Talimatlar

Yerine Koyma Yöntemi Bir değişkeni ifade edin ve onu başka bir denklemde değiştirin. Herhangi bir değişkeni kendi takdirinize bağlı olarak ifade edebilirsiniz. Örneğin, ikinci denklemden y'yi ifade edin:
x-y=2 => y=x-2Sonra her şeyi ilk denklemde yerine koyun:
2x+(x-2)=10 "x" olmayan her şeyi şuraya taşı: Sağ Taraf ve hesaplayın:
2x+x=10+2
3x=12 Daha sonra x'i elde etmek için denklemin her iki tarafını da 3'e bölün:
x=4 Yani “x”i buldunuz. "Y"yi bulun. Bunu yapmak için, "y"yi ifade ettiğiniz denklemde "x"i değiştirin:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Bir kontrol yapın. Bunu yapmak için ortaya çıkan değerleri denklemlerde değiştirin:
2*4+2=10
4-2=2
Bilinmeyenler doğru şekilde bulundu!

Denklemleri toplamanın veya çıkarmanın bir yolu Herhangi bir değişkenden hemen kurtulun. Bizim durumumuzda bunu “y” ile yapmak daha kolaydır.
"Y"de "+" işareti ve ikincisinde "-" olduğundan, toplama işlemini gerçekleştirebilirsiniz, yani. Sol Taraf soldakine ve sağdakini sağdakine ekleyin:
2x+y+(x-y)=10+2Dönüştür:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4“x”i herhangi bir denklemde yerine koyun ve “y”yi bulun:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=21. yöntemle doğru bulunduklarını görebilirsiniz.

Açıkça tanımlanmış değişkenler yoksa denklemleri biraz dönüştürmek gerekir.
İlk denklemde "2x", ikincisinde ise sadece "x" var. Toplama sırasında x'in azalması için ikinci denklemi 2 ile çarpın:
x-y=2
2x-2y=4Daha sonra ikinciyi birinci denklemden çıkarın:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Parantezden önce bir eksi varsa, açtıktan sonra bunu tersiyle değiştirin:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
herhangi bir denklemden ifade ederek y=2x'i bulun;
x=4

Konuyla ilgili video

İpucu 2: İki değişkenli bir doğrusal denklem nasıl çözülür?

Denklem ax+bу+c=0 genel formuyla yazılan denkleme iki denklemli doğrusal denklem denir. değişkenler. Bu denklemin kendisi şunları içerir: sonsuz kümeçözümler, bu nedenle problemlerde her zaman bir şeyle desteklenir - başka bir denklem veya sınırlayıcı koşullar. Problemin sağladığı koşullara bağlı olarak iki denklemli bir doğrusal denklemi çözün. değişkenler meli Farklı yollar.

İhtiyacın olacak

- iki değişkenli doğrusal denklem;
- ikinci denklem veya ek koşullar.

Talimatlar

İkili bir sistem verilirse doğrusal denklemler, aşağıdaki gibi çözün. Katsayıların olduğu denklemlerden birini seçin değişkenler daha küçüktür ve değişkenlerden birini ifade eder, örneğin x. Daha sonra y'yi içeren bu değeri ikinci denklemde yerine koyun. Ortaya çıkan denklemde yalnızca bir y değişkeni olacak, y olan tüm parçaları sola, serbest olanları sağa taşıyın. Y'yi bulun ve x'i bulmak için orijinal denklemlerden herhangi birinin yerine koyun.

İki denklemli bir sistemi çözmenin başka bir yolu var. Denklemlerden birini bir sayıyla çarpın, böylece x gibi değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olur. Daha sonra denklemlerden birini diğerinden çıkarın (eğer sağ taraf 0 değilse, sağ tarafları da aynı şekilde çıkarmayı unutmayın). X değişkeninin ortadan kaybolduğunu ve yalnızca bir y değişkeninin kaldığını göreceksiniz. Ortaya çıkan denklemi çözün ve y'nin bulunan değerini orijinal eşitliklerden herhangi birinin yerine koyun. x'i bulun.

İki doğrusal denklem sistemini çözmenin üçüncü yolu grafikseldir. Bir koordinat sistemi çiziniz ve denklemleri sisteminizde verilen iki doğrunun grafiğini çiziniz. Bunu yapmak için, herhangi iki x değerini denklemde değiştirin ve karşılık gelen y'yi bulun - bunlar, çizgiye ait noktaların koordinatları olacaktır. Koordinat eksenleriyle kesişimi bulmanın en uygun yolu, x=0 ve y=0 değerlerini değiştirmektir. Bu iki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları görevler olacaktır.

Sorun koşullarında yalnızca bir doğrusal denklem varsa, o zaman size çözüm bulabileceğiniz ek koşullar verilmiştir. Bu koşulları bulmak için sorunu dikkatlice okuyun. Eğer değişkenler x ve y mesafeyi, hızı ve ağırlığı belirtir; x≥0 ve y≥0 sınırını ayarlamaktan çekinmeyin. X veya y'nin elma sayısını vb. gizlemesi oldukça olasıdır. – o zaman değerler yalnızca olabilir. Eğer x oğlunun yaşı ise babasından büyük olamayacağı açıktır, dolayısıyla bunu problemin koşullarında belirtin.

