Bilimi inşa etmenin ana yolları aksiyomatik ve deneyseldir. Aksiyomatik yöntem kavramının oluşumu ve gelişimi, kelimenin tanımı

12.9. Aksiyomatik yöntem Eski Yunanlılar için matematiğin nesnelerinin "fikirler dünyasında" gerçek bir varlığı vardı. Bu nesnelerin bazı özellikleri zihin gözüne tamamen yadsınamaz göründü ve aksiyom olarak ilan edildi; açık olmayan diğerleri ise aksiyom olarak ilan edildi.

(Yunanca aksiyom - önemli, kabul edilen konum) - bazı doğru ifadelerin seçildiği bir teori oluşturmanın bir yolu...

(Yunan aksiyomu - anlamlı, kabul edilen konum) - bazı doğru ifadelerin başlangıç ​​​​konumları (aksiyomlar) olarak seçildiği ve bu teorinin geri kalan doğru ifadelerinin (teoremlerinin) daha sonra mantıksal olarak çıkarıldığı ve kanıtlandığı bir teori oluşturma yöntemi. A.M.'nin bilimsel önemi tüm seti bölen ilk kişi olan Aristoteles tarafından doğrulandı doğru ifadeler temel (“ilkeler”) ve kanıt gerektirenler (“kanıtlanabilir”) olarak ikiye ayrılır. Geliştirilmesinde A.M. üç aşamadan geçti. İlk aşamada A.M. anlamlı olduğu için aksiyomlar açıklıklarına göre kabul edildi. Bir teorinin bu tür tümdengelimli yapısına bir örnek, Öklid'in "Elementler"idir. İkinci aşamada D. Hilbert, A.M.'nin uygulanması için resmi bir kriter ortaya koydu. - aksiyom sisteminin tutarlılığı, bağımsızlığı ve bütünlüğü gerekliliği. Üçüncü aşamada A.M. resmileşmiş olur. Buna göre “aksiyom” kavramı değişti. A.M.'nin gelişiminin ilk aşamasında ise. sadece şu şekilde anlaşılmadı başlangıç ​​noktası kanıt olarak değil, aynı zamanda açıklığı nedeniyle kanıt gerektirmeyen gerçek bir konum olarak, aksiyom, teorinin gerekli bir unsuru olarak kanıtlanır; ikincisinin doğrulanması, aynı zamanda aksiyomatik temellerinin doğrulanması olarak kabul edilir. inşaatın başlangıç ​​noktası olarak A.M.'deki ana ve giriş ifadelerine ek olarak. seviye de öne çıkmaya başladı özel kurallarçıktı. Böylece aksiyomlar ve teoremlerle birlikte bir bütün olarak doğru ifadeler Bu teori, çıkarım kuralları için aksiyomları ve teoremleri (meta aksiyomlar ve metateoremler) formüle eder. 1931'de K. Gödel, herhangi bir resmi sistemin temel eksikliğine ilişkin bir teoremi kanıtladı çünkü bu teorem, hem kanıtlanamaz hem de çürütülemez olan, karar verilemez önermeler içeriyordu. Kendisine getirilen kısıtlamalar dikkate alındığında, AM, hipotetik-tümdengelim yönteminin (bazen "yarı aksiyomatik" olarak yorumlanır) yanı sıra, gelişmiş bir resmileştirilmiş (ve yalnızca maddi değil) bir teori oluşturmak için ana yöntemlerden biri olarak kabul edilir. ve matematiksel hipotez yöntemi. Hipotetik-tümdengelim yöntemi, A.M.'nin aksine, tek bir tümdengelim sistemi çerçevesinde daha zayıf hipotezlerin daha güçlü olanlardan türetildiği ve hipotezin gücünün ampirik olandan uzaklaştıkça arttığı bir hipotezler hiyerarşisinin inşasını içerir. bilimin temeli. Bu, A.M. kısıtlamalarının gücünü zayıflatmamıza olanak tanır: teorinin ilk hükümlerine sıkı sıkıya bağlı olmayan ek hipotezler getirme olasılığı nedeniyle aksiyomatik sistemin kapalılığının üstesinden gelmek; girmek soyut nesneler farklı seviyeler gerçekliğin organizasyonu, yani. aksiyomatiklerin “tüm dünyalarda” geçerliliğine ilişkin kısıtlamanın kaldırılması; Aksiyomların eşitliği gerekliliğini ortadan kaldırın. Öte yandan A.M., inşaat kurallarına odaklanan matematiksel hipotez yönteminin aksine matematiksel hipotezlerİncelenmemiş olgularla ilgili olarak kişinin belirli temel konulara başvurmasına izin verir. konu alanları.

V.L. Abuşenko

Aksiyomatik Yöntem

Bilimsel teorileri tümdengelimli olarak oluşturmanın yollarından biri, burada: 1) belirli bir dizi kabul edilmiş olanlar, hiçbir şey yapılmadan seçilir.

Tümdengelimli olarak bilimsel teoriler oluşturma yöntemlerinden biri; burada: 1) belirli bir teorinin (aksiyomlar) belirli bir dizi önermesi kanıt olmadan kabul edilir; 2) İçerdiği kavramların bu teori çerçevesinde açıkça tanımlanmamış olması; 3) belirli bir teorinin tanım kuralları ve çıkarım kuralları sabittir; bu, kişinin teoriye yeni terimler (kavramlar) katmasına ve mantıksal olarak bazı önermeleri diğerlerinden çıkarmasına izin verir; 4) bu teorinin (teorem) diğer tüm önermeleri (3) temelinde (1)'den türetilmiştir. A. m. ile ilgili ilk fikirler Antik'te ortaya çıktı. Yunanistan (Elealılar, Platon. Aristoteles, Öklid). Daha sonra, felsefe ve bilimin çeşitli bölümlerinin (Spinoza, Newton, vb.) aksiyomatik bir sunumunu sağlamak için girişimlerde bulunuldu. Bu çalışmalar, belirli bir teorinin (ve yalnızca bir tanesinin) anlamlı aksiyomatik yapısıyla karakterize edilirken, asıl dikkat gösterildi. Sezgisel olarak açık aksiyomların tanımı ve seçimine 19. yüzyılın ikinci yarısından itibaren, matematik ve matematiksel mantığın kanıtlanması problemlerinin yoğun gelişimi ile bağlantılı olarak, aksiyomatik teori resmi olarak kabul edilmeye başlandı (ve 20. yüzyıldan itibaren). -20. yüzyılın 30'ları - resmileştirilmiş bir sistem olarak, unsurları (işaretler) arasında ilişkiler kurar ve onu tatmin eden herhangi bir nesne kümesini tanımlar. Aynı zamanda asıl sistemin tutarlılığının, bütünlüğünün, aksiyom sisteminin bağımsızlığının vb. oluşturulmasına dikkat edilmeye başlandı. tabela sistemleri Bunlarda sunulabilecek içeriğe bakılmaksızın veya dikkate alınarak sözdizimsel ve anlamsal aksiyomatik sistemler ayırt edilebilir (yalnızca ikincisi bilimsel bilginin kendisini temsil eder). onlara sözdizimsel ve anlamsal olmak üzere iki terimle getirilen gereksinimler (sözdizimsel ve anlamsal tutarlılık, tamlık, aksiyomların bağımsızlığı, vb.) Biçimselleştirilmiş aksiyomatik sistemlerin analizi, bunların temel sınırlamalarının belirlenmesine yol açtı; bunların başında tam bir çözümün imkansızlığı yer alıyor. Gödel'in bilimsel teorileri (örneğin, doğal sayıların aritmetiği) tarafından kanıtlanmış, yeterince gelişmiş sistemlerin aksiyomatizasyonu, bu da tam bir formalizasyonun imkansızlığını ima eder. bilimsel bilgi Aksiyomlaştırma, bilimsel bilgiyi oluşturma yöntemlerinden yalnızca biridir, ancak araç olarak kullanılması bilimsel keşifçok sınırlı. Aksiyomlaştırma genellikle teorinin içeriği yeterince oluşturulduktan sonra gerçekleştirilir ve teorinin daha doğru bir şekilde temsil edilmesi, özellikle de son 30-40 yıldaki tüm sonuçların kabul edilen öncüllerden kesin bir şekilde çıkarılması amacına hizmet eder. büyük ilgi yalnızca matematiksel disiplinlerin aksiyomlaştırılmasına değil, aynı zamanda bilimsel bilginin yapısı ve dinamiklerine ilişkin teoriler de dahil olmak üzere fizik, biyoloji, psikoloji, ekonomi, dilbilim vb.nin belirli bölümlerinin aksiyomlaştırılmasına adanmıştır. Doğa bilimleri (genel olarak matematiksel olmayan herhangi bir) bilgiyi incelerken, matematiksel yöntemler varsayımsal-tümdengelimli bir yöntem biçiminde görünür (ayrıca bkz. Biçimlendirme)

Aksiyomatik Yöntem

Belirli başlangıç ​​hükümlerine (aksiyomlar veya varsayımlar) dayanan bir teori oluşturma yöntemi...

