1'e bölerseniz ne olur? Virgülün yerini değiştirmeniz gerektiği ancak sayı kalmadığı durumlara örnekler

Sıfıra bölme sonucunu belirlerseniz sıfıra bölebileceğinizi söylüyorlar. Sadece cebiri genişletmeniz gerekiyor. Garip bir tesadüf eseri, böyle bir uzantının en azından bir kısmını veya daha anlaşılır ve basit bir örneğini bulmak mümkün değil. İnterneti düzeltmek için, ya böyle bir uzantıya yönelik yöntemlerden birinin gösterimine ya da bunun neden mümkün olmadığının bir açıklamasına ihtiyacınız var.

Makale bu eğilimin devamı olarak yazılmıştır:

Sorumluluk reddi beyanı

Aritmetik, temel, genel ve matematik ilkelerinin anlaşılması doğrusal cebir, matematiksel ve standart dışı analiz, küme teorisi, genel topoloji, projektif ve afin geometri - arzu edilir, ancak gerekli değildir.

Deneyler sırasında hiçbir sonsuzluk zarar görmemiştir.

Giriş

1. Aslında her şey bizden önce zaten bölünmüş durumda!

1.1 Sayı doğrusunun afin uzantısı

Havuza balıklama dalmak yerine içine ne akıyor, ne çıkıyor ona bakalım. Bunu yapmak için matematiksel analizin ana aracı olan limiti kullanacağız. Ana “numara”, sınırın şuraya gitmenize izin vermesidir: verilen nokta"Üstüne basmadan" mümkün olduğu kadar yakına. “Havuz” un önünde böyle bir “çit”.

Orijinal

Tamam, “çit” dikildi. Artık o kadar korkutucu değil. Havuza iki yolumuz var. Sola gidelim - dik bir iniş, sağda - dik bir tırmanış. “Çit”e doğru ne kadar yürürseniz yürüyün, o bir daha yaklaşmıyor. Alt ve üst “hiçlik”i aşmanın hiçbir yolu yoktur. Şüpheler ortaya çıkıyor: belki de bir daire çiziyoruz? Hayır olmasına rağmen sayılar değişiyor, bu da onların bir daire içinde olmadığı anlamına geliyor. Alet sandığını karıştıralım matematiksel analiz Daha. Set, “çitli” sınırlara ek olarak pozitif ve negatif sonsuzlukları da içerir. Miktarlar tamamen soyuttur (sayılar değildir), iyi biçimlendirilmiştir ve kullanıma hazırdır! Bu bize yakışıyor. “Varlığımızı” tamamlayalım (birçok gerçek sayılar) iki işaretli sonsuzluk.

Argüman sonsuza doğru yöneldiğinde limit almanızı ve limiti almanız sonucunda sonsuzluğa ulaşmanızı sağlayan bu uzantıdır.

Aynı şeyi farklı terminoloji kullanarak açıklayan iki matematik dalı vardır.

Özetleyelim:

Sonuç olarak. Eski yaklaşımlar artık işe yaramıyor. Sistemin bir dizi "eğer", "hepsi için" vb. şeklindeki karmaşıklığı arttı. Yalnızca iki belirsizliğimiz vardı: 1/0 ve 0/0 (güç işlemlerini dikkate almadık), yani beş tane vardı. Bir belirsizliğin açığa çıkması daha da fazla belirsizlik yarattı.

1.2 Tekerlek

İşaretsiz sonsuzluğun tanıtılmasıyla bitmedi. Belirsizliklerden çıkmak için ikinci bir rüzgara ihtiyacınız var.

Yani elimizde bir dizi gerçek sayı ve 1/0 ve 0/0 olmak üzere iki belirsizlik var. İlkini ortadan kaldırmak için sayı doğrusunda projektif bir genişletme gerçekleştirdik (yani işaretsiz sonsuzluğu ekledik). 0/0 formunun ikinci belirsizliğini ele almaya çalışalım. Biz de aynısını yapalım. Sayılar kümesine ikinci belirsizliği temsil eden yeni bir öğe ekleyelim.

Bölme işleminin tanımı çarpma işlemine dayanmaktadır. Bu bize yakışmıyor. İşlemleri birbirinden ayıralım, ancak gerçek sayılar için olağan davranışı koruyalım. "/" işaretiyle gösterilen tekli bölme işlemini tanımlayalım.

İşlemleri tanımlayalım.

Bu yapıya “Tekerlek” denir. Terim, sayı doğrusu ve 0/0 noktasının projektif uzantısının topolojik resmine olan benzerliği nedeniyle alınmıştır.

Her şey iyi görünüyor ama şeytan ayrıntıda gizli:

Tüm özellikleri oluşturmak için, öğe kümesinin genişletilmesine ek olarak, dağıtım yasasını tanımlayan bir değil iki kimlik biçiminde bir bonus eklenir.

Matematik dilinde:

Genel cebir açısından alanla işlem yaptık. Ve alanda bildiğiniz gibi sadece iki işlem tanımlanmıştır (toplama ve çarpma). Bölünme kavramı tersten, hatta daha derine, birim elemanlardan türetilir. Yapılan değişiklikler bizimki dönüyor cebirsel sistem hem toplama işlemi (nötr eleman olarak sıfır ile) hem de çarpma işlemi (nötr eleman olarak bir ile) ile bir monoid haline getirilir.

Öncülerin çalışmaları her zaman ∞ ve ⊥ sembollerini kullanmaz. Bunun yerine girişleri /0 ve 0/0 biçiminde bulabilirsiniz.

Dünya artık o kadar da harika değil, değil mi? Yine de aceleye gerek yok. Dağıtım yasasının yeni kimliklerinin genişletilmiş kümemizle başa çıkıp çıkamayacağını kontrol edelim. .

Bu sefer sonuç çok daha iyi.

Özetleyelim:

Sonuç olarak. Cebir harika çalışıyor. Ancak “tanımsız” kavramı esas alındı ​​ve bunu var olan bir şey olarak görmeye ve onunla işlemeye başladılar. Bir gün birisi her şeyin kötü olduğunu ve bu "tanımsız"ın birkaç "tanımsız" ama daha küçük parçalara bölünmesi gerektiğini söyleyecektir. Genel cebir diyecek ki: “Sorun değil kardeşim!”
Bu, yaklaşık olarak ek (j ve k)'nin nasıl varsayıldığıdır hayali birimler kuaterniyonlarda Etiket ekle

• Çarpma eylemiyle bağlantısına dayanarak 0 ve 1 ile bölmeyi öğretmek; çarpma ve bölme eylemlerinin bileşenleri arasındaki bağlantıya ilişkin bilgiyi pekiştirmek;
• çalışılan tablodaki çarpma ve bölme durumlarını tekrarlayın (2, 3, 4, 5'e göre); zihinsel operasyonları geliştirmek;
• karşılıklı kontrolü, öz kontrolü ve öz saygıyı geliştirmek; doğruluk, dikkat.

Ekipman: “Matematiğim” ders kitabı 2. sınıf Eğitim sistemi“Okul 2100”, T.E. Demidova, S.A. Kozlova, A.P. Tonkikh, bölüm 3, s. 10–11 (bkz. Ek 2); ders sunumu (bkz. Ek 1), diyagramlar, görev kartları.

Görev 1

Öğretmen: 20, 4, 5 sayılarıyla 4 olası eşitlik yapın; 18, 3, 6.

Defterlerde ve tahtada 2 öğrenci tarafından karşılıklı kontrol amacıyla bağımsız olarak gerçekleştirildi. Ek olarak.* a, içinde, ile (kartlara göre)

– Bölmenin çarpmayla nasıl bir ilişkisi var? Slayt 1(Eğer ürün bir faktöre bölünürse başka bir faktör elde ederiz).

a b = c c: c = a

2. Eğitim görevinin beyanı ve çözümü

1) Egzersiz yapmak 2

– Her sütundaki ikinci ifadenin değerini, birincinin değerini hesaplayarak bulun.

Eğitimsel görev beyanı 1:

– Herhangi bir sayıyı bölmenin bölümü nedir? A birim başına mı?

Eğitim sorununun çözümü:

– Herhangi bir sayıyı bölerken A birim başına aynı sayıyı elde ederiz.

Slayt 2

a: 1 = a, çünkü a 1 = a

Eğitimsel görev 2 beyanı:

– 0 ile çarpıldığında 5 veya 7 sonucunu verecek bir sayı seçmek mümkün müdür? (HAYIR.)
– 5 bölü 0, 7 bölü 0 ifadesinin bir anlamı var mı? (HAYIR.)

Eğitim sorununun çözümü:
Slayt 3

Sıfıra bölemezsiniz.

2) Görev 3

– Her sütundaki ikinci ifadenin değerini, birincinin değerini hesaplayarak bulun. Karşılıklı ve kendi kendini kontrol etmek için defterlerde ve tahtada sıralar halinde gerçekleştirilir.

Eğitimsel görev beyanı 3:

– Sıfırın herhangi bir sayıya bölümü nedir? A, Olumsuz sıfıra eşit?

Eğitim sorununun çözümü:

– Sıfır, sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayıya bölündüğünde sıfır elde edilir.

Slayt 4

0: a = 0, a = 0 ile, a 0 = 0 olduğundan

3) Görev 4

– Her sütundaki ifadenin değerini, ilkinin değerini hesaplayarak bulun.

Karşılıklı ve kendi kendini kontrol etmek için defterlerde ve tahtada sıralar halinde gerçekleştirilir.

Eğitimsel görev beyanı 4:

– Sıfıra eşit olmayan herhangi bir a sayısını aynı sayıya bölmenin bölümü nedir?

Eğitim sorununun çözümü:

– Sıfıra eşit olmayan herhangi bir a sayısını böldüğümüzde tek başına bir elde ederiz. Uygulamanın 5 numaralı slaytı

a: a = 1, a = 0 için, çünkü a 1 = a

4) Beden eğitimi dersi “Egzersiz”

Her gün sabahları egzersiz yapıyoruz (yerinde yürümek).
Bunu sırayla yapmayı gerçekten seviyoruz:
Yürürken iyi eğlenceler (yürüme),
Ellerinizi kaldırın (Eller yukarı),
Çömel ve ayağa kalk (4-6 kez çömelme),
Zıpla ve dörtnala (5-6 atlama).

Ritmik sayma. Gözler için egzersizler.

3. Birincil konsolidasyon

1) Görev 5

Bir açıklama ile tahtada takım çalışması.

– Mümkünse ifadelerin anlamlarını bulun. Benzer ifadeler bulun ve anlamlarını bulun.*

2) Bağımsız çalışma seçeneklere göre

Slayt 6

25: 25 = 37: 1 = 0: 147 = 2: 0 = 0: 1 =

52: 52 = 73: 1 = 0: 741 = 5: 0 = 1: 1 =

– Tam tersini yaparak kendinizi sınayın.

Slayt 7'deki kendi kendine test. Akran değerlendirmesi. Benlik saygısı.

3) Beden eğitimi dersi “Egzersiz”

Bir kez - yükselin, gerin,
İki - eğilin, düzeltin,
Üç - üç el çırpma,
Üç baş sallama.
Dört kol daha geniş,
Beş - kollarınızı sallayın,
Altı - masanızda sessizce oturun.

Aküpresür. Nefes egzersizleri.

– Bugünkü dersimizin konusunu nasıl formüle edersiniz? Hangi eğitim görevleri çözüldü? Derste edindiğiniz bilgileri nasıl değerlendirirsiniz?

Sorunu çözme (No. 7a ders kitabı)

Slayt 7

“Bahçeden 72 havuç toplandı, havuçların bir kısmı tükendi, diğer kısmı ise her biri 9 havuçtan oluşan 5 demet halinde bağlandı. Kaç tane havuç kullandın?”

- Okuyun. Görev neyle ilgili? Ne biliniyor? Toplanan havuç sayısını nasıl belirtiriz? (tüm bölüm). Tüketilen havuç sayısını nasıl belirtiriz? (bir segmentin parçası).

– Birbirine bağlı havuçların sayısını nasıl belirtiriz? (bir segmentin parçası). Hangi parça hemen bulunabilir? (bunu bir eylem olarak yazalım). Problemde bilmeniz gerekenler nelerdir? Bilinmeyen bir parça nasıl bulunur? (bilinen kısmı bütünden çıkarın). Çözümü yazıp hesaplayalım. İfadedeki eylemlerin sırasını hatırlayalım.

72 – 9 5 = 27 (m) – tükendi.

– Bilinen kısmı nasıl buldunuz?
– Bilinmeyen kısmı nasıl buldunuz?

1) dersin konusunu güçlendirmek - kartlar;
2) Çarpım tablosu ve 2, 3, 4, 5 karta bölme bilgisini geliştirmek.
3) güçlü öğrenciler için denklem ( Slayt 8):

1. x1 = 45; y: y = 1; x 5 = 50
2. 11, 1 ve 2 sütunlu 6 numara. (Tahtada)

7. Ödev

S. 11 Sayı 8, Sayı 6 (3 s.).

8. Ders özeti

– Kolya ne öğrendi? (sayfa 11, renk alanı) (Sıfır ve bire bölün). Senden ne haber? Derste çalışmanızı nasıl değerlendireceksiniz?

(Benlik saygısı - çocuklar yeşil, sarı, kırmızı daireler çizer)

Yeşil– Kendimden memnunum, her şey yolunda gitti;
Sarı– Başarılı olamasam da kendimden memnunum;
Kırmızı- Yardıma ihtiyacım var.

GBPOU "Dzerzhinsky" öğretmen yetiştiren kolej»

Tarafından hazırlandı:

Öğrenci gr. PNK-4

Martyukhina Albina

Nikolayevna

Matematik ders notları

Konuyla ilgili: “Sayıyı 1'e ve Kendine Bölme”

Metodist:

Ulanova E.V.______

Dzerzhinsk, 2017

2. sınıf "B" matematik dersinin özeti

Matematik

Ders konusu

"Bir sayıyı 1'e ve kendisine bölmek"

Sınıf

2 "B"

UMK

"Bilgi Gezegeni"

Ders türü

Yeni şeyler öğrenme konusunda bir ders

Amaç, hedefler

Hedef:Yaratılış elverişli atmosfer“1'e ve kendine bölme” konusunu incelemek

Eğitici:
1) Herhangi bir sayının 1'e bölünmesi, 0'ın bir sayıya bölünmesi, 0'a bölünmenin imkansızlığı durumlarını düşünün;

2) Öğrencilerin çarpma ve bölme işlemlerinin bileşenleri ve sonuçları arasındaki ilişkiyi anlamaları üzerine çalışmaya devam edin;
3) Problem çözme becerilerini geliştirin;

Eğitici:
1) okuryazarlığı geliştirin monolog konuşma

Eğitici:
1) çalışılan konuya olan sevgiyi geliştirin.

Genel bilgi

UUD oluşturuldu

Bir sayıyı 1'e ve kendisine bölme kurallarını bilir

Meta konu UUD

Algılamak öğrenme görevi, tasarrufTders boyunca.

Düşüncelerinizi yetkin ve net bir şekilde formüle edebilme

Kişisel UUD

Öz değerlendirme formlarının nasıl kullanılacağını bilin

İletişimsel: küçük sözlü makyaj monolog ifadeleri

Kişisel

sınıfta öz değerlendirme formlarını kullanın

Planlanan ders sonuçları

Literatür ve İnternet kaynakları

2. sınıf matematik ders kitabı, Bashmakov M.I., Nefedova M.G.

Ek olarak

Şemalar, tablolar

Teçhizat

TCO-bilgisayar (sunum), ders kitabı,Akıllı- pano

Öğrenciler için:

ders kitapları

Ders planı:

Organizasyon anı(2 dakika)

Sözlü sayma (5 dk)

Güncelleme arka plan bilgisi(3 dakika)

Yeni bilginin keşfi(14dk)

Beden eğitimi dakikası (2 dk)

Dış konuşmada telaffuzla birincil pekiştirme (14 dk)

Ödev tamamlama talimatı (2 dk)

Yansıma (3 dk)

Ders ilerlemesi:

Multimedya sunumu

RUUD: bir öğrenme görevini kabul et

2. Sözlü sayma

Becerileri güçlendirin

Oyun "Zincir"

Bir tırtıl süründü, anlamını bulmasına yardım edin.

320 -300: 4 . 9 +9:9

Ne hatırladın?

Bilmiyorum giremiyorum" Güneşli şehir" Kapıda çözemediği bir şifre var. Ona yardım et.

Slayttaki görev

Dunno'nun sorunları çözmesine yardımcı oluyorlar

Sözlü sayma

Bir not defterinde çalışmak

gösteri

PUUD: Yeniden üretebilme sözlü teknikler ek

Toplamı ve farkı kullanarak hesaplayabilme yazılı algoritmalar ek.

Örnekleri çözebileceksiniz.

- Evet.

bir öğrenme görevini kabul et

- Evet.

bir öğrenme görevini kabul et

WPMP:

Çarpma ve bölmenin bileşenlerini bilir

3.Temel bilgilerin güncellenmesi

Kapsanan materyalin tekrarı

Hangi kuralları kullandınız?

Bilinmeyen bir çarpan nasıl bulunur?

Bölen nasıl bulunur? Temettü nasıl bulunur?

Bulma bilinmeyen çarpan, temettü ve bölen.

Ürünün değerini bilinen bir faktöre bölün.

Temettüyü bölümün değerine bölmeniz gerekir.

Bölüm değerini bölenle çarpın.

Anket

Gösteri

4 .Yeni bilginin keşfi

Yeni bilginin keşfi

Masha ve Misha tahtada.

7:1=7 9:1=9

7:7=1 9:9=9

0:7=0 0:9=1

Masha ve Misha'nın ifadeleri nasıl benzer? Daha önce bu tür ifadelerle karşılaştık mı?

Bugün ne öğreneceğimizi kim söyleyebilir?

Ve başka bir şey daha öğreneceğiz.

Hangi çocuk bunu doğru yaptı? D.Maşa.

Kanıtla.

Çözüm:

Herhangi bir sayıyı 1'e böldüğümüzde aynı sayıyı elde ederiz; a:1=a.

Herhangi bir sayıyı kendisine böldüğümüzde 1 elde ederiz. a=0 olmak şartıyla; a: a=1, a=0.

0'ı herhangi bir sayıya böldüğümüzde a = 0 olmak koşuluyla 0 elde ederiz; 0:a=0, a=0.

Sonucu s. 2'deki kurallarla kontrol edin. 54

Hiçbir şey fark etmedin mi? Neden 0'a bölemediğinizi tahmin edin.

Her ikisinin de 1'e bölümü, kendine bölümü ve 0'ın bir sayıya bölümü olan bir bölümü vardır.

HAYIR.

Bugün herhangi bir sayıyı 1'e, 0'ı bir sayıya bölmeyi öğreneceğiz...

Eğer 7 yaşındaysak . 7=7, 0 . 7=0. Bu, doğru şekilde tamamlandığı anlamına gelir; Temettüyü elde etmek için bölümün değeri bölenle çarpılır.

Kuralları açıklarken tabelalara da koyuyorum ve birlikte açıklıyoruz.

Bir de dördüncü kural var. 0'a bölemezsiniz. bir:0

Örneğin: 3:0=3, kontrol edeceğim.

3 . 0=0 ama kurala göre 3 olması gerekiyor. Bu olamaz!

Bu nedenle 0'a bölemezsiniz.

Anket

Konuşma

Multimedya sunumu

Gösteri

- Evet.

bir öğrenme görevini kabul et

WPMP:

0'a, kendinize ve 1'e bölme kuralını öğrenin

5. Fiziksel dakika

İşlevselliği geri yükleme

Video kaydı

6 .Harici konuşmada telaffuz ile birincil konsolidasyon

Edinilen bilgiyi pekiştirmek

Dunno tahtadaki tüm ifadeleri çözdü ve onunla kontrol etmeni bekliyor. Çalışmayı not defterlerinizde tamamlayın ve kurulla kontrol edin.

9:1=1 9 0:5=5 0

63:1=63 0:54=0

8:8=1 0:12=0

75:75=0 1 14:0=0

Ne fark ettin?

Kim buna yakalandı?

Dunno neyi bilmiyor?

Çözüm

Dunno neyi öğrenmedi?

Sorun No. 170

Sorunu okuyun. Son sorunun altını çizin. Problemde ne öğreneceğiz? Sorun hakkında neler biliniyor?

Diyagramda nasıl gösterilir?

Neyi bilmeniz gerekiyor?

Kim kurultaya gidip sorunu çözecek?

Çözüm tahtada ve defterlerde.

48-6=42 (tamam) Sasha'ya yakalandı.

42:7=6 (tamam) Kolya'yı yakaladı.

48+42+6=96 (yaklaşık)

Cevap: Bütün çocuklar 96 levrek yakaladı.

Kim problem çözmede bilgisini denemek ister? artan karmaşıklık? (bir öğrenci problemi çözerAkıllı-tahtada, koleksiyondan bir kartta - “Çarpma ve Bölme” konulu bir kart

Bir tuzak.

0'a bölemezsiniz.

Geriye kalan ifadeleri açıklayınız.

Üç çocuk da kaç tünek yakaladı?

Üç oğlan Misha, Sasha ve Kolya vardı.

Misha 48 levrek yakaladı. Sasha ne kadar bilmiyoruz ama 6 eksiği olduğu söyleniyor.

Ve Kolya - ne kadar olduğunu da bilmiyoruz ama Sasha'dan 7 kat daha az olduğunu biliyoruz.

Üç çocuk da kaç tünek yakaladı?

Egzersizler

Konuşma

WPMP:

0'a, 1'e ve kendisine bölme kuralını bilir, problem çözerken uygulayabilir

- Evet.

bir öğrenme görevini kabul et

KUUD: Sorularınızı ve cevaplarınızı doğru ve yetkin bir şekilde formüle edebilme, konuşma ifadeleri;

LUUD: İfade edebilmek kendi görüşü ve pozisyon

6.Ödevi tamamlama talimatı

Ödev açıklaması

Günlükleri açın ve yazın Ev ödevi

№ 167 (son 6 ifade), Sayı 169 (5 z.)

Öğretmenin sözü

7.Yansıma

Dersi özetlemek

Şimdi Misha'mıza dönelim ve neyi yanlış yaptığını kontrol edelim.

9:9=1 doğrudur çünkü 9 . 1=9

9:9=9 1 yanlış çünkü Bir sayı kendisine bölündüğünde 1 elde edilir.

0:9=1 0 yanlış çünkü 0'ı, 0'a eşit olmayan herhangi bir sayıya böldüğümüzde 0 elde ederiz. Hangi tuzağa düşmemeliyiz?. Herkese teşekkürler. Ders bitti.

Öğretmen sorularını yanıtlayın

0'a bölemezsiniz.

Konuşma

CUUD: başkalarını dinleyin, iletişim kurallarına uyun; sorularını ve cevaplarını doğru bir şekilde formüle etmek, konuşma ifadeleri oluşturmak;

kendi görüş ve pozisyonlarını ifade etmek

LUUD: başkalarını dinle, iletişim kurallarına uy

0 sayısını dünyayı ayıran belli bir sınır olarak hayal edebiliriz gerçek sayılar hayali veya olumsuzdan. Belirsiz konum nedeniyle, bununla birçok operasyon sayısal değer itaat etme matematiksel mantık. Sıfıra bölmenin imkansızlığı bunun en iyi örneğidir. Ve izin verilen aritmetik işlemler sıfır ile genel kabul görmüş tanımlar kullanılarak yapılabilir.

Sıfırın tarihi

Sıfır her şeyde referans noktasıdır standart sistemler hesap. Avrupalılar bu numarayı nispeten yakın zamanda kullanmaya başladılar, ancak bilgeler Antik Hindistan Boş sayı Avrupalı ​​matematikçiler tarafından düzenli olarak kullanılmaya başlanmadan bin yıl önce sıfır kullanılıyordu. Kızılderililerden önce bile sıfır zorunlu bir değerdi. sayısal sistem Maya. Bu Amerikalılar on ikilik sayı sistemini kullanıyordu ve her ayın ilk günü sıfırla başlıyordu. Mayalarda “sıfır”ı ifade eden işaret ile “sonsuzluğu” ifade eden işaretin tamamen örtüşmesi ilginçtir. Böylece eski Mayalar bu miktarların aynı ve bilinemez olduğu sonucuna vardılar.

Sıfırla matematiksel işlemler

Standart matematiksel işlemler sıfır ile birkaç kurala indirgenebilir.

Toplama: Herhangi bir sayıya sıfır eklerseniz değeri değişmez (0+x=x).

Çıkarma: Herhangi bir sayıdan sıfırı çıkardığınızda çıkanın değeri değişmez (x-0=x).

Çarpma: Herhangi bir sayının 0 ile çarpılması 0 sonucunu verir (a*0=0).

Bölme: Sıfır, sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayıya bölünebilir. Bu durumda böyle bir kesrin değeri 0 olacaktır. Sıfıra bölmek yasaktır.

Üs alma. Bu işlem herhangi bir sayı ile gerçekleştirilebilir. Keyfi sayı sıfır gücüne yükseltildiğinde 1 (x 0 = 1) verir.

Sıfırın herhangi bir kuvveti 0'a eşittir (0 a = 0).

Bu durumda hemen bir çelişki ortaya çıkıyor: 0 0 ifadesi mantıklı değil.

Matematiğin paradoksları

Pek çok kişi okuldan sıfıra bölmenin imkansız olduğunu biliyor. Ancak bazı nedenlerden dolayı böyle bir yasağın nedenini açıklamak mümkün değil. Aslında sıfıra bölme formülü neden mevcut değil de bu sayıyla yapılan diğer eylemler oldukça makul ve mümkün? Bu sorunun cevabını matematikçiler veriyor.

Mesele şu ki, okul çocuklarının öğrendiği olağan aritmetik işlemler ilkokul Aslında düşündüğümüz kadar eşit değiller. Tüm basit işlemler sayılarla ikiye indirgenebilir: toplama ve çarpma. Bu eylemler sayı kavramının özünü oluşturur ve diğer işlemler bu ikisinin kullanımı üzerine kuruludur.

Toplama ve Çarpma

Hadi alalım standart örnekçıkarma için: 10-2=8. Okulda bunu basitçe düşünüyorlar: On dersten ikisini çıkarırsanız sekiz kalır. Ancak matematikçiler bu işleme tamamen farklı bakıyorlar. Sonuçta çıkarma gibi bir işlem onlar için mevcut değil. Bu örnek başka şekilde de yazılabilir: x+2=10. Matematikçiler için bilinmeyen fark, sekiz yapmak için ikiye eklenmesi gereken sayıdır. Ve burada hiçbir çıkarma işlemine gerek yok, sadece uygun sayısal değeri bulmanız yeterli.

Çarpma ve bölme aynı şekilde ele alınır. 12:4=3 örneğinde bunu anlayabilirsiniz hakkında konuşuyoruz sekiz nesneyi iki eşit kümeye bölmekle ilgili. Ancak gerçekte bu, 3x4 = 12'nin ters çevrilmiş formülünden başka bir şey değildir. Bu tür bölme örnekleri sayısız şekilde verilebilir.

0'a bölme örnekleri

İşte bu noktada neden sıfıra bölmenin mümkün olmadığı biraz daha netleşiyor. Çarpma ve sıfıra bölme kendi kurallarına uyar. Bu miktarın bölünmesine ilişkin tüm örnekler 6:0 = x şeklinde formüle edilebilir. Ancak bu, 6 * x=0 ifadesinin ters çevrilmiş gösterimidir. Ancak bildiğiniz gibi herhangi bir sayının 0 ile çarpılması çarpımda yalnızca 0 verir. Bu özellik sıfır değer kavramının doğasında vardır.

0 ile çarpıldığında somut bir değer veren bir sayının olmadığı ortaya çıktı. bu görevçözümü yok. Bu cevaptan korkmamalısınız; bu tür problemler için doğal bir cevaptır. Sadece 6:0 kaydı hiçbir anlam ifade etmiyor ve hiçbir şeyi açıklayamıyor. Kısaca bu ifade ölümsüz “sıfıra bölmek imkansızdır” sözüyle açıklanabilir.

0:0 işlemi var mı? Gerçekten 0 ile çarpma işlemi yasal ise sıfır sıfıra bölünebilir mi? Sonuçta 0x 5=0 formundaki bir denklem oldukça yasaldır. 5 rakamı yerine 0 koyabilirsiniz ürün değişmeyecektir.

Aslında 0x0=0. Ama yine de 0'a bölemezsiniz. Söylendiği gibi bölme basittir. ters işlemçarpma. Yani örnekte 0x5=0 ikinci faktörü belirlemeniz gerekiyorsa 0x0=5 elde ederiz. Veya 10. Veya sonsuzluk. Sonsuzluğu sıfıra bölmek - bunu nasıl buldun?

Ancak ifadeye herhangi bir sayı uyuyorsa o zaman bunun bir anlamı yoktur, yapamayız sonsuz sayı sayılar, birini seçin. Ve eğer öyleyse, bu 0:0 ifadesinin bir anlam ifade etmediği anlamına gelir. Sıfırın kendisinin bile sıfıra bölünemeyeceği ortaya çıktı.

Yüksek matematik

Sıfıra bölme baş ağrısıİçin okul matematik. Okuduğu yer teknik üniversiteler Matematiksel analiz, çözümü olmayan problemler kavramını biraz genişletir. Örneğin, zaten ünlü ifade 0:0 çözümü olmayan yenileri eklendi okul kursları matematik:

• sonsuzun sonsuza bölümü: ?:?;
• sonsuz eksi sonsuz: ???;
• yerleşik ünite sonsuz derece: 1 ? ;
• sonsuzun 0 ile çarpılması: ?*0;
• bazıları.

Bu tür ifadeleri temel yöntemlerle çözmek imkansızdır. Ancak yüksek matematik sayesinde ek özellikler bir sıra için benzer örnekler verir nihai çözümler. Bu özellikle limitler teorisinden kaynaklanan problemlerin ele alınmasında belirgindir.

Belirsizliğin Kilidini Açmak

Limitler teorisinde 0 değeri, koşullu sonsuz küçük bir değerle değiştirilir. değişken. Ve yerine koyarken kullanılan ifadeler istenen değer sıfıra bölme elde edilir ve dönüştürülür. Aşağıda sıradan cebirsel dönüşümleri kullanarak bir limiti genişletmenin standart bir örneği verilmiştir:

Örnekte görebileceğiniz gibi, bir kesri basitçe azaltmak, onun değerini tamamen rasyonel bir cevaba götürür.

Sınırlar dikkate alındığında trigonometrik fonksiyonlar ifadeleri ilkine indirgenme eğilimindedir harika sınır. Bir limit değiştirildiğinde paydanın 0 olduğu limitler dikkate alınırken ikinci bir dikkate değer limit kullanılır.

L'Hopital yöntemi

Bazı durumlarda ifadelerin limitleri türevlerinin limitleri ile değiştirilebilir. Guillaume L'Hopital - Fransız matematikçi, kurucu Fransız okulu matematiksel analiz. İfadelerin limitlerinin bu ifadelerin türevlerinin limitlerine eşit olduğunu kanıtladı. İÇİNDE matematiksel gösterim onun kuralı şu şekildedir.

Şu anda, L'Hopital'in yöntemi 0:0 veya ?:? tipindeki belirsizlikleri çözmek için başarıyla kullanılmaktadır.

0,1 ile nasıl bölünür ve çarpılır; 0,01; 0,001 vb.?

Bölme ve çarpma kurallarını yazınız.

Bir sayıyı 0,1 ile çarpmak için virgülü kaydırmanız yeterlidir.

Mesela öyleydi 56 , oldu 5,6 .

Aynı sayıya bölmek için virgülü ters yönde hareket ettirmeniz gerekir:

Mesela öyleydi 56 , oldu 560 .

0.01 sayısıyla her şey aynı ama onu bir haneye değil 2 haneye taşımanız gerekiyor.

Genel olarak ihtiyacınız olduğu kadar sıfır aktarın.

Örneğin 123456789 numarası var.

Bunu 0,000000001 ile çarpmanız gerekiyor

0,000000001 sayısında dokuz sıfır vardır (sıfırı virgülün solunda da sayarız), bu da 123456789 sayısını 9 basamak kaydırdığımız anlamına gelir:

123456789'du ve şimdi 0,123456789.

Çarpmak değil aynı sayıya bölmek için diğer yöne kaydırıyoruz:

123456789'du ve şimdi 123456789000000000.

Bir tamsayıyı bu şekilde kaydırmak için ona basitçe sıfır ekleriz. Ve kesirli olarak virgülü hareket ettiriyoruz.

Bir sayıyı 0,1'e bölmek, o sayıyı 10 ile çarpmak anlamına gelir

Bir sayıyı 0,01'e bölmek, o sayıyı 100 ile çarpmak anlamına gelir

0,001'e bölmek 1000 ile çarpmak demektir.

Hatırlamayı kolaylaştırmak için bölmemiz gereken sayıyı virgüllere dikkat etmeden sağdan sola okuruz ve elde edilen sayıyla çarparız.

Örnek: 50: 0,0001. Bu, 50 ile çarpılan (sağdan sola virgülsüz - 10000) 10000 ile aynıdır. 500000 çıkıyor.

Çarpma işleminde de aynı şey geçerlidir, yalnızca tersi:

400 x 0,01, 400'ü (sağdan sola virgülsüz okunur - 100) 100: 400: 100 = 4'e bölmekle aynıdır.

Bu tür sayılarla çarpma ve bölme sırasında virgülleri bölme sırasında sağa, çarpma sırasında sola kaydırmayı daha uygun bulanlar için bunu yapabilirsiniz.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Ondalık sayıya göre bölme

BEN. Bir sayıyı ondalık kesirle bölmek için, bölen ve bölendeki virgülleri, bölendeki ondalık noktadan sonraki basamak sayısı kadar sağa kaydırmanız ve ardından doğal sayıya bölmeniz gerekir.

Primary.

Bölmeyi gerçekleştirin: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Çözüm.

Örnek 1) 16,38: 0,7.

bölücüde 0,7 virgülden sonra bir rakam var o yüzden bölen ve bölendeki virgülleri bir rakam sağa kaydıralım.

O zaman bölmemiz gerekecek 163,8 Açık 7 .

Bölme kuralına göre bölme işlemini yapalım ondalık bir doğal sayıya.

Onlar bölündükçe biz de bölünüyoruz doğal sayılar. Numara nasıl kaldırılır 8 - ondalık noktadan sonraki ilk rakam (yani onuncu basamaktaki rakam), yani hemen bölüme virgül koyun ve bölmeye devam edin.

Cevap: 23.4.

Örnek 2) 15,6: 0,15.

Bölünmede virgülleri hareket ettiriyoruz ( 15,6 ) ve bölen ( 0,15 ) bölende olduğu için sağa doğru iki rakam 0,15 virgülden sonra iki rakam var.

Sağdaki ondalık kesre istediğiniz kadar sıfır ekleyebileceğinizi ve ondalık kesrin değişmeyeceğini hatırlıyoruz.

15,6:0,15=1560:15.

Doğal sayıların bölünmesini yapıyoruz.

Cevap: 104.

Örnek 3) 3,114: 4,5.

Bölünen ve bölen kısımdaki virgülleri bir basamak sağa taşıyın ve bölün 31,14 Açık 45 ondalık kesri doğal sayıya bölme kuralına göre.

3,114:4,5=31,14:45.

Bölümde sayıyı kaldırır kaldırmaz virgül koyarız 1 onuncu sırada. Daha sonra bölmeye devam ediyoruz.

Bölümü tamamlamak için atamamız gerekiyordu sıfır numaraya 9 - sayılar arasındaki farklar 414 Ve 405 . (ondalık kesrin sağ tarafına sıfırların eklenebileceğini biliyoruz)

Cevap: 0,692.

Örnek 4) 53,84: 0,1.

Bölen ve bölendeki virgülleri şuraya taşıyın: 1 sağdaki numara.

Şunu elde ederiz: 538,4:1=538,4.

Eşitliği analiz edelim: 53,84:0,1=538,4. Bu örnekte bölüştürmedeki virgüle ve elde edilen bölümdeki virgüllere dikkat edin. Temettüdeki virgülün şuraya taşındığını fark ediyoruz: 1 sayıyı sağa doğru, sanki çarpıyormuşuz gibi 53,84 Açık 10. (“Ondalık sayının 10, 100, 1000 vb. ile çarpılması” başlıklı videoya bakın.) Ondalık sayıyı şu sayıya bölme kuralı buradan gelir: 0,1; 0,01; 0,001 vesaire.

II. Bir ondalık sayıyı 0,1'e bölmek için; 0,01; 0,001 vb. ise virgülünü 1, 2, 3 vb. basamak sağa kaydırmanız gerekir. (Ondalık sayıyı 0,1, 0,01, 0,001 vb. ile bölmek, o ondalık sayıyı 10, 100, 1000 vb. ile çarpmakla aynıdır.)

Örnekler.

Bölmeyi gerçekleştirin: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Çözüm.

Örnek 1) 617,35: 0,1.

Kurala göre II şuna göre bölme 0,1 ile çarpmaya eşdeğerdir 10 ve bölüştürmede virgülü hareket ettirin 1 hane sağa:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Örnek 2) 0,235: 0,01.

Şuna göre bölüm: 0,01 ile çarpmaya eşdeğerdir 100 , bu, bölüştürmede virgülün yerini değiştirdiğimiz anlamına gelir Açık Sağdaki 2 hane:

2) 0,235:0,01=23,5.

Örnek 3) 2,7845: 0,001.

Çünkü şuna göre bölme 0,001 ile çarpmaya eşdeğerdir 1000 , ardından virgülü taşıyın Sağdaki 3 hane:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Örnek 4) 26,397: 0,0001.

Bir ondalık sayıyı şuna bölme 0,0001 - bunu çarpmakla aynı şey 10000 (virgülü hareket ettirin 4 haneli Sağ). Şunu elde ederiz:

www.mathematics-repetition.com

10, 100, 0,1, 0,01 formundaki sayılarla çarpma ve bölme

Bu video eğitimi abonelikle kullanılabilir

Zaten bir aboneliğiniz var mı? Giriş yapmak

Açık bu ders 10, 100, 0,1, 0,001 formundaki sayılarla çarpma ve bölme işleminin nasıl yapılacağına bakacağız. Ayrıca karar verilecek çeşitli örnekler bu konu hakkında.

Sayıları 10 ile çarpmak, 100

Egzersiz yapmak. 25,78 sayısı 10 ile nasıl çarpılır?

Ondalık gösterim verilen numara toplamının kısaltılmış şeklidir. Bunu daha ayrıntılı olarak açıklamak gerekir:

Bu nedenle miktarı çarpmanız gerekir. Bunu yapmak için her terimi çarpmanız yeterlidir:

Görünüşe göre...

Ondalık kesri 10 ile çarpmanın çok basit olduğu sonucuna varabiliriz: ondalık noktayı sağdaki bir konuma taşımanız gerekir.

Egzersiz yapmak. 25,486'yı 100 ile çarpın.

100'le çarpmak, 10'u iki kez çarpmakla aynı şeydir. Yani virgülü iki kez sağa kaydırmanız gerekir:

Sayıları 10'a bölmek, 100

Egzersiz yapmak. 25,78'i 10'a bölün.

Önceki durumda olduğu gibi 25,78 sayısını toplam olarak sunmanız gerekiyor:

Toplamı bölmeniz gerektiğinden bu, her terimi bölmeye eşdeğerdir:

10'a bölmek için ondalık noktayı bir sola kaydırmanız gerektiği ortaya çıktı. Örneğin:

Egzersiz yapmak. 124.478'i 100'e bölün.

100'e bölmek, 10'a iki kez bölmekle aynı şey olduğundan, virgül 2 basamak sola kaydırılır:

10, 100, 1000 ile çarpma ve bölme kuralı

Ondalık kesirin 10, 100, 1000 vb. ile çarpılması gerekiyorsa, ondalık noktayı çarpandaki sıfır sayısı kadar sağa kaydırmanız gerekir.

Tersine, eğer bir ondalık kesirin 10, 100, 1000 vb.'ye bölünmesi gerekiyorsa, ondalık noktayı çarpandaki sıfır sayısı kadar sola kaydırmanız gerekir.

Virgülün taşınması gerektiği ancak başka sayı kalmadığı durumlara örnekler

100 ile çarpmak, ondalık basamağın iki basamak sağa kaydırılması anlamına gelir.

Kaydırma sonrasında, virgülden sonra başka rakam kalmadığını görebilirsiniz; bu şu anlama gelir: kesirli kısım mevcut olmayan. O zaman virgüle gerek yok, sayı tamsayı.

4 pozisyon sağa gitmeniz gerekiyor. Ancak virgülden sonra sadece iki rakam var. 56.14 kesri için eşdeğer bir gösterimin olduğunu hatırlamakta fayda var.

Artık 10.000 ile çarpmak kolaydır:

Önceki örnekte kesire neden iki sıfır ekleyebileceğiniz çok açık değilse, bağlantıdaki ek video bu konuda yardımcı olabilir.

Eşdeğer ondalık gösterimler

Giriş 52 şu anlama gelir:

Önüne 0 koyarsak 052 girişini elde ederiz. Bu girişler eşdeğerdir.

Önüne iki sıfır konulur mu? Evet, bu girişler eşdeğerdir.

Şimdi ondalık kesirlere bakalım:

Sıfır atarsanız şunu elde edersiniz:

Bu girişler eşdeğerdir. Benzer şekilde birden fazla sıfır atayabilirsiniz.

Bu nedenle, herhangi bir sayının kesirli kısmından sonra birkaç sıfır ve tamsayı kısmından önce birkaç sıfır olabilir. Bunlar olacak eşdeğer girdiler aynı numara.

100'e bölme işlemi gerçekleştiği için virgülün 2 basamak sola kaydırılması gerekir. Ondalık virgülün solunda hiçbir sayı kalmadı. Bütün kısım mevcut olmayan. Bu gösterim genellikle programcılar tarafından kullanılır. Matematikte tam kısım yoksa yerine sıfır konulur.

Onu üç konum sola kaydırmanız gerekiyor, ancak yalnızca iki konum var. Bir sayının önüne birkaç sıfır yazarsanız bu eşdeğer bir gösterim olacaktır.

Yani sola kaydırdığınızda sayılar biterse sıfırlarla doldurmanız gerekir.

İÇİNDE bu durumda Her zaman tam kısımdan sonra virgülün geldiğini hatırlamakta fayda var. Daha sonra:

0,1, 0,01, 0,001 ile çarpma ve bölme

10, 100, 1000 sayılarıyla çarpmak ve bölmek çok basit bir işlemdir. 0.1, 0.01, 0.001 sayılarında da durum tamamen aynıdır.

Örnek. 25,34'ü 0,1 ile çarpın.

0,1 ondalık kesirini sıradan kesir olarak yazalım. Ancak ile çarpmak 10'a bölmekle aynı şeydir. Bu nedenle virgülün 1. konumunu sola kaydırmanız gerekir:

Benzer şekilde 0,01 ile çarpmak 100'e bölmek demektir:

Örnek. 5,235 bölü 0,1.

Çözüm bu örnek benzer şekilde inşa edilmiştir: 0,1 şu şekilde ifade edilir: ortak kesir, ve bölmek 10 ile çarpmakla aynıdır:

Yani 0,1'e bölmek için virgülünü bir sağa kaydırmanız gerekir, bu da 10 ile çarpmaya eşdeğerdir.

0,1, 0,01, 0,001 ile çarpma ve bölme kuralı

10 ile çarpmak ve 0,1'e bölmek aynı şeydir. Virgül 1 konum sağa kaydırılmalıdır.