Kesirli bir rasyonel denklemin kökü nasıl bulunur? "kesirli rasyonel denklemleri çözme"

"Kesirli çözümü rasyonel denklemler"

Ders hedefleri:

Eğitici:

kesirli rasyonel denklemler kavramının oluşumu; kesirli rasyonel denklemleri çözmenin farklı yollarını düşünün; kesirin sıfıra eşit olması koşulu da dahil olmak üzere kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma düşünün; kesirli rasyonel denklemleri bir algoritma kullanarak çözmeyi öğretmek; Bir test yaparak konuya hakimiyet düzeyini kontrol etmek.

Gelişimsel:

edinilen bilgilerle doğru şekilde çalışma ve mantıksal düşünme yeteneğini geliştirmek; entelektüel becerilerin geliştirilmesi ve zihinsel operasyonlar- analiz, sentez, karşılaştırma ve sentez; inisiyatifin geliştirilmesi, karar verme yeteneği ve orada durmamak; gelişim eleştirel düşünme; araştırma becerilerinin geliştirilmesi.

Eğitim:

yetiştirme bilişsel ilgi konuya; Karar almada bağımsızlığın teşvik edilmesi eğitim görevleri; Nihai sonuçlara ulaşmak için irade ve azim beslemek.

Ders türü: ders - yeni materyalin açıklaması.

Ders ilerlemesi

1. Organizasyon anı.

Merhaba arkadaşlar! Tahtaya yazılmış denklemler var, onlara dikkatlice bakın. Bu denklemlerin hepsini çözebilir misiniz? Hangileri değil ve neden?

Sol ve sağ tarafları kesirli rasyonel ifadeler olan denklemlere kesirli rasyonel denklemler denir. Bugün sınıfta ne çalışacağımızı düşünüyorsunuz? Dersin konusunu formüle edin. Öyleyse not defterlerinizi açın ve “Kesirli rasyonel denklemleri çözme” dersinin konusunu yazın.

2. Bilginin güncellenmesi. Ön anket, sözlü çalışma sınıfla.

Ve şimdi çalışmamız gereken ana teorik materyali tekrarlayacağız. yeni konu. Lütfen aşağıdaki soruları yanıtlayın:

1. Denklem nedir? ( Bir değişken veya değişkenlerle eşitlik.)

2. 1 numaralı denklemin adı nedir? ( Doğrusal.) Doğrusal denklemleri çözmek için bir yöntem. ( Bilinmeyen olan her şeyi denklemin sol tarafına, tüm sayıları sağa taşıyın. Yol göstermek benzer terimler. Bilinmeyen faktörü bul).

3. 3 numaralı denklemin adı nedir? ( Kare.) İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri. ( Seçim tam kare formüllerle, Vieta teoremini ve sonuçlarını kullanarak.)

4. Oran nedir? ( İki oranın eşitliği.) Oranın ana özelliği. ( Oran doğruysa, aşırı terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir..)

5. Denklemleri çözerken hangi özellikler kullanılır? ( 1. Bir denklemdeki bir terimi bir kısımdan diğerine hareket ettirirseniz, işaretini değiştirirseniz, verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz. 2. Denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen sayıya eşdeğer bir denklem elde edilir.)

6. Bir kesir ne zaman sıfıra eşit olur? ( Pay sıfıra eşit olduğunda kesir sıfıra eşit ve payda sıfır değil.)

3. Yeni materyalin açıklanması.

2 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.

Cevap: 10.

Hangi kesirli rasyonel denklem Oranın temel özelliğini kullanarak çözmeyi deneyebilir misiniz? (No. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

4 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.

Cevap: 1,5.

Denklemin her iki tarafını da paydayla çarparak hangi kesirli rasyonel denklemi çözmeye çalışabilirsiniz? (No. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Cevap: 3;4.

Şimdi 7 numaralı denklemi aşağıdaki yöntemlerden birini kullanarak çözmeye çalışın.

Bunun neden olduğunu açıklayın? Neden bir durumda üç, diğerinde iki kök var? Bu kesirli rasyonel denklemin kökleri hangi sayılardır?

Şu ana kadar öğrenciler yabancı kök kavramıyla karşılaşmadılar; bunun neden olduğunu anlamak onlar için gerçekten çok zor. Eğer sınıfta kimse bu duruma net bir açıklama getiremezse öğretmen yönlendirici sorular sorar.

2 ve 4 numaralı denklemlerin 5,6,7 numaralı denklemlerden farkı nedir? ( 2 ve 4 numaralı denklemlerde paydada sayılar vardır, 5-7 numaralı denklemler değişkenli ifadelerdir.) Bir denklemin kökü nedir? ( Denklemin doğru olduğu değişkenin değeri.) Bir sayının bir denklemin kökü olup olmadığını nasıl öğrenebilirim? ( Kontrol et.)

Test yaparken bazı öğrenciler sıfıra bölmeleri gerektiğini fark ederler. 0 ve 5 sayılarının bu denklemin kökleri olmadığı sonucuna vardılar. Şu soru ortaya çıkıyor: kesirli rasyonel denklemleri ortadan kaldırmamıza izin veren bir yol var mı? bu hata? Evet, bu yöntem kesrin sıfıra eşit olması şartına dayanmaktadır.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Eğer x=5 ise x(x-5)=0 olur, bu da 5'in yabancı bir kök olduğu anlamına gelir.

Eğer x=-2 ise x(x-5)≠0 olur.

Cevap: -2.

Kesirli rasyonel denklemleri bu şekilde çözmek için bir algoritma oluşturmaya çalışalım. Çocuklar algoritmayı kendileri formüle ederler.

Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:

1. Her şeyi sol tarafa taşıyın.

2. Kesirleri dönüştürün ortak payda.

3. Bir sistem oluşturun: pay sıfıra eşit olduğunda ve payda sıfıra eşit olmadığında kesir sıfıra eşittir.

4. Denklemi çözün.

5. Yabancı kökleri hariç tutmak için eşitsizliği kontrol edin.

6. Cevabı yazın.

Tartışma: Oranın temel özelliğini kullanırsanız ve denklemin her iki tarafını ortak bir paydayla çarparsanız çözümü nasıl resmileştirirsiniz? (Çözüme şunu ekleyin: ortak paydayı ortadan kaldıranları köklerinden çıkarın).

4. Yeni materyalin ilk kez anlaşılması.

Çiftler halinde çalışın. Öğrenciler denklem türüne bağlı olarak denklemi nasıl çözeceklerini kendileri seçerler. “Cebir 8” ders kitabından ödevler, 2007: No. 000 (b, c, i); 000(a, d, g). Öğretmen görevin tamamlanmasını izler, ortaya çıkan soruları yanıtlar ve düşük performans gösteren öğrencilere yardım sağlar. Kendi kendine test: cevaplar tahtaya yazılır.

b) 2 – yabancı kök. Cevap: 3.

c) 2 – yabancı kök. Cevap: 1.5.

a) Cevap: -12.5.

g) Cevap: 1;1.5.

5. Ödev verme.

2. Kesirli rasyonel denklemlerin çözümü için algoritmayı öğrenin.

3. 000 (a, d, e) numaralı defterlerde çözün; 000(g, h).

4. No. 000(a)'yı (isteğe bağlı) çözmeye çalışın.

6. Çalışılan konuyla ilgili bir kontrol görevinin tamamlanması.

İş kağıt parçaları üzerinde yapılır.

Örnek görev:

A) Denklemlerden hangileri kesirli rasyoneldir?

B) Bir kesirin payı ______________________ ve paydası _______________________ olduğunda sıfıra eşittir.

Soru) -3 sayısı 6 numaralı denklemin kökü müdür?

D) 7 numaralı denklemi çözün.