Bu teorinin diğer tüm ifadelerinin tamamen mantıksal bir şekilde çıkarılması gereken belirli başlangıç ​​hükümlerine (aksiyomlar veya varsayımlar) dayandığı bir teori oluşturma yöntemi.

Aksiyomatik Yöntem

Teorinin bazı hükümlerinin başlangıç ​​hükümleri olarak seçildiği ve geri kalan tüm hükümlerin seçildiği bilimsel bir teori oluşturma yöntemi.

Teorinin bazı hükümlerinin başlangıç ​​hükümleri olarak seçildiği ve diğer tüm hükümlerin bunlardan tamamen mantıksal bir şekilde, kanıtlar yoluyla çıkarıldığı bilimsel bir teori oluşturma yöntemi. Aksiyomlara dayanarak kanıtlanmış ifadelere teorem denir.

A. m. nesneleri ve aralarındaki ilişkileri tanımlamanın özel bir yoludur (bkz: Aksiyomatik tanım). A. m. matematikte, mantıkta ve ayrıca fizik, biyoloji vb.nin belirli dallarında kullanılır. A. m, antik dönemde ortaya çıktı ve Öklid'in 330-320 civarında ortaya çıkan "Elementler" sayesinde büyük ün kazandı. M.Ö. e. Ancak Öklid, "aksiyomları ve varsayımlarında" gerçekte kullandığı geometrik nesnelerin tüm özelliklerini açıklamayı başaramadı; kanıtlarına çok sayıda çizim eşlik ediyordu. Öklid geometrisinin "gizli" varsayımları ancak modern zamanlar Aksiyomatik teoriyi, unsurları (işaretler) arasında ilişkiler kuran ve onu tatmin eden herhangi bir nesne kümesini tanımlayan resmi bir teori olarak gören D. Gilbert (1862-1943). Günümüzde aksiyomatik teoriler genellikle aksiyomlardan teorem türetmenin mantıksal araçlarının kesin bir tanımını içeren resmileştirilmiş sistemler olarak formüle edilmektedir. Böyle bir teorideki kanıt, her biri bir aksiyom olan veya kabul edilen çıkarım kurallarından birine göre sırayla önceki formüllerden elde edilen bir formül dizisidir.

Aksiyomatik bir biçimsel sistem tutarlılık, tamlık, aksiyomlar sisteminin bağımsızlığı vb. gereksinimlerine tabidir.

sabah bilimsel bilgiyi oluşturma yöntemlerinden yalnızca biridir. gerektirdiği için kullanımı sınırlıdır. yüksek seviye aksiyomatikleştirilebilir bir temel teorinin geliştirilmesi.

Gösterildiği gibi ünlü matematikçi ve mantıkçı K. Gödel'e göre oldukça zengin bilimsel teoriler (örneğin, doğal sayıların aritmetiği) tam aksiyomlaştırmaya izin vermez. Bu A.M.'nin sınırlarını gösterir. ve bilimsel bilginin tamamen resmileştirilmesinin imkansızlığı (bkz: Gödel teoremi).

Aksiyomatik yöntemin özü

Öklid

P. Dirac

Bir teorem kanıtlanamazsa aksiyom haline gelir.

Matematik kavramlara dayanır. Kavramlar tanımlanmış veya tanımsız olabilir. Altında tanım Belirli bir kavramın tam formülasyonunu anlayın. Matematiksel bir kavramı tanımlamak, onun karakteristik özelliklerini veya bu kavramı diğerlerinden ayıran özellikleri belirtmek anlamına gelir. Belirlemenin olağan yolu matematiksel kavramşunları belirtmekten oluşur: 1) yakın cins, yani tanımlanan kavramın ait olduğu daha genel bir kavram; 2) tür farklılıkları, yani karakteristik özellikler veya bu özel konseptin doğasında olan özellikler.

Örnek 1. Tanım: “Kare, tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgendir.” En yakın cins, yani daha genel bir kavram dikdörtgen kavramıdır ve spesifik fark, karenin tüm kenarlarının eşit olduğunun göstergesi olacaktır. Buna karşılık, dikdörtgen için daha genel kavram paralelkenar kavramıdır, paralelkenar için dörtgen kavramı, dörtgen için çokgen kavramı vb. Ancak bu zincir sonsuz değildir.

Daha genel kavramlarla tanımlanamayan kavramlar vardır. Matematikte bunlara denir tanımlanamayan temel kavramlar . Temel kavramlara örnek olarak nokta, doğru, düzlem, uzaklık, küme vb. gösterilebilir.

Temel kavramlar arasındaki bağlantılar ve ilişkiler aksiyomlar kullanılarak formüle edilir.

Aksiyom Belirli bir teoride kanıt olmadan kabul edilen matematiksel bir önermedir.

Birinin veya diğerinin üzerine inşa edildiği aksiyomlar sistemine matematiksel teori tutarlılık, bağımsızlık ve bütünlük gereksinimleri vardır.

Aksiyomlar sistemine denir tutarlı , eğer ondan aynı anda birbirini dışlayan iki cümleyi türetmek imkansızsa: A, hayırA.

Aksiyomlar sistemine denir bağımsız , eğer bu sistemin aksiyomlarından hiçbiri bu sistemin diğer aksiyomlarının bir sonucu değilse.

Aksiyomlar sistemine denir tam dolu , eğer iki şeyden biri mutlaka kanıtlanabilirse: ya ifade A, veya A değil.

Aksiyomlar listesinde yer almayan bir önermenin kanıtlanması gerekir. Böyle bir teklife denir teorem .

Teorem doğruluğu kanıt adı verilen bir akıl yürütme süreciyle belirlenen matematiksel bir önermedir.

Aksiyom: “Doğru ne olursa olsun, bu doğruya ait olan noktalar ve ona ait olmayan noktalar vardır.”

Teorem: "Bir dörtgenin köşegenleri kesişiyorsa ve kesişme noktası tarafından ikiye bölünüyorsa, bu dörtgen bir paralelkenardır."

Ana yöntemlerden biri modern matematiköyle aksiyomatik yöntem . Özü aşağıdaki gibidir:

1) yapım aşamasında olan teorinin temel tanımlanmamış kavramları ve ilişkileri listelenmiştir (ilişki örnekleri: takip et..., arasında uzan...);

2) bu teoride temel kavramlar ve ilişkileri arasındaki bağlantıyı ifade eden aksiyomlar formüle edilir, kanıt olmadan kabul edilir;

3) Temel kavramlar arasında yer almayan cümleler ve temel ilişkiler tanımlanmalı;

4) Aksiyom listesinde yer almayan önermelerin bu aksiyomlara ve daha önce kanıtlanmış önermelere dayanarak kanıtlanması gerekir.

1.2 Öklid geometrisi - ilk doğal bilimsel teori

Tarihsel genel bakış Geometrinin gerekçesi. Geometri, aksiyomatik bir teori haline gelmeden önce uzun bir ampirik gelişim sürecinden geçmiştir.

Geometri ile ilgili ilk bilgiler uygarlıklar tarafından elde edilmiştir. Antik Doğu(Mısır, Çin, Hindistan) tarımın gelişmesi, sınırlı verimli topraklar vb. İle bağlantılı olarak. Bu ülkelerde geometri ampirik nitelikteydi ve çözmek için bir dizi ayrı "tarifler-kurallar" idi. belirli görevler. Zaten MÖ 2. binyılda. Mısırlılar bir üçgenin alanını, kesik bir piramidin hacmini, bir dairenin alanını doğru bir şekilde nasıl hesaplayacaklarını biliyorlardı ve Babilliler Pisagor teoremini biliyorlardı. Kanıt olmadığını, bunun yerine hesaplama kurallarının olduğunu unutmayın.

Yunan dönemi Geometrinin gelişimi 7.-6. yüzyıllarda başladı. M.Ö. Mısırlıların etkisi altındadır. Yunan matematiğinin babası olarak kabul edilir ünlü filozof Thales (MÖ 640-548). Thales, daha doğrusu o matematik okuluözelliklerin kanıtlarına aittir ikizkenar üçgen, dikey açılar. Daha sonra Antik Yunan geometrisi, modern geometrinin neredeyse tüm içeriğini kapsayan sonuçlar elde etti. okul kursu geometri.

Pisagor felsefe okulu (M.Ö. 570-471), bir üçgenin açılarının toplamı hakkındaki teoremi keşfetti, Pisagor teoremini kanıtladı ve beş tipin varlığını ortaya koydu. düzenli çokyüzlüler ve karşılaştırılamaz bölümler. Demokritos (MÖ 470-370) piramit ve koninin hacimleriyle ilgili teoremleri keşfetti. Eudoxus (MÖ 410-356) yaratıldı geometrik teori oranlar (yani orantılı sayılar teorisi).

Menaechmus ve Apollonius konik kesitler üzerinde çalıştı. Arşimed (M.Ö. 289-212), topun ve diğer şekillerin yüzey alanı ve hacminin hesaplanmasına ilişkin kuralları keşfetti. Ayrıca π sayısının yaklaşık değerini de buldu.

