Урт эргийн шугам

Үүнийг хэмжих боломжтой юу?
Сурах бичигт уртыг зааж өгөх эрх бидэнд бий юу?
эргийн шугам, бид ичиж зовохгүй байна уу,
Энэ тоог оюутнуудаас асууж байна уу?

К.С. ЛАЗАРЕВИЧ

Газарзүйн хичээл дээр бид олон статистик үзүүлэлтээр ажилладаг. Тэдний ихэнх нь маш энгийн бөгөөд ойлгомжтой харагдаж байна: маш их сая хүн, өчнөөн сая тонн нүүрс, өчнөөн километр. Гэхдээ хэрэв та энэ талаар бодохгүй бол ийм зүйл болно. Гэхдээ та ямар ч тоог илүү гүнзгийрүүлэх хэрэгтэй бөгөөд энэ нь тодорхой байхаа болино. Заримдаа энэ нь тоос болж сүйрдэг. Энд жишээнүүд байна.
Саяхан худалдаанд гарсан "Дэлхийн Атлас" номыг бид нээж байна (М.: Холбооны улсын нэгдсэн үйлдвэрийн газрын зураг зүйн үйлдвэрлэлийн холбоо, 2003). "Дэлхийн муж, нутаг дэвсгэр" гэсэн хүснэгтээс бид: "Францын нийслэл нь Парис (2,125.2 мянган оршин суугч) юм. Шалгалтанд оюутан ийм тоо гаргавал шалгуулагч сэтгэл хангалуун байх уу? Эцсийн эцэст Парис бол тэдний нэг юм хамгийн том төвүүдЕвроп болон Санкт-Петербургээс багагүй. Гэхдээ өгөгдсөн зурагт алдаа байхгүй: энэ бол Парис хот юм захиргааны хил хязгаарПарис хот. Мөн үнэхээр тогтсон хотын кластерын хүрээнд энэ нь арван сая долларын өртөгтэй хот юм. Хэрхэн тоолохоос их зүйл шалтгаална. Энэ нь бид оюутны 2.2-оос 10 хүртэлх тооны аль ч тоог хариулт болгон хүлээн авах боломжтой гэсэн үг биш юм; Оюутан энэ эсвэл тэр тоог иш татахдаа түүний ард юу байгааг, юуг хэрхэн хэмжиж байгааг ойлгох ёстой.
Сая тонн илчлэг ихтэй, хүрэн нүүрс хоёр өөр сая.
Гэхдээ километр юм шиг санагдсан. Африкт нэг километр нь бас нэг километр юм. Тэгээд юуг километрээр хэмждэгийг асууж болох уу? Гэхдээ уртыг километрээр өгөхдөө ч сурах бичгийг зохиогч эхлээд бодох ёстой юм байна. Сурах бичгийг ашиглаж байгаа багш нь тухайн дүрсийг оюутнуудад түгээхээс өмнө шүүмжлэлийн шинжилгээнд хамруулж, цээжлэхийг шаарддаг. Бид 10-р ангийн сурах бичгийг уншсан: “Канад гурван далайд гарцтай, мөн нийт уртТүүний далайн эргийн шугам (ойролцоогоор 250 мянган км) дэлхийд ижил байдаггүй. Эргийн шугамыг хэрхэн хэмжиж, юуг хэмжсэн, хэрхэн хэмжиж, юугаар хэмжсэн бэ? Эргийн шугамыг яаж хэмжих вэ?

Газрын зураг дээрх жигд бус муруйг муруй хэмжигч ашиглан хэмжиж болно - энэ төхөөрөмжийн дугуйг муруй дагуу эргэлдэж, муруй бүрийг анхааралтай тэмдэглэнэ. Гэсэн хэдий ч эргийн шугамын эргүүлэг нь ихэвчлэн маш их байдаг тул үүнийг муруй хэмжигчээр дагах боломжгүй байдаг. Та муруй дагуу хэмжих луужингаар алхах хэрэгтэй. Хамгийн тохиромжтой алхамын урт нь 2 мм байна. Өөр өөр масштабаар энэ алхам нь мэдээжийн хэрэг өөр өөр зайд нийцдэг, ийм хэмжилт нь хэзээ ч тодорхой уртыг өгөхгүй, учир нь алхам бүр нь жижиг сегмент дээр муруйлтыг шулуун болгодог, гэхдээ харьцангуй алдааих бага хэмжээгээр хадгалагдсан.
Жишээ болгохын тулд Чукоткийн автономит тойргийн эргийн шугамын уртыг хэмжихийг хичээцгээе. ОХУ-ын газарзүйн сургуулийн атласаас газрын зургийг (1: 22,000,000 масштабтай) авч, хоёр миллиметрийн луужингийн алхмаар (44 км) Чукча эргийг бүхэлд нь алхцгаая. Үр дүн нь 4300 км (луужингийн 98 алхам) болно. Масштабтай газрын зургийг ашиглан ижил хэмжилт хийцгээе
1: 7,500,000 бид 345 хоёр миллиметр (15 км) алхамыг тоолох болно
5200 км. Хэрэв газрын зургийг хэмжилтэнд ашигласан бол гэж үзэх нь логик юм илүү өргөн хүрээнд, хэмжсэн эргийн шугам улам урт болно.
Дахиад нэг туршилт хийцгээе. Ленинград мужийн эргийн шугамын урт. газрын зураг дээр
1: 22,000,000 - 300 км, газрын зургийн дагуу 1: 2,500,000 - 555 км, мөн дагуу байр зүйн зураг
1: 500,000 - 670 км. Үүний зэрэгцээ, зөвхөн Выборг булангийн эргийн шугамын урт (эрэг нь ялангуяа булан, булангаар оршдог) байр зүйн газрын зургаас хэмжсэн бол 338 км байна. сургуулийн атлас- 65 км (ялгаа нь илүү
5 удаа!).
Тиймээс масштаб нэмэгдэхийн хэрээр хэмжсэн эргийн шугамын уртын байгалийн өсөлт ажиглагдаж байна. Үүний шалтгаан нь луужингийн хоёр миллиметрийн алхам нь газар дээрх улам бага утгатай тохирч байгаа төдийгүй голчлон шугам өөрөө маш нарийн хэмжиж, километрийн хуваарийн дагуу хөрвүүлсэн ч үнэн хэрэгтээ болдог. урт (Зураг 1) . Ленинград мужийн эрэг орчмын Оросын газрын зураг дээр. Зөвхөн Выборг булан, Нева булан, Финляндын булангийн өмнөд эргийн жижиг тохойнууд л харагдаж байна. 1: 2,500,000 масштабтай газрын зураг дээр Выборг булангийн тойм нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд өмнөд хэсэгт Копорская, Луга булан тод харагдаж байна. Хагас сая жилийн настай газрын зураг дээр Выборг булан дотор өөр олон жижиг булан байдаг бөгөөд тэдгээрийн зарим нь зохих нэрс(Baltiets Bay, Klyuchevskaya Bay), зөвхөн Өмнөд эрэгФинландын булан өмнөх цар хүрээтэй харьцуулахад бараг өөрчлөгдөөгүй харагдаж байна;

Далайн эргийн уртыг яг яаж тодорхойлох вэ?
Английн цаг уурч Ричардсон энэ зорилгоо өөртөө тавьж, өөрийн төрөлх арал Их Британийг туршилтын талбар болгон сонгожээ. Тэрээр энэ уртыг хэмждэг газрын зургийн масштаб нэмэгдэх тусам эргийн шугамын урт нэмэгддэг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн (Зураг 2). Энэ өсөлтөд хязгаар бий юу? Бараг. Далайд цутгаж буй жижиг элсэн нулималт, жижиг булан үүсгэсэн хонхор бүр, усны эргэн тойронд урсах хайрга бүрээр эргийн шугамын урт нэмэгддэг. Хамгийн том масштабтай газрын зураг дээр ч тэдгээр нь харагдахгүй байгаа ч бодит байдал дээр далайн эрэг дээрх эдгээр бүх жигд бус байдал байдаг.

