İrrasyonel ifadelerin karşılaştırılması. İrrasyonel İfadeleri Dönüştürme

PRATİK ÇALIŞMA No. 1

Ders: "Cebirsel, rasyonel, irrasyonel dönüşümleri, güç ifadeleri».

Çalışmanın amacı: Kısaltılmış çarpma formüllerini, köklerin ve kuvvetlerin temel özelliklerini kullanarak cebirsel, rasyonel, irrasyonel kuvvet ifadelerini dönüştürmeyi öğrenir.

Teorik bilgiler.

BİR SAYIDAN DOĞAL DERECE KÖKLERİ, ÖZELLİKLERİ.

Kök N – derece : , N - kök üssü, A - radikal ifade

Eğer N - tek sayı, o zaman ifade ne zaman mantıklı A

Eğer N – çift sayı, o zaman ifade ne zaman anlamlı olur

Aritmetik kök:

Negatif bir sayının tek kökü:

KÖKLERİN TEMEL ÖZELLİKLERİ

Bir üründen kökü çıkarma kuralı:

Kökten kök çıkarma kuralı:

Çarpanı kök işaretinin altından kaldırma kuralı:

Kök işaretinin altına bir çarpan girme:

Kökün indeksi ve radikal ifadenin indeksi aynı sayı ile çarpılabilir.

Bir kökü bir güce yükseltmenin kuralı.

DOĞAL GÖSTERGELİ DERECE

= , A – derecenin temeli,N – üs

Özellikler:

Aynı tabanlarla kuvvetler çarpıldığında üsler toplanır ancak taban değişmeden kalır.

Dereceleri aynı tabanlarla bölerken üsler çıkarılır ancak taban değişmeden kalır.

Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken üsler çarpılır.

İki sayının çarpımı bir kuvvete yükseltilirken her sayı o kuvvete yükseltilir ve sonuçlar çarpılır.

İki sayının bölümü bir kuvvete yükseltilirse pay ve payda bu kuvvete yükseltilir ve sonuç birbirine bölünür.

TAM SAYI GÖSTERGELİ DERECE

Özellikler:

en R >0 > en R <0

7 . Herhangi bir rasyonel sayı içinR VeS eşitsizlikten > yapmalı

> en A >1 en

Kısaltılmış çarpma formülleri.

Örnek 1.İfadeyi basitleştirin.

Güçlerin özelliklerini uygulayalım (kuvvetleri çarparak aynı temel ve aynı temelde kuvvetler ayrılığı): .

Cevap: 9 dakika 7 .

Örnek 2. Bir kesri azaltın:

Çözüm. Yani kesrin tanım tanım kümesi x ≠ 1 ve x ≠ -2 dışındaki tüm sayılardır. .Kesirleri azaltarak şunu elde ederiz.Sonuçtaki kesrin tanım alanı: x ≠ -2, yani. orijinal kesrin tanım aralığından daha geniştir. Bu nedenle, ve kesirleri x ≠ 1 ve x ≠ -2 için eşittir.

Örnek 3. Bir kesri azaltın:

Örnek 4. Basitleştirin:

Örnek 5.Basitleştirin:

Örnek 6. Basitleştirin:

Örnek 7. Basitleştirin:

Örnek 8. Basitleştirin:

Örnek 9. Hesaplamak: .

Çözüm.

Örnek 10.İfadeyi basitleştirin:

Çözüm.

Örnek 11.Eğer bir kesri azaltın

Çözüm. .

Örnek 12. Bir kesrin paydasındaki mantıksızlıktan kendinizi kurtarın

Çözüm. Paydada 2. dereceden irrasyonellik var, bu nedenle kesrin hem payını hem de paydasını eşlenik ifadeyle, yani sayıların toplamı ile çarpıyoruz ve sonra paydada karelerin farkını elde ediyoruz; mantıksızlığı ortadan kaldırır.

SEÇENEK - BEN

1. İfadeyi basitleştirin:

burada a rasyonel bir sayıdır, B – doğal sayı

5. Basitleştirin:

;

,
,

10. Şu eylemi izleyin:

8. Kesri azaltın

9. Harekete geçin

SEÇENEK - II

1. İfadeyi basitleştirin:

2. İfadenin anlamını bulun:

3. Bir derece hayal edin kesirli gösterge kök şeklinde

4. Kurşun belirtilen ifade akla
burada a rasyonel bir sayıdır, B – doğal sayı

5. Basitleştirin:

;

6. Aritmetik kökleri kesirli üslü kuvvetlerle değiştirin

,
,

7. İfadeyi, paydasında kök işareti bulunmayan bir kesir olarak sunun

10. Şu eylemi izleyin:

8. Kesri azaltın

9. Harekete geçin

SEÇENEK - III

1. Şu eylemi izleyin:

2. İfadenin anlamını bulun:

3. Bir kuvveti kesirli bir üsle kök olarak temsil edin

4. Belirtilen ifadeyi forma azaltın
burada a rasyonel bir sayıdır, B – doğal sayı

5. Basitleştirin:

;

6. Aritmetik kökleri kesirli üslü kuvvetlerle değiştirin

,
,

7. İfadeyi, paydasında kök işareti bulunmayan bir kesir olarak sunun

10. Şu eylemi izleyin:

8. Kesri azaltın

9. Harekete geçin

SEÇENEK - IV

1. Şu eylemi izleyin:

2. İfadenin anlamını bulun:

3. Bir kuvveti kesirli bir üsle kök olarak temsil edin

4. Belirtilen ifadeyi forma azaltın
burada a rasyonel bir sayıdır, B – doğal sayı

5. Basitleştirin:

İrrasyonel ifadeler ve dönüşümleri

En son ne olduğunu hatırladık (ya da kime bağlı olarak öğrendik) , bu tür köklerin nasıl çıkarılacağını öğrendi, köklerin temel özelliklerini parça parça anladı ve yapmamaya karar verdi. karmaşık örnekler kökleri ile.

Bu ders bir öncekinin devamı olacak ve en çok dönüşüme ayrılacaktır. farklı ifadeler her türlü kökü içerir. Bu tür ifadelere denir mantıksız. Harfli ifadeler, ek koşullar, kesirlerde irrasyonellikten kurtulma ve köklerle çalışmanın bazı ileri teknikleri burada yer alacak. Bahsedilecek teknikler bu dersçözmek için iyi bir temel oluşturacaktır. Birleşik Devlet Sınavı sorunları(ve sadece değil) neredeyse her düzeyde karmaşıklık. Öyleyse başlayalım.

