Hız-zaman grafiği nasıl görünür? Hız ve ivmenin yönü sorusu üzerine

Ders Konusu: "Malzeme noktası. Referans sistemi" Amaçlar: kinematik hakkında fikir vermek

Tanım üniforma basit hareket. - Hız denilen şey nedir? üniforma hareket? - Hız birimini adlandırın hareket hız vektörünün zamana göre izdüşümü hareket U (O.2. Grafik performans hareket. - C noktasında...

3.1. Eşit derecede değişen hareket düz bir çizgide.

3.1.1. Düz bir çizgide düzgün hareket- ivmenin büyüklüğü ve yönü sabit olan düz bir çizgideki hareket:

3.1.2. Hızlanma()- fiziksel vektör miktarı 1 saniyede hızın ne kadar değişeceğini gösterir.

İÇİNDE vektör formu:

vücudun başlangıç ​​hızı nerede, vücudun o andaki hızı T.

Eksen üzerine projeksiyonda Öküz:

başlangıç ​​hızının eksene izdüşümü nerede Öküz, - vücut hızının eksene izdüşümü Öküz zamanın bir noktasında T.

İzdüşümlerin işaretleri vektörlerin yönüne ve eksene bağlıdır Öküz.

3.1.3. İvmenin zamana karşı projeksiyon grafiği.

Düzgün değişen harekette ivme sabittir, bu nedenle zaman eksenine paralel düz çizgiler olarak görünecektir (şekle bakın):

3.1.4. Düzgün hareket sırasında hız.

Vektör formunda:

Eksen üzerine projeksiyonda Öküz:

Düzgün hızlandırılmış hareket için:

Düzgün yavaş çekim için:

3.1.5. Hızın zamana karşı projeksiyon grafiği.

Hızın zamana karşı projeksiyonunun grafiği düz bir çizgidir.

Hareket yönü: Grafik (veya bir kısmı) zaman ekseninin üzerindeyse, cisim eksenin pozitif yönünde hareket ediyor demektir Öküz.

Hızlanma değeri: eğim açısının tanjantı ne kadar büyük olursa (yukarı veya aşağı ne kadar dik yükselirse), hızlanma modülü o kadar büyük olur; hızın zaman içindeki değişimi nerede

Zaman ekseniyle kesişme: Grafik zaman eksenini kesiyorsa, kesişme noktasından önce vücut yavaşlar (düzgün yavaş hareket) ve kesişme noktasından sonra hızlanmaya başlar. karşı taraf(eşit şekilde hızlandırılmış hareket).

3.1.6. Geometrik anlam eksen cinsinden grafiğin altındaki alan

Eksen üzerindeyken grafiğin altındaki alan Oy hız gecikir ve eksende Öküz- zaman bedenin kat ettiği yoldur.

Şek. Şekil 3.5 düzgün ivmeli hareketin durumunu göstermektedir. Gidilecek yol bu durumda yamuğun alanına eşit olacaktır: (3.9)

3.1.7. Yol hesaplama formülleri

Tabloda sunulan tüm formüller yalnızca hareket yönü korunduğunda, yani hız projeksiyonunun zamana karşı grafiğinde düz çizgi zaman ekseniyle kesişene kadar çalışır.

Kavşak meydana gelmişse, hareketin iki aşamaya bölünmesi daha kolaydır:

karşıya geçmeden önce (frenleme):

Kavşaktan sonra (hızlanma, hareket etme) ters taraf)

Yukarıdaki formüllerde - Hareketin başlangıcından zaman ekseni ile kesişime kadar geçen süre (durmadan önceki süre), - Hareketin başlangıcından zaman ekseni ile kesişime kadar vücudun kat ettiği yol, - Geçen süre zaman eksenini geçtiği andan bu ana kadar T, - zaman eksenini geçtiği andan bu ana kadar geçen süre boyunca vücudun ters yönde kat ettiği yol T, - tüm hareket süresi boyunca yer değiştirme vektörünün modülü, L- tüm hareket boyunca vücudun kat ettiği yol.

3.1.8. İkinci saniyede hareket.

Zamanla vücut yoluna gidecek:

Bu süre zarfında vücut aşağıdaki mesafeyi kat edecektir:

Daha sonra inci aralık sırasında vücut aşağıdaki mesafeyi kat edecektir:

Herhangi bir zaman aralığı aralık olarak alınabilir. Çoğu zaman ile.

Daha sonra 1 saniyede vücut aşağıdaki mesafeyi kat eder:

2 saniyede:

3 saniyede:

Dikkatli bakarsak şunu görürüz vs.