Математикийн аргуудыг ашигласнаар газарзүйн судалгааг илүү үнэмшилтэй, найдвартай болгодог олон жишээ бий. Энд эсрэгээрээ болсон: газарзүйн судалгаа - эргийн шугамын уртыг судлах нь шинэ газар бий болоход хувь нэмэр оруулсан. математикийн ойлголт. Энэ ойлголтын англи нэр нь фрактал боловч орос хэл дээр энэ нь бүрэн шийдэгдээгүй байгаа бөгөөд гурван хувилбараар олддог. фрактал(удам ба багажийн хэрэгболно фрактал, фрактал), фракталэрэгтэй хүйсийн хувьд ( фрактал, фрактал) Мөн фракталэмэгтэйлэг хүйсээр ( фракталууд, фрактал); ард Сүүлийн үедруу хазайж байх шиг байна фрактал.
Фрактал гэдэг нь фрагмент бүр нь хязгааргүй нарийн төвөгтэй болж, фрагмент бүрийн урт болон бүхэл бүтэн шугам нь байнга нэмэгдэж байдаг шугам юм. Үүний нэг жишээ бол Кохын цасан ширхгийг ихэвчлэн нэрлэдэг бөгөөд энэ нэр буруу боловч энэ цасан ширхгийг 20-р зууны эхээр барьсан. Хельга фон Кох, түүний овог нэрээс татгалзаж болохгүй.
Авцгаая тэгш талт гурвалжин. Тал бүрийг гурван тэнцүү хэсэгт хувааж, тал бүрийн дунд хэсэгт тэгш талт гурвалжин байгуулъя. Та ердийн зургаан хошуут од, зургаатай дүрсийг авах болно гүдгэр булангуудболон зургаан ирж байна. Түүний тал бүрийг (мөн эдгээр тал нь 12 тал байдаг) гурван тэнцүү хэсэгт хувааж, тал бүрийн дунд хэсэгт дахин ижил талт гурвалжин байгуулъя. Үүний үр дүнд 48 талтай, 18 гүдгэр, 30 давтагдах өнцөг бүхий зураг гарна. Энэ үйлдлийг давтаж байна хязгааргүй тооудаа (энэ нь мэдээжийн хэрэг, зөвхөн оюун санааны хувьд хийж болно), бид талбай нь байнга нэмэгдэж байгаа, гэхдээ илүү удаан, аажмаар тодорхой хязгаарт ойртож байгаа дүрсийг авдаг (Зураг 3). Энэ зургийн периметр нь тодорхой бус хугацаагаар нэмэгддэг, учир нь бид зургийн тал дээр шинэ тэгш талт гурвалжин барих бүрт хичнээн жижиг байсан ч энэ талын гурван тэнцүү сегментийг дөрвөн тэнцүү сегментээр сольдог тул тал бүрийн урт (тиймээс бүхэл бүтэн периметр) 4/3 дахин нэмэгдэж, нэгээс их тоо нь хязгааргүйтэй тэнцэх чадалтай (мөн бид барилгын ажлыг хязгааргүй олон удаа хийдэг) хязгааргүй байх хандлагатай байдаг.

Цасан ширхгийн хил нь бүхэлд нь дүүргэх өргөн, сэгсгэр шугам шиг зүйл байх болно хилийн бүсэнэ тоо. Сонгодог математикийн үүднээс утгагүй мэт санагдах "өргөн шугам", "зузаан гадаргуу" гэсэн ойлголтууд (шугам нь өргөнгүй, гадаргуу нь зузаангүй) фракталын онолыг хөгжүүлснээр иргэний эрхийг олж авсан. . Шугам нь нэг хэмжээст, зөвхөн урттай, түүн дээрх цэгийн байрлалыг нэг координатаар тодорхойлдог гэж үздэг; гадаргуу нь хоёр хэмжээст, талбайтай, түүн дээрх цэгийн байрлалыг хоёр координатаар тодорхойлно; бие нь гурван хэмжээст, эзэлхүүнтэй, гурван координат хэрэгтэй. Мөн фракталуудын онол нь бутархай хэмжээсийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн: шугам нь хоёр хэмжээст биш, харин нэг хэмжээст байхаа больсон. Бэлтгэлгүй хүнд үүнийг ойлгоход нэлээд хэцүү байдаг (та нэг хагас удаа найтаах боломжгүй), гэхдээ хэрэв бид далайн эргийн шугам хэрхэн биеэ авч явдагийг санаж байвал - зөвхөн газрын зураг дээр төдийгүй байгальд, хэрэв та харвал энэ нь хэрхэн өөрчлөгддөгийг санаж байвал. Суух, дараа нь өндөрт босох, дараа нь ууланд авирах, дараа нь онгоц эсвэл сансрын хөлөг дээр хөөрөх, бид юуг мэдрэх болно гэдгийг ойлгохгүй байх болно. нарийн төвөгтэй системэнэ мөрийг төлөөлдөг; Түүний хувьд нэг шинж чанар нь хангалттай биш юм - урт.
Газарзүйн судалгаанаас үүссэн фракталын онол өөрөө газарзүйн тусламжид ирдэг. Фрактал хэлбэрээр рельефийг судлах арга хараахан боловсруулагдаагүй байгаа ч амлалт өгөх нь гарцаагүй. Тайвшралыг харахад ерөнхий үзэл, үүнийг жижиг хэмжээний газрын зураг дээр зурахад бид нуруу, өндөрлөг, гүн хөндийг хардаг. Дунджаар толгод, жижиг хөндий, гуу жалга аль хэдийн гарч ирдэг. Бүр илүү том бол элсэн дээрх довцог, салхины долгионыг харж болно. Гэхдээ энэ бол хязгаар биш: бие даасан хайрга, элсний ширхэгүүд байдаг. Практикийн хувьд энэ бүхэн чухал бөгөөд учир нь та янз бүрийн масштабтай газрын зураг дээр дүрслэх объектыг хэрхэн зөв сонгох талаар сурах хэрэгтэй; Газрын зураг хөрвүүлэгчдийн гол алдаануудын нэг нь газрын зургийн агуулга, масштабын зөрүү юм.
Гэхдээ эргийн шугамын уртыг яах вэ? Хэмжихийн аргагүй учраас хэмжихээс татгалзах уу?
Үгүй ээ, энэ сонголт биш. Энгийнээр хэлэхэд, эргийн шугамын уртыг өгөхдөө ямар масштабтай, ямар аргаар хэмжсэнийг үргэлж зааж өгөх хэрэгтэй. Мөн нэгэн зэрэг нөхцөлийг бүрдүүлэхээ мартуузай, арлуудын эргийн шугамыг харгалзан үзсэн эсэх.Газрын зургийн цар хүрээ, арлууд багтсан эсэхийг заагаагүй бол эргийн шугамын уртын талаархи мэдээлэл утгагүй болно. Харамсалтай нь, бүрэн найдвартай гэж үздэг эх сурвалжаас ч аймшигтай утгагүй зүйлийг олж мэдэх боломжтой. Жишээлбэл, ТТГ-ын алдартай вэбсайт " ДэлхийБаримт ном". Энд эргийн шугамын мэдээллийг улс орон, далай тус бүрээр өгсөн боловч хэмжилтийн аргыг заагаагүй болно. Үүний үр дүнд Канадын эргийн шугам нь 200 мянга гаруй км, Хойд мөсөн далай - 45.4 мянган км, Атлантын далай - 111.9 мянган км (өгөгдлийн дагуу - үүнийг буруугаар бодох хэрэггүй! -). хамгийн ойрын километр). Канад арлуудыг харгалзан үзсэн, энэ нь тодорхой юм; Далайг хэрхэн авч үзсэн нь тодорхойгүй боловч Канадыг тойрсон гурван далайн хоёрынх нь эргийн шугам нь зөвхөн Канадын эргийн шугамаас бага байна. Норвегийн хувьд энэ тоо 21,925 км бөгөөд тэмдэглэлд: “Эх газар 3419 км, том арлууд 2413 км, урт фьорд, олон тооны жижиг арлууд, жижиг тохой [шууд утгаараа орчуулагдсан ховил] эргийн шугам 16,093 км.” Нийт дүн нь яг заасны дагуу байна нийт уртэргийн шугам. Гэхдээ яагаад фьордын эрэг нь эх газрын эргийн шугамын нэг хэсэг биш юм бэ, яагаад эргийн уртыг эх газрын эргийн шугамын уртад нэмдэг, аль арлуудыг том гэж үздэг вэ - энэ бүгдийг бид зөвхөн таамаглаж чадна. Энэ хүснэгтэд маргаангүй өгөгдлийг зөвхөн Андорра, Австри, Ботсвана, Унгар, Свазиланд болон далайд гарцгүй ижил төстэй орнуудад өгсөн болно: "0 км" гэж бичсэн байна.

Парадоксын жишээ: хэрэв Их Британийн эргийн шугамыг 100 км-ээр хэмждэг бол түүний урт нь ойролцоогоор 2800 км байна. Хэрвээ 50 км хэсгийг ашиглавал урт нь ойролцоогоор 3400 км буюу 600 км урт байна.

