Ortalama değerin bir işareti değildir. Ortalama değerler

Federal ajans eğitimin

Yüksek mesleki eğitimin devlet eğitim kurumu "Ural Devlet Ekonomi Üniversitesi"

Uzaktan Eğitim Merkezi

ÖLÇEK

disiplinle: " İstatistik"

Yürütücü:

grup öğrencisi: ETR-09 SR

Troşeva Natalya Yurievna

Yekaterinburg şehri

2009

giriiş

1.1 Ortalama değer türleri ve hesaplama yöntemleri

1.2 Yapısal ortalamalar

2. Pratik görev

Çözüm

Kaynakça

giriiş

Bu Ölçek teorik ve pratik olmak üzere iki bölümden oluşur.

Teorik kısımda, ortalama değer gibi önemli bir istatistiksel kategori, özünü ve uygulama koşullarını belirlemek, ayrıca ortalama türlerini ve bunların hesaplanmasına yönelik yöntemleri vurgulamak için ayrıntılı olarak incelenecektir.

Pratik kısım, herhangi bir işletmenin en önemli performans göstergelerinin (bu göstergelerdeki değişiklikleri etkileyen ana faktörleri belirlemek için olgunun planlanan gelişim düzeyi ve genel fiyat endeksi) hesaplanmasına ve analizine ayrılmıştır.

1. Ortalama değerler: türler, özellikler, kapsam

Ortalama değer, incelenen popülasyonda incelenen özelliğin genelleştirilmiş bir değeridir ve belirli yer ve zaman koşulları altında popülasyonun birimi başına tipik düzeyini yansıtır.

Ortalama değerler, kütlenin özet özelliğini veren genel istatistiksel göstergeleri ifade eder. sosyal fenomen, çünkü bunlar, değişen özelliklere sahip çok sayıda bireysel değer temelinde inşa edilmiştir.

Ortalama değer, incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak olanı yansıtır. Aynı zamanda, nüfusun bireysel birimlerinin özelliklerinin değerine etki eden tüm faktörlerin etkisini sanki karşılıklı olarak söndürüyormuş gibi dengeler. Herhangi bir sosyal olgunun düzeyi, iki grup faktörün etkisi ile belirlenir. Bazıları genel ve anadır, sürekli çalışır, incelenen olgunun veya sürecin doğasıyla yakından ilgilidir ve incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortalama değere yansıyan tipik olanı oluşturur. Diğerleri bireyseldir, eylemleri daha az belirgindir ve doğası gereği rastgeledir. Dolayısıyla ortalama değer, hiçbiriyle niceliksel olarak çakışmadan, özelliklerin bireysel değerlerinden sapabilen "kişisel olmayan" bir değer görevi görür. Ortalama değer, bireysel birimlerinin özellikleri arasındaki rastgele, atipik farklılıkların karşılıklı iptali nedeniyle tüm popülasyon için genel, karakteristik ve tipik olanı yansıtır, çünkü değeri sanki tüm nedenlerin ortak sonucu tarafından belirlenir.

Ortalama değerin bir özelliğin en tipik değerini yansıtabilmesi için yalnızca niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için belirlenmesi gerekir. Bu gereklilik, ortalamaların bilimsel temelli kullanımının temel koşuludur ve sosyo-ekonomik olayların analizinde ortalama yöntemi ile gruplama yöntemi arasında yakın bir bağlantı olduğunu ima eder.

Herhangi bir ortalama değerin doğru hesaplanmasının aşağıdaki gerekliliklerin yerine getirilmesini gerektirdiği vurgulanmalıdır:

ortalama değerin hesaplandığı nüfusun niteliksel homojenliği.

ortalama değerin hesaplanmasında rastgele, tamamen bireysel nedenlerin ve faktörlerin etkisinin ortadan kaldırılması

Ortalama değeri hesaplarken, hesaplamanın amacını ve odaklanılması gereken tanımlayıcı göstergeyi belirlemek önemlidir.

Bir bütün olarak nüfus için hesaplanan ortalama değere genel ortalama denir - incelenen olgunun genel özelliklerini yansıtır; Her grup için grup ortalamalarına göre hesaplanan ortalama değerler, belirli bir grubun belirli koşulları altında gelişen olgunun bir özelliğini sağlar.

1.1 Hesaplama yöntemleri farklı olabilir, bu nedenle istatistiklerde birkaç tür ortalama değer vardır

Ortalama değerler 2 büyük türe ayrılır:

güç araçları (harmonik ortalama, geometrik ortalama, aritmetik ortalama vb.). Güç ortalamalarını hesaplamak için mevcut tüm karakteristik değerlerin kullanılması gerekir. Aynı veriler için tüm güç ortalama türlerini hesaplarsanız değerleri aynı olacaktır. Daha sonra ortalamaların çoğunluğu kuralı geçerlidir: ortalamaların üssündeki artışla birlikte ortalama değerin kendisi de artar ().

yapısal araçlar (mod, medyan). Mod ve medyan yalnızca dağılımın yapısına göre belirlenir. Bu nedenle bunlara “yapısal konumsal ortalamalar” denir. Medyan ve mod, güç ortalamasının hesaplanmasının imkansız veya pratik olmadığı popülasyonlarda sıklıkla ortalama bir özellik olarak kullanılır.

Açıklık sağlamak amacıyla, pratik araştırmalarda çeşitli güç ortalama türlerini hesaplamak için en yaygın kullanılan formüller Tablo 1'de sunulmaktadır.

Tablo 1 Güç araçlarının türleri

Aritmetik ortalama, hesaplama sırasında özelliğin toplam hacminin değişmeden kaldığı, özelliğin ortalama değeridir. Aritmetik ortalamayı hesaplamak için tüm özellik değerlerinin toplamını sayılarına bölmek gerekir. Tüm popülasyon için değişen bir özelliğin hacminin, bireysel birimlerinin özelliklerinin değerlerinin toplamı olduğu durumlarda kullanılır. Aritmetik ortalamanın bir örneği toplam ücret fonudur.

Aritmetik basit ortalama, ortalaması alınan özelliğin bireysel değerlerinin basit toplamına bölünerek eşittir. toplam sayısı bu değerler. Gruplandırılmamış bireysel karakteristik değerlerin olduğu durumlarda kullanılır.

Aritmetik ağırlıklı ortalama, tekrarlanan varyantlarının ortalamasıdır. farklı numara kez veya farklı ağırlıklara sahip.

Aritmetik ortalamanın temel özellikleri:

Karakteristiğin bireysel değerleri, yani. seçenekleri, i kat azalır veya artarsa, yeni özelliğin ortalama değeri buna bağlı olarak i kat azalacak veya artacaktır.

Ortalaması alınan özelliğin tüm değişkenleri A sayısı kadar azaltılır veya artırılırsa, aritmetik ortalama da buna uygun olarak aynı sayı kadar azalacak veya artacaktır.

Ortalaması alınan tüm seçeneklerin ağırlıkları k kat azaltılır veya artırılırsa aritmetik ortalama değişmeyecektir.

