Паскалийн гурвалжны тоонууд ямар шинж чанартай вэ? Би математикт дуртай

Гурвалжингийн түүх. Меру-прастаар гэж нэрлэгддэг гурвалжин хоёртын коэффициентүүдийн тухай анх дурдсан нь 10-р зууны Энэтхэгийн математикч Халаюдагийн өөр нэг математикч Пингалагийн бүтээлийн талаархи тайлбарт гардаг. Гурвалжинг Омар Хайям мөн 1100 онд судалсан тул Иранд энэ хэв маягийг Хайям гурвалжин гэж нэрлэдэг. 1303 онд "Жаспер толь" ном хэвлэгджээ дөрвөн элемент"Хятадын математикч Жу Шижи, зурагнуудын нэгэнд Паскалийн гурвалжинг дүрсэлсэн; Үүнийг Хятадын өөр нэг математикч Ян Хуй зохион бүтээсэн гэж үздэг (ийм учраас Хятадууд үүнийг Ян Хуйгийн гурвалжин гэж нэрлэдэг). Асаалттай гарчиг хуудасИнголтштадтын их сургуулийн одон орон судлаач Питер Апианы 1529 онд бичсэн арифметикийн сурах бичигт мөн Паскалийн гурвалжинг дүрсэлсэн байдаг. Мөн 1653 онд (бусад эх сурвалжид 1655 онд) Блэйз Паскалийн "Арифметик гурвалжны тухай трактат" ном хэвлэгджээ.

Үл хөдлөх хөрөнгө Паскалийн гурвалжин. Хэрэв та Паскалийн гурвалжныг тоймловол олж авна тэгш өнцөгт гурвалжин. Энэ гурвалжинд дээд ба хажуу талдаа нэг гурвалжин бий. Тоо бүр нь дээрх хоёр тооны нийлбэртэй тэнцүү байна. Гурвалжинг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Гурвалжны шугамууд нь тэгш хэмтэй байна босоо тэнхлэг. Програмтай магадлалын онолзугаа цэнгэлийн шинж чанартай байдаг.

Паскалийн гурвалжны шинж чанарууд. Гурвалжны тоо нь босоо тэнхлэгт тэгш хэмтэй (тэнцүү) байна. эхлээд ба сүүлийн дугаарнь 1-тэй тэнцүү. хоёр дахь болон эцсийн өмнөх тоо нь n-тэй тэнцүү. Гурав дахь тоо нь гурвалжин тоотой тэнцүү бөгөөд энэ нь өмнөх мөрүүдийн тоонуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. дөрөв дэх тоо нь тетраэдр юм. (n-1)-р эгнээний эхний элементээс эхлэн өсөх диагоналийн тоонуудын нийлбэр нь n-р тооФибоначчи. -аас хасвал төв дугаартэгш тоотой нэг мөрөнд, нэг мөрөнд зэргэлдээх тоо байвал каталан дугаарыг авна. нийлбэр n-р тооПаскалийн гурвалжны мөрүүд 2n-тэй тэнцүү байна. Үндсэн хүчин зүйлүүдПаскалийн гурвалжны тоонууд нь тэгш хэмтэй ижил төстэй бүтцийг үүсгэдэг. Хэрэв Паскалийн гурвалжинд бүх зүйл байгаа бол сондгой тооТэгшийг хар, тэгшийг нь цагаан өнгөөр будвал Сиерпинскийн гурвалжин үүснэ. Нэгээс бусад n-р эгнээний бүх тоонууд n тоонд хуваагдана, хэрэв n байвал л болно. анхны тоо. Хэрэв сондгой тоотой эгнээнд байвал бид бүх тоонуудыг нэмнэ серийн дугаарууд 3n, 3n+1, 3n+2 хэлбэрийн хувьд эхний хоёр нийлбэр тэнцүү, гурав дахь нь 1-ээр бага байна. Гурвалжин дахь тоо бүр нь баруунаас доош эсвэл зүүнээс доош хөдөлж оройноос түүнд хүрэх аргын тоотой тэнцүү байна.

Америкийн нэрт эрдэмтэн Мартин Гарднер хэлэхдээ: "Паскалын гурвалжин нь маш энгийн бөгөөд арван настай хүүхэд ч үүнийг бичиж чадна. Үүний зэрэгцээ шавхагдашгүй эрдэнэсийг нууж, хооронд нь холбож өгдөг янз бүрийн талуудЭхлээд харахад бие биентэйгээ ижил төстэй зүйлгүй математикчид. Ийм ер бусын шинж чанарууд нь Паскалийн гурвалжинг бүх математикийн хамгийн гоёмсог схемүүдийн нэг гэж үзэх боломжийг бидэнд олгодог."

Дараах (a + b) n зэрэгтэй илэрхийллүүдийг авч үзье, a + b нь дурын хоёр гишүүн, n нь бүхэл тоо юм.

Илэрхийлэл бүр олон гишүүнт юм. Та бүх илэрхийлэл дэх онцлог шинж чанарыг анзаарч болно.

1. Илэрхийлэл бүрт n илтгэгчээс нэг гишүүн илүү байна.

2. Нэр томьёо бүрт эрх мэдлийн нийлбэр нь n-тэй тэнцүү, i.e. биномийг өсгөх хүч.

3. Давхаргууд нь n хоёртын зэрэглэлээс эхэлж 0 хүртэл буурна. Сүүлийн гишүүн нь a хүчин зүйлгүй. Эхний нэр томъёонд b хүчин зүйл байхгүй, i.e. градус b 0-ээс эхэлж n хүртэл нэмэгдэнэ.

4. Коэффициент нь 1-ээс эхэлж, "хагас" хүртэл тодорхой утгуудаар нэмэгдэж, дараа нь ижил утгуудаар 1 хүртэл буурна.

Коэффициентийг нарийвчлан авч үзье. Бид (a + b) 6-ийн утгыг олохыг хүсч байна гэж бодъё. Сая бидний анзаарсан онцлогоор энд 7 гишүүн байх ёстой
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
Гэхдээ коэффициент бүрийн утгыг хэрхэн тодорхойлох вэ, c i ? Бид үүнийг хоёр аргаар хийж чадна. Эхний арга нь коэффициентийг доор үзүүлсэн шиг гурвалжинд бичих явдал юм. Үүнийг гэж нэрлэдэг Паскалийн гурвалжин :

Гурвалжинд олон шинж чанарууд байдаг. Аль болох олон олоорой.
Та дээрх мөрөнд байгаа тоонуудыг ашиглан дараагийн тоонуудыг бичих аргыг олсон байх. Нэгжүүд нь үргэлж хажуу тал дээр байрладаг. Үлдсэн тоо бүр нь дээрх тооноос дээш байгаа хоёр тооны нийлбэр юм. Бидний олсон боломжуудыг ашиглан дараах мөрийг нэмж (a + b) 6 илэрхийллийн утгыг олохыг хичээцгээе.

Бид үүнийг сүүлчийн мөрөнд харж байна

эхний ба сүүлчийн тоо 1 ;
хоёр дахь тоо нь 1 + 5, эсвэл 6 ;
гурав дахь тоо нь 5 + 10, эсвэл 15 ;
дөрөв дэх тоо нь 10 + 10, эсвэл 20 ;
тав дахь тоо нь 10 + 5, эсвэл 15 ; Тэгээд
зургаа дахь тоо нь 5 + 1, эсвэл 6 .

Тэгэхээр (a + b) 6 илэрхийлэл нь тэнцүү байх болно
(a + b) 6 = 1 6+ 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 + 1 б 6.

(a + b) 8-ийн хүчийг нэмэгдүүлэхийн тулд бид Паскалийн гурвалжинд хоёр мөр нэмнэ.

Дараа нь
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Бид үр дүнг дараах байдлаар нэгтгэн дүгнэж болно.

Паскалийн гурвалжинг ашиглан Ньютоны бином

Дурын а+б болон дурын хоёрын хувьд натурал тоо n,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n,
Энд c 0 , c 1 , c 2 ,....., c n-1 , c n тоонуудыг Паскалийн гурвалжны (n + 1) цувралаас авна.

Жишээ 1Хүчтэй болгох: (u - v) 5 .

ШийдэлБидэнд (a + b)n байна, энд a = u, b = -v, n = 5 байна. Бид Паскалийн гурвалжны 6-р мөрийг ашигладаг:
1 5 10 10 5 1
Тэгвэл бидэнд байна
(u - v) 5 = 5 = 1 (u)5+ 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u)(-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5 .
Нэр томъёоны тэмдгүүд нь + ба - хооронд хэлбэлздэг болохыг анхаарна уу. -v зэрэг нь сондгой тоо байвал тэмдэг нь - байна.

Жишээ 2Хүч чадал хүртэл өсгөх: (2т + 3/т) 4 .