Böylece formüle ulaşıyoruz:

Başka bir deyişle: Bir cismin ardışık zaman dilimleri boyunca kat ettiği yollar, bir dizi tek sayı olarak birbiriyle ilişkilidir ve bu, cismin hareket ettiği ivmeye bağlı değildir. Bu ilişkinin geçerli olduğunu vurguluyoruz.

3.1.9. Düzgün hareket için vücut koordinatlarının denklemi

Koordinat denklemi

İlk hız ve ivme projeksiyonlarının işaretleri şunlara bağlıdır: göreceli konum karşılık gelen vektörler ve eksen Öküz.

Sorunları çözmek için, hız projeksiyonunu eksene değiştirme denklemini denkleme eklemek gerekir:

3.2. Doğrusal hareket için kinematik büyüklüklerin grafikleri

3.3. Serbest düşme gövdesi

Serbest düşüşle aşağıdaki fiziksel modeli kastediyoruz:

1) Düşme yerçekiminin etkisi altında gerçekleşir:

2) Hava direnci yok (sorunlarda bazen “hava direncini ihmal” yazıyorlar);

3) Kütlesi ne olursa olsun tüm cisimler aynı ivmeyle düşer (bazen buna “cismin şekli ne olursa olsun” da eklenir ama biz sadece hareketi dikkate alırız) maddi nokta yani vücut şekli artık dikkate alınmıyor);

4) Yerçekimi ivmesi kesinlikle aşağıya doğru yönlendirilir ve Dünya yüzeyinde eşittir (problemlerde hesaplamaların kolaylığı için sıklıkla varsayarız);

3.3.1. Eksen üzerine projeksiyonda hareket denklemleri Oy

Yatay düz bir çizgi boyunca hareket etmekten farklı olarak, tüm görevler hareket yönünde bir değişiklik içermediğinde, serbest düşüş eksene projeksiyonlarda yazılan denklemleri hemen kullanmak en iyisidir Oy.

Vücut koordinat denklemi:

Hız projeksiyon denklemi:

Kural olarak problemlerde ekseni seçmek uygundur Oy aşağıdaki gibi:

Eksen Oy dikey olarak yukarı doğru yönlendirilmiş;

Başlangıç, Dünya'nın seviyesine veya yörüngenin en alçak noktasına denk gelir.

Bu seçimle denklemler ve denklemleri aşağıdaki biçimde yeniden yazılacaktır:

3.4. Düzlemde hareket Oksi.

Bir cismin düz bir çizgi boyunca ivmeli hareketini düşündük. Ancak tekdüze değişken hareket bununla sınırlı değildir. Örneğin yataya belli bir açıyla fırlatılan bir cisim. Bu tür problemlerde iki eksen boyunca hareketi aynı anda hesaba katmak gerekir:

Veya vektör biçiminde:

Ve her iki eksendeki hız projeksiyonunu değiştirmek:

3.5. Türev ve integral kavramının uygulanması

Burada vermeyeceğiz detaylı tanım türev ve integral. Sorunları çözmek için yalnızca küçük bir formül setine ihtiyacımız var.

Türev:

Nerede A, B yani sabit değerler.

İntegral:

Şimdi türev ve integral kavramının aşağıdakilere nasıl uygulandığını görelim: fiziksel büyüklükler. Matematikte türev """ ile, fizikte ise zamana göre türev fonksiyonun üzerinde "∙" ile gösterilir.

Hız:

yani hız, yarıçap vektörünün bir türevidir.

Hız projeksiyonu için:

Hızlanma:

yani ivme hızın bir türevidir.

Hızlanma projeksiyonu için:

Dolayısıyla hareket kanunu biliniyorsa cismin hem hızını hem de ivmesini kolaylıkla bulabiliriz.

Şimdi integral kavramını kullanalım.

Hız:

yani hız, ivmenin zaman integrali olarak bulunabilir.

Yarıçap vektörü:

yani yarıçap vektörü hız fonksiyonunun integrali alınarak bulunabilir.

Böylece fonksiyon biliniyorsa cismin hem hızını hem de hareket yasasını kolaylıkla bulabiliriz.

Formüllerdeki sabitler şu şekilde belirlenir: başlangıç ​​koşulları- değerler ve zamanda

3.6. Hız üçgeni ve yer değiştirme üçgeni

3.6.1. Hız üçgeni

Sabit ivmeli vektör formunda hız değişimi yasası şu şekildedir (3.5):

Bu formül, bir vektörün, vektörlerin vektör toplamına eşit olduğu ve vektör toplamının her zaman bir şekilde gösterilebileceği anlamına gelir (şekle bakın).