Bir özelliğin (varyant) bireysel değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının toplamı sıfıra eşittir.

Ortalama değeri hesaplamadan önce aralık serisini ayrık seriye dönüştürmek gerekir. Bunu yapmak için her grupta aralığın ortasını bulun. Üst ve alt sınırların toplamının ikiye bölünmesiyle belirlenir.

Bilginin frekans içermediği durumlarda harmonik ağırlıklı ortalama formülü kullanılır. bütünün bireysel seçenekleri x için ve bir ürün olarak sunulur
. Ortalamayı hesaplamak için belirtmek gerekir.
, Neresi
. Şimdi aritmetik ortalama formülünü, mevcut x ve m verilerinden ortalamayı hesaplayabileceğimiz şekilde dönüştürüyoruz. Aritmetik ağırlıklı ortalama formülünde, oran yerine m, f yerine ise oran koyarız ve böylece harmonik ağırlıklı ortalama formülünü elde ederiz.

Harmonik ortalama basit değer, her seçeneğin ağırlığının bire eşit olduğu durumlarda kullanılır; ,

Geometrik ortalama değer, bir özelliğin bireysel değerlerinin, dinamik serideki her seviyenin önceki seviyesine oran olarak zincir değerleri şeklinde oluşturulmuş göreceli dinamik değerler olduğu durumlarda kullanılır; ortalama büyüme oranını karakterize eder.

Ortalama değerler, tıbbi istatistiklerde yaygın olarak kullanılan ikinci tür türetilmiş değerlerdir. Ortalama değer, belirli bir değişen niceliksel özelliğe (ortalama boy, ortalama ağırlık, ortalama yaş merhum). Ortalama değer, bir bütün olarak istatistiksel popülasyonun tamamının genel tanımlayıcı özelliğini yansıtır ve onu tipik bir değere sahip tek bir sayıyla değiştirir. bu özelliğin. Ortalama değer dengeleniyor, zayıflıyor rastgele sapmalar bir yönde veya başka bir yönde bireysel gözlemler ve karakterize eder daimi mülkiyet fenomen.

Tıpta ortalama değerler karakterize etmek için kullanılabilir fiziksel Geliştirme, temel antropometrik özellikler (morfolojik ve fonksiyonel: boy, ağırlık, dinamometri vb.) ve bunların dinamikleri (bir özelliğin ortalama artış veya azalış değerleri). Bu göstergelerin ve bunların kombinasyonlarının standartlar halinde geliştirilmesi büyük önem taşımaktadır. pratik önemi Nüfusun (özellikle çocukların ve sporcuların) sağlığını analiz etmek. Epidemiyologlar bir salgındaki ortalama hastalık sayısını, salgınların zamana göre dağılımını ve ortalama dezenfeksiyon süresini hesaplar.

Demografik ve tıbbi-sosyal çalışmalarda aşağıdakiler hesaplanır: ortalama süre gelecekteki yaşam, ölen kişinin ortalama yaşı, ortalama nüfus vb.

Deneysel laboratuvar çalışmalarında ortalama değerler de kullanılır: sıcaklık, dakikadaki nabız sayısı, seviye tansiyon, ortalama sürat veya belirli bir uyarıya verilen ortalama reaksiyon süresi, kandaki biyokimyasal elementlerin ortalama seviyeleri vb.

Hem istatistiksel katsayılar hem de ortalamalar olasılıksal değerlerdir ancak aralarında önemli farklılıklar vardır:

• 1) İstatistiksel katsayılar Nüfusun yalnızca belirli bir bölümünde ortaya çıkan, ortaya çıkabilecek veya çıkmayabilecek (doğum, ölüm, hastalık) bir özelliği (alternatif özellik olarak adlandırılan) karakterize etmek. Ortalama değerler tüm popülasyonda var olan özellikleri karakterize eder, ancak değişen derecelerde(ağırlık, boy, tedavi günleri).
• 2) İstatistiksel katsayılar niteliksel (niteliksel veya tanımlayıcı) özellikleri ölçmek için kullanılır ve ortalama katsayılar, değişen niceliksel özellikler için kullanılır; Hakkında konuşuyoruz bir özelliğin sayısal boyutlarındaki farklılıklar hakkında, varlığı veya yokluğu hakkında değil.

Ortalama değerlerin temel avantajı tipikliğidir - ortalama hemen verir Genel özellikleri fenomen. Bu bağlamda, ortalama değerleri hesaplamak için iki ana gereklilik ayırt edilebilir:

• - nüfusun homojenliği;
• - yeterli sayıda gözlem.

Herhangi bir dağıtım rastgele değişken Belirli bir olasılık dağılım yasasına tabi olması gerekmeyen, dağılım parametreleriyle karakterize edilir: ortalama değer (M), standart sapma (), değişim katsayısı (Cv), vb.

Örneğin, 10 hastanın tedavi dönemlerine göre dağılımını incelerken bir dizi sayısal değer elde ederiz: 38, 13, 17, 20, 14, 18, 25, 32, 23, 25 - sırasız bir seri.

Dağıtım parametreleri bu seri kullanılarak hesaplanabilir. Ancak bir seriyi birkaç parametreyle karakterize etmek yeterli değildir; istatistiksel seri herhangi bir istikrarlı model. Ancak sırasız bir seri kullanıldığında olası bir modeli tespit etmek zordur, bu nedenle sıralı seriler oluşturulur.

İncelenen popülasyonun birimlerinin değişen bir özelliğin değerlerine göre dağılımının verildiği seriye varyasyonel denir. Başka bir deyişle - varyasyon serisi- seçeneklerin (seçenek gruplarının) aralık (i) adı verilen belirli bir miktarda birbirinden farklı olduğu, artan veya azalan sırada düzenlenmiş bir dizi homojen miktar.

Buna göre hastaların tedavi dönemlerine göre dağılımı şu şekilde sunulabilir:

İncelenen olgunun değişen, değişken bir işareti (boy, ağırlık vb.), Sayısal değer seçenek (V) olarak adlandırılır.

Belirli bir değişkenin kaç kez meydana geldiğini gösteren, belirli bir özelliğin gözlemlenme vakalarının sayısına frekans (p) adı verilir.

Varyasyon serisi şunlar olabilir:

• 1) incelenen olguya bağlı olarak:
  • - ayrık (süreksiz) - değerleri yalnızca tam sayılarla (nabız hızı, gruptaki öğrenci sayısı vb.) ifade edilen, sürekli değişen özelliklere dayanarak oluşturulmuştur;
  • - aralık (sürekli) - genellikle herhangi bir değer alabilen ve herhangi bir sayıyla (boy, ağırlık vb.) ifade edilen özellikler temelinde oluşturulur.
• 2) gözlem sayısına bağlı olarak:
  • - basit - seçenek tek bir sayısal değerle temsil edilir;
  • - gruplandırılmış - seçenekler belirli bir kritere göre gruplandırılır. Örneğin fiziksel gelişimi incelerken ağırlığa göre gruplandırma yapılabilir: 40-44 kg; 45-49 kilo. vesaire.
• 3) düzenleme sırasına bağlı olarak seçenek:
  • - artan - seçenekler artan sırada düzenlenmiştir;
  • - azalan - seçenekler azalan sırada düzenlenir.