ШийдэлБидэнд (a + b)n байна, энд a = 2t, b = 3/t, n = 4. Бид Паскалийн гурвалжны 5-р мөрийг ашигладаг:
1 4 6 4 1
Тэгвэл бидэнд байна

Факторын утгыг ашиглан биномын өргөтгөл

Бид (a + b) 11-ийн утгыг олохыг хүсч байна гэж бодъё. Паскалийн гурвалжны сул тал нь гурвалжны өмнөх бүх мөрүүдийг тооцоолох хэрэгтэй болдог. шаардлагатай мөр. Дараагийн аргаүүнээс зайлсхийх боломжийг танд олгоно. Энэ нь бусад бүх мөрийг үнэлэх шаардлагагүйгээр тодорхой эгнээ олох боломжийг олгодог - 8-р эгнээ гэж хэлээрэй. Энэ арга нь тооцоолол, статистикт хэрэгтэй бөгөөд үүнийг ашигладаг бином коэффициентийн тэмдэглэгээ .
Бид Ньютоны биномийг дараах байдлаар томъёолж болно.

Факторын тэмдэглэгээг ашиглан Ньютоны бином

Аливаа бином (a + b) ба дурын натурал n тооны хувьд,
.

Ньютоны биномийг энэ аргаар баталж болно математикийн индукц. Энэ нь яагаад үүнийг дуудаж байгааг харуулж байна бином коэффициент .

Жишээ 3Хүчтэй болгох: (x 2 - 2y) 5 .

ШийдэлБидэнд (a + b) n , энд a = x 2 , b = -2y ба n = 5 байна. Дараа нь Ньютоны биномийг ашиглан бид байна.

Эцэст нь (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5.

Жишээ 4Хүчин чадал хүртэл өсгөх: (2/x + 3√x) 4.

ШийдэлБидэнд (a + b)n байна, энд a = 2/x, b = 3√x, n = 4. Дараа нь Ньютоны биномийг ашиглан бид олж авна.

Эцэст нь (2/x + 3√x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2.

Тодорхой гишүүн хайж байна

Бид илэрхийллээс нэг буюу өөр нэр томъёог тодорхойлохыг хүсч байна гэж бодъё. Бидний боловсруулсан арга нь Паскалийн гурвалжны бүх эгнээ эсвэл өмнөх бүх коэффициентийг тооцоолохгүйгээр энэ нэр томъёог олох боломжийг олгоно.

Ньютоны хоёр гишүүний хувьд 1-р гишүүн, 2-р гишүүн, 3-р гишүүн гэх мэтийг өгдөг болохыг анхаарна уу. Үүнийг дараах байдлаар дүгнэж болно.

(k + 1) гишүүнийг олох

(k + 1) илэрхийллийн гишүүн (a + b) n нь .

Жишээ 5Илэрхийллийн 5-р гишүүнийг ол (2x - 5y) 6 .

ШийдэлЭхлээд 5 = 4 + 1 гэдгийг анхаарна уу. Дараа нь k = 4, a = 2x, b = -5y, n = 6. Дараа нь илэрхийллийн 5-р гишүүн болно.

Жишээ 6(3x - 2) 10 илэрхийллийн 8-р гишүүнийг ол.

ШийдэлЭхлээд бид 8 = 7 + 1 гэдгийг анхаарна уу. Дараа нь k = 7, a = 3x, b = -2 ба n = 10. Дараа нь илэрхийллийн 8-р гишүүн болно.

Дэд багцын нийт тоо

Олонлог n объекттой гэж бодъё. k элемент агуулсан дэд олонлогуудын тоо нь . Олонлогийн нийт дэд олонлогуудын тоо нь 0 элементтэй дэд олонлогуудын тоо, түүнчлэн 1 элементтэй дэд олонлогуудын тоо, мөн 2 элементтэй дэд олонлогуудын тоо гэх мэт. n элементтэй олонлогийн дэд олонлогуудын нийт тоо нь
.
Одоо (1 + 1) n хүчийг нэмэгдүүлэхийг харцгаая:

.
Тэгэхээр. нийт дэд олонлогуудын тоо (1 + 1) n, эсвэл 2 n байна. Бид дараахь зүйлийг нотолсон.

Дэд багцын нийт тоо

n элементтэй олонлогийн нийт дэд олонлогын тоо 2n байна.

Жишээ 7Олонлог (A, B, C, D, E) хэдэн дэд олонлогтой вэ?

ШийдэлОлонлог нь 5 элементтэй, дараа нь дэд олонлогуудын тоо 2 5 буюу 32 байна.

Жишээ 8 Wendy's сүлжээ ресторан нь дараах гамбургерын амтлагчийг санал болгож байна.
{кетчуп, гич, майонез, улаан лооль, шанцайны ургамал, сонгино, мөөг, чидун, бяслаг}.
Хэдэн янз бүрийн төрөлВэнди бургерын хэмжээ эсвэл бургерын тоог эс тооцвол ямар бургер санал болгож чадах вэ?

ШийдэлГамбургер бүрийн өнгөлгөө нь бүх боломжит өнгөлгөөний багцын хэсэг бөгөөд хоосон багц нь зүгээр л гамбургер юм. Нийт боломжтой гамбургерын тоо тэнцүү байх болно

. Тиймээс Wendy's 512 төрлийн гамбургер санал болгож чадна.

Hard"n"Soft сэтгүүлийн 2003 оны 10 дугаарт хэвлэгдсэн

Агуу франц хүний гайхалтай гурвалжин

Нэг профессор байсныг би сайн санаж байна
алсын хараа, түүнийг галзуурч байна гэж бодсон.
Тэр над дээр бүрэн сандарсан байдалтай ирсэн.
Хариуд нь би зүгээр л тавиур дээрээс бичсэн номыг авлаа
дөрвөн зуун жилийн өмнө, мөн өвчтөнд үзүүлсэн
яг дүрсэлсэн модон сийлбэр
түүний төсөөлж байсан зүйл.
Карл Густав Юнг. Хүн ба түүний бэлгэдэл.

Паскалыг уншихад надад тийм юм шиг санагддаг
Би өөрөө уншиж байна.
Стендаль

доромжлох үг" орлуулашгүй хүмүүс"Үгүй" гэдэг нь чадваргүй менежерүүдийн дуртай бөгөөд хэрэв бид шуудуу ухах эсвэл хог цэвэрлэх талаар ярих юм бол бүтээлч сэтгэлгээтэй холбоотой аливаа төрлийн үйл ажиллагаа нь хүн бүрийн орлуулшгүй, өвөрмөц байдлыг харуулах болно бид ярьж байнасуут хүмүүсийн тухай бол тэдний үйл ажиллагааны үр шимийг хүртэх боломж, хүн төрөлхтний хөгжлийн замыг гэрэлтүүлж буй гэрлийн төлөө бид бүгд хувь заяанд талархах ёстой. "Мэдлэг бол хүч" сэтгүүлийн цахим хуудсанд өнгөрсөн 2000 жилийн хамгийн нэр хүндтэй эрдэмтэн гэж та хэнийг нэрлэх талаар санал хураалт явуулжээ. (http://www.znanie-sila.ru/vote/?id=2 - дашрамд хэлэхэд, таны давуу талыг олонхийн сонголттой харьцуулах нь сонирхолтой юм.) Мэдээжийн хэрэг, бид хамгийн алдартай эрдэмтдийн дунд Блэйз Паскалийн (1623-1662) нэрийг зүй ёсоор үзнэ үү.

