсгөлгүй тооны цувралаар дамжуулан хамгийн тодорхой бөгөөд бүрэн тайлбарлаж, мэдэж болно. аравтын. Мөн тодорхой, тод жишэээнэ гэр бүлийн гишүүдийн нэг нь πi юм. Энэхүү математикийн тогтмолыг эрт дээр үеэс мэддэг байсан нь тойргийн тойрог, талбайг тооцоолоход ашиглагдаж байсан нь шалтгаан биш юм. Гэвч Европчуудын дунд үүнийг анх англи хүн Уильям Жонс, Швейцарийн Леонард Эйлер нар хэрэгжүүлжээ.
Энэ тогтмол нь дараах байдлаар үүсдэг. Хэрэв бид өөр өөр тойрогтой тойргийг харьцуулж үзвэл тэдгээрийн урт ба диаметрийн харьцаа нь ижил тоотой тэнцүү байх ёстой. Энэ бол пи. Хэрэв бид үүнийг дамжуулан илэрхийлбэл энгийн бутархай, дараа нь бид ойролцоогоор 22/7 авдаг. Үүнийг хамгийн түрүүнд агуу Архимед хийсэн бөгөөд түүний хөрөг зургийг дээрх зурагт үзүүлэв. Тийм ч учраас ийм тоо түүний нэрийг авсан. Гэхдээ энэ нь тодорхой биш, магадгүй хамгийн гайхалтай тоонуудын ойролцоо утга юм. Гайхалтай эрдэмтэн хүссэн утгыг 0.02-ын нарийвчлалтайгаар олсон боловч үнэн хэрэгтээ энэ тогтмол нь ямар ч бодит утгагүй, харин 3.1415926535 гэж илэрхийлэгддэг... Энэ бол ямар нэгэн домогт утгад хязгааргүй ойртож буй төгсгөлгүй тооны цуврал юм.
Дөрвөлжин
Гэхдээ иррационал тэгшитгэл рүү буцъя. Үл мэдэгдэх зүйлийг олохын тулд энэ тохиолдолд тэд ихэвчлэн ханддаг энгийн арга: одоо байгаа тэгш байдлын хоёр талыг квадрат. Энэ арга нь ихэвчлэн өгдөг сайн үр дүн. Гэхдээ үндэслэлгүй хэмжигдэхүүнүүдийн нууцлаг байдлыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Үүний үр дүнд олж авсан бүх үндэсийг шалгах ёстой, учир нь тэдгээр нь тохиромжгүй байж магадгүй юм.
Гэхдээ жишээнүүдийг үргэлжлүүлэн үзэж, шинээр санал болгож буй аргыг ашиглан хувьсагчдыг олохыг хичээцгээе.
Виетийн теоремыг ашиглан бид тодорхой үйлдлүүдийн үр дүнд үүссэн хэмжигдэхүүний хүссэн утгыг олох нь тийм ч хэцүү биш юм. квадрат тэгшитгэл. Эндээс харахад язгууруудын дунд 2 ба -19 байх болно. Гэсэн хэдий ч, шалгаж, үр дүнгийн утгыг анхны илэрхийлэл болгон орлуулахдаа эдгээр үндэсүүдийн аль нь ч тохирохгүй байгаа эсэхийг шалгаж болно. Энэ нь иррациональ тэгшитгэлд түгээмэл тохиолддог үзэгдэл юм. Энэ нь бидний асуудал дахин шийдэлгүй гэсэн үг бөгөөд хариулт нь хоосон багцыг зааж өгөх ёстой.
Илүү төвөгтэй жишээнүүд
Зарим тохиолдолд илэрхийллийн хоёр талыг нэг удаа биш, хэд хэдэн удаа квадрат болгох шаардлагатай байдаг. Үүнийг шаардлагатай жишээнүүдийг харцгаая. Тэдгээрийг доороос харж болно.