Ayrı bir varyasyon serisi aynı anda birçok özelliği içerebilir. Örneğin basit, azalan, süreksiz; veya - gruplandırılmış, artan, sürekli.

Tıbbi istatistiklerde yaygın olarak kullanılan ortalama türleri medyan, mod ve aritmetik ortalamadır. Diğer ortalama türleri: harmonik ortalama, ikinci dereceden ortalama, kübik ortalama, geometrik ortalama ve diğerleri - yalnızca özel çalışmalarda kullanılır.

Medyan (Me), varyasyon serisini ikiye iki eşit parçaya bölen orta, merkezi seçenektir.

Örneğin gözlem sayısı 33 ise medyan her iki tarafında da 16 gözlem olduğundan 17. sırada yer alan seçenek olacaktır.

Çift sayıda gözlem içeren bir sıranın ortasında iki değer vardır. Değer olarak aynıysa medyana yaklaşmada zorluk yoktur, ancak iki büyüklüğün sayısal değerleri farklıysa yarı toplamları medyan olarak alınır.

Mod (Mo), bir özelliğin en sık tekrarlanan veya en sık tekrarlanan değeridir. Mod yaklaşık olarak basit (gruplandırılmamış) bir seride bulunduğunda, bir varyant olarak tanımlanır. en büyük sayı sıklık

Medyan ve modun aritmetik ortalamadan farkı, basitleştirilmiş, yaklaşık bir tanımla bu büyüklüklerin varyasyon serisindeki konumlarına (konumsal ortalamalar) göre kolayca ve hızlı bir şekilde bulunabilmesi, ayrıca değerlere bağlı olmamasıdır. aşırı değişkenlere veya serinin dağılım derecesine bağlıdır.

Aritmetik ortalama (Latin Medyasından M -) çoğunlukla tıbbi istatistiklerde kullanılır. Aritmetik ortalama basit veya ağırlıklı olabilir.

Basit bir aritmetik ortalama örneği, örneğin 6 kişinin ağırlığının ölçülmesinin sonucudur:

Böylece aritmetik basit ortalama, miktarların (seçeneklerin) toplamının sayılarına bölünmesiyle elde edilir. Basit aritmetik ortalama, yalnızca her değerin (değişkenin) tek bir gözlemle temsil edildiği durumlarda, yani frekansların birliğe eşit olduğu durumlarda hesaplanabilir.

Varyantın frekansları birden büyükse, basit ortalama uygulanamaz - burada, varyantın çarpımlarının toplamının karşılık gelen frekanslara bölünmesiyle elde edilen aritmetik ağırlıklı ortalamanın toplama bölünmesiyle hesaplanması gerekir. gözlem sayısı.

Örneğin: 18 öğrencinin atropin testinden sonra nabız hızı (dakikadaki atış sayısı): 86, 92, 100, 96, 90, 102, 88, 92, 80, 92, 96, 100, 86, 84, 102, 90, 86, 92.

Basit aritmetik ortalama özel durum aritmetik ortalama ağırlıklı olduğundan, aritmetik ortalama ağırlıklı formül aynı zamanda basit aritmetik ortalamayı hesaplamak için de kullanılabilir. İÇİNDE ikinci durum frekanslar bire eşittir ve çarpma işlemine gerek yoktur.

Üç ortalama değerin tümü (Mo, Me, M) simetrik bir varyasyon serisinde çakışır (veya pratik olarak çok yakındır): aritmetik ortalama, serinin ortasına karşılık gelir (simetrik bir seride, artışa ve artışa doğru sapmalar). azalma sırasıyla dengelidir); medyan (merkezi bir değer olarak) aynı zamanda serinin ortasına da karşılık gelir; modu (en doygun değer olarak) düşer en yüksek nokta sıra da merkezinde yer alır. Bu nedenle tüm simetrik seriler için aritmetik ortalama dışında ortalamaların hesaplanmasına gerek yoktur.

Aritmetik ortalamanın özellikleri:

• 1. Ortalama değer, belirli bir değişen niceliksel özellik için istatistiksel bir popülasyonun genelleştirici bir özelliğidir; belirli bir özelliğin tipik değeri olan bir sayı ile değiştirerek, bir bütün olarak tüm istatistiksel popülasyonun genel tanımlayıcı özelliğini yansıtır. Ortalama değer dengelenir, bireysel gözlemlerin bir yöndeki rastgele sapmalarını zayıflatır ve olayların sabit özelliğini karakterize eder.
• 2. Aritmetik ortalamadan sapmaların toplamı 0'a eşittir.
• 3. Kesinlikle simetrik bir varyasyon serisinde aritmetik ortalama orta konumdadır ve Mo, Me'ye eşittir.

Kendi başlarına alınan aritmetik ortalamalar ek teknikler değerlendirmeler sıklıkla sınırlı değerÇünkü serinin dağılım (çeşitlilik) derecesini yansıtmazlar. Farklı saçılma derecelerine sahip serilerden aynı büyüklükte ortalama değerler elde edilebilir. Ortalamalar, çeşitli seçeneklerin etrafına dağıldığı değerlerdir ve bireysel seçenekler birbirine ne kadar yakınsa, serinin dağılımı ne kadar küçük olursa, ortalama değer o kadar tipik olur.

Bir serinin çeşitliliğini değerlendirmeye yönelik yaklaşık bir yöntem, genliğin belirlenmesi olabilir. Genlik - en büyük ve en büyük arasındaki fark en düşük değer seçenek:

A = Vmax - Vmin

Ancak genlik, seri içindeki ara değerleri hesaba katmaz; ayrıca boyutları gözlem sayısına da bağlı olabilir.

Bir serinin çeşitliliğini değerlendirmenin ana ölçüsü standart sapmadır ().

Sigmayı hesaplamak için ihtiyacınız olan:

ortalamadan (V - M) sapmaları (d) belirlemek;

sapmaların karesi (d 2);

• 3) sapmaların karelerini frekanslarla (d 2р) çarpın;
• 4) karesel sapmaların ve frekansların çarpımlarını toplayın;
• 5) bu miktarı gözlem sayısına bölün;
• 6) bölümün karekökünü çıkarın.

Sigma'yı kullanarak ortalamanın tipiklik derecesini, serinin dağılım sınırlarını, bireysel değişkenlerin ortalaması etrafındaki dalgalanmaların sınırlarını belirleyebilirsiniz. Sigma ne kadar küçük olursa serinin saçılımı da o kadar küçük olur ve bu seri için hesaplanan ortalama değer o kadar doğru ve tipik olur.