Паскаль 39 настайдаа нас барсан ч ийм байсан богино амьдрал, гэж түүхэнд бичигдсэн гарамгай математикч, физикч, философич, зохиолч. Даралтын нэгж (паскаль) болон маш өргөн тархсан програмчлалын хэлийг түүний талархалтай үр удам нь түүний нэрээр нэрлэжээ. DOS-д зориулсан Turbo Pascal 5.5 нь ялангуяа алдартай байсан, одоо Borland Pascal 7.0 болон түүнийцаашдын хөгжил Делфид. Паскалийн бүтээлүүд хамгийн өргөн хүрээг хамардагөөр өөр газар нутаг . Тэр бол бүтээгчдийн нэг юмматематик шинжилгээ

, проекцийн геометр, магадлалын онол, гидростатик (Паскалын хуулийг өргөн мэддэг бөгөөд үүний дагуу тайван байдалд байгаа шингэний даралтын өөрчлөлт нь бусад цэгүүдэд өөрчлөгдөөгүй дамждаг), механик тооцоолох төхөөрөмжийг бүтээгч - "Паскалийн дугуй" -Үеийн хүмүүсийн хэлсэнчлэн. Паскаль агаар нь уян хатан чанартай болохыг харуулж, жинтэй болохыг баталж, барометрийн заалт нь агаарын чийгшил, температураас хамаардаг тул цаг агаарыг урьдчилан таамаглахад ашиглаж болохыг олж мэдсэн. Зарим ньпрактик ололт амжилт Паскаль шагнагдсан- Өнөөдөр цөөхөн хүн зохиолчийнхоо нэрийг мэддэг. Жишээлбэл, одоо маш цөөхөн хүн хамгийн энгийн машин бол Блэйз Паскалийн шинэ бүтээл гэж хэлэх болно. Тэрээр мөн хотын нийтийн тээврийн анхны төрөл болох суурин чиглэлтэй олон суудалтай морин тэрэг болох олон нийтийн автобусны санааг гаргаж ирэв. Паскаль арван зургаан настайдаа зургаан өнцөгтийн тухай теоремыг томъёолжээ. конус хэсэг(Паскалын теорем). (Тэр хожим өөрийн теоремоос 400 орчим үр дүнг олж авсан нь мэдэгдэж байна.) Хэдэн жилийн дараа Блэйз Паскаль механик тооцоолох төхөөрөмж буюу нийлбэрийн машиныг бүтээж, тоо нэмэх боломжтой болгосон.аравтын систем

Тооцоолол. Энэ машинд тоонуудыг дижитал хуваалт бүхий дискний (дугуй) харгалзах эргэлтээр тохируулсан бөгөөд үйлдлийн үр дүнг цонхноос уншиж болно - цифр бүрт нэг. Блэйз Паскаль болон өөр нэг агуу франц хүн Пьер Ферма нар магадлалын онолыг үндэслэгч болсон бөгөөд түүний төрсөн оныг ихэвчлэн Паскаль, Ферма нар бие даан бичсэн 1654 он гэж нэрлэдэг.зөв тайлбар хувь хэмжээг хуваах парадокс гэж нэрлэгддэг. Хоёр тоглогч "хор хөнөөлгүй" тоглоом тоглодог (өөрөөр хэлбэл хоёуланд нь хожих боломж нь адилхан), зургаан тоглолтонд түрүүлж хожсон нь шагналыг бүхэлд нь авахаар тохиролцов. Тэдний нэг нь шагнал авахаас өмнө тоглоом зогссон гэж бодъё (жишээлбэл, эхний тоглогч таван хожил, хоёр дахь тоглогч гурав хожсон). Шагналаа хэрхэн шударгаар хуваах вэ? Хэдийгээр ерөнхийдөө,энэ асуудал

Үүний зэрэгцээ та 7: 1 харьцаагаар хуваах хэрэгтэй. Паскаль, Фермат хоёр бооцооны хуваагдлын парадоксыг магадлалын асуудал гэж үзэж, шударга хуваах нь эхний тоглогчийн шагнал авах боломжтой пропорциональ гэдгийг тогтоосон. Эхний тоглогч ялахад ганцхан тоглолт үлдсэн, хоёр дахь нь хожихын тулд дахиад гурван тоглолт хожих шаардлагатай ба тоглогчид тоглолтоо үргэлжлүүлж, зарим нь ялагчийг тодруулах шаардлагагүй болсон ч гэсэн гурван тоглолтыг бүгдийг нь тоглоно гэж бодъё. . Ийм үргэлжилсэн тохиолдолд 2 3 = 8 боломжит үр дүн бүгд адилхан байх магадлалтай. Хоёр дахь тоглогч зөвхөн нэг үр дүнд (хэрэв тэр гурван тоглолтыг хожсон бол) шагнал авдаг тул бусад тохиолдолд эхний тоглогч хождог тул энэ харьцаа 7: 1 байна. (Паскаль, Фермат нар мөн олсон.ерөнхий шийдэл

Нэг тоглогч шагнал авахын тулд дахиад n тоглоом хожиж, нөгөө нь m тоглоом ялах шаардлагатай тохиолдолд.)

Гэхдээ магадгүй Блез Паскалийн хамгийн алдартай математикийн бүтээл бол магадлалын онолд хэрэглэгдэхүүнтэй, гайхмаар, зугаатай шинж чанартай хоёртын коэффициент (Паскалын гурвалжин) -аар үүсгэгдсэн "арифметик гурвалжин"-ын тухай түүний зохиол юм. Гайхамшигт эрдэмтний тухай мэдлэгээ гүнзгийрүүлэхийг хүсч буй хүмүүс энэ шидэт гурвалжны талаар авч үзэх болно: http://inf.1september.ru/2002/1/france.htm, мөн "Усан шумбагч онгоц" дээрээс түүний тухай уран зохиолын жагсаалтыг олох болно; ” http://schools. techno.ru/sch444/MUSEUM/PRES/PL-4-98.htm Паскаль, түүний аав, эгч, Кардинал Ришельегийн тухай сонирхолтой түүх.
Гурвалжин нь согтуу байх болно
Та үүнийг тэсрэлтээр өг!
Тэр параллелепипед байсан ч гэсэн
Хэрвээ тэр шоо байсан бол бөөс болох байсан

В.Высоцкий Үнэн хэрэгтээ Паскалийн гурвалжинг 1653 оноос өмнө буюу "Арифметик гурвалжны тухай трактатын тухай" ном хэвлэгдэн гарахаас өмнө мэддэг байсан. Тиймээс энэ гурвалжинг арифметикийн сурах бичгийн гарчгийн хуудсан дээр хуулбарласан болно XVI эхэн үе Питер Апиан, Инголтштадтын их сургуулийн одон орон судлаач. Гурвалжинг мөн Хятадын математикчийн 1303 онд хэвлэгдсэн номны чимэглэлд дүрсэлсэн байдаг.Омар Хайям

Мартин Гарднер “Математикийн романууд” (М., Мир, 1974) номондоо: “Паскалийн гурвалжин бол арван настай хүүхэд хүртэл бичиж чадахуйц энгийн бөгөөд үүний зэрэгцээ шавхагдашгүй эрдэнэсийг нууж, холбож өгдөг Математикийн янз бүрийн талуудыг нэгтгэн харахад хоорондоо ямар ч нийтлэг зүйл байдаггүй ийм ер бусын шинж чанарууд нь Паскалийн гурвалжинг бүх математикийн хамгийн гоёмсог схемүүдийн нэг гэж үзэх боломжийг олгодог.

Цэнхэр сумтай зурагт үзүүлсэн шиг хот руу орж, зөвхөн урагшлах, эс тэгвээс байнга сонгох, зүүн тийш, урагшаа баруун тийшээ урагшлах боломжтой гэж бодъё. Зөвхөн нэг аргаар хүрч болох цэгүүдийг ногоон эмотиконоор тэмдэглэсэн бөгөөд хоёр аргаар хүрч болох цэгийг улаан өнгөөр, гурвыг нь ягаанаар харуулдаг. Энэ бол Хюго Штайнхаусын "Математикийн калейдоскоп" хэмээх сонгодог бүтээлдээ санал болгосон гурвалжин байгуулах хувилбаруудын нэг юм.

Паскалийн гурвалжны бүтцийг илүү энгийн үгсээр тайлбарлав: тоо бүр нь түүний дээр байрлах хоёр тооны нийлбэртэй тэнцүү байна. Бүх зүйл энгийн, гэхдээ үүнд маш олон гайхамшиг нуугдаж байдаг.

Гурвалжны орой нь 1. Гурвалжинг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Энэ нь түүний оройгоор дамжин өнгөрөх босоо тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. Диагональуудын дагуу (гурвалжин диагональтай байж болно, гэхдээ эндүүрч болохгүй, ийм нэр томъёог хэвлэлээс олж болно), хажуу талуудтай зэрэгцээгурвалжин (зураг дээр ногоон зураасаар тэмдэглэгдсэн) гурвалжин тоонууд ба тэдгээрийн бүх хэмжээсийн орон зайн хувьд ерөнхий дүгнэлтийг бүтээв.

Хамгийн түгээмэл бөгөөд танил хэлбэрийн гурвалжин тоонууд нь гурвалжин хэлбэрээр хичнээн хүрэлцэх тойргийг байрлуулж болохыг харуулдаг. сонгодог жишээбильярд дахь бөмбөгний анхны зохион байгуулалт. Та нэг зоос дээр хоёрыг нэмж, гурваас хоёрыг нэмж, гурваас хоёрыг нэмж болно - нийт зургаа. Гурвалжингийн хэлбэрийг хадгалахын зэрэгцээ эгнээ нэмэгдүүлэхийг үргэлжлүүлснээр бид 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66... гэсэн мөрүүдийг авдаг бөгөөд энэ нь хоёр дахь нь харагдаж байна. ногоон шугам. Гишүүн бүр нь байгалийн тооны (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) нийлбэртэй тэнцэх энэхүү гайхамшигт цувралд мөн адил сайн танил олон бий. Математик сонирхогчдод мэддэг: 6 ба 28 - төгс тоо, 36 - квадрат тоо, 8 ба 21 нь Фибоначчийн тоо юм.

Дараагийн ногоон шугам нь бидэнд тетраэдр тоонуудыг харуулах болно - бид гурав дээр нэг бөмбөг тавьж болно - нийт дөрөв, гурваас доош бол бид зургаа тавьж болно (өөрийгөө чангалж, төсөөл!) - нийт арав гэх мэт. Гурвалжин тоонуудын талаар "Hard"n"Soft №4 2002"-ийн "Ихэгч туулай, дөрвөлжин ба дарааллын нөөц" гэсэн нийтлэлээс мөн Тарвас дээр уншиж болно.

Дараагийн ногоон шугам (1, 5, 15, 35,...) нь гипертетраэдр байрлуулах оролдлогыг харуулах болно. дөрвөн хэмжээст орон зай- Нэг бөмбөг дөрөвт хүрдэг, тэд эргээд арван хүрдэг ... Манай ертөнцөд энэ нь боломжгүй, зөвхөн дөрвөн хэмжээст, виртуаль юм. Түүнээс гадна дараагийн ногоон шугамаар нотлогдсон таван хэмжээст тетраэдр нь зөвхөн топологичдын үндэслэлээр л оршин тогтнож чадна.

Гэхдээ байгалийн цувралын дугаарууд байрладаг дээд ногоон шугам бидэнд юу хэлэх вэ? Эдгээр нь мөн гурвалжин тоонууд боловч нэг хэмжээст бөгөөд шугамын дагуу хэдэн бөмбөг байрлуулж болохыг харуулдаг - аль болох олон, тэр хэмжээгээр нь байрлуул. Хэрэв бид төгсгөлд нь очвол хамгийн дээд эгнээ нь тэг хэмжээст орон зайд гурвалжин тоонууд байх болно - бид хичнээн бөмбөг авсан ч нэгээс илүү бөмбөг байрлуулж чадахгүй, учир нь хаана ч байхгүй - байдаг. урт, өргөн, өндөр байхгүй.

Паскалийн гурвалжныг хурдан харахад л дараах сонин баримтуудыг анзаарахад хангалттай: 10 цөмийг тетраэдр болон хавтгай гурвалжин болгон нугалж болно. Таван хэмжээст орон зайд тетраэдрон үүсгэдэг 56 гипернуклейг ердийн гурван хэмжээст тетраэдрон дээр байрлуулж болох боловч хэрэв бид 56 цөмөөс гурвалжин зурахыг оролдвол нэг цөм нь нэмэлт хэвээр байх болно.

Бид хэрхэн Паскалийн гурвалжинг зурж түүгээр тоглох вэ? Hard"n"Soft №5 2002 (Arbuz дээр) дээр зургаан өнцөгт амьдралыг програмчлахдаа бидний авч үзсэн санааг ашиглах нь хамгийн сайн арга юм, тухайлбал энгийн хоёр хэмжээст массивыг авдаг, гэхдээ дэлгэцэн дээр гарч ирэхэд мөрүүд нь нэгийн дараа шилжсэн - тэгш эгнээ баруун тийш дөрөвний нэг алхам, сондгой эгнээ зүүн тийш дөрөвний нэг алхам, дараа нь эгнээ хагас алхамаар шилжсэн нь бидэнд тэгш өнцөгт массив бүхий зургаан өнцөгт талбайн бүтцийг өгдөг. Массивын хоёр хэмжээст байдал нь үүнтэй ажиллахад маш хялбар болгож, мөр, мөрөнд гогцоонд байгаа нүдэн дээрх үйлдлүүдийг зааж өгдөг.

Хэдэн минут тоглосны дараа дэлгэцэн дээр гурвалжин гарч ирэх тул та удахгүй болох ер бусын туршилтуудад бэлэн байна. (13-14 мөрөөс дөрөв ба мөрнөөс хэт олон мөр зааж болохгүй таван оронтой тоо, тэд хажууд нь зогсож байгаа хүмүүстэй нийлж, зураг нь бүдэгрэх болно. Мэдээжийн хэрэг, та нүдний радиусыг нэмэгдүүлж, үсгийн фонтыг багасгаж болно, гэхдээ гурвалжингийн дундах тоонууд хурдан өсч, хэд хэдэн мөр доогуур байсан ч нэгдэх болно.)

Гэхдээ эхлээд дахиад хэдэн сонирхолтой шинж чанаруудПаскалийн гурвалжин. Эхнээс нь бидний сонирхож буй газар хүртэлх дурын диагональ дээрх тоонуудын нийлбэрийг олохын тулд сүүлийн гишүүний доор болон зүүн талд байрлах тоог харахад хангалттай. (зүүн талд баруун диагональ, зүүн диагональ нь баруун талд байх болно, ерөнхийдөө гурвалжны дунд ойртох болно). Жишээлбэл, бид 1-ээс 9 хүртэлх тооны натурал цувралын нийлбэрийг тооцоолохыг хүсч байна. 9-ийн тоо руу "доошоо" байвал бид түүний зүүн доод талд 45 тоог харах болно шаардлагатай нийлбэр. Эхний найман гурвалжин тооны нийлбэр хэд вэ? Бид хоёр дахь диагональ дээр найм дахь тоог олж, доошоо зүүн тийшээ хөдөлнө. Хариулт: 120. Гэхдээ дашрамд хэлэхэд 120 бол тетраэдр тоо юм.Тиймээс эхний 8 гурвалжинг бүрдүүлдэг бүх бөмбөгийг авснаар бид тетраэдр үүсгэж болно. Интоор эсвэл алимтай хамт үзээрэй

Тийм ч эгц унадаггүй диагональуудын дагуух тоонуудын нийлбэр (зураг дээр улаан шугамаар тэмдэглэгдсэн) Фибоначчийн дарааллыг бүрдүүлдэг бөгөөд үүнийг байнгын уншигчид сайн мэддэг. Жишээлбэл, дээр дурдсан "Ихэгч туулай, дөрвөлжин ..." нийтлэл эсвэл тарвасны талаархи олон тооны материалыг үзнэ үү.

Гэхдээ өмнөх хэвлэлүүдэд бид Фибоначчийн тоо ихэвчлэн олддог тухай яриагүй комбинаторын асуудлуудӨө. n эгнээтэй сандлуудыг авч үзье. Хоёр эмэгтэйг зэрэгцүүлэн суулгахгүйн тулд эрэгтэй, эмэгтэй хүмүүсийг хэдэн янзаар суулгаж болох вэ? n=1, 2, 3, 4, ... үед аргын тоо нь 2, 3, 5, 8, ..., өөрөөр хэлбэл Фибоначчийн тоотой давхцдаг. Паскал түүний гурвалжинд Фибоначчийн тоо нуугдаж байсныг мэдээгүй бололтой. Энэ нөхцөл байдлыг зөвхөн 19-р зуунд илрүүлсэн. Паскалийн гурвалжны хэвтээ шугам дээрх тоонууд нь байна бином коэффициент, өөрөөр хэлбэл тэлэлтийн коэффициентууд (x+y) n х ба у-ийн зэрэглэлд. Жишээлбэл, (x+y) 2 =x 2 +2xy+y 2 ба (x+y) 3 =x 3 +3x 2 y+3xy2+y 3. Өргөтгөх коэффициент 1, 2, 2 нь хоёр дахь эгнээнд, 1, 3, 3, 1 нь гурвалжны гурав дахь эгнээнд байна.(x+y) n тэлэлтийн коэффициентийг олохын тулд гурвалжны n-р эгнээг харахад л хангалттай.

Энэ бол яг юу юм үндсэн өмчПаскалийн гурвалжин нь үүнийг комбинаторик ба магадлалын онолтой холбож, тооцоолол хийхэд тохиромжтой хэрэгсэл болгон хувиргадаг.

(Мартин Гарднерийн жишээ) нэгэн шейх зочломтгой байдлын хуулийг дагаж, долоон эхнэрийнхээ гурвыг танд өгөхөөр шийдсэн гэж бодъё. Үзэсгэлэнт гаремчуудын дунд хэр олон сонголт хийж чадах вэ? Үүнд хариулахын тулд сэтгэл хөдөлгөм асуултта зүгээр л диагональ 3 ба 7-р мөрийн огтлолцол дээрх тоог олох хэрэгтэй: энэ нь 35-тай тэнцэх болно. Хэрэв та баяр хөөртэй сэтгэл хөдлөлийг даван туулж, диагональ болон шугамын дугаарыг андуурч, диагональуудын огтлолцол дээр байгаа тоог хайж олох хэрэгтэй. 7-ыг 3-р мөртэй, та огтлолцохгүй байгааг олж мэдэх болно. Өөрөөр хэлбэл, арга нь өөрөө алдаа гаргахыг зөвшөөрдөггүй! INерөнхий тохиолдол

Энд n!=1*2*3*4*....*n нь n тооны факториал гэж нэрлэгддэг. Мөн долоон эхнэрээс гурван ижил эхнэрийг олон янзаар сонгож болно: C 3 7 =7!/3!/4!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3/1 *2*3 *4=5040/6/24=35, энэ нь бидний өмнө авсан зүйл юм. Хоёр гишүүний коэффициентүүдийн утгыг томъёогоор тодорхойлдог бөгөөд бидний олж мэдсэнээр Паскалийн гурвалжны мөрүүд нь энэ гурвалжныг комбинаторик болон биномуудын тэлэлттэй ойлгомжгүй холбодог.

Дашрамд хэлэхэд, хослолын томъёоноос харахад долоон гурваас гурвыг сонгох сонголтуудын тоо нь долоон картаас дөрөвийг сонгох сонголтуудын тоо, эсвэл Sportloto картыг бөглөх сонголтуудын тоо 36-аас 5-тай тэнцүү байна. Энэ нь 36-аас 31-ийг сонгосонтой тэнцэж байгаа тул энэ таатай сэдвийг бодоорой.

GGG, GGR, GRG, RGG, RGR, RRG, RRR гэсэн гурван зоос шидэхэд гарч болох найман үр дүнг авч үзвэл комбинаторик ба магадлалын онолын хоорондын холбоо тодорхой болно. Зөвхөн нэг тохиолдолд гурван сүлд, гурван тохиолдолд хоёр сүлд, гурван тохиолдолд нэг сүлд, нэг тохиолдолд төрийн сүлд байхгүй байгааг харахад хэцүү биш юм. 3, 2, 1, 0 төрийн сүлдийг хүлээн авахад таатай сорилтын тоо нь 1, 3, 3, 1. Эдгээр нь Паскалийн гурвалжны гурав дахь эгнээнд гарч буй тоонууд юм. Одоо бид 10 зоос зэрэг шидэх үед яг 5 сүлд авах магадлалыг мэдэхийг хүсч байна гэж бодъё. Юуны өмнө та хэд байгааг тоолох хэрэгтэйянз бүрийн аргаар , 10 зоосноос 5 зоос сонгох боломжийг танд олгоно. Бид 5-р диагональ ба 10-р шугамын огтлолцол дээрх тоог олсноор хариултыг авдаг. Энэ нь 252-тай тэнцүү байна. 10-р мөрөнд байгаа бүх тоог нэмснээр бид хоёрын коэффициентийн дараах шинж чанарыг ашиглавал тооцооллын боломжит үр дүнгийн тоог их хэмжээгээр бууруулж болно: хоёрын коэффициентийн нийлбэр (x+y); ) n, мөн тэд n-д зогсож байна Паскалийн гурвалжны 3-р эгнээ нь 2 n-тэй тэнцүү. Үнэхээр,, гурвалжны аль ч эгнээнд зогсож байгаа нь өмнөх мөрөнд байгаа тоонуудын нийлбэрээс хоёр дахин их байна, учир нь мөр бүрийг байгуулахдаа өмнөх нэг дэх тоог хоёр удаа буулгадаг. Эхний (хамгийн дээд) эгнээний тоонуудын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна. Тиймээс Паскалийн гурвалжны эгнээний тоонуудын нийлбэр нь эхний гишүүн нь 1, хуваагч нь 2: 1, 2, геометрийн прогрессийг үүсгэнэ. 4, 8, .... 2-ын арав дахь хүч 1024. Иймд 10 зоос шидэх үед таван толгой гарах магадлал 252/1024= 63/256.

Паскалийн гурвалжин ба комбинаторикийн холболтын талаар илүү ихийг мэдэхийг хүсвэл http://combinatorica.narod.ru/third.html хуудас руу зочилж болно. Паскалийн гурвалжин нь хоёр хэмжээст бөгөөд хавтгайд байрладаг. Саван нь өөрийн эрхгүй гарч ирдэг - гэхдээ түүний хэв маягийг гурван хэмжээст (ба дөрвөн ...) аналог болгон өргөжүүлэх боломжтой юу? Энэ нь боломжтой болж байна! O. V. Kuzmin-ийн нийтлэлд (http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/1006.html) гурвалжны гурван хэмжээст аналог - Паскалийн пирамид, түүний гурвалжны коэффициенттэй холболтыг авч үзэж, өгдөг.үйл явцын жишээ

, ийм загвар нь үүнийг тусгаж чаддаг. Одоо эцэст нь бидний хувьд хамгийн сонирхолтой хэсэг рүүгээ орцгооё.гайхалтай өмч

Паскалийн гурвалжин. Паскалийн гурвалжны тоо бүрийг цэгээр орлъё. Түүнээс гадна бид сондгой цэгүүдийг ялгаатай өнгөөр, тэгш цэгүүдийг ил тод эсвэл дэвсгэр өнгөөр харуулах болно. Үр дүн нь гэнэтийн гайхалтай байх болно: Паскалийн гурвалжин нь жижиг гурвалжинд хуваагдаж, гоёмсог хэв маягийг бий болгоно. Эдгээр загварууд нь олон гэнэтийн зүйлээр дүүрэн байдаг. Оройноос холдох тусам нэг тод цэг агуулаагүй, өөрөөр хэлбэл зөвхөн тэгш тоонуудаас бүрдсэн гурвалжингууд байнга нэмэгдэж байгаа гурвалжинтай тулгарах болно. Паскалийн гурвалжны орой дээр нэг цэгээс бүрдсэн "далд" гурвалжин, дараа нь 6, 28, 120, 496, ... цэгүүдийг агуулсан гурвалжин бий. Эдгээр тоонуудын гурав нь буюу 6, 28, 496 нь төгс тоонууд юм, учир нь тэдгээр нь тус бүр нь тооноос бусад бүх хуваагчийн нийлбэртэй тэнцүү юм.

Тооны паритетыг хоёр хуваасан үлдэгдлийг тэгтэй харьцуулж хялбархан тодорхойлж болно, тэгш тооны хувьд үлдэгдэл нь тэг, сондгой тооны хувьд үлдэгдэл нь нэг байна. Үлдсэн хэсгийг тодорхойлохын тулд та бараг бүх програмчлалын хэл дээр байдаг Mod функцийг ашиглаж болно. Хэрэв та програмчлахаас залхуурсан ч энэ гайхамшгийг харахыг үнэхээр хүсч байвал http://www.informika.ru/text/inftech/edu/edujava/mathematics/Pascal/Pascal.html хаягаар ороод тэндээс Паритетийг харгалзан Паскалийн гурвалжинг цэгээр зурдаг апплет.

Java хэл дээрх эх кодын холбоос бас байдаг бөгөөд та үүнийг өөрийн үзэмжээр ойлгож, сайжруулах боломжтой. Математик сонирхогчид үүссэн объектын "хугархай" нь тэр даруйд гайхах болно, эс тэгвээс бид алдарт "Сиерпински хивс" -ийн аналог болох "Сиерпинскийн гурвалжин"-аас өөр юу ч харахгүй байна. Эдгээр загварууд нь ялангуяа "Кох цасан ширхгүүд" болон Mandelbrot болон Julie Steel загваруудын хамт алдартай. сүүлийн жилүүдэдфрактал болон синергетикт дурласантай холбоотой. Эхлэгчдэд зориулж товч тайлбарлая.

Алдарт математикийн мастер Мартин Гарднерээс бид үүнийг 1905 онд жилийн жилд олж мэдсэн Математикийн олимпиадУнгарт нэгэн асуудал санал болгов: "Дөрвөлжин талбайг 9 хэсэгт (tic-tac-toe тоглоомын хувьд) хувааж, дараа нь үлдсэн 8 квадрат тус бүрийг 9 хэсэгт хуваана устгаж, процедурыг олон удаа давтаж, тухайн талбайн үр дүнд хүрэх хэмжээг олох." Үүний үр дүнд гарсан зураг бол Сиерпинскийн хивс юм - талбай нь нүхээр дүүрсэн тул шугаманд аль хэдийн ойртсон байна. Бидний харсан гурвалжинг ижил аргаар олж авч болно - эхлээд гурвалжны талуудын дунд цэгүүдийг холбож, үүссэн гурвалжинг арилгадаг.

Хоёр дахь шатанд ижил үйлдлийг үлдсэн гурван гурвалжин, дараа нь үлдсэн есөн гурвалжин гэх мэтээр гүйцэтгэнэ. Үлдсэн хэсэг нь чиглэх хязгаарыг олж чадах уу? Мөн хоёр загварын давхцлыг хэрхэн тайлбарлах вэ?

http://chaos.h1.ru/ChaosAndFractals/1/ хуудасны зохиогчид Паскалийн гурвалжинг тоогоор биш харин тэг эсвэл нэгээр дүүргэх замаар нэн даруй байгуулахыг санал болгож байна: хоёр тэг эсвэл хоёр нэгийн нийлбэр. тэгийг өгдөг (өөрөөр хэлбэл хоёр тэгш эсвэл хоёр сондгой тооны нийлбэр үргэлж тэгш байдаг), тэг ба нэгийн нийлбэр нь нэгийг өгдөг (сондгой тоотой тэгш тооны нийлбэр шиг). Энэхүү техник нь бидэнд дур зоргоороо том гурвалжин бүтээх боломжийг олгох бөгөөд үүнийг "бодит" тоогоор дүүргэх үед бид хязгаарлалттай тулгарч магадгүй юм. машины төлөөлөлтоо, мөн Mod функц асаалттай байна тооны хязгаарДавхар амжилтгүй болж эхэлдэг гэж зарласан. Дээр дурдсан хуудасны зохиогчид гурвалжинг хоёр хэмжээст массив болгон зохион байгуулахыг санал болгож байна (энэ нь бидний хийсэн зүйл), түүний талбарыг ашиглан үүрэн автоматыг загварчлахыг санал болгож байна. Энэ нь бидний амьдрал (тарвас дээр) тоглоомын тухай нийтлэлд хийсэн зүйл юм. , хэдийгээр талбайг гурвалжингаар хязгаарлахгүйгээр.

Бид цаашаа явж байна - бид паритет биш, харин бусад тоогоор хуваагдсан үлдэгдлийг шалгахыг хичээдэг бөгөөд гурвалжин харагдах бүртээ гайхдаг. Хэсэг хугацаанд тоглосны дараа та бидний шалгаж буй дугаарыг энгийн тоо болгоход тодорхой хээтэй сайхан хээ (3, 5, 7, 11, 13, 17-г тохируулаад үзээрэй..) байгааг анзаарах болно. .), мөн хуваах үеднийлмэл тоо

7 тоотой "харьцангуй" гурвалжинг бүтээж, өөрөөр хэлбэл үлдэгдэлгүйгээр 7-д хуваагддаггүй тоог хараар, хуваагддаг тоог цагаанаар зурж, хээг нь харахыг хичээ.

Комбинаторик, магадлалын онол болон Паскалийн гурвалжны хоорондын уялдаа холбоог илүү гүнзгий судлахыг хүсч буй хүмүүст бид IN THE WORLD OF SCIENCE сэтгүүлээс Грегори Ж.Чэйтиний "Арифметик дэх санамсаргүй байдал" өгүүллийг санал болгож байна. (Scientific American. Орос хэл дээрх хэвлэл). № 9 1988, http://grokhovs2.chat.ru/arith/arith.html хаягаар байрладаг, гэхдээ одоохондоо бид шинэ зүйл хийх болно - Паскалийн гурвалжинг будахыг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид эсийн өнгөний улаан, ногоон, цэнхэр бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг хариуцах гурван хувьсагчийг (r,g,b) хуваарилж, тэдгээрийн утгыг (хамгийн их нь 255-тай тэнцүү) хуваах шалгалттай холбоно. өөр өөр тоо. Дээрх программын жагсаалтад улаан өнгө нь өмнөх шигээ тооны паритетаас, ногоон өнгө нь 9-д хуваагдах чадвараас, цэнхэр өнгө нь 11-д хуваагдах чадвараас хамаарна. Туршилтын олон хувилбарыг таслах тэмдэгээр тэмдэглэсэн болно. Сэтгэгдлийн хувьд та "тэдгээрийг сэргээх" эсвэл өөрийн "хяналтын тоо" болон тэдгээрийн өнгөний сүүдэрийг гаргаж авах боломжтой.

Dim a(100, 100) Давхар бүдэг радиус Байтаар, i Байтаар, kol Байтаар Dim sdvig бүхэл тоогоор, X бүхэл тоогоор, Y бүхэл тоогоор, X1 бүхэл тоогоор, Y1 бүхэл тоогоор Хувийн дэд маягт_Load() Y = 1-д To kol For X = 1 To kol a(X, Y) = 0 Next X Next Y радиус = 5 " нүдний радиус пикселээр kol = 20 " Мөрийн тоо a(Int(kol / 2), 0) = 1 " эхлээд нэгж , үүнээс гурвалжин ургасан DrawWidth = 1 "Line зузаан For Y = 0 To kol For X = 1 To kol sdvig = радиус / 2 * (-1) ^ Y " Мөр бүрийг зүүн тийш, дараа нь баруун тийш шилжүүлнэ. Y > 0 Дараа нь sdvig > 0 бол a(X, Y) = a(X + 1, Y - 1) + a(X - 0, Y - 1) Үгүй бол a(X, Y) = a(X + 0) , Y - 1 ) + a(X - 1, Y - 1) End If End Хэрэв X1 = 60 + X * радиус * 2 + sdvig Y1 = 10 + Y * радиус * 1.7 FillStyle = 0 r = 0: g = 0 : b = 0 Хэрэв a(X, Y) > 0 Хэрэв (a(X, Y) - Int(a(X, Y) / 2) * 2) = 0 Дараа нь r = 250 "Хэрэв (a(X,) Y) / 4 ) - Int(a(X, Y) / 4) = 0 Дараа нь r = 120 "Хэрэв (a(X, Y) / 8) - Int(a(X, Y) / 8) = 0 Дараа нь r = 180 " Хэрэв (a(X, Y) / 16) - Int(a(X, Y) / 16) = 0 Дараа нь r = 250 "Хэрэв (a(X, Y) / 3) - Int(a() X, Y) / 3) = 0 Дараа нь g = 60 Хэрэв (a(X, Y) / 9) - Int(a(X, Y) / 9) = 0 Дараа нь g = 250 "Хэрэв (a(X, Y) ) / 7) - Int(a(X, Y) / 7) = 0 Дараа нь g = 180 "Хэрэв (a(X, Y) / 5) - Int(a(X, Y) / 5) = 0 Дараа нь g = 250 Хэрэв ( a(X, Y) / 11) - Int(a(X, Y) / 11) = 0 Дараа нь b = 250 "Хэрэв (a(X, Y) / 13) - Int(a(X,) Y) / 13 ) = 0 Дараа нь b = 120 "Хэрэв (a(X, Y) / 17) - Int(a(X, Y) / 17) = 0 Дараа нь b = 180 "Хэрэв (a(X, Y)) / 19) - Int(a(X, Y) / 19) = 0 Дараа нь b = 250 ForeColor = RGB(r, g, b) FillColor = RGB(r, g, b) " Бөглөх өнгө тойрог (X1, Y1) , радиус, RGB (90, 90, 90) End If Next X Next Y " Програмаас гарах Private Sub Exit_Click() End End Sub

Ингээд хөтөлбөрийн үр дүн энд байна. Сайхан биш гэж үү? Улаан гурвалжин "Сиерпинскийн бүсүүд" харагдаж байгаа бөгөөд энэ нь есөн хэсгээс ногоон цонхон дээр наасан нь шар бүсийг өгч, 11-ээр хуваагдсан цэнхэр хэсгүүд нь голт бор өнгөтэй болно. Энэ гоо сайханд байна уу ашигласан утгаХанын цаасны хэв маягаас бусад нь тодорхойгүй байгаа ч Паскалийн гурвалжин, ялангуяа өнгөт гурвалжингаас ойрын ирээдүйд ямар ч гайхамшгийг хүлээж болно. Энд бас нэг нь байна будах сонголт, алгоритмын дагуу гүйцэтгэнэ

R = a(x, y) / 3 Mod 255 g = a(x, y) / 2 Mod 255 b = a(x, y) / 4 Mod 255

Зургийг хар, үүнийг алгоритмтай холбож үзээрэй, эсвэл бүр илүү сайн бол өөрийн хувилбарыг туршиж үзээрэй. http://www.webbyawards.ru/pcworld/2001/07/130_print.htm өгүүлэлд Паскалийн гурвалжинг бүтээхдээ рекурсийг ашиглахыг санал болгож байна. Рекурс гэж юу вэ, энэ нь програмчлалд хэр оновчтой вэ гэдгийг http://arbuz.ferghana.ru/z_vetki.htm дээрээс олж болно. http://hcinsu.chat.ru/algoritm/mathem/binom.html болон http://dkws.narod.ru/math/tpas.html хуудсуудаас Паскалийн гурвалжин зохиох программуудыг, мөн http хуудаснаас олох болно. :// galibin.chat.ru/Java/Pascal/index.html Мөн дэлгэцэн дээр үүнийг зурдаг апплет байдаг, гэхдээ та одоо аль хэдийн бүрэн зэвсэглэсэн боловч эдгээр хуудсууд танд шинэ санаа өгөх боломжтой.

Паскалийн гурвалжны талаар илүү их зүйл бий сайн нийтлэл http://www.kv.by/index2002151201.htm хаягаар "Компьютерийн мэдээ" хөгжөөнт нэвтрүүлгийн булангийн хөтлөгч А.Колесников. Бид Паскалийн гурвалжныг хөдөлгөөний сонголтоор авч үзсэн бөгөөд бид тэдгээрийг дуусгах болно. Энэ хуудсан дээр тааварт зориулсан ном бий Евгения Гика "Шатар ба математик". Шатрын тавцангийн геометрт зориулсан бүлэгт (http://golovolomka.hobby.ru/books/gik/05.shtml) зохиогч өгсөн.гайхалтай жишээнүүд

Хамгийн сүүлчийн асуулт бол Паскалийн гурвалжин болон шатартай холбоотой юм. Аливаа мөр дээрх бүх тоонуудын нийлбэр хэд вэ? Эдгээр нийлбэрүүдийг дээрээс нь эхлээд бодоод үз, тэгвэл та 1, 3, 7, 15, 31,... Энгийн загварыг харахын тулд нэг их төсөөлөлтэй байх шаардлагагүй: нийлбэр. n эгнээний бүх тоо 2 n -1 байна. Тэгээд шатар үүнд ямар хамаатай юм бэ? Алдарт домогт өгүүлснээр Ража шатар бүтээгчээс хүссэн шагналаа амласан байдаг. Эхний шатарчин самбарын эхний дөрвөлжин дээр нэг үр тариа, хоёр дахь дээр хоёр, гурав дахь дээр дөрөв гэх мэтээр үргэлжлүүлэн хоёр дахин үржүүлэхийг хүсэхэд 64-р талбай хүртэл Ража бүр гомдов. эхлээд хүссэн шагналын өчүүхэн төдийгөөр. Түүний хадгалагч нар хүссэн хэмжээгээ тооцоолоход энэ үр тариа нь дэлхийг бүхэлд нь бүрхэх боломжтой болох нь тогтоогдсон бөгөөд энэ нь хүн төрөлхтний бүх ургацаас хамаагүй их юм. (Дашрамд хэлэхэд, та үр тарианы давхаргын өндрийг тооцоолж болно, жишээлбэл, 1 мм 3 үр тарианы эзэлхүүнийг харгалзан 2 64-аар үржүүлж, 1-ийг хасч, дэлхийн гадаргуугийн талбайд хувааж болно.) Тиймээс - самбарын квадрат бүрт үр тарианы тоо байх болно (байна),нийлбэртэй тэнцүү байна

Паскалийн гурвалжны харгалзах эгнээнд байгаа тоонууд ба эхний n нүдний бүх үр тарианы нийлбэр нь энэ шидэт гурвалжны эдгээр n эгнээний тоонуудын нийлбэртэй тэнцүү байх болно. Энэхүү элбэг дэлбэг уран зөгнөлийн дагуу бид дүгнэлтээ дуусгах болно.

"Паскалын гурвалжин" сэдвийн хувилбарууд

Өгүүллэг

Паскалийн гурвалжин бол бүх математикийн хамгийн алдартай, гоёмсог тооны схемүүдийн нэг юм.

Францын математикч, гүн ухаантан Блез Паскаль түүнд “Арифметик гурвалжны тухай тууж” тусгайлан зориулжээ.

Гэсэн хэдий ч энэхүү гурвалжин хүснэгтийг 1665 оноос өмнө буюу уг зохиол хэвлэгдсэн огнооноос өмнө мэддэг байсан.

Ийнхүү 1529 онд одон орон судлаач Питер Апианы бичсэн арифметикийн сурах бичгийн гарчгийн хуудсан дээр Паскалийн гурвалжныг хуулбарласан байна.

Хятадын математикч Жу Шижиэгийн 1303 онд хэвлэгдсэн “Дөрвөн элементийн Жаспер толь” номын зурагт мөн гурвалжинг дүрсэлсэн байдаг.

Философич, яруу найрагч төдийгүй математикч байсан Омар Хайям 1110 онд гурвалжин байдгийг мэддэг байсан бөгөөд үүнийг Хятад эсвэл Энэтхэгийн өмнөх эх сурвалжаас авч байжээ.

Паскалийн гурвалжны бүтээн байгуулалт Паскалийн гурвалжин бол ердөө л хязгааргүй юм "тооны хүснэгт", дээд болон хажуу талд нь нэг байдаг, үлдсэн тоо тус бүр нь өмнөх мөрөнд зүүн болон баруун талд нь түүний дээрх хоёр тооны нийлбэртэй тэнцүү байна. Хүснэгт тэнхлэгийн тэгш хэмтэй байна. түүний оройгоор дамжин өнгөрдөг.

Паскалийн гурвалжны шинж чанарууд

String Properties

n-р мөр

дараагийн өмч

Гурвалжин тоо
Гурвалжин, тетраэдр болон бусад тоонуудыг гурвалжны хажуу талуудтай параллель диагональуудын дагуу байрлуулна. Гурвалжин тоонууд нь гурвалжин хэлбэрээр байрлуулсан бөмбөг эсвэл бусад объектын тоог заана (эдгээр тоонууд нь дараах дарааллыг бүрдүүлнэ: 1,3,6,10,15,21,..., 1 нь эхний гурвалжин тоо, 3 нь хоёр дахь гурвалжин тоо, 6-3, m-ro хүртэлх тоо бөгөөд энэ нь тэгээс (m-1)-р хүртэлх эхний m мөрөнд Паскалийн гурвалжны хэдэн гишүүн байгааг харуулдаг.

Тетраэдр тоо
1,4, 10, 20, 36, 56,... дарааллын гишүүдийг пирамид буюу бүр тодруулбал тетраэдр тоо гэж нэрлэдэг: 1 нь эхний тетраэдр тоо, 4 нь хоёр дахь, 10 нь гурав дахь гэх мэт. m-ro хүртэл . Эдгээр тоонууд нь маягтанд хэдэн бөмбөг овоолж болохыг харуулж байна гурвалжин пирамид(тетраэдр).

Фибоначчийн тоо
1228 онд Италийн нэрт математикч Пизагийн Леонардо, одоо Фибоначчи гэгддэг алдарт "Абакийн ном"-оо бичжээ. Энэ номонд гарсан асуудлын нэг болох туулайн үржлийн асуудал нь 1,1,2,3,5,8,13,21... гэсэн тоонуудын дарааллыг бий болгосон бөгөөд энэ нь 3-раас эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх хоёр нөхцлийн нийлбэр. Энэ дарааллыг Фибоначчийн цуврал, Фибоначчийн цувралын гишүүдийг Фибоначчийн тоо гэж нэрлэдэг. n-р Фибоначчийн тоог тэмдэглэж байна

Фибоначчийн цуврал болон Паскалийн гурвалжин хоёрын хооронд сонирхолтой холбоо бий. Паскалийн гурвалжны өсөх диагональ бүрийн хувьд бид энэ диагональ дээрх бүх тоонуудын нийлбэрийг үүсгэдэг. Бид эхний диагональд 1, хоёр дахь нь 1, гурав дахь нь 2, дөрөв дэх нь 3, тав дахь нь 5-аас илүүг авсангүй. Тоонуудын нийлбэр үргэлж байдаг нь харагдаж байна n-р диагональнь n-р Фибоначчийн тоо юм. Бидний сонирхож буй саналыг батлахын тулд Паскалийн гурвалжны n ба (n+1) диагональуудыг бүрдүүлдэг бүх тооны нийлбэр нь түүний m+-ийг бүрдүүлдэг тоонуудын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг харуулахад хангалттай. 2-р диагональ.

Бином коэффициентүүд
Хэвтээ шугам дээрх тоонууд нь бином коэффициент юм. n дугаартай мөр нь бином тэлэлтийн (1+n)n коэффициентүүдээс бүрдэнэ. Үүнийг Паскалийн үйлдлийг ашиглан харуулъя. Гэхдээ эхлээд бином коэффициентүүд хэрхэн тодорхойлогддогийг төсөөлье.

1+x хоёр гишүүнийг авч 0, 1, 2, 3 гэх мэт зэрэглэлд хүргэж, үүссэн олон гишүүнтүүдийг х үсгийн зэрэглэлээр цэгцэлж эхэлцгээе. Бид авна

1.(1+x)0=1,
2.(1+x)1=1+x,
3. (1 +x)2=(1 +x)(1 +x)= 1 +2x+x2,
4.(1+х)3=1+Зх+Зх2+хЗ
гэх мэт.