Her problemde şartlara bağlı olarak hız üçgeni kendine has bir forma sahip olacaktır. Bu gösterim, çözümde genellikle problemin çözümünü basitleştiren geometrik hususların kullanılmasına izin verir.

3.6.2. Hareket üçgeni

Vektör biçiminde, sabit ivmeli hareket yasası şu şekildedir:

Bir problemi çözerken referans sistemini en uygun şekilde seçebilirsiniz, dolayısıyla genelliği kaybetmeden referans sistemini öyle bir şekilde seçebiliriz ki, yani koordinat sisteminin kökenini noktaya yerleştirebiliriz. Vücudun ilk anda bulunduğu yer. Daha sonra

yani vektör, vektörlerin vektör toplamına eşittir ve bunu şekilde gösterelim (bkz. şekil).

Önceki durumda olduğu gibi, koşullara bağlı olarak yer değiştirme üçgeni kendi şekline sahip olacaktır. Bu gösterim, çözümde genellikle problemin çözümünü basitleştiren geometrik hususların kullanılmasına izin verir.

Talimatlar

f(x) = |x| fonksiyonunu düşünün. Başlangıç ​​olarak bu işaretsiz bir modüldür, yani g(x) = x fonksiyonunun grafiğidir. Bu grafik orijinden geçen bir doğru olup bu doğru ile x ekseninin pozitif yönü arasındaki açı 45 derecedir.

Modül negatif olmayan bir miktar olduğundan apsis ekseninin altında kalan kısım ona göre yansıtılmalıdır. g(x) = x fonksiyonu için böyle bir eşleme sonrasında grafiğin V gibi görüneceğini buluruz. yeni program ve f(x) = |x| fonksiyonunun grafiksel bir yorumu olacaktır.

Konuyla ilgili video

lütfen aklınızda bulundurun

Bir fonksiyonun modül grafiği hiçbir zaman 3. ve 4. çeyrekte olmayacaktır çünkü modül kabul edilemez. negatif değerler.

Faydalı tavsiyeler

Bir fonksiyon birden fazla modül içeriyorsa, bunların sırayla genişletilmesi ve ardından üst üste istiflenmesi gerekir. Sonuç istenen grafik olacaktır.

Kaynaklar:

• modüllerle bir fonksiyonun grafiği nasıl çizilir

Hesaplamanız gereken kinematik problemler hız, zaman veya düzgün ve doğrusal olarak hareket eden cisimlerin kesiştiği yol okul kursu cebir ve fizik. Bunları çözmek için koşulda eşitlenebilecek miktarları bulun. Koşul tanımlamayı gerektiriyorsa zaman bilinen bir hızda aşağıdaki talimatları kullanın.

İhtiyacın olacak

• - dolma kalem;
• - notlar için kağıt.

Talimatlar

En basit durum, bir bedenin belirli bir üniformayla hareketidir. hız Yu. Vücudun kat ettiği mesafe bilinmektedir. Yolda bulun: t = S/v, saat, burada S mesafedir, v ortalamadır hız bedenler.

İkincisi açık yaklaşan trafik tel. Bir araba A noktasından B noktasına hareket ediyor hız 50 km/saat. Bir moped ile hız 30 km/saat. A ve B noktaları arasındaki mesafe 100 km'dir. Bulması gerekiyor zaman bu sayede buluşacaklar.

Buluşma noktasını K olarak etiketleyin. Arabanın AK mesafesi x km olsun. Daha sonra motosikletçinin yolu 100 km olacaktır. Sorun koşullarından şu sonuç çıkıyor: zaman Yolda bir araba ve bir moped aynı deneyimi yaşar. Denklemi oluşturun: x/v = (S-x)/v', burada v, v' – ve moped. Verileri yerine koyarak denklemi çözün: x = 62,5 km. Şimdi zaman: t = 62,5/50 = 1,25 saat veya 1 saat 15 dakika.

Öncekine benzer bir denklem oluşturun. Ama bu durumda zaman Bir mopedin yolculuğu bir arabanınkinden 20 dakika daha uzun olacaktır. Parçaları eşitlemek için ifadenin sağ tarafından saatin üçte birini çıkarın: x/v = (S-x)/v’-1/3. X – 56,25'i bulun. Hesaplamak zaman: t = 56,25/50 = 1,125 saat veya 1 saat 7 dakika 30 saniye.

