Kesirli ifadeleri bir çocuğun anlaması zordur. Çoğu insan bu konuda zorluk yaşıyor. "Tam sayılarla kesirleri toplama" konusunu incelerken çocuk şaşkına döner ve sorunu çözmekte zorlanır. Birçok örnekte, bir eylemi gerçekleştirmeden önce bir dizi hesaplamanın yapılması gerekir. Örneğin, kesirleri dönüştürün veya uygun olmayan bir kesri uygun bir kesire dönüştürün.
Çocuğa net bir şekilde anlatalım. İkisi bütün olacak üç elmayı alıp üçüncüsünü 4 parçaya bölelim. Kesilmiş elmanın bir dilimini ayırın ve kalan üçünü iki tam meyvenin yanına yerleştirin. Bir tarafta elmanın ¼'ünü, diğer tarafta 2 ¾'ünü alıyoruz. Bunları birleştirirsek üç elma elde ederiz. 2 ¾ elmayı ¼ oranında azaltmaya çalışalım, yani bir dilim daha çıkaralım, 2 2/4 elma elde ederiz.
Tam sayı içeren kesirlerle işlemlere daha yakından bakalım:
Öncelikle ortak paydalı kesirli ifadeler için hesaplama kuralını hatırlayalım:
İlk bakışta her şey kolay ve basittir. Ancak bu yalnızca dönüştürme gerektirmeyen ifadeler için geçerlidir.
Paydaların farklı olduğu bir ifadenin değeri nasıl bulunur?
Bazı görevlerde paydaların farklı olduğu bir ifadenin anlamını bulmanız gerekir. Belirli bir duruma bakalım:
3 2/7+6 1/3
Değeri bulalım verilen ifade, bunun için iki kesir için buluyoruz ortak payda.
7 ve 3 sayıları için bu 21'dir. Tamsayı kısımları aynı bırakıp kesirli kısımları 21'e getiririz, bunun için ilk kesri 3 ile ikinciyi 7 ile çarparız, şunu elde ederiz:
6/21+7/21, tüm parçaların dönüştürülemeyeceğini unutmayın. Sonuç olarak, aynı paydaya sahip iki kesir elde ediyoruz ve toplamlarını hesaplıyoruz:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Toplamanın sonucu zaten tamsayı kısmı olan uygunsuz bir kesir ise:
2 1/3+3 2/3
İÇİNDE bu durumda Tüm parçaları ve kesirli parçaları toplarsak şunu elde ederiz:
5 3/3, bildiğiniz gibi 3/3 birdir, yani 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Toplamı bulmak gayet açık, hadi çıkarma işlemine bakalım:
Söylenenlerin hepsinden, eylem kuralının üzerinde karışık sayılar, kulağa şöyle geliyor:
- Eğer itibaren kesirli ifade bir tamsayıyı çıkarmak gerekir, ikinci sayıyı kesir olarak göstermeye gerek yoktur, işlemi yalnızca tamsayı kısımlarında yapmak yeterlidir.
İfadelerin anlamını kendimiz hesaplamaya çalışalım:
Hadi halledelim daha fazla örnek"m" harfinin altında:
4 5/11-2 8/11, birinci kesrin payı ikinciden küçüktür. Bunu yapmak için ilk kesirden bir tamsayı ödünç alırız, şunu elde ederiz:
3 5/11+11/11=3 tam 16/11, ikinciyi birinci kesirden çıkarın:
3 16/11-2 8/11=1 tam 8/11
- Görevi tamamlarken dikkatli olun, tüm kısmı vurgulayarak uygunsuz kesirleri karışık kesirlere dönüştürmeyi unutmayın. Bunu yapmak için payın değerini paydanın değerine bölmeniz gerekir, elde ettiğiniz şey tam kısmın yerini alır, geri kalan pay olacaktır, örneğin:
19/4=4 ¾, kontrol edelim: 4*4+3=19, payda 4 değişmeden kalıyor.
Özetleyelim:
Kesirlerle ilgili bir görevi tamamlamaya başlamadan önce, bunun ne tür bir ifade olduğunu, çözümün doğru olması için kesir üzerinde hangi dönüşümlerin yapılması gerektiğini analiz etmeniz gerekir. Daha fazlasını arayın rasyonel yolçözümler. Zor yola gitmeyin. Tüm eylemleri planlayın, önce taslak halinde çözün, ardından okul defterinize aktarın.