Özel Liyakat Antik Yunan bilim adamlarının özelliği, geometrik bilginin titiz bir şekilde yapılandırılması sorununu ilk ortaya koyanların ve bunu ilk yaklaşıklığa göre çözenlerin kendileri olduğu yönündedir. Sorun Platon (M.Ö. 428-348) tarafından ortaya atılmıştır. Aristoteles (MÖ 384-322) - en büyük filozof, kurucu biçimsel mantık– yalnızca mantık kurallarına dayalı olarak birbirini takip eden bir önermeler zinciri biçiminde geometri oluşturma fikrinin açık formülasyonuna aittir. Birçok Yunan bilim adamı (Hipokrat, Phaedius) bu sorunu çözmeye çalıştı.

Öklid (MÖ 330-275) - Antik çağın en büyük geometrisi, Platon okulunun mezunu, Mısır'da (İskenderiye'de) yaşıyordu. Onun tarafından derlenen “İlkeler”, bu tür üzerinde uygulanan geometri ilkelerinin sistematik bir sunumunu sağlar. bilimsel seviye yüzyıllar boyunca geometri öğretiminin onun çalışmasına göre yürütüldüğünü. “İlkeler” 13 kitaptan (bölümlerden) oluşur:

I-VI – planimetri;

VII-IX – geometrik gösterimde aritmetik;

X – kıyaslanamaz bölümler;

ХI-ХII – stereometri.

Geometride bilinen bilgilerin tümü Elementler'e dahil edilmemiştir. Örneğin bu kitaplar şunları içermiyordu: teori konik bölümler, daha yüksek mertebeden eğriler.

Her kitap, içinde yer alan kavramların tanımıyla başlar. Örneğin Kitap I'de 23 tanım var. İlk dört kavramın tanımları şöyle:

1 Nokta, hiçbir parçası olmayan bir şeydir.

2 Bir çizgi genişliği olmayan uzunluktur.

3 Bir doğrunun sınırları noktalardır.

Öklid, kanıt olmadan kabul edilen önermeleri varsayımlara ve aksiyomlara bölerek verir. Beş önermesi ve yedi aksiyomu var. İşte bunlardan bazıları:

IV Ve böylece tüm dik açılar eşit olur.

V Ve öyle ki, bir düz çizgi diğer iki düz çizgiyle kesiştiğinde, onlarla toplamı iki düz çizgiden küçük olan tek taraflı iç açılar oluşturduğunda, bu düz çizgiler bu toplamın daha az olduğu tarafta kesişir. iki düz çizgiden daha fazlası.

Aksiyomlar

Bireysel olarak eşit olan üçüncüsü birbirine eşittir.

II Eşitlere eşitleri eklersek eşitleri elde ederiz.

VII Ve birleşenler eşittir.

Öklid, önermeler ve aksiyomlar arasındaki farkı belirtmedi. Hala değil nihai karar bu soru.

Öklid, Yunan bilim adamlarının, özellikle de Aristoteles'in gerektirdiği geometri teorisini ortaya koyuyor; Teoremler, sonraki her teorem yalnızca öncekilere dayanarak kanıtlanacak şekilde düzenlenmiştir. Başka bir deyişle Öklid geometrik bir teori geliştirir. kesinlikle mantıklı bir şekilde. Bu Öklid'in bilime tarihsel değeridir.

Öklid'in "Elementler"i matematik tarihinde ve tüm insan kültüründe büyük rol oynadı. Bu kitaplar dünyanın tüm önemli dillerine çevrilmiş; 1482'den sonra 500'e yakın baskı yapılmıştır.

Öklid sisteminin dezavantajları. Modern matematik açısından bakıldığında Elementlerin sunumunun kusurlu olduğu düşünülmelidir. Bu sistemin ana dezavantajlarını adlandıralım:

1) birçok kavram sırasıyla tanımlanması gerekenleri içerir (örneğin, Bölüm 1'in 1-4 tanımlarında genişlik, uzunluk, kenarlık kavramları kullanılır ve bunların da tanımlanması gerekir);

2) Aksiyomlar ve varsayımlar listesi, geometriyi tam anlamıyla mantıksal bir şekilde oluşturmak için yetersizdir. Örneğin bu liste, geometrideki birçok teoremin kanıtlanamayacağı sıra aksiyomlarını içermez; Gauss'un bu duruma dikkat çektiğini belirtelim. Bu liste aynı zamanda hareket kavramının (kombinasyon) ve hareketin özelliklerinin tanımlarından da yoksundur; Hareket aksiyomları. Listede aynı zamanda parçaların uzunluklarının, figürlerin alanlarının ve cisim nesnelerinin ölçülmesi teorisinde önemli bir rol oynayan Arşimet aksiyomu (sürekliliğin iki aksiyomundan biri) de bulunmuyor. Bunun Öklid'in çağdaşı Arşimet tarafından fark edildiğine dikkat edin;

3) Postülat IV açıkça gereksizdir; bir teorem olarak kanıtlanabilir. Özellikle beşinci önermeye dikkat edelim. Elementlerin I. Kitabında ilk 28 önerme, beşinci önermeye atıfta bulunulmadan kanıtlanmıştır. Aksiyomlar ve postülaların listesini en aza indirmeye, özellikle de V'yi bir teorem olarak kanıtlamaya yönelik bir girişim, Öklid'in zamanından bu yana yürütülmektedir. Proclus (MS 5. yüzyıl), Omar Hayyam (1048-1123), Wallis (17. yüzyıl), Saccheri ve Lambert (18. yüzyıl), Legendre (1752-1833) da V önermesini bir teorem olarak kanıtlamaya çalıştılar. Kanıtları kusurluydu, ancak bu durum olumlu sonuçlar– iki geometrinin daha doğuşuna (Riemann ve Lobaçevski).

Öklid dışı geometrik sistemler. N. Lobachevsky (1792-1856), keşfeden yeni geometri– Lobaçevski’nin geometrisi de V önermesini kanıtlama girişimiyle başladı.

Nikolai İvanoviç, bir çelişki elde etme umuduyla sistemini “İlkeler” cildine kadar geliştirdi. Bunu anlamadı ama 1826'da doğru sonuca vardı: Öklid geometrisinden farklı bir geometri var.

İlk bakışta, bu sonuç yeterince kanıtlanmamış gibi görünüyor: belki de onu daha da geliştirerek bir çelişkiye varılabilir. Ancak aynı soru Öklid geometrisi için de geçerlidir. Başka bir deyişle, mantıksal tutarlılık sorunuyla karşı karşıya kaldığımızda her iki geometri de eşittir. Daha ileri araştırmalar, bir geometrinin tutarlılığından diğer geometrinin tutarlılığının çıktığını gösterdi; mantıksal sistemlerin eşitliği vardır.

Lobaçevski başka bir geometrinin var olduğu sonucuna varan ilk kişiydi ama tek kişi değildi. Gauss (1777-1855) bu fikrini 1816 gibi erken bir tarihte özel mektuplarda dile getirmiş, ancak resmi yayınlarda bir açıklama yapmamıştı.

Lobaçevski'nin sonuçlarının yayınlanmasından üç yıl sonra (1829'da), yani. 1832'de, 1823'te farklı bir geometrinin varlığı sonucuna varan, ancak bunu daha sonra ve Lobaçevski'ninkinden daha az gelişmiş bir biçimde yayınlayan Macar J. Bolyai'nin (1802-1860) çalışması yayınlandı. Bu nedenle bu geometrinin Lobaçevski adını taşıması doğrudur.

Lobaçevski'nin geometrisinin genel kabulü, Lobaçevski'den sonraki geometri adamlarının çalışmaları sayesinde büyük ölçüde kolaylaştırıldı. 1868'de İtalyan matematikçi E. Beltrami (1825-1900), Lobaçevski geometrisinin sabit negatif eğriliğe sahip bir yüzeyde (sözde küre olarak adlandırılan) geçerli olduğunu kanıtladı. Lobaçevski'nin geometrisinin tutarlılığının Beltrami'nin yorumuna dayanan kanıtının zayıf noktası, D. Hilbert'in (1862-1943) gösterdiği gibi, hiçbir şeyin olmamasıydı. tam yüzeyözellikleri olmayan sabit negatif eğrilik. Bu nedenle, sabit negatif eğriliğe sahip bir yüzeyde, düz Lobaçevski geometrisinin yalnızca bir kısmı yorumlanabilir. Bu eksiklik A. Poincare (1854-1912) ve F. Klein (1849-1925) tarafından giderildi.

Lobaçevski'nin geometrisinin tutarlılığının kanıtı aynı zamanda beşinci postülanın diğerlerinden bağımsızlığının da kanıtıydı. Aslında bağımlılık durumunda Lobaçevski'nin geometrisi çelişkili olacaktır çünkü birbirini dışlayan iki ifadeyi içerecektir.

Öklid geometrisi üzerine yapılan ileri çalışmalar, Öklid'in aksiyom ve önermeler sisteminin eksikliğini gösterdi. Öklid'in aksiyomatik çalışması 1899'da Hilbert tarafından tamamlandı.

Hilbert'in aksiyomatiği beş gruptan oluşur:

Bağlantı aksiyomları (ait olma);

Düzen aksiyomları;

Uyum aksiyomları (eşitlik, tesadüf);

Süreklilik aksiyomları;

Paralellik aksiyomu.