Үндэсийг хүлээн авсны дараа тэдгээрийг шалгахаа бүү мартаарай, учир нь нэмэлт зүйл гарч ирж магадгүй юм. Энэ нь яагаад боломжтой болохыг тайлбарлах ёстой. Энэ аргыг хэрэглэх үед тэгшитгэлийг зарим талаар оновчтой болгодог. Гэхдээ бидний дургүй үндсийг арилгах нь биднийг үйлдвэрлэхэд саад болдог арифметик үйлдлүүд, бид одоо байгаа үнэт зүйлсийн хүрээг өргөжүүлж байх шиг байна, энэ нь үр дагавараар дүүрэн (хүн ойлгож болно). Үүнийг урьдчилан тооцоолж бид шалгалт хийдэг. Энэ тохиолдолд зөвхөн нэг үндэс тохиромжтой эсэхийг шалгах боломж бий: x = 0.
Системүүд
Иррационал тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай тохиолдолд бид юу хийх ёстой вэ, гэхдээ бидэнд нэг биш, хоёр үл мэдэгдэх зүйл байна уу? Энд бид ердийн тохиолдлуудтай ижил аргаар, гэхдээ дээрх өгөгдлийн шинж чанарыг харгалзан үзнэ математик илэрхийллүүд. Мөн бүрт шинэ даалгавар, мэдээж хэрэг, ашиглах ёстой бүтээлч байдал. Гэхдээ дахин хэлэхэд бүх зүйлийг анхаарч үзэх нь дээр тодорхой жишээдоор үзүүлэв. Энд та зөвхөн x ба y хувьсагчдыг олохоос гадна хариултанд тэдгээрийн нийлбэрийг зааж өгөх хэрэгтэй. Тиймээс, иррационал хэмжигдэхүүнүүдийг агуулсан систем байдаг (доорх зургийг үз).
Таны харж байгаагаар ийм даалгавар нь ер бусын хэцүү зүйлийг төлөөлдөггүй. Та зүгээр л ухаалаг байж, юу болохыг олж мэдэх хэрэгтэй зүүн талЭхний тэгшитгэл нь нийлбэрийн квадрат юм. Үүнтэй төстэй даалгавруудыг Улсын нэгдсэн шалгалтаас олж болно.
Математикийн хувьд үндэслэлгүй
Зарим тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хангалттай "зай" байхгүй үед хүн төрөлхтний дунд шинэ төрлийн тоо бий болгох хэрэгцээ гарч ирэв. Иррационал тооүл хамаарах зүйл биш юм. Үүнийг манай эринээс өмнө буюу 7-р зуунд их мэргэд анхлан анхаарч байсныг түүхийн баримт гэрчилдэг. Үүнийг Манава гэгддэг Энэтхэгийн математикч хийсэн. Тэр заримыг нь тодорхой ойлгосон натурал тоонуудүндсийг нь гаргаж авах боломжгүй. Тухайлбал, эдгээрт 2; 17 эсвэл 61, түүнчлэн бусад олон.
Пифагорчуудын нэг болох Гиппас хэмээх сэтгэгч үүнтэй адил дүгнэлтэд хүрчээ. тоон илэрхийллүүдпентаграмын талууд. Нээлт математикийн элементүүд, үүнийг илэрхийлэх боломжгүй дижитал утгуудмөн өмчгүй энгийн тоонууд, тэрээр хамт ажиллагсдаа маш их уурлуулж, усан онгоцон дээрээс далайд шидэгдсэн байна. Бусад Пифагорчууд түүний үндэслэлийг орчлон ертөнцийн хуулиудын эсрэг бослого гэж үзсэн нь баримт юм.