Эргийн шугамын урт нь түүнийг хэрхэн хэмжихээс хамаарна. Хуурай газар нь хэдэн зуун километрээс эхлээд миллиметрээс бага хэмжээтэй ямар ч хэмжээтэй муруйгаар тодорхойлогддог тул хэмжихэд шаардлагатай хамгийн жижиг элементийн хэмжээг сонгох тодорхой арга байхгүй. Тиймээс энэ талбайн периметрийг хоёрдмол утгагүй тодорхойлох боломжгүй юм. Энэ асуудлыг шийдэх янз бүрийн математикийн ойролцоо тооцоолол байдаг.

Хил, эргийн шугамын уртыг тооцоолох гол арга бол давхарлах явдал байв Н тэнцүү сегментүүдурт ллуужин ашиглан газрын зураг эсвэл агаарын гэрэл зураг дээр. Сегментийн төгсгөл бүр нь хэмжиж буй хил хязгаарт хамаарах ёстой. Хилийн үнэлгээний зөрүүг судалснаар Ричардсон одоогийн гэж нэрлэгддэг зүйлийг олж мэдсэн Ричардсон эффект: Хэмжилтийн хуваарь нь бүх сегментийн нийт урттай урвуу пропорциональ байна. Өөрөөр хэлбэл, захирагч нь богино байх тусам хэмжсэн хил нь урт болно. Тиймээс Испани, Португалийн газарзүйчид янз бүрийн хэмжүүрээр хэмжилт хийх замаар удирддаг байв.

Ричардсоны хувьд хамгийн их анхаарал татсан зүйл бол үнэ цэнэ байсан юм лтэг рүү чиглэдэг, эргийн урт нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Ричардсон эхлээд Евклидийн геометрийн үндсэн дээр энэ урт нь ердийнх шиг тогтмол утгад хүрнэ гэж итгэж байсан. геометрийн хэлбэрүүд. Жишээлбэл, периметр ердийн олон өнцөгт, тойрог дотор бичээстэй, талуудын тоо нэмэгдэх тусам тойргийн урт руу ойртдог (мөн тал бүрийн урт нь багасдаг). Геометрийн хэмжилтийн онолд тойрог гэх мэт гөлгөр муруйг ойролцоогоор өгөгдсөн хязгаартай жижиг сегмент хэлбэрээр дүрсэлж болох муруйг шулуун муруй гэж нэрлэдэг.

Ричардсон ажлаа дуусгаад арав гаруй жилийн дараа Манделброт математикийн шинэ салбар болох фрактал геометрийг боловсруулж, байгальд байдаг, тухайлбал төгсгөлгүй далайн эрэг гэх мэт засч залруулах боломжгүй цогцолборуудыг дүрсэлсэн. Түүний өөрийн гэсэн тодорхойлолтфрактал нь түүний судалгааны үндэс нь дараах байдалтай байна.

Би нэг үг зохиосон фрактал, Латин нэр томъёог үндэс болгон авч фрактус. Харгалзах латин үйл үг frangereгэсэн үг завсарлага: Тогтмол бус фрагмент үүсгэх. Тиймээс "хэсэгчилсэн" зүйлээс гадна энэ нь үндэслэлтэй юм. фрактусмөн "тогтмол бус" гэсэн утгатай байх ёстой.

Фракталуудын гол шинж чанар нь ижил төстэй байдал бөгөөд ижил төстэй байдлын илрэлээс бүрддэг нийт тооямар ч хэмжээгээр. Далайн эргийн шугамыг булан, хошууны ээлж гэж үздэг. Таамаглалаар, хэрэв тухайн эргийн шугам нь өөртэйгөө ижил төстэй шинж чанартай бол аль нэг хэсэг нь хэчнээн томорсон байсан хамаагүй, жижиг булан, хошууны том булан, хошууны мөхлөг хүртэл давхцсан ижил төстэй загвар хэвээр байх болно. элс. Эдгээр хэмжүүрээр далайн эргийн шугам нь булан, хошууны стохастик зохион байгуулалттай, агшин зуур өөрчлөгддөг, эцэс төгсгөлгүй утас мэт харагдаж байна. Ийм нөхцөлд (гөлгөр муруйгаас ялгаатай) Манделброт: "Эргийн шугамын урт нь үүнийг ойлгохыг оролдсон хүмүүсийн хурууны хооронд гулсдаг, ойлгомжгүй ойлголт юм."

Энд эргийн шугамын урт L нь ε нэгжийн функц бөгөөд баруун талын илэрхийллээр ойролцоолно. F нь тогтмол, D нь эргийн шугамаас хамааран Ричардсон параметр юм (Ричардсон өгөөгүй. онолын тайлбарЭнэ хэмжигдэхүүнийг Манделброт D-г Хаусдорф хэмжигдэхүүний бүхэл бус хэлбэр, хожим нь фрактал хэмжигдэхүүн гэж тодорхойлсон. Өөрөөр хэлбэл, D нь "барзгар" -ын практик хэмжсэн утга юм). Дахин бүлэглэж байна баруун талилэрхийлэл, бид олж авна:

Энд Fε -D нь L-ийг авахад шаардлагатай ε нэгжийн тоо байх ёстой. Фрактал хэмжигдэхүүн нь фракталыг ойролцоолоход хэрэглэгддэг объектын хэмжээсийн тоо юм: цэгийн хувьд 0, шугамын хувьд 1, талбайн дүрсийн хувьд 2. Далайн эргийн уртыг хэмжсэн тасархай шугам нь нэг чиглэлд сунадаггүй бөгөөд нэгэн зэрэг талбайг төлөөлдөггүй тул илэрхийлэл дэх D-ийн утгыг эзэлнэ. завсрын байрлал 1-ээс 2-ын хооронд (эрэг орчмын хувьд ихэвчлэн 1.5-аас бага). Үүнийг 2ε өргөнтэй зузаан зураас эсвэл зураас гэж ойлгож болно. Илүү олон "эвдэрсэн" эрэг бий илүү өндөр үнэ цэнэ D ба ингэснээр L нь ижил ε-ийн хувьд илүү урт болж хувирна. Манделброт D нь ε-ээс хамаардаггүйг харуулсан.

Ерөнхийдөө эргийн шугамууд нь математикийн фракталуудаас ялгаатай байдаг, учир нь тэдгээр нь зөвхөн статистикийн хувьд хэв маягийг бий болгодог олон тооны жижиг нарийн ширийн зүйлийг ашиглан үүсдэг.

Бодит байдал дээр далайн эрэг дээр 1 см-ээс бага дэлгэрэнгүй мэдээлэл байдаггүй. ] . Энэ нь элэгдэл болон бусад далайн үзэгдлээс үүдэлтэй юм. Ихэнх газруудад хамгийн бага хэмжээ нь хамаагүй өндөр байдаг. Тиймээс хязгааргүй фрактал загвар нь эргийн шугамд тохиромжгүй.

Практик шалтгааны улмаас хэмжилтийн нэгжийн дараалалтай тэнцүү хэсгүүдийн хамгийн бага хэмжээг сонгоно. Тиймээс, хэрэв эргийн шугамыг километрээр хэмждэг бол бага зэргийн өөрчлөлтүүднэг километрээс хамаагүй бага шугамыг зүгээр л тооцдоггүй. Эргийн шугамыг сантиметрээр хэмжихийн тулд нэг см орчимд байгаа бүх жижиг өөрчлөлтийг харгалзан үзэх шаардлагатай. Гэсэн хэдий ч см-ийн дарааллаар хэмжилт хийхдээ жишээлбэл, амсар далайтай нийлдэг газар эсвэл өргөн ваттаар хэмжилт хийх шаардлагатай газруудад дурын фрактал бус янз бүрийн таамаглалуудыг хийх ёстой. Үүнээс гадна хэрэглээ янз бүрийн аргаХэмжилтийн янз бүрийн нэгжийн хэмжилтүүд нь энгийн үржүүлгийн тусламжтайгаар эдгээр нэгжийг хөрвүүлэхийг зөвшөөрдөггүй.