Sigma kullanımı çeşitli türlerin çeşitliliğini değerlendirmeyi ve karşılaştırmayı mümkün kılar. homojen seri dağıtım, nominal bir miktar olduğundan ve ifade edildiği için mutlak sayı incelenen popülasyonun birimleri cinsinden (cm, kg, mg/l, vb.). Bu durumda sigmanın mutlak boyutu dikkate alınır. Örneğin, ağırlığa göre iki dağılım sırasını karşılaştırırken, ortalamaların birbirine yakın olması koşuluyla, ancak bir satırdaki sigma ± 5,6 kg, diğerindeki ± 2,1 kg olacaktır. - ikinci sıra daha az dağınıktır ve ortası daha tipiktir.

Heterojen serilerin çeşitliliğini değerlendirirken (örneğin ağırlık ve boy gibi özellikler), sigma boyutlarının doğrudan karşılaştırılması imkansızdır. Bu durumda, serinin göreceli çeşitlilik derecesini belirlemek için, türetilmiş bir değere başvurulur - göreceli bir değer olan, % olarak ifade edilen ve Cv (V) harfiyle gösterilen değişkenlik katsayısı (varyasyon).

Örneğin 1. sınıf erkek öğrencilerin fiziksel gelişimini incelerken aşağıdaki göstergeler elde edildi: M (ağırlık) = 67,5 kg; M (yükseklik) = 178,1 cm Buna göre = ± 2,8 kg. ve ± 6,2 cm. Boydaki standart sapma, ağırlıktaki sigmanın 2 katından fazladır.

Boy için değişim katsayısı kilonunkinden daha azdır; yani boy, kilodan daha istikrarlı bir özellik olarak ortaya çıkmıştır.

Değişim katsayılarında üç derece çeşitlilik vardır:

%10'a kadar - zayıf çeşitlilik;

%10 - 20 - ortalama çeşitlilik;

%20'den fazla - güçlü çeşitlilik.

Çeşitlilik katsayısını hesaplamanın aynı yöntemi, ortalama değerlerin büyük ölçüde değiştiği homojen serilerin analiz edilmesinin yanı sıra izole edilmiş, tek bir serinin tahmin edilmesi için de uygundur.

Aritmetik ortalamanın (M) hesaplanmasına bir örnek; standart sapma(); varyasyon katsayısı (Cv).

45 hastada anjina tedavisinin süresi şöyleydi: 20, 20, 19, 16, 19, 16, 14, 13, 15, 13, 12, 13, 13, 3, 12, 11, 12, 11, 10, 12 , 11, 10, 11, 8, 7, 11, 11, 10, 10, 10, 9, 8, 8, 9, 5, 5, 6, 9, 5, 5, 9, 6, 7, 7, 14 ve 15 gün.

İlk aşama: Her seçeneğin ortaya çıkma sıklığını dikkate alarak bir varyasyon serisi oluşturuyoruz; serinin bir tanımını verin; varyantın çarpımını karşılık gelen frekansa göre buluruz, elde edilen çarpımları toplarız ve aritmetik ortalamayı hesaplarız:

İkinci aşama: d'yi (V-M) hesaplayın; d2; d 2p.

Sonuç: Anjina hastalığının klinikte ortalama tedavi süresi 11 gündü. %36,5'e eşit varyasyon katsayısının da gösterdiği gibi, ortalama bu seri için yeterince tipik değildir ( yüksek dereceözellik çeşitliliği).

İstatistiklerde ortalama değer, bir dizi homojen sosyal veya durumun genelleştirici bir göstergesidir. doğal olaylar Belirli bir zamanda belirli bir nüfus birimi başına değişen bir özelliğin tipik düzeyini gösterir.

Ortalamayı bulmak yaygın genelleme tekniklerinden biridir. Ortalama değer, incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak (tipik) olanı yansıtır, ancak aynı zamanda bireysel birimler arasındaki farkları da göz ardı eder. Gözlem sayısındaki sınırsız bir artışla (n -» oo), büyük sayılar yasasına göre ortalama değerin matematiksel beklentisine süresiz olarak yaklaşacağını, yani n - ile olacağını söylemiştik. > oo yazılabilir X ~ M[X], Burada X- ortalama değer. Yani ortalama değer bir tahmindir matematiksel beklenti.

Küçük bir inceleme yapalım ve verelim kısa bilgi n deney sonucunda elde edilen parametrelerin tahminleri üzerine. N sayıda deneyin sonuçlarına dayanarak belirli bir d parametresini belirlememiz gerektiğini varsayalım. Bu parametrenin yaklaşık değerini tahmini olarak adlandıracağız ve göstereceğiz D. Bir d tahmininin herhangi bir anlamda “iyi” bir tahmin olabilmesi için bir dizi gereksinimi karşılaması gerekir.

Seviye D deney sayısındaki artışla, olasılık açısından istenen parametreye yakınlaşmalıdır, yani.

Bu özelliğe sahip bir tahmine tutarlı denir.

Ayrıca tahmin kullanılarak D d parametresinin kendisi yerine, yapılmaması tavsiye edilir Sistematik hata yani tahminin matematiksel beklentisi parametrenin kendisine eşit olmalıdır:

Bu özelliğe sahip bir tahmine tarafsız denir.

Seçilen tarafsız tahmin iyi olurdu D mümkün olduğu kadar rastgeleydi, yani diğerlerine kıyasla minimum varyansa sahipti:

Bu özelliğe sahip bir tahmine etkin denir.

İÇİNDE gerçek koşullar Yukarıdaki gereksinimlerin tamamını karşılamak her zaman mümkün değildir. Bununla birlikte, herhangi bir parametre için bir tahmin seçerken, bu tahminin listelenen tüm bakış açılarından dikkate alınması tavsiye edilir.

Ortalamalara geri dönelim. Bunları hesaplarken Büyük miktarlar gözlemlerde rastlantısallık ortadan kalkar (bu, büyük sayılar kanunundan kaynaklanır), bu nedenle, incelenen olgunun önemsiz özelliklerinden ve gözlemlerden soyutlamak mümkündür. niceliksel değerler her bir deneyde oturum açın.

A. Quetelet, ortalamalar teorisinin kanıtlanmasına ve geliştirilmesine büyük katkı yaptı. Onun öğretisine göre kitlesel süreçler iki grup nedenin etkisi altında oluşur. Kütle toplamının tüm birimlerinde ortak olan nedenlerin ilk grubu, durumu belirleyenleri içerir. kitle süreci. Belirli bir homojen popülasyonun birimleri için tipik bir seviye oluştururlar.

İkinci grup nedenler oluşur spesifik özellikler kitlesel nüfusun bireysel birimleri ve dolayısıyla bunların tipik seviyeden yayılması.

Bu nedenler, incelenen olgunun doğasıyla ilgili değildir, bu nedenle bunlara rastgele nedenler denir.

Popülasyonun tamamı için elde edilen ortalama değere toplam, her grup için hesaplanan ortalama değerlere ise grup ortalamaları denir. İki tür ortalama vardır: güç ortalamaları (aritmetik ortalama vb.), yapısal ortalamalar (mod, medyan).

Hadi düşünelim güç ortalamaları. Güç ortalamaları formüle göre belirlenir

Nerede X- ortalama değer;

X ( - bugünkü değeri incelenen karakteristik;

T- ortalama derece göstergesi;

n - özellik sayısı (seçenek).