Dördüncü örnek, cisimlerin bir yönde hareketini içeren bir problemdir. Bir araba ve bir moped A noktasından aynı hızla hareket etmektedir. Arabanın yarım saat sonra hareket ettiği bilinmektedir. Neyden sonra zaman moped'e yetişebilecek mi?

Bu durumda araçların kat ettiği mesafe aynı olacaktır. İzin vermek zaman araba x saat yol gidecek, o zaman zaman mopedin yolculuğu x+0,5 saat olacaktır. Denkleminiz var: vx = v’(x+0,5). Denklemi yerine koyarak çözün ve x – 0,75 saat veya 45 dakikayı bulun.

Beşinci örnek – bir araba ve bir moped aynı yönde aynı hızlarda hareket ediyor, ancak moped yarım saat önce A noktasından 10 km uzakta bulunan B noktasından ayrıldı. Ne sonrasını hesapla zamanÇalıştırdıktan sonra araba moped'e yetişecek.

Arabanın kat ettiği mesafe 10 km daha fazladır. Bu farkı motosikletçinin yoluna ekleyin ve ifadenin kısımlarını eşitleyin: vx = v’(x+0.5)-10. Hız değerlerini değiştirip çözerek şunu elde edersiniz: t = 1,25 saat veya 1 saat 15 dakika.

Kaynaklar:

• zaman makinesinin hızı nedir

Talimatlar

Bir yol kesiti boyunca düzgün biçimde hareket eden bir cismin ortalamasını hesaplayın. Çok hız tüm segmentte değişmediğinden hesaplanması en kolay olanıdır hareket ve ortalamaya eşittir. Bu şu şekilde ifade edilebilir: Vрд = Vср, burada Vрд – hızüniforma hareket ve Vav – ortalama hız.

Ortalamayı hesapla hız eşit şekilde yavaş (düzgün şekilde hızlandırılmış) hareket başlangıç ​​ve bitişin eklenmesinin gerekli olduğu bu alanda hız. Sonucu ortalama olan ikiye bölün hız Yu. Bu daha açık bir formülle yazılabilir: Vср = (Vн + Vк)/2, burada Vн şunu temsil eder:

Hız-zaman grafiğini kullanarak bir cismin kat ettiği yolu nasıl bulabileceğinizi gösterelim.

En baştan başlayalım basit durum– düzgün hareket. Şekil 6.1 v(t) – hızın zamana karşı grafiğini göstermektedir. Düzgün harekette hız sabit olduğundan, zaman tabanına paralel düz bir çizginin bir bölümünü temsil eder.

Bu grafiğin altındaki şekil bir dikdörtgendir (şekilde gölgelendirilmiştir). Alanı sayısal olarak hız v ile hareket süresinin t çarpımına eşittir. Öte yandan, vt çarpımı vücudun kat ettiği l yoluna eşittir. Yani düzgün hareketle

yol sayısal olarak hız-zaman grafiğinin altında yer alan şeklin alanına eşittir.

Şimdi bunu gösterelim dikkat çekici özellik Aynı zamanda dengesiz bir hareketi var.

Örneğin hız-zaman grafiği Şekil 6.2'de gösterilen eğriye benzesin.

Tüm hareket süresini zihinsel olarak o kadar küçük aralıklara bölelim ki, her biri sırasında vücudun hareketi neredeyse tekdüze olarak kabul edilebilir (bu bölüm, Şekil 6.2'de kesikli çizgilerle gösterilmiştir).

Daha sonra bu aralıkların her birinde kat edilen yol, grafiğin karşılık gelen kümesinin altındaki şeklin alanına sayısal olarak eşittir. Bu nedenle yolun tamamı, grafiğin tamamı altında yer alan şekillerin alanına eşittir. (Kullandığımız teknik temeldir integral hesabı, temellerini “Matematiksel Analizin Başlangıçları” dersinde çalışacaksınız.)

2. Doğrusal, eşit şekilde hızlandırılmış hareket sırasında yol ve yer değiştirme

Şimdi doğrusal, düzgün ivmeli harekete giden yolu bulmak için yukarıda anlatılan yöntemi uygulayalım.

Vücudun başlangıç ​​hızı sıfırdır

X eksenini cismin ivmesi yönünde yönlendirelim. O halde a x = a, v x = v. Buradan,

Şekil 6.3 v(t) grafiğini göstermektedir.

