Сургуульд заасан бүх зүйл мартагдсаны дараа үлдсэн зүйл бол боловсрол юм.
Бичвэр, томьёо шууд цээжлэхгүйгээр хөгждөг гэдгийг одоо Португалд ажиллаж байгаа Новосибирскийн эрдэмтэн Игорь Хмелинский нотолж байна. хийсвэр санах ойхүүхдүүдэд хэцүү. Би түүний нийтлэлээс ишлэл өгөх болно "Хичээлүүд боловсролын шинэчлэлЕвроп болон хуучин ЗХУ-ын орнуудад"
Цэсээс суралцах, урт хугацааны ой санамж
Үржүүлэх хүснэгтийг үл тоомсорлох нь тооцоолуур дээрх тооцооллын алдааг илрүүлэх чадваргүйгээс илүү ноцтой үр дагаварт хүргэдэг. Бидний урт хугацааны ой санамж нь ассоциатив мэдээллийн сангийн зарчмаар ажилладаг, өөрөөр хэлбэл мэдээллийн зарим элементүүдийг цээжлэх үед тэдэнтэй танилцах үед байгуулагдсан холбоод үндэслэн бусадтай холбоотой байдаг. Тиймээс таны толгойд мэдлэгийн баазыг бий болгохын тулд ямар ч сэдвийн хэсэгжишээлбэл, арифметикийн хувьд та эхлээд ядаж ямар нэг зүйлийг цээжээр сурах хэрэгтэй. Цаашлаад шинээр ирж буй мэдээлэл ирэх болно богино хугацааны санах ойХэрэв бид үүнийг богино хугацаанд (хэдэн өдөр) олон удаа, өөр өөр нөхцөл байдалд тааралдвал (энэ нь ашигтай холбоог бий болгоход хувь нэмэр оруулдаг) урт хугацааны хувьд. Гэсэн хэдий ч байхгүй тохиолдолд байнгын санах ойарифметикийн мэдлэг, шинээр хүлээн авсан мэдээллийн элементүүд нь арифметиктэй ямар ч холбоогүй элементүүдтэй холбоотой байдаг - жишээлбэл, багшийн зан чанар, гадаа цаг агаар гэх мэт. Ийм цээжлэх зүйл байхгүй нь ойлгомжтой бодит ашиг тусоюутныг авчрахгүй - холбоо нь тухайн хичээлийн хэсгээс холддог тул оюутан хэзээ нэгэн цагт энэ талаар ямар нэг зүйл сонссон байх ёстой гэсэн тодорхой бус санааг эс тооцвол арифметиктэй холбоотой аливаа мэдлэгийг санах боломжгүй болно. Ийм оюутнуудын хувьд алга болсон холбоодын үүргийг ихэвчлэн гүйцэтгэдэг төрөл бүрийнзөвлөмж - хамт ажиллагсдаасаа хуулбарлах, тестийн тэргүүлэх асуултуудыг ашиглах, ашиглахыг зөвшөөрсөн томъёоны жагсаалтаас томьёо гэх мэт. IN бодит амьдрал, өдөөлтгүйгээр ийм хүн бүрэн арчаагүй, толгойдоо байгаа мэдлэгээ хэрэгжүүлэх чадваргүй болж хувирдаг.
Томьёо цээжлээгүй математикийн аппарат үүсэх нь бусадтай харьцуулахад илүү удаан явагддаг. Яагаад? Нэгдүгээрт, шинэ шинж чанарууд, теоремууд, математикийн объектуудын хоорондын хамаарал нь урьд өмнө судлагдсан томъёо, ойлголтын зарим шинж чанарыг бараг үргэлж ашигладаг. Хэрэв эдгээр шинж чанаруудыг санах ойноос богино хугацаанд сэргээж чадахгүй бол оюутны анхаарлыг шинэ материалд төвлөрүүлэх нь илүү хэцүү байх болно. Хоёрдугаарт, томъёог цээжээр мэдэхгүй байх нь утга учиртай асуудлын шийдлийг хайхад саад болдог их тоозөвхөн тодорхой хувиргалтыг хийхээс гадна хоёр, гурван алхамын өмнө хэд хэдэн томъёоны хэрэглээнд дүн шинжилгээ хийж, эдгээр хөдөлгөөний дарааллыг тодорхойлох шаардлагатай жижиг үйлдлүүд.