Göstergeye bağlı olarak T ortalama derecesi aşağıdaki güç ortalama türlerini elde ederiz:

• - harmonik ortalama x gar, Eğer T = -1;
• - geometrik ortalama es geom, Eğer T = 0;
• - aritmetik ortalama xar, Eğer T = 1;
• - ortalama kare x dörtlü, Eğer t = 2;
• - kübik ortalama x kübik, Eğer t = 3,
• - BT. D.

Aynı verileri kullanırken daha fazla T formül (6.4)'te, yani daha fazla değer ortalama, yani

Bazı güç ortalama türlerini hesaplamak için özel formüller sunuyoruz.

Şu tarihte: T= -1 harmonik ortalamayı elde ederiz:

Kaynak veriler gruplandırılmışsa ağırlıklı ortalamalar kullanılır. Ağırlık olarak frekans p (bizi ilgilendiren olayın ortaya çıktığı deney sayısı) veya bağıl frekans kullanılabilir.

Ağırlıklandırılmış harmonik ortalamanın formüllerini yazalım:

Şu tarihte: T= 0 geometrik ortalamayı elde ederiz:

yani belirsizlikle karşılaştılar.

Genişletmek için (6.4) formülünün her iki tarafının logaritmasını alalım.

sonra yerine koyarız T= 0 ve şunu elde ederiz

yani formda bir belirsizliğimiz var. Bu belirsizliği ortaya çıkarmak için L'Hopital kuralını uyguluyoruz. Elde edilen sonuç güçlendirilir ve sonunda şunu elde ederiz:

Geometrik ortalama, dinamik serilerdeki ve dağılım serilerindeki ortalama değişim oranını bulmak için yaygın olarak kullanılır.

Ağırlıklı geometrik ortalamanın formüllerini yazalım.

Hadi verelim spesifik örnek(6.11) formülünü kullanarak ağırlıklı geometrik ortalamayı bulmak.

Örnek 6.1

İlk gözlem verileri tabloda verilmiştir. 6.1.

Tablo 6.1

Masada 6.1 X.- bazı rastgele değişken X tarafından kabul edilen sonuçlar gm deneyimi; R. - olay sıklığı - tüm deneyler sonucunda ilgimizi çeken olayın kaç kez ortaya çıktığını gösterir. Örneğin, X= 2, 24 deneyde 5 kez ortaya çıktı.

Bir olayın göreceli frekansı (frekans).

Formül (6.11)'i kullanarak şunu elde ederiz:

Formül (6.12)'ye göre elimizde

Şu tarihte: t = 1 aritmetik ortalamasını alıyoruz:

Aritmetik ortalama, tüm güç araçları türleri arasında en fazla dağıtılan türdür. Tüm popülasyon için değişen bir özelliğin hacminin, bireysel birimlerin özelliklerinin değerlerinin toplamı olduğu durumlarda kullanılır.

Ağırlıklı aritmetik ortalamayı bulmak için formüller şunlardır:

Çok sayıda gözlemle, büyük sayılar yasasına göre formül (6.15), matematiksel beklentinin tahminini belirler;

Şu tarihte: t = 2 ortalama kareyi elde ederiz:

Birim kare cinsinden ifade edilen ortalama özellik boyutunu hesaplamak için kullanılır.

Ağırlıklı ortalamanın karesini bulmaya yönelik formüller şu şekildedir:

ga = 3 ile kübik ortalamayı elde ederiz:

Bir özelliğin kübik birimlerle ifade edilen ortalama boyutunu bulmak için kullanılır.

Ağırlıklı kübik ortalamanın hesaplanmasına yönelik formüller şunlardır:

Şimdi düşünelim yapısal ortalamalar: mod ve medyan. İstatistikte, olasılık teorisinden farklı olarak, bu büyüklüklerin tahminleriyle ilgileniriz. Bunları Bölüm 2'dekiyle aynı harflerle ancak yaklaşık işaretiyle göstereceğiz.

İstatistikteki mod (Mo), bir istatistiksel dağılım serisinde en sık ortaya çıkan rastgele bir değişkenin değeridir; en yüksek frekans veya göreceli frekans (frekans).

Örneğin, tabloda. 6.1'de en yüksek bağıl frekans / = 0,33'tür, dolayısıyla mod Mo = 5'e eşittir.

Eşit aralıklarla gruplandırılmış bir dağıtım serimiz varsa, mod aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

nerede M o alt- modal aralığın alt sınırı;

g Mo - modal aralığın uzunluğu;

Pmo - modal aralık frekansı;

M-mo_, - modal olandan önceki aralığın frekansı;

M-mo +1 -- modalı takip eden aralığın frekansı.

Hesaplamalar için bağıl frekansların da kullanılabileceğini unutmayın.

İstatistikteki medyan, dağılımın sıralı serisinin ortasında yer alan bir seçenektir; yani medyanın değeri, sıra numarasına göre bulunur.

Dağıtım serisi varsa tek sayı elementlerin medyan sayısı formüle göre bulunur

Örneğin, tabloda. Tablo 6.2 Yüksek Matematik Bölümü öğretim elemanlarının maaşlarını göstermektedir.

Tablo 6.2

Serinin eleman sayısı 5'tir, dolayısıyla (6.23) formülünü kullanarak medyan sayısını, dolayısıyla bakırı buluruz.

ana içeri bu durumda eşittir

Bir satır çift sayıda öğe içeriyorsa seçenek, satırın ortasında yer alan iki seçeneğin ortalaması olarak bulunur.

Gruplandırılmış bir dağılım serisinde medyan (tüm popülasyonu iki eşit parçaya böldüğü için) aralıklardan birinde bulunur.

Kümülatif (birikimli) frekans (veya bağıl frekans), serideki tüm frekansların toplamının yarısına eşit veya ondan daha büyüktür (örneğin, bağıl frekanslar 1/2'ye eşittir veya 1/2'den büyüktür).

Bu durumda medyan değer aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

medyan aralığının alt sınırı nerede;

Medyan aralığın uzunluğu;

Frekansların yarısı toplamı;

Medyan aralığın başlangıcından önce biriken frekansların toplamı;

Medyan aralık frekansı.

İstatistiksel verilerin işlenmesi ve özetlenmesi sürecinde ortalama değerlerin belirlenmesi ihtiyacı ortaya çıkar. Kural olarak, aynı özelliğin bireysel değerleri popülasyonun farklı birimlerinde aynı değildir.

ortalama değer – incelenen popülasyonda incelenen özelliğin genelleştirici bir özelliği. Belirli yer ve zaman koşulları altında birim nüfus başına düşen tipik düzeyi yansıtır.

Örneğin, bir işletmedeki işçilerin gelirini incelerken genel özellik, bir işçinin ortalama geliridir. Bunu belirlemek için ücretler, sosyal yardımlar ve işgücü yardımları şeklinde tüketime tahsis edilen toplam fon miktarı, finansal asistanİncelenen dönem için (yıl, çeyrek, ay) işletmenin mülkünde bulunan hisse senetlerine ilişkin temettüler ve mevduat faizleri, işletmenin çalışan sayısına bölünür. Ortalama gelir, bir işletmedeki tüm işçi nüfusu için ortak olanı karakterize eder; incelenen dönemde belirli bir işletmenin belirli çalışma koşullarında işçi kitlesinin gelir düzeyi.