Bu aksiyomlar (toplamda 20 tane vardır) üç tür nesneye atıfta bulunur: noktalar, çizgiler, düzlemler ve ayrıca bunlar arasındaki üç ilişki: "ait", "arasında yatıyor", "uyumlu". Noktaların, çizgilerin, düzlemlerin ve ilişkilerin özel anlamı belirtilmemiştir. Aksiyomlar aracılığıyla dolaylı olarak tanımlanırlar. Bu sayede Hilbert aksiyomları temel alınarak oluşturulan geometri, çeşitli özel uygulamalara olanak tanır.

Listelenen aksiyomlara dayanan geometrik bir sisteme denir. Öklid geometrisi,çünkü Öklid'in Elementler'de açıkladığı geometriyle örtüşüyor.

Öklidyen dışındaki geometrik sistemlere denir Öklid dışı geometriler. Genel görelilik teorisine göre, uzayda ne biri ne de diğeri kesinlikle doğru değildir, ancak küçük ölçeklerde (dünyevi ölçekler de oldukça "küçük") uzayı tanımlamak için oldukça uygundurlar. Öklid formüllerinin pratikte kullanılmasının nedeni basit olmalarıdır.

Hilbert aksiyom sistemini kapsamlı bir şekilde inceledi ve aritmetiğin tutarsız olmaması durumunda bunun tutarlı olduğunu gösterdi (yani aslında asli veya sözde dış tutarlılık kanıtlandı). Geometriyi kanıtlamak için yüzyıllarca süren geometri araştırmalarını tamamladı. Bu çalışma büyük beğeni topladı ve 1903'te Lobaçevski Ödülü'ne layık görüldü.

Öklid geometrisinin modern aksiyomatik sunumunda Hilbert'in aksiyomları her zaman kullanılmaz: geometri ders kitapları bu aksiyom sisteminin çeşitli modifikasyonları üzerine inşa edilmiştir.

20. yüzyılda Lobaçevski geometrisinin sadece önemli Soyut matematik için olası geometrilerden biri olmakla birlikte, aynı zamanda doğrudan matematiğin uygulamalarıyla da ilgilidir. A. Einstein ve diğer bilim adamlarının keşfettiği uzay ve zaman arasındaki ilişkinin ortaya çıktığı ortaya çıktı. özel teori görelilik, Lobaçevski geometrisiyle doğrudan ilgilidir.

Bu teorinin diğer tüm ifadelerinin tamamen mantıksal bir şekilde çıkarılması gereken belirli başlangıç ​​hükümlerine (aksiyomlar veya varsayımlar) dayandığı bir teori oluşturma yöntemi.

Mükemmel tanım

Eksik tanım ↓

Aksiyomatik yöntem

Yunancadan aksioma - kabul edilen konum) - teorinin diğer tüm ifadelerinin mantıksal olarak çıkarıldığı, hükümleri temel olarak a priori kabul eden bilimsel bir teori oluşturmanın bir yolu. Teorilerin tam aksiyomlaştırılması imkansızdır (K. Gödel, 1931).

Mükemmel tanım

Eksik tanım ↓

Aksiyomatik yöntem

Yunancadan aksiyom - kabul edilen konum) - bilginin geri kalanının mantıksal olarak kanıt yoluyla türetildiği, kabul edilmiş (veya önceden kanıtlanmış) başlangıç ​​​​konumlarına (aksiyomlar ve varsayımlar) dayalı bir teori oluşturma yöntemi. Kesinti uygulaması olarak aksiyomatik yöntem, R. Descartes'ın öğretilerinde felsefi bir yorum aldı. Bir dereceye kadar aksiyomatik yöntem kullanıldı çeşitli bilimler- felsefede (B. Spinoza), sosyolojide (G. Vico), biyolojide (J. Woodger), vb. Bununla birlikte, ana uygulama alanı matematik ve sembolik mantığın yanı sıra bir dizi fizik alanı olmaya devam etmektedir. (mekanik, termodinamik, elektrodinamik, vb.).

Mükemmel tanım

Eksik tanım ↓

Aksiyomatik Yöntem

Bu teorinin diğer tüm ifadelerinin kanıt yoluyla tamamen mantıksal olarak çıkarılması gereken belirli başlangıç ​​hükümlerine (aksiyomlara) veya varsayımlara dayandığı bilimsel bir teori oluşturma yöntemi. Aksiyomatik yönteme dayalı bilimin inşasına genellikle tümdengelim denir. Bu yöntem Antik Yunan'da geometri yapımında kullanılmaya başlandı. Kuruluş için en başarılı şekilde uygulanır matematik bilgisi Bilgideki muazzam ağırlığın zihnin yapıcı ve yaratıcı faaliyetine ait olduğu yer. Doğa bilimleri, sosyal bilimler, beşeri bilimler, mühendislik ve teknolojide bu yöntem diğer bilişsel yöntemlere göre ikincil bir konuma sahiptir.

Mükemmel tanım

Eksik tanım ↓

Aksiyomatik Yöntem

Özü, belirli bir konu alanı hakkındaki tüm doğru ifadeler kümesi arasından, diğer tüm doğru ifadelerin (teoremler ve tek doğru ifadeler) alınacağı böyle bir alt kümeyi (aksiyomları) izole etmek olan bilimsel (özellikle teorik) bilgiyi organize etmenin bir yolu. ) mantıksal olarak takip eder. Uygulaması Antik Yunanistan'da (MÖ VII - IV yüzyıllar) geometrinin inşasıyla başlayan bilimsel bilginin aksiyomatik inşası idealinin, bilginin muazzam ağırlığının ait olduğu matematiksel bilgi sistemlerini düzenlemek için en uygun olduğu ortaya çıktı. yalnızca aklın ampirik-soyutlayıcı faaliyeti için değil, aynı zamanda zihnin yapıcı ve yaratıcı faaliyeti için de geçerlidir. Doğa bilimlerinde, sosyal bilimlerde, beşeri bilimlerde ve mühendislik bilimlerinde, bilgiyi organize etmenin aksiyomatik yöntemi, diğer bilişsel organizasyon biçimlerine kıyasla ikincil bir konuma sahiptir. (Bkz. kanıt, çıkarım, teori, yöntem).

Mükemmel tanım

Eksik tanım ↓

Aksiyomatik Yöntem

bilimsel oluşturmanın yolu Bu bilimin diğer tüm ifadelerinin (teoremlerin) mantıksal olarak çıkarılması gereken belirli başlangıç ​​\u200b\u200bpozisyonlarına (yargılara) - aksiyomlara veya varsayımlara dayandığı teori. kanıt yoluyla. Sabah Randevusu bilimsel bilginin benimsenmesinde keyfiliğin sınırlandırılmasından ibarettir. Yargılar belirli bir teorinin gerçekleri olarak kabul edilir. A.M.'ye dayalı bilimin inşası. genellikle tümdengelim olarak adlandırılır (bkz. Tümdengelim). Tümdengelimsel bir teorinin tüm kavramları (sabit sayıdaki başlangıç ​​kavramları hariç), onları daha önce tanıtılan kavramlar aracılığıyla ifade eden (veya açıklayan) tanımlar aracılığıyla tanıtılır. A.M.'nin özelliği olan tümdengelimli kanıt, bir dereceye kadar çoğul olarak kullanılır. bilimler Ancak sistematik çabalara rağmen sabah uygulaması felsefe (Spinoza), sosyoloji (Vico), politik ekonomi (Rodbertus-Yagezov), biyoloji (Woodger) ve diğer bilimlerde, bölüm. bölge uygulamaları matematik ve sembolizm olarak kalıyor. mantık ve fiziğin belirli dalları (mekanik, termodinamik, elektrodinamik vb.). A.m. kullanımının ilk örneklerinden biri. yavl. Öklid'in Elementleri (MÖ 300 civarı). B.N.Makhutov

Mükemmel tanım

Eksik tanım ↓

Aksiyomatik Yöntem

Teorinin bazı hükümlerinin başlangıç ​​hükümleri olarak seçildiği ve diğer tüm hükümlerin bunlardan tamamen mantıksal bir şekilde, kanıtlar yoluyla çıkarıldığı bilimsel bir teori oluşturma yöntemi. Aksiyomlara dayanarak kanıtlanmış ifadelere teorem denir.

A. m., nesneleri ve aralarındaki ilişkileri tanımlamanın özel bir yoludur (bkz: Aksiyomatik tanım). AM matematikte, mantıkta ve ayrıca fizik, biyoloji vb.nin belirli dallarında kullanılır.