Kesirli ifadeleri çözerken karışıklığı önlemek için tutarlılık kuralına uymalısınız. Acele etmeden her şeye dikkatlice karar verin.
Ah bu kesirler! İÇİNDE lise Matematik derslerinde pek çok okul çocuğunun aşmakta zorlandığı bir engel haline gelen şartlarda pay ve paydalı sayıların yanıp söndüğü kesirli aritmetik işlemler ve problemlerdir. Ezberleme ve kullanma yeterli basit kurallar Kesirlerle işlemleri yöneten bazı öğrenciler için engel iyi notlar matematikte. Peki kesirlerle ilgili problemleri nasıl çözersiniz? Kesirin ne olduğunu doğru anlarsanız bu mümkündür.
İçin açık örnek Sıradan bir pasta alalım. Tatil için yedi misafir bekliyorsunuz. Tek bir pastan var. Bu, sekize bölünmesi gerektiği anlamına gelir (misafirler artı doğum günü kişisi). Keki eşit parçalara böldünüz. Bu parçaların her biri pastanın sadece 1/8'ini oluşturuyor. Sonuç, 1'in pay ve 8'in payda olduğu basit bir doğal kesirdir. Konuklardan biri pastayı reddetti ve siz kendinize bir parça daha almaya karar verdiniz. Şimdi pastanın sekiz parçasından 2 tanesi yani 2/8'i var.
Ya tüm misafirleriniz diyet yapıyor, kilo veriyor ve pasta yemek istemiyorsa? O zaman sekizden sekizini (8/8), yani bir bütün pastayı elde edersiniz!
Payın olduğu kesirler paydadan daha az, doğru olarak adlandırılır. Ve payı daha büyük olanlar yanlıştır.
Doğal kesirlerle ilgili problemler
Aşağıdakileri içeren görevler doğal kesirler, çoğu zaman onlarla yapılan eylemleri içerir. En kolay seçenek Böyle bir problem, kesir olarak ifade edilen bir sayının kesirini bulmaktır. Size 6 kilo elma verildi. Tart dolgusunu hazırlamak için 2/3'ünü bırakmalısınız. 6'yı 2 ile çarpıp 3'e bölüyoruz. Sonuç olarak iç dolgu için 4 kiloya ihtiyacımız var.
Eğer buna değerse zor görev bir sayıyı kısmına göre bulun, pay ve paydayı değiştirerek sayının kısmını kesirle çarpın. Burada 6 kilo elma var. Bu 3/5 toplam sayı elma ağacınızdan toplanan elmalar. Bu da demek oluyor ki hızlıca 6'yı 5 ile çarpıp 3'e bölüyoruz. 10 kilogram çıkıyor.
Kesirler nasıl bölünür ve çarpılır? Buradaki kurallar basit. Bir kesri bir kesirle çarptığımızda pay ve paydalarla işlemler yaparız. Diyelim ki 2/3'ü 5/6 ile çarpmanız gerekiyor. 2 sayısını 5 ile, 3 sayısını 6 ile çarpıyoruz. Sonuç: 10/18. Bir kesri bir tam sayıyla çarpmanız gerekiyorsa, sayının kendisini ve kesrin payını çarpmanız yeterlidir. Yani 3*4/7=12/7. Kesri doğru olana dönüştürün: 12/7=1 ve 5/7.
Kesirlerde bölme işlemini kolaylıkla çarpma işlemiyle değiştirebiliriz. 5/6'yı 2/3'e bölmemiz mi gerekiyor? Bu, ilk kesir olan 5/6'yı değiştirmeden bırakacağımız ve ikinci kesirde pay ve paydayı değiştireceğimiz anlamına gelir. 5/6:2/3=5/6*3/2=15/12. Doğal bir sayıyı kesre bölmek için de benzer kurallar mevcuttur. 2:4/7= 2*7/4=14/4. Bir kesri ikiye bölersek doğal sayı, sonra paydayı ve sayının kendisini çarparız. 4/7:2=4/14.
Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma ve toplama işlemi yapmak daha zordur. 2/8 ile 3/8 arasındaki kesirleri eklemeniz gerekiyorsa bu daha kolaydır. Paydaları değiştirmeden payları ekleyin. 5/8 çıkıyor. Çıkarma işleminde her şey aynıdır; küçük olan büyük paydan çıkarılır.