Öncelikle buraya kopyalayacağım temel formüller ve köklerin özellikleri. Konudan konuya atlamamak için. İşte bunlar:

Bu formülleri bilmeniz ve uygulayabilmeniz gerekir. Ve her iki yönde de - hem soldan sağa hem de sağdan sola. Herhangi bir karmaşıklık derecesine sahip kökleri olan çoğu görevin çözümü bunlara dayanmaktadır. Şimdilik en basit şeyle başlayalım; doğrudan uygulama formüller veya bunların kombinasyonları.

Formüllerin kolay uygulanması

Bu bölümde harfler, ek koşullar ve diğer hileler olmadan basit ve zararsız örnekler ele alınacaktır. Ancak içlerinde bile kural olarak seçenekler var. Örnek ne kadar karmaşıksa, bu tür seçenekler de o kadar fazla olur. Ve deneyimsiz bir öğrenci asıl sorun– nereden başlamalı? Buradaki cevap basit - Neye ihtiyacınız olduğunu bilmiyorsanız elinizden geleni yapın. Yeter ki eylemleriniz matematik kurallarıyla barışık ve uyum içinde olsun ve aykırılık yaratmasın.) Örneğin bu görev:

Hesaplamak:

Bu kadar basit bir örnekte bile cevaba giden birkaç olası yol var.

Birincisi, kökleri ilk özellikle çarpmak ve sonuçtan kökü çıkarmaktır:

İkinci seçenek ise şu; ona dokunmayız, onunla çalışırız. Çarpanı kök işaretinin altından ve ardından ilk özelliğe göre çıkarıyoruz. Bunun gibi:

Dilediğiniz kadar karar verebilirsiniz. Seçeneklerden herhangi birinde cevap bir - sekizdir. Mesela 4 ile 128'i çarpıp 512 elde etmek benim için daha kolay oluyor ve bu sayıdan küp kökü rahatlıkla çıkarabiliyoruz. Birisi 512'nin 8 küp olduğunu hatırlamıyorsa, o zaman sorun yok: 512'yi 2 9 olarak yazabilirsiniz (ikinin ilk 10 kuvveti, umarım hatırlıyorsunuzdur?) ve kuvvetin kökü formülünü kullanabilirsiniz. :

Başka bir örnek.

Hesapla: .

İlk özelliğe göre çalışırsanız (her şeyi tek bir kökün altına koyarsanız), daha sonra kökün çıkarılabileceği büyük bir sayı elde edersiniz - şeker de değil. Ve tam olarak çıkarılacağı da bir gerçek değil.) Dolayısıyla burada sayının kök altındaki çarpanları çıkarmakta fayda var. Ve aşağıdakilerden en iyi şekilde yararlanın:

Ve şimdi her şey yolunda:

Geriye sekiz ve ikiyi tek kök altına yazmak (ilk özelliğe göre) kalıyor ve iş bitiyor. :)

Şimdi birkaç kesir ekleyelim.

Hesaplamak:

Örnek oldukça ilkel ama aynı zamanda seçenekler de var. Payı dönüştürmek ve paydayla azaltmak için çarpanı kullanabilirsiniz:

Veya kökleri bölmek için formülü hemen kullanabilirsiniz:

Gördüğümüz gibi şu şekilde ve bu şekilde – her şey doğru.) Eğer yarı yolda tökezleyip hata yapmazsanız. Gerçi burada nerede hata yapabilirim ki...

Şimdi en çok bakalım son örnek itibaren Ev ödevi son ders:

Basitleştirin:

Tamamen hayal edilemeyecek bir dizi kök ve hatta iç içe geçmiş kökler. Ne yapmalıyım? Önemli olan korkmamak! Burada ilk olarak köklerin altında 2, 4 ve 32 sayılarının - ikinin kuvvetleri - dikkatimizi çekiyor. Yapılacak ilk şey tüm sayıları ikiye indirmektir: sonuçta ne kadar çok aynı sayılarörnekte ne kadar az farklı olursa o kadar basit olur.) İlk faktörle ayrı ayrı başlayalım:

Sayı, kök üssündeki dört ile kökün altındaki ikiyi azaltarak basitleştirilebilir:

Şimdi işin köküne göre:

Sayıda kök işareti olarak ikisini çıkarıyoruz:

Ve ifadeyi kök formülün kökünü kullanarak ele alıyoruz:

Yani ilk faktör şu şekilde yazılacaktır:

İç içe geçmiş kökler yok oldu, sayılar küçüldü, bu da şimdiden sevindirici. Sadece kökler farklı ama şimdilik bu şekilde bırakacağız. Gerekirse bunları aynı olanlara dönüştüreceğiz. İkinci faktörü ele alalım.)

İkinci faktörü de benzer şekilde çarpımın kökü ve kökün kökü formülünü kullanarak dönüştürüyoruz. Gerektiğinde beşinci formülü kullanarak göstergeleri azaltıyoruz:

Her şeyi içine yerleştiriyoruz orijinal örnek ve şunu elde ederiz:

Tamamen farklı bir grup kökün ürününü elde ettik. Hepsini tek bir göstergede toplamak güzel olurdu, sonra göreceğiz. Bu oldukça mümkün. Kök üslerin en büyüğü 12'dir ve diğerlerinin tümü - 2, 3, 4, 6 - 12 sayısının bölenleridir. Bu nedenle, beşinci özelliğe göre tüm kökleri bir üs - 12'ye indireceğiz:

Sayıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

İyi bir rakam alamadık ama sorun değil. bize soruldu basitleştirmek ifade değil saymak. Basitleştirilmiş? Kesinlikle! Ve yanıtın türü (tamsayı olsun ya da olmasın) artık burada herhangi bir rol oynamıyor.

Bazı toplama/çıkarma ve kısaltılmış çarpma formülleri

Maalesef, genel formüllerİçin kök ekleme ve çıkarma matematikte hayır. Ancak görevlerde kökleri olan bu eylemlere sıklıkla rastlanır. Burada herhangi bir kökün cebirdeki harflerle tamamen aynı matematiksel semboller olduğunu anlamak gerekir.) Ve kökler için de harflerle aynı teknikler ve kurallar geçerlidir - parantezleri açmak, benzerlerini getirmek, kısaltılmış çarpma formülleri vb. s.