Görev için değerlendirme kriterleri:

Öğrenci görevin %90'ından fazlasını doğru tamamlamışsa “5” verilir. “4” - %75-%89 “3” - %50-%74 “2”, görevin %50'sinden azını tamamlayan öğrenciye verilir. Dergide 2 notu verilmemektedir, 3 opsiyoneldir.

7. Yansıma.

Bağımsız çalışma sayfalarına şunu yazın:

1 – eğer ders sizin için ilginç ve anlaşılırsa; 2 – ilginç ama net değil; 3 – ilginç değil ama anlaşılır; 4 – ilginç değil, net değil.

8. Dersi özetlemek.

Bugün derste kesirli rasyonel denklemlerle tanıştık, bu denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik çeşitli şekillerde, bilgilerini bir eğitimle test ettiler bağımsız çalışma. Bir sonraki derste bağımsız çalışmanızın sonuçlarını öğreneceksiniz ve evde bilginizi pekiştirme fırsatına sahip olacaksınız.

Size göre kesirli rasyonel denklemleri çözmenin hangi yöntemi daha kolay, daha erişilebilir ve daha rasyoneldir? Kesirli rasyonel denklemleri çözme yöntemi ne olursa olsun, neyi hatırlamanız gerekir? Kesirli rasyonel denklemlerin “kurnazlığı” nedir?

Herkese teşekkürler, ders bitti.

Rasyonel ve kesirli rasyonel denklemlerle tanışalım, tanımlarını verelim, örnekler verelim ve ayrıca en yaygın problem türlerini analiz edelim.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rasyonel denklem: tanım ve örnekler

Rasyonel ifadelerle tanışma okulun 8. sınıfında başlar. Bu dönemde cebir derslerinde öğrenciler notlarında rasyonel ifadeler içeren denklemlerle ilgili ödevlerle giderek daha fazla karşılaşmaya başlıyorlar. Ne olduğu konusunda hafızamızı tazeleyelim.

Tanım 1

Rasyonel denklem her iki tarafın da rasyonel ifadeler içerdiği bir denklemdir.

İÇİNDE çeşitli faydalar bir formülasyon daha bulunabilir.

Tanım 2

Rasyonel denklem sol tarafı şunları içeren bir denklemdir rasyonel ifade ve sağdaki sıfırdır.

Rasyonel denklemler için verdiğimiz tanımlar aynı şeyden söz ettikleri için eşdeğerdir. Sözlerimizin doğruluğu, herhangi bir rasyonel ifade için P Ve Q denklemler P = Q Ve P - S = 0 eşdeğer ifadeler olacaktır.

Şimdi örneklere bakalım.

Örnek 1

Rasyonel denklemler:

x = 1 , 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Rasyonel denklemler, tıpkı diğer türdeki denklemler gibi, 1'den birkaçına kadar herhangi bir sayıda değişken içerebilir. İlk önce şuna bakacağız basit örnekler Denklemlerin yalnızca bir değişken içereceği. Ve sonra görevi yavaş yavaş karmaşıklaştırmaya başlayacağız.

Rasyonel denklemler ikiye ayrılır büyük gruplar: tamsayılar ve kesirler. Her bir gruba hangi denklemlerin uygulanacağını görelim.

Tanım 3

Bir rasyonel denklemin sol ve sağ tarafları tüm rasyonel ifadeleri içeriyorsa tamsayı olacaktır.

Tanım 4

Bir rasyonel denklemin parçalarından biri veya her ikisi de kesir içeriyorsa kesirli olacaktır.

Kesirli rasyonel denklemler mutlaka bir değişkene bölünmeyi içerir veya değişken paydada bulunur. Denklemlerin tamamının yazılmasında böyle bir bölümleme yoktur.

Örnek 2

3 x + 2 = 0 Ve (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– tüm rasyonel denklemler. Burada denklemin her iki tarafı da tam sayı ifadeleriyle temsil edilmektedir.

1 x - 1 = x 3 ve x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 kesirli rasyonel denklemlerdir.

Bütün rasyonel denklemler doğrusal ve ikinci dereceden denklemleri içerir.

Denklemlerin tamamını çözme

Bu tür denklemleri çözmek genellikle onları eşdeğer cebirsel denklemlere dönüştürmekten ibarettir. Bu, aşağıdaki algoritmaya uygun olarak denklemlerin eşdeğer dönüşümlerinin gerçekleştirilmesiyle elde edilebilir:

• önce denklemin sağ tarafında sıfır alıyoruz, bunun için denklemin sağ tarafındaki ifadeyi sol tarafa taşıyıp işaretini değiştirmemiz gerekiyor;
• daha sonra denklemin sol tarafındaki ifadeyi bir polinoma dönüştürürüz standart görünüm.

Almalıyız cebirsel denklem. Bu denklem orijinal denkleme eşdeğer olacaktır. Kolay durumlar, sorunu çözmek için tüm denklemi doğrusal veya ikinci dereceden bir denkleme indirgememize olanak tanır. İÇİNDE genel durum cebirsel bir derece denklemini çözüyoruz N.

Örnek 3

Tüm denklemin köklerini bulmak gerekiyor 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Çözüm

Eşdeğer bir cebirsel denklem elde etmek için orijinal ifadeyi dönüştürelim. Bunun için denklemin sağ tarafında yer alan ifadeyi sol tarafa aktarıp işaretin tersini koyacağız. Sonuç olarak şunu elde ederiz: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Şimdi sol taraftaki ifadeyi standart formun bir polinomuna dönüştürelim ve üretelim. gerekli eylemler bu polinomla:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Çözümü orijinal denklemin çözümüne indirmeyi başardık ikinci dereceden denklem tip x 2 − 5 x − 6 = 0. Bu denklemin diskriminantı pozitiftir: D = (− 5) 2− 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Bu, iki gerçek kökün olacağı anlamına gelir. İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak bunları bulalım:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 veya x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 veya x 2 = - 1

Çözüm sırasında bulduğumuz denklemin köklerinin doğruluğunu kontrol edelim. Bunun için aldığımız sayıları yerine koyarız. orijinal denklem: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Ve 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. İlk durumda 63 = 63 , ikincisinde 0 = 0 . Kökler x=6 Ve x = − 1 aslında örnek koşulda verilen denklemin kökleridir.

Cevap: 6 , − 1 .

"Bir denklemin tamamının derecesi"nin ne anlama geldiğine bakalım. Bir denklemin tamamını cebirsel formda temsil etmemiz gereken durumlarda bu terimle sıklıkla karşılaşacağız. Konsepti tanımlayalım.

Tanım 5

Tüm denklemin derecesi orijinal tamsayı denklemine eşdeğer bir cebirsel denklemin derecesidir.

Yukarıdaki örnekteki denklemlere bakarsanız şunu tespit edebilirsiniz: tüm bu denklemin derecesi ikincidir.

Dersimiz ikinci derece denklemlerin çözümüyle sınırlı olsaydı konunun tartışması burada bitebilirdi. Ama bu o kadar basit değil. Üçüncü dereceden denklemleri çözmek zorluklarla doludur. Ve dördüncü dereceden daha yüksek denklemler için genel formüller kökler. Bu bakımdan üçüncü, dördüncü ve diğer derecedeki denklemlerin tamamının çözülmesi, bir takım başka teknik ve yöntemlerin kullanılmasını gerektirir.

Rasyonel denklemlerin tamamını çözmek için en yaygın kullanılan yaklaşım, çarpanlara ayırma yöntemine dayanmaktadır. Bu durumda eylemlerin algoritması aşağıdaki gibidir:

• sıfırın kaydın sağ tarafında kalması için ifadeyi sağ taraftan sola doğru hareket ettiriyoruz;
• Sol taraftaki ifadeyi faktörlerin bir ürünü olarak temsil ediyoruz ve ardından daha basit denklemlerden oluşan bir diziye geçiyoruz.