Ерөнхийдөө аливаа бүхэл бүтэн сөрөг бус тоо n
(1+x)n=a0+a1x+a2x2+...+apxp,
хаана a0,a1,...,ap

Сүүлчийн хамаарлыг бидний олж авсан 1-4-р харилцаанаас хэлбэрээр болон дахин бичиж болно

Элемент бүр нь Паскалийн гурвалжин үүссэн

Чухамхүү Паскалийн гурвалжны үндсэн шинж чанар нь түүнийг зөвхөн комбинаторик ба магадлалын онолтой төдийгүй математикийн бусад салбар, түүний хэрэглээтэй холбодог.

Паскалийн гурвалжинг ашиглан бодлого бодох

Санамсаргүй байдлын талаархи эртний асуудлууд
Эрт дээр үеэс янз бүрийн мөрийтэй тоглоом. IN Эртний Грекболон Ром хотод тоглогчид амьтны яс шидэх үед хунчирын тоглоом өргөн тархсан. Мөн алдартай шоо- ирмэг дээр тэмдэглэгдсэн цэгүүдтэй шоо. Мөрийтэй тоглоом хожим дундад зууны Европ даяар тархсан.

Эдгээр тоглоомууд математикчдад маш их зүйлийг өгсөн сонирхолтой даалгавар, энэ нь хожим магадлалын онолын үндэс болсон. Бооцоог хуваахтай холбоотой асуудал маш их алдартай байсан. Эцсийн эцэст, дүрмээр бол тоглоомыг мөнгөөр тоглодог байсан: тоглогчид бооцоо тавьж, ялагч нь бүх дүнг авсан. Гэсэн хэдий ч тоглолт дуусахаас өмнө заримдаа тасалдсан бөгөөд мөнгөө хэрхэн хуваах вэ гэсэн асуулт гарч ирэв.

Олон тооны математикчид энэ асуудлыг шийдэхийн тулд ажиллаж байсан, гэхдээ хүртэл 17-р зууны дунд үеолон зууны турш тэд түүнийг хэзээ ч олсонгүй. 1654 оны хооронд Францын математикчидБидний сайн мэдэх Блэйз Паскаль, Пьер Фермат нар бооцоог хуваах зэрэг хэд хэдэн комбинаторын асуудлуудын талаар захидал харилцааг эхлүүлсэн. Аль аль нь эрдэмтэд хэдийгээр хэд хэдэн янз бүрийн аргаар, ирсэн зөв шийдвэр, тоглоом үргэлжилсэн тохиолдолд бүх дүнг хожих магадлалд бооцоог хуваах.

Тэдний өмнө математикч нарын хэн нь ч захидал харилцаандаа үйл явдлын магадлалыг тооцоолоогүй, магадлал ба комбинаторикийн онол анх удаа шинжлэх ухааны үндэслэлтэй байсан тул Паскаль, Фермат нар магадлалын онолыг үндэслэгч гэж үздэг.

Паскалийн тоон хүснэгтийг ашиглан шийдсэн Фермагийн нэг бодлогыг авч үзье.

Бүх тоглолтонд хожихын өмнө А тоглогчид хоёр тоглолт, В тоглогчид гурван тоглолт хэрэгтэй байг. Тоглолт тасалдсан бол бооцоог хэрхэн шударгаар хуваах вэ?

Паскаль тоглогчдод дутуу байгаа тоглоомын тоог нэмж, хүснэгтийн мөрийг авч, нөхцлийн тоо нь олсон нийлбэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл 5. Дараа нь А тоглогчийн эзлэх хувь нь гурвын нийлбэртэй тэнцүү байх болно (доор) B тоглогчид дутуу байгаа тоглоомын тоо) тав дахь эгнээний эхний нөхцлүүд, тоглогч В-ийн эзлэх хувь нь үлдсэн хоёр тооны нийлбэр юм. Энэ мөрийг бичье: 1,4,6,4, 1. А тоглогчийн хувь 1+4+6=11, Б-ийн хувь -1+4=5.

Бусад арифметик гурвалжин

Барилга нь мэдэгдэж буй нэг параметрийн хослолын тоонуудтай холбоотой гурвалжнуудыг авч үзье. Ийм гурвалжныг бий болгох нь дээр дурдсан Паскалийн гурвалжинг бүтээх зарчим дээр суурилдаг.

Лукийн гурвалжин

Барилга байгууламжийг авч үзье арифметик гурвалжин. Энэ гурвалжинӨсөх диагональ дээрх тоонуудын нийлбэр нь Лукасын тоонуудын дарааллыг өгдөг тул Лукасын гурвалжин гэж нэрлэдэг: 1, 3, 4, 7, 11, 18, / гэж тодорхойлж болно.

Ln=Ln-1+Ln-2, L0=2, L1=1

Гурвалжны элемент бүрийг Паскалийн дүрмээр Ln+1,k=Ln, k-1+Ln, k L1,0=1, L1,1=2 ба L0,k=0 анхны нөхцлөөр тодорхойлно.

өөрөөр хэлбэл n-р мөргурвалжин ангаахай авч болно n-ийг нэмэхболон Паскалийн гурвалжны (n-1)-р эгнээ.

Фибоначчийн гурвалжин

Тэгшитгэлийг хангасан тоонуудаас (fm, n).
fm, n=fm-1,n+fm-2,n,
fm, n=fm-1,n-1+fm-2,n-2, энд c анхны нөхцөл f0,0=f1,0=f1,1=f2,1=1 дараагийн гурвалжинг байгуулна.

fm, n =fn fn-m, m Є n Є 0, энд fn нь n-р Фибоначчийн тоо юм. Баригдсан гурвалжинг Фибоначчийн гурвалжин гэж нэрлэдэг.

Трибоначчийн гурвалжин

Паскалийн гурвалжинг бүтээх арга дээр үндэслэсэн өөр гурвалжинг авч үзье. Энэ бол Трибоначчийн гурвалжин юм. Өсөх диагональ дээрх элементүүдийн нийлбэр нь Трибоначчийн тоонуудын дарааллыг бүрдүүлдэг: 1,1,2,4,7,13,24,44,..., үүнийг дараах давталтын хамаарлаар тодорхойлж болно. : tn+3 = tn+2 + tn+1 + tn анхны нөхцөл t0 = 1, t1 = 1, t2 = 2

"Гурвалжин гурвалжин"

"Тэмдгийн гурвалжин" барих

Бидний өмнө Паскалийн гурвалжин үүсэх зарчмын дагуу зөвхөн тэмдэг, эерэг, сөрөг талуудаас бүрдсэн гурвалжин бий. Сүүлийнхээс ялгаатай нь энэ нь суурь дээр байрладаг.

Нэгдүгээрт, дурын тооны тэмдэгтүүд болон тэдгээрийн байршлаас бүрдэх эхний мөрийг тохируулна. Дараагийн мөрийн тэмдэгт бүрийг хоёр дээд тэмдэгтийг үржүүлснээр олж авна.

Бидний хийх ёстой ажлуудын нэг бол эхний мөрөнд хэдэн тэмдэгт байх үед хасах болон нэмэх хоёрын тоо ижил байхыг тогтоох явдал юм. Нийт тоо хэмжээХүснэгт дэх тэмдэгтүүдийг томъёогоор тодорхойлж болно

Энд n нь эхний мөрөнд байгаа тэмдэгтүүдийн тоо юм.

Хасах ба нэмэхийн тоо тэнцүү байж болох тоонуудын дараалал үүсдэг: 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 16,..., тус бүр нь эхний мөрөнд байгаа тэмдэгтүүдийн тоог харуулна. . Гэсэн хэдий ч ямар тэмдэглэгээний дарааллаар хасах болон нэмэх тоо нь өвөрмөц байх нь тогтоогдоогүй байна.

Тэмдгийн үржвэрийн гурвалжинтай холбоотой бидний хоёрдахь ажил бол "тэмдгийн гурвалжин"-д байж болох хамгийн бага тооны давуу талыг тогтоох явдал юм.

Эхний мөрөнд тэмдэгтүүдийн сонирхолтой дараалал байдаг: +, -, -, +, -, -, ... (эсвэл -, -, + ,- ,- ,+ , ...) Дээр дурдсанчлан хамгийн бага нь 1/3-тай тэнцүү гэж тооцогддог нийт тоотэмдэг, өөрөөр хэлбэл тэнцүү

Хэрэв та гурвалжинг аажмаар тойрч байвал +, -, -, ... тэмдгүүдийн дараалал хэвээр үлдэх болно гэдгийг анхаарах нь чухал юм.