Mesela bu herkes için açıktır. Tamamen aynı birebir aynı Kökler oldukça kolay bir şekilde birbirine eklenebilir/çıkarılabilir:

Kökler farklıysa, bir çarpan ekleyerek/çıkararak veya beşinci özelliği kullanarak onları aynı yapmanın bir yolunu ararız. Eğer herhangi bir şekilde basitleştirilmemişse, belki de dönüşümler daha kurnazdır.

İlk örneğe bakalım.

İfadenin anlamını bulun: .

Her üç kök de kübik olmasına rağmen farklı sayılar. Tamamen çıkarılmış değiller ve birbirlerine ekleniyor/çıkarılıyorlar. Bu nedenle genel formüllerin kullanımı burada işe yaramamaktadır. Ne yapmalıyım? Her kökteki çarpanları çıkaralım. Her durumda, daha kötü olmayacak.) Üstelik aslında başka seçenek de yok:

Öyleyse, .

Çözüm bu. Burada farklı köklerden aynı köklere geçtik. çarpanı kökün altından kaldırmak. Ve sonra benzerlerini getirdiler.) Daha ileri karar veriyoruz.

Bir ifadenin değerini bulun:

On yedinin kökü konusunda kesinlikle yapabileceğiniz hiçbir şey yok. İlk özelliğe göre çalışıyoruz - iki kökün çarpımından bir kök yapıyoruz:

Şimdi daha yakından bakalım. Büyüklerin altında ne var? küp kökü? Fark şu... Tabii ki! Karelerin farkı:

Şimdi geriye kalan tek şey kökü çıkarmak: .

Hesaplamak:

Burada matematiksel ustalığı göstermeniz gerekecek.) Yaklaşık olarak şöyle düşünüyoruz: “Yani örnekte köklerin çarpımı. Bir kökün altında fark, diğerinin altında ise toplam bulunur. Kareler farkı formülüne çok benzer. Ama... Kökler farklı! Birincisi kare, ikincisi dördüncü dereceden... Bunları aynı yapsak güzel olur. Beşinci özelliğe göre kişi kolaylıkla karekök dördüncü kökü yapın. Bunu yapmak için radikal ifadenin karesini almak yeterlidir.”

Eğer siz de aynısını düşündüyseniz, başarının yarısına ulaştınız demektir. Kesinlikle doğru! Birinci faktörü dördüncü köke çevirelim. Bunun gibi:

Artık yapılacak hiçbir şey yok ama farkın karesinin formülünü hatırlamanız gerekecek. Sadece köklere uygulandığında. Ne olmuş? Kökler neden diğer sayılardan veya ifadelerden daha kötü?! Biz inşa ediyoruz:

“Hmm, peki, onu inşa ettiler, ne olmuş yani? Yaban turpu turptan daha tatlı değildir. Durmak! Peki kökün altındaki dördünü çıkarırsan? O zaman ikinci kökün altındaki ifadenin aynısı sadece bir eksi ile ortaya çıkacak ve biz de tam olarak bunu başarmaya çalışıyoruz!”

Sağ! Dört tane alalım:

Ve şimdi - bir teknoloji meselesi:

Karmaşık örnekler bu şekilde çözülür.) Şimdi kesirlerle pratik yapma zamanı.

Hesaplamak:

Payın dönüştürülmesi gerektiği açıktır. Nasıl? Elbette toplamın karesi formülünü kullanarak. Başka seçeneğimiz var mı? :) Karesini alıyoruz, faktörleri çıkarıyoruz, göstergeleri azaltıyoruz (gerektiğinde):

Vay! Kesirimizin paydasını tam olarak elde ettik.) Bu, tüm kesrin açıkça bire eşit olduğu anlamına gelir:

Başka bir örnek. Şimdi kısaltılmış çarpmanın başka bir formülüyle karşınızdayım.)

Hesaplamak:

Uygulamada farkın karesinin kullanılması gerektiği açıktır. Paydayı ayrı ayrı yazıyoruz ve - hadi gidelim!

Faktörleri köklerin altından çıkarıyoruz:

Buradan,

Artık kötü olan her şey mükemmel bir şekilde azaldı ve ortaya çıktı:

Peki, hadi bir sonraki aşamaya geçelim. :)

Mektuplar ve ek koşullar

Kökleri olan gerçek ifadeler, bundan daha yanıltıcı bir şeydir. sayısal ifadeler ve tükenmez bir kaynak sinir bozucu ve çok ciddi hatalar. Bu kaynağı kapatalım.) Bu tür görevlerin çoğunlukla negatif sayılar ve ifadeler içermesi nedeniyle hatalar ortaya çıkar. Bunlar ya doğrudan görevin içinde bize verilir ya da görevin içinde gizlenir. mektuplar ve ek koşullar. Ve köklerle çalışma sürecinde, köklerde olduğunu sürekli hatırlamamız gerekir. çift derece hem kökün altında hem de kökün çıkarılması sonucunda negatif olmayan ifade. Bu paragrafın görevlerindeki anahtar formül dördüncü formül olacaktır:

Kökleri olan tek derece Soru yok - hem olumlu hem de olumsuz her şey her zaman oradan çıkarılır. Ve eksi varsa öne çıkarılır. Doğrudan köklere gidelim eşit derece.) Örneğin, bu kadar kısa bir görev.

Basitleştirin: , Eğer .

Görünüşe göre her şey basit. Sadece bir X olduğu ortaya çıkacak.) Peki neden o zaman? ek koşul ? Bu gibi durumlarda rakamlarla tahmin yapmakta fayda var. Tamamen kendim için.) Eğer, o zaman x açıkça negatif sayı. Örneğin eksi üç. Veya eksi kırk. İzin vermek . Eksi üçün dördüncü kuvvetini yükseltebilir misiniz? Kesinlikle! Sonuç 81. 81'in dördüncü kökünü çıkarmak mümkün mü? Neden? Olabilmek! Üç tane alırsın. Şimdi tüm zincirimizi analiz edelim:

Ne görüyoruz? Giriş negatif bir sayıydı ve çıkış zaten pozitifti. Eksi üçtü, şimdi artı üç oldu.) Harflere dönelim. Şüphesiz, modulo tam olarak x olacaktır, ancak yalnızca x'in kendisi eksidir (koşul gereği!) ve çıkarmanın sonucu (sebebiyle) aritmetik kök!) artı olmalıdır. Bir artı nasıl alınır? Çok basit! Bunu yapmak için açıkça negatif bir sayının önüne eksi koymak yeterlidir.) Ve doğru kararşuna benziyor:

Bu arada, formülü kullanırsak modülün tanımını hatırlayarak hemen doğru cevabı alırız. Çünkü

|x| = -x, x'te<0.