Нөхцөл байдлыг тодорхойлох нутаг дэвсгэрийн усКанадын Бритиш Колумб мужийн эргийн муруйг барьж байгаа нь Канадын эргийн шугамын уртын 10 гаруй хувийг эзэлдэг (Канадын Арктикийн архипелагын бүх арлуудыг харгалзан үзвэл) - 243,042 км-ээс 25,725 км; км шугаман зайд ердөө 965 км

Газарзүйн хичээлийг судлахдаа мэдээжийн хэрэг улс орон бүр өөрийн гэсэн нутаг дэвсгэр, хилийн урттай байдаг, ялангуяа хэрэв тухайн улс далай эсвэл далайгаар угаагдсан бол тодорхой урттай далайн хилтэй байдаг гэдгийг санаарай. Энэ хилийн уртыг хэрхэн тодорхойлдог талаар та бодож байсан уу? 1977 онд Америкийн математикч Бенуа Манделброт өөрийгөө тогтоожээ дараагийн асуулт: Их Британийн эргийн шугам ямар урттай вэ? Энэ “хүүхдийн асуултад” үнэн зөв хариулах боломжгүй нь тодорхой болов. 1988 онд Норвегийн эрдэмтэн Йенс Федер Норвегийн эргийн шугам хэр урт болохыг олж мэдэхээр шийджээ. Норвегийн эрэг нь фиорд ихтэй байдаг гэдгийг анхаарна уу. Бусад эрдэмтэд Австралийн эргийн эргийн шугамын уртын талаар ижил төстэй асуултуудыг өөрсөддөө тавьжээ. Өмнөд Африк, Герман, Португал болон бусад улс орнууд.

Бид зөвхөн эргийн шугамын уртыг ойролцоогоор хэмжиж чадна. Бид жижигрүүлснээр бид илүү олон жижиг хошуу, буланг хэмжих шаардлагатай болдог - эргийн шугамын урт нэмэгдэж, масштабыг багасгахад ямар ч объектив хязгаарлалт байхгүй (түүгээр эргийн шугамын уртыг нэмэгдүүлэх); Бид энэ шугамтай гэдгийг хүлээн зөвшөөрөхөөс өөр аргагүйд хүрч байна хязгааргүй урт. Шулуун шугамын хэмжээ нь нэг, дөрвөлжингийн хэмжээ хоёр, шоо хэмжээ нь гурав гэдгийг бид мэднэ. Манделброт "аймшигтай" муруйг хэмжихийн тулд бутархай хэмжигдэхүүн - Хаусдорф - Бесиковичийн хэмжээсийг ашиглахыг санал болгов. Эргийн шугам шиг эцэс төгсгөлгүй хугарсан муруй нь тийм ч шугам биш юм. Тэд онгоцны нэг хэсгийг гадаргуу шиг "шүүрдэг" бололтой. Гэхдээ тэдгээр нь бас гадаргуу биш юм. Энэ нь тэдгээрийн хэмжээс нь нэгээс олон, гэхдээ хоёроос бага, өөрөөр хэлбэл эдгээр нь бутархай хэмжээст объектууд гэж үзэх нь үндэслэлтэй гэсэн үг юм.

Норвегийн эрдэмтэн Э.Федер эргийн шугамын уртыг хэмжих өөр аргыг санал болгов. Газрын зураг нь дөрвөлжин тороор бүрхэгдсэн бөгөөд нүд нь e хэмжээтэй байна? д.Газрын зураг дээрх эргийн шугамыг хамарсан ийм нүднүүдийн N(e) тоо нь луужингийн тусламжтайгаар газрын зураг дээрх эргийн шугамыг тойрох алхамуудын тоотой ойролцоо байгааг харж болно. Хэрэв e багасвал N(e) тоо нэмэгдэнэ. Хэрэв Их Британийн эргийн шугамын урт нь тодорхой L урттай байсан бол шийдэл бүхий луужингийн алхамуудын тоо (эсвэл тоо) дөрвөлжин эсүүдГазрын зураг дээрх эргийн шугамыг хамарсан N(e) нь e-тэй урвуу пропорциональ байх ба Ln (e)=N(e) утга нь ? k буурах тусам e нь тогтмол L байх хандлагатай байна. Харамсалтай нь олон эрдэмтдийн хийсэн тооцоолол энэ нь бүрэн үнэн биш гэдгийг харуулсан. Давирхай буурах тусам хэмжсэн урт нэмэгдэнэ. Хэмжсэн урт L(e) ба e алхамын хоорондын хамаарлыг ойролцоогоор харьцаагаар дүрсэлж болох нь тогтоогдсон.

D коэффициентийг фрактал хэмжээс гэж нэрлэдэг. Фрактал гэдэг үгнээс гаралтай Латин үгфрактал - бутархай, бүхэл бус. Хэрэв олонлог бүхэл бус хэмжээстэй бол фрактал гэж нэрлэдэг. Норвегийн хувьд D=1.52, Их Британийн хувьд D=1.3. Ийнхүү Норвеги, Их Британийн эргийн шугам нь фрактал хэмжээстэй D. Тооцооллыг тойрогт мөн хийсэн бөгөөд тойргийн фрактал хэмжээс нь D=1 байх ёстой байсан. Тиймээс фрактал хэмжээс нь ердийн хэмжигдэхүүнийг ерөнхийд нь илэрхийлдэг.

Үүнийг хэрхэн ойлгох вэ, энэ нь юу гэсэн үг вэ? Математикчид урьд өмнө нь математикт ийм зүйл байсан эсэхийг санаж эхлэв. Тэгээд тэд санаж байна! Хавтгай дээрх тодорхой AB шугамын хэсгийг авч үзье (Зураг 3). E ирмэгтэй квадратыг аваад өөрөөсөө асууя: AB шугамыг ийм квадратаар хамрахад e захын урт N(e) хэдэн квадрат хэрэгтэй вэ? Эндээс харахад N(e) пропорциональ байна

Үүний нэгэн адил, хэрэв хавтгай дээрх хаалттай хязгаарлагдмал талбайг (Зураг 4) e талтай дөрвөлжин тороор хучсан бол тухайн талбайг бүрхэх e талтай квадратуудын хамгийн бага тоо нь тэнцүү байна.

Хэрэв бид хаалттай хязгаарлагдмал бүс нутгийг авч үзвэл гурван хэмжээст орон займөн e ирмэгтэй шоо авбал энэ талбайг дүүргэх кубын тоо байна

Дээр дурдсан зүйл дээр үндэслэн фрактал хэмжигдэхүүнийг тодорхойлъё ерөнхий тохиолдолдараах байдлаар:

Зүүн ба баруун талын логарифмыг авч үзье

e тэг рүү тэмүүлэх (N нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай) тул хязгаарт хүрэх нь бид олж авна

Энэ тэгш байдал нь хэмжээсийн тодорхойлолт бөгөөд үүнийг d гэж тэмдэглэнэ.

Сайн мэддэг баримт:

Парадоксын жишээ: хэрэв Их Британийн эргийн шугамыг 100 км-ээр хэмждэг бол түүний урт нь ойролцоогоор 2800 км байна. Хэрвээ 50 км хэсгийг ашиглавал урт нь ойролцоогоор 3400 км буюу 600 км урт байна.

Эргийн шугамын урт нь түүнийг хэрхэн хэмжихээс хамаарна. Хуурай газар нь хэдэн зуун километрээс эхлээд миллиметрээс бага хэмжээтэй ямар ч хэмжээтэй муруйгаар тодорхойлогддог тул хэмжихэд шаардлагатай хамгийн жижиг элементийн хэмжээг сонгох тодорхой арга байхгүй. Тиймээс энэ талбайн периметрийг хоёрдмол утгагүй тодорхойлох боломжгүй юм. Энэ асуудлыг шийдэх янз бүрийн математикийн ойролцоо тооцоолол байдаг.

Эхний төрлийн фракталуудтай, тухайлбал фрактал хэмжээ нь 1-ээс их байдаг муруйтай танилцахаасаа өмнө зарим эргийн ердийн хэсгийг авч үзье. Мэдээжийн хэрэг, түүний урт нь эхлэл ба төгсгөлийн хоорондох шулуун шугамын зайнаас бага байж болохгүй. Гэсэн хэдий ч дүрмээр бол эрэг орчмын шугамууд байдаг жигд бус хэлбэр- тэдгээр нь мушгирсан, хугарсан бөгөөд тэдгээрийн урт нь шулуун шугамаар хэмжсэн туйлын цэгүүдийн хоорондох зайнаас ихээхэн давсан байдаг.