Paydaların farklı olduğu kesirlerle ilgili problemler nasıl çözülür? Tabii önce onları bir yere getirin. Örneğin 5/8 ve 2/3'ü eklemeniz gerekir. Seçim yöntemini kullanarak hem 8'e hem de 3'e bölünebilen bir sayı arıyoruz. Bu sayı 24'tür. Paydası 24 olan 5/8'den kesir yapmak için 24'ü 8'e böleriz. Elde ettiğimiz sayı 3'tür. Payı 3 ile çarpın. Sonuç olarak 5/8, 15/24'e eşittir. Aynısını 2/3 ile yapıyoruz, 16/24 elde ediyoruz. Daha sonra paydaları toplayabilir ve çıkarabilirsiniz.
31/24 uygunsuz bir kesir aldık. 24/24 tek bir tam sayıdır. Paydayı paydan çıkarın. 1 tam ve 7/24 çıkıyor.
Bir tam sayıdan bir parçayı çıkarmanız gerektiğinde ne yapmalısınız? Her birini beş parçaya bölüp 2/5'ini tanıdığınız birine vermeniz gereken üç kekiniz var. 3, 15'in beşe bölümüdür. Yani 15/5 pastanız var. 15'ten 2'yi çıkardığınızda, pastanın 13/5'inin veya 2 tam ve 3/5'inin kaldığı ortaya çıkıyor.
Kesirlerle ilgili problemleri bu şekilde çözebilirsiniz. Önemli olan, daha büyük bir payı daha küçük bir paydan çıkaramayacağınızı hatırlamaktır!
Pay ve bölünen ise paydadır.
Kesir yazmak için önce payı yazın, sonra sayının altına yatay bir çizgi çizin ve paydayı çizginin altına yazın. Pay ve paydayı ayıran yatay çizgiye kesir çizgisi denir. Bazen eğik "/" veya "∕" şeklinde gösterilir. Bu durumda pay satırın soluna, payda ise sağına yazılır. Yani örneğin “üçte iki” kesri 2/3 olarak yazılacaktır. Açıklık sağlamak için, pay genellikle satırın üstüne, payda ise alta yazılır, yani 2/3 yerine şunu bulabilirsiniz: ⅔.
Kesirlerin çarpımını hesaplamak için önce payını bir ile çarpmanız gerekir. kesirler payda farklıdır. Sonucu yeninin payına yazın kesirler. Bundan sonra paydaları çarpın. Yeni alana toplam değeri girin kesirler. Örneğin 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Bir kesri diğerine bölmek için önce birincinin payını ikincinin paydasıyla çarpmanız gerekir. Aynısını ikinci kesir (bölen) için de yapın. Veya, tüm eylemleri gerçekleştirmeden önce, sizin için daha uygunsa, önce böleni "çevirin": payda payın yerinde olmalıdır. Daha sonra bölenin paydasını bölenin yeni paydasıyla çarpın ve payları çarpın. Örneğin, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
Kaynaklar:
- Temel kesir problemleri
Kesirli sayılar şu şekilde ifade edilebilir: farklı şekillerde miktarın kesin değeri. Tam sayılarla yapabildiğiniz matematik işlemlerinin aynısını kesirlerle de yapabilirsiniz: çıkarma, toplama, çarpma ve bölme. Karar vermeyi öğrenmek kesirler, onların bazı özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Bunlar türüne bağlıdır kesirler, bir tamsayı kısmının varlığı, ortak bir payda. Bazı aritmetik işlemler, yürütme sonrasında sonucun kesirli kısmının azaltılmasını gerektirir.
İhtiyacın olacak
- - hesap makinesi
Talimatlar
Rakamlara yakından bakın. Kesirler arasında ondalık sayılar ve düzensiz olanlar varsa, bazen önce ondalık sayılarla işlem yapmak ve sonra bunları düzensiz forma dönüştürmek daha uygundur. Çevirebilir misin? kesirler Bu formda başlangıçta payda virgülden sonraki değer yazılıyor ve paydaya 10 yazılıyor. Gerekirse yukarıdaki ve alttaki sayıları bir bölene bölerek kesri azaltın. Tamsayı kısmı izole edilen kesirler, paydayla çarpılıp payın sonuca eklenmesiyle yanlış forma dönüştürülmelidir. Verilen değer yeni pay olacak kesirler. Başlangıçta yanlış olan parçanın tamamını seçmek için kesirler payını paydaya bölmeniz gerekir. Tüm sonuç itibaren yaz kesirler. Ve bölümün geri kalanı yeni pay, payda olacak kesirler değişmez. olan kesirler için bütün kısım işlemleri önce tamsayı, sonra kesirli kısımlar için ayrı ayrı yapmak mümkündür. Örneğin, 1 2/3 ve 2 ¾'ün toplamı hesaplanabilir:
- Kesirleri yanlış forma dönüştürme:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Tam sayıların ayrı ayrı toplanması ve kesirli parçalarşartlar:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
“:” ayırıcısını kullanarak bunları yeniden yazın ve devam edin düzenli bölme.
Almak için nihai sonuç Pay ve paydayı bu durumda mümkün olan en büyük sayıya bölerek elde edilen kesri azaltın. Bu durumda satırın üstünde ve altında tam sayılar bulunmalıdır.
lütfen aklınızda bulundurun
Paydaları farklı olan kesirlerle aritmetik işlem yapmayın. Öyle bir sayı seçin ki, her kesrin payını ve paydasını onunla çarptığınızda her iki kesrin paydaları eşit olur.
Kayıt yaparken kesirli sayılar Temettü satırın üstüne yazılır. Bu miktar kesrin payı olarak belirlenir. Kesrin böleni veya paydası çizginin altına yazılır. Örneğin bir buçuk kilogram pirincin kesri şu şekilde yazılacaktır: 1 ½ kg pirinç. Bir kesrin paydası 10 ise bu kesre ondalık sayı denir. Bu durumda pay (temettü) tüm kısmın sağına virgülle ayrılarak yazılır: 1,5 kg pirinç. Hesaplama kolaylığı için böyle bir kesir her zaman yazılabilir. yanlış biçimde: 1 2/10 kg patates. Basitleştirmek için pay ve payda değerlerini bir tamsayıya bölerek azaltabilirsiniz. İÇİNDE bu örnekte 2'ye bölünebilir. Sonuç 1 1/5 kg patates olacaktır. Aritmetik işlem yapacağınız sayıların aynı formda sunulduğundan emin olun.
Bir öğrenci taşındığında lise, matematik 2 konuya ayrılır: cebir ve geometri. Giderek daha fazla kavram var, görevler giderek daha zorlaşıyor. Bazı insanlar kesirleri anlamakta zorluk çekerler. Bu konuyla ilgili ilk dersi kaçırdım ve işte. kesirler? Okul hayatım boyunca bana işkence edecek bir soru.
Cebirsel kesir kavramı
Bir tanımla başlayalım. Altında cebirsel kesir P/Q ifadelerini ifade eder; burada P pay ve Q paydadır. Bir harf girişinin altına bir sayı, sayısal bir ifade veya sayısal-alfabetik bir ifade gizlenebilir.
Nasıl karar vereceğinizi merak etmeden önce cebirsel kesirleröncelikle bunu anlamalısın benzer ifade- bütünün bir parçası.
Kural olarak bir tam sayı 1'dir. Paydadaki sayı, birimin kaç parçaya bölündüğünü gösterir. Kaç eleman alındığını bulmak için paya ihtiyaç vardır. Kesir çubuğu bölme işaretine karşılık gelir. Kesirli bir ifadenin matematiksel bir “Bölme” işlemi olarak yazılmasına izin verilir. Bu durumda pay bölen, payda ise bölendir.
Ortak kesirlerin temel kuralı
Öğrenciler geçerken bu konu Okulda onlara pekiştirici örnekler verilir. Bunları çözmek ve doğru şekilde bulmak için farklı yollar itibaren zor durumlar kesirlerin temel özelliğini uygulamanız gerekir.
Şöyle oluyor: Hem pay hem de paydayı aynı sayı veya ifadeyle (sıfır dışında) çarparsanız ortak kesrin değeri değişmez. Özel bir durum bu kuralın bir ifadenin her iki tarafının aynı sayı veya polinomla bölümüdür. Bu tür dönüşümlere özdeş eşitlikler denir.
Aşağıda cebirsel kesirlerde toplama ve çıkarma işlemlerini, kesirleri çarpma, bölme ve azaltma işlemlerini nasıl çözeceğimize bakacağız.
Kesirlerle matematiksel işlemler
Cebirsel bir kesrin temel özelliği olan çözümün nasıl yapılacağına ve pratikte nasıl uygulanacağına bakalım. İki kesri çarpmanız, toplamanız, bölmeniz veya çıkarmanız gerekiyorsa her zaman kurallara uymalısınız.
Dolayısıyla toplama ve çıkarma işleminde ifadeleri ortak paydaya getirebilmek için ek bir çarpan bulunması gerekir. Kesirler başlangıçta aynı Q ifadeleriyle verilmişse bu paragraf atlanmalıdır. Ortak payda bulunduğunda cebirsel kesirleri nasıl çözersiniz? Payları eklemeniz veya çıkarmanız gerekir. Ancak! Unutulmamalıdır ki kesirin önünde “-” işareti varsa paydaki tüm işaretler terstir. Bazen herhangi bir değişiklik yapmamalısınız ve matematiksel işlemler. Kesrin önündeki işareti değiştirmeniz yeterlidir.
Kavram sıklıkla şu şekilde kullanılır: kesirlerin azaltılması. Bu şu anlama gelir: Pay ve payda birden farklı bir ifadeyle bölünürse (her iki kısım için de aynı), yeni bir kesir elde edilir. Bölen ve bölen öncekinden daha küçüktür, ancak kesirlerin temel kuralı nedeniyle orijinal örnektekine eşit kalırlar.
Bu işlemin amacı yeni indirgenemez bir ifade elde etmektir. Karar vermek bu görev pay ve paydayı en büyük oranda azaltırsanız mümkündür ortak bölen. Operasyon algoritması iki noktadan oluşur:
- Kesirin her iki tarafı için gcd'yi bulma.
- Pay ve paydanın bulunan ifadeye bölünmesi ve elde edilmesi indirgenemez kesir, öncekine eşit.
Aşağıda formülleri gösteren bir tablo bulunmaktadır. Kolaylık sağlamak için yazdırabilir ve yanınızda bir not defterinde taşıyabilirsiniz. Ancak gelecekte bir test veya sınav çözerken cebirsel kesirlerin nasıl çözüleceği sorusunda zorluk yaşanmaması için bu formüllerin ezberlenmesi gerekir.
Çözümlerle birlikte birkaç örnek
İLE teorik nokta Bir perspektiften cebirsel kesirlerin nasıl çözüleceği sorusu ele alınmaktadır. Makalede verilen örnekler materyali daha iyi anlamanıza yardımcı olacaktır.
1. Kesirleri dönüştürün ve ortak bir paydaya getirin.
2. Kesirleri dönüştürün ve ortak bir paydaya getirin.
Teorik kısmı inceledikten ve düşündükten sonra pratik konular daha fazlası olmamalı.
Bu makalede matematiksel ifadelerin değerlerinin nasıl bulunacağı anlatılmaktadır. Basit sayısal ifadelerle başlayalım ve daha sonra karmaşıklıkları arttıkça durumları ele alalım. Sonunda aşağıdakileri içeren bir ifade veriyoruz: harf atamaları, parantez, kökler, özel matematiksel işaretler, dereceler, işlevler vb. Gelenek gereği, teorinin tamamına bol ve ayrıntılı örnekler sunacağız.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Sayısal bir ifadenin değeri nasıl bulunur?
Sayısal ifadeler, diğer şeylerin yanı sıra, sorun durumunun tanımlanmasına yardımcı olur matematik dili. Hiç matematiksel ifadeler Bir çift sayı ve aritmetik sembolden oluşan çok basit ya da işlevler, kuvvetler, kökler, parantez vb. içeren çok karmaşık olabilir. Bir görevin parçası olarak genellikle belirli bir ifadenin anlamını bulmak gerekir. Bunun nasıl yapılacağı aşağıda tartışılacaktır.
En basit durumlar
Bunlar, ifadenin sayılardan başka bir şey içermediği durumlardır ve aritmetik işlemler. Bu tür ifadelerin değerlerini başarılı bir şekilde bulmak için, parantez olmadan aritmetik işlemlerin gerçekleştirilme sırası bilgisine ve ayrıca çeşitli sayılarla işlem gerçekleştirme yeteneğine ihtiyacınız olacak.
İfade yalnızca sayılar ve aritmetik işaretler içeriyorsa " + " , " · " , " - " , " ÷ " , o zaman işlemler soldan sağa şu sırayla gerçekleştirilir: önce çarpma ve bölme, sonra toplama ve çıkarma. Örnekler verelim.
Örnek 1: Sayısal bir ifadenin değeri
14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 ifadesinin değerlerini bulmanız gerekiyor.
Önce çarpma ve bölme işlemini yapalım. Şunu elde ederiz:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
Şimdi çıkarma işlemini gerçekleştirip nihai sonucu elde ederiz:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Örnek 2: Sayısal bir ifadenin değeri
Hesaplayalım: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.
Öncelikle kesir dönüştürme, bölme ve çarpma işlemlerini gerçekleştiriyoruz:
0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
Şimdi biraz toplama ve çıkarma yapalım. Kesirleri gruplandırıp ortak paydaya getirelim:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
İstenilen değer bulunmuştur.
Parantezli ifadeler
Bir ifade parantez içeriyorsa, o ifadedeki işlemlerin sırasını tanımlarlar. Önce parantez içindeki eylemler, sonra diğerleri gerçekleştirilir. Bunu bir örnekle gösterelim.
Örnek 3: Sayısal bir ifadenin değeri
0,5 · (0,76 - 0,06) ifadesinin değerini bulalım.
İfade parantez içerdiğinden, önce parantez içinde çıkarma işlemini, ardından çarpma işlemini gerçekleştiririz.
0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.
Parantez içinde parantez bulunan ifadelerin anlamı da aynı prensibe göre bulunur.
Örnek 4: Sayısal bir ifadenin değeri
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 değerini hesaplayalım.
En içteki parantezlerden başlayıp dıştakilere doğru hareket ederek eylemler gerçekleştireceğiz.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
Parantezli ifadelerin anlamlarını bulurken asıl önemli olan eylem sırasını takip etmektir.
Köklü ifadeler
Değerlerini bulmamız gereken matematiksel ifadeler kök işaretleri içerebilir. Üstelik ifadenin kendisi de kök işaretinin altında olabilir. Bu durumda ne yapmalı? Öncelikle ifadenin kök altındaki değerini bulmanız ve ardından sonuç olarak elde edilen sayıdan kökü çıkarmanız gerekir. Mümkünse, sayısal ifadelerdeki köklerden kurtulmak, yerine şunu koymak daha iyidir: sayısal değerler.
Örnek 5: Sayısal bir ifadenin değeri
- 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5 kökleriyle ifadenin değerini hesaplayalım.
Öncelikle radikal ifadeleri hesaplıyoruz.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Artık ifadenin tamamının değerini hesaplayabilirsiniz.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5
Çoğunlukla, kökleri olan bir ifadenin anlamını bulmak için öncelikle orijinal ifadenin dönüştürülmesi gerekir. Bunu bir örnekle daha açıklayalım.
Örnek 6: Sayısal bir ifadenin değeri
3 + 1 nedir 3 - 1 - 1
Gördüğünüz gibi kökü kesin bir değerle değiştirme şansımız yok, bu da sayma işlemini zorlaştırıyor. Ancak bu durumda kısaltılmış çarpma formülünü uygulayabilirsiniz.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
Böylece:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Yetkileri olan ifadeler
Bir ifade üsler içeriyorsa, diğer tüm işlemlere geçmeden önce değerlerinin hesaplanması gerekir. Derecenin üssünün veya tabanının ifade olduğu görülür. Bu durumda önce bu ifadelerin değeri hesaplanır, ardından derecenin değeri hesaplanır.
Örnek 7: Sayısal bir ifadenin değeri
2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 ifadesinin değerini bulalım.
Sırayla hesaplamaya başlayalım.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.
Geriye kalan tek şey toplama işlemini gerçekleştirmek ve ifadenin anlamını bulmaktır:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
Bir derecenin özelliklerini kullanarak bir ifadeyi basitleştirmek de sıklıkla tavsiye edilir.
Örnek 8: Sayısal bir ifadenin değeri
Aşağıdaki ifadenin değerini hesaplayalım: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .
Üsler yine öyledir ki tam sayısal değerleri elde edilemez. Değerini bulmak için orijinal ifadeyi basitleştirelim.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Kesirli ifadeler
Bir ifade kesirler içeriyorsa, böyle bir ifadeyi hesaplarken, içindeki tüm kesirler formda gösterilmelidir. sıradan kesirler ve değerlerini hesaplayın.
Bir kesrin payı ve paydası ifadeler içeriyorsa, önce bu ifadelerin değerleri hesaplanır ve kesirin son değeri yazılır. Aritmetik işlemler standart sıraya göre gerçekleştirilir. Örnek çözüme bakalım.
Örnek 9: Sayısal bir ifadenin değeri
Kesirleri içeren ifadenin değerini bulalım: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.
Gördüğünüz gibi orijinal ifadede üç kesir var. Önce değerlerini hesaplayalım.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
İfademizi yeniden yazalım ve değerini hesaplayalım:
1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1
Çoğu zaman ifadelerin anlamını bulurken kesirleri azaltmak uygundur. Var söylenmemiş kural: Değerini bulmadan önce, tüm hesaplamaları en basit durumlara indirgeyerek herhangi bir ifadeyi maksimuma kadar basitleştirmek en iyisidir.
Örnek 10: Sayısal bir ifadenin değeri
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 ifadesini hesaplayalım.
Beşin kökünü tamamen çıkaramayız ancak dönüşümler yoluyla orijinal ifadeyi basitleştirebiliriz.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
Orijinal ifade şu şekli alır:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Bu ifadenin değerini hesaplayalım:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Logaritmalarla ifadeler
Bir ifadede logaritmalar mevcutsa değerleri mümkünse baştan hesaplanır. Örneğin log 2 4 + 2 · 4 ifadesinde log 2 4 yerine bu logaritmanın değerini hemen yazabilir ve ardından tüm işlemleri gerçekleştirebilirsiniz. Şunu elde ederiz: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
Logaritmanın işaretinin altında ve tabanında da şunlar olabilir: sayısal ifadeler. Bu durumda yapılacak ilk şey anlamlarını bulmaktır. Log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 ifadesini alalım. Sahibiz:
günlük 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = günlük 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
Logaritmanın tam değerini hesaplamak mümkün değilse, ifadeyi basitleştirmek, değerinin bulunmasına yardımcı olur.
Örnek 11: Sayısal bir ifadenin değeri
Log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 ifadesinin değerini bulalım.
günlük 2 günlük 2 256 = günlük 2 8 = 3 .
Logaritmanın özelliğine göre:
günlük 6 2 + günlük 6 3 = günlük 6 (2 3) = günlük 6 6 = 1.
İfadedeki son kesir için logaritmanın özelliklerini tekrar kullanarak şunu elde ederiz:
günlük 5 729 günlük 0, 2 27 = günlük 5 729 günlük 1 5 27 = günlük 5 729 - günlük 5 27 = - günlük 27 729 = - günlük 27 27 2 = - 2.
Artık orijinal ifadenin değerini hesaplamaya devam edebilirsiniz.
günlük 2 günlük 2 256 + günlük 6 2 + günlük 6 3 + günlük 5 729 günlük 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
Trigonometrik fonksiyonlarla ifadeler
İfadenin sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın trigonometrik fonksiyonlarını ve bunların ters fonksiyonlarını içerdiği görülür. Değer, diğer tüm aritmetik işlemler gerçekleştirilmeden önce hesaplanır. Aksi takdirde ifade basitleştirilir.
Örnek 12: Sayısal bir ifadenin değeri
İfadenin değerini bulun: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Öncelikle ifadede yer alan trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplıyoruz.
günah - 5 π 2 = - 1
Değerleri ifadenin yerine koyarız ve değerini hesaplarız:
t g 2 4 π 3 - günah - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
İfade değeri bulundu.
Genellikle bir ifadenin anlamını bulmak için trigonometrik fonksiyonlarönce dönüştürülmesi gerekir. Bir örnekle açıklayalım.
Örnek 13: Sayısal bir ifadenin değeri
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 ifadesinin değerini bulmamız gerekiyor.
Dönüşüm için kullanacağız trigonometrik formüller kosinüs çift açı ve toplamın kosinüsü.
çünkü 2 π 8 - günah 2 π 8 çünkü 5 π 36 çünkü π 9 - günah 5 π 36 günah π 9 - 1 = çünkü 2 π 8 çünkü 5 π 36 + π 9 - 1 = çünkü π 4 çünkü π 4 - 1 = 1-1 = 0.
Sayısal ifadenin genel durumu
İÇİNDE genel durum trigonometrik ifade yukarıda açıklanan tüm öğeleri içerebilir: parantez, kuvvetler, kökler, logaritmalar, işlevler. Bu tür ifadelerin anlamlarını bulmak için genel bir kural formüle edelim.
Bir ifadenin değeri nasıl bulunur?
- Kökler, kuvvetler, logaritmalar vb. değerleri ile değiştirilir.
- Parantez içindeki işlemler gerçekleştirilir.
- Geri kalan işlemler soldan sağa doğru gerçekleştirilir. Önce çarpma ve bölme, sonra toplama ve çıkarma.
Bir örneğe bakalım.
Örnek 14: Sayısal bir ifadenin değeri
- 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 ifadesinin değerini hesaplayalım.
İfade oldukça karmaşık ve hantaldır. Yukarıda açıklanan tüm vakaları buna uymaya çalıştıktan sonra böyle bir örneği seçmemiz tesadüf değildi. Böyle bir ifadenin anlamı nasıl bulunur?
Bir kompleksin değerini hesaplarken bilinmektedir. kesirli form, öncelikle kesrin pay ve paydasının değerleri sırasıyla ayrı ayrı bulunur. Bu ifadeyi sırasıyla dönüştürüp sadeleştireceğiz.
Öncelikle 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 radikal ifadesinin değerini hesaplayalım. Bunu yapmak için sinüsün değerini ve trigonometrik fonksiyonun argümanı olan ifadeyi bulmanız gerekir.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Artık sinüsün değerini öğrenebilirsiniz:
günah π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = günah π 6 + 2 π = günah π 6 = 1 2.
Radikal ifadenin değerini hesaplıyoruz:
2 günah π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 · günah π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
Kesirin paydası ile her şey daha basittir:
Artık kesrin tamamının değerini yazabiliriz:
2 · günah π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .
Bunu dikkate alarak ifadenin tamamını yazıyoruz:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Nihai sonuç:
2 · günah π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
Bu durumda hesaplayabildik. kesin değerler kökler, logaritmalar, sinüsler vb. Eğer bu mümkün değilse matematiksel dönüşümler yoluyla onlardan kurtulmayı deneyebilirsiniz.
İfade değerlerinin rasyonel yöntemler kullanılarak hesaplanması
Sayısal değerlerin tutarlı ve doğru bir şekilde hesaplanması gerekir. Bu süreç kullanılarak kolaylaştırılabilir ve hızlandırılabilir. çeşitli özellikler Sayılarla yapılan eylemler. Örneğin, faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda çarpımın sıfıra eşit olduğu bilinmektedir. Bu özelliği dikkate alarak 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 ifadesinin sıfıra eşit olduğunu hemen söyleyebiliriz. Aynı zamanda yukarıdaki makalede açıklanan sırayla eylemlerin gerçekleştirilmesine de hiç gerek yoktur.
Çıkarma özelliğini kullanmak da uygundur eşit sayılar. Herhangi bir işlem yapmadan 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 ifadesinin değerinin de sıfır olmasını emredebilirsiniz.
Süreci hızlandıracak bir diğer teknik ise terimleri ve faktörleri gruplamak ve çıkarmak gibi kimlik dönüşümlerinin kullanılmasıdır. ortak çarpan parantezlerin dışında. Kesirli ifadelerin hesaplanmasında akılcı bir yaklaşım, pay ve paydadaki aynı ifadelerin azaltılmasıdır.
Örneğin, 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 ifadesini alın. Parantez içindeki işlemleri yapmadan kesri küçülterek ifadenin değerinin 1 3 olduğunu söyleyebiliriz.
Değişkenli ifadelerin değerlerini bulma
Anlam gerçek ifade Harflerin ve değişkenlerin belirli verilen değerleri için değişkenli ifadeler bulunur.
Değişkenli ifadelerin değerlerini bulma
Değişmez bir ifadenin ve değişkenleri olan bir ifadenin değerini bulmak için, yerine koymanız gerekir değerleri belirle Harfleri ve değişkenleri kullanın ve ardından elde edilen sayısal ifadenin değerini hesaplayın.
Örnek 15: Değişkenli bir ifadenin değeri
x = 2, 4 ve y = 5 verildiğinde 0, 5 x - y ifadesinin değerini hesaplayın.
Değişkenlerin değerlerini ifadede yerine koyarız ve hesaplarız:
0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.
Bazen bir ifadeyi, içindeki harflerin ve değişkenlerin değerlerinden bağımsız olarak değerini alacak şekilde dönüştürebilirsiniz. Bunu yapmak için mümkünse ifadedeki harflerden ve değişkenlerden kurtulmanız gerekir. kimlik dönüşümleri, aritmetik işlemlerin özellikleri ve diğer tüm olası yöntemler.
Örneğin, x + 3 - x ifadesinin değeri açıkça 3'tür ve bu değeri hesaplamak için x değişkeninin değerini bilmek gerekli değildir. Bu ifadenin değeri, x değişkeninin izin verilen değerler aralığındaki tüm değerleri için üçe eşittir.
Başka bir örnek. x x ifadesinin değeri tüm pozitif x'ler için bire eşittir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