(x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) denkleminin çözümünü bulun.

Çözüm

İfadeyi kaydın sağ tarafından sola taşıyın. karşıt işaret: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Sol tarafı standart formun bir polinomuna dönüştürmek, bize dördüncü dereceden bir cebirsel denklem vereceği için uygun değildir: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Dönüşümün kolaylığı böyle bir denklemin çözümündeki tüm zorlukları haklı çıkarmaz.

Diğer tarafa gitmek çok daha kolay: hadi parantezlerden çıkaralım ortak çarpan x 2 − 10 x + 13 . Böylece formun bir denklemine ulaşıyoruz (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Şimdi ortaya çıkan denklemi iki ikinci dereceden denklemle değiştiriyoruz x 2 − 10 x + 13 = 0 Ve x 2 − 2 x − 1 = 0 ve bunların köklerini diskriminant aracılığıyla bulun: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Cevap: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Aynı şekilde yeni bir değişken ekleme yöntemini de kullanabiliriz. Bu yöntem, orijinal tamsayı denklemindeki derecelerden daha düşük derecelere sahip eşdeğer denklemlere geçmemizi sağlar.

Örnek 5

Denklemin kökleri var mı? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Çözüm

Şimdi bir rasyonel denklemin tamamını cebirsel bir denkleme indirgemeye çalışırsak, 4. dereceden bir denklem elde ederiz. rasyonel kökler. Bu nedenle diğer tarafa gitmemiz daha kolay olacaktır: denklemdeki ifadenin yerini alacak yeni bir y değişkeni eklemek x 2 + 3 x.

Şimdi tüm denklemle çalışacağız (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Yeniden planlayalım sağ taraf Denklemleri ters işaretli olarak sola yazınız ve gerekli dönüşümleri yapınız. Şunu elde ederiz: y 2 + 4 y + 3 = 0. İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım: y = − 1 Ve y = − 3.

Şimdi ters değiştirme işlemini yapalım. İki denklem elde ediyoruz x 2 + 3 x = − 1 Ve x 2 + 3 · x = − 3 . Bunları x 2 + 3 x + 1 = 0 olarak yeniden yazalım ve x 2 + 3 x + 3 = 0. Elde edilenlerden ilk denklemin köklerini bulmak için ikinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanıyoruz: - 3 ± 5 2. İkinci denklemin diskriminantı negatiftir. Bu, ikinci denklemin gerçek köklerinin olmadığı anlamına gelir.

Cevap:- 3 ± 5 2

Tam denklemler yüksek dereceler sorunlarla oldukça sık karşılaşıyoruz. Onlardan korkmanıza gerek yok. Bunları çözmek için bir dizi yapay dönüşüm de dahil olmak üzere standart olmayan bir yöntem kullanmaya hazır olmanız gerekir.

Kesirli rasyonel denklemleri çözme

Bu alt konuyu değerlendirmeye p(x) q(x) = 0 formundaki kesirli rasyonel denklemleri çözmeye yönelik bir algoritma ile başlayacağız; burada p(x) Ve q(x)– bütün rasyonel ifadeler. Diğer kesirli rasyonel denklemlerin çözümü her zaman belirtilen türdeki denklemlerin çözümüne indirgenebilir.

p(x) q(x) = 0 denklemlerini çözmek için en sık kullanılan yöntem şuna dayanır: sonraki ifade: sayısal kesir sen v, Nerede v- bu, sıfırdan farklı, yalnızca kesir payının sıfıra eşit olduğu durumlarda sıfıra eşit bir sayıdır. Yukarıdaki ifadenin mantığını takip ederek, p (x) q (x) = 0 denkleminin çözümünün iki koşulun yerine getirilmesine indirgenebileceğini iddia edebiliriz: p(x)=0 Ve q(x) ≠ 0. Bu, p (x) q (x) = 0 formundaki kesirli rasyonel denklemleri çözmeye yönelik bir algoritmanın oluşturulmasının temelidir:

• tüm rasyonel denklemin çözümünü bulun p(x)=0;
• çözüm sırasında bulunan kökler için koşulun sağlanıp sağlanmadığını kontrol ederiz q(x) ≠ 0.

Bu koşul sağlanıyorsa, bulunan kök, değilse, o zaman kök, soruna çözüm değildir.

Örnek 6

3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0 denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm

P (x) q (x) = 0 formunda, p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0 olan kesirli bir rasyonel denklemle uğraşıyoruz. Doğrusal denklemi çözmeye başlayalım 3 x - 2 = 0. Bu denklemin kökü x = 2 3.

Koşulu karşılayıp karşılamadığını görmek için bulunan kökü kontrol edelim. 5 x 2 − 2 ≠ 0. Bunu yapmak için yerine koyalım sayısal değer ifadeye dönüşür. Şunu elde ederiz: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Koşul karşılanıyor. Bu şu anlama geliyor x = 2 3 orijinal denklemin köküdür.

Cevap: 2 3 .

Kesirli rasyonel denklemleri p (x) q (x) = 0 çözmek için başka bir seçenek daha var. Bu denklemin denklemin tamamına eşdeğer olduğunu hatırlayın p(x)=0 bölgede kabul edilebilir değerler orijinal denklemin x değişkeni. Bu, kullanmamızı sağlar sonraki algoritma p (x) q (x) = 0 denklemlerini çözerken:

• denklemi çöz p(x)=0;
• x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığını bulun;
• orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleri olarak x değişkeninin izin verilen değerleri aralığında yer alan kökleri alıyoruz.

x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 denklemini çözün.

Çözüm

İlk önce ikinci dereceden denklemi çözelim x 2 − 2 x − 11 = 0. Köklerini hesaplamak için çift ikinci katsayı için kök formülünü kullanırız. Aldık D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 ve x = 1 ± 2 3.

Artık orijinal denklem için x değişkeninin ODZ'sini bulabiliriz. Bunların hepsi rakamlar x 2 + 3 x ≠ 0. Aynısı x (x + 3) ≠ 0, buradan x ≠ 0, x ≠ − 3.

Şimdi çözümün ilk aşamasında elde edilen x = 1 ± 2 3 köklerinin x değişkeninin izin verilen değerleri aralığında olup olmadığını kontrol edelim. geldiklerini görüyoruz. Bu, orijinal kesirli rasyonel denklemin iki kökü x = 1 ± 2 3 olduğu anlamına gelir.

Cevap: x = 1 ± 2 3

Açıklanan ikinci çözüm yöntemi ilkinden daha kolay x değişkeninin izin verilen değer aralığının kolayca bulunduğu ve denklemin köklerinin bulunduğu durumlarda p(x)=0 mantıksız. Örneğin, 7 ± 4 · 26 9. Kökler rasyonel olabilir ancak büyük bir pay veya paydaya sahip olabilirler. Örneğin, 127 1101 Ve − 31 59 . Bu, durumu kontrol ederken zaman kazandırır q(x) ≠ 0: ODZ'ye göre uygun olmayan köklerin dışlanması çok daha kolaydır.

Denklemin köklerinin olduğu durumlarda p(x)=0 tam sayılardır, p (x) q (x) = 0 formundaki denklemleri çözmek için açıklanan algoritmalardan ilkini kullanmak daha uygundur. Bir denklemin tamamının köklerini daha hızlı bulun p(x)=0 ve ardından koşulun kendileri için karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin q(x) ≠ 0 ODZ'yi bulmak ve ardından denklemi çözmek yerine p(x)=0 bu ODZ'de. Bunun nedeni, bu gibi durumlarda kontrol etmenin genellikle DZ'yi bulmaktan daha kolay olmasıdır.