A. m. antik dönemde ortaya çıktı ve 330 - 320 civarında ortaya çıkan Öklid'in Elementleri sayesinde büyük ün kazandı. M.Ö. e. Ancak Öklid, "aksiyomları ve varsayımlarında" gerçekte kullandığı geometrik nesnelerin tüm özelliklerini açıklamayı başaramadı; kanıtlarına çok sayıda çizim eşlik ediyordu. Öklid geometrisinin “gizli” varsayımları, aksiyomatik teoriyi, unsurları (işaretler) arasında ilişkiler kuran ve onu karşılayan herhangi bir nesne kümesini tanımlayan resmi bir teori olarak gören D. Hilbert (1862-1943) tarafından yalnızca modern zamanlarda ortaya çıkarıldı. . Günümüzde aksiyomatik teoriler genellikle aksiyomlardan teorem türetmenin mantıksal araçlarının kesin bir tanımını içeren resmileştirilmiş sistemler olarak formüle edilmektedir. Böyle bir teorideki kanıt, her biri bir aksiyom olan veya kabul edilen çıkarım kurallarından birine göre sırayla önceki formüllerden elde edilen bir formül dizisidir.

Aksiyomatik bir biçimsel sistem tutarlılık, tamlık, aksiyomlar sisteminin bağımsızlığı vb. gereksinimlerine tabidir.

sabah bilimsel bilgiyi oluşturma yöntemlerinden yalnızca biridir. Aksiyomatize edilmiş bir temel teorinin yüksek düzeyde geliştirilmesini gerektirdiğinden sınırlı bir uygulaması vardır.

Ünlü matematikçi ve mantıkçı K. Gödel'in gösterdiği gibi, oldukça zengin bilimsel teoriler (örneğin, doğal sayıların aritmetiği) tam aksiyomlaştırmaya izin vermez. Bu A.M.'nin sınırlarını gösterir. ve bilimsel bilginin tamamen resmileştirilmesinin imkansızlığı (bkz: Gödel teoremi).

Mükemmel tanım

Eksik tanım ↓

Aksiyomatik Yöntem

bilimsel oluşturmanın yolu Bu teorinin diğer tüm ifadelerinin tamamen mantıksal olarak çıkarılması gereken belirli başlangıç ​​\u200b\u200bpozisyonlarına (yargılara) - aksiyomlara veya varsayımlara dayandığı teori. delil yoluyla. Bilimin AM temelinde inşasına genellikle denir. tümdengelim (bkz. Kesinti). Tümdengelimli bir teorinin tüm kavramları (sabit sayıdaki başlangıç ​​kavramları hariç), onları daha önce tanıtılan kavramlarla ifade eden tanımlar yoluyla tanıtılır. AM'nin özelliği olan tümdengelimli kanıt, bir dereceye kadar çoğul olarak kullanılır. bilimler, ancak ch. uygulama alanı matematik, mantık ve ayrıca fiziğin belirli dallarıdır.

AM fikri ilk olarak geometrinin inşasıyla bağlantılı olarak Dr. Yunanistan (Pisagor, Platon, Aristoteles, Öklid). Modern için AM'nin gelişim aşaması, Hilbert tarafından ortaya atılan ve mantıksal olanı doğru bir şekilde tanımlama görevini ortaya koyan resmi AM kavramı ile karakterize edilir. Aksiyomlardan teorem türetmenin yolları. Temel Hilbert'in fikri, bilim dilinin tam bir resmileştirilmesidir; bilim dilinin yargıları, yalnızca belirli bir spesifik yorumla anlam kazanan işaretler (formüller) dizileri olarak kabul edilir. Aksiyomlardan teoremler (ve genel olarak diğerlerinden bazı formüller) türetmek için özel formüller formüle edilir. çıkarım kuralları. Böyle bir teorideki (matematik veya biçimsel sistem) bir kanıt, her biri bir aksiyom olan veya belirli kriterlere göre dizinin önceki formüllerinden elde edilen belirli bir formül dizisidir. çıkarım kuralı. Bu tür biçimsel kanıtların aksine, biçimsel sistemin özellikleri bir bütün olarak incelenir. metateori aracılığıyla. Temel aksiyomatik gereksinimleri biçimsel sistemler - tutarlılık, bütünlük, aksiyomların bağımsızlığı. Hilbert'in programı, tüm klasiklerin tutarlılığını ve bütünlüğünü kanıtlama olasılığını varsaydı. matematiğin genel olarak imkansız olduğu ortaya çıktı. 1931'de Gödel, yeterince gelişmiş bilimin tam aksiyomlaştırılmasının imkansızlığını kanıtladı. A. m Basic'in sınırlamalarını gösteren teoriler (örneğin, doğal sayıların aritmetiği). AM'nin ilkeleri, sezgiciliğin ve yapıcı yönün destekçileri tarafından eleştirildi. Ayrıca bkz. Matematik ve mantıkta biçimcilik, Teori.

Mükemmel tanım

Eksik tanım ↓

Aksiyomatik Yöntem

bilimsel teorileri tümdengelimli olarak oluşturma yöntemlerinden biri; burada: 1) belirli bir teorinin belirli bir dizi önermesi (aksiyomlar) kanıt olmadan kabul edilir; 2) İçerdiği kavramların bu teori çerçevesinde açıkça tanımlanmamış olması; 3) belirli bir teorinin tanım kuralları ve çıkarım kuralları sabittir; bu, kişinin teoriye yeni terimler (kavramlar) katmasına ve mantıksal olarak bazı önermeleri diğerlerinden çıkarmasına izin verir; 4) bu teorinin (teorem) diğer tüm önermeleri (3) temelinde (1)'den türetilmiştir. A. m. ile ilgili ilk fikirler Antik'te ortaya çıktı. Yunanistan (Elealılar, Platon. Aristoteles, Öklid). Daha sonra, felsefe ve bilimin çeşitli bölümlerinin (Spinoza, Newton, vb.) aksiyomatik bir sunumunu sağlamak için girişimlerde bulunuldu. Bu çalışmalar, belirli bir teorinin (ve yalnızca bir tanesinin) anlamlı aksiyomatik yapısıyla karakterize edilirken, asıl dikkat gösterildi. Sezgisel olarak açık aksiyomların tanımı ve seçimine 19. yüzyılın ikinci yarısından itibaren, matematik ve matematiksel mantığın kanıtlanması problemlerinin yoğun gelişimi ile bağlantılı olarak, aksiyomatik teori resmi olarak kabul edilmeye başlandı (ve 20. yüzyıldan itibaren). -20. yüzyılın 30'ları - resmileştirilmiş bir sistem olarak, unsurları (işaretler) arasında ilişkiler kurar ve onu tatmin eden herhangi bir nesne kümesini tanımlar. Aynı zamanda asıl Sistemin tutarlılığının, bütünlüğünün, aksiyom sisteminin bağımsızlığının vb. oluşturulmasına dikkat edilmeye başlandı. İşaret sistemlerinin, içinde temsil edilebilecek içeriğe bakılmaksızın ya da dikkate alınarak değerlendirilebilmesi nedeniyle Bunu hesaba katarak, sözdizimsel ve anlamsal olanlar birbirinden farklı aksiyomatik sistemlerdir (yalnızca ikincisi bilimsel bilginin kendisini temsil eder). Bu ayrım, temelin formüle edilmesini gerektirmiştir. onlar için gereklilikler sözdizimsel ve anlamsal olmak üzere iki düzeydedir (sözdizimsel ve anlamsal tutarlılık, tamlık, aksiyomların bağımsızlığı, vb.). Resmileştirilmiş aksiyomatik sistemlerin analizi, bunların temel sınırlamalarının belirlenmesine yol açtı; bunların en önemlisi, tam aksiyomlaştırmanın imkansızlığıdır. Gödel bilimsel teorileri tarafından kanıtlanmış yeterince gelişmiş sistemlerin (örneğin, doğal sayıların aritmetiği), bu, bilimsel bilginin tamamen resmileştirilmesinin imkansızlığını ima eder, aksiyomatizasyon, bilimsel bilgiyi oluşturma yöntemlerinden yalnızca biridir, ancak bilimsel bir araç olarak kullanılması. keşif oldukça sınırlıdır. Aksiyomlaştırma genellikle teorinin içeriği yeterince oluşturulduktan sonra gerçekleştirilir ve teorinin daha doğru bir şekilde temsil edilmesi, özellikle de tüm sonuçların kabul edilen öncüllerden kesin bir şekilde çıkarılması amacına hizmet eder. Son 30-40 yılda çok şey oldu. Yalnızca matematiksel disiplinlerin değil, aynı zamanda bilimsel bilginin yapısı ve dinamikleri ile ilgili teoriler de dahil olmak üzere fizik, biyoloji, psikoloji, ekonomi, dilbilim vb.nin belirli bölümlerinin aksiyomlaştırılmasına dikkat edilmiştir. Doğa bilimleri (genel olarak matematiksel olmayan herhangi bir) bilgiyi incelerken, matematiksel yöntemler varsayımsal-tümdengelimli bir yöntem biçiminde görünür (ayrıca bkz. Biçimlendirme)