Практикаас харахад оюуны болон математикийн хөгжилХэрэв хүүхэд, түүний мэдлэг, ур чадвар бүрэлдэх нь илүү хурдан явагддаг ихэнх ньашигласан мэдээлэл (шинж ба томьёо) толгойд байна. Тэнд илүү хүчтэй, удаан байх тусмаа сайн.
Энэ хуудсанд шалгалт, шалгалт өгөхөд шаардлагатай бүх томъёог агуулсан болно. бие даасан ажил, алгебр, геометр, тригонометр, стереометр болон математикийн бусад чиглэлээр шалгалт.
Эндээс та үндсэн бүх зүйлийг татаж авах эсвэл онлайнаар үзэх боломжтой тригонометрийн томъёо, тойргийн талбайн томъёо, товчилсон үржүүлэх томъёо, тойргийн томъёо, багасгах томъёо болон бусад олон.
Та мөн шаардлагатай математикийн томъёоны цуглуулгыг хэвлэж болно.
Та бүхний сурлагад амжилт хүсье!
Арифметик томъёо:
Алгебрийн томъёо:
Геометрийн томъёо:
Арифметик томъёо:
Тоон дээрх үйлдлийн хуульНэмэлтийн солилцооны хууль: a + b = b + a.
Нэмэлтийн хослолын хууль: (a + b) + c = a + (b + c).
Солих үржүүлэх хууль: ab = ba.
Үржүүлэх хосолсон хууль: (ab)c = a(bc).
Нэмэлттэй харьцуулахад үржүүлэхийн тархалтын хууль: (a + b)c = ac + bc.
Хасахтай харьцуулахад үржүүлэхийн тархалтын хууль: (a - b)c = ac - bc.
Зарим математикийн тэмдэглэгээ ба товчлолууд:
Хуваагдах шинж тэмдэг
"2"-т хуваагдах шинж тэмдэг
"2"-д үлдэгдэлгүй хуваагдах тоог дуудна бүр, задрахгүй - хачин. Хэрэв сүүлийн цифр нь тэгш (2, 4, 6, 8) эсвэл тэг байвал тоо нь "2"-т үлдэгдэлгүй хуваагдана."4"-т хуваагдах шинж тэмдэг
Хэрэв сүүлийн хоёр орон нь тэгтэй тэнцүү эсвэл нийлбэр нь "4"-т үлдэгдэлгүй хуваагдах тоо болбол тухайн тоо "4"-т үлдэгдэлгүй хуваагдана."8"-д хуваагдах шинж тэмдэг
Хэрэв сүүлийн гурван орон нь тэгтэй тэнцүү эсвэл нийлбэр нь "8"-д үлдэгдэлгүй хуваагдах тоог бүрдүүлж байвал тухайн тоо "8"-д үлдэгдэлгүй хуваагдана. (жишээ: 1000 - гурав сүүлийн цифрүүд“00”, 1000-ыг 8-д хуваахад 125 болно; 104 - "12"-ын сүүлийн хоёр цифрийг 4-т хувааж, 112-ыг 4-т хуваахад 28 болно; гэх мэт)"3" ба "9"-д хуваагдах шинж тэмдэг
Зөвхөн цифрүүдийн нийлбэр нь “3”-т үлдэгдэлгүй хуваагддаг тоонууд л “3”-т хуваагдана; "9"-ээр - зөвхөн цифрүүдийн нийлбэр нь "9"-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг цифрүүд."5"-т хуваагдах шинж тэмдэг
Сүүлийн цифр нь "0" эсвэл "5" байгаа тоог "5"-д үлдэгдэлгүйгээр хуваана."25"-д хуваагдах шинж тэмдэг
Тоонуудыг үлдэгдэлгүйгээр "25"-т хуваадаг бөгөөд сүүлийн хоёр орон нь тэг буюу нийлбэр нь "25"-д үлдэгдэлгүй хуваагдах тоог бүрдүүлдэг (өөрөөр хэлбэл "00", "25", "50" гэсэн тоогоор төгссөн тоонууд. ”, “75” »"10", "100", "1000"-д хуваагдах шинж тэмдэг