1. Şekil 6.3'ü kullanarak, başlangıç ​​hızı olmaksızın doğrusal, düzgün ivmeli hareket durumunda, yol l'nin ivme modülü a ve hareket süresi t cinsinden aşağıdaki formülle ifade edildiğini kanıtlayın:

l = 2/2'de. (2)

Ana sonuç:

Başlangıç ​​hızı olmaksızın doğrusal, eşit şekilde hızlandırılmış harekette, vücudun kat ettiği mesafe, hareket zamanının karesiyle orantılıdır.

Bu şekilde, düzgün şekilde hızlandırılmış hareket, düzgün hareketten önemli ölçüde farklıdır.

Şekil 6.4, biri düzgün biçimde hareket eden ve diğeri başlangıç ​​hızı olmadan eşit biçimde hızlanan iki cisim için yol-zaman grafiklerini göstermektedir.

2. Şekil 6.4'e bakın ve soruları cevaplayın.
a) Düzgün ivmeyle hareket eden bir cismin grafiği ne renktir?
b) Bu cismin ivmesi nedir?
c) Cisimlerin aynı yolu kat ettikleri andaki hızları nedir?
d) Zamanın hangi noktasında cisimlerin hızları eşittir?

3. Araba yola çıktıktan sonra ilk 4 saniyede 20 m yol kat etti. Arabanın hareketinin doğrusal ve düzgün ivmeli olduğunu düşünün. Arabanın ivmesini hesaplamadan arabanın ne kadar yol kat edeceğini belirleyin:
a) 8 saniyede mi? b) 16 saniyede mi? c) 2 saniyede mi?

Şimdi s x yer değiştirmesinin projeksiyonunun zamana bağımlılığını bulalım. Bu durumda ivmenin x eksenine izdüşümü pozitiftir, yani s x = l, a x = a. Dolayısıyla formül (2)'den şu sonuç çıkar:

sx = axt2/2. (3)

Formül (2) ve (3) çok benzerdir ve bu bazen çözümde hatalara yol açar. basit görevler. Gerçek şu ki, yer değiştirme projeksiyonu değeri negatif olabilir. Bu, x ekseni yer değiştirmenin tersi yönde yönlendirilirse gerçekleşir: o zaman s x< 0. А путь отрицательным быть не может!

4. Şekil 6.5 belirli bir cisim için seyahat süresi ve yer değiştirme projeksiyonunun grafiklerini göstermektedir. Yer değiştirme projeksiyon grafiği ne renktir?

Vücudun başlangıç ​​hızı sıfır değil

Bu durumda hız projeksiyonunun zamana bağlılığının formülle ifade edildiğini hatırlayalım.

v x = v 0x + a x t, (4)

burada v 0x başlangıç ​​hızının x eksenine izdüşümüdür.

Ayrıca v 0x > 0, a x > 0 durumunu da ele alacağız. Bu durumda yolun sayısal olarak hız-zaman grafiğinin altındaki şeklin alanına eşit olmasından faydalanabiliriz. (İlk hız ve ivmenin projeksiyonu için diğer işaret kombinasyonlarını kendiniz düşünün: sonuç aynı olacaktır. genel formül (5).

Şekil 6.6 v 0x > 0 ve a x > 0 için v x (t) grafiğini göstermektedir.

5. Şekil 6.6'yı kullanarak, başlangıç ​​hızıyla doğrusal, düzgün ivmeli hareket durumunda yer değiştirme izdüşümü olduğunu kanıtlayın.

s x = v 0x + a x t 2/2. (5)

Bu formül, vücudun x koordinatının zamana bağımlılığını bulmanızı sağlar. Bir cismin x koordinatının, s x yer değiştirmesinin izdüşümü ile ilgili olduğunu hatırlayalım (bkz. formül (6), § 2)

s x = x – x 0,

burada x 0 cismin başlangıç ​​koordinatıdır. Buradan,

x = x 0 + sx , (6)

Formüller (5), (6)'dan şunu elde ederiz:

x = x 0 + v 0x t + a x t 2/2. (7)

6. X ekseni boyunca hareket eden belirli bir cisim için koordinatın zamana bağımlılığı, x = 6 – 5t + t 2 formülü ile SI birimlerinde ifade edilir.
a) Cismin başlangıç ​​koordinatı nedir?
b) Başlangıç ​​hızının x eksenine izdüşümü nedir?
c) İvmenin x ekseni üzerindeki izdüşümü nedir?
d) x koordinatının zamana karşı grafiğini çizin.
e) Öngörülen hızın zamana karşı grafiğini çizin.
f) Cismin hızı hangi anda sıfıra eşittir?
g) Vücut başlangıç ​​noktasına geri dönecek mi? Eğer öyleyse, zamanın hangi noktasında/noktalarında?
h) Ceset orijinden geçecek mi? Eğer öyleyse, zamanın hangi noktasında/noktalarında?
i) Yer değiştirme projeksiyonunun zamana karşı grafiğini çizin.
j) Mesafe-zaman grafiğini çizin.