Mükemmel tanım

Eksik tanım ↓

Aksiyomatik Yöntem

Yunan aksiyom - önemli, kabul edilen konum) - bazı doğru ifadelerin başlangıç ​​​​konumları (aksiyomlar) olarak seçildiği ve bu teorinin geri kalan doğru ifadelerinin (teoremlerinin) daha sonra mantıksal olarak çıkarıldığı ve kanıtlandığı bir teori oluşturma yöntemi. A.M.'nin bilimsel önemi tüm doğru ifadeler dizisini temel olanlara ("ilkeler") ve kanıt gerektirenlere ("kanıtlanabilir") ayıran ilk kişi olan Aristoteles tarafından haklı çıkarıldı. Geliştirilmesinde A.M. üç aşamadan geçti. İlk aşamada A.M. anlamlı olduğu için aksiyomlar açıklıklarına göre kabul edildi. Bu tür tümdengelimli teori yapısının bir örneği Öklid'in Öğeleridir. İkinci aşamada D. Hilbert, A.M.'nin uygulanması için resmi bir kriter ortaya koydu. - aksiyom sisteminin tutarlılığı, bağımsızlığı ve bütünlüğü gerekliliği. Üçüncü aşamada A.M. resmileşmiş olur. Buna göre “aksiyom” kavramı da değişti. A.M.'nin gelişiminin ilk aşamasında ise. yalnızca kanıtın başlangıç ​​noktası olarak değil, aynı zamanda açıklığı nedeniyle kanıta ihtiyaç duymayan gerçek bir konum olarak anlaşıldı, o zaman şu anda aksiyom, ikincisinin doğrulanması düşünüldüğünde teorinin gerekli bir unsuru olarak doğrulanıyor. aynı zamanda inşaatın başlangıç ​​noktası olarak aksiyomatik temellerin doğrulanmasıdır. A.M.'deki ana ve giriş ifadelerine ek olarak. Özel çıkarım kurallarının düzeyi de öne çıkmaya başladı. Böylece, aksiyomlar ve teoremlerin yanı sıra, belirli bir teorinin tüm doğru ifadeleri kümesi olarak, çıkarım kurallarına ilişkin aksiyomlar ve teoremler de formüle edilir - meta aksiyomlar ve metateoremler. 1931'de K. Gödel, herhangi bir resmi sistemin temel eksikliğine ilişkin bir teoremi kanıtladı çünkü bu teorem, hem kanıtlanamaz hem de çürütülemez olan, karar verilemez önermeler içeriyordu. Kendisine getirilen kısıtlamalar dikkate alındığında, AM, hipotetik-tümdengelim yönteminin (bazen "yarı aksiyomatik" olarak yorumlanır) yanı sıra, gelişmiş bir resmileştirilmiş (ve yalnızca maddi değil) bir teori oluşturmak için ana yöntemlerden biri olarak kabul edilir. ve matematiksel hipotez yöntemi. Hipotetik-tümdengelim yöntemi, A.M.'nin aksine, tek bir tümdengelim sistemi çerçevesinde daha zayıf hipotezlerin daha güçlü olanlardan türetildiği ve hipotezin gücünün ampirik temelden uzaklaştıkça arttığı bir hipotezler hiyerarşisinin inşasını içerir. bilimin. Bu, A.M. kısıtlamalarının gücünü zayıflatmamıza olanak tanır: teorinin ilk hükümlerine sıkı sıkıya bağlı olmayan ek hipotezler getirme olasılığı nedeniyle aksiyomatik sistemin kapalılığının üstesinden gelmek; gerçekliğin farklı organizasyon seviyelerindeki soyut nesneleri tanıtın, yani. aksiyomatiklerin “tüm dünyalarda” geçerliliğine ilişkin kısıtlamanın kaldırılması; Aksiyomların eşitliği gerekliliğini ortadan kaldırın. Öte yandan, A.M., incelenmemiş olgularla ilgili matematiksel hipotezler oluşturmanın kurallarına odaklanan matematiksel hipotez yönteminin aksine, kişinin belirli içerik konu alanlarına hitap etmesine izin verir.

Mükemmel tanım

Eksik tanım ↓

Aksiyomatik Yöntem

Kanıtlarda yalnızca önceden onlardan türetilen aksiyomların ve ifadelerin kullanılmasına izin verilen teoriler oluşturma yöntemi. Aksiyomatik yöntemi kullanmanın nedenleri farklı olabilir ve bu genellikle aksiyomların yalnızca formülasyonlarına göre değil aynı zamanda metodolojik (pragmatik) durumlarına göre de ayrılmasına yol açar. Örneğin bir aksiyom, bir ifadenin statüsüne, bir varsayımın statüsüne veya terimlerin arzu edilen kullanımına ilişkin dilsel bir anlaşmanın statüsüne sahip olabilir. Bazen statüdeki bu farklılık aksiyomların adlarına yansır (ampirik teoriler için modern aksiyomlarda, tüm aksiyomlar arasında, dilsel kuralları ifade eden anlam varsayımları sıklıkla ayırt edilir ve eski Yunanlılar, geometrik aksiyomları genel kavramlara ve varsayımlara bölerler. ilki anlatıyor, ikincisi yapılıyor). Genel olarak konuşursak, aksiyomların durumlarının dikkate alınması zorunludur, çünkü örneğin aksiyomların formülasyonunu veya anlambilimini değiştirmeden bir aksiyomatik teorinin içeriğini değiştirmek mümkündür, ancak yalnızca durumlarını değiştirerek şunu beyan edebilirsiniz: bunlardan biri yeni bir anlam önermesidir. Aksiyom, postülat ve tanım kavramları Aristoteles tarafından zaten dikkate alınmış olmasına rağmen, aksiyomatik yöntem ilk olarak Öklid tarafından Elementler adlı eserinde gösterilmiştir. Özellikle aksiyomların gerektiği şekilde yorumlanması ona kadar uzanır. ortak ilkeler kanıt. Aksiyomların apaçık gerçekler olarak anlaşılması daha sonra gelişti ve Port-Royal'in okul mantığının ortaya çıkmasıyla temel hale geldi; bunun yazarları için kanıt, ruhun belirli gerçekleri doğrudan (saf tefekkür veya sezgiyle) gerçekleştirme özel yeteneği anlamına gelir. ). Bu arada, Kant'ın Öklid geometrisinin a priori sentetik karakterine olan inancı, aksiyomları dilsel gelenekler veya varsayımlar olarak görmeme geleneğine dayanır. Öklid dışı geometrinin keşfi (Gauss, Lobachevsky, Bolyai); soyut cebirde yeni sayı sistemlerinin ve bunların tüm ailelerinin aynı anda ortaya çıkışı (örneğin, /-adic sayılar); gruplar gibi değişken yapıların ortaya çıkışı; son olarak “hangi geometri doğrudur?” gibi soruların tartışılması. - tüm bunlar, eski aksiyomlarla karşılaştırıldığında iki yeni durumun farkındalığına katkıda bulundu: açıklamalar olarak aksiyomlar (olası akıl yürütme evrenleri sınıfları) ve apaçık ifadelerden ziyade varsayımlar olarak aksiyomlar. Böylece temeller oluştu modern anlayış aksiyomatik yöntem. Aksiyomatik yöntemin bu gelişimi, Öklid'in "İlkeleri" ile D. Hilbert'in "Geometrinin Temelleri" (19. yüzyılın matematiğin en yüksek başarılarına dayanan yeni bir geometri aksiyomatiği) karşılaştırıldığında özellikle açık hale gelir. Aynı yüzyılın sonlarına doğru J. Peano doğal sayıların aksiyomatiğini ortaya koydu. Ayrıca paradokslar bulunduktan sonra küme teorisini kurtarmak için aksiyomatik yöntem kullanıldı. Aynı zamanda aksiyomatik yöntem mantığa genelleştirildi. Hilbert, klasik önermeler mantığının aksiyomlarını ve çıkarım kurallarını formüle etti ve P. Bernays, yüklemlerin mantığını formüle etti. Günümüzde aksiyomatik görev, yeni mantıkları ve yeni cebirsel kavramları tanımlamanın standart bir yoludur. Son yıllarda, teorik modeller geliştikçe, aksiyomatik yöntem neredeyse zorunlu olarak model-teorik yöntemle desteklenmiştir.