Үлдэгдэлгүй зөвхөн сүүлийн орон нь тэгтэй тоонуудыг "10"-т, сүүлийн хоёр орон нь тэгтэй тоог "100"-д, сүүлийн гурван орон нь тэгтэй тоог "1000"-д хуваана. ”."11"-д хуваагдах шинж тэмдэг
Зөвхөн сондгой байр эзэлсэн цифрүүдийн нийлбэр нь тэгш байр эзэлсэн цифрүүдийн нийлбэртэй тэнцүү эсвэл түүнээс "11"-д хуваагдах тоогоор ялгаатай тоонууд л "11"-д үлдэгдэлгүй хуваагдана.Үнэмлэхүй утга - томъёо (модуль)
|а| ? 0, болон |a| a = 0 тохиолдолд л = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 |ab|=|a|*|b| |a/b|=|a|/|b|, б-г яах вэ? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|
Томъёо Бутархайтай үйлдлүүд
Эцсийн аравтын бутархайг рационал бутархай болгон хувиргах томъёо нь:
Пропорц
Хоёр тэгш харилцаахэлбэр хувь хэмжээ:
Пропорцын үндсэн шинж чанарПропорцын нөхцөлийг олох
Пропорц, тэнцүү харьцаа :Дериватив хувь хэмжээ- үүний үр дагавар харьцаахэлбэрээр
Дундаж утгууд
Арифметик дундаж
Хоёр хэмжээ: nтоо хэмжээ:Геометрийн дундаж (пропорциональ дундаж)
Хоёр хэмжээ: nтоо хэмжээ:Дундаж дөрвөлжин
Хоёр хэмжээ:nтоо хэмжээ:
Гармоник дундаж
Хоёр хэмжээ: nтоо хэмжээ:Зарим төгсгөлтэй тооны цувралууд
Тоон тэгш бус байдлын шинж чанарууд
1) Хэрэв а< b , дараа нь аль нэг нь в: a + в< b + с .
2) Хэрэв а< b Тэгээд c > 0, Тэр ac< bс .
3) Хэрэв а< b Тэгээд в< 0 , Тэр ac > bс.
4) Хэрэв а< b , аТэгээд бтэгвэл нэг тэмдэг 1/a > 1/b.
5) Хэрэв а< b Тэгээд в< d , Тэр a + в< b + d , а - г< b — c .
6) Хэрэв а< b , в< d , a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, Тэр ac< bd .
7) Хэрэв а< b , a > 0, b > 0, Тэр
8) Хэрэв , тэгвэл
Прогрессийн томъёо:
Дериватив
- Логарифмууд:
- Координат ба векторууд
1. A1(x1;y1) ба A2(x2;y2) цэгүүдийн хоорондох зайг дараах томъёогоор олно.
2. A1(x1;y1) ба A2(x2;y2) төгсгөлтэй сегментийн дунд хэсгийн координатыг (x;y) дараах томъёогоор олно.
3. Шугамын тэгшитгэл c налууба анхны ординат нь дараах хэлбэртэй байна.
Өнцгийн коэффициент k нь Окс тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй шулуун шугамын үүсгэсэн өнцгийн шүргэгчийн утга, эхний ординат q нь шулуун шугамын Ой тэнхлэгтэй огтлолцсон цэгийн ординатын утга юм.
4. Ерөнхий тэгшитгэлшулуун шугам нь дараах хэлбэртэй байна: ax + by + c = 0.
5. Oy болон Ox тэнхлэгтэй параллель шулуунуудын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Ax + by + c = 0.
6. y1=kx1+q1 ба y2=kx2+q2 шулуунуудын параллелизм ба перпендикуляр байх нөхцөл нь дараах хэлбэртэй байна.
7. О(0;0) ба С(хо;ё) цэгүүдэд тус тус R радиустай, төвтэй тойргийн тэгшитгэлүүд дараах хэлбэртэй байна.