Nüfusun tamamı için hesaplanan ortalamaya ne ad verilir? genel ortalama.

Her grup için hesaplanan ortalamalara denir. grup ortalamaları.

Ortalamanın hesaplandığı nüfus birimi ne kadar fazlaysa, o kadar kararlıdır; daha kesin. Ortalama değerin hesaplanması iki işlemi içerir:

I – tüm birimler için verilerin toplanması (veri genelleştirme);

II – özetlenen verilerin popülasyondaki birim sayısına bölünmesi.

– bir özelliğin ortalama değeri ; N– nüfus birimlerinin sayısı;

XBen – Nüfusun her biriminin özelliğinin bireysel değeri.

Ortalama değerin özü, onun piyasa ekonomisindeki özel önemini belirler. Bireysel ve rastgele ortalama değer, genel ve gerekli olanı belirlememize, ekonomik gelişme kalıplarının eğilimini belirlememize olanak tanır.

Güç ortalamaları:

ü aritmetik ortalama;

ü geometrik ortalama;

ü harmonik ortalama;

ü ortalama kare;

ü ortalama kronolojik.

Yapısal ortalamalar: mod ve medyan.

Araştırmanın amacına bağlı olarak bir veya başka bir ortalama türünün seçimi yapılır, ekonomik öz ortalama gösterge ve mevcut kaynak verilerinin niteliği. Ancak ortalama doğru uygulandığında gerçek ekonomik anlam taşıyan değerler elde edilir.

Aritmetik ortalama - En yaygın ortalama türü.

Aritmetik ortalamayla demek istediğimiz Bir özelliğin tüm değerlerinin toplamının popülasyonun tüm birimleri arasında eşit olarak dağıtılması durumunda popülasyonun her biriminin sahip olacağı bir özelliğin değeri.

Ortalama karakteristik hacminin, incelenen istatistiksel popülasyonun bireysel birimleri için değerlerinin toplamı olarak oluşturulduğu durumlarda hesaplanır. Kaynak verinin niteliğine bağlı olarak aritmetik ortalama şu şekilde belirlenir:

Basit aritmetik ortalama değerlerin toplamının sayısına bölünmesiyle hesaplanır.

Örnek: Bir atölyedeki 3 işçinin Ocak ayı ücretleri: 6500, 4955, 5323 ruble. Aylık ortalama maaş:
ovmak.

Örnek: Bir ticari işletmenin on çalışanının ortalama hizmet süresini hesaplayın. Tek özellik değeri (yıl): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.

= (6+5+4+3+3+4+5+4+5+4) : 10 = 43: 10 = 4,3 yıl.

Gördüğümüz gibi, aritmetik ortalama şu şekilde ortaya çıkabilir: kesirli sayıözelliğin bireysel değerleri yalnızca tamsayı olarak belirtilmiş olsa bile. Bu, soyut (teorik) bir miktar olan aritmetik ortalamanın özünden kaynaklanır; özelliğin sunulan bireysel değerler kümesinde bulunmayan sayısal bir değeri alabilir.

Aritmetik ortalama ağırlıklı

Aynı karakteristik değer birkaç kez ortaya çıktığında, bir dağılım serisi üzerinden bir karakteristiğin ortalama değerini hesaplamak sıklıkla gerekli olur. Verileri özelliğin değerine göre birleştirerek (yani gruplandırarak) ve her birinin tekrarlanma durumlarını sayarak aşağıdaki varyasyon serisini elde ederiz.

Sonuç olarak, ağırlıklı ortalamayı hesaplamak için aşağıdaki sıralı işlemler gerçekleştirilir: her seçeneğin frekansıyla çarpılması, elde edilen sonuçların toplanması, elde edilen toplamın frekansların toplamına bölünmesi.

Ağırlıklı aritmetik ortalama dikkate alınır farklı anlam bütünlük içindeki bireysel seçenekler. Bu nedenle seçeneklerin farklı numaralara sahip olduğu tüm durumlarda kullanılmalıdır. Bu durumlarda basit bir ortalamanın kullanılması kabul edilemez, çünkü bu kaçınılmaz olarak istatistiksel göstergelerin bozulmasına yol açar.

Aritmetik ortalamanın eşit olarak dağıldığı görülmektedir. ayrı nesneler toplam değer aslında her biri için değişen bir özellik.

Bazen ortalama değerlerin hesaplanması, ortalamanın hesaplandığı özelliğin değişkenleri aralıklar (- ila) şeklinde sunulduğunda, aralık dağılım serisi şeklinde gruplandırılmış veriler kullanılarak yapılmalıdır. Ortalama değeri hesaplamak için, her seçenekte ortalama x değerini belirlemek ve ardından olağan x y sırasına göre tartmak gerekir.

Kapalı bir aralıkta orta değer, alt ve üst sınırların değerlerinin toplamının yarısı olarak tanımlanır.

Ortalama değerleri hesaplama sorunu aralık serisi Başlangıç ​​ve son aralıkların uç sınırlarının bilinmemesi gerçeği nedeniyle karmaşık hale gelir. Bu durumda bu aralığın sınırları arasındaki mesafenin bitişik aralıkla aynı olduğu varsayılır.

Bir aralık serisinin ortalamasını hesaplamak için aritmetik ağırlıklı ortalama formülünü kullanmamıza rağmen, hesaplanan ortalamanın kesin bir değer olmadığını, çünkü grupların ortalama değerlerinin sayılarıyla çarpılması sonucunda, alamayacak gerçek değer. Tutarsızlığın derecesi bir dizi nedene bağlıdır: 1 – seçenek sayısı. Nasıl daha büyük sayı seçeneğini tercih ederseniz, aralığın ortasının grup ortalamasından çok az farklı olması muhtemeldir. Her grupta az sayıda birim varsa, grup ortalamaları aralığın yalnızca ortasında değil, aynı zamanda üst veya alt sınırına da yakın olabilir.

Örnek, Bir reklam ajansının 12 çalışanının ortalama hizmet süresinin hesaplanması gerekmektedir. Aynı zamanda niteliğin (deneyimin) yıllar içindeki bireysel değerleri de bilinmektedir: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

Özelliğin değerine ilişkin verileri birleştirdikten ve her birinin tekrarlanma durumlarını saydıktan sonra, ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanarak gruplandırılmış verilere dayanarak ortalama hizmet süresini hesaplayacağız.

X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 Yılın.

Materyalin istatistiksel işlenmesi uygulamasında sorunlar ortaya çıkıyor çeşitli görevler fenomenlerin incelenmesinde özelliklere sahip olan ve çözümlerinde çeşitli ortalamaların kullanılmasını gerektiren. İstatistiksel ortalamaların her zaman ifade ettiği göz önüne alındığında kalite özellikleri okudu sosyal süreçler ve fenomenler arasındaki ilişkiye ve özelliklerine bağlı olarak ortalamanın doğru formunu seçmek önemlidir.