Kaynaklar:

tek değişkenli denklem nasıl çözülür

Kendi kendine denklemüç ile Bilinmeyen birçok çözümü vardır, bu nedenle çoğu zaman iki denklem veya koşulla desteklenir. İlk verilerin ne olduğuna bağlı olarak kararın gidişatı büyük ölçüde bağlı olacaktır.

İhtiyacın olacak

- üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem.

Talimatlar

Üç sistemden ikisinde üç bilinmeyenden yalnızca ikisi varsa, bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmeye çalışın ve bunları yerine koyun. denklemüç ile Bilinmeyen. Bu durumda amacınız durumu normale dönüştürmektir. denklem bilinmeyen bir kişiyle. Eğer öyleyse, sonraki çözüm oldukça basittir; bulunan değeri diğer denklemlerde yerine koyun ve diğer tüm bilinmeyenleri bulun.

Bazı denklem sistemleri bir denklemden diğerine çıkarılabilir. İki bilinmeyenin aynı anda iptal edilmesi için bir değişkeni veya bir değişkeni çarpmanın mümkün olup olmadığına bakın. Böyle bir fırsat varsa, bundan yararlanın; büyük olasılıkla sonraki çözüm zor olmayacaktır. Bir sayıyla çarparken hem sol hem de sağ tarafı çarpmanız gerektiğini unutmayın. Aynı şekilde denklemlerde çıkarma işlemi yaparken sağ tarafın da çıkarılması gerektiğini unutmamalısınız.

Önceki yöntemler yardımcı olmadıysa, şunu kullanın: genel anlamdaÜçlü herhangi bir denklemin çözümleri Bilinmeyen. Bunu yapmak için denklemleri a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 biçiminde yeniden yazın. Şimdi x için bir katsayılar matrisi (A), bilinmeyenler matrisi (X) ve serbest değişkenler matrisi (B) oluşturun. Katsayılar matrisini bilinmeyenler matrisiyle çarptığınızda serbest terimler matrisi elde edeceğinizi, yani A*X=B'yi elde edeceğinizi lütfen unutmayın.

İlk önce A matrisinin (-1) üssünü bulun, olmaması gerektiğine dikkat edin sıfıra eşit. Bundan sonra, ortaya çıkan matrisi B matrisiyle çarpın, sonuç olarak tüm değerleri gösteren istenen X matrisini alacaksınız.

Cramer yöntemini kullanarak üç denklemli bir sistemin çözümünü de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için sistem matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinantı ∆ bulun. Daha sonra karşılık gelen sütunların değerleri yerine serbest terimlerin değerlerini değiştirerek art arda üç determinant daha bulun: ∆1, ∆2 ve ∆3. Şimdi x'i bulun: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Kaynaklar:

üç bilinmeyenli denklemlerin çözümleri

Bir denklem sistemini çözmek zorlu ve heyecan vericidir. Nasıl daha karmaşık sistem, onu çözmek o kadar ilginç olur. Çoğu zaman matematikte lise iki bilinmeyenli denklem sistemleri vardır, ancak yüksek Matematik daha fazla değişken olabilir. Sistemler çeşitli yöntemler kullanılarak çözülebilir.

Talimatlar

Bir denklem sistemini çözmenin en yaygın yöntemi ikamedir. Bunu yapmak için bir değişkeni diğerine göre ifade etmeniz ve onu ikincinin yerine koymanız gerekir. denklem sistemler, dolayısıyla lider denklem bir değişkene. Örneğin şu denklemler verilmiştir: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

İkinci ifadeden, değişkenlerden birini ifade etmek, diğer her şeyi ifadenin sağ tarafına taşımak, katsayının işaretini değiştirmeyi unutmamak uygundur: x = 3-y.

Parantezleri açın: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Ortaya çıkan y değerini şu ifadeye koyarız: x=3-y;x=3-1;x=2. .

İlk ifadede tüm terimler 2'dir, parantezlerin dışına 2 koyabilirsiniz dağılma özelliğiçarpma: 2*(2x-y-3)=0. Artık ifadenin her iki kısmı da bu sayı kadar azaltılabilir ve modül katsayısı bire eşit olduğundan y olarak ifade edilebilir: -y = 3-2x veya y = 2x-3.

İlk durumda olduğu gibi yerine koyarız. bu ifade saniyede denklem ve şunu elde ederiz: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Ortaya çıkan değeri ifadede değiştirin: y=2x -3;y=4-3=1.

Y'nin katsayısının değer olarak aynı, işaret olarak farklı olduğunu görüyoruz, dolayısıyla bu denklemleri toplarsak y'den tamamen kurtulacağız: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2. x'in değerini sistemin iki denkleminden herhangi birinde yerine koyarsak y=1 elde ederiz.

Konuyla ilgili video

Biquadratic denklem temsil etmek denklem dördüncü derece, genel formu ax^4 + bx^2 + c = 0 ifadesiyle temsil edilir. Çözümü, bilinmeyenlerin ikamesi yönteminin kullanımına dayanmaktadır. İÇİNDE bu durumda x^2'nin yerini başka bir değişken alır. Böylece sonuç sıradan bir karedir denklemçözülmesi gereken bir konu.

Talimatlar

İkinci dereceden denklemi çöz denklem değiştirilmesinden kaynaklanmaktadır. Bunu yapmak için önce değeri şu formüle göre hesaplayın: D = b^2? 4ac. Bu durumda a, b, c değişkenleri denklemimizin katsayılarıdır.

Bi'nin köklerini bulun ikinci dereceden denklem. Bunu yapmak için elde edilen çözümlerin karekökünü alın. Bir çözüm varsa, o zaman iki tane olacaktır - olumlu ve olumsuz anlam kare kök. İki çözüm olsaydı iki ikinci dereceden denklem dört kök olacak.

Konuyla ilgili video

Biri klasik yöntemler Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü Gauss yöntemidir. İçinde yatıyor tutarlı dışlama Bir denklem sistemi kullanıldığında değişkenler basit dönüşümler son değişkenlerden başlayarak tüm değişkenlerin sırayla bulunduğu adım adım bir sisteme dönüştürülür.

Talimatlar

Öncelikle denklem sistemini tüm bilinmeyenlerin kesin olarak ifade edildiği bir forma getirin. belli bir sırayla. Örneğin, tüm bilinmeyen X'ler her satırda ilk önce görünecek, tüm Y'ler X'lerden sonra gelecek, tüm Z'ler Y'lerden sonra gelecek, vb. Her denklemin sağ tarafında bilinmeyen olmamalıdır. Her bilinmeyenin önündeki katsayıları ve her denklemin sağ tarafındaki katsayıları zihinsel olarak belirleyin.

Hedefler:

Konuyla ilgili bilgi ve becerileri sistematikleştirin ve genelleştirin: Üçüncü ve dördüncü derece denklemlerin çözümleri.
Bazıları tür veya çözüm yöntemi açısından yabancı olan bir dizi görevi tamamlayarak bilginizi derinleştirin.
Matematiğin yeni bölümlerini inceleyerek matematiğe ilgi oluşturmak, denklem grafikleri oluşturarak grafik kültürünü beslemek.

Ders türü: birleştirilmiş.

Teçhizat: grafik projektörü.

Görünürlük: tablo "Viete Teoremi".

Dersler sırasında

1. Sözlü sayma

a) p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 polinomunun binom x-a'ya bölümünden kalan nedir?

b) Kübik bir denklemin kaç kökü olabilir?

c) Üçüncü ve dördüncü dereceden denklemleri nasıl çözeriz?

d) Eğer b çift sayı ikinci dereceden bir denklemde D ve x x 2'ye eşit olan;

2. Bağımsız iş(Gruplarda)

Kökleri biliniyorsa bir denklem yazın (görevlerin cevapları kodlanmıştır) “Vieta Teoremi” kullanılır

1 grup

Kökler: x 1 = 1; x2 = -2; x3 = -3; x 4 = 6

Bir denklem oluşturun:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

e=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(bu denklem daha sonra tahtadaki grup 2 tarafından çözülür)

Çözüm . 36 sayısının bölenleri arasında tam kökler arıyoruz.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 1 sayısı denklemi sağladığından =1 denklemin köküdür. Horner'ın planına göre

p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36

p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2

p 2 (x) = x 2 -3x -18=0

x 3 =-3, x 4 =6

Cevap: 1;-2;-3;6 köklerin toplamı 2 (P)

2. grup

Kökler: x 1 = -1; x2 = x3 =2; x 4 =5

Bir denklem oluşturun:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8+15+4x-20=0 (3. grup bu denklemi tahtada çözer)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

s.4(1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20

p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x2 =5

Cevap: -1;2;2;5 köklerinin toplamı 8(P)

3 grup

Kökler: x 1 = -1; x2 =1; x3 = -2; x 4 =3

Bir denklem oluşturun:

В=-1+1-2+3=1;В=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x2 + x + 6 = 0(4. grup bu denklemi daha sonra tahtada çözer)

Çözüm. 6 sayısının bölenleri arasında tam kökler arıyoruz.

р = ±1;±2;±3;±6

p 4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x1 = -2; x 2 =3

Cevap: -1;1;-2;3 Köklerin toplamı 1(O)

4 grup

Kökler: x 1 = -2; x2 = -2; x3 = -3; x4 = -3

Bir denklem oluşturun:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36

x 4 +4x3 – 5x2 – 36x -36 = 0(bu denklem daha sonra tahtadaki 5. grup tarafından çözülür)

Çözüm. -36 sayısının bölenleri arasında tam kökleri arıyoruz

р = ±1;±2;±3…

p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0

p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

p2(x) = x2-9 = 0; x=±3

Cevap: -2; -2; -3; 3 Köklerin toplamı-4 (F)

5 grup

Kökler: x 1 = -1; x2 = -2; x3 = -3; x4 = -4

Bir denklem yazın

x 4+ 10x3 + 35x2 + 50x + 24 = 0(bu denklem daha sonra tahtadaki 6. grup tarafından çözülür)

Çözüm . 24 sayısının bölenleri arasında tam kökler arıyoruz.

р = ±1;±2;±3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O

p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Cevap: -1;-2;-3;-4 toplam-10 (I)

6 grup

Kökler: x 1 = 1; x2 = 1; x3 = -3; x 4 = 8

Bir denklem yazın

B=1+1-3+8=7;b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

x 4 - 7x 3- 13x2 + 43X - 24 = 0 (bu denklem daha sonra tahtadaki grup 1 tarafından çözülür)

Çözüm . -24 sayısının bölenleri arasında tam kökleri arıyoruz.

s.4(1)=1-7-13+43-24=0

p 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0

x 3 =-3, x 4 =8

Cevap: 1;1;-3;8 toplam 7 (L)

3. Denklemleri parametreyle çözme

1. x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0 denklemini çözün; köklerden biri (-1)'e eşitse

Cevabı artan sırada yazın

R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

x 1 = - 1 koşuluna göre; D=1+15=16

P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0

x2 = -1-4 = -5;

x3 = -1 + 4 = 3;

Cevap: - 1; 3

Artan sırada: -5;-1;3. (b N S)

2. Eğer x-1 ve x +2 binomlarına bölünmesinden kalanlar eşitse, x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 polinomunun tüm köklerini bulun.

Çözüm: R=P 3 (1) = P 3 (-2)

P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a

P3(-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a

x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3)(x 2 -6) = 0

3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x2 =0; x 4 =0

a=0; x=0; x=1

a>0; x=1; x=a ± √a

2. Bir denklem yazın

1 grup. Kökler: -4; -2; 1; 7;

2. grup. Kökler: -3; -2; 1; 2;

3 grup. Kökler: -1; 2; 6; 10;

4 grup. Kökler: -3; 2; 2; 5;

5 grup. Kökler: -5; -2; 2; 4;

6 grup. Kökler: -8; -2; 6; 7.

İkinci dereceden denklemler.

İkinci dereceden denklem- cebirsel denklem Genel görünüm

burada x serbest bir değişkendir,

a, b, c katsayılardır ve

İfade kare trinomial denir.

İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri.

1. YÖNTEM : Denklemin sol tarafının çarpanlara ayrılması.

Denklemi çözelim x 2 + 10x - 24 = 0. Sol tarafı çarpanlarına ayıralım:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Bu nedenle denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

(x + 12)(x - 2) = 0

Çarpım sıfır olduğundan faktörlerinden en az biri sıfırdır. Bu nedenle denklemin sol tarafı sıfır olur. x = 2 ve ayrıca ne zaman x = - 12. Bu şu anlama gelir: sayı 2 Ve - 12 denklemin kökleri x 2 + 10x - 24 = 0.

2. YÖNTEM : Tam bir kare seçme yöntemi.

Denklemi çözelim x 2 + 6x - 7 = 0. Sol taraftan seçin mükemmel kare.

Bunu yapmak için x 2 + 6x ifadesini aşağıdaki biçimde yazıyoruz:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Ortaya çıkan ifadede, ilk terim x sayısının karesi, ikincisi ise x'in 3'ün iki katı çarpımıdır. Bu nedenle tam bir kare elde etmek için 3 2 eklemeniz gerekir, çünkü

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Şimdi denklemin sol tarafını dönüştürelim

x 2 + 6x - 7 = 0,

buna ekleme ve çıkarma 3 2. Sahibiz:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Böylece bu denklem şu şekilde yazılabilir:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Buradan, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 veya x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. YÖNTEM :Formülü kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme.

Denklemin her iki tarafını da çarpalım

balta 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

4a'da ve sırayla elimizde:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Örnekler.

A) Denklemi çözelim: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, iki farklı kök;

Dolayısıyla, pozitif ayrımcılık durumunda, ör. en

b 2 - 4ac >0, denklem balta 2 + bx + c = 0 iki farklı kökü vardır.

B) Denklemi çözelim: 4x2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, bir kök;

Yani eğer diskriminant sıfırsa, yani. b 2 - 4ac = 0, o zaman denklem

balta 2 + bx + c = 0 tek bir kökü var

V) Denklemi çözelim: 2x2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Bu denklem kökleri yoktur.

Yani eğer diskriminant negatifse, yani. b 2 - 4ac< 0 , denklem

balta 2 + bx + c = 0 kökleri yoktur.

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin formülü (1) balta 2 + bx + c = 0 kökleri bulmanızı sağlar herhangi indirgenmiş ve eksik dahil ikinci dereceden denklem (varsa). Formül (1) sözlü olarak şu şekilde ifade edilir: İkinci dereceden bir denklemin kökleri, payı, buradan alınan ikinci katsayıya eşit olan bir kesire eşittir. zıt işaret artı eksi bu katsayının karesinin karekökü, birinci katsayının çarpımını dört katına çıkarmadan Ücretsiz Üye ve payda birinci katsayının iki katıdır.

4. YÖNTEM: Vieta teoremini kullanarak denklemleri çözme.

Bilindiği gibi indirgenmiş ikinci dereceden denklem şu şekildedir:

x 2 + piksel + c = 0.(1)

Kökleri Vieta teoremini karşılıyor; bir =1 benziyor

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Buradan şunları yapabilirsiniz aşağıdaki sonuçlar(köklerin işaretleri p ve q katsayılarından tahmin edilebilir).

a) Yarı üye ise Q verilen denklem (1) pozitiftir ( q > 0), bu durumda denklemin eşit işaretli iki kökü vardır ve bu ikinci katsayıya bağlıdır P. Eğer R< 0 ise her iki kök de negatiftir R< 0 ise her iki kök de pozitiftir.

Örneğin,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 Ve x2 = 1,Çünkü q = 2 > 0 Ve p = - 3< 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 Ve x 2 = - 1,Çünkü q = 7 > 0 Ve p= 8 > 0.

b) Serbest üye ise Q verilen denklem (1) negatiftir ( Q< 0 ), bu durumda denklemin farklı işaretli iki kökü vardır ve büyük kök pozitif olacaktır: P< 0 veya negatif ise p > 0 .

Örneğin,

x2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 Ve x2 = 1,Çünkü q= - 5< 0 Ve p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 Ve x 2 = - 1,Çünkü q = - 9< 0 Ve p = - 8< 0.

Örnekler.

1) Denklemi çözelim 345x2 – 137x –208 = 0.

Çözüm.Çünkü a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), O

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Cevap 1; -208/345.

2) Denklemi çözün 132x2 – 247x + 115 = 0.

Çözüm.Çünkü a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), O

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Cevap 1; 115/132.

B. İkinci katsayı ise b = 2kçift sayı ise kök formül

Örnek.

Denklemi çözelim 3x2 - 14x + 16 = 0.

Çözüm. Sahibiz: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, iki farklı kök;

Cevap: 2; 8/3

İÇİNDE. İndirgenmiş denklem

x 2 + piksel + q= 0

genel bir denklemle örtüşür; bir = 1, b = p Ve c = q. Bu nedenle, indirgenmiş ikinci dereceden denklem için kök formül şu şekildedir:

Şekli alır:

Formül (3)'ün kullanımı özellikle aşağıdaki durumlarda uygundur: R- çift sayı.

Örnek. Denklemi çözelim x 2 – 14x – 15 = 0.

Çözüm. Sahibiz: x 1,2 =7±

Cevap: x 1 = 15; x2 = -1.

5. YÖNTEM: Denklemlerin grafiksel çözümü.

Örnek. x2 - 2x - 3 = 0 denklemini çözün.

y = x2 - 2x - 3 fonksiyonunun grafiğini çizelim

1) Elimizde: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. Bu, parabolün tepe noktasının (1; -4) noktası olduğu ve parabolün ekseninin x = 1 düz çizgisi olduğu anlamına gelir.

2) X ekseni üzerinde parabolün eksenine göre simetrik olan iki noktayı alın, örneğin x = -1 ve x = 3 noktaları.

Elimizde f(-1) = f(3) = 0 var. Hadi bunu temel alalım koordinat uçağı puan (-1; 0) ve (3; 0).

3) (-1; 0), (1; -4), (3; 0) noktalarından bir parabol çiziyoruz (Şekil 68).

x2 - 2x - 3 = 0 denkleminin kökleri, parabolün x ekseni ile kesişme noktalarının apsisleridir; Bu, denklemin köklerinin şöyle olduğu anlamına gelir: x1 = - 1, x2 - 3.

Denklemleri ve eşitsizlikleri modülle çözmeçoğu zaman zorluklara neden olur. Ancak ne olduğunu iyi anlarsanız bir sayının mutlak değeri, Ve modül işareti içeren ifadelerin doğru şekilde nasıl genişletileceği, o zaman denklemdeki varlık modül işareti altındaki ifadeçözümüne engel olmaktan çıkıyor.

Küçük bir teori. Her sayının iki özelliği vardır: mutlak değer numarası ve işareti.

Örneğin, +5 veya kısaca 5 sayısının "+" işareti vardır ve mutlak değeri 5'tir.

-5 sayısının "-" işareti vardır ve mutlak değeri 5'tir.

5 ve -5 sayılarının mutlak değerleri 5'tir.

Bir x sayısının mutlak değerine sayının modülü denir ve |x| ile gösterilir.

Görüldüğü gibi bir sayının modülü, eğer bu sayı sıfırdan büyük veya sıfıra eşitse o sayının kendisine, eğer bu sayı negatifse zıt işaretli bu sayıya eşittir.

Aynı durum modül işaretinin altında görünen tüm ifadeler için de geçerlidir.

Modül genişletme kuralı şuna benzer:

|f(x)|= f(x) eğer f(x) ≥ 0 ise ve

|f(x)|= - f(x), eğer f(x)< 0

Örneğin |x-3|=x-3, eğer x-3≥0 ve |x-3|=-(x-3)=3-x, eğer x-3 ise<0.

Modül işareti altında bir ifade içeren bir denklemi çözmek için önce şunları yapmalısınız: bir modülü modül genişletme kuralına göre genişletin.

O zaman denklemimiz veya eşitsizliğimiz olur iki farklı sayısal aralıkta bulunan iki farklı denkleme dönüştürülür.

Modül işareti altındaki ifadenin negatif olmadığı sayısal bir aralıkta bir denklem mevcuttur.

İkinci denklem ise modül işareti altındaki ifadenin negatif olduğu aralıkta mevcuttur.

Basit bir örneğe bakalım.

Denklemi çözelim:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Modülü açalım.

|x-3|=x-3, eğer x-3≥0 ise, yani. eğer x≥3 ise

|x-3|=-(x-3)=3-x eğer x-3 ise<0, т.е. если х<3

2. İki sayısal aralık aldık: x≥3 ve x<3.

Orijinal denklemin her aralıkta hangi denklemlere dönüştürüldüğünü düşünelim:

A) x≥3 |x-3|=x-3 için, yaramız şu şekildedir:

Dikkat! Bu denklem yalnızca x≥3 aralığında mevcuttur!

Parantezleri açalım ve benzer terimleri sunalım:

ve bu denklemi çözelim.

Bu denklemin kökleri vardır:

x 1 =0, x 2 =3

Dikkat! x-3=-x 2 +4x-3 denklemi yalnızca x≥3 aralığında mevcut olduğundan, yalnızca bu aralığa ait köklerle ilgileniyoruz. Bu koşul yalnızca x 2 =3 ile sağlanır.

B) x'te<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Dikkat! Bu denklem yalnızca x aralığında mevcuttur<3!

Parantezleri açıp benzer terimleri sunalım. Denklemi elde ederiz:

x 1 =2, x 2 =3

Dikkat! 3-x=-x 2 +4x-3 denklemi yalnızca x aralığında mevcut olduğundan<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Yani, ilk aralıktan yalnızca x=3 kökünü, ikinci aralıktan ise x=2 kökünü alıyoruz.

Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Ne oldu üstel denklem? Bu, bilinmeyenlerin (x'ler) ve onlarla ifadelerin yer aldığı bir denklemdir. göstergeler bazı dereceler. Ve sadece orada! Bu önemli.

İşte buradasın üstel denklem örnekleri:

3 x 2 x = 8 x+3

Not! Derece bazında (aşağıda) - Sadece sayılar. İÇİNDE göstergeler derece (yukarıda) - X'li çok çeşitli ifadeler. Aniden denklemde gösterge dışında bir yerde bir X belirirse, örneğin:

bu zaten karma tipte bir denklem olacak. Bu tür denklemlerin çözümü için açık kurallar yoktur. Şimdilik bunları dikkate almayacağız. Burada ilgileneceğiz üstel denklemleri çözme en saf haliyle.

Aslında saf üstel denklemler bile her zaman net bir şekilde çözülmeyebilir. Ancak çözülebilecek ve çözülmesi gereken belirli türde üstel denklemler vardır. Bunlar ele alacağımız türler.

Basit üstel denklemlerin çözümü.

Öncelikle çok basit bir şeyi çözelim. Örneğin:

Herhangi bir teori olmadan bile basit seçimle x = 2 olduğu açıktır. Başka bir şey yok, değil mi? X'in başka hiçbir değeri işe yaramaz. Şimdi bu zorlu üstel denklemin çözümüne bakalım:

Ne yaptık? Aslında biz aynı üsleri (üçlüleri) attık. Tamamen dışarı atıldı. Ve iyi haber şu ki, çiviyi kafamıza vurduk!

Aslında üstel bir denklemde sol ve sağ varsa aynısı Herhangi bir kuvvetteki sayılar, bu sayılar kaldırılabilir ve üsler eşitlenebilir. Matematik izin verir. Geriye çok daha basit bir denklemi çözmek kalıyor. Harika, değil mi?)

Ancak şunu kesin olarak hatırlayalım: Bazları ancak soldaki ve sağdaki baz sayıları muhteşem bir izolasyonda olduğunda kaldırabilirsiniz! Herhangi bir komşu ve katsayı olmadan. Denklemlerde şunu söyleyelim:

2 x +2 x+1 = 2 3 veya

ikili kaldırılamaz!

En önemli konuda ustalaştık. Kötü üstel ifadelerden daha basit denklemlere nasıl geçilir?

"Bu zamanlar!" - diyorsun. “Testler ve sınavlarla ilgili bu kadar ilkel bir dersi kim verir ki!?”

Katılıyorum. Kimse vermeyecek. Ancak artık zorlu örnekleri çözerken nereye nişan almanız gerektiğini biliyorsunuz. Sağda ve solda aynı taban numarasının olacağı forma getirilmesi gerekmektedir. O zaman her şey daha kolay olacak. Aslında bu bir matematik klasiğidir. Orjinal örneği alıp istenilen şekle dönüştürüyoruz biz akıl. Elbette matematik kurallarına göre.

En basitine indirgemek için biraz daha çaba gerektiren örneklere bakalım. Hadi onları arayalım basit üstel denklemler.

Basit üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Üstel denklemleri çözerken ana kurallar şunlardır: dereceleri olan eylemler. Bu eylemlerin bilgisi olmadan hiçbir şey işe yaramaz.

Dereceli eylemlere kişisel gözlem ve yaratıcılık eklenmelidir. Aynı taban sayılarına mı ihtiyacımız var? Bu yüzden bunları örnekte açık veya şifreli biçimde arıyoruz.

Bakalım bu pratikte nasıl yapılıyor?

Bir örnek verelim:

2 2x - 8x+1 = 0

İlk keskin bakış gerekçesiyle. Onlar... Onlar farklı! İki ve sekiz. Ama cesaretinizi kırmak için henüz çok erken. Bunu hatırlamanın zamanı geldi

İki ile sekiz derece bakımından akrabadır.) Şöyle yazmak pekala mümkündür:

8 x+1 = (2 3) x+1

Formülü dereceli işlemlerden hatırlarsak:

(bir n) m = bir nm,

bu harika sonuç veriyor:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Orijinal örnek şöyle görünmeye başladı:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer ediyoruz 2 3 (x+1) sağda (hiç kimse matematiğin temel işlemlerini iptal etmedi!), şunu elde ederiz:

2 2x = 2 3(x+1)

Neredeyse hepsi bu. Bazların çıkarılması:

Bu canavarı çözeriz ve alırız

Bu doğru cevap.

Bu örnekte ikinin kuvvetlerini bilmek bize yardımcı oldu. Biz tanımlanmış sekizde şifrelenmiş iki tane var. Bu teknik (ortak tabanları farklı sayılar altında kodlamak) üstel denklemlerde çok popüler bir tekniktir! Evet, logaritmalarda da. Sayılardaki diğer sayıların kuvvetlerini tanıyabilmeniz gerekir. Üstel denklemlerin çözümü için bu son derece önemlidir.

Gerçek şu ki, herhangi bir sayıyı herhangi bir kuvvete yükseltmek sorun değil. Kağıt üzerinde bile çarpın, hepsi bu. Örneğin herkes 3'ün beşinci kuvvetine ulaşabilir. Çarpım tablosunu biliyorsanız 243 işe yarayacaktır.) Ancak üstel denklemlerde çoğu zaman bir kuvvete ulaşmak gerekli değildir, tam tersi... Öğrenin hangi sayı ne dereceye kadar 243 veya 343 sayısının arkasında gizlidir... Burada hiçbir hesap makinesi size yardımcı olamaz.

Bazı sayıların kuvvetlerini görerek bilmeniz gerekir değil mi... Hadi pratik yapalım mı?

Sayıların hangi güçlere ve hangi sayılara sahip olduğunu belirleyin:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Cevaplar (elbette bir karmaşa içinde!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Yakından bakarsanız garip bir gerçeği görebilirsiniz. Görevlerden çok daha fazla cevap var! Öyle olur... Örneğin, 2 6, 4 3, 8 2 - hepsi 64.

Sayılarla ilgili bilgileri not aldığınızı varsayalım.) Üstel denklemleri çözmek için kullandığımızı da hatırlatayım. Tümü Matematiksel bilgi stoku. Orta ve alt sınıftan olanlar da dahil. Doğrudan liseye gitmedin, değil mi?)

Örneğin, üstel denklemleri çözerken, ortak çarpanı parantez dışında bırakmak çoğu zaman yardımcı olur (7. sınıfa merhaba!). Bir örneğe bakalım:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ve yine ilk bakış temellerde! Derecelerin esasları farklıdır... Üç ve dokuz. Ama biz onların aynı olmasını istiyoruz. Peki, bu durumda arzu tamamen yerine getirildi!) Çünkü:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Derecelerle ilgilenirken aynı kuralları kullanmak:

3 2x+4 = 3 2x3 4

Bu harika, yazabilirsiniz:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Peki sırada ne var? Üçlü atamazsın... Çıkmaz sokak mı?

Hiç de bile. En evrensel ve güçlü karar kuralını hatırlayın herkes matematik görevleri:

Neye ihtiyacınız olduğunu bilmiyorsanız elinizden geleni yapın!

Bak, her şey yoluna girecek).

Bu üstel denklemde ne var? Olabilmek Yapmak? Evet, sol tarafta parantezlerin dışına çıkmak için yalvarıyor! 3 2x'lik genel çarpan bunu açıkça ima ediyor. Deneyelim, sonra göreceğiz:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Örnek giderek daha iyi hale geliyor!

Temelleri ortadan kaldırmak için herhangi bir katsayı olmaksızın saf bir dereceye ihtiyacımız olduğunu hatırlıyoruz. 70 sayısı bizi rahatsız ediyor. Denklemin her iki tarafını da 70'e bölersek şunu elde ederiz:

Hata! Her şey daha iyi oldu!

Bu son cevaptır.

Ancak aynı temelde taksilemenin de sağlandığı ancak bunların ortadan kaldırılmasının mümkün olmadığı durumlar da vardır. Bu, diğer üstel denklem türlerinde de olur. Bu türe hakim olalım.

Üstel denklemlerin çözümünde bir değişkenin değiştirilmesi. Örnekler.

Denklemi çözelim:

4 x - 3 2 x +2 = 0

İlk olarak - her zamanki gibi. Bir üsse geçelim. Bir ikiliye.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Denklemi elde ederiz:

2 2x - 3 2x +2 = 0

Ve burası da asıldığımız yer. Nasıl bakarsanız bakın, önceki teknikler işe yaramayacaktır. Cephaneliğimizden başka bir güçlü ve evrensel yöntem çıkarmamız gerekecek. Buna denir değişken değiştirme.

Yöntemin özü şaşırtıcı derecede basittir. Bir karmaşık simge yerine (bizim durumumuzda - 2 x), daha basit bir tane daha yazıyoruz (örneğin - t). Görünüşte anlamsız bir değişim harika sonuçlara yol açıyor!) Her şey netleşiyor ve anlaşılır hale geliyor!

Öyleyse izin ver

O zaman 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Denklemimizde tüm kuvvetleri x ve t ile değiştiriyoruz:

Peki, aklına geldi mi?) İkinci dereceden denklemleri henüz unuttun mu? Diskriminant yoluyla çözerek şunu elde ederiz:

Burada asıl önemli olan durmamak, olduğu gibi... Henüz cevap bu değil, bize t'ye değil x'e ihtiyacımız var. X'lere dönelim, yani. ters değiştirme yapıyoruz. İlk olarak t 1 için:

Yani,

Bir kök bulundu. T 2'den ikincisini arıyoruz:

Hm... 2 x solda, 1 x sağda... Sorun mu var? Hiç de bile! Bir birimin olduğunu hatırlamak yeterlidir (güçlü operasyonlardan, evet...) herhangi sayının sıfır kuvveti. Herhangi. Ne gerekiyorsa onu yerleştireceğiz. İkiye ihtiyacımız var. Araç:

Artık bu kadar. 2 kökümüz var:

Cevap bu.

Şu tarihte: üstel denklemleri çözme sonunda bazen tuhaf bir ifadeyle karşılaşıyorsunuz. Tip:

Yedi, basit bir kuvvetle ikiye dönüştürülemez. Akraba değiller... Nasıl olabiliriz? Birisinin kafası karışmış olabilir... Ama bu sitede "Logaritma nedir?" konusunu okuyan kişi. , sadece idareli bir şekilde gülümsüyor ve kararlı bir el ile kesinlikle doğru cevabı yazıyor:

Birleşik Devlet Sınavında “B” görevlerinde böyle bir cevap olamaz. Orada belirli bir sayı gereklidir. Ancak “C” görevlerinde bu kolaydır.

Bu ders en yaygın üstel denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler sağlar. Ana noktaları vurgulayalım.

Pratik ipuçları:

1. Öncelikle şuna bakıyoruz: zemin derece. Bunları yapmanın mümkün olup olmadığını merak ediyoruz birebir aynı. Bunu aktif olarak kullanarak yapmaya çalışalım. dereceleri olan eylemler. X'siz sayıların da üssüne dönüştürülebileceğini unutmayın!

2. Üstel denklemi solda ve sağda iken forma getirmeye çalışıyoruz. aynısı herhangi bir kuvvetteki sayılar. Kullanırız dereceli eylemler Ve çarpanlara ayırma. Sayılarla sayılabilenleri sayarız.

3. İkinci ipucu işe yaramadıysa değişken değiştirmeyi deneyin. Sonuç kolayca çözülebilecek bir denklem olabilir. Çoğu zaman - kare. Veya kesirli, bu da kareye indirgenir.

4. Üstel denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için bazı sayıların kuvvetlerini görsel olarak bilmeniz gerekir.

Her zamanki gibi dersin sonunda biraz karar vermeye davetlisiniz.) Kendi başınıza. Basitten karmaşığa.

Üstel denklemleri çözün:

Daha zor:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Köklerin çarpımını bulun:

2 3'ler + 2 x = 9

Olmuş?

O halde çok karmaşık bir örnek (gerçi akılda çözülebilir...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Daha ilginç olan ne? O zaman işte sana kötü bir örnek. Artan zorluk açısından oldukça cazip. Bu örnekte sizi kurtaracak şeyin yaratıcılık ve tüm matematik problemlerini çözmenin en evrensel kuralı olduğunu belirteyim.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Rahatlamak için daha basit bir örnek):

9 2 x - 4 3 x = 0

Tatlı olarak da. Denklemin köklerinin toplamını bulun:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Evet evet! Bu karma tipte bir denklemdir! Bu derste bunu dikkate almadık. Neden bunları düşünelim, çözülmeleri gerekiyor!) Bu ders denklemi çözmek için oldukça yeterli. Peki, yaratıcılığa ihtiyacın var... Ve yedinci sınıf sana yardım etsin (bu bir ipucu!).

Cevaplar (dağınık, noktalı virgülle ayrılmış):

1; 2; 3; 4; hiçbir çözüm yok; 2; -2; -5; 4; 0.

Her şey başarılı mı? Harika.

Bir problem var? Sorun değil! Özel Bölüm 555, tüm bu üstel denklemleri ayrıntılı açıklamalarla çözmektedir. Ne, neden ve neden. Ve elbette her türlü üstel denklemle çalışmaya ilişkin değerli ek bilgiler de var. Sadece bunlar değil.)

Düşünülmesi gereken son eğlenceli soru. Bu dersimizde üstel denklemlerle çalıştık. Burada neden ODZ hakkında tek kelime etmedim? Denklemlerde bu çok önemli bir şey bu arada...