8. Тэгшитгэл:
параболын тэгшитгэл нь абсцисса нь байгаа цэг дээрх оройтой
- Тэгш өнцөгт декартын системорон зай дахь координатууд
1. A1(x1;y1;z1) ба A2(x2;y2;z2) цэгүүдийн хоорондох зайг дараах томъёогоор олно.
2. A1(x1;y1;z1) ба A2(x2;y2;z2) төгсгөлтэй сегментийн дунд хэсгийн координатыг (x;y;z) дараах томъёогоор олно.
3. Координатаар нь тодорхойлсон векторын модулийг дараах томъёогоор олно.
4. Векторуудыг нэмэхэд тэдгээрийн харгалзах координатыг нэмж, векторыг тоогоор үржүүлэхэд түүний бүх координатыг энэ тоогоор үржүүлнэ, өөрөөр хэлбэл. дараах томъёонууд хүчинтэй байна:
5. Нэгж векторвектортой координатыг дараах томъёогоор олно.
6. Векторуудын скаляр үржвэр нь дараах тоо юм.
векторуудын хоорондох өнцөг хаана байна.
7. Цэгтэй бүтээгдэхүүнвекторууд
8. Векторуудын хоорондох өнцгийн косинусыг дараах томъёогоор олно.
9. Шаардлагатай болон хангалттай нөхцөлвекторуудын перпендикуляр байдал нь дараах хэлбэртэй байна. 10. Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл, векторт перпендикулярхэлбэртэй байна:
Ax + by + cz + d = 0.
11. Векторт перпендикуляр, (xo;yo;zo) цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
A(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0.
12. О(0;0;0) төвтэй бөмбөрцгийн тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ.
Математикч Анри Пуанкаре “Шинжлэх ухаан ба арга зүй” номондоо: “Хэрвээ байгаль үзэсгэлэнтэй байгаагүй бол үүнийг мэдэх, амьдралыг мэдрэх ч үнэ цэнэгүй байх байсан. Би энд ярьж байна, мэдээжийн хэрэг, таны анхаарлыг татдаг гоо сайхны тухай биш ... Би үүнийг илүү их хэлж байна гүн гоо үзэсгэлэн, зөвхөн оюун ухаанаар ойлгогдох хэсгүүдийн зохицолд илчлэгдсэн. Тэр л хөрсийг бүтээж, бидний мэдрэхүйг илэн далангүй харагдахуйц өнгөний тоглоомын хүрээг бүрдүүлдэг бөгөөд энэ дэмжлэггүйгээр түр зуурын сэтгэгдлийн гоо үзэсгэлэн нь тодорхой бус, түр зуурын бүх зүйл шиг төгс бус байх болно. Харин ч оюуны гоо үзэсгэлэн өөрөө сэтгэл ханамжийг өгдөг.”
P.A.M. Дирак бичжээ: "У онолын физикХөгжлийн өөр нэг зөв зам бий. Байгальд ийм байдаг үндсэн шинж чанархамгийн үндсэн нь юу вэ физикийн хуулиуддүрсэлсэн байдаг математикийн онол, аппарат нь байгаа ер бусын хүч чадалболон гоо үзэсгэлэн. Энэ онолыг ойлгохын тулд та математикийн ер бусын өндөр чадвартай байх хэрэгтэй. Та асууж магадгүй: байгаль яагаад ийм байдлаар ажилладаг вэ? Үүнд ганцхан хариулт бий: бидний хэлснээр орчин үеийн мэдлэг, байгаль ийм байдлаар бүтээгдсэн болохоос өөрөөр биш."
Долоон жилийн өмнө Украины физикч (болон зураач) Наталья Кондратьева дэлхийн тэргүүлэх математикчдад хандан “Ямар гурав вэ? математикийн томьёо, таны бодлоор хамгийн үзэсгэлэнтэй нь?"
Математикийн томьёоны гоо үзэсгэлэнгийн тухай ярианд Британийн иргэн Майкл Атия, Дэвид Эльварси, АНУ-аас Яков Синай, Александр Кириллов, Германаас Фридрих Герцебруч, Юрий Манин, Францаас Давид Руэл, Оросоос Анатолий Вершик, Роберт Минлос нар оролцов. бусад математикчид өөр өөр улс орнууд. Хэлэлцүүлэгт украинчуудын дунд НАСУ-ийн академич Владимир Королюк, Анатолий Скороход нар оролцов. Ийм аргаар олж авсан зарим материал нь Наталья Кондратьевагийн хэвлүүлсэн номын үндэс болсон юм. шинжлэх ухааны ажил"Хамгийн сайхан гурван математикийн томьёо."