Радикалын шинж тэмдэг: Хувьсал
Илэрхийллийн үндэс тэмдэг тоон утга"дүлий" тоонуудыг шийдвэрлэхэд ашиглаж эхэлсэн үндэслэлгүй тэгш бус байдалба тэгшитгэлийг шууд ашиглах боломжгүй. Европын, тэр дундаа Италийн математикчид 13-р зууны үед радикалын талаар анх бодож эхэлсэн. Үүний зэрэгцээ тэд латин R-г ашиглах санааг гаргаж ирсэн боловч Германы математикчид өөрсдийн бүтээлдээ өөрөөр хандсан. Тэдэнд V үсэг илүү таалагдсан тул Германд V(2), V(3) гэсэн тэмдэглэгээ удалгүй тархаж, 2, 3 гэх мэтийн квадрат язгуурыг илэрхийлэх зорилготой байв. Хожим нь Голландууд хөндлөнгөөс оролцож, радикал шинж тэмдгийг өөрчилсөн. Мөн Рене Декарт хувьслыг дуусгаж, квадрат язгуур тэмдгийг орчин үеийн төгс төгөлдөрт хүргэсэн.
Ухаангүй зүйлээс салах
Иррационал тэгшитгэлтэгш бус байдал нь язгуур тэмдэгээс өөр хувьсагчийг агуулж болно. Энэ нь ямар ч зэрэгтэй байж болно. Үүнээс ангижрах хамгийн түгээмэл арга бол тэгшитгэлийн хоёр талыг зохих хүчин чадалд хүргэх явдал юм. Энэ бол үндэслэлгүй үйлдэлтэй ажиллахад тусалдаг гол үйлдэл юм. Тэгш тоотой тохиолдлын үйлдлүүд нь бидний өмнө нь хэлэлцсэнээс тийм ч их ялгаатай биш юм. Энд радикал илэрхийлэлийн сөрөг бус байх нөхцлийг харгалзан үзэх шаардлагатай бөгөөд шийдлийн төгсгөлд аль хэдийн авч үзсэн жишээн дээр үзүүлсэнтэй адил хувьсагчийн гаднах утгыг шүүх шаардлагатай. .
-аас нэмэлт өөрчлөлтүүдЗөв хариултыг олоход туслахын тулд илэрхийлэлийг коньюгатаар үржүүлэх аргыг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд шинэ хувьсагчийг оруулах шаардлагатай байдаг бөгөөд энэ нь шийдлийг хялбар болгодог. Зарим тохиолдолд үл мэдэгдэх утгыг олохын тулд график ашиглах нь зүйтэй.
Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.
Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах
Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.
Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.
Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.
Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:
- Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно имэйлгэх мэт.
Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:
- Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
- Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
- Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
- Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.
Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах
Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.
Үл хамаарах зүйл:
- Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
- Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.
Хувийн мэдээллийг хамгаалах
Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.
Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх
Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.
Үндэс тэмдгийн дор хувьсагч агуулагдсан тэгшитгэлийг иррациональ гэж нэрлэдэг.
Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд нь ихэвчлэн иррационал тэгшитгэлийг солих (зарим хувиргалтыг ашиглах) боломж дээр суурилдаг. рационал тэгшитгэл, энэ нь анхны иррационал тэгшитгэлтэй тэнцэх эсвэл түүний үр дагавар юм. Ихэнх тохиолдолд тэгшитгэлийн хоёр тал ижил хүч хүртэл нэмэгддэг. Энэ нь анхны тэгшитгэлийн үр дагавар болох тэгшитгэлийг үүсгэдэг.
Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ дараахь зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.
1) хэрэв радикал экспонент нь тэгш тоо бол радикал илэрхийлэл нь сөрөг биш байх ёстой; энэ тохиолдолд язгуурын утга нь бас сөрөг биш (тэгш илтгэгчтэй язгуурын тодорхойлолт);
2) хэрэв үндсэн үзүүлэлт байвал сондгой тоо, тэгвэл радикал илэрхийлэл нь дурын байж болно бодит тоо; энэ тохиолдолд язгуурын тэмдэг нь радикал илэрхийллийн тэмдэгтэй давхцдаг.
Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд
Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоё.
x 2 - 3 = 1;
Тэгшитгэлийн зүүн талаас -3-ыг баруун тийш шилжүүлж, ижил төстэй гишүүдийн бууралтыг хийцгээе.
x 2 = 4;
Үүссэн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь 2 ба 2 гэсэн хоёр үндэстэй.
Үүнийг хийхийн тулд олж авсан үндсийг шалгая, бид x хувьсагчийн утгыг орлуулах болно анхны тэгшитгэл.
Шалгалт.
x 1 = -2 - үнэн үед:
x 2 = -2- үнэн үед.
Үүнээс үзэхэд анхны иррационал тэгшитгэл нь 2 ба 2 гэсэн хоёр үндэстэй байна.
Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд 
.
Энэ тэгшитгэлийг эхний жишээн дээрхтэй ижил аргаар шийдэж болох боловч бид үүнийг өөрөөр хийх болно.
ODZ-г олъё өгөгдсөн тэгшитгэл. Квадрат язгуурын тодорхойлолтоос харахад энэ тэгшитгэлд хоёр нөхцөл нэгэн зэрэг хангагдсан байх ёстой.
Энэ түвшний ODZ: x.
Хариулт: үндэс байхгүй.
Жишээ 3.Тэгшитгэлийг шийд 
=+ 2.
Энэ тэгшитгэл дэх ODZ-ийг олох нь нэлээд юм хэцүү даалгавар. Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоё:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x 2 =0.
Шалгасны дараа бид x 2 =0 нь нэмэлт язгуур гэдгийг тогтооно.
Хариулт: x 1 = 1.
Жишээ 4. x = тэгшитгэлийг шийд.
Үүнд ODZ-ийн жишээолоход хялбар. Энэ тэгшитгэлийн ODZ: x[-1;).
Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоод үр дүнд нь x 2 = x + 1 тэгшитгэлийг гаргая. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь:
Олдсон үндсийг шалгахад хэцүү байдаг. Гэхдээ хоёр үндэс нь ODZ-д хамаарах хэдий ч хоёр үндэс нь анхны тэгшитгэлийн үндэс гэж батлах боломжгүй юм. Үүний үр дүнд алдаа гарна. Энэ тохиолдолд иррационал тэгшитгэл нь хоёр тэгш бус байдал ба нэг тэгшитгэлийн хослолтой тэнцүү байна.
x+10 Тэгээд x0 Тэгээд x 2 = x + 1, үүнээс үүдэн гарч ирнэ сөрөг үндэсУчир нь иррационал тэгшитгэл нь гаднах бөгөөд үүнийг хаях ёстой.
Жишээ 5.+= 7 тэгшитгэлийг шийд.
Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгож бууруулъя ижил төстэй гишүүд, нөхцлүүдийг тэгш байдлын нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлж, хоёр хэсгийг 0.5-аар үржүүлсэн. Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийг олж авна
= 12, (*) нь анхны үр дагавар юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг дахин квадрат болгоё. Бид (x + 5)(20 - x) = 144 тэгшитгэлийг олж авдаг бөгөөд энэ нь анхных нь үр дагавар юм. Үүссэн тэгшитгэлийг x 2 - 15x + 44 =0 хэлбэрт оруулав.
Энэ тэгшитгэл (мөн анхных нь үр дагавар) үндэстэй байна x 1 = 4, x 2 = 11. Баталгаажуулалтаас харахад хоёр үндэс нь анхны тэгшитгэлийг хангаж байна.
Төлөөлөгч x 1 = 4, x 2 = 11.
Сэтгэгдэл. Тэгшитгэлийг квадрат болгохдоо оюутнууд ихэвчлэн (*) гэх мэт тэгшитгэл дэх радикал илэрхийллүүдийг үржүүлдэг, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл = 12-ын оронд тэд тэгшитгэлийг бичдэг. 
= 12. Тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн үр дагавар учраас алдаа гаргахгүй. Гэсэн хэдий ч дотор гэдгийг санах нь зүйтэй ерөнхий тохиолдолРадикал илэрхийлэлийг ингэж үржүүлэх нь тэгш бус тэгшитгэлийг өгдөг.
Дээр дурдсан жишээнүүдэд эхлээд радикалуудын аль нэгийг нь шилжүүлж болно баруун талтэгшитгэл Дараа нь тэгшитгэлийн зүүн талд нэг радикал үлдэх бөгөөд тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгосны дараа тэгшитгэлийн зүүн талд бид олж авна. оновчтой функц. Энэ техникийг (радикалыг тусгаарлах) иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.
Жишээ 6. Тэгшитгэлийг шийд-= 3.
Эхний радикалыг тусгаарласнаар бид тэгшитгэлийг олж авна
=+ 3, анхныхтай тэнцүү.
Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгосноор бид тэгшитгэлийг олж авна
x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, тэгшитгэлтэй тэнцэх
4x - 5 = 3(*). Энэ тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлийн үр дагавар юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгосноор бид тэгшитгэлд хүрнэ
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - 3x + 3), эсвэл
7x 2 - 13x - 2 = 0.
Энэ тэгшитгэл нь (*) тэгшитгэлийн үр дагавар (тиймээс анхны тэгшитгэл) бөгөөд үндэстэй. Эхний язгуур x 1 = 2 нь анхны тэгшитгэлийг хангаж байгаа боловч хоёр дахь x 2 = үгүй.
Хариулт: x = 2.
Хэрэв бид нэн даруй аль нэг радикалыг тусгаарлахгүйгээр анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болговол нэлээд төвөгтэй хувиргалт хийх шаардлагатай болно гэдгийг анхаарна уу.
Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ радикалуудыг тусгаарлахаас гадна бусад аргыг ашигладаг. Үл мэдэгдэхийг орлуулах аргыг (туслах хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга) ашиглах жишээг авч үзье.
Бид юу ярих вэ? Радикал тэмдгийн дор хувьсагчийн функц агуулсан тэгшитгэлийн тухай. Гэсэн хэдий ч радикал шинж тэмдгийг зэрэгтэй сольж болно бутархай үзүүлэлт. Ийм тэгшитгэлийг авч үздэг үндэслэлгүй.
Иррационал тэгшитгэлийн үндсэн шинж чанарууд
1. Тэгш зэрэгтэй аливаа үндэс нь арифметик, i.e. радикал илэрхийлэл нь үргэлж сөрөг биш бөгөөд зөвхөн сөрөг бус утгыг авдаг.
2. Аливаа үндэс сондгой зэрэградикал илэрхийллийн бүх утгуудын хувьд тодорхойлогдсон бөгөөд ямар ч утгыг авч болно.
3. √(f(x)) = g(x) тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна (цаашид √(f(x)) тэмдэглэснээр бид хаалтанд байгаа илэрхийллийн квадрат язгуурыг хэлнэ):
(f(x) = (g(x))2,
(g(x) ≥ 0.
Иррационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
1. Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил зэрэгт өсгө.
2. Хувьсах солих.
3. Хоёр хэсгийг ижил илэрхийллээр үржүүлэх арга.
4. Тэгшитгэлд орсон функцүүдийн шинж чанарын хэрэглээ.
Эдгээр аргуудаар шийдсэн тэгшитгэлийн жишээг авч үзье.
Жишээ 1.
√(3x 2 – 14x + 17) = 3 – 2x тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.
Дээрх шинж чанаруудын 3-ыг ашиглаад системийг авъя:
(3х 2 – 14х + 17 = (3 – 2х) 2,
(3 – 2x ≥ 0.
Эхний тэгшитгэлээс бид x 2 + 2x – 8 = 0 болно. Үүний үндэс нь -4 ба 2. Гэхдээ зөвхөн -4 тоо нь манай системийн тэгш бус байдлыг хангадаг.
Хариулт: -4.
Энэ тэгшитгэлийг шийдэх өөр нэг арга бий. Системийг нь бичихээ больё. Тэгш бус байдлыг мартацгаая. Бид зөвхөн тэгшитгэлээр ажилладаг. Гэхдээ тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгш зэрэглэлд хүргэх нь үр дагавар тэгшитгэлд хүргэдэг гэдгийг санацгаая. Анхны тэгшитгэлийн язгууруудтай хамт гаднах гэж нэрлэгддэг бусад язгууруудыг агуулж болно. Тиймээс үр дагавар тэгшитгэлийг шийдсэний дараа арилгах арга замыг олох хэрэгтэй гадны үндэс. Ихэвчлэн үүнийг баталгаажуулалтыг ашиглан хийж болох бөгөөд энэ тохиолдолд шийдлийн үе шатуудын нэг гэж тооцогддог.
Мэдээжийн хэрэг, бид дагалдах тэгшитгэлийн язгуурыг олж авах болно: -4 ба 2. Анхны тэгшитгэлд √(3x 2 – 14x + 17) = 3 – 2x-ийг орлуулах замаар шалгана.
Хэрэв x = -4 бол бид √121 = 11 болно, энэ нь зөв. x = 2-ын хувьд бид √1 = -1-ийг авах бөгөөд энэ нь үнэн биш бөгөөд язгуур 2 хасагдана.
Хариулт: x = -4.
Жишээ 2.
3 √(4x + 3) – 3 √(x + 2) = 1 тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл.
Тэгшитгэлийн хоёр талыг гуравдахь зэрэглэлд шилжүүлье
(3 √(4x + 3) – 3 √(x + 2))3 = 13.
Бид (4x + 3) – (x + 2) – 3(3 √(4x + 3) 3 √(x + 2))(3 √(4x + 3) – 3 √(x + 2)) = 1-ийг авна.
Эсвэл (4x + 3) – (x + 2) – 3 3 √((4x + 3)(x + 2))(3 √(4x + 3) – 3 √(x + 2)) = 1.
Анхны нөхцөлийг харгалзан тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна
(4x + 3) – (x + 2) – 3 3 √((4x + 3)(x + 2)) = 1. Энгийн хувиргалтыг хийсний дараа бид дараахийг авна.
3x – 3 3 √((4x + 3)(x + 2)) = 0,
x = 3 √((4x + 3)(x + 2)).
Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд дахин шоо болгох шаардлагатай.
Үүнийг дуусгасны дараа бид авах болно
x 3 = 4x 2 + 11x + 6,
x 3 – 4x 2 – 11x – 6 = 0.
Бид сонгох аргыг ашиглан олох болно тэгшитгэлийн нэг үндэс. Энэ тоо -1 байна.
x 3 – 4x 2 – 11x – 6 олон гишүүнтийг х + 1-д булангаар хуваавал x 2 – 5x – 6 гурвалсан гишүүнийг авна.
Тэгшитгэлийн үндэс x 2 – 5x – 6 = 0 – тоо: -1; 6.
Тиймээс, x 3 – 4x 2 – 11x – 6 = 0 тэгшитгэлийн үндэс нь -1 тоонууд байх болно; 6.
Тоонуудыг орлуулах -1; 6-г анхны тэгшитгэлд оруулснаар бид үүнийг баталгаажуулна Тэгшитгэлийн үндэс нь 6 тоо юм.
Хариулт: 6.
Жишээ 3.
x 2 – x√(4x + 5) = 8x + 10 тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.
8x + 10 = 2(√(4x + 5)) 2 гэдгийг анхаарна уу. Шалгаснаар бид x = 0 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш гэдэгт итгэлтэй байна. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг х 2-т хуваахад бид түүний эквивалентийг авна гэсэн үг юм.
1 – √(4x + 5)/x = 2(√(4x + 5)/x) 2
√(4x + 5)/x = t-ийг орлуулан 1-р квадрат тэгшитгэлийг шийдье. – t = 2t 2.
Бид t 1 = -1 ба t 2 = 1/2 болно. Анхдагч х хувьсагч руу буцаж очоод 2 тэгшитгэл гаргая
1) √(4x + 5)/x = -1,
2) √(4x + 5)/x = 1/2
Эхний тэгшитгэлээс x = -1. (х = 5-ыг шалгасны дараа хаях шаардлагатай).
Хоёр дахь нь -x = 8 ± 2√21. Гадны үндсийг шүүж авахын тулд орлуулахаас илүүтэй нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийх нь илүү хялбар байдаг. Эцсийн эцэст, тэгшитгэлийг √(4x + 5) = 0.5x хэлбэрт амархан хувиргаж болох бөгөөд энэ нь системтэй тэнцэх болно.
(4х + 5 = 0.25х 2,
(0.5x ≥ 0.
Одоо x = 8 + 2√21 тохирох нь тодорхой байна. Тэгээд ерөнхий
хариулт: x = -1 ба x = 8 + 2√21.
Жишээ 4.
√(8x + 1) + √(3x – 5) = √(7x + 4) + √(2x – 2) тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.
a ≥ 0-ийн хувьд үнэн болох √а + √b = (a – b) / (√а – √b) томъёог ашиглая; b ≥ 0; a ≠ b.
ODZ (x ≥ 1 2/3) -ийг харгалзан энэ томьёог тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд байгаа илэрхийлэлд хэрэглэж болно.
Мөн бид дараахийг авна: (5x + 6) / (√(8x + 1) – √(3x – 5)) = (5x + 6) / (√(7x + 4) – √(2x – 2))
эсвэл (5x + 6)((√(8x + 1) – √(3x – 5)) – (√(7x + 4) – √(2x – 2)) = 0
Энэ нь 2 тэгшитгэлийн багцтай тэнцүү байна:
1) (5х + 6) = 0 ба
2) √(8х + 1) – √(3х – 5) = √(7х + 4) – √(2х – 2)
Эхнийхээс бид x = -1.2-ыг авна. Гэхдээ энэ утгыг DZ-д оруулаагүй болно.
Хоёр дахь тэгшитгэлийг анхныхтай харьцуулж үзье. Эдгээр тэгшитгэлийг нэмэхэд бид дараахь зүйлийг авна.
2√(8x + 1) = 2√(7x + 4).
x = 3.
Хариулт: 3.
Иррационал тэгшитгэлийг шийдэх бүх аргыг нэг өгүүллээр тайлбарлах боломжгүй юм. Ийм эх сурвалж байх нь юу л бол бүрэн агуулга. Тийм ээ, чамд хэрэггүй. Улсын нэгдсэн шалгалтанд амжилттай бэлдэхийн тулдЕр нь аливаа мэргэжилтний сургалтын нэгэн адил онол, арга барилыг цээжилж, ижил төстэй тохиолдлуудад хуулбарлах биш, харин хамгийн чухал нь тэдгээрийг эзэмшиж, хэрэгжүүлэх нь чухал юм. танил бус нөхцөл байдал. Өөрөөр хэлбэл, тодорхой үндсэн мэдлэгийг бүтээлчээр ашиглахын тулд суралцах ёстой. Дараа нь та өөрөө шинэ аргуудыг зохион бүтээх, өөрөөр хэлбэл нээлт хийх боломжтой болно.
Танд амжилт хүсье. Мөн олдсон зүйлээ найзуудтайгаа хуваалцаарай. Үүнийг мөн блогын нийтлэлийн сэтгэгдлээр дамжуулан хийж болно.
Асуулт хэвээр байна уу? Иррационал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!
вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.