Çarpanı kök işaretinden çıkarın: , Nerede .

İlk bakış radikal ifadeyedir. Burada her şey yolunda. Her durumda, olumsuz olmayacaktır. Çıkarmaya başlayalım. Bir çarpımın kökü formülünü kullanarak her faktörün kökünü çıkarırız:

Modüllerin nereden geldiğini açıklamaya gerek yok sanırım.) Şimdi modüllerin her birini ayrı ayrı analiz edelim.

Çarpan | A | değiştirmeden bırakıyoruz: mektup için herhangi bir koşulumuz yokA. Olumlu mu olumsuz mu bilmiyoruz. Sonraki modül |b2 | güvenle ihmal edilebilir: her durumda, ifadeb2 negatif olmayan. Ama hakkında |c3 | - burada zaten bir sorun var.) Eğer, Daha sonra c3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть bir eksi ile: | c3 | = - c3 . Toplamda doğru çözüm şöyle olacaktır:

Ve şimdi sorun tam tersi. En kolayı değil, sizi hemen uyarıyorum!

Kök işaretinin altına bir çarpan girin: .

Çözümü hemen bu şekilde yazarsanız

o zaman sen tuzağa düştü. Bu yanlış karar! Sorun ne?

Kökün altındaki ifadeye daha yakından bakalım. Bildiğimiz gibi dördüncü derecenin kökü altında negatif olmayan ifade. Aksi takdirde kökün hiçbir anlamı yoktur.) Bu nedenle Ve bu da şu anlama gelir ve dolayısıyla kendisi de pozitif değildir: .

Ve buradaki hata, kökten tanıtmamızdır. olumlu değil sayı: dördüncü derece onu şuna dönüştürür: negatif olmayan ve yanlış sonuç elde ediliyor - solda kasıtlı bir eksi var ve sağda zaten bir artı var. Ve bunu köküne koy eşit derece sadece hakkımız var negatif olmayan sayılar veya ifadeler. Ve eksi varsa kökün önüne bırakın.) Sayıda negatif olmayan bir faktörü nasıl seçebiliriz?kendisinin tamamen olumsuz olduğunu bilerek mi? Evet, tamamen aynı! Bir eksi koyun.) Ve hiçbir şeyin değişmemesi için bunu başka bir eksi ile telafi edin. Bunun gibi:

Ve şimdi zaten negatif olmayan Tüm kurallara göre kök altına (-b) sayısını sakince giriyoruz:

Bu örnek, matematiğin diğer dallarından farklı olarak köklerde doğru cevabın her zaman formüllerden otomatik olarak çıkmadığını açıkça göstermektedir. Düşünmeniz ve kişisel olarak doğru kararı vermeniz gerekiyor.) Özellikle tabelalardaki işaretlere dikkat etmelisiniz. İrrasyonel denklemler ve eşitsizlikler.

Köklerle çalışırken bir sonraki önemli tekniğe bakalım - mantıksızlıktan kurtulmak.

Kesirlerde mantıksızlığı ortadan kaldırmak

İfade kök içeriyorsa, size hatırlatmama izin verin, böyle bir ifadeye denir mantık dışı ifade. Bazı durumlarda bu mantıksızlıktan (yani köklerden) kurtulmak faydalı olabilir. Kökü nasıl ortadan kaldırabilirsiniz? Kökümüz... bir güce yükseltildiğinde kaybolur. Bir gösterge ya kök göstergeye eşit ya da onun katıdır. Ancak kökü bir kuvvete yükseltirsek (yani kökü gerekli sayıda kendisiyle çarparsak), o zaman ifade değişecektir. İyi değil.) Ancak matematikte çarpma işleminin oldukça acısız olduğu konular vardır. Örneğin kesirlerde. Bir kesrin temel özelliğine göre pay ve payda aynı sayı ile çarpılırsa (bölülürse) kesrin değeri değişmez.

Diyelim ki bize bu kesir veriliyor:

Paydadaki kökten kurtulmak mümkün mü? Olabilmek! Bunu yapmak için kökün küp şeklinde olması gerekir. Dolu bir küpün paydasında neyi kaçırıyoruz? Bir çarpanı kaçırıyoruz, yani.. Yani kesrin payını ve paydasını şu şekilde çarparız:

Paydanın kökü kaybolmuştur. Ama... payda göründü. Hiçbir şey yapılamaz, kader böyledir.) Bu artık bizim için önemli değil: paydayı köklerinden kurtarmamız istendi. Piyasaya sürülmüş? Şüphesiz.)

Bu arada, trigonometri konusunda zaten rahat olanlar, örneğin bazı ders kitaplarında ve tablolarda farklı şekilde işaretledikleri gerçeğine dikkat etmiş olabilirler: bir yerde ve bir yerde. Soru şu; doğru olan ne? Cevap: her şey doğru!) Eğer tahmin ediyorsanız– bu basitçe kesrin paydasındaki irrasyonellikten kurtulmanın sonucudur. :)

Kesirlerdeki mantıksızlıktan neden kendimizi kurtarmalıyız? Kökün payda mı yoksa paydada mı olması ne fark eder? Hesap makinesi yine de her şeyi hesaplayacaktır.) Hesap makinesinden ayrılmayanlar için pratikte hiçbir fark yoktur... Ancak hesap makinesine güvenseniz bile şuna dikkat edebilirsiniz: bölmek Açık tüm numara her zaman daha kullanışlı ve daha hızlıdır mantıksız. Ve bir sütuna bölünme konusunda sessiz kalacağım.)

Aşağıdaki örnek sadece sözlerimi doğrulayacaktır.