Örnek 8

Denklemin köklerini bulun (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Çözüm

Denklemin tamamına bakarak başlayalım (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 ve onun köklerini bulmak. Bunu yapmak için denklemleri çarpanlara ayırma yoluyla çözme yöntemini uyguluyoruz. Orijinal denklemin, üçü doğrusal ve 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0 olmak üzere dört denklemden oluşan bir diziye eşdeğer olduğu ortaya çıktı ve biri ikinci derecedendir. Kökleri bulma: ilk denklemden x = 1 2, ikinciden itibaren – x=6, üçüncüden – x = 7 , x = − 2 , dördüncüden – x = − 1.

Elde edilen kökleri kontrol edelim. ADL'yi belirleyin bu durumda Bizim için zor çünkü bunun için beşinci dereceden cebirsel denklemi çözmemiz gerekecek. Denklemin sol tarafında yer alan kesrin paydasının sıfıra gitmemesi durumunu kontrol etmek daha kolay olacaktır.

İfadedeki x değişkeninin yerine kökleri sırayla koyalım x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 ve değerini hesaplayın:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Gerçekleştirilen doğrulama, orijinal kesirli rasyonel denklemin köklerinin 1 2, 6 ve 6 olduğunu tespit etmemizi sağlar. − 2 .

Cevap: 1 2 , 6 , - 2

Örnek 9

5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 kesirli rasyonel denkleminin köklerini bulun.

Çözüm

Denklemle çalışmaya başlayalım (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Köklerini bulalım. Bu denklemi bir dizi ikinci dereceden ve doğrusal denklem olarak hayal etmek bizim için daha kolaydır. 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Ve x - 2 = 0.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için kök formülünü kullanırız. İlk denklemden iki kök x = 7 ± 69 10, ikincisinden ise iki kök elde ederiz. x = 2.

Koşulları kontrol etmek için köklerin değerini orijinal denklemde yerine koymamız oldukça zor olacaktır. X değişkeninin ODZ'sini belirlemek daha kolay olacaktır. Bu durumda, x değişkeninin ODZ'si, koşulun karşılandığı durumlar dışındaki tüm sayılardır x 2 + 5 x - 14 = 0. Şunu elde ederiz: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Şimdi bulduğumuz köklerin x değişkeninin izin verilen değerleri aralığına ait olup olmadığını kontrol edelim.

Kökler x = 7 ± 69 10'a aittir, dolayısıyla bunlar orijinal denklemin kökleridir ve x = 2- ait değildir, bu nedenle yabancı bir köktür.

Cevap: x = 7 ± 69 10 .

p(x) q(x) = 0 formundaki kesirli rasyonel denklemin payının bir sayı içerdiği durumları ayrı ayrı inceleyelim. Bu gibi durumlarda pay sıfırdan farklı bir sayı içeriyorsa denklemin kökleri olmayacaktır. Bu sayı sıfıra eşitse denklemin kökü ODZ'den herhangi bir sayı olacaktır.

Örnek 10

Kesirli rasyonel denklemi çözün - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Çözüm

Denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfırdan farklı bir sayı içerdiğinden bu denklemin kökleri olmayacaktır. Bu, x'in hiçbir değerinde problem ifadesinde verilen kesirin değerinin sıfıra eşit olmayacağı anlamına gelir.

Cevap: kök yok.

Örnek 11

0 x 4 + 5 x 3 = 0 denklemini çözün.

Çözüm

Kesirin payı sıfır içerdiğinden denklemin çözümü, x değişkeninin ODZ'sinden herhangi bir x değeri olacaktır.

Şimdi ODZ'yi tanımlayalım. X'in tüm değerlerini içerecektir. x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Denklemin çözümleri x 4 + 5 x 3 = 0öyle 0 Ve − 5 , çünkü bu denklem denkleme eşdeğerdir x 3 (x + 5) = 0 ve bu da iki x 3 = 0 denkleminin birleşimine eşdeğerdir ve x + 5 = 0, bu köklerin görülebildiği yer. İstenilen kabul edilebilir değer aralığının, hariç herhangi bir x olduğu sonucuna varıyoruz. x = 0 Ve x = − 5.

Kesirli rasyonel denklemin 0 x 4 + 5 x 3 = 0 olduğu ortaya çıktı sonsuz küme sıfır ve -5 dışında herhangi bir sayı olan çözümler.

Cevap: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Şimdi kesirli rasyonel denklemler hakkında konuşalım keyfi tip ve bunları çözme yöntemleri. Şu şekilde yazılabilirler: r(x) = s(x), Nerede r(x) Ve s(x)– rasyonel ifadeler ve bunlardan en az biri kesirlidir. Bu tür denklemlerin çözülmesi, p(x) q(x) = 0 formundaki denklemlerin çözülmesine indirgenir.

Denklemin sağ tarafındaki bir ifadeyi ters işaretli olarak sola aktararak eşdeğer bir denklem elde edebileceğimizi zaten biliyoruz. Bu şu anlama gelir: denklem r(x) = s(x) denklemin eşdeğeridir r (x) - s (x) = 0. Ayrıca rasyonel bir ifadeyi rasyonel kesre dönüştürmenin yollarını da zaten tartıştık. Bu sayede denklemi kolaylıkla dönüştürebiliriz. r (x) - s (x) = 0 p(x) q(x) formunun özdeş rasyonel kesrine dönüştürür.

Böylece orijinal kesirli rasyonel denklemden hareket ediyoruz r(x) = s(x)çözmeyi öğrendiğimiz p(x) q(x) = 0 formundaki bir denkleme.

Geçişler yapılırken dikkate alınmalıdır. r (x) - s (x) = 0 p(x)q(x) = 0'a ve sonra p(x)=0 x değişkeninin izin verilen değer aralığının genişlemesini dikkate almayabiliriz.

Orijinal denklemin olması oldukça mümkündür. r(x) = s(x) ve denklem p(x)=0 dönüşümlerin sonucunda eşdeğer olmaktan çıkacaklar. O zaman denklemin çözümü p(x)=0 bize yabancı olacak kökler verebilir r(x) = s(x). Bu bağlamda, her durumda yukarıda açıklanan yöntemlerden herhangi birini kullanarak doğrulamanın yapılması gerekmektedir.

Konuyu incelemenizi kolaylaştırmak için, tüm bilgileri formun kesirli rasyonel denklemini çözmeye yönelik bir algoritmada özetledik. r(x) = s(x):

• ifadeyi sağ taraftan ters işaretle aktarıyoruz ve sağdan sıfır alıyoruz;
• orijinal ifadeyi rasyonel bir fraksiyona dönüştürün p (x) q (x) , kesirler ve polinomlarla sırayla işlemler gerçekleştirin;
• denklemi çöz p(x)=0;
• ODZ'ye ait olduklarını kontrol ederek veya orijinal denklemde ikame yaparak yabancı kökleri belirleriz.

Görsel olarak eylem zinciri şöyle görünecek:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → eliminasyon DIŞ KÖKLER

Örnek 12

Kesirli rasyonel denklemi çözün x x + 1 = 1 x + 1 .

Çözüm

Şimdi x x + 1 - 1 x + 1 = 0 denklemine geçelim. Denklemin sol tarafındaki kesirli rasyonel ifadeyi p (x) q (x) formuna dönüştürelim.

Bunu yapmak için rasyonel kesirleri ortak bir paydaya indirgememiz ve ifadeyi basitleştirmemiz gerekecek:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

- 2 x - 1 x (x + 1) = 0 denkleminin köklerini bulmak için denklemi çözmemiz gerekiyor − 2 x − 1 = 0. Bir kök alıyoruz x = - 1 2.