Mükemmel tanım

Eksik tanım ↓

aksiyomatik yöntem

Aksiyomatik Yöntem (Yunan aksiyomundan) - kabul edilen bir pozisyon - delillerde yalnızca aksiyomların, varsayımların ve daha önce onlardan türetilen ifadelerin kullanıldığı bilimsel bir teori oluşturma yöntemi. Aksiyom ve postulat kavramlarından Aristoteles tarafından daha önce bahsedilmiş olmasına rağmen, bu ilk kez Öklid tarafından Elementler adlı eserinde açıkça gösterilmiştir. Eski Yunanlılar arasında aksiyom, açıkça formüle edilmiş, kanıtlanamayacak kadar apaçık olan ve diğer kanıtların temeli olarak kullanılan bir önermeydi. Bir varsayım, bazı inşaatların gerçekleştirilme olasılığı hakkında bir ifadedir. Bu nedenle, “Bütün parçadan büyüktür” bir aksiyomdur ve “Belirli bir yarıçapa sahip belirli bir noktadan bir daireyi tanımlayabilirsiniz” bir önermedir. Daha sonra aksiyom kavramı, tanımlayıcılık ve yapıcılık kavramları gerçekleşmediğinden (bir aksiyom açıklar, bir postülat oluşturur) bir postüla kavramını özümsemiştir. Helen geometrisinin hemen hemen tüm aksiyomları o kadar açık ve başarılı bir şekilde formüle edildi ki şüphe uyandırmadılar. Ancak Öklid'in "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan, verilene paralel bir çizgi çizilebilir ve yalnızca bir doğru çizilebilir" ifadesine eşdeğer olan beşinci postüla hükmü daha başından beri şüpheliydi. Dahası, Öklid'den önce Helenler olası üç hipotezin hepsini araştırdılar: 1) tek bir paralel çizgi çizmek imkansızdır, 2) birden fazla paralel çizgi çizmek mümkündür ve 3) yalnızca bir paralel çizgi çizmek mümkündür; ancak Öklid kasıtlı olarak bir formülasyonu seçti, çünkü yalnızca bu durumda kare ve şekillerin benzerliği kavramı mevcuttu. Daha sonra alternatiflerin varlığı unutuldu ve beşinci önerme defalarca kanıtlanmaya çalışıldı. 17. yüzyıla kadar. A. m. çok az gelişti. Öklid ve Arşimed statik ve optik aksiyomlarını formüle ettiler ve daha sonra yorum ve kanonlaştırmaya yönelik genel eğilimle bağlantılı olarak araştırmalar tercüme edildi veya en iyi ihtimalle eski aksiyom sistemleri analiz edildi. Yeni matematiğin AM'nin reddedilmesiyle başlaması ve sonsuz küçüklerin analizinin biçimlendirilmemiş bir teori olarak gelişmesi şaşırtıcı değildir. “Bütün parçadan azdır” aksiyomunun şüpheliliği anlaşıldı, çünkü Cusa'lı Nicholas ve ondan sonra Galileo sonsuz toplamlar için bütünün parçaya izomorf olabileceğini gösterdi. Ancak bu keşif, Hıristiyan diniyle (sonsuz Tanrı'nın çeşitli hipostazları kavramlarıyla) çok iyi uyum sağladığı için hafife alındı. Dahası, Spinoza'nın geometrik, tamamen rasyonel bir yöntem kullanarak bir etik ve metafizik sistemi türetme girişimlerindeki başarısızlığı, mevcut AM'nin insani kavramlara uygulanamaz olduğunu gösterdi. A'ya dön. 19. yüzyılda oldu. İki keşfe dayanıyordu: Öklid dışı geometri (Öklid'den önce bilinen ancak daha sonra tamamen unutulan şeyin yeniden keşfedilmesi) ve soyut cebir. Öklid dışı geometride (Gauss, Lobaçevski, Bolyai), beşinci postülanın olumsuzlamalarından birinin - yani bir doğrunun dışında kalan bir noktadan verilen çizgiye paralel iki düz çizgi çizilebileceğinin - uyumlu olduğu gösterilmiştir. Geometrinin diğer aksiyomları ile. Dolayısıyla “tek gerçek” mekanı tanımlamak için yaratılan aksiyomlar ve varsayımlar aslında farklı mekanlardan oluşan bütün bir sınıfı tanımlamaktadır. Soyut cebirde, bunların tüm ailelerini (örneğin, p-adik sayılar) ve gruplar gibi değişken yapıları içeren yeni sayı sistemleri ortaya çıktı. Değişken yapıların özelliklerini aksiyomlar kullanarak tanımlamak doğaldı, ancak artık hiç kimse bunların apaçık olduğu konusunda ısrar etmiyordu ve bunları yalnızca bir matematiksel nesneler sınıfını tanımlamanın bir yolu olarak görüyordu. Örneğin, bir yarı grup tek bir aksiyomla, yani çarpmanın ilişkilendirilebilirliğiyle belirlenir: a° (b o c) = (bir o B) O İLE. Geometrinin kendisinde klasik aksiyomları eleştirel bir şekilde yeniden düşünmenin zamanı geldi. E. Pash, Öklid'in kendisi tarafından açıklananlar kadar sezgisel olarak açık olan başka bir varsayım görmediğini gösterdi: "Düz bir çizgi bir üçgenin kenarlarından biriyle kesişirse, o zaman diğeriyle de kesişecektir." Ayrıca, üçgenlerin eşitliği kriterlerinden birinin bir aksiyom olarak kabul edilmesi gerektiği, aksi takdirde hareketli figürlerin olasılığı geri kalan aksiyomlardan kaynaklanmadığından ispatların kesinliğinin kaybolacağı gösterilmiştir. “Bütün, parçadan azdır” aksiyomu, yeni matematik açısından anlamsız bulunarak bir kenara atıldı ve yerine rakamların ölçüleri arasındaki ilişkiye dair çeşitli hükümler getirildi. Ve son olarak D. Hilbert, 19. yüzyılın matematiğin en yüksek başarılarına dayanarak yeni bir geometri aksiyomatiğini formüle etti. Helenik çağda ve sonrasında sayı kavramı aksiyomatik olarak tanımlanmıyordu. Sadece 19. yüzyılın sonunda. G. Peano (İtalya) doğal sayıların aksiyomatiklerini verdi. Peano ve Hilbert'in aksiyomatiklerinin her biri, sabit kavramlardan değil, keyfi kavramlardan veya toplamlardan söz eden daha yüksek düzeyde bir ilke içerir. Örneğin aritmetikte bu, matematiksel tümevarım ilkesidir. Üst düzey ilkeler olmadan, standart matematiksel yapıların açık bir şekilde tanımlanması imkansızdır. Kurtarma için A.M. kullanıldı. küme teorisi onunla ilgili bulduktan sonra paradokslar. Kurtarmanın kendisi en iyi şekilde gerçekleştirilmedi - yama yoluyla paradigmalar. Küme teorisinin paradokslara yol açmayan ve matematik için gerekli yapıları sağlayan ilkeleri aksiyom olarak kabul edildi. Ancak aynı zamanda AM mantığa genelleştirildi. D. Hilbert, klasiklerin aksiyomlarını ve çıkarım kurallarını açıkça formüle etti önerme mantığı, ve P. Bernays - yüklem mantığı. Günümüzde aksiyomatik görev, yeni mantıkları ve yeni cebirsel kavramları tanımlamanın standart bir yoludur. Modern matematiksel yöntemler, yalnızca aksiyomların değil, aynı zamanda dilin ve mantıkta, açıklanan teori veya sistemin çıkarım kurallarının da açıkça belirtilmesi açısından geleneksel olanlardan farklıdır. Gözden geçirilmiş ve güçlendirilmiş AM, aşağıdaki gibi yeni bilgi alanlarında güçlü bir silah haline geldi: bilişsel bilim ve matematiksel dilbilim. Anlamsal sorunları sözdizimsel sorunlara indirgemenize ve böylece bunların çözülmesine yardımcı olmanıza olanak tanır. Son yıllarda, model teorisi geliştikçe, AM zorunlu olarak model-teorik yöntemlerle desteklenmiştir. Aksiyomatik bir sistemi formüle ederken modellerinin bütünlüğünü tanımlamak gerekir. Bir aksiyom sistemi için gerekli olan minimum gerekçe, onun belirli bir model sınıfı için doğruluğu ve tamlığıdır. Ancak uygulamalar için bu tür resmi bir gerekçe yeterli değildir; aynı zamanda inşa edilen sistemin anlamlı anlamını ve onun ifade yeteneklerini göstermek de gereklidir. Matematiksel mantığın ana matematiksel sınırlaması, yüksek dereceli mantığın biçimlendirilemez ve eksik olmasıdır ve bu olmadan standart matematiksel yapıları tanımlamanın imkansız olmasıdır. Bu nedenle, belirli sayısal tahminlerin olduğu alanlarda AM, tam bir matematik diline uygulanamaz. Bu tür alanlarda yalnızca eksik ve tutarsız, sözde kısmi veya anlamlı aksiyomatikleştirme mümkündür. İşin garibi, kavramların kendi içinde resmileştirilememesi, AM'nin bu kavramlara uygulanmasını engellemez. Yine de sabit bir ortamda çalışırken çok daha etkili resmi modellere geçmek mantıklıdır. Bu durumda formalizmin olumlu bir özelliği çoğu zaman gerçek durumla tutarsızlığı olabilir. Biçimcilikler kavramların içeriğine tam olarak karşılık gelemez, ancak bu tutarsızlıklar gizlenirse, o zaman biçimcilikler genellikle durum kullanımları için uygun olmaktan çıktıktan sonra ve hatta kullanımları için uygun olmayan bir durumda bile kullanılmaya devam eder. en başından. Kısmi resmileştirme için de benzer tehlikeler mevcuttur. Ben N. Nepeyvoda

Mükemmel tanım

Eksik tanım ↓

Belediye eğitim kurumu.

Voznesensk orta okulu.

Matematik üzerine özet

“Aksiyomatik ve aksiyomatik yöntem” konulu

7. sınıf öğrencisi Evgeniy Viktorovich Kaer.

Başkan Puzikova N.V.

İle. Voznesenka, 2007

Aksiyomatik yöntemin incelenmesi ve uygulamaları çeşitli alanlar bilgi.

· Aksiyomatiklerin ne olduğunu öğrenin.

· Aksiyomatik yöntemin geometrideki uygulamalarını düşünün

· Aksiyomatik yöntemi uygulamayı öğrenin.

1. Giriş. Aksiyomatik nedir?

2. Aksiyomatik yöntem en önemli bilimsel yöntemdir.

3. Geometride aksiyomatik yöntem.

4. Araştırma çalışması. Aksiyomatik yöntemin satranç turnuvasında uygulanması.

6. Edebiyat.

1. Giriiş. Aksiyomatik nedir?

Aksiyom, başlangıç ​​noktası olarak kabul edilen, teoremlerin daha da kanıtlandığı ve genel olarak tüm teorinin oluşturulduğu şeylerin özelliklerine ilişkin bazı ifadelerdir.

Aksiyomatik, belirli bir bilimin aksiyomları sistemidir. Örneğin, temel geometrinin aksiyomatikleri yaklaşık iki düzine aksiyom içerir. sayı alanı-9 aksiyomlarının aksiyomatiği. Onlarla birlikte hayati rol modern matematikte grubun aksiyomatiği, metrik ve vektör uzayları vesaire.

Sovyet matematikçiler S. N. Bernstein ve A. N. Kolmogorov övgüyü hak ediyor aksiyomatik açıklama olasılık teorisi. Modern matematiğin düzinelerce başka alanı da aksiyomatik bir temelde gelişiyor; karşılık gelen aksiyom sistemine dayanmaktadır.

2. Aksiyomatik yöntem en önemli bilimsel yöntemdir

Aksiyomatik yöntem dünyayı anlamak için önemli bir bilimsel araçtır. Modern matematik, teorik mekaniğin ve bazı bölümlerin kurullarının çoğu modern fizik aksiyomatik yönteme dayanmaktadır. Aksiyomatik yöntem, matematiğin kendisinde bilimsel bir teorinin eksiksiz ve mantıksal olarak tutarlı bir şekilde oluşturulmasını sağlar. Aksiyomatik olarak oluşturulan bir matematik teorisinin doğa bilimlerinde birçok uygulama alanı bulması da daha az önemli değildir.

Herhangi bir bilgi alanının aksiyomatik inşasına ilişkin modern bakış açısı aşağıdaki gibidir:

1. Başlangıçtaki (tanımlanmamış) kavramlar listelenmiştir;

2. Orijinal kavramlar arasındaki bazı bağlantıların ve ilişkilerin kurulduğu aksiyomların bir listesi gösterilir;

3. Tanımların yardımıyla başka kavramlar da tanıtılır;

4. Aksiyomlarda yer alan ilk gerçeklere dayanarak, bazı yöntemler kullanılarak çıkarım yapılır ve kanıtlanır. mantıksal sistem diğer gerçekler– teoremler.

Başlangıçtaki kavramlar ve aksiyomlar deneyimlerden alınmıştır. Bu nedenle, aksiyomatik teoride çıkarılan tüm sonraki gerçeklerin, aksiyomlar temelinde tamamen spekülatif, tümdengelimli bir şekilde elde edilmiş olsalar da, yakın bağlantı hayatla birlikte uygulanabilir ve pratik aktiviteler kişi.

Bir aksiyom sisteminin en önemli şartı tutarlı olmasıdır ki bunu şu şekilde anlayabiliriz: Bu aksiyomlardan ne kadar teorem çıkarırsak çıkaralım, bunların arasında birbiriyle çelişen iki teorem olmayacaktır. Çelişkili aksiyomatikler anlamlı bir teori oluşturmanın temelini oluşturamaz.

Şu veya bu aksiyomatik teoriyi geliştirdikten sonra, tekrar tekrar akıl yürütmeden, söz konusu aksiyomların doğru olduğu her durumda sonuçlarının geçerli olduğunu iddia edebiliriz. Böylece aksiyomatik yöntem tamsayıların aksiyomatik olmasını sağlar geliştirilen teorilerçeşitli bilgi alanlarında uygulanır. Aksiyomatik yöntemin gücü budur.

3. Geometride aksiyomatik yöntem

Geometri çalışırken bir takım aksiyomlara güvendik. Aksiyomların geometrinin ilk prensipler olarak kabul edilen temel prensipleri olduğunu hatırlayalım. Temel kavramlar olarak adlandırılan kavramlarla birlikte geometrinin yapısının temelini oluştururlar. Bize tanıtılan ilk temel kavramlar nokta ve doğru kavramlarıydı. Temel kavramların tanımları verilmemiş, özellikleri aksiyomlarla ifade edilmiştir. Temel kavramları ve aksiyomları kullanarak yeni kavramların tanımlarını veriyoruz, teoremleri formüle edip kanıtlıyoruz ve böylece geometrik şekillerin özelliklerini inceliyoruz.

Örneğin paralel doğrular aksiyomunu düşünün:

Belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel yalnızca bir doğru geçer.

Doğrudan aksiyomlardan türetilen ifadelere sonuç denir. Paralel doğrular aksiyomunun bazı sonuçlarını ele alalım.

1. Bir doğru iki paralel çizgiden birini keserse, diğerini de keser.

2. Eğer iki doğru üçüncü bir doğruya paralelse paraleldirler.

4. Araştırma çalışması. Aksiyomatik yöntemin satranç turnuvasında uygulanması.

Aksiyomatik yöntemin nasıl kullanıldığını daha detaylı açıklamak için bir örnek veriyoruz. Diyelim ki birkaç okul çocuğu basitleştirilmiş bir şemaya göre bir satranç turnuvası düzenlemeye karar verdi: her biri diğer katılımcılardan herhangi biriyle (ve beyaz veya siyah taşlarla - kurayla) tam olarak dört oyun oynamalıdır. Turnuva için bir program oluşturmak için ihtiyacınız var. Öğrencilerin turnuva için yaptıkları gereksinimleri aksiyomlar şeklinde formüle etmek. Bunu yapmak için, üç başlangıç ​​​​(tanımsız) kavramı tanıtmak gerekiyordu: "oyuncu", "oyun", "oyuncunun oyuna katılımı". Dört aksiyom vardır:

Aksiyom 1. Oyuncu sayısı tuhaf.

Aksiyom 2. Her oyuncu dört oyun oynar .

Aksiyom 3. Her oyun iki oyuncuyu içerir .

Aksiyom 4. Her iki oyuncu için her ikisinin de katıldığı en fazla bir oyun vardır.

Bu aksiyomlardan çok sayıda teorem çıkarılabilir.

Teorem 1. Oyuncu sayısı en az beş .

Kanıt. Sıfırdan beri çift ​​sayı aksiyom 1'e göre oyuncu sayısı sıfıra eşit değildir, yani. en az bir A oyuncusu vardır. Aksiyom 2'ye göre bu oyuncu dört oyuna katılır ve bu oyunların her birinde A'nın yanı sıra başka bir oyuncu da katılır (aksiyom 3). Bu oyunlara katılan A dışındaki oyuncular B, C, D, E olsun. Aksiyom 4'e göre her şey oyuncular B, C, D, E farklıdır (örneğin, B = C olsaydı, o zaman A oyuncusunun ve B = C oyuncusunun katıldığı iki oyun olduğu ortaya çıkacaktı). Yani zaten beş oyuncu bulduk: A, B, C. , D, E. Ama aksiyom 1'e göre oyuncu sayısı beşten az değil.

Teorem.2 . Tüm oyuncuların maç sayısı çift .

q belirli bir oyundur, oyuncunun performansına yeni bir kavram - (q,A) - sunuyoruz.

Kanıt. Her oyun, oyuncular tarafından iki performans sunar (q, A), (q, B), (aksiyom 3'e göre), tüm performansların sayısı 2n'dir, burada n, oyuncu sayısıdır (A 4). Bu nedenle, tüm oyuncuların katılım sayısı 2'nin katıdır; eşit.

Teorem 3. Bir turnuvadaki kazanç sayısı oyuncu sayısını aşmaz.

Kanıt. İzin vermek N- oyuncu sayısı, ardından 2p- Oyuncunun maça çıkma sayısı (A), N- oynanan oyun sayısı (A3). İki durumu ele alalım:

1. Tüm oyunların bir kazananı ve bir kaybedeni vardı. O zaman galibiyet sayısı oyun sayısına eşit olacaktır, yani. P.

2. Bazı maçlar berabere bitti, öyle maçlar olsun İle. Daha sonra kalan kısımda p-k kazanan oyunlarda belirlendi; Kazanç sayısı oyun sayısını aşmaz. Teorem kanıtlandı.

Literatürü okuduktan sonra aksiyomun ne olduğunu, aksiyomatik yöntemin ne olduğunu ve geometride nasıl uygulandığını öğrendim. Aksiyomatik yöntemi inceledikten sonra onu bir satranç turnuvasının incelenmesine uyguladım.

Edebiyat.

Genç Bir Matematikçinin Ansiklopedik Sözlüğü

/ Komp. E-68 AP Savin.- M.: Pedagoji, 1989.

Geometri, 7-9: Ders Kitabı. Genel eğitim için Kurumlar / L.S. Atanasyan ve ark. Eğitim, 2004.