Buradaki paydanın karekökünü nasıl yok edebiliriz? Pay ve payda ifadeyle çarpılırsa payda toplamın karesi olacaktır. Birinci ve ikinci sayıların karelerinin toplamı bize kökleri olmayan sadece sayılar verecektir ki bu çok sevindiricidir. Ancak... ortaya çıkacak çift ürün ilk sayıdan ikinciye, burada üçün kökü hala kalacak. Kanal vermiyor. Ne yapmalıyım? Kısaltılmış çarpma için başka bir harika formülü hatırlayın! İkili çarpımların olmadığı, yalnızca karelerin olduğu yerde:

Belirli bir toplamla (veya farkla) çarpıldığında sonuç veren bir ifade kareler farkı, aynı zamanda denir eşlenik ifade. Örneğimizde eşlenik ifade fark olacaktır. Yani pay ve paydayı bu farkla çarpıyoruz:

Ne söyleyebilirim? Yaptığımız manipülasyonlar sonucunda paydanın kökü kaybolmakla kalmadı, kesir tamamen ortadan kalktı! :) Hesap makinesiyle bile üçün kökünü üçten çıkarmak, kökü paydada olan bir kesir hesaplamaktan daha kolaydır. Başka bir örnek.

Bir kesrin paydasındaki mantıksızlıktan kendinizi kurtarın:

Bundan nasıl çıkılır? Karelerle kısaltılmış çarpma formülleri hemen işe yaramıyor - bu sefer kökümüz kare olmadığı için kökleri tamamen ortadan kaldırmak mümkün olmayacak, ancak kübik. Kökün bir şekilde küp haline getirilmesi gerekiyor. Bu nedenle küplü formüllerden birinin kullanılması gerekir. Hangisi? Bir düşünelim. Payda toplamdır. Kökün küpünü nasıl elde edebiliriz? Şununla çarp: kısmi kare farkı! Yani formülü uygulayacağız küplerin toplamı. Bu:

Gibi Aüçümüz var ve kalite olarak B– beşin küp kökü:

Ve yine kesir ortadan kayboldu.) Bir kesrin paydasındaki irrasyonellikten kurtulduğunda kesrin kendisinin kökleriyle birlikte tamamen ortadan kaybolduğu bu tür durumlar çok sık meydana gelir. Bu örneği nasıl buldunuz?

Hesaplamak:

Bu üç kesri toplamayı deneyin! Hata yok! :) Bir ortak payda buna değer. Peki ya her kesrin paydasındaki mantıksızlıktan kendimizi kurtarmaya çalışsak? Peki deneyelim:

Vay, ne kadar ilginç! Bütün kesirler gitti! Tamamen. Ve şimdi örnek iki şekilde çözülebilir:

Basit ve zarif. Üstelik uzun ve sıkıcı hesaplamalar olmadan. :)

Bu yüzden irrasyonellikten kurtulma operasyonunu kesirlerde yapabilmek gerekir. Bu kadar karmaşık örneklerde kurtaran tek şey bu, evet.) Elbette kimse dikkati iptal etmedi. Mantıksızlıktan kurtulmanızın istendiği görevler var. pay. Bu görevler tartışılanlardan farklı değildir, sadece pay köklerden temizlenmiştir.)

Daha karmaşık örnekler

En basit örnekleri değil, köklerle çalışmak ve pratik yapmak için bazı özel teknikleri dikkate almaya devam ediyoruz. Ve sonra alınan bilgiler, herhangi bir karmaşıklık düzeyindeki kökleri olan görevleri çözmek için yeterli olacaktır. Öyleyse - devam edin.) Öncelikle, kökten kök formülü işe yaramadığında iç içe geçmiş köklerle ne yapacağımızı bulalım. Örneğin, burada bir örnek var.

Hesaplamak:

Kök kökün altındadır... Üstelik köklerin altında toplam veya fark vardır. Bu nedenle, kökün kökü için formül (üslerin çarpımı ile) burada çalışmıyor. Yani bu konuda bir şeyler yapılması gerekiyor radikal ifadeler: Başka seçeneğimiz yok. Bu tür örneklerde çoğunlukla büyük kök şifrelenir mükemmel kare herhangi bir miktar. Veya farklılıklar. Ve bir karenin kökü zaten mükemmel bir şekilde çıkarılabilir! Ve şimdi görevimiz onun şifresini çözmek.) Böyle bir şifre çözme, güzel bir şekilde yapılır. denklem sistemi. Artık her şeyi kendiniz göreceksiniz.)

Yani, ilk kökün altında şu ifadeye sahibiz:

Peki ya doğru tahmin etmediyseniz? Hadi kontrol edelim! Toplamın karesi formülünü kullanarak karesini alıyoruz:

Doğru.) Ama... Bu ifadeyi nereden aldım? Gökyüzünden mi?

Hayır.) Dürüst olmak gerekirse biraz daha düşüreceğiz. Basitçe bu ifadeyi kullanarak, görev yazarlarının bu tür kareleri tam olarak nasıl şifrelediğini gösteriyorum. :) 54 nedir? Bu birinci ve ikinci sayıların kareleri toplamı. Ve dikkat edin, zaten kökleri yok! Ve kök içeride kalır çift ürün bizim durumumuzda eşittir. Dolayısıyla bu tür örneklerin çözülmesi, ikili çarpımın aranmasıyla başlar. Her zamanki seçimle çözerseniz. Ve bu arada, işaretler hakkında. Burada her şey basit. Çiftten önce bir artı varsa, o zaman toplamın karesi. Eksiyse, o zaman farklar vardır.) Bir artımız var - bu da toplamın karesi anlamına gelir.) Ve şimdi - vaat edilen analitik kod çözme yöntemi. Sistem üzerinden.)

Yani kökümüzün altında açıkça şu ifade var: (a+b) 2 ve bizim görevimiz bulmak A Ve B. Bizim durumumuzda kareler toplamı 54'ü verir. O halde şunu yazıyoruz:

Şimdi ürünü ikiye katlayın. bizde var. O halde şunu yazıyoruz:

Bu sistemi aldık:

Her zamanki yerine koyma yöntemiyle çözüyoruz. Örneğin ikinci denklemden ifade eder ve onu birincinin yerine koyarız:

İlk denklemi çözelim:

Kabul edilmiş iki kareli denklem bağılA . Diskriminantı hesaplıyoruz:

Araç,

Dört olası değere sahibizA. Biz korkmuyoruz. Şimdi tüm gereksiz şeyleri ayıklayacağız.) Şimdi bulunan dört değerin her birine karşılık gelen değerleri hesaplarsak sistemimize dört çözüm elde edeceğiz. İşte bunlar:

Ve burada soru şu: Hangi çözüm bizim için doğru? Bir düşünelim. Negatif çözümler hemen atılabilir: karesini alırken eksiler "tükenecek" ve radikal ifadenin tamamı bir bütün olarak değişmeyecek.) İlk iki seçenek kalıyor. Bunları tamamen keyfi olarak seçebilirsiniz: terimleri yeniden düzenlemek yine de toplamı değiştirmez.) Örneğin, a olsun.

Toplamda, kökün altında aşağıdaki toplamın karesini elde ettik:

Her şey açık.)

Karar sürecini bu kadar detaylı anlatmam boşuna değil. Şifre çözmenin nasıl gerçekleştiğini açıklığa kavuşturmak için.) Ancak bir sorun var. Analitik kod çözme yöntemi, güvenilir olmasına rağmen çok uzun ve hantaldır: iki ikinci dereceden bir denklemi çözmeniz, sisteme dört çözüm bulmanız ve sonra yine de hangilerini seçeceğinizi düşünmeniz gerekir... Sorun mu yaşıyorsunuz? Katılıyorum, zahmetli. Bu yöntem, bu örneklerin çoğunda kusursuz bir şekilde çalışmaktadır. Bununla birlikte, çoğu zaman kendinizi birçok işten kurtarabilir ve her iki sayıyı da yaratıcı bir şekilde bulabilirsiniz. Seçime göre.) Evet, evet! Şimdi ikinci terim (ikinci kök) örneğini kullanarak, izole etmenin daha kolay ve hızlı bir yolunu göstereceğim. tam kare kökün altında.

Artık bu köke sahibiz: .

Şöyle düşünelim: “Kökün altında büyük olasılıkla şifrelenmiş tam bir kare var. Çiftin önünde bir eksi varsa farkın karesi anlamına gelir. Birinci ve ikinci sayıların karelerinin toplamı bize sayıyı verir. 54. Peki bunlar ne tür kareler? 1 ve 53? 49 ve 5 ? Çok fazla seçenek var... Hayır, iki kat ürünle düğümleri çözmeye başlamak daha iyi. Bizimolarak yazılabilir. Times ürünü iki katına çıktı, ardından ikisini hemen atarız. Daha sonra rol için adaylar a ve b, 7 ve olarak kalır. Ya saat 14 ise ve/2 ? Bu mümkün. Ama her zaman basit bir şeyle başlıyoruz!” Yani, a . Karelerin toplamını kontrol edelim:

İşe yaradı! Bu, radikal ifademizin aslında farkın karesi olduğu anlamına gelir:

İşte sistemle uğraşmaktan kaçınmanın hafif bir yolu. Her zaman işe yaramıyor ama bu örneklerin çoğunda oldukça yeterli. Yani köklerin altında tam kareler var. Geriye kalan tek şey kökleri doğru bir şekilde çıkarmak ve örneği hesaplamaktır:

Şimdi köklerle ilgili daha da standart dışı bir göreve bakalım.)

A sayısını kanıtlayın– tamsayı, eğer .

Hiçbir şey doğrudan çıkarılmaz, kökler gömülür ve hatta farklı derecelerde... Bir kabus! Ancak görev mantıklıdır.) Dolayısıyla onu çözmenin bir anahtarı vardır.) Ve buradaki anahtar da budur. Eşitliğimizi düşünün

Nasıl denklem bağıl A. Evet, evet! Köklerden kurtulmak güzel olurdu. Köklerimiz kübik olduğundan denklemin her iki tarafının da küpünü alalım. Formüle göre toplamın küpü:

Küpler ve kübik kökler birbirini götürür ve her büyük kökün altına kareden bir parantez alırız ve fark ile toplamın çarpımını bir kareler farkına indiririz:

Ayrı olarak köklerin altındaki karelerin farkını hesaplıyoruz:

İfadelerin özdeş dönüşümleri okul matematik dersinin içerik satırlarından biridir. Denklemlerin, eşitsizliklerin, denklem sistemlerinin ve eşitsizliklerin çözümünde özdeş dönüşümler yaygın olarak kullanılır. Ayrıca ifadelerin aynı dönüşümleri zekanın, esnekliğin ve düşünmenin rasyonelliğinin gelişmesine katkıda bulunur.

Önerilen materyaller 8. sınıf öğrencilerine yöneliktir ve teorik temelleri içermektedir. kimlik dönüşümleri rasyonel ve IR rasyonel ifadeler, bu tür ifadeleri dönüştürmek için görev türleri ve test metni.

1. Kimlik dönüşümlerinin teorik temelleri

Cebirdeki ifadeler, eylem işaretleriyle birbirine bağlanan sayı ve harflerden oluşan kayıtlardır.

https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" genişlik = "77" yükseklik = "21 src = ">.gif" genişlik = "20" yükseklik = "21 src = "> – cebirsel ifadeler.

İşlemlere bağlı olarak rasyonel ve irrasyonel ifadeler ayırt edilir.

Cebirsel ifadeler, içerdiği harflere göre rasyonel olarak adlandırılır. A, B, İle, ... toplama, çarpma, çıkarma, bölme ve üs alma dışında başka bir işlem yapılmaz.

Bir değişkenin kökünü alma veya bir değişkeni yükseltme işlemlerini içeren cebirsel ifadeler rasyonel derece Tam sayı olmayan değişkenlere bu değişkene göre irrasyonel denir.

Özdeş dönüşümle verilen ifade bir ifadenin, bazı kümelerde kendisine eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesine denir.

Aşağıdaki teorik gerçekler, rasyonel ve irrasyonel ifadelerin özdeş dönüşümlerinin temelini oluşturmaktadır.

1. Tamsayı üslü derecelerin özellikleri:

, N AÇIK; A 1=A;

, N AÇIK, A¹0; A 0=1, A¹0;

, A¹0;

, A¹0, B¹0;

, A¹0, B¹0.

2. Kısaltılmış çarpma formülleri:

Nerede A, B, İle– herhangi bir gerçek sayı;

Nerede A¹0, X 1 ve X 2 – denklemin kökleri .

3. Kesirlerin temel özelliği ve kesirler üzerindeki eylemler:

, Nerede B¹0, İle¹0;

; ;

4. Aritmetik kökün tanımı ve özellikleri:

; , B#0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; ,

Nerede A, B – Negatif olmayan sayılar, N AÇIK, N³2, M AÇIK, M³2.

1. İfade Dönüştürme Alıştırmalarının Türleri

Var çeşitli türlerİfadelerin özdeş dönüşümleri üzerine alıştırmalar. Birinci tip: Gerçekleştirilmesi gereken dönüşüm açıkça belirtilir.

Örneğin.

1. Bunu bir polinom olarak temsil edin.

Bu dönüşümü gerçekleştirirken polinomların çarpma ve çıkarma kurallarını, kısaltılmış çarpma formülünü ve benzer terimlerin indirgenmesini kullandık.

2. Şunları hesaba katın: .

Dönüşümü gerçekleştirirken kaldırma kuralını kullandık ortak çarpan parantez arkasında ve 2 kısaltılmış çarpma formülü.

3. Kesri azaltın:

Dönüşümü gerçekleştirirken parantezlerden ortak çarpanın çıkarılmasını, değişme ve daralma yasalarını, 2 kısaltılmış çarpma formülünü ve kuvvetler üzerindeki işlemleri kullandık.

4. Aşağıdaki durumlarda çarpanı kök işaretinin altından kaldırın: A³0, B³0, İle³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" genişlik = "432" yükseklik = "27">

Kökler üzerindeki eylemlere ilişkin kuralları ve bir sayının modülünün tanımını kullandık.

5. Bir kesrin paydasındaki irrasyonelliği ortadan kaldırın. .

İkinci tip egzersizler yapılması gereken ana dönüşümün açıkça belirtildiği egzersizlerdir. Bu tür alıştırmalarda gereksinim genellikle aşağıdaki biçimlerden birinde formüle edilir: ifadeyi basitleştirin, hesaplayın. Bu tür alıştırmaları yaparken, ifadenin verilenden daha kompakt bir form alması veya sayısal bir sonuç elde edilmesi için öncelikle hangi dönüşümlerin hangi sırayla yapılması gerektiğini belirlemek gerekir.

Örneğin

6. İfadeyi basitleştirin:

Çözüm:

Cebirsel kesirlerin ve kısaltılmış çarpma formüllerinin çalıştırılmasında kullanılan kurallar.

7. İfadeyi basitleştirin:

Eğer A³0, B³0, A¹ B.

Kısaltılmış çarpma formüllerini, kesirleri toplama ve irrasyonel ifadeleri çarpma kurallarını, https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29"> kimliğini kullandık.

Tam bir kare seçme işlemini kullandık, kimlik https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, if .

Kanıt:

O zamandan beri ve veya veya veya , yani .

Küplerin toplamı için koşulu ve formülü kullandık.

Değişkenleri bağlayan koşulların ilk iki türden alıştırmalarda da belirtilebileceği akılda tutulmalıdır.

Örneğin.

10. Varsa bulun.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Tarafımızdan toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Makalede irrasyonel ifadelerin anlamı ve bunlarla ilgili dönüşümler ortaya konulmaktadır. İrrasyonel ifadeler, dönüşüm ve karakteristik ifadeler kavramını ele alalım.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İrrasyonel ifadeler nelerdir?

Okulda kökleri tanıtırken mantıksız ifadeler kavramını inceliyoruz. Bu tür ifadeler köklerle yakından ilgilidir.

Tanım 1

İrrasyonel ifadeler kökü olan ifadelerdir. Yani bunlar kök içeren ifadelerdir.

dayalı bu tanım, elimizde x - 1, 8 3 3 6 - 1 2 3, 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 ifadelerinin tümü irrasyonel tipte ifadelerdir.

x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 ifadesini ele aldığımızda ifadenin rasyonel olduğunu görüyoruz. Rasyonel ifadeler polinomları ve cebirsel kesirler. Mantıksız olanlar şunları içerir: logaritmik ifadeler veya radikal ifadeler.

İrrasyonel ifadelerin ana dönüşüm türleri

Bu tür ifadeleri hesaplarken DZ'ye dikkat etmek gerekir. Çoğu zaman gerektirirler ek dönüşümler açma braketleri şeklinde, döküm benzer üyeler, gruplar vb. Bu tür dönüşümlerin temeli sayılarla yapılan işlemlerdir. İrrasyonel ifadelerin dönüşümleri katı bir düzene bağlıdır.

Örnek 1

9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 ifadesini dönüştürün.

Çözüm

9 sayısını kökü içeren bir ifadeyle değiştirmek gerekir. O zaman bunu anlıyoruz

81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3

Ortaya çıkan ifade benzer terimleröyleyse hadi döküm ve gruplama yapalım. Aldık

9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = = 8 + 3 3 3
Cevap: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3

Örnek 2

Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 ifadesini iki irrasyonel sayının çarpımı olarak gösterin.

Çözümler

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

9'u 3 2 şeklinde temsil ediyoruz ve kareler farkı formülünü uyguluyoruz:

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Özdeş dönüşümlerin sonucu, bulunması gereken iki rasyonel ifadenin çarpımına yol açtı.

Cevap:

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

İrrasyonel ifadelere uygulanan başka dönüşümleri de gerçekleştirebilirsiniz.

Radikal İfadeyi Dönüştürme

Önemli olan kök işaretinin altındaki ifadenin kendisine eşit olan bir ifadeyle değiştirilebilmesidir. Bu ifade radikal bir ifadeyle çalışmayı mümkün kılmaktadır. Örneğin, 1 + 6, 7 veya 2 · a 5 4 - 6 ile 2 · a 4 · a 4 - 6 ile değiştirilebilir. Aynı şekilde eşittirler, bu nedenle değiştirme mantıklıdır.

a'dan farklı bir 1 olmadığında, a n = a 1 n biçimindeki bir eşitsizlik geçerli olduğunda, böyle bir eşitlik yalnızca a = a 1 için mümkündür. Bu tür ifadelerin değerleri değişkenlerin herhangi bir değerine eşittir.

Kök Özelliklerini Kullanma

Köklerin özellikleri ifadeleri basitleştirmek için kullanılır. a · b = a · b özelliğini uygularsak (a ≥ 0, b ≥ 0), irrasyonel formdan 1 + 3 · 12, aynı şekilde 1 + 3 · 12'ye eşit olabilir. Mülk. . . an k n 2 n 1 = an n 1 · n 2 · , . . . , · n k, burada a ≥ 0, x 2 + 4 4 3'ün x 2 + 4 24 biçiminde yazılabildiği anlamına gelir.

Radikal ifadeleri dönüştürürken bazı nüanslar vardır. Bir ifade varsa, o zaman - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 onu yazamayız, çünkü a b n = a n b n formülü yalnızca negatif olmayan a ve pozitif b için hizmet eder. Özellik doğru uygulanırsa sonuç 7 4 81 4 formunun bir ifadesi olacaktır.

Doğru dönüşüm için irrasyonel ifadelerin köklerin özellikleri kullanılarak dönüşümleri kullanılır.

Kök işaretinin altına çarpan girme

Tanım 3

Kök işaretinin altına yerleştirin– B · C n ifadesinin değiştirilmesi anlamına gelir ve B ve C bazı sayılar veya ifadelerdir; burada n, 1'den büyük bir doğal sayıdır, eşit ifade B n · C n veya - B n · C n biçimindedir.

2 x 3 formunun ifadesini basitleştirirsek, bunu köke ekledikten sonra 2 3 x 3'ü elde ederiz. Bu tür dönüşümler ancak detaylı çalışma Kök işareti altında bir çarpan girme kuralları.

Çarpanın kök işaretinin altından çıkarılması

B n · C n biçiminde bir ifade varsa, o zaman B · C n biçimine indirgenir; burada tek sayılar vardır; bunlar B · C n biçimini alır ve çift n, B ve C bazı sayılardır. ve ifadeler.

Yani 2 3 x 3 formundaki irrasyonel bir ifadeyi alırsak, çarpanı kökün altından çıkarırsak 2 x 3 ifadesini elde ederiz. Veya x + 1 2 · 7, x + 1 · 7 biçiminde bir ifadeyle sonuçlanacaktır, bu da x + 1 · 7 biçiminde başka bir gösterime sahiptir.

Faktörün kökün altından çıkarılması, ifadeyi basitleştirmek için gereklidir ve hızlı dönüşüm.

Kök içeren kesirleri dönüştürme

İrrasyonel bir ifade şöyle olabilir doğal sayı ve kesir şeklinde. Dönüştürmek için kesirli ifadeler büyük ilgi paydasına kadar ödeyin. (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3 formunun bir kısmını alırsak pay 5 x 4 formunu alır ve köklerin özelliklerini kullanarak paydanın x 2 olacağını buluruz. + 5 6. Orijinal kesir 5 x 4 x 2 + 5 6 olarak yazılabilir.

Sadece payın veya sadece paydanın işaretini değiştirmek gerektiğine dikkat etmek gerekir. bunu anladık

X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4

Bir kesri azaltmak en çok basitleştirme sırasında kullanılır. bunu anladık

3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 x + 4 3 - 1 oranında azaltılır. 3 x x + 4 3 - 1 2 ifadesini elde ederiz.

İndirgemeden önce ifadeyi basitleştirecek ve çarpanlara ayırmayı mümkün kılacak dönüşümlerin gerçekleştirilmesi gerekir. karmaşık ifade. Kısaltılmış çarpma formülleri en sık kullanılır.

2 · x - y x + y formunun bir kısmını alırsak, u = x ve v = x gibi yeni değişkenler eklemek gerekir, o zaman verilen ifade biçim değiştirecek ve 2 · u 2 - v 2 u + olacaktır. v. Payın formüle göre polinomlara ayrıştırılması gerekir, o zaman şunu elde ederiz:

2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v sen + v = 2 · u - v . Ters değiştirmeyi yaptıktan sonra orijinaline eşit olan 2 x - y formuna ulaşıyoruz.

Yeni bir paydanın azaltılmasına izin verilir, daha sonra payı ek bir faktörle çarpmak gerekir. Eğer x 3 - 1 0, 5 · x formunun bir kısmını alırsak, bunu x paydasına indiririz. bunu yapmak için payı ve paydayı 2 x ifadesiyle çarpmanız gerekir, ardından x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x ifadesini elde ederiz. .

Kesirlerin azaltılması veya benzerlerinin getirilmesi yalnızca belirtilen kesirin ODZ'si için gereklidir. Pay ve paydayı irrasyonel bir ifadeyle çarptığımızda paydadaki irrasyonellikten kurtulduğumuzu görürüz.

Paydadaki irrasyonellikten kurtulmak

Bir ifadenin paydadaki kökten dönüşüm yoluyla kurtulmasına irrasyonellikten kurtulma denir. x 3 3 formunun kesri örneğine bakalım. İrrasyonellikten kurtulduktan sonra 9 3 x 3 formunun yeni bir kesirini elde ederiz.

Köklerden güçlere geçiş

İrrasyonel ifadelerin hızlı bir şekilde dönüştürülmesi için köklerden güçlere geçiş gereklidir. a m n = a m n eşitliğini dikkate alırsak, a'nın pozitif bir sayı, m'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olması durumunda kullanımının mümkün olduğunu görebiliriz. Eğer 5 - 2 3 ifadesini dikkate alırsak, aksi halde 5 - 2 3 olarak yazma hakkımız olur. Bu ifadeler eşdeğerdir.

Kök negatif bir sayı veya değişkenli bir sayı içerdiğinde a m n = a m n formülü her zaman geçerli değildir. Bu tür kökleri (- 8) 3 5 ve (- 16) 2 4'ün kuvvetleriyle değiştirmeniz gerekiyorsa, o zaman - 8 3 5 ve - 16 2 4'ü a m n = a m n formülüyle elde ederiz, negatif a ile çalışmıyoruz. Radikal ifadeler ve bunların sadeleştirilmesi konusunu detaylı bir şekilde incelemek için köklerden kuvvetlere ve geriye geçişle ilgili makaleyi incelemek gerekir. a m n = a m n formülünün bu türdeki tüm ifadeler için geçerli olmadığı unutulmamalıdır. Mantıksızlıktan kurtulmak ifadenin daha da basitleşmesine, dönüşümüne ve çözümüne katkı sağlar.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.