Aritmetik ortalamanın özellikleri:

Aritmetik ortalamanın, ortalamaların özünü anlamak ve hesaplamalarını basitleştirmek için gerekli olan bir takım özellikleri vardır.

1. Orta aritmetik toplam değişen miktarlar ortalamaların toplamına eşittir aritmetik büyüklükler:

Eğer x i = y i + z i ise o zaman

Bu kural, hangi durumlarda ortalama değerlerin toplanabileceğini gösterir. Örneğin, üretilen ürünler iki parçadan oluşuyorsa sen Ve z ve her birinin üretimi ortalama olarak harcanıyor en= 3 saat z = 5 h, daha sonra bir ürünün imalatında harcanan ortalama süre ( X), eşit olacaktır: 3+5 = 8 saat, yani. X= y + z..

2. Değişken bir özelliğin bireysel değerlerinin ortalamadan sapmalarının cebirsel toplamı sıfıra eşittir, çünkü bir yöndeki sapmaların toplamı diğer yöndeki sapmaların toplamı ile iptal edilir, yani.

Çünkü

Bu kural ortalamanın sonuç olduğunu gösterir.

3. Bir serideki tüm seçenekler aynı sayıda azaltılır veya artırılırsa A, o zaman ortalama aynı sayıda azalacak veya artacaktır A:

4. Bir serinin tüm seçenekleri azaltılır veya artırılırsa A kez, ortalama da buna uygun olarak azalacak veya artacaktır. A bir kere:

5. Bir serinin tüm frekansları aynı sayıya bölünür veya çarpılırsa D, o zaman ortalama değişmeyecektir:

Bu özellik, ortalamanın ölçeklerin büyüklüğüne değil, aralarındaki ilişkiye bağlı olduğunu gösterir. Sonuç olarak, yalnızca mutlak değil, aynı zamanda göreceli değerler de ölçek görevi görebilir.

Ortalama kronolojik

Bazen sosyo-ekonomik göstergeleri analiz ederken, eşit momentli dinamiklerden gelen veriler varsa ortalama değeri belirlemek gerekir. Örneğin aylık ortalama mal envanteri; ayın başındaki satıcıların sayısı biliniyorsa, çeyrek ve yarı yıl için ortalama satıcı sayısı; veya bir bölgenin ortalama yıllık nüfusunu belirleyin, ardından kronolojik ortalamayı kullanın.

X=(x 1 + x 2 +x 3 +…+x n -1 + x n) : (n-1)

X – popülasyonun her biriminin özelliğinin bireysel değeri;

n – nüfus birimlerinin sayısı.

Harmonik ortalama

Harmonik ortalama, aritmetik ortalamanın tersidir. Ne zaman istatistiki bilgi popülasyonun bireysel değişkenleri için frekansları içermez, ancak bunların çarpımı olarak sunulur; ağırlıklı harmonik ortalama formülü kullanılır;

Bu formdaki ortalamaya denir ağırlıklı harmonik ortalama Ve ile gösterilir x gar M. vzvz . Sonuç olarak, harmonik ortalama aritmetik ortalamayla aynıdır. Gerçek ağırlıkların bilinmediği ancak çarpımın bilindiği durumlarda kullanılır. f x = z

Çalışmaların olduğu durumlarda f x aynı veya bire eşit (m=1), geçerlidir harmonik basit demek, formülle hesaplanır

Nerede X- ayrı seçenekler; P- onların numarası.

Geometrik ortalama

Bu ortalamanın, mutlak farklara değil, iki sayının oranlarına dikkat edildiğinde kullanılması uygundur. Bu nedenle ortalama yıllık büyüme oranlarının hesaplanmasında geometrik ortalama kullanılmaktadır.

veya

Bu, aşağıdaki gibi formüle edilebilecek geometrik ortalama formülüdür:

Geometrik ortalama kuvvetin köküne eşittir P sonraki her dönemin değerinin bir öncekinin değerine oranını karakterize eden büyüme katsayılarının çarpımından.

Geometrik ortalama değeri, eğer görev, hem maksimumdan hem de maksimumdan niteliksel olarak eşit uzaklıkta olacak bir nitelik değeri bulmaksa, ortalama almanın sonucu olan içerik açısından en doğru cevabı verir. Minimum değer imza.

Örnek: Enflasyon sonucunda bir ürünün fiyatı ilk yılda bir önceki yıla göre iki katına çıktı; ikinci yıl için - önceki yılın seviyesinin üç katı daha. İki yılda fiyatın 6 kat arttığı açık. Yıllık ortalama fiyat artış oranını hesaplayın?

Ortalama büyüme hızının hesaplanmasında aritmetik ortalama uygun değildir. Geometrik ortalama doğru cevabı verir.

X = x 1 * x 2 = 2 * 3 = 6 = 2,45 çarpı.

Ortalama kare

İlgili bilgi.

Bir yapının göreceli boyutları, parçanın boyutları ile bütünün boyutları arasındaki orandır. Agreganın bileşimini ve yapısını karakterize ederler. Sunum formu - spesifik yer çekimi veya ilgi. Yapının göreceli değerlerinin toplamı 1 veya %100'e eşittir. İki popülasyonun karşılık gelen payları arasındaki farka yüzde puanı denir.

İstatistiklerdeki mutlak değerler, verilerin özetlenmesi ve gruplandırılmasının doğrudan sonucu olan birim sayıları ve grup bazında ve bir bütün olarak toplamlardır.

Mutlak büyüklükler sayılar olarak adlandırılır, yani kendi ölçü birimlerine sahiptirler (örneğin, adet, ton, Grivna). Dahil mutlak göstergeler nüfus büyüklüğü (işletme sayısı) ve özelliklerin hacmi (ürünler, kar) göstergeleri ayırt edilir. Üç grup özellik ölçer vardır: doğal, işçilik ve maliyet.

Doğal sayaçlar doğal fenomenleri yansıtır fiziki ozellikleri(ağırlık, uzunluk, zaman ölçüleri). Bazen miktarların çarpımı olan birleşik ölçü birimleri kullanılır. farklı boyutlar(kWh cinsinden elektrik üretimi).

Bireysel birimlerin öznitelik değerlerini doğrudan toplayarak mutlak değerler elde etmek her zaman mümkün değildir. Bu durumda mutlak değere dahil edilen tek tek terimler orantılı bir ifadeye yol açar. Bunun için sıklıkla kullanırlar koşullu doğal sayaçlar. Yani örneğin tüketilen yakıt miktarını hesaplarken, kalorifik değerlerine göre farklı türleri, kalorifik değeri 7000 cal/kg olan standart yakıt birimleriyle ifade edilir.

Emek sayaçları (adam-saat, insan-vardiya) üretim veya uygulama için işçilik maliyetlerini ölçerken kullanılır bireysel çalışmalarİşgücü verimliliğini belirlemek ve iş gücü kaynaklarını ölçmek.

Maliyet ölçerler çeşitli fenomenleri genelleştirmeyi ve karşılaştırmayı mümkün kılar. Ciro, kar, sermaye yatırımları gibi önemli göstergeleri belirlemek için kullanılırlar.

Genellikle göstergenin mutlak değeri şu şekilde hesaplanır: belli bir kural diğer göstergelere dayanmaktadır. Örneğin brüt kar, brüt gelir ile brüt maliyetler arasındaki fark olarak hesaplanır.

Göstergenin iki bölümde hesaplanmasını sağlayan bir bilanço şeklinde birçok mutlak değer sunulur: oluşum kaynaklarına göre (bilançonun makbuz kısmı) ve kullanım alanlarına göre (giderler kısmı). Mutlak göstergelerin dinamik bilanço şeklinde sunulması da mümkündür. Örneğin, bir işletmede bir yıl içinde ekipman sayısındaki artış, yıl sonu ve yıl başındaki ekipman sayısı arasındaki fark veya ekipman birim sayısı arasındaki fark olarak ifade edilebilir. yeni tanıtılan ve kullanımdan kaldırılan ekipmanlar.

Bölüm 4.3. Göreceli değerler.

Göreceli değerler sosyo-ekonomik olaylar arasındaki niceliksel ilişkileri yansıtır. Cebirsel form bunlar aynı veya farklı adlara sahip iki niceliği bölme bölümüdür. Bir oranın paydası, karşılaştırmanın temeli veya göreceli büyüklüğün temeli olarak kabul edilir.

Karşılaştırmanın esası 100, 1000, 10.000 veya 100.000 birim olabilir. Daha sonra göreceli değer sırasıyla yüzde (%), ppm (%o), prodesimille (%oo), prosantimil (%ooo) cinsinden ifade edilecektir.

Farklı içerik ve nitelikteki göreceli değerler kullanılır.

Arasındaki ilişki farklı isimler mutlak değerler verir göreceli boyut yoğunluk . Bu, pay ve paydanın birimlerini birleştiren adlandırılmış bir miktardır. Örneğin kişi başına üretim. Göreceli yoğunluk değerleri, bir olgunun belirli bir ortamdaki dağılım veya gelişme derecesini karakterize eder. Bunlar aynı zamanda belirli bir zaman periyodundaki olay sayısının (ölüm, doğum) ortalama sayı Aynı dönemdeki nüfus.

Karşılaştırmak adaşı miktarlar aşağıdaki göreceli nicelik türlerini tanımlamamızı sağlar: yapı, koordinasyon, dinamikler, plan ataması, plan uygulaması, nesne özelliklerinin karşılaştırılması.

Bağıl koordinasyon değerleri - bunlar bir bütünün veya ilişkinin bireysel parçaları arasındaki ilişkilerdir bireysel parçalar karşılaştırmanın temeli olarak bunlardan birine toplayın. Örnek: 100 kırsal kesime düşen kent sakinlerinin sayısı; 100 erkeğe düşen kadın sayısı. Bu değerler yüzde, ppm veya çoklu oranlar olarak ifade edilir (örneğin her 100 erkeğe karşılık 114 kadın vardır).

Gelişimin yoğunluğunu değerlendirmek için şunları kullanın: dinamiğin göreceli büyüklüğü, iki dönem boyunca incelenen olgunun seviyelerinin oranıyla hesaplanır.

Göreceli karşılaştırma değerleri karakterize eden aynı isimli göstergelerin oranları olarak hesaplanır. farklı nesneler veya bölge ve aynı zamansal kesinliğe sahip.

Bazı süreçler planlanmakta ve bunları yansıtan göstergeler için plan hedefleri belirlenmektedir. Planlanan ve karşılaştırılan gerçek değerler göstergeler göreceli değerlerle hesaplanır: plan atama ve plan uygulama.

İçinde bulunduğumuz dönemin fiili seviyesini belirtirsek y1, temel y0 ve planlanan seviye ypl, ardından göreceli değer:

Kd= y1 / y0,

2) planlanmış görev

Kpz =ypl / y0,

3) planın uygulanması

Kvp =y1 / ypl .

Bölüm 4.4. Ortalama boyutların türleri ve formları.

Ortalama boyut isminde istatistiksel gösterge Belirli yer ve zaman koşulları altında bir popülasyonun homojen birimlerinin değişen karakteristiğinin genelleştirilmiş bir özelliğini verir. Ortalamanın değeri tüm popülasyonu karakterize eder ve onu belirli bir özelliğe göre karakterize eder.

ortalama değer incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak olanı yansıtır.

Yani örneğin ortalama maaş Söz konusu işçi nüfusu için ücretlerin durumunun genelleyici niceliksel bir tanımını sağlar.

Ortalamanın özü bir özelliğin değerlerindeki rastgele sapmaları iptal etmesi ve ana faktörün neden olduğu değişiklikleri hesaba katması gerçeğinde yatmaktadır.

Ortalama değerler yöntemiyle istatistiksel işlem, değişen bir özelliğin bireysel değerlerinin belirli bir dengeli ortalama değer X ile değiştirilmesinden oluşur.

Örneğin, bir ticari bankanın 5 gişe memurunun günlük bireysel çıktısı 136, 140, 154 ve 162 işlem olarak gerçekleşti. Bir operatör tarafından günlük olarak gerçekleştirilen ortalama işlem sayısını elde etmek için, bu bireysel göstergeleri toplamanız ve elde edilen tutarı operatör sayısına bölmeniz gerekir:

Yukarıdaki örnekten de görülebileceği gibi, tek bir operatör 150 operasyon yapmadığı için ortalama operasyon sayısı tek tek operasyonların hiçbiriyle örtüşmemektedir. Ancak her operatörün 150 işlem gerçekleştirdiğini düşünürsek, o zaman toplam tutar değişmeyecek ama aynı zamanda 750'ye eşit olacaktır. Böylece ortalama değerlerin ana özelliğine geldik: bir özelliğin bireysel değerlerinin toplamı, ortalama değerlerin toplamına eşittir.

Bu özellik, ortalama değerin tüm istatistiksel popülasyonun genelleştirici bir özelliği olduğunu bir kez daha vurgulamaktadır.

Ortalama değerler iki büyük sınıfa ayrılır:

Güç ortalamaları:

Aritmetik

Harmonik

Geometrik

İkinci dereceden

Yapısal ortalamalar:

Moda

Medyan

En yaygın ortalama türü aritmetik ortalamadır:

Basit aritmetik ortalama

Aritmetik ortalama ağırlıklı

Bir aralık serisinin aritmetik ortalaması.

Basit aritmetik ortalama bir veri kümesindeki belirli bir özelliğin toplam hacminin, verilen veri kümesindeki tüm birimler arasında eşit olarak dağıtıldığını belirlerken ortalama terimi temsil eder.

Dolayısıyla işçi başına ortalama yıllık çıktı, tüm çıktı hacminin aynı olması durumunda her çalışanın başına düşen çıktı miktarıdır. aynı derecede Kuruluşun tüm çalışanlarına dağıtılır. Aritmetik ortalama basit değeri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır.