Борисов дүүргийн Гүйцэтгэх хорооны Боловсрол, спорт, аялал жуулчлалын хэлтэс

Төрийн байгууллагаболовсрол

« Ахлах сургууль№16 Борисов"

Паскалийн гурвалжин

7 "А" ангийн сурагч

Абоян Елизавета Александровна,

гэрийн хаяг: Борисов,

Смолевичская гудамж, 8, 76-51-80

Удирдагч:

Ищук Ольга Эдуардовна, математикийн багш

Борисов, 2016 он

Агуулгын хүснэгт

Танилцуулга

Үүнд хичээлийн жилбид сурч эхэлсэн шинэ зүйл"геометр".

Геометрийн хичээлийн нэг бүлгийг "Гурвалжин" гэж нэрлэдэг. Би маш их сонирхож байсан энэ сэдэв. Би гурвалжин, тэдгээрийн гарал үүсэл, бидний амьдралын утга учрын талаар олон шинэ зүйлийг сурахыг үргэлж хүсдэг байсан. Эцсийн эцэст гурвалжингийн ертөнц маш нууцлаг, сонирхолтой байдаг.

Гурвалжин бол эртний гоёл чимэглэлээс олдсон анхны геометрийн дүрс юм. Уран зохиолыг судалж байхдаа би Египетэд энэ нь сүнслэг хүсэл зориг, хайр, зөн совин, зөн совингийн гурвалсан шинж чанарыг бэлэгддэг болохыг олж мэдсэн өндөр оюун ухаанхүн, өөрөөр хэлбэл түүний зан чанар эсвэл сүнс.

Ацтекүүд орой нь урвуу гурвалжинтай холбосон гурвалжны дүрсийг цагийн мөчлөгийн бэлгэдэл болгон ашигласан. Загалмайтай хослуулсан гурвалжин нь хүхрийн химийн шинж тэмдгийг үүсгэдэг.

Тэгш талт гурвалжин, Еврей уламжлалын дагуу төгс төгөлдөр байдлыг бэлгэддэг Христэд итгэгчдийн дунд энэ нь Гурвал - Эцэг, Хүү, Ариун Сүнс гэсэн утгатай.

Гурвалжны олон төрөл байдаг ч миний хамгийн их сонирхсон нь Паскалийн гурвалжин байлаа.

Судалгааны асуудал:

Миний судалгааны тулгамдсан асуудал бол би гурвалжинг практик амьдралд хэр өргөн хэрэглэгддэг болохыг олж тогтоохыг хичээсэн явдал юм.

Судалгааны практик ач холбогдол:

Энэ судалгааны ажилболгон ашиглаж болно нэмэлт материалгеометрийн хичээлийн хувьд, зориулалтын хичээлээс гадуурх үйл ажиллагааматематикт.

Судалгааны зорилго:

Паскалийн гурвалжин болон түүний гурвалжны нэг төрөл болох хэрэглээтэй танилцах;

Таамаглал:

Паскалийн гурвалжны тоонууд байвал онцгой шинж чанарууд, дараа нь шийдлийн хувьд өвөрмөц гэж үзэж болно янз бүрийн даалгавар

Даалгаварууд:

Паскалийн гурвалжны тоонуудын шинж чанаруудын хэрэглээг тодорхойлох;

"Паскалын гурвалжин" сэдвээр уран зохиол судлах;

Паскалийн гурвалжинг бүрдүүлдэг тоонуудын шинж чанарыг тодорхойлох;

Судалгааны дүгнэлт, үр дүнг томъёолох;

Судалгааны объект: гурвалжин нь геометрийн дүрс юм

Судалгааны сэдэв: Паскалийн гурвалжны шинж чанарууд

Судалгааны аргууд:

Лавлагаа, шинжлэх ухаан, боловсролын болон тусгай ном зохиол бүхий аналитик, статистикийн ажил;

Интернет эх сурвалжаас мэдээлэл хайж байна.

Ажлын чиглэлүүд:

Асуудал, уран зохиолын эх сурвалжийг сонгох, төлөвлөгөө гаргах;

Уран зохиол болон бусад эх сурвалжтай ажиллах;

Хүлээн авсан өгөгдлийг боловсруулах;

Үр дүнд дүн шинжилгээ хийх, дүгнэлт гаргах;

Мультимедиа сургалт.

Судалгааны үндсэн үе шатууд: бэлтгэл; идэвхтэй;

Судалгааны явц: тусгал; аналитик; танилцуулга.

Онолын хэсэгажил

Паскалийн гурвалжны танилцуулга

Паскалийн гурвалжинтай анх танилцсан үе маань алгебрийн хичээл дээр “Биномыг хүчин чадалд хүргэх нь” сэдвийг судалж байхдаа тохиосон.Би нийлбэрийн квадрат ба зөрүүний квадрат, нийлбэрийн шоо, зөрүүний шоо гэсэн томъёог аль хэдийн мэддэг болсон. Хоёр гишүүнийг дөрөв, тав гэх мэтээр өсгөх томъёог авч болохыг би анзаарсан. Нэр томъёо бүрийн коэффициент, зэрэгт тодорхой хэв маягийг харгалзан үзэх боломжтой.

Бүх шугамын коэффициентийг гурвалжин хэлбэрээр байрлуулж болно.

Тиймээс би Паскалийн гурвалжинтай танилцаж, арифметик гурвалжинг үргэлжлүүлэн судлахаар шийдсэн.

Блез Паскаль - Францын математикч

Б Лес Паскаль (1623 оны 6-р сарын 19, Клермон-Ферран, - 1662 оны 8-р сарын 19, Парис) - Францын математикч, физикч, зохиолч, философич.

Паскаль бол нэгдүгээр зэрэглэлийн математикч байсан. Тэрээр хоёр том шинэ чиглэлийг бий болгоход тусалсан математикийн судалгаа. Арван зургаан настайдаа тэрээр проекцийн геометрийн сэдвээр гайхалтай зохиол бичиж, 1654 онд Пьер де Ферматтай магадлалын онолын талаар захидал бичсэн нь орчин үеийн эдийн засгийн хөгжилд үндсэн нөлөө үзүүлсэн.

Паскалийн гурвалжин нь гурвалжны нэг төрөл

Гурвалжны төрлүүдийг судалж байхдаа Паскалийн гурвалжин нь хоёр гишүүний коэффициентээр үүсгэгдсэн арифметик гурвалжин болохыг олж мэдсэн. Блэйз Паскалийн нэрээр нэрлэгдсэн. Үнэн хэрэгтээ Паскалийн гурвалжин нь 1653 оноос өмнө, Трицатин хэвлэгдсэн огнооноос өмнө мэдэгдэж байсан. арифметик гурвалжин". Тэгэхээр, энэ гурвалжин дээр хуулбарласан байна гарчиг хуудасонд бичсэн арифметик сурах бичиг XVI эхэн үеПитер Апиан, Инголтштадтын их сургуулийн одон орон судлаач. 1303 онд хэвлэгдсэн Хятадын математикчийн номонд гурвалжинг дүрсэлсэн байдаг. Философич, яруу найрагч төдийгүй математикч байсан Омар Хайям 1100 оны үед гурвалжин байдгийг мэддэг байсан бөгөөд үүнийг Хятад эсвэл Энэтхэгийн эртний эх сурвалжаас зээлж авсан байдаг.

Би бас Мартин Гарднерийн “Математикийн романууд” (М., Мир, 1974) номноос “Паскалийн гурвалжин бол арван настай хүүхэд ч гэсэн үүнийг бичиж чадахуйц энгийн бөгөөд энэ нь шавхагдашгүй зүйлийг нуун дарагдуулдаг эрдэнэс бөгөөд хоорондоо холбогддог янз бүрийн талуудЭхлээд харахад бие биентэйгээ ижил төстэй зүйлгүй математикчид. Ийм ер бусын шинж чанарууд нь Паскалийн гурвалжинг бүх математикийн хамгийн гоёмсог диаграммуудын нэг болгодог."

Би Хюго Штайнхаусын сонгодог бүтээлдээ санал болгосон гурвалжин байгуулах схемийг харлаа. Математик калейдоскоп": та цэнхэр сумтай диаграммд үзүүлсэн шиг хот руу орж, зөвхөн урагшлах, эс тэгвээс байнга сонгох, зүүн тийш эсвэл баруун тийш урагшлах боломжтой гэж бодъё. Зөвхөн нэг аргаар хүрч болох цэгүүдийг ногоон эмотиконоор, хоёр аргаар хүрч болох цэгийг улаан эмотиконоор, гурвыг нь ягаан өнгийн эмотиконоор тэмдэглэнэ. Энэ бол гурвалжин барих сонголтуудын нэг юм.

(Зураг 1)

Сурч байна тусгай уран зохиол, Би үгээр Паскалийн гурвалжны бүтцийг илүү энгийнээр тайлбарлаж байгааг мэдсэн: тоо бүр нь дээрх хоёр тооны нийлбэртэй тэнцүү байна .

Бүх зүйл энгийн, гэхдээ үүнд маш олон гайхамшиг нуугдаж байдаг. Хэрэв та Паскалийн гурвалжинг тоймловол тэгш өнцөгт гурвалжинг авна. Энэ гурвалжинд дээд ба хажуу талдаа нэг гурвалжин бий. Тоо бүр нь дээрх хоёр тооны нийлбэртэй тэнцүү байна. Гурвалжинг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Энэ нь тэгш хэмтэй байна босоо тэнхлэг, түүний оройгоор дамжин өнгөрдөг. Диагональуудын дагуу (гурвалжин диагональтай байж болно, гэхдээ эндүүрч болохгүй, ийм нэр томъёог хэвлэлээс олж болно), хажуу талуудтай зэрэгцээгурвалжин (зураг дээр ногоон шугамаар тэмдэглэгдсэн) гурвалжин тоонууд ба тэдгээрийн бүх хэмжээсийн орон зайн хувьд ерөнхий дүгнэлтийг бүтээв. Хамгийн түгээмэл бөгөөд танил хэлбэрийн гурвалжин тоонууд нь гурвалжин хэлбэрээр хичнээн хүрэлцэх тойргийг байрлуулж болохыг харуулдаг. сонгодог жишээбильярд дахь бөмбөгний анхны зохион байгуулалт. Та нэг зоос дээр хоёрыг нэмж, нийт гурваас хоёрыг нэмж, гурваас хоёрыг нэмж болно - нийт зургаа.

Бид зураг дээрх гурвалжин тоонуудыг авсан: 3; 6; 10; 15.

Гурвалжингийн хэлбэрийг хадгалахын зэрэгцээ эгнээ нэмэгдүүлэхийг үргэлжлүүлснээр бид 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66... гэсэн мөрүүдийг авдаг бөгөөд энэ нь хоёр дахь нь харагдаж байна. ногоон шугам. Энэхүү гайхалтай цуврал, гишүүн бүр нийлбэртэй тэнцүү байнабайгалийн цуврал тоонууд (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) нь математик сонирхогчдын сайн мэдэх олон танилуудтай: 6 ба 28 бол төгс тоо, 36 - квадрат тоо, 8 ба 21 нь Фибоначчийн тоо юм.

Дараагийн ногоон шугам нь тетраэдр тоонуудыг харуулах болно - бид нэг бөмбөгийг гурав дээр тавьж болно - нийт дөрөв, гурваас доош зургаа тавьж болно - нийт арав гэх мэт.

Эхнээс нь бидний сонирхож буй газар хүртэлх дурын диагональ дээрх тоонуудын нийлбэрийг олохын тулд сүүлийн гишүүний доор ба зүүн талд байрлах тоог хараарай (зүүн талд баруун диагональ, баруун талд зүүн талд) диагональ, ерөнхийдөө - гурвалжны дунд ойрхон). Жишээлбэл, бид 1-ээс 9 хүртэлх тооны натурал цувралын нийлбэрийг тооцоолохыг хүсч байна. 9-ийн тоо руу "буурах" үед бид түүний зүүн доод талд 45 тоог харах болно шаардлагатай нийлбэр. Эхний найман гурвалжин тооны нийлбэр хэд вэ? Бид хоёр дахь диагональ дээр найм дахь тоог олж, доошоо зүүн тийшээ хөдөлнө. Хариулт: 120.

(Зураг 2)

Паскалийн гурвалжин нь магадлалын онолын хэрэглээтэй бөгөөд гайхалтай шинж чанартай байдаг.

Паскалийн гурвалжны шинж чанарууд ба тэдгээрийг бодлого шийдвэрлэхэд ашиглах

Паскаль өөрийн "гурвалжин"-ын шинж чанар, хэрэглээг нарийвчлан судалсан. Би жишээ болгон Pascal өөрөө олсон "гурвалжин" -ын зөвхөн 3 шинж чанарыг өгөх болно; Энэ тохиолдолд би Паскалийн заасан хавтгай дээрх "гурвалжин" -ын байршлаас эхэлж, хэвтээ ба босоо эгнээний талаар ярих болно.

1-р шинж чанар: Хүснэгт дэх А тоо бүр нь өмнөх хэвтээ эгнээний тоонуудын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд хамгийн зүүнээс эхлэн А тооноос шууд дээгүүрх хүртэл байна (үүнд А хүртэл нийлбэр бүхий нэр томъёо агуулсан нүднүүд байна) сүүдэрлэсэн).(Зураг 4)

(Зураг 4)(Зураг 5)(Зураг 6)

2-р шинж чанар: Хүснэгт дэх А тоо бүр өмнөх тоонуудын нийлбэртэй тэнцүү байна босоо эгнээ, дээд цэгээс эхлээд зүүн тийш А тоо хүртэл.(Зураг 5)

Үл хөдлөх хөрөнгө 3:Хүснэгт дэх тоо бүрийг нэгээр багасгасан нь огтлолцол дээр нь А тоо байгаа босоо болон хэвтээ мөрүүдээр хүрээлэгдсэн тэгш өнцөгтийг дүүргэх бүх тоонуудын нийлбэртэй тэнцүү байна (эдгээр мөрүүд өөрсдөө тэгш өнцөгт дотор ороогүй болно). асуулт).(Зураг 6)

Паскалийн гурвалжин ба магадлалын онол.

Блэйз Паскаль болон бусад агуу франц хүн, Пьер Ферма Паскаль, Ферма нар бие даан өгсөн үед магадлалын онолыг үндэслэгч болсон. зөв тайлбархувь хэмжээг хуваах парадокс гэж нэрлэгддэг. Хоёр тоглогч "хор хөнөөлгүй" тоглоом тоглодог (өөрөөр хэлбэл хоёуланд нь хожих боломж нь адилхан), зургаан тоглолтонд түрүүлж хожсон нь шагналыг бүхэлд нь авахаар тохиролцов. Тэдний нэг нь шагнал авахаас өмнө тоглоом зогссон гэж бодъё (жишээлбэл, эхний тоглогч таван хожил, хоёр дахь тоглогч гурав хожсон). Шагналаа хэрхэн шударгаар хуваах вэ? Тиймээс нэг шийдвэрийн дагуу шагналыг 5: 3 харьцаагаар хуваах ёстой байсан, өөрөөр хэлбэл. хожсон тоглолтын харьцаагаар, өөр нэгээр - 2: 1 харьцаагаар (энд үндэслэл нь дараах байдлаар хийгдсэн бололтой: эхний тоглогч хожих шаардлагатай зургаан тоглолтын гуравны нэг болох хоёр тоглолтонд хожсон тул тэр Шагналын гуравны нэгийг авах ёстой бөгөөд үлдсэнийг нь хагасаар хуваах ёстой).

Үүний зэрэгцээ та 7: 1 харьцаагаар хуваах хэрэгтэй. Паскаль, Фермат хоёр бооцооны хуваагдлын парадоксыг магадлалын асуудал гэж үзэж, шударга хуваах нь эхний тоглогчийн шагнал авах боломжтой пропорциональ гэдгийг тогтоосон. Эхний тоглогч ялахад ганцхан тоглолт үлдсэн, хоёр дахь нь хожихын тулд дахиад гурван тоглолт хожих шаардлагатай ба тоглогчид тоглолтоо үргэлжлүүлж, зарим нь ялагчийг тодруулах шаардлагагүй болсон ч гэсэн гурван тоглолтыг бүгдийг нь тоглоно гэж бодъё. . Ийм үргэлжлэлд зориулж бүгд 2 3 = 8 боломжит үр дүн ижил магадлалтай байна. Хоёр дахь тоглогч зөвхөн нэг үр дүнд (хэрэв тэр гурван тоглолтыг хожсон бол), бусад тохиолдолд эхний тоглогч хожсон тул 7: 1 харьцаатай байна.

Шинжлэх ухаан, практикт олон янзын хослолыг бий болгох шаардлагатай тулгардаг асуудлууд байдаг хязгаарлагдмал тооэлементүүд болон хослолын тоог тоол. Ийм бодлогуудыг комбинатор бодлого гэж нэрлэдэг..

Ингээд авч үзье үндсэн томъёокомбинаторик:

Энэ нь ямар ч дараалсан дэд хэсэг юммолонлогийн элементүүдээсn.

Паскалийн гурвалжиндхэдэн аргыг сонгох боломжтойг харуулсан тоокагуулсан олонлогийн элементүүдn янз бүрийн элементүүд, уулзвар дээр зогсож байнак-р диагональ баn--р мөр. Хослолыг тооцоолохын тулд , nБи дээд талаас долоо дахь диагональ руу очоод гурван тоог хэвтээ байдлаар тоолно. Би 35 гэсэн тоог авдаг.

Та мөн Паскалийн гурвалжинг ашиглан байршлыг тооцоолох боломжтой.

.Хэрэв бид тоолох шаардлагатай бол, дараа нь үүнийг мэдэж байгаа , ба 3!=6, бид энэ байршлын утгыг авна 210.

Паскалийн гурвалжны шинж чанарууд нь Паскалийн гурвалжин бол бүх математикийн хамгийн гоёмсог схемүүдийн нэг гэсэн Мартин Гарднерийн үгийг баталж байна гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн.

Судалгааны хамаарал нь зөвхөн алгебрийн төдийгүй геометрийн гүнзгий мэдлэг шаарддаг CT даалгавруудын жил бүр хүндрэлтэй байдагтай холбоотой юм.

Практик хэсэгажил

Түүний дотор практик ажилБи "Паскалын гурвалжин" сэдвээр хэд хэдэн бодлого сонгосон.

Бодлого 1. Филатели дэлгүүрт спортын сэдэвт зориулсан 8 өөр марк худалдаалж байна. Тэдгээрээс 3 багцыг хэдэн янзаар сонгож болох вэ?

Шийдэл:

Паскалийн гурвалжинд k-р диагональ ба n-р эгнээний огтлолцол дээр n өөр элемент агуулсан олонлогоос k элементийг хэдэн аргаар сонгох боломжтойг харуулсан тоо байна.

Би найм дахь диагональыг дээрээс нь олж, гурван тоог хэвтээ байдлаар тоолно. Би 56 дугаарыг авдаг.(Зураг 8)

Даалгавар 2. Эмнэлгийн зургаан эмчээс хоёрыг нь ахисан түвшний сургалтад явуулах шаардлагатай. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?

Шийдэл:

Би зургаа дахь диагональыг дээрээс нь олж, хоёр тоог хэвтээ байдлаар тоолно. Би 15 дугаарыг авдаг.

(P(Зураг 9)

Даалгавар 3. Багцанд ижил хэмжээтэй 7 доторлогоотой, 5 дөрвөлжин дэвтэр багтсан болно. Багцаас санамсаргүй байдлаар 3 дэвтэр аваарай. Гурван дэвтэр бүгд дөрвөлжин хэлбэртэй болох магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Эхлээд олъё нийт тооболомжит үр дүн, жишээлбэл. 12 дэвтэрээс 3 дэвтрийг хэдэн аргаар сонгох вэ?

Даалгавар 4. Хавтгай дээр 10 шулуун байх ба тэдгээрийн дунд параллель шугам байдаггүй бөгөөд огтлолцсон цэг бүрээр нь яг хоёр шулуун өнгөрдөг. Тэд хэдэн уулзвартай вэ?

Шийдэл: Хариулт нь -45 онооны уулзвар дээр байна!

Даалгавар 5.Цүнхэнд 1-ээс 10 хүртэл дугаарласан 10 бөмбөг байна. 2 бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар сугалав. Эдгээр нь 7 ба 3 дугаартай бөмбөг байх магадлал хэд вэ?

Та боломжтой 10 бөмбөгөөс 2 бөмбөгийг 45 аргаар устгаж болно. Манай үйл явдлын магадлал 45-аас 2 байна.(Зураг 11)

Практик судалгааны явцад би ирсэн дараах дүгнэлт: магадлалын онолын комбинаторын бодлого, бодлогуудыг шийдвэрлэхдээ та зөвхөн комбинаторикийн томьёог ашиглахаас гадна Паскалийн гурвалжны шинж чанарыг ашиглаж болно.

Дүгнэлт

Сонгосон сэдвийн ажлыг судалгааны төлөвлөгөөний дагуу гүйцэтгэсэн, тухайлбал: судалгааны объект, сэдэв, зорилго, зорилтыг тодорхойлж, хүлээгдэж буй үр дүнг тодорхойлсон. Хэрэглэсэн судалгааны аргуудыг зааж, асуудлыг тодорхойлсон.

Энэ ажилд үүнийг өгсөн ерөнхий шинж чанаргурвалжин шиг геометрийн дүрс, Паскалийн гурвалжин ба түүний шинж чанаруудыг нарийвчлан судалсан.

Би бүх математикийн хамгийн алдартай, гоёмсог тоон схемүүдийн нэг бол Паскалийн гурвалжин юм гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Паскалийн гурвалжин бол миний төсөөлж байснаас хамаагүй өргөн ойлголт юм. Түүнд зөвхөн байхгүй гайхалтай шинж чанарууд, гэхдээ дундад зууны үеийн архитектурт пропорциональ схемийг барьж, маркшейдер, архитекторууд зөв өнцгийг барихад ашиглаж байжээ. Паскалийн гурвалжинг ашиглан магадлалын онол, комбинаторикийн асуудлыг шийдэж чадна.ХАМТ комбинаторын асуудлууд 6-р ангидаа математикийн хичээл дээр, олимпиадын бодлого бодохдоо танилцсан

Энэ ажлын практик ач холбогдол нь дараах байдалтай байна: Би маш их уран зохиол судалсан энэ асуудал, Математикийн чиглэлээр нэмэлт мэдлэг олж авснаар энэ шинжлэх ухааны сонирхлыг бэхжүүлсэн.

Паскалийн гурвалжинг ашигладаг болохыг би мэдсэн:

Алгебрийг мэддэг

Комбинаторын асуудлыг шийдвэрлэх үед

Физикийн чиглэлээр янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх

Ирсэнтэй хамт компьютеруудПаскалийн гурвалжинг бүтээх нь програмчлалын үндсийг сурахад анхлан суралцагчдын хамгийн дуртай асуудал болсон.

Энэ сэдвээр хийсэн ажил сонирхолтой, хэрэгцээтэй болсон.

Ашигласан эх сурвалж, уран зохиолын жагсаалт

1. Abachiev S.K., Rainbow fractality of Pascal’s triangle / С.К.Абачиев, - Минск, 1999.-168х.

2. Галкин Е.В. Стандарт бус даалгаварматематикт. Логик даалгавар. 5-11-р ангийн сурагчдад зориулсан ном, Москва, "Гэгээрэл", 1996 он. – 194 х.

3. Мартин Гарднер. Бүлэг 17. Паскалийн гурвалжны шавхагдашгүй увдис / Математикийн романууд. - Минск: Мир, 1974.- 456 х.

4. Паскалийн гурвалжин. В.А. Успенский. - 2-р хэвлэл. – Москва: Наука, 1979. – 48 х.

5. Фукс Д., Фукс М., Арифметик бином коэффициент / Квант. - 1970. - No 6. - С.17-25.

6. Хүүхдэд зориулсан нэвтэрхий толь бичиг. Т 11. Математик / Ч. ed. М.Аксенова; арга. болон хариулах. ed. В.Володин. – М.: Аванта+, 2004. - 688 он.

8. http:// давайкнам. ru/ текст/ volshebnij- treugolenik.

Хоёр гишүүний коэффициентүүд нь (1 + x)n-ийн х-ийн зэрэглэлээр тэлэх коэффициентүүд (Ньютоны бином гэж нэрлэгддэг): Өөрөөр хэлбэл, (1 + x)n нь бином коэффициентийг үүсгэгч функц юм. Утга бином коэффициентбүх бүхэл тоонд тодорхойлогдсон... ... Википедиа

Wiktionary-д "гурвалжин" гурвалжин гэсэн үг бий өргөн утгаарааобъект гурвалжин хэлбэртэй, эсвэл гурвалсан объект, хос холболтууд ... Википедиа

Хоёр тоон коэффициент болох тоонуудын хүснэгт. Хажуу талд нь энэ хүснэгтэд тэгш өнцөгт гурвалжиннэг бөгөөд үлдсэн тоо тус бүр нь зүүн ба баруун талд байгаа хоёр тооны нийлбэртэй тэнцүү байна: n+1 дугаартай мөрөнд... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Польшийн математикч Сиерпинскийн санал болгосон Канторын олонлогийн хоёр хэмжээст аналогуудын нэг болох Сиерпинскийн гурвалжин фрактал ... Wikipedia

Reuleaux гурвалжны бүтээц Reuleaux гурвалжин [* 1] нь ... Wikipedia хэлбэрээр илэрхийлэгддэг.

Гурвалжин тооны хүснэгтбином коэффициентийг эмхэтгэхийн тулд (Ньютоны биномийг үзнэ үү). P. t. B. Pascal санал болгосон (Паскалыг үзнэ үү). Арифметик гурвалжинг үзнэ үү...

Паскалийн гурвалжин, бином коэффициентийг байгуулах гурвалжин тооны хүснэгт (Ньютоны биномийг үзнэ үү). A. t-ийн талууд дээр дээд хоёр тооны нийлбэр дотор нэгжүүд байдаг. А.Т-ийн хоёр гишүүний (n + 1)-р эгнээнд ... ... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Паскалийн гурвалжинтай адилхан... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Математикийн хувьд бином коэффициент нь Ньютоны биномийг х-ийн зэрэглэлээр тэлэх коэффициент юм. Коэффициентийг тэмдэглэсэн эсвэл “n-ээс k хүртэлх хоёр гишүүний коэффициент” (эсвэл “ze-с n хүртэл”) гэж уншина: ... Википедиа

(1 + x)n-ийн х-ийн зэрэглэлээр тэлэх коэффициентүүд (Ньютоны бином гэж нэрлэгддэг): Өөрөөр хэлбэл (1 + x)n нь бином коэффициентийг үүсгэгч функц юм. Хоёр гишүүний коэффициентийн утгыг бүх n ба k бүхэл тоонд тодорхойлно. Ил тод томьёо ... Википедиа

Номууд

Паскалийн гурвалжин. 102-р ном, В.А. Успенский. Энэхүү лекц нь хэд хэдэн тооцооллын асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэгтэй нэг чухал тоон хүснэгтийг (Паскалийн гурвалжин гэж нэрлэдэг) авч үздэг. Энэ мэт асуудлыг шийдэхийн зэрэгцээ...
Паскалийн гурвалжин. Ном № 102, Успенский В.А.. Энэхүү лекц нь хэд хэдэн тооцооллын асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэгтэй нэг чухал тоон хүснэгтийг (Паскалийн гурвалжин гэж нэрлэдэг) авч үздэг. Энэ мэт асуудлыг шийдэхийн зэрэгцээ...

Хоёр гишүүний коэффициентүүд нь (1 + x)n-ийн х-ийн зэрэглэлээр тэлэх коэффициентүүд (Ньютоны бином гэж нэрлэгддэг): Өөрөөр хэлбэл, (1 + x)n нь бином коэффициентийг үүсгэгч функц юм. Хоёр гишүүний коэффициентийн утгыг бүх бүхэл тоогоор тодорхойлно... ... Википедиа

Гурвалжин (утга)- Wiktionary-д “гурвалжин” гэсэн өгүүлэл бий. Гурвалжин гэдэг нь өргөн утгаараа гурвалжин хэлбэртэй биет буюу хос хосоороо холбогдсон гурвалсан биет юм... Wikipedia

ПАСКАЛИЙН ГУРВАЛЖИН- бином коэффициент болох тоонуудын хүснэгт. Энэ хүснэгтэд адил тэгш өнцөгт гурвалжны талуудад нэг тоонууд байгаа бөгөөд үлдсэн тоо тус бүр нь түүний дээрх зүүн ба баруун талын хоёр тооны нийлбэртэй тэнцүү байна: n+1 дугаартай мөрөнд... .. . Математик нэвтэрхий толь бичиг

Сиерпинскийн гурвалжин- Польшийн математикч Сиерпинскигийн санал болгосон Канторын олонлогийн хоёр хэмжээст аналогуудын нэг болох Сиерпинскийн гурвалжин фрактал ... Википедиа

Reuleaux гурвалжин- Reuleaux гурвалжны бүтээц Reuleaux гурвалжин [* 1] нь ... Wikipedia хэлбэрээр илэрхийлэгддэг.

Паскалийн гурвалжин- бином коэффициентийг бүрдүүлэх гурвалжин тоон хүснэгт (Ньютоны биномийг үзнэ үү). P. t. B. Pascal санал болгосон (Паскалыг үзнэ үү). Арифметик гурвалжинг үзнэ үү...

Арифметик гурвалжин- Паскалийн гурвалжин, бином коэффициентийг бүрдүүлэх гурвалжин тоон хүснэгт (Ньютоны биномийг үзнэ үү). A. t-ийн талууд дээр дээд хоёр тооны нийлбэр дотор нэгжүүд байдаг. А.Т-ийн хоёр гишүүний (n + 1)-р эгнээнд ... ... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Арифметик гурвалжин- Паскалийн гурвалжинтай адилхан ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Бином коэффициент- Математикийн хувьд Ньютоны биномийг х-ийн зэрэглэлээр тэлэх коэффициентийг бином коэффициент гэнэ. Коэффициентийг тэмдэглэсэн эсвэл “n-ээс k хүртэлх хоёр гишүүний коэффициент” (эсвэл “ze-с n хүртэл”) гэж уншина: ... Википедиа

Бином коэффициентүүд- (1 + x)n-ийн тэлэлтийн коэффициентууд х-ийн зэрэглэлд (Ньютоны бином гэж нэрлэгддэг): Өөрөөр хэлбэл (1 + x)n нь хоёр гишүүний коэффициентийг үүсгэгч функц юм. Хоёр гишүүний коэффициентийн утгыг бүх n ба k бүхэл тоонд тодорхойлно. Ил тод томьёо ... Википедиа

Номууд

Паскалийн гурвалжин. 102-р ном, В.А. Успенский. Энэхүү лекц нь хэд хэдэн тооцооллын асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэгтэй нэг чухал тоон хүснэгтийг (Паскалийн гурвалжин гэж нэрлэдэг) авч үздэг. Ийм асуудлыг шийдэхийн зэрэгцээ... 211 UAH-аар худалдаж аваарай (зөвхөн Украин)
Паскалийн гурвалжин. Ном № 102, Успенский В.А.. Энэхүү лекц нь хэд хэдэн тооцооллын асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэгтэй нэг чухал тоон хүснэгтийг (Паскалийн гурвалжин гэж нэрлэдэг) авч үздэг. Энэ мэт асуудлыг шийдэхийн зэрэгцээ...

Хүн бүр залуу насандаа Паскалийн гурвалжны талаар мэддэг. Гэхдээ гурвалжинд агуулагдах бүх гайхамшгийг хүлээн зөвшөөрдөггүй бололтой. Үнэндээ бид шинэ зүйлийг олж илрүүлсээр л байна!

Гурвалжин бүтээх нь маш хялбар: та гадна талын ирмэгийн дагуу нэгжүүдийг байрлуулах хэрэгтэй бөгөөд доторх тоо бүр нь түүнээс дээш байгаа хоёр тооны нийлбэртэй тэнцүү байна. Тэгэхээр зургаа дахь мөрөнд байгаа гурав дахь тоо нь -тэй тэнцүү байна, учир нь энэ нь тоонуудын нийлбэр юм.

Анхаар! Тав дахь мөрөнд хоёр дахь тоо юу болохыг бид хэлэх болно. Удахгүй тодорхой болох шалтгааны улмаас бид гурвалжны мөр, баганыг эхнээс нь дугаарлаж эхэлдэг. Жишээлбэл, дөрөв дэх мөрөнд байгаа хоёр дахь тоо нь .

Нэмэх дүрмийг мэдсэнээр та эцэс төгсгөлгүй үргэлжлүүлж болно: та тэвчээрийнхээ хэрээр олон мөр бичиж болно.

Паскалийн гурвалжны эхний 10 мөр

Паскаль өөрийн гурвалжинг 1653 онд Traité du triangle arifmétique-д магадлалыг судлах, тооцоолох асуудлын нэг хэсэг болгон танилцуулсан. Асуултууд нь: "Хэрвээ би өгөгдсөн дөрвөн өгөгдлөөс хоёр хүнийг сонгохыг хүсвэл хичнээн хос хослох боломжтой вэ?" эсвэл "Бүтэн байр авах магадлал хэд вэ?" тэмдэглэлпокерт, нэг үнэ цэнэтэй гурван карт, хоёр өөр карт) сайн холилдсон тавцангаас таван карт тараагдах үед?'' Паскаль, Фермат хоёр тухайн үед харилцан солилцсон захидалдаа магадлалын талаар голчлон ярилцдаг байв. Та Паскалийн анхны гурвалжинг харж болно.

Гурвалжин магадлалтай ямар холбоотой вэ? За, хэрэв та өгөгдлөөс объект сонгохыг хүсвэл тоо боломжит сонголтуудсонголт нь гурвалжны 3-р эгнээний дугаартай тэнцүү байна. Гурвалжны шугам дахь мөрийн дугаар болон тоонууд тэгээс эхэлдэг гэдгийг санаарай! Энэ дүрмийг ашигласнаар өгөгдсөн дөрвөн үнэ цэнээс хоёр хүнийг сонгох яг хоёр арга байгааг бид харж байна. Тиймээс - гурвалжны ес дэх мөрөнд гурав дахь тоо, дараа нь есөн өгөгдлөөс гурван хүнийг сонгох арга бий. Үүнийг хэрхэн тооцоолж сурсан бол та бүх боломжит магадлалыг тооцоолох жижиг алхам хийх болно.

Эхлээд харахад гурвалжин яагаад энэ асуултын зөв хариултыг өгдөг нь тодорхойгүй мэт санагдаж байна. Үүнийг хэрэгжүүлэхийн тулд бид үргэлж эхнээс нь эхлэх ёстой нь бас хачирхалтай санагдаж магадгүй юм. Энэ бүхэн туйлын зөв гэдгийг харахын тулд бид хоёр тайлбар хийх болно.

Нэгдүгээрт, хэрэв танд бүлэг объект байгаа бол тэдгээрээс тэг объектыг хэдэн аргаар сонгож болох вэ? Тэг объектыг сонгох яг нэг арга байдаг бөгөөд энэ нь та тэдгээрийн алийг нь ч авахгүй гэдгээ тунхаглах явдал юм. Нэмж хэлэхэд танд бүх объектыг сонгох ганцхан арга бий. Мөн энэ нь мөр бүрийн хоёр төгсгөлд байгаатай яг таарч байна.

Блэйз Паскаль

Хоёрдугаарт, хэрэв бид өгөгдлөөс зүйлсийг сонгохыг хүсвэл бие биенээ үгүйсгэх хоёр хувилбар байгааг анзаарч байна: бидний дуртай зүйл бол сонгосон зүйлсийн нэг юм уу эсвэл тийм биш юм. Хэрэв бид үүнийг сонговол яг тодорхой зүйлсийг сонгохын тулд үлдсэн зүйлсээс нэг зүйлийг сонгох ёстой. Хэрэв бид өгөгдсөн зүйлийг сонгоогүй бол дуртай зүйлээ устгасны дараа үлдсэн зүйлийн өгөгдлөөс бүх зүйлийг сонгох ёстой. Учир нь эдгээр нь бие биенээ олж авах боломжууд юм нийт тоо хэмжээхувилбаруудын хувьд бид хувилбар бүрийн тоог нэмэх ёстой.

Товчхондоо, өгөгдлөөс объект сонгох аргын тоог авахын тулд бид -ээс объектыг сонгох арга замын тоог, -ээс объект сонгох аргын тоог нэмэх ёстой. Гэхдээ энэ бол Паскалийн гурвалжны нэмэлт дүрэм юм!

Гурвалжин нь түүний талуудын нэгжийн зохион байгуулалт, нэмэх дүрмээр бүрэн тодорхойлогддог гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг. Эдгээр шинж чанарууд нь объектыг сонгох сонголтуудын тооны талаархи асуултын хариултанд хамаарах тул гурвалжин энд бас зөв хариулт өгөх ёстой.

Ийм тооцоо хийх чадвар нь олон тохиолдолд үнэлж баршгүй чухал юм. Тиймээс Паскаль анхных биш байсан нь гайхах зүйл биш юм. Эдгээр тоог Энэтхэг, Хятад, Ираны математикчид судалжээ өөр өөр цаг хугацаа, мянга гаруй жилийн өмнө эхэлсэн. Мэдээжийн хэрэг, хүн бүр 1303 оны Ян Хуй гурвалжинг таних болно.

Инээдтэй юм, тоо ялгах чадваргүй байсан ч 700 гаруй жилийн настай энэ гурвалжингаас үсгийн алдаа олж болно! Санамж: Нэмэх дүрэм нь Паскалийн гурвалжныг оройг нь дайран өнгөрөх босоо шугамтай харьцуулахад тэгш хэмтэй болгоно. Хэрэв та анхааралтай ажиглавал Ян Хуйгийн гурвалжинд энэ тэгш хэм нэг газар эвдэрсэн байна.

Гурвалжинд олон гайхалтай зүйл бий. Гайхамшиг хаана байна? Тэдний зарим нь анзаарахад хялбар байдаг. Хэрэв та гурвалжны 3-р эгнээнд байгаа тоонуудыг нэмбэл та үргэлж хүчийг авах болно (жишээлбэл, ). Энэ нь бидний хувьд нэлээд уйтгартай юм.

Илүү сонирхолтой зүйл бол гурвалжны диагональ дээрх тоог нэмбэл Фибоначчийн тооны дарааллыг олж авах явдал юм. Мөн Фибоначчийн дараалал өөрөө олон гэнэтийн зүйлийг агуулдаг.

Саяхан Паскалийн гурвалжинд нэгэн гайхалтай, шинэ зүйл олдсон байна. Бидний харж байгаагаар гурвалжны эгнээнд байгаа тоог нэмэхэд сонирхолтой зүйл тохиолдох болно. Энэ нийлбэрийн тухай баримт нь гурвалжин шиг эртний юм. Гэсэн хэдий ч 2012 он хүртэл Harlan Brothers-ээс өмнө мөр бүрт байгаа тоог үржүүлбэл юу болох талаар хэн ч оролдоогүй.

Гурвалжны 3-р эгнээнд байгаа тоонуудын үржвэрээр тэмдэглэе. Тиймээс,, гэх мэт. Үйлдвэрлэсэн тоонууд нь ямар ч илэрхий гайхамшигт шинж чанартай биш юм шиг санагддаг. Хэрэв та эдгээр бүтээгдэхүүнийг зэргэлдээ эгнээнд тооцож хувавал юу болохыг харах санаа ах нарт төрсөн. Илүү нарийвчлалтай хэлэхэд тэрээр дараах томъёогоор олж авсан тоог олжээ.

Өөрөөр хэлбэл, мөр бүрийн хувьд тэр тоологчийг нь бутархай гэж үздэг бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнадоорх мөрөнд байгаа бүх тоо ба түүнээс дээш мөрөнд байх ба хуваагч нь тухайн мөрөнд байгаа бүх тоонуудын квадрат үржвэр юм.

Энд гайхалтай зүйл байна: энэ нь томрох тусам энэ харьцаа тоо руу ойртож байна! Энэ гэдгийг санаарай аравтын тоо-тай хязгааргүй тооойролцоогоор тэнцүү тоо. Энэ нь хүүгийн капиталжуулалт, хүн амын өсөлтийн хэв маяг болон бусад нөхцөл байдалд илэрдэг экспоненциал өсөлт. Энэ тоо ийм хөөрхөн байж чаддаг нь гайхалтай энгийн аргаарПаскалийн гурвалжингаас олдсон. Та юу хайхаа мэддэг учраас өсөх тусам тухайн харьцаа ойртож байгааг харахад хялбар байдаг. Таны харж байгаагаар тооцоолол нь зөвхөн бага зэрэг алгебр шаарддаг.

Ричард Гриний энэхүү сайхан хүүхэлдэйн кино нь Харлан ах нарын үр дүнг тодорхой харуулж байна:

Гурвалжинд хүн бүрийн мэдэх ёстой өөр нэг гайхамшиг бий. Гурвалжин дахь тоо бүрийг тэгш, сондгой эсэхээс нь хамааруулан хоёр өнгөний аль нэгээр нь будъя. Жишээлбэл, бид зурж болно тэгш тооцагаан, сондгой - цэнхэр. Хэрэв бид гурвалжны эхний 500 мөрөнд үүнийг хийвэл бид дараах загварыг авна.

Энэ бол Сиерпинскийн гурвалжин гэгддэг алдартай фрактал юм! Энэ нь хүргэдэг төрөл бүрийнасуултууд. Тоо нь тэгш эсвэл сондгой тоогоор хуваагдвал үлдэгдэл буюу тус тус гарна. Бид хуваах үед юу болох вэ? Үлдэгдэл нь эсвэл -тэй тэнцүү байж болно. Хэрэв та найман өнгийг ашиглаад тоо бүрийг наймт хуваахад үлдэгдлээрээ будвал юу болох вэ? Гурвалжны эхний 500 мөрөнд бид үзэсгэлэнтэй зургийг авах болно.

Сэтгэгдэл: 6

1 Мурад:

Өвөг дээдсийн болон бидний хийсэн бүдүүлэг алдаанууд

Миний судалгаагаар дараах бүдүүлэг алдаанууд илэрсэн - бидний өвөг дээдсийн болон бидний хийсэн утгагүй зүйл.
1. Тэд хүнийг мөнх бус гэж үздэг байсан ч тэр мөнхийн бөгөөд төгс төгөлдөр юм. Орчлон ертөнцөд бий болсон биетүүд ирсэн газраасаа буцаж ирдэггүй. Дараа нь үхэл гэж байхгүй - Орчлон ертөнцийн бүх бүтээгдсэн бие амьд байна. Өнөөг хүртэл бүх зүйл хүнээс төрсөнмөнхийн бөгөөд хамгийн тохиромжтой хэлбэрээр сэргээгддэг бөгөөд 30 бит код тус бүр нь - тоонууд нь хамгийн тохиромжтой хосоо олдог бөгөөд кодын нийлбэр нь - хосуудын тоо 30 есөн байна.
2. Бид зөвхөн оюун ухааны хөгжлийн 4 үе шат руу өсдөг бөгөөд тэдгээрийн 7 нь: Цаашид хуваагддаггүй утга 1butto = 1000 st.-7 = 10 st.-21 - амьд эсийн эхлэл, жин, эзэлхүүн - амьд сүнс ба цаашид тэлэх боломжгүй утга 1sap = 1000 st.7 = 10 st.21. Энэ нь тус бүрийн хэмжээ юм нарны системмөн тэдний 3 секстиллион байх болно.
3. Орчлон ертөнц дэх бүх бүтээгдсэн бие нь ижил эсүүдээс бүрддэг - шоо, жин ба эзэлхүүн 1butto = 10-21. Хамгийн тохиромжтой эмэгтэй 25 настай хүн 360 секстиллион эсээс бүрддэг ба идеал хүн 25 настай хүн 366 секстильон = 366x10st.21 эс бөгөөд эс бүр нь өөрөө хүн байдаг. Энэ нь тухайн хэсэг нь бүхэлдээ тэнцүү гэсэн үг юм: Бүх "366x10st.21I"-д нэг "би", нэг "би"-д "366x10st.21 I" - энэ нь эрэгтэйчүүдэд зориулагдсан.
4. Хэсэг нь бүхэлдээ тэнцүү бөгөөд байхгүй бутархай тоо, гэхдээ тэд эсрэгээр нь бодсон. Дараа нь ямар ч үндэслэлгүй ба трансцендент тоо. Мөн логарифм байхгүй, тригонометрийн функцууд, хязгаар, дифференциал ба интеграл, вариацын тооцоо, магадлалын онол, статистик. Орчлон ертөнц, мэдлэг хязгаарлагдмал боловч тэд эсрэгээр нь бодсон. Радикал хэллэг хэрэглэх шаардлагагүй.
5. Бид Zn = Xn +Yn тэгш байдлыг авч үзсэн агуу теоремФерма буюу Диофантийн тэгшитгэл нь (Zn – Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn тэгшитгэлийн шийдэл юм. Тэгвэл Zn = – (Xn +Yn) нь (Zn+Xn)Xn = (Zn + Yn)Yn тэгшитгэлийн шийдэл болно. Тэд шийдлийг тэгшитгэлтэй андуурсан боловч тэгшитгэлийг өөрөө мэддэггүй байв. Энэ бол утгагүй, математикчдийн хувьд гутамшиг!
Шийдэл оновчлолын асуудлуудшугаман, эрчим хүчний болон системд хүргэсэн дифференциал тэгшитгэл. Бид шийдлийг системийн тэгшитгэлтэй андуурч, тэгшитгэлийг өөрөө мэдэхгүй байсан нь харагдаж байна: Zn = Xn + Yn нь (Zn- Xn)Xn = (Zn - Yn)Yn тэгшитгэлийн шийдэл юм. Zn = Xn +Yn шийдэл нь +103n = +(500 x 103(n-1) + 500 x103(n-1)) ба -103n = – (500 x 103(n-1) + 500 x103(n-) байна. 1)). 103n = 10n x 102n бүр нь шоо дөрвөлжин суурь бөгөөд нэгэн зэрэг 10н эрэмбийн Рубик юм.
Бид c2 = a2+ b2 тэгшитгэл: гипотенузын квадрат = хөлийн квадратын нийлбэрийг Пифагорын теорем гэж үзсэн боловч энэ нь (c2- a2) a2 = (c2- b2) тэгшитгэлийн шийдэл болох нь харагдаж байна. ) b2. Тэгвэл c2= – (a2+ b2) нь (c2+ a2) a2 = (c2+ b2) b2 тэгшитгэлийн шийдэл болно. Энэ нь 2-оос тэнцүү гэсэн үг зөв гурвалжин, тэнцүү хөл нь дөрвөлжин үүсгэж болно - шоо суурь. 12 тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжнаас тэнцүү хөл нь шоо үүсгэж болно. Хөлний уртаас хамааран та янз бүрийн шоо, нэгэн зэрэг рубик үүсгэж болно.
6. 1 (нэгж) -ийг нэмэх, үржүүлэхийн утгыг бид ойлгоогүй. Хэрэв 9 эрэгтэй, 9 эмэгтэй байвал 9 + 9 = 18 хүн байна. 10 эрэгтэй, 9 эмэгтэй, дараа нь 10 + 9 = 19 хүн, 10 эрэгтэй, 10 эмэгтэй, дараа нь 10 +10 = 20 хүн, 11 эрэгтэй, 10 эмэгтэй, дараа нь 11 +10 = 21 хүн. Бүтээгдэхүүн 1(нэгж):
111111111 x 111111111= 12345678987654321; 1111111111 x 111111111= 123456789987654321. 0111111111 x 1111111110 = 0123456789876543210; 01111111111 x 1111111110 = 01234567899876543210. Эдгээр үйлдлүүд нь 1 битийн сөрөг ба эерэг бүхэл тоон дээр байна.
Хэрэв бид 20 нэгж урттай сегментийн төгсгөлд 2 шоо байрлуулбал. Нэгийг нь хасах цэнэг, хоёр дахь нь нэмэхийг өгье, дараа нь тэд сегментийн голд нэгэн зэрэг таарч, зам тус бүр 10 нэгжийг дайран өнгөрч, хэрэв замд ямар ч саад бэрхшээл байхгүй бол: 01234567899876543210. Дараа нь бид ижил цэнэгийг өгнө. дараа нь тэд эзлэх болно анхны байрлалууд, мөн дугаарууд өөрчлөгдөнө: 98765432100123456789.
Хэрэв бид 200 нэгж урттай сегментийн төгсгөлд 2 шоо байрлуулбал. Нэгийг нь хасах цэнэг, хоёр дахь нь нэмэхийг өгье, дараа нь тэд сегментийн дундуур нэгэн зэрэг уулзаж, зам бүрийг 100 нэгжээр дайран өнгөрөхөд, хэрэв замд ямар ч саад бэрхшээл байхгүй бол: 00...9999...00. Дараа нь бид ижил нэртэй хураамжийг өгч, тэд эхний байр сууриа эзэлнэ, тоонууд өөрчлөгдөнө: 99...0000...99.
Хэрэв бид 2 шоо 2000 нэгж урттай сегментийн төгсгөлд байрлуулбал. Нэгийг нь хасах цэнэг, хоёр дахь нь нэмэхийг өгье, дараа нь тэд сегментийн дундуур нэгэн зэрэг уулзаж, зам тус бүр 1000 нэгжийг дайран өнгөрч, хэрэв замд ямар ч саад бэрхшээл байхгүй бол: 000...999999...000. Дараа нь бид ижил нэртэй төлбөрийг өгдөг, тэд эхний байр сууриа эзэлнэ, тоонууд нь өөрчлөгдөнө: 999...000000...999.
Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлснээр бид 2 секстиллион нэгжид хүрч, дараа нь шоо тус бүрийг өнгөрсний дараа 1 секстиллион зам дундуур нийлдэг. Ньютоны таталцлын хууль нь түлхэлтээр нэмэгддэг. 1 (нэгж) зам бүрт 21 тэгээр эхэлж, 21 есөөр төгссөн дугаар оноогдсон байх ёстой.
Орчлон ертөнцөд бий болсон биетүүдийн хос тус бүрт оноогдсон тоонууд нь 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 гэсэн бүхэл тоонуудын үржвэр юм. , хүний хос бүрт 30 бит код - дугаар оноогдсон бөгөөд тэдгээрийн нийлбэр нь 30 есөн байна. Код өгөх - хүн бүрийн дугаар 30 тэгээр эхэлж, 30 есөөр төгсдөг.
Хүн төрөлхтний хэрэгцээнд бүхэл тоог ашиглах нь 3-р зэрэглэлд хангалттай.
-(0 + 1 + 2 + … + n) + (0 + 1 + 2 + … + n); -(02 + 12 + 22 + … + n2) + (02 + 12 + 22 + … + n2);
-(03 + 13 + 23 + … + n3) + (03 + 13 + 23 + … + n3); -(04 + 14 + 24 + … + n4) + (04 + 14 + 24 + … + n4);
7. 1Кб = 1024б, мөн 1Кб =1000б, 1Кг =1000г, 1м =1000мм гэж үздэг байсан. Цагийн суурь нь 60. 1 цаг = 60 минут, 1 минут. = 60 сек, 1 сек = 60 милли сек, 1 милли сек = 60 микро сек, 1 микро сек = 60 нано сек, 1 нано сек = 60 pic сек, 1 pic сек = 60 фемто сек, 1 фем сек = 60 отто сек , 1 otto сек = 60 товчлуур сек.
8. Дэлхий тэгш өнцөгт биш (декарт биш) шоо (дөрвөлжин суурь) координатын системтэй. Учир нь X = a, Y = a, X + Y =2a, XY= a x a суурь. X = a, Y = a, Z = a, X + Y+ Z =3a, XYZ= a x a x a.
Тэгш өнцөгт (декарт) координатын системийг бүхэл тооны шинж чанараас олж авна: X ба Y 2 тооны нийлбэр нь b тоог нэмэх, хасахад өөрчлөгдөхгүй, харин үржвэрүүд өөрчлөгддөг.
X = a + b, Y = a – b, X + Y =2a, XY= (a + b) x (a – b) = a2- b2.
X = a +√b, Y = a – √b, X + Y =2a, XY= (a + √b) x (a – √b) = a2- b.
X = a + bi, Y = a – bi, X + Y =2a, XY= (a + bi) x (a – bi) = a2+ b2.
X = a +√bi, Y = a – √bi, X + Y =2a, XY= (a + √bi) x (a – √bi) = a2 + b
9. Дэлхийн загвар нь бөмбөрцөг биш, харин шоо бөгөөд үүнтэй зэрэгцэн 24-ийн эрэмбийн Рубик - гадаргуу нь 576 жижиг квадратад хуваагдсан том дөрвөлжин, ижил хэмжээтэй. Хажуугийн урт жижиг дөрвөлжин 1000 км = 6 м кв. Дэлхийн гадаргын m нь уураар бүрхэгдсэн байх ёстой, гэхдээ бид утгагүй байдалд амьдардаг.
10. Дэлхийн төв (эхлэл, хүйс) ба цагийн эхлэл нь Туркменистаны хойд хэсэгт (Куня-Ургенч, ариун газар 360), тэд цаг хугацаа Гринвичээс эхэлсэн гэдэгт итгэдэг байв.
11. Дэлхий дээр олон тооны хуанли байдаг ч байх ёстой бүх нийтийн хуанлиСапарова М;
12. Шинэ жилүдшийн наран ургах, шинэ сарыг угтах.
13. 24 цаг харуулдаг цаг зүүдэг. Өдөр -24 цаг нар мандснаар эхэлж, дуусдаг;
14. Дэлхий дээр олон цагаан толгой, хэл байдаг, гэхдээ нэг дижитал хэл байх ёстой.
15 Дэлхий дээр олон шинжлэх ухаан байдаг, гэхдээ зөвхөн нэг шинжлэх ухаан байх ёстой - арифграф.
16. Хүн 9 сар = жилийн ¾ дараа төрдөг ба бид хоёр жил тутамд түүний төрсөн өдрийг тэмдэглэдэг. Хүний насыг дараах томъёогоор тодорхойлно: (4n)/3, энд n нь 3-т хуваагдах тоо - 3 жилийн дараа 1 жил = 9 сар нэмнэ.
17.Б Үелэх хүснэгтД.И.Менделеевийн химийн элементүүд тус бүр химийн элементамьд организм, бүх мөнгө бол цаас, металл мөн амьд организм, бидний идэж ууж, амьсгалж, алхаж байгаа зүйл бол амьд организм юм. 1butto=10st.-21 утгыг олж авснаар бид үүнд итгэлтэй байх болно.
Та утгагүй зүйлсийг нэмж болно, тэдгээрийг хэрхэн засах вэ, бид үүнээс ашиг хүртэх болно, бид удахгүй мөнхийн, төгс болно.
Ганц л гарц бий - 10 дахь тооллын системд бүрэн шилжих. Хэрэв бид бүх утгагүй зүйлийг засвал бидний толгой - компьютер секундэд 1000 удаа 1000 үйлдэл хийж, бидний бүх асуудал шийдэгдэх болно.
teoremaferma.far.ru дээрх бүх зүйлийн талаар facebook.com дээрх блог, нийгэмлэгүүд болон yandex.ru дахь бүлгүүдэд нийтлэгдсэн.

Хүлээн авахын тулд Паскалийн гурвалжин, бид "Товчилсон үржүүлэх томъёо: нийлбэрийн зэрэг ба ялгааны зэрэг" хэсгээс 1-р хүснэгтийг дараах хэлбэрээр дахин бичнэ (Хүснэгт P).

Хүснэгт P. – Байгалийн зэрэгбином x + y

№	Зэрэг	Мономиалуудын нийлбэр болгон өргөтгөх
0	(x + y) 0 =	1
1	(x + y) 1 =	1x + 1y
2	(x + y) 2 =	1x 2 + 2xy + 1y 2
3	(x + y) 3 =	1x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + 1y 3
4	(x + y) 4 =	1x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + 1y 4
5	(x + y) 5 =	1x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + 1y 5
6	(x + y) 6 =	1x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + + 15x 2 y 4 + 6xy 5 + 1y 6
…	…	…

Одоо P. Хүснэгтийн гурав дахь баганыг ашиглан бид дараах Хүснэгтийг бүрдүүлэх болно. Паскалийн гурвалжин:

Түвшин 0:

(x + y) 0 =

1-р түвшин:

(x + y) 1 =