Tek yapmamız gereken yöntemlerden herhangi birini kullanarak kontrol etmek. İkisine de bakalım.

Ortaya çıkan değeri orijinal denklemde yerine koyalım. - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 elde ederiz. Doğru sayısal eşitliğe ulaştık − 1 = − 1 . Bu şu anlama geliyor x = − 1 2 orijinal denklemin köküdür.

Şimdi ODZ'yi kontrol edelim. X değişkeninin izin verilen değer aralığını belirleyelim. Bu, - 1 ve 0 hariç tüm sayı kümesi olacaktır (x = − 1 ve x = 0'da kesirlerin paydaları kaybolur). Elde ettiğimiz kök x = − 1 2 ODZ'ye aittir. Bu, orijinal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

Cevap: − 1 2 .

Örnek 13

x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x denkleminin köklerini bulun.

Çözüm

Kesirli rasyonel bir denklemle uğraşıyoruz. Bu nedenle algoritmaya göre hareket edeceğiz.

İfadeyi sağ taraftan sola doğru ters işaretle taşıyalım: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Gerekli dönüşümleri yapalım: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Denkleme varıyoruz x = 0. Bu denklemin kökü sıfırdır.

Bu kökün orijinal denklemin dışında olup olmadığını kontrol edelim. Değeri orijinal denklemde yerine koyalım: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Gördüğünüz gibi ortaya çıkan denklemin hiçbir anlamı yok. Bu, 0'ın yabancı bir kök olduğu ve orijinal kesirli rasyonel denklemin kökleri olmadığı anlamına gelir.

Cevap: kök yok.

Başkalarını algoritmaya dahil etmediysek eşdeğer dönüşümler, bu onların kullanılamayacağı anlamına gelmez. Algoritma evrenseldir ancak sınırlamak için değil, yardımcı olmak için tasarlanmıştır.

Örnek 14

Denklemi çözün 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Çözüm

En kolay yol, verilen kesirli rasyonel denklemi algoritmaya göre çözmektir. Ama başka bir yol daha var. Bunu düşünelim.

Sağ ve sol taraftan 7 çıkarırsak şunu elde ederiz: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Bundan sol taraftaki paydadaki ifadenin sayıya eşit olması gerektiği sonucuna varabiliriz. karşılıklı sayı sağ taraftan, yani 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Her iki taraftan da 3 çıkarın: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Benzer şekilde, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, buradan 1 5 - x 2 = 1 3 ve ardından 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Bulunan köklerin orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edelim.

Cevap: x = ± 2

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

İkinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini zaten öğrendik. Şimdi çalışılan yöntemleri rasyonel denklemlere genişletelim.

Rasyonel ifade nedir? Bu kavramla zaten karşılaştık. Rasyonel ifadeler sayılar, değişkenler, bunların güçleri ve matematiksel işlem sembollerinden oluşan ifadelerdir.

Buna göre rasyonel denklemler aşağıdaki formdaki denklemlerdir: burada - rasyonel ifadeler.

Daha önce yalnızca doğrusal denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemleri değerlendirmiştik. Şimdi ikinci dereceden denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemleri ele alalım.

Örnek 1

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Bir kesir ancak ve ancak payı 0'a eşitse ve paydası 0'a eşit değilse 0'a eşittir.

Aşağıdaki sistemi elde ediyoruz:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir. Çözmeden önce tüm katsayılarını 3'e bölelim. Bunu elde ederiz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

2 hiçbir zaman 0'a eşit olmadığından iki koşulun karşılanması gerekir: . Yukarıda elde edilen denklemin köklerinin hiçbiri çakışmadığı için geçersiz değerlerİkinci eşitsizliğin çözülmesiyle elde edilen değişkenlerin her ikisi de bu denklemin çözümüdür.

Cevap:.

Öyleyse rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma formüle edelim:

1. Tüm terimleri, sağ taraf 0 olacak şekilde sol tarafa taşıyın.

2. Sol tarafı dönüştürün ve basitleştirin, tüm kesirleri ortak bir paydaya getirin.

3. Ortaya çıkan kesri aşağıdaki algoritmayı kullanarak 0'a eşitleyin: .

4. Birinci denklemde elde edilen kökleri yazın ve cevapta ikinci eşitsizliği sağlayın.

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek 2

Denklemi çözün: .

Çözüm

En başta tüm terimleri şuraya taşıyalım: sol taraf 0 sağda kalacak şekilde şunu elde ederiz:

Şimdi denklemin sol tarafını ortak bir paydaya getirelim:

Bu denklem sisteme eşdeğerdir:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir.

Bu denklemin katsayıları: . Diskriminantı hesaplıyoruz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim: Faktörlerden hiçbiri 0'a eşit değilse, faktörlerin çarpımı 0'a eşit değildir.

İki koşulun karşılanması gerekir: . İlk denklemin iki kökünden yalnızca birinin uygun olduğunu bulduk - 3.

Cevap:.

Bu dersimizde rasyonel ifadenin ne olduğunu hatırladık ve ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik.

Bir sonraki derste rasyonel denklemlere model olarak bakacağız gerçek durumlar ve ayrıca hareket görevlerini de göz önünde bulundurun.

Referanslar

1. Bashmakov M.I. Cebir, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir, 8. 5. baskı. - M.: Eğitim, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Cebir, 8. sınıf. için öğretici eğitim kurumları. - M.: Eğitim, 2006.

1. Festival pedagojik fikirler "Açık ders" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Ev ödevi

hakkında konuşmaya devam edelim denklem çözme. Bu yazımızda bu konuyu detaylı olarak ele alacağız. rasyonel denklemler ve tek değişkenli rasyonel denklemlerin çözüm ilkeleri. Öncelikle hangi tür denklemlere rasyonel denildiğini bulalım, tam rasyonel ve kesirli rasyonel denklemlerin tanımını verelim ve örnekler verelim. Daha sonra rasyonel denklemleri çözmek için algoritmalar elde edeceğiz ve elbette çözümleri ele alacağız tipik örnekler gerekli tüm açıklamalarla.

Sayfada gezinme.

Belirtilen tanımlara dayanarak, birkaç rasyonel denklem örneği veriyoruz. Örneğin, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, ,'nin tümü rasyonel denklemlerdir.

Gösterilen örneklerden, rasyonel denklemlerin ve diğer türdeki denklemlerin tek değişkenli veya iki, üç vb. olabileceği açıktır. değişkenler. Aşağıdaki paragraflarda tek değişkenli rasyonel denklemlerin çözümünden bahsedeceğiz. İki değişkenli denklemleri çözme ve onlar çok sayıdaözel ilgiyi hak ediyor.

Rasyonel denklemler bilinmeyen değişken sayısına bölünmenin yanı sıra tamsayı ve kesirli olarak da ayrılırlar. İlgili tanımları verelim.

Tanım.

Rasyonel denklem denir tüm, eğer hem sol hem de sağ tarafları tamsayı rasyonel ifadeler ise.

Tanım.

Rasyonel bir denklemin parçalarından en az biri kesirli ifade, o zaman bu denklem denir kesirli rasyonel(veya kesirli rasyonel).

Tam denklemlerin bir değişkene göre bölmeyi içermediği açıktır; aksine, kesirli rasyonel denklemler zorunlu olarak bir değişkene (veya paydadaki bir değişkene) bölmeyi içerir. Yani 3 x+2=0 ve (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– bunlar tam rasyonel denklemlerdir, her iki parçası da tam ifadelerdir. A ve x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 kesirli rasyonel denklem örnekleridir.

Bu noktayı bitirirken, şu ana kadar bilinen lineer denklemlerin ve ikinci dereceden denklemlerin tamamen rasyonel denklemler olduğuna dikkat edelim.