— Та математикчдаас гоё томьёоны талаар асуухад ямар зорилго тавьсан бэ?
-Шинэ зуун бүр шинэчлэлийг авчирдаг шинжлэх ухааны парадигм. Бид босгон дээр зогсож байна гэсэн мэдрэмжээр зууны эхэн үед шинэ шинжлэх ухаан, тэр шинэ үүрэгамьдралд хүний нийгэм, Би математикчдад хандаж, цаад санаанууд нь гоо үзэсгэлэнгийн талаар асуув математикийн тэмдэгтүүд, өөрөөр хэлбэл Математикийн томъёоны гоо сайхны тухай.
Одоо бид шинэ шинжлэх ухааны зарим шинж чанарыг тэмдэглэж болно. Хэрэв ХХ зууны шинжлэх ухаанд маш их байдаг чухал үүрэгМатематикийн физикийн "нөхөрлөл"-өөр тоглодог байсан бол одоо математик нь биологи, генетик, социологи, эдийн засагтай үр дүнтэй хамтран ажиллаж байна ... Үүний үр дүнд шинжлэх ухаан захидал харилцааг судлах болно. Математикийн бүтэц нь элементүүдийн харилцан үйлчлэлийн хоорондын захидал харилцааг судлах болно янз бүрийн бүс нутагболон төлөвлөгөө. Мөн бидний өмнө нь гүн ухааны үзэл баримтлал болгон итгэл үнэмшлээр хүлээн авч байсан ихэнх зүйлийг шинжлэх ухаан тодорхой мэдлэг болгон батлах болно.
Энэ үйл явц 20-р зуунд аль хэдийн эхэлсэн. Тиймээс Колмогоров ямар ч боломж байхгүй, гэхдээ маш их төвөгтэй байдаг гэдгийг математикийн хувьд харуулсан. Фрактал геометр нь олон янз байдал гэх мэт нэгдмэл байдлын зарчмыг баталсан.
- Аль томъёог хамгийн үзэсгэлэнтэй гэж нэрлэдэг байсан бэ?
- Томъёоны уралдаан зохион байгуулах зорилго байгаагүй гэдгийг би шууд хэлье. Математикчдад хандан бичсэн захидалдаа би “Дэлхийд ямар хууль захирагддагийг ойлгохыг хүсдэг хүмүүс ертөнцийн зохицлыг олох замыг сонгодог. Энэ зам хязгааргүйд очдог (хөдөлгөөн нь мөнхийн байдаг) гэхдээ хүмүүс түүнийг дагасаар л байдаг, учир нь... өөр санаа эсвэл санаатай уулзах онцгой баяр баясгалан байдаг. Үзэсгэлэнт томъёоны талаархи асуултын хариултаас дэлхийн гоо үзэсгэлэнгийн шинэ талыг нэгтгэх боломжтой байж магадгүй юм. Нэмж дурдахад энэхүү бүтээл нь дэлхийн агуу зохицлын тухай санаа, энэ гоо сайхныг олох арга зам болох математикийн хувьд ирээдүйн эрдэмтдэд хэрэгтэй байж магадгүй юм."
Гэсэн хэдий ч томьёоны дунд Пифагорын томъёо ба Эйлерийн томъёо гэсэн тодорхой дуртай зүйлс байсан.
Тэдний араас 20-р зуунд Максвелл, Шредингер, Эйнштейн гэсэн бидний ертөнцийн талаарх ойлголтыг өөрчилсөн математикийн гэхээсээ илүү физикийн томьёо гарч ирэв.
Мөн хамгийн үзэсгэлэнтэй нь хэлэлцүүлгийн шатанд байгаа томъёонууд, жишээлбэл, тэгшитгэлүүд байв. физик вакуум. Бусад сайхан математикийн томьёог бас дурдлаа.