Эргийн шугамын уртыг илүү нарийвчлалтай тооцоолох олон арга байдаг бөгөөд энэ бүлэгт бид тэдгээрийн заримыг шинжлэх болно. Эцэст нь бид маш гайхалтай дүгнэлтэд хүрнэ: эргийн шугамын урт нь маш гулгамтгай ойлголт бөгөөд та үүнийг нүцгэн гараараа барьж чадахгүй. Хэмжилтийн ямар ч аргыг бид ашигладаг байсан ч үр дүн нь үргэлж ижил байдаг: ердийн эргийн шугамын урт нь маш урт бөгөөд тодорхойлогдоогүй тул үүнийг хязгааргүй гэж үзэх нь хамгийн тохиромжтой. Тиймээс, хэрэв хэн нэгэн өөр өөр эргийг уртын үүднээс харьцуулахаар шийдсэн бол уртын тухай ойлголтыг орлуулах ямар нэг зүйлийг олох хэрэгтэй болно. Энэ тохиолдолдхамаарахгүй.

Энэ бүлэгт бид тохирох орлуулалтыг хайж эхлэх бөгөөд хайх явцад бид танилцахаас зайлсхийх боломжгүй. янз бүрийн хэлбэрүүдХэмжээ, хэмжүүр, муруйн фрактал ойлголтууд.

ХЭМЖИЛГЭЭНИЙ ӨӨРЧЛӨЛ АРГА

А арга. Хэмжих луужингийн нээлхийг бид алхамын урт гэж нэрлэдэг тодорхой өгөгдсөн урттай болгож, энэ луужингаар бидний сонирхож буй эргийн шугамын дагуу алхаж, шинэ алхам бүрийг өмнөх нь дууссан цэгээс эхлүүлцгээе. Алхамуудын тоог e уртаар үржүүлснээр банкны ойролцоогоор уртыг бидэнд өгнө. Хэрэв бид луужингийн нээлхийг багасгах бүртээ энэ үйлдлийг давтах юм бол үнэ цэнэ нь жинхэнэ урт гэж нэрлэгддэг маш тодорхой утга руу хурдан гүйнэ гэдгийг бид сургуулиасаа мэддэг. Гэсэн хэдий ч үнэндээ юу болж байгаа нь бидний хүлээлттэй нийцэхгүй байна. Ердийн тохиолдолд ажиглагдсан урт нь хязгааргүй нэмэгдэх хандлагатай байдаг.

Энэ зан үйлийн шалтгаан нь ойлгомжтой: хэрэв та 1/100,000 ба 1/10,000 масштабтай газрын зураг дээр зарим хойг эсвэл буланг харвал сүүлчийн газрын зурагБид эхнийх нь харагдахгүй байсан жижиг хойг, булангуудыг тодорхой ялгаж чадна. 1/1000 масштабтай ижил газар нутгийн газрын зураг бидэнд бүр ч жижиг хойг, булан гэх мэтийг харуулах болно. Шинэ мэдээлэл бүр нь банкны нийт уртыг нэмэгдүүлдэг.

Дээрх процедур нь далайн эрэг нь хэтэрхий жигд бус хэлбэртэй тул уртыг энгийн геометрийн муруйн уртын нийлбэрээр шууд илэрхийлэх боломжгүй гэж үздэг бөгөөд тэдгээрийн уртыг лавлах номноос олж болно. Тэр бол, А аргаэргийн шугамыг дарааллаар сольдог эвдэрсэн шугамууд, шулуун хэсгүүдээс бүрдэх бөгөөд тэдгээрийн уртыг бид тодорхойлж болно.

Б арга.Үүнтэй ижил "гөлгөр болгох" -ыг өөр аргаар хийж болно. Эрэг эрэг дагуу алхаж байгаа хүнийг төсөөлөөд үз дээ хамгийн богино зам, зам нь уснаас хэзээ ч холдохгүй заасан зай. Хүрсэн төгсгөлийн цэг, энэ нь буцаж ирдэг бөгөөд утгыг бага зэрэг бууруулдаг. Дараа нь дахин дахин, эцэст нь үнэ цэнэ нь 50 см-д хүрэх хүртэл үүнийг багасгах боломжгүй, учир нь хүн хэтэрхий том, болхи тул илүү нарийвчилсан зам мөрийг хянах боломжтой. Эдгээр хүрч боломгүй жижиг нарийн ширийн зүйлс нь нэгдүгээрт, хүний ​​сонирхлыг татдаггүй, хоёрдугаарт, жилийн цаг, далайн түрлэгийн өндөр зэргээс шалтгаалж ихээхэн өөрчлөлтөд өртдөг тул нарийвчилсан бичлэг нь ерөнхийдөө алдагддаг гэж намайг эсэргүүцэж магадгүй юм. бүх утга учир. Эдгээр эсэргүүцлийн эхнийхийг бид энэ бүлгийн дараа авч үзэх болно. Хоёрдахь эсэргүүцлийн тухайд, далайн түрлэг, нам гүм устай үед чулуурхаг эрэг дээр анхаарлаа хандуулах замаар үүнийг саармагжуулж болно. Зарчмын хувьд хүн хулгана, дараа нь шоргоолж гэх мэтийг дуудаж туслах замаар илүү нарийвчилсан ойролцоо муруйлтыг хайж болно. Дахин хэлэхэд, манай алхагч усанд ойртож, ойртох тусам түүний туулах зай хязгааргүй нэмэгддэг.

C арга. B арга нь ус ба эрэг хоорондын тодорхой тэгш бус байдлыг илэрхийлдэг. Энэхүү тэгш бус байдлаас зайлсхийхийн тулд Кантор эргийн шугамыг фокусгүй линзээр харахыг санал болгосны үр дүнд цэг бүр радиустай дугуй толбо болж хувирдаг. Өөрөөр хэлбэл, Кантор газар дээрх болон усан дээрх бүх цэгүүдийг авч үздэг бөгөөд үүнээс далайн эрэг хүртэлх зай нь өөрөө -ээс хэтрэхгүй байна. Эдгээр цэгүүд нь нэг төрлийн хиам эсвэл өргөн туузыг бүрдүүлдэг (ийм "хиам" -ын жишээг өөр нөхцөл байдалд байгаа ч гэсэн 56-р зурагт үзүүлэв). Үүссэн соронзон хальсны талбайг хэмжиж, хувааж үзье. Хэрэв эрэг шулуун байсан бол тууз нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байх бөгөөд дээр дурдсан аргаар олсон утга нь эргийн бодит урт байх болно. Бодит эргийн шугамтай харьцахдаа бид уртын ойролцоогоор тооцооллыг олж авдаг бөгөөд энэ нь .

АргаД. Пунтилист зураачдын арга барилаар хийсэн газрын зургийг төсөөлөөд үз дээ, өөрөөр хэлбэл тив, далайг радиусын өнгөт дугуй толбогоор дүрсэлсэн байдаг. С аргын адил толбоны төвүүдийг далайн эрэгт хамаарах цэгүүд гэж үзэхийн оронд шугамыг бүрэн нуух цэгүүдийн тоог хамгийн бага байлгахыг шаардана. Үүний үр дүнд хошууны ойролцоох толбо нь ихэвчлэн хуурай газарт, харин булангийн ойролцоо далайн ёроолд байх болно. Энд байгаа эрэг орчмын уртыг тооцоолохдоо толбо бүрхсэн талбайг -д хуваасны үр дүн болно. Энэхүү үнэлгээний "зан төлөв" нь бас маш их зүйлийг хүсдэг.

ХЭМЖИЛГЭЭНИЙ ҮР ДҮНГИЙН САНАМСГҮЙ БАЙДАЛ

Өмнөх хэсгийг нэгтгэн дүгнэхэд дөрвөн аргын аль нэгийг ашигласнаар үр дүн нь үргэлж ижил байдаг гэдгийг бид тэмдэглэж байна. e багасах тусам муруйн ойролцоо урт нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг.

Энэ баримтын ач холбогдлыг зөв ойлгохын тулд аливаа энгийн Евклидийн муруйны уртын ижил төстэй хэмжилтийг хийцгээе. Жишээлбэл, шулуун шугамын сегмент дээр ойролцоогоор тооцоолсон хэмжилтийн өгөгдөл нь үндсэндээ давхцаж, шаардлагатай уртыг тодорхойлдог. Тойргийн хувьд ойролцоо утгаурт нь нэмэгддэг боловч тодорхой хязгаарт хурдан ордог. Уртыг нь ийм аргаар тодорхойлж болох муруйг шулуун гэж нэрлэдэг.

Хүний гаршуулсан зарим эргийн шугамын уртыг хэмжихийг оролдох нь бүр ч илүү сургамжтай юм - Челсигийн ойролцоох эрэг гэх мэт. Хүмүүс газар нутгийн маш том нугалаа өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа тул бид луужин дээрээ маш том шийдлийг суулгаж, аажмаар багасгах болно. Таны таамаглаж байсанчлан эргийн шугамын урт нэмэгдэх болно.

Гэсэн хэдий ч нэг нь бий сонирхолтой онцлог: цаашид багасгахад бид урт нь бараг өөрчлөгдөөгүй тодорхой завсрын бүсэд орох нь гарцаагүй. Энэ бүс нь ойролцоогоор 20 м-ээс 20 см хүртэл үргэлжилдэг (маш ойролцоогоор). Энэ нь 20 см-ээс бага бол урт нь дахин нэмэгдэж эхэлдэг - одоо бие даасан чулуунууд хэмжилтийн үр дүнд нөлөөлдөг. Тиймээс, хэрэв та утгын өөрчлөлтийн графикийг функцээр зурвал ижил төстэй график дээр 20 м-ээс 20 см-ийн хооронд e-ийн утгатай хавтгай талбайг олох нь дамжиггүй. байгалийн "зэрлэг" эргийн хувьд ийм тэгш газар ажиглагддаггүй.

Энэ тэгш бүсэд хийсэн хэмжилт нь асар их практик ач холбогдолтой болох нь ойлгомжтой. Хоорондын хил хязгаар өөр учраас шинжлэх ухааны салбаруудЭдгээр нь үндсэндээ хөдөлмөрийн хуваарийн талаархи эрдэмтдийн тохиролцооны үр дүнд бий болсон тул бид жишээлбэл, 20 м-ээс дээш цар хүрээтэй, өөрөөр хэлбэл хүн хараахан хүрч амжаагүй бүх үзэгдлийг газарзүйн хэлтэст шилжүүлж болно. Ийм хязгаарлалт нь бидэнд маш тодорхой газарзүйн уртыг өгөх болно. Эргийн аюулгүй байдал"зэрлэг" эрэгтэй ажиллахдаа ижил утгыг амжилттай ашиглаж чаддаг бөгөөд нэвтэрхий толь бичиг, альманах нь хүн бүрт тохирох уртыг хэлэх болно.

Нөгөөтэйгүүр, сонирхсон бүх төрийн байгууллагууд, тэр ч байтугай аль нэг улсын байгууллагууд нэг утгыг ашиглахаар хоорондоо тохиролцоно гэж төсөөлөхөд хэцүү бөгөөд дэлхийн бүх улс орнууд үүнийг батлахыг төсөөлөхийн аргагүй юм. Ричардсон энэ жишээг өгсөн: Испани, Португалийн нэвтэрхий толь бичигт өөр өөр урттай байдаг газрын хилэдгээр улсын хооронд 20% -ийн зөрүүтэй (Бельги, Нидерландын хилийн хувьд мөн адил). Энэ зөрүүг янз бүрийн сонголтоор хэсэгчлэн тайлбарлах ёстой. Бидний удахгүй хэлэлцэх эмпирик нотолгоо нь ийм ялгаа гарахын тулд нэг утга нөгөөгөөсөө хоёр дахин ялгаатай байхад хангалттай гэдгийг харуулж байна; Түүгээр ч барахгүй жижиг улс (Португаль) хилийнхээ уртыг том хөршөөсөө илүү нарийн хэмждэг нь гайхах зүйл биш юм.

Дурын сонголтын эсрэг хоёр дахь бөгөөд илүү чухал аргумент нь гүн ухааны болон ерөнхий шинжлэх ухааны шинж чанартай байдаг. Байгаль нь хүнээс үл хамааран оршдог бөгөөд аливаа тодорхой утгыг хэт их ач холбогдол өгдөг хэн бүхэн байгалийг ойлгох үйл явцын тодорхойлогч холбоос нь нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэм хэмжээ эсвэл маш өөрчлөгддөг техникийн хэрэгсэлтэй хүн гэж үздэг. Хэрэв далайн эргийн шугам хэзээ нэгэн цагт объект болох юм бол Шинжлэх ухааны судалгаа, бид тэдний урттай холбоотой ажиглагдсан тодорхойгүй байдлыг хориглох хууль тогтоомжийг гаргаж чадахгүй байх магадлал багатай. Гэсэн хэдий ч газарзүйн урт гэдэг ойлголт нь анх харахад тийм ч хор хөнөөлгүй биш юм. Энэ нь бүрэн "объектив" биш юм, учир нь ийм уртыг тодорхойлохдоо ажиглагчийн нөлөөлөл зайлшгүй байх болно.

ДУУРАМ ХЭМЖҮҮЛСЭН ҮР ДҮНГ ХҮЛЭЭН ЗӨВШӨӨРӨЛ, АЧ ХОЛБОГДОЛ

Олон хүмүүс далайн эргийн шугамыг багасгаж болохгүй муруй гэж боддог нь дамжиггүй, тиймээс хэн ч өөрөөр бодож байсныг би санахгүй байна. Гэсэн хэдий ч миний энэ үзэл бодлыг дэмжсэн бичгээр нотлох баримт хайх нь бараг бүтэлгүйтсэн. Хоёрдугаар бүлэгт өгсөн Перриний ишлэлээс гадна Штайнхаусын нийтлэлд ийм ажиглалт бий: "Вистулагийн зүүн эргийн уртыг илүү нарийвчлалтайгаар хэмжих замаар хэдэн арван, зуу, бүр мянгаар тоологдох утгыг олж авах боломжтой. Сургуулийн газрын зурагт өгсөн хэмжээнээс хэд дахин их .. Дараах мэдэгдэл нь бодит байдалд маш ойрхон санагдаж байна: байгальд олдсон нумуудын ихэнх нь засч залруулах боломжгүй. Энэхүү мэдэгдэл нь ард түмний итгэл үнэмшилтэй зөрчилдөж байгаа бөгөөд энэ нь засч залруулах боломжгүй нумууд нь математикийн уран зохиол бөгөөд байгальд бүх нумууд нь засч залруулах боломжтой байдаг. Энэ хоёр зөрчилтэй мэдэгдлээс эхнийхийг нь үнэн гэж үзэх нь зүйтэй болов уу.” Гэсэн хэдий ч Перрин ч, Штайнхаус ч өөрсдийн таамаглалыг илүү нарийвчлан боловсруулж, логик дүгнэлтэд хүргэхээс санаа зовсонгүй.

К.Фадиман нэгэн сонирхолтой түүхийг өгүүлдэг. Түүний найз Эдвард Каснер энэ туршилтыг хэд хэдэн удаа хийжээ: "Бага насны хүүхдүүдээс АНУ-ын эргийн нийт уртыг юу гэж бодож байгааг асуув. Хүүхдүүдийн нэг нь нэлээд “боломжийн” таамаглал дэвшүүлсний дараа... Каснер... хэрэв тэд бүх хошуу, булангуудын периметрийг маш нарийн хэмжиж, дараа нь яг л анхааралтай ажиглавал энэ тоо хэр их өсөх талаар бодохыг урьсан. Эдгээр нөмрөг болон эдгээр булан бүрт жижиг хошуу, булангуудыг байрлуулж, дараа нь эргийн шугамыг бүрдүүлдэг хайрга, элсний ширхэг бүрийг, молекул бүрийг, атом бүрийг хэмжинэ. Энэ эрэг нь чам шиг урт байж болох нь тогтоогдсон. гэх мэт. Хүүхдүүд үүнийг шууд ойлгосон ч Каснер насанд хүрэгчидтэй асуудалтай байсан." Энэ түүх нь мэдээжийн хэрэг маш сайхан боловч миний эрэл хайгуултай ямар ч холбоогүй юм. Каснер цаашид судлахад зохистой бодит байдлын зарим талыг онцлон харуулахыг зорьсонгүй.

Тиймээс таны гарт барьж буй нийтлэл, ном нь үндсэндээ энэ сэдэвт зориулагдсан анхны бүтээлүүд гэж хэлж болно.

Уильям Жеймс "Итгэх хүсэл" номондоо: "Ангиллын хүрээнд тохирохгүй зүйл ... үргэлж агуу нээлт хийх баялаг талбар байдаг. Аливаа шинжлэх ухаанд нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн, эмх цэгцтэй баримтуудын эргэн тойронд дүрмээс үл хамаарах тоостой үүл үргэлж эргэлдэж байдаг - нарийн, үл нийцэх, ховор тохиолддог үзэгдлүүд, авч үзэхээс илүү үл тоомсорлоход хялбар байдаг. Аливаа шинжлэх ухаан тэмүүлдэг төгс нөхцөлүнэний хаалттай, хатуу тогтолцоо... Системийн хүрээнд ангилж болохгүй үзэгдлийг парадоксик абсурд гэж үздэг ба үнэн биш нь ойлгомжтой. Тэднийг үл тоомсорлож, шинжлэх ухааны ухамсрын сайн санааны үндсэн дээр үгүйсгэдэг ... Тогтмол бус үзэгдлийг нухацтай судалж буй хэн бүхэн бий болгох боломжтой болно. шинэ шинжлэх ухаанхуучин суурь дээр. Энэ үйл явцын төгсгөлд шинэчлэгдсэн шинжлэх ухааны дүрмүүд ихэнх тохиолдолд өчигдрийн үл хамаарах зүйл болно."

Байгалийн геометрийг бүрэн шинэчлэх зорилготой энэхүү эссэ нь цензурын зөвшөөрлөөр л тэдний тухай ярих боломжтой тийм ангилагдах боломжгүй үзэгдлүүдийг дүрсэлсэн байдаг. Та дараагийн хэсэгт эдгээр үзэгдлүүдийн эхнийхтэй тулгарах болно.

Ричардсоны нөлөө

А аргыг ашиглан олж авсан ойролцоо уртын өөрчлөлтийн тухай эмпирик судалгааг Ричардсоны нийтлэлд тайлбарласан бөгөөд холбоос нь азтай (эсвэл хувь заяаны) тохиолдлоор миний нүдэн дээр гарч ирэв. Би Льюис Фрай Ричардсоныг сэтгэлгээний өвөрмөц чанар нь хачирхалтай шинж чанартай гайхалтай эрдэмтэн гэж маш их сонссон учраас л би үүнд анхаарлаа хандуулсан (40-р бүлгийг үзнэ үү). Бид 10-р бүлэгт үзэх болно, хүн төрөлхтөн үймээн самуунтай холбоотой хамгийн гүн гүнзгий, бат бөх санаануудынхаа заримыг өртэй. онцгой анхааралТэдгээрийн дотроос үймээн самуун нь ижил төстэй каскад үүсэхийг таамаглаж буй нэг нь зохистой юм. Тэр бас бусад дээр ажилласан нарийн төвөгтэй асуудлууд- жишээлбэл, улс хоорондын зэвсэгт мөргөлдөөний мөн чанар гэх мэт. Түүний туршилтууд нь сонгодог энгийн байдлын жишээ байсан ч хэрэгцээ гарвал илүү боловсронгуй ойлголтуудыг ашиглахаас буцдаггүй байв.

Зурагт үзүүлэв. Ричардсоныг нас барсны дараа түүний нийтлэлүүдээс олж илрүүлсэн 57 график бараг нууцаар хэвлэгджээ (мөн ийм хэвлэлд огт тохиромжгүй) "Жилийн ном. нийтлэг системүүд" Эдгээр графикуудыг судалж үзээд бид хоёр тогтмол байдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрэв (тэдгээрийг ба гэж нэрлэе) - эргийн шугамын уртыг ойролцоох тасархай шугам барих замаар тодорхойлохын тулд ойролцоогоор уртын интервалыг авч, бичих шаардлагатай. дараах томъёо:

Шалгуур үзүүлэлтийн утга нь хэмжиж буй эргийн шугамын шинж чанараас хамаардаг бөгөөд тус тусад нь авч үзсэн энэ шугамын өөр өөр хэсгүүд нь өөр өөр утгыг өгч болно. Ричардсоны хувьд хэмжээ нь ямар ч тодорхой утгагүйгээр зүгээр л тохиромжтой үзүүлэлт байв. Гэсэн хэдий ч энэ үзүүлэлтийн утга нь эргийн уртыг тооцоолох сонгосон аргаас хамаарахгүй юм шиг байна. Энэ нь түүнд хамгийн их анхаарал хандуулах ёстой гэсэн үг юм.

Эргийн шугамын ФРАКТАЛ ХЭМЖЭЭ

Ричардсоны бүтээлийг судалсны дараа би экспонент нь бүхэл тоо биш ч хэмжигдэхүүн, илүү нарийвчлалтай, фрактал хэмжигдэхүүн гэж ойлгож болох бөгөөд ойлгох ёстой гэж би санал болгосон. Мэдээжийн хэрэг, дээрх бүх хэмжилтийн аргууд нь цэвэр математикт аль хэдийн хэрэглэгдэж байсан хэмжигдэхүүний стандарт бус ерөнхий тодорхойлолт дээр үндэслэсэн гэдгийг би бүрэн мэдэж байсан. Эргийн хамрах хүрээг үндэслэн уртыг тодорхойлох хамгийн бага тоорадиус толбо, бүрээсний хэмжээг тодорхойлоход ашигладаг. Эргийн шугамыг өргөнтэй туузаар хучих дээр үндэслэн уртыг тодорхойлох нь Кантор, Минковски хоёрын санааг илэрхийлдэг (56-р зургийг үз), бид Булиганд зохих хэмжээсийг өгөх ёстой. Гэсэн хэдий ч эдгээр хоёр жишээ нь математикийн янз бүрийн өндөр мэргэшсэн салбарт гэрэлтдэг олон хэмжигдэхүүн (ихэнх нь цөөхөн хэдэн мэргэжилтнүүдэд мэдэгддэг) байгааг илтгэж байна. Бид эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн заримыг 39-р бүлэгт илүү дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Математикчид яагаад энэ олон янзын хэмжээсийг нэвтрүүлэх шаардлагатай болсон бэ? Тэгээд яах вэ тодорхой тохиолдолтэд хүлээн зөвшөөрдөг өөр өөр утгатай. Аз болоход та энэ эссе дээр ийм тохиолдлуудтай тулгарахгүй тул боломжит хувилбаруудын жагсаалтыг эндээс олж болно. цэвэр ухамсархоёр болгон багасгах, гэхдээ би үүнийг хараахан дурдаагүй байна. Манай жагсаалтын хамгийн эртний бөгөөд сайтар судлагдсан хэмжигдэхүүн нь Хаусдорфоос гаралтай бөгөөд фрактал хэмжигдэхүүнийг тодорхойлоход үйлчилдэг - бид үүнийг тун удахгүй шийдвэрлэх болно. Хоёр дахь, илүү энгийн хэмжигдэхүүнийг ижил төстэй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг: энэ нь ижил биш юм ерөнхий шинж чанарГэсэн хэдий ч эхний хэмжигдэхүүн нь олон тохиолдолд хангалттай байх болно - бид үүнийг дараагийн бүлэгт авч үзэх болно.

Мэдээжийн хэрэг, би энд өгөхгүй математикийн нотолгооРичардсоны илтгэгч нь хэмжээс юм. Үнэнийг хэлэхэд, ийм нотлох баримтыг ямар нэгэн хуулийн хүрээнд яаж хийж болохыг төсөөлж ч чадахгүй байна. байгалийн шинжлэх ухаан. Урт гэдэг ойлголт бидний хувьд концепцийн асуудал үүсгэж, индикатор нь эвтэйхэн, гоёмсог шийдлийг өгдөг гэдгийг уншигчдын анхаарлыг татахыг л хүсч байна. Эргийн шугамыг судлахад фрактал хэмжигдэхүүн байр сууриа эзэлсэн тул бид ямар нэгэн онцгой шалтгааны улмаас бодолгүй, гэнэн итгэсэн тэр цаг үе рүүгээ буцаж очихыг хүсэх нь юу л бол. Одоо ч гэсэн итгэж байгаа хэн бүхэн өөрийнхөө зөв гэдгээ батлахыг хүсвэл оролдох хэрэгтэй болно.

Дараагийн алхам болох эргийн шугамын хэлбэрийг тайлбарлаж, бусад, илүү үндсэн санаануудаас утгыг нь гаргаж авах нь - Би 28-р бүлэг хүртэл хойшлуулахыг санал болгож байна. Энэ үе шатанд эхний ойролцоо байдлаар хэлэхэд хангалттай. Энэ утга нь баримтыг үнэн зөв тайлбарлахад дэндүү том боловч эргийн шугамын хэмжээ нь муруйн ердийн Евклидийн утгаас хэтэрсэн гэдэгт итгэх нь боломжтой, байх ёстой бөгөөд байгалийн жам гэдгийг хэлэхэд хангалттай юм.

HAUSDORFF-ИЙН ФРАКТАЛ ХЭМЖЭЭ

Хэрэв бид янз бүрийн байгалийн эргийн шугамууд хязгааргүй урттай, мөн антропометрийн утгад суурилсан уртын утга нь бодит байдлын талаар зөвхөн хэсэгчилсэн санааг өгдөг гэдгийг бид хүлээн зөвшөөрвөл өөр өөр эргийн шугамыг өөр хоорондоо хэрхэн харьцуулах вэ? Хязгааргүй нь дөрөвөөр үржүүлсэн хязгааргүйгээс ялгаагүй болохоор аль ч банкны урт нь түүний аль нэг хэсгийн уртаас дөрөв дахин их гэж хэлэх нь бидэнд ямар ашигтай вэ? Шаардлагатай Хамгийн зөв заммуруй нь ямар нэг "хэмжээтэй" байх ёстой гэсэн нэлээд үндэслэлтэй санааг илэрхийлэх бөгөөд бүх муруйн хувьд энэ хэмжүүр нь түүний аль ч хэсгийнх нь ижил хэмжүүрээс дөрөв дахин их байх ёстой.

Энэ зорилгод хүрэх маш ухаалаг аргыг Феликс Хаусдорф санал болгосон. Түүний арга нь олон өнцөгтийн шугаман хэмжигдэхүүнийг түүний талуудын уртыг ямар ч хувиргалтгүйгээр нэмэх замаар тооцоолоход суурилдаг. Эдгээр хажуугийн уртыг шугамын Евклидийн хэмжээстэй тэнцэх чадалтай болгож өсгөсөн гэж үзэж болно (энэ таамаглалын шалтгаан удахгүй тодорхой болно). Хаалттай олон өнцөгтийн дотоод бүсийн гадаргуугийн хэмжигдэхүүнийг ижил төстэй аргаар тооцдог - үүнийг квадратаар бүрхэж, эдгээр квадратуудын талуудын уртын нийлбэрийг олж, хүч чадалд хүргэх (хавтгайн Евклидийн хэмжээс). ). Хэрэв бид тооцоололд "буруу" зэргийг ашиглавал эдгээр тооцооллын үр дүн бидэнд ямар ч үр дүн өгөхгүй. хэрэгтэй мэдээлэл: аль ч битүү олон өнцөгтийн талбай байх болно тэгтэй тэнцүү, мөн түүний дотоод бүсийн урт нь хязгааргүй байх болно.

Ийм байрлалаас уртын жижиг интервалуудаас бүрдэх эргийн шугамын олон өнцөгт (хэсэгчилсэн шугаман) ойролцооллыг авч үзье. Интервалын уртыг хүч болгон өсгөж, интервалын тоогоор үржүүлснээр бид урьдчилсан байдлаар "хэмжээний урт" гэж нэрлэж болох тодорхой утгыг олж авна. Ричардсоны хэлснээр талуудын тоо тэнцүү тул бидний ойролцоогоор хэмжээ нь утгыг авдаг. .. Өөрөөр хэлбэл, эргийн шугамын ойролцоо хэмжээ нь хэрвээ зөвхөн .

МУРУЙГИЙН ФРАКТАЛ ХЭМЖЭЭ НЭГЖЭЭС ИЛҮҮ БАЙЖ БОЛНО; ФРАКТАЛ муруй

Бүтээгчийн санаачилснаар Хаусдорф хэмжигдэхүүн нь ердийн хэмжигдэхүүний үүргийг хадгалж, хэмжүүрийг тодорхойлоход илтгэгч болдог.

Гэсэн хэдий ч, нөгөө талаас, хэмжээс нь маш ер бусын байдаг - энэ нь илэрхийлэгддэг бутархай тоо! Түүнээс гадна энэ нь муруйнуудын "байгалийн" хэмжигдэхүүн болох нэгдлээс илүү юм (тэдгээрийн топологийн хэмжээс нь нэгдмэл байдалтай тэнцүү гэдгийг хатуу баталж болно).

Би фрактал хэмжээс нь топологийн хэмжээсээс хэтэрсэн муруйг 1 фрактал муруй гэж нэрлэхийг санал болгож байна. Энэ бүлгийн товч дүгнэлтийн хувьд би санал болгож болно дараах мэдэгдэл: Газарзүйн масштабаар эргийн шугамыг фрактал муруй ашиглан загварчилж болно. Эргийн шугамууд нь фрактал бүтэцтэй байдаг.

Цагаан будаа. 55. САРМЧИН МОД

Энэ үе шатанд энэ жижиг зургийг зүгээр л гоёл чимэглэлийн элемент гэж үзэх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь зүгээр л хоосон орон зайг дүүргэдэг.

Гэсэн хэдий ч 14-р бүлгийг уншсаны дараа уншигч Зураг дээрх "архитектурын" оньсого тайлах сэжүүрийг эндээс олох боломжтой болно. 210. Дараах генератороос илүү ноцтой сэжүүрийг өгсөн болно.

Хэрэв математикч зарим нэг жигд бус муруйг "зохих" шаардлагатай бол тэрээр дараахь стандарт процедурыг ашиглаж болно: тодорхой утгыг сонгож, муруйн цэг бүрийн эргэн тойронд радиусын тойрог байгуулна. Наад зах нь Херман Минковски, тэр байтугай Георг Кантор өөрөөс нь хүртэл үүссэн энэ процедур нь зарим талаараа бүдүүлэг боловч маш үр дүнтэй байдаг. (Хиам гэдэг нэр томъёоны хувьд түүний гарал үүсэл нь батлагдаагүй цуу яриагаар Норберт Винер энэ процедурыг Брауны муруйд ашигласантай ямар нэгэн байдлаар холбоотой юм.)

Энд байрлуулсан зургуудад дээр дурдсан тэгшитгэх ажлыг бодит эрэг дээр биш харин нэг онолын муруйд хэрэглэсэн бөгөөд бид үүнийг бага зэрэг дараа (79-р зургийг үз) байнга нэмж, илүү нарийн ширийн зүйлийг нэмж оруулах болно. Баруун талд үзүүлсэн хиамны хэсгийг дээд талд байрлуулсан хиамны баруун үзүүртэй харьцуулж үзвэл муруй нь -ээс бага хэсгүүдийг багтааж эхлэх үед муруй байгуулах чухал үе шат тохиолдож байгааг бид харж байна. Илүү ихийг дараагийн үе шатуудхиам нь мэдэгдэхүйц өөрчлөгддөггүй.

Цагаан будаа. 57. Эргийн шугамын уртын өсөлтийн хурдны талаарх РИЧАРДСОНЫ ЭМПИРИК ӨГӨГДӨЛ.

Энэ зураг нь хажуугийн уртыг багасгасан тэгш талт олон өнцөгтийг ашиглан янз бүрийн муруй дээр хийсэн муруйн уртын хэмжилтийн туршилтын үр дүнг харуулж байна. Хүлээгдэж байсанчлан тойрог хэлбэрийн хувьд нарийвчлал нэмэгдэж буй хэмжилтүүд нь маш тодорхой утгын эргэн тойронд маш хурдан тогтворждог утгыг өгдөг.

Эргийн шугамын хувьд уртын ойролцоо утгууд нь эсрэгээрээ огт тогтворждоггүй. Алхамын урт нь тэг болох хандлагатай байгаа тул координатын давхар логарифмын системд зурсан уртын ойролцоо тооцоолол нь сөрөг налуутай шулуун шугам үүсгэдэг. Улс хоорондын хуурай газрын хилийн хувьд ч мөн адил. Ричардсоны янз бүрийн нэвтэрхий толь бичигт хийсэн лавлагаа нь тухайн улсын зураг зүйчид нийтлэг хилийн уртыг тодорхойлоход ихээхэн ялгаатай байгааг илрүүлсэн: жишээлбэл, Испани, Португалийн хилийн урт нь испаничуудын үүднээс 987 км, 1214 км юм. португалчуудын үүднээс км; Нидерланд, Бельгийн хил (380 ба 449 км) мөн адил нөлөөлсөн. Харгалзах шугамын налуу нь -0.25 байгаа тул хэмжилтүүдийн хорин хувийн зөрүү нь эдгээр хэмжилтийн хувьд хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгуудын хоорондох хоёр дахин зөрүүг илэрхийлдэг - тийм ч гайхалтай таамаглал биш юм.

Ричардсон юу ч өгөөгүй онолын тайлбартэдгээрийн шулуун шугамын янз бүрийн налуу. Бид эргийн шугамыг фрактал муруйтай ойролцоо утгаар тайлбарлаж, авч үзэхийг зорьж байна налуугийн коэффициентүүдхаргалзах шулуун шугамууд нь ялгааны ойролцоо утгууд бөгөөд энд фрактал хэмжээс байна.