Denklemlerin tamamını çözme

Denklemlerin tamamını çözmenin temel yaklaşımlarından biri onları eşdeğer denklemlere indirgemektir. cebirsel denklemler. Bu her zaman denklemin aşağıdaki eşdeğer dönüşümleri gerçekleştirilerek yapılabilir:

• ilk olarak orijinal tamsayı denkleminin sağ tarafındaki ifade ters işaretli olarak sol tarafa aktarılarak sağ tarafta sıfır elde edilir;
• bundan sonra denklemin sol tarafında ortaya çıkan standart form.

Sonuç, orijinal tamsayı denklemine eşdeğer bir cebirsel denklemdir. Yani en çok basit vakalar Denklemlerin tamamının çözülmesi, doğrusal veya ikinci dereceden denklemlerin çözülmesine ve genel durumda n dereceli bir cebirsel denklemin çözülmesine indirgenir. Açıklık sağlamak için, örneğin çözümüne bakalım.

Örnek.

Tüm denklemin köklerini bulun 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Çözüm.

Tüm bu denklemin çözümünü eşdeğer bir cebirsel denklemin çözümüne indirgeyelim. Bunun için öncelikle ifadeyi sağ taraftan sola aktarıyoruz ve bunun sonucunda denkleme ulaşıyoruz. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. İkinci olarak sol tarafta oluşan ifadeyi gerekli işlemleri tamamlayarak standart formda bir polinom haline dönüştürüyoruz: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Böylece, orijinal tamsayı denkleminin çözümü ikinci dereceden x 2 −5·x−6=0 denkleminin çözümüne indirgenir.

Diskriminantını hesaplıyoruz D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49 pozitiftir, bu da denklemin iki gerçek kökü olduğu anlamına gelir; bunu ikinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak buluruz:

Tamamen emin olmak için hadi yapalım Denklemin bulunan köklerinin kontrol edilmesi. İlk önce kök 6'yı kontrol ederiz, orijinal tamsayı denkleminde x değişkeni yerine onu kullanırız: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3 63=63 aynıdır. Bu geçerli bir sayısal denklemdir, dolayısıyla x=6 aslında denklemin köküdür. Şimdi −1 kökünü kontrol edersek, elimizde 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, buradan, 0=0 . X=−1 olduğunda orijinal denklem de doğru bir sayısal eşitliğe dönüşür, dolayısıyla x=−1 aynı zamanda denklemin köküdür.

Cevap:

6 , −1 .

Burada ayrıca "tüm denklemin derecesi" teriminin, bir denklemin tamamının cebirsel bir denklem biçiminde temsil edilmesiyle ilişkili olduğuna da dikkat edilmelidir. İlgili tanımı verelim:

Tanım.

Tüm denklemin gücü eşdeğer cebirsel denklemin derecesi denir.

Bu tanıma göre önceki örnekteki denklemin tamamı ikinci dereceye sahiptir.

Bu, tek bir şey olmasa bile, tüm rasyonel denklemleri çözmenin sonu olabilirdi…. Bilindiği gibi, derecenin ikincinin üzerinde olduğu cebirsel denklemlerin çözümü önemli zorluklarla ilişkilidir ve dördüncü derecenin üzerinde olan denklemler için hiçbir genel kök formülü yoktur. Bu nedenle üçüncü, dördüncü ve daha yüksek derecedeki denklemlerin tamamını çözmek için çoğu zaman diğer çözüm yöntemlerine başvurmak gerekir.

Bu gibi durumlarda rasyonel denklemlerin tamamını çözmeye yönelik bir yaklaşım çarpanlara ayırma yöntemi. Bu durumda aşağıdaki algoritmaya uyulur:

• Öncelikle denklemin sağ tarafında bir sıfır olmasını sağlarlar; bunun için denklemin tamamının sağ tarafındaki ifadeyi sola aktarırlar;
• daha sonra sol tarafta ortaya çıkan ifade, birkaç faktörün çarpımı olarak sunulur ve bu da birkaç basit denklem dizisine geçmemize olanak tanır.

Bir denklemin tamamını çarpanlara ayırma yoluyla çözmek için verilen algoritma, bir örnek kullanılarak ayrıntılı bir açıklama gerektirir.

Örnek.

Denklemin tamamını çöz (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Çözüm.

İlk olarak, her zamanki gibi, işareti değiştirmeyi unutmadan ifadeyi denklemin sağ tarafından sol tarafına aktarırız, şunu elde ederiz: (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Burada, ortaya çıkan denklemin sol tarafını standart formda bir polinom haline dönüştürmenin tavsiye edilmeyeceği oldukça açıktır, çünkü bu, formun dördüncü derecesinin cebirsel bir denklemini verecektir. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0 bunun çözümü zordur.

Öte yandan, ortaya çıkan denklemin sol tarafında x 2 −10 x+13'ü bir çarpım olarak sunabileceğimiz açıktır. Sahibiz (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ortaya çıkan denklem orijinal denklemin tamamına eşdeğerdir ve bu da iki ikinci dereceden denklem x 2 −10·x+13=0 ve x 2 −2·x−1=0 ile değiştirilebilir. Köklerini bulmak bilinen formüller Köklerin diskriminanttan geçmesi zor değildir, kökler eşittir. Bunlar orijinal denklemin istenen kökleridir.

Cevap:

Ayrıca rasyonel denklemlerin tamamını çözmek için de faydalıdır yeni bir değişken ekleme yöntemi. Bazı durumlarda derecesi orijinal denklemin tamamının derecesinden daha düşük olan denklemlere geçmenize olanak tanır.

Örnek.

Rasyonel bir denklemin gerçek köklerini bulun (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Çözüm.

Tüm bu rasyonel denklemi cebirsel bir denkleme indirgemek, en hafif deyimle, pek iyi bir fikir değil, çünkü bu durumda rasyonel kökleri olmayan dördüncü dereceden bir denklemi çözme ihtiyacı duyacağız. Bu nedenle başka bir çözüm aramanız gerekecek.

Burada yeni bir y değişkeni tanıtabileceğinizi ve x 2 +3·x ifadesini bununla değiştirebileceğinizi görmek kolaydır. Bu değiştirme bizi tüm (y+1) 2 +10=−2·(y−4) denklemine götürür; bu, −2·(y−4) ifadesini sol tarafa taşıdıktan ve ardından ifadeyi dönüştürdükten sonra burada oluşturulan ikinci derece denklem y 2 +4·y+3=0'a indirgenir. Bu denklemin y=−1 ve y=−3 köklerini bulmak kolaydır, örneğin Vieta teoreminin tersi olan teoreme göre seçilebilirler.

Şimdi yeni bir değişken ekleme yönteminin ikinci kısmına, yani ters değiştirme işlemine geçiyoruz. Ters değiştirme işlemini gerçekleştirdikten sonra, x 2 +3 x=−1 ve x 2 +3 x=−3 olmak üzere iki denklem elde ederiz; bunlar x 2 +3 x+1=0 ve x 2 +3 x+3 olarak yeniden yazılabilir. =0 . İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak ilk denklemin köklerini buluruz. Ve ikinci ikinci dereceden denklemin diskriminantı negatif olduğundan gerçek kökleri yoktur (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Cevap:

Genel olarak, yüksek dereceli denklemlerin tamamıyla uğraşırken her zaman araştırmaya hazır olmalıyız. standart dışı yöntem veya bunları çözmek için yapay bir yöntem.

Kesirli rasyonel denklemleri çözme

İlk olarak, p(x) ve q(x)'in tamsayı rasyonel ifadeler olduğu kesirli rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini anlamak faydalı olacaktır. Daha sonra diğer kesirli rasyonel denklemlerin çözümünün belirtilen türdeki denklemlerin çözümüne nasıl indirgeneceğini göstereceğiz.