3. Yol ve hız arasındaki ilişki

Sorunları çözerken yol, ivme ve hız arasındaki ilişkiler (başlangıç ​​v 0, son v veya her ikisi) sıklıkla kullanılır. Bu ilişkileri türetelim. Başlangıç ​​hızı olmayan hareketle başlayalım. Formül (1)'den hareket zamanı için şunu elde ederiz:

Bu ifadeyi yol için formül (2)'ye koyalım:

l = 2/2'de = a/2(v/a) 2 = v2/2a. (9)

Ana sonuç:

Başlangıç ​​hızı olmaksızın doğrusal, düzgün şekilde hızlandırılmış harekette, vücudun kat ettiği mesafe, son hızın karesiyle orantılıdır.

7. Harekete geçtikten sonra arabanın 40 m'lik bir mesafe boyunca 10 m/s'lik bir hız kazandığını varsayalım. Arabanın hareketinin doğrusal ve düzgün şekilde ivmelendiğini varsayalım. Arabanın hızlanmasını hesaplamadan, hızı şuna eşit olduğunda arabanın hareketin başlangıcından ne kadar uzağa gittiğini belirleyin: a) 20 m/s? b) 40 m/sn? c) 5 m/sn?

İlişki (9), yolun, hıza karşı zaman grafiğinin altında yer alan şeklin alanına sayısal olarak eşit olduğu hatırlanarak da elde edilebilir (Şekil 6.7).

Bu değerlendirme bir sonraki görevle kolayca başa çıkmanıza yardımcı olacaktır.

8. Şekil 6.8'i kullanarak fren yaparken şunu kanıtlayın: sabit hızlanma cisim tamamen durana kadar l t = v 0 2 /2a mesafesini kat eder; burada v 0 cismin başlangıç ​​hızı, a ise ivme modülüdür.

Frenleme durumunda araç(araba, tren) tamamen durana kadar kat edilen mesafeye fren mesafesi denir. Lütfen unutmayın: başlangıç ​​hızı v 0'daki fren mesafesi ve durma anından hızlanma sırasında v 0 hızına aynı a ivmesi ile kat edilen mesafe aynıdır.

9. Kuru asfaltta acil frenleme sırasında kabinin hızlanması mutlak değer olarak 5 m/s2'ye eşittir. Bir arabanın başlangıç ​​hızında fren mesafesi nedir: a) 60 km/saat (şehir içinde izin verilen maksimum hız); b) 120 km/saat? Hızlanma modülünün 2 m/s 2 olduğu buzlu koşullar sırasında belirtilen hızlarda frenleme mesafesini bulun. Bulduğunuz fren mesafelerini sınıfın uzunluğuyla karşılaştırın.

10. Şekil 6.9'u ve bir yamuğun alanını yüksekliği boyunca ve tabanların toplamının yarısını ifade eden formülü kullanarak, doğrusal, düzgün ivmeli hareket için şunu kanıtlayın:
a) l = (v 2 – v 0 2)/2a, cismin hızı artarsa;
b) l = (v 0 2 – v 2)/2a, eğer cismin hızı azalırsa.

11. Yer değiştirme, başlangıç ​​ve son hız ve ivme projeksiyonlarının aşağıdaki ilişkiyle ilişkili olduğunu kanıtlayın:

s x = (v x 2 – v 0x 2)/2ax (10)

12. Bir araba 200 m'lik bir yolda 10 m/s'den 30 m/s'ye hızlanıyor.
a) Araba ne kadar hızlı hareket ediyordu?
b) Arabanın belirtilen mesafeyi kat etmesi ne kadar zaman aldı?
c) Neye eşittir ortalama hız araba?

Ek sorular ve görevler

13. Son vagon hareket halindeki trenden ayrılır, bundan sonra tren düzgün bir şekilde hareket eder ve vagon tamamen durana kadar sabit ivmeyle hareket eder.
a) Bir tren ve vagon için hız-zaman grafiğini çizin.
b) Arabanın durağa kadar kat ettiği mesafe kaç kattır? daha az yol aynı anda trenle mi seyahat ettiniz?

14. İstasyondan ayrıldıktan sonra tren bir süre eşit şekilde hızlanarak gitti, ardından 1 dakika boyunca eşit şekilde 60 km/saat hızla gitti, ardından bir sonraki istasyonda durana kadar tekrar eşit şekilde hızlandı. Hızlanma ve frenleme sırasındaki hızlanma modülleri farklıydı. Tren istasyonlar arası mesafeyi 2 dakikada kat etti.
a) Trenin hızının zamanın bir fonksiyonu olarak izdüşümünün şematik bir grafiğini çizin.
b) Bu grafiği kullanarak istasyonlar arasındaki mesafeyi bulunuz.
c) Tren, güzergahın ilk kısmında hızlanıp ikinci kısmında yavaşlarsa ne kadar mesafe kat eder? Maksimum hızı ne olurdu?

15. Bir cisim x ekseni boyunca düzgün ivmeyle hareket ediyor. İlk anda koordinatların başlangıç ​​noktasındaydı ve hızının projeksiyonu 8 m/s'ye eşitti. 2 saniye sonra vücudun koordinatı 12 m oldu.
a) Cismin ivmesinin izdüşümü nedir?
b) v x (t) grafiğini çizin.
c) X(t) bağımlılığını SI birimlerinde ifade eden bir formül yazın.
d) Cismin hızı sıfır mı olacak? Evet ise, zamanın hangi noktasında?
e) Cisim ikinci kez koordinatı 12 m olan noktayı ziyaret edecek mi? Evet ise, zamanın hangi noktasında?
f) Vücut başlangıç ​​noktasına geri dönecek mi? Eğer öyleyse, zamanın hangi noktasında ve kat edilen mesafe ne kadar olacak?

16. İtmeden sonra top yuvarlanıyor eğik düzlem ardından başlangıç ​​noktasına geri döner. b kadar uzaklıkta başlangıç ​​noktası top, itmeden sonra t 1 ve t 2 aralıklarla iki kez ziyaret edildi. Top eğik düzlemde aynı ivmeyle yukarı aşağı hareket ediyordu.
a) X eksenini eğik düzlem boyunca yukarıya yönlendirin, noktada orijini seçin başlangıç ​​konumu Topu bulun ve topun başlangıç ​​hızı modülünü v0 ve topun ivme modülünü a içeren x(t) bağımlılığını ifade eden bir formül yazın.
b) Bu formülü kullanarak ve t 1 ve t 2 anlarında topun başlangıç ​​noktasından b kadar uzakta olduğu gerçeğini kullanarak, iki bilinmeyeni v 0 ve a olan iki denklemden oluşan bir sistem oluşturun.
c) Bu denklem sistemini çözdükten sonra v 0 ve a'yı b, t 1 ve t 2 cinsinden ifade edin.
d) Topun kat ettiği l yolunun tamamını b, t 1 ve t 2 cinsinden ifade edin.
e) Bul sayısal değerler v 0 , a ve l b = 30 cm'de, t 1 = 1 s, t 2 = 2 s.
f) v x (t), s x (t), l(t)'nin çizim grafikleri.
g) sx(t) grafiğini kullanarak topun yer değiştirme modülünün maksimum olduğu anı belirleyin.

Düzgün doğrusal hareket- Bu özel durum düzensiz hareket.

Düzensiz hareket- bu, bir vücudun (maddi noktanın) eşit zaman dilimlerinde eşit olmayan hareketler yaptığı bir harekettir. Örneğin, bir şehir içi otobüs, hareketi esas olarak hızlanma ve yavaşlamadan oluştuğu için dengesiz bir şekilde hareket eder.

Eşit derecede değişen hareket- bu, bir vücudun hızının (maddi nokta) herhangi bir eşit zaman diliminde eşit olarak değiştiği bir harekettir.

Düzgün hareket sırasında bir cismin ivmelenmesi büyüklük ve yön bakımından sabit kalır (a = sabit).

Düzgün hareket eşit şekilde hızlandırılabilir veya eşit şekilde yavaşlayabilir.

Düzgün hızlandırılmış hareket- bu, bir cismin (maddi noktanın) pozitif ivmeli hareketidir, yani böyle bir hareketle vücut sabit ivmeyle hızlanır. Düzgün ivmeli hareket durumunda cismin hız modülü zamanla artar, ivmenin yönü hareket hızının yönü ile çakışır.

Eşit yavaş çekim bir cismin (maddi nokta) hareketidir negatif ivme yani böyle bir hareketle vücut eşit şekilde yavaşlar. Düzgün yavaş çekimde hız ve ivme vektörleri zıttır ve hız modülü zamanla azalır.

Mekanikte, herhangi bir doğrusal hareket hızlandırılır, bu nedenle yavaş hareket, hızlandırılmış hareketten yalnızca hızlanma vektörünün koordinat sisteminin seçilen eksenine izdüşümünün işaretinde farklılık gösterir.

Ortalama hız değişken hareket Vücudun hareketinin, bu hareketin yapıldığı zamana bölünmesiyle belirlenir. Ortalama hızın birimi m/s'dir.

V cp = a/t

vücudun hızıdır (maddi nokta) şu anda zaman veya yörüngenin belirli bir noktasında, yani ortalama hızın Δt zaman aralığında sonsuz bir azalmayla yöneldiği sınır:

Vektör anlık hız Düzgün alternatif hareket, yer değiştirme vektörünün zamana göre birinci türevi olarak bulunabilir:

Hız vektör projeksiyonu OX ekseninde:

V x = x'

bu, koordinatın zamana göre türevidir (hız vektörünün diğer koordinat eksenlerine izdüşümleri benzer şekilde elde edilir).

bir cismin hızındaki değişim oranını, yani Δt zaman periyodunda sonsuz bir azalmayla hızdaki değişimin yöneldiği sınırı belirleyen bir niceliktir:

Düzgün değişen hareketin hızlanma vektörü hız vektörünün zamana göre birinci türevi veya yer değiştirme vektörünün zamana göre ikinci türevi olarak bulunabilir:

Bir cisim OX ekseni boyunca doğrusal olarak hareket ediyorsa Kartezyen sistem koordinatlar vücudun yörüngesiyle aynı yönde çakışıyorsa, hız vektörünün bu eksene izdüşümü aşağıdaki formülle belirlenir:

V x = v 0x ± a x t

İvme vektörünün izdüşümünün önündeki “-” (eksi) işareti düzgün yavaş hareketi ifade eder. Hız vektörünün diğer koordinat eksenlerine izdüşümü için denklemler benzer şekilde yazılmıştır.

Düzgün harekette ivme sabit olduğundan (a = sabit), ivme grafiği 0t eksenine (zaman ekseni, Şekil 1.15) paralel bir düz çizgidir.

Pirinç. 1.15. Vücut ivmesinin zamana bağımlılığı.

Hızın zamana bağımlılığı- Bu doğrusal fonksiyon grafiği düz bir çizgidir (Şekil 1.16).

Pirinç. 1.16. Vücut hızının zamana bağımlılığı.

Hız-zaman grafiği(Şekil 1.16) şunu göstermektedir:

Bu durumda yer değiştirme sayısal olarak 0abc şeklinin alanına eşittir (Şekil 1.16).

Bir yamuğun alanı, taban uzunlukları ile yüksekliğinin toplamının yarısına eşittir. 0abc yamuğunun tabanları sayısal olarak eşittir:

0a = v 0 bc = v

Yamuğun yüksekliği t'dir. Böylece, yamuğun alanı ve dolayısıyla yer değiştirmenin OX eksenine izdüşümü şuna eşittir:

Düzgün yavaş hareket durumunda, ivme projeksiyonu negatiftir ve yer değiştirme projeksiyonu formülünde ivmenin önüne bir “-” (eksi) işareti konur.

Çeşitli ivmelerde bir cismin hızına karşı zamana karşı grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.17. v0 = 0 için yer değiştirme-zaman grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.18.

Pirinç. 1.17. Vücut hızının zamana bağımlılığı farklı anlamlar hızlanma.

Pirinç. 1.18. Vücut hareketinin zamana bağımlılığı.

Belirli bir t 1 zamanında vücudun hızı, grafiğe teğet ile zaman ekseni v = tg α arasındaki eğim açısının tanjantına eşittir ve yer değiştirme aşağıdaki formülle belirlenir:

Vücudun hareket zamanı bilinmiyorsa, iki denklemden oluşan bir sistemi çözerek başka bir yer değiştirme formülü kullanabilirsiniz:

Yer değiştirme projeksiyonunun formülünü elde etmemize yardımcı olacaktır:

Vücudun herhangi bir andaki koordinatı, başlangıç ​​koordinatı ve yer değiştirme projeksiyonunun toplamı ile belirlendiğinden, şöyle görünecektir:

x(t) koordinatının grafiği de bir paraboldür (yer değiştirme grafiği gibi), ancak parabolün tepe noktası genel durum kökeniyle örtüşmüyor. ne zaman bir x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).