- Яагаад хоёр, гуравдугаар мянганы зааг дээр Пифагорын томъёог хамгийн үзэсгэлэнтэй гэж нэрлэсэн гэж та бодож байна вэ?
- Пифагорын үед энэ томъёог зарчмын илэрхийлэл гэж үздэг байсан сансрын хувьсал: хоёр эсрэг зарчим (ортогональ байдлаар хүрч байгаа хоёр квадрат) тэдгээрийн нийлбэртэй тэнцүү гуравны нэгийг үүсгэдэг. Геометрийн хувьд маш сайхан тайлбар өгч болно.
Магадгүй ямар нэгэн далд ухамсар байдаг генетикийн санах ой"Математик" гэсэн ойлголт нь "шинжлэх ухаан" гэсэн утгатай байсан бөгөөд арифметик, уран зураг, хөгжим, гүн ухааныг нэгтгэн судалж байсан цаг үеийн тухай.
Рафаил Хасминский захидалдаа сургуульд байхдаа Пифагорын томъёоны гоо үзэсгэлэнг гайхшруулж байсан бөгөөд энэ нь түүний математикчийн хувь заяаг ихээхэн тодорхойлсон гэж бичжээ.
- Эйлерийн томъёоны талаар та юу хэлэх вэ?
- Зарим математикчид "бүгд цугларсан" гэдэгт анхаарлаа хандуулсан, өөрөөр хэлбэл. бүгд хамгийн гайхалтай математик тоо, мөн нэг нь хязгааргүй дүүрэн байдаг! - Энэ нь гүн ухааны гүн утгатай.
Эйлер энэ томъёог олж мэдсэнд гайхах зүйл алга. Агуу математикчгоо сайхныг шинжлэх ухаанд нэвтрүүлэхийн тулд маш их зүйлийг хийсэн, тэр ч байтугай математикт "гоо сайхны зэрэг" гэсэн ойлголтыг оруулсан. Бүр нарийн яривал тэрээр математикийн нэг хэсэг гэж үздэг хөгжмийн онолд энэ ойлголтыг оруулсан.
Эйлер гоо зүйн мэдрэмжийг хөгжүүлэх боломжтой бөгөөд энэ мэдрэмж нь эрдэмтэнд зайлшгүй шаардлагатай гэж үздэг.
Би эрх баригчдад хандана... Гротендиек: "Математикийн энэ эсвэл тэр зүйлийн талаархи ойлголт нь түүний гоо үзэсгэлэнг мэдрэхийн хэрээр бүрэн дүүрэн байдаг."
Пуанкаре: "Математикт мэдрэмж гэж байдаг." Тэрээр математикийн гоо зүйн мэдрэмжийг шүүлтүүртэй харьцуулж, олон боломжит шийдлүүдээс хамгийн зохицолтойг нь сонгодог бөгөөд энэ нь дүрмээр бол зөв юм. Гоо сайхан ба эв нэгдэл нь ижил утгатай бөгөөд хамгийн дээд илрэлэв нэгдэл бол тэнцвэрийн дэлхийн хууль юм. Математик энэ хуулийг судалдаг өөр өөр төлөвлөгөөбайх ба дотор өөр өөр талууд. Математикийн томьёо бүр тэнцүү тэмдэгтэй байдаг нь хоосон биш юм.
Хүний дээд зохицол бол бодол, мэдрэмжийн зохицол гэж би боддог. Тийм ч учраас Эйнштейн зохиолч Достоевский түүнд математикч Гауссаас илүү ихийг өгсөн гэж хэлсэн байх.
Достоевскийн "Гоо сайхан дэлхийг аварна" гэсэн томьёог би математикийн гоо сайхны чиглэлээр хийсэн ажлынхаа эпиграф болгон авсан. Мөн үүнийг математикчид ч хэлэлцсэн.
-Тэд энэ мэдэгдэлтэй санал нийлсэн үү?
- Математикчид энэ мэдэгдлийг баталж, үгүйсгээгүй. Тэд "Гоо сайхныг ухамсарлах нь дэлхийг аварна" гэж тодруулсан. Энд би Евгений Вигнерийн бараг тавин жилийн өмнө бичсэн квант хэмжилт дэх ухамсрын үүргийн тухай бүтээлийг шууд санав. Энэ ажилдаа Вигнер үүнийг харуулсан хүний ухамсарнөлөөлөл орчин, өөрөөр хэлбэл, бид зөвхөн гаднаас мэдээлэл хүлээн аваад зогсохгүй өөрийн бодол санаа, мэдрэмжээ хариуд нь илгээдэг. Энэ ажил одоо ч хамааралтай хэвээр байгаа бөгөөд дэмжигчид болон эсэргүүцэгчидтэй байдаг. 21-р зуунд шинжлэх ухаан гоо сайхныг ухамсарлах нь бидний ертөнцийг зохицоход хувь нэмэр оруулдаг гэдгийг нотлох болно гэдэгт би үнэхээр найдаж байна.
1. Эйлерийн томъёо. Олон хүн энэ томьёог бүх математикийн нэгдмэл байдлын бэлгэдэл гэж үзсэн, учир нь "-1 нь арифметик, i - алгебр, π - геометр ба e - анализыг илэрхийлдэг."
2. Энэхүү энгийн тэгшитгэл нь 0.999 (болон хязгааргүй гэх мэт) нь нэгтэй тэнцэж байгааг харуулж байна. Хязгаарын онол дээр үндэслэсэн зарим нотолгоо байгаа хэдий ч олон хүн үүнийг үнэн гэдэгт итгэдэггүй. Гэсэн хэдий ч тэгш байдал нь хязгааргүй байдлын зарчмыг харуулдаг. 
3. Энэхүү тэгшитгэлийг Эйнштейн шинэлэг зүйлийн нэг хэсэг болгон томъёолсон ерөнхий онол 1915 онд харьцангуйн онол. Энэ тэгшитгэлийн баруун тал нь манай Орчлон ертөнцөд агуулагдах энергийг ("хар энерги"-г оруулаад) дүрсэлдэг. Зүүн талорон зай-цаг хугацааны геометрийг дүрсэлдэг. Эйнштейний харьцангуйн ерөнхий онолд масс ба энерги нь геометрийг тодорхойлдог бөгөөд үүний зэрэгцээ таталцлын нэг илрэл болох муруйлтыг тэгш байдал илэрхийлдэг. Эйнштейн ингэж хэлсэн зүүн талХарьцангуйн ерөнхий онол дахь таталцлын талбайг агуулсан таталцлын тэгшитгэл нь гантиг чулуугаар сийлсэн мэт үзэсгэлэнтэй бөгөөд баруун талбодисыг дүрсэлсэн тэгшитгэлүүд нь энгийн модоор хийсэн мэт муухай хэвээр байна. 
4. Физикийн өөр нэг зонхилох онол болох Стандарт загвар нь цахилгаан соронзон, сул ба хүчтэй харилцан үйлчлэлхүн бүр энгийн бөөмс. Зарим физикчид үүнийг орчлон ертөнцөд болж буй бүх үйл явцыг тусгадаг гэж үздэг харанхуй бодис, хар энергимөн таталцлыг оруулаагүй болно. IN Стандарт загварӨнгөрсөн жил хүртэл баригдашгүй байсан Хиггс бозон ч мөн адил таарч байгаа ч бүх шинжээчид түүний оршин тогтнох эсэхэд итгэлтэй байдаггүй. 
5. Пифагорын теорем нь талуудын хоорондын хамаарлыг тогтоодог Евклидийн геометрийн үндсэн теоремуудын нэг юм. зөв гурвалжин. Бид үүнийг сургуулиас санаж, теоремын зохиогч нь Пифагор гэдэгт итгэдэг. Үнэн хэрэгтээ энэ томъёог буцааж хэрэглэж байсан Эртний Египетпирамидуудыг барих явцад. 
6. Эйлерийн теорем. Энэхүү теорем нь математикийн шинэ салбар болох топологийн үндэс суурийг тавьсан юм. Уг тэгшитгэл нь топологийн хувьд бөмбөрцөгтэй дүйцэхүйц олон өнцөгтийн орой, ирмэг, нүүрний тоо хоорондын хамаарлыг тогтоодог. 
7. Тусгай онолХарьцангуйн онол нь вакуум дахь гэрлийн хурдаас бага, түүний дотор гэрлийн хурдтай ойролцоо хурдтай хөдөлгөөн, механикийн хууль, орон зай-цаг хугацааны харилцааг тодорхойлдог. Эйнштейн цаг хугацаа, орон зай нь тийм биш гэдгийг тодорхойлсон томьёог зохиосон үнэмлэхүй ойлголтууд, харин ажиглагчийн хурдаас хамааран харьцангуй байдаг. Уг тэгшитгэл нь хүн хэрхэн, хаана хөдөлж байгаагаас хамааран цаг хугацаа хэрхэн тэлж, удааширч байгааг харуулдаг. 
8. Уг тэгшитгэлийг 1750-иад онд Эйлер, Лагранж нар изохроны асуудлыг шийдэж байхдаа гаргаж авсан. Энэ нь хүнд бөөмийг тодорхой хугацаанд тогтмол цэг рүү хүргэх муруйг тодорхойлох асуудал юм. эхлэх цэг. IN ерөнхий утгаараа, хэрэв таны систем тэгш хэмтэй бол тэгш хэмийг хадгалах холбогдох хууль байдаг. 
9. Каллан-Симанзикийн тэгшитгэл. Энэ нь төлөөлдөг дифференциал тэгшитгэл, хувьслыг дүрсэлсэн n-корреляцийн функцонолын бета функцууд болон хэвийн бус хэмжигдэхүүнүүдийг агуулсан онолыг тодорхойлсон энергийн хуваарийг өөрчлөх үед. Энэхүү тэгшитгэл нь квант физикийг илүү сайн ойлгоход тусалсан. 
10. Гадаргуугийн хамгийн бага тэгшитгэл. Энэ тэгш байдал нь савангийн хөөс үүсэхийг тайлбарладаг. 
11. Эйлерийн шулуун шугам. Эйлерийн теорем 1765 онд батлагдсан. Тэрээр гурвалжны талуудын дунд цэгүүд ба өндрийн суурь нь нэг тойрог дээр байдгийг олж мэдэв. 
12. 1928 онд П.А.М. Дирак Шредингерийн тэгшитгэлийн өөрийн гэсэн хувилбарыг санал болгосон нь А.Эйнштейний онолд нийцсэн. Шинжлэх ухааны ертөнцийг цочирдуулсан - Дирак спинор гэж нэрлэгддэг дээд математикийн объектуудын цэвэр математикийн аргаар электроны тэгшитгэлийг нээсэн. Энэ нь сенсаац байсан - өнөөг хүртэл физикийн бүх агуу нээлтүүд туршилтын өгөгдлийн бат бөх суурь дээр байх ёстой. Гэхдээ Дирак цэвэр математик нь хангалттай үзэсгэлэнтэй бол дүгнэлтийн зөв байдлын найдвартай шалгуур гэж үздэг. "Тэгшитгэлийн гоо үзэсгэлэн нь туршилтын өгөгдөлтэй тохирохоос илүү чухал юм. ... Гоо сайхныг тэгшитгэлд хүрэхийн төлөө хичээж, эрүүл зөн совинтой бол чи зөв зам дээр" Түүний тооцооллын ачаар позитрон буюу эсрэг электроныг нээсэн бөгөөд тэрээр электрон доторх "эргэлт" буюу энгийн бөөмийн эргэлтийг урьдчилан таамагласан юм. 
13. Ж.Максвелл цахилгаан, соронзон, оптикийн бүх үзэгдлийг нэгтгэсэн гайхалтай тэгшитгэлүүдийг олж авсан. Германы гайхалтай физикч, бүтээгчдийн нэг статистик физик, Людвиг Больцманн Максвеллийн тэгшитгэлийн талаар: "Бурхан эдгээр үсгийг бичээгүй гэж үү?" 
14. Шредингерийн тэгшитгэл Өгөгдсөн цэвэр төлөвийн орон зай, цаг хугацааны өөрчлөлтийг тодорхойлсон тэгшитгэл долгионы функц, Гамильтон хэлээр квант систем. Тоглодог квант механиксонгодог механикт Ньютоны хоёр дахь хуулийн тэгшитгэлтэй адил чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. 