Denklemi çözmeye yönelik bir yaklaşım şu ifadeye dayanmaktadır: v'nin sıfır olmayan bir sayı olduğu u/v sayısal kesri (aksi takdirde tanımsız olan ile karşılaşırız), ancak ve ancak payının şu şekilde olması durumunda sıfıra eşittir: sıfıra eşitse, ancak ve ancak u=0 ise olur. Bu ifade sayesinde denklemin çözümü, p(x)=0 ve q(x)≠0 olmak üzere iki koşulun yerine getirilmesine indirgenir.

Bu sonuç aşağıdakilere karşılık gelir kesirli rasyonel denklemi çözmek için algoritma. Formun kesirli rasyonel denklemini çözmek için ihtiyacınız olan şey

• p(x)=0 rasyonel denkleminin tamamını çözün;
• ve bulunan her kök için q(x)≠0 koşulunun karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin;
• eğer doğruysa bu kök orijinal denklemin köküdür;
• eğer karşılanmazsa bu kök yabancıdır, yani orijinal denklemin kökü değildir.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözerken duyurulan algoritmayı kullanmanın bir örneğine bakalım.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

Bu kesirli rasyonel bir denklemdir ve şu şekildedir: p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Bu tür kesirli rasyonel denklemlerin çözümüne yönelik algoritmaya göre, öncelikle 3 x−2=0 denklemini çözmemiz gerekir. Bu doğrusal denklem, kökü x=2/3'tür.

Geriye bu kökü kontrol etmek, yani 5 x 2 −2≠0 koşulunu karşılayıp karşılamadığını kontrol etmek kalıyor. 2/3 sayısını x yerine 5 x 2 −2 ifadesinde yerine koyarsak ve elde ederiz. Koşul karşılanmıştır, dolayısıyla x=2/3 orijinal denklemin köküdür.

Cevap:

2/3 .

Kesirli bir rasyonel denklemin çözümüne biraz farklı bir açıdan yaklaşabilirsiniz. Bu denklem, orijinal denklemin x değişkeni üzerindeki p(x)=0 tamsayı denklemine eşdeğerdir. Yani buna bağlı kalabilirsiniz kesirli rasyonel denklemi çözmek için algoritma :

• p(x)=0 denklemini çözün;
• x değişkeninin ODZ'sini bulun;
• kabul edilebilir değerlerin bölgesine ait kökleri alın - bunlar orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleridir.

Örneğin bu algoritmayı kullanarak kesirli bir rasyonel denklemi çözelim.

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

Öncelikle ikinci dereceden x 2 −2·x−11=0 denklemini çözüyoruz. Kökleri çift ikinci katsayı için kök formülü kullanılarak hesaplanabilir, elimizdeki D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Ve .

İkinci olarak orijinal denklem için x değişkeninin ODZ'sini buluyoruz. x 2 +3·x≠0 olan ve x·(x+3)≠0 ile aynı olan tüm sayılardan oluşur; dolayısıyla x≠0, x≠−3.

Geriye ilk adımda bulunan köklerin ODZ'ye dahil edilip edilmediğini kontrol etmek kalıyor. Açıkçası evet. Bu nedenle, orijinal kesirli rasyonel denklemin iki kökü vardır.

Cevap:

ODZ'nin bulunması kolaysa bu yaklaşımın ilkinden daha karlı olduğunu ve özellikle p(x) = 0 denkleminin köklerinin irrasyonel veya rasyonel olması ancak oldukça büyük bir paya sahip olması durumunda özellikle faydalı olduğunu unutmayın. /veya payda, örneğin, 127/1101 ve −31/59. Bunun nedeni, bu tür durumlarda q(x)≠0 koşulunun kontrol edilmesinin önemli miktarda hesaplama çabası gerektirmesi ve ODZ kullanılarak yabancı köklerin hariç tutulmasının daha kolay olmasıdır.

Diğer durumlarda, denklemi çözerken, özellikle p(x) = 0 denkleminin kökleri tamsayı olduğunda, verilen algoritmalardan ilkini kullanmak daha karlı olur. Yani, ODZ'yi bulup denklemi çözmek yerine, hemen tüm p(x)=0 denkleminin köklerini bulmak ve ardından q(x)≠0 koşulunun onlar için karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmek tavsiye edilir. Bu ODZ'de p(x)=0. Bunun nedeni, bu gibi durumlarda kontrol etmenin genellikle DZ'yi bulmaktan daha kolay olmasıdır.

Belirtilen nüansları göstermek için iki örneğin çözümünü ele alalım.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

İlk önce tüm denklemin köklerini bulalım (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, kesrin payı kullanılarak oluşturulur. Sol taraf bu denklemin bir çarpımıdır ve sağ tarafı sıfırdır, bu nedenle denklemleri çarpanlara ayırma yoluyla çözme yöntemine göre bu denklem dört denklemden oluşan bir diziye eşdeğerdir 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14= 0 , x+1=0 . Bu denklemlerden üçü doğrusal, biri ikinci derecedendir; bunları çözebiliriz. İlk denklemden x=1/2, ikinciden - x=6, üçüncüden - x=7, x=−2, dördüncüden - x=−1 buluyoruz.

Kökler bulunduğunda, orijinal denklemin sol tarafındaki kesirin paydasının kaybolup kaybolmadığını kontrol etmek oldukça kolaydır, ancak tam tersine ODZ'yi belirlemek o kadar kolay değildir, çünkü bunun için çözmeniz gerekecek beşinci derecenin cebirsel denklemi. Bu nedenle, kökleri kontrol etmek adına ODZ'yi bulmayı bırakacağız. Bunu yapmak için ifadedeki x değişkeni yerine bunları birer birer değiştiriyoruz. x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, değiştirmeden sonra elde edilenleri sıfırla karşılaştırın: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Dolayısıyla, 1/2, 6 ve −2 orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleridir ve 7 ve −1 ise yabancı köklerdir.

Cevap:

1/2 , 6 , −2 .

Örnek.

Kesirli bir rasyonel denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

İlk önce denklemin köklerini bulalım (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Bu denklem iki denklemden oluşan bir diziye eşdeğerdir: kare 5 x 2 −7 x−1=0 ve doğrusal x−2=0. İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak iki kök buluruz ve ikinci denklemden x=2 elde ederiz.

X'in bulunan değerlerinde paydanın sıfıra gidip gitmediğini kontrol etmek oldukça tatsızdır. Ve orijinal denklemde x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığını belirlemek oldukça basittir. Bu nedenle ODZ üzerinden hareket edeceğiz.

Bizim durumumuzda, orijinal kesirli rasyonel denklemin x değişkeninin ODZ'si, x 2 +5·x−14=0 koşulunun karşılandığı sayılar dışındaki tüm sayılardan oluşur. Bu ikinci dereceden denklemin kökleri x=−7 ve x=2'dir ve bundan ODZ hakkında bir sonuç çıkarıyoruz: tüm x'lerden oluşur, öyle ki .

Geriye bulunan köklerin ve x=2'nin kabul edilebilir değerler aralığına ait olup olmadığını kontrol etmek kalır. Kökler aittir, dolayısıyla orijinal denklemin kökleridir ve x=2 ait değildir, dolayısıyla yabancı bir köktür.

Cevap:

Ayrıca kesirli bir rasyonel denklemde payda bir sayının olduğu, yani p(x)'in bir sayı ile temsil edildiği durumlar üzerinde ayrıca durmak faydalı olacaktır. Aynı zamanda

• eğer bu sayı sıfır değilse, o zaman denklemin kökleri yoktur, çünkü bir kesir ancak ve ancak payı sıfıra eşitse sıfıra eşittir;
• bu sayı sıfırsa denklemin kökü ODZ'den herhangi bir sayıdır.

Örnek.

Çözüm.

Denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfırdan farklı bir sayı içerdiğinden herhangi bir x için bu kesrin değeri sıfır olamaz. Buradan, verilen denklem kökleri yoktur.

Cevap:

kök yok.

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

Bu kesirli rasyonel denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfır içerir, dolayısıyla bu kesrin değeri, anlamlı olduğu herhangi bir x için sıfırdır. Başka bir deyişle, bu denklemin çözümü bu değişkenin ODZ'sinden herhangi bir x değeridir.

Geriye bu kabul edilebilir değer aralığını belirlemek kalıyor. x 4 +5 x 3 ≠0 olan tüm x değerlerini içerir. x 4 +5 x 3 =0 denkleminin çözümleri 0 ve −5'tir, çünkü bu denklem x 3 (x+5)=0 denklemine eşdeğerdir ve bu da iki x denkleminin birleşimine eşdeğerdir 3 =0 ve x +5=0, bu köklerin görülebildiği yerden. Bu nedenle kabul edilebilir değerlerin istenen aralığı, x=0 ve x=−5 dışında herhangi bir x'tir.

Dolayısıyla, kesirli bir rasyonel denklemin sıfır ve eksi beş dışında herhangi bir sayıdan oluşan sonsuz sayıda çözümü vardır.

Cevap:

Son olarak, keyfi biçimdeki kesirli rasyonel denklemlerin çözümü hakkında konuşmanın zamanı geldi. r(x)=s(x) şeklinde yazılabilirler; burada r(x) ve s(x) rasyonel ifadelerdir ve bunlardan en az biri kesirlidir. İleriye baktığımızda, çözümlerinin bize zaten tanıdık gelen formdaki denklemleri çözmeye bağlı olduğunu varsayalım.

Bir terimin denklemin bir kısmından ters işaretli diğer kısmına aktarılmasının eşdeğer bir denklem oluşturduğu bilinmektedir, dolayısıyla r(x)=s(x) denklemi r(x)−s(x) denklemine eşdeğerdir. )=0.

Ayrıca bu ifadeye eşit olan herhangi bir ifadenin mümkün olduğunu da biliyoruz. Böylece r(x)−s(x)=0 denkleminin sol tarafındaki rasyonel ifadeyi her zaman formun özdeş eşit rasyonel kesrine dönüştürebiliriz.

Dolayısıyla, orijinal kesirli rasyonel denklem r(x)=s(x)'ten denkleme geçiyoruz ve bunun çözümü, yukarıda öğrendiğimiz gibi, p(x)=0 denkleminin çözümüne indirgeniyor.

Ancak burada, r(x)−s(x)=0 ile ve ardından p(x)=0 ile değiştirilirken, x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığının genişleyebileceği gerçeğini hesaba katmak gerekir. .

Sonuç olarak, ulaştığımız orijinal r(x)=s(x) denklemi ile p(x)=0 denklemi eşit olmayabilir ve p(x)=0 denklemini çözerek kökleri elde edebiliriz. bunlar orijinal r(x)=s(x) denkleminin yabancı kökleri olacaktır. Bir kontrol yaparak veya bunların orijinal denklemin ODZ'sine ait olup olmadığını kontrol ederek yabancı kökleri tanımlayabilir ve cevaba dahil etmeyebilirsiniz.

Bu bilgileri şöyle özetleyelim r(x)=s(x) kesirli rasyonel denklemini çözmek için algoritma. Kesirli rasyonel denklem r(x)=s(x)'i çözmek için şunlara ihtiyacınız vardır:

• İfadeyi sağ taraftan ters işaretle hareket ettirerek sağdaki sıfırı alın.
• Denklemin sol tarafında kesirler ve polinomlarla işlemler gerçekleştirin, böylece onu formun rasyonel bir kesirine dönüştürün.
• p(x)=0 denklemini çözün.
• Yabancı kökleri orijinal denklemde değiştirerek veya orijinal denklemin ODZ'sine ait olduklarını kontrol ederek tanımlayın ve ortadan kaldırın.

Daha fazla netlik sağlamak için, kesirli rasyonel denklemlerin çözüm zincirinin tamamını göstereceğiz:
.

Verilen bilgi bloğunu açıklığa kavuşturmak için çözüm sürecinin ayrıntılı bir açıklamasıyla birlikte birkaç örneğin çözümlerine bakalım.

Örnek.

Kesirli rasyonel denklemi çözün.

Çözüm.

Az önce elde edilen çözüm algoritmasına göre hareket edeceğiz. Ve önce terimleri denklemin sağ tarafından sola kaydırıyoruz, sonuç olarak denkleme geçiyoruz.

İkinci adımda, ortaya çıkan denklemin sol tarafındaki kesirli rasyonel ifadeyi kesir formuna dönüştürmemiz gerekiyor. Bunu yapmak için bir döküm gerçekleştiriyoruz rasyonel kesirler ortak bir paydaya getirin ve elde edilen ifadeyi basitleştirin: . Böylece denkleme geliyoruz.

Bir sonraki adımda −2·x−1=0 denklemini çözmemiz gerekiyor. x=−1/2'yi buluyoruz.

Bulunan sayının −1/2 olup olmadığını kontrol etmeye devam ediyor yabancı kök orijinal denklem. Bunu yapmak için orijinal denklemdeki x değişkeninin VA'sını kontrol edebilir veya bulabilirsiniz. Her iki yaklaşımı da gösterelim.

Kontrol ederek başlayalım. Orijinal denklemde x değişkeni yerine −1/2 sayısını koyarsak aynı şeyi elde ederiz: −1=−1. Değiştirme doğru sayısal eşitliği verir, dolayısıyla x=−1/2 orijinal denklemin köküdür.

Şimdi algoritmanın son noktasının ODZ üzerinden nasıl gerçekleştirildiğini göstereceğiz. Orijinal denklemin kabul edilebilir değerleri aralığı -1 ve 0 dışındaki tüm sayılar kümesidir (x=−1 ve x=0'da kesirlerin paydaları sıfırdır). Önceki adımda bulunan x=−1/2 kökü ODZ'ye aittir, dolayısıyla x=−1/2 orijinal denklemin köküdür.

Cevap:

−1/2 .

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözmemiz gerekiyor, hadi algoritmanın tüm adımlarını izleyelim.

İlk önce terimi sağ taraftan sola kaydırırız, şunu elde ederiz.

İkinci olarak sol tarafta oluşan ifadeyi dönüştürüyoruz: . Sonuç olarak x=0 denklemine ulaşıyoruz.

Kökü bellidir; sıfırdır.

Dördüncü adımda, bulunan kökün orijinal kesirli rasyonel denkleme yabancı olup olmadığını bulmaya devam ediyor. Orijinal denklemde yerine konulduğunda ifade elde edilir. Açıkçası sıfıra bölmeyi içerdiği için mantıklı değil. Buradan 0'ın yabancı bir kök olduğu sonucuna vardık. Bu nedenle orijinal denklemin kökleri yoktur.

7, bu da Denklem'e yol açar. Buradan, sol taraftaki paydadaki ifadenin sağ taraftaki paydadaki ifadeye eşit olması gerektiği sonucuna varabiliriz. Şimdi üçlünün her iki tarafından da çıkarıyoruz: . Benzetme yoluyla, nereden ve daha ileri.

Kontrol, bulunan her iki kökün de orijinal kesirli rasyonel denklemin kökleri olduğunu gösterir.

Cevap:

Referanslar.

• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Cebir: 9